Welty_Cap_1

•Futidamentos de Transferencia de ivlomenfol Calor y Masa

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IV

LIMUS A WILEY

FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE MOMENTO, CALOR Y MASASEGUNDA EDICIoN

JAMES R. WELTYProfesor y Jefe del Departamento de Ingenieria Mecanica Universidad Estatal de Oregon

CHARLES E. WICKSProfesor y Jefe del Departamento de Ingenieria Quimica Universidad Estatal de Oregon

ROBERT E. WILSONProfesor de Ingenieria Mecaniea Universidad Estatal de Oregon

IML1 SA

NOR IEGA E D ITO RES

MEXICO • Espana • Venezuela • Colombia

1CONCEPTOS

Y DEFINICIONES

Para comprender la transferencia de momento en tin fluido es preciso estudiar el movimiento de los fluidos y de las fuerzas que producen dichos movimientos. Por la segunda ley de Newton, se sabe que la fuerza esta directamente relacionada con la razOn de cambio del momento de un sistema con respecto al tiempo. Si se excluyen las fuerzas que acttlan a distancia, como la gravedad, puede demostrarse que las fuerzas que acnian sobre un fluido, como la presiOn y el esfuerzo cortante, son el resultado de una transferencia microscopica (molecular) de momento. Por lo tanto, el objeti-vo de estudio y que comUnmente se conoce como mecanica de fluidos, puede llamarse tambien transferencia de momento.

La historia de la mecanica de fluidos muestra la habil fusion del trabajo analitico realizado en los siglos xix y xx en hidrodindmica, con el conoci-miento empirico de la hidraulica que el hombre ha recopilado a traves de los siglos. La conjuncion de estas disciplinas que se desarrollaron por separado la inicio Ludwig Prandtl en 1904, con su teoria de la capa limite, que fue comprobada experimentalmente. La mecanica de fluidos, o transfe-rencia de momento moderna, es tanto analitica como experimental.

Cada area de estudio tiene sus propias expresiones y nomenclatura. Como la transferencia de momento es tipica, se hard mention de las definitions y los conceptos basicos para que sirvan como fundamento en la comunicaciOn.

1.1 FLUIDOS Y EL PRINCIPIO DE CONTINUIDAD

Un fluido se define como una sustancia que se deforma continuamente bajo la action de un esfuerzo cortante. Una consecuencia importante de esta definiciOn es que cuando un fluido se encuentra en reposo, no pueden existir

21

22 Conceptos y definiciones

esfuerzos cortantes. Tanto los liquidos como los gases son fluidos. Algunas sustancias como el vidrio se clasifican tecnicamente como fluidos. Sin em-bargo, la proporciOn de deformaci6n de un vidrio a temperaturas normales es tan pequefia que es impractico considerarlo como un fluido.

El principio de continuidad. Los fluidos, al igual que el resto de la materia, estan compuestos de moldculas; establecer el !Winer° de estas es un verdadero desaflo a la imaginaciOn. En una pulgada ctibica de aire a tempe-ratura ambiente existen aproximadamente moleculas. Cualquier teoria que intentara predecir los movimientos individuales de esta gran cantidad de moleculas seria en extremo compleja, y esta mas alla del conocimiento actual. Aunque la teoria cinetica de los gases y la mecanica estadistica tratan del movimiento de las moleculas, esto se pace en terminos de grupos estadisticos en vez de moleculas individuales.

La mayor pane del trabajo de ingenieria se refiere al comportamiento macroscOpico o en volumen de un fluido en vez del comportamiento micros-copic° o molecular. En la mayoria de los casos es conveniente considerar a un fluido como una distribuciOn continua de materia o un continuo. Existen, por supuesto, ciertos casos en que el concepto de continuo no es valid°. Considdrese, por ejemplo, el flamer° de moleculas en un pequefio volumen de gas en reposo. Si el volumen se considerara suficientemente pequefio, el flamer° de moldculas por unidad de volumen dependeria del tiempo, para el volumen microscOpico, aunque el volumen macroscopic° tuviera un fla-mer° constante de moldculas. El concepto del continuo solo seria valid° en el Ultimo caso. AI parecer, la validez de este enfoque depende del tipo de informa-ciOn que se desee mas que de la naturaleza del fluido. El estudio de los fluidos como continuos es valid° siempre y cuando el volumen mas pequefio que nos interesa contenga un flamer° suficiente de moldculas para que los promedios estadisticos tengan significado. Se considera que las propiedades macroscOpicas de un continuo varian suavemente (continuamente) de un punto a otro del fluido. La tarea inmediata que se presenta es definir estas propiedades en un punto.

