Anlisis estructural Avanzado
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ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
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A Temtica:
I. introduccin
II. comparacin de mtodos de solucin matricial
III. mtodo de rigidez:
1. introduccin
2. mtodo de la deflexin de la pendiente teora y aplicaciones.
3. Mtodo de rigidez por deflexin de teora y aplicaciones
4. Mtodo de rigidez directo con matrices [A] teora y problemas
5. Mtodo de rigidez directo con cosenos directos teora y problema
6. Mtodo de la condensacin esttica
7. Mtodo de rigidez para vigas-brazo rgido teora de aplicaciones
8. Mtodo de rigidez para prtico-placa
9. Mtodo de rigidez 3-D teora y aplicaciones
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X Viga
Ray Rby
Y
F2
F
Rax
1. VIGA 1:
Ecuaciones (EQ)
M =0 FX =0
F =0 3EQ = FY =0
MZ =0
EN 3-D
FX =0
F =0 FY =0
FZ =0
MX =0
M =0 MY =0
MZ =0
HIPERESTATICIDAD DE LA ESTRUCTURA EXTERNAMENTE (GHE)
< 0 inestable (hiposttico)
GHE = NR NEQ = 0 isosttica
> 0 hiperesttica
Apoyo fijo apoyo mvil
3D
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M M M
Ma
X
Y
Ray Rby
Rax
Rcy
Ry
Rx
Ry Ry
Rx Rx
NR =nmero de reacciones
NEQ = nmero de ecuaciones
De la VIGA 1 el GHE: GHE = 3 3 = 0 ______ isosttica.
2. VIGA CONTINUA
NR = 5 NEQ = 3
GHE = 5 3 = 2 hiperesttica de 2do grado externamente.
3. PORTICO
NR = 9 NEQ = 3
GHE = 9 3 = 6 hiperesttica de 6to grado
- Grado de hiperestaticidad total ( GHT )
- Grado de hiperestaticidad interna ( GHI )
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- grado de hiperestaticidad interna ( GHI )
- nmero de barras ( NB )
- numero de reacciones ( NR )
- numero de nudos ( NN )
GHT = GHI + GHE
GHE = NR NEQ
GHT = 3 NB + NR 3 NN
GHI = GHT GHE
DE LA VIGA 2
GHE = 2do grado
GHT = 3 (2) + 5 3 (3) = 2do grado
GHI = GHT GHE
GHI = 2 2 = 0
DEL PORTICO 3
GHE = 9 3 = 6to
GHT = 3 (10) + 9 3 (9) = 12
GHI = GHT GHE
GHI = 12 6 = 6do grado
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4. ARMADURA (estructura especial, total son 6 fuerzas.)
GHT = GHE + GHI
GHE = 0
GHT = NB + NR 2 NN
GHT = 20 + 3 2(10) = 3
5. ARMADURA 2
GHE = 3er
GHT = 3(12) + 6 3(10) = 12
GHI= 9no
3 D
X3
X3
X2
X2
X1
X1
Rotula
Rotula
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Z
X
Y
1. 3-D
NEQ = 6 (3 D)
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 Mx = 0 My = 0 Mz = 0
NR = 24
GHE = NR NEQ = 24 6 = 18vo
GHT = 6NB + NR 6n (3 D)
GHT = 6(8) + 24 6(8) = 24
GHI = GHT GHE = 24 18 = 6to
2.
GHE = 5 6 = -1 hipostatico (inestable)
GHT = 6(8) + 5 6(8) = 5to
GHI = 5 (-1) = 6to
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3. ARMADURA 3 - D
GHE = 9 6 = 3er grado
GHT = GHE + GHI
GHT = NB + NR 3m ARM 3 D
GHT = 20 + 9 3(8) = 5
GHI = 5 3 = 2do grado
HIPERESTATICIDAD CINEMATICA ( # G.D.L.)
3 DESPLAZAMIENTOS
a y b rotacin
b traslacin
3 G.D.L (CINEMATICA)
A
Y
X
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HAY 6 G.D.L
SI EA =
METODO DE LA FLEXION DE LA PENDIENTE
Ecuaciones de la deflexin de la pendiente:
= + + + = + + +
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Desplazamientos de:
Rotacin:
Traslacin:
EJEMPLO 1:
Resolver:
Solucin:
Paso 1:
Paso 2:
M0ab = - M0ba = (P x L)/ 8 = (4 x 6) / 8 = 3 T-m
M0bc = - M0cb = (W x L2)/ 12 = (3 x 52) / 12 = 6.25 T-m
3 T-m -3 T-m 6.25 T-m
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Paso 3:
= 0 (I) = 0 (II)
+ = 0 = 0 Paso 4:
Mba = M0ba + 2EI / 6 2b + 0 + 0 = -3 + (4EI / 6) b Mbc = M0bc + 2EI / 5 2b + c + 0 = 6.25 + (4EI / 5) b + (2EI / 5) c Mcb = M0cb + 2EI / 5 2c + b + 0 = -6.25 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) b
(a) Y (b) en I -3 + (4EI / 6) a + 6.25 + (4EI / 5) b + (2EI / 5) c = 0 1.47EI b + 0.4EI c = -3.25 (I) (c) En II
-6.25 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) b = 0 0.4EI b + 0.8EI c = 6.25 (II)
1.47 0.4 b -3.25 /EI
0.4 0.8 c 6.25/EI
b = -5.02/EI c = 10.33/EI
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Mba = -3 + (4EI / 6) (-5.02/EI) = -6.35 T-m Mbc = 6.25 + (4EI / 5) (-5.02/EI) + (2EI / 5) (10.33/EI) = 6.35 T-m Mab = 3 + (2EI / 6) (-5.02/EI) = 1.33 T-m
Diagrama de momento flector:
EJEMPLO 2:
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* Cuando es empotramiento no se considera giro y el momento es cero
Mba = M0ba + (2EI / 3) 2b + 0 + 3/Lba = 0 + (4EI / 3) b + (2EI / 3) Mbc = M0bc + ( 2EI / 5) 2b + c + 0 = 4.17 + ( 4EI / 5 ) b + ( 2EI / 5 ) c
Mcb = M0cb + (2EI / 5) 2c + b + 0 = -4.17 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) b
Mcd = M0cd + (2EI / 3) 2c + 0 + 3/Lcd = 0 + ( 4EI / 3 ) c + ( 2EI / 3 )
(a) Y (b) en I
0 + (4EI / 3) b + (2EI / 3) + 4.17 + (4EI / 5) b + (2EI / 5) c = 0
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2.13 EI b + 0.4 EI c + 0.67 EI = -4.17 (I) (c) Y (d) en II
-4.17 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) b + 0 + (4EI / 3) c + (2EI / 3) = 0
0.4EI b + 2.13 EI c + 0.67 EI = 4.17 (II)
Mab = M0ab + (2EI / 3) 0+ b + 3/Lab = 0 + (2EI / 3) b + (2EI / 3)
Mdc = M0dc + (2EI / 3) 0 + c + 3/Lab = 0 + ( 2EI / 3 ) c + ( 2EI / 3 ) Mab + Mba + Mdc + Mcd = 15
(e), (a), (f) Y (d) en III 0 + (2EI / 3) b + (2EI / 3) + 0 + (4EI / 3) b + (2EI / 3) + 0 + ( 2EI / 3 ) c + ( 2EI / 3 ) + 0 + ( 4EI / 3 ) c + ( 2EI / 3 ) = 0
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2 EI b + 2 EI c + 2.67 EI = 15
2.13 0.4 0.67 b -4.17/EI
0.4 2.13 0.67 c 4.17/EI 2 2 2.67 15 /EI
b = -4.88/EI c = -0.061/EI = 9.31/EI
Mba = (4EI / 3) (-4.88/EI) + (2EI / 3) (9.31/EI) = -0.3 T-m Mbc = 4.17 + ( 4EI / 5 ) (-4.88/EI ) + ( 2EI / 5 ) (-0.061/EI ) = 0.24 T-m Mcb = -4.17 + (4EI / 5) (-0.061/EI) + (2EI / 5) (-4.88/EI) = -3.19 T-m Mcd = ( 4EI / 3 ) (-0.061/EI ) + ( 2EI / 3 ) ( 9.31/EI ) = 6.14 T-m
Mab = (2EI / 3) (-4.88/EI) + (2EI / 3) (9.31/EI) = 2.95 T-m
Mdc = ( 2EI / 3 ) (-0.061/EI ) + ( 2EI / 3 ) ( 9.31/EI ) = 6.14 T-m
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METODO MODIFICADO DE LA FLEXION DE LA PENDIENTE
= ( ) + +
Ejercicio 1:
-Se condensa solo en los extremos, cuando esta empotrado no se condensa.
