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1/11

Mech. Mach. Theory Vol. 23, No. 5, pp. 343-353, 1988 0094-114X/88 3.00 +0.0 0

Printed in Gre at Britain. All rights reserved Copyright 1988 Pergamon Press pie

N U N C O N S T R A I N E D N O N L I N E A R L E A S T S Q U A R E

M E T H O D O F O P T I M I Z A T I O N O F

P L A N A R P A T H G E N E R A T O R S

J O R G E A N G E L E S , A N D R E A S A L I V I Z A T O S an d R A L P H A K H R A S

Department of M echanical Engineering, Robotic M echanical Systems Laboratory, M cG ill Research

Centre for Intell igent Machines, Mc Gill University, Mon tr6al, Qu6bec, Canada H3 A 2A 7

Received l0 November 1986; in revised for m 17 M a y 1988)

Al~ trae t --A nov el method of opt imum synthesis of planar R R R R l inkages for path generation is

presented here. The method allows the formulation of the problem as one of unconstrained nonlinear

least-square optimization. T his is achieved by (i) com puting the values of the input angle at the v arious

configurations, assoc iated with the given discrete set of trajectory points, separately from the op timization

iterations; ii) using the C artesian coordinates of the joint centers, in a reference configuration, as design

variables; and

iii)

applying the New ton-Gauss method w ith Householder reflections, damping, and

continuation. In th is way the number of design variables is equal to eight, regardless of the num ber o f

given trajectory points, and inequality constraints are avoided. Mo reover, problems of branching are

eliminated. The examples included here show attractive convergence properties.

I . I N T R O D U C T I O N

T h e a p p l i ca b i li t y o f t h e f o u r - b a r l i n k a g e h a s e n c o u r -

a g e d t h e i n v e s t i g a ti o n o f a v a r i e t y o f o p t i m i z a t i o n

m e t h o d s a n d f o r m u l a t i o n t e c h n i q u e s [ I - 5 ] . I n t h i s

con tex t , a pe r fo rmance i ndex i s de f ined tha t r epre -

sen t s t he l i nkage pe r fo rmance quan t i t a t i ve ly . Th i s i s

t o b e m i n i m i z e d b y a p r o p e r c h o i c e o f t h e l i n k a g e

d i m e n s i o n s . T h e n , a s e t o f s im u l t a n e o u s n o n l i n e a r

e q u a t i o n s i s f o r m e d t h a t r e p r e s e n t s t h e r e l a t i o n s h ip s

b e t w e e n d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t p a r a m e t e r s a n d ,

f i na l l y , t he pe r fo rmance i ndex i s min imized to ob t a in

t h e o p t i m u m v a l u es o f t h e s a i d l in k a g e d i m e n s i o n s .

F o x a n d G u p t a [ 6 ] p r o v i d e d a n o v e r a l l r e v i e w a n d

s u m m a r y o f t h e r e l a ti o n s h i p b e t w e e n o p t i m i z a t i o n

m e t h o d s a n d m e c h a n i s m s y n t h e s i s . I t i s a p p a r e n t

f r o m t h a t r e v i e w t h a t , d u e t o t h e h i g h l y n o n l i n e a r

n a t u r e o f th e r e s u l ti n g o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , t h e

t e c h n i q u e s u s e d a r e o f t e n v e r y c u m b e r s o m e a n d

c o m p u t a t i o n a l l y c o s t l y t o a p p l y . O n t h e o t h e r h a n d ,

Ange le s [7 ] and , more recen t ly , Wi lde [8] des igned

f u n c t i o n - g e n e r a t i n g m e c h a n i s m s u s i n g a n o n l i n e a r

r e g r es s i o n p r o c e d u r e r e f e rr e d t o a s error l inear i za t ion

o r N e w t o n - G a u s s m e t h o d . P a r a d i s a n d W i l l m e r t [ 5 ] ,

i n tu r n , i n t r o d u c e d a c o n s t r a i n e d G a u s s t e c h n i q u e f o r

so lv ing the p rob lem v i a l i nea r i nequa l i t y cons t ra in t s

w h i l e s a t i s f y i n g t h e K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s . I t i s

q u i t e e v i d e n t f r o m t h e a b o v e t h a t n u m e r o u s l i n k a g e -

o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s h a v e b e e n d e v i s e d t o d e s i g n

o p t i m u m l i n k a g e s f o r r i g i d - b o d y g u i d a n c e , f u n c t i o n -

g e n e r a t i o n a n d p a t h - g e n e r a t i o n t a s k s . H o w e v e r ,

a lmo st a l l o f the ab ove t ech n iques u t i li z e inequa l i t y

c o n s t r a i n t s a n d , t h u s , a d h o c m e t h o d s m u s t b e i n t r o -

d u c e d f o r e a c h i n d i v i d u a l d e s i g n o r a p p l i c a t i o n .

F u r t h e r m o r e , a s e r io u s d r a w b a c k o f o p t im i z a t i o n

prob lems wi th i nequa l i t y cons t ra in t s i s t ha t t he i r

so lu t i ons a re n o t c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o f t h e d a t a .

n t h e c o n t r a r y , t h e s o l u t i o n s o f le a s t -s q u a r e s p r o b -

l em s , w h e t h e r l i n e a r o r n o n l i n e a r a n d c o n s t r a i n e d o r

u n c o n s t r a i n e d , a r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o f t h e d a t a .

H e n c e , k n o w i n g t h e s o l u t i o n o f a l e a s t- s q u a r e p r o b -

l em f o r a g i v e n s e t o f d a t a , t h e s o l u t io n o f t h e s a m e

p r o b l e m w i t h s l i g h t l y c h a n g e d d a t a i s , c o r r e s p o n d -

ing ly , s li gh t ly d i f feren t f ro m the so lu t i on o f t he

o r i g i n a l p r o b l e m . H e n c e , a t e c h n i q u e k n o w n a s c o n -

t inuation, desc r ibed in de t a i l i n Sec t ion 4 , can be

a p p l i e d , w h i c h g u a r a n t e e s c o n v e r g e n c e o f t h e p r o -

cedure t o a so lu t i on , r e g a rd l e ss o f h o w f a r f r o m t h e

so lu t ion the in i t ia l guess l i e s .

T h i s p a p e r a d d r e s s e s t h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g

t h e o p t i m u m d i m e n s io n s o f a f o u r - b a r R R R R p l a n a r

l i nkage , F ig . 1 , so t ha t a po in t , P , o f i t s coup le r l i nk

desc r ibes a t r a j ec to ry pa ss ing a s c lose ly a s poss ib l e t o

a g iven d i sc re t e se t o f po in t s {Ql}~ '. To th i s end , a

s impl i f i ed approach to t he l i nkage -op t imiza t ion

prob lem i s i n t roduced , t ha t i s ba sed on the e l imi -

n a t i o n o f i n e q u a l it y c o n s t r a i n t s f r o m t h e o u t s e t . T h i s

is a c h i e v ed b y u s i n g t h e e i g h t C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s

of po in t s A , B , C and D ( see F ig . 1 ) a s des ign

pa ram e te r s . A un iqu e i npu t ang le ~ ,i i s eva lua t ed

sepa ra t e ly f o r each g iven t r a j ec to ry po in t Q~ a t each

i t e ra t i on , t he reby e l imina t ing t hese ang le s f rom the

s e t o f u n k n o w n s i n t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . T h e

ob jec t i ve func t ion t o be min imized i s t he sum of t he

squa re s o f t he d i f fe rences be tween d es i red and gene r -

a t e d p o i n t c o o r d i n a t e s . M o r e o v e r , a n o r m a l i t y c o n d i -

t ion

i s used a s an impl i c i t equa l i t y cons t ra in t , which

is v e ri fi e d in d e p e n d e n t l y f r o m t h e o p t i m i z a t i o n p r o -

c e d u r e a n d p e r m i t s t h e s t r a i g h t f o r w a r d d e t e r -

min a t ion o f ang le s {~i}~ '. Th i s a l l ows the fo rm ula t i o n

o f t h e p r o b l e m a s a n u n c o n s t r a i n e d o v e r d e t e r m i n e d

n o n l i n e a r a l g e b r ai c s y s t e m o f e q u a t io n s , w h o s e l e as t -

343

M.M.T. 23/5 B


2/11

344

JORGE NGELES

t

a l

Q,t~.. ~,)

~ . r C =c ,~c)

Fig. I.

R R R R

planar path-generating linkage.

s q u a r e a p p r o x i m a t i o n w i l l p r o d u c e t h e o p t i m u m

l i n k a g e . T h e N e w t o n - G a u s s s c h e m e w a s a d o p t e d t o

so lve e f f i c i en t l y t he above num er i ca l p rob l em . In t he

sec t i ons t ha t fo l l ow a de t a i l ed ana lys i s o f t he so lu t i on

i s i nc luded . Num er i ca l exam ple s pe r t a in ing t o t he

g e n e r a t i o n o f a l in e s e g m e n t a n d a p o r t i o n o f a

c i r cu l a r a rc a re g iven .

2 P R O B L E M F O R M U L A T I O N

T h e o b j e c t i v e o f t h e k i n e m a t i c - s y n t h e s i s p r o b l e m

di scussed he re i s t o de s ign a fou r -ba r

R R R R

p l a n a r

l i n k a g e w h o s e c o u p l e r p o i n t g e n e r a t e s a t r a j e c t o r y

w i t h t h e m i n i m u m

r o o t - m e a n - s q u a r e ( r . m . s . ) e r r o r .

