1
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /
8th Lecture / 8. Vorlesung
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /
Informatik (FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of KasselDept. Electrical Engineering /
Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
2
3-D FDTD – Derivation of the Discrete Equations / 3D-FDTD – Ableitung der diskreten Gleichungen
The first two Maxwell’s Equations are in differential form / Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten in Differentialform:
m
e
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
t t tt
t t tt
B R ×E R J R
D R ×H R J R
In Cartesian Coordinates we find for the Curl operator applied to E and H / Im Kartesischen Koordinatensystem finden wir für den Rotationsoperator angewendet auf E
und H:
( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , )( , )
x y y
x y z
y yx xz zx y z
x y y
x y z
yz
tx y z
E t E t E t
E t E tE t E tE t E t
y z z x x y
tx y z
H t H t H t
H tH t
y
e e e
×E R
R R R
R RR RR Re e e
e e e
×H R
R R R
RR ( , )( , ) ( , )( , ) yx xzx y z
H tH t H tH t
z z x x y
RR RRe e e
3
3-D FDTD – Derivation of the Discrete Equations / 3D-FDTD – Ableitung der diskreten Gleichungen
If we insert the last expressions into the first two Maxwell’s equations are in differential form read /
Wenn wir die letzten Ausdrücke in the ersten beiden Maxwellschen Gleichungen in Differentialform einsetzen, erhalten wir:
m( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )
x y zx y z
y yx xz zx y z
t t tt
B t B t B tt
E t E tE t E tE t E t
y z z x x y
B R ×E R J R
R e R e R e
R RR RR Re e e
m m m
e
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )( , )
x y zx y z
x y zx y z
y xzx
J t J t J t
t t tt
D t D t D tt
H t H tH t
y z z
R e R e R e
D R ×H R J R
R e R e R e
R RRe
e e e
( , ) ( , )( , )
( , ) ( , ) ( , )
y xzy z
x y zx y z
H t H tH t
x x y
J t J t J t
R RRe e
R e R e R e
Six decoupled scalar equations! / Sechs entkoppelte skalare
Gleichungen!
4
3-D FDTD – Derivation of the Discrete Equations / 3D-FDTD – Ableitung der diskreten Gleichungen
If we insert the last expressions into the first two Maxwell’s equations are in differential form we read /
Wenn wir die letzten Ausdrücke in die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen in Differentialform
einsetzen, erhalten wir:
m
m
m
e
( , )( , )( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )
( , )( , )( , ) ( , )
(
yzx x
x zy y
y xz z
yzx x
y
E tE tB t J tt y z
E t E tB t J tt z x
E t E tB t J tt x y
H tH tD t J tt y z
Dt
RRR R
R RR R
R RR R
RRR R
R e
e
( , ) ( , ), ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )
x zy
y xz z
H t H tt J t
z x
H t H tD t J tt x y
R RR
R RR R
5
3-D FDTD – Derivation of the Discrete Equations / 3D-FDTD – Ableitung der diskreten Gleichungen
m
m
m
e
( , )( , )( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )
( , )( , )( , ) ( , )
yzx x
x zy y
y xz z
yzx x
E tE tH t J t
t y z
E t E tH t J t
t z x
E t E tH t J t
t x y
H tH tE t J t
t y z
t
RRR R
R RR R
R RR R
RRR R
e
e
( , ) ( , )( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )
x zy y
y xz z
H t H tE t J t