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4.5T-m
1.8T-m 2.7T-m
6.3T-m
6.3T-m
7.2T-m
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Mba = M0ba + (2EI / 4) 2b + 0 + 3/Lba = -2 + (4EI / 4) b + (6EI / 16) Mbc = M0bc + ( 2EI / 6) 2b + c + 0 = 1.8 + ( 4EI / 6 ) b + ( 2EI / 6 ) c
Mcb = M0cb + (2EI / 6) 2c + b + 0 = -2.7 + (4EI / 6) c + (2EI / 6) b
Mcd = M0 cd - (M0dc/2) + (3EI / Ldc) c + 0 = 6.3 - (-7.2/ 2) + (3EI/ 6) c
(a) Y (b) en I
-2 + (4EI / 4) b + (6EI / 16) + 1.8 + (4EI / 6) b + (2EI / 6) c = 0
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1.67 EI b + 0.33 EI c + 0.38 EI = 0.2 (I)
(c) Y (d) en II
-2.7 + (4EI / 6) c + (2EI / 6) b + 6.3 - (-7.2/ 2) + (3EI/ 6) c = 0
0.33EI b + 1.17 EI c + 0 EI = -7.2 (II)
(III)
Remplazando en (III):
Mab = M0ab + (2EI / 4) 0 + b + 3/Lab = 2 + (2EI / 4) b + (6EI / 16)
(e) Y (a) en III
-2 + (4EI / 4) b + (6EI / 16) + 2 + (2EI / 4) b + (6EI / 16) = 8
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1.5EI b + 0 EI c + 0.75 EI = 8 (III)
1.67 0.33 0.38 b 0.2/ EI
0.33 1.17 0 c = -7.2 /EI
1.5 0 0.75 8 /EI
b = -2.14/EI c = -5.55/EI = 14.75/EI
Mba = -2 + (4EI / 4) (-2.14/EI) + (6EI / 16) (14.75/EI) = 1.39 T-m Mbc = 1.8 + (4EI / 6) (-2.14/EI) + (2EI / 6) (-5.55/EI) = -1.48 T-m
Mcb = -2.7 + (4EI / 6) (-5.55/EI) + (2EI / 6) (-2.14/EI) = -7.12 T-m
Mcd = 6.3 - (-7.2/ 2) + (3EI/ 6) (-5.55/EI) = 7.12 T-m
Mab = 2 + (2EI / 4) (-2.14/EI) + (6EI / 16) (14.75/EI) = 6.46 T-m Diagrama de momento flector:
C
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Ejercicio 2:
Solucin:
4.44 T-m 2.22 T-m 3.75 T-m 2.5 T-m
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Mba = M0ba - (M0ab/2) + (3EI / Lab) b + 0 = -2.22 - (4.44/ 2) + (3EI/ 6) b
Mbc = M0bc - (M0cb/2) + (3EI / Lbc) b + 0 = 2.5 - (-3.75/ 2) + (3EI/ 5) b
(a) Y (b) en I
-2.22 - (4.44/ 2) + (3EI/ 6) b + 2.5 - (-3.75/ 2) + (3EI/ 5) b = 0
1.1 EI b = 0.065 (I)
b = 0.059/EI
Remplazando b en (a) y (b):
Mba = -2.22 - (4.44/ 2) + (3EI/ 6) (0.059/EI) = - 4.41 T-m
Mbc = 2.5 - (-3.75/ 2) + (3EI/ 5) (0.059/EI) = 4.41 T-m Diagrama de momento flector:
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Ejercicio 3:
Paso 1:
Condensar giro a
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paso2:
Paso3:
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Mba = M0ba -(M0ab/2)+ (3EI /Lba) b + /Lba = 0+0+ (3EI/ 3.5)b+(3EI/12.25)
Mbc = M0bc + (2EI / 5) 2b + c + 0 = 4.17 + (4EI / 5) b + (2EI / 5) c
Mcb = M0cb + (2EI / 5) 2c + b + 0 = -4.17 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) b
Mce = M0ce + (2EI /3.5) 2c + 0 + 3/Lce =1.47+ (4EI /3.5) c + (6EI /12.25)
Mcd = M0cd + (2EI /5) 2c + d + 0 = 0 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) d
Mdc = M0dc + (2EI /5) 2d + c + 0 = 0 + (4EI / 5) d + (2EI / 5) c
Mdf = M0df + (2EI /3.5) 2d + 0 +3/Ldf = 0 + (4EI /3.5) d + (6EI/12.25)
Remplazando:
(a) Y (b) en I
0 + 0 + (3EI/ 3.5)b + (3EI/12.25 ) + 4.17 + ( 4EI / 5 ) b + ( 2EI / 5 ) c = 0
1.66 EI b + 0.4 EI c + 0 EI d + 0.24 EI = -4.17 (I) (c), (d) y (e) en II
-4.17 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) b +1.47+ (4EI /3.5) c + (6EI /12.25) +
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0 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) d = 0
0.4 EI b + 2.74 EI c + 0.4 EI d + 0.49 EI = 2.7 (II) (f) Y (g) en III
0 + (4EI / 5) d + (2EI / 5) c + 0 + (4EI /3.5) d + (6EI/12.25) = 0
0 EI b + 0.4 EI c + 1.94 EI d + 0.49 EI = 4 (III)
Para hallar la otra ecuacin:
+ + + 3 - 3 3.5 = 0
+ + = 3.5 IV
Ha x 3.5 = 0 He x 3.5 + Mec + Mce 3 x 1.5 = 0
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Ha = 0 He = 4.5 - Mec - Mce
He x 3.5 + Mfd + Mdf 3.5 x 2.3 = 4
Hf = 12.05 - Mfd Mdf
Remplazando Ha, He y Hf en IV:
4.5 - Mec - Mce + 12.05 - Mfd - Mdf =12.25
Mec + Mce + Mfd + Mdf = 4.3 IV
Mec = M
0ec + (2EI /3.5) 0 + c + 3/Lec = -1.10+ (2EI /3.5) c + (6EI /12.25)
Mfd = M0fd + (2EI /3.5) 0 + d +3/Lfd = -1.23 + (2EI /3.5) d + (6EI/12.25)
(d), (g), (h) y (i) en IV
1.47+ (4EI /3.5) c + (6EI /12.25) + 0 + (4EI /3.5) d + (6EI/12.25) +
-1.10+ (2EI /3.5) c + (6EI /12.25) + -1.23 + (2EI /3.5) d +(6EI/12.25) = 4.3
0 EI b + 1.71 EI c + 1.71 EI d + 1.96 EI = 5.16 (IV) 1.66 0.4 0 0.24 b -4.17/ EI
0.4 2.74 0.4 0.49 c 2.7/ EI
0 0.4 1.94 0.49 d 4/ EI
0 1.71 1.71 1.96 5.16/ EI
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b = -2.79/EI c = 1.11/EI d = 1.81/EI = 0.08/EI
Remplazando b, c, d y :
Mba = (3EI/ 3.5) (-2.79/EI) + (3EI/12.25) (0.08/EI) = - 2.37 T-m
Mbc = 4.17 + (4EI / 5) (-2.79/EI) + (2EI / 5) (1.11/EI) = 2.38 T-m
Mcb = -4.17 + (4EI / 5) (1.11/EI) + (2EI / 5) (-2.79/EI) = - 4.39 T-m
Mce = 1.47+ (4EI /3.5) (1.11/EI) + (6EI /12.25) (0.08/EI) = 2.78 T-m
Mcd = 0 + (4EI / 5) (1.11/EI) + (2EI / 5) (1.81/EI) = 1.61 T-m
Mdc = 0 + (4EI / 5) (1.81/EI) + (2EI / 5) (1.11/EI) = 1.89 T-m
Mdf = 0 + (4EI /3.5) (1.81/EI) + (6EI/12.25) (0.08/EI) = 2.11 T-m
Mec = -1.10+ (2EI /3.5) (1.11/EI) + (6EI /12.25) (0.08/EI) = -0.43 T-m
Mfd = -1.23 + (2EI /3.5) (1.81/EI) + (6EI/12.25) (0.08/EI ) = -0.16 T-m
Mab = 0
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Diagrama de momento flector
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
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EA = axial = 0
Ejercicio 4:
Paso 1:
paso2:
Momentos del tramo ab:
= 0.44 T-m = -0.66 T-m
Condensar giro d
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Momentos del tramo bc
Momentos del tramo cd
1.11T-m 1.11T-m
0.45T-m 0.66T-m
M0bc = 1.11 T-m + 0.45T-m = 1.56 T-m
