7/23/2019 Cap08 - Circuitos Simplificados RC e RL
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Captulo 8
Circuitos Simplificados RCe RL
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8.1 Circuitos RCsem Fontes
Associao em srie de um resistor e um capacitor:
Capacitor carregado com tenso V0 em t= 0.
Energia em t= 0:
Aplicando Lei de Kirchhoff de correntes quando t 0, temos:
v(t)
i(t)
+
RC
( ) 202
10 CVw =
0=+
R
v
dt
dvC 0
1=+ v
RCdt
dv
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Soluo da equao diferencial de 1 ordem:
01
=+ vRCdt
dv
dtRCv
dv 1=
= dtRCv
dv 1
KRC
tv +=ln
( ) KVv == 0ln0ln
Para que a soluo seja vlida para t 0, a constante Kdeve ser escolhida talque a condio inicial de v(0) = V0 seja satisfeita, Portanto, em t = 0, temos:
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Substituindo o valor de Kna soluo, temos:
0lnln VRC
tK
RC
tv +=+=
RC
tVv = 0lnln
RC
t
V
v=
0
ln
( )
=RC
tVtv exp0
Esta a tenso sobre R, portanto, a corrente :
( ) ( )
==RC
t
R
V
R
tvti exp0
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V0
v(t)
t
Observe que a tenso inicialmente V0 e que decai exponencialmente,
tendendo a 0, para tcrescente.
Velocidade de decaimento da tenso determinada pelo produto RC.
Como a resposta caracterizada pelos elementos do circuito e no pela
atuao de uma fonte externa de tenso e corrente, a resposta denominada
de resposta natural do circuito.
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Potncia instantnea absorvida pelo resistor R:
Energia absorvida pelo resistor para t :
( ) ( )
[ ]W2
exp20
2
==RC
t
R
V
R
tvtpR
( ) ( )
20
0
20
0
20
0
21
2exp21
2exp
CV
RCtCV
dtRC
t
R
V
dttpwRR
=
=
=
=
energia armazenada no circuito
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Se o tempo inicial t0, isto , v(t0) = V0, ento
8.2 Constante de Tempo
Caracterizao da velocidade de decaimento de um circuito com elementos
armazenadores.
( ) 00
0 paraexp ttRC
ttVtv
=
v(t)
i(t)
+
RC
=RC
tVv exp0
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Grfico v(t) t:
Corrente no circuito decresce como a tenso:
O tempo necessrio para que a resposta natural decaia de um fator de 1/e
definido como a constante de tempo do circuito.
( )
= RC
t
R
Vti exp0
V0
v(t)
t/k
RC = k
RC = 2kRC = 3k
0,368V0
1 2 3
=
nk
tVv exp0
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( ) ( )
+=
=
=
+
RC
RCtV
RC
tV
RC
t
RC
tV
e
Vexp1expexpexp 000
0
Constante de tempo: = RC
Unidade de : (F) = (V/A)(C/V) =( C/A) = s
Tenso:
A resposta ao final de 1 constante de tempo reduzida para e1 = 0,368 do
valor inicial. Ao final de 2 constantes de tempo, ela igual a e2 = 0,135 do seu
valor inicial e depois de 5 constantes, ela igual a e5
= 0,0067.
( )
= t
Vtv exp0
( ) ( ) +
= +
RCRCtV
RCtV expexp 00
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Propriedade das funes exponenciais:
Tangente curva em t= 0 intercepta o eixo de tem t= .
V0
v(t)
t
v
v1
0,368V0
01 Vmtv +=
=
=
tVtV
dt
d
dt
dvexpexp 00
==
=
0
0
V
dt
dvm
t0
01 Vt
Vv +
=
A reta intercepta o eixo do tempo em v1 = 0, o que requer que t= .
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A constante de tempo o tempo necessrio para que a resposta natural setorne zero se ela decresce com uma velocidade constante igual razo inicial
de decrscimo.
