Zorica Mladenovi ć - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza...
Transcript of Zorica Mladenovi ć - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza...
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 1
VEKTORSKI AUTOREGRESIONI MODELI
VAR MODELI
Zorica Mladenović
Literatura
•Ključne reference
•Enders (2015), Applied Econometric Time Series, Wiley.
• Hamilton (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press.
•Lutkepohl (2005), New Introduction to Multiple Time Series
Analysis , Springer.
•Juselius (2006), The Cointegrated VAR Model, Oxford University Press.
•Pomoćna referenca
•Mladenović i Nojković (2014), Primenjena analiza
vremenskih serija, EF, Beograd.
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 2
Neophodni termini analizeNeophodni termini analize
•Vremenska serija
•Stacionarnost
•Beli šum
•Autoregresioni modeli (AR) i
modeli pokretnih proseka (MA)
•Linearni proces
•Operator docnje L
•Vektorska vremenska serija
UvodUvod
•Cilj ekonometrijske analize:
•ocena strukturnih odnosa u ekonomiji
•Strukturni odnosi se uobičajeno modeliraju prema:
• Sistemu simultanih jednačina
• VAR modelu
•Postoje dva tipa VAR modela:
•Standardni (klasični) VAR model
•Strukturni VAR model
•Podela odgovara distinkciji na redukovanu i strukturnu formu sistema simultanih jednačina.
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 3
Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela
(standardni model)(standardni model)
( ) ×=Ω
=
×−ΦΦΦ
×−
×−
ostalo,0
matrica onakovarijaci ,nn,ts,'sataE
nn parametara matricep,...,2,1
modela greska slucajna1,n šum, beli vektorskita
1,n serija, vremenska vektorskatY
Ovo je VAR model reda p i dimenzije n.
taptYp...2tY21tY1tY +−Φ++−Φ+−Φ=
Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela: : osnovno ograniosnovno ograničenječenje
•Opterećenost modela parametrima
•Često je neophodno uvesti određene pretpostavke o parametrima modela:
p21 ΦΦΦΩ ,...,,,
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 4
PPočeočetaktak
Sims(1980) “Macroeconomics and Reality” Econometrica, 48
Uopštenje jednodimenzione analize na vektorsku vremensku seriju
...
dohodak V stopa, kamatna novca, ponuda
2211
t
tptpttt
t
t
t
t
tt
aYYYcY
V
X
Z
Y
XZ
+Φ++Φ+Φ+=
=
===
−−−
≠
=Ω==
τ
ττ
t
taaEaE tt
0)'(0)(
iΦ su matrice)1(
333231
232221
131211
1
=Φ
φφφ
φφφ
φφφ
Jedna od jednačina sistema
tpt
p
pt
p
pt
p
tttt
aVXZ
VXZcZ
1
)(
13
)(
12
)(
11
113)1(
112)1(
111)1(
1 ...
+++
+++++=
−−−
−−−
φφφ
φφφ
Svaka jednačina ima isti broj parametara
Strukturni Strukturni VAR(1VAR(1))
t 10 12 t 11 t 1 12 t 1 yt
t 20 21 t 21 t 1 22 t 1 xt
y b b x y x
x b b y y x
− −
− −
= − + γ + γ + ε
= − + γ + γ + ε
• Slučajne greške modela (strukturni šokovi) εyt i εxt su procesi beli šum sa standardnim devijacijama redom σy and σx i korelacijom 0.
• Promenljive y i x su endogene.• Šok εyt utiče na y direktno a na x indirektno.• Model ima 10 parametara za ocenjivanje.
Neka je dat strukturni VAR dimenzije 2: Yt=(yt, xt)’, reda 1:
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 5
Od strukturnog do standardnog Od strukturnog do standardnog VARVAR modelamodela
• Strukturni VAR model nije u redukovanoj formi.• Podsećanje: u redukovanoj formi y i x su funkcije isključivo od
prethodnih vrednosti y i x.• Da bi se iz strukturne dobila redukovana forma VAR model
zapisujemo u matričnom obliku:
10 112 11 12
20 121 21 22
0 1 1
1
1
t t yt
t t xt
t t t
y b yb
x b xb
BY Y
εγ γ
εγ γ
ε
−
−
−
= + +
= Γ + Γ +
Od strukturnog do standardnog Od strukturnog do standardnog VARVAR modela IImodela II
• Množenje sa B-1 omogućava dobijanje standardnog VAR(1)modela:
• Došli smo do redukovane forme koja je spremna za ocenjivanje.
