WYKEAD 18,19konieczn/analiza/Lecture10... · 2017-06-07 · Istnieje tez wersje dle nuchomym gnomic...
Transcript of WYKEAD 18,19konieczn/analiza/Lecture10... · 2017-06-07 · Istnieje tez wersje dle nuchomym gnomic...
WYKEAD 18,19CAEKA RIEMANNA 2 PARAMETREM
loitmoje
W hajblizszym czasie sojmowai siq bpdziemy tzw catkami a para -
metrem ton funkjami sdefiniowanymi pmypomocy wiki. Tako
pmykiadywesmyx
sincax ) t(1) Caike Dinichlete DC a) = / ×- dxo
(2)Funky 's 17 ( Gumma ) Eudora Mx )=§Eteh⇒
ppostwgujgc sig metodami
Funky.e Wazna 2 voznych pouooloir , odpowiednimi olla Witek
takzedlatefo ,Ze jest , , uogilnienien ,
"
2 powametrem mozne
silnine niewukowite wyhisyi wartositg.
wiki,
argument . uego tradycygnie me
Dobre by bufo 2h01 wtasnosa.
tg.
umiemy erotic
fuukyi
Zebynabrai motywagi do fonmuiowanie i owwodzehie twierdzen'
zvobmy pewien nachunek dotycsgcy caiki Diminlete mie sojmujqcsigma raziejego popnawnosuq .
Dhe BZO zdefniujmy funky 's f( a ,b,x)= Ib× hhxd" i roawazumy
°⇒Ffa ,b)=§f( a ,b,×)d×=§Eb×8iYX" ok Nie barokoumiemytopdiayi
ale ssoT=o±e(§f1a,b , xjdx ) E §f£( a ,b,x)d×=§Eb×. a.ws/ax)dx=
Seibxwscax )dx= Aibxcoscax )+ Beibxsincaxj =) eibxoslaxh
Eb×( Aoutsinlax ) + Afb )ws( ax ) + Btb ) sin ( ax ) + Be wscax ) ) =
- Ae - Bb = 0eibx ( the- Bb ) sin ( ax ) + ( - Ab+Be)ws(a× ) )- Ab + Be .
. 1
1
tastes: E :bIata Et.EE?dEkaHA=jtEB=e#b...=ebxfItEwsCaxsteQ=bsinlaxDf
=
= - tee . D= aha
IT= ate ⇒ Fca , b) =/abadie = arctg (Eb) to (b)
Ale FC 0,4=0 wigc a ( b )=o F ( aib ) = array ( Eb)
Dlahtbhigo . ( a ,b)= LI sgnae,W suseojluosa
.
Ps¥ix=¥Pososlvjg snake
.
sapytanie ,ktore halezyrozwazyi . Pierwszy dotyoy
ndznicskwania pod anakiem wiki, drugi pmechookenie do gnanicy
pod anakiem catki .
Wpmykiadzie (2) chcielibysmy whioskowac '
o wtasnosciach funky"
The
podstaoie jejdefinigi . Ciqgfosc ,ndinicskowahwsc '
, gvanice . . .
Lacznijmy od pvostszej wiki a parametrem me pmedziale zuarlym .
I=[ a ,b] f= JL , p[ f : I × ] → IR
b
FCX )= ffflix )dta
Interesuje has apgdosi I roznicskowoenosi fuukji F :] → IR
Ciggosi P W xoe ] 02ham ,Ze
ftp.elxl-FCxokfbef/t.xo)dtfdbfimxofltix)dtfu.ggracsylimozhawchodzii2gnanicgpod2nakwuki.Dhe2warteyoItwierokeniejesttatwe
:
FAKT : Jeili f- jest cigge me Ix ] to F jest aggro me J .
DOWJD : Wedmy xoe J i Nozwazmy f/
wystowcsajgw matego aby [×o . h ,×o+ny ayI × [ to ' h
, xoth ]the h
mef jest aggro a abiov Ix [ xo . h
,xoth ] jest awarty satem f jest
jednostojnie afore me Ixk. www.ekjednoslvjnejciggrosa.me
postal :
HE > o tt ( xp ), ( x'
,I ) 78>0 : dkx,& ),
( x
'
,i )) ( 5 ⇒ If ( xp ) - fatty( E
Mehykgdmozne wzigi up dkxih),( x 'i ) )= max { lx - x 't
,K . It }
Ustalmye > 0
*
IFC × ) - FC xo 11=1 µF ( t ,x) -ftp.Ddx/fbdHltxs.f(t.x)/dtfd( ( t
,x) , ( t #)= IX - xol zatem jes.li lx - xoks to
Ifft,x) -
flt#1 ( E
*× ( b - e) e
nlmozebyidowdnie mate, wise Fciggrewxo .
