*spanishcaptions [unicode, charset=utf8, fontenc=EU1 EU2]spanishstringprocess BibliographyBibliografaChapterCaptuloAppendixApndiceList
of Figuresndice de figurasList of Tablesndice de cuadrosIndexndicealfabticopginavasevase tambinDemostracinContentsndicegeneral
*spanishcaptionsspanishstringprocess PrefacioReferenciasAbstractResumenBibliographyBib-
liografaChapterCaptuloAppendixApndiceList of Figuresndice de figurasListof Tablesndice de cuadrosIndexndice alfabticoFigureFiguraTableCuadroPart-ParteAdjuntoCopia aApginavasevase tambinDemostracinGlosarioCon-tentsndice general *spanishdate
month1nameenero,febrero,marzo,abril,mayo,junio,julio,agosto,septiembre,octubre,noviembre,diciembreucmonth1nameEnero,Febrero,Marzo,Abril,Mayo,Junio,Julio,Agosto,Septiembre,Octubre,Noviembre,DiciembreApril 28, 2015
1
ClculoVectorial
Ing. Edison Javier Guamn
Contents
1. Definiciones Bsicas 21.1. Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Funcin de REA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Clculo de reas en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . 4
1.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2. Hallar el rea de la regin acotada por las siguientes
parbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Integrales Impropias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Clculo de reas de curvas dadas paramtricamente . . . . . . 15
1.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6. Clculo de areas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1. Discucion de una ecuacion en Coordenadas polares . . 261.6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
Chapter 1
Definiciones Bsicas
1.1. Integral Definida
Dada una funcin f(x) de variable real y un intervalo [a, b] R, la integraldefinida es igual al rea limitada entre la grfica de f(x), el eje de abscisas, yrectas x = a y x = b
Se representa por baf (x) dx
1.2. Funcin de REA
2
Sea f(t) una funcin continua en el intervalo [a, b]. A partir de estafuncin se define la funcin de rea:
F (x) = xaf (t) dt
que depende del lmite superior de integracin.
Geomtricamente la funcin integral, F(x), representa el rea del recintolimitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
A la funcin integral, F(x), tambin se le llama funcin de reas de f enel intervalo [a, b].
1.2.1. Ejemplos1. 12
dx(x1)3
=[ 1
2(x1)2]12
= 12[
1(2)2 1(3)2
]= 572
2. 3
2xx21dx
= 12 3
2 2x (x2 1) 12 dx
3
=[x2 1
]32
=
83
3. pi
0 sen2x dx
= pi
0
(1cos2x
2
)dx
=[x2 14sen2x
]pi0
= pi2
4. 4
0 xx2 + 9dx
= 12 4
0 2x (x2 + 9)
12 dx
=[
13 (x
2 + 9)32
]40
= 13[(25)
32 9 32
]= 983
1.3. Clculo de reas en coordenadas carte-sianas
4
dA = f(x1)dx
A = limx+
ni=1
f(xi)dx
A = baf(x)dx A = b
af(x) 0)dx
Si f(x) es positiva, el rea es positivaSi f(x) es negativa, el rea es negativa
A = ba
0 f(x)dx
A = ab
f(x)dx
1.3.1. Ejercicios
Calular el rea del tringulo
5
m1 = 15y 3 = 15(x+ 2)
y 3 = x5 25
L1 = x5 +135
m2 = 53y 3 = 53(x+ 2)
y 3 = 53x103
L2 = 53x13
m3 = 2y 2 = 2(x 3)
y = 2x 6 + 2L3 = 2x 4
A = 12
[(x5 +
135
)(53x
13
)]dx+
31
[(x
5 +135
)(53x 2x 4
