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Anlise dimensional
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Programa
>Anlise dimensional
>Teoria da semelhana>Modelao fsica da propagao de ondas>Modelao fsica de estruturas de proteco
costeira e porturia>Gerao de ondas em laboratrio>Instrumentos de medio e tcnicas de anlise de
dados>Estudo de caso
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Objectivos
>No final desta unidade os alunos devero ser
capazes deDado um conjunto de variveis relevante para umfenmeno fsico, determinar um conjunto completo denmeros adimensionais associado a essas variveis
Verificar se uma expresso dimensionalmentehomogneaEscrever as dimenses das principais variveis emhidrulica martima
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Dimenses
>Relacionar quantidades fsicas quaisquer com
quantidades fsicas bsicasDimenses bsicas em Hidrulica
o [Massa] = Mo [Comprimento] = L
o [Tempo] = TDimenses de uma quantidade fsica qualquer X
o [X] = M LT
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Dimenses (exemplos)
>Velocidade = comprimento / tempo
[velocidade] = [comprimento] / [tempo] [velocidade] = L / T = L T-1
>Acelerao = velocidade / tempo [acelerao] = [velocidade] / [tempo] [acelerao] = L T-1/ T = L T-2
>Fora = massa * acelerao [fora] = [massa] * [acelerao] [fora] = M L T-2
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Dimenses (exemplos)
DimensesDefinioGrandeza
trabalho / tempoPotncia
fora x comprimentoTrabalho, energia
massa x velocidadeQuantidade de Movimento
massa / volumeMassa volmica
fora / volumePeso volmico
fora / reaPresso
massa x aceleraoFora
--Massa
velocidade / tempoAceleraocomp / tempoVelocidade
--Tempo
comp x comp x compVolume
comp x comprea
--Comprimento
MLT
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Dimenses (exemplos)
DimensesDefinioGrandeza
M L2 T-3trabalho / tempoPotncia
M L2 T-2fora x comprimentoTrabalho, energia
M L T-1massa x velocidadeQuantidade de Movimento
M L-3massa / volumeMassa volmica
M L-2 T-2fora / volumePeso volmico
M L-1 T-2fora / reaPresso
M L T-2massa x aceleraoFora
M--Massa
L T-2velocidade / tempoAceleraoL T
-1
comp / tempoVelocidade
T--Tempo
L3comp x comp x compVolume
L2comp x comprea
L--Comprimento
MLT
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Dimenses (exemplos)
M L2 T-3trabalho / tempoPotncia
M L2 T-2fora x comprimentoTrabalho, energia
M L T-1massa x velocidadeQuantidade de Movimento
M L-3massa / volumeMassa volmica
M L-2 T-2fora / volumePeso volmico
M L-1 T-2fora / reaPresso
M L T-2--Fora
Mfora / aceleraoMassa
L T-2velocidade / tempoAceleraoL T
-1
comp / tempoVelocidade
T--Tempo
L3comp x comp x compVolume
L2comp x comprea
L--Comprimento
FLTMLT
DimensesDefinioGrandeza
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Dimenses (exemplos)
F L T-1M L2 T-3trabalho / tempoPotncia
F LM L2 T-2fora x comprimentoTrabalho, energia
F TM L T-1massa x velocidadeQuantidade de Movimento
F L-4 T2M L-3massa / volumeMassa volmica
F L-3M L-2 T-2fora / volumePeso volmico
F L-2M L-1 T-2fora / reaPresso
FM L T-2massa x aceleraoFora
F L-1 T2Mfora / aceleraoMassa
L T-2L T-2velocidade / tempoAceleraoL T
-1
L T-1
comp / tempoVelocidade
TT--Tempo
L3L3comp x comp x compVolume
L2L2comp x comprea
LL--Comprimento
FLTMLT
DimensesDefinioGrandeza
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Unidades
> Medida convencional de uma quantidade fsica
> o valor padro de uma grandeza e pode ser utilizado paraexprimir o resultado dessa grandeza
> Sistema de unidades: um conjunto coerente de unidades Unidades fundamentais: so fixadas arbitrariamente
Unidades derivadas: obtm-se das anteriores a partir dasequaes de definio
> Sistema internacional Massa - quilograma massa Comprimento - metro Tempo - segundo
> Sistema mtrico gravitatrio Fora - quilograma fora Comprimento - metro Tempo - segundo
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Unidades (exemplos)
F L T-1
F L
F T
F L-4 T2F L-3F L-2
F
F L-1 T2L T-2L T
-1
T
L3L2L
FLT
M L2 T-3
M L2 T-2M L T-1M L-3
M L-2 T-2M L-1 T-2M L T-2
M
L T-2L T
-1
T
L3L2L
MLT
Dimenses
kgf m s-1WPotncia
kgf mJTrabalho, energia
kgf skg m s-1Quantidade de Movimento
u.m.m. m-3kg m-3Massa volmica
kgf m-3N m-3Peso volmico
kgf m-2PaPresso
kgfNFora
u.m.m.kgMassa
m s-2m s-2Aceleraom s
-1
m s-1
Velocidade
ssTempo
m3m3Volume
m2m2rea
mmComprimento
FLTMLT
UnidadesGrandeza
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Converso de unidades
> 1 u.m.m. = C kg
1 u.m.m a massa que para ser movida com acelerao unitria (1 ms-2) necessita de uma fora de 1 kgf nela actuante
1 u.m.m. = 1 kgf / 1 m s-2
1 kgf a fora actuante na massa de 1 kg sujeita aco da gravidade(g = 9.8 m s-2 )