F i g u r e 2 s h o w s a f o u r - b a r l i n k a g e i n it s i t h p r e s c r i b e d

c o n f i g u r a t i o n , w h e r e X Y i s a f ixed reference plane ,

A B

i s the input l ink,

B C

i s t he coup le r l i nk ,

C D

i s the

fo l l ower and AD i s t he f i xed l ink . P o in t s B , P~ and C

de f ine a r i g id body ,

P~(x~,y~)

b e i n g t h e c o u p l e r p o i n t

o f i n t e re s t, and t he i n pu t ang l e i s deno ted by ~k~. T he

coup le r ang l e 0,. c an be expre ssed i n t e rm s o f t he

l i nkage d im ens ions a l , a2 , a3 , a4 and t he i npu t ang l e

~,~. A de t a i l ed ana lys i s , s im i l a r t o t ha t o f F reuden s t e in

[9] , y ie lds the fol lowing re la t ion:

LI + L3 co s 0~ + L2 co s ~b~ = cos(0~ - ~,~), (la )

which p roduces t he two fo l l owing va lue s o f 0~:

O ~ " = 2 a r c t a n ( B ~ + ~ A ~ C )t

i - - I . . . . . . m ( l b )

w h e r e

A i = L I - L3 + ( L2 + 1) cos ~i (2a)

B, = sin g,, (2b)

C = Ll + L3 + ( / ,2 - 1) cos ~ , (2c)

a n d

a l - a 2 , L 2 = - - , L 3 = - - . (3)

= a ~ - 2 ~ - a ] a a~

2aza3 a 3 a z

Th e o vera l l l inkage pa ram eter s a re , a~, a 2 , a3, a4, as ,

~1, ~2, xA and YA. Rather than using these as design

pa ram e te r s , an a l t e rna t e se t wi l l be adop ted . T he

rea son fo r t h i s cho i ce i s t ha t t he f i r st seven o f t he

f o r e g o i n g p a r a m e t e r s r e q u i re t h e f o l l o w i n g in e q u a l i ty

cons t r a in t s :

a ~ > 0 f o r

k = l . . . . . 5 '

a n d 0 ~ < ~ / ~ < 2 n f o r

j = 1 , 2 ,

w h i c h i n t r o d u c e c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t i e s a n d

s o l u t i o n d i s c o n ti n u i ti e s , a s p o i n t e d o u t i n t h e I n t r o -

d u c t i o n , a n d h e n c e , a r e t o b e a v o i d e d .

D i m e n s i o n s a l . . . . , a s, ~ , ~2 a r e n o w e x p r e ss e d i n

t e r m s o f t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s o f p o i n t s A , B , C ,

D a n d P 0 . S i n c e t h e i n p u t a n g le s ~ a r e u n k n o w n , t h e

s e t o f u n k n o w n v a r i a b l es i n t h e f o r m u l a t i o n o f t h e

l i n k a g e - o p t i m i z a t i o n p r o b l e m c o n t a i n s t h e C a r t e s i a n

c o o r d i n a t e s o f p o i n t s A , B , C a n d D p l u s t h e m v a l u e s

o f ang l e ~ de f in ing t he m cor r e sp ond ing po in t s {Q~}7 ,

nam e ly {~ t}~ - N o te t ha t ~b , co r re spo nd in g t o P0 , ha s

n o t b e e n i n c lu d e d a s a n u n k n o w n . T h i s is s o b e ca u s e ,

i n t h i s fo rm ula t i on , P0 is de f ined a s {20 , wh ich i s a k ey

s t e p o f t h e m e t h o d i n t r o d u c e d h e r e. I n f a c t, t h i s is

wh a t a l l ows t he unco up l in g o f t he se t {~b~}7 rom the

s e t o f l i n k a g e p a r a m e t e r s .

Ce r t a in cons ide ra t i ons which se rved a s de s ign c r i -

t e r i a in fu r the r s im p l i fy ing t he fo rm ula t i on o f t he

p r o b l e m a r e n o w d i s c u s s e d . T h e p r i m a r y c o n c e r n i s

t w o f o ld : ( a) t o r e d u c e t h e n u m b e r o f u n k n o w n v a ri -

a b l e s f r o m t h o s e d e s c r i b e d a b o v e , a n d ( b ) t o a v o i d


3/11

O pt imiza t ion o f R R R R plan ar pa th generators 345

4(XA YAL l ~ a ~ zD ~ID)

x

Fig. 2. Configuration-dependent and configuration-independent param eters of path generating linkage.

t h e i n t r o d u c t i o n o f i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s w h i c h w i l l

r e q u i r e c u m b e r s o m e n u m e r i c a l m e t h o d s a n d i n t r o -

d u c e , i n t u r n , s o l u t i o n d i s c o n t i n u i t i e s . T h e s e t o f

u n k n o w n p a r a m e t e r s , a s d e s c r i b e d a b o v e , w o u l d

r e q u i r e th e i n t r o d u c t i o n o f a d d i t i o n a l i n e q u a l i t y c o n -

s t r a i n t s i n o r d e r t o e n s u r e t h a t t h e r a d i c a l o f e q u a t i o n

( 1 ) i s a l w a y s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o z e r o . T o a v o i d

t h is c o m m o n l y u s e d a p p r o a c h [ 8 ], t h e p r e s e n t f o r m u -

l a t i o n w i l l t r e a t i n p u t a n g l e ~ r s e p a r a t e l y a n d t h u s

e l i m i n a t e th e e v a l u a t i o n o f ~ r w i t h i n t h e o p t i m i z a t i o n

i t e ra t i o n s . T h e t o t a l n u m b e r o f d e s ig n p a r a m e t e r s i s

t h e n r e d u c e d t o e i g h t a n d g r o u p e d i n t h e

8 - d i m e n s i o n a l v e c t o r x , i . e .

x = [x~, y~, x s , y s , x c , Yc, xo, yn] r . (4)

T h e c o m p o n e n t s o f v e c t o r x a r e r e f e r re d t o a s t h e

des ign param eter s , a n d a r e t o b e d i s t i n g u i s h e d f r o m

t h e l i n k a g e p a r a m e t e r s a~ . . . . a s, ~ , c q, x a a n d y a ,

a l t h o u g h , o b v i o u s l y , t h e t w o s e t s h a v e t w o c o m m o n

e l e m e n t s . N o t e t h a t t h e d e s i g n - p a r a m e t e r s e t i s t h a t

u p o n w h i c h t h e l i n k a g e i s t o b e o p t i m i z e d , a n d does

not conta in the set {~k/}~'.

2.1 . Com puta t ion o f input angles ~O

G i v e n a l i n k a g e d e f in e d b y t h e p a r a m e t e r v e c t o r x a n d

p o i n t P 0 o f i t s c o u p l e r l i n k , a s s h o w n i n F i g . 1 , a p o i n t

P r i s d e t e r m i n e d o n t h e c o u p l e r c u r v e F l y i n g c lo s e s t

t o a g i v e n p o i n t Q r, o f C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s ( ~ r, q ~),

f o r i = 1 m . A n g l e 0 r i s d e t e r m i n e d a s t h a t

d e f i n in g a p a r t i c u l a r p o s i t i o n o f c o u p l e r p o i n t P , P~,

w h i c h i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e f a c t t h a t l i n e QrP~ is

p e r p e n d i c u l a r t o t h e t a n g e n t t o F a t P ~, a s s h o w n i n

F i g . 3 , w h i l e d i s t a n c e QrP, is a g l o b a l m i n i m u m o v e r

a l l p o s s i b l e v a l u e s o f ~O. T h e c o o r d i n a t e s o f t h e

c o u p l e r p o i n t P ( x , y ) c a n b e e x p r e s s ed i n t e r m s o f t h e

l i n k a g e d i m e n s i o n s a s f o l l o w s :

X = XA ~- a2 O S 0 ~ 1 , -~ ) - - [-

a 5 co s (~1 + ~2 + 0); (5)

Y = Y A + a 2 s i n ~ + ) + a5 s in ( ~ + ~ 2 + 0 ) . 6 )

T h e d i s t a n c e b e t w e e n Q r a n d P r , d r , i s d e f i n e d i n

t e r m s o f th e E u c l i d e a n n o r m o f t h e i t h e r r o r v e c t o r

e i , de f ined in tu r n as :

e r = [ x - ~ ; , y - ~ h ] r ; 7 a )

a n d h e n c e ,

d~ -= e r ( ) r e r ( ) = ( x - ~ r)2 + (y - ~/r) . (7 b)

T h e r e f o r e , t h e p r o b l e m o f f i n d i n g ~ i s s o l v e d v i a

m i n i m i z i n g 4 o v e r ~ , i . e ., o n e h a s t o s o l v e t h e

f o l lo w i n g p r o b l e m :

z , ( ) - 2 _ e r e , ~ m i n

r - (8)

F u r t h e r m o r e , a t p o i n t P r t h e d e r i v a t iv e o f z ,( )

m u s t v a n i s h . T h i s c o n d i t i o n i s t h e norm al i ty condi t ion

o f t h i s p r o b l e m . T h e d e r i v a t i v e o f z r( ~b ) i s g i v e n a s :

0 z , q / )

z ~ q , ) = < T ~ ) ~ = o , 9 )

w her e e~ ( ~) i s de f ined as :

lO )

e ~ ( ~ ) = L d ( v ~ , ) I d ~ J L J ( ~ ) J

F r o m e q u a t i o n s ( 5 ) a n d ( 6 ) ,

x ' (~ b ) = - a 2 s i n ( ~ + ~ , )

- a s s i n ( ~ l + ~ + O ) O ' ( ) , ( l l a )

y ' (~k) = a2 COS(~l + ~ )

+ a5 cos(~ l + ~2 + 0)0 ' (~k) , (11 b)


4/11

346 JORGE ANGELES

et al.

