8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
1/30
(1)
Rela ia (1) esteț ecua ie recursivă.ț
(2)
Rela ia (2) esteț ecua ie cu diferen e de ordin unu.ț ț
În ecua ia (1)ț poate filiniară/neliniară.
Ecua ia dinamică liniară discretă de ordinul doi, neomogenă, cu coeficien i constan i:ț ț ț
Rezolvarea ecua iilor liniare dinamice discrete cu coeficien i constan i:ț ț ț
1. Rezolvăm ecua ia omogenă:ț
1
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
2/30
Căutăm o solu ie de formaț :
Împăr im ecua ia laț ț :
ecua ia caracteristică.ț
, rădăcini reale distincte
rădăcini reale egale
rădăcinicomplee con!ugate.
"orma polară a numerelor complee:
2
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
3/30
#eorema lui $oivre:
cu ișconstante complee.
Înlocuind %n solu ie i făc&nd calculele o' inem:ț ș ț
cu iș constante reale.
olu ia particulară prin metoda coeficien ilor nedetermina i:ț ț ț
3
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
4/30
se consideră de forma termenului li'er i se pune condi ia ca ea să verifice ecua iaș ț țneomogenă.
Echilibrul i stabilitatea sistemelor dinamice discrete ș
Considerăm sistemul dinamic discret
este punct de ecili'ru, fi sau sta ionar, dacă i numai dacă:ț ș
ta'ilitatea*insta'ilitatea punctelor fie:
+ dacă , atunci este asimptotic sta'il i este punct fi de tipșatractor
+ dacă , atunci este asimptotic insta'il i este punct fi de tipșrepelor
4
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
5/30
istem sta'il, punct fi atractor
istem insta'il
-unct fi repelor
5
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
6/30
-unct fi atractor, local asimptotic sta'il (traiectoria tinde către traiectoria sta ionară dacăț punctul ini ial este %ntr+o vecinătate a punctului sta ionar de tip atractor).ț ț
-unct fi atractor,glo'al asimptotic sta'il (traiectoria tinde către traiectoria sta ionară dacăț punctul ini ial este %n orice vecinătate a punctului sta ionar de tip atractor).ț ț
EE$-/E
1. 0o'&nda compusă0acă este capitalizată anual la o rată a do'&nzii r pentru un număr de ani t ,atunci plata totală după t ani este:
0acă do'&nda este capitalizată de m ori %n fiecare an, atunci suma totală este:
Rata anuală efectivă a dobânzii%n cazul capitalizării de m ori anual este:
Împăr im la :ț
6
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
7/30
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
8/30
au mai general ecua ia recursivă:ț
Considerăm cazul particular:
at =a pentru to iț t :
Rezolvarea ecua iei omogene:ț
olu ia generală a ecua iei omogene:ț ț
plicăm condi iile Cauc8ț :
olu ia:ț
-unct fi:
8
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
9/30
tunci:
Condi ia necesară i suficientă de sta'ilitate a traiectoriei:ț ș
.
Încazulnostru :
-entru sistemul este sta'il, mi carea esteșconvergentă, oscilantă.
-entru sistemul este sta'il, mi carea este monotonă,șconvergentă.
-entru sistemul este insta'il, mi care este eplozivă.ș
Eemplu:
9n investitor face un depozit ini ial 1.u.m.pe ; ani i un depozit anual suplimentarț șde:2;u.m.Rata do'&nzii pe pia a monetară este de ;4 pe an.țe cere valoarea depozitului după ; ani:cuY 1. , at a2; to iț t ișb (1 < r ) 1.;.
9
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
10/30
olu ia:ț
Valoarea prezentă i rata internă a dobânzii ș
-lă ile viitoare c&nd do'&nda este capitalizată sunt:ț
=aloarea prezentă a sumei , este:
În acest caz r se nume teș rată de scont .
uma (-=+-) se nume teș taxă de scont.
pera iunea de scont !sau de scontare":ț cumpărarea de către o 'ancăcomercială aunorpoli e (sau 'ilete la ordin,citan e sau scrisori de scim', efecte comerciale)ț ț%nainte de scaden ă, cu re inerea din valoarea lor nominală, a do'&nzii p&nă laț țscaden ă i a unui comision.ț ș
Anuitate:
#nuitate #: o serie de plă i %n valoare făcute la intervale constante de timp deț n perioade.
