Ch it 7Pièces soumises à la flexion
Chapitre 7:Pièces soumises à la flexion
composéecomposéeModule Béton Armé II
Karim Miled, ENIT 2009
Flexion Composée M
pM
N G
V
N
N Ce
G
V C: Centre de pression
e: excentricité = M/Ne: excentricité = M/N
2
Convention • Effort Axial:
– Compression >0
Traction <0– Traction <0
Moment de fle ion• Moment de flexion– Traction dans les fibres inferieures >0
– Traction dans les fibres supérieures < 0
3
Caractère de la section 3 cas possibles:• Section entièrement tendue (1)• Section entièrement tendue (1)• Section partiellement comprimée/tendue (2)
S ti tiè t i é• Section entièrement comprimée (3)
+
+±(1) (2) (3)
-+
(1) (2) (3)
-
+
- 4
N<0 : TractionSSollicitations à considérer
ELS ⎧– ELS
seriiser Me
NN⇒⎪
⎨
⎧ = ∑
ser
serser
jjser N
eMM
=⇒⎪⎩
⎨= ∑
– ELURj⎩
NN⎧ γ= ∑u
ui
iiu MeNN
=⇒⎪⎨
⎧ γ=
∑
∑
uu
jjju NMM⎪
⎩
⎨γ= ∑
5
N>0 : CompressionS lli it ti à idéSollicitations à considérer
Vé ifi ti à l’ELS– Vérifications à l’ELS
iser MNN
⎪⎧ = ∑
serser
i
NMe
MM=⇒
⎪
⎪⎨ ∑
∑
serj
jser NMM⎪⎩
= ∑⎩
6
N>0: Compressionp• Vérifications à l’Etat Limite Ultime de Résistance (ELUR)
⎧ ∑⎪
⎪⎨⎧ γ= ∑
)(
NNi
iiu
• e1: excentricité du premier ordre résultant des efforts appliqués
⎪⎩ += )ee(NM 21uu
1
jjj
eM
e +=∑γ
a
iii
1 eN
e +=∑γ
• ea: excentricité additionnelle traduisant les imperfections géométriques initiales
(2 l/250)ea = max(2cm, l/250) Avec l: longueur de la pièce exprimée en cm 7
N>0: CompressionEt t Li it Ulti d Ré i t (ELUR)
• e2: excentricité du deuxième ordre liée à la déformation de la structure
• Etat Limite Ultime de Résistance (ELUR)
)2(h10
l3e )he20 max(15,
hl Si 4
2f
21f αφ+==>≤
structure
h10hh=> Vérification ELU de stabilité de forme n’est pas
nécessaire (vis-à-vis au flambement)
• lf: Longueur de flambement de la pièce, h: hauteur totale de la section dans la direction du flambement
M
explperm
perm
MMM
+=α
• φ: Rapport de la déformation finale due au fluage, à la déformation instantanée sous la charge considérée; φ = 2 en général
⇒> )he20 max(15,
hl Si 1f Il faut vérifier la pièce à l’Etat Limite Ultime de Stabilité de
Forme (ELUSF), en plus de l’ELUR 8
Section Entièrement TendueC ( S ) 0 C• Conditions (ELS ou ELU) : N< 0 et centre de pression C entre les armatures
• Béton entièrement tendu , n’intervient pas dans la résistance de la section, => seul l’acier tendu résiste seul l acier tendu résiste• ELUR: calcul autour du Pivot A: 00
010=suε
A1
CN eA1
A1σs1d’
d G
CN eA1
eh d G
e
A2
eA2
A σA2 A2σs29
Calcul des armatures
⎪⎧ Ae NA 2
Equilibre de la section
⎪⎪
⎨σ+
=s1AA
1 )e(eA
21
2
( )⎪⎪⎨⎧ +=
21 21N ss AA σσ
⎪⎪
⎩
⎨
σ+=
s2AA