P0 ~ Oo{~o,etao}

f

Q 2 2 , ~ 2 } _

~ B , ~ . y ~ *c,c)

~...,x, ~ ~ D , ~ o )

Fig. 3. Normality con dition of points of coupler curve wh ose distance to giv en trajectory points is a

minimum.

whe re 0 (~b) i s c a lcu l a t ed a s de sc r ibed i n de t a i l i n t he

A p p e n d i x . T h e f i na l f o r m o f t h e e q u a t i o n d e t e r -

min ing ~b~ beco me s:

g,(~ i) = (x - ~)x (@, ) + (y - r/~)y (~b~) = 0. (12)

I n o r d e r t o a v o i d t h e u s e o f h i g h e r o r d e r d e r i v a -

t ive s, an d t o a cco un t fo r t he s i ngu l a r i ti e s o f equa t i o n

( 9) , a c o m b i n a t i o n o f th e s e c a n t a n d b i s e c ti o n m e t h -

ods [10] i s ado p ted t o so lve equa t ion (12) . I t shou ld

a l so be no t ed t ha t a spec i a l num er i ca l t r e a tm en t i s

needed w hen the d r iv ing l i nk i s no t a c ra nk and P~ l ie s

c l o s e t o a d e a d - e n d p o s i t i o n s i n c e b o t h c o m p o n e n t s

o f e ;( ~ ) v a n i s h a t t h a t e x t r e m e p o i n t . H o w e v e r , c u s p s

[11] p re sen t no p a r t i cu l a r num er i ca l d i f fi cu l ty . An

i m p o r t a n t f e a t u r e o f t h e f o r e g o i n g m e t h o d is t h a t t h e

resolve d inp ut angle ~b~ rem ains wi thin rang e , th a t i s ,

t he r ad i ca l o f equa t i o n (1 ) , B ~ - A ~ C i , i s a lways

g r e a t e r th a n o r e q u a l t o z e r o . T h u s , w h e n e v a l u a t i n g

the coup le r ang l e 0~ f rom the qu adra t i c equ a t i on (1 ),

two rea l r oo ts 0~, an d 0~2 are a lw ays ident i f ied, ea ch

p e r t a i n in g t o o n e o f t h e t w o conjugate configurations

o f t h e l i n k ag e , o n e f o r e a c h s i g n o f t h e s o l u t i o n o f t h e

s a i d q u a d r a t i c e q u a t i o n . W h i c h c o n f i g u r a t i o n t o

choo se i s exp l a ined nex t : a s sh ow n in F ig . 3 , i n it i a ll y

a n R R R R p l a n a r l i n k ag e i s g iv e n w i t h c o u p l e r p o i n t

P0 gene ra t i ng a t r a j ec to ry F . T h i s c an be e i t he r

un i cu r sa l o r b i cu r sa l , a s d i scussed i n [12 ] . In t he f i r s t

c a s e, t h e n , t h e p r o p e r c o n f i g u r a t i o n i s c h o s e n s i m p l y

as t ha t m in im iz ing d~ fo r b o th s i gns o f t he so lu t i on .

I n t h e s e c o n d c a s e , th e p r o p e r c o n f i g u r a t i o n is c h o s e n

d e p e n d i n g u p o n t h e s i g n a s s o c i a t e d w i t h t h e

c o n f i g u r a t i o n a t P 0 , t h e r e b y a v o i d i n g t h e p r o b l e m o f

branching: D e t a i ls o f t h e f o r e g o i n g d i s c u s s io n a r e

given in [13].

2 .2 . Com puta t i on o f t he li nkage param e te rs

A d i sc re t e se t o f t r a j ec to ry po in t s , a s i nd i ca t ed i n

Fig . 3 , i s p re sc r ibed , nam e ly ,

Q0(0, r/0), Q,(~ l, r / l ) . . . . Q,(~ , , , r /m).

F u r t h e r m o r e , a n i n it ia l g u e s s o f t h e e ig h t design

pa ra m ete rs xA, YA, XB, Ya, XC, YO XD and YD i s a ssum ed

to be ava i l ab l e . In t he absen ce o f such an i n i ti a l guess ,

t he use r c an spec i fy one a rb i t r a r i l y . Po in t P0 i s now

defined as Q0(~0, r /0) , there by com ple t ing a l ink age

conf igura t i on a t t ha t pos i t i on ( see F ig . 3 ) . T he nex t

s t e p is t o d e t e r m i n e p o i n t s P ~ , . . . , P m o f F t h a t l i e

c l o s e s t t o t h e c o r r e s p o n d i n g t r a j e c t o r y p o i n t s

Q I . . . . Q ,~ , a s s h o w n i n t h e p r e v i o u s s e ct i o n, f r o m

the co r re sp ond ing i np u t ang l e s ~,~ . . . . @m. W i th a l l

i n p u t a n g l e s e v a l u a te d , t h e p r o b l e m t h e n c o n s i s t s o f

c o m p u t i n g a n e w s e t o f d e s ig n p a r a m e t e r s t h a t w i ll

d i m i n i s h t h e e r r o r b e t w e e n t h e r e q u i r e d a n d t h e

g e n e r a t e d p o s i t i o n s . T h e a b o v e p r o c e d u r e i s p e r -

f o r m e d i t e r a t i v e l y u n t i l n o f u r t h e r i m p r o v e m e n t i s

p o s s i b l e , w h i c h m e a n s t h a t s a t i s f a c t o r y c o n v e r g e n c e

i s a ccom pl i shed .

T h e p r o b l e m a t h a n d c o n s is t s o f c o m p u t i n g e i gh t

de s ign pa ram e te r s g iven i n equa t ion (4 ) wh ich wi l l

p r o d u c e a m i n i m u m l e a s t - s q u a r e e r r o r h ( x ) d e f i n e d

n e x t . W e r e w r i t e e q u a t i o n s ( 5 ) a n d ( 6 ) f o r a n y

c o u p l e r - p o i n t p o s i t i o n a s

xt -- xA + a2 cos(~q + ~ i) + as cos (a, + ~ + 0~) (13)

y~ = y ~ + a2 sin(,,, + J~)+ as sin(~ ,, + ~ 2 + 0~);

i ---- 1 . . . . m. (14)

N o w l e t ,

p = [x l, x2 . . . . x , . , y l , Y2 . . . . ym] r (15)


5/11

Opt imizat ion of R R R R planar path generators

q

_

[~ , ~ : . . . . , , , q~ , rh . . . . . r /, ,] , ( 16 )

w h e r e p i s a 2 m - d i m e n s i o n a l v e c t o r o f c o o r d i n a t e s o f

c o u p l e r p o i n t s P ~ a n d q is a 2 m - d i m e n s i o n a l v e c t o r o f

c o o r d i n a t e s o f g i v e n t r a j e c t o r y p o i n t s { Q ~ } T .

T h e p r o p o s e d k i n e m a t i c p r o b l e m r e d u c e s t h e n t o

t h e f o l l o w i n g u n c o n s t r a i n e d m i n i m i z a t i o n p r o b l e m :

h ( x )

=

}( p - q ) r W ' ( p - q ) - - , r a i n , ( 17 )

w h e r e W s e r v e s a s a w e i g h t i n g f a c t o r o f t h e o b j e c t iv e

f u n c t i o n a n d i s o f t h e f o l lo w i n g f o r m :

W = d i ag (w ~ , w : . . . . w : ,, );

0 < w i < l ; i = 1 . . . . , 2m . (1 8)

M a t r i x W a c c o u n t s f o r p o s s i b l e s c a li n g s a n d n o r -

m a l i z a t i o n s t h a t m a y b e n e c e s s a r y i n o r d e r t o r e n d e r

h ( x ) n o n d i m e n s i o n a l . I n th i s f o r m u l a t i o n , w e a r e

i n t e re s t e d i n t h e r . m . s , e r r o r a n d t h u s , W i s c h o s e n a s

1

W = ~ m 1 , ( 1 9 )

w h e r e 1 i s t h e i d e n t i ty 2 m 2 m m a t r i x . H e n c e , t h e

p r o b l e m i s r e d u c e d t o f i n d in g t h e l e a s t -s q u a r e a p -

p r o x i m a t i o n o f th e f o l lo w i n g o v e r d e t e r m i n e d n o n -

l i n e a r a l g e b r a i c s y s t e m :

1

f i x ) = ~ ( p - q ) = O . ( 20 )

T h e t o t a l n u m b e r o f e q u a ti o n s i s 2 m a n d t h e to t a l

n u m b e r o f u n k n o w n s i s 8 + m . T h u s , i f t h e n u m b e r

o f p r e s c r ib e d p o i n t s i s g r e a t e r t h a n e i g h t a n o v e r -

d e t e r m i n e d n o n l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s a r is e s . I f

m = 8 - - e q u a l n u m b e r s o f e q u a t i o n s a n d

u n k n o w n s - - t h e p r o b l e m i s d e t e rm i n e d b u t a u n iq u e

s o l u t i o n i s n o t g u a r a n t e e d d u e t o t h e n o n l i n e a r

n a t u r e o f t h e p r o b l e m . I n f a c t , b y v i r t u e o f t h e

R o b e r t s - C h e b y s h e v T h e o r e m [ I l l , t h i s p r o b l e m i s

k n o w n t o a d m i t t h r e e d i s t i n c t s o l u t i o n s , w h i c h t h u s

d e f i n e t h r e e

cogna te mechan isms .