A constante de tempo permite predizer a forma geral da resposta:
mas para a soluo completa deve-se encontrar a tenso inicial v(0+) = V0.
Para um capacitor: v(0) = v(0+) = V0.
( )
= t
Vtv exp0
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Req
Exemplo: Tenso no capacitor v(t). Circuito em regime permanente ccimediatamente antes da abertura da chave.
4
v(t)+
2
8 15
3 v1(t)+
1 F 100 V
t= 0
Em t= 0, chave fechada capacitor um circuito aberto.t= 0-4
v(0-)+
2
8 15
3 v1(t)+
100 V
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( )( )
[ ]10423
4238 =
++
++=eqR
( ) [ ]V40100151010
0 =+=
v
Portanto, v(0-) = v(0+) = V0 = 40 [V].
Para t> 0, temos:
v(t)
+
Req= 10 1 F
Constante de tempo: [ ]s10== CReq
( ) [ ]V10
exp40exp0 =
= ttVtv
( ) ( ) [ ]V10
exp8
82
21
=
+
= t
tvtv
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8.3 Circuitos RL sem Fontes
Associao em srie de um resistor e um indutor:
Indutor est conduzindo uma corrente I0 em t= 0.
Energia em t= 0:
Aplicando Lei de Kirchhoff de tenses quando t 0, temos:
v(t)
i(t)
+
RL
( ) 202
10 ILw =
0=+Ri
dt
diL 0=+ i
L
R
dt
di
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Soluo 1: Soluo da equao diferencial de 1 ordem por separao devariveis:
dtL
R
i
di=
= dtL
R
i
di
KtL
Ri +=ln
( ) KIi == 0ln0ln
Para que a soluo seja vlida para t 0, a constante Kdeve ser escolhida talque a condio inicial de i(0) = I0 seja satisfeita, Portanto, em t = 0, temos:
0=+ iL
R
dt
di
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Substituindo o valor de Kna soluo, temos:
0lnln ItL
RKt
L
Ri +=+=
tL
RIi = 0lnln
tL
R
I
i=
0
ln
( )
= tL
RIti exp0
Esta a corrente sobre R, portanto, a tenso :
( ) ( )
== tL
RRItRitv exp0
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Soluo 2: Assumir uma forma geral de soluo baseada na inspeo daequao a ser resolvida:
0=+ iL
R
dt
di
Vamos incluir vrias constantes desconhecidas e determinar seus valores tal
que a soluo assumida satisfaa a equao diferencial e as condies iniciais
do circuito.
A corrente ino muda a sua forma sendo derivada, isto , di/dt um mltiplo de
i, assim, a nica funo que satisfaz esta condio uma exponencial em t:
( ) ( )stAti exp=
( )[ ] ( )[ ] 0expexp =+ stAL
RstA
dt
d
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Assim, a soluo s vlida se ou se
1 caso: faz i(t) = 0 para todo t, entretanto, i(0) = I0.
2 caso: , logo
Fazendo i(0) = I0, pode-se obter A:
A soluo ento fica:
( ) ( )stAti exp= ( ) 0exp =stA 0=+LRs
( ) 0exp =
+ stAL
Rs
L
R
s =
( )
= tL
RAti exp
( ) AIi == 00
( )
= tL
RIti exp0
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A constante de tempo ento:
Aumentando L aumenta-se , entretanto aumentando Rdiminui-se .
[ ] ( ) ( )[ ] [ ]sV/A/s/AVH/ ===R
L
I0
i(t)
t
0,368I0
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( ) ( )
== tL
RRItRitp
2exp20
2
Energia absorvida pelo resistor para t :
( ) ( )
20
0
20
020
0
2
1
2exp
21
2exp
LI
tL
RLI
dtt
L
RRI
dttpw
=
=
=
=
energia armazenada no circuito
Potncia instantnea entregue ao resistor:
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Clculo da tenso v no indutor, aplicando-se a lei de Kirchhoff de correntes,obtemos:
Derivando em t:
Pode ser resolvida usando um dos mtodos anteriores.
