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Multiplication

Multiplier un polynôme par un terme constant

Exemples :

Multiplier un polynôme par un monome

Exemples :

Division

Diviserer un polynôme par un terme constant

Exemples :

Diviserer un polynôme par un monome

Exemples :

5.5 Multiplier et diviser un polynôme par un terme constant 245

Exemple 2 Diviser un binôme et un trinôme par un terme constant

Calcule chaque quotient.a) b)

Solutions

!3m 2 " 15mn ! 21n 2

!34s 2 ! 8

4

Méthode 1

a)

Utilise des carreaux algébriques.Dispose quatre carreaux s2 et huit carreauxunitaires négatifs sur 4 rangées égales.

Chaque rangée contient un carreau s2 etdeux carreaux unitaires négatifs.

Donc, # s2 ! 2

b)

Pense aux multiplications.Par quoi !3 est-il multiplié pour obtenir

!3m2 " 15mn ! 21n2 ?(!3) $ ? # !3m2 " 15mn ! 21n2

Puisque (!3) $ 1 # !3, alors (!3) $ (1m2) # !3m2

Puisque (!3) $ (!5) # 15, alors (!3) $ (!5mn) # "15mnPuisque (!3) $ 7 # !21, alors (!3) $ ("7n2) #!21n2

Donc,

# m2 ! 5mn " 7n2

Méthode 2

a)

Écris le quotient sous la forme de la sommede 2 fractions.

# "

Simplifie chaque fraction.

# $ s2 " (!2)

# 1 $ s2 ! 2# s2 ! 2

b)

Écris le quotient sous la forme d’unesomme de 3 fractions.

# " "


# m2 " (!5mn) " (7n2)# m2 ! 5mn " 7n2

!3m 2 " 15mn ! 21n 2

!3

!3m 2 " 15mn ! 21n 2

!3

4s 2

44s 2 ! 8

4

4s 2 ! 84

4s 2 ! 84

!21n2

!315mn

!3!3m2

!3

!3m2 " 15mn ! 21n2

!3

44

!84

!3m2 " 15mn ! 21n2

!3

4s2 ! 84

!

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Solutions

!3m 2 " 15mn ! 21n 2

!34s 2 ! 8

4

Méthode 1

a)



Donc, # s2 ! 2

b)


!3m2 " 15mn ! 21n2 ?(!3) $ ? # !3m2 " 15mn ! 21n2

Puisque (!3) $ 1 # !3, alors (!3) $ (1m2) # !3m2


Donc,

# m2 ! 5mn " 7n2

Méthode 2

a)


# "


# $ s2 " (!2)

# 1 $ s2 ! 2# s2 ! 2

b)


# " "


# m2 " (!5mn) " (7n2)# m2 ! 5mn " 7n2

!3m 2 " 15mn ! 21n 2

!3

!3m 2 " 15mn ! 21n 2

!3

4s 2

44s 2 ! 8

4

4s 2 ! 84

4s 2 ! 84

!21n2

!315mn

!3!3m2

!3

!3m2 " 15mn ! 21n2

!3

44

!84

!3m2 " 15mn ! 21n2

!3

4s2 ! 84

!






Solutions

!3m 2 " 15mn ! 21n 2

!34s 2 ! 8

4

Méthode 1

a)



Donc, # s2 ! 2

b)


!3m2 " 15mn ! 21n2 ?(!3) $ ? # !3m2 " 15mn ! 21n2

Puisque (!3) $ 1 # !3, alors (!3) $ (1m2) # !3m2


Donc,

# m2 ! 5mn " 7n2

Méthode 2

a)


# "


# $ s2 " (!2)

# 1 $ s2 ! 2# s2 ! 2

b)


# " "


# m2 " (!5mn) " (7n2)# m2 ! 5mn " 7n2

!3m 2 " 15mn ! 21n 2

!3

!3m 2 " 15mn ! 21n 2

!3

4s 2

44s 2 ! 8

4

4s 2 ! 84

4s 2 ! 84

!21n2

!315mn

!3!3m2

!3

!3m2 " 15mn ! 21n2

!3

44

!84

!3m2 " 15mn ! 21n2

!3

4s2 ! 84

!



254 MODULE 5 : Les polynômes

Exemple 2 Diviser un monôme et un binôme par un monômeCalcule chaque quotient.

a) b)

Solutions

30k2 ! 18k!6k

!10m2

2m

Méthode 1

a)

Utilise des carreaux algébriques.Dispose dix carreaux !m2 de manière àformer un rectangle dont l’une desdimensions est 2m.Les carreaux-guides qui forment l’autredimension représentent !5m.

