[Webster a. G.] Acoustical Impedance and the Theor(BookFi.org)

8/13/2019 [Webster a. G.] Acoustical Impedance and the Theor(BookFi.org)

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P H Y S I C S : A . G . WEBSTERACOUSTICAL I M P E D A N C E , AND THE THEORY OF HORNS A ND

OF THE PHONOGRAPHBY A R T H U R G O R D O N W E B S T E RD E P A R T M E N T O F P H Y S I C S , C L A R K U N I V E R S I T Y

C o m m u n i c a t e d , M a y 8 , 1 9 1 9 *T h e i n t r o d u c t i o n m o r e t h a n t h i r t y y e a r s a g o o f t h e t e r m i m p e d a n c e b yM r . O l i v e r H e a v i s i d e h a s b e e n p r o d u c t i v e o f v e r y g r e a t c o n v e n i e n c e i n t h et h e o r y o f a l t e r n a t i n g c u r r e n t s o f e l e c t r i c i t y . U n f o r t u n a t e l y , e n g i n e e r s h a v en o t s e e m e d t o n o t i c e t h a t t h e i d e a m a y b e m a d e a s u s e f u l i n m e c h a n i c s a n da c o u s t i c s a s i n e l e c t r i c i t y . I n f a c t , i n s u c h a p p a r a t u s a s t h e t e l e p h o n e o n em a y c o m b i n e t h e n o t i o n s o f e l e c t r i c a l a n d m e c h a n i c a l i m p e d a n c e w i t h g r e a ta d v a n t a g e . W h e n e v e r w e h a v e p e r m a n e n t v i b r a t i o n s o f a s i n g l e g i v e n f r e -q u e n c y , w h i c h i s h e r e d e n o t e d , a s u s u a l , b y n / 2 7 r , t h e n o t i o n o f i m p e d a n c e i sv a l u a b l e i n r e p l a c i n g a l l t h e q u a n t i t i e s i n v o l v e d i n t h e r e a c t i o n s o f t h e s y s t e mb y a s i n g l e c o m p l e x n u m b e r . I f w e f o l l o w t h e c o n v e n i e n t p r a c t i c e o f d e n o t i n ga n o s c i l l a t i n g q u a n t i t y b y e i a n d t a k i n g i t s r e a l p a r t ( a s i n t r o d u c e d b yC a u c h y ) a l l t h e d e r i v a t i v e s o f e f t a r e o b t a i n e d b y m u l t i p l i c a t i o n b y p o w e r so f i n , o r g r a p h i c a l l y b y a d v a n c i n g t h e r e p r e s e n t a t i v e v e c t o r b y t h e p r o p e rn u m b e r o f r i g h t a n g l e s .I f w e h a v e a n y o s c i l l a t i n g s y s t e m i n t o w h i c h a v o l u m e o f a i r X p e r i o d i c a l l ye n t e r s u n d e r a n e x c e s s p r e s s u r e p , I p r o p o s e t o d e f i n e t h e i m p e d a n c e b y t h ec o m p l e x r a t i o Z = p / X . I f w e c a l l d X / d t = I t h e c u r r e n t a s i n e l e c t r i c i t y ,i f w e f o l l o w e d e l e c t r i c a l a n a l o g y w e s h o u l d w r i t e Z = p I s o t h a t t h e d e f i n i t i o na s g i v e n a b o v e m a k e s o u r i m p e d a n c e l e a d b y a r i g h t a n g l e t h e u s u a l d e f i n i t i o n .I b e l i e v e t h i s t o b e m o r e c o n v e n i e n t f o r o u r p u r p o s e s t h a n t h e u s u a l d e f i n i t i o na n d i t n e e d c a u s e n o c o n f u s i o n .I f w e h a v e a v i b r a t i n g p i s t o n o f a r e a S a s i n t h e p h o n o m e t e r , we s h a l l r e f e ri t s m o t i o n t o t h e v o l u m e S t i t c a r r i e s w i t h i t a n d t h e f o r c e a c t i n g o n i t t o t h e