( ) 001
0 =++ ivdt
LR
v t
011
=+ vLdt
dv
R
0=+ vL
R
dt
dv
v(t)
i(t)
+
RL
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Exemplo: Corrente i(t) e tenso v(t) no circuito RL. Circuito em regimepermanente cc imediatamente antes da abertura da chave.
i(t)75
50
v(t)+
100 V
t= 0
10 H150
Em t= 0, chave fechada indutor um curto-circuito.
( ) [ ]A2501000 ==i [ ]A200 == + ii
i(0-)
75 50
v(0)+
100 V
t= 0
150
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Para t> 0, temos:
Constante de tempo:
Como I0 = i(0+) = 2 A, temos
A tenso v(t) dada por:
[ ]s1,0100
10===
eqR
L
( ) ( )[ ]A10exp2 tti =
( )
( )
( )[ ]V10exp100
5010
t
idt
tdi
tv
=
+=
[ ]=+
+= 100
15075
1507550eqR
i(t)
50
v(t)+
10 H
50
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Exemplo: Circuito com fonte de tenso dependente.i(t)
R
ki(t)+
L
0=++ kiRidt
diL 0=
++ i
L
kR
dt
di
Resolvendo, obtemos:
Constante de tempo:
( )
+= t
LkRIti exp0
kR
L
+=
A fonte dependente se comporta como um resistor de k.
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8.4 Resposta a uma Funo Excitao Constante
Circuitos que alm de uma energia inicial armazenada, so excitados por fontes
independentes e constantes de tenso ou de corrente (funes de excitao).
Resposta deste circuitos consistem em duas partes, onde uma delas sempre
uma constante.
v
iR
+
R CI0
ic
t= 0
Capacitor: v(0) = V0
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0IR
v
dt
dvC =+
v
iR
+
R CI0
ic
t= 0+Para t > 0, a chave fechada:
Capacitor: v(0+) = v(0) = V0
E a equao nodal no n superior fica:
C
Iv
RCdt
dv 01=+
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Resolvendo pelo mtodo de separao de variveis:
C
IvRCdt
dv0
1=+
RC
RIv
dt
dv 0=
0RIv
dt
=dt
RCdv
RIv11
0
( ) KRC
tRIv += 0ln
+= K
RC
tRIv exp0
0exp RIRC
t
Av +
= ( )KA exp=
Determinada pelascondies iniciais do
circuito
dtRC
dvRIv
11
0
=
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A soluo geral
possui duas partes:
uma funo exponencial idntica a da resposta natural de
circuitos RCsem fontes (resposta natural vn).
uma funo constante, dada por RI0, devida integralmente funo de excitao (resposta forada vf).
Com o passar do tempo a resposta natural desaparece e a soluo fica
simplesmente RI0.
resposta natural vn resposta homognea vh
resposta forada vf
resposta particular vp
0exp RIRC
tAv +
=
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Constante A:
Valor de A deve ser escolhido de forma a satisfazer a condio de tenso inicial.
Em t= 0+:
Portanto, em t= 0+, requer que
substituindo na soluo temos
000 Vvv == +
0exp RIRC
tAv +
=
00 RIAV += 00 RIVA =
( ) 000 exp RIRC
tRIVv +
=
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Corrente no capacitor para t > 0:
==
RC
t
R
RIV
dt
dvCic exp
00
Corrente no resistor para t > 0:
+==
RC
t
R
RIVIiIi cR exp
0000
Tenso no resistor muda abruptamente de RI0 em t = 0 para V0 em t= 0+.
Tenso no capacitor contnua.
Resposta transitria: poro da resposta completa que tende azero com o aumento do tempo.