Dl
Wpraktyce shame Sig ,ze gnanice catkowanie zalezgoa
powametru . Zoiiozmyize4k )
F (× ) =/
fft,x) at
,the ] [441,41×1] cI=[ a ,b]
y( x )
FAKT : Wpowyzhq.
sytuagi , jes.li if , Y sguggrenej if aforehe Ixj to Fapgre nej .
ylxfXo x
Dow '0D : toe ] Fk ) -
y{,fltitdt¥1¥Hat +§,¥H,Holt×
n Xo Xo
p
Fedxo)e[y(×), yard ] :
/fx→×ojak they .41×0) me may71×0) |f( t,# at popnedniego| fft,x)dt=f(5koj,×)(ykd - pH)
410faktu
y ( x ) -
Dhe x→xo/ f
bsnt@r"*e:@*
ylxo ) ×→×o-
(f
fctx)
at→ 0
ylx )
Wpmykiadzie 1 sobaosylismyize wazhe jest takze roznicskowanie
poparametme , pnycsym mietylko awdzi o sangnoznicskowaluosiA ale wrqcs 0 mozliwosi police nie wiki. Csasem
funkjg ¥x jest tatuiq.
swiekowai pot niz funkyigf .
Odpowieolnie twierdzenie w wersf.
zwartej me postal
FAKT : Jes.li f jest cigge me Ix ] oraz old xe ) istniqie 2¥ i
jestcigofe me Ixj to F jest niznicskowahue ovaz zadwdzi
b
F 'H= f F¥( xittdtp reszte ?
a
Dowds : Ifcxtn) - FK ) - µ3¥
#Hat)h/=
⇒bffct,x+h ) -
fct, it- ¥ ( t
,x) . h ) at |{
£lfCt=h)fHxt¥C¥¥h/h
'
f( t,
xth ) - flt,x) = 3¥ ( t,
}(u))h5(n)E[x,
xth ]J
tw . Lagrange 'd
=D ¥ ( t.sk ) ) -¥H#Hhldt ( ( b . a) e. In
Tustlamy { > o i bienemy 8 take ze one h< S many /¥× ( tixth ) -
2¥ ( t,#( q
To mozne wobicbo ¥/I×[× . h, ,×+n ,
] jest jedhostojnie
ciggre
wynazeniew jestoigc resztg i F
'K)=§f¥(t,x)dt.
Istnieje tez wersje dle nuchomym gnomic catkowanie .
FAKT .
yes .li f jest ciqope me Ix ] , y , Y sgvdznicskowawieme form [ ylx ) , 4 ( x ) ] C I ,
they 3¥ istnieje I jest ciggra he Ixj to
41×1FK )= )
FH,
xjdtjest Ndzhicskowalme oraz
¥llx )
HK ) = f 3¥ (
tx) at + 4
'
G)
f(4H× ) -
yksfte#Y ( x )
David : Pomijamy , path zielomy skrypt .
Para pmejsi do t ego ,co naprawdg interesujgce csyli do miewasciwych
catek a parameter em.
Tak Sig jakes sktade,
ze wigkszosi interesujguyouweek
, wtymnasze pmykiady , sqpoodanku otwarlym .
Pmypomnijmy,ze attkp popmedziale otwowtym ( mozebyc
' nieskoviao -
my) definiowalismyjakognanicg pewnego apgu uogoluionego.Dotted -
metJ£{ k : Kati K zwowly } K > K
'
⇐ > kick
§f '
'
¥5 , { f W szcsegolnosa.
miwimyize ft jest abiezna
jesli 'Ve > 0 F K : V. K'
,K
"> K
I f. f- f.f / ( e
Niech teraz Iotwarty , J=]x|p[ f : Ix ] → R f take,
ze
the ] ff ,× ) caikowalne me KCI oraz J,=f(
Aisbiezne
Definiujemy FK )={fC .
H. Interesujg has te same pytanie
-
by Fjestaggro i
ay jest mtznicskowalme. Sytuoge
pmypomineniew problem szeregow funkyjnych , tyleze teraz sumowanie
podyskrethym powametme m sastgpionejestpmes oatkg pocipgrympaoametme t
.