p r e s s u r e , s o t h a t F = S p . T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f t h e m o t i o n i sd 2 t dm ++ = F=S p , X== ( 1 )we h a v e Z = ( f - m n 2 + i K n ) / S 2 , ( 2 )w h e r e m i s t h e m a s s , K t h e d a m p i n g , f t h e s t i f f n e s s . T h e r e a l p a r t o f S 2 Z ,f m n 2 , i s t h e u n c o m p e n s a t e d s t i f f n e s s , w h i c h i s p o s i t i v e i n a s y s t e m t u n e dt o o h i g h , w h e n t h e d i s p l a c e m e n t l a g s b e h i n d t h e f o r c e , b y a n a n g l e b e t w e e nz e r o a n d o n e r i g h t a n g l e , n e g a t i v e w h e n t h e s y s t e m i s t u n e d t o o l o w , w h e n t h e* T h i s a r t i c l e w a s r e a d i n D e c e m b e r 1 9 1 4 a t t h e m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n P h y s i c a l S o c i e t ya t P h i l a d e l p h i a , a n d h a s b e e n h e l d b a c k b e c a u s e o f t h e c o n t i n u a l d e v e l o p m e n t o f t h e e x p e r i -m e n t a l a p p a r a t u s d e s c r i b e d i n a p r e v i o u s p a p e r i n t h e s e P R O C E E D I N G S .

2 7 5


2/8

PHYSICS: A . G . WEBSTERl a g i s b e t w e e n o n e a n d t w o r i g h t a n g l e s , a s s h o w n i n f i g u r e 1 . I f we f o r c e a i ri h t o a c h a m b e r o f v o l u m e V , t h e c o m p r e s s i o n s = X / V w i l l b e r e l a t e d t o t h ee x c e s s p r e s s u r e p b y t h e r e l a t i o n p = e s , w h e r e e i s t h e m o d u l u s o f e l a s t i c i t yo f t h e a i r . e = p a 2 , p b e i n g t h e d e n s i t y a n d a t h e v e l o c i t y o f s o u n d . C o n s e -q u e n t l y w e h a v e

e p a 2Z o = e = pa ( 3 )a n d t h e a n a l o g y i s t o a c o n d e n s e r . I f we h a v e a i r p a s s i n g t h r o u g h a n o r i f i c eo r s h o r t t u b e o f c o n d u c t i v i t y c i t s i n e r t i a g i v e s a n a p p a r e n t m a s s p / c , a n d i f i t

Z r Z frn Kn tnn P nf - m n , O f m n Z C O

F I G . 1

P PI X.-F I G . 2 F I G . 3 F I G . 4

X. X XF I G . 5

e s c a p e s f r o m a c i r c u l a r h o l e i n a n i n f i n i t e p l a n e i t d i s s i p a t e s e n e r g y s o t h a t t h ew h o l e i m p e d a n c e c r e d i t e d t o t h e h o l e i sp n 2 pn 3 ( k 1 n ,Z 2 = - i =e k 2 i- -h e r e k =. ( 4 )c 2 ? r a VaT h e s e t h r e e t y p i c a l i m p e d a n c e s w i l l b e a t c o n s t a n t u s e i n a c o u s t i c s . I t i s t ob e r e m e m b e r e d t h a t s y s t e m s i n s e r i e s h a v e t h e i r i m p e d a n c e s a d d e d a n d i np a r a l l e l h a v e t h e r e c i p r o c a l s o f i m p e d a n c e a d d e d . A l s o t h a t t h e f r e e v i b r a -t i o n s o f a s y s t e m a r e o b t a i n e d b y e q u a t i n g t h e i m p e d a n c e s t o z e r o .

A s a s i m p l e e x a m p l e c o n s i d e r t h e p h o n e d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s a r t i c l e ,f i g u r e 3 .

2 7 6


3/8

P H Y S I C S : A . G . WEBSTERL e t X 1 = S t b e t h e v o l u m e i n t r o d u c e d b y t h e p i s t o n X 2 t h a t e n t e r i n g b yt h e h o l e . T h e n p = Z o ( X i + X 2 ) = - Z 2 X 2 , ( 5 )

X 2 =-Z o X lZ o + - Z 2a n d i n s e r t i n g v a l u e s ,

X 2 = - k i 1 \ ( 6 )1 V k - J2 7 ciD i s r e g a r d i n g p h a s e b y t a k i n g t h e m o d u l u s a n d p u t t i n g k = n / a we h a v et h e p h o n e f o r m u l a f o r t h e s t r e n g t h o f s o u r c e .

d XA= d =S| s | , ( 7 )w h e r e

nt . K V k 2 V 4 r 2 k 6 ( 8 )