Resposta em regime permanente: poro da resposta completa que permanece
aps a resposta transitria ter se anulado.
v
iR
+
R CI0
ic
t= 0+
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No exemplo: resposta transitria = resposta natural
resposta em regime permanente = resposta forada
Valores cc que constituem a condio e o estado permanente cc: v= RI0, ic= 0
e iR= I0
No se deve concluir, entretanto, que as respostas natural e forada sero
sempre iguais as resposta transitria e em regime permanente,
respectivamente.
v
iR
+
R CI0
ic
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8.5 Caso Geral
Expresso geral:
y= varivel e Pe Q= constantes
Soluo pelo mtodo do fator de integrao, que consiste em multiplicar a
equao por um fator que torna seu lado esquerdo uma derivada perfeita e
ento integrar ambos os lados.
Derivada de um produto:
fazendo
QPydt
dy=+
( )
Pt
PtPtPt
ePydt
dy
Pyeedt
dyye
dt
d
+=
+=
QPydt
dy=+ Pte
PtPtQeePy
dt
dy=
+ ( ) PtPt Qeye
dt
d=
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( ) = dtQedtyedtd
PtPt
AdtQeye PtPt +=
PtPtPtAedtQeey +=
No caso de cc onde Q uma constante, temos:
ondeP
QAey Pt
+=
Ptn Aey =
P
Qyf =
fn yyy +=
Note que 1/P a constante
de tempo da resposta natural
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Exemplo: Calcular i2 para t> 0, dado que i2(0) = 1 A:
1 H4 10 V
4 8
+ i1 i2
01124
2
21 =++
dt
diii
1048 21 = ii
510 22
=+ idt
di
QPydtdy =+
P= 10, Q= 5, logo para i2(0) = 1, temos
portanto, A = 1/2. Assim, a soluo dada por:
2
1102 +=
tAei2
11 010 += Ae
2
1
2
1 102 +=
t
ei
P
QAey Pt
+=
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Tambm pode-se obter para o caso de Q= constante,atravs da observao de
A resposta natural satisfaz
que resulta em
Resposta forada:
que substituindo em resulta em ou
fnPt yyP
QAey +=+=
PtPtPt AedtQeey +=
QPydt
dy=+
0=+Pydt
dy stn Aey =
0=+Ps Ps =
Pt
n
Aey
=
Kyf =
QPydt
dy=+ QPK=+0
P
QKyf ==
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8.6 Procedimento Simplificado
Obteno dos valores de correntes e tenses de circuitos, sem fontes
dependentes, pela formulao da soluo atravs de inspeo do circuito.
Exemplo: i2(0) = 1 [A]
sabemos que: i2 = i2n+ i2f
i2n= resposta natural = mesma forma que a resposta sem fontes.
i2f= resposta forada = constante.
1 H4 10 V
4 8
+
i1 i2
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Resposta natural: i2n
Pode-se ver a rede sem funo excitao (fonte de 10 V curto-circuitada):
Resposta forada: i2f
Olhando o circuito quando i2n= 0, nesta hora o indutor um curto, onde
Portanto,
( )tAi n 10exp2 =
2
12 =fi
4
4 8
i2f10 V+
( )2110exp222 +=+= tAiii fn
1 H4
4 8
i2n 1 H10 i2n
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A constante A determinada a partir da condio inicial i2
(0) = 1:
portanto, A = 1/2. Assim, a soluo dada por:
Obs.: O clculo de A deve ser feito sempre aplicando a condio inicial
resposta completa.
2
11 010 += Ae
( )2
110exp
2
12 += ti
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Exemplo: Clculo de ipara t> 0, dado que v(0) = 24 V
inpossui a mesma forma de vn, a resposta natural da tenso sobre o capacitor.
A resposta natural de cada corrente ou tenso no circuito tem a mesma forma
de vn, uma vez que nenhuma operao (adio, subtrao, diferenciao ou
integrao) altera a natureza da exponencial exp(-t/).