)]dx
A = 12
(3x+ 25x+ 39 + 515
)dx+
31
(x+ 10x+ 13 + 205
)dx
A = 115
12
(22x+ 44) dx+ 15
31
(9x+ 33) dx
A = 115(11x2 + 44x)
]12
+ 15
(92x
2 + 33x) ]3
1
A = 115(11 + 44 44 + 88) +15(
812 + 99
92 33)
A = 115(99) +15(102) = 27u
2
1.3.2. Hallar el rea de la regin acotada por las si-guientes parbolas
C =y2 = xx = 2y2 + 3
6
x h = 4p(y k)2x 3 = 2y
(1) = (2)y2 = 2y2 3
3y2 + 3 = 0y2 + 1 = 0
y = 1
Ay = 11
(f(y) g(x)) dy
Ay = 11
(2y2 + 3 y2
)dy
Ay = 11
(3y2 + 3
)dy
Ay = y3 + 3y]11
Ay = 1 + 3 (1 3)Ay = 4u2
7
Calular el rea de la regin comprendida entre las cur-vas, en el intervalo de [ 0 , ]
C =f(x) = sen(x)g(x) = cos(x)
A =
40
[cos(x) sen(x)] dx+ pi
4
[sen(x) cos(x)] dx
Ay = sen(x) + cos(x) ]40 + (cos(x) sen(x)) ]4
A =
22 +
2
2 0 + 1 + 1 0(22
2
2
)A =
2 1 + 1 +2 = 22u2
Calular el rea de la regin comprendida entre las cur-vas, entre las rectas x=-1 y x=1
C =f(x) = exg(x) = ex
8
A = 01
(ex ex
)dx+
10
(ex ex
)dx
A = ex ex]01 + e
x + ex]1
0
A = (e 1
e
)+ e+ 1
e
A = 2e+ 2e
A = 2e2 + 2e
= 6, 17u2
Hallar el rea comprendida entre las siguientes curvas:
C =
x2 + y2 = a2x2
b+ y
2
a= 1
9
A = b
0
a
1 x2
b2
dx+ a0
(a2 x2
)dx
A = ab
b0
(b2 x2
)dx+
a0
(a2 x2
)dx
cambio1 : x = bsen(u) dx1 = bcos(u)ducambio2 : x = asen(m) dx2 = acos(m)dm
A = ab
2
0
1 + cos2(u)2 du+ a
2
0
1 + cos2(m)2 dm
A = ab(
1u2 +
sen(2u)4
) ]2
0+ a
(1m2 +
sen(2m)4
) ]2
0
A = ab(
4
)+ a
(4
)
A = ab4 (1 + a)u2
Encontrar el rea de la regin determinada por las si-guientes curvas:
C =
y =x
2y =| 1 x |
10
A = 1
12
(x
21 + x)dx+
21
(x
21 + x)dx
A = 12
112
(x)dx
112
(1 x) dx+ 12
21
(x)dx+
21
(1 + x) dx
A = 23
2(x
32) ]1
12(x x
2
2
) ]112
+ 23
2(x
32) ]2
1+(x+ x
2
2
) ]21
A = 0.305(
1 12 12 +
18
)+ 0.86 +
(2 + 2 + 1 12
)A = 0.305 18 + 0.86 +
12 = 1.54u
2
1.4. Integrales Impropias.1.4.1. Ejercicios
1.1 Calcular el rea de la regin determinada por lasiguiente curva y el eje x
y = a3x2+a2
======> el eje x es una asintota horizontal.x2y + (a2y a3) = 0
11
x =
a3a2yy
a2(ay)y o
() 0(+) a()Por ser Funcion par = Puede ser 2 veces la integral.A = 0 f(x)dx+
+$0 f(x)dx = 2
+$0 f(x)dx
2 +$
0a3
x2+a2dx=2a3limb$
b0
dxx2+a2[
limb$2a3( 1a)arcTang(xa)]|b0=
[limb+$2a2arctang(xa)
]|$0
=2pia2
1.2
y = ln(x)y = 00 x eA = 0
1 ln(x)dx+ e
1 ln(x)dxA = lim0
01 ln(x)dx+
e1 ln(x)dx
A = lim0 [xln(x) x] |1 + [xln(x) x] |e1A = [1] + [1] = 2u2
12
1.3
1. 1. 2. 3. 4. 5. 6.1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
0
y = xln(x)[(1+x2)2]0 = xln(x)x = 0x = e0x = 1limx$
xln(x)(1x2)2 = 0
A = 01 xln(x)(1+x2)2dx+ $
1xln(x)
(1+x2)2dx
u = lnx du = 1xdx
dv = xdx(1+x2)2 v =1
2(1+x2)
A1 = ln(x)2(1+x2) 12
dxx(1+x2)
x = 1tan(z)dx = Sec2(z)dz
dxx(1+x2) =
Sec2(z)dz
tan(z)(1+tan2(z)) =
Sec2(z)dztan(z)(Sec2(z))
A1 = ln(x)2(1+x2) 12
dztan(z)
A1 = ln(x)2(1+x2) 12 ln | sen(z) |A1 = [ ln(x)2(1+x2) 12 ln | x1+x2 |] |01
13
1.4Sea f(x)=x+ 12(x1)2
y = f(x) ===>su Asintotax = 2x = 2Calcular el limite del area cuando $2x(x1)2+12(x22x+1) =
2x34x2+2x+12x24x+2
2x24x+2x
= 1===>AsintotaA = $
2dx
2(x1)2
A = 12 $
2dx
(x1)2
A = 12 limb$ b
2dx
(x1)2
A = 12 limb$[1
(x1) ] |b2A = 12 limb$[ 1(b1) 11 ]A = 12 [0 11 ]A = 12u