A2 )e(e
eNA 1
( )⎪⎩⎨ +==
2112 1M AAsA eeAeN σ
hh ⎩ s2AA )(21
)2
(;)'2
(e 21A ehdeedhA +−=−−=
⎪⎨
⎧ ====⇒ esus2s1u
ff ; ELUγ
σσNN
⎪⎩
⎨===⇒ ss2s1ser
s
; ELS
σσσ
γ
NNf
e
t28min21 f
fBAAA =≥+ B: section de béton 10
Exemple 1p
5cm A1
Données
0cm
5cm • Nu = -0,460MN ; Nser = -0,322MN
• M = 0 055MN m ; M = 0 0385MN m
Données
545 Mu 0,055MN.m ; Mser 0,0385MN.m• fc28 = 25MPa, FeE400 • Fissuration préjudiciable
30
A2
30cm
Calculer la section d’acier (A1+A2)11
( 1 2)
Exemple1: Solution p• eu = Mu/Nu= -0,1196 ≈ -0,12m => C entre les armatures et N < 0 =>
section entièrement tendue• eser = Mser/Nser= -0,1196 ≈ -0,12m=> C entre les armatures et N < 0
=> section entièrement tenduef 2 1MP >• ft28 = 2,1MPa=>
• fsu = 348MPa • eA1 = 25-5+12 = 32cm
202MPas =σ
eA1 25 5+12 32cm• eA2= 45-25-12=8cm• A1u = (0,46x0,08)/[(0,32+0.08)x348) =0,000264m2=2,64cm2
• A2u = (0,46x0,32)/[(0,32+0.08)x348) =0,001057m2 = 10,57cm2
• A1ser = (0,322x0,08)/[(0,32+0.08)x202) =0,000319m2=3,19cm2
A = (0 322x0 32)/[(0 32+0 08)x202) =0 001275m2 = 12 75cm2• A2ser = (0,322x0,32)/[(0,32+0.08)x202) =0,001275m2 = 12,75cm2
• Amin = 30x50x2,1/400 = 7,88cm2 min2ser1ser AAA ≥+=>
• A1=A1ser=> soit 3HA14 et A2=A2ser => soit 3HA25 12
Exemple 2p
5cm Données
m
• Ng = -200kN ; Nq = -200kN • Mg = 20kN.m ; Mq = 20kN.m• f 28 = 25MPa FeE500
60cm
55cm
fc28 25MPa, FeE500 • Fissuration peu préjudiciable
Déterminer le ferraillage longitudinal d l tide la section
30cm13
Exemple 2: Solution p• Fissuration peu préjudiciable => Calcul à l’ELU• M =57kN m• Mu=57kN.m• Nu=-570kN• eu = Mu/Nu= -0,10m => C entre les armatures et N<0=> section entièrement
t dtendue • ft28 = 2,1MPa• fsu = 435MPa• eA1 = 30-5+10 = 35cm • eA2 = 55-30-10 = 15cm• A1 = (0 57x0 15)/[(0 35+0 15)x435) =0 000393m2=3 93cm2 => 3HA14A1u (0,57x0,15)/[(0,35+0.15)x435) 0,000393m 3,93cm > 3HA14• A2u = (0,57x0,35)/[(0,35+0.15)x435) =0,000917m2 = 9,17cm2 => 3HA20
• A = 30x60x2 1/500 = 7 56cm2• Amin = 30x60x2,1/500 = 7,56cm
min2u1u AAA ≥+=>
14
Section Partiellement Comprimée/Tendue
S• ELS: – N<0 et C (centre de pression) est à l’extérieur des
h/3
armatures – N>0 et C est à l’extérieur du noyau central
• ELU:– N<0 et C est à l’extérieur des armatures
Noyau centralh/3
b/3
N<0 et C est à l extérieur des armatures – N>0 et la hauteur du béton comprimé y est <h
hhM 493,0)dh4,01(
dh0.8x
fbdMMM BC
bu2uA
uBC/AuA ≈−=<=⇒≤ μμ
MuA: Moment de flexion évalué au niveau du centre de gravité des armatures tenduesMBC/A: Moment frontière (correspondant au diagramme de déformations limites passant par les pivots B et C) évalué au niveau du centre de gravité des armatures tendues.