Constante de tempo no capacitor: = 0,2 s, portanto
v
i
+
4 0,02 F1 A
6
i = in + if
( )tAin 5exp=
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Regime permanente capacitor = circuito aberto
resposta forada, por inspeo:
Portanto,
Para avaliar o valor de A, precisamos encontrar i(0).
Para t = 0+, temos v(0) = v(0+) = 24 V
Somando as tenses ao redor da malha direita, temos:
[ ]A1=fi
( ) ( ) 15exp += tAti
( ) ( )[ ] 02401604 =++ ++ ii
30 =
+
i
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Substituindo esta corrente inicial na soluo , temos:
Portanto, A = 2 e
13 +=A
( ) [ ]A5exp21 ti +=
( ) ( ) 15exp += tAti
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Exemplo: Determinar ie v.
v+
20
0,02 F 6 A
10
t= 030
15
1 H
i
v
+
20 6 A
10
30
15 i
Circuito em regime permanente cc em t= 0
com a chave aberta.
Indutor = curto iindutor = i15 = i Capacitor = aberto v= v20
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=+
+= 20
3015
301510eqR
Por diviso de corrente,
v
+
20 6 A
10
30
15 i
i20
i10
[ ]A32020
20
610 =+=i [ ]A23015
30
3 =+=i
Portanto, i= 2 A e i20 = 3 A
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Ento, i(0) = 2 A e v= 20 3 = 60 V
Quando a chave fechada em t= 0, temos:
v+
20 0,02 F 6 A
10
t= 030
15
1 H
i
Rede RL sem fontes:i(0+) = i(0-) = 2 A.
( ) [ ]A15exp2 ti =
Rede RCexcitada com:v(0+) = v(0) = 60 V
( ) [ ]Vexp2040 tv +=
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8.7 Funo Degrau Unitrio
Funes singulares: funes de excitao que mudam seus valores
abruptamente.
Funo degrau unitrio:
( )
>
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Exemplo: Trem de pulsos retangulares
0
V
v2(t)
tt0 T T + t0 2T 3T2T + t0 3T + t0
( ) ( ) ( )[ ]
=
=
002
n
tnTtunTtuVtv
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Exemplo: Resposta vao degrau no circuito RC.
v+
Cvg= u(t)
R
+
Aplicando Lei de Kirchhoff de correntes:
0=
+R
vv
dt
dvC
g
( )0=
+
RC
tuv
dt
dv
( )tuRCRC
v
dt
dv 1=+
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Para t< 0, temos u(t) = 0, logo
Aplicando a condio inicial v(0) = 0, obtemos A = 0 e portanto
0=+RC
v
dt
dv
=RC
tAv exp
( ) 0=tv
Para t> 0, temos u(t) = 1, logo
RCRC
v
dt
dv 1=+
fn vvv +=
=RC
tAvn exp 1=fv
1exp +
=
RC
tAv
( )tuRCRC
v
dt
dv 1=+
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Aplicando a condio inicial v(0+
) = v(0
) = 0, obtemos A =
1 e portantopara t> 0, temos:
Para todo t, temos:
( )
=RC
ttv exp1
( )
>
0, ento u(t) = 1 e funo rampa( ) ( )ttutvRCV
=2
v2
tV
RC
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Exemplo: Clculo da tenso v(t), dado que i(0) = 0 e que a funo de
excitao ( ) ( ) ( )[ ] [ ]A110 = tututig
v(t)
i
+
3 ig(t)
5 H
2
0 t
10
ig(t)
1
No instante t= 1 s, ig(t) torna-se zero e a resposta simplesmente a resposta
sem fontes.
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Resposta ao degrau da forma: fn vvv +=
Soluo do problema envolve o clculo da resposta do circuito ao degrau
para t < 1 [s] para, em seguida, calcular a resposta sem fontes para t> 1 [s].