2
1.5
15.jpg
y2 = x32ax====>Simetrica al eje xy =
x3
2axx3
2ax 0A = 2
2a0 x
x
2axdx
14
x = z2
dx = 2zdzA = 2
z2z2zdz
2az2 = 4
z4dz2az2
z =
2a sin()dz =
2a cos()
A = 4 4a2sin4()2acos()d
2a2asin2()
A = 16a2sin4()d = 16a2
(1cos(2)2 )
2d
A = 4a2
(1 2cos(2) + cos2(2))dA = 4a2
[ 2sin(2)2 +
1+4cos()2 d
]A = 4a2
[ sin(2) + 12( + sin(4)4 )
]A = 4a2
[ sin(2) + 12 + sin(4)8 )
]A = 4a2
[32 sin(2) + sin(4)4 )
]A = 4a2 limb$
[32 sin(2) + sin(4)4 )
]|b0
A = 4a2[
32 sin(2) + sin(4)4 )
]|pi20
A = 4a2[
3pi4
]= 3a2pi
1.5. Clculo de reas de curvas dadas para-mtricamente
Una curva plana C se determina mediante un par de ecuaciones param-tricas
C =x = g(t)y = h(t) , t1 t t2
donde g(t) y h(t) son continuas y no negativas para t [t1; t2]. Si A unidadescuadradas es el rea de la regin limitada por C, el eje X y las rectas x =a = g(t1), X = b = g(t2), entonces
A = t2t1
h(t)g(t)dt
Al utilizar el concepto y la interpretacin geomtrica de integral definida,vamos a exponer el mtodo general de clculo de las reas de figuras planas.
15
Supngase que f(x) es continua y f(x) 0 en el intervalo cerrado [a, b].Entonces la regin R bajo la curva y = f(x), entre x = a y x = b, tiene unrea definida de la siguiente manera
Ax = ba
f(x) dx
Usando la definicin de funcin compuesta tenemos
se sabe x = g(t)y = h(t) , t1 t t2, dx = g(t)dt
16
Entonces utilizando la definicin de integral indefinida se tienef(x) dx = F (x) + C
f(g(t))g(t)dt =
f(g(t))d(g(t))dt = F (g(t)) + C
Ax = ba
f(x)dx = F (b) F (a)
= t2t1
f(g(t)) g(t)dt, conX = a = g(t1), X = b = g(t2)= F (g(t2)) F (g(t1))
Ax = t2t1
h(t)g(t)dt
Ay = t2t1
g(t)h(t)dt
Considerando los diferenciales dx y dy respectivamente
Probar que el rea expresada como una integral de lneaesta dada por
A(R) =
R
dxdy = 12
C
ydx+ xdy
SolucinConsideremos como una aplicacin del Teorema de Green, para lo cual se
define:
17
DefinicinUna curva de Jordan es una curva C cerrada simple plana, tal que si se larecorre en sentido contrario al de las agujas del reloj, la regin R interior aC siempre se encuentra a la izquierda.
TEOREMA Sean P y Q campos escalares derivables con continuidaden un conjunto abierto S del plano xy. Sea C una curva de Jordan regular atrozos, y representemos por R la reunin de C y de su interior. Supongamosque R est contenida en S, entonces se tiene:
R
(Q
x Py
)dxdy =
C
Pdx+Qdy
en que la integral de lnea se toma alrededor de C en sentido contrario alde las agujas del reloj.
Para expresar el rea como una integral de lnea. Sea R una regin planaen el plano xy, entonces el rea de R puede expresarce en la forma:
a(R) =
R
dxdy =
R
(Q
x Py
)dxdy donde
(Q
x Py
)= 1
Se puede tomar P (x, y) = y2 , Q(x, y) =x
2 . Si R es la regin encerradaen una curva de Jordan C, entonces por el teorema de Green se tiene:
a(R) =C
Pdx+Qdy = 12
C
ydx+ xdyTambin se pueden dar otras expresiones para el rea de R. Sin embargo
se acostumbra a utilizar esta expresin para calcular el rea de la regininterior de un lazo en curvas dadas paramtricamente con su generacin enforma antihoraria.