0 1 1
1 1 1
0 1 1
0 1 1
t t t
t t t
t t t
BY Y
Y B B Y B
Y Y a
ε
ε
−
− − −−
−
= Γ + Γ +
= Γ + Γ +
= Φ + Φ +
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 6
Teme:Teme:
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Određivanje reda VAR modela i testovi specifikacije
4. Uzročnost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja
7. Strukturni VAR model
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Određivanje reda VAR modela
4. Uzročnost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja
7. Strukturni VAR model
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 7
Uslov stabilnosti sistemaUslov stabilnosti sistema
Uslov stacionarnosti Uslov stacionarnosti YYtt
≠
==−−−−
+=
+=−−−−
+=−−−− −−−
ji
ji]L....LL
ij
L)L(
acY)L(
acY)L...LLI(
acY...YYY
ijp)p(
ij)(
ij)(
ij
tt
ttp
p
tptpttt
0
1221
221
2211
δφφφδ
Φ
Φ
Φ
ΦΦΦ
ΦΦΦ
ij[
je (L) odElement
docnje operatoru po polinom matricni nxn je
VAR(p) za je stabilan ako su svih pxn korena (rešenja) donje jednačine strogo veći od jedan po modulu:
tY
c)...I(
.0x...xxI
1p21n
pp
221n
−−−−−=
=−−−−
ΦΦΦµ
ΦΦΦ
Uslov stabilnosti IIUslov stabilnosti II
( )
( )
( ) ∑−
=−
−
−
−
++++++=
++++=
++++=++==
++==
++=
+=−
1t
0iit
i10
t1
1t1
211nt
2110211n
210112112
1011
t1t1t
t1t1t
aYc...IYt
aaYcI
aaYccaYcY,2t
aYcY,1t
aYcY
acYY
ΦΦΦΦΦ
ΦΦΦ
ΦΦΦ
Φ
Φ
Φ
M
Članovi kompletno su određeni sa tYY ,...,1 .,...,1,0 taaY
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 8
Uslov stabilnosti IIIUslov stabilnosti III
( ) ∑=
−−−+
−
Φ+Φ+Φ++Φ+Φ+=
+=Φ−
+=
j
iit
i
jt
jj
nt
ttt
aYcIY
acYY
jt
011
1
11
2
11
11
...
1 je Neka
Ako su karakteristične vrednosti matrice po modulu strogo manje od 1, tada je niz apsolutno sumirajući. To znači da beskonačna suma konvergira ka:
Dodatno, element konvergira ka nuli dovoljno brzo, što znači da se može ignorisati.
1Φ
,...,,iΦi 101 =
∑∝
= 0i
i1Φ
∞→Φ −−+
jY jtj
,11
1
( ) .j,I...I 11n
j1
211n ∞→−→
++++ −ΦΦΦΦ
Uslov stabilnosti IVUslov stabilnosti IV
( )( )
( ) ,...3,2,1t,c...I,aY
ac...IY
acYY
211n
0iit
i1t
0iit
i1
I
211nt
t1t1t
11n
=+++=+=
++++=
+=−
∑∞
=−
∑∞
=−
−
−
−
ΦΦµΦµ
ΦΦΦ
Φ
Φ
444 3444 21
Ako su karakteristične vrednosti matrice po modulu strogo manje od 1, proces iskazan kroz VAR(1) model je precizno definisan kao stohastički.
Zaključak: uslov stabilnosti Karakteristične vrednosti matrice po modulu su
strogo manje od 1.
1Φ
1Φ
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 9
U tom slučaju postoji odgovarajuća vektorska reprezentacija pokretnih sredina beskonačnog reda
Ovo je fundamentalna reprezentacija za analizu reakcije vremenske serije na uticaj slučajnog šoka.