( )tAtAtL
RAv
eqn =
=
= exp
5
5expexp
1232
1032 =
+
=fv (por diviso de corrente e lei de Ohm)
( ) 12exp += tAv
Como i(0+) = i(0) = 0, ento v(0+) = v(0) = 0 A = 12
( )[ ]
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Para t> 1, temos:
( )tBv = exp
Em t= 1, temos:
como a corrente no indutor contnua, v(1) = v(1+).
Soluo para t> 1:
( )[ ]1exp1121 =v
( ) ( )[ ]tBv ==+ exp1121exp1
( )[ ]( )
( )[ ] ( )1exp1exp1121exp
1exp112=
=B
( )[ ] ( )[ ] 11exp1exp112 >= ttv
Soluo para todo t:
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )11exp1exp1121exp112 += tuttututv
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0 t
10
ig(t)
1
0 t
7,89
v(t)
1 2 3
( )[ ]texp112
( )[ ] ( )[ ]1exp1exp112 t
12
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8.9 Aplicao da Superposio
Aplicao da superposio para a obteno de solues de circuitos RCe RL.
Exemplo:
v(t)
i
+
3 ig(t)
5 H
2
( ) ( )11010 = tutuig 21 iiig +=
( )
( )110
10
2
1
=
=
tui
tui
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i
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v(t)
i
+
3 i1
5 H
2 i2
Pelo princpio de superposio, temos como sada:
Resposta devida ao degrau de corrente i1:
Resposta devida ao degrau de corrente i2: i2 o negativo de i1 atrasado de 1 s,
isto ,
Soluo geral:
21 vvv +=
( )[ ] ( )tutv = exp1121
( )[ ][ ] ( )11exp1122 = tutv
( )[ ] ( ) ( )[ ][ ] ( )11exp112exp112 = tuttutv
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Exemplo: Circuito com duas fontes independentes, tenso inicial sobre o
capacitor v(0) = V0.
Aplicando Lei de Kirchhoff de tenses na malha esquerda:
V1
i
I1
R1
R2+
C
+ v
( ) 12100211
IRVVidtC
iRR t
=+++ (K)
( )( ) ( ) ( )12100
211
KIRKVKVdtKiC
KiRRt
=+++ Note que a resposta de corrente torna-se Kiquando as fontes e a tenso inicial
do capacitor so multiplicadas por K(propriedade da proporcionalidade)
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Empregando o princpio da sobreposio para a determinao de v:
Tenso sobre o capacitor devido somente a fonte de tenso:
V1
R1
R2+
C
+ v1
Tenso inicial sobre o capacitor = 0, ento
( )
+=
CRR
t
Vv 2111 exp1
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T b i d id f d
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Tenso sobre o capacitor devido somente a fonte de corrente:
I1
R1
R2
C
+ v2
Tenso inicial sobre o capacitor = 0, ento
( )
+=
CRR
tIRv
21
122 exp1
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T b it d f t
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Tenso sobre o capacitor sem a presena das fontes:
Tenso inicial sobre o capacitor v3(0) = V0, ento
( )
+=
CRR
tVv
2103 exp
R1
R2
C
+ v3
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Resposta completa: 321 vvvv ++=
( ) ( ) ( )
++
+
+=
CRR
tV
CRR
tIR
CRR
tVv
210
2112
211 expexp1exp1
( )( )
+=
CRR
tVIRVIRVv
210121121 exp
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O t l
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Outra soluo:
Por inspeo verifica-se que a soluo consiste de uma resposta forada vfe
uma resposta natural vn :
Superposio para encontrar vf: 21 fff vvv +=
V1
R1
R2+
C
+ v1
I1
R1
R2
C
+ v2
11 Vvf = 122 IRvf =
121 IRVvf =
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Resposta natural vn :
R1
R2
C
+ v3
( )
+
=
CRR
tAv
n 21
exp
( )
++=
CRR
tAIRVv
21121 exp
Como v(0) = V0, temos
Ento,
01121210 VVIRAAIRVV +=+=
( ) ( )
+++=
CRR
t
VVIRIRVv 210112121 exp