I f i n s t e a d o f s e n d i n g t h e a i r o u t t h r o u g h a h o l e i t g o e s i n t o a c o n e o r a n yo t h e r h o r n , w e m u s t u s e f o r t h e i m p e d a n c e Z 2 t h a t g i v e n b e l o w , a n d we a r r i v ea t t h e t h e o r y o f t h e p h o n o g r a p h , a n d a r e t h u s a b l e t o a n s w e r t h e q u e s t i o n a st o t h e f u n c t i o n o f t h e h o r n i n p e r s u a d i n g t h e s o u n d t o c o m e o u t o f t h e p h o n o -g r a p h w h e n t h e m o t i o n o f t h e d i a p h r a g m i s g i v e n i t i s w e l l k n o w n t h a t v e r yl i t t l e s o u n d i s e m i t t e d b y t h e p h o n o g r a p h o r t h e t e l e p h o n e w i t h t h e h o r n t a k e no f f , a l t h o u g h i n t h e f o r m e r c a s e t h e m o t i o n o f t h e d i a p h r a g m i s e x a c t l y t h es a m e ) .T h e p h o n o m e t e r w a s f o r m e r l y a r r a n g e d w i t h t h e b a c k o f t h e d i a p h r a g mp r o t e c t e d f r o m t h e s o u n d , f i g u r e 3 . L e t P b e t h e e x t e r n a l p r e s s u r e , t h e n , a sb e f o r e , p = Z o ( X 1 + X 2 ) ( 9 )a n d i n a d d i t i o n ,

-p = Z 1 X 1 , ( 1 0 )P-p= Z X 2 ,f r o m w h i c h - P Z oX 1 = ( 1 1 )Z o Z I Z i Z 2 + Z 2 Z og i v i n g t h e f o r m u l a f o r t h e m e a s u r e m e n t o f t h e p r e s s u r e ,P = V o/ S ( 1 2 )(a;+2 + +w{-U ( a 2)j} i l uvl2I* 1 } 3 )2 7 7


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P H Y S I C S : A . G . WEBSTERa n d t p m a y b e t e r m e d t h e s e n s i t i v e n e s s o f t h e p h o n o m e t e r . W h e r e

7 = S 2 Z o = S 2 p a 2 / V , a = K n , B = S 2 p n 3 / 2 t a ,= f - n 2 m + s 2 p a 2 / v , v = S 2 { p a / V - p u 2 / c } = S 2 Z o ( 1 - k V / c ) ( 1 4 )A s d e s c r i b e d i n m y r e c e n t a r t i c l e t h e b a c k o f t h e p i s t o n i s e x p o s e d t o t h es o u n d , f i g u r e 4 . T h e n

P- =Z1X =ZX2 ( 1 5 )p =o( X i + X 2 )f r o m w h i c hX= Z 2 P ( 1 6 )Z o Z I + Z i Z 2 + Z 2 Z ov- ) 2 +2 ( 1 7 )v - ( a + Y 2 ) ++ ( U + U 2 17

T u b e s a n d H o r n s . - B e s i d e t h e a b o v e d e s c r i b e d p h o n e a n d p h o n o m e t e r , t h et h e o r y o f w h i c h a s s u m e d a r e s o n a t o r s o s m a l l t h a t t h e p r e s s u r e i s s u p p o s e d t ob e t h e s a m e a t e v e r y i n t e r n a l p o i n t , I h a v e m a d e u s e o f m a n y a r r a n g e m e n t se m p l o y i n g t u b e s o r c o n e s , i n w h i c h we m u s t t a k e a c c o u n t o f w a v e - m o t i o n .T h e f a m i l i a r t h e o r y o f c y l i n d r i c a l p i p e s m a y b e i n c l u d e d i n t h e f o l l o w i n g g e n -e r a l i z e d t h e o r y , w h i c h I h a v e f o u n d e x p e r i m e n t a l l y t o s e r v e w e l l .L e t u s c o n s i d e r a t u b e o f i n f i n i t e s i m a l c r o s s s e c t i o n a v a r y i n g a s a f u n c t i o no f t h e d i s t a n c e x f r o m t h e e n d o f t h e t u b e . T h e n i f q i s t h e d i s p l a c e m e n t o ft h e a i r , p t h e p r e s s u r e , s t h e c o m p r e s s i o n , w e h a v e t h e f u n d a m e n t a l e q u a t i o n s

p =es = p a 2 s =-e d i v q d ( ) ( 1 8 )a d xd 2 P = a 2 A p =a 2 d i v g r a d p =a 2 d ( d} ( 1 9 )d t 2 r d x \ d x /