15
N CN x
A’ e A’σscd’
F
d G ’e A
Fb
h d G
d-d
z b
A AA Aσs
16
Calcul des armaturesEquilibre de la section
⎪⎨
⎧ −σ+= )d'd(A'zFe N scbbA
⎪⎩
⎪⎨ =
σ+σ−σ+⇒σ−σ+= 0)NA(A'FAA'FN
ssscbsscb
⎩ s
⎧ −σ+=⎪⎧ =
)d'd(S'zFMA'S'
⎩⎨⎧
=σ−σ+−σ+=
⇒⎪⎩
⎪⎨
σ+= 0SS'F
)dd(SzFMNAS sscb
scbbA
⎩ σs
Equations d’équilibre d’une section sollicitée en flexion simple par un moment de flexion MAflexion MA
17
Calcul des armatures• Calculer le moment MA (MuA ou MserA) par rapport aux armatures tendues
C l l fl i i l l ti d’ t S t S’• Calculer en flexion simple les sections d’armatures S et S’
• Revenir à la flexion composée avec les armatures A et A’:
⎪⎧ = S'A'
⎪⎩
⎪⎨
σ−=
NSA⎪⎩ σs
• N est une compression (N>0) => diminution de la section d‘acier tendus trouvée en p ( )flexion simple
• N est une traction (N<0) => augmentation de la section d’acier tendus trouvée en flexion simpleflexion simple
18
Exemple 3Exemple 3
• Ng = 85kN ; Nq = 75kN g q• Mg = 90kN.m ; Mq = 80kN.m• fc28 = 25MPa, FeE500
A • Fissurations peu préjudiciables
6m
NA A
• μlu = 0,305
MCoupe AA
22cm
55cm 19
Exemple 3: Solution p• Calcul à l’ELU• Nu=1,35(85)+1,5(75)=227,25kN >0u ,35(85) ,5( 5) , 5 0• Mu=1,35Mg +1,5Mq= 241,5kN.m• ea = max(2cm,l/250) = max(2cm, 600/250=2,4cm)=2,4cm• e1 = 241 5/227 25+e = 1 087me1 = 241,5/227,25+ea = 1,087m• lf = 0,7l0 = 4,2m• Lf/h = 4,2/0,55=7,64 < max(15,20e1/h)=15 => Calcul en flexion composée en
tenant compte de façon forfaitaire de risque de flambementtenant compte de façon forfaitaire de risque de flambement• α = 90/(90+80) = 0,529• e2 = 3x4,22x(2 + 0,529x2)/(104x0,55) = 0,029m
N 227 25kN M N (1 087 0 029) 253 61kN• Nu = 227,25kN ; Mu = Nu (1,087 + 0,029) = 253,61kN.m• MuA = Mu + Nu (d-h/2) = 253,61 + 227,25 (0,5-0,55/2) = 304,74kN.m• fbu = 0,85(25/1,5) = 14,2MPa• ft28 = 0,6 + 0,06fc28 = 2,1MPa• fsu = 500/1,15 = 435MPa
• μu = 304,74x10-3/(0,22x0,52x14,2) = 0,390 < 0,493 => section partiellement comprimée
Exemple 3: Solution p• μu = 304,74x10-3/(0,22x0,52x14,2) = 0,390 < 0,493 => section partiellement
i écomprimée• μu > μlu => Aciers comprimés nécessaires
• MuA = M1 + M2
M = b d2 f = 0 305 0 22 0 52 14 2 = 0 2382 MN m• M1 = μlu b d2 fbu = 0,305 0,22 0,52 14,2 = 0,2382 MN.m • M2 = MuA - M1 = 304,74 – 238,2 = 66,53kNm = 0,06653MN.m
3,96‰ )/-(1 3,5‰ 0,4694)21-(125,1 luluslulu =αα=ε=>=μ−=α
• εs > εe = 435/200000 = 2,175‰ => σs = 435 MPa• εsc = 3,5‰ (αlud-d’)/(αlud) = 2,75‰ => σsc = 435 MPa
21
Exemple 3: Solution 22
'2
u2 cm4,3m00034,03540 05)(0 5
0,06653)d(d
MS ===σ
=
p
s 3540,05)-(0,5 )d-(d σ
2' σ
221 0 2382M
2
sc
su2
'u cm4,3SS =
σσ
=
22
slu
1u1 cm5,13m00135,0
354,4694)00.4x-0,5(10,2382
)0.4-d(1MS ===
σα=
2u2u1u cm9,164,35,13SSS =+=+=
⎧
⎪
⎪⎨
⎧
=−=−=
==
24
2
cm7,1110x0,2279,16NSA
3,4cmS'A'Flexion Composée =>
