Wavelet{Analysis Wintersemester 2006/2007 · Theorie der Fourier-Transformation (siehe Analysis 2)...

Wavelet–Analysis

Wintersemester 2006/2007

Joachim Stockler

Inhaltsverzeichnis

Literatur 5

Kapitel 1. Einfuhrung 71. Wichtige Begriffe aus der Linearen Algebra 82. Die diskrete Welt 103. Die kontinuierliche Welt 14

Kapitel 2. Kontinuierliche Wavelet–Transformation 19

Kapitel 3. Grundlagen der Fourier–Analysis 251. Fourier–Reihen 252. Fourier–Transformation in L1(R) 273. Faltung und Faltungskerne 324. Fourier–Transformation in L2(R) 355. Unscharferelation und Zeit–Frequenz–Atome 386. Die gefensterte Fourier–Transformation 41

Zusatze zu Kapitel 2: Kontinuierliche Wavelet–Transformation 43

Kapitel 4. Die diskrete Wavelet-Transformation 511. Die Grundidee 512. Shift-Invarianz 543. Vollstandige Charakterisierung orthogonaler Wavelets 62

Kapitel 5. Multiskalen-Analyse und DWT 751. Definition und Eigenschaften der Multiskalen-Analyse 752. Konstruktion von MRA-Wavelets 823. Rekursiver Algorithmus zur DWT 864. Weitere Eigenschaften 905. Erweiterung der Aussagen auf MRA Tight-Wavelet-Frames 93

Kapitel 6. Skalierungsfunktionen und Wavelets mit kompaktem Trager 991. Skalierungsfunktionen mit kompaktem Trager haben endliche Masken 992. Schwache und starke Konvergenz des Kaskadenalgorithmus 1013. Einschub: Das Spektrum des Transfer-Operators 1124. Stabilitat der Skalierungsfunktion, Cohen’s Bedingung 1155. Die Daubechies Skalierungsfunktionen 124

Kapitel 7. Wavelet-Transformation in der Signal- und Bildverarbeitung 1291. Wavelets fur unendliche Signale 1292. Wavelets fur endliche Signale 1323. Wavelets fur zweidimensionale Daten 139

3

4 INHALTSVERZEICHNIS

4. Quantisierung und Kodierung der Wavelet-Zerlegung 141

Kapitel 8. Wavelet-Packets 1571. Konstruktion 1572. Beste Basen 162

Literatur

Der Katalog der Universitat Dortmund liefert 85 Treffer auf das Suchwort “Wavelets”.

Als Einfuhrung in Wavelets, auch fur Nichtmathematiker gedacht, sind folgendeBucher:

• W. Bani, “Wavelets: eine Einfuhrung fur Ingenieure”, Oldenbourg, 2005.• J. Bergh, F. Ekstedt, M. Lindberg, “Wavelets”, Studentlitteratur, 1999.• C. Blatter, “Wavelets: Eine Einfuhrung”, Vieweg, 2003.• A. Boggess, F. Narcowich, “A First Course in Wavelets with Fourier Anal-

ysis”, Prentice Hall, 2001.• C. K. Chui, “Wavelets: a mathematical tool for signal analysis”, SIAM,

1997.• M. W. Frazier, “An Introduction to Wavelets through Linear Algebra”,

Springer, 1999.• Y. Meyer, “Wavelets: algorithms and applications”, SIAM, 1994.• G. Strang, T. Nguyen, “Wavelets and Filter Banks”, Wellesley-Cambridge

Press, 1997.

Fundierte mathematische Einfuhrungen in Wavelet-Analysis geben:

• I. Daubechies, “Ten Lectures on Wavelets”, CBMS-NSF Reg. Conf. Seriesin Appl. Math., SIAM, 1992.

• E. Hernandez, G. Weiss, “A first course on Wavelets”, CRC Press, 1996.• A. K. Louis, P. Maaß, A. Rieder, “Wavelets: Theorie und Anwendungen”,

Teubner, 1998.• S. Mallat, “A Wavelet Tour of Signal Processing”, 2nd. Ed., Academic

Press, 1999. (Sehr umfangreich, beinhaltet sehr viele Aspekte der Anwen-dungen.)

• Y. Meyer, “Wavelets and Operators”, Cambridge University Press, 1992.Ubersetzung von Band 1 “Ondelettes et Operateurs”, Hermann, Paris.

Weiterfuhrende Bucher, zum Teil als Beitrage verschiedener Autoren oder Tagungsbande:

• C. K. Chui, “Wavelets: a tutorial in theory and applications”, AcademicPress, 1992.

5

6 LITERATUR

• C. K. Chui, L. Montefusco, L. Puccio, “Wavelets: theory, algorithms, andapplications”, Academic Press, 1994.

• Y.Meyer, “Wavelets: Calderon-Zygmund and Multilinear Operators”, Cam-bridge University Press, 1997. Ubersetzung der Bande 2 und 3 von “On-delettes et Operateurs”, Hermann, Paris.

• L. L. Schumaker, G. Webb, “Recent advances in wavelet analysis”, Aca-demic Press, 1994.

• G. V. Welland, “Beyond Wavelets”, Academic Press, 2003.

Daneben benotigen wir Grundlagen der Fourier-Reihen und Fourier-Transformation.Als Nachschlagewerk zu Fourier-Reihen (und Aussagen zur Lebesgue-Integration)kann z.B. dienen:

• A. Zygmund, “Trigonometric Series”, Cambridge University Press, 1959(paperback 1988).

Weiterhin bezieht sich die Vorlesung auf einige einschlagige Veroffentlichungen:

• I. Daubechies, Orthonormal bases of compactly supported wavelets, Com-mun. Pure Appl. Math. 41, No.7, 909-996 (1988), [Zbl 0644.42026].

• R. Q. Jia, Z. Shen, Multiresolution and Wavelets, Proc. Edinburgh Math.Soc. 37 (1994), 271–300.

• W. Lawton, S. L. Lee, Z. Shen, Convergence of the multivariate cascadealgorithm, Numer. Math. 78 (1998), 427–438.

• A. Ron, Z. Shen, Affine systems in L2(Rd): the analysis of the analysisoperator, J. Functional Analysis 148 (1997), 408-447.

KAPITEL 1

Einfuhrung

Wavelet–Analysis ist ein modernes Gebiet der Angewandten Mathematik, das dieTheorie der Fourier-Transformation (siehe Analysis 2) erweitert. Die Wavelet-Transformation dient in erster Linie der Analyse von Teilinformationen, die einegegebene Funktion f : Rd → C enthalt. In praktischen Anwendungen ist fzum Beispiel die Wellenform eines akustischen Signals (d = 1) oder die Grau-wertverteilung eines Bildes (d = 2, R2 wird ersetzt durch einen rechteckigen Defi-nitionsbereich).

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

Bild 1.1. Funktionen in der Signal- und Bildverarbeitung

Ziele der Wavelet-Transformation sind unter anderem

• die zeitlich eingegrenzte Frequenzanalyse eines akustischen Signals,• die Datenkompression (z.B. JPEG2000 bei der Bildverarbeitung),• das Entrauschen gestorter Messwerte.

Hierbei werden besonders die Eigenschaften der Wavelet-Transformation als Filterbetont, der Eigenschaften aus einer gegebenen Funktion f “herausfiltert”.

Als mathematisches Werkzeug dient die Wavelet-Transformation weiterhin

• zur Charakterisierung von “lokalen” Eigenschaften von Funktionen, z.B. derlokalen Lipschitz-Stetigkeit von Funktionen,

• zur Darstellung und Definition von wichtigen Funktionenraumen (z.B. Sobolev-Raume),

• zur Diskretisierung von Differentialgleichungen.

7

8 1. EINFUHRUNG

Dadurch werden enge Beziehungen zur Funktionalanalysis, Approximationstheorieund Numerischen Mathematik hergestellt.

1. Wichtige Begriffe aus der Linearen Algebra

Definition 1.1. Gegeben sei ein Vektorraum V uber dem Korper C sowie eineAbbildung

〈., ∗〉 : V × V → Cmit den folgenden Eigenschaften:

(i) Definitheit: 〈v, v〉 ≥ 0 fur alle v ∈ V , und 〈v, v〉 = 0 nur fur v = 0;(ii) Linearitat in der 1. Komponente: 〈αu + βv, w〉 = α〈u, w〉 + β〈v, w〉 fur alle

α, β ∈ C und u, v, w ∈ V ;(iii) Symmetrie: 〈v, w〉 = 〈w, v〉 fur alle v, w ∈ V .

Dann heißt die Abbildung 〈., ∗〉 Skalarprodukt auf V . Der Vektorraum V , versehenmit dieser Abbildung, ist ein Skalarproduktraum.

Auf einem Skalarproduktraum wird durch

‖v‖ :=√〈v, v〉, v ∈ V,

eine Norm induziert. Hiermit ist jeder Skalarproduktraum auch ein normierterRaum. Damit ist insbesondere die Konvergenz von Folgen (vn)n∈N mit Folgengliedernvn ∈ V wie ublich definiert:

limn→∞

vn = v ⇐⇒ limn→∞

‖vn − v‖ = 0.

Ebenso ist der Begriff der Cauchy-Folge in V wie ublich definiert: (vn)n∈N istCauchy-Folge genau dann, wenn zu jedem ε > 0 ein N ∈ N existiert, so dass furalle n,m ≥ N die Ungleichung ‖vn − vm‖ < ε gilt; dies wird kurz ausgedruckt inder Form

limn,m→∞

‖vn − vm‖ = 0.

Der Skalarproduktraum heißt vollstandig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert, alsozu jeder Cauchy-Folge (vn)n∈N in V ein Element v ∈ V existiert mit limn→∞ vn = v.

Definition 1.2. Ein vollstandiger Skalarproduktraum V heißt Hilbertraum.

Bemerkung 1.3. In einem Skalarproduktraum V gilt die Cauchy-Schwarz Ungle-ichung

(1.1) |〈v, w〉| ≤ ‖v‖ ‖w‖, v, w ∈ V.

Beispiel 1.4.

a) Die Elemente von CN werden als Spaltenvektoren x = (x1, . . . , xN )T aufgefasst.Versehen mit dem Skalarprodukt

〈x, y〉 =N∑

k=1

xkyk

1. WICHTIGE BEGRIFFE AUS DER LINEAREN ALGEBRA 9

ist CN ein Hilbertraum, der N -dimensionale Euklidische Raum. Wir identi-fizieren diesen Raum haufig mit den folgenden Raumen:

– `N := (x0, . . . , xN−1); xk ∈ C fur 0 ≤ k ≤ N−1, mit dem Skalarprodukt

(1.2) 〈x, y〉 =N−1∑

k=0

xkyk.

– dem Vektorraum der N -periodischen Folgen˜N := (xk)k∈Z; xk ∈ C, xk+N = xk fur k ∈ Z,

mit dem Skalarprodukt

〈x, y〉 =N−1∑

k=0

xkyk, x = (xk)k∈Z, y = (yk)k∈Z ∈ ˜N ,

– dem Vektorraum V aller Abbildungen f : 0, 1, . . . , N − 1 → C mit demSkalarprodukt

〈f, g〉 =N−1∑

k=0

f(k)g(k), f, g ∈ V.

b) Der Vektorraum der quadrat-summierbaren Folgen

`2 = `2(Z) := (xk)k∈Z; xk ∈ C,∑

k∈Z|xk|2 < ∞,

ist mit dem Skalarprodukt

〈x, y〉 =∞∑

k=−∞xkyk

ein Hilbertraum. Die zugehorige Norm ist die sog. `2-Norm

‖x‖2 =

( ∞∑

k=−∞|xk|2

)1/2

.

Hier lautet die Cauchy-Schwarz Ungleichung∣∣∣∣∣

∞∑

k=−∞xkyk

∣∣∣∣∣ ≤( ∞∑

k=−∞|xk|2

)1/2 ( ∞∑

k=−∞|yk|2

)1/2

.

c) Der Vektorraum der quadrat-integrierbaren Funktionen auf einem Intervall I ⊂R (unbeschrankte Intervalle eingeschlossen)

L2(I) := f : I → C; f messbar und∫

I

|f(x)|2 dx < ∞,

ist mit dem Skalarprodukt

〈f, g〉 =∫

I

f(x)g(x) dx

ein Hilbertraum. Die zugehorige Norm ist die sog. L2-Norm

‖f‖2 =(∫

I

|f(x)|2 dx

)1/2

.

10 1. EINFUHRUNG

Hier lautet die Cauchy-Schwarz Ungleichung∣∣∣∣∫

I

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣ ≤(∫

I

|f(x)|2 dx

)1/2 (∫

I

|g(x)|2 dx

)1/2

.

Ubung 1.5. Der Vektorraum C([0, 1]) mit dem obigen Skalarprodukt ist ein Skalarpro-duktraum, aber kein Hilbertraum. (Hinweis: Funktionenfolge fn(x) = xn fur x ∈[0, 1])

2. Die diskrete Welt

Wir wollen nun versuchen, das Wesen der Wavelet-Analysis anhand des Hilber-traums CN bzw. des isomorphen Raumes `N zu verstehen. Dazu benotigen wirden folgenden Begriff.

Definition 1.6. Die Vektoren en ∈ `N , 0 ≤ n ≤ N − 1, bilden eine Orthonormal-basis von `N , falls

〈em, en〉 =

1 fur m = n,0 fur m 6= n

gilt.

Bemerkung 1.7. Zu gegebener Orthonormalbasis (en)0≤n≤N−1 besitzt jedes Ele-ment v ∈ `N die Basisdarstellung

(1.3) v =N−1∑

k=0

〈v, ek〉ek.

Der Satz des Pythagoras liefert die Beziehung

(1.4) ‖v‖2 =N−1∑

k=0

|〈v, ek〉|2,

d.h. die “Energie” ‖v‖2 des Signals v wird exakt von der Gesamtheit der Koef-fizienten dargestellt. Wir betrachten den einzelnen Koeffizienten ck := 〈v, ek〉 alsdie “Teilinformation” uber den Vektor v, den die Basisfunktion ek liefert (oderreprasentiert).

Beispiel 1.8. a) Die “kanonische” Orthonormalbasis von `N lautet

e0 = (1, 0, 0, . . . , 0),e1 = (0, 1, 0, . . . , 0),

...eN−1 = (0, 0, 0, . . . , 1).

Der Koeffizient ck = 〈v, ek〉 = vk liefert den Wert der k-ten Koordinate vonv. Betrachten wir v als diskretes Signal (mit Amplituden vk an den Zeitpunk-ten kT , T =Zeiteinheit), so wird hierdurch die Amplitude zum Zeitpunkt kTreprasentiert.

b) Von der trigonometrischen Interpolation (siehe Numerik I) kennen wir die Or-thonormalbasis der komplexen Vektoren

ek =1√N

(1, e2πi kN , e2πi 2k

N , . . . , e2πi(N−1)k

N ), 0 ≤ k ≤ N − 1.

2. DIE DISKRETE WELT 11

Der Koeffizient

ck = 〈v, ek〉 =1√N

N−1∑

j=0

vje−2πi jk

N

ist (bis auf einen Faktor 1√N

) der diskrete Fourierkoeffizient1 von v. Die Identitat

(1.3) reprasentiert v als (lineare) Uberlagerung der “harmonischen Frequenzen”ek. Also liefert |ck| die Amplitude der k-ten Frequenz von v. Der Koeffizien-tenvektor (ck)0≤k≤N−1 wird diskrete Fourier-Transformierte von v genannt.Zu seiner Berechnung wird die “Schnelle Fourier-Transformation” (FFT=fastFourier transform) verwendet. Fur N = 2K werden dazu anstatt O(N2) nurO(N log2 N) Rechenoperationen benotigt.

c) Die diskrete Walsh-Transformation 2 entsteht durch die Wahl von Vektorenek =

√Nek, 0 ≤ k ≤ N − 1, die die folgenden Eigenschaften haben:

– ek besitzt nur die Eintrage +1 und −1 und hat genau k Vorzeichenwechsel,– die Vektoren sind paarweise orthogonal.

Solche Vektoren sind fur alle N = 2K bekannt. Die Koeffizienten ck = 〈v, ek〉bilden die Walsh-Transformierte von v. Da die Vektoren ek, 0 ≤ k ≤ N − 1,mit wachsendem k starker oszillieren, wird diese Transformation manchmal als“Poor man’s FFT” bezeichnet. Ihre Berechnung ist effizienter als die der FFT,da nur Additionen und Subtraktionen auftreten. Uber Anwendungen in derSignalverarbeitung und Kryptographie unterrichtet der Artikelwww.cast.uni-linz.ac.at/Department/Publications/Pubs2004/Walsh_Functions_Wien9_04.doc.

Ubung 1.9. Geben Sie die Vektoren ek, 0 ≤ k ≤ 7, fur N = 8 an.

Wie wir gesehen haben, liefert die Wahl verschiedener Orthonormalbasen (ek)0≤k≤N−1

anhand der Koeffizienten ck = 〈v, ek〉 auch unterschiedlichen Informationsgehalt.Die am starksten “lokalisierte” Information erhalten wir von der kanonischen Basisder Einheitsvektoren (Beispiel a), die beste Frequenz-Information von der diskretenFouriertransformation (Beispiel b). Andererseits liefert die kanonische Basis kein-erlei Information uber die Frequenzen des Vektors v, denn dazu mussten ja mehrereWerte vk miteinander verglichen werden. Analog liefern die diskreten Fourierko-effizienten von v keine direkte Information uber die Signalwerte vk selbst, da einMittel uber den gesamten Zeitbereich gebildet wird.

In gewisser Weise stellt die Wavelet-Analyse einen Zwischenweg zwischen diesen bei-den Extremfallen dar. Die erhaltenen Koeffizienten erlauben sowohl Ruckschlusseauf die Komponenten vk selbst als auch auf die diskreten Fourierkoeffizienten. Wirmachen dies am Beispiel der (diskreten) Haar-Wavelets3 deutlich.

Wir betrachten den Fall N = 2K mit K ∈ N. Die ersten beiden Elemente derOrthonormalbasis sind

e0 =1√N

(1, 1, . . . , 1︸︷︷︸N

), e1 =1√N

(1, . . . , 1︸︷︷︸N/2

,−1, . . . ,−1︸︷︷︸N/2

),

1Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768–18302Joseph Leonard Walsh, 1895–19733Alfred Haar, 1885–1933

12 1. EINFUHRUNG

stimmen also mit denen der Walsh-Basis uberein. Alle weiteren Elemente entstehendurch “Stauchen” und “Verschieben” von e1 und Auffullen mit Nullen, z.B. sind

e2 =√

2√N

(1, . . . , 1︸︷︷︸N/4

,−1, . . . ,−1︸︷︷︸N/4

, 0, . . . , 0︸︷︷︸N/2

), e3 =√

2√N

(0, . . . , 0︸︷︷︸N/2

, 1, . . . , 1︸︷︷︸N/4

,−1, . . . ,−1︸︷︷︸N/4

).

Allgemein wird en fur n = 2j + k, 0 ≤ j ≤ K − 1, 0 ≤ k < 2j , definiert durch

en =

√2j

√N

(0, . . . , 0︸︷︷︸kN/2j

, 1, . . . , 1︸︷︷︸N/2j+1

,−1, . . . ,−1︸︷︷︸N/2j+1

, 0, . . . , 0︸︷︷︸(2j−k−1)N/2j

).

Man erkennt hieran, dass fur festes 0 ≤ j ≤ N − 1 der Bereich der nicht ver-schwindenden Koordinaten von e2j+k die Lange N/2j besitzt und mit wachsendemk von links nach rechts wandert, ohne dass Uberlappungen auftreten.

Ubung 1.10. Zeigen Sie, dass die Vektoren en, 0 ≤ n ≤ 2K − 1, eine Orthonor-malbasis von `2K bilden. (Hinweis: Fur n = 2j + k und m = 2j′ + k′ wie in derDefinition betrachte man zuerst j 6= j′ und dann, nur fur j = j′, den Fall k 6= k′.)

Um den Informationsgehalt der Koeffizienten ck = 〈v, ek〉 zu interpretieren, beze-ichnen wir fur gerades M ∈ N mit

a0(x0, . . . , xM−1) := 1√M

∑M−1k=0 xk,

d0(x0, . . . , xM−1) := 1√M

(∑M/2−1k=0 xk −

∑M−1k=M/2 xk

)

die ersten beiden Koeffizienten zur Walsh-Basis der Lange M . Dann gilt

• c0 = a0(v0, . . . , vN−1) enthalt das Mittel des gesamten Vektors v,• c1 = d0(v0, . . . , vN−1) enthalt die Differenz der beiden Mittel gebildet uber je

die Halfte der Koordinaten von v,• c2j+k = d0(vkN/2j , . . . , v(k+1)N/2j−1) enthalt die Differenz der beiden Mittel

gebildet uber einen Abschnitt von v der Lange N/2j . Dieser Abschnitt ergibtbei festem j und wachsendem k eine disjunkte Partition des Vektors.

Mit anderen Worten: Die Stauchung (Parameter 2j) bewirkt die Analyse immerkurzerer Abschnitte des Vektors v. Wir betrachten daher 2j (oder einfach j) als dieVerfeinerungsstufe der Wavelet-Analyse. Die zusatzliche Verschiebung (Parameterk) stellt sicher, dass auf jeder Verfeinerungsstufe der gesamte Vektor in die Analyseeinbezogen wird. Die einzelnen Koeffizienten geben daher eine (grobe) Frequen-zinformation uber einen bestimmten Teilbereich des gegebenen Vektors v, dessenLange mit einer Zweierpotenz (“dyadisch”) abnimmt.

Weiterhin zeigen die Formeln

a0(x0, . . . , xM−1) = 2−1/2(a0(x0, . . . , xM/2−1) + a0(xM/2, . . . , xM−1)),d0(x0, . . . , xM−1) = 2−1/2(a0(x0, . . . , xM/2−1)− a0(xM/2, . . . , xM−1)),

und

a0(x0, . . . , xM/2−1) = 2−1/2(a0(x0, . . . , xM−1) + d0(x0, . . . , xM−1)),a0(xM/2, . . . , xM−1) = 2−1/2(a0(x0, . . . , xM−1)− d0(x0, . . . , xM−1)),

2. DIE DISKRETE WELT 13

dass sehr effiziente rekursive Algorithmen zur Berechnung der Verfeinerungsstufenvorliegen. Das abschließende numerische Beispiel soll die 4 Transformationen gegen-uberstellen.

0 20 40 60 80 100 1200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5kanonisch

−60 −40 −20 0 20 40 600

5

10

15

20

25

30

Fourier

0 20 40 60 80 100 120−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

Walsh

0 20 40 60 80 100 120

−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

Haar

Bild 1.2. Darstellung eines einfachen Signals in vier verschiedenenOrthonormalbasen

Hier noch ein kleines Matlab-Programm, das die Vektoren en, 0 ≤ n ≤ 2K − 1, dernicht-normalisierten Walsh-Basis als Zeilen einer Matrix w liefert.

function w=walsh(K)% generate 2^K Walsh functionsw=[1];for i=1:K

w=[w,w;w,-w];end% for sequence ordering according to number of sign changesc=sum(abs(diff(w’)))/2; % number of sign changes in rows[c,i]=sort(c);w=w(i,:);

Weitere Informationen (incl. der obigen Rekursion) enthalt die Datei walsh.htmlauf der Kurs-Webseite.

14 1. EINFUHRUNG

3. Die kontinuierliche Welt

Die eigentliche Struktur der Wavelet-Analyse zeigt sich noch besser durch Betra-chtung von Funktionenraumen wie z.B. den Hilbertraumen L2([01]) oder L2(R).Wir gehen vor wie im vorherigen Abschnitt und definieren zunachst den Begriff derOrthonormalbasis.

Definition 1.11. H sei ein Hilbertraum mit dim H = ∞. Die Vektoren en ∈ H,n ∈ N, bilden eine Orthonormalbasis von H, falls die folgenden beiden Eigen-schaften erfullt sind:

(1)

〈em, en〉 =

1 fur m = n,0 fur m 6= n

(2) Fur jedes h ∈ H gilt

limN→∞

∥∥∥∥∥h−N∑

n=1

〈h, en〉en

∥∥∥∥∥ = 0.

Bemerkung 1.12. a) Die zweite Eigenschaft besagt, dass

(1.5) h =∞∑

n=1

〈h, en〉en

gilt, wobei die Reihe in der Norm von H konvergiert (sog. “starke Konvergenz”).Man nennt die Reihe auch eine Orthogonalreihe. Solche Reihen durfen beliebigumgeordnet werden, ohne dass der Grenzwert sich andert. Deshalb konnenwir auch andere abzahlbare Indexmengen, wie z.B. Z oder Z × Z verwenden.Dies ist manchmal hilfreich, um gewisse Eigenschaften der Basisfunktion en

auszudrucken (s. Beispiele unten).b) Es gelten die Besselsche Ungleichung

(1.6)N∑

n=1

|〈h, en〉|2 ≤ ‖h‖2, h ∈ H,

sowie die Parseval-Identitat

(1.7)∞∑

n=1

|〈h, en〉|2 = ‖h‖2, h ∈ H.

Diese Identitat ist wiederum aquivalent zur Plancherel-Identitat fur das Skalarpro-dukt von zwei Elementen,

(1.8) 〈g, h〉 =∞∑

n=1

〈g, en〉〈h, en〉, g, h ∈ H.

Da auf der rechten Seite das `2-Skalarprodukt der Koeffizientenfolgen c = (〈g, en〉)n∈Nvon g sowie d = (〈h, en〉)n∈N von h steht, wird durch jede Orthonormalbasis einIsomorphismus der Hilbertraume H und `2(N) erzeugt.

Bemerkung 1.13. Ein Hilbertraum H mit dim H = ∞ heißt separabel, wenn eseine abzahlbare Teilmenge M ⊂ H gibt, die dicht in H ist. Die folgende Aussage ist

3. DIE KONTINUIERLICHE WELT 15

gar nicht schwer zu beweisen: Der Hilbertraum H ist genau dann separabel, wenner eine Orthonormalbasis besitzt.

Beweis von “=⇒”: Die Gram-Schmidt Orthogonalisierung macht aus einer abzahlbarendichten Teilmenge (yn)n∈N (unter Weglassen evtl. entstehender Nullvektoren) eineOrthonormalbasis.

Beweis von “⇐=”: Zu gegebener Orthonormalbasis (en)n∈N ist die Menge

M =

N∑

n=1

cnen; N ∈ N, cn ∈ Q+ iQ fur 1 ≤ n ≤ N

abzahlbar und dicht in H.

Die von uns verwendeten Hilbertraume sind samtlich separabel.

Beispiel 1.14. a) Der Hilbertraum L2([0, 1]) besitzt die Orthonormalbasis derFunktionen en, n ∈ Z, mit

en(x) = e2πinx, x ∈ [0, 1].

(Hier wird als Indexmenge Z anstatt N verwendet, weil dadurch die Basise-lemente en klarer beschrieben werden.) Anders ausgedruckt: jede quadrat-integrierbare Funktion f ∈ L2([0, 1]) ist der Grenzwert ihrer Fourier-Reihe

(1.9) f =∞∑

n=−∞cn(f)en, cn(f) = 〈f, en〉 =

∫ 1

0

f(x)e−2πinx dx.

Die Konvergenz erfolgt in der Norm des Hilbertraums L2([0, 1]) und wird Kon-vergenz im quadratischen Mittel genannt,

limN→∞

∫ 1

0

∣∣∣∣∣f(x)−N∑

n=−N

cn(f)e2πinx

∣∣∣∣∣

2

dx = 0.

Die Koeffizienten cn(f) = 〈f, en〉 sind die Fourierkoeffizienten der Funktionf . Die Darstellung von f in (1.9) besagt, dass jede Funktion f ∈ L2([0, 1])eine (unendliche) Uberlagerung harmonischer Schwingungen en, n ∈ Z, ist.Der Fourierkoeffizient gibt die Amplitude und Phasenverschiebung der n-tenperiodischen Schwingung an.

Der Hilbertraum L2([0, 1]) wird mit dem Raum der 1-periodischen Funktio-nen f : R→ C mit f(x) = f(x + 1), x ∈ R, identifiziert.

Physikalische Messungen liefern haufig nicht die zugrunde liegende Funk-tion f (in ihrer “Wellenform”), sondern die Werte cn(f) ihres Spektrums (s.Spektroskopie).

b) Der Hilbertraum L2(R) der (nicht-periodischen) quadrat-integrierbaren Funk-tionen ist separabel. Eine Orthonormalbasis (die aber nicht weiter verwendetwird) ist durch die Familie en,k, n, k ∈ Z, mit

en,k(x) = e2πin(x−k)χ[k,k+1)(x)

Hierbei bezeichnet χI die charakteristische Funktion zur Menge I.c) Die Walsh-Funktionen werden ahnlich wie im diskreten Fall gebildet. Die n-te

Walsh-Funktion wn : [0, 1) → R, n ≥ 0, nimmt nur die Werte 1 oder −1 an,erfullt wn(0) = 1, hat genau n Sprungstellen in “dyadischen” Punkten der Form

16 1. EINFUHRUNG

k2−j ∈ (0, 1) und ist (bzgl. des gewohnlichen Skalarprodukts) orthogonal zuw0, . . . , wn−1 (und damit zu allen wk, k 6= n). Eine explizite Formel findet sichz.B. bei Wikipedia:

wn(x) = (−1)k0x0+k1x1+···+kmxm

fur n =∑m

i=0 ki2i und x =∑

i≥0 xi2−1−i.

Wir kommen nun zur Vorstellung der einfachsten Wavelet-Basis, der so genanntenHaar-Basis von L2([0, 1)). Die Indexmenge zur Bezeichnung der Basiselemente wirdwieder nicht durch N, sondern durch

J = 0 ∪ (j, k); j ∈ N0, 0 ≤ k ≤ 2j − 1festgelegt. Die Funktionen der Orthonormalbasis lauten(1.10)

e0(x) = 1, ej,k(x) =

2j/2, x ∈ [k2−j , (k + 12 )2−j),

−2j/2, x ∈ [(k + 12 )2−j , (k + 1)2−j),

0, sonst,x ∈ [0, 1).

Der Trager supp ej,k ist der Abschluss des dyadischen Intervalls Ij,k = [k2−j , (k +1)2−j). Dieses Intervall hat die Lange 2−j .

Theorem 1.15. Die Funktionen e0, ej,k mit j ∈ N0 und 0 ≤ k ≤ 2j − 1 bilden eineOrthonormalbasis von L2([0, 1)).

Beweis: Orthonormalitat: Es gilt ‖e0‖ = 1 sowie

〈e0, ej,k〉 =∫ 1

0

ej,k(x) dx = 0, j ∈ N0, 0 ≤ k ≤ 2j − 1.

Weiterhin ist fur alle j ∈ N0 und 0 ≤ k ≤ 2j − 1

‖ej,k‖2 =∫ 1

0

|ej,k(x)|2 dx =∫

Ij,k,

2j dx = 1.

Fur 0 ≤ k′ ≤ 2j − 1, k 6= k′, gilt 〈ej,k′ , ej,k〉 = 0, weil die Trager der Funktio-nen disjunkt sind (genauer: der Durchschnitt ist hochstens ein Punkt, also eineNullmenge). Fur j′ < j und 0 ≤ k′ ≤ 2j′ − 1 ist

〈ej′,k′ , ej,k〉 =∫

Ij,k

ej′,k′(x)ej,k(x) dx = 0,

weil ej′,k′ auf Ij,k konstant ist (entweder 0, 1 oder −1) und das Integralmittel vonej,k Null ist. Damit ist die paarweise Orthogonalitat aller Funktionen gezeigt.

Vollstandigkeit: Wir zeigen, dass fur beliebiges f ∈ L2([0, 1)) aus

(1.11) 〈f, e0〉 = 〈f, ej,k〉 = 0 fur alle j, k

auch f = 0 folgt.

1. Schritt: Fur ein dyadisches Intervall Ij,k = [k2−j , (k + 1)2−j ] (mit j ∈ N0 und0 ≤ k ≤ 2j − 1) sei

aj,k := 2j/2

∫

Ij,k

f(x) dx.

3. DIE KONTINUIERLICHE WELT 17

Mittels vollstandiger Induktion nach j zeigen wir, dass aj,k = 0 fur alle j, k gilt.Zunachst folgt aus I0,0 = [0, 1) und der ersten Identitat in (1.11) sofort a0,0 = 0.Das dyadische Intervall Ij,k ist Vereinigung der disjunkten Intervalle Ij+1,2k undIj+1,2k+1. Einfaches Nachrechnen ergibt fur die charakteristischen Funktionen

2j/2χIj,k+ ej,k = 2(j+2)/2χIj+1,2k

, 2j/2χIj,k− ej,k = 2(j+2)/2χIj+1,2k+1 .

Daher folgt aus aj,k = 0 und der zweiten Identitat in (1.11)

aj+1,2k = aj+1,2k+1 = 0.

Damit ist der Induktionsschritt von j nach j + 1 gezeigt.

2. Schritt: Jede Funktion f ∈ L2([0, 1)) ist Lebesgue-integrierbar. Aus∫

Ij,kf(x) dx =

0 fur jedes dyadische Intervall Ij,k folgt mit elementaren Argumenten der Integra-tionstheorie, dass

∫If(x) dx = 0 fur jede messbare Menge I ⊂ [0, 1) gilt. Daraus

folgt wiederum f = 0.