1.2 PROP1EDADES EN UN PUNTO

Cuando un fluido esti en movimiento, las cantidades que se asocian con el estado y el movimiento del fluido variaran de un punto a otro. A continuaciOn, se presenta la definician de algunas de las variables del fluido en un puma.

Densidad en un punto. La densidad de un fluido se define coma la masa por unidad de volumen. Bajo condiciones de flujo, particularmente en gases, la densidad puede variar en forma considerable en todo el fluido. La densi-dad, p, en un punto en particular del fluido se define como

Propiedades en un punto 23

,. Amp 111111 —

av-sv AV

donde Am es la masa contenida en un voiumen AV y 51/ es el volumen mas pequefio que rodea al punto y para el cual son significativos los promedios estadisticos. El limite se ilustra en la figura 1.1.

Se ye entonces que el concepto de densidad en un punto matematico, o sea, a AV = 0, es ficiicio; sin embargo, el considerar p = limo„ (Am/ AV) es sumamente util, ya que permite describir el flujo del fluido en terminos de funciones continual. La densidad, en general, puede variar de un punto a otro en un fluido y tambien puede variar con respecto al tiempo, como sucederia con un neumatico de automOvil pinchado.

Dominic} molecular Dominio dado por el principio de continuidad

Ea a

AV

Figura 1.1 Densidad en un punto.

Propiedades del fluido ► del flujo. Algunos fluidos, en particular losliquidos, tienen densidades que permanecen casi constantes dentro de am-piios margenes de presion y temperatura. Los fluidos que presentan esta cualidad casi siempre se consideran como incompresibles. Sin embargo, los efectos de la compresibilidad son una propiedad de la situacion mas que del fluido mismo. Por ejemplo, el flujo de aire a bajas velocidades se describe exactamente por medio de las mismas ecuaciones que describen el flujo de agua. Desde un punto de vista estAtico, el aire es un fluido compresible y el agua es incompresible. En lugar de clasificarlos de acuerdo con el fluido, los efectos de compresibilidad se consideran una propiedad del flujo. Se hace una distinciOn, si bien sutil, entre las propiedades del fluido y las

L


propiedades del flujo, y advirtiendo al estudiante de la importancia de este concepto de aqui en adelante.

.11

LA

Figura 1.2 Fuerza sobre un elernento de fluido.

Esfuerzo en un punto. Considerese la fuerza que actOa sobre un elemento AA del cuerpo que aparece en la figura 1.2. La fuerza AF se descompone en sus componentes normal o perpendicular y paralela a la superficie del element°. La fuerza por unidad de area a esfuerzo en un punto se define como el limite de AF/AA a medida que AitA M, donde &4 es el area mas pequefia para la cual son significativas los promedios estadisticos:

MFR IA,= lirna

FS=

AA &A -.8A AA

Se llama aqui a au esfuerzo normal y a ; esfuerzo cortante. En este libro se utilizara la notacion de subindices dobles tal coma se emplea en la mecanica de sOlidos. Recordara el lector que el esfuerzo normal es positivo en la tension. En la figura 1.3 se ilustra el proceso limitante para el esfuerzo normal.

Las fuerzas que actdan sabre un fluido se dividen en dos grupos genera-les: fuerzas en el cuerpo y fuerzas superficiales. Las fuerzas en el cuerpo son aquellas que actuan sin establecer contacto fisico, por ejemplo, las fuerzas de gravedad y las electrostaticas. Par otra parte, las fuerzas de presiOn y de friccion requieren del contact° fisico para su transmision. Puesto que se requiere de una superficie para que estas fuerzas actuen, se les llama fuerzas superficiales. Por lo tanto, el esfuerzo es una fuerza superficial por unidad de area.*

Presion en un punto en un fluido estatico. Para un fluido estatico, el esfuerzo normal en un punto puede determinarse por la aplicacion de las

• Maternaticamente, el esfuerzo se clasifica como un tensor ck segundo orden, puesto que para determi-narlo requiere de magnitud, directiOn y orientacion con respect° a un plan°.