z x
H t H tE t J t
t x y
R RR R
R RR R
xEyE
zE
xH
zH
yH
m
e
, 1, 2,3
, 1, 2,3i i
i i
x x
x x
H J i
E J i
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
x x
y y
z z
B t H t
B t H t
B t H t
R R
R R
R R
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
x x
y y
z z
D t E t
D t E t
D t E t
R R
R R
R R
Constitutive equation for homogeneous isotropic materials /
Konstituierende Gleichungen für homogene isotrope Materialien:
6
3-D FDTD – Derivation of the Discrete Equations / 3D-FDTD – Ableitung der diskreten Gleichungen
m
( , )( , )( , ) ( , )yzx x
E tE tH t J t
y z
RRR R
( , ) ( , )x xH t H tt
R R
( )dyE
( )bzE( )m
xH
( )fzE
( )uyE
( )
( )m m
( ) ( )2
( ) ( )2
( , ) ( )
( , ) ( )
( , ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( )
mx x
mx x
f bz z z
d uy y y
H t H t
J t J t
E t E t E ty
y y
E t E t E tz
z z
R
R
R
R
( )dyE
( )bzE
( )mxH
( )fzE
( )uyE
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
m
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
d uf by ym mz z
x x
E t E tE t E tH t J t
y z
A part of the discrete curl operator / Ein Teil des diskreten Rotationsoperators
7
2-D EM Wave Propagation – 2-D FDTD – TM and TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-FDTD – TM- und TE-Fall
( )ng G
( )ng G
1x x3z x
2-D TE Case / 2D-TE-Fall
Gn n
Gn( )nxE
( )nzE
( )nyH
2y x( )ng G
( )ng G
1x x3z x
2-D TM Case / 2D-TM-Fall
Gn n
Gn
( )nxH
( )nzH
( )nyE
2y x
m
m
e
( , )( , ) ( , )
( , )( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )
yx x
yz z
x zy y
x z
E tH t J t
t zE t
H t J tt x
H t H tE t J t
t z x
x z
RR R
RR R
R RR R
R e e
m
e
e
( , ) ( , )( , ) ( , )
( , )( , ) ( , )
( , )( , ) ( , )
x zy y
yx x
yz z
x z
E t E tH t J t
t z x
H tE t J t
t zH t
E t J tt x
x z
R RR R
RR R
RR R
R e e
G G
Dual orthogonal grid system in space /
Dual-orthogonales Gittersystem im Raum
8
2-D EM Wave Propagation – 2-D FDTD – TM Case/ 2D EM Wellenausbreitung – 2D-FDTD – TM-Fall
( )ng G
( )ng G
1x x3z x
2-D TM Case / 2D-TM-Fall
Gn n
Gn
( )nxH
( )nzH
( )nyE
2y x
m
m
e
( , )( , ) ( , )
( , )( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )
yx x
yz z
x zy y
x z
E tH t J t
t zE t
H t J tt x
H t H tE t J t
t z x
x z
RR R
RR R
R RR R
R e e
Two-dimensional staggered grid system in the 2-D TM case / Zweidimensionales versetztes
Gittersystem im 2D-TM-Fall
9
Implementation of Boundary Conditions / Implementierung von Randbedingungen
Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material /
Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material( , , )
( , , )
01
0
t
t
ny
t tny
En N
E
Plane wave boundary condition for a vertical incident plane wave / Ebene-Wellen-Randbedingung für eine vertikal einfallende ebene Welle
(2, , ) (3, , )
( 1, , ) ( 2, , 2)
1
1
z t z t
x z t x z t
n n n ny y z z
N n n N n nt ty y
E E n N
n NE E
PW BC / EW-RB
PW BC / EW-RB
PEC BC / IEL-RB
PEC BC / IEL-RB
Slit / Schlitz
PEC BC / IEL-RB
Plane wave excitation / Ebene-Wellen-Anregung
10
2-D EM Wave Propagation – 2-D FDTD – TM Case/ 2D EM Wellenausbreitung – 2D-FDTD – TM-Fall
( ) 0nxH ( ) 0n
zH ( ) 0nyE
Ghost components which are allocated outside the simulation