d 2 q _ 1 d p = a 2 d { dqf } ( 2 0 )- l ^ A ( - a - ( = ( 2 0 )d 2 p d x d x a d xF o r a s i m p l e p e r i o d i c m o t i o n we p u t p , q p r o p o r t i o n a l t o e c , a n d o b t a i ndp d l g d p + k p = d + g + d g + k 2 q = O . ( 2 1 )d x d x d x d d x d x d X 2B o t h t h e s e l i n e a r e q u a t i o n s m a y b e s o l v e d b y means o f s e r i e s , a n d i f w e c a l lu ( k x ) , v ( k x ) t w o i n d e p e n d e n t s o l u t i o n s we h a v e

p = Au B v , P q = A u ' + B v , I = p a 2 k ,w h e r e t h e a c c e n t s s i g n i f y d i f f e r e n t i a t i o n a c c o r d i n g t o k x . I f w e d e n o t e v a l u e sa t o n e e n d x = x l a n d a t t h e o t h e r e n d x = x 2 b y s u f f i x e s 1 , 2 , r e s p e c t i v e l y ,a n d f o r m t h e d e t e r m i n a n t s

2 7 8


5/8

P H Y S I C S : A . G . WEBSTER

U l , V 1 l U 2 , V 2 f 2 , V 2D 4 = I U 2 , I Ds= D 6 =u lU l V I U 2 , V 2 U 2 ) V 2

2 7 9

( 2 2 )w h i c h s a t i s f y t h e r e l a t i o n ,

D 1 D 2 = D a D , + D D J )w e m a y d e t e r m i n e t h e c o n s t a n t s A , B i n t e r m s o f a n y t w o o u t o f P i , . q , P 2 , q 2 ,s o t h a t w e o b t a i n

2 = ( p l D 4 q i D s 5 ) / D i ,p i = ( p D 3 P q 2 D ) / D 2 ,

( 2 3 )1 q 2 =( - p 1 D 6 i q l D s ) / D i ,P q l = ( p g D 6 + t q 2 D 4 ) / D 2 .A s i t i s m o r e c o n v e n i e n t t o d e a l w i t h t h e v o l u m e s X 1 = o l q , X 2 = ^ 2 q 2 w e s h a l lh a v e i n g e n e r a l

P 2 = a p i + b X 1 , X 2 = c p i + d X 1 , ( 2 4 )w h e r ea = D 4 b = D =_ -2 D 6 d = 2 D3ad-bc = 2 D 2a D 1 a 1 D 1 P D I - 1 D 1 - Da n d f o r t h e i m p e d a n c e s b e l o n g i n g t o t h e e n d s o f t h e t u b e

a Z 1 + bZ 2 = dc Z l + d l d Z 2 -b- c Z 2 a ( 2 5 )s o t h a t t h e i m p e d a n c e a t e i t h e r e n d o f t h e t u b e i s a l i n e a r f r a c t i o n a l f u n c t i o no f t h e o t h e r . A c c o r d i n g t o t h e a p p a r a t u s a t t a c h e d t o a n e n d t h e i m p e d a n c ea t t a c h e d t o t h a t e n d i s k n o w n . A t u b e f o r w h i c h a , b , c , d a r e g i v e n m a yb e r e p l a c e d b y a n y o t h e r t u b e h a v i n g t h e s a m e c o n s t a n t s . .E x a m p l e s . - C y l i n d r i c a l t u b e , a c o n s t a n t . P u t x 2 x =Z 1 ,

+ k 2 p = 0 ,d x 2u = c o s k x , r = s i n k x , u =- s i n k x , v = c o s k x ,

D 1 = D 2 = 1 , D 3 = D 4 = c o s k l , D 5 = D 6 = s i n k l ,a = d = c o s k l , b = e s i n k l ,O

Z 1 c o s k l + s i n k lZ = -Z1 s i n k l + c o s k l ,a c = s i n k d ,f t

( 2 6 )( 2 7 )

Z 2 c o s k l s i n k l ,Z 1 0 Z 2 s i n k l + q c o s k la ( 2 8 )