10
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
11/30
"iecare plată este afectată de o do'&ndă de la data c&nd este făcută p&nă la sf&r itul celorș n perioade.9ltima perioadă nu este afectată de do'&ndă.=aloarea viitoare este "=, la sf&r itul celorș n perioade:
olu ia, respectiv suma primilorț n termeni ai unei progresii geometrice crescătoare infinite:
=aloarea prezentă, %mpăr im "= laț :
Cu solu ia, respectiv suma primilorț n termeni ai unei progresii geometrice descrescătoareinfinite:
Eemplu:
uma de 1 u.m. este depusă la 'ancă la sf&r itul fiecărui an %ntr+un cont de economii i %iș șeste aplică do'&nda capitalizată de >,;4 anual.
a) Care este suma din contul de economii la sf&r itul anului al 1+lea?ș ') Care este suma irului de valori prezente?ș
11
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
12/30
a)
$aloarea prezentă netă:0iferen a %ntre valoarea reală a 'eneficiului i valoare reală aț școstului
'eneficiul
costul
valoarea prezentă a 'eneficiilor %n fiecare an t
valoare prezentă a costurilor %n fiecare an t.
=aloarea prezentă netă pe o perioadă de n ani:
0acă %&$ @', proiectul de investi ii va fi adoptat.ț
(xemplu:
Aportunitatea acizi ionării unei ma ini cu costulț ș 5u.m.care va duce la cre tereașvenitului cu 3;u.m.%n fiecare an pentru următorii 1 ani. 0upă ; ani eistă o celtuialăde %ntre inere deț ;u.m. Rata de scont considerată este de 64.
0ecizia de investire se va lua %n func ie de valoarea prezentă netă:ț
12
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
13/30
0eci:
Este necesar să se facă ipoteze asupra ratei de scont, ceea ce introduce o dificultate ma!oră.
A alternativă este de a calcula rata internă a dobânzii !R)*":rata de scont care dă o valoare prezentă netă egală cu zero.
R0B este rata de scont r , care satisface:
În mem'rul st&ng avem un polinom de grad n, eistă deci n solu ii posi'ile.ț
-entru decizia de investi ii de la eemplul precedent avem:ț
Ecua ia are 6 solu ii complee i una negativă.ț ț șingura solu ie reală pozitivă este:țrRB0 ,1132, rRB011,324
Exemplul 2:
Cre terea +altusiană a popula ieiș ț
Bpoteză: %ntre t- iș t , cre tereaș popula iei este propor ională cu nivelul ini ial al popula iei, ț ț ț ț @ este factorul de
propor ionalitate:ț
Este ecua ia cu diferen e, liniară de ordinul unu, omogenă, cu solu ia analitică:ț ț ț
13
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
14/30
-unct fi:
ta'ilitatea:
sistem asimptotic insta'il, punctfi repelor.
#emă:-entru modelul lui $altus considerăm datele:D1,;- 1Calcula i popula ia pentru t1,..,1, face i graficul, calcula i punctul fi, analiza iț ț ț ț țsta'ilitatea.
Exemplul 3
+odelul arrod *omar, varianta discretă
A' inem o ecua ie cu diferen e de ordinul unu, liniară, omogenă:ț ț ț
Cu solu ia:ț
14
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
15/30
sistemul este sta'il,
sistemul este insta'il.