1.56T-m 1.77T-m
-2.23T-m 2.23T-m
0.44T-m -0.66T-m
2.67T-m 2.89T-m
0.84T/m
M0cb = -1.11 T-m - 0.66T-m = -1.77 T-m
M0cd = 2.23 T-m + 0.44T-m = 2.67 T-m
M0dc = -2.23 T-m - 0.66T-m = -2.89 T-m
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Paso3:
Mba = M0ba + (2EI / 4) 2b + 0 + 0 = -0.66 + (4EI / 4) b
Mbc = M0bc + (2EI / 4) 2b + c + 0 = 1.56 + (4EI / 4) b + (2EI / 4) c
Mcb = M0cb + (2EI /4) 2c + c + 0 = -1.77+ (4EI /4) c + (2EI /4) b
Mcd = M0cd - (M0dc/2) + (3EI /Ldc) c + 0 = 2.67 - (-2.89/2) + (3EI/ 4) c
Remplazando:
(a) Y (b) en I
-0.66 + (4EI / 4) b + 1.56 + (4EI / 4) b + (2EI / 4) c = 0
2EI b + 0.5EI c = -0.90 (I)
(c) Y (d) en II
-1.77+ (4EI /4) c + (2EI /4) b + 2.67 - (-2.89/2) + (3EI/ 4) c = 0
0.5EI b + 1.75EI c = -2.35 (II)
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2 0.50 b -0.90/ EI
0.5 1.75 c -2.35/ EI
b = -0.12/EI c = -1.31/EI
Remplazando b y c:
Mba = -0.66 + (4EI / 4) (-0.12/EI) = - 0.78 T-m
Mbc = 1.56 + (4EI / 4) (-0.12/EI) + (2EI / 4) (-1.31/EI) = 0.78 T-m
Mcb = -1.77+ (4EI /4) (-1.31/EI) + (2EI /4) (-0.12/EI) = - 3.14 T-m
Mcd = 2.67 - (-2.89/2) + (3EI/ 4) (-1.31/EI) = 3.14 T-m
Mdc = 0
Diagrama de momento flector:
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M0db =-2.4 T-m M0bd =1.6 T-m
Ejercicio 5:
Solucin:
3m
2.5m
4m
3T/m
3T/m
4m 3m -1.5 T-m
M0ab =1.5 T-m M0ba =-1.5 T-m
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Mba = M0ba -(M
0ab / 2)+ (3EI /Lab) b + 0 = -1.5 - (1.5 / 2) + (3EI/ 3) b
Mbc = M0bc + (2EI / 2.5) 2b+c+0 = 0 + (4EI / 2.5) b + (2EI / 2.5) c
Mbd = M0bd - (M0db/2) + (3EI /Ldb) b + 0 = 1.6 - (-2.4/2) + (3EI/ 4) b
Mcb = M0cb+ (2EI /2.5) 2c + b+0 = 0 + (4EI / 2.5) c + (2EI / 2.5) b
Remplazando:
(a), (b) y (c) en (I)
-1.5-(1.5/2) + (3EI/ 3) b + (4EI/ 2.5) b + (2EI/ 2.5) c + 1.6-(-2.4/ 2) + (3EI/ 4) b = 0
3.35 EI b + 0.8 EI c + = - 3.55 (I)
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(d) En (II)
(4EI / 2.5) c + (2EI/2.5) b+ = 0
0.8 EI b + 1.6 EI c = 0 (II)
3.35 0.8 b -3.55/ EI
0.8 1.6 c 0
b = -1.20/EI c = -0.60/EI
Mba = -1.5 - (1.5 / 2) + (3EI/ 3) (-1.20/EI) = -3.45 T-m
Mbc = 0 + (4EI / 2.5) (-1.20/EI) + (2EI / 2.5) (-0.60/EI) = -2.4 T-m
Mbd = 1.6 - (-2.4/2) + (3EI/ 4) (-1.20/EI) = 1.9 T-m
Mcb = 0 + (4EI / 2.5) (-0.60/EI) + (2EI / 2.5) (-1.20/EI) = 1.92 T-m
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Diagrama de momento flector:
MATRIZ DE RIGIDEZ POR DEFINICION
EJEMPLO:
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D1 y D2 SON DE ROTACION Y D3 DE TRASLACION
VECTOR DE DESPLAZAMIENTO GLOBALES DE LA ESTRUCTURA
EJEMPLO:
{} = EJEMPLO:
{} =
LEY DE HOOKE GENERALIZADA: {} = { } K = MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE LA ESTRUCTURA
EJEMPLO: {} = { } SI D1 = 1 , D2 = D3 = 0
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K11 K12 K13K21 K22 K23K31 K32 K33 D1 = 1D2 = 0D3 = 0 = K11K21K31 = Q1Q2Q3
SI D2 = 1 , D1 = D3 = 0
K11 K12 K13K21 K22 K23K31 K32 K33 D1 = 0D2 = 1D3 = 0 = K12K22K32 = Q1Q2Q3
FUERZAS EXTERNAS UNITARIAS
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SI D3 = 1 , D1 = D2 = 0
K11 K12 K13K21 K22 K23K31 K32 K33 D1 = 0D2 = 0D3 = 1 = K13K23K33 = Q1Q2Q3
CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ:
EJEMPLO #1:
D1 = 1 , D2 = D3 = 0
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K11 = Mbc + Mba
- Hallar Mbc
Mbc = M0bc + (2EIV / LV) 2D1 + D2 + 0
Mbc = 0 + (2EIV / LV) 2 (1) + (0) + 0
Mbc = 4EIV / LV
- Hallar Mba
Mba = M0ba + (2EIC / h) 2D1 + D2+ (3D3/h)
Mba = 0+ (2EIC / h) 2 (1) + 0 + (3x0/h)
Mba = 4EIC / h
Remplazando:
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K11 = 4EIV / LV + 4EIC / h
K21 = Mcb + Mcd
- Hallar Mcb
Mcb = M0cb + (2EIV / LV) 2D2 + D1 + 0
Mcb = 0 + (2EIV / LV) 2 (0) + (1) + 0
Mcb = 2EIV / LV
- Hallar Mcd
Mcd = M0cd + (2EIC / h) 2D2 + D1+ (3D3/h)
Mcd = 0+ (2EIC / h) 2 (0) + 0 + (3x0/h)
Mcd = 0
Remplazando:
K21 = 2EIV / LV
Vba x h - Mab - Mba = 0
= + = + = Vba = 6EIC/h2
F(x) = 0
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K31 Vba = 0
K31 = 6EIC/h2
D2 = 1 , D1 = D3 = 0
K12 = Mbc + Mba K22 = Mcb + Mcd K32 Vcd = 0
K12 = 2EIV / LV K22 = 4EIV / LV + 4EIC / h K32 = 6EIC/h2
D3 = 1 , D1 = D2 = 0
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K13 = Mbc + Mba
- Hallar Mbc
Mbc = M0bc + (2EIV / LV) 2D1 + D2 + 0
Mbc = 0 + (2EIV / LV) 2 (0) + (0) + 0
Mbc = 0
- Hallar Mba
Mba = M0ba + (2EIC / h) 2D1 + D2+ (3D3/h)
Mba = 0+ (2EIC / h) 2 (0) + 0 + (3x1/h)
Mba = 6EIC / h2
Remplazando:
K13 = 6EIC / h2
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K23 = Mcb + Mcd
- Hallar Mcb
Mcb = M0cb + (2EIV / LV) 2D2 + D1 + 0
Mcb = 0 + (2EIV / LV) 2 (0) + (0) + 0
Mcb = 0
- Hallar Mcd
Mcd = M0cd + (2EIC / h) 2D2 + D1+ (3D3/h)
Mcd = 0+ (2EIC / h) 2 (0) + 0 + (3x1/h)
Mcd = 6EIC / h2
Remplazando:
K23 = 6EIC / h2
Vba x h - Mab - Mba = 0
- Hallar Mab
Mab = M0ab + (2EIC / h) 2D2 + D1+ (3D3/h)
Mac = 0+ (2EIC / h) 2 (0) + 0 + (3x1/h)
Mab = 6EIC / h2
= + = + = Vba = 12EIC/h3 y Vcd = 12EIC/h3
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F(x) = 0
K33 Vba Vcd = 0
K33 = 12EIC/h3 + 12EIC/h3 = 24EIC/h3
4
+ 4
2
622
4
+ 4
626
26
224
3
K21 = K12
K31 = K13
K32 = K23
EJEMPLO #2:
Hallar K de la estructura mostrada:
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D1 = 1 , D2 = D3 = 0
K11 = 4EIV / LV + 4EIC / h K21 = 2EIV / LV K31 = 6EIC/h2
K11 = 4EIV / 5 + 4EIC / 3 K21 = 2EIV / 5 K31 = 6EIC/9
D2 = 1 , D1 = D3 = 0
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Hallar:
= + + = + . + .