6/8

2 8 0C o n i c a l t u b e , o = < r x 2

P H Y S I C S : A . G . WEBSTER

d 2 p 2 d p +k2=d x 2 xdxc o s k x s k xU= , V=k x k x ,

D 1 k 1k 2 2 x 2 2u ( s i n k x c o s k x \ c o s k x s i n k x

k k x k+ x k x k 2 X 21D 2 ,k 2 x , 2 2 c o s k lD 2 - = 2-k 2 X X 2

c o s k l s i n k lD 4 = - - 2 + k 3 x x 2 2k 2 XX2 k X X 2 2a n d i f we i n t r o d u c e t w o l e n g t h s e 1 , 6 2 , d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n s

t a n k e l = k x 1 ,we e a s i l y g e t

_ x l s i n k I e 1a - . . XX 2 s i m k eC 2 x l s i n k ( + e 1 6 2f 8 x 2 s i n k e l s i n k e 2

7. =- -z , s i n k ( + e l ) + s i n ,s i n k e 1 0 1

2 Z s i n k ( l + e e 2 ) + s i n k ( I 2 )s i n k e l s i n k e 2 v s i n k e 2Z 2 s i n k ( I - e ) + s i n k lZl- s i n k e 2 a 2 ( 3 2 )o1 s i n k ( l + c - - 2 ) s i n k ( l +e )Z 2 s i n k e c s i n k E 2 o a 2 s i n k e 2

T h e f o r m u l a e ( 3 1 ) , ( 3 2 ) w er e u s e d b y P r o f e s s o r G . W. S t e w a r t i n d e s i g n i n gh o r n s t o b e u s e d d u r i n g t h e war.I t i s n o t t r u e , a s i s f r e q u e n t l y s t a t e d i n b o o k s on m u s i c a l i n s t r u m e n t s , t h a tt h e b r a s s i n s t r u m e n t s o f t h e o r c h e s t r a are h y p e r b o l i c i n p r o f i l e , b u t I h a v ef o u n d f o r a l l p r a c t i c a l p u r p o s e s t h e b e l l o f e v e r y i n s t r u m e n t m a y b e r e p r e -s e n t e d b y o n e o f t h e t h r e e f o r m u l a eo .=o . o , o.=o o em o.=o a o eE v e n i f a n e q u a t i o n c a n n o t b e g i v e n t o t h e p r o f i l e t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

m a y b e e a s i l y i n t e g r a t e d g r a p h i c a l l y , or t h e l e n g t h m a y b e d i v i d e d u p i n t os e c t i o n s a n d d i f f e r e n t v a l u e s o f n u s e d f o r d i f f e r e n t s e c t i o n s , a s i s c u s t o m a r yi n t h e t h e o r y o f b a l l i s t i c s .

( 2 9 )

s i n k lD s -k i x =k 2 x X x 2t a n k e 2 = k x 2 ,

b = s i n k l ,o 1 X 2d 2 x i s i n k ( - E 2

o l X 2 s i n k e 2

( 3 0 )( 3 1 )

, r I 2


7/8

P H Y S I C S : A . G . WEBSTERC a s e 1 . c r = o f f . ( C h a n g e u n i t s s o t h a t k = 1 )

d p + n d p + = o ,d x 2 x d xWe h a v e - -

p = J ,- I ( x ) / x I -E x a m p l e s . n = 0 ,

J l ( x ) = s i n x / V ,2

d 2 X n dXd x x +x=od x 2 x d xn + l

X = J n + i _ ( ) x 22n=2 , 3J 3 ( X ) =s i n X / X 2 -cos /X

23J ( x ) =cos x / / , J3 ( x ) =- s i n x / / - Xc o s x / x 22 2

T h e s e i n c l u d e t h e s t r a i g h t c y l i n d e r , t h e s t r a i g h t c o n e , a n d t h e p u r e l y h y p e r -b o l i c h o r n . I n t h e l a t t e r case we h a v e f i g u r e 5 , w h e r e x l , i s t h e b e l l . I f t h eh o r n i s c l o s e d a t x 2 we h a v eZ 2 o D

Z c k 2 l k } 1 _ d ( s i n k l + k x l c o s k l ) xlZ c 2{r c a o k s i n k l la n d i f we p u t k l ( 3 6 )t I Ic t n t = - - - -c X i 1w h i c h m a y b e e a s i l y d i s c u s s e d g r a p h i c a l l y .On t h e o t h e r h a n d i f t h e h o r n i s o p e n a t x 2 we h a v e

tan / t- e 1 { X 2 1X 2 } )a / ( 1 C P P 1 C 1 2 _T h e s e f o r m u l a e w e r e c o n f i r m e d e x p e r i m e n t a l l y b y my t h e n a s s i s t a n t D r . H .K . S t i ms o n i n 1 9 1 5 on a c o a c h - h o r n , a t r o m b o n e , a n d a p h o n o g r a p h h o r n , w i t ht h e f o l l o w i n g r e s u l t s :

