Applications en Finance
Algebre lineaireRegressions
….A quoi cela peut il me servir?
Utilisation
1) Permet de simplifier l’ecriture de systemes lineaires
• Interpretation geometrique?
253
2422
13
zyx
zyx
zyx
2
2
1
531
422
311
z
y
x
11 1 3 1 0.375
2 2 4 2 0.125
1 3 5 2 0.25
x
y
z
2) Covariance d’un Portefeuille
• Variance
• Covariance: Comment deux variables different l’une par rapport a l’autre
cov(X,Y) = 0: Independance
)1(
)(1
2
2
n
XXs
n
ii
)1(
))((),cov( 1
n
YYXXYX
n
iii
Terminologie
Exemple 3 actifs (x,y,z):
),cov(),cov(),cov(
),cov(),cov(),cov(
),cov(),cov(),cov(
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
C
cov(x,x) variance des rendements de l’actif x
Covariance d’un Portefeuille
]1.03.04.0[w
Ecart Type CorrelationS&P 500 15.50 1.00 0.90 0.75S&P MidCap 400 18.50 0.90 1.00 0.80U.S. Small Stk 22.50 0.75 0.80 1.00
CovarianceS&P 500 0.02 0.026 0.026156S&P MidCap 400 0.03 0.034 0.0333U.S. Small Stk 0.03 0.033 0.050625
Poids
Variance du Portfeuille
0177.0
1.0
3.0
4.0
0.0506250.03303.0
0.03330.03403.0
0.0261560.02602.0
1.03.04.0'
ww
3) Optimisation
• Markowitz
'2
)(
)(
wwRwEEU
EUArgMaxw
• Solution en absence de contraintes
')(0 wRE
w
EU
1)(1
' REw opt
4) Optimisation sous ContrainteMinimisation du risqueSous contraintes:Sigma(poids)=100%Objectif de rendement
Markowitz(1952)
4) Modeles a facteurs
Gestionnaire de portefeuille actions• Comment calculer l’inverse d’Omega en
presence d’un nombre important d’actions• Covariance historique?
– Nbre d’observations temporelles– Nbre d’actions– Pb: Si N>T, la matrice est singuliere non-inversible
• Avons nous un echantillon temporel representatif?
• Solution: Modele a Facteur– Reduire les dimensions du probleme– Capturer neanmoins la structure du risque parmi les N actions
• Modele a une facteur: CAPM (k=1)• Modele multifacteur: APT
– Arbitrage Pricing Theory
• BARRA: k=68• B=sensitivite de chaque actif pour une source de risque• F= rendement associe a une exposition a ce risque
R=BF+E
Facteurs1) Methode statistique
– Considerer l’ensemble des actions– Decomposition en valeurs principales– Retenir les k premiers vecteurs propres
• Probleme– Pas d’intuition economique / Financiere– Sur 2 periodes, aucune garantie que le meme facteur represente la
meme source de risque• 2) Facteurs “economiques”
– Chen, Roll and Ross (JofF, 1986)– Taux d’interet, croissance, inflation, tx de change
• 3) Facteurs Specifiques– Size and Style (Fama-French)– Autres: Croissance des ventes, profitabilite, revisions des profits..– Industries
Source: Dor Jagannathan Meier (2003, Journal of Invt Mngt)UNDERSTANDING MUTUAL FUND AND HEDGE FUND STYLESUSING RETURN-BASED STYLE ANALYSIS
5) Classification: Styles d’Investissement
• Question: Les gestionnaires de portefeuille et investisseurs utilisent des classifications diverses pour caracteriser le style d’un fond– Value / Growth– Large, mid et small cap– Style de gestion des hedge funds
• Macro, event driven, stat arb…
• Ces classifications sont elles robustes?– Utilisation de decomposition en composantes principales pour
obtenir des indices “purs” (Amenc, Martellini, Edhec)– Modele a facteur (Fung Hsieh, Dor Jagannathan Meier)
Univers des Hedge Funds (7000)
Sous univers / Base de données EACM
Sous univers / Base de données HFR
Sous Univers / Base de données MAR
Sous univers / Base de données ZurichSous univers / Base de données MSCI
Sous univers / Base de données S&P
Sous univers / Base de données HF Net
Sous univers / Base de données Van Hedge
Sous univers / Base de données Altvest
Dans l’univers alternatif, la non-représentativité des indices de style est exacerbée (la logique de représentativité par les capitalisations boursières ne peut s’appliquer)
Source: Amenc, Vaissie (EDHEC)
Echantillon des hedge funds contenus dans la base de données utilisée par l’indice
Population des hedge funds suivant une stratégie donnée
Manque de représentativité
Biais
0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
10.00%
12.00%
14.00%
0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% 10.00% 12.00% 14.00% 16.00% 18.00%
CSFB HFR Van Hedge Hennessee HF net S&P + Lehman Edhec Fix. Inc. Arbitrage
100% S&P 500
100% Lehman US aggregate
Source: Amenc, Vaissie (EDHEC)
Frontieres d’efficience selon l’indice de fonds alternatifs
Brown, Goetzman: Hedge Funds with StyleApplication derivee d’un modele a facteur pour analyser le styleD’investissement dans la base de donnees TASS
1) Modele multifacteur
Chaque indice de style “pur” est exprime comme une combinaisonD’indices existants
2) Approche: Maximiser la proportion de variance expliquee parmiX indices appartenant a un style juge commun
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