= .
= . =
= . = . F(x) = 0
K33 Vcd = 0
K33 = Vcd
K12 = 2EIV / LV K22 = 4EIV / LV + 3EIC / h K32 = 3EIC/h2
K12 = 2EIV / 5 K22 = 4EIV / 5 + 3EIC / 2.5 K32 = 3EIC/2.52
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D3 = 1 , D1 = D2 = 0 Hallar: = + +
= + . + . = .
= . =
= . = .
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K33 Vba Vcd = 0 K33 = 12EIC/h3 + 3EIC/h3 K13 = 6EIC / h2 K23 = 3EIC / h2 K33 = 12EIC/h3 + 3EIC/h3 K13 = 6EIC / 32 K23 = 3EIC / 2.52 K33 = 24EIC/33 + 3EIC/2.53 43 + 45 25 63225 45 + 32.5 32.52632 32.52 1233 + 32.53
EJEMPLO #3: RESOLVER POR EL METODO DE RIGIDEZ POR DEFINICION: E = 2 x 106 Ton/m2 I = 0.30 x (0.55)3/12
= 1. G.D.L = 2
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2. D1 = 1 y D2 = 0 K11 - Mab =0 K11 = Mab K11 =4EI/5
K21 - Mba - Mbc =0 K21 = Mba + Mbc K21 =2EI/5 D2 = 1 y D1 = 0
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K12 - Mab =0 K12 = Mab K12 =2EI/5
K22 - Mba - Mbc =0 K22 = Mba + Mbc K22 =4EI/5 + 4EI/6 Hallar EI:
IE = 0.30 x 0.55312 x(2x106) = 8318.75 Ton m2 K {D} = {Q} 4EI5 2EI52EI5 45 + 46
1
2
= 06 6655
3327.5 3327.5
12200.8 1
2
= 06 D1 = 2.85 x 10-4 D2 = -5.69 x 10-4
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Por otro metodo, condensando:
D1 =1
K11 - Mba - Mbc =0 K22 = Mba + Mbc
Hallar el Mab
Mba = M0ba M0ab2 + 3EILab D1 + 0Lab Mba = 0 02 + 3EI5 1 + 05
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= K11 =3EI/5 + 4EI/6
35 + 46 1 = 6 10537.051 = 6 1 = 5.69 104
EJEMPLO #4:
E = 2 x 106 T/m2
Solucin:
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D1 = 1 , D2 = D3 = D4 = 0
K11 - Mab =0 K11 = Mab K21 - Mba =0 K21 = Mba
K11 =4EI/4 K21 =2EI/4
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K41 - Mcb =0 K41 = Mcb K31 Mdb =0 K21 =Mdb
K41 =0 K31 =0
D2 = 1 , D1 = D3 = D4 = 0
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K12 - Mab =0 K12 = Mab K22 - Mba -Mbc -Mbd =0
K12 =2EI/4 K22 =4EI/4+4EI/3 +4EI/3.5
K42 Mcb =0 K42 = Mcb K32 Mdb =0 K32 =Mdb
K42 =2EI/3 K32 =2EI/3.5
D3 = 1 , D1 = D2 = D4 = 0
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K13 - Mab =0 K13 = Mab K23 - Mbd =0 K23=Mbd
K13 =0 K23 =2EI/3.5
K43 Mcb =0 K43 = Mcb K33 Mdb =0 K33 =Mdb
K43 =0 K33 =4EI/3.5
D4 = 1 , D1 = D2 = D3 = 0
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K14 - Mab =0 K14 = Mab K24 - Mbc =0 K24=Mbc
K14 =0 K24 =2EI/3
K44 Mcb =0 K44 = Mcb K34 Mdb =0 K34 =Mdb
K44 =4EI/3 K34 =0
/2EI/400 2EI/4
+
. + 2EI/3.52EI/3 02EI/3.5
/. 0 02EI/30
/ D1D2D3D4 =
0800
IE = 0.25 x 0.40312 x(2x106) = 2666.67 Ton m2
. 1333.3400 1333.34. 1523.811777.78
01523.81. 0
01777.780.
D1D2D3D4 = 0800
D1 = -5.75 x 10-4 D2 = 1.15 x 10-3 D3 = -5.75 x 10-4 D4 = -5.75 x 10-4
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METODO DE RIGIDEZ DIRECTA (Con matrices de transformacin A)
LEY DE HOOKE GENERALIZADA:
{} = K {D}.. (I)
Dnde:
{} mx1 = vector de cargas globales de la estructura
{D} mx1 = vector de desplazamiento globales de la estructura
{K} mxm = matriz de rigidez global de la estructura
Dnde: m = # G.D.L
DEFINIR:
{d} e = Ae {D}. (II)
{d} e = desplazamiento locales del elemento
Ae = matriz de compatibilidad o transformacin del elemento.
Ejemplo: EA =
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Solucin:
nicamente por flexin
{de} e = vector desplazamiento del elemento en coordenadas locales.
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{q}e = Ke {d}e -----------------------(III)
{q} e = vector de cargas del elemento
D1 = 1 D2 = 1
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D3 = 1 D4 = 1
=
0000 0000
0001 0000
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{d} e = Ae {D}. (II)
Ejemplo:
= 0000 0100
0001 0000
= 00
Si
{} = {}=
() PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL:
Wext = Wint
{} . {} = {} . {}=
{} . {} = {( {}) } . {}=
{} . {} = {( {}) } . {}= {} = {{}) . {} PRINCIPO DE LA CONTRAGRADIENCIA
=
PASOS:
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1. Definir los grados de libertad G.D.L {D} m , m = # G.D.L. 2. Generar las matrices de compatibilidad o matrices de transformacin de C/elemento; Ae.
3. Generar la matrices de rigidez en coordenadas locales de C/elemento; Ke. 4. Proceso de ensamblaje, obtencin de la matriz de rigidez global de la estructura,
KG.
{} = {} {} 5. Generar el vector de cargas globales de la estructura {}.
{} = {} + {} {} = {} 6. Resolver {} = KG {D} --------------OBTENER {D}
7. Hallar {q}e = Ke Ae {D} - {q}eeq
8. Hallar {d}e = Ae {D} y D.M.F y D.F.C
{} = KTOTAL {D}
DONDE:
{} = =
, = #. . SI: solo por flexin.
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d1 = 1 , d2 = d3 = d4 = 0
d2 = 1 , d1 = d3 = d4 = 0
d3 = 1 , d1 = d2 = d4 = 0
d4 = 1 , d1 = d2 = d3 = 0
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=
12EI/36EI/212EI/36EI/2
6EI/24EI/L6EI/22EI/L
12EI/36EI/212EI/36EI/2
6EI/22EI/L6EI/24EI/L
Ejemplo#1:
Resolver: E = 2x 106 T/m2 , EA =
Solucin:
Paso 1:
G.D.L = 2
Paso 2: D1 = 1 , D2 = 0
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=
0001 0000 42
Paso 2: D2 = 1 , D1 = 0
=
0100 0001 42
Paso 3:
{} = =
= + = . .
() =
= = 347.221041.67347.221041.67
1041.674166.671041.672083.37
347.221041.67347.221041.67
1041.672083.371041.674166.67
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= 00 00 00 10 347.221041.67347.221041.67 1041.674166.67
1041.672083.37 347.22
1041.67347.221041.67
1041.672083.371041.674166.67
0001 0000
00 10 00 01 347.221041.67347.221041.67 1041.674166.67
1041.672083.37 347.22
1041.67347.221041.67
1041.672083.371041.674166.67
0100 0001
= 4166.670 00 4166.672083.32 2083.324166.67 8333.332083.32 2083.324166.67
Paso 4: {}
= = = + {} + {}
{q}1 = q1q2q3q4 = 9 Tn9 T m9 Tn
9 T m {q}1eq = 9 Tn
9 T m9 Tn+9 T m
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{q}2 = q1q2q3q4 = 2.5 Tn3.75 T m2.5 Tn
3.75 T m {q}1eq = 2.5 Tn
3.75 T m2.5 Tn+3.75 T m
12 = 00 + 0 0 00 0 0 10 999+9 + 0 1 00 0 0 01 2.5
3.752.5+3.75
12 = 00 + +90 + 3.75+3.75 = . .
{} = KTOTAL {D} KTOTAL {D} = {}
8333.33 2083.332083.33 4166.67 D1D2 = . . D1D2 = . . {q} 1 = K1 A1 {D} - {q}1eq
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q1 = Viq2 = Miq3 = Vjq4 = Mj
= 347.221041.67347.221041.67 1041.674166.67
1041.672083.33 347.22
1041.67347.221041.67
1041.672083.331041.674166.67
0001 0000 . .