I f m < 8 - - m o r e

u n k n o w n s t h a n e q u a t i o n s -- i n fi n i te l y m a n y s o l u t io n s

c a n b e e x p e c t e d . I n t h i s c a s e , t h e d e s i g n e r h a s t h e

f r e e d o m t o c h o o s e t h e b e s t l i n k a g e o u t o f a ll th e

f e a s i b l e o n e s b y t a k i n g i n t o a c c o u n t f a c t o r s s u c h a s

c o s t , s p a c e a v a i l a b i l i t y , w e i g h t , e t c . A l t e r n a t i v e l y , t h e

d e s i g n e r c o u l d i n c r e a s e t h e n u m b e r o f t r a j e c t o r y

p o i n t s b y i n t e r p o l a t i o n f r o m t h e g i v e n d a t a . I n w h a t

f o l l o w s w e w i l l b e c o n c e r n e d w i t h t h e c a s e m t> 8 ,

a n d s o , w i ll r e g a r d t h e s o l u t i o n o f e q u a t i o n ( 2 0)

a s o n e o f l e a s t - s q u a r e a p p r o x i m a t i o n s . T h e l e a s t-

s q u a r e a p p r o x i m a t i o n s o u g h t i s f o u n d u s i n g t h e

N e w t o n - G a u s s p r o c ed u r e [1 4 , 15 ] w i t h H o u s e h o l d e r

r e f l e c t i o n s [ 1 6 ] , c o n t i n u a t i o n [ 1 7 ] , a n d d a m p i n g [ 1 8 ] .

T h e N e w t o n - - G a u s s p r o c e d u r e r e q u i r e s t h e e v a l u -

a t i o n o f th e J a c o b i a n m a t r i x J ( x ) w h e r e

O f 1

p

( 21 )

s x ) = 0 - -; = ~ 0 x

347

T h e f o l l o w i n g s c h e m e i s a d o p t e d t o e v a l u a t e

t h e J a c o b i a n m a t r i x J ( x ) : F r o m e q u a t i o n s ( 1 3, 1 4

and 19) ,

d f [ d x ~ d a 2

d x = ~ + ~ x c s ~ l + ~ k ~) - a 2 s i n ~ , + ~k ~)

/ 'd~ l d~b~ 'X da5

+ cos , + + 0 , )

- as s i n ( ~ + ~ + 0 , )

[ d ~ d ~ : d O ~ \ q /

22 )

d f + = [ -d Y + - ~ s in (~ t + ~ O ,)

x

aX

x

+ a~ c s(~ ' + ~b~)(~--~+ d~b'~x ]

da~

+ ~ s in (~ + ~2 + Oi)

+ a5 co s( ~ + ~2 + 0~)

~ . d x + ~ x x + w / 2- m ;

i = 1 . . . . m , ( 2 3)

w h e r e a 2 , a s , ~ a n d ~2 a r e e x p r e s s e d i n t e r m s o f x a n d

t h u s d a 2 / d x , d a s / d x , d ~ l / d X a n d d ~ J d x a r e e v a l u a t e d

e x p l i c it l y , a s s h o w n i n t h e A p p e n d i x . 0~ i s a f u n c t i o n

o f x a n d g % , b e i n g i t se l f a n i m p l i c it f u n c t i o n o f x .

T h e r e f o r e ,

dOi OOi i d ~ b i

- + 2 4 )

d x 0 x 0 ~ b t d x

I n o r d e r t o e v a l u a t e d ~ b J d x w e u s e t h e f u n c t i o n g ~

de f i n i ng ~k, i n eq ua t i on ( 12 ) , exce p t t ha t , n ow , ~b i s no t

t h e o n l y v a r i a b l e o f g , I n d e e d , i t c o n t a i n s x a s a

p a r a m e t e r a n d a d d i t i o n a l a r g u m e n t s , d e p e n d i n g

u p o n ~,~, n a m e l y 0 ( ~b ,) a n d 0 ' ( ~ ) . N o w , e q u a t i o n ( 12 )

de f i nes t he s e t {~b ,}T f o r t he g i ven s e t {Q ~}~', v i a ve c t o r

x. Hence, ~b~ ,a s p r o d u c e d b y e q u a t i o n ( 1 2 ), is , i n f a c t,

a f u n c t i o n o f x . T h e l a t te r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s a r e n o t

d i r e c t , b u t v i a f u n c t i o n ~ b ,( x) , i .e . o n e h a s

g ,

=

g,( x; ~0,, 0,, 0~)

=

O. (25)

W h a t w e n e e d i n t h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n i s t h e

d e r i v a t i v e o f ~O~ w i t h r e s p e c t t o x , w h i c h c a n b e

o b t a i n e d b y d i f f e r e n t ia t i o n o f e q u a t i o n ( 2 5) w i t h

r e s p e c t t o x , n a m e l y ,

dg Og Og dOi Og dO Og dO ;= o . ( 26 )

dx = 0 x 00- -7d x

N o w , s i n c e 0 ~ i s a f u n c t i o n o f x , ~ , a n d 0 ~ , d 0 ~ /d x

b e c o m e s :

d0~ 00~ d0~dd/ , 00~ d0, (27)

dx - 8x ~ - ~ ~ x -~

dO

d x '

w h e r e

aO_~ =

020 , ( 28 )


6/11

348 JORGE ANGELES t al .

a n d

O0; 020 i

80---~= ~ , 2 9 )

00~ 020i

c30-- = O0, c3~,

(30)

Co mb in ing equa t ions (26 and 27), d ~ /dx i s

eva lua t ed a s :

d~ki ni

. . . . , 3 1 )

d x

D i

where n~ i s an 8 -d ime ns iona l vec to r , wh e reas t he

den om ina to r D~ i s, o f course , a sca l a r . Thes e a re :

g 8 O 8 o ;

n , = - \ O x + ~ x x + O - - ~ - x 4

d O , d O g ' x ]

(32a)

a n d

3gi Ogi ~Oi Ogi 80~ 8g i 00~ t30

t h e r e b y c o m p l e t i n g a l l t h e c o m p u t a t i o n s r e q u i r e d t o

e v a l u a t e t h e J a c o b i a n . T h e f o r e g o i n g d e r iv a t i o n s

a l lo w t h e c o m p u t a t i o n o f th e d e si g n p a r a m e t e r s . T h e

l in k a g e p a r a m e t e r s a r e t h e n c o m p u t e d f r o m t h e s e v ia

t h e f o r m u l a e i n c l u d e d i n t h e A p p e n d i x .

3 . N U M E R I C A L S C H E M E

T h e N e w t o n - - G a u s s m e t h o d c a n b e r e a d i l y a p p l i e d

t o f i n d t h e l e a s t- s q u a r e a p p r o x i m a t i o n o f f ( x ) = 0.

Th i s i s an i t e ra t i ve p rocedure wi th a t t r ac t i ve con-

v e r g e n c e p r o p e r t i e s [ 7 ] t h a t p r o d u c e s a m o n o -

ton i ca l l y -dec reas ing sequence S o f h va lues , name ly .

S : h ( x 0 ) > h ( x l ) > > h ( x k ) > h ( xk + l ) >

to a f i r s t - o r d e r a p p r o x i m a t i o n . M o r e o v e r , n e a r a

m i n i m u m p o i n t :

Ah -= (Vh ) r Ax ,~0 (33)

The conve rgenc e c r i t e r ia a re nex t s ta t ed . F or func -

t i o n h ( x ) t o r e a c h a m i n i m u m , i t m u s t f i r s t r e a c h a

s t a t i ona ry po in t , i . e . i t s g rad i en t mus t van i sh . I t was

s h o w n t h a t V h = j r f a n d t h u s , f r o m e q u a t i o n ( 3 3 ),

t h e t w o c o n v e r g e n c e c r i te r i a a r e :

( a ) V h ( xk) = Jr(xk)f(x~ ) = 0;

(b ) Axk ~ 0.

The ove ra l l i t e ra t i ve p rocedure i s t he fo l l owing :

( i ) Read :

(i .1) init ial guess

x

= [ x ~ , Y A , x B , Y B , X o Y o x o ,

YD]r;

( i .2) t ra jec tory data {Q,}g ' .

( i i ) S e t P o =-- Q o a n d e v a l u a t e t h e l in k a g e d i m e n -

sions a t , , a s , ~ 1 , ~ 2 .