Calcular y comprobar que las coordenadas del centro degravedad de la regin acotada por las curvas son iguales
x2 = 1 + 2yy2 = 1 + 2x18
SolucinProcedemos a realizar el grfico de las curvas
2. 1. 1. 2. 3.
2.
1.
1.
2.
3.
0
x2 = 1 + 2y
y2 = 1 + 2x
y = x
a
Parametrizando las curvas, se tiene:
x2 = 1 + 2y x = t
y = t2 1
2
y2 = 1 + 2xy =
x = 2 1
2
Para calcular el rea se necesita los puntos de corte.Resolviendo el sistema ecuaciones se tiene:
(x1; y1) = (0.414214;0.414214)(x2; y2) = (2.414214; 2.414214)
Una curva plana C se determina mediante un par de ecuaciones paramtricas
C =x = g(t)y = h(t) , t1 t t2
19
donde g(t) y h(t) son continuas y no negativas para t [t1; t2]. Si A unidadescuadradas es el rea de la regin limitada por C, el eje X y las rectas x =a = g(t1), X = b = g(t2), entonces
A = t2t1
h(t)g(t)dt
Aplicando la definicin para el clculo de reas de curvas dadas parametri-camente, se tiene:
A = 2.4140.414
2d 2.4140.414
t2 12 dt
A = 3.771294u2
Aplicando la definicin para el clculo de momentos de curvas dadasparametricamente, se tiene:
Mx =12
ba
y2dx
Mx =12
2.4140.414
3d 12 2.4140.414
(t2 1)2dtMx = 3.01699u3
My =12
ba
xydx
My =12
2.4140.414
(2 1)2d 12 2.4140.414
t(t2 1)dtMy = 3.01699u3
X = MyA
= 3.016993.77124 = 0.79999
Y = X = 0.79999
1.5.1. Ejercicios
Utilizando las identidades trigonomtricas pitagricas
cos2(t) + sen2(t) = 1
f(x, y) =x = acos(t)y = asen(t)
20
Ax = 0
2
asen(t)(asen(t))dt
Ax = 0
2
a2sen2(t)dt
Ax = a2 0
2
1 cos2(t)2 dt
Ax = a2(
1t2
1sen(2t)4
) ]02
Ax = a24 u
2
Ay =
2
0acos(t)(acos(t))dt
Ay =
2
0a2cos2(t)dt
Ay = a2
2
0
1 + cos(2t)2 dt
Ay = a2(
1t2 +
1sen(2t)4
) ]02
Ay =a2
4 u2
f(x, y) =x = asen(t)y = acos(t)
21
Ax = 0
2
acos(t)acos(t)dt
Ax = a2 0
2
1 + cos(2t2 )dt
Ax = a2(
1t2 +
sen(2t)4
) ]02
Ax =a2
4 u2
Ay =
2
0asen(t)(asen(t))dt
Ay = a2
2
0
1 cos2(t)2 dt
Ay = a2(
1t2
cos(2t)4
) ]2
0
Ay =a2
4 u2
22
Ax = a2 3
2
0cos2(t)dt
Ax = a2 3
2
0
1 + cos(2t)2 dt
Ax = a2(
1t2 +
sen(2t)4
) ] 32
0
A = a2 34u2
Ay = a2 0
32
sen2(t)dt
Ay = a2 0
32
1 cos(2t)2 dt
Ay = a2(
1t2
sen(2t)4
) ]032
A = a2 34u2
f(x, y) =x = asen(t) + hy = bcos(t) + k
23
Ax = 0
ydx
2
ydx
Ax = [
0ydx+
2
ydx
]
Ax = 2
0ydx
Ax = 2
0[k + bsen(t)] [asen(t)] dt
Ax = 2
0
[kasen(t) absen2(t)
]dt
Ax = 2
0
[kasen(t) + ab1 cos(2t)2
]dt
Ax =(kacos(t) + abt2
sen(2t)4
) ]20
A = ka+ 2ab2 kaA = abu2
Cicloide
f(x, y) =x = a(t sen(t))y = a(1 cos(t))
24
Ax = 2
0ydx
Ax = 2
0a(1 cos(t)a(1 cos(t))dt
Ax = a2 2
0(1 2cos(t) + cos2(t))dt
Ax = a2 2
0
((1 2cos(t) + 1 + cos(2t)2
)dt
Ax = a2(t 2sen(t) + 12t+
14ssen(2t)
) ]20
Ax = a2(2 + ) = 3a2u2
f(x, y) =x = 4t2 4ty = 1 4t2
1.6. Clculo de areas en coordenadas polares
25
1.6.1. Discucion de una ecuacion en Coordenadas po-lares