Podobnie jak wtedy , takiteraz Kluosowe jest pojguejednostajnej abieznosa . ( szeregu ) wiki
DEFINKJA Nick f : Ix ] → R bgdzie odpaoiednio catkowalud. Mowing
ze FC × ) = SIFK ,. ) jest abiezne jcdnostajnie jes.li
the > o FK tkik" > K the J I
Skft#- ¥t.
'#<
£me saeezyooex
Odpooiedmie twierokenie dotycsgce ciggosa.
i nizhicskowaluosa.
majg posted :
TWIERDZENIE : fesli f : Ix ] → R jestapga I catkd F ( × ) =/,ft ,
× ) jestsbiezmejednostojmie to funkqd f jest apgra me j
DOWOD : Pmebiega ideutycsnie jak dowod apgrosa.
gnanicy apgujednostojnie Inez -
megofunkji upgryar . Funkqe xt >fff,× ) KCI sq apgle me may popmedniego
twierdzeuie dotyospcego apgdosairwowtej" wieki a paramewem .
fcaike FK ) jest sb. jednostojnie
TWIERDZENIE fish.
f :I×J→R jest apope , palooka 3¥ istmieje I jest afgdaaraz aaike §3¥(.
,Ajest sbiezne jednostajnie to Fjest funky.pNoznicskowolng
i Hats 3¥c.isF
K
DOWOD : 2 popmadmicu trierdzai wynike ize FKCI
xtfkff,
Hjest
no'
znicskowoehe ijej pochodne to xt¥{<3¥
C.,
× ) .
Ff'
→ {→¥( .
,×, jeolnoshjnie .
2 Nierdzeii o abieznosa .
jednostoynej cipgnfunkyi rizniczkowalnyou (dotycsp takze
apfoiwuogilnionych) wynike ze
F G) = # .
#jest nozninkowalue ijq
.
podiodne to F'
a) = S±¥×C .
ix)
go
Posostajewigc sojgi sig jednostojnq sbieznoscig week. Many do dyspozygi
knyterie podobne do tych dhe szeregor fuukyjmyoh
(1) KRYTERIUM WEIERSTRASSA : Jesili istnieje funkyie dodatnie y :I→ R
take,
Ze J±y < a oraz If (
t.tl/fylt)dheXejiwszystkicht
pose ,
by'c moze, awowtym pmedziaeeni KOCI to J±fC .
itjest zbiezne
(2) KRYTERNMDINIEGO jes.li f : Ixj → R jest mieeujemne ,FG)=§fl
ix)
jest sbiezhe i Fjestcipgra to F jest abiezne niemod
jednostojnie
.
(3) KRYTERWM ABELA y : [ a ,b[ xj →
Rjif :[ a
,a Ex ] → R Jcsli
4k )= By#x ) at jest abiezne jednostajnie a y jest ogranicsone i
monotonicsne one wsglgolu met toa
FK ) =fylt,×)g(t,
x ) at
a
jest stieznajednostojnie
(4) KRYTERIUM DIRKHLETA :
y :[ a ,x[ × ] -3112, if :[ a
,x Ex ] -7112
. Jesliisthieje M > 0 take
,ze it R > a
/ § y ( t,Holt/ ( M onaz g jest monotonicsna one waglgdu me t iftp.glt,
× )=O iafiezhosijest jaduostajne one wsglgdn me × to
FK ) =
fyltitgct,
× ) at
a
jest stieznajednostojnieLanim pmejdziemy do dowodiw wvbimy do pmyktedu 2 caikp Dinichlete
byro tam parq www.wsapytanie .
Fla , b) .
. DEBT sinful at EE"Eo,
. [ D (a) =] sinful at
Po pierwsze csy bling +A ( a , b) ED(e)
Spnawdzic.
nalezy wigs by F jest cigope one wsglgdu we b. fednostoiyne zbiez
misc F ze wsglqdu me b wynike 2 knyterium Abele Jakoy bienemy y ( b ,t)= sight I wiemyizeQ( b) =] siftat jest soiez -
me jeolmstajnie one wsglgdume b ( bo od b mieAle zy ) oraz
g( bit ) - Ebt jest monotonies me one wsglgdn met satem
Fca , b) jest sfieznejeolnostojmie one wwfgdu ne bi wobec tags ugope ze
whglgdu me b Many wigcx
sin ( at )bldg ,
FCa ,b)= ) =dt0
- tb sin ( at )Daley
. viznicskoraluosc : Dbe ustaloneg b >o ] ( e =) =
= Ethos ( at ) .
I e- tbas ( at ) If E they ( t ) duttkwalne satem
FCQ, b) jest no
' znicskowalme one wsglgobe me a i many wzin
f€=§Ebt cos ( at ) at