Donc, " !5m

b)

Pense au processus de multiplication. !6k # ? " 30k2 ! 18kPuisque !6k # (!5k) " 30k2 et !6k # ($3) " !18k,alors !6k # (!5k $ 3) " 30k2 ! 18k

Donc, " !5k $ 3

Méthode 2

a)

Pense au processus de multiplication. 2m # ? " !10m2

Puisque 2 # (!5) " !10 et m # m " m2, alors 2m # (!5m) " !10m2

Donc, " !5m

b)


" $


" # $ #

" (!5) # k $ 3 # 1

" !5k $ 3

k2

k30!6

30k2 ! 18k!6k

30k2 ! 18k!6k

30k2 ! 18k!6k

kk

!18!6

!18k!6k

30k2

!6k30k2 ! 18k

!6k

30k2 ! 18k!6k

!10m2

2m

!10m2

2m

!10m2

2m

!10m2

2m

!

Exprimetes idées

1. Pourquoi est-il impossible de modéliser le produit (2c)(4c) à l’aided’une addition répétée ?

2. Quand une expression polynomiale de multiplication comporte destermes négatifs, pourquoi est-il impossible d’effectuer la multiplicationà l’aide d’une représentation visuelle ?

3. Comment vérifier l’exactitude d’un quotient ?

m

m





a) b)

Solutions

30k2 ! 18k!6k

!10m2

2m

Méthode 1

a)


Donc, " !5m

b)


Donc, " !5k $ 3

Méthode 2

a)



Donc, " !5m

b)


" $


" # $ #

" (!5) # k $ 3 # 1

" !5k $ 3

k2

k30!6

30k2 ! 18k!6k

30k2 ! 18k!6k

30k2 ! 18k!6k

kk

!18!6

!18k!6k

30k2

!6k30k2 ! 18k

!6k

30k2 ! 18k!6k

!10m2

2m

!10m2

2m

!10m2

2m

!10m2

2m

!

Exprimetes idées




m

m





a) b)

Solutions

30k2 ! 18k!6k

!10m2

2m

Méthode 1

a)


Donc, " !5m

b)


Donc, " !5k $ 3

Méthode 2

a)



Donc, " !5m

b)


" $


" # $ #

" (!5) # k $ 3 # 1

" !5k $ 3

k2

k30!6

30k2 ! 18k!6k

30k2 ! 18k!6k

30k2 ! 18k!6k

kk

!18!6

!18k!6k

30k2

!6k30k2 ! 18k

!6k

30k2 ! 18k!6k

!10m2

2m

!10m2

2m

!10m2

2m

!10m2

2m

!

Exprimetes idées




m

m




Exemple 1 Multiplier un binôme et un trinôme par un terme constant

Calcule chaque produit.a) 3(!2m " 4) b) !2(!n2 " 2n ! 1)

Solutions

Méthode 1

Utilise des carreaux algébriques.a) 3(!2m " 4)

Forme 3 rangées de deux carreaux !met de quatre carreaux unitaires positifs.

Il y a six carreaux !m et douze carreauxunitaires positifs. Donc, 3(!2m " 4) # !6m " 12

b) !2(!n2 " 2n ! 1)Forme 2 rangées de un carreau !n2, dedeux carreaux n et de un carreau unitairenégatif.

Ce modèle représente 2(!n2 " 2n ! 1).

Retourne les carreaux.

Il y a deux carreaux n2, quatre carreaux !net deux carreaux unitaires positifs.Donc, !2(!n2 " 2n ! 1) # 2n2 ! 4n " 2

Méthode 2

Utilise la distributivité.Multiplie chaque terme à l’intérieur desparenthèses par le terme à l’extérieur desparenthèses.a) 3(!2m " 4) # 3(!2m) " 3(4)

# !6m " 12

b) !2(!n2 " 2n ! 1) # (!2)(!1n2) " (!2)(2n) " (!2)(!1)# 2n2 " (!4n) " 2# 2n2 ! 4n " 2

!

Cette stratégie peut également servir à multiplier un binôme ou un trinôme par un terme constant à l’aide de carreaux algébriques. Pour calculer un produit de façon symbolique, on utilise une propriété appelée la distributivité.

1

11

1111–m –m




Exemple 1 Multiplier un binôme et un trinôme par un terme constant

Calcule chaque produit.a) 3(!2m " 4) b) !2(!n2 " 2n ! 1)

Solutions

Méthode 1

Utilise des carreaux algébriques.a) 3(!2m " 4)

Forme 3 rangées de deux carreaux !met de quatre carreaux unitaires positifs.

Il y a six carreaux !m et douze carreauxunitaires positifs. Donc, 3(!2m " 4) # !6m " 12

b) !2(!n2 " 2n ! 1)Forme 2 rangées de un carreau !n2, dedeux carreaux n et de un carreau unitairenégatif.

Ce modèle représente 2(!n2 " 2n ! 1).

Retourne les carreaux.