area / Geisterkomponenten, welche
außerhalb des Simulationsgebietes liegen
Ghost grid cells / Geistergitterzell
en
Simulation area /
Simulationsgebiet
11
2-D EM Wave Propagation – 2-D FDTD – TM Case/ 2D EM Wellenausbreitung – 2D-FDTD – TM-Fall
Ghost grid cells / Geistergitterzell
en
Simulation area /
Simulationsgebiet
(2, ,, ) (3, ,, )z t z tn n n ny yE E
0yE 0yE 0yE 0yE
Plane wave excitation / Ebene-Wellen-
Anregung
Slit / Schlitz
12
2-D TM FDTD – Diffraction on a Single Slit / 2D-TM-FDTD – Beugung an einem Spalt
13
2-D TM FDTD – Diffraction on a Single Slit / 2D-TM-FDTD – Beugung am Spalt
Wave field movie of the Hx field component / Wellenfeldfilm der
Hx-Feldkomponente
Wave field movie of the Hz field component / Wellenfeldfilm der
Hz-Feldkomponente
Wave field movie of the Ey field component / Wellenfeldfilm derEy-Feldkomponente
14
2-D TM FDTD – Diffraction on a Double Slit / 2D-TM-FDTD – Beugung am Doppelspalt
15
2-D TM FDTD – Diffraction on a Double Slit / 2D-TM-FDTD – Beugung am Doppelspalt
Wave field movie of the Hx field component / Wellenfeldfilm derHx-Feldkomponente
Wave field movie of the Hz field component / Wellenfeldfilm der
Hz-Feldkomponente
Wave field movie of the Ey field component / Wellenfeldfilm derEy-Feldkomponente
16
Photonic Crystals / Photonische Kristalle
Joannopoulos, J. D., R. D. Meade,
J. N. Winn:Photonic Crystals – Molding the Flow of
Light. Princeton University
Press, Princeton, 1995.
Johnson, S. G.: Photonic Crystals:
The Road from Theory to Practice. Kluwer Academic
Press, 2001.
Links:
Photonic Crystals Research at MITHomepage of Prof. Sajeev John, University of Toronto, Canada
17
2-D TM FDTD – Photonic Crystals / 2D-TM-FDTD – Photonische Kristalle
( )r
( )r
Relative permittivity of the background 1
Relative Permittivität des Hintergrundes
Relative permittivity of the rods 11.4
Relative Permittivität der Stäbe
b
r
18
2-D TM FDTD – Photonic Crystals / 2D-TM-FDTD – Photonische Kristalle
Wave field movie of the Hx field component / Wellenfeldfilm der
Hx-Feldkomponente
Wave field movie of the Hz field component / Wellenfeldfilm der
Hz-Feldkomponente
Wave field movie of the Ey field component / Wellenfeldfilm derEy-Feldkomponente
19
2-D TM FDTD – Photonic Crystals / 2D-TM-FDTD – Photonische Kristalle
Wave field movie of the Hx field component / Wellenfeldfilm der
Hx-Feldkomponente
Wave field movie of the Hz field component / Wellenfeldfilm der
Hz-Feldkomponente
Wave field movie of the Ey field component / Wellenfeldfilm derEy-Feldkomponente
20
2-D TM FDTD – Photonic Crystals / 2D-TM-FDTD – Photonische Kristalle
21
2-D TM FDTD – Photonic Crystals / 2D-TM-FDTD – Photonische Kristalle
22
FDTD and FIT / FDTD und FITFDTD : Finite Difference Time Domain / Finite Differenzen im ZeitbereichFIT : Finite Integration Technique / Finite Integrationstechnik
m
e
e
m
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
t t tt
t t tt
t t
t t
B R ×E R J R
D R ×H R J R
D R R
B R R
m
e
e
m
d( , ) ( , ) ( , )
d
d( , ) ( , ) ( , )
d
( , ) ( , )
( , ) ( , )
S C S S
S C S S
S V V
S V V
t t tt
t t tt
t t dV
t t dV
B R dS E R dR J R dS
D R dS H R dR J R dS
D R dS R
B R dS R