1. cambio de variablesr2 = x2 + y2
x = rcos()y = rsen()
2. Intersecciones
Polar
= 0 + npi;nZE. normal
= pi2 + npi;nZ
3. Simetria
Eje polar
r() = r()r(pi ) = r()
Eje normal
r(pi ) = r() r() = r()Polo
r() = r() r(pi + ) = r()4. Tabulacion En general el punto (r; ) puede expresarse como: (r; ) =
(r; + 2npi) o (r; ) = (r; + (2n+ 1)pi)5. Graficos
26
6. formulas
Sea r = r() la ecuacin en coordenadas polares de una curva ysupongamos que r() es continua en el intervalo cerrado [, ]. Sedefine el area de la region limitada por las curvas y las semirrectasde ecuaciones = y = como la integral:
12 r()2d
El area de la region limitada por las curvas de ecuaciones polaresr = r1()yr = r2() y los rayos de ecuaciones = y = sedefine como la integral:
12
(r2()2 r1()2)d
1.6.2. Ejerciciosr1 = 6cos() y r2 = 2 2cos()
27
A2 =
12
(6cos())2d + 12
(2 2cos())2ddonde = pi2 ; = 2pi3 ; = pi; = 2pi3
6cos() = 2 2cos()6cos() + 2cos() = 2
4cos() = 1cos() = 12 = 23pi
A2 =
12
(6cos())2d + 12
(2 2cos())2d como = = 12
(4 8cos() + 4(cos())2)d= 12
(6 8cos() + 3cos2())d= ([6() 8sen() + sen2()] con = pi)([6() 8sen() + sen2()] con = pi2 )
=3pi + 1
r1 = 3cos(3) y r2 = 2
28
A6 =
12
22d + 12
(3cos(3))2d
y =23 = cos(3)arcos(23) = 3 = 0, 28
A6 =
12
4d + 12
9cos(3)2dA6 =
12
4d + 12
9(1+cos6()2 )d
= 12
4d + 12
9(1+cos6()2 )d
= 12 [4] con =0,28 +94 [ +
sen66 ](con =
pi6 ) - (y con = 0, 28)
= 0,7368
r = asec2( 2) y y = x
= acos2(
2 )= 2a1+cos()
29
r + rcos() = 2ar = 2axx2 + y2 = 2ax
y2 = 4a(x a)
A=12
(asec2( 2)2)d
a22
(1 + tg2( 2))sec2( 2d
a22 sec2( 2) + tg
2( 2)sec2( 2)d
a2
2 [2tg2( 2 +
23tg
3( 2 ] (con =pi2 ) -
(con = pi4 )= 1,79
1.7. Ejercicios Propuestos1. Hallar el rea comprendida entre la parbola y = x2 + 4x 3 y las
rectas tangentes a esta en los puntos (0,3) y (3, 0).2. Clcular el rea de la regin comprendida entre las curvas y = x2 1
y y = 3x2+1 .
3. Clcular el rea de la regin delimitada por la astroide x 23 + y 23 = a 23 .
4. Clcular el rea del tercer cuadrante comprendida entre las curvas:r1 = sec(3) y r2 = 2.
5. Clcular el rea de la regin interior a la curva r1 = 2[1 + sen()] yexterior a la curva r2 = sec(3).
6. Clcular el rea de la regin comprendida entre r1 = 1 , r2 =1
sen() ,(0 < pi2 ).
7. Clcular el rea del circulo x2 + y2 = a2 en paramtricas
8. Clcular el rea de la regin interior a la curva definida por:
x = 2acos(t) + acos(2t)
y = 2asen(t) asen(2t)9. Clcular el rea de la regin delimitada por la curva dada por: x =
2t t2 , y = 2t2 t3
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10. Clcular el rea de la regin comprendida en el folium de Descartes,cuyas ecuaciones paramtricas son:
x = 3at1+t3
y = 3at21+t3
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