)(MA ∞
...]LLI[)L(
a)L(...aaaY
221n
t2t21t1tt
21
1
+++=
+=++++= −−
ΨΨΨ
ΨµΨΨµ
ΦΦ
Uslov stabilnosti VUslov stabilnosti V
Uslov stabilnosti VIUslov stabilnosti VI
Matrična algebra: svih n karakterističnih vrednosti kvadratne matrice su strogo manje od jedan ako i samo ako je ispunjen uslov:
1Φ
44 344 21
jedan. od veca strogo modulu po su ,,..., jednacine, Resenja
:Sledi
svako za
nxx
n
n
xI
xxI
1
0
10
1
1
=−
≤≠−
Φ
Φ
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 10
Zapisujemo model u formi odstupanja od srednje vrednosti
tptp2t21t1t a)Y(...)Y()Y(Y +µ−Φ++µ−Φ+µ−Φ=µ− −−−
Grupišemo članove kao:
( )npnp
'tt1tt
1np
t
t
npnpn
n
n
p1p21
1np1pt
1t
t
t
0......0
0......0
0...0
H,,0
t,HuuE,uF
0
0
a
u
0I...00
00...I0
00...0I
...
F
Y
Y
Y
×
−
××
−
×+−
−
= =
=+=
=
=
−
−
−
=
Ωτ
ηη
ΦΦΦΦ
µ
µ
µ
η
τ ostalo
MMMMM
M
STABILAN PROCES:SVE KARAKTERISTIČNE VREDNOSTI MATRICE F SU MANJE OD JEDAN PO MODULU
Uslov stabilnosti Uslov stabilnosti
VAR(pVAR(p)) VAR(1)VAR(1)
Uslov stabilnosti: primer 1Uslov stabilnosti: primer 1
( )
stabilan. je proces dati 1 od vecastrogomodulu po resenja svasu Kako
4858.153x,1525.22x,21x02x03.0x4.010.5x-1
:nulom sa amoizjednacav tedeterminanVrednost
x3.01x2.00
x3.0x1.01x1.0
00x5.01
x
3.02.00
3.01.01.0
005.0
100
010
001
odtu determinan racunamo :istabilnost uslov oProveravam
ta1tY
3.02.00
3.01.01.0
005.0
ctY
:1 reda a 3, dimenzije VARdat je Neka
−===⇒=
−−
−−
−−−
−
=
−
+−
+=
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 11
Primer 1: grafički prikaz
-4
-2
0
2
4
50 100 150 200 250 300
X
-4
-2
0
2
4
50 100 150 200 250 300
Y
-4
-2
0
2
4
50 100 150 200 250 300
Z
Uslov stabilnosti: primer 2Uslov stabilnosti: primer 2
stabilan. je model :jedan od vecastrogomodulu posu resenja triSva
.545.5226.4255.3:3x i 2x od Moduo ,1i
i26.455.33x,i26.455.32x,3.11x03x025.02x21.0x1
:nulom sa amoizjednacav tedeterminanVrednost
2x025.0
00x
5.04.0
1.05.0
10
01
odtu determinan racunamo :istabilnost uslov oProveravam
ta2tY025.0
001tY
5.04.0
1.05.0ctY
:2 reda a 2, dimenzije VARdat je Neka
=+−=
−=+==⇒=
−+−
−
−
+−
+−
+=
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 12
Primer 2: grafički prikaz
-2
0
2
4
6
8
10
50 100 150 200 250 300
X
-4
-2
0
2
4
6
50 100 150 200 250 300
Y
Primer 3: nestabilan VAROba rešenja su jedan
-200
0
200
400
600
800
50 100 150 200 250 300
X
-4
0
4
8
12
16
20
24
50 100 150 200 250 300
Y
( ) .12x1x02x10x11.0
01
10
01det
:nulom sa amoizjednacavtu Determinan
ta1tY11.0
01ctY
==⇒=−⇒=
−
+−
+=
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 13
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Određivanje reda VAR modela
4. Uzročnost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja
7. Strukturni VAR model
Ocena parametara Ocena parametara VARVAR modelamodelaMetod običnih najmanjih kvadrata Metod običnih najmanjih kvadrata
Metod maksimalne verodostojnostiMetod maksimalne verodostojnosti
( )
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
1
11
111
1
101
21
2211
1
111
1
0
−
==
×+×
−−
+
−−−
=
+=
×+=
+
×
+×=
+++++=
∑∑
+×
T
t
'tt
T
t
'tt
t)np
tn
t
'pttt
tT-p
p
ttptpttt
XXXY
aXY
)npY...YX
YnY,...,Y,Y,...,YpT
?nn,
)npn,c
,Ω:N,aaYΦ...YΦYΦcY
)npn
A':ocena ONK
A'
:formi nojkondenzova uVAR
(vektor :je Neka
clanova od svaki za : vrednosti Poznato
matrica onaKovarijaci
( ... A':nagiba parametara Matrica
, ONK kvadrata, najmanjih obicnih metoda Primena
((
Ω
ΦΦΦ
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 14
( )
( ) ( )
∑
∑
=
−
=
−
−−−=
−−−−−=
=
+=
T
t
tt
T
t
tttt
ttt
a'alnT
)ln(Tn
XY'XYlnT
)ln(Tn
parametril
aXY
1
1
1
1
2
1
22
2
2
1
22
2
ΩΩπ
ΩΩπ
A'A'
:uzorka nostiverodostoj funkcije Log.