( i i i ) E v a l u a t e t h e i n p u t a n g l es ~ a n d c o u p l e r

ang le s 0~ wi th p rop e r conf ig ura t i on ch o ice - - -

( x i i i )

( x i v )

xv)

( x v i i )

i .e . p rop e r cho ice o f s ign i n equ a t ion (1 )- -- ,

c o r r e s p o n d i n g t o p o i n t s P i c l o s e s t t o t r a -

j ec to ry po in t s Q~, fo r i = 1 . . . , m .

( i v ) Eva lua t e f i x ) .

( v ) E v a l u a t e th e m a x i m u m n o r m o f f (x ) , ra t h e r

t h a n i ts E u c l id e a n n o r m , f o r e c o n o m y o f

c o m p u t a t i o n s .

( v i ) T e s t i f th e n u m b e r o f i t er a t io n s a t t h is p o i n t

exceeds the m axim um a l lowable . I f it does ,

s t o p t h e p r o c e d u r e ; o t h e r w i s e , g o t o n e x t

step.

( v i i )

E v a l u a t e t h e J a c o b i a n m a t r i x d ( x ) .

( v i i i ) E v a l u a t e A x u s i n g H o u s e h o l d e r r e f l e c t i o n s

a n d b a c k s u b s t i t u t i o n .

( i x ) E v a l u a te t h e m a x i m u m n o r m o f A x .

( x ) E v a l u a t e t h e g r a d i e n t V h a n d i t s m a x i m u m

n o r m .

( x i ) I f th e m a x i m u m n o r m s o f V h a n d A x a r e

l ess t han g iven to l e rances , t he p roced ure has

conve rged and i t s t ops . Othe rwi se ,

( x i i )

u p d a t e x a n d r e - e v a l u a t e d i m e n s i o n s

al , . , 05 , ~1, ~2.

Upda te f (x ) .

E v a l u a t e t h e m a x i m u m n o r m o f f (x ) .

I f th e n o r m o f s t ep

( x i v )

i s less than the

g i v e n t o l e r a n c e , t h e p r o c e d u r e h a s c o n -

v e r g e d t o a g l o b a l m i n i m u m , n a m e l y t o a

z e r o e r r o r m i n i m u m , a n d i t s t o p s - - i n g e n -

e ra l , t h i s i s no t expec t ed t o occur , bu t i n

some ins t ances i t happens ; fo r example ,

wh en m = 8 , t he sys t em of equa t ions (20) i s

d e t e r m i n e d , a n d a z e r o - e r r o r a p p r o x i -

ma t ion i s poss ib l e . Othe rwi se ,

( x v i ) i f t h e n o r m o f s t ep ( x i v ) i s less than the

norm in s t ep (v ) , go t o s t ep (v ) and the

i t e ra t i on coun t i s i nc remented . Othe rwi se ,

p e r f o r m d a m p i n g o n A x t o r e d u ce t h e s t ep

s i ze o f Ax and go to s t ep (x i i ) . Th i s i s

n e e d e d w h e n e v e r t h e p r e s e n c e o f h i g h e r -

o r d e r t e r m s o f h ( x ) b e c o m e s r e le v a n t a n d

the sequence S fa i l s t o be monoton ica l l y

dec reas ing .

A s t o t h e c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y o f t h e p r o -

c e d u r e, w h i c h i s m e a s u r e d i n n u m b e r o f f lo a t in g -

p o i n t o p e r a t i o n s , i t s h o u l d b e p o i n t e d o u t t h a t t h i s

g r o w s l i n e ar l y w i t h t h e n u m b e r o f g i v e n t ra j e c t o r y

po in t s t o be ma tched , i . e . wi th m. In fac t , s t eps ( i i i ) ,

( i v ) , ( v i i ) , ( v i i i ) , ( x ) a n d ( x i i i ) i n v o l v e c o m p u t a t i o n s

which c l ea r ly g row l i nea r ly wi th m. The c ruc i a l s t ep

o f e v a l u a t in g A x i n s t e p

( v i i i )

involves a l inear

complex i ty i n m , bu t t h i s i s no t a s appa ren t . I t wi l l

b e c o m e c l e a r b y r e c al l in g t h e n u m b e r o f o p e r a t i o n s

r e q u i re d b y e a c h s t e p o f t h e H o u s e h o l d e r a l g o r i t h m

i n f i n d i n g t h e l e a s t - s q u a r e a p p r o x i m a t i o n o f a n

ove rde t e rmined l i nea r a lgebra i c sys t em. The sa id

s t e p s a n d t h e i r c o m p u t a t i o n a l r e q u i r e m e n t s a r e t h e

fol lowing[16]:

( a ) T o r e d u c e a n a r b i t r a r y m n m a t r i x t o u p p e r -

t r i a n g u l a r f o r m , M a m u l t i p l ic a t i o n s a n d A a add i t i ons


7/11

O pt imiza t ion o f R R R R plana r path generators

a r e n e e d e d , t h e s e f i g u r e s b e i n g g i v e n b e l o w :

n + 3n 2 - n 3

M . = 3 b n 2 m

5n + 3n 2 - 2n 3

As = 6 Jr n 2m.

( b ) T h e a p p l i c a t i o n o f n H o u s e h o l d e r r e f l ec t io n s t o

a n a r b i t r a r y m - d i m e n s i o n a l v e c t o r r e q u i r e s M b m u l t i -

p l i c a t i o n s a n d A b a d d i t i o n s , w h i c h f i g u r e s a r e g i v e n

next :

M b = 3n -- n E + 2 n m , A b = n - - n 2 + 2 n m .

( c) T h e b a c k - s u b s t i t u t i o n i n t ro d u c e d i n s o l v i n g a n

n x n l o w e r - t r i a n g u l a r s y s t e m r e q u i r e s M c m u l t i -

p l i c a t i o n s a n d A c a d d i t i o n s , t h e s e f i g u r e s b e i n g a s

f o l l o w s :

n ( n + 1) n ( n + 1)

M e = , A ~ - - - -

2 2

I f , i n t h e f o r e g o i n g f o r m u l a e , n i s r e p l a c e d b y 8 ,

w h i c h i s t h e n u m b e r o f u n k n o w n s , r e g a r d l es s o f t h e

n u m b e r o f p r e s c ri b e d p o i n t s , th e n , t h e f o l l o w i n g

f i g u r e s a r e d e r i v e d :

M a = 6 4 m - 1 0 4 , A a = 6 4 m - 1 3 2

Mb = 16m - - 40 , Ab = 16m - - 56

M c = 36, A c = 36.

F r o m t h e f o r e g o i n g d i s c u s si o n , it i s c l e a r t h a t t h e

c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y o f t h e a l g o r i t h m i s l i n e a r

i n t h e n u m b e r o f t ra j e c t o r y p o i n t s t o b e m a t c h e d .

T h e l i k e l i h o o d a n d t h e s p e e d o f c o n v e r g e n c e o f t h e

f o r e g o i n g p r o c e d u r e a r e e n h a n c e d b y t h e i n t r o -

d u c t i o n o f cont inuat ion , a n i t e m t h a t i s b r i e f l y

d i s c u s s e d i n t h e n e x t S e c t i o n .

4 . C O N T I N U A T I O N

B o t h t h e N e w t o n - R a p h s o n a n d t h e N e w t o n -

G a u s s m e t h o d s a r e k n o w n t o h a v e a q u a d r a t i c c o n -

v e r g e n c e r a t e n e a r a s o l u t i o n [ 1 4 ] . T h e i d e a b e h i n d

c o n t i n u a t i o n i s t o e x p l o i t t h i s p r o p e r t y a n d h e n c e

a c c e l e ra t e t h e c o n v e r g e n c e r a t e o f a N e w t o n - t y p e

m e t h o d . T h i s i s n e e d e d b e c a u s e , i n a n y p r a c t i c a l

s i t u a t i o n , a g i v e n i n i t i a l g u e s s w i l l m o s t l i k e l y l i e a w a y

f r o m a s o l u t i o n . C o n t i n u a t i o n w o r k s a s f o ll o w s : w r i t e

f u n c t i o n f ( x ) , w h o s e E u c l i d e a n n o r m i s t o b e m i n i -

m i z e d a s f ( x ; s ) , t h e r e b y s h o w i n g e x p l i c i t l y t h e d e -

p e n d e n c e o f f u p o n a s e t o f p p a r a m e t e r s g r o u p e d i n

t h e p - d i m e n s i o n a l v e c t o r s . F o r e x a m p l e , i n t h e

p r o b l e m u n d e r s t u d y , s w i l l b e c o m p o s e d o f t h e

2 ( m + 1 ) C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s o f th e p r o b l e m d a t a

{ Q~ }g . M o r e o v e r , a s s u m e t h a t a n a r b i t r a r y l i n k a g e ,

r e p r e s e n t e d b y x , i s g i v e n a s a n i n i t i a l g u e s s. T h e

c o u p l e r c u r v e o f t h i s l i n k a g e c a n b e r e a d i l y d e t e r -

m i n e d . F r o m t h i s , a s e t o f p o i n t s { R ~} g c a n b e f o u n d ,

w h o s e d i s t a n c e t o t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s i n t h e

g i v e n s e t {Q ~} g i s a g l o b a l m i n i m u m , a n d a v e c t o r s o

c a n b e d e f i n e d a s b e i n g c o m p o s e d o f t h e 2 ( m + 1 )

