Aljabar Linear
Evangs Mailoa
& Matriks
Pert. 7 - 8
Yang dipelajari hari ini:
• Aritmatika Vektor
• Konsep Geometrik
• Titik, Garis dan Bidang
• Perkalian Titik
Euclidean Vector Spaces I
Euclidean n-Space, ℜn
Linear Transformations from ℜn to ℜm
There are two major topics in this module:
Some Important Properties of Vector Operations in ℜn
If u, v, and w are vectors in ℜn and k and s are scalars, then the
following hold: (See Theorem 4.1.1)
a) u + v = v + u
b) u + ( v + w ) = (u + v) + w
c) u + 0 = 0 + u = u
d) u + (-u) = 0
e) k(su) =(ks)u
f) k(u + v) = ku + kv
g) (k + s)u = ku + su
h) 1u = u
y
x
Pengenalan
• Koordinat - 2D
- Aturan tangan kiri 3D
- Aturan tangan kanan 3D
y
x
z y
x
z
Ini yang akan sering digunakan
dalam dunia komputer
Vektor Sebuah vektor mempunyai panjang dan arah.
Vektor dinyatakan dengan cara yang sama dengan koordinat titik:
• Point (5,10)
• Vector (5,10)
Tetapi bagaimana perbedaannya?
P = (5,10)
v = (5,10)
Sebuah titik mempunyai lokasi
Sebuah vektor tidak mempunyai lokasi
Sebuah vektor adalah sebuah lintasan antara satu titik dengan titik yang lain
Vektor
Q = (8,1)
Vektor dapat ditentukan dengan pengurangan koordinat titik
v = Q – P
v = (8-1,1-10)
v = (7, -9)
Dengan kata lain, v mengatakan pada kita bagaimana untuk mendapatkan dari P ke Q
P = (1,10)
v
Vektor
Q = (8,1)
P = (1,10)
v
Definisi
Perbedaan antara
dua titik adalah
sebuah vektor
v = Q - P
Jumlah titik dan
vektor adalah titik :
Q = P + v
Vektor
Quiz! Tentukan vektor dari P = (9,10) ke Q = (15,7) ?
• v = (6, -3)
Tentukan titik dari hasil penambahan vektor v = (9,-20) dengan titik P = (1,2) ?
• Q = (10, -18)
Tentukan titik dari hasil penambahan vektor v = (-9,35) dengan titik P = (-1,-2) ?
• Q = (-10, 33)
Vektor
Operasi Vektor
Ada dua operasi dasar vektor: skala
• 8v
• jika v = (1,2) maka 8v = (8,16)
tambah • v + a
• v = (3,4), a = (8,1) maka v+a = (11,5)
Operasi Vektor
• Penskalaan vektor
v
2v
0.5v
-0.5v
Operasi Vektor
• Penambahan vektor
v
a
v a
v+a
v
-a
v-a
Operasi Vektor
Operasi Vektor
Kombinasi Linier
Penambahan vektor skala bersama-sama
• 8v + 2a
Definisi
Kombinasi linier dari m vektor v1, v2,…,vm adalah vektor:
w = a1v1 + a2v2 + … + amvm
Operasi Vektor
Kombinasi Linier
Contoh
• v = (1,2,3) dan a = (1,1,1)
•2v + 3a = (2,4,6) + (3,3,3) = (5,7,9)
Operasi Vektor
• Kombinasi Linier –Kombinasi Affine
• Jumlah semua komponen adalah satu –a1 + a2 + … + am = 1
• Contoh: 3a + 2b – 4c (3+2-4=1)
• Penentuan kombinasi affine –(1-t)a + (t)b
Operasi Vektor
• Pertanyaan
Tentukan koefisien untuk transformasi affine:
• ia + jb + Xc
• Berapakah koefisien c?