Propiedades en un punto 25

Domini° molecular c a Dominio dado por el principio de continuidad

45A

a A

Figura 1.3 Esfuerzo normal en un punto.

leyes de Newton a un elemento del fluido, a medida que este elemento se aproxima a un tamailo de cero. Recuerdese que en un fluid() estatico no hay esfuerzo cortante. Par lo tanto, las finicas fuerzas superficiales presentes seran las que se deban a los esfuerzos normales. Considerese el elemento que aparece en la figura 1.4. Cuando este elemento se encuentra en reposo, actilan sobre el la fuerza de gravedad y los esfuerzos normales. El peso del elemento del fluido es pgar Ay Az/2).

OF,

aAy

Ax

A F.

Figura 1.4 Element° en un fluido estatico.


Para un cuerpo en reposo, F = 0. En la direcciOn x,

AFx — AF, sen 0 = 0

Puesto que seri 0 = Ay/As, la ecuacion anterior se transforma en

AyAF, —AF

sAs

Dividiendo entre Ay Az y tomando el limite a medida que el volumen del elemento se aproxima a cero, se obtiene

Recordando que el esfuerzo normal es positivo en tension, al evaluar la ecuacion anterior se obtiene

°-X.X = 4:TSS

En la direcciOn y, al aplicar EF = 0, se obtiene

Ax Ay Az AF, —AF, cos

Puesto que cos 0 = Ax/As, se tiene

Ax

pg

!ix Ay Az

= 0

— AFs As

pg 2 =

Al dividir entre Ax Az y tomar el llmite como antes, se obtiene

,inli

[ AF,,

v-.0 Ax Az As Az

que se transforma en

Pg

pg Ayl = 0

2

v+crss— ((0)=0

0

CT = 0"„ (1-2)

Variation punto a punto 27

Puede observarse que el kgulo B no aparece en la ecuacion (1-1) ni en la (1-2); por to tante, eI esfuerzo normal en un punto de un fluido estatico es independiente de la direcciOn y se deduce que es una cantidad escalar.

Puesto que el elemento se encuentra en reposo, las tinicas fuerzas superfi-ciales que actdan son las que se deben al esfuerzo normal. Si fuera a medirse la fuerza por unidad de area que acnia sobre un elemento sumergi-do, se observaria que actiia hacia adentro, o sea, para colocar al elemento en comprensiOn. La cantidad que se mide es, por supuesto, la presiOn, que como indica Ia deducciOn anterior, debe ser la negativa del esfuerzo normal. Esta importante simplificaciOn, asi como la reducciOn del esfuerzo, un tensor, la presion, un escalar, tambien pueden demostrarse para el caso en que el esfuerzo cortante en un fluido en movimiento es cero. Cuando se encuentran presentes los esfuerzos corrantes, las componentes del esfuerzo normal en un ptufto pueden no ser iguales; sin embargo, la presion toclavia es igual al esfuerzo normal promedio; esto es,

P=-i(cr..+0-yy+crzz)

con muy pocas excepciones, siendo una de ellas las ondas de choque.Ahora que se han estudiado ciertas propiedades en un punto, se inves-

tigard la forma en que las propiedades de un fluido varian de an punto aMM.

1.3 VARIACION PUNTO A PUNTO DE LAS PROPIEDADES EN UN FLUIDO

En el tratamiento basado en el principio de continuidad para la transferen-cia de momenta, se utilizark campos de presion, temperatura, densidad, velo-cidad y esfuerzo. En estudios previos se introdujo el concepto de an campo gravitacional. La gravedad es, por supuesto, un vector y por ello un cam-po gravitacional es un campo vectorial. En este libro, los vectores se representaran con letra gruesa (negritas). Los mapas meteorolOgicos ilustran Ia variaciOn de presi6n en un pais y se publican diariamente en los periOdi-cos. Puesto que la presion es una cantidad escalar, tales mapas son un ejemplo-de un campo escalar. En el presente libro los escalares se repre-sentaran en tipo normal.