Bemerkung 1.16. Welchen Informationsgehalt hat nun der einzelne “Wavelet-Koeffizient” bj,k := 〈f, ej,k〉 der Haar-Basis? Wir stellen sofort fest, dass dieserKoeffizient nur vom Verhalten von f im dyadischen Intervall Ij,k abhangt. Mitwachsendem k “zoomen” die Koeffizienten also in immer kleinere Bereiche derFunktion f . Mit xj,k bezeichnen wir den Mittelpunkt des Intervalls Ij,k. Wir betra-chten nun die folgenden 2 speziellen Situationen:

1. Fall: f ist stetig in Ij,k \ xj,k und hat eine Sprungstelle der Hohe −2c an derStelle xj,k, also

f |Ij,k≈ (a + c)χIj+1,2k

+ (a− c)χIj+1,2k+1 .

Dann ist

bj,k ≈ a

∫

Ij,k

ej,k(x) dx

︸︷︷︸=0

+c

∫

Ij,k

|ej,k(x)| dx

︸︷︷︸=2−j/2

= c2−j/2.

2. Fall: f erfullt im Intervall Ij,k die Lipschitz-Bedingung

|f(x)− f(xj,k)| ≤ M |x− xj,k|α, x ∈ Ij,k,

mit einem 0 < α ≤ 1. Dann ist wegen∫

Ij,kej,k(x) dx = 0 der Koeffizient

bj,k =∫

Ij,k

f(x)ej,k(x) dx =∫

Ij,k

(f(x)− f(xj,k)ej,k(x) dx,

also

|bj,k| ≤ M2j/2

∫

Ij,k

|x− xj,k)|α dx =2−αM

α + 12−j(α+1/2).

Durch Betrachtung der Große der Wavelet-Koeffizienten bj,k mit wachsendem j, diezu Intervallen Ij,k in der Nahe der Stelle x ∈ [0, 1) gehoren, lasst sich tatsachlicheine Aussage zur “Glattheit” der Funktion f an der Stelle x machen. Wir werdendies im folgenden Kapitel genauer untersuchen.

18 1. EINFUHRUNG

Bemerkung 1.17. Die Struktur der Haar-Wavelets ist besonders eindrucksvoll:Wir definieren die Funktion ψ : R→ C durch

ψ(x) = χ[0,1/2)(x)− χ[1/2,1)(x).

Dann gilt fur alle j ∈ N0 und 0 ≤ k ≤ 2j − 1 die Identitat

ej,k(x) = 2j/2ψ(2jx− k) (insbesondere e0,0 = ψ).

D.h. alle Basisfunktionen (mit Ausnahme von e0 = χ[0,1)) werden von einer einzi-gen Funktion ψ durch Skalierung des Arguments (mit 2j) und Verschiebung (um2−jk) bestimmt. Man nennt die Funktion ψ daher das Mutter-Wavelet.

Die erste Basisfunktion e0 wird durch die charakteristische Funktion φ : R → C,φ(x) = χ[0,1)(x) definiert. Diese Funktion spielt wegen der beiden Gleichungen

(1.12) φ(x) = φ(2x) + φ(2x− 1), ψ(x) = φ(2x)− φ(2x− 1)

eine ebenso wichtige Rolle. Sie wird manchmal das Vater-Wavelet oder auch dieSkalierungsfunktion des Haar-Wavelets genannt. Ihre Bedeutung steckt hauptsachlichin der effizienten Berechnung der Waveletkoeffizienten. Hierauf gehen wir erstspater ein.

Bemerkung 1.18. Ebenso wie im “diskreten Regime” ist auch der Zusammenhangder Wavelet-Koeffizienten zu den Integralmitteln von f einfach herzuleiten. Wieoben setzen wir

aj,k = 2j/2

∫

Ij,k

f(x) dx

dj,k = 〈f, ej,k〉 = 2j/2

(∫

Ij+1,2k

f(x) dx−∫

Ij+1,2k+1

f(x) dx

),

Dann gelten einerseits die “Zerlegungs-Relationen”

aj,k = 2−1/2(aj+1,2k + aj+1,2k+1),dj,k = 2−1/2(aj+1,2k − aj+1,2k+1).

Hiermit konnen die Wavelet-Koeffizienten dj,k fur j < J rekursiv aus den Inte-gralmitteln aJ,k berechnet werden. Umgekehrt gelten die “Synthese-Relationen”

aj+1,2k = 2−1/2(aj,k + dj,k),aj+1,2k+1 = 2−1/2(aj,k − dj,k).

Hiermit lassen sich die Integralmittel zu den kurzeren Intervallen (namlich Ij+1,2k

und Ij+1,2k+1) aus dem Integralmittel Ij,k und dem zugehorigen Waveletkoeffizien-ten berechnen.

KAPITEL 2

Kontinuierliche Wavelet–Transformation

Bevor wir zur Konstruktion weiterer Wavelet-Basen (etwa von L2(R)) gehen, wollenwir genauer auf den Informationsgehalt der inneren Produkte 〈f, ej,k〉 wie in Be-merkung 1.16 eingehen. Dazu fuhren wir den folgenden Begriff ein.

Definition 2.1. Gegeben sei ein Intervall I ⊂ R und eine (Lebesgue-)integrierbareFunktion f : I → C.

a) Falls fur ν ∈ N0 das Integral

Mν(f) :=∫

I

tνf(t) dt

existiert, heißt es das ν-te Moment von f .b) Falls fur ein L ∈ N die Momente Mk(f), 0 ≤ k ≤ L − 1, existieren und gleich

Null sind, so besitzt die Funktion f L verschwindende Momente.

Hilfssatz 2.2. Sei I = (a, b) ein (beschranktes oder unbeschranktes) Intervall.Eine stetige integrierbare Funktion f : I → C besitzt genau dann ein verschwinden-des Moment, wenn f = g′ mit einer stetig differenzierbaren Funktion g : I → Cgilt, die

limt→a

g(t) = limt→b

g(t) = 0

erfullt.

Beweis: Die Funktion g(t) =∫ t

af(s) ds besitzt die geforderten Eigenschaften.

Ubung 2.3. Zeigen Sie, dass die Funktion f : R→ R,

f(t) =2

π1/4√

3σ

(t2

σ2− 1

)exp

(−t2

2σ2

)

zwei verschwindende Momente besitzt. Diese Funktion heißt im Englischen “Mex-ican hat” (deutsch: Sombrero?), da der Graph bei Rotation um die y-Achse einentsprechendes Bild liefert.

Eine weitere Moglichkeit, Funktionen auf I = R mit verschwindendem Moment zuerhalten, wird in der folgenden Aufgabe behandelt.

Ubung 2.4. Gegeben sei eine integrierbare Funktion f : R→ C, fur die die erstenL Momente existieren und die M0(f) 6= 0 erfullt. Weiter seien ck ∈ C, sk ∈ R,1 ≤ k ≤ K. Dann gilt: Die Funktion

g(t) =K∑

k=1

ckf(t− sk)

19

20 2. KONTINUIERLICHE WAVELET–TRANSFORMATION

besitzt genau dann L verschwindende Momente, wenn

K∑

k=1

cksνk = 0, 0 ≤ ν ≤ L− 1,

gilt.

Bemerkung 2.5. Fur integrierbare Funktionen f : R→ C (also f ∈ L1(R)) ist dieFourier-Transformierte

f(ξ) =∫

Rf(t)e−itξ dt, ξ ∈ R,

definiert. Wegen der Integrierbarkeit von f ist f stetig und beschrankt. Die Eigen-schaft M0(f) = 0 ist gleichwertig mit der Bedingung f(0) = 0.

Im nachsten Kapitel behandeln wir weitere Rechenregeln fur die Fourier-Transformation.Z.B. folgt aus der Integrierbarkeit von tνf(t), 0 ≤ ν ≤ L − 1, dass die Fourier-Transformierte f mindestens L− 1-mal stetig differenzierbar ist. Die Eigenschaft,L verschwindende Momente zu haben, ist aquivalent zu der Beziehung

dν

dξνf(0) = 0, 0 ≤ ν ≤ L− 1.

Wir kommen nun zur ersten, sehr allgemeinen Definition eines Wavelets.

Definition 2.6. (Wavelet)

Eine Funktion ψ ∈ L1(R) ∩ L2(R) heißt Wavelet, wenn M0(f) = 0 gilt.

Der englische Begriff “Wavelet” bezieht sich auf die Form des Grafen von ψ, denman sich als “kleine Welle” vorstellen kann. Wie beim Haar-Wavelet wird dieStauchung und Verschiebung der Funktion ψ eine wichtige Rolle spielen. Dazu diefolgende Kurzschreibweise.

Bezeichnung 2.7. Gegeben sei eine Funktion ψ : R → C. Fur a ∈ R \ 0 undb ∈ R verwenden wir die Bezeichnung

ψa,b := |a|−1/2ψ

( · − b

a

).

Ohne die Gefahr von Verwechslungen werden wir spater fur j, k ∈ Z auch

ψj,k := 2j/2ψ(2j · −k)

verwenden. Dies entspricht der Wahl a = 2−j und b = 2−jk.

Definition 2.8. Sei ψ ∈ L1(R)∩L2(R) ein Wavelet. Die kontinuierliche Wavelet–Transformation (CWT) ist der lineare Operator Wψ auf L2(R) mit

(Wψf)(a, b) = 〈f, ψa,b〉 = |a|−1/2

∫ ∞

−∞f(t)ψ

(t− b

a

)dt, a 6= 0, b ∈ R.

2. KONTINUIERLICHE WAVELET–TRANSFORMATION 21

Ubung 2.9. Man berechne (mit Matlab) die kontinuierliche Wavelet-TransformationWψf zum Mexican-Hat Wavelet ψ und der Funktion

f(t) =

1− |t|, t ∈ [−1, 1],2/3, t ∈ (1, π/2),2 sin(50t) + 3 · rand(1), t ∈ [π/2, 2π].

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f . Zum Zeichnen der Wavelet–TransformationWψf verwende man die Darstellung der Funktionswerte auf einem Rechteck mitAchsen −10 ≤ log2 a ≤ 0 und −5 ≤ b ≤ 10 durch Grau- oder Farbwerte.

Bemerkung 2.10. (i) Fur festes a 6= 0 ist die Funktion b 7→ (Wψf)(a, b) die Fal-tung von f mit der Funktion

ψa(x) = |a|−1/2ψ(−x

a).

Fur die L1- und die L2-norm von ψa gilt

‖ψa‖2 = ‖ψ‖2, ‖ψa‖1 = |a|1/2‖ψ‖1.Die Cauchy-Schwarz Ungleichung liefert die punktweise Abschatzung

(2.1) |Wψf(a, b)| ≤ ‖ψa‖2‖f‖2.Weiterhin gilt mit den ublichen Abschatzungen fur die Faltung von Funktionen

‖(Wψf)(a, ·)‖2 = ‖f ∗ ψa‖2 ≤ ‖ψa‖1‖f‖2 = |a|1/2‖ψ‖1‖f‖2.Insbesondere ist also die Funktion (Wψf)(a, ·) : R → C quadrat-integrierbar.Zur Integrierbarkeit uber den gesamten Parameterbereich (a, b) ∈ R∗×R werdenwir spater eine genaue Aussage kennen lernen.

(ii) Der Wert (Wψf)(a, b) bestimmt (im Fall ‖ψ‖2 = 1) die Korrelation von f undψa.

Definition 2.11. Eine Funktion f : R→ C heißt Holder– (oder Lipschitz–) stetigzum Exponenten 0 < α ≤ 1, geschrieben f ∈ Lipα(R), wenn K > 0 existiert mit

(2.2) |f(x)− f(y)| ≤ K · |x− y|αfur alle x, y ∈ R. f heißt Holder-stetig zum Exponenten α an der Stelle x0, fallsK > 0 existiert mit

(2.3) |f(x)− f(x0)| ≤ K · |x− x0|αfur alle x ∈ R.

Beispiel 2.12. a) f : R→ C mit f(x) =√|x| ist in jedem Punkt x0 6= 0 Holder–

stetig zum Exponenten 1, in x0 = 0 jedoch nur Holder–stetig zum Exponenten12 .

b) f : R → C differenzierbar und f ′ beschrankt impliziert f ∈ H1(R) (Beweis mitMWS).

Die Einschrankung des Holder-Exponenten α auf (0, 1] in der obigen Definition istsinnvoll, da aus der Bedingung 2.2 mit α > 1 sofort die Differenzierbarkeit von fsowie die Beziehung f ′ ≡ 0 folgt, f also eine konstante Funktion ist. Um trotzdemHolder-Klassen zu beliebigem Exponenten α > 0 zu betrachten, verwendet manAbleitungen von f .


Definition 2.13. Fur α > 0, α = r + β mit r ∈ N0 und β ∈ (0, 1], definieren wir

Lipα(R) := f ∈ Cr(R); f (r) ∈ Lipβ(R).f heißt Holder-stetig zum Exponenten α an der Stelle x0, falls f in einer Umge-bung von x0 r-mal differenzierbar ist und f (r) an der Stelle x0 Holder-stetig zumExponenten β ist.

Sowohl fur die globale wie auch fur die lokale Holder-Stetigkeit liefert die kontinuier-liche Wavelet-Transformation (fast) scharfe Charakterisierungen.

Satz 2.14. (Globale Holder–Stetigkeit) Gegeben sei ein Wavelet ψ mit r + 1 ver-schwindenden Momenten sowie beschranktem Moment Mr+1(ψ). Weiter sei f ∈L2(R) beschrankt und stetig.

(i) Falls f Holder-stetig zum Exponenten r < α ≤ r + 1 ist und f (r) beschrankt ist,so existiert K > 0 mit

|Wψf(a, b)| ≤ K · |a|α+ 12 , a, b ∈ R, a 6= 0.(2.4)

(ii) Die Umkehrung gilt fur r < α < r + 1 und ψ mit kompaktem Trager: Fallseine Konstante K > 0 so existiert, dass (2.4) gilt, so ist f Holder-stetig zumExponenten α.

Die Aussage uber die lokale Holder-Stetigkeit wird etwas komplizierter.

Satz 2.15. Gegeben sei ein Wavelet ψ mit kompakten Trager und r + 1 ver-schwindenden Momenten (sowie beschranktem Moment Mr+1(ψ)). Weiter sei f ∈L2(R) sowie x0 ∈ R.

(i) Falls f Holder-stetig zum Exponenten r < α = r + β ≤ r + 1 an der Stelle x0

ist, so existieren a0 > 0 und K > 0 so, dass fur alle a, b ∈ R mit 0 < |a| < a0

gilt

|Wψf(a, b)| ≤ K · |a|r+ 12 (|a|β + |b− x0|β).(2.5)

(ii) Es gilt die folgende Umkehrung: Falls es Konstanten a0,K > 0 sowie γ > r sogibt, dass

|Wψf(a, b)| ≤ K · |a|γ+ 12 ,(2.6)

fur alle a, b ∈ R mit 0 < |a| < a0 gilt, und falls daruber hinaus 0 < β < 1existiert mit

|Wψf(a, b)| ≤ K · |a|r+ 12

(|a|β +

|b− x0|β1 + | log |b− x0||

)(2.7)

fur alle a, b ∈ R, 0 < |a| < a0, so ist f Holder-stetig zum Exponenten α = r + βan der Stelle x0.

Die Beweise der Umkehrungen (ii) der obigen Satze konnen wir erst nach weiterenVorbereitungen (insb. Hilfsmittel aus der Fourier-Transformation) in Kapitel 3angeben. Ohne weitere Vorbereitung konnen aber die Teile (i) schon mit einfachenHilfsmitteln der Analysis bewiesen werden.

2. KONTINUIERLICHE WAVELET–TRANSFORMATION 23

Beweis. Zu x0 ∈ R wahlen wir eine Umgebung U so, dass f in U mindestensr-mal differenzierbar und die r-te Ableitung Holder-stetig zum Exponenten β ist.Unter den Voraussetzungen von Satz 2.14 kann U = R gewahlt werden, ansonstenwerde U = (x0 − δ, x0 + δ) mit δ > 0 gewahlt. Die Taylorentwicklung von f mitEntwicklungspunkt b ∈ U lautet

f(x) =r−1∑

j=0

f (j)(b)j!

(x− b)j +∫ x

b

f (r)(t)(r − 1)!

(x− t)r−1 dt, x ∈ U.

Die Voraussetzungen an ψ liefern fur beliebige a, b ∈ R, a 6= 0, die Identitat

(2.8)∫

Rψa,b(x)(x− b)j dx = 0, 0 ≤ j ≤ r.

Hieraus folgt insbesondere fur j = r und U = R

(2.9)∫

R

(∫ x

b

f (r)(b)(r − 1)!

(x− t)r−1 dt

)ψa,b(x) dx = 0.

Dann erhalten wir weiter fur U = R aus den Voraussetzungen von Satz 2.14(i)

|Wψf(a, b)| =∣∣∣∣∫

Rf(x)ψa,b(x) dx

∣∣∣∣

=∣∣∣∣∫

R

(∫ x

b

f (r)(t)− f (r)(b)(r − 1)!

(x− t)r−1 dt

)ψa,b(x) dx

∣∣∣∣

≤ K|a|−1/2

∫

R

(∫ x

b

|t− b|β(r − 1)!

(x− t)r−1 dt

)

︸︷︷︸≤|x−b|β+r/(r−1)!

∣∣∣∣ψ(

x− b

a

)∣∣∣∣ dx

= K|a|α+ 12

∫

R|y|α|ψ(y)| dy.

Die Existenz von Mr+1(ψ) sichert zu, dass das letzte Integral endlich ist. DieKonstante K in (2.4) hangt also nur von r, ψ und der Lipschitz-Konstante K derr-ten Ableitung von f ab. Damit ist Satz 2.14(i) bewiesen.

In Satz 2.15 wird vorausgesetzt, dass ψ kompakten Trager besitzt. Also existierta0 > 0 so, dass fur alle |a| ≤ a0 und b ∈ [x0 − δ/2, x0 + δ/2] die Beziehungsupp ψa,b ⊂ U gilt. Wegen 0 < β ≤ 1 gilt die allgemeine Ungleichung

|x− y|β ≤ |x− z|β + |z − y|β .


Fur alle |a| ≤ a0 und b ∈ [x0 − δ/2, x0 + δ/2] folgt dann wie beim vorherigenBeweisteil

|Wψf(a, b)| =∣∣∣∣∫

U

f(x)ψa,b(x) dx

∣∣∣∣

=∣∣∣∣∫

U

(∫ x

b

f (r)(t)− f (r)(x0)(r − 1)!

(x− t)r−1 dt

)ψa,b(x) dx

∣∣∣∣

≤ K|a|−1/2

∫

R

(∫ x

b

|t− x0|β(r − 1)!

(x− t)r−1 dt

)

︸︷︷︸≤(|x−b|β+|b−x0|β)|x−b|r/(r−1)!

∣∣∣∣ψ(

x− b

a

)∣∣∣∣ dx

= K

(|a|α+ 1

2

∫

R|y|α|ψ(y)| dy + |b− x0|β |a|r+ 1

2

∫

R|y|r|ψ(y)| dy

).

Hieraus folgt die Behauptung von Satz 2.15(i).

Beispiel 2.16. Das Signal nbumpr3.mat in der Wavelet-Toolbox von Matlab (sieheOrdner wavedemo) wird mit dem Haar-Wavelet analysiert. Wir rufen hierzu dieWavelet-Toolbox auf mit wavemenu.

KAPITEL 3

Grundlagen der Fourier–Analysis

1. Fourier–Reihen

In den Grundvorlesungen werden haufig die Fourier–Reihen behandelt. Zu einer2π–periodischen (Lebesgue–)integrierbaren Funktion sind die Fourierkoeffizienten

ck =12π

∫ π

−π

f(x)e−ikxdx, k ∈ Z,(3.1)

sowie die Fourierreihe

f ∼∞∑

k=−∞ckeikx(3.2)

definiert. Konvergenzeigenschaften der Fourierreihen werden ausfuhrlich in H. Heu-ser, ”Lehrbuch der Analysis”, Band 2, Kapitel 17 behandelt (siehe auch Boggess,Narcowich, Kapitel 1). Wir beschranken uns auf die komplexe Darstellung derFourier–Koeffizienten und verwenden die folgende Bezeichnung.

Bezeichnung 3.1. Der Vektorraum der trigonometrischen Polynome vom GradN ∈ N0 wird mit

TN :=

N∑

k=−N

ckeikx; ck ∈ C fur −N ≤ k ≤ N

bezeichnet.

Zur Betrachtung der punktweisen Konvergenz der Fourierreihe stellen wir die Par-tialsummen

(3.3) sN (x) =N∑

k=−N

ckeikx, N ∈ N.

dar mit Hilfe des Dirichlet–Kerns DN (x) = 12

∑Nk=−N eikx =

sin(N+ 12 )x

sin x2

,

sN (x) =1π

∫ π

−π

f(t)DN (x− t) dt.(3.4)

Ohne Beweis geben wir die folgenden grundlegenden Aussagen an.

Satz 3.2. f : R→ C sei 2π–periodisch und Lebesgue–integrierbar auf (0, 2π), alsof ∈ L1(0, 2π).

a) Riemann–Lebesgue: Dann gilt limk→∞

ck = 0 = limk→−∞

ck.

25

26 3. GRUNDLAGEN DER FOURIER–ANALYSIS

b) Dirichlet–Regel: Ist f auf einer abgeschlossenen δ–Umgebung von x0 von beschrankterVariation, so gilt

limN→∞

sN (x0) = s(x0) :=f(x0+) + f(x0−)

2.

Insbesondere also sN (x0) → f(x0) , wenn f in x0 stetig und in einer δ–Umgebung von x0 von beschrankter Variation ist.

Bemerkung 3.3. Zum Begriff der beschrankten Variation: Fur eine Funktion f :[a, b] → R wird die Totalvariation definiert als

supP

∑

i

|f(xi+1)− f(xi)|,

wobei das Supremum uber alle Partitionen P = x0 < · · · < xn des Intervalls[a, b] gebildet wird. Man nennt f von beschrankter Variation (kurz f ∈ BV [a, b]),wenn die Totalvariation endlich ist. Funktionen von beschrankter Variation sindgenau diejenigen Funktionen f , die sich als Differenz zweier monotoner Funktionenf = g−h schreiben lassen. Sie dienen in erster Linie zur Definition der Riemann-Stieltjes Integrale. Fur f ∈ BV [a, b] gilt

• Die Menge der Unstetigkeitsstellen von f ist hochstens abzahlbar.• In jedem Punkt x0 ∈ [a, b] existieren die einseitigen Grenzwerte f(x0−) und

f(x0+).• f ist fast uberall differenzierbar.

Beispiele: f(x) =

0, falls x = 0xk sin(1/x), falls x 6= 0

ist fur k = 2 von beschrankter Varia-

tion auf dem Intervall [0, 1], jedoch nicht fur k = 1.

Die ”naturliche” Konvergenz im Raum L2(0, 2π) ist die Konvergenz im quadratis-chen Mittel, also bzgl. der L2–Norm:

limN→∞

‖f − sN‖2 = limN→∞

(∫ ∞

−∞|f(x)− SN (x)|2dx

)1/2

Hier ergeben sich folgende Aussagen aufgrund der

• Orthogonalitat der Funktionen 1√2π

eikx, k ∈ Z,• Vollstandigkeit der Funktionen 1√

2πeikx, k ∈ Z.

Satz 3.4. f : R → C sei 2π–periodisch und quadrat–integrierbar auf (0, 2π), alsof ∈ L2(0, 2π). Dann gilt:

a) Orthogonalprojektion: Fur jedes N ∈ N0 und T ∈ TN gilt

‖f − T‖22 = ‖f − sN‖22 + ‖sN − T‖22.Also ist sN das eindeutig bestimmte Element von TN mit der Eigenschaft

‖f − sN‖2 = infT∈TN

‖f − T‖2

2. FOURIER–TRANSFORMATION IN L1(R) 27

(”Bestapproximation”), und es gilt

〈f − sN , T 〉 = 0, fur alle T ∈ TN .

b) Konvergenz: limN→∞

‖f − sN‖2 = 0.

c) Besselsche Ungleichung:N∑

k=−N

|ck|2 ≤ 12π‖f‖22,

Parsevalsche Gleichung:∞∑

k=−∞|ck|2 =

12π‖f‖22.

Aufgrund von Satz 3.4 ist die Abbildung

f 7→ ckk∈Z (Fourier–Koeffizienten von f)

ein Isomorphismus von L2(0, 2π) und l2(Z); d.h. die quadrat–integrierbaren 2π–periodischen Funktionen sind genau die Fourierreihen

∑∞k=−∞ ckeikx mit quadrat-

summierbaren Koeffizienten.

Bemerkung 3.5. Es gilt

R[0, 2π] ⊂ L2(0, 2π) ⊂ L1(0, 2π),

wobei R[0, 2π] den Raum der Riemann–integrierbaren Funktionen bezeichnet.

2. Fourier–Transformation in L1(R)

Wir wenden uns nun der Fourier-Transformation (Lebesgue-)integrierbarer Funk-tionen auf R zu.

Wir definieren, wie ublich,

L1(R) =

f : R→ C |∫ ∞

−∞|f(x)| dx < ∞.

Ein wichtiges Hilfsmittel stellt die folgende Aussage aus der Lebesgueschen Inte-grationstheorie dar.

Hilfssatz 3.6. Fur f ∈ L1(R) und ε > 0 existiert φ ∈ C(R) mit kompaktem Tragerso, dass ‖f − φ‖1 < ε gilt.

Beweis. Der Beweis erfolgt in funf Schritten.

1. Wir wahlen r > 0 so, dass∫

|x|>r

|f(x)| dx <ε

3gilt, und setzen f1 := f |[−r,r].

2. Wir wahlen N > 0 so, dass mit

f2(x) :=

f(x), falls |f(x)| < N und |x| ≤ r,0, sonst,

die Beziehung ‖f1 − f2‖1 < ε3 gilt. Dazu schreiben wir

‖f1‖1 =∫ r

−r

|f1(x)| dx =∞∑

k=1

∫

Ek

|f1(x)| dx


mit den messbaren Mengen Ek := x ∈ [−r, r] | k − 1 ≤ |f1(x)| < k. DieKonvergenz der Reihe auf der rechten Seite folgt aus ‖f1‖1 < ∞. Also existiertN ∈ N mit

∞∑

k=N+1

∫

Ek

|f1(x)| dx =∫

x∈[−r,r]|f1(x)|≥N

|f1(x)| dx = ‖f1 − f2‖1 <ε

3.

3. Zunachst setzen wir F2(x) =∫ x

−rf2(t) dt (“Stammfunktion”). Fur n ∈ N ist

ψn(x) = n

[F2

(x +

1n

)− F2(x)

]= n

∫ x+ 1n

x

f2(t) dt

stetig, und die Folge der Funktionen ψn ist gleichmaßig beschrankt durch N . Weit-erhin ist ψn(x) = 0 fur alle x < −r−1 und x > r. Also besitzt die Differenz ψn−f2

die integrierbare Majorante g(x) =

N fur x ∈ [−r − 1, r]0 sonst

.

4. Lebesgues Satz zur Differentiation des unbestimmten Integrals (siehe z.B. Zyg-mund, Satz II.11.1, Seite 65) besagt

limh→0

1h

∫ x+h

x

|f2(t)− f2(x)| dt = 0 fur fast alle x ∈ R.

Also gilt

limn→∞

|ψn(x)− f2(x)| ≤ limn→∞

n

∫ x+1/n

x

|f2(t)− f2(x)| dt = 0 fur fast alle x ∈ R.

Hieraus folgt mit dem Satz von Lebesgue uber die majorisierte Konvergenz, dass

limn→∞

∫ ∞

−∞|ψn(x)− f2(x)| dx = 0.

5. Wahle nun φ = ψn0 so, dass ‖ψn0 − f2‖1 < ε3 . Dann ist φ stetig, hat kompakten

Trager und erfullt

‖f − φ‖1 ≤ ‖f − f1‖1 + ‖f1 − f2‖1 + ‖f2 − ψn0‖1 < ε.

Bemerkung 3.7. Ebenso kann auch φ ∈ Ck(R), k ∈ N, mit kompaktem Trageroder sogar φ ∈ C∞0 (R) (= Testfunktionen mit kompaktem Trager) gefordert werden.So wird gezeigt, dass die Raume Ck

0 (R) mit k ∈ N und C∞0 (R) dicht in L1(R) liegen.

Ubung 3.8. Sei

f(t) =

0, 0 ≤ t ≤ 1/2,1, 1/2 < t ≤ 1,

und fur 0 < δ < 1/2

gδ(t) =

0, 0 ≤ t ≤ 1/2− δ,

t2δ − 1

4δ + 12 , 1/2− δ < t ≤ 1/2 + δ,

1, 1/2 + δ < t ≤ 1.

a) Stellen Sie f und gδ fur δ = 0.1 graphisch dar.b) Zeigen Sie, dass ‖f − gδ‖1 → 0 fur δ → 0.


c) Die oben angegebenen Funktionen gδ sind stetig, aber nicht differenzierbar. KonnenSie die Vorschrift fur gδ so andern, dass gδ ∈ C1 und immer noch gilt ‖f −gδ‖1 → 0 fur δ → 0 ?

Nach diesen Vorbemerkungen zur Struktur des Raumes L1(R) kommen wir zur Defi-nition der Fourier-Transformation und der (formal) inversen Fourier-Transformation.Die Beziehung beider Transformationen zueinander wird erst in Satz 3.16 formuliertund in Abschnitt 3.4 bewiesen werden.

Definition 3.9. (Fourier–Transformation, inverse FT)

a) Die Fourier–Transformierte einer Funktion f ∈ L1(R) ist definiert als

f(ω) = (Ff)(ω) :=∫ ∞

−∞f(t)e−iωtdt.

b) Gegeben sei f ∈ L1(R) mit f ∈ L1(R). Dann definiert

(F−1f)(x) :=12π

∫ ∞

−∞f(ω)eiωxdω

die inverse Fourier–Transformierte von f .

Grundlegende Eigenschaften der Fourier–Transformierten auf L1(R):

Satz 3.10. Es sei f ∈ L1(R) und f die Fourier–Transformierte von f . Dann gilt:

a) f ist gleichmaßig stetig und beschrankt, ‖f‖∞ ≤ ‖f‖1.b) Falls f ′ existiert und in L1(R) liegt, so ist

(f ′)ˆ(ω) = iωf(ω), ω ∈ R.

c) Riemann–Lebesgue: limω→±∞

f(ω) = 0.

Beweis. (a) Fur δ > 0 gilt

(3.5)sup

ω|f(ω + δ)− f(ω)| = sup

ω

∣∣∣∣∫ ∞

−∞e−iωx

(e−iδx − 1

)f(x) dx

∣∣∣∣

≤∫ ∞

−∞|e−iδx − 1| · |f(x)| dx.

Wegen |e−iδx − 1| ≤ 2 und∫ ∞

−∞2|f(x)| dx < ∞ folgt aus dem Satz uber die ma-

jorisierte Konvergenz

limδ→0

∫ ∞

−∞|e−iδx − 1| · |f(x)| dx =

∫ ∞

−∞limδ→0

|e−iδx − 1|︸︷︷︸

=0

·|f(x)| dx = 0.

Also ist die gleichmaßige Stetigkeit von f gezeigt. Die Ungleichung ‖f‖∞ =supω |

∫∞−∞ f(t)e−iωxdt| ≤ ∫∞

−∞ |f(t)|dt = ‖f‖1 ist trivial.

Zum Beweis von (b) benotigen wir den folgenden Hilfssatz.


Hilfssatz 3.11. Aus f ∈ L1(R) und der Existenz von f ′ ∈ L1(R) folgt limx→±∞

f(x) =

0.

Beweis Durch Betrachtung von Re f und Im f kann o.B.d.A. angenommen werden,dass f reellwertig ist. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Wir nehmen an, esexistiere eine Folge (xn) mit lim xn = ∞ und c > 0 so, dass f(xn) ≥ c > 0 fur allen ∈ N gilt. Wahle R > 0 so, dass

∫∞R|f ′(x)| dx < c

2 erfullt ist. Weiterhin wahle n0

so, dass xn0 > R gilt. Dann gilt fur alle x > xn0

f(x) = f(xn0) +∫ x

xn0

f ′(x) dx ≥ c−∫ x

xn0

|f ′(x)| dx ≥ c

2.

Damit ware aber f /∈ L1(R).

Nun folgt die Aussage (b) in Satz 3.10 durch partielle Integration (wieder begrundetdurch die Lebesgue–Integrierbarkeit von f und f ′):

(f ′)ˆ(ω) =∫ ∞

−∞f ′(t)e−iωtdt = −

∫ ∞

−∞f(t) · (−iω)e−iωtdt = iωf(ω).

(c) 1. Falls f ′ existiert und in L1(R) liegt, folgt fur ω 6= 0 sofort

|f(ω)| = 1|ω|

∣∣(f ′)ˆ(ω)∣∣ ≤ 1

|ω| ‖f′‖1 → 0, fur |ω| → ∞.

2. Andernfalls wahlen wir zu ε > 0 eine Funktion g ∈ L1(R) mit g′ ∈ L1(R) so,dass ‖f − g‖1 < ε gilt. Dann ist

|f(ω)| ≤ |f(ω)− g(ω)|+ |g(ω)|≤ ‖f − g‖1 + |g(ω)| < ε + |g(ω)|.

Mit Teil 1. folgt limω→±∞ g(ω) = 0 und hieraus die Behauptung.