349

C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s o f { R~ }g . T h e n , o b v i o u s l y , x

i s t h e l e a s t - s q u a r e a p p r o x i m a t i o n t o t h e f o l l o w i n g

o v e r d e t e r m i n e d n o n l i n e a r a l g e b r a i c s y s t e m :

f x ; s ) -- O, (34)

N o w , l e t

As _= (s -- s)/v, (35)

f o r a n i n t e g e r v a l u e o f v, s b e i n g t h e o r i g i n a l p r o b l e m

d a t a . F u r t h e r , d e f in e t h e f o l l o w i n g se q u e n c e o f n o n -

l i n e a r o v e r d e t e r m i n e d a l g e b r a i c s y s te m s :

f ,(x) - f(x; s ~) = 0, (36 a)

w h e r e

s = s + / A s , i = l . . . . . v. ( 36 b )

I f v i s c h o s e n s u i t a b l y - - u s u a l l y b e t w e e n 5 a n d

10- - - then s I l i e s c lose to s , and an in i t i a l guess f or

p r o b l e m ( 3 6 a ) t h a t l i e s c l o s e t o i t s s o l u t i o n w i l l b e

x = - x ( s ), w h e r e x ( s ) r e p r e s e n t s t h e k n o w n s o l u t i o n

t o p r o b l e m ( 3 5) . H e n c e , a s o l u t i o n x ( s ) t o p r o b l e m

( 3 6 a ) f o r i = 1 w i l l b e r a t h e r e a s y t o c a l c u l a t e . T h e

p r o c e d u r e i s r e p e a t e d f o r i = 2 . . . , v , u s i n g a s a n

i n i t i a l g u e s s f o r p r o b l e m ( 3 5 ) , f o r a r b i t r a r y i , t h e

s o l u t i o n t o t h e ( i - l ) s t p r o b l e m . W h e n i = v , e q u a -

t i o n ( 3 6 a ) w i l l r e p r e s e n t t h e g i v e n o r i g i n a l p r o b l e m .

5 . E X A M P L E S

I n t h i s s e c t i o n , t h r e e e x a m p l e s a r e p r e s e n t e d , t w o

f o r s t r a i g h t - l i n e a n d o n e f o r c i r c u l a r - a r c g e n e r a t i o n .

A n a r b i t r a r y n u m b e r o f t r a je c t o r y p o i n ts c o u l d b e

a s s ig n e d , a s l o n g a s m i s g r e a te r t h a n 8 . F o r p u r p o s e s

o f i l l u s t r a t i o n , m w a s c h o s e n a s 2 0 , i .e . t h e n u m b e r o f

g i v e n t r a j e c t o r y p o i n t s w a s g i v e n a s 2 1 . T h e e f f e c t o f

v a r y i n g m a f f ec t s m o s t l y t h e t i m e i t t a k e s t o c o m p u t e

t h e d e s i r e d s o l u t i o n , b u t , a s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 ,

t h a t t i m e w i ll v a r y l i n e a r l y w i t h t h e n u m b e r o f

t r a j e c t o r y p o i n t s t o b e m a t c h e d .

5. I . Exa m p le 1: s t ra ight - l ine genera t ion

( i ) T h e w e l l - k n o w n R o b e r t s m e c h a n i s m [ l l ] c o n -

t a i n s a p o i n t o n i t s c o u p l e r l i n k w h i c h p r o d u c e s a

c o u p l e r c u r v e c o n t a i n i n g a p o r t i o n t h a t a p p r o x i m a t e s

a s t r a ig h t l i n e v e r y a c c u r a t e l y . T h e a p p l i c a b i l i t y o f

t h i s m e t h o d i s i l l u s t r a t e d b y p r e s c r i b i n g a s e t o f 2 1

p o i n t s a l o n g t h e c o u p l e r c u r v e o f a R o b e r t s m e c h -

a n i s m . A n i n i t i a l g u e s s i s g i v e n t h a t i s f a r f r o m

p r o d u c i n g a c o u p l e r c u r v e c o n t a i n i n g t h e g i v e n t r a -

j e c t o r y p o i n t s . B o t h t h e d a t a a n d t h e i n i ti a l g u e s s a r e

s h o w n i n F i g . 4 . F r o m t h e i n i t i a l g u e s s , t h e s o l u t i o n

w a s a p p r o a c h e d w i t h 5 c o n t i n u a t i o n s t e p s , i . e . b y

s e t t i n g v d e f i n e d i n S e c t i o n 4 , e q u a l t o 5 . I n t h e

a v e r a g e , le s s t h a n f o u r i t e r a t io n s w e r e r e q u i r e d w i t h i n

e a c h c o n t i n u a t i o n s t e p i n o r d e r t o p r o d u c e c o n -

v e r g en c e . T h e s o l u t i o n w a s f o u n d w i t h a n r .m . s , e r r o r

o f 0 .9 4 6 5 1 0 - 6. T h e n o r m a l i t y c o n d i t i o n , e q u a t i o n

( 3 3) , w a s v e r i fi e d w i t h a t o l e r a n c e o f 1 0 - 5 i n t h e l a s t

c o n t i n u a t i o n s t ep . H o w e v e r , a t i n t e r m e d i a t e s t ep s l e ss

a c c u r a c y w a s r e q u i r e d . T h e o p t i m u m s o l u t i o n i s


8/11

350 JORGE ANGELESet al.

Fig. 4. Discrete trajectory with a straight-line segm ent given

by 21 points and initial-guess linkage.

Fig. 6. Discrete trajecto ry with a straight-line segm ent given

by 21 points and initial-guess linkage.

s h o w n i n F i g . 5. I n t h a t f i g u r e t h e l i n e d e f i n e d b y

p o i n t s A a n d B i s m a t c h e d e x a c t l y b y t h e R o b e r t s

m e c h a n i s m a t t h e m i d p o i n t o f s e g m e nt A B , a w e l l -

k n o w n r e s u lt . N o t i c e t h a t r a t h e r t h a n o b t a i n i n g th e

o r i g i n a l R o b e r t s m e c h a n i s m o n e o f i t s c o g n a t e s i s

p r o d u c e d w i t h th i s m e t h o d . C l e a r ly w h i c h o f t h e

t h r e e m e c h a n i s m s t h e R o b e r t s m e c h a n i s m a n d i t s

t w o c o g n a t e s i s o b t a i n e d d e p e n d s o n t h e in i t i a l

g u e s s w h i c h i s a p p a r e n t i n t h i s e x a m p l e . T h e t o t a l

n u m b e r o f i t e r a t io n s w a s 1 9.

i i ) A s e c o n d e x a m p l e f o r s t r a i g h t - l in e g e n e r a t i o n

i s d e s c r i b e d n e x t . A n i n i t i a l l i n k a g e i s f i r s t s e l e c t e d

t h a t d e s c r ib e s a n a r b i t r a r y c o u p l e r c u rv e . T h e n t w o

p o i n t s a r e c h o s e n o n t h i s c o u p l e r c u r v e a n d a r e j o i n e d

b y a l i n e. N e x t a s a m p l e o f 2 1 p o i n t s o f t h i s li n e i s

c h o s e n a s s h o w n i n F i g . 6 a n d a l i n k a g e is s o u g h t

w h o s e c o u p l e r l i n k w o u l d t r a c e a c u r v e a p p r o a c h i n g

t h o s e 2 1 t r a j e c t o r y p o i n t s w i t h t h e l e a s t p o s s i b l e r m s

e r r o r . F i v e c o n t i n u a t i o n s t e p s w e re u s e d a n d c o n -

v e r g en c e w a s r e a c h e d w i t h a n a v e r a g e o f 7 i t e r a t i o n s

p e r c o n t i n u a t i o n s t e p w h i l e t h e r. m . s e r r o r w a s o f

Fig. 5. Optimu m linkage and c oupler curve app roaching the

given trajecto ry poin ts with a minimum r.m.s error.

t h e o r d e r o f 1 0 - 5 T h e o p t i m u m l i n k a g e i s s h o w n i n

F i g . 7 . N o t i c e t h a t t h e i n i t i a l g u e s s i s f a r f r o m

r e s e m b l i n g t h e s o l u ti o n b u t c o n v e r g e n c e i s g u a r a n -

t e e d b e c a u s e o f t h e u s e o f c o n t i n u a t i o n . F u r t h e r m o r e

t h e to t a l n u m b e r o f i t e r a ti o n s 3 5 i s a r e a s o n a b l e

f ig u r e f o r t h i s t y p e o f p r o b l e m .

5.2 . Exa m p le 2: c i rcu lar - arc genera t ion

A s a m p l e o f 21 p o i n t s f r o m a t r a j e c t o r y c o n t a i n i n g

a c i r c u l a r - a r c s e g m e n t is s h o w n i n F i g . 8 t o g e t h e r

w i t h a n i n i t i a l - g u e s s l i n k a g e w h o s e c o u p l e r c u r v e i s

f a r f r o m t h e g i v e n s e t. T h e p r o c e d u r e w a s a p p l i e d t o

f i n d t h e l i n k a g e t h a t b e s t a p p r o x i m a t e s t h e g i v e n

d i s c re t e t ra j e c t o r y . C o n v e r g e n c e w a s o b t a i n e d w i t h i n

3 5 i t e r at i o n s t h e r m s e r r o r o b t a i n e d b e i n g o f

0 . 5 6 46 x 1 0 - s . T h e o p t i m u m l i n k a g e i s s h o w n i n

F ig . 9 .