En la figura 1.5, las linens dibujadas son los lugares geometricos de los puntos de igual presiOn. Por supuesto, la presion varia continuamente en toda la regiOn y, al examinar este mapa, es posible observar los niveles de presion e inferir la forma en que la presi6n varia.

De interes especial en una transferencia de momento es la descripciOn de la variacion de la presiOn punto a punto. Al representar las direcciones Este y Norte en Ia figura 1.5 por media de las literales x y y, respectivamente,


puede utilizarse la funciem general P(x, y) para representar la presiOn en toda la region.

El cambio en P, escrito como dP, entre dos puntos en la region separa-dos por las distancias dx y dy, esti dado por la diferencial total

aP aP ,ar = — + — QV (1-3)

ax ay -

Flgura 1.5 Mapa meteorologic° —un ejemplo de un campo escalar.

En la ecuaciOn (1-3) las derivadas parciales representan la forma en lacual cambia P a lo largo de los ejes x y y, respectivamente. •

A lo largo de una trayectoria arbitraria s en el piano xy, la derivada total es

dP =aP dx +aP dy(1-4)

ds ax ds ay ris

En la ecuaciOn (1-4) el terrnino dP/ds es la derivada direccional y su relaciOn funcional describe la rapidez del cambio (razOn de cambio) de P en la direccion s.

En la figura 1.6 aparece una pequeria pane del campo de presiOn repre-sentado en in figura 1.5. Se muestra la trayectoria arbitraria s y puede verse facilmente que los terminos dx/ds y dylds son el coseno y el seno del angulo de la trayectoria, a, con respecto al eje x. Por lo tanto, la derivada direccio-nal puede escribirse como

dP aP aP— =— cos a + — Senads ax ay

(1-5)

Hay un narnero infinito de trayectorias que pueden escogerse en el piano xy; sin embargo, dos de ellas son de especial interes: la trayectoria para la cual dP/ds es cero y aquella en que dP/ds es maxima.

VariaciOn punto a punto

Trayectoria de s

dy

x

Figura 1.6 Trayectoria s en el piano xy.

29

dy— =senadx

= cos a

•

Es bastante facil determinar la trayectoria para la cual la derivada direc-cional es cero. Si se pace dPlds igual a cero, se tiene

sen a= tan a

cos a I dP cts —1)

o, puesto que tan a = dy I dt . se tiene

dy

dx dP/ds=0

aP/ax

dP/ds =0 aP/ay

aPiaX(1-6)

A lo largo de la trayectoria definida por la ecuaciOn (1-6), se tiene que

dP = 0 y, por lo unto, P es constante. Las trayectorias a lo largo de las

cuales un escalar es constante se llaman isolineas.Para determinar la direccion para la cual dPlds es maxima, debe hacerse

que la derivada (dIda)(dPIds) sea igual a cero, o

d dP— —da ds

0

aP= —sena—

Ox

aP+cos aT = 0

y

aP/aytan a

dP/ds= 73/

ar-f ax( 1-7)

Al comparar las relations (1-6) y (1-7), puede verse que las dos direc-ciones que estas dos ecuaciones definen, son perpendiculares. La magnitud de la derivada direccional cuando la derivada direccional es maxima, es

dPI. OPaP

ds = — COS a ±— Sellaay


donde cos a y sen a se evaltian a lo largo de la trayectoria determinada por la ecuaciOn (1-7). Plesto que el coseno esta relacionado con la tangente por

cos a =N71 +tan: a

se tiene

aP/axcos a

dP/ds es max

Evaluando sen a de forma similar se obtiene

dpi(a piax),+(apiay)2 v(apy

=ax

cpy+ — (1-8)

.1(aP/ax)2+(aP/aY)2

Las ecuaciones (1-7) y (1-8) sugieren que la derivada direccional maxima es un vector de la forma

aP

axe2

aP

ay

donde e, y e son vectores unitarios en las direcciones y y, respectivamente.La derivada direccional a lo largo de la trayectoria de valor maxim° se

encuentra con frecuencia en el analisis de los procesos de transferencia y se le da un nombre especial, el gradiente. Por lo tanto, el gradiente de P, grad P, es

donde P = P(x, y). Tal concepto puede ampliarse a los casos en que P =

P(x, y, z). Para este caso mas general,

aP aP aPgrad P-= ex+—e,+—ez (1-9)

dx ay az

La ecuacion (1-9) puede escribirse en forma rads compacta utilizando el operador V (que se pronuncia "nabla"), lo que da

donde

Unidades 31

(1-10)