A' :formi nojkondenzova uVAR
:MMV (uslovni), nostiverodostoj maksimalne Metod
Odnos dva metoda: ocene su identične
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
2
11
11
111
1
1
1
1
1
1
1
11
=
−=
−=
=
−=−
−
−+−−+=
=−+−+=
=−+−−+−=
−−
=
∑∑
∑∑
∑ ∑ ∑
∑
∑
∑
∑∑
−−
−−
−−−
=
−
=
−
=
−
−
==
t
ttt
t
t
t
tt
t
tt
t t t
tttttt
T
t
tttt
T
t
tttttttt
T
t
tttt
T
t
'tt
T
t
'tt
'aX)ˆ(tr'aX)'ˆ(tr
X)'ˆ('atrX)'ˆ('a
:Napomena
X)'ˆ('aX)'ˆ()ˆ('Xa'a
X)'ˆ(a'X)'ˆ(a
XX'ˆX'ˆY'XX'ˆX'ˆY
XY'XY
XXXYˆ
AAAA
AAAA
nuli jednak iskalar jeelement poslednji
AAAAAA
AAAA
A'AAA'AA
A'A'
:vrednost minimizira koja Ocena :MMV
A :ONK
ΩΩ
ΩΩ
ΩΩΩ
Ω
Ω
Ω
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 15
( ) ( )
A.A zarednost najmanju v ima izraz Gornji
definitna. pozitivno takodjeje 1-matrica definitna pozitivno je Kako
t ttX)'AA(1)AA(t'Xta1
t'amin
T
1ttX'AtY1'tX'AtYmin
=
Ω→Ω
−−Ω−+−Ω
=
=−−Ω−
∑ ∑
∑
Ocena kovarijacione matrice Ω izvedena za dato A
∑
∑
=
=
−
=⇒=∂
∂
−−−=
T
t
tt
T
t
tt
'aaT
ˆ)ˆ,(
a'alnT
)ln(Tn
)ˆ,(
1
1
1
10
2
1
22
2
ΩΩ
Ω
ΩΩπΩ
A
izraz. gornji amaksimizir
koja matricu definitnu pozitivno simetricnu naci :Cilj
A
l
l
Ocena kovarijacione matrice
T
.ji,n,...,1j,i,aaT
1ˆ
ˆ
Ti
.n,...,1i,aT
1ˆ
ˆ
ˆ
ˆ...ˆ
ˆ...ˆˆ
'aaT
1ˆ
T
1tjtitij
T
1t
2itii
T
1t
nn
n222
n11211
tt
uzorka obimompodeljen jednacine dve svake iz reziduala proizvodaZbir
:dijagonale glavne van matrice onekovarijaci Elementi
uzorka obimom podeljena jednacine iz kvadrata suma Rezidualna
:dijagonali glavnoj na matrice onekovarijaci Elementi
2
2
2
2
≠==
==
==
∑=
∑=
∑=
σ
Ω
σ
Ω
σ
σσ
σσσ
ΩMO
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 16
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Određivanje reda VAR modela i specifikacija
4. Uzročnost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja
7. Strukturni VAR model
Određivanje reda VAR modelaOdređivanje reda VAR modela
1. Testiranje značajnosti parametara
• Test količnika verodostojnosti• Direktna provera značajnosti pojedinih parametara
2. Informacioni kriterijumi
3. Testovi autokorelacije
4. Testovi normalnosti
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 17
TestTest količnika verodostojnosti količnika verodostojnosti
Maksimum log funkcije verodostojnosti za dobijene ocene
[ ] [ ]
( ) ΩπΩπΩ
ΩΩ
ΩΩΩ
ΩΩπΩ
ˆlnT
)ln(TnTnˆln
T)ln(
Tn)ˆ,ˆ(
TnTItrˆTˆtr
'aaˆtraˆ'atraˆ'a
aˆ'aˆlnT
)ln(Tn
)ˆ,ˆ(
n
T
t
tt
T
t
tt
T
t
tt
T
t
tt
212
2222
2