Da segunda lei de Newton (F = m a) essa fora 1 kg x 9.8 m s-2 =
9.8 N, logo 1 kgf = 9.8 N
Logo 1 u.m.m. = 9,8 x 1 N / 1 m s-2 = 9,8 kg
C = 9,8
Ainda no est bem explicado (provavelmente eliminar)
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Anlise dimensional
> Procedimento racional de combinao de grandezas fsicasem variveis adimensionais pelo qual se reduz o nmero devariveis a considerar no estudo de um dado problema
> Mtodo para deduzir informao acerca de um determinadofenmeno baseado no pressuposto de que este pode ser
descrito por uma equao dimensionalmente correctaevolvendo determinadas variveis
> Isoladamente, a anlise dimensional fornece apenasrelaes qualitativas entre as variveis. Contudo, quandocombinada com procedimentos experimentais, podefornecer resultados quantitativos e equaes de previsoexactas
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Procedimento
>Identificar o conjunto de variveis independentes
com relevncia para o processo>Decidir qual delas ser a varivel dependente
>Determinar quantos produtos adimensionaisindependentes podem ser criados a partir dasvariveis
>Reduzir as variveis do processo ao nmeroadequado de variveis adimensionaisindependentes
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Utilidade
>Classificar equaes e determinar quo geral asua aplicabilidade
>Converter equaes ou dados de um sistema deunidades para outro
>Desenvolver equaes em termos de variveis doprocesso
>Sistematizar a recolha de dados num programa
de ensaios e reduzir o nmero de variveis quetem de ser investigado
>Estabelecer os princpios de projecto, operao e
interpretao de resultados de ensaios em modelo
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Homogeneidade dimensional
> Uma equao dimensionalmente homognea se a sua forma nodepende das unidades das variveis utilizadas na equao
> Isto , uma equao dimensionalmente homognea est semprecorrecta , quaisquer que sejam as unidades utilizadas, desde quepertencendo a um sistema de unidades dimensionalmentecoerente
> Em equaes dimensionalmente homogneas com somas oudiferenas de termos, todos os termos tm que ter as mesmasdimenses
> Equaes em que se verifique a homogeneidade dimensional so abase para a aplicao da anlise dimensional a problemas fsicos
> Na anlise dimensional assume-se que a soluo de um problemafsico pode ser expressa por uma equao dimensionalmentehomognea
As equaes fundamentais da fsica so dimensionalmentehomogneas, logo todas as relaes que sejam delas derivadastambm devem ser dimensionalmente homogneas
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Verificao de homogeneidade
dimensional
>Equao de Bernoulli fluidos reais
>Frmula de Gaukler Manning Strickler
>Comprimento de onda em grandes profundidades
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Identificao de conjunto de
variveis independentes
>GeomtricasComprimento, rea, volume, ngulo
>Propriedades materiaisDensidade, viscosidade dinmica, tenso superficialPermeabilidade da fronteira, granulometria e densidadedos sedimentos, rugosidade
>Efeitos externosPresses, velocidades, aceleraes
>No esquecerVarivel tempoParmetros fsicos constantes
Independncia das variveis
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Vantagens da criao de
nmeros adimensionais
> Reduo do nmero de variveis a investigar(experimentalmente, numericamente ou em medies de
campo)> Grficos com nmeros adimensionais fornecem mais
informao do que grficos com variveis dimensionais, porser possvel cobrir uma gama de parmetros maior
> Pontos em grficos adimensionais podem ser comummentedeterminados utilizando modelos reduzidos de tal forma queos nmeros adimensionais se mantm na escala reduzida
> Nmeros adimensionais podem ser utilizados como base
para o projecto de modelos fsicos e para interpretao dosresultados obtidos
> Nmeros adimensionais permitem o planeamento deexperincias e a apresentao de resultados experimentais
de forma condensada e sistemtica
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Nmeros adimensionais
(exemplos)
> A criao de nmeros adimensionais a partir das variveisde um problema algo arbitrria
> Nmeros adimensionais conhecidos
> Reynolds
> Froude
> Euler
> Weber
> Cauchy
> Mach
> Strouhal
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Conjuntos completos de
nmeros adimensionais
>Para qualquer conjunto finito de variveis quedescrevem um processo fsico possvel definirum conjunto completo de nmeros adimensionais
>Um conjunto de nmeros adicionais associado a
um dado conjunto de variveis fsicas completoseQualquer nmero adicional nesse conjunto independente dos outros produtos