La ecuaci6n (1-10) es la definition del operador V en coordenadas carte-sianas. Este simbolo indica que la diferenciaciOn debe efectuarse en la forma prescrita. En otros sistemas coordenados, como las coordenadas cilindricas y esfericas, el gradiente toms una forma diferente.* Sin embargo, el signifi-cado geometric° de gradiente permanece igual; es un vector que tiene Ia direcciOn y la magnitud de la rapidez de cambio maxima de la variable dependiente con respecto a la clistancia.

1.4 UNIDADES

Ademas del•Sistema Internacional de Unidades (SI), existen dos diferentes sistemas ingleses de unidades que se usan comimmente en ingenieria. Di-chos sistemas tienen sus rakes en la segunda ley del movimiento de New-ton: fuerza es igual a la razOn del cambio del momento con respecto al tiempo. Al definir cada terrain° de esta ley, se ha establecido una relacion directa entre las cuatro cantidades fisicas basicas que se utilizan en mecani-ca: fuerza, masa. longitud y tiempo. Por la elecciOn arbitraria de las dimen-siones fundamentales, se ha presentado cierta confusion en el use de los sistemas de unidades inglesas. La adopciOn del sistema de unidades SI como estandar mundial superara estas dificultades.

La relaciOn entre fuerza y masa puede expresarse por el siguiente postula-do de Ia segunda ley de Newton del movimiento:

Ma F=

donde g, es un factor de conversion que se incluye para que las ecuaciones sean dimensionalmente consistentes.

En el sistema SI, Ia masa, la longitud y el tiempo se toman como unidades basicas. Las unidades basicas son la masa en kilogramos, (kg), la longitud en metros, (m), y el tiempo en segundos, (s). La unidad de fuerza correspondiente es el newton, (N). Un newton es la fuerza que se requiere para acelerar una masa de un kilogramo con una rapidez de un metro por segundo cada segundo (1 rn's2). El factor de conversion, g„ es igual enton-ces a un kilogramo por metro sobre newton al cuadrado (1 kg • m/N s2).

En la practica de la ingenieria, con frecuencia se han escogido la fuerza, la longitud y el tiempo como unidades cuya definition es fundamental. Con este sistema, la fuerza se expresa en libras fuerza OW, Ia longitud en pies y

* Las formas del operador del gradienre en sistemas de coordenadas maaagulares, cilindricas y esfericas se encuentran detalladas en el apendice B.


el tiempo en segundos. La unidad correspondiente de masa sera la que se

acelere en la proporcion de 1 pie/(s)2 por acciOn de 1 Ibr-Tal unidad de masa que tiene las dimensiones de (lbi)(s)21(pie) se llama

slug. El factor de conversion, g„ es entonces un factor multiplicador que convierte slugs en (113)(s)2/(pies) y su valor es I (slug)(pies)/(1b)(s)2.

Un tercer sistema que se encuentra en la practica de la ingenieria incluye las cuatro unidades fundamentales. La unidad de fuerza es 1 lbr y la unidad de masa es 1 lb.; la longitud y el tiempo estan dados en unidades de pies y segundos, respectivamente. Cuando se deja que 1 lbw al nivel del mar caiga bajo la influencia de la graiedad, su aceleracian sera de 32.174 (pies)/(s)2. La fuerza que la gravedarejerce sobre I lbm al nivel del mar se define como 1 lb1. Por lo tanto, el factor de conversion, g„ para dicho sistema es32.174 (1b.)(pies)/(1b0(s)2.*

En la tabla 1.1 se encuentra un resumen de los valores de gc para estos tres sistemas ingleses de unidades en ingenieria, junto con las unidades de longitud, tiempo, fuerza y masa.

Puesto que los tres sistemas son de use comdn en las publicaciones tecnicas, el estudiante debe utilizar las formulas dadAs en cualquier situaciOn particular. En todos los calculos debe revisarse cuidadosamente la consisten-cia dimensional. El factor de conversion, g„ relacionard correctamente las unidades que corresponden a un sistema. Los autores no intentaran incorpo-rar el factor de conversion en ninguna de las ecuaciones; sera responsabili-dad del lector utilizar unidades que sean consistentes con cada rennin° en la ecuaciOn.