Il y a deux carreaux n2, quatre carreaux !net deux carreaux unitaires positifs.Donc, !2(!n2 " 2n ! 1) # 2n2 ! 4n " 2

Méthode 2

Utilise la distributivité.Multiplie chaque terme à l’intérieur desparenthèses par le terme à l’extérieur desparenthèses.a) 3(!2m " 4) # 3(!2m) " 3(4)

# !6m " 12

b) !2(!n2 " 2n ! 1) # (!2)(!1n2) " (!2)(2n) " (!2)(!1)# 2n2 " (!4n) " 2# 2n2 ! 4n " 2

!

Cette stratégie peut également servir à multiplier un binôme ou un trinôme par un terme constant à l’aide de carreaux algébriques. Pour calculer un produit de façon symbolique, on utilise une propriété appelée la distributivité.

1

11

1111–m –m



5.6 Multiplier et diviser un polynôme par un monôme 251

Le produit de deux nombres ayant le même signe est positif.Donc, quand un carreau est placé dans une rangée et une colonne où lescarreaux-guides ont le même signe, ce carreau est positif.

Il y a huit carreaux !c2 et douze carreaux c . Donc, !4c(2c ! 3) " !8c2 # 12c

Exemple 1 Multiplier un binôme par un monômeCalcule chaque produit.a) 2x(3x # 4) b) !2x(!3x # 4)

Solutions

Méthode 1

a) 2x(3x # 4)À l’aide de carreaux algébriques, forme un rectangle dont les dimensionssont 2x et 3x # 4.

Pour remplir le rectangle, il faut six carreauxx2 et huit carreaux x.Donc, 2x(3x # 4) " 6x2 # 8x

Méthode 2

a) 2x(3x # 4)Utilise une représentation visuelle. Trace un rectangle dont les dimensions sont2x et 3x # 4.Divise ce rectangle en 2 rectangles plus petits.

L’aire du rectangle A est de 2x(3x) " 6x2

L’aire du rectangle B est de 2x(4) " 8xL’aire totale est de 6x2 # 8xDonc, 2x(3x # 4) " 6x2 # 8x

!

–c

c

c

–1–1–1

–c –c –c

x

x

x

x x 1 1 1 1

2x A B

3x 4



5.6 Multiplier et diviser un polynôme par un monôme 251

Le produit de deux nombres ayant le même signe est positif.Donc, quand un carreau est placé dans une rangée et une colonne où lescarreaux-guides ont le même signe, ce carreau est positif.

Il y a huit carreaux !c2 et douze carreaux c . Donc, !4c(2c ! 3) " !8c2 # 12c

Exemple 1 Multiplier un binôme par un monômeCalcule chaque produit.a) 2x(3x # 4) b) !2x(!3x # 4)

Solutions

Méthode 1

a) 2x(3x # 4)À l’aide de carreaux algébriques, forme un rectangle dont les dimensionssont 2x et 3x # 4.

Pour remplir le rectangle, il faut six carreauxx2 et huit carreaux x.Donc, 2x(3x # 4) " 6x2 # 8x

Méthode 2

a) 2x(3x # 4)Utilise une représentation visuelle. Trace un rectangle dont les dimensions sont2x et 3x # 4.Divise ce rectangle en 2 rectangles plus petits.

L’aire du rectangle A est de 2x(3x) " 6x2

L’aire du rectangle B est de 2x(4) " 8xL’aire totale est de 6x2 # 8xDonc, 2x(3x # 4) " 6x2 # 8x

!

–c

c

c

–1–1–1

–c –c –c

x

x

x

x x 1 1 1 1

2x A B

3x 4




b) !2x(!3x " 4)Utilise des carreaux algébriques.Forme un rectangle en disposant d’abordles carreaux-guides : • deux carreaux !x représentent une

dimension • trois carreaux !x et quatre carreaux

unitaires positifs représentent l’autre

Pour remplir le rectangle, il faut six carreauxx2 et huit carreaux !x.Donc, !2x(!3x " 4) # 6x2 ! 8x

b) !2x(!3x " 4)Utilise la distributivité.Multiplie chaque terme à l’intérieur desparenthèses par le terme à l’extérieur desparenthèses.!2x(!3x " 4) # !2x(!3x) " (!2x)(4)

# 6x2 ! 8x

Pour diviser un polynôme par un monôme, il s’agit d’effectuer le processus inversede la multiplication de ces polynômes.

! Pour calculer le quotient de , dispose huit carreaux x2 de manière à former un rectangle dontl’une des dimensions est 4x.

Les carreaux-guides qui forment le côté gauche du rectangle sont des carreaux x.

Il y a 2 carreaux-guides x.

Donc, # 2x8x2

4x

8x 2

4x

–x

–x

–x

–x –x 1 1 1 1

x x x x

x

x

x

x x x



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