Bemerkung 3.12. Als Erganzung zu Teil a) des obigen Satzes formulieren wir diefolgende Verscharfung: Falls fur ein 0 < α ≤ 1 die Bedingung

K :=∫ ∞

−∞|f(x)|(1 + |x|α) dx < ∞

erfullt ist, so gilt f ∈ Lipα(R). Zum Beweis schatzen wir den Ausdruck in (3.5)weiter ab gemaß

supω|f(ω + δ)− f(ω)| ≤

∫ ∞

−∞|e−iδx − 1| · |f(x)| dx

≤∫

|x|≤1/δ

|δx| · |f(x)| dx +∫

|x|>1/δ

2|f(x)| dx.

Im ersten Integral folgt aus |δx| ≤ 1 und α ∈ (0, 1] sofort |δx| ≤ |δx|α, und imzweiten Integral folgt 2 ≤ 2|δx|α. Also erhalten wir die Abschatzung

supω|f(ω + δ)− f(ω)| ≤ 2δα

∫ ∞

−∞|x|α|f(x)| dx ≤ 2Kδα.

Das Resultat lasst sich sogar auf beliebige α > 0 und die zugehorigen Lipα-Raumeausdehnen. Auf einen Beweis verzichten wir hier.


Beispiel 3.13. a) Obwohl |f(ω)| → 0 fur ω → ±∞, muss nicht f ∈ L1(R) gelten:

f(x) =

e−x, 0 ≤ x,0, x < 0,

hat f(ω) =1

1− iω.

b) Gauss–FunktionFur a > 0 sei ga(x) := e−ax2

. Es gilt

ga(ω) =√

π

a· e−ω2/4a

(d.h. die Fourier–Transformierte der Gauss–Funktion ist wieder eine Gauss–Funktion).

Beweis. Wir definieren die Funktion

f(y) :=∫ ∞

−∞e−ax2+xydx

=∫ ∞

−∞e−a(x− y

2a )2+ y2

4a dx

=1√aey2/4a

∫ ∞

−∞e−x2

dx =√

π

aey2/4a

zunachst fur y ∈ R. Beide Seiten der Identitat definieren eine ganze Funktionf : C→ C, also gilt die Identitat sogar fur alle y ∈ C. Setzen wir y = −ix mitx ∈ R ein, so gibt dies die Behauptung.

Ubung 3.14. Berechnen Sie f fur

f(t) =

sin(3t), −π ≤ t ≤ π,0, sonst.

Bemerkung 3.15. Wir verwenden haufig den Satz von Fubini in der “einfachenForm”∫

A

∫

B

h(x, y) dydx =∫

B

∫

A

h(x, y) dxdy, falls∫

A×B

|h(x, y)| dxdy < ∞.

Mit seiner Hilfe erhalten wir fur f, g ∈ L1(R) sofort die Identitat∫ ∞

−∞f(x)g(x) dx =

∫ ∞

−∞f(x)

∫ ∞

−∞g(t)e−itxdtdx

=∫ ∞

−∞g(t)

∫ ∞

−∞f(x)e−itxdxdt =

∫ ∞

−∞f(x)g(x) dx.

Dies ist eine Form der Plancherel–Identitat, kurz 〈f, g〉 = 〈f , g〉.

Der folgende Satz erklart, dass die formale Definition der “inversen Fourier-Transformieren”in Definition 3.9 tatsachlich die inverse Transformation darstellt. Dies werden wirspater auf den Raum der L2-Funktionen verallgemeinern.

Satz 3.16. Fur f ∈ L1(R) mit f ∈ L1(R) gilt

f(x) = F−1(f)(x) =12π

∫ ∞

−∞f(ω)eiωxdω

in allen Stetigkeitspunkten von f .


Zum Beweis benotigen wir noch weitere Hilfsmittel, die im folgenden Abschnitt 3.3erlautert werden. Vorher wollen wir aber noch weitere Eigenschaften und Rechen-regeln der Fourier-Transformation fur Funktionen f, g ∈ L1(R) festhalten. Dabeiseien jeweils “naturliche” Voraussetzungen (etwa an die Existenz der Ableitungenund deren Integrierbarkeit) gestellt.

Eigenschaften und Rechenregeln 3.17. Es gelten die folgenden Rechenregeln:

Eigenschaft Funktion Fourier–Transformiertef(t) f(ω)

Translation f(t− u) e−iuω f(ω)

Modulation eiξtf(t) f(ω − ξ)

Skalierung f(t/s) |s|f(sω)

Ableitung in der Zeit–Komponente f (k)(t) (iω)kf(ω)

Ableitung in der Frequenz–Komponente (−it)kf(t) dk

dωk f(ω)

Komplex–Konjugierte f(t) f(−ω)

Reelle Funktion f = Re f f(−ω) = f(ω)

Faltung f ∗ g(t) f(ω)g(ω)

Produkt f(t)g(t) 12π f ∗ g(ω)

Inverse f(t) 2πf(−ω)

Ubung 3.18. Beweisen Sie folgende Eigenschaften der Fourier-Transformierten:

F [f (p)(t)](ω) = (iω)pf(ω) (Ableitungsformel im Zeit-Bereich),

F [(−it)pf(t)](ω) = f (p)(ω) (Ableitungsformel im Frequenz-Bereich).

3. Faltung und Faltungskerne

Definition 3.19. (Faltung)

Fur f, g ∈ L1(R) ist die Faltung definiert als

f ∗ g(x) :=∫ ∞

−∞f(t)g(x− t)dt.

Satz 3.20. (Youngsche Ungleichung) Fur 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ gelte die Beziehung1r = 1

p + 1q − 1. Dann gilt fur alle f ∈ Lp und g ∈ Lq

f ∗ g ∈ Lr sowie ‖f ∗ g‖r ≤ ‖f‖p‖g‖q.

3. FALTUNG UND FALTUNGSKERNE 33

Speziell folgt hieraus:

a) f, g ∈ L1 ⇒ f ∗ g ∈ L1 und ‖f ∗ g‖1 ≤ ‖f‖1‖g‖1.b) f ∈ Lp, g ∈ Lq mit 1

p + 1q = 1 ⇒ f ∗ g ∈ L∞ und ‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f‖p‖g‖q.

Beweis: (siehe z.B. Zygmund, Satz II.1.15, Seite 37)

Wegen |f ∗ g| ≤ |f | ∗ |g| konnen wir ohne Einschrankung f ≥ 0 und g ≥ 0 annehmen. Durch die Gleichungen

λ = r,1

µ=

1

p− 1

λ= 1− 1

q,

1

ν=

1

q− 1

λ= 1− 1

p,

werden Zahlen 1 ≤ λ, µ, ν ≤ ∞ definiert, fur die

1

λ+

1

µ+

1

ν= 1

gilt. Also konnen wir das Produkt f(t)g(x − t) (unter Weglassen der Argumente t und x − t) schreiben alsProdukt von 3 Faktoren

fp/λ

gq/λ

· f

p/µ · gq/ν

.

Die verallgemeinerte Holder-Ungleichung fur 3 Faktoren (siehe Zygmund, Satz I.9.8, Seite 18) ergibt

f ∗ g(x) ≤ZR

fp(t)g

q(x− t) dt

1/λ ZR

fp(t) dt

1/µ ZR

gq(x− t) dt

1/ν.

Die letzten beiden Faktoren sind gerade ‖f‖p/µp und ‖g‖q/ν

q . Also erhalten wir (wegen λ = r)

‖f ∗ g‖r ≤ ‖f‖p/µp ‖g‖q/ν

q

ZR

ZR

fp(t)g

q(x− t) dt dx

1/λ

= ‖f‖p/µp ‖g‖q/ν

q

ZR

fp(t)

ZR

gq(x− t) dx| z

=‖g‖qq

dt

1/λ

= ‖f‖p/µp ‖g‖q/ν

q ‖f‖p/λp ‖g‖q/λ

q = ‖f‖p‖g‖q.

Damit ist die Young’sche Ungleichung bewiesen.

Die Spezialfalle sind sofort ersichtlich.

Um zu f ∈ L1(R) eine Funktion φ ∈ Ck(R) (oder C∞(R)) mit ‖f − φ‖1 < ε zufinden, werden haufig Faltungskerne verwendet.

Definition 3.21. (Approximative Einheit)

Gegeben sei g ∈ Ck(R), k ∈ N, mit g ≥ 0,∫∞−∞ g(x)dx = 1 und ‖g(ν)‖1, ‖g(ν)‖∞ ≤

cν < ∞ fur 0 ≤ ν ≤ k. Weiter sei g(ν)(x) = O(|x|−ν−2) fur x → ±∞.

Zu α > 0 sei

gα(x) =1α

g(x

α

), x ∈ R.

Dann heißt (gα)α>0 approximative Einheit.

Hilfssatz 3.22. Definiert g ∈ Ck(R) eine approximative Einheit (gα)α>0, so giltfur f ∈ L1(R)

a) f ∗ gα ∈ Ck+1(R) ∩ L1(R) fur jedes α > 0;b) limα→0 f ∗ gα(x) = f(x) in jedem Stetigkeitspunkt von f ;c) limα→0 ‖f − f ∗ gα‖1 = 0.


Beweis. a) ‖gα‖1 =∫∞−∞

1αg

(xα

)dx =

∫∞−∞ g(x) dx = ‖g‖1 < ∞ impliziert f ∗gα ∈

L1. Fur k = 1 erhalt man

|f ∗ gα(x + δ)− f ∗ gα(x)| =∣∣∣∣∫ ∞

−∞f(t) [gα(x + δ − t)− gα(x− t)] dt

∣∣∣∣≤ ‖f‖1 sup

t|gα(x + δ − t)− gα(x− t)| ≤ c1 · δ · ‖f‖1,

somit ist f ∗ gα gleichmaßig Lipschitz stetig.

b) f sei stetig in x. Zu ε > 0 existiert η > 0 mit |f(x) − f(x − y)| < ε fur alle|y| < η. Es gilt

|f ∗ gα(x)− f(x)| =∣∣∣∣∫ ∞

−∞[f(x− t)− f(x)] · gα(x− t) dt

∣∣∣∣

≤∫

|t|≤η

|f(x− t)− f(x)|gα(t) dt +∫

|t|>η

|f(x− t)− f(x)|gα(t) dt

≤ ε +∫

|t|>η

|f(x− t)|gα(t) dt + |f(x)|∫

|t|>η

gα(t) dt

≤ ε + ‖f‖1 sup|t|>η

gα(t) + |f(x)|∫

|t|> ηα

g(t) dt

= ε + ‖f‖1 sup|t|> η

α

g(t)α

+ |f(x)|∫

|t|> ηα

g(t) dt.

c) wird nicht bewiesen.

Beispiel 3.23. Der Gauß–Kern definiert die approximative Einheit (mit√

α alsSkalierungsfaktor zum Index α)

gα(x) =1

2√

παe−

x24α , α > 0.

Bemerkung 3.24. L1(R) ist eine Faltungsalgebra (d.h. ein Vektorraum mit Ringstruk-tur); hier ist die Multiplikation von Funktionen als Faltung erklart. Die Faltungsal-gebra besitzt kein Einselement. Hingegen wird durch jede approximative Einheit(gα)α>0 das Einselement im Sinne von Hilfssatz 3.22 approximiert.

Anstelle des Einselements fuhrt man die Delta–Distribution ein, die jedoch keinElement des Raumes L1(R) ist. Genauer bezeichnet

δ : C∞0 (R) → R, δ(f) = f(0),

ein stetiges lineares Funktional auf dem Raum C∞0 (R) der Testfunktionen (der mitgeeigneter Topologie versehen wird: dies leistet die Funktionalanalysis!) Durch dieVerwendung der Schreibweise δ(f) =:

∫∞−∞ f(x)δ(x)dx = f(0) ergibt sich (formal)

die Beziehung

δ ∗ f(x) =∫ ∞

−∞f(x− t) · δ(t)dt = f(x).

Man beachte aber, dass diese Beziehung nicht im Sinne der Lebesgue-Integrale zuverstehen ist.


Wir sind schließlich in der Lage, den Beweis von Satz 3.16 zur inversen Fourier-Transformation auszufuhren.

Beweis von Satz 3.16. Sei f ∈ L1(R) mit f ∈ L1(R). Weiter sei f stetig in x.Setze hα(t) = 1

2π eitxe−αt2 mit α > 0, t ∈ R. Dann ist hα(y) = 12π

√πα ·e−(y−x)2/4α =

gα(y−x) mit gα(x) = 12√

παe−x2/4α und es gilt

∫∞−∞ hα(y)dy = 1. Somit ist (gα)α>0

eine approximative Einheit und

f ∗ gα(x) =∫ ∞

−∞f(y)gα(x− y)dy =

∫ ∞

−∞f(y)hα(y)dy

=∫ ∞

−∞f(y)hα(y)dy =

12π

∫ ∞

−∞f(y)eiyxe−αy2

dy.

Fur α → 0 konvergiert die linke Seite gegen f(x). Wegen f ∈ L1(R) konvergiertdie rechte Seite fur α → 0 gegen 1

2π

∫∞−∞ f(y)eiyxdy.

Zum Abschluss des Abschnittes uber die Faltung geben wir die Verbindung zurFourier-Transformation.

Satz 3.25. (Faltungssatz)

Fur f, g ∈ L1(R) gilt (f ∗ g)ˆ(ω) = f(ω)g(ω) fur alle ω ∈ R.

Beweis. Satz von Fubini.

4. Fourier–Transformation in L2(R)

Wie bei den Fourier–Reihen ist auch bei der FT der ”naturliche” Definitionsbereichder Raum L2(R) der quadrat–integrierbaren Funktionen. Wegen L2(R) 6⊂ L1(R)ist die Definition der FT auf L2(R) nun komplizierter.

Hilfssatz 3.26. Die Autokorrelation von f ∈ L2(R) ist definiert als

F (x) :=∫ ∞

−∞f(t)f(x + t) dt.

F ist gleichmaßig stetig und beschrankt mit |F (x)| ≤ ‖f‖22 fur alle x ∈ R.

Beweis. Die Beschranktheit folgt aus

|F (x)| ≤∫ ∞

−∞|f(x)| · |f(x + t)| dt

CS≤(∫ ∞

−∞|f(t)|2dt

)1/2 (∫ ∞

−∞|f(x + t)|2dt

)1/2

= ‖f‖22.Die gleichmaßige Stetigkeit folgt aus

|F (x + h)− F (x)| ≤∫ ∞

−∞|f(t)| · |f(x + h + t)− f(x + t)| dt

CS≤ ‖f‖2‖f(·+ h)− f(·)‖2


mit Hilfe eines Satzes der Lebesgue–Integration:

limh→0

‖f(·+ h)− f(·)‖2 = 0.

Die Fourier-Transformation F ist ein linearer Operator auf L1(R). Die folgendeAussage liefert die Beschranktheit des Operators bezuglich der L2-Norm. Dies istdie wesentliche Grundlage zur Definition der Fourier-Transformation auf L2(R).

Satz 3.27. Fur f ∈ L2(R) ∩ L1(R) gilt f ∈ L2(R); genauer: es gilt die Parseval–Identitat

‖f‖22 =∫ ∞

−∞|f(ω)|2dω = 2π

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt = 2π‖f‖22.

Beweis. f ist stetig und beschrankt nach Satz 3.10 a). Wir verwenden die ap-proximative Einheit gα(x) = 1

2√

παe−x2/4α, α > 0, also gα(y) = e−αy2

. Dann ist

gα|f |2 ∈ L1(R) und∫ ∞

−∞gα(x)|f(x)|2dx =

∫ ∞

−∞gα(x)f(x)f(x) dx

=∫ ∞

−∞gα(x)

(∫ ∞

−∞f(t)e−itxdt

)(∫ ∞

−∞f(u)eixudu

)

Fubini=∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(t)f(u)

(∫ ∞

−∞gα(x)eix(u−t)dx

)

︸︷︷︸=2πgα(u−t), nach Satz 3.16

dudt

= 2π

∫ ∞

−∞f(t)

∫ ∞

−∞f(u)gα(u− t) dudt

= 2π

∫ ∞

−∞gα(x)

∫ ∞

−∞f(t)f(x + t) dt

︸︷︷︸=:F (x) (Autokorrelation)

dx.

F ist laut Lemma 3.26 stetig und beschrankt. Somit folgt aus Hilfssatz 3.22

limα→0

∫ ∞

−∞gα(x)|f(x)|2dx = lim

α→02π

∫ ∞

−∞gα(x)F (x) dx = 2πF (0) = 2π‖f‖22.

Daruber hinaus gilt die punktweise Konvergenz

limα→0

gα(x)|f(x)|2 = |f(x)|2

fur alle x ∈ R. Die Anwendung von Fatous Lemma ergibt zunachst die Abschatzung

‖f‖22 =∫ ∞

−∞limα→0

gα(x)|f(x)|2dx ≤ lim infα→0

∫ ∞

−∞gα(x)|f(x)|2dx = 2π‖f‖22.

Also gilt f ∈ L2(R). Aus gα(x)|f(x)|2 ≤ |f(x)|2 fur alle α > 0 folgt mit dem Satzuber die majorisierte Konvergenz schließlich

‖f‖22 = limα→0

∫ ∞

−∞gα(x)|f(x)|2dx = 2π‖f‖22.


Bemerkung 3.28. F : L1 ∩ L2 → L2 ist ein linearer beschrankter Operator; seineNorm ist

‖F‖L1∩L2→L2 = supf∈L1∩L2‖f‖2=1

‖Ff‖2 =√

2π.

Weil L1∩L2 dicht in L2 liegt, kann F eindeutig auf L2(R) fortgesetzt werden (stetigeErganzung) unter Beibehaltung der Norm. Konkret lasst sich diese Fortsetzung

durch verschiedene Approximationen fn

=⇒L2 f mit fn ∈ L2∩L1 angeben. Dies fuhrt

zu (aquivalenten) Definitionen der Fourier-Transformierten von f ∈ L2(R). Wirgeben zwei Standardformen an.

i) Gegeben sei f ∈ L2(R). Fur N ∈ N setzen wir

fN (x) =

f(x), |x| ≤ N,0, sonst.

Dann ist fN ∈ L1 ∩L2 und limN→∞ ‖f − fN‖2 = 0. Aus der Parseval-Identitatfolgt, dass die Funktionenfolge (fN )N∈N eine Cauchy-Folge in L2(R) ist. DieVollstandigkeit von L2(R) sichert die Existenz der Grenzfunktion (im Sinne derL2-Konvergenz) f := limN→∞ fN ∈ L2(R) zu. Dies liefert die Definition

(3.6) f(ω) := limN→∞

fN (ω) = limN→∞

∫ N

−N

f(t)e−itωdt

der Fourier-Transformierten von f ∈ L2(R). Diese Definition ist nicht punk-tweise, sondern bzgl. der Konvergenz im quadratischen Mittel zu verstehen.

ii) Sei wieder f ∈ L2(R) gegeben. Mit dem Gauss-Kern ga(x) = e−ax2,a > 0,

erhalten fur das Produkt fa = f · ga sowohl fa ∈ L1 ∩ L2 als auch lima→0 ‖f −fa‖2 = 0. Deshalb wird durch

(3.7) f(ω) := lima→0

fa(ω) = lima→0

∫ ∞

−∞f(t)e−at2e−itωdt

eine (zu (3.6) aquivalente) Definition der Fourier-Transformierten von f ∈L2(R) gegeben. Wiederum ist die Definition nicht punktweise, sondern im Sinneder Konvergenz im quadratischen Mittel zu verstehen.

Definition 3.29. Fur f ∈ L2(R) ist die Fourier-Transformierte f ∈ L2(R) durcheine der (aquivalenten) Definitionen (3.6) und (3.7) gegeben.

Mit den bisherigen Vorbereitungen folgt nun der Hauptsatz der Fourier-Transformationsehr einfach.

Satz 3.30. (Hauptsatz zur FT)

Der Operator F : L2(R) → L2(R) ist ein Isomorphismus des Hilbertraums L2(R)(d.h. eine lineare beschrankte bijektive Abbildung mit beschrankter Umkehr–Abbildung);weiterhin gilt

‖Ff‖2 =√

2π‖f‖2, f ∈ L2(R),

d.h. der Operator 1√2πF ist eine Isometrie.


Die Umkehrabbildung ist gegeben durch

F−1 : L2(R) → L2(R), F−1g =12π

(Fg)−,

wobei h−(x) = h(−x) die Spiegelung von h an der y–Achse bezeichnet.

Beweis. Zu beweisen ist nur die Surjektivitat und die Formel fur F−1. Zu g ∈L2(R) setze h(x) = 1

2π (Fg)− und zeige ‖h− g‖2 = 0.

Korollar 3.31. Fur f, g ∈ L2(R) gelten

a) ‖f‖22 = 2π‖f‖22 (Parseval–Identitat);

b) 〈f , g〉 =∫∞−∞ f(ω)g(ω) dω = 2π

∫∞−∞ f(t)g(t) dt = 2π〈f, g〉.

Beweis mit

〈f, g〉 =‖f + g‖22 − ‖f − g‖22

4+‖f − ig‖22 − ‖f + ig‖22

4i.

Ubung 3.32. Sei

φ(t) =

1, −1 ≤ t < 1,0, sonst.

a) Bestimmen Sie die Fourier–Transformierte von φ.b) Bestimmen Sie den Wert des Integrals

∫ ∞

−∞

sin2 y

y2dy

unter Anwendung der Parsevalschen Gleichung.

5. Unscharferelation und Zeit–Frequenz–Atome

Der Satz von Paley–Wiener besagt, dass die FT f(ω) einer Funktion f(t) mitkompaktem Trager eine (in ganz C) analytische Funktion ist. Insbesondere kannf(ω) nur isolierte Nullstellen haben, also nicht kompakten Trager in R haben.

Es existieren verschiedene Ansatze, das gleichzeitige Lokalisierungsverhalten einerFunktion f(t) (im Zeitbereich) und ihrer Fourier–Transformation f(ω) (im Fre-quenzbereich) zu quantifizieren.

5.1. Slepian–Pollak–Landau. Man definiert die “Abschneide–Operatoren”

PT f(t) =

f(t), |t| ≤ T,0, |t| > T,

(PΩf)(t) = f ∗ F−1(χ[−Ω,Ω])(t),

wobei F−1(χ[−Ω,Ω])(x) = sin xΩ2xΩ . Als Maß fur die Konzentration von f auf das

“Zeit-Frequenz-Fenster”[−T, T ]× [−Ω, Ω] ⊂ R2

5. UNSCHARFERELATION UND ZEIT–FREQUENZ–ATOME 39

wird die “Teilenergie” ‖PΩPT f‖22/‖f‖22 definiert. Man kann nachweisen, dass derzusammengesetzte Operator PΩPT selbstadjungiert ist. Deshalb ist der Maximal-wert der moglichen Teilenergie der großte Eigenwert dieses Operators. (Hier wirdder Rayleigh-Quotient benutzt, der aus der Numerik I fur symmetrische Matrizeneingefuhrt wurde.) Die zugehorige Funktion f , fur die solch ein Maximum angenom-men wird, ist eine Eigenfunktion zum großten Eigenwert. Es ergeben sich die sog.”spheroidal wave functions”, die durch gewisse Differentialgleichungen beschriebenwerden.

5.2. Standardabweichung der Verteilungsdichte. Wir definieren die zen-trierten Momente (wie in der Stochastik ublich) zu den zwei Dichtefunktionen|f(t)|2/‖f‖22 bzw. |f(ω)|2/‖f‖22.Definition 3.33. Gegeben sei h ∈ L2(R) mit th(t), ωh(ω) ∈ L2(R). Wir setzen

t∗(h) :=1

‖h‖22

∫ ∞

−∞t|h(t)|2dt,(3.8)

ω∗(h) :=1

‖h‖22

∫ ∞

−∞ω|h(ω)|2dω,(3.9)

sowie

∆(h) :=(

1‖h‖22

∫ ∞

−∞(t− t∗(h))2|h(t)|2dt

)1/2

,(3.10)

∆(h) :=

(

‖h‖22

∫ ∞

−∞(ω − ω∗(h))2|h(ω)|2dω

)1/2

.(3.11)

h wird ein Zeit–Frequenz–Atom genannt; sein ”Zeit–Frequenz–Zentrum” ist derPunkt (t∗(h), ω∗(h)) ; sein ”Zeit–Frequenz–Fenster” ist das Rechteck

[t∗(h)−∆(h), t∗(h) + ∆(h)]× [ω∗(h)−∆(h), ω∗(h) + ∆(h)].

Die Großen ∆(h), ∆(h) beschreiben eine Unscharfe–Relation, die in Beziehung zurHeisenbergschen Unscharferelation (1927) der Quantenmechanik steht.

Theorem 3.34. Falls h ∈ L2(R) die Bedingungen in Definition (3.33), erfullt, soist

∆(h)∆(h) ≥ 12.

Die untere Schranke 1/2 wird genau fur die Funktion

h(t) = ceiate−α(t−b)2

angenommen, wobei a, b ∈ R, c ∈ C \ 0 und α > 0 ist.

Beweis. O.B.d.A. sei ‖h‖2 = 1, also ‖h‖22 = 2π. Weiterhin kann t∗(h) = 0 undω∗(h) = 0 durch Verschiebung bzw. Modulation (Multiplikation mit eiω∗t) erreichtwerden.


Die Voraussetzungen an h liefern

th(t) ∈ L2 und

ωh(ω) ∈ L2 ⇔ h′ ∈ L2.

Fur die Hilfsfunktion g(t) := t|h(t)|2 gilt

g ∈ L1, weil h und th(t) in L2 liegen (Cauchy–Schwarz–Ungl.),

d

dtg(t) = |h(t)|2︸︷︷︸

∈L1

+2Re [th(t)︸︷︷︸∈L2

h′(t)︸︷︷︸∈L2

] ∈ L1.

Hieraus folgt zunachst

limt→±∞

g(t) = 0.

Wir erhalten also

∆2(h) =12π

∫ ∞

−∞ω2|h(ω)|2dω =

∫ ∞

−∞|h′(t)|2dt = ‖h′‖22,

indem wir die Parseval–Identitat anwenden, und hieraus

∆(h) ·∆(h) = ‖th(t)‖2 · ‖h′‖2C.S.≥

∫ ∞

−∞

∣∣∣th(t)h′(t)∣∣∣ dt

≥ −Re∫ ∞

−∞th(t)h′(t)dt

=12

(‖h‖22 −

∫ ∞

−∞

d

dtg(t) dt

)=

12,

wegen ‖h‖2 = 1 und∫∞−∞ g′(t) dt = 0.

Die Gleichheit gilt genau dann, wenn

(i) −Re th(t)h′(t) = |th(t)h′(t)| und somit die zweite Ungleichung eine Gleichheitwird, und

(ii) |th(t)| = α|h′(t)| mit α > 0 und somit die Cauchy–Schwarz–Ungleichung eineGleichung wird.

Somit ist −th(t)h′(t) reell, nicht negativ fur alle t ∈ R, und

th(t)h′(t) = −|th(t)h′(t)| − α|h′(t)|2 = −αh′(t)h′(t)mit(ii)⇒ th(t) = −αh′(t), also h′ stetig

⇒ h(t) = ce−t2/(2α), c ∈ R.

Beispiel 3.35. Das Gaußfenster gα(x) = 12√

παe−t2/4α mit

∫∞−∞ gα(x) dx = 1 hat

t∗ = 0 (wegen gα(x) = gα(−x)). Es gilt gα(ω) = e−αω2. Also ist ω∗ = 0 (wegen

gα(ω) = gα(−ω)), und ∆(gα) = α1/2, ∆(gα) = 12√

α.

6. DIE GEFENSTERTE FOURIER–TRANSFORMATION 41

6. Die gefensterte Fourier–Transformation

Die Fourier–Transformation liefert Informationen uber den Gesamt–Frequenzinhalteines Signals. Fur eine detailliertere Analyse von Signalen ist jedoch der zeitlicheVerlauf des Frequenzinhalts von Interesse. Das fuhrt zu dem Begriff der Zeit–Frequenz–Analyse.Als erste Methode zur Zeit–Frequenz–Analyse von Signalen hat Dennis Gabor 1946die gefensterte (oder Kurzzeit–) Fourier–Transformation eingefuhrt (im Englischen:’windowed Fourier transform’ = WFT, ’short time Fourier transform’ = STFT).

Definition 3.36. Sei g ∈ L2(R) mit ‖g‖2 = 1 eine Hilfsfunktion. Die gefensterteFourier–Transformierte der Funktion f ∈ L2(R) bzgl. g wird durch

Fgf : R× R→ C

Fgf(ω, t) :=∫ ∞

−∞f(u)g(u− t)e−iωudu

definiert. Die Abbildung f 7→ Fgf heißt die gefensterte Fourier-Transformationbzgl. der Fenster–Funktion g (die so gewahlt wird, dass sie eine Lokalisierung imZeitbereich bewirkt; z.B. als Gauss–Funktion). Mit

gω,t(u) := g(u− t)eiωu erhalt man Fgf(ω, t) = 〈f, gω,t〉.Die Funktion gω,t kann man sich als harmonische Schwingung der Frequenz ω, gese-hen durch das Fenster g beim Zeitpunkt t, vorstellen (falls g um t0 = 0 lokalisiertist).

Ubung 3.37. Beweisen Sie, dass gilt:

Fgf(ω, t) =12π

e−itω

∫ ∞

−∞f(u)g(u− ω)eitudu.

Somit stellt g eine Fenster–Funktion im Frequenzbereich dar.

Ubung 3.38. a) Fur g(u) := e−u2stellen Sie Re(gω,t) graphisch dar (fur festes

(ω, t) ∈ R2).b) Gegeben sei die Funktion

f(t) =

t, 0 ≤ t < 1,2− t, 1 ≤ t ≤ 2,0, sonst.

Skizzieren Sie das Heisenberg–Fenster (= Zeit–Frequenz–Fenster) von f . Berech-nen Sie dazu zunachst alle erforderlichen Großen: den mittleren Zeitpunktt∗(f), die mittlere Frequenz ω∗(f), die Signalbreite ∆(f), die Bandbreite ∆(f)(evtl. mit Hilfe eines Computer–Algebra–Systems). Verifizieren Sie in diesemkonkreten Fall die Heisenbergsche Unscharferelation.

c) Sei g ∈ L2(R) im Zeitbereich um t∗(g) = 0 mit Signalbreite ∆(g) und im Fre-quenzbereich um ω∗(g) = 0 mit Bandbreite ∆(g) lokalisiert. Sei (ω, t) ∈ R2 festgewahlt. Zeigen Sie, dass die Funktion gω,t um den Punkt (t, ω) lokalisiert ist,mit Signalbreite ∆(gω,t) = ∆(g) und Bandbreite ∆(gω,t) = ∆(g).

Zusatze zu Kapitel 2: KontinuierlicheWavelet–Transformation

Motivation. Das Abklingverhalten der Fourier–Transformation f(ω) fur |ω| → ∞spiegelt die Glattheit von f wider, ohne jedoch die Stelle der “Singularitat” vonf (Unstetigkeitsstelle von f , f ′ etc.) anzugeben. Dagegen stellt die Wavelet–Transformation (WT) sowohl Informationen uber die Art der Singularitat, als auchuber die Stelle, an der die Singularitat vorliegt, bereit.

Mit Hilfe der Fourier-Transformation wird nun die folgende neue Definition einesWavelets angegeben.

Definition 2.17. (Wavelet)

Eine Funktion ψ ∈ L2(R) heißt Wavelet, wenn

0 < Cψ :=∫ ∞

−∞

|ψ(ω)|2|ω| dω < ∞.(2.10)

Ubung 2.18. Sei ψ ∈ L2(R) so, dass∑

j∈Z|ψ(2−jω)|2 = konstant =: Dψ.

Zeigen Sie, dass ψ ein Wavelet ist mit Cψ = 2 ln 2 ·Dψ.

Bemerkung 2.19. Wegen ψ ∈ L2(R) ist das Integral in (2.10) genau dann endlich,wenn ∫ δ

−δ

|ψ(ω)|2|ω| dω < ∞

fur ein δ > 0 gilt. Entscheidend ist also das Verhalten von ψ in einer Umgebungvon ω = 0. Falls ψ stetig in 0 ist, so ist ψ(0) = M0(ψ) = 0 notwendig fur dieExistenz des Integrals, also hat ψ ein verschwindendes Moment. Dies zeigt, dassbeide Definitionen 2.6 und 2.17 ungefahr die gleiche Funktionenklasse beinhalten.

Bemerkung 2.20. Die kontinuierliche Wavelet-Transformation ist definiert als

(2.11) Wψf(a, b) = 〈f, ψa,b〉, ψa,b(x) = |a|−1/2ψ

(x− b

a

).

Die FT von ψa,b lasst sich mit den einfachen Rechenregeln berechnen als

ψa,b(ω) = |a|1/2e−ibωψ(aω).(2.12)

43

44 ZUSATZE ZU KAPITEL 2: KONTINUIERLICHE WAVELET–TRANSFORMATION

Die Plancherel–Identitat fuhrt (2.11) uber in

(Wψf)(a, b) =12π〈f , ψa,b〉 =

√|a|

2π

∫ ∞

−∞f(ω)ψ(aω)eibω dω.

Dies ist eine Formel der “Kurzzeit–Fouriertransformation” (oder Fenster–FT) furf , wobei die Fensterfunktion ga(ω) :=

√|a|ψ(aω) mit dem Skalierungsparameter a

gedehnt oder gestaucht wird.