-unct fi:
emă:
crie i traiectoria de evolu ie a venitului, calcula i punctul fi, analiza i sta'ilitatea (tipul deț ț ț ț punct fi), face i graficul traiectoriei pentruț t 1+1
Aproximarea liniară a ecua iilor neliniare cu diferen eț ț
"orma generală a ecua iei de ordin unu, neliniară:ț
Eistă punct fi, dacă:
to i t.ț
proimarea liniară de ordinul unu:
15
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
16/30
Bgnor&nd restul, o' inem:ț
Care este o ecua ie cu diferen e liniată, cu coeficien i constan i, neomogenă.ț ț ț ț
Exemplu:
Modelullui Solow ntimpdiscret
Întimpdiscretavem: venitul la momentult esteprodusde com'ina ia de factoriaianului precedent.ț
func ia deț
produc iemacroeconomică per capita, cuț iș
ratadeprecieriicapitalului fi,
-opula iacre te cu o ratăconstantăț ș n:
dicăindicele de dinamicăeste:
16
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
17/30
Economiilesunto pondere s din venit isuntegale cu investi iile:ș ț
0e unde:
Împăr im am'ii mem'rii la /ț t+1:
A' inem:ț
au:
Eplicităm capitalul per capita:
17
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
18/30
În cazul func iei de produc ie Co''+0ouglas per capita cu randamente constante la scală:ț ț
Ecua ia de dinamică a capitalului per capita:ț
au:
0eci:
olu ia sta ionară:ț ț
18
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
19/30
vem două puncte fie:
0ezvoltarea #a8lor %n !urul punctului :
proimarea liniară este:
Întruc&t este punct fi, , deci:
Rela ie care reprezintă aproimarea liniară a ecua iei de evolu ie a capitalului per capita.ț ț ț
Rescriem ecua ia %n forma:ț
19
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
20/30
Este o ecua ie cu diferen e liniară, de ordinul unu, neomogenă.ț ț
otăm:
Ecua ia devine:ț
eminar:
1. Considerăm ecua ia capitalului per capita:ț
0etermina i traiectoria de evolu ie a capitalului per capita.ț ț
2. Considerăm valorile:
a. crie i modelul lui olo7 %n mărimi per capita.ț
'. 0etermina i numeric punctele fie ale func ieiț ț :
20
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
21/30
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
22/30
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
23/30
investi iilesuntfunc ie de sporula'solut alț ț
venitului%nintervalul , @ este coeficient de accelerare care arată vitezade transformare a sporului de venit %n investi ii.ț
investi ia autonomă cre te cu o rată constantăț ș g .
u'stituind %n ecua ia de distri'u ie a venitului o' inem:ț ț ț
au, rearan!&nd termenii:
ecua ia omogenăț
"acem ipoteza că solu ia este de forma:ț
-unem condi ia să verifice ecua ia omogenă:ț ț
23
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
24/30
para'olă conveă care intersectează a'scisa (aa A) %n două puncte
, unde este propensitatea marginală către
economii
%n afara rădăcinilor lui . Rădăcini reale i diferite ale ecua ieiș ț
caracteristice: ,
, %ntre rădăcinile lui , rădăcini complee con!ugate ale ecua ieiț
caracteristice ,
24
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
25/30
pentru rădăcinile lui , , rădăcinile
ecua iei caracteristicevor fi reale i egaleț ș
Fonele de sta'ilitate:
Zona A:
$i care monotonă:ș mi careamortizată*convergentăș
olu ia:ț
Zona B:
modulul numărului comple
25
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
26/30
argumentul numărului comple
mi care oscilantă convergentăș
Zona C:
Rădăcini complee con!ugate:
mi care oscilantă divergentăș
Zona D:
, mi caremonotonădivergentăș
olu ia:ț
Zona H:
26
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
27/30
$i care oscilantă cu amplitudine constantă.ș
Zona E:
Rădăcini reale egale:
$i caremonotonădivergentăș
Zona F:
Rădăcini reale egale:
$i caremonotonăș convergentă.
0eterminarea solu iei particulare:ț
Căutăm o solu ie particulară de forma termenului li'er:ț
-entru determiarea constantei 0, utilizăm metoda coeficien ilor nedetermina i:ț ț
-unem condi ia caț să verifice ecua ia neomogenă:ț
27
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
28/30
plica ie numerică (seminar):ț
crie i ecua ia de dinamică a venitului i determina i traiectoria venituluiț ț ș ț
naliza i sta'ilitatea traiectorieiț
Calcula i valorile indicatorilor din ta'el pentru t,1,G,1 i face i graficele.ț ș ț
ecua ia caracteristică.ț
28
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
29/30
modulul numărului comple
argumentul
plicăm condi iile Cauc8:ț
A's:
29
8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod
30/30
Top Related