999+9 =
. . .
. {q} 2 = K2 A2 {D} - {q}2eq
q1 = Viq2 = Miq3 = Vjq4 = Mj
= 347.221041.67347.221041.67 1041.674166.67
1041.672083.33 347.22
1041.67347.221041.67
1041.672083.331041.674166.67
0100 0001 . .
2.53.752.5+3.75 =
. . .
Diagrama de momento:
Ejemplo#2:
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Paso 1:
D1 = 1 , D2 = D3 = D4 =0 D2 = 1 , D1 = D3 =D4 = 0
Paso 2:
=
0001 0000
0000 0010 =
0000 0001
0000 0010
D3 = 1 , D1 = D2 = D4 =0 D4 = 1 , D1 = D2 =D3 = 0
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=
0100 0001
0000 0000 =
0000 0100
0001 0000
Paso 3:
{} = =
= + + + = . .
() = .
= = = = 1185.21777.81185.21777.8 1777.83555.6
1777.81777.8 1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
= 0000 0000
0001
1000 1185.21777.8
1185.21777.8 1777.83555.6
1777.81777.8 1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
0001 0000
0000 00
10
Anlisis estructural Avanzado
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0000 0000
0001
0100 1185.21777.8
1185.21777.8 1777.83555.6
1777.81777.8 1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
0000 0001
0000 00
10 0000
1000 0000
0100 1185.21777.8
1185.21777.8 1777.83555.6
1777.81777.8 1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
0100 0001
0000 0000
0000 0100
0000 0010
1185.21777.81185.21777.8
1777.83555.61777.81777.8
1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
0000 0100
0001 0000
= 7111.21777.801777.8 1777.810666.81777.81777.8
01777.83555.60 1777.81777.802370.4
Paso 4: {}
= = = = = + + + +
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{q}1 = q1 = 2.5 Tnq2 = 1.87 T mq3 = 2.5Tnq4 = 1.87 T m , {q}1eq = q1 = 2.5 Tnq2 = 1.87 T mq3 = 2.5 Tnq4 = +1.87 T m
{q}3 = q1 = 3 Tnq2 = 1.5 T mq3 = 3Tnq4 = 1.5 T m , {q}3eq = q1 = 3 Tnq2 = 1.5 T mq3 = 3 Tnq4 = +1.5 T m
1234
= 0800 + 0000
0000 000
1 1000
2.51.872.5+1.87 +
0000 0000
0001
0100 0000 +
0000 1000
0000 0100
31.523+1.5 +
0000 0100
0000 0010
0000 = 123
4
= 0800 + 1.87002.5 +
0000 + 1.51.500 +
0000 = . .
.
{} = KTOTAL {D} KTOTAL {D} = {}
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. . .
. . . .
. .
. . .
D1D2D34 = 0.379.502.5
= . . .
{q} 1 = K1 A1 {D} - {q}1eq
q1 = Viq2 = Miq3 = Vjq4 = Mj
= 1185.21777.81185.21777.8
1777.83555.61777.81777.8
1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
0001 0000
0000 00
10
. . .
2.51.872.5+1.87 =
. .
. .
{q} 2 = K2 A2 {D} - {q}2eq
q1 = Viq2 = Miq3 = Vjq4 = Mj
= 1185.21777.81185.21777.8
1777.83555.61777.81777.8
1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
. . .
0000 = . . .
.
{q} 3 = K3 A3 {D} - {q}3eq
= = = =
= 1185.21777.81185.21777.8
1777.83555.61777.81777.8
1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
. . .
31.53+1.5 =
. . . .
{q} 4 = K4 A4 {D} - {q}4eq
= = = =
= 1185.21777.81185.21777.8
1777.83555.61777.81777.8
1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
. . .
0000 = . .
.
Anlisis estructural Avanzado
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Diagrama de momento:
Ejemplo#3: el mismo que el #2 pero darle solucin con el metodo de la condensacin:
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Paso 1:
D1 = 1 , D2 = D3 =0 D2 = 1 , D1 = D3 = 0
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=
0001 0000
0010 =
0000 0001
0010
Paso 2:
D3 = 1 , D1 = D2 =0
= = + + +
= = + + + + = = = , =
=
0000 010
1/2 0000
Paso 3:
{} = =
= + + +
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= . .
() = .
= = = = 1185.21777.81185.21777.8 1777.83555.6
1777.81777.8 1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
= 000 000 001 100
1185.21777.81185.21777.8
1777.83555.61777.81777.8
1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
0001 0000
0010
000 000 001 010 1185.21777.8
1185.21777.8 1777.83555.6
1777.81777.8 1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
0000 0001
0010 000 100 000 010
1185.21777.81185.21777.8
1777.83555.61777.81777.8
1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
0100 0001
0000 000 010 000 01/20
1185.21777.81185.21777.8
1777.83555.61777.81777.8
1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
0000 010
1/2 0000
= 7111.21777.81777.8 1777.88444.61777.8 1777.81777.82370.4 3x3 Paso 4: {}
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= = = = = + + + +
{q}1 = q1 = 2.5 Tnq2 = 1.87 T mq3 = 2.5Tnq4 = 1.87 T m , {q}1eq = q1 = 2.5 Tnq2 = 1.87 T mq3 = 2.5 Tnq4 = +1.87 T m
{q}3 = q1 = 3 Tnq2 = 1.5 T mq3 = 3Tnq4 = 1.5 T m , {q}3eq = q1 = 3 Tnq2 = 1.5 T mq3 = 3 Tnq4 = +1.5 T m
123
= 080 + 000 000 001 100 2.51.872.5+1.87 + 000 000 001 010 0000 +
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000 100 000 010 31.53+1.5 + 000 010 000 0
1/20 0000 =
123
= 080 + 1.8702.5 + 000 + 1.51.50 + 000 = . . .
{} = KTOTAL {D} KTOTAL {D} = {}
7111.21777.81777.8 1777.88444.61777.8 1777.81777.82370.4 D1D2D3 = . . .
= . . .
{q} 1 = K1 A1 {D} - {q}1eq
= = = =
= 1185.21777.81185.21777.8
1777.83555.61777.81777.8
1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
. . .
2.51.872.51.87 =
. . .
. {q} 2 = K2 A2 {D} - {q}2eq
= = = =
= 1185.21777.81185.21777.8
1777.83555.61777.81777.8
1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
. . .
0000 = . .
. .
{q} 3 = K3 A3 {D} - {q}3eq
= = = =
= 1185.21777.81185.21777.8
1777.83555.61777.81777.8
1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
. . .
31.53+1.5 =
. . . .
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{q} 4 = K4 A4 {D} - {q}4eq
= = = =
= 1185.21777.81185.21777.8
1777.83555.61777.81777.8
1185.21777.81185.21777.8
1777.81777.81777.83555.6
/
. . .
= . . .
Diagrama de momento:
METODO DE CONDENSACION ESTATICA
Sea por ejemplo:
Anlisis estructural Avanzado
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K11K21K31 K12K22K32
K13K23K33
D1D2D3
=
GENERALIZANDO:
{}{} = {}{}
{} + {} = {} (1)
{} + {} = {F} .... (2)
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{} + {} = {}
T {} = - T {} I {} = - -1 {} {} = - -1 {} ..... (3)
{} = T {} ..... (4)
DONDE:
T = - -1 . (5)
Remplazando (3) en (2) tenemos:
(- -1 {}) + {} = {F}
{F} = - -1 {} {F} = L {}
L = rigidez lateral.
{F} = L {} (6)
SIENDO:
L = - -1
Ejemplo #1: hallar la rigidez lateral de la estructura mostrada y graficar D.M.F.
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Solucin:
D1 = 1 , D2 = D3 = 0
K11 = 4EIV / LV + 4EIC / h
K11 = 4EIV / 7 + 4EIC / 3.5
K21 = 2EIV / LV
K21 = 2EIV / 7
K31 = 6EIC/h2
K31 = 6EIC/12.25
D2 = 1 , D1 = D3 = 0
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K22 = 2EIV / LV
K12 = 2EIV / 7
K22 = 4EIV / LV + 4EIC / h
K22 = 4EIV / 7 + 4EIC / 3.5
K32 = 6EIC/h2
K32 = 6EIC/12.25
D3 = 1 , D1 = D2 = 0
K13 = 6EIC/h2
K13 = 6EIC/12.25
K23 = 6EIC/h2
K23 = 6EIC/12.25
K33 = 12EIC/h3
K33 = 12EIC/42.88
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4EIC/3.5 + 4EIV/7 4EIV/7 6EIC/12.25 D1 0
4EIV/7 4EIC/3.5 + 4EIV/7 6EIC/12.25 D2 = 0
6EIC/12.25 6EIC/12.25 24EIC/42.88 D3 F
EIV = (2x106)x 0.30 x 0.60312 = 10800 Ton m2 EIC = (2x106)x 0.30 x 0.65312 = 13731.25 Ton m2
21864.3 3085.7 6725.5 D1 0
3085.7 21864.3 6725.5 D2 = 0
6725.5 6725.5 7686.3 D3 7
L = - -1 = . . . . . . . . .