Gleichzeitig bewirkt der Skalierungsfaktor a eine Frequenzverschiebung. Sei dazu‖ψ‖22 = 1

2π‖ψ‖22 = 1 vorausgesetzt. Die Parameter

t∗ = t∗(ψ) =∫

Rt|ψ(t)|2 dt, ∆(ψ) =

(∫

R(t− t∗)2|ψ(t)|2 dt

)1/2

,

wurden in (3.8) und (3.10) definiert. Im Unterschied zu den Definitionen fur ψsetzen wir(2.13)

ω∗+ = ω∗+(ψ) =1π

∫ ∞

0

ω|ψ(ω)|2 dω), ∆+(ψ) =(

1π

∫ ∞

0

(ω − ω∗+)2|ψ(ω)|2 dω))1/2

.

Hier werden also nur Frequenzen ω ∈ [0,∞) berucksichtigt. Dies ist insbesonderefur reelle Funktionen ψ : R → R sinnvoll, da ja durch ψ(−ω) = ψ(ω) die nega-tiven Frequenzen keine zusatzliche Information enthalten. Ahnlich zum Beweis derHeisenbergschen Unscharferelation zeigt man

(2.14) ∆(ψ)∆+(ψ) >12

fur alle ψ. (Gleichheit wird nie erreicht.)

Wird ψ nun mit a 6= 0 skaliert und b ∈ R verschoben, so ergibt sich durch einfacheRechnung

t∗(ψa,b) = b + a · t∗(ψ), ∆(ψa,b) = a ·∆(ψ),

ω∗+(ψa,b) = ω∗+(ψ)/a, ∆+(ψa,b) = ∆+(ψ)/a.

Das Zeit-Frequenz-Fenster von ψa,b ist also gegeben durch

(b + a · [t∗(ψ)−∆(ψ), t∗(ψ) + ∆(ψ)])×(

1a· [ω∗+(ψ)−∆+(ψ), ω∗+(ψ) + ∆+(ψ)]

).

Insbesondere ergibt die Skalierung wegen ω∗+(ψ) > 0 nicht nur eine Dehnung/Stauchungdes Frequenzintervalls, sondern gleichzeitig eine Verschiebung auf der positiven Fre-quenzachse. Skaliert man z.B. mit Zweierpotenzen 2, 4, 8, . . ., so entstehen “Ok-taven” im Frequenzbereich, die zur Analyse akustischer Signale sinnvoll verwen-det werden konnen. Diese Bedeutung des Skalierungsparameters a als gleichzeit-iger Dehnungs- und Verschiebungs-Parameter im Frequenzbereich ist zentral zumVerstandnis der Wavelet-Transformation.

Ubung 2.21. Fuhren Sie den Beweis der modifizierten Unscharferelation (2.14)aus.

ZUSATZE ZU KAPITEL 2: KONTINUIERLICHE WAVELET–TRANSFORMATION 45

Die Frage nach der Injektivitat von Wf wird durch die Calderon1-Identitat beant-wortet, die fur die CWT von Grossmann und Morlet (1984) angegeben wurde.

Satz 2.22. Sei ψ ∈ L2(R) ∩ L1(R) ein Wavelet mit Cψ in (2.10). Dann gilt furalle f, g ∈ L2(R)

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞(Wψf)(a, b)(Wψg)(a, b) db

da

a2= Cψ〈f, g〉.

Beweis. Die Funktionen Fa(ω) = |a|1/2f(ω)·ψ(aω) und Ga(ω) = |a|1/2g(ω)·ψ(aω)sind in L2(R) (weil ψ ∈ L1, also ψ beschrankt). Die Plancherel–Identitat liefert

(Wψf)(t, a) = 〈f, ψt,a〉 =12π〈f , ψt,a〉

=12π

∫ ∞

−∞Fa(ω)eitω =

12π

Fa(−t).

Ebenso erhalten wir (Wψg)(t, a) = 12π Ga(−t). Nochmalige Anwendung der Plancherel–

Identitat ergibt∫ ∞

−∞(Wψf)(t, a)(Wψg)(t, a) dt =

14π2

〈Fa, Ga〉

=12π〈Fa, Ga〉

=|a|2π

∫ ∞

−∞f(ω)g(ω) · |ψ(aω)|2dω.

Aus

Cψ =∫ ∞

−∞

|ψ(ω)|2|ω| dω = |a|

∫ ∞

−∞

|ψ(aω)|2|aω| dω

folgt weiter∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞(Wψf)(t, a)(Wψg)(t, a) dt

da

a2=

12π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(ω)g(ω) · |ψ(aω)|2dω

da

|a|

=12π

∫ ∞

−∞f(ω)g(ω)

[∫ ∞

−∞

|ψ(aω)|2|a| da

]dω

=Cψ

2π〈f , g〉 = Cψ〈f, g〉.

Bemerkung 2.23. a) Auf R∗ = R\0 (= multiplikative Gruppe von R) ist durchdaa2 das kanonische Maß definiert. Das kartesische Produkt R∗ × R wird mitdem Maß da

a2 dt versehen. Der Raum L2(R∗ × R, da

a2 dt)

enthalt alle quadrat–integrierbaren Funktionen bzgl. dieses Maßes, d.h.

h ∈ L2

(R∗ × R,

da

a2dt

)⇔

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞|h(a, t)|2 da

a2dt < ∞.

Die Bilder Wψf des Operators Wψ bilden also einen Teilraum V ⊂ L2(R∗ × R, da

a2 dt).

Satz 2.22 erklart, dass 1√Cψ

Wψ eine Isometrie von L2(R) auf V ist, daher ist

V sogar abgeschlossen.

1Alberto P. Calderon, 1920–1998, beruhmt fur Arbeiten zu “Singularen Integralen”


b) Die Calderon–Identitat kann auch geschrieben werden als

(2.15) f =1

Cψ

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞(Wψf)(t, a)ψt,a dt

da

a2, f ∈ L2(R),

wobei die Gleichheit im Sinne der schwachen Konvergenz zu verstehen ist. De-shalb wird die Formel auch ”resolution of identity” (ROI) genannt.

c) Die Calderon-Identitat gilt sogar allgemeiner: Seien ψ1 und ψ2 Wavelets. Falls

Cψ1,ψ2 :=∫ ∞

−∞

ψ1(ω)ψ2(ω)|ω| dω 6= 0

gilt, so erhalten wir die Identitat

Cψ1,ψ2〈f, g〉 =∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞(Wψ1f)(t, a)(Wψ2g)(t, a) dt

da

a2.

Damit kann (bei Wahl von ψ1 ∈ L2(R), ψ2 ∈ L2(R) mit tψ2(t), ωψ2(ω) ∈ L2(R))sogar punktweise Konvergenz in der ROI–Identitat erzielt werden, i.e.,

Cψ1,ψ2f(x) = limA1→0

A2→∞

∫

A1≤|a|≤A2

∫ ∞

−∞Wψ1f(t, a)ψ2,t,a(x) dt

da

a2

fur beschranktes f ∈ L2(R) in jedem Stetigkeitspunkt von f (siehe Daubechies”Ten Lectures on Wavelets”, Proposition 4.2).

Wir kommen nun zu den noch ausstehenden Beweisen der zweiten Teile in Satz 2.14und Satz 2.15.

Beweis. Es seien r ∈ N0 und r < α = r + β < r + 1 gegeben. Die Teile (ii) vonSatz 2.14 und Satz 2.15 werden in 4 Schritten bewiesen.

Schritt 1. Wir verwenden die Identitat (2.15) mit einem zweiten Wavelet ψ1 ∈L2(R), das beschrankt, (r +1)-mal stetig differenzierbar ist und kompakten Tragerhat. Weiterhin sei ψ1 so normalisiert, dass Cψ,ψ1 = 1 gilt. Aus (2.15) folgt dannf(x) = fS(x) + fL(x) mit

fS(x) =∫

|a|≤1

|a|− 12

∫ ∞

−∞Wψf(a, b)ψ1

(x− b

a

)db

da

a2

fur ”feine” Skalen (engl. ’small scales’), und

fL(x) =∫

|a|>1

|a|− 12

∫ ∞

−∞Wψf(a, b)ψ1

(x− b

a

)db

da

a2

fur ”grobe” Skalen (engl. ’large scales’).

Schritt 2. Wir zeigen, dass fL und fS r-mal differenzierbar sind und dass alleAbleitungen bis zur Ordnung r stetig und beschrankt sind. Hierzu zeigen wir,dass die Ableitungen durch Differenzieren des Integranden (nach x) erzielt werden.Da ψ1 kompakten Trager besitzt, sind sowohl ψ1 als auch die Ableitungen ψ

(k)1 ,

0 ≤ k ≤ r + 1, beschrankt. Aus |Wψf(a, b)| ≤ ‖ψ‖2 ‖f‖2 (siehe (2.1) folgt fur


0 ≤ k ≤ r + 1

∫

|a|≥1

|a|− 12

∫ ∞

−∞|Wψf(a, b)|

∣∣∣∣a−kψ(k)1

(x− b

a

)∣∣∣∣ dbda

a2

≤ ‖ψ‖2 ‖f‖2∫

|a|≥1

|a|−k−3/2

∫ ∞

−∞

∣∣∣∣a−1ψ(k)1

(x− b

a

)∣∣∣∣ db

︸︷︷︸=‖ψ(k)

1 ‖1

da < ∞.

Also ist die Funktion fL sogar r +1-mal stetig differenzierbar. Die Ableitungen biszur Ordnung r + 1 sind beschrankt durch

|f (k)L (x)| ≤ 2

2k + 1‖ψ(k)

1 ‖1 ‖ψ‖2 ‖f‖2.

Zur Diskussion von fS verwenden wir den Parameter γ aus (2.6) in Satz 2.15 bzw.γ := α aus (2.4). Dann erhalten wir fur 0 ≤ k ≤ r ganz ahnlich

∫|a|≤1

|a|− 12

∫∞−∞ |Wψf(a, b)|

∣∣∣a−kψ(k)1

(x−b

a

)∣∣∣ db daa2

≤ K∫|a|≤1

|a|γ−k−1‖ψ(k)1 ‖1 da < ∞.

Die letzte Ungleichung folgt aus γ − r− 1 > −1. Damit sind auch die Ableitungenvon fS bis zur Ordnung r gegeben durch die Differentiation unter dem Integral. Siesind jeweils beschrankt durch

|f (k)S (x)| ≤ 2K

γ − k‖ψ(k)

1 ‖1.

Schritt 3. Die Beschranktheit der r-ten Ableitungen ergibt bereits die LipschitzBedingung zum Exponenten 1 fur große Differenzen h := |x − y|. Ist supp ψ1 ⊂[−R, R] mit R > 0, so wahlen wir h0 = 1/(2R + 2) und erhalten fur alle |h| ≥ h0

und x ∈ R (bzw. x = x0 fur die lokale Abschatzung)

|g(x + h)− g(x)| ≤ |g(x + h)|+ |g(x)| ≤ 2‖g‖∞ ≤ (4R + 4)‖g‖∞ · |h|.

Daruber hinaus ist f(r)L sogar (global) Holder-stetig mit Exponent 1, da f

(r+1)L

beschrankt ist.

Schritt 4. Wir betrachten nun die Holder-Stetigkeit der r-ten Ableitung

(2.16) f(r)S (x) =

∫

|a|≤1

|a|−r− 12

∫ ∞

−∞Wψf(a, b)ψ(r)

1

(x− b

a

)db

da

a2.


Dazu sei wieder supp ψ1 ⊂ [−R, R] vorausgesetzt. Unter der Voraussetzung Wψf(a, b)| ≤K|a|α+ 1

2 aus Satz 2.14 folgt fur 0 < h < 1, dass

|f (r)S (x + h)− f

(r)S (x)|

≤ K∫0<|a|≤h

|a|α−r∫∞−∞

(∣∣∣ψ(r)1

(x+h−b

a

)∣∣∣ +∣∣∣ψ(r)

1

(x−b

a

)∣∣∣)

db daa2

+K∫

h<|a|≤1|a|α−r

∫∞−∞

∣∣∣∣ψ(r)1

(x + h− b

a

)− ψ

(r)1

(x− b

a

)∣∣∣∣︸︷︷︸

=0, falls |x−b|>|a|R+h

db daa2

≤ 2K∫0<|a|≤h

|a|α+1−r‖ψ(r)1 ‖1 da

a2 + 2K∫

h<|a|≤1|a|α−r(|a|R + h)h‖ψ(r+1)

1 ‖∞ daa2

= 4K‖ψ(r)1 ‖1 hα−r

α−r + 4K‖ψ(r+1)1 ‖∞

(Rh 1−hα−r

α−r + h2 hα−1−r−1r+1−α

)

= Chα−r.

Also ist auch fS Holder–stetig zum Exponenten α.

Wir verwenden nun die Voraussetzungen aus Satz2.15(ii) sowie die Bezeichnungenγ = r + σ, α = r + β und die vereinfachende Annahme x0 = 0. Weiterhin konnenwir o.B.d.A. auch β > σ annehmen, da die Aussage sonst schon aus Satz 2.14 folgt.Dann ergibt sich

|f (r)S (h)− f

(r)S (0)|

≤ K∫0<|a|≤hβ/σ |a|σ

∫∞−∞

∣∣∣ψ(r)1

(h−b

a

)∣∣∣ db daa2

+K∫

hβ/σ<|a|≤h

∫∞−∞

(|a|β + |b|β

1+| log |b||) ∣∣∣ψ(r)

1

(h−b

a

)∣∣∣ db daa2

+K∫0<|a|≤h

∫∞−∞

(|a|β + |b|β

1+| log |b||) ∣∣∣ψ(r)

1

(−ba

)∣∣∣ db daa2

+K∫

h<|a|≤1

∫∞−∞

(|a|β + |b|β

1+| log |b||) ∣∣∣ψ(r)

1

(h−b

a

)− ψ(r)1

(−ba

)∣∣∣ db daa2 .

Bezeichnen wir die vier Integrale auf der rechten Seite mit T1 bis T4, so wird weiterabgeschatzt

T1 ≤ K

∫

0<|a|≤hβ/σ

|a|σ−1‖ψ(r)1 ‖1 da ≤ C1|h|β .

Betrachten wir nun T2. Mit h0 = 1/(2R + 2) aus Schritt 3 und |a| ≤ |h| ≤ h0 folgtaus ψ

(r)1

(h−b

a

) 6= 0 sofort |b| ≤ |a|R + h ≤ h(R + 1) ≤ 1/2. Die Monotonie der

Funktion |b|β1+| log |b|| auf (0, 1/2] ergibt

|b|β1 + | log |b|| ≤

(h(R + 1))β

1 + | log(h(R + 1))| ≤(h(R + 1))β

| log h| .


Nun folgt

T2 ≤ K∫

hβ/σ<|a|≤h

(|a|β−1 + |a|−1 (h(R+1))β

| log h|)‖ψ(r)

1 ‖1 da

≤ C2|h|β[1 + 1

log h

∫

hβ/σ<|a|≤h

|a|−1 da

︸︷︷︸=2| log h|(β/σ−1)

]

≤ C ′2|h|β .

Fur T3 erhalten wir analog aus ψ1(−b/a) 6= 0 die Beziehung |b| ≤ |a|R ≤ 1/2, alsoauch

|b|β1 + | log |b|| ≤

(|a|R)β

1 + | log(|a|R)| ≤ C|a|β .

Daraus folgt einfacher als bei T2 die Abschatzung

T3 ≤ C3

∫

0<|a|≤h

|a|β−1 da = C ′3hβ .

Bei T4 verwenden wir wieder∣∣∣∣ψ

(r)1

(x + h− b

a

)− ψ

(r)1

(x− b

a

)∣∣∣∣

= 0, falls |b| > |a|R + h,

≤ h|a|‖ψ

(r+1)1 ‖∞, falls |b| ≤ |a|R + h.

Wegen |a|R + h ≤ (R + 1)|a| fur alle h ≤ |a| ≤ 1 ergibt sich nun

T4 ≤ 2Kh‖ψ(r+1)1 ‖∞

∫

h<|a|≤1

|a|−3(|a|R + h)(|a|β + (|a|R + h)β

)da

≤ C4h

∫

h<|a|≤1

|a|−2+β da ≤ C ′4hβ .

Insgesamt folgt also die Behauptung von Satz 2.14(ii).

Bemerkung 2.24. a) Der Term |b − x0|α in der Charakterisierung der lokalenLipschitz-Stetigkeit gibt den “Einflussbereich” einer isolierten Singularitat vonf an einer Stelle x0 an. Nehmen wir an, dass f stetig differenzierbar in R\x0und Holder-stetig zum Exponenten 0 < α < 1 an der Stelle x0 ist. Weiter geltesupp ψ ⊂ [−c, c] mit einem c > 0. Dann wirkt sich die Singularitat uberhauptnicht auf die Werte Wψf(a, b) mit |b − x0| > ac aus. Also erhalten wir dieAbschatzung genau wie in der globalen Lipschitz-Stetigkeit

|Wψf(a, b)| ≤ K|a|3/2, falls |b− x0| > ac.

Fur kleine Werte von |a| wird sich die Singularitat von f nur innerhalb desKegels

Kx0;c(a, b); a 6= 0, b ∈ [x0 − ac, x0 + ac]anhand der Große O(|a|α+1/2) zeigen.

Man kann also einen Schatzwert fur den lokalen Holder-Exponenten an derStelle x0 erzielen, indem man

lim infa→0

max|b−x0|≤ac

(ln |Wψf(a, b)|

ln |a| − 1/2)

bestimmt.


Hierbei ist eine naturliche Grenze durch die Anzahl L der verschwindendenMomente von ψ gegeben. Will man also einen großen Bereich von Holder-Exponenten abdecken, muss man von vornherein ein Wavelet ψ mit mehrerenverschwindenden Momenten verwenden.

b) Eine Vermutung von Mallat besagt: Die relativen Extrema von Wψf(2j , t) mitj ∈ Z (als Funktionen von t) liefern eine vollstandige Beschreibung von f . DieseVermutung ist falsch, dennoch fuhren auf diesen Extrema basierende Rekon-struktionsalgorithmen (ahnlich zur ROI) haufig auf gute Approximationen vonf .

Ubung 2.25. Fuhren Sie die Untersuchung zur Schatzung des lokalen Holder-Exponenten fur die Funktion aus Ubung 2.9 durch.

KAPITEL 4

Die diskrete Wavelet-Transformation

1. Die Grundidee

Wir wenden uns nun der Betrachtung von Orthonormalbasen des HilbertraumsL2(R) zu. Die beim Haar-Wavelet (1.10) beobachtete Struktur legen wir der fol-genden Definition zu Grunde.

Definition 4.1. (Orthogonales Wavelet)

Die Funktion ψ ∈ L2(R) sei ein Wavelet im Sinne der Definition 2.17. Wir setzen

(4.1) ψj,k := 2j/2ψ(2j · −k) = 2j/2ψ(2j(· − k2−j)), j, k ∈ Z.

Falls die Familie Ψ = ψj,k; j, k ∈ Z eine Orthonormalbasis von L2(R) ist, soheißt ψ ein orthogonales Wavelet.

Wir werden noch Methoden kennenlernen, um orthogonale Wavelets mit gewis-sen Zusatzeigenschaften zu konstruieren. Besonders wunschenswert ist dabei dieBerucksichtigung der folgenden Eigenschaften von ψ:

• beliebig hohe Anzahl verschwindender Momente,• beliebig hohe Glattheit,• die Eigenschaft, dass ψ kompakten Trager hat.

Die Kombination aller drei Eigenschaften wurde in den 1980’er Jahren als wichtigesProblem der “Harmonischen Analysis” angesehen. 1988 gab I. Daubechies1 dieerste erfolgreiche Konstruktion solcher Funktionen ψ an. Ahnliche Konstruktionenwurden unter dem Namen “φ-Transformation” fast zeitgleich von M. Frazier und B.Jawerth2 angegeben. Seither nimmt die Wavelet-Analysis (oder Wavelet-Theorie)einen wichtigen Platz in der Angewandten Mathematik ein.

Wir fuhren die folgenden Notationen ein.

Bezeichnung 4.2. Zu einem orthogonalen Wavelet ψ definieren wir die Waveletraume

(4.2) Wj := clos L2(R)span ψj,k; k ∈ Z, j ∈ Z,

sowie die orthogonalen Projektionen

(4.3) Qj : L2(R) → Wj , Qjf =∑

k∈Z〈f, ψj,k〉 ψj,k.

1Ingrid Daubechies, geb. 1954 in Belgien, seit 1993 Professorin an der Princeton University2Michael Frazier, Michigan State University, Bjorn Jawerth, University of South Carolina

51

52 4. DIE DISKRETE WAVELET-TRANSFORMATION

Zu f ∈ L2(R) setzen wir weiterhin

(4.4) bj(f) = (bj,k(f); k ∈ Z), bj,k(f) = 〈f, ψj,k〉.

Einige einfache Aussagen folgen direkt aus der Definition.

Feststellung 4.3. Fur ein orthogonales Wavelet ψ gelten die folgenden Aussagen.

a) Die Familie ψj,k; k ∈ Z ist eine Orthonormalbasis von Wj fur j ∈ Z.b) Die Waveletraume Wj, j ∈ Z, sind paarweise orthogonal.c) Es gilt die Zerlegung

L2(R) = clos L2(R)

∞⊕

j=−∞Wj

,

wobei ⊕ die direkte Summe (hier sogar: orthogonale Summe) von Vektorraumenbezeichnet. Mit anderen Worten: fur jedes f ∈ L2(R) gilt

f =∞∑

j=−∞Qjf, 〈Qjf,Q`f〉 = 0 falls j 6= `.

Weiterhin gilt

‖f‖22 =∞∑

j=−∞‖Qjf‖22 =

∞∑

j=−∞‖bj(f)‖2`2(Z).

Der Skalierungsparameter a = 2−j , j ∈ Z, wird also zur “Sortierung” der Wavelet-Basis Ψ verwendet. Ein weiteres wichtiges Hilfsmittel wird durch folgenden Begriffeingefuhrt.

Definition 4.4. (Skalenraum)

Der Vektorraum

Vj := clos L2(R)

(j−1⊕

`=−∞W`

)

heißt Skalenraum zum Wavelet ψ. Mit

Pj : L2(R) → Vj , Pjf =j−1∑

`=−∞Q`f

bezeichnen wir die orthogonale Projektion auf Vj.

Die folgenden Eigenschaften der Skalenraume Vj zum Wavelet ψ sind wieder einfachnachzuweisen.

Feststellung 4.5. a) Die Skalenraume Vj, j ∈ Z, sind ineinander geschachtelt,d.h.

· · · ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ L2(R).

1. DIE GRUNDIDEE 53

b) Sie erfullen die Dichtheitsrelation

(4.5) clos L2(R)

∞⋃

j=−∞Vj

= L2(R)

und die Trennungsrelation

(4.6)∞⋂

j=−∞Vj = 0.

c) Vj besitzt die orthogonalen Zerlegungen

Vj = Wj−1 ⊕ Vj−1 = Wj−1 ⊕Wj−2 ⊕ · · · ⊕Wj−n ⊕ Vj−n

fur beliebiges n ∈ N. Insbesondere gilt fur jedes f ∈ Vj die Zerlegungsrelation

f = Pjf= Qj−1f + Pj−1f...= Qj−1f +Qj−2f + · · ·+Qj−nf + Pj−nf.

d) Vj ist orthogonal zu allen Wj+n mit n ≥ 0.

Beweis: Bis auf die Trennungsrelation folgen alle Aussagen direkt aus der Defini-tion. Sei also f ∈ ⋂∞

j=−∞ Vj . Dann gilt f ∈ Vj fur alle j ∈ Z, mit Teil d) also auchf ⊥ Wj fur alle j ∈ Z. Damit ist

f ⊥ clos L2(R)

∞⊕

j=−∞Wj

= L2(R),

also f = 0.

Aufgrund der Definition der Funktionen ψj,k durch die Skalierung der Funktion ψergibt sich die folgende “Skalierungs-Invarianz”.

Feststellung 4.6. Fur j ∈ Z gelten die Beziehungen

f ∈ Wj ⇐⇒ f(2−j ·) ∈ W0,

f ∈ Vj ⇐⇒ f(2−j ·) ∈ V0.

Beweis: Die Elemente von Wj sind genau die Funktionen der Form

f =∞∑

k=−∞bk 2j/2ψ(2j · −k),

wobei die Folge (bk)k∈Z quadrat-summierbar ist. Also ist f ∈ Wj genau dann, wenn

f(2−j ·) =∞∑

k=−∞ckψ(· − k),

wobei die Folge (ck)k∈Z = (2j/2bk)k∈Z quadrat-summierbar ist. Dies ist gleichbe-deutend mit der Aussage, dass f ∈ W0 gilt. Weiterhin konnen wir sogar schließen:f ∈ Wj ⇐⇒ f(2−`·) ∈ Wj−` fur alle ` ∈ Z.


Die Elemente von Vj sind genau die Elemente der Form

f =j−1∑

`=−∞f`,

wobei f` ∈ W` und∑j−1

`=−∞ ‖f`‖2 < ∞ gilt. Also ist f ∈ Vj genau dann, wenn

f(2−j ·) =j−1∑

`=−∞g` =

−1∑

`=−∞gj+`

gilt, wobei die Funktionen g` := f`(2−j ·) ∈ W`−j die Beziehung

j−1∑

`=−∞‖g`‖2 = 2j

j−1∑

`=−∞‖f`‖2 < ∞

erfullen. Dies ist wiederum gleichbedeutend mit f(2−j ·) ∈ V0.

2. Shift-Invarianz

Nun soll die Struktur der einzelnen Waveletraume Wj und der Skalenraume Vj

untersucht werden. Hierzu dient der folgende Begriff.

Definition 4.7. Es sei G ⊂ R eine Untergruppe der additiven Gruppe (R, +).Ein Funktionenraum V komplexer Funktionen auf R heißt G-shift-invariant (oderG-verschiebungsinvariant), wenn fur alle f ∈ V , y ∈ G auch f(· − y) ∈ V gilt.

Beispiel 4.8. (i) Die ublichen Funktionenraume C(R), Ck(R), k ∈ N, C∞(R),C0(R), Ck

0 (R), k ∈ N, C∞0 (R), Lp(R), 1 ≤ p ≤ ∞, sind shift-invariant bzgl.G = R. Z.B. gilt

‖f‖p = ‖f(· − y)‖p fur alle y ∈ R.

(ii) Der Raum der bandbeschrankten Funktionen

PWB := f ∈ L2(R) | f(ω) = 0 fur alle |ω| > Bist ebenfalls R-shift-invariant. Ein beruhmtes Resultat uber shift-invarianteRaume lautet: Zu jedem shift-invarianten abgeschlossenen Teilraum V ⊂ L2(R)existiert eine messbare Menge K, so dass

V = f ∈ L2(R) | f(ω) = 0 fur alle |ω| /∈ K.(Siehe H. Helson, Lectures on Invariant Subspaces, New York [u.a.] Acad.Press, New York, 1964 (FBB Mathematik b 341/Hels))

(iii) Z ⊂ R ist eine additive Untergruppe. Der Raum der Treppenfunktionen mitSprungstellen in Z ist Z-shift-invariant.

Ubung 4.9. Zeigen Sie, dass der Raum

V0 = f ∈ L1(R); f(0) = 0shift-invariant bzgl. R ist.

2. SHIFT-INVARIANZ 55

Die Bedeutung des Verschiebungsparameters k bei der Definition der Funktionen

ψj,k = 2j/2ψ(2j(· − k2−j)), k ∈ Z,

in (4.1) lasst folgenden Schluss zu.

Hilfssatz 4.10. Der Waveletraum Wj und der Skalenraum Vj sind shift-invariantbzgl. der additiven Untergruppe 2−jZ ⊂ R.

Beweis: Fur f =∑∞

k=−∞ bkψj,k ∈ Wj und ` ∈ Z gilt

f(· − `2−j) = 2j/2∞∑

k=−∞bkψ(2j(· − (k + `)2−j)) =

∞∑

k=−∞bk−`ψj,k ∈ Wj .

Also ist Wj shift-invariant bzgl. 2−jZ.

Fur Vj verwenden wir ein anderes Argument. Zunachst definieren wir den Raum

(4.7) Xj := clos L2(R)

( ∞⊕n=0

Wj+n

).

Nach Feststellung 4.5(d) gilt Vj ⊥ Xj . Andererseits folgt aus der Dichtheitsrelation(4.5) auch

Vj ⊕Xj = L2(R).

Also muss Vj = (Xj)⊥ gelten (orthogonales Komplement von Xj). Nun ist aberXj shift-invariant bzgl. 2−jZ, da jeder Summand in (4.7) diese Eigenschaft besitzt(denn: 2−(j+n)Z enthalt 2−jZ fur alle n ≥ 0). Fur beliebige f ∈ Vj , g ∈ Xj und` ∈ Z gilt

〈f(· − `2−j), g〉 = 〈f, g(·+ `2−j)︸︷︷︸∈Xj

〉 = 0.

Hieraus folgt f(· − `2−j) ∈ (Xj)⊥ = Vj , und damit die Behauptung.

Bemerkung 4.11. Wegen der Skalierungsinvarianz von Feststellung 4.6 hatte esgenugt, zu zeigen, dass W0 und V0 jeweils Z-shift-invariant sind.

Wir wollen nun eine analytische Bedingung fur ψ herleiten, die die Eigenschaft, dassΨ = ψj,k ein Orthonormalsystem (aber nicht unbedingt eine Orthonormalbasisvon L2(R)) ist, charakterisieren. Hierzu wird die Fourier-Transformierte ψ ∈ L2(R)verwendet. Zur Vereinfachung fuhren wir noch die folgende Notation eines “innerenProdukts” ein.

Bezeichnung 4.12. Fur f , g ∈ L2(R) definieren wir das Klammerprodukt (engl.“bracket product”)

(4.8) [f , g](ω) :=∑

k∈Zf(ω + 2kπ)g(ω + 2kπ), ω ∈ R.

Einige Eigenschaften des Klammerprodukts fasst der folgende Hilfssatz zusammen.


Hilfssatz 4.13. a) Fur f , g ∈ L2(R) gilt

(4.9)∫ 2π

0

[f , g](ω) dω =∫ ∞

−∞f(ω)g(ω) dω = 〈f , g〉

sowie

(4.10)∫ 2π

0

|[f , g](ω)| dω ≤ ‖f‖2 ‖g‖2.

Insbesondere ist also [f , g] ∈ L1((0, 2π)).b) Fur fast alle ω ∈ R gilt die punktweise Abschatzung

(4.11) |[f , g](ω)| ≤([f , f ](ω) · [g, g](ω)

) 12

.

c) Es gelten die Eigenschaften eines inneren Produkts, also

1. [f , f ] ≥ 0 und ([f , f ] ≡ 0 ⇐⇒ f = 0)2. [f , g] = [g, f ],3. [af1 + bf2, g] = a[f1, g] + b[f2, g], a, b ∈ C.

d) Ist τ : R→ C eine 2π–periodische messbare Funktion mit τ f ∈ L2(R), so gilt

(4.12) [τ f , g](ω) = τ(ω) · [f , g](ω).

e) Ist die Autokorrelation

F (x) =∫

Rf(t)f(t + x) dt

der Funktion f ∈ L2(R) von beschrankter Variation, so gilt fur alle ω ∈ R(4.13) [f , f ](ω) =

∑

k∈ZF (k) · e−ikω.

Ubung 4.14. Beweisen Sie die Eigenschaft e) aus dem obigen Hilfssatz.

Das Klammerprodukt erweist sich als besonders hilfreich zur Formulierung vonAussagen uber shift-invariante Raume. Die folgenden Identitaten (4.14) und (4.15)liefern die Charakterisierung von Orthonormalsystemen der Form Ψ = ψj,k; j, k ∈Z, ohne jedoch die Vollstandigkeit in L2(R) zu garantieren.

Satz 4.15. Gegeben sei eine Funktion ψ ∈ L2(R). Mit ψj,k bezeichnen wir wiederdie Funktionen in (4.1).

a) Die Familie Ψ0 = ψ(· − k); k ∈ Z ist genau dann eine Orthonormalbasis vonW0 = clos L2(R)spanΨ0, wenn

(4.14) [ψ, ψ](ω) =∑

k∈Z|ψ(ω + 2kπ)|2 = 1

fur fast alle ω ∈ R gilt.b) Die Familie Ψ = ψj,k; j, k ∈ Z ist genau dann ein Orthonormalsystem in

L2(R), wenn sowohl (4.14) als auch

(4.15) [ψ, ψ(2j ·)](ω) =∑

k∈Zψ(ω + 2kπ)ψ(2j(ω + 2kπ)) = 0

fur fast alle ω ∈ R und alle j > 0 gilt.


Beweis: a) Fur alle k, m ∈ Z folgt aus den Rechenregeln fur die Fourier-Transformation,der Plancherel-Identitat sowie Hilfssatz 4.13 a) und d)

〈ψ(· − k), ψ(· −m)〉 =12π〈e−ik·ψ, e−im·ψ〉

=12π

∫ 2π

0

e−i(k−m)ω[ψ, ψ](ω) dω.