Todas as outras combinaes adimensionais que sepodem formar com as mesmas variveis do origem aum nmero adimensional que se pode escrever como oproduto de potncias dos nmeros adimensionais doconjunto
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Conjunto completo (exemplo)
>Exemplo 2.3
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Teoremas anlise dimensional
> Uma equao dimensionalmente homognea pode serreduzida a uma relao entre um conjunto completo de
nmeros adimensionais (para que serve um conjunto completo de nmeros adimensionais)
> Numa equao dimensionalmente homognea envolvendo
n variveis, a quantidade de nmeros adimensionais quepodem ser formados dessas n variveis dada por n-r,em que r o nmero de dimenses fundamentais varridopor aquelas variveis
(qual o nmero mximo de nmeros adimensionais num conjunto completo)
> Se x1=f(x2,x3,x4,,xn) for uma equao dimensionalmentehomognea envolvendo n variveis, ento ela pode serescrita p1=F(p2,p3,,pn-r)
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Parmetros em escoamentos de
fenmenos costeiros
>Exemplo 2.5
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Gerao de estados de agitao
limitada pelo fetch
>Exemplo 2.6
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Procedimento de clculo de
conjunto completo> Determinar as variveis importantes do problema
> Montagem de matriz com o expoente de cada dimenso fundamental contida nas
dimenses de cada varivel> Determinar o nmero de nmeros adimensionais necessrios para formar o conjunto
completo (n-r) em que n o nmero original de variveis independentes e r o nmerode dimenses fundamentais contido naquelas variveis
> Estabelecer as r equaes independentes envolvendo os n expoentes k de cadavarivel partindo da definio dos nmeros adimensionais ou da inspeco da matrizcom as dimenses das variveis
> Para cada nmero adimensional especificar (n-r) valores dos expoentes k, sendo osrestantes r valores determinados da soluo do sistema de r equaes
> Formar o nmero de nmeros adimensionais pretendidos. Confirmar que cada varivelinicial aparece em pelo menos um dos nmeros adimensionais formados. Tentar
incluir argumentos fsicos na seleco dos expoentes> Verificar que os nmeros obtidos so mesmo adimensionais
> Reflectir sobre possveis relaes entre os nmeros adimensionais
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Seleco de expoentes
> A anlise dimensional no nos fornece qualquer indicaosobre quais os nmeros adimensionais mais importantes.
Alguns conselhos para a escolha dos expoentes> Cada uma das variveis controlveis nas experincias s
deve aparecer num nico nmero adimensional
> A varivel dependente no deve aparecer em mais do queum nmero adimensional
> Sempre que possvel, manipular os expoentes para obternmeros adimensionais conhecidos (Reynolds, Froude,
etc.)> Escrever a matriz de variveis e dimenses por forma que a
primeira varivel seja a varivel dependente, a segundavarivel aquela que mais fcil controlar nas experincias e
assim por diante
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Estabilidade do manto protector
de quebra-mares de taludes
>Exemplo 2.7
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Nmeros adimensionais e dados
experimentais
>A determinao da relao entre os nmerosadimensionais implica a realizao deexperincias
>Quanto maior o nmero de nmerosadimensionais mais difcil ser estabelecer essa
relao devido quantidade de dados necessria
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Um nico nmero adimensional
>O nmero adimensional deve ser constante
>Bastaria uma nica experincia para determinaresse valor
>Contudo, sensato realizar vrias experincias para se obter um valor confivel do parmetroAvaliar a variabilidade dessa constante (que pode indiciara necessidade de acrescentar mais variveis na descrio
do fenmeno)
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Lei de Stokes para escoamento
viscoso
>Exemplo 2.9
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Dois ou mais nmeros
adimensionais
> P1 = F(P2)> Varia-se p2 e mede-se p1
> Embora se possa ajustar a curva para essa relao no se deveesquecer que a relao encontrada s vlida para a gama de p2testada
> P1 = F(P2,P3)> Um nmero adimensional mantido constante, o outro variado e
medido o P1> Obtm-se famlias de curvas s quais se podem ajustar expresses
> Quando o nmero de nmeros adimensionais muito grande, ficamais difcil a realizao de ensaios e o estabelecimento de umaformulao emprica baseada nos resultados experimentais.Nesses caos a explorao de modelos fsicos tem como objectivodeterminar apenas algumas das caractersticas destes problemas
mais complexos