⎪⎩ σs
cm7,1110x435
9,16SA22
Exemple 3: SolutionExemple 3: Solution
22cm
2
55cm6HA16 3HA14
23
Exemple 4G2= 12 5T
G1= 35,5T
Q1= 4T p• fc28 = 25MPa, FeE400• Fissurations peu préjudiciables
G2 12,5T
Q2= 3T2 p p j
• Déterminer la section d’armatures longitudinales au niveau de l’encastrement du poteau
B
C2
1,2m Coupe 2-2
Poteau 1
Coupe 1 11 1
4,5m
Coupe 1-1
70cm
1 1
40cm
A
Poteau 2
70cm 40cm
Poteau 2
24
Exemple 4: Solution
Effort Perm Expl Bras de levier M M
p
Effort normal
Perm. (T)
Expl. (T)
Bras de levier (m)
Mperm (T.m)
Mexpl (T.m)
Poteau 1 35,5 4 1,2 42,6 4,8Poids 0 84 0 6 0 504Poutre 0,84 - 0,6 0,504 -
PoidsPoids Poteau 2 2,9 - 0 - -
Poteau 2 12 5 3 0Poteau 2 12,5 3 0 - -∑ 51,74 7 43,104 4,8
25Descente de charge sur le poteau 2
Exemple 4: Solution p• Calcul à l’ELU• Nu=1,35(51,74)+1,5(7)=80,349Tu ,35(5 , ) ,5( ) 80,3 9• Mu=1,35Mg +1,5Mq= 65,39T.m• ea = max(2cm,l/250) = max(2cm, 450/250)=2cm• e1 = 65 39/80 349+e = 0 834me1 = 65,39/80,349+ea = 0,834m• lf = 0,7l0 = 3,15m• Lf/h = 3,15/0,7=4,54 < max(15,20e1/h)=23,8 => Calcul en flexion composée
en tenant compte de façon forfaitaire de risque de flambementen tenant compte de façon forfaitaire de risque de flambement• α = 43,105/(43,104+4,8) = 0,9• e2 = 3x3,152x(2 + 0,9x2)/(104x0,7) = 0,016m
N 80 349T M N (0 834 0 016) 68 3T• Nu = 80,349T ; Mu = Nu (0,834 + 0,016) = 68,3T.m• MuA = Mu + Nu (d-h/2) = 68,3 + 80,349 (0,63-0,7/2) = 90,8T.m• fbu = 0,85(25/1,5) = 14,2MPa• ft28 = 0,6 + 0,06fc28 = 2,1MPa• fsu = 400/1,15 = 348MPa
26
Exemple 4: Solution p• μbu = 90,8x10-2/(0,4x0,632x14,2) = 0,403 < 0,493 => section partiellement
i écomprimée• μlu = 0,3 • μbu > μlu => Aciers comprimés nécessaires
• MuA = M1 + M2
M = b d2 f = 0 3 0 4 0 632 14 2 = 0 6763MN m• M1 = μlu b d2 fbu = 0,3 0,4 0,632 14,2 = 0,6763MN.m • M2 = MuA - M1 = 90,8 – 67,63 = 23,17Tm = 0,2317MN.m• Calcul autour du pivot BCalcul autour du pivot B
4,12‰ )/-(1 3,5‰ 0,459)21-(125,1 luluslulu =αα=ε=>=μ−=α
• εs > εe = 348/200000 = 1,74‰ => σs = 348MPa• εsc = 3,5‰ (αlud-d’)/(αlud) = 2,89‰ => σsc = 348MPa
27
Exemple 4: Solution 22
'2
u2 cm5,11m00115,04830 05)(0 63
0,2317)d(d
MS ===σ
=
p
s 4830,05)-(0,63 )d-(d σ
2' σ
221 0 6763M
2
sc
su2
'u cm5,11SS =
σσ
=
22
slu
1u1 cm8,37m00378,0
483,459)00.4x-0,63(10,6763
)0.4-d(1MS ===
σα=
2u2u1u cm3,495,118,37SSS =+=+=
⎧
⎪
⎪⎨
⎧
=−=−=
==
24
2
cm2,2610x0,803493,49NSA
11,5cmS'A'Flexion Composée =>
⎪⎩ σs
cm2,2610x348
3,49SA28
Exemple 4: SolutionExemple 4: Solution
0cm
4
70cm10HA20 5HA20
70cm
29
Section Entièrement CompriméeSection Entièrement Comprimée• ELS:ELS:
– N>0 et C est à l’intérieur du noyau central
ELUNoyau central
• ELU:– N>0 et la hauteur du béton comprimé y est >h
4930)h401(h0 8MuA 493,0)d
4,01(d
0.8xfbd BC
bu2uA