Das Integral der rechten Seite ist der Fourier-Koeffizient ck−m(g) der Funktiong = [ψ, ψ] ∈ L1((0, 2π)). Die Familie Ψ0 ist genau dann eine Orthonormalbasis vonW0, wenn sie ein Orthonormalsystem in L2(R) ist. Dies ist aquivalent zu c0(g) = 1und ck(g) = 0 fur alle k 6= 0, also zu g ≡ 1 fast uberall. Fur j ∈ Z erhalten wirdurch die Substitution y = 2jx sofort

〈ψj,k, ψj,m〉 = 〈ψ0,k, ψ0,m〉, j, k, m ∈ Z.

Also ist dieselbe Bedingung auch aquivalent dazu, dass die Familie Ψj := ψj,k; k ∈Z ein Orthonormalsystem in L2(R) ist.

b) Wir mussen noch die paarweise Orthogonalitat der Familien Ψj , j ∈ Z, nach-weisen. Seien dazu j, ` ∈ Z mit j > ` gegeben. Fur alle k, m ∈ Z erhalten wir durcheinfache Substitutionen

〈ψj,k, ψ`,m〉 = 〈ψ0,k, ψ`−j,m〉 = 〈ψ0,k−2j−`m, ψ`−j,0〉.Mit (2.12) ergibt sich

ψ`−j,0(ω) = 2(j−`)/2ψ(2j−`ω).Anwendung der Rechenregeln 3.17, der Plancherel-Identitat und Hilfssatz 4.13 a)und d) liefert weiter

〈ψj,k, ψ`,m〉 =2(j−`)/2

2π

∫ 2π

0

e−i(k−2j−`m)ω[ψ, ψ(2j−`·)](ω) dω.

Die Orthogonalitat von ψj,k und ψ`,m fur j > ` und alle k, m ∈ Z ist also aquivalentzu der Eigenschaft, dass samtliche Fourierkoeffizienten der Funktion [ψ, ψ(2j−`·)] ∈L1((0, 2π)) verschwinden. Dies wiederum ist aquivalent zur Identitat (4.15) fur allej > 0.

Bemerkung 4.16. Die paarweise Orthogonalitat der Familien Ψj = ψj,k; k ∈ Zimpliziert die paarweise Orthogonalitat der Raume Wj, j ∈ Z.

Beim Umgang mit shift-invarianten Raumen ist die Fourier-Transformation einwichtiges Hilfsmittel, um z.B. Orthogonalitat oder sogar explizite Formeln fur dieOrthogonalprojektion anzugeben. Dabei werden oft Koeffizientenfolgen (ck)k∈Z mitden zugehorigen Fourierreihen

(4.16) (ck)k∈Z ←→ C(ω) =∑

k∈Zcke−ikω

assoziiert. Hierzu beachte man die Norm-Aquivalenz

‖(ck)‖2`2(Z) =12π‖C‖2L2((0,2π))

und die Plancherel-Identitat

〈(ck), (dk)〉2`2(Z) =12π〈C,D〉2L2((0,2π)).


Hilfssatz 4.17. Es sei ψ ∈ L2(R).

a) Jede endliche Linearkombinationen g =∑

k∈Z ckψj,k ∈ Wj besitzt die Fourier-transformierte

(4.17) g(ω) = 2−j/2C(2−jω)ψ(2−jω).

Die Aussage bleibt auch gultig fur Folgen (ck) ∈ `2(Z), falls die Reihe∑

k∈Z ckψj,k

in L2(R) konvergiert.b) Fur f ∈ L2(R) und j ∈ Z sei die Folge (dk) := (〈f, ψj,k〉)k∈Z quadrat-summierbar.

Dann gilt

(4.18) D(ω) = [2j/2f(2j ·), ψ].

Beweis: Der erste Teil in a) folgt aus den Rechenregeln der Fouriertransformation,der zweite Teil folgt sodann durch Grenzubergang zu unendlichen Reihen. Teilb) wird gezeigt, indem man die Fourierkoeffizienten der 2π-periodischen Funktion[2j/2f(2j ·), ψ] berechnet, die ja nach Hilfssatz 4.13a) absolut-integrierbar ist. MitHilfssatz 4.13a) und d) ergibt sich

12π

∫ 2π

0

[2j/2f(2j ·), ψ](ω)eikω dω =12π〈2j/2f(2j ·), e−ik·ψ〉

=12π〈f , 2−j/2e−i2−jk·ψ(2−j ·)〉

=12π〈f , ψj,k〉 = 〈f, ψj,k〉.

Als einfache Anwendungen dieses Hilfssatzes erhalt man die folgenden Aussagen.

Satz 4.18. Gegeben seien Funktionen ψ, ξ ∈ L2(R).

a) Fur endliche Linearkombinationen

f =∑

k∈Zckψj,k, g =

∑

k∈Zdkξ`,k

mit j ≥ ` gilt

(4.19) 〈f, g〉 =2(j−`)/2

2π

∫ 2π

0

C(ω)D(2j−`ω)[ψ, ξ(2j−`·)](ω) dω.

Diese Identitat gilt auch, wenn f und g durch L2-konvergente Reihen dargestelltsind.

b) Bezeichnen wir mit Wj und Xj den Abschluss der Raume, die durch ψj,k; k ∈Z bzw. ξj,k; k ∈ Z aufgespannt werden, so gilt fur j ≥ `

(4.20) Wj ⊥ X` ⇐⇒ [ψ, ξ(2j−`·)](ω) = 0 fur fast alle ω ∈ R.

c) Falls ψj,k; k ∈ Z eine Orthonormalbasis von Wj ist, so ist die Orthogonalpro-jektion Qjf von f ∈ L2(R) auf Wj gegeben durch

(4.21) (Qjf)∧(ω) = 2−j/2τj(2−jω)ψ(2−jω) mit τj = [2j/2f(2j ·), ψ].

Weiterhin gilt

(4.22) ‖Qjf‖22 =12π‖τj‖2L2((0,2π)).


Beweis: a) Hilfssatz 4.17 a), die Plancherel-Identitat und Substitution ergibt

〈f, g〉 =2−(j+`)/2

2π〈C(2−j ·)ψ(2−j ·), D(2−`·)ξ(2−`·)〉

=2(j−`)/2

2π〈Cψ, D(2j−`·)ξ(2j−`·)〉

Wegen j > ` ist die Funktion D(2j−`·) ein trigonometrisches Polynom der Periode2π. Also ergibt Hilfssatz 4.13 a) und d)

〈f, g〉 =2(j−`)/2

2π

∫ 2π

0

C(ω)D(2j−`ω)[ψ, ξ(2j−`·)](ω) dω.

Der Rest folgt wieder durch Grenzwertubergang.

b) Die Orthogonalitat aller endlichen Linearkombinationen f ∈ Wj und g ∈ X`,j ≥ `, ist aquivalent zu

12π

∫ 2π

0

τ(ω)[ψ, ξ(2j−`·)](ω) dω = 0,

wobei τ ein beliebiges trigonometrisches Polynom ist. Wegen [ψ, ξ(2j−`·)] ∈ L1((0, 2π))ist dies aquivalent zu (4.20).

c) ist direkte Folgerung aus Hilfssatz 4.17 c).

Mit Satz 4.15 haben wir die Moglichkeit, eine Familie Ψ = ψj,k; j, k ∈ Z alsOrthonormalsystem in L2(R) zu erkennen. Die Aussage von Satz 4.18 c) kann manheranziehen, um die Vollstandigkeit eines solchen Orthonormalsystems zu zeigen,indem man die Gultigkeit der Parseval-Identitat nachpruft.

Ubung 4.19. Ist ψ ∈ L2(R) ein orthogonales Wavelet und σ : R→ C eine messbare2π-periodische Funktion mit |σ| ≡ 1 (fast uberall), so ist auch η mit η = σψ einorthogonales Wavelet.

Beispiel 4.20. Meyer-Wavelets

Y. Meyer3 konstruierte eine Familie orthogonaler Wavelets, fur deren Trager imFrequenzbereich

(4.23) supp ψ ⊂ E− ∪ E+ :=[−8π

3,−2π

3

]∪

[2π

3,8π

3

]

gilt. ψ ist also eine bandbeschrankte Funktion. Zur expliziten Angabe von ψverwendet man eine 2π-periodische gerade und reelle Funktion

(4.24) P (ω) =

1 fur 0 ≤ |ω| ≤ π/3,

σ(|ω|) fur π/3 < |ω| ≤ 2π/3,

0 fur 2π/3 < |ω| ≤ π,

wobei 0 ≤ σ(ω) ≤ 1 so gewahlt wird, dass

3Yves Meyer, geb. 1939, ist emeritierter Professor der Ecole Normale Superieure de Cachanund Mitglied der Academie des Sciences. Er wird als Mitbegrunder der Wavelet-Theorie (franz.“Ondelettes”) betrachtet.


(i) P ∈ Cr(R) fur ein r ∈ N0 und(ii) |P (ω)|2 + |P (ω + π)|2 ≡ 1 fur alle ω ∈ R gilt.

Weiter setzt man

(4.25) ψ(ω) =

0 fur 0 ≤ |ω| ≤ 2π/3,

e−iω/2P (ω/2 + π) fur 2π/3 < |ω| ≤ 4π/3,

e−iω/2P (ω/4) fur 4π/3 < |ω| ≤ 8π/3,

0 fur |ω| > 8π/3.

Dann gilt:

• ψ ist bandbeschrankt, also ψ ∈ C∞(R) (Satz von Paley-Wiener).• dk

dωk ψ(0) = 0 fur beliebige k ∈ N0, also hat ψ eine unendliche Anzahl ver-schwindender Momente.

Wir zeigen nun, dass ψj,k; j, k ∈ Z ein Orthonormalsystem ist. Dazu betrachtenwir die Klammerprodukte aus Satz 4.15 auf dem Periodenintervall [2π/3, 8π/3](anstatt [−π, π]). Durch Ausnutzen der Tragereigenschaft (4.23) erhalten wir

[ψ, ψ](ω) =∑

k∈Z|ψ(ω+2kπ)|2 =

|ψ(ω)|2 + |ψ(ω − 2π)|2 = |P (ω/2 + π)|2 + |P (ω/2)|2 = 1fur 2π/3 ≤ ω ≤ 4π/3,

|ψ(ω)|2 + |ψ(ω − 4π)|2 = |P (ω/4)|2 + |P (ω/4− π)|2 = 1fur 4π/3 < ω ≤ 8π/3,

[ψ, ψ(2·)](ω) =∑

k∈Zψ(ω + 2kπ) ψ(2ω + 4kπ)

=

ψ(ω)ψ(2ω) + ψ(ω − 2π)ψ(2ω − 4π)= e−iω/2P (ω/2 + π) eiωP (ω/2) + e−i(ω−2π)/2P (ω/2) ei(ω−2π)P (ω/2− π) = 0

fur 2π/3 ≤ ω ≤ 4π/3,

0 fur 4π/3 < ω ≤ 8π/3,

sowie [ψ, ψ(2j ·)] ≡ 0 fur alle j ≥ 2.

Mit (4.22) zeigen wir nun die Vollstandigkeit der Familie Ψ = ψj,k; j, k ∈ Z,die vom Meyer-Wavelet erzeugt wird. Fur f ∈ L2(R) sei cj,k = 〈f, ψj,k〉. MitSatz 4.18 b) ist

Cj(ω) =∑

k

cj,ke−ikω = [2j/2f(2j ·), ψ](ω) =

2j/2eiω/2(f(2jω) P (ω/2 + π)− f(2j(ω − 2π)) P (ω/2))fur 2π/3 ≤ ω ≤ 4π/3,

2j/2eiω/2(f(2jω) P (ω/4) + f(2j(ω − 4π)) P (ω/4− π))fur 4π/3 < ‖ω| ≤ 8π/3.

Hieraus folgt fur 2π/3 ≤ ω ≤ 4π/3 die Identitat

Cj(2ω) = 2j/2eiω(f(2j+1ω) P (ω/2) + f(2j+1(ω − 2π)) P (ω/2− π)).


Wir bilden nun die Integrale

Ij =∫ 4π/3

2π/3

|Cj+1(ω)|2 dω +∫ 8π/3

4π/3

|Cj(ω)|2 dω

=∫ 4π/3

2π/3

(|Cj+1(ω)|2 + 2|Cj(2ω)|2 dω

= 2j+1

∫ 4π/3

2π/3

(|f(2j+1ω) P (ω/2 + π)− f(2j+1(ω − 2π)) P (ω/2)|2 +

|f(2j+1ω) P (ω/2) + f(2j+1(ω − 2π)) P (ω/2− π)|2) dω.

Der Integrand im letzten Integral lasst sich als die Euklidische Norm (in C2) desVektors (

P (ω/2 + π) −P (ω/2)P (ω/2) P (ω/2− π)

)(f(2j+1ω)

f(2j+1(ω − 2π))

)

auffassen. Aufgrund der Wahl von P ist die Matrix orthogonal, also gilt∥∥∥∥(

P (ω/2 + π) −P (ω/2)P (ω/2) P (ω/2− π)

)(f(2j+1ω)

f(2j+1(ω − 2π))

)∥∥∥∥2

= |f(2j+1ω)|2+|f(2j+1(ω−2π))|2.

Diesen Ausdruck setzen wir in das obige Integral ein und erhalten

Ij = 2j+1

∫ 4π/3

2π/3

(|f(2j+1ω)|2 + |f(2j+1(ω − 2π))|2 dω

= 2j+1

∫

2π/3≤|ω|≤4π/3

|f(2j+1ω)|2 dω

=∫

2j+2π/3≤|ω|≤2j+3π/3

|f(ω)|2 dω.

Schließlich folgt mit Satz 4.18 c)∑

j∈Z2π‖Qjf‖22 =

∑

j∈Z

∫ 8π/3

2π/3

|Cj(ω)|2 dω =∑

j∈ZIj =

∫

0<|w|<∞|f(ω)|2 dω = 2π‖f‖22.

Damit ist auch die Vollstandigkeit der Familie Ψ zum Meyer-Wavelet gezeigt. Ins-gesamt erhalten wir, dass das Meyer-Wavelet ψ in (4.25) ein orthogonales Waveletist.

Bemerkung 4.21. Die Behandlung bandbeschrankter Wavelets wird im Buch vonE. Hernandez und G. Weiss ausfuhrlich dargestellt. Hier zeigt sich ein “Ineinan-dergreifen” der Translation und der Skalierung. Setzen wir

E := [−8π/3,−4π/3) ∪ [2π/3, 4π/3)

so erhalten wir in

(4.26)⋃

k∈Z(E + 2kπ) = R,

⋃

j∈Z2jE = R,

jeweils Partitionen von R. Die Menge E heißt “Wavelet-Menge”. Wir zeigen inUbung 4.22, dass die Funktion ψ mit ψ = χ|E ein orthogonales Wavelet ist. Daψ jedoch unstetig ist, ist das Abklingverhalten von ψ im Zeitbereich so schlecht,dass nicht einmal ψ ∈ L1(R) gilt. Die Meyer-Wavelets lassen sich nun durch“Verklebung” von zwei Wavelets zu den Wavelet-Mengen E1 = E und E2 = −E


definieren. Die Funktion σ in der Definition ubernimmt hier diese Rolle. Dadurchwird eine hohere Glattheit im Frequenzbereich, also besseres Abklingverhalten imZeitbereich bewirkt. Eine schone operatorentheoretische Untersuchung zu diesemVerklebungsprozess wurde von D. Larson et al. entwickelt.

Ubung 4.22. Eine messbare Menge E ⊂ R heißt Wavelet-Menge, wenn beide Gle-ichungen in (4.26) Partitionen von R sind. Beweisen Sie, dass dann die Funktionψ mit ψ = χ|E ein orthogonales Wavelet ist.

Ubung 4.23. Zeigen Sie, dass E = [−2π,−π) ∪ [π, 2π) eine Wavelet-Menge ist.Berechnen Sie die Darstellung von ψ mit ψ = χ|E im Zeitbereich. Dieses Waveletwird als “Littlewood-Paley”-Wavelet bezeichnet.

3. Vollstandige Charakterisierung orthogonaler Wavelets

Die Aussage in Satz 4.15 stutzt sich hauptsachlich auf die Shift-Invarianz der einzel-nen Raume Wj , j ∈ Z. Um eine vollstandige Charakterisierung orthogonalerWavelets zu erhalten, werden Shift-Invarianz und Skalierungs-Invarianz miteinan-der verknupft. Das folgende Resultat wurde von F. Hernandez, Wang, G. Weiss4,B. Han5, und A. Ron und Z. Shen6 ca. 1996 nahezu gleichzeitig entwickelt.

Theorem 4.24. Eine Funktion ψ ∈ L2(R) mit ‖ψ‖2 = 1 ist genau dann orthogo-nales Wavelet, wenn

(4.27)∞∑

j=−∞|ψ(2jω)|2 = 1

fur fast alle ω ∈ R und

(4.28)∞∑

j=0

ψ(2jω)ψ(2j(ω + 2kπ)) = 0

fur fast alle ω ∈ R und jedes ungerade k ∈ Z gilt.

Ziel dieses Abschnittes ist der Beweis dieses Satzes.

Bemerkung 4.25. Wir haben in Ubungsaufgabe 2.18 gesehen, dass aus (4.27) dieBedingung Cψ < ∞ in Definition 2.17 folgt (genauer: es ist Cψ = 2 ln 2). Alsoist jedes orthogonale Wavelet (aufgrund des obigen Satzes) tatsachlich auch einWavelet im Sinne der Definition 2.17.

Ubung 4.26. Geben Sie mit Hilfe des obigen Satzes eine erneute Losung zu Ubung4.19 sowie zum Nachweis, dass die Meyer wavelets orthogonale Wavelets sind.

Die Aussage von Satz 4.24 wird in mehrere Resultate aufgeteilt. Zunachst werdenVereinfachungen der Aussage vorgenommen, die durch drei grundlegende Aussagender Funktionalanalysis begrundet sind (Satze 4.30, 4.31 und 4.32). Einen Uberblickuber den Beweisgang (und weitere Aussagen) gibt das folgende Schema, in dem wirdie folgenden Abkurzungen verwenden:

4Guido Weiss, Washington University in St. Louis, USA5Bin Han, University of Edmonton, Kanada6A. Ron, University of Wisconsin, Z. Shen, National University of Singapore

3. VOLLSTANDIGE CHARAKTERISIERUNG ORTHOGONALER WAVELETS 63

(A) bedeutet: ‖f‖2L2(R) =∑

j,k∈Z|〈f, ψj,k〉|2,

(B) bedeutet: 〈f, g〉 =∑

j,k∈Z〈f, ψj,k〉〈ψj,k, g〉,

(C) bedeutet: f =∑

j,k∈Z〈f, ψj,k〉 ψj,k mit Konvergenz in L2(R),

• D ⊂ L2(R) ist eine beliebige dichte Teilmenge.

4.24: ψ ist orthogonales Wavelet

(A) fur f ∈ L2

4<4.30: mit ‖ψ‖ = 1

t| ppppppppppppppp

ppppppppppppppp

(A) fur f ∈ D

KS

4.32®¶

(B) fur f, g ∈ L2ks4.31

+3

(B) fur f, g ∈ D

KS

®¶

(C) fur f ∈ L2ks4.31

+3

(C) fur f ∈ D

KS

®¶

Identitaten (4.27) und (4.28)

;C

Einsetzen¤

4.37: Integrationstheorie

HS 4.33: Darstellung von∑j,k |〈f, ψj,k〉|2 fur f ∈ D

nn

_

Â Ä

?

4.27: Char.“tight frame”

Bild 4.1. Beweisschema zu Satz 4.24

Die Voraussetzung ‖ψ‖2 = 1 in Satz 4.24 ist ganz naturlich (und notwendig fur eineOrthonormalbasis), da ja ‖ψj,k‖ = ‖ψ‖ = 1 fur alle j, k ∈ Z gelten muss. UnterWeglassen dieser Voraussetzung wird bei Gultigkeit der Identitat

(4.29) ‖f‖22 =∑

j,k∈Z|〈f, ψj,k〉|2, f ∈ L2(R),

die Familie Ψ = ψj,k; j, k ∈ Z ein Wavelet-Tight-Frame genannt. Dessen Charak-terisierung gibt das folgende Resultat.

Theorem 4.27. Sei ψ ∈ L2(R) und D ⊂ L2(R) eine dichte Teilmenge. Dann sinddie folgenden Aussagen aquivalent.

a) Fur alle f ∈ L2(R) gilt die Identitat (4.29).b) Fur alle f, g ∈ L2(R) gilt

〈f, g〉 =∑

j,k∈Z〈f, ψj,k〉〈ψj,k, g〉.

c) Fur alle f ∈ L2(R) gilt

f =∑

j,k∈Z〈f, ψj,k〉 ψj,k


mit unbedingter Konvergenz der Reihe in L2(R).d) Fur alle f, g ∈ D gilt eine (und damit alle) der Aussagen a)-c).e) Es gelten die Identitaten (4.27) und (4.28).

Bemerkung 4.28. Die Identitat (4.29) sieht aus wie die Parseval-Identitat. Sieunterscheidet sich aber tatsachlich dadurch, dass die Funktionen ψj,k hier nicht alsOrthonormalsystem vorausgesetzt sind.

Ubung 4.29. Ein einfaches Beispiel fur eine solche Identitat (4.29) im HilbertraumH = R2 wird durch die drei Elemente v1 = (0,

√6

3 ), v2 = (−√

22 ,−

√6

6 ), v3 =(√

22 ,−

√6

6 ) gegeben (“Mercedes-Stern”), die sicherlich keine Orthonormalbasis vonR2 bilden. Skizzieren Sie die Elemente vk, k = 1, 2, 3, und zeigen Sie, dass fur allex ∈ R2 (versehen mit der Euklidischen Norm) die Identitat

‖x‖2 =3∑

k=1

|〈x, vk〉|2

gilt.

Wir wollen nun zeigen, dass aus Satz 4.27 auch der Satz 4.24 folgt. Dazu genugt eszu zeigen, dass aus der Identitat (4.29) sowie der Bedingung ‖ψ‖2 = 1 folgt, dassψ ein orthogonales Wavelet ist, dass also die Familie Ψ eine Orthonormalbasis vonL2(R) ist. Dies lasst sich wegen ‖ψj,k‖2 = ‖ψ‖2 = 1 sofort aus dem folgenden Satzder Funktionalanalysis schließen.

Satz 4.30. Gegeben sei eine endliche oder abzahlbare Teilmenge ej ; j ∈ J ⊂ Heines Hilbertraums H und es gelte

(4.30)∑

j∈J

|〈f, ej〉H|2 = ‖f‖2H

fur alle f ∈ H. Falls zusatzlich ‖ej‖H ≥ 1 fur alle j ∈ J gilt, so ist ej ; j ∈ J eineOrthonormalbasis von H.

Beweis: Fur f = e` mit ` ∈ J folgt aus (4.30)

‖e`‖2 = |〈e`, e`〉|2 +∑

j 6=`

|〈e`, ej〉|2 = ‖e`‖4 +∑

j 6=`

|〈e`, ej〉|2.

Dies ergibt‖e`‖2(1− ‖e`‖2) =

∑

j 6=`

|〈e`, ej〉|2.

Wegen ‖e`‖ ≥ 1 ist die linke Seite dieser Gleichung nichtpositiv, wahrend die rechteSeite nichtnegativ ist. Also mussen beide Seiten gleich 0 sein, und dies ergibt

‖e`‖ = 1, 〈e`, ej〉 = 0 fur alle j 6= `.

Da ` ∈ J beliebig war, haben wir gezeigt, dass die Familie ej ; j ∈ J ein Orthonor-malsystem in H ist. Ihre Vollstandigkeit folgt sofort aus (4.30).

Die Aquivalenz der Aussagen (a)–(c) in Satz 4.27 gilt ebenfalls fur allgemeineHilbertraume.


Satz 4.31. Fur eine endliche oder abzahlbare Teilmenge ej ; j ∈ J ⊂ H einesHilbertraums H sind die folgenden Aussagen aquivalent:

a) Die Identitat (4.30) gilt fur alle f ∈ H.b) Fur alle f, g ∈ H gilt

〈f, g〉 =∑

j∈J

〈f, ej〉〈ej , g〉.

c) Fur alle f ∈ H giltf =

∑

j∈J

〈f, ej〉 ej ,

wobei fur unendliches J die unbedingte Konvergenz der Reihe in der Norm vonH vorliegt.

Beweis: Teil a) folgt aus b) durch Einsetzen von f = g. Teil b) folgt aus a) durch“Polarisation”: Man rechnet leicht nach, dass fur alle f, g ∈ H

〈f, g〉 =‖f + g‖22 − ‖f − g‖22

4+‖f − ig‖22 − ‖f + ig‖22

4i

gilt. Die analoge Beziehung fur die Folgen (〈f, ej〉)j∈J und (〈g, ej〉)j∈J im Hilber-traum `2(J) ergeben die Identitat in b).

Die Aquivalenz von b) und c) fur endliches J ist sofort klar. Sei also nun J abzahlbarund σ : N→ J irgendeine Bijektion. Dann folgt aus

limN→∞

∥∥∥∥∥∥f −

N∑

j=1

〈f, eσ(j)〉 eσ(j)

∥∥∥∥∥∥= 0

und der Stetigkeit des Skalarprodukts auch

〈f, g〉 = limN→∞

N∑

j=1

〈f, eσ(j)〉〈eσ(j), g〉 =∞∑

j=1

〈f, eσ(j)〉〈eσ(j), g〉.

Also folgt die Aussage b) aus c). Es bleibt zu zeigen, dass aus Teil a) und/oder b)auch Teil c) folgt. Dazu betrachten wir zunachst die Partialsummen

SN =N∑

j=1

〈f, eσ(j)〉 eσ(j), N ∈ N.

Fur M ≤ N gilt∥∥∥∥∥∥

N∑

j=M

〈f, eσ(j)〉 eσ(j)

∥∥∥∥∥∥= sup

g∈H, ‖g‖≤1

∣∣∣∣∣∣

⟨N∑

j=M

〈f, eσ(j)〉 eσ(j), g

⟩∣∣∣∣∣∣

≤ supg∈H, ‖g‖≤1

N∑

j=M

|〈f, eσ(j)〉| |〈g, eσ(j)〉|

≤

N∑

j=M

|〈f, eσ(j)〉|2

1/2

,


weil mit Teil a) gilt

N∑

j=M

|〈g, eσ(j)〉|2

1/2

≤ ‖g‖2 ≤ 1.

Aus a) folgt also, dass (SN )N∈N eine Cauchyfolge in H ist. Weil H vollstandig ist,existiert h ∈ H mit

limN→∞

‖sN − h‖ = 0.

(Dieses h konnte noch von der durch σ gegebenen Anordnung von J abhangen.)Fur alle g ∈ H folgt dann

〈h, g〉 = limN→∞

N∑

j=1

〈f, eσ(j)〉〈eσ(j), g〉 =∞∑

j=1

〈f, eσ(j)〉〈eσ(j), g〉 = 〈f, g〉,

wobei im letzten Schritt Teil b) verwendet wurde. Also muss h = f gelten. Damitist gezeigt, dass die Reihe

∑j∈J〈f, ej〉 ej unbedingt (d.h. fur jede Anordnung σ)

gegen f in der Norm von H konvergiert.

Die Aquivalenz der Teile a)-c) und d) von Satz 4.27 wird wieder fur allgemeineHilbertraume formuliert. Dabei beschranken wir uns auf die Eigenschaft in Teil a).

Satz 4.32. Gegeben sei eine endliche oder abzahlbare Teilmenge ej ; j ∈ J ⊂ Heines Hilbertraums H und es (4.30) fur alle Elemente f einer dichten TeilmengeD ⊂ H. Dann gilt die Identitat fur alle f ∈ H.

Beweis: Sei f ∈ H und gn ∈ D mit

limn→∞

‖gn − f‖ = 0.

O.B.d.A. sei J = N. Fur jedes N ∈ N folgt dann aus der VoraussetzungN∑

j=1

|〈f, ej〉|2 = limn→∞

N∑

j=1

|〈gn, ej〉|2 ≤ limn→∞

∞∑

j=1

|〈gn, ej〉|2 = limn→∞

‖gn‖2 = ‖f‖2.

Weil N beliebig war, folgt

(4.31)∞∑

j=1

|〈f, ej〉|2 ≤ ‖f‖2.

(Die Konvergenz der Reihe folgt wegen Monotonie und Beschranktheit der Partial-summen.) Wir nehmen nun an, dass im Gegensatz zur Behauptung

∞∑

j=1

|〈f, ej〉|2

1/2

= ‖f‖ − 2ε

mit einem ε > 0 gilt. Dann wahlen wir g ∈ D mit ‖f−g‖ < ε. Die bereits bewieseneAbschatzung ergibt

‖(〈f − g, ej〉)j∈N‖2`2(N) =∞∑

j=1

|〈f − g, ej〉|2 ≤ ‖f − g‖2 < ε2.


Wenden wir die Dreiecksungleichung in `2(N) auf die Folgen (〈f − g, ej〉)j∈N und(〈f, ej〉)j∈N an, so folgt aus der Voraussetzung des Satzes, dass

‖g‖ = ‖(〈g, ej〉)‖`2(N) ≤ ‖(〈f, ej〉)‖`2(N)+‖(〈f − g, ej〉)‖`2(N) < ‖f‖−2ε+ε = ‖f‖−ε

gilt. Dies ist aber ein Widerspruch, da mit der Dreiecksungleichung in H auch‖g‖ ≥ ‖f‖ − ‖f − g‖ > ‖f‖ − ε folgt. Also muss in (4.31) die Gleichheit fur allef ∈ H gelten.

Nach diesen Vereinfachungen der Aussage von Satz 4.24 bleibt noch die Aquivalenzvon (d)⇐⇒(e) in Satz 4.27 zu beweisen. Dies ist der schwierigste Teil des ganzenBeweises. Als dichten Teilraum D ⊂ L2(R) verwenden wir den Raum

(4.32) D =

f ∈ L2(R)∣∣∣∣

f beschrankt und es existieren 0 < r < R

mit f(ω) = 0 fur |ω| < r und |ω| > R

.

Als Zwischenresultat entwickeln wir zwei Darstellungen fur die fragliche Reihe

(4.33) I :=∑

j,k∈Z|〈f, ψj,k〉|2, f ∈ D.

Dazu verwenden wir, in Anlehnung an das Klammerprodukt (4.8), die Bezeichnung

[f , g]0(ω) :=∑

k∈Z\0f(ω + 2kπ)g(ω + 2kπ), f , g ∈ L2(R).

Daruber hinaus benotigen wir die Abkurzung

(4.34) tq(ω) :=∞∑

j=0

ψ(2jω)ψ(2j(ω + 2qπ)), q ∈ Z.

Hilfssatz 4.33. Fur beliebige ψ ∈ L2(R) und f ∈ D gilt I = I(0) + I(1) mit

(4.35) I(0) =12π

∫

R|f(ω)|2

∑

j∈Z|ψ(2jω)|2 dω

und

I(1) =12π

∑

j∈Z2j

∫

Rf(2jω)ψ(ω) [f(2j ·), ψ]0(ω) dω(4.36)

=12π

∫

R

∑

j∈Z

∑

q∈2Z+1

f(ω)f(ω + 2j2qπ)tq(2−jω) dω.(4.37)

Beide Integrale in (4.36) und (4.37) sind endlich, wenn f und ψ durch |f | und |ψ|ersetzt werden.

Beweis: 1. Gleichung (4.21) ergibt fur festes j ∈ Z

Ij :=∑

k∈Z|〈f, ψj,k〉|2 =

12π

∫ 2π

0

| [2j/2f(2j ·), ψ](ω)|2 dω.

Dabei ist die Reihe

[2j/2f(2j ·), ψ] = 2j/2∑

k∈Zf(2j(ω + 2kπ))ψ(ω + 2kπ), ω ∈ [0, 2π],


fur f ∈ D endlich; also gilt

Ij =2j

2π

∑

m∈Z

∫ 2π

0

∑

k∈Zf(2j(ω + 2kπ))f(2j(ω + 2mπ))ψ(ω + 2kπ)ψ(ω + 2mπ) dω

=2j

2π

∫

Rf(2jω)ψ(ω)

∑

k∈Zf(2j(ω + 2kπ))ψ(ω + 2kπ) dω

= I(0)j + I

(1)j ,

wobei wir

I(0)j =

2j

2π

∫

R|f(2jω)|2 |ψ(ω)|2 dω

I(1)j =

2j

2π

∫

Rf(2jω)ψ(ω) [f(2j ·), ψ]0(ω) dω

setzen. Summation uber j ∈ Z ergibt I = I(0) + I(1) mit den Darstellungen(4.35) und (4.36). Die Vertauschung der Summation mit der Integration bei I(0)

ist gerechtfertigt, da alle Summanden positiv sind. (Evtl. liefert I(0) den Wert ∞.)

2. Um von (4.36) nach (4.37) zu gelangen, zeigen wir zunachst

(4.38) I(1) =∑

j∈Z2j

∫

R|f(2jω)| |ψ(ω) [|f |(2j ·), |ψ|]0(ω) dω < ∞.