TABLA 1.

Sistema Longitud Tiempo

metro segundo

Fuerza Masa

newton kilogramo I

g

kg - m

N • s-

2 pie segundo lb, slug

3 pie segundo lb1 lbw

1 (slug)(pies)

(1b1)(s)2

32.174 (lb„,)(pies)

(1b,)(s)'

" En los calogos subsecuentes en este libro, gc se redondeard a un valor de 32.2 lb,. pies/s2 lbr.

Froblemas 33

PROBLEMAS

1.1 El nUmero de moleculas gue cruzan una unidad de area por unidad detiempo en una direcciOn esta dado por

N = InC)

donde n es el ntimero de moleculas por unidad de volumen y v es la velocidad molecular promedio. Estimar el ntimero de moleculas que cruzan un orificio circular de 10-3 pulgadas de diametro interior, a medida que la velocidad molecular promedio se hace aproximada-mente igual a la velocidad del sonido en un gas ideal. Suponer que el gas se encuentra en condiciones estandar. En condiciones estandar hay4 X 10P moldculas por pulg3.

1.2 Encontrar el gradiente de presiOn en el punto (a, b) cuando el campode presion esti dado par

y xP= p,v,2(senl-

a b -a

donde pm, v., a y b son constantes.

1.3 Encontrar el gradiente de temperatura en el punto (a, b) en el tiempot = (Oa) In e cuando el campo de temperatura esta dado por

xT Tne " sen — cosh

a

donde To, a, a y b son constantes.

1.4 Son dimensionalmente homogeneos los campos que se describen en_los problemas 1.2 y 1.3? Xuales deben ser las unidades de p.. para-que la presiOn se encuentre en libras por pie cuadrado cuando v,„ se de"en pies por segundo (problema 1.2)?

1.5 i,Cuales de las cantidades que aparecen en seguida son propiedades dellfujo y cuales son propiedades del fluido?

presion temperatura velocidaddensidad esfuerzo velocidad del sonidocalor especifico gradiente de presiOn

1.6 Demostrar que los vectores unitarios er y ee en un sistema de coorde-nadas cilindricas se relacionan con los vectores unitarios e., y eY por

34

1.7

1.8

Conceptos y definiciones

er=ex cos 0 ey sen 0

y

e, = —e, sen 0 + e, cos

Utilizando los it:mikados del problema 1.6 demostrar que derld9 = efs y deride =

Utilizando las relaciones geometricas que se dan a continuacion y la regla de la cadena para la diferenciaciOn, demostrar que

sen 0 aCOS e—

ax r 0 iir

y

cuando 7.2 = x2 + y2 y tan 0 = ylx.

1.9 Transformar el operador V a coordenadas cilindricas (r, 0, z), utilizan-do los resultados de los problemas 1.6 y 1.8.

1.10 Para un fluido de densidad p en el cual se encuentran dispersas uniformemente particulas solidas de densidad p„ demostrar que si x es la fraccion de masa del sOlido en la mezcla, la densidad estA dada por

Ps()Pmezcla

px ps(1 —x)

1.11 Un campo escalar esta dado por la funcion (I) = 3.,2y 4)7'.a) Encontrar V4 en el punto (3, 5).b) Encontrar la componente de V4 que hace un angulo de —60° con el eje x en el punto (3, 5).

1.12 Si el fluido de densidad p en el problema 1.10 obedece la ley de losgases ideales, obtener la ecuaciOn de estado de la mezcla, esto es, P = f(p., (RTIM), pm, x). z,Sera valid° ml resultado si se encuentrapresente un liquido en lugar de un solido?

1.13 Utilizando la expresion para el gradiente en coordenadas polares (apendice A), encontrar el gradiente de kl,(r, cuando

Problemas 35

a2= Ar sen 0( 1

r

i,Donde es maxim° el gradiente? Los terminos A y a son constantes.

1.14 Considdrese la siguiente expresion pars el campo de presiOn donde x, y y z son coordenadas en el espacio, t es el tiempo y Po, p, V y L son constantes. Encontrar el gradiente de presion,

2p = p ,±10/24

2xYz + 3 (1

L E

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