L = 5692.09 T/m2 {F} = L {} {7} = 5692.09 {} = 5692.09/7 = 1.2 x 10-3 m T = - -1
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= . . . . . .
= . .
{} = T {}
= . . . = = . .
= = . . COLUMNA:
Msup = M0ba + (2EIC / h) 2D1 + 0+ 3D3 /h
= + . . (. ) + (. ). Msup = 3.05 Tn-m
Minf = M0ab + (2EIC / h) 0 + D1+ 3D3 /h
= + . . (. ) + (. ). Minf = 5.53 Tn-m
VIGA:
MIZ = M0ab + (2EIV / L) 2D1 + D2 + 0
= + {(. ) + (. )} MIZ = -2.99 Tn-m
MDER = M0ba + (2EIV / L) 2D2 + D1+ 0
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2.5 Kip/Pie
= + {(. ) + (. )} MIZ = -2.99 Tn-m
DIAGRAMA DE MOMENTOS:
Ejemplo #2: resolver el problema usando el metodo de rigidez directa con matrices de transformacin. A.
18 Kip
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E= 29000 KSI , I=1780 plg4
SOLUCIN:
PASO 1:
Armaduras:
Si: d1 = 1 d2 = 1
CABLE
A=1.6plg2
EA=
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K11= EA/L K12=-EA/L
K21= -EA/L K22=-EA/L
= / // / Paso 2:
D1 = 1 , D2 = D3 = 0
D2 = 1 , D1 = D3 = 0
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D3 = 1 , D1 = D2 =0
= 45 , cos = x/1 , x = cos = cos 45 = 0.707
Paso 3:
{} = =
= + + EI = 29000 x 1780 = 5162x 104 Kip-pie2
EA = 29000 x 1.6 = 46400 Kip
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= = 358472.22150833.3358472.22150833.3 2150833.317206666.7
2150833.38603333.3 358472.2
2150833.3358472.22150833.3
2150833.38603333.32150833.317206666.7
= 3866.73866.7 3866.73866.7
= 000 000 001 100 358472.22150833.3
358472.22150833.3 2150833.317206666.7
2150833.38603333.3 358472.2
2150833.3358472.22150833.3
2150833.38603333.32150833.317206666.7
0001 0000
0010
000 100 000 010 358472.22150833.3
358472.22150833.3 2150833.317206666.7
2150833.38603333.3 358472.2
2150833.3358472.22150833.3
2150833.38603333.32150833.317206666.7
0100 0001
0000 000 000.707 3866.73866.7 3866.73866.7 0 0 00 0 0.707
= 34413333.48603333.32150833.3 8603333.317206666.70 2150833.30360405 Paso 4: {}
= = = = + {} + {} + {}
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{q}2 = q1q2q3q4 =
15301530 , {q}eq2 =
q1q2q3q4 = 153015+30
123
= 008 + 000 000 001 100 0000 + 000 100 000 010 153015+30 +
000 000.707 0000
=
+
+ +
+
= ++ {} = KTOTAL {D} KTOTAL {D} = {}
34413333.48603333.32150833.3 8603333.317206666.70 2150833.30360405 = ++
= . .
. {q} 1 = K1 A1 {D} - {q}1eq
q1 = Viq2 = Miq3 = Vjq4 = Mj
= 358472.22150833.3358472.22150833.3
2150833.317206666.72150833.38603333.3
358472.22150833.3358472.22150833.3
2150833.38603333.32150833.317206666.7
0001 0000
0010 5.410
64.41065.4105
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q1 = Viq2 = Miq3 = Vjq4 = Mj
= . . . .
{q} 2 = K2 A2 {D} - {q}2eq
q1 = Viq2 = Miq3 = Vjq4 = Mj
= 358472.22150833.3358472.22150833.3
2150833.317206666.72150833.38603333.3
358472.22150833.3358472.22150833.3
2150833.38603333.32150833.317206666.7
0100 0001
0000 5.41064.41065.4105
153015+30
q1 = Viq2 = Miq3 = Vjq4 = Mj
= . . . .
{q} 3 = K3 A3 {D} - {q}3eq
q1 = Viq2 = Miq3 = Vjq4 = Mj
= 3866.73866.7 3866.73866.7 0 0 00 0 0.707 5.41064.41065.4105 =
00.100 Diagrama de momento:
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METODO DE RIGIDEZ DIRECTA (Cosenos directores)
EJEMPLO:
{D} = DESPLAZ.GLOBALES DE LA ESTRUCTURA EN COORDENADAS GLOBALES
48 G.D.L
{} = VECTOR DE CARGAS GLOBALES DE LA ESTRUCTURA EN COORDENADAS GLOBALES
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LEY DE HOOKE GENERALIZADA
{} mx1 = KTOTALmxm {D} mx1 . (I) m= #G.D.L
DEL METODO ANTERIOR;
{} = ATe Ke Ae {D} ..... (II)
ELEMENTO (e)
{d}e =
d1d2d3d4d5d6
6x1
=
{d} e = Ae {D}
{} = A AL {D} .. (III)
Ejes LOCALES
Ejes GLOBALES
Vector de desplazamiento en coordenadas locales/elemento
Se incluye deformaciones axiales.
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Dnde:
A=Matriz de cosenos directores. AL = Matriz de localizacin.
d1= d*1 cos + d*2 sen d2= d*1 sen + d*2 cos d2= d*3
d1d2d3d4d5d6 =
cosseno0000
senocos0000 001000
000cosseno0
000senocos0 000001
6x6
d1d2d3d4d5d6
A {d}e = A {d}*e (IV)
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Ejemplo:
[AL]1 =
d1d2d3d4d5d6 D1 D2 D3 D4 D5000100
000010 000001
000000 000000
6 x G.D.L 6 x 5
6 x 5 DESPLAZ. DE ELEMENTOS EN COORD. GLOBALES
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[A]1 =
010000
100000 001000
000010
000100 000001
FORMULACION DE METODO {d}e = [A]e [AL] e {D} ---------------------------------------- (1) {q}e = [Ke]6x6 {d}e ----------------------------------------------- (2) {} = ATe Ke Ae {D}
{} = ALT AT Ke Ae ALe {D} ----------------------------------- (3) Ke = matriz de rigidez del elemento en coord. Locales.
{} = KTOTAL {D} ----------------------------------------------- (4) {} = {}CONC + [A]eTn
e=1
{q}eeq {} = {}CONC + [AL]Tne=1 [A]T {q}eeq -------------------------------------- (5) {q} e = Ke Ae ALe {D} - {q}eeq --------------------------------- (6)
=90 =0
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4 T-m
[K]ARM = d1d2 d1 d2 EA/LEA/L EA/LEA/L
[K]e =
EA/L00EA/L00
012EI/L36EI/L20
12EI/L36EI/L2
06EI/L24EI/L06EI/L22EI/L
EA/L00EA/L00
0
12EI/L36EI/L2012EI/L36EI/L2
06EI/L22EI/L0
6EI/L24EI/L
EJEMPLO N1:
25x45
4 m
2 m
2 m
6 T
25x45
25x45
Anlisis estructural Avanzado
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UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO
[AL]1 = d1d2d3d4d5d6
D1 D2 D3 D4 D5 D6000100
000010 000001
000000 000000
000000
[AL]3 = d1d2d3d4d5d6
D1 D2 D3 D4 D5 D6100000
010000 001000
000100 000010
000001 = [I]
Anlisis estructural Avanzado
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[A]1 = [A]2 =
010000
100000 001000
000010
000100 000001
A = 0.25 x 0.45 = 0.1125 m2
E = 2 x 106 T/m2 , L = 4m
I = (0.25 x 0.453) / 12 = 1.89 x 10-3 m4
EI = (2x106)x 0.25 x 0.45312 = 3796.88 Ton m2 EA = (2x106)x(0.25 x 0.45) = 225000 Ton [K]1 = [K]2 = [K]3 =
56250005625000
0711.91423.80711.91423.8
01423.83796.901423.81898.4
56250005625000 0711.91423.80711.9
1423.8 01423.81898.40
1423.83796.9
{KTOTAL} = ALeT AeT Ke ne=1
ALe Ae {KT} = A1T A1TK1A1A1 + 2A2T K22A2 + 3 A3T K333
[] =
. .