Um dies einzusehen, beachten wir die Ungleichung

2|ψ(ω)| |ψ(ω + 2kπ)| ≤ |ψ(ω)|2 + |ψ(ω + 2kπ)|2,

aus der wir auf

I(1) ≤∑

j∈Z2j−1

∫

R

∑

k 6=0

|f(2jω)| |f(2j(ω + 2kπ))|(|ψ(ω)|2 + |ψ(ω + 2kπ)|2

)dω

=∫

R|ψ(ω)|2

∑

j∈Z2j−1

∑

k 6=0

|f(2jω)|(|f(2j(ω + 2kπ))|+ |f(2j(ω − 2kπ))|

)dω

=∫

R|ψ(ω)|2

∑

j∈Z2j

∑

k 6=0

|f(2jω)| |f(2j(ω + 2kπ))| dω

schließen. Wir zeigen in Hilfssatz 4.34, dass das letzte Integral endlich ist. Dieserlaubt uns nun, die Summation und die Integration zu vertauschen sowie die Sum-mationsreihenfolge beliebig umzuordnen.


3. Wir schreiben k ∈ Z \ 0 in der eindeutigen Form k = 2`q mit ` ∈ N0 und qungerade. Dann ergibt sich (4.37) aus der Darstellung

2πI(1) =∑

j∈Z2j

∫

Rf(2jω)ψ(ω)

∑

k 6=0

f(2j(ω + 2kπ))ψ(ω + 2kπ) dω

=∑

j∈Z

∫

Rf(ω)ψ(2−jω)

∞∑

`=0

∑

q∈2Z+1

f(ω + 2j+`2qπ)ψ(2−jω + 2`2qπ) dω

p=j+`=

∫

Rf(ω)

∑

q∈2Z+1

∞∑

`=0

∑

p∈Zψ(2`−pω)f(ω + 2p2qπ)ψ(2`−pω + 2`2qπ) dω

=∫

Rf(ω)

∑

q∈2Z+1

∑

p∈Zf(ω + 2p2qπ)

∞∑

`=0

ψ(2`−pω)ψ(2`−pω + 2`2qπ)

︸︷︷︸=tq(2−pω)

dω

Damit ist Hilfssatz 4.33 bewiesen.

Hilfssatz 4.34. Es seien 0 < r < R < ∞ und f ∈ D mit f(ω) = 0 fur alle |ω| < r

und |ω| > R. Weiter sei δ = diam(supp f) der Durchmesser des Tragers von f .Dann gilt

(4.39) α(ω) :=∑

j∈Z

∑

k 6=0

2j |f(2jω)| |f(2j(ω + 2kπ))| ≤ δ

π(1 + log2

Rr )‖f‖2L∞

fur alle ω ∈ R \ 0. Weiterhin ist

(4.40)∫

R|ψ(ω)|2α(ω) dω ≤ δ

π(1 + log2

Rr )‖f‖2L∞

∫

|ω|≥ 2rπδ

|ψ(ω)|2 dω.

Beweis: 1. Fur alle j ∈ Z mit 2j2π > δ liegt mindestens einer der Punkte 2jω

bzw. 2j(ω + 2kπ) außerhalb des Tragers von f (wegen k 6= 0). Also brauchen wirnur j ∈ Z mit

(4.41) 2j2π ≤ δ ⇐⇒ j ≤ log2

δ

2π

berucksichtigen. Fur ein solches j ist die Anzahl der von Null verschiedenen Sum-manden der Form

2j |f(2jω)| |f(2j(ω + 2kπ))|hochstens (1+ δ

2j+1π ), und jeder dieser Summanden ist beschrankt durch 2j‖f‖2L∞ .Also tragt ein festes j ≤ log2

δ2π hochstens

∑

k 6=0

2j |f(2jω)| |f(2j(ω + 2kπ))| ≤(

2j +δ

2π

)‖f‖2L∞ ≤ δ

π‖f‖2L∞

zum Wert α(ω) bei.

2. Halten wir nun ω ∈ R \ 0 fest, so liegt 2jω fur hochstens (1 + log2Rr ) Werte

von j im Trager von f . Damit ergibt sich die behauptete Abschatzung von α(ω).


3. Weiterhin gilt: Damit 2jω fur mindestens ein j aus Gleichung (4.41) im Tragervon f liegt, muss

|ω| ≥ 2−jr ≥ 2rπ

δgelten. Damit ist auch (4.40) gezeigt.

Wir konnen uns nun dem abschließenden Beweis der Aquivalenz (d)⇐⇒(e) in Satz4.27 zuwenden. Die Richtung (e)=⇒(d) folgt direkt aus Hilfssatz 4.33: Gleichung(4.28) liefert tq ≡ 0 fur alle ungeraden q ∈ Z, also I(1) = 0. Aus Gleichung (4.27)folgt sodann

I = I(0) =12π‖f‖22 = ‖f‖22.

Die andere Richtung (d)=⇒(e) ist nochmals schwierig und verlangt Kenntnisse ausder Integrationstheorie.

Definition 4.35. Die Funktion f : R → C heißt lokal-integrierbar, wenn f |K furjedes Kompaktum K ⊂ R absolut-integrierbar (uber K) ist.

Ein Punkt x ∈ R heißt Lebesgue-Punkt von f , wenn

limδ→0

12δ

∫ δ

−δ

|f(x + t)− f(x)| dt = 0

gilt. Insbesondere gilt dann auch

(4.42) f(x) = limδ→0

12δ

∫ δ

−δ

f(x + t) dt.

Das folgende Resultat wird im Buch von Zygmund, Seite 65, Satz II.11.1 bewiesen.

Satz 4.36. Fast alle Punkte (d.h. alle bis auf eine Nullmenge) einer lokal-integrierbarenFunktion f : R→ C sind Lebesgue-Punkte dieser Funktion.

Nun haben wir alle Hilfsmittel parat, um den Beweis zu fuhren. Wir beweisen dieIdentitaten nacheinander.

Hilfssatz 4.37. Sei ψ ∈ L2(R). Falls fur alle f ∈ D die Identitat (4.29) gilt, sogilt auch (4.27).

Beweis: 1. Nach Voraussetzung ist fur jedes f ∈ D die Summe I in (4.33) endlich.Weil I(1) nach Lemma 4.33 ebenfalls endlich ist, muss auch

I(0) =12π

∫

R|f(ω)|2

∑

j∈Z|ψ(2jω)|2

︸︷︷︸=:X(ω)

dω

endlich sein. Also ist X zumindest lokal-integrierbar. Es genugt nach Satz 4.36,die Identitat X(ω) = 1 fur alle Lebesgue-Punkte von X zu beweisen.

2. Sei nun ω0 ∈ R \ 0 ein Lebesgue-Punkt von X. Wir betrachten δ > 0 mit[ω0 − δ, ω0 + δ] ∩ 0 = ∅. Fur jedes solche δ definieren wir die Funktion fδ durch

fδ =1√2δ

χ[ω0−δ,ω0+δ].


Aus der Voraussetzung (4.29) und Hilfssatz 4.33 folgt

1 = ‖fδ‖22 = 2π‖fδ‖22 = 2πIδ =∫ ω0+δ

ω0−δ

12δ

X(ω) dω + 2πI(1)δ .

(Hier verwenden wir den Index δ, um den Bezug der Bezeichnungen in Hilfssatz 4.33zur Funktion fδ auszudrucken.) Bilden wir den Grenzwert fur δ → 0, so erhaltenwir

1 = X(ω0) + limδ→0

2πI(1)δ .

Um den Beweis abzuschließen genugt es also zu zeigen, dass limδ→0 I(1)δ = 0 gilt.

3. Der Durchmesser des Tragers von fδ ist 2δ. Wie im 2. Schritt des Beweises vonHilfssatz 4.33 erhalten wir

|I(1)δ | ≤

∫

R|ψ(ω)|2αδ(ω) dω,

wobei αδ die Funktion in (4.39) bezogen auf fδ ist. Nun folgt aus der Ungleichung(4.40) in Hilfssatz 4.34

|I(1)δ | ≤ 2δ

π(1+log2

ω0+δω0−δ ) ‖fδ‖2L∞︸︷︷︸

= 12δ

∫

|ω|≥π(ω0−δ)δ

|ψ(ω)|2 dω = C

∫

|ω|≥π(ω0−δ)δ

|ψ(ω)|2 dω

mit der Konstanten C = (1 + log2ω0+δω0−δ ). Der Grenzwert des Integrals fur δ → 0

ist Null, also gilt limδ→0 I(1)δ = 0. Damit ist die Identitat X(ω0) = 1 fur alle

Lebesgue-Punkte von X gezeigt.

Bemerkung 4.38. a) Der obige Hilfssatz wurde vor der Charakterisierung orthog-onaler Wavelets bewiesen und als “Littlewood-Paley-Identitat” von Tight-Wavelet-Frames bezeichnet. Eine allgemeinere Form findet sich bei C. K. Chui und X.Shi, “On a Littlewood-Paley identity and characterization of wavelets”, J. Math.Anal. Appl. 177, No. 2, 608-626 (1993), [Zbl 0782.42025].

b) Die Identitat (4.27) charakterisiert die Isometrie der so genannten dyadischenWavelet-Transformation von S. Mallat und Zhang, die definiert ist durch

f 7→ (f ∗ ψj)j∈Z, ψj := 2jψ(−2j ·).Hier wird also nur eine Diskretisierung des Skalierungsparameters a der CWTvorgenommen, wahrend der Shift-Parameter b kontinuierlich bleibt. Eine Beschrei-bung findet man im Buch von S. Mallat, Abschnitt 5.5.

Schließlich und endlich geben wir noch das fehlende Resultat zur Identitat (4.28)an, um den Beweis der Satze 4.24 und 4.27 vollstandig abzuschließen.

Hilfssatz 4.39. Sei ψ ∈ L2(R). Falls fur alle f ∈ D die Identitat (4.29) gilt, sogilt auch (4.28).

Beweis: Die Beweisschritte sind ahnlich zu denen des Hilfssatzes 4.37.

1. Wegen

(4.43) 2|tq(ω)| ≤∞∑

j=0

|ψ(2jω)|2 +∞∑

j=0

|ψ(2j(ω + 2qπ))|2 =: X0(ω) + X0(ω + 2qπ)


und 0 ≤ X0 ≤ X ist tq lokal-integrierbar. Wir halten fur den 5. Beweisschritt jetztschon fest, dass mit

∫

RX0(ω) dω =

∞∑

j=0

∫

R|ψ(2jω)|2 dω =

∞∑

j=0

2−j‖ψ‖22 = 2‖ψ‖22

sogar die Integrierbarkeit von X0 und tq uber R folgt. Insgesamt genugt es also,die Identitat tq(ω) = 0 fur alle Lebesgue-Punkte von tq zu beweisen.

2. Aus der Voraussetzung (4.29), Hilfssatz 4.33 und Hilfssatz 4.37 folgt

2πI(1) =∫

R

∑

j∈Z

∑

q∈2Z+1

f(ω)f(ω + 2j2qπ)tq(2−jω) dω = 0

fur alle f ∈ D. Durch Polarisation erhalten wir wie ublich

(4.44) J :=∫

R

∑

j∈Z

∑

q∈2Z+1

f(ω)g(ω + 2j2qπ)tq(2−jω) dω = 0

fur alle f, g ∈ D.

3. Sei nun q0 ungerade und ω0 ∈ R \ 0,−2q0π ein Lebesgue-Punkt von tq0 .Weiterhin sei

0 < δ < min

π,|ω0|3

,|ω0 + 2q0π|

3

.

Dann enthalt keines der Intervalle K1 = [ω0 − δ, ω0 + δ] und K2 = [ω0 + 2q0π −δ, ω0 + 2q0π + δ] den Nullpunkt. Wir wahlen die Funktionen

fδ =1√2δ

χK1 , gδ =1√2δ

χK2

und uberlegen zunachst, welche Summanden in (4.44) uberhaupt ubrig bleiben.Einfache Uberlegung zeigt

fδ(ω)gδ(ω + 2q0π) =12δ

χK1(ω), ω ∈ R.

Wegen δ < π gilt

fδ(ω)gδ(ω + 2qπ) = 0, ω ∈ R, falls q 6= q0.

Weiterhin kann fur j 6= 0 die Beziehung fδ(ω)gδ(ω + 2j2qπ) 6= 0 (mit ungerademq ∈ Z) nur gelten, wenn

|ω − ω0| < δ und |ω + 2j2qπ − ω0 − 2q0π| < δ

erfullt ist. Hieraus folgt

(4.45) |2jq − q0| ≤ 12π

(|ω − ω0|+ |ω + 2j2qπ − ω0 − 2q0π|)

<δ

π< 1.

Dadurch wird sofort j > 0 ausgeschlossen, da die Differenz 2jq − q0 eine ungeradeganze Zahl (also ≥ 1) ist. Ebenso wird j < 0 mit 2j ≥ δ/π ausgeschlossen, da dann

|2jq − q0| = 2j | q − 2−jq0︸︷︷︸∈2Z+1

| ≥ δ/π


gilt. Sei j0 < 0 die großte ganze Zahl, fur die 2j0 < δ/π gilt. Fur die verbleibendenj ∈ Z mit j ≤ j0 ergibt (4.45) die notwendige Bedingung

(4.46) |q − 2−jq0| < 2−j δ

π

dafur, dass fδ(ω)gδ(ω + 2j2qπ) 6= 0 gilt. Die Menge der durch (4.46) definiertenungeraden ganzen Zahlen q bezeichnen wir im Folgenden mit Lj . Ihre Anzahl istnach oben beschrankt durch

(4.47) Nj := #Lj ≤ 2−j+1 δ

π.

4. Wir setzen nun fδ und gδ in (4.44) ein und erhalten aus den vorherigen Uberlegungen

Jδ = J(0)δ + J

(1)δ

mit den Ausdrucken

J(0)δ =

12δ

∫

K1

tq0(ω) dω

fur den Summanden mit j = 0 und q = q0 sowie

J(1)δ =

∑

j≤j0

∑

q∈Lj

∫

Rfδ(ω)gδ(ω + 2j2qπ)tq(2−jω) dω

fur alle ubrigen Summanden. Der erste Summand J(0)δ konvergiert gegen tq0(ω0)

fur δ gegen 0, weil ω0 ein Lebesgue-Punkt der Funktion tq0 ist. Um den Beweisabzuschließen genugt es also zu zeigen, dass limδ→0 J

(1)δ = 0 gilt.

5. Aus (4.43) ergibt sich sofort

2|J (1)δ | ≤

∑

j≤j0

∑

q∈Lj

∫

Rfδ(ω)gδ(ω + 2j2qπ)(X0(2−jω) + X0(2−jω + 2qπ)) dω

= J(a)δ + J

(b)δ ,

wobei die neu eingefuhrten Ausdrucke mit (4.47) weiter behandelt werden in

J(a)δ :=

∑

j≤j0

∑

q∈Lj

∫

Rfδ(ω)gδ(ω + 2j2qπ)X0(2−jω) dω

≤∑

j≤j0

Nj

2δ

∫

K1

X0(2−jω) dω,

J(b)δ :=

∑

j≤j0

∑

q∈Lj

∫

Rfδ(ω)gδ(ω + 2j2qπ)X0(2−jω + 2qπ) dω

=∑

j≤j0

∑

q∈Lj

∫

Rfδ(ω − 2j2qπ)gδ(ω)X0(2−jω) dω

≤∑

j≤j0

Nj

2δ

∫

K2

X0(2−jω) dω.

Da beide Ausdrucke dieselbe Form haben, geben wir die weitere Abschatzung nurfur J

(a)δ an. Wegen δ < |ω0|/3 sind die Intervalle 2jK1, j ∈ Z, paarweise disjunkt.


(Hier wird also die Wahl von δ im 2. Schritt erklart!) Fur ω0 > 0 ist sogar⋃

j≤j0

2−jK1 ⊂ [2−j0(ω0 − δ),∞) ⊂[π

δ(ω0 − δ),∞

)⊂

[2πω0

3δ,∞

).

Die entsprechende Beziehung fur ω0 < 0 sowie die Substitution η = 2−jω und (4.47)ergeben

J(a)δ ≤

∑

j≤j0

2jNj

2δ

∫

2−jK1

X0(η) dη

≤ 1π

∫

|η|> 2π|ω0|3δ

X0(η) dη.

Weil X0 ∈ L1(R) gilt, folgtlimδ→0

J(a)δ = 0.

Ganz analog erhalten wir wegen δ < |ω0 + 2q0π|/3 auch

J(b)δ ≤ 1

π

∫

|η|> 2π|ω0+2q0π|3δ

X0(η) dη

undlimδ→0

J(b)δ = 0.

Damit gilt auch limδ→0 J(1)δ = 0, und der Beweis von Hilfssatz 4.39 ist vollstandig.

Bemerkung 4.40. Nachzulesen sind die Ergebnisse dieses Abschnittes im Buch vonHernandez und Weiss auf S. 332–347 (Abschnitt 7.1). In Abschnitt 3.2, Seiten 105–115, ist ein etwas einfacherer Beweis fur den Fall angegeben, dass ψ band-beschranktist (d.h. ψ hat selbst kompakten Trager). Dadurch werden einige Abschatzungen,insbesondere die von I(1) uberflussig. Weiterhin wird in dem Buch bewiesen, dassjedes band-beschrankte orthogonale Wavelet ψ schon ein Element von D ist, also ψin einer Umgebung von 0 identisch verschwindet.

KAPITEL 5

Multiskalen-Analyse und DWT

Die Betrachtungen im vorherigen Kapitel waren auf das Wavelet ψ und die Wavelet-Raume Wj = clos span ψj,k; k ∈ Z konzentriert. Die Bedeutung der in Defini-tion 4.4 eingefuhrten Skalenraume

Vj =j−1⊕

`=−∞W`, j ∈ Z,

wurde bisher nicht untersucht. Sowohl fur die Konstruktion orthogonaler Waveletsals auch fur die numerischen Algorithmen der DWT sind diese Raume aber vongroßer Bedeutung. Ihre Definition ruhrt her von der Bildverarbeitung. Zur Bild-analyse ist es ublich, dasselbe Bild in verschiedenen “Auflosungen” (engl. resolu-tion) zu betrachten, um Muster bzw. Kanten zu erkennen.

1. Definition und Eigenschaften der Multiskalen-Analyse

Als wesentliche Zusatzvoraussetzung verlangen wir nun, dass auch der Raum Vj

eine Orthonormalbasis vom Typ φj,k; k ∈ Z hat, wobei φ ∈ L2(R) eine geeigneteFunktion ist (mehr dazu etwas spater). Alle anderen Eigenschaften einer so genan-nten “Multiskalen-Analyse” sind die naturlichen Eigenschaften, die wir schon inden Aussagen in Abschnitt 4.1 und 4.2 gesehen haben.

Definition 5.1. (Multiskalen-Analyse, engl. multiresolution analysis (MRA))

Eine Multiskalen–Analyse von L2(R) ist definiert durch eine Folge abgeschlossenerTeilraume Vj ⊂ L2(R), j ∈ Z, mit folgenden Eigenschaften.

(i) Verschachtelung (“nestedness”): Vj ⊂ Vj+1 fur alle j ∈ Z;(ii) Dichtheit (“density”) und Trennungseigenschaft (“separation”):

(5.1) clos L2(R)

∞⋃

j=−∞Vj

= L2(R),

∞⋂

j=−∞Vj = 0.

(iii) Skalierungsinvarianz: f ∈ Vj ⇐⇒ f(2−j ·) ∈ V0.(iv) Shiftinvarianz: f ∈ Vj ⇐⇒ f(· − 2−jk ∈ Vj fur alle k ∈ Z.(v) Es existiert φ ∈ V0 so, dass φ(· − k) : k ∈ Z eine Orthonormalbasis von

V0 ist.

φ heißt Skalierungsfunktion der Multiskalen-Analyse.

75

76 5. MULTISKALEN-ANALYSE UND DWT

Bemerkung 5.2. Die Funktionen φj,k werden wie ublich gebildet, also

φj,k = 2j/2φ(2j · −k), j, k ∈ Z.

Dann folgt aus der Skalierungsinvarianz (iii) und (v) sofort, dass φj,k; k ∈ Z eineOrthonormalbasis von Vj ist. Weiterhin ergibt sich die Darstellung

(5.2) Vj =

f ∈ L2(R)∣∣∣∣ f(ω) = 2−j/2τ(2−jω)φ(2−jω) mit τ 2π-periodischund quadrat-integrierbar auf (0, 2π)

.

Einige Bemerkungen sollen noch zur Redundanz der geforderten Eigenschaften (i)–(v) gemacht werden. Aus (v) folgt naturlich die Shiftinvarianz von V0, und mitder Skalierungsinvarianz ergibt sich sofort (iv). Wir haben die Shiftinvarianz (iv)nur der Deutlichkeit halber angegeben. Etwas tiefer ist die Aussage, dass auch dieTrennungseigenschaft in (ii) aus den Eigenschaften (iii) und (v) folgt.

Satz 5.3. Gegeben sei φ ∈ L2(R) so, dass φ(·−k); k ∈ Z ein Orthonormalsystemin L2(R) ist und die Raume

Vj = clos L2(R)span φj,k; k ∈ Zdie Verschachtelung Vj ⊂ Vj+1, j ∈ Z, erfullen. Dann gilt die Trennungseigenschaft

∞⋂

j=−∞Vj = 0.

Beweis: (siehe [?] Jia, Shen: “Multiresolution and Wavelets”, Proc. EdinburghMath. Soc. 37 (1994), 271–309, Satz 2.2)

Sei Pj : L2(R) → Vj die orthogonale Projektion auf Vj . Fur f ∈ L2(R) gilt

Pjf =∑

k∈Z〈f, φj,k〉φj,k

und‖Pjf‖22 =

∑

k∈Z|〈f, φj,k〉|2 =

∑

k∈Z2j |

∫

Rf(x)φ(2jx− k) dx|2.

Es genugt zu zeigen, dass limj→−∞ ‖Pjf‖2 = 0 gilt, denn fur f ∈ ⋂∞j=−∞ Vj ist ja

f = Pjf fur beliebiges j ∈ Z.

1. Falls f kompakten Trager suppf ⊂ [−R, R] hat, folgt

‖Pjf‖22 ≤∑

k∈Z2j

(∫ R

−R

|f(x)φ(2jx− k)| dx

)2

≤∑

k∈Z2j‖f‖22

∫ R

−R

|φ(2jx− k)|2 dx

= ‖f‖22∑

k∈Z

∫

Ij,−k

|φ(x)|2 dx = ‖f‖22∫

Ej

|φ(x)|2 dx,

wobei wir die Mengen

Ij,k := [k − 2jR, k + 2jR], Ej :=⋃

k∈ZIj,k

1. DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN DER MULTISKALEN-ANALYSE 77

verwenden. Wegen Ej ⊂ Ej+1 und0⋂

j=−∞Ej = Z

konvergiert die Folge der Funktionen hj := |φ|2χEj fur j gegen −∞ punktweisefast uberall gegen 0. Die Funktion h := |φ|2 ist integrierbare Majorante. Also folgtnach dem Satz von Lebesgue

(5.3) limj→−∞

‖Pjf‖22 = 0.

2. Die Folge der Orthogonalprojektionen Pj , j = 0,−1, . . ., ist gleichmaßig beschrankt,denn die Operatornorm ist ‖Pj‖ = 1. Da die Funktionen mit kompaktem Tragerdicht in L2(R) liegen, folgt aus dem Prinzip der gleichmaßigen Beschranktheit, dass(5.3) fur jedes f ∈ L2(R) gilt.

Fur die Dichtheit der Raume Vj geben Jia und Shen in der angegebenen Arbeitebenfalls ein einfaches Kriterium an.

Satz 5.4. Unter den Voraussetzungen von Satz 5.3 gilt die Aquivalenz

(5.4) clos L2(R)

∞⋃

j=−∞Vj

= L2(R) ⇐⇒ λ

R \

∞⋃

j=−∞(2jsupp φ)

= 0,

wobei λ das Lebesgue-Maß auf R bezeichnet.

Beweis: Wir skizzieren den Beweis, der im Wesentlichen auf der von Helsonangegebenen Charakterisierung der R-shift-invarianten abgeschlossenen Teilraumevon L2(R) beruht. Sei also

X := clos L2(R)

∞⋃

j=−∞Vj

.

Nach Definition ist X ein abgeschlossener Teilraum von L2(R).

1. Wir zeigen, dass X sogar R-shift-invariant ist.

Sei f ∈ X und y ∈ R beliebig. Zu beliebigem ε > 0 existiert j0 ∈ Z und g ∈ Vj0

mit ‖f − g‖2 ≤ ε. Weiter folgt

• aufgrund der Verschachtelung der Raume Vj , dass g ∈ Vj fur alle j ≥ j0 gilt;• aufgrund der Shiftinvarianz der Raume Vj , dass g(· − 2−jk) ∈ X fur alle j ≥ j0

und k ∈ Z (und damit fur alle j, k ∈ Z) gilt.

Die Menge der rationalen Zahlen 2jk; j, k ∈ Z ist dicht in R. Andererseits ist furjedes f ∈ L2(R) die reelle Funktion

t 7→ ‖f − f(· − t)‖2, t ∈ R,

stetig (-¿Integrationstheorie). Also existiert ein rationaler Punkt t = 2jk mit

‖f(· − y)− f(· − t)‖2 ≤ ε.


Insgesamt erhalten wir fur die Funktion g(· − t) ∈ X die Abschatzung

‖f(·−y)−g(·−t)‖ ≤ ‖f(·−y)−f(·−t)‖+‖f(·−t)−g(·−t)‖ = ‖f(·−y)−f(·−t)‖+‖f−g‖ ≤ 2ε.

Also existiert zu jedem ε > 0 eine Funktion g ∈ X mit ‖f(·) − g‖ ≤ 2ε. Weil Xabgeschlossen ist, folgt f(· − y) ∈ X.

2. Helson’s Charakterisierung besagt, dass eine messbare Menge B = B(X) ⊂ Rexistiert, so dass

X = f ∈ L2(R); f(ω) = 0 fur alle ω /∈ B.Um die Aquivalenz in (5.4) zu beweisen, mussen wir nun die Aquivalenz

B(X) = R ⇐⇒ λ

R \

∞⋃

j=−∞(2jsupp φ)

= 0

zeigen. Dies folgt aus der expliziten Angabe von Vj in (5.2) und wegen

supp (φ(2j ·)) = 2−jsupp φ.

Bemerkung 5.5. a) Die Dichtheitsbedingung in Definition 5.1 ist automatisch erfullt,wenn die Skalierungsfunktion φ kompakten Trager hat: Dann ist φ eine ganzeFunktion (Satz von Paley-Wiener), also φ(ω) 6= 0 fur fast alle ω ∈ R (sogar C).

b) Die Dichtheitsbedingung ist ebenfalls erfullt, wenn supp φ ein Intervall [−δ, δ]mit δ > 0 enthalt. Denn dann gilt die Bedingung auf der rechten Seite in (5.4).Dies ist insbesondere der Fall, wenn φ(0) 6= 0 und φ stetig bei ω = 0 ist.

Eine weitere Vereinfachung der Definition 5.1 erhalten wir, indem wir die BeziehungV0 ⊂ V1 mit Hilfe der Orthonormalbasis von V1 ausdrucken. Die sich darausergebende Gleichung fur die Skalierungsfunktion φ heißt die Skalierungsgleichungoder Verfeinerungsgleichung. Sie stellt den Kernpunkt der weiteren Betrachtungvon MRA-Wavelets dar.

Satz 5.6. Sei φ die Skalierungsfunktion einer MRA Vjj∈Z. Dann gilt

(5.5) φ(x) =∑

k∈Zpkφ(2x− k) mit pk = 2〈φ, φ(2 · −k)〉

und

(5.6) 1 = ‖φ‖22 =12

∑

k∈Z|pk|2.

Aquivalent dazu sind die Beziehungen der Fourier-Transformierten

(5.7) φ(ω) = P(ω

2

)φ

(ω

2

)mit P (ω) =

12

∑

k∈Zpke−ikω

und

(5.8) 1 = ‖φ‖22 =1π

∫ 2π

0

|P (ω)|2 dω.


Beide Gleichungen (5.5) und (5.7) werden als Skalierungsgleichung von φ bezeichnet.Die Folge (pk)k∈Z heißt die Skalierungsmaske und die 2π-periodische Funktion Pheißt das Skalierungs-Symbol von φ.

Beweis: Wegen V0 ⊂ V1 gilt φ ∈ V1. Aus Bemerkung 5.2 folgt, dass √2φ(2 ·−k); k ∈ Z eine Orthonormalbasis von V1 ist. Hieraus folgen sofort die Iden-titaten (5.5) und (5.6). Die weiteren Aussagen ergeben sich durch Anwendung derRechenregeln der Fourier-Transformation.

Die Orthogonalitat der Funktionen φ(· − k), k ∈ Z, hat weitere Konsequenzen furdie Koeffizienten der Skalierungsmaske.

Folgerung 5.7. Die Skalierungsmaske (pk)k∈Z einer Skalierungsfunktion φ erfulltdie Orthogonalitatsrelationen

(5.9)∑

k∈Zpkpk+2` = 2δ`,0, ` ∈ Z.

Hierzu aquivalent ist die Eigenschaft des Skalierungssymbols

(5.10) |P (ω)|2 + |P (ω + π)|2 = 1 fur fast alle ω ∈ (0, 2π).

Beweis: Fur ` = 0 ist die Gleichung bereits in Satz 5.6 enthalten, siehe (5.6). Fur` 6= 0 setzen wir die Skalierungsgleichung fur φ ein und erhalten aus der Orthonor-malitat der Familie Φ1

0 = 〈φ, φ(· − `)〉 =

⟨∑

k∈Zpkφ(2 · −k),

∑

m∈Zpmφ(2 · −m− 2`)

⟩

=12

∑

k,m

pkpm〈φ1,k, φ1,m+2`〉

=12

∑

k

pkpk−2`.

Die aquivalente Aussage fur das Skalierungssymbol P erhalt man durch

|P (ω)|2 + |P (ω + π)|2 =14

∑

k∈Z

∑

`∈Zpkpk+`

(ei`ω + ei`(ω+π)︸︷︷︸

=(−1)`ei`ω

)

=12

∑

`∈Z

(∑

k∈Zpkpk+2`

)ei2`ω.

Die Skalierungsmaske hat noch weitere Eigenschaften, die wir in Abschnitt 5.4 un-tersuchen werden. Dieser Abschnitt soll durch drei Beispiele abgeschlossen werden.

Beispiel 5.8. Wir geben die Skalierungsfunktion φ = χ[0,1)(x) vor. Dann sind

V0 = f =∑

k∈Zckχ[k,k+1)(x) : ckk∈Z ∈ `2(Z),

Vj = f =∑

k∈Zckχ[2−jk,2−j(k+1))(x) : ckk∈Z ∈ `2(Z),


die quadrat-integrierbaren Treppenfunktionen mit Sprungstellen in Z (fur V0) bzw.2−jZ (fur Vj, j ∈ Z). Die Eigenschaften in Definition 5.1 sind erfullt:

(i) ist erfullt, weil Z ⊂ 12Z, also V0 ⊂ V1 und Vj ⊂ Vj+1 fur alle j ∈ Z.

(ii) Die Dichtheit ist allgemeines Resultat der Lebesgue–Theorie (Approximationvon f ∈ L2(R) durch Treppenfunktionen). Die Eigenschaft folgt auch aus demSatz 5.4 von Jia und Shen, da supp φ = R gilt.Die Trennungseigenschaft sieht man auch sofort ein: Falls f ∈ ∩j∈ZVj gilt,dann ist f eine Treppenfunktion, die hochstens Sprungstellen in

Z ∩ 2Z ∩ 4Z · · · = ∩∞j=02jZ = 0

haben kann. Somit ist f konstant in R+ und R−. Wegen f ∈ L2(R) mussf||R+ ≡ 0 und f||R− ≡ 0 gelten. Die Uberprufung der Trennungseigenschaft istsogar uberflussig, wie der Satz 5.3 besagt.

(iii) und (iv) sind durch die Definition von Vj gewahrleistet.(v) ist ebenfalls durch die Definition von V0 und die offensichtliche Orthonormalitat

von φ(· − k); k ∈ Z gegeben.

Die Skalierungsgleichung lautet

(5.11) φ(x) = φ(2x) + φ(2x− 1),

also ist p0 = p1 = 1 und pk = 0 fur alle anderen k ∈ Z und

P (ω) =12(1 + e−iω) = e−iω/2 cos(ω/2).

Hieran erkennt man die Gultigkeit von (5.10). Daruberhinaus halten wir hier schonfest, dass P (0) = 1 und P (π) = 0 erfullt sind, wie wir in Abschnitt 4 noch allge-meiner erkennen.

Beispiel 5.9. Nun geben wir die Skalierungsfunktion φ(x) = sinc x = sin(πx)πx ∈

L2(R) vor, die im Nullpunkt durch φ(0) = 1 stetig fortgesetzt wird. Diese Funktionheißt der ”sinus cardinalis” und wird in der Signalverarbeitung wegen der folgendenEigenschaft verwendet:

Fur jedes bandbeschrankte f ∈ L2(R) mit f(ω) = 0 fur alle |ω| > π (und fstetig) gilt

(5.12) f =∑

k∈Zf(k)sinc (x− k),

wobei die Reihe in L2(R) gegen f konvergiert.

Diese Aussage wird als Abtasttheorem bezeichnet, die Reihe in (5.12) heißt diekardinale Reihe von f . Sie ist die Grundlage fur die Digitalisierung von Signalen(z.B. fur Musik-CD’s).1

1Die Beweisidee des Abtasttheorems ist einfach zu erklaren: wegen f ∈ L2(R) und supp f

kompakt gilt auch f ∈ L1(R); also kann f als stetig vorausgesetzt werden und die Werte f(k)

sind wohldefiniert. Die 2π-periodische Funktion g mit g(ω) = f(ω) auf [−π, π) hat die Fouri-erreihe g(ω) =

Pk∈Z f(k)e−ikω mit Konvergenz der Reihe in L2((−π, π)). Also konvergiertP

k∈Z f(k)e−ikω · χ[−π,π] in L2(R) gegen f . Dies ist aber das gleiche wie die L2(R)-Konvergenz

der kardinalen Reihe von f gegen f .