5.3 . D iscuss ion o f the resu l t s

T h e r e s u lt s o f t h e t h r e e f o r e g o i n g p r o b l e m s p r e s e n t

t h e f o l l o w i n g f e a t u r e s : t h e fi r s t a n d t h e t h i r d e x a m p l e s

Fig. 7. Optimum linkage and c oupler curve approach ing the

given trajecto ry poin ts with a minimum r.m.s error.


9/11

O pt imiza t ion o f R R R R plan ar pat h generators 351

Fig. 8. Discrete tra jecto ry with a circular-a rc segment, given

by 21 points, and initial-guess linkage.

p r o d u c e d a v i r t u a l l y z e r o r . m . s , e r r o r . I n g e n e r a l , t h i s

i s n o t t o b e e x p e c t e d , b u t i n t h e s e c a se s t h is h a p p e n e d

b e c a u s e t h e s e ts o f g i v e n t r a j e c t o r y p o i n t s w e r e t a k e n

f r o m a c t u a l c o u p l e r c u rv e s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e

f ir s t e x a m p l e c o n v e r g e d w i t h s l ig h t l y o v e r h a l f t h e

n u m b e r o f i t e r a t i o n s re q u i r e d b y t h e s e c o n d a n d t h i r d

e x a m p l e s . T h i s i s e x p l a i n e d a s f o l l o w s: t h e c o n d i t i o n

n u m b e r o f t h e J a c o b i a n m a t r i x [ 1 6 ] w a s e s t i m a t e d

f o l l o w i n g a p r o c e d u r e d e s c r i b e d i n d e t a i l in [1 9 ]. T h e

c o n d i t i o n n u m b e r o f a m a t r i x i s a m e a s u r e o f it s

i l l - c o n d i t i o n i n g , s o t h a t t h e l a r g e r t h i s n u m b e r i s , t h e

m o r e i l l - c o n d i t i o n e d t h e m a t r i x i s . T h e b e s t c o n d i -

t i o n e d m a t r i c e s h a v e a c o n d i t i o n n u m b e r o f 1 ,

w h e r e a s s i n g u l a r m a t r i c e s h a v e a n i n f i n i t e l y l a r g e

c o n d i t i o n n u m b e r . T h e m a x i m u m c o n d i t io n n u m b e r

r e c o r d e d f o r t h e J a c o b i a n m a t r i x o f E x a m p l e 1 w a s

2 5 , w h e r e a s a c o n d i t i o n n u m b e r a s h i g h a s 5 0 ,0 0 0 w a s

r e c o r d e d f o r t h e s e c o n d e x a m p l e . F o r t h e t h i r d

e x a m p l e , a m a x i m u m c o n d i t i o n n u m b e r o f 60 0

w a s r e c o r d e d , t h e r e b y e x p l a i n i n g t h e d i f f e r e n c e i n

c o n v e r g e n c e b e h a v i o u r a m o n g s t t h e t h r e e e x a m p l e s .

6 . C O N C L U S I O N S

A s i m p l i fi e d m e t h o d h a s b e e n d e v e l o p e d t o d e t e r -

m i n e t h e o p t i m u m d i m e n s i o n s o f a n R R R R p l a n a r

l i n k a g e w h o s e c o u p l e r l i n k d e s c r i b e s a t r a j e c t o r y

p a s s i n g a s c l o s e l y a s p o s s i b l e t o a g i v e n d i s c r e t e s e t

o f p o i n t s . T h e o b j e c t i v e , w h e n f o r m u l a t i n g t h e

Fig. 9. Optimum linkage and coupler curve app roaching the

given trajectory points with a minimum r.m.s, error.

l i n k a g e - o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , w a s t o e l i m i n a t e i n -

e q u a l i t y c o n s t r a i n t s t h a t u s u a l l y a r i s e in t h i s c o n t e x t .

T h u s , c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e m e t h o d s r e q u i r e d

t o h a n d l e i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s i n m a t h e m a t i c a l p r o -

g r a m m i n g w e r e a v o i d e d . T h e p a r t i c u l a r f e a tu r e o f t h e

a f o r e m e n t i o n e d a p p r o a c h i s to s e p a r a t e t h e v a r i a b l e s

d e f i n i n g t h e l i n k a g e , w h i c h a r e t h e r e f o r e c o n -

f i g u r a t i o n - i n d e p e n d e n t , f r o m t h o s e d e f i n i n g e a c h

c o n f i g u r a t io n . T h i s w a s a c c o m p l i s h e d b y d e t e r m i n i n g

a c o u p l e r p o i n t t h a t l i e s c l o s e s t t o e a c h g i v e n t r a -

j e c t o r y p o i n t . T h e e i g h t c o n f i g u r a t i o n - i n d e p e n d e n t

v a r i a b l e s d e f i n i n g t h e l i n k a g e w e r e e x p r e s s e d i n t e r m s

o f th e p l a n a r C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s o f t h e c e n t e rs o f

t h e f o u r j o i n t s d e f i n i n g t h e R R R R p l a n a r l i n k a g e .

T h e s e w e r e e v a l u a t e d i t e r a t i v e l y - - s t a r t i n g f r o m a n

a r b i t r a r y i n i t i a l g u e s s - - u s i n g t h e N e w t o n - G a u s s

m e t h o d . T h e p r o b l e m w a s f o r m u l a t e d a s a n o v e r -

d e t e r m i n e d u n c o n s t r a i n e d n o n l i n e a r s y s t e m o f a l g e -

b r a i c e q u a t i o n s a n d t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n t o b e

m i n i m i z e d w a s t h e s u m o f t h e s q u a r e s o f t h e

d i ff e re n c e b e t w e e n t h e d e s i r e d a n d t h e g e n e r a t e d

c o o r d i n a t e s o f p o i n t p o s i t i o n s . C o n t i n u a t i o n a n d

d a m p i n g t e c h n i q u e s w e r e i n t e g r a t e d t o g e t h e r w i t h t h e

N e w t o n ~ G a u s s p r o c e d u r e a n d , th u s , m o n o t o n i c c o n -

v e r g e n ce w a s a c c o m p l i s h e d fo r t h e n u m e r i c a l e x a m -

p l es . T h e t o t a l n u m b e r o f i t e r a t i o n s w a s r e l a t iv e l y l o w

f o r t h e s e e x a m p l e s . T h e c o n d i t i o n n u m b e r s o f t h e

J a c o b i a n m a t r i x w e r e r e a s o n a b l y l o w i n g e n e r a l .

H o w e v e r , t h e s e c o n d e x a m p l e l e d t o a h i g h c o n d i t i o n

n u m b e r , w h i c h c a n b e a t t r i b u t e d t o t h e l a r g e d i m e n -

s i o n a l u n b a l a n c e o f t h e s o l u t i o n . N e v e r t h e l e s s , t h e

p r o c e d u r e w a s c a p a b l e o f c o n v e r g e n c e e v e n in t h i s

u n f a v o u r a b l e s i t u a t i o n .

A c k n o w l e d g e m e n t s - - T h e research work reported here was

possible under NSE RC Natural Sciences and Engineer ing

Research Council , of Canad a) Gran t No. A4 532, FC AR

Fonds pour la formation de chercheurs et ra ide f i la

recherche, of Quebec) Grant No. E Q30 72 and IRSST

Institut de recherche en sant6 et en srcurit6 du travail du

Qurbec) Grant No. RS-87-06.

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10/11

352 JORGE ANGELES et a l .

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A P P E N D I X

C o m p u t a t i o n o f t h e J a c o b i a n m a t r i x J ( x )

P a r a m e t e r s a~ . . . , a s , ~ z, % c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f

t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s g i v e n in v e c t o r x a s f o l l o w s (S e e

Fig. 1):

a i = ~ / ( x o - x a ) z + ( Y o - Y A )2,

a2 : , / ~ . - x : Cv~-L3~,

a 3 = ~ / ( X c - x s ) 2 + (Yc - Yn) 2 ,

a , = ~ ~ o - - Y c ) 2,

a ~ = ~ / o - x ~ ) ~ + ~ o - y 9 2

~ t = a r c t a n ( y - Y ~ ] ,

\ x o - x ~ l

~ = a r c t a n ~ - ~ Y ~ - a r c t a n y c Y___~

\ ~ 0 - x n / \ x c - x ~ /

D e r i v a t i v e s o f t h e f o r e g o i n g q u a n t i t i e s w i t h r e s p e c t t o x a r e

n e x t s h o w n :

da,dx [ x-XAa, ' YYaooooXxayn~YA]ra al ai .J

da2-[dxx Xs--XAa-~' Ys--Yaa2,X s - - x A ' y n - - Y A ' o ' o ' o ' O ] T a 22 .J

[ T

_ = X c - - X s Y c - - Y B X c - - X s Y c - - Y s 0 0

d a3 0 , 0 , - - - , - - -, - - , ,

dx a 3 a3 as a3 d

d a : l - o o

o o _ .xo -Xc

y o - y x o - x c , y o - y c ]

d x L ' ' a 4

a 4 a 4 a 4 . .]

d a ' = [ 0 - x s r/ , 0 , 0 , 0 , 0

d x L ' 0 ' a s

N o w , l e t

Y o - Y a q o - - Y s F c - - Y s

r - , s = o _ X ~, t =

X o - - X A X C - - X o

a n d

1 1

r - ( 1 +

r 2 ) ( x o - X A ) ' S - -

( 1 + s 2 ) ( ~ o - x B )

1

P ~

( I + t 2 ) ( X c - - x s )

T h u s ,

d ~ I

- - = r ' [ r ,

- 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , - r , 1] r,

d x

O, O,- s t 1 1 t 1 ] r

= s t L

t s t s s sS ' O ' O j

M o r e o v e r ,

dx~ 1 dyA

-~-x = [ , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0Y, ~ x = [0, 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0y .