FDTDMaxwell’s equations in differential form /
Maxwellsche Gleichungen in Differentialform
FITMaxwell’s equations in integral form /
Maxwellsche Gleichungen in Integralform
0
0 0, ,2 2
( , )z z
z zf z t f z t
f z tz z
0
00( , ) d ,
2
z z
z z
zf z t z f z t z
FD approximation of spatial and temporal derivatives / FD-
Approximation von räumlichen und zeitlichen Ableitungen
FIT approximation of spatial and temporal integrals / FIT-Approximation
von räumlichen und zeitlichen Integralen
Central difference approximation / Zentrale Differenzen Approximation
Mid point rule approximation of a 1-D integral / Mittelpunktsregel-Approximation eines 1D-
Integrals
23
Definition of Material Cells / Definition der Materialzellen
1x x3z x2y x 1x x
3z x
2y x
1xn x xn N 1yn
y yn N
z zn N
1zn
( )nmMaterial cell / Materialzelle
( )
1
Nn
n
M m
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
n n N
n n N
m n
m n
ε R ε
ν R ν
1 1 1 1
1, 2, ,
1
x x y y z z
x y z
x
y x
z x y
n M n M n M n
n N N N N
M
M N
M N N
24
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
d d
dxS S
R
dS n e
dR s
( )dyE
( )bzE( )m
xB
( )fzE
( )uyE
( )dyE
( )bzE
( )mxB
( )fzE
( )uyE
md
( , ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt
B R dS E R dR J R dS
3 3( )
3 3( )
( , ) ( , ) d
( , ) d
( ) d
( )
xS S
xS
mx S
y z
mx
t dS t S
B t S
B t S y z y z
B t y z y z y z
n B R e B R
R
1x x3z x2y x
1x x3z x
2y x
integration cell / -Integrationszelle( )mxB
I ( )mxB
I
3 3( )
3 3( )
( , ) d ( ) d d
( )
mS S
y z
m
f t S f t y z y z y z
f t y z y z y z
R
x
z
Field component in the middle / Feldkomponente in der Mitte
Approximation error / Approximationsfehler
z
y
y
25
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
d d d
d d
d d
x
y y
z z
S y z
R y
R z
dS n e
dR s e
dR s e
( )dyE
( )bzE
( )mxB
( )fzE
( )uyE
md
( , ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt
B R dS E R dR J R dS
1x x3z x
2y x
integration cell / -Integrationszelle( )mxB
I ( )mxB
I
y
z
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) d ( , ) d
( , ) d ( , ) d
( , )d ( , )d
( , )d ( , )d
u f
d b
u f
d b
u f
d
C S C C
C C
y zC C
y zC C
y zC C
y zC
t t t
t t
t y t z
t y t z
E t y E t z
E t y E t
E R dR E R dR E R dR
E R dR E R dR
E R e E R e
E R e E R e
R R
R R
( )bCz
( )uC
( )fC( )dC
( )bC
( , ) ?C S
t
E R dR
26
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) d ( , ) d ( , ) d ( , ) du f d by z y zC S C C C Ct E t y E t z E t y E t z
E R dR R R R R
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3( )
3( )
3( )
3( )
3( )
( )
( , ) d ( ) d
( )
( , ) d ( ) d
( )
( , ) d ( ) d
(
u u
f f
d d
uy yC C
y
uy
fz zC C
z
fz
dy yC C
y
dy
E t y E t y y
E t y y
E t z E t z z
E t z z
E t y E t y y
E t
R
R
R
( ) ( )
3
3( )
3( )
)
( , ) d ( ) d
( )
b bb
z zC C
z
bz
y y
E t z E t z z
E t z z
R
( ) ( )3( )
3( )
( , ) d ( ) d
( )
u um
C C
y
m
f t R f t y y
f t y y
R
Field component in the middle / Feldkomponente in der Mitte
Approximation error / Approximationsfehler
( )mf
1x x3z x
2y x
y
( )uC
y
27
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
3 3
( , ) ( , ) d ( , ) d ( , ) d ( , ) d
( ) d ( ) d ( ) d ( ) d
u f d b
u f d b