Es gilt φ(ω) = χ[−π,π](ω). Wir analysieren wieder die Eigenschaften in Definition5.1.

(v) Es gilt

〈φ(· − k), φ(· − l)〉 =12π〈e−ikωφ, e−ilωφ〉

=12π

∫ π

−π

e−i(k−l)ω dω

= δk,l,

also ist φ(· − k) : k ∈ Z ONB von V0.(iii) und (iv) ergeben sich aus der Definition von Vj.(ii) Die Dichtheit und Trennungseigenschaft folgt direkt aus der Darstellung (5.2),

denn hier ist

Vj = f ∈ L2; supp f ⊂ [−2jπ, 2jπ], j ∈ Z.

Naturlich konnen die Nachweise auch wieder mit den Satzen 5.3 und 5.4 erbrachtwerden.

(i) folgt ebenfalls aus der obigen Darstellung von Vj.

Die Skalierungsgleichung wird zuerst fur die Fourier-Transformierten ermittelt.Wegen φ(ω

2 ) = χ[−2π,2π) gilt

(5.13) φ(ω) = P (ω2 )φ(ω

2 ) mit P (ω) =

1, falls ω ∈ [−π

2 , π2 ) + 2πZ,

0, falls ω ∈ [π2 , 3π

2 ) + 2πZ.

Man beachte die 2π-Periodizitat von P sowie die Gultigkeit von (5.10) sowie P (0) =1 und P (π) = 0. Die Koeffizienten der Skalierungsmaske (pk)k∈Z sind die Fouri-erkoeffizienten

pk =1π

∫ π

−π

P (ω)eikω dω =1π

∫ π/2

−π/2

eikω dω =

1, falls k = 0,1

ikπ (ik − i−k) = 0, falls k ∈ 2Z \ 0,1

ikπ (ik − i−k) = (−1)`

(2`+1)π , falls k = 2` + 1 ∈ 2Z+ 1.

Hier ist also (pk)k∈Z ∈ `2(Z), aber die Folge ist nicht absolut summierbar.

Bemerkung 5.10. Im obigen Beispiel gilt pk = φ(k/2) fur alle k ∈ Z. Also hat dieSkalierungsgleichung die spezielle Form

(5.14) φ(x) =∑

k∈Zφ(k

2 )φ(2x− k),

die ein Beispiel fur das erwahnte Abtast-Theorem der Signalverarbeitung ist: furbandbeschrankte Funktionen f mit f(ω) = 0 fur alle |ω| > 2π wird die kardinaleReihe nicht mit den Z-Shifts von sinc x, sondern mit den 1

2Z-Shifts von sinc 2xgebildet.

Ubung 5.11. Seien Xj und Yj definiert durch

Xj = f ∈ L2(R) : f(t) = 0 fur fast alle |t| ≤ 2−j,Yj = f ∈ L2(R) : f(ω) = 0 fur fast alle |ω| ≤ 2−j.

Welche der Axiome einer MRA sind jeweils verletzt?


Ubung 5.12. Sei (V Hj )j∈Z die zur Haar-Skalierungsfunktion φH gehorige Multiskalen–

Analyse. Zeigen Sie:Eine Funktion φ ∈ L2(R) mit kompaktem Trager ist genau dann eine Skalierungs-funktion zu dieser Multiskalen–Analyse, wenn φ = c · φH(· − k) fur ein k ∈ Z mit|c| = 1 gilt.

Ubung 5.13. Beweisen Sie die folgende Aussage: Ist φ ∈ L2(R) Skalierungsfunk-tion einer MRA und besitzt φ kompakten Trager, so gilt φ ∈ L1(R) und φ(0) 6= 0.(Hinweis: Man betrachte die Orthogonalprojektionen Pjf fur f = χ[0,1]; Rechnungerfolgt im Zeitbereich.)

2. Konstruktion von MRA-Wavelets

Wenn eine MRA mit Skalierungsfunktion φ wie in Definition 5.1 gegeben ist, soist die Konstruktion eines zugehorigen orthogonalen Wavelets ψ besonders einfach.Dabei wird das Verhaltnis von φ und ψ durch die schon bekannte Identitat

Vj =j−1∑

`=−∞W`

ausgedruckt; d.h. zu den gegebenen Raumen Vj wird durch den Raum

Wj = clos L2(R)span ψj,k; k ∈ Zdie orthogonale Zerlegung

(5.15) Vj+1 = Vj ⊕Wj

geliefert.

Die folgende Aussage ergibt bereits das Endergebnis der Wavelet-Konstruktion.Interessanterweise wird die in Kapitel 4 entwickelte Charakterisierung orthogonalerWavelets uberhaupt nicht verwendet.

Satz 5.14. Gegeben sei eine MRA von L2(R) mit der Skalierungsfunktion φ. Mit(pk)k∈Z und P seien die Skalierungsmaske sowie das Skalierungssymbol bezeichnet.Dann ist die Funktion ψ ∈ V1 mit

(5.16) ψ(x) =∑

k∈Z(−1)1−kp1−kφ(2x− k),

oder aquivalent

(5.17) ψ(ω) = e−iω/2P(ω

2+ π

)φ

(ω

2

),

ein orthogonales Wavelet. Weiterhin ist der Waveletraum Wj das orthogonaleKomplement von Vj in Vj+1.

Die Folge (qk)k∈Z mit qk = (−1)1−kp1−k und die zugehorige Funktion Q(ω) =e−iωP (ω + π) nennen wir Waveletmaske und Waveletsymbol.

Im Beweis verwenden wir die folgende Darstellung des Klammerprodukts [f , φ], dasdie Verfeinerungsrelation (5.7) ausnutzt.

2. KONSTRUKTION VON MRA-WAVELETS 83

Hilfssatz 5.15. Die Funktion φ ∈ L2(R) erfulle die Skalierungsrelation (5.7).Dann gilt fur alle f ∈ L2(R)

[f , φ](ω) = P(

ω2

)[f(2·), φ]

(ω2

)+ P

(ω2 + π

)[f(2·), φ]

(ω2 + π

).

Beweis: Wir nutzen die Periodizitat von P und erhalten

[f , φ](ω) =∑

k∈Zf(ω + 2kπ)P

(ω+2kπ

2

)φ

(ω+2kπ

2

)

= P(

ω2

) ∑

k∈Zf(ω + 4kπ)φ

(ω2 + 2kπ

)+ P

(ω2 + π

) ∑

k∈Zf(ω + 2π + 4kπ)φ

(ω2 + π + 2kπ

)

= P(

ω2

)[f(2·), φ]

(ω2

)+ P

(ω2 + π

)[f(2·), φ]

(ω2 + π

).

Beweis von Satz 5.14: 1. Es genugt, die folgenden zwei Aussagen zu zeigen:

a) ψ(· − k); k ∈ Z ist Orthonormalsystem, also eine Orthonormalbasis von W0.b) V1 besitzt die Zerlegung (5.15), also

V1 = V0 ⊕W0 und W0 ⊥ V0.

Denn dann folgt:

a1) Fur jedes j ∈ Z ist Ψj = ψj,k; k ∈ Z eine Orthonormalbasis des Raums Wj

(Skalierung).b1) Fur jedes j ∈ Z gilt Vj+1 = Vj ⊕Wj sowie Vj ⊥ Wj (Skalierung). Also ist

(5.18) φj,k; k ∈ Z ∪ ψj,k; k ∈ Z = Φj ∪Ψj

eine weitere Orthonormalbasis von Vj+1 (neben Φj+1).b2) Die Raume Wj sind paarweise orthogonal: denn fur j > ` gilt

W` ⊂ V`+1 ⊂ Vj ⊥ Wj .

Aus (a1) und (b2) folgt sofort, dass Ψ =⋃

j∈ZΨj ein Orthonormalsystem in L2(R)ist. Die Vollstandigkeit folgt aus der Trennungs- und Dichtheitseigenschaft derMRA (Vj)j∈Z sowie (b1), denn fur f ∈ L2(R) ist

‖f‖22 = limj→∞

`→−∞

‖Pjf − P`f‖22

= limj→∞

`→−∞

j−1∑

m=`

‖Qmf‖22 =∞∑

m=−∞‖Qmf‖22.

2. Die Eigenschaft (a) wird mit Satz 4.15(a) und der aus Definition 5.1(v) re-sultierenden Identitat [φ, φ] ≡ 1 f.u. bewiesen. Aus der Eigenschaft (5.10) desSklalierungssymbols P folgt fur das Waveletsymbol Q

(5.19) |Q(ω)|2 + |Q(ω + π)|2 = |P (ω + π)|2 + |P (ω)|2 = 1 f.u.

Die Darstellung (5.17) von ψ und die Periodizitat von Q liefern genau wie in Hilf-ssatz 5.15

[ψ, ψ](ω) = Q(

ω2

)[ψ(2·), φ]

(ω2

)+ Q

(ω2 + π

)[ψ(2·), φ]

(ω2 + π

).


Wegen ψ(2·) = Qφ kann der 2π-periodische Faktor Q aus dem Klammerproduktherausgezogen werden. Dies ergibt

[ψ, ψ](ω) =∣∣Q (

ω2

)∣∣2 [φ, φ](

ω2

)+

∣∣Q (ω2 + π

)∣∣2 [φ, φ](

ω2 + π

)

=∣∣Q (

ω2

)∣∣2 +∣∣Q (

ω2 + π

)∣∣2 = 1.

3. Um die Eigenschaft (b) zu zeigen, beweisen wir zunachst die OrthogonalitatW0 ⊥ V0. Diese folgt aus Satz 4.18(b), denn ahnlich zum vorherigen Teil erhaltenwir

[ψ, φ](ω) = Q(

ω2

)P

(ω2

)+ Q

(ω2 + π

)P

(ω2 + π

)

= e−iω/2P(

ω2 + π

)P

(ω2

)+ e−i(ω/2+π)P

(ω2

)P

(ω2 + π

)= 0.

4. Es bleibt also, die Beziehung V1 = V0 ⊕W0 zu zeigen. Aufgrund der vorherigenUberlegungen zur Orthogonalitat ist dies aquivalent mit

(5.20) P1f = P0f +Q0f, f ∈ L2(R),

wobei Pj und Qj wieder die Orthogonalprojektionen auf Vj bzw. Wj bezeichnen.Mit Satz 4.18(c), Hilfssatz 5.15 und nochmaliger Anwendung der Skalierungsgle-ichung (5.7) erhalten wir

(P0f)∧(ω) = [f , φ](ω) φ(ω)

=

P(

ω2

)[f(2·), φ]

(ω2

)+ P

(ω2 + π

)[f(2·), φ]

(ω2 + π

)P

(ω2

)φ

(ω2

).

Ebenso erhalten wir

(Q0f)∧(ω) = [f , ψ](ω) ψ(ω)

=

Q(

ω2

)[f(2·), φ]

(ω2

)+ Q

(ω2 + π

)[f(2·), φ]

(ω2 + π

)Q

(ω2

)φ

(ω2

).

Addition beider Ausdrucke ergibt

(P0f +Q0f)∧(ω) = (A(ω) + B(ω))φ(

ω2

),

mit

A(ω) =(∣∣P (

ω2

)∣∣2 +∣∣Q (

ω2

)∣∣2)

[f(2·), φ](

ω2

)

und

B(ω) =(P

(ω2

)P

(ω2 + π

)+ Q

(ω2

)Q

(ω2 + π

))[f(2·), φ]

(ω2 + π

).

Durch Einsetzen der Definition des Waveletsymbols Q erhalten wir

(5.21)∣∣P (

ω2

)∣∣2 +∣∣Q (

ω2

)∣∣2 =∣∣P (

ω2

)∣∣2 +∣∣P (

ω2 + π

)∣∣2 = 1

(5.22)P

(ω2

)P

(ω2 + π

)+ Q

(ω2

)Q

(ω2 + π

)= P

(ω2

)P

(ω2 + π

)+ eiπP

(ω2 + π

)P

(ω2

)= 0.

Also ergibt sich insgesamt wieder mit Satz 4.18(c)

(P0f +Q0f)∧(ω) = [f(2·), φ](

ω2

)φ

(ω2

)= (P1f)∧(ω).

Damit ist der Beweis des Satzes beendet.

2. KONSTRUKTION VON MRA-WAVELETS 85

Fur den Beweis war weniger die konkrete Gestalt von Q, als vielmehr die 3 Eigen-schaften (5.19), (5.21) und (5.22) entscheidend. Die letzten beiden Gleichungenergeben die Bedingungen

(5.23)

|P (ω)|2 + |Q(ω)|2 = 1,

|P (ω + π)|2 + |Q(ω + π)|2 = 1,

P (ω)P (ω + π) + Q(ω)Q(ω + π) = 0.

Dies ist aquivalent dazu, dass die Matrix

(5.24) R(ω) =(

P (ω) Q(ω)P (ω + π) Q(ω + π)

)

unitar ist, denn (5.23) beschreibt die Orthonormalitat der Zeilen von R. Alsaquivalente Bedingung kann auch die Orthonormalitat der Spalten vonR verwendetwerden, also

(5.25)

|P (ω)|2 + |P (ω + π)|2 = 1,

|Q(ω)|2 + |Q(ω + π)|2 = 1,

P (ω)Q(ω) + P (ω + π)Q(ω + π) = 0.

Also ist die Gleichung (5.19) bereits eine Folgerung der anderen Gleichungen (5.21)und (5.22). Beide Systeme (5.23) und (5.25) sind aquivalent. Insgesamt ergibt sichdie folgende Charakterisierung der zu φ gehorenden MRA-Wavelets.

Korollar 5.16. Gegeben sei eine MRA von L2(R) mit der Skalierungsfunktionφ. Die Funktion ψ ∈ V1 mit ψ(ω) = Q(ω/2)φ(ω/2) ist genau dann orthogonalesWavelet, wenn die Matrix in (5.24) fur fast alle ω ∈ R unitar ist.

Bemerkung 5.17. Matrizen der Form (5.24), die fur fast alle ω ∈ R unitar sind,werden in der Signalverarbeitung paraunitare Matrizen genannt. Ihre Bedeutungwerden wir bei der Vorstellung der Wavelet-Filterbank genauer kennenlernen.

Beispiel 5.18. Zur Skalierungsfunktion φ = χ[0,1) aus Beispiel 5.8 wird nach Satz5.14 das Haar-Wavelet

(5.26) ψ(x) = −(φ(2x)− φ(2x− 1)) = −χ[0,1/2) + χ[1/2,1)

definiert. Das Waveletsymbol lautet

(5.27) Q(ω) =e−iω

2(1− eiω) = −ie−iω/2 sin(ω/2).

Tatsachlich verwendet man meistens −ψ und entsprechend −Q als Haar-Wavelet.

Beispiel 5.19. Zur Skalierungsfunktion φ(x) = sinc x = sin(πx)πx mit φ = χ[−π,π]

aus Beispiel 5.9 gehort die Funktion ψ mit(5.28)

ψ(ω) = e−iω/2P (ω2 + π)φ(ω

2 ) =

0 fur 0 ≤ ω ≤ π, weil P (ω2 + π) = 0,

e−iω/2 fur π < |ω| ≤ 2π,

0 fur |ω| > 2π, weil φ(ω2 ) = 0.

Das Waveletsymbol ist die 2π-periodische Fortsetzung der auf [0, 2π] definiertenFunktion Q(ω) = e−iωχ[π/2,3π/2](ω). Man beachte, dass mit der Wavelet-Menge


E = [−2π,−π) ∪ [π, 2π) aus Ubung 4.23 auch ψ = σχE gilt, wobei σ die 2π-periodische Fortsetzung von σ(ω) = e−iω/2 fur ω ∈ E ist; offensichtlich ist |σ| ≡ 1(aber σ unstetig).

Anstelle von ψ wird deshalb die Funktion η aus Ubung 4.23 mit η = χE als dasShannon-Wavelet bezeichnet. Es hangt genau wie ψ uber eine Skalierungsgleichungmit φ zusammen, denn

η(ω) = Qη(ω2 )φ(ω

2 )mit der 2π-periodischen Fortsetzung der auf [0, 2π] definierten Funktion Qη(ω) =χ[π/2,3π/2](ω). Also ist η ∈ V1 ein orthogonales MRA-Wavelet, das die gleichenWavelet-Raume Wj wie ψ erzeugt. Abschließend sei noch erwahnt, dass fur dasSkalierungssymbol P und das modifizierte Wavelet-Symbol Qη die Matrix (5.24)ebenfalls unitar ist.

Beispiel 5.20. Wir wollen nun zeigen, dass die Meyer-Wavelets durch eine MRAerzeugt werden. Wir verwenden die Bezeichnungen aus Beispiel 4.20. Sei P die2π-periodische Funktion in (4.24), also

P (ω) =

1 fur 0 ≤ |ω| ≤ π/3,

σ(|ω|) fur π/3 < |ω| ≤ 2π/3,

0 fur 2π/3 < |ω| ≤ π,

wobei 0 ≤ σ(ω) ≤ 1 so gewahlt wird, dass P ∈ Cr(R) fur ein r ∈ N0 und |P (ω)|2 +|P (ω +π)|2 ≡ 1 erfullt ist. Wir definieren die bandbeschrankte Funktion φ ∈ L2(R)mit

(5.29) φ(ω) =

P (ω

2 ) fur 0 ≤ |ω| ≤ 4π/3,

0 fur |ω| > 4π/3.

Die Identitaten φ(ω) = P (ω2 )φ(ω

2 ) und [φ, φ] ≡ 1 rechnet man einfach nach. Durchφ wird eine MRA definiert. Das zugehorige Wavelet in Satz 5.14 ist gegeben durch

ψ(ω) = e−iω/2P (ω2 + π)φ(ω

2 ) =

0 fur 0 ≤ |ω| ≤ 2π/3, weil P (ω2 + π) = 0,

e−iω/2P (ω/2 + π) fur 2π/3 < |ω| ≤ 4π/3, weil φ(ω2 ) = 1,

e−iω/2P (ω/4) fur 4π/3 < |ω| ≤ 8π/3, weil P (ω2 + π) = 1,

0 fur |ω| > 8π/3, weil φ(ω2 ) = 0.

Dies ist aber die gleiche Definition von ψ wie im Beispiel 4.20, siehe Gleichung(4.25).

3. Rekursiver Algorithmus zur DWT

Die Gleichung (5.20) beschreibt die Zerlegung einer Funktion f1 ∈ V1 in die Kom-ponenten f1 = f0 + g0 mit f0 ∈ V0 und g0 ∈ W0. Wiederholte Anwendung ergibtfur f = fJ ∈ VJ , J ∈ Z, und L ∈ N die Zerlegung

(5.30) f = gJ−1 + gJ−2 + · · ·+ gJ−L + fJ−L

mit gj ∈ Wj und fJ−L ∈ VJ−L. Wir verwenden im folgenden die Bezeichnungen

(5.31)aj,k := 〈f, φj,k〉, kurz aj = 〈f, Φj〉,dj,k := 〈f, ψj,k〉, kurz dj = 〈f, Ψj〉,

3. REKURSIVER ALGORITHMUS ZUR DWT 87

und nennen aj (bzw. fj =∑

k aj,kφj,k) die Approximation der Stufe j sowie dj

(bzw. gj =∑

k dj,kψj,k) die Details der Stufe j. Durch dj , j < J , ist also diediskrete Wavelet-Transformation (DWT) von f ∈ VJ gegeben. Aquivalent zu (5.30)liefert (5.52) die Zerlegung

(5.32) ‖aJ‖2`2 = ‖dJ−1‖2`2 + ‖dJ−2‖2`2 + · · · ‖dJ−L‖2`2 + ‖aJ−L‖2`2 .

Aus den Skalierungsgleichungen (5.5) und (5.16) erhalten wir sofort

φj−1,k = 2−1/2∑

m∈Zpmφj,2k+m,

ψj−1,k = 2−1/2∑

m∈Zqmφj,2k+m, qk = (−1)1−kp1−k.

Daraus ergibt sich der folgende rekursive Algorithmus zur Berechnung der DWTvon f ∈ VJ .

Algorithmus 5.21. DWT (Zerlegung)Gegeben sei aJ = (aJ,k)k∈Z zur Funktion f =

∑k∈Z aJ,kφJ,k.

Fur j = J, J − 1, . . . , berechne

aj−1,k = 2−1/2∑

m∈Zpmaj,2k+m(5.33)

dj−1,k = 2−1/2∑

m∈Zqmaj,2k+m(5.34)

Bei praktischen Anwendungen gibt man noch die Anzahl L ∈ N der gewunschtenZerlegungsschritte vor. Ein typischer Befehl in matlab zum Eingabevektor A = aJ

lautet

[D,K] = wavedec(A,L,’Haar’)

Dabei kann ’Haar’ durch andere verfugbare Typen von Wavelets ersetzt werden(siehe wfilters-Befehl). Der Ausgabevektor D enthalt die Vektoren aJ−L, dJ−L, . . . , dJ−1

in dieser Reihenfolge und der Vektor K gibt die Langen der einzelnen Vektoren sowieals letzten Eintrag die Lange des Eingabevektors A an.

Die Approximation aJ−L und die Details dj , J − L ≤ j ≤ J − 1, konnen wie in(5.30) wieder zur Approximation aJ zusammengefugt werden. Dazu benutzen wirwieder die Skalierungsgleichungen (5.5) und (5.16) und erhalten

〈φj,k, φj−1,`〉 = 2−1/2∑

m∈Zpm〈φj,k, φj,2`+m〉 = 2−1/2pk−2`,

〈φj,k, ψj−1,`〉 = 2−1/2∑

m∈Zqm〈φj,k, φj,2`+m〉 = 2−1/2qk−2`.

Weil Φj−1 ∪Ψj−1 eine ONB von Vj sind, erhalten wir

(5.35) φj,k = 2−1/2∑

`∈Z(pk−2`φj−1,` + qk−2`ψj−1,`).

Hieraus ergibt sich der folgende Algorithmus.


aJ

dJ−1

%%LLLLLLLaJ−1//

dJ−2

%%LLLLLLaJ−2//

· · ·

· · ·

dJ−L+1

%%LLLLLLL aJ−L+1//

dJ−L

%%LLLLLLaJ−L//

aJ−L

dJ−L

aJ−L+199rrrrrr

//

dJ−L+1

aJ−L+299rrrrrr

//

· · ·

· · ·

dJ−2

aJ−199rrrrrr

//

dJ−1

aJ99rrrrrrr

//

Bild 5.1. DWT-Zerlegung (oben) und Rekonstruktion (unten)

Algorithmus 5.22. DWT (Rekonstruktion)Gegeben seien aJ−L = 〈f, ΦJ−L〉 und dj = 〈f, Ψj〉, J − L ≤ j ≤ J − 1.

Fur j = J − L + 1, . . . , J berechne

aj,k = 2−1/2∑

`∈Z(pk−2`aj−1,` + qk−2`dj−1,`).(5.36)

Der entsprechende Befehl in matlab zur oben beschriebenen Datenstruktur aus derWavelet-Zerlegung lautet

A = waverec(D,K,’Haar’)

Zerlegungs- und Rekonstruktions-Algorithmus bilden zusammen eine “Perfect Re-construction Filter Bank”; damit bezeichnet man die Anwendung von digitalen Fil-teroperationen (z.B. der Faltung mit vorgegebenen “Masken”, hier (pk) und qk), dienach vollstandiger Ausfuhrung wieder zum Ursprungssignal (hier aJ) zuruckfuhren.Eine einfache Darstellung dieser Filterbank ist durch den Graphen in Abbildung5.1 gegeben.

Die Operationen in (5.33) und (5.34) stehen in engem Zusammenhang mit derdiskreten Faltung. Setzen wir pm = p−m und qm = q−m, so erhalten wir

aj−1,k = (p ∗ aj)2k,(5.37)dj−1,k = (q ∗ aj)2k.(5.38)

Nach der Faltung werden also die Folgen p ∗ aj bzw. q ∗ aj ausgedunnt, so dassnur die Folgenglieder mit geradem Index ubrigbleiben. Diese Operation auf demFolgenraum `(Z) heißt Downsampling und wird mit

(5.39) ↓2: `(Z) → `(Z), (ck)k∈Z 7→ (c2k)k∈Z

bezeichnet. In der Signalverarbeitung sind Diagramme ublich, um diese Operatio-nen zu veranschaulichen. Die Faltung wird dabei z.B. durch Angabe des SymbolsP bzw. Q zu den Filtern (oder Masken) (pk) bzw. (qk) bezeichnet. Die DWT-Zerlegung wird dann durch die Filterbank in Abbildung 5.2 dargestellt.

3. REKURSIVER ALGORITHMUS ZUR DWT 89

aJ 2−1/2

Q$$IIIII

↓2$$III

dJ−1

$$II

P// ↓2// 2−1/2

Q$$IIIII

↓2$$III

dJ−2

$$II

P// ↓2// 2−1/2

· · ·

· · · 2−1/2

Q$$IIIII

↓2$$III

dJ−L

$$II

P// ↓2// aJ−L//

aJ−L

dJ−L

↑2::uuu

Q::uuu

::uuuuu↑2// P//

2−1/2

dJ−L+1

↑2::uuu

Q::uuu

::uuuuu↑2// P//

2−1/2

· · ·

· · · 2−1/2

dJ−1

↑2::uuu

Q::uuu

::uuuuu↑2// P//

2−1/2aJ//

Bild 5.2. Filterbank der DWT-Zerlegung (oben) und Rekonstruk-tion (unten)

Die Operation (5.36) im Algorithmus zur Rekonstruktion lasst sich auf zweierleiArten interpretieren. Um den Zusammenhang zur Faltung klarzumachen, definierenwir zu den Folgen aj−1 und dj−1 die durch Nullen “aufgefullten” Folgen ↑2 aj−1

und ↑2 dj−1, wobei(5.40)

↑2: `(Z) → `(Z), (bk)k∈Z 7→ (ck)k∈Z mit ck =

bk/2 fur gerades k,

0 fur ungerades k,

den Upsampling-Operator bezeichnet. Dann erhalten wir aj in (5.36) durch

(5.41) aj = p ∗ (↑2 aj−1) + q ∗ (↑2 dj−1).

Die zugehorige Filterbank ist in Abbildung 5.2 dargestellt. Abschließend sei nochbemerkt, dass bei praktischen Anwendungen haufig die Zerlegung ohne den Fak-tor 2−1/2 gerechnet wird und deshalb der Faktor 1/2 zur Rekonstruktion (oderumgekehrt) verwendet wird.

Eine zweite Beschreibung von Algorithmus 5.22 zur Rekonstruktion ist in Anwen-dungen des Computer Aided Design (CAD) unter der Bezeichnung Unterteilungs-Algorithmus (engl. Subdivision) bekannt. Dazu schreiben wir die Gleichung (5.36)getrennt fur gerade und ungerade k ∈ Z auf, also

aj,2k = 2−1/2∑

`∈Z(p2`aj−1,k−` + q2`dj−1,k−`),(5.42)

aj,2k+1 = 2−1/2∑

`∈Z(p2`+1aj−1,k−` + q2`+1dj−1,k−`).(5.43)

Mit den Teilmasken (engl. stencil)

p(0) = (p2k)k∈Z, p(1) = (p2k+1)k∈Z,q(0) = (q2k)k∈Z, q(1) = (q2k+1)k∈Z,


· · · p4 p2 ×p0 p−2 p−4 · · · · · · p3 p1 × p−1 p−3 · · ·

· · · q4 q2 ×q0 q−2 q−4 · · · · · · q3 q1 × q−1 q−3 · · ·

Bild 5.3. Teilmasken (Stencils) der Skalierungsmaske (oben) undWaveletmaske (unten) zur DWT-Rekonstruktion (ohne Faktor2−1/2). Der Auswertungspunkt 2k (links) bzw. 2k + 1 (rechts)ist mit dem Kreuz markiert.

erhalten wir

aj,2k = 2−1/2((p(0) ∗ aj−1)(k) + (q(0) ∗ dj−1)(k)

),

aj,2k+1 = 2−1/2((p(1) ∗ aj−1)(k) + (q(1) ∗ dj−1)(k)

).

Die Gesamtfolge aj kann also durch Berechnung der Teilfolgen (aj,2k) und (aj,2k+1)mittels Faltung und anschließendes Zusammenfugen berechnet werden. Die Teil-masken werden wie in Abbildung 5.3 grafisch dargestellt.

4. Weitere Eigenschaften

Die Beziehung

V0 =−1⊕

`=−∞W`

zwischen den Wavelet-Raumen und dem Skalenraum V0 einer MRA kann durcheine uberraschende Beziehung zwischen φ und ψ verdeutlicht werden.

Satz 5.23. Sei φ ∈ L2(R) die Skalierungsfunktion einer MRA und ψ das in Satz5.14 definierte orthogonale Wavelet. Dann gilt

(5.44) |φ(ω)|2 =∞∑

j=1

|ψ(2jω)|2

mit punktweiser Konvergenz f.u.

Beweis: 1. Wir zeigen zunachst, dass

πj(ω) :=j−1∏

k=0

|P (2kω)|2, j ≥ 0,

punktweise f.u. gegen 0 konvergiert. (Fur j = 0 ist das leere Produkt π0 ≡ 1definiert.) Fur j ≥ 0 ist πj eine 2π-periodische nicht-negative Funktion. Fatou’sLemma besagt, dass

(5.45)∫ 2π

0

lim infj→∞

πj(ω) dω ≤ lim infj→∞

∫ 2π

0

πj(ω) dω

4. WEITERE EIGENSCHAFTEN 91

gilt. Aus der Eigenschaft (5.10) von P folgt, dass die Folge der Funktionen (πj)j≥0

monoton fallt, also punktweise f.u. gegen eine 2π-periodische nicht-negative Funk-tion g konvergiert. Weiterhin gilt 0 ≤ g ≤ 1, also ist g integrierbar. Um wiebehauptet g ≡ 0 f.u. zu zeigen, genugt der Nachweis von

∫ 2π

0

g(ω) dω = 0.

Dazu wenden wir die Skalierungsgleichung (5.7) auf das Produkt πj(ω)|φ(ω+2kπ)|2an und erhalten

πj(ω)[φ, φ](ω) = [φ(2j ·), φ(2j ·)](ω).

Wegen [φ, φ] ≡ 1 folgt aus (5.45)∫ 2π

0

g(ω) dω ≤ lim infj→∞

∫ 2π

0

πj(ω)[φ, φ](ω) dω

= lim infj→∞

∫ 2π

0

[φ(2j ·), φ(2j ·)](ω) dω

= lim infj→∞

‖φ(2j ·)‖22 = lim infj→∞

(2−j · 2π) = 0.

2. Die Skalierungsgleichungen fur φ und ψ sowie die Relation |Q|2 = 1 − |P |2ergeben fur j > 0

|ψ(2jω)|2 = |Q(2j−1ω)|2πj−1(ω) |φ(ω)|2 = (πj−1(ω)− πj(ω)) |φ(ω)|2.Also folgt fur alle R ≥ 1

R∑

j=1

|ψ(2jω)|2 =

R∑

j=1

(πj−1(ω)− πj(ω))

|φ(ω)|2 = (π0(ω)− πR(ω) |φ(ω)|2.

Aus π0 ≡ 1 und limR→∞ πR = 0 (punktweise f.u.) folgt die Behauptung.

Eine wichtige Klasse von Skalierungsfunktionen sind diejenigen φ, deren Skalierungs-maske (pk)k∈Z in der Wiener-Algebra

(5.46) A = `1(Z)

liegt. Dazu gehoren alle Skalierungsfunktionen mit kompaktem Trager, wie wirin Hilfssatz 6.1 zeigen werden. Fur Skalierungsmasken in A gelten die folgenden“Summenregeln” (engl. sum rules).

Hilfssatz 5.24. Falls die Fouriertransformierte der Skalierungsfunktion φ stetigan der Stelle ω = 0 ist, φ(0) 6= 0 erfullt ist und die Skalierungsmaske p = (pk)k∈Zein Element der Wiener-Algebra ist, gelten die aquivalenten Identitaten

(5.47)12

∑

k∈Zpk = 1 =

∑

k∈Zp2k =

∑

k∈Zp2k+1

und

(5.48) P (0) = 1, P (π) = 0.


Beweis: Die Bedingung an die Skalierungsmaske sichert zu, dass die Fourierreihe

P (ω) =12

∑

k∈Zpke−ikω

gleichmaßig und absolut konvergiert. Also ist P stetig. Aus der Skalierungsgle-ichung (5.7) und der Stetigkeit von φ bei ω = 0 sowie φ(0) 6= 0 folgt

P (0) = limω→0

φ(ω)

φ(ω/2)= 1.

Dies ist aquivalent zur ersten Beziehung in (5.47). Wir setzen nun A :=∑

k∈Z p2k

und B :=∑

k∈Z p2k+1. Weil (pk) zur Wiener-Algebra gehort, sind A,B ∈ Cwohldefiniert. Wir haben gerade gezeigt, dass A + B = 2 gilt. Weiterhin erhaltenwir aus (5.9)

|A|2 + |B|2 =∑

k,m∈Zp2kp2k+2m +

∑

k,m∈Zp2k+1p2k+1+2m

=∑

m∈Z

∑

k∈Zpkpk+2m = 2.