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−+−=−−−=
===
=
=
=
−−−=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
∑∑∑
∑
A
A
l
l
0p od veceje 1p
)1p(VAR:1H
)0p(VAR:0H
Postavljamo sledeće hipoteze
( )
( ) 111
11
000
0
212
2
212
2
ΩπΩ
ΩπΩ
ˆlnT
lnTn
,ˆ,ˆ
pH
ˆlnT
lnTn
,ˆ,ˆ
pH
*
*
o
−+−=
−+−=
l
l
A
: redaVAR se ocenjuje hipoteza istinita je Ako
A
: redaVAR se ocenjuje hipoteza istinita je Ako
1
0
)pp(nbrojm:LR
ˆlnˆlnT
)(H
HlnLR
m
**
0122
10
01
1
0 22
−=−
−=
−=−=
aogranicenj
) pod verod. (f.
) pod verod. (f.
:nostiverodostoj kolicnikaTest
χ
ΩΩ
ll
modelu.VAR celom u ukupno
jednacini svakoj u ukupno
upromenljiv svaku na aogranicenj :jednacini svakoj U
)pp(n
)pp(n
pp
012
01
01
−
−
−
TestTest količnika verodostojnosti II količnika verodostojnosti II
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 18
( ) ( )
hipoteza. nulta odbacuje
put prvi po se kojoj u fazom zavrsava se Testiranje 3.
itd. docnje, 3H docnje, 2H
docnje, 4H docnje, 3H :primer Na
unazad lnosekvencija sprovodi se Testiranje 2
vrednosti apriorne od se Polazi 1.
:TESTIRANJA ALGORITAM
jednacini svakoj u parametara broj
: Simsa jaModifikaci
:nostiverodostoj kolicnikaTest
10
10
::
::
.
p
npk
ˆlnˆlnkTLR
ˆlnˆlnTLR
ˆlnˆlnTLR
1
1
10
10
10
1+=
−−=
−−=
−=
ΩΩ
ΩΩ
ΩΩ
TestTest količnika verodostojnosti IIIkoličnika verodostojnosti III
TestTest količnika verodostojnosti: primer količnika verodostojnosti: primer VAR realnog deviznog kursa i realnog novca m3VAR realnog deviznog kursa i realnog novca m3Period: 2002:1Period: 2002:1--2007:12 (72 podatka)2007:12 (72 podatka)
H0: VAR(1) H1:VAR(2)
Napomene:
1. Efektivni uzorak korišćen za ocenu VAR(2), pa zato i VAR(1) je 70.
2. Kako VAR(2) model ima ukupno 4 parametra više za ocenjivanje od
VAR(1) modela, to je broj stepeni slobode u primeni testa 4.
Rezultat: Uz nivo značajnosti od 10% prihvata se značajnost
druge docnje u VAR modelu i opravdanost VAR(2) specifikacije.
1Ω 2Ω
810*8677522.4 − 810*3193651.4 −
( ) 3781031936514108677522470 8824 .)*.ln()*.ln(*LR =−== −−χ
78710049905024
24 .).(.).( == χχ
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 19
Test značajnosti pojedinih parametara
•U slučaju kada je VAR model stabilan, a slučajna komponenta vektorski proces beli šum sa višedimenzionom normalnom raspodelom metodom ONK dobijaju se nepristrasne i konzistentne ocene parametara koje su normalno raspodeljene.