y z y zC S C C C C
u f d by z y zC C C C
y z y z
t E t y E t z E t y E t z
E t y E t z E t y E t z
y z
E R dR R R R R
3 3( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) u f d by z y zC S
t E t y E t z E t y E t z y z
E R dR
( )dyE
( )bzE
( )mxB
( )fzE
( )uyE
1x x3z x
2y xintegration cell / -Integrationszelle( )mxB
I ( )mxB
I
y
z
( )uC
( )fC( )dC
( )bC
28
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
md
( , ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt
B R dS E R dR J R dS
m m
m
3 3( )m
3 3( )m
( , ) ( , ) d
( , ) d
( ) d
( )
xS S
xS
mx S
y z
mx
t dS t S
J t S
J t S y z y z
J t y z y z y z
n J R e J R
R
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dm u f d b mx y z y z xB t y z E t y E t z E t y E t z J t y z
t
integration cell / -Integrationszelle( )mxB
I ( )mxB
I
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
u f d by z y zC S
t E t y E t z E t y E t z
y z
E R dR
integration cell / -Integrationszelle( )mxB
I ( )mxB
I
integration cell / -Integrationszelle( )mxB
I ( )mxB
I
29
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
( )rzE
( )dxE
( )rzE
( )myB
( )lzE
( )uxE
1x x3z x2y x
1x x
3z x2y x
integration cell / -Integrationszelle( )myB
I ( )myB
I
x
z
( )myB( )l
zE
( )dxE
( )uxE
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )m
d( )
d
( ) ( ) ( ) ( )
( )
my
u l d rx z x z
my
B t y zt
E t x E t z E t x E t z
J t y z
md
( , ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt
B R dS E R dR J R dS
integration cell / -Integrationszelle( )myB
I ( )myB
I
30
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
1x x3z x2y x
1x x
3z x2y x
integration cell / -Integrationszelle( )mzB
I ( )mzB
I
y
( )fxE
( )mzB
( )bxE
( )ryE
( )lyE
( )fxE
( )mzB
( )bxE
( )ryE
( )lyE
x
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )m
d( )
d
( ) ( ) ( ) ( )
( )
mz
b r f lx y x y
mz
B t x yt
E t x E t y E t x E t y
J t x y
md
( , ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt
B R dS E R dR J R dS
integration cell / -Integrationszelle( )mzB
I ( )mzB
I
31
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
md
( , ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt
B R dS E R dR J R dS
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
( ) ( ) ( ) (
d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
d( ) ( ) ( )
d
m u f d b mx y z y z x
m u l d r my x z x z y
m u f dz y z y
B t y z E t y E t z E t y E t z J t y zt
B t y z E t x E t z E t x E t z J t y zt
B t y z E t y E t z Et
) ( ) ( )m( ) ( ) ( )b m
z zt y E t z J t y z
32
Dual-Orthogonal Grid System in Space /Dual-orthogonales Gittersystem im Raum
1x x3z x2y x
3-D / 3D
( )
( )
n
n
g G
m M
( )ng G
G GPrimary grid / Secondary (dual) grid
Primäres Gitter Sekundäres (duales) Gitter
Gn n
Gn
( )nxE
( )nyE
( )nzB
( )nyB
( )yn MzE
( )zn MyE
( )zn MxE
( )xn MzE
( )xn MyE
( )y
n MxE
1 1 1 1
1, 2, ,
1
x x y y z z
x y z
x
y x
z x y
n M n M n M n
n N N N N
M
M N
M N N
G MPrimary grid / Material grid
Primäres Gitter Materialgitter
Global node numbering / Globale Gitternummerierung
( )nzE
( )nxB
33
End of Lecture 8 /Ende der 8. Vorlesung
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