. .
. .
. .
.
.
. .
. .
. .
Anlisis estructural Avanzado
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UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO
2.67 T-m 2.67 T-m
4 Tn 4 Tn
3 T-m 3 T-m 2 m 2 m
+
. .
. .
. .
. .
.
.
. .
. .
. .
+
. .
. .
. .
. .
.
.
. .
. .
. .
=
[KTOTAL] =56961.901423.85625000
056961.91423.80711.91423.8
1423.81423.87593.801423.81898.4
562500056961.901423.80
711.91423.8056961.91423.8
01423.81898.41423.81423.87593.8
{} = {}CONC + [AL]Tne=1
[A]T {q}eeq
2 T/m
4 m
6 T
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{}CONC =
1 = 02 = 03 = 04 = 05 = 06 = 4
{} = {}CONC + [AL]1T [A]1T {q}1eq + [AL]3T [A]3T {q}3eq
{} =
000004 +
000000
000000 000000
100000 010000
001000
010000
100000 001000
000010 000
100 000001
03303+3
+ [I] [I]
04
2.6704+2.67
{} =
000004 +
303000 +
04
2.6704+2.67
=
340.33046.67
{} = KTOTAL {D}
KTOTAL {D} = {}
Anlisis estructural Avanzado
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56961.901423.85625000
056961.91423.80711.91423.8
1423.81423.87593.801423.81898.4
562500056961.901423.80
711.91423.8056961.91423.8
01423.81898.41423.81423.87593.8
=
.
.
D1D2D3D4D5D6 =
2.06x1037.4x105
4.89x1042.01x1031.55x1056.34x104
{q} e = Ke Ae ALe {D} - {q}eeq
{q}1 =
q1 = Axiiq2 = Viq3 = Miq4 = Axijq5 = Vjq6 = Mj
= [Ke]1 [A]1 [AL]1 {D} {q}1eq {q}1 =
56250005625000
0711.91423.80711.91423.8
01423.83796.901423.81898.4
562500056250000
711.91423.80711.91423.8
01423.81898.401423.83796.9
2.06x1037.4x105
4.89x1042.01x1031.55x1056.34x104
03303+3
{q}1 =
q1 = 4.16 Tnq2 = 3.77 Tnq3 = 3.12 T mq4 = 4.16 Tnq5 = 2.23 Tnq6 = 2.88 T m
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{q}2 =
q1 = Axiiq2 = Viq3 = Miq4 = Axijq5 = Vjq6 = Mj
= [Ke]2 [A]2 [AL]2 {D} {q}2eq {q}2 =
56250005625000
0711.91423.80711.91423.8
01423.83796.901423.81898.4
562500056250000
711.91423.80711.91423.8
01423.81898.401423.83796.9
2.06x1037.4x105
4.89x1042.01x1031.55x1056.34x104
000000
{q}2 =
q1 = 0.87 Tnq2 = 2.33 Tnq3 = 4.07 T mq4 = 0.87 Tnq5 = 2.33 Tnq6 = 4.07 T m
{q}3 =
q1 = Axiiq2 = Viq3 = Miq4 = Axijq5 = Vjq6 = Mj
= [Ke]3 [A]3 [AL]3 {D} {q}3eq
{q}3 =
56250005625000
0711.91423.80711.91423.8
01423.83796.901423.81898.4
562500056250000
711.91423.80711.91423.8
01423.81898.401423.83796.9
[] []
2.06x1037.4x105
4.89x1042.01x1031.55x1056.34x104
04
2.6704+2.67
{q}3 =
q1 = 2.81 Tnq2 = 4.16 Tnq3 = 1.93 T mq4 = 2.81 Tnq5 = 3.84 Tnq6 = 1.27 T m
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DIAGRMA DE MOMENTO FLECTOR:
EJEMPLO N2: HALLAR LAS FUERZAS INTERNAS EN LA ARMADURA MOSTRADA
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P= 50 Klb
L = 20Pie
A= 8 pulg2 (const)
E = 30000 Ksi (const)
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[A]ARM = CosSen00 SenCos00
00CosSen
00SenCos4x4 ARMADURAS:
{d}e = d1d3d3d44 x 4 {q}e = q1q3q3q44 x 4
Anlisis estructural Avanzado
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[A]1 = [A]2 = 0100 1000
0001
00104x4 [A]3 = [A]4 = [I]
[A]5 = 0.60.800 0.80.600
000.60.8
000.80.64x4 [A]6 = 0.60.800
0.80.600
000.60.8
000.80.64x4
[AL]1 = d1d2d3d4 D1 D2 D3 D4
0010 0001
0000 0000 [AL]2 =
d1d2d3d4 D1 D2 D3 D4
0000 0000
0010 0001
[AL]3 = d1d2d3d4 D1 D2 D3 D4
0000 0000
0000 0000 [AL]5 =
d1d2d3d4 D1 D2 D3 D4
0000 0000
0010 0001
[AL]6 = d1d2d3d4 D1 D2 D3 D4
0010 0001
0000 0000 [KARM]1=2 =
1250012500
0000 1250012500
0000
Anlisis estructural Avanzado
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[KARM]3=4 = 1666.701666.70 0000
1666.701666.70 0000 [KARM]5=6 =
1000010000
0000 1000010000
0000
[] =
= 5010025125 {} = + .. +
{K} = 00000000
1000 0100
01001000
0001 00
10 12500
125000000
1250012500 0000
0100
1000000
1 0010
00100001
0000 0000
00000000
0010 0001
01001000
0001 00
10 12500
125000000
1250012500 0000
0100
1000000
1 0010
00000000
0010 0001
00000000
0000 0000
10000100
0010 0001
1666.701666.70
00001666.701666.70
0000 1000
01000010
0001 0000
00000000
0000
10000100
0010 0001
10000100
0010 0001
1666.701666.70
00001666.701666.70
0000 1000
01000010
0001 1000
01000010
0001
00000000
0010 0001
0.60.8000.80.600
000.60.8 00
0.80.6 10000
100000000
1000010000 0000
0.60.800
0.80.600000.6
0.8 000.80.6
00000000
0010 0001
Anlisis estructural Avanzado
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0000
00001000
0100 0.60.800
0.80.600
000.60.8
000.80.6
1000010000
00001000010000
0000 0.60.800
0.80.600
000.60.8
000.80.6
00100001
0000 0000
{} = 2026.74801666.70480189000
1666.702026.7480 004801890
KTOTAL {D} = {}
2026.7480
1666.70480189000
1666.702026.7480 004801890
D1D2D3D4 = 5010025
125
D1D2D3D4 =
0.16 plg9.24 x 102 plg0.13 plg3.24 x 102 plg
{q} 1 = K1 A1 AL1 {D} - {q}1eq
{q}1 = 12500125000000
1250012500 0000
0100
1000000
1 0010
00100001
0000 0000
0.16 9.24 102 0.13 3.24 102 {} {q}1 =
0115.5 0 115.5
{q} 2 = K2 A2 AL2 {D} - {q}2eq
{q}2 = 12500125000000
1250012500 0000
0100
1000000
1 0010
00000000
0010 0001
0.16 9.24 102 0.13 3.24 102 {}
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{q}2 =
40.50 40.5 0
{q} 3 = K3 A3 AL3 {D} - {q}3eq
{q}3 = 1666.701666.700000
1666.701666.70 0000
10000100
0010 0001
00000000
0000 0000
0.16 9.24 102 0.13 3.24 102 {} {q}3 =
0000
{q} 4 = K4 A4 AL4 {D} - {q}4eq
{q}4 = 1666.701666.700000
1666.701666.70 0000
10000100
0010 0001
10000100
0010 0001
0.16 9.24 102 0.13 3.24 102 {} {q}4 =
50.00
50.00
{q} 5 = K5 A5 AL5 {D} - {q}5eq
{q}5 = 10000100000000
1000010000 0000
0.60.800
0.80.600000.6
0.8 000.80.6
00000000
0010 0001
0.16 9.24 102 0.13 3.24 102 {} {q}5 =
103.920103.920
{q} 6 = K6 A6 AL6 {D} - {q}6eq
Anlisis estructural Avanzado
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{q}6 = 10000100000000
1000010000 0000
0.60.800
0.80.600
000.60.8
000.80.6
00100001