C o m p u t a t i o n o f O 2 0 d x d l# ,

0201 P

a n d 0 2 0 / O 0 3 l#

D i f f e r e n t i a t in g e q u a t i o n ( l a ) w i t h r e s p e c t t o $ a n d x , w e

d e r i v e c '~ 0 /3 $ a n d 0 0 / d x , a s f o l l o w s :

00 N ~30 n

w h e r e

N = sin(l# - 0) - L 2 sin l#

O L i O L s d L 2

n = TX-x+ T x c o s 0 + ~ x c o s~ '

D = s in ( l# - 0 ) + Ls s in 0 .

T h u s ,

H e n c e ,

0 N 0 L 2 ,

0 x ~ x s i n ~ ,

O N

- - = cos ( l# - 0 ) - L 2 cos l# ,

0l

0 N

-

c o s ( l - 0 )

00

0 D 0 L 3

0 x - ~ x s i n 0 ,

3 D

= c o s ( 0 - ) ,

0 l

0 D

-- = - co s (0 - l# ) + L 3 cos 0 .

~0

O x O ~ k D

o 2 o l O N

0 20 , 0 N

oool O ~ 3 S ~ )

E v a l u a t i o n o f g i( ~k )

T h e e q u a t i o n d e f i n i n g l#~ f o r e a c h t r a j e c t o r y p o i n t t o b e

m a t c h e d c a n b e w r i t t e n a s

d0,

g~( l#~) = a2c~ + a sd - - - asa2e ~ in #~ = 0,

O l ,

w h e r e

c

= v~ sin 2i + w~cos 2 i

d~ = vi si n v~ + w~ co s

vi

e i = ~ i - - 1 ,


11/11

O p t i m i z a t i o n o f R R R R p l a n a r p a t h g e n e r a t o r s 3 5 3

a n d

w i = Y a - r h

l~ = v i

A

2i = g / + ~ t t

V i = Oi + C t l J~ ~2

P a r t i a l d e r i v a t i v e s o f g i (~ b )

N o w , t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f g~ w i t h r e s p e c t t o x ,

O , O '

a n d ~k; a r e e v a l u a t e d . T h e s e a r e

t 3 g ; 6 q a 2 C 3 Ci 6 3 0 i t 3 d i c 3 a 5 ~ 0 i

~ x = d - - xc ' a 2 d x a s -c 3 ~ i c 3- 6 ~ x ~ d i

r d a 5 d a 2 - ] d u i

L~ x a2

a ~ ~ x J e i

s i n

# i - - a s a 2 e i

c o s # i ~ x = O .

w h e r e

tgci dr ; tgw ; & q

~ x = ~ xx s i n 2 i + ~ x c o s 2 ~ + ( v i c o s ) -i - w i s i n 2 ) ~ x

0 .

~ xx = ~ x s i n v + ~ x c o s v , + ( v , C OS v i - - w i

s n

v ,) \ d x + e x J

do--2'= [ - 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] r

d x

Ow~ = [1, O, O, O, O, O, O, o] r

Ox

O#, 0~2

M o r e o v e r ,

d g i C 30 i d d

- - = a 5 - - - - - - a s a 2 e i c o s ] i = 0

gOk a~,i ~Ok

w h e r e

04

= v i c o s v - w s i n v i.

t30k

F u r t h e r m o r e ,

dg ;

c ~O ~ = a s c ' - a s a 2 s in i t ; ,

a n d

- - = a2 (v cos 2 ; - w ~ s in 2 ; ) +

a s a 2 e ~

cos v ; ,

t h e r e b y c o m p l e t i n g a l l d e r i v a t i v e s r e q u i r e d t o e v a l u a t e t h e

J a c o b i a n m a t r i x o f t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s .

M I ~ T H O D E D ' O P T I M I S A T I O N D E M I ~ C A N I S M E S P L A N S A Q U A T R E

B A R R E S A R T I C U L I ~ E S P O U R L A S Y N T H I ~ S E D E T R A J E C T O I R E S

B A S l ~ E S U R L E S M O I N D R E S C A R R I E S S A N S C O N T R A I N T E S

R 6 s u m 6 - - L e s a u t e u r s p r 6 s e n t e n t u n e n o u v e l l e m 6 t h o d e d ' o p t i m i s a t i o n d e m 6 c a n i s m e s p l a n s ~ q u a t r e

b a r r e s a r t i c u l 6 e s p o u r l a s y n t h 6 s e d e t r a j e c t o i r e s . L e p r o b l 6 m e s e r 6 d u i t a u c a l c u l d e h u i t i n c o n n u e s

d 6 f i n i ss a n t u n m 6 c a n i s m e d o n t l a b ie l l e t r a c e u n e c o u r b e c o n t e n a n t u n e n s e m b l e d e r n + l p o i n t s q u i s e

t r o u v e n t a u s s i p r o c h e s q u e p o s s i b l e d ' u n e n s e m b l e d e m + 1 p o i n t s d o n n 6 s d ' u n e t r a j e c t o i r e d 6 f in i e

d i s c r 6 t e m e n t . L e s i n c o n n u e s s o n t c a l c u 1 6 e s a u m o y e n d ' u n e s o l u t i o n d e m o i n d r e s c a r r 6 s d e s 6 q u a t i o n s

c i n 6 m a t i q u e s , a y a n t c o m m e p a r a m 6 t r e s u n e n s e m b l e d e r n v a l e u r s { $i} ~' d e l ' a n g l e $ d 6 f i n i s sa n t l a p o s i ti o n

d u m e m b r e e n t r a i n a n t . C e t e n s e m b l e e s t d 6 t e r m i n 6 h o r s d e s it 6 r a t io n s s e r a p p o r t a n t a u c a l c u l d e s

p a r a m 6 t r e s d u m 6 c a n i s m e , c e q u i r 6 d u i t l e n o m b r e d ' i n c o n n u e s ~ u n n o m b r e f ix e , c ' e st - fi - d ir e fi h u i t , c a r

l e s a n g l e s ~ b n e f o n t p a s p a r t i e d e s v a r i a b l e s d e d 6 c i s i o n l o r s d e l ' o p t i m i s a t i o n d u m 6 c a n i s m e . D e p l u s ,

o n c a l c u l e l e s p a r a m 6 t r e s d e c e d e r n i e r a u t r a v e r s d e s c o o r d o n n 6 e s c a r t 6 s ie n n e s d e s c e n t r e s d e s a r t i c u l a ti o n s

l o r s q u e l e m 6 c a n i s m e s e tr o u v e d a n s u n e c o n f i g u r a t i o n d e r 6 f6 r e n ce . P a r c o n s 6 q u e n t , l es i n c o n n u e s s o n t

l e s c o o r d o n n 6 e s q u i n e s o n t s o u m i s e s fi a u c u n e c o n t r a i n t e , c e q u i p e r m e t d e f o r m u l e r l e p ro b l 6 m e c o m m e

u n p r o b l 6 m e d ' o p t i m i s a t i o n s a n s c o n t r a i n t e s l ib fi u n s y s t 6 m e a l g 6 b r i q u e d e 2 m 6 q u a t i o n s n o n - l i n 6 a i r e s

h u i t i n c o n n u e s , o 6 m I > 8 . P u i s q u e l e s y s t 6 m e a l g 6 b r i q u e e s t , e n g 6 n 6 r a l, s u r d i m e n s i o n n 6 , o n l e r 6 s o u d

p a r l a m 6 t h o d e d e N e w t o n - G a u s s , a v e c a m o r t i s se m e n t e t c o n t i n u a t i o n , c e q u i p e r m e t d e g a r a n t i r u n e

c o n v e r g e n c e a c c6 16 r6 e, m 6 m e s i l ' o n p a r t d e s v a l e u r s d e s i n c o n n u e s s e t r o u v a n t l o i n d ' u n e s o l u t i o n . L e

h o m b r e d e c o n d i t i o n d e l a m a t r i c e J a c o b i e n n e d e s 6 q u a t i o n s c i n 6 m a t i q u e s a 6 t 6 e s t im 6 f i c h a q u e i t 6 r a t i o n ,

c e q u i p e r m e t d e c o n t r 6 1e r l a p r 6 c is i o n d e l a s o lu t i o n . D a n s l e s e x e m p l e s o n a t r o u v 6 d e s n o m b r e s d e

c o n d i t i o n r e l a t i v e m e n t p e t i t s, e n r a i s o n d e l a p r 6 s e n c e d ' 6 q u a t i o n s r e d o n d a n t e s . E n f i n , c e s e x e m p l es

d 6 m o n t r e n t l ' e f f i c a c i t 6 d e l a m 6 t h o d e p r 6 s e n t 6 e .

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