i + j + X = 1
X = 1 – i – j maka
• ia + jb + (1-i-j)c
Operasi Vektor
• Kombinasi Linier –Kombinasi Konvek
• Jumlah semua komponen satu … tetapi
• Semua koefisien harus diantara 0 dan 1
–Contoh. • a1 + a2 + … + am = 1 dan
• 1 >= ai >= 0 untuk semua 1,…,m
–Contoh. • .9v + .1w
• .25v + .75w
Operasi Vektor
• Kombinasi Linier
–Kombinasi Konvek • Set semua kombinasi konvek dari dua
vektor v1 dan v2 adalah:
v = (1-a)v1 + av2
Operasi Vektor
• Kombinasi Linier
–Kombinasi Konvek
– v = (1-a)v1 + av2 dapat ditulis lagi: • v = v1 + a(v2-v1)
• Ini menunjukkan bahwa vektor v akan menjadi v1 ditambah beberapa versi skala dari penggabungan v1 dengan v2
v1
v2 v2 – v1
a(v2 – v1) v
Operasi Vektor
• Kombinasi Linier –Kombinasi Konvek
– Diberikan 3 vektor v1, v2 dan v3 maka kombinasi akan menjadi:
– v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3
Contoh:
– v = 0.2v1 + 0.3v2 + 0.5v3
v1
v3
v2
Semua nilai v akan terletak di
kawasan ini
0.2v1
0.3v2
0.5v3
Operasi Vektor
• Kombinasi Linier –Kombinasi Konvek
• Diberikan 3 vektor v1, v2 dan v3 maka kombinasi akan menjadi: – v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3
Contoh :
– v = 0.5v1 + 0.5v2 + 0v3
v1
v3
v2
Semua nilai v akan terletak di
kawasan ini
0.5v1
0.5v2
Operasi Vektor
• Besar
–Adalah panjang vektor
–Ditentukan menggunakan teorema Pitagoras
–Masih ingatkan akan teorema ini?
bah22
a
b
h
Operasi Vektor
• Besar
– Teorema Pitagoras:
yxv22
||
v Koordinat y
Koordinat x
Operasi Vektor
• Besar
Teorema Pitagoras:
Contoh:
Berapakah besar v = (5,10)?
|v| = sqrt(52+102) = sqrt(25+100) = sqrt(125)
= 11.18
Operasi Vektor
• Besar
Q = (8,1)
P = (1,10)
v
Operasi Vektor
• Vektor Normal
Kadang kala sangat berguna untuk menskala vektor menjadi vektor satuan sehingga panjangnya adalah satu.
Vektor normal disimbulkan dengan a topi: â.
Yaitu pembagian koordinat vektor dengan panjang vektor.
â = a/|a|
Operasi Vektor
Contoh:
Berapakah vektor normal a = (1,5,3) ?
• |a| = sqrt(12 + 52 + 32) = 5.916
• â = (1/5.916, 5/5.916, 3/5.916)
= (0.169, 0.845, 0.5)
Operasi Vektor
• Perkalian titik
–Digunakan untuk menyelesaikan masalah geometri dalam grafika komputer.
–Berguna untuk menentukan perpotongan garis dengan vektor.
Operasi Vektor
• Perkalian titik
– Dihitung dengan perkalian dan penambahan nilai baris dengan nilai kolom.
– Definisi
• Perkalian titik dua vektor v٠w adalah:
n
iii wv
1
Perkalian titik
Jika diketahui v = (v1,v2) dan w = (w1,w2)
Perkalian titik, v ٠ w akan menghasilkan:
• (v1w1+v2w2)
Contoh, v = (2,1) dan w = (3,5) maka v ٠ w akan menghasilkan :
• 2*3 + 1*5 = 11
Contoh, v = (2,2,2,2) dan w = (4,1,2,1.1), v ٠ w akan menghasilkan :
• 2*4 + 2*1 + 2*2 + 2 * 1.1 = 16.2
Operasi Vektor
Linear Operators for Rotation
Linear Operators for Rotation
Linear Operators for Rotation
Linear Operators for Rotation
Perkalian titik Contoh: Cari sudut antara (5,6) dan (8,2)
• cos(Ө ) = ĉ ٠ ê
• ĉ = c/|c| = (5,6) / sqrt(52+62)
= (5,6) / 7.8
= (0.64,0.77)
• ê = e/|e| = (8,2) / sqrt(82+22)
= (8,2) / 8.25
= (0.8,0.24)
• ĉ ٠ ê = 0.8248
• Ө = cos-1(0.8248) = 34.43
c
e
Ө
Operasi Vektor
Perkalian titik
Tegaklurus atau orthogonal atau normal?
• Dua vektor tegaklurus jika sudut yang dibentuk anatar vektor ini adalah 90 derajad.
• jika e ٠ c > 0 sudut antara dua vektor kurang dari 90o
• jika e ٠ c = 0 ; dua vektor tegaklurus
• jika e ٠ c < 0 sudut antara dua vektor lebih dari 90o
e c
e
c
e
c
Operasi Vektor
Perkalian titik
Vektor-vektor yang berada pada sumbu koordinat adalah tegak lurus:
(0,1,0)
(1,0,0)
(0,0,1) Cara penulisan: vektor satuan
Operasi Vektor
Perkalian titik
Sembarang vektor 3D dapat ditulis sebagai kombinasi skalar dari 3 vektor satuan:
(a,b,c) = ai + bj + ck
(3,2,-1) = 3(1,0,0) + 2(0,1,0) – 1(0,0,1)
j=(0,1,0)
i=(1,0,0)
k=(0,0,1)
Operasi Vektor
Mau bertanya..?
Top Related