0000 0000
0.16 9.24 102 0.13 3.24 102 {} {q}6 =
22.080
22.080
EJERCICIO PROPUESTO: Wu = 1.4 CM + 1.7 CV
C1 = 18 Tn , C2 = 10 Tn , C3 = 9 Tn
CM1 = 2.5 T/ml , CM2 = 2 T/ml , CM3 = 1 T/ml
CV1 = 1.5 T/ml , CV2 = 1 T/ml , CV3 = 0.5 T/ml
E = 2 x 106 T/m2
SOLUCION:
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D1 = 1 D2 = 1
D3 = 1 D4 = 1
D5 = 1 D6 = 1
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D7 = 1 D8 = 1
D9 = 1 D10 = 1
D11 = 1 D1 2 = 1
D13 = 1 D1 4 = 1
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D15 = 1
MATRIZ DE RIGIDES TOTAL DE TODO EL PORTICO (KTOTAL):
10666.7 1777.8 0 0 1777.8 0 0 0 0 0 0 0 3555.6 -1777.8 0
1777.8 14222.2 1777.8 0 0 1777.8 0 0 0 0 0 0 3555.6 -1777.8 0
0 1777.8 14222.2 1777.8 0 0 1777.8 0 0 0 0 0 3555.6 -1777.8 0
0 0 1777.8 10666.7 0 0 0 1777.8 0 0 0 0 3555.6 -1777.8 0
1777.8 0 0 0 10666.7 1777.8 0 0 1777.8 0 0 0 -1777.8 3555.6 -1777.8
0 1777.8 0 0 1777.8 14222.2 1777.8 0 0 1777.8 0 0 -1777.8 3555.6 -1777.8
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0 0 1777.8 0 0 1777.8 14222.2 1777.8 0 0 1777.8 0 -1777.8 3555.6 -1777.8
0 0 0 1777.8 0 0 1777.8 10666.7 0 0 0 1777.8 -1777.8 3555.6 -1777.8
0 0 0 0 1777.8 0 0 0 7111.1 1777.8 0 0 0 -1777.8 1777.8
0 0 0 0 0 1777.8 0 0 1777.8 10666.7 1777.8 0 0 -1777.8 1777.8
0 0 0 0 0 0 1777.8 0 0 1777.8 10666.7 1777.8 0 -1777.8 1777.8
0 0 0 0 0 0 0 1777.8 0 0 1777.8 7111.1 0 -1777.8 1777.8
3555.6 3555.6 3555.6 3555.6 -1777.8 -1777.8 -1777.8 -1777.8 0 0 0 0 9481.5 -4740.7 0
-1777.8 -1777.8 -1777.8 -1777.8 3555.6 3555.6 3555.6 3555.6 -1777.8 -1777.8 -1777.8 -1777.8 -4740.7 9481.5 -4740.7
0 0 0 0 -1777.8 -1777.8 -1777.8 -1777.8 1777.8 1777.8 1777.8 1777.8 0 -4740.7 4740.7
L = rigidez lateral.
L = - -1
EJEMPLO
PLACA
PLACA
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EA = 6G.D.L (4 ROT. Y 2 TRASL.)
EJERCICIO #3: HALLAR LOS DESPLAZAMIENTOS LATERALES.
D1 = 1 D2 = 1
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K11 = 4EI/6 + 4EI/3 K12 = 2EI/6
K21 = 2EI/6 K22 = 4EI/6 + 4EI/3
K31 = -6EI/9 K32 = -6EI/9
K41 = 6EI/9 K42 = 6EI/9
D3 = 1 D4 = 1
K13 = -6EI/9 K14 = 6EI/6
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K23 = -6EI/9 K24 = 6EI/9
K33 = 48EI/27 K34 = -24EI/27
K43 = -24EI/27 K44 = 24EI/27
[K]TOTAL =4EI6 + 4EI32EI6
6EI96EI9
2EI64EI6 + 4EI3
6EI96EI9
6EI9
6EI948EI27
24EI27
6EI96EI9
24EI2724EI27
EI = (2x106)x 0.30 x 0.50312 = 6250 Ton m2 [K]TOTAL =
125002083.34166.64166.6
2083.312500
4166.64166.6
4166.64166.611111.15555.5
4166.64166.6
5555.55555.5
L = rigidez lateral. L = - -1 [KL] = 11111.1 -5555.5-5555.5 5555.5 - -4166.6 -4166.64166.6 4166.6 12500 2083.32083.3 12500 -4166.6 4166.6-4166.6 4166.6 [KL] = 8730.15 3174.63174.6 3174.6 L {} = {F}
8730.15 3174.63174.6 3174.6 D3D4 = 108
D3D4 = 3.24 x 103 m5.76 x 103 m
{} = - -1 {}
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D1D2 = 12500 2083.32083.3 125001 4166.6 4166.64166.6 4166.6 3.24 x 103 m5.76 x 103 m
D1 = 1D2 = 2 = 7.2 x 104rad7.2 x 104 rad
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PORTICO PLACA
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MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA VIGA BRAZO RIGIDO
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SI LA VIGA TRABAJA SOLO POR FLEXION:
SE TIENE:
Parte flexible:
{qe} = Ke4x4 {e} ________________________________________ (1)
POR COMPATIBILIDAD:
VA = 1 VA = Vi + a x i
A = i
VB = 1 VB = Vj - b x j
B = j
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vAAvBB
= 1000 a100
0010 00
b1 viivjj
d = [H] {d} H Flexible rgido
H = Matriz de compatibilidad
VA = 1 x Vi + a x i + 0 x Vj + 0 x j
A = 0 x Vi + 1 x i + 0 x Vj + 0 x j
VB = 0 x Vi + 0 x i + 1 x Vj - b x j
B = 0 x Vi + 0 x i + 0 x Vj + 1 x j [K]BRAZO RIGIDO = [H]4x4T [Ke]4x4 [H]4x4 POR EQUILIBRIO:
Vi = VA
Mi = a x VA + MA
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Vj = VB
Mj = -b x VB + MB
Vi = 1 x VA + 0 x MA + 0 x VB + 0 x MB
Mi = 0 x VA + 1 x MA + 0 x VB + 0 x MB
Vj = 0 x VA + 0 x MA + 1 x VB + b x MB
Mj = 0 x VA + 0 x MA - b x VB + 1 x MB
viMivjMj = 1a00
a100 001
b 0001
vAMAvBMB {f} = [H] f HT Flexible rgido
POR LA LEY DE HOOKE : f = [Ke] d () Si remplazamos (3) en (2):
{f} = [H]T [Ke] d () Si remplazamos (1) en (4):
{f} = [H]T [Ke] [H] {d} [K]VBRAZ = [H]4x4T [Ke]4x4 [H]4x4
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[K] =
12EIL36EIL2 + 12EIL3 xa
12EIL36EIL2 + 12EIL3 xb
6EIL2 + 12EIL3 x a4EIL + 12EIL2 x a + 12EIL3 x a2
6EIL2 12EIL3 xa2EIL + 6EIL2 (a + b) + 12EIL3 xaxb
12EIL3
6EIL2 12EIL3 x a12EIL3
6EIL2 12EIL3 xb
6EIL2 + 12EIL3 xb2EIL + 6EIL2 (a + b) + 12EIL3 xaxb
6EIL2 12EIL3 xb4EIL + 12EIL2 x b + 12EIL3 x b2
[Ke]VRIGIDO =
EA/L00EA/L00
000000 000000
EA/L00EA/L00
000000 000000
KP = PLACA
[K]P =
EA/L0
0EA/L0
0
012L3 ( EIZ1 + 2g)6L2 ( EIZ1 + 2g)0
12L3 ( EIZ1 + 2g)6L2 ( EIZ1 + 2g)
06L2 ( EIZ1 + 2g)4L (1 + g2)( EIZ1 + 2g)0
6L2 ( EIZ1 + 2g)2L (1 g)( EIZ1 + 2g)
EA/L00
EA/L00
0
12L3 ( EIZ1 + 2g)
6L2 ( EIZ1 + 2g)012L3 ( EIZ1 + 2g)
6L2 ( EIZ1 + 2g)
06L2 ( EIZ1 + 2g)2L (1 g)( EIZ1 + 2g)0
6L2 ( EIZ1 + 2g)4L (1 + g2)( EIZ1 + 2g)
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LTOTAL = a + b + L
FACTOR DE FORMA:
f = 1.2 f = 10 / 9 f = 2 f = Area axial / Area alma
PROBLEMA:
1. HALLAR: LA MATRIZ DE RIGIDEZ TOTAL
2. HALLAR: LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL
3. HALLAR: DESPLAZAMIENTO LATERAL
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30 Tn
4.00 m
8.00m 2.00
.20
E = 2 x 106 Ton/m VIGA
PLACA C A
COLUMNA
30 x 70
30 x 70
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a=1.00 8.35
3.65
D1 = 1 D2 = 1
[A]1 = d1d2d3d4 D1 D1 D1
0001 0000
0010
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