Wegen (pk) ∈ A ist die Vertauschung der Summationsreihenfolge erlaubt. BeideGleichungen A + B = 2 und A2 + B2 = 2 liefern nun A = B = 1.

Die Aquivalenz zu (5.48) sieht man ein durch

P (0) =12

∑

k∈Zpk =

12(A + B), P (π) =

12

∑

k∈Z(−1)kpk =

12(A−B).

Wir betrachten nun den Fall φ ∈ L1(R) genauer. Die Stetigkeit von φ ist durchSatz 3.10(a) gesichert. Weiterhin gilt fur jedes c ∈ A die Beziehung

c∗φ :=∑

k∈Zckφ(· − k) ∈ L1(R),

wie einfaches Nachrechnen zeigt. Die Operation ‘∗’ wird manchmal semi-diskreteFaltung genannt.

Ist nun die Skalierungsmaske p von φ ein Element der Wiener Algebra A, so giltfur das in Satz 5.14 definierte MRA-Wavelet

ψ =∑

k∈Z(−1)1−kp1−kφ(2 · −k) ∈ L1(R).

Damit ist ψ stetig. Weil ψ ein orthogonales Wavelet ist, muss insbesondere∑

j∈Z|ψ(2jω)|2 ≡ 1 f.u.

gelten, und dies zieht notwendig

ψ(0) =∫ ∞

−∞ψ(x) dx = 0

nach sich. Zusammen mit Hilfssatz 5.24 erhalten wir die folgende Aussage.

5. ERWEITERUNG DER AUSSAGEN AUF MRA TIGHT-WAVELET-FRAMES 93

Satz 5.25. Gegeben sei die Skalierungsfunktion φ ∈ L2(R) ∩ L1(R) einer MRA.Falls die Skalierungsmaske p ein Element der Wiener-Algebra ist, hat das MRA-Wavelet ψ in Satz 5.14 mindestens ein verschwindendes Moment, d.h. ψ ∈ L1(R)und

(5.49)∫ ∞

−∞ψ(x) dx = 0.

Falls zusatzlich φ(0) 6= 0 gilt, so gilt fur die Waveletmaske q und das WaveletsymbolQ

(5.50)∑

k∈Zqk = 0, Q(0) = 0.

Bemerkung 5.26. In Ubung 5.13 wurde gezeigt, dass die Zusatzbedingung φ(0) 6= 0fur Skalierungsfunktionen mit kompaktem Trager automatisch erfullt ist. WegenUbung 2.4 sieht man, dass dann die Bedingungen an die verschwindenden Momentevon ψ,

∫ ∞

−∞xrψ(x) dx = 0, 0 ≤ r ≤ L− 1,

aquivalent sind zu den Bedingungen an q bzw. p,

∞∑

k=−∞krqk =

∞∑

k=−∞(−1)kkrpk = 0, 0 ≤ r ≤ L− 1.

Die zuletzt genannte Bedingung an p bezeichnet man als die Summenregeln derOrdnung L. Bei absoluter Summierbarkeit der entsprechenden Reihen sind diesewiederum aquivalent zu

(5.51)dr

dωrQ(0) =

dr

dωrP (π) = 0, 0 ≤ r ≤ L− 1.

5. Erweiterung der Aussagen auf MRA Tight-Wavelet-Frames

Ein wesentlicher Teil des Beweises von Satz 5.14 bestand in dem Nachweis derZerlegung V1 = V0 ⊕W0. Anstatt dazu die Identitat

P1f = P0f +Q0f, f ∈ L2(R),

in (5.20) zu beweisen, kann man auch die Vollstandigkeit des OrthonormalsystemsΦ0 ∪ Ψ0 im Raum V1 durch die Parseval-Identitat nachweisen. Diese wird durchdie Beziehung

(5.52) ‖P1f‖22 = ‖P0f‖22 + ‖Q0f‖22


ausgedruckt. Mit Satz 4.18(c) und Hilfssatz 5.15 erhalten wir

2π(‖P0f‖22 + ‖Q0f‖22) =∫ 2π

0

|[f , φ](ω)|2 + |[f , ψ](ω)|2

dω

=∫ 2π

0

∣∣∣P(

ω2

)[f(2·), φ]

(ω2

)+ P

(ω2 + π

)[f(2·), φ]

(ω2 + π

)∣∣∣2

+∣∣∣Q

(ω2

)[f(2·), φ]

(ω2

)+ Q

(ω2 + π

)[f(2·), φ]

(ω2 + π

)∣∣∣2

dω

=∫ 2π

0

∥∥∥∥∥∥

P

(ω2

)P

(ω2 + π

)

Q(

ω2

)Q

(ω2 + π

)

[f(2·), φ]

(ω2

)

[f(2·), φ](

ω2 + π

)

∥∥∥∥∥∥

2

dω.

Hierbei ist mit ‖ · ‖ die euklidische Norm im C2 bezeichnet. Die Matrix im letztenIntegral ist gerade die komplex konjugierte und transponierte der unitaren MatrixR(ω/2) aus (5.24), also ist sie selbst unitar. Dadurch konnen wir weiter schließenauf

2π(‖P0f‖22 + ‖Q0f‖22) =∫ 2π

0

∣∣∣[f(2·), φ](

ω2

)∣∣∣2

+∣∣∣[f(2·), φ]

(ω2 + π

)∣∣∣2

dω

=∫ 4π

0

∣∣∣[f(2·), φ](

ω2

)∣∣∣2

dω

= 2∫ 2π

0

∣∣∣[f(2·), φ](ω)∣∣∣2

dω.

Das letzte Integal ist nach Satz 4.18 gerade ‖P1f‖22, und damit ist die Parseval-Identitat (5.52) bewiesen.

Der hier gegebene Beweis hat einen wesentlichen Vorteil: Er kann auch fur all-gemeinere Systeme als Orthonormalbasen verwendet werden. Dazu fuhren wirzunachst den Begriff der verallgemeinerten Skalierungsfunktion ein.

Definition 5.27. Eine Funktion φ ∈ L2(R) heißt verallgemeinerte Skalierungs-funktion, wenn folgende Bedingungen erfullt sind:

(i) Die Familie φ(· − k); k ∈ Z ist eine Bessel-Familie, d.h. es existiert eineKonstante B > 0 so, dass

(5.53)∑

k∈Z|〈f, φ(· − k)〉|2 ≤ B‖f‖22, f ∈ L2(R).

(ii) Die Raume Vj = clos L2(R)span φj,k; k ∈ Z erfullen Vj ⊂ Vj+1 fur alle

j ∈ Z (Verschachtelung) und clos L2(R)

(⋃j∈Z Vj

)= L2(R) (Dichtheit).

Eine verallgemeinerte Skalierungsfunktion erfullt wieder eine Verfeinerungsgleichungder Form

φ =∑

k∈Zpkφ(2 · −k)

mit einer Koeffizientenfolge p = (pk)k∈Z ∈ `2(Z). Allerdings ist die Beziehungpk = 〈φ, φ(2 · −k)〉 sowie die Eigenschaft (5.10) des Skalierungssymbols P in der


Regel nicht mehr erfullt. Es kann sogar mehrere Skalierungsmasken p zur Funktionφ geben, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel 5.28. Sei φ(x) = 12 sinc x

2 . Man erkennt leicht, dass die Eigenschaft (i) inDefinition 5.27 aquivalent ist zu

(5.54) [φ, φ](ω) ≤ B f.u.

Wegen φ = χ[−π/2,π/2) gilt

[φ, φ](ω) =

1 fur ω ∈ [−π/2, π/2) + 2πZ,

0 sonst.

Die Gleichungen

φ(ω) = P1(ω2 )φ(ω

2 ) = P2(ω2 )φ(ω

2 ) f.u.

gelten fur P1 = χE1 und P2 = χE2 mit

E1 = [−π/4, π/4) + 2πZ, E2 = E1 ∪ ([π/2, π) + 2πZ).

Weiterhin erfullt weder P1 noch P2 die Beziehung (5.10).

Die oben gemachten Beobachtungen zur Parseval-Identitat fuhren uns zur folgendenDefinition einer Klasse von Wavelet-Tight-Frames.

Definition 5.29. Gegeben sei eine verallgemeinerte Skalierungsfunktion φ. Weiterseien Funktionen ψ1, . . . , ψN ∈ V1 mit ψn(ω) = Qn(ω/2)φ(ω/2) und 2π-periodischenFunktionen Qn ∈ L2(0, 2π), 1 ≤ n ≤ N , gegeben. Falls die Identitat

(5.55) ‖f‖22 =N∑

n=1

∑

j,k∈Z|〈f, ψn;j,k〉|2, f ∈ L2(R),

gilt, so heißt Ψ = ψn;j,k; 1 ≤ n ≤ N, j, k ∈ Z ein MRA Tight-Wavelet Frameund die Funktionen ψn heißen Framelets.

Ein hinreichendes Kriterium fur einen MRA Tight-Wavelet-Frame wurde zuerst vonA. Ron und Z. Shen in dem Artikel [?] gegeben. Dieser Artikel stellt die Grundlagefur viele weitere Untersuchungen der letzten 10 Jahre dar. In Anlehnung an denBegriff der paraunitaren Matrizen haben Ron und Shen ihr Kriterium als “UnitaryExtension Principle” (UEP) bezeichnet. Es zielt darauf ab, zu einem gegebenenSkalierungssymbol P weitere “Frameletsymbole” Q1, . . . , QN zu finden (also P zu“erganzen”), so dass die Zeilen der Matrix

(5.56) R(ω) :=(

P (ω) Q1(ω) · · · QN (ω)P (ω + π) Q1(ω + π) · · · QN (ω + π)

)

orthonormal sind.

Satz 5.30. Gegeben sei eine verallgemeinerte Skalierungsfunktion φ, und es gelte

(5.57) limj→∞

∑

k∈Z|〈f, φj,k〉|2 = ‖f‖22.


Weiter seien 2π-periodische Funktionen Q1, . . . , QN ∈ L2(0, 2π) so gegeben, dassdie Zeilen der Matrix R in (5.56) fur fast alle ω ∈ R orthonormal sind, also dieGleichungen

(5.58)

|P (ω)|2 +N∑

n=1

|Qn(ω)|2 = 1,

P (ω)P (ω + π) +N∑

n=1

Qn(ω)Qn(ω + π) = 0

gelten. Dann sind die Funktionen ψ1, . . . , ψN ∈ V1 Framelets, d.h. die Familie Ψist ein MRA Tight-Wavelet-Frame.

Beweis: Fur j ∈ Z ist die quadratische Form

Tjf =∑

k∈Z|〈f, φj,k〉|2, f ∈ L2(R),

definiert, weil φj,k; k ∈ Z eine Bessel-Familie ist. Der Beweis von Satz 5.3 lasstsich auf verallgemeinerte Skalierungsfunktionen φ so erweitern, dass

limj→−∞

Tjf = 0

fur alle f ∈ L2(R) folgt. Die Voraussetzung des Satzes gibt also

‖f‖22 = limj→∞

`→−∞

(‖Tjf‖22 − ‖T`f‖22).

Mit dem Ubergang zur Teleskopsumme wie im Beweis von Satz 5.14 genugt es also,die Zerlegung

(5.59)

‖Tj+1f‖22 =∑

k∈Z|〈f, φj+1,k〉|2

=∑

k∈Z|〈f, φj,k〉|2 +

N∑n=1

∑

k∈Z|〈f, ψj,k〉|2

= ‖Tjf‖22 +N∑

n=1

∑

k∈Z|〈f, ψj,k〉|2

zu zeigen. Der Beweis der Gleichung (5.59) erfolgt analog zum Beweis von (5.52).Dabei wird an Stelle von Satz 4.18(c) die Aussage von Hilfssatz 4.17(b) verwendet.

Die Algorithmen und Filterbanke aus Abschnitt 5.3 lassen sich direkt auf MRATight-Wavelet-Frames ubertragen.

Ubung 5.31. Skizzieren Sie die Zerlegungs- und Rekonstruktions-Filterbank einesMRA Tight-Wavelet-Frame mit 2 Framelets ψ1, ψ2. Zur Zerlegung sollen wie ublichdie Eingabedaten aJ,k = 〈f, φJ,k〉 verwendet werden, um die Details dn;j,k := 〈f, ψn;j,k〉,n = 1, 2, J − L ≤ j ≤ J − 1, und die Approximation aJ−L zu berechnen. Be-weisen Sie, dass auch hier die Perfect-Reconstruction Eigenschaft gilt. (Hinweis:Die Skalierungsgleichungen (5.5) und (5.16) bleiben erhalten. Die Rekonstruktion-sgleichung (5.35) gilt jedoch nicht, weil Φj keine ONB ist. Man zeigt aber, dass die


Bedingung (5.58) aquivalent ist zu

∑

k∈Z

(pm+2kp`+2k +

N∑n=1

qn;m+2kqn;`+2k

)= 2δm,`,

und hieraus folgt die Perfect-Reconstruction Eigenschaft.

Ubung 5.32. Zeigen Sie, dass der lineare B-Spline

N2(x) =

x fur 0 ≤ x ≤ 1,

2− x fur 1 < x ≤ 2,

0 sonst,

eine verallgemeinerte Skalierungsfunktion ist. (Hinweis: Berechnung von N2 mitN2 = χ[0,1) ∗ χ[0,1) (Faltung) und Nachweis der Dichtheit mit Hilfssatz 4.17 sowie(5.57).)

Ubung 5.33. Bestimmen sie Konstanten α, β so, dass durch ψ1(x) = α(N2(2x)−N2(2x− 2)) und ψ2(x) = β(N2(2x)− 2N2(2x− 1) + N2(2x− 2)) ein MRA Tight-Wavelet-Frame zum linearen B-Spline N2 definiert wird.

KAPITEL 6

Skalierungsfunktionen und Wavelets mitkompaktem Trager

Skalierungs- und Waveletmasken mit wenigen von Null verschiedenen Koeffizientenfuhren zu besonders effizienten Algorithmen zur Berechnung der DWT. So ist dernumerische Aufwand zur Zerlegung (Algorithmus 5.21) und Rekonstruktion (Algo-rithmus 5.22) jeweils N ·M , wobei N die Lange des Eingangsvektors aJ und M dieLange der Masken p und q ist.

1. Skalierungsfunktionen mit kompaktem Trager haben endlicheMasken

Die Lange der Masken p und q steht in direktem Zusammenhang zum Durchmesserdes Tragers der Skalierungsfunktion.

Hilfssatz 6.1. Die Skalierungsfunktion φ einer MRA habe kompakten Trager. Mit[a, b] ⊂ R bezeichnen wir das kleinste Intervall, das supp φ enthalt, also

a := infx ∈ R; φ(t) = 0 fur fast alle t < x,b := supx ∈ R;φ(t) = 0 fur fast alle t > x.

Dann gilt a, b ∈ Z und pk = 0 fur k < a und k > b.

Beweis: Die Beziehungen pk = 2〈φ, φ(2 · −k)〉 und

suppφ ∩ suppφ(2 · −k) ⊂ [a, b] ∩ [(a + k)/2, (b + k)/2]

ergeben sofort pk = 0 fur alle k ≤ 2a− b und k ≥ 2b− a.

Sei k0 > 2a− b der kleinste Index mit pk0 6= 0. Wir zeigen nun k0 = a, also damitauch a ∈ Z. Dazu beachten wir, dass fur jedes 0 < δ < 1 die Funktion φ|[a,a+δ)

nicht identisch verschwindet. Die Skalierungsgleichung ergibt

φ(x) = pk0φ(2x− k0) +[2b−a]∑

k=k0+1

pkφ(2x− k).

Auf dem Intervall [(a + k0)/2, (a + k0 + δ)/2) gilt

φ(2 · −k0) 6≡ 0, φ(2 · −k) ≡ 0 fur k > k0.

Also folgt

φ(x) = pk0φ(2x− k0), x ∈ [(a + k0)/2, (a + k0 + δ)/2),

99

100 6. SKALIERUNGSFUNKTIONEN UND WAVELETS MIT KOMPAKTEM TRAGER

und hieraus wiederum durch Vergleich der Trager a = (a+k0)/2. Dies ergibt soforta = k0 ∈ Z. Analog zeigt man, dass der großte Index k1 mit pk1 6= 0 auch b = k1

erfullen muss.

Das Lemma besagt, dass das Skalierungssymbol einer Skalierungsfunktionen mitkompaktem Trager ein trigonometrisches Polynom

(6.1) P (ω) =12

N2∑

k=N1

pke−ikω

ist. O.B.d.A. seien N1, N2 so gewahlt, dass pN1pN2 6= 0 gilt. Dann nennen wirN2−N1 den Laurent-Grad von P . (Mit z = e−iω kann P mit dem Laurent-PolynomP (z) = 1

2

∑N2k=N1

pkzk identifiziert werden. Die Bezeichnung Laurent-Grad ruhrtdaher, dass z−N1 P ein Polynom vom Grad N2 −N1 ist.) Weil φ ∈ L1(R) gilt, istφ stetig. Weiterhin gilt φ(0) 6= 0 nach Ubung 5.13. Also gilt nach Hilfssatz 5.24

P (0) = 1, P (π) = 0.

Weil P analytisch ist, konnen wir die Nullstelle π herausfaktorisieren und erhalten

(6.2) P (ω) =(

1 + e−iω

2

)N

P0(ω), P0(π) 6= 0,

mit einem weiteren trigonometrischen Polynom P0 vom Laurent-Grad N2−N1−N .

Wir wollen noch klarer machen, wie die Skalierungsfunktion φ und das Skalierungssym-bol P voneinander abhangen. Die Skalierungsgleichung (5.7) erklart, dass P aus φhervorgeht, namlich

P (ω) =φ(2ω)

φ(ω)f.u.

erfullt ist. Da die linke Seite eine analytische Funktion ist, ist auch der Quotient derrechten Seite analytisch fortsetzbar (in den Nullstellen des Nenners). Andererseitsliefert die Skalierungsgleichung (5.7) auch die Beziehung

φ(ω) =J∏

j=1

P (2−jω) φ(2−Jω), J ∈ N.

Aus der Stetigkeit von φ (bei ω = 0) folgt sofort

(6.3) φ(ω) =∞∏

j=1

P (2−jω) φ(0).

Also ist durch das trigonometrische Polynom P mit P (0) = 1 und (5.10) dieSkalierungsfunktion φ (bis auf einen konstanten Faktor) eindeutig bestimmt. Diesmacht man sich zu eigen, um neue Skalierungsfunktionen zu konstruieren. Hier-bei stellt sich die Frage, ob zu jedem P mit den obigen Eigenschaften tatsachlicheine Skalierungsfunktion φ einer MRA definiert ist. Die folgenden beiden Aussagenklaren diesen Sachverhalt.

2. SCHWACHE UND STARKE KONVERGENZ DES KASKADENALGORITHMUS 101

Satz 6.2. Es sei P ein trigonometrisches Polynom mit P (0) = 1. Dann konvergiertdas unendliche Produkt

(6.4) φ =∞∏

j=1

P (2−j ·)

absolut und gleichmaßig auf kompakten Mengen gegen eine stetige Funktion φ undes gilt φ(0) = 1.

Beweis: Sei R > 0 und |ω| ≤ R. Weil P differenzierbar und 2π-periodisch ist, istc := maxω |P ′(ω)| < ∞. Also gilt fur alle j ∈ N

|1− P (2−jω)| = |P (0)− P (2−jω)| ≤ cR2−j .

Wegen∑

j∈N |cR2−j | < ∞ konvergiert das Produkt∏

j∈N P (2−jω) absolut undgleichmaßig fur |ω| ≤ R. Die Eigenschaft φ(0) = 1 ist sofort abzulesen.

2. Schwache und starke Konvergenz des Kaskadenalgorithmus

Die Konvergenz des Produktes in L2(R) kann gar nicht vorliegen, da die endlichenTeilprodukte periodisch und deshalb nicht quadrat-integrierbar sind. Deshalb un-tersucht man die Konvergenz durch Multiplikation (im Frequenzbereich) bzw. semi-diskrete Faltung (im Zeitbereich) mit einer geeignet skalierten Funktion ϕ(2−n·)bzw. 2nϕ(2n·). Der hieraus resultierende Algorithmus heißt Kaskadenalgorithmus.

Algorithmus 6.3. Gegeben sei ein trigonometrisches Polynom

P =12

N2∑

k=N1

pke−ikω mit P (0) =N2∑

k=N1

pk = 1.

Zu ϕ0 := ϕ ∈ L2(R) definieren wir die Folge

(6.5) ϕn+1 =N2∑

k=N1

pkϕn(2 · −k), n ≥ 0,

oder aquivalent

(6.6) ϕn+1(ω) = P (ω2 )ϕn(ω

2 ), n ≥ 0.

Bemerkung 6.4. Der Kaskadenalgorithmus ist eine typische “Fixpunkt-Iteration”.Da in jedem Schritt nur endliche Linearkombinationen gebildet werden, folgt ausϕ0 ∈ Y fur einen skalierungsinvarianten Teilraum Y ⊂ L2(R) auch ϕn ∈ Y . Damitlasst sich z.B. die Konvergenz nicht nur in L2(R), sondern auch in Sobolev-Raumenuntersuchen.

Wir betrachten im Folgenden nur Funktionen

(6.7) ϕ ∈M := f ∈ L2(R); supp f kompakt, f(0) = 1als “Startwert” des Kaskadenalgorithmus. Aus (6.5) und (6.6) folgt sofort, dassdann alle Funktionen ϕn der Iteration in M liegen. Weitere Eigenschaften derIterationsfolge (ϕn)n≥0 beschreibt der folgende Hilfssatz.


Hilfssatz 6.5. Es sei P (ω) =∑N2

k=N1pke−ikω ein trigonometrisches Polynom mit

P (0) = 1 und ϕ0 ∈M. Dann gilt fur die Folge (ϕn)n≥0 des Kaskadenalgorithmus:

a) Die Folge (ϕn)n≥0 konvergiert gleichmaßig auf kompakten Teilmengen von Rgegen

(6.8) φ(ω) =∞∏

j=1

P (2−jω) = limn→∞

ϕn(ω).

b) Fur jedes δ > 0 existiert ein n0 ∈ N mit

(6.9) supp ϕn ⊂ [N1 − δ,N2 + δ] fur alle n ≥ n0.

Beweis: a) Die Stetigkeit von ϕ0 bei ω = 0 ergibt limn→∞ ϕ(2−nω) = 1 gle-ichmaßig auf kompakten Teilmengen von R. Die rekursive Anwendung von (6.6)ergibt

(6.10) ϕn(ω) =n∏

j=1

P (2−jω)ϕ(2−nω),

und hieraus folgt die Behauptung.

b) Falls supp ϕ0 ⊂ [a0, b0] mit a0, b0 ∈ R gilt, so ergibt (6.5)

supp ϕn ⊂ [an, bn] mit an =an−1 + N1

2, bn =

bn−1 + N2

2.

Die rekursiv definierten Folgen (an)n≥0 und (bn)n≥0 sind monoton und beschrankt.Z.B. ist (an) monoton steigend, falls a0 < N1, und monoton fallend, falls a0 > N1.Die Grenzwerte sind limn→∞ an = N1 und limn→∞ bn = N2. Dies liefert dieBehauptung.

Wir betrachten nun die L2-Konvergenz der Folge (ϕn)n≥0. Die in Lemma 6.5(a)erhaltene Aussage reicht zur L2-Konvergenz nicht aus. In der Funktionalanalysiswerden die folgenden beiden Konvergenztypen fur eine Folge (ϕn)n≥0 in L2(R)unterschieden:

Starke Konvergenz:: limn→∞

ϕn = φ ⇐⇒ limn→∞

‖ϕn − φ‖L2(R) = 0.

Schwache Konvergenz:: w-limn→∞

ϕn = φ ⇐⇒ limn→∞

〈ϕn−φ, g〉 = 0 fur alle g ∈L2(R).

Die starke Konvergenz impliziert die schwache Konvergenz. Umgekehrt gilt diefolgende Aussage.

Hilfssatz 6.6. Eine Folge (fn)n≥0 mit fn ∈ L2(R) fur alle n ≥ 0 konvergiertgenau dann in der L2-norm (also stark) gegen f ∈ L2(R), wenn gilt

(6.11) w-limn→∞

fn = f und limn→∞

‖fn‖ = ‖f‖.


Beweis: Aus der starken Konvergenz folgt die schwache Konvergenz und die Kon-vergenz der Norm in (6.11). Umgekehrt folgt aus den Bedingungen in (6.11)

limn→∞

‖fn − f‖2 = limn→∞

(‖fn‖2 + ‖f‖2 − 2Re 〈fn, f〉= 2‖f‖2 − 2Re lim

n→∞〈fn, f〉 = 0.

Die schwache Konvergenz ist schon ausreichend, um die folgende Umkehrung desResultats von Lemma 6.1 zu zeigen.

Folgerung 6.7. Falls der Kaskadenalgorithmus fur ein ϕ0 ∈M schwach gegen φkonvergiert, so gilt φ ∈ L2(R) und supp φ ⊂ [N1, N2].

Beweis: Aus der schwachen Konvergenz folgt, dass 〈φ, g〉 fur alle g ∈ L2(R)definiert ist, also φ ∈ L2(R) gilt. Ware h := φ − φ|[N1,N2] nicht die Nullfunktion(f.u.), so wurden wir

limn→∞

〈ϕn − φ, h〉 = limn→∞

〈ϕn, h〉︸︷︷︸

=0

− limn→∞

〈φ, h〉︸︷︷︸

=‖h‖22

6= 0

erhalten. Dies ist ein Widerspruch zur schwachen Konvergenz gegen φ.

Dass manchmal tatsachlich nur die schwache Konvergenz vorliegen kann, zeigt dasfolgende Beispiel.

Beispiel 6.8. Wir betrachten die zwei Skalierungsmasken

pk =

1 fur k = 0, 1,

0 sonst,rk =

1 fur k = 0, 2,

0 sonst.

Die zugehorigen Skalierungssymbole sind

P (ω) =12(1 + e−iω), R(ω) = P (2ω).

Die Grenzwerte der unendlichen Produkte in (6.6) bezeichnen wir mit φ und η =φ(2·). Durch Ausmultiplizieren und Anwendung der geometrischen Summenformelerhalten wir

n∏

j=1

P (2−jω) = 2−n(1 + e−iω/2)(1 + e−iω/4) · · · (1 + e−i2−nω)

= 2−n2n−1∑

k=0

e−ik2−nω

=

1 fur ω = 0,

1− e−iω

2n(1− e−i2−nω)fur ω ∈ (0, 2π).

Der Nenner des letzten Ausdrucks konvergiert gegen ddt (e

itω)(0) = iω. Also erhaltenwir den Grenzwert (uber punktweise Konvergenz)

φ(ω) =

1 fur ω = 0,

1− e−iω

iωfur ω 6= 0.


1 2

1

1 2

1

Bild 6.1. Grafen der 3. Iterierten des Kaskadenalgorithmus mitden Skalierungsmasken p (links) und r (rechts)

Beide Funktionen φ und η = φ(2·) sind in L2(R). Die inverse Fourier-Transformationergibt dann

φ = χ[0,1), η =12χ[0,2).

Man beachte schon den Unterschied ‖φ‖2L2(R) = 1 und ‖η‖2L2(R) = 12 .

Wir wenden uns nun der Betrachtung des Kaskadenalgorithmus im Zeitbereich zu.Dazu wahlen wir jeweils die Startfunktion

ϕ0(x) = η0(x) =

x fur 0 ≤ x ≤ 1,

2− x fur 1 < x ≤ 2,

0 sonst.

Einfache Uberlegungen ergeben fur die Iterierten (ϕn)n≥0 zur Skalierungsmaske (pk)

ϕn(x) =

2nx fur 0 ≤ x ≤ 2−n,

1 fur 2−n < x ≤ 1,

1− 2n(x− 1) fur 1 < x ≤ 1 + 2−n,

0 sonst.

Hieraus folgt sofort die Konvergenz

limn→∞

‖φ− ϕn‖L2(R) = 0,

also die starke Konvergenz des Kaskadenalgorithmus in L2(R) gegen φ = χ0,1. Furdie Iterierten (ηn)n≥0 zur Skalierungsmaske (rk) erhalten wir die “Zackenfunktion”

ηn(x) =

2n(x− 2−n+1k) fur 2−n+1k ≤ x ≤ 2−n+1(k + 1/2), 0 ≤ k ≤ 2n − 1,

2n(2− (x− 2−n+1k)) fur 2−n+1(k + 1/2) < x ≤ 2−n+1(k + 1), 0 ≤ k ≤ 2n − 1,

0 sonst.

Die Grafen von ϕn und ηn fur n = 3 sind in Abbildung 6.1 angegeben. Manrechnet leicht nach, dass ‖ηn‖L2(R) = ‖η0‖L2(R) =

√2/3 gilt. Wegen ‖η‖L2(R) =√

1/2 kann also die Folge (ηn)n≥0 nicht in der L2(R)-Norm (also stark) gegen ηkonvergieren. Es liegt jedoch die schwache Konvergenz vor, denn:

1. Fur den dichten Teilraum der Funktionen g ∈ L2(R) mit stetigem g und supp gkompakt (also aller band-beschrankten Funktionen in L2(R)) folgt

limn→∞

〈g, ηn〉 =12π

limn→∞

〈g, ηn〉 =12π〈g, η〉

aus der gleichmaßigen Konvergenz von ηn gegen η auf Kompakta.


2. Die gleichmaßige Beschranktheit von ‖ηn‖L2(R) erlaubt es, diese Grenzwert-beziehung auf ganz L2(R) auszudehnen (Prinzip der gleichmaßigen Beschranktheit).

Also erhalten wir die interessante Feststellung, dass die Zackenfunktionen die Gren-zwertbeziehung

limn→∞

∫

Rg(x)ηn(x) dx =

12

∫ 2

0

g(x) dx.

gilt.

Fur alle Funktionen f ∈M hat die Autokorrelationsfunktion

(f ∗ f(−·))(x) =∫

Rf(t)f(t + x) dt

kompakten Trager. Also ist das Klammerprodukt

[f , f ](ω) =∑

k∈Z|f(ω + 2kπ)|2 =

∑

k∈Z(f ∗ f(−·))(k)e−ikω

ein trigonometrisches Polynom. Insbesondere folgt aus (6.9), dass

supp (ϕn ∗ ϕn(−·) ⊂ [−(N2 −N1)− 2δ,N2 −N1 + 2δ] fur alle n ≥ n0

gilt. Fur δ < 1/2 gilt also

(6.12) [ϕn, ϕn] ∈ TN fur alle n ≥ n0,

wobei TN den Raum der reellen trigonometrischen Polynome vom Grad N := N2−N1 bezeichnet, also alle Funktionen der Form

f(ω) =N∑

k=−N

ckeikω, ck ∈ C, ck = c−k, −N ≤ k ≤ N.

Die Iterationsgleichung (6.6) und die ubliche Periodisierungstechnik liefern

(6.13) [ϕn, ϕn](ω) = |P (ω2 )|2[ϕn−1, ϕn−1](ω

2 ) + |P (ω2 + π)|2[ϕn−1, ϕn−1](ω

2 + π).

Diese Beziehung ist fur die Untersuchung der L2-Konvergenz besonders wichtig.Deshalb halten wir den folgenden Begriff fest.

Definition 6.9. Zu einem trigonometrischen Polynom R ∈ TN definieren wir denTransfer-Operator

(6.14) TR : L1(0, 2π) → L1(0, 2π), TRf(ω) = R(ω2 )f(ω

2 ) + R(ω2 + π)f(ω

2 + π)

sowie den eingeschrankten Transfer-Operator TR = TR|TN: TN → TN .

Dass der eingeschrankte Transfer-Operator TR wohldefiniert ist, folgt aus der Beziehung

R ∈ TN , f ∈ TN =⇒ R · f ∈ T2N =⇒ TRf ∈ TN .

Fur f =∑N

k=−N ckeik· liefert TR gerade die Hintereinanderausfuhrung der diskretenFaltung mit den Koeffizienten von R =

∑Nk=−N rkeik· und anschließendem Down-

sampling (multipliziert mit dem Faktor 2), also

TRf ∼ 2· ↓2 (r ∗ c).

Weil TN ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist (mit dim TN = 2N +1), lasst sichder eingeschrankte Transfer-Operator TR mit den ublichen Methoden der Linearen


Algebra behandeln. Wir konnen z.B. durch die Wahl der Basis B = eik·;−N ≤k ≤ N eine Matrixdarstellung des Operators angeben. Die Eigenwerte λm, 1 ≤m ≤ 2N + 1, von TR und der Spektralradius

ρ = ρ(TR) = maxm

|λm| = limn→∞

(‖TnR‖)1/n

sind wie ublich definiert. Mit ‖TR‖ ist hierbei die Operatornorm von TR (bezuglicheiner Norm auf TN ) gemeint. Bei den obigen Definitionen kommt es bekanntlichweder auf die Wahl der Basis B noch auf die in TN gewahlte Norm an. (AlleNormen auf TN sind aquivalent, weil TN endlich-dimensional ist.) Ein Eigenwertλm heißt entartet, wenn seine geometrische Vielfachheit (= Dimension des Kernsvon TR−λmI) kleiner ist als die algebraische Vielfachheit (= Ordnung der Nullstelleλm des charakteristischen Polynoms von TR).

Bemerkung 6