•Moguće je primeniti standardnu teoriju statističkog zaključivanja.
•Možemo koristiti standardnu t i F statistiku.
InformaInformacioni kriterijumi u cioni kriterijumi u VARVAR modelu modelu
• Kao i kod jednodimenzionog AR modela, i kod višedimenzionog VAR modela, funkcija informacionog kriterijuma (IC) se koristi za izbor optimalnog broja docnji.
• Optimalan broj docnji jeste ona vrednost p kojom se minimizira funkcija IC(p)
• Akaikeov, Švarcov i Hana-Kvinov
•Primena ima smisla jedino ako su reziduali VAR modela neautokorelisani sa aproksimativno normalnom raspodelom.
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )T
npnlnˆlnHQC
T
npnˆlnSC
T
npnˆlnAIC
++=
++=
++=
2
2
2
2
2
Tln
Tln
sistema parametara broj ukupan
Ω
Ω
Ω
48476
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 20
• Pojedinačna analiza reziduala svake jednačine
• Analiza korelacionih koeficijenata reziduala svake jednačine
• Analiza unakrsnih korelacionih koeficijenata iz svake dve jednačine
• Obe analize sprovode se za rastuće docnje
• Zbirna analiza reziduala u celom VAR modelu
• Višedimenzioni BG (Brojš-Godfrijev) test
• Višedimenzioni BLj (Boks-Ljungov) test
Testiranje postojanja autokorelacije
• Nulta hipoteza: ne postoji, kako autokorelacija kod individualnih
komponenti vektorske vremenske serije, tako i unakrsna korelacija
između tih komponenti. Alternativnom hipotezom se sugeriše
suprotno.
• Oznaka statistike za testiranje zbirne autokorelacije i unakrsne
korelacije reda h u VAR modelu sa n jednačina: Qn(h)
• Ako je tačna nulta hipoteza Qn(h) poseduje asimptotski χ2
raspodelu sa n2(h-p) stepeni slobode.
Višedimenzioni BLj test
( ) ( )
( )'jttj
j
j'j
h
j
jnn
aaE
j
ˆ
,ˆˆˆˆtrT)h(Q
−
−−
=−
=
−
= ∑
Γ
Γ
ΓΓΓΓ
docnji na reziduala
vektora matrice onekovarijaci ocena
10
10
1
12
Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016
Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 21
•Postoji više testova čijom primenom se proverava da li je slučajna
greška VAR modela normalno raspodeljena:
• Lutkepolov (engl. Lutkepohl) test
• Dornik-Hansenov (engl. Doornik-Hansen) test.
•Oba testa zasnivaju se na JB testu normalnosti, kojim se ispituje da
li treći i četvrti centalni moment date serije reziduala odgovaraju
korespondirajućim momentima normalne raspodele.
• U okviru VAR modela neophodno je obrazovati međusobno
nekorelisane serije reziduala.
•Za tako transformisane serije reziduala računa se, prvo,
jednodimenziona JB test-statistika. Potom se dobijene individualne
vrednosti sabiraju, što daje višedimenzionu verziju test-statistike
normalnosti.
Testiranje normalnosti slučajne greške modela I
•Pri tačnoj nultoj hipoteze o normalnosti obe višedimenzione test-
statistike normalnosti poseduju asimptotski χ2 raspodelu sa brojem
stepeni slobode 2*n, gde je n broj jednačina VAR modela , budući da
se dobijaju kao zbir od n slučajnih promenljivih, od kojih svaka ima
χ2 raspodelu sa 2 stepena slobode.
• Lutkepolov test je osetljiv na promenu redosleda jednačina VAR
modela, dok je Dornik-Hansenov test invarijantan u odnosu na taj
redosled.
• U praksi se ostvaruje dodatna korekcija Dornik-Hansenove test-
statistike kako bi se obezbedila preciznija aproksimacija χ2
raspodelom. Ova korekcija prisutna je i u programskom paketu
EVIEWS, s tim što različite verzije paketa ne daju istovetne
rezultate.
Testiranje normalnosti slučajne greške modela II