C A C U L A T E D OBSERVED

F o r t h e c o a c h h o r n f C l o s e d ............................... 1 7 7 1 8 1F o e p e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 4 2 0 2F o r t h e trombone C l o s e d ............................... 2 8 6 3 0 5Forh e r o m b o n e O p e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 4 1 8 4 3 2

F o r t h e p h o n o g r a p h C l o s e d ............................... 3 1 1 3 0 4F o r t h e b o p h o n g r I p O p e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 9 4 1 5

( 3 4 )( 3 5 )

n=-2

2 8 1

( 3 7 )


8/8

P H Y S I C S : A . G . WEBSTERT h e s e r e s u l t s g i v e a f a i r a g r e e m e n t c o n s i d e r i n g t h a t w e h a v e u s e d f o r t h ec o n d u c t i v i t y o f t h e m o u t h t h e s i m p l e f o r m u l a c = 0 . 6 R w h i c h i s t r u e o n l y f o rc r o s s - s e c t i o n s i n f i n i t e s i m a l c o m p a r e d w i t h t h e w a v e - l e n g t h , w h e r e a s i n t h ec a s e o f t h e w o o d e n p h o n o g r a p h h o r n , t h e a c t u a l r a d i u s i s n e a r l y o n e - f o u r t h o f. t h e w a v e - l e n g t h .A p a p e r o n t h e s u b j e c t o f t h e i m p e d a n c e o f s u c h a n e n d w i l l s h o r t l y a p p e a r .I n t h e c a s e o f a n e x p o n e n t i a l s e c t i o n w e h a v e

a =o o e - mxd 2 P d p d 2 X d X+ m d x-0, - -+ X = 0 ,d x 2 d x d x 2 d x

p = e - v 4 - k [ A c o s k x B s i n k x } ,X = e-V4x { C c o s k x + D s i n k x } .

a n d i t i s n o t i c e a b l e t h a t t h e p r e s s u r e v a n i s h e s a t t h e s a m e c r o s s - s e c t i o n a s f o ra s t r a i g h t t u b e .F i n a l l y , i n t h e c a s ew e =s o o e 2

w e m a y s o l v e t h e e q u a t i o n b y m e a ns o f t h e c o n f l u e n t h y p e r - g e o m e t r i c f u n c -t i o n .I t i s t o b e n o t i c e d t h a t i n n o n e o f t h e s e c a s e s , e x c e p t t h e s t r a i g h t t u b e , a r et h e d i f f e r e n t o v e r t o n e s h a r m o n i c . T h u s , t h e c h a r a c t e r i s t i c t o n e o f t h e b r a s si s n o t d u e t o t h e s u b s t a n c e , b u t i s e n t i r e l y a m a t t e r o f g e o m e t r y a s i s s h o w nb y t h e h e a v y c a s t i n g i n p l a s t e r o f P a r i s o f a t r o m b o n e b e l l u s e d b y t h e w r i t e r ,t h e t o n e o f w h i c h c a n n o t b e d i s t i n g u i s h e d f r o m t h a t o f t h e b r a s s b e l l . Ib e l i e v e t h i s p h e n o m e n o n i s w e l l k n o w n .I n a s m u c h a s a l l m u s i c a l i n s t r u m e n t s a r e c o m p o s e d e i t h e r o f r e s o n a t o r sc o m b i n e d w i t h s t r i n g s , b a r s , p l a t e s , a n d h o r n s , I f e e l t h a t t h e a b o v e t h e o r y ,w h i l e m e r e l y a n a p p r o x i m a t i o n a s t o a c c u r a c y , w i l l g o f a r t o w a r d e n a b l i n g u st o c o m p l e t e t h e t h e o r y o f m u s i c a l i n s t r u m e n t s . O f c o u r s e , t h e a c t u a l t o n e se m i t t e d b y a b r a s s i n s t r u m e n t w i l l d e p e n d u p o n t h e d y n a m i c s o f t h e l i p sw h i c h i s r e s e r v e d f o r a f u t u r e p a p e r .

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[Webster a. G.] Acoustical Impedance and the Theor(BookFi.org)

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