bu =−=>=⇒ μμ
30
Section Entièrement CompriméeSection Entièrement Comprimée• ELU:ELU:
=> Calcul autour de pivot COuOu⇒ Ramener le calcul autour de pivot BOuOu => Utiliser diagramme d’interaction (N, M)
Il dé d’ d f ill é i (A A ) éd iIl est recommandé d’adopter un ferraillage symétrique (A1u=A2u) pour réduire le risque de flambement=> le plus souvent on ramène le calcul autour du pivot B
31
Section entièrement compriméeCalcul à l’ELUR autour de Pivot CCalcul à l’ELUR autour de Pivot C
• Hypothèse: déformation uniforme sur la section égale à 2‰f si Acier HA400• σsu(2 ‰)=fsu si Acier HA400 2‰ Es si Acier HA500
d’A1
N eA1
A1uσsu(2 ‰)d’
d G
NuA1
eu fbubhGh d G
e
fbuG
A2
eA2
A σ32
A2 A2uσsu(2 ‰)
Calcul des armaturesEquilibre de la section
⎪⎧ ++=N bhfAA σσ
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−=
++=
)()(N
N'
)‰2(2)‰2(1 busuusuuu
eebhfddAe
bhfAA
σ
σσ
⎪⎧ −−
= uAbu eebhf )2Au (e NA 2
⎪⎩ += )()(N 2)‰2(12u uAbusuuA eebhfddAe σ
⎪
⎪⎪⎨
−=
su
bhf)‰2(
'1u
N
)d(dA
σ
⎪⎪⎩
−−
= usu
bu Abhf1
)‰2(
u2u
NAσ⎩
Pour une section rectangulaire: )2
(;)'2
(e 21Ahdeeedh
uAu −+=−−=
33
22
Exemple 5: calcul à l’ELUR autour du pivot B
• f 28 = 25MPa FeE400fc28 25MPa, FeE400 • Fissurations peu préjudiciables• Nu = 1,045MN• MuG = 0,1463 MN.m
4cm35
cm
4cm
35cm
4cm34
Exemple 5: Solution p• Calcul à l’ELU• MuA = Mu + Nu (d-h/2) = 0,1463 + 1,045 (0,31-0,35/2) = 0,2874MN.muA u u (d / ) 0, 63 ,0 5 (0,3 0,35/ ) 0, 8• fbu = 0,85(25/1,5) = 14,2MPa• ft28 = 0,6 + 0,06fc28 = 2,1MPa• f = 400/1 15 = 348MPafsu = 400/1,15 = 348MPa• μbu = 0,2874/(0,35x0,312x14,2) = 0,602 > 0,493 => section entièrement
comprimée• => Réduire la hauteur de béton comprimée par ajout d’acier comprimé A’ de• => Réduire la hauteur de béton comprimée par ajout d acier comprimé A de
façon à avoir μbu < 0,493 • On prend A’=2HA25=9,81cm2
M A’ (d d’) 9 81 10 4 348 (0 31 0 04) 0 092MN 348• MuA’/A = A’ σsc (d-d’) = 9,81x10-4x348x(0,31-0,04)=0,092MN.m ; avec σsc =348 MPa => Hypothèse à vérifier
• Mub/A = MuA- MuA’/A =0,2874 – 0,092 = 0,1954MN.m• μbu = 0,1954/(0,35x0,312x14,2) = 0,409 < 0,493 => Calcul autour du Pivot B
d’une section partiellement comprimée
‰7411 38‰)/(13 5‰0 717)21(1251 =<===>== εααεμα ‰74,11,38‰)/-(13,5‰0,717)21-(125,1 esbu =<===>=−= εααεμαMPa276x1,38x10000002E -3
sss ==ε=σ⇒ 35
Exemple 5: Solution p33
sc 10x87,2'-x10x5,3129,0314
d'd' −− =
αα=ε⇒===α⇒ sc ,,,
31d α
verifiéeHypothèseMPa348 ⇒==⇒ fσ verifiéeHypothèseMPa348sc ⇒==⇒ sufσ
• Vérification de l’Equilibre:• Vérification de l Equilibre:• Nu = A’σsc + fbu 0,8 α d b - A σsc• 1,045 = 9,81x10-4x348 + 14,2x0,8x0,717x0,31x0,35 – 276xA
=> A = 6 52x10-4m2 = 6 52cm2 =>Soit 2HA25 (ferraillage symétrique)• => A = 6,52x10-4m2 = 6,52cm2 =>Soit 2HA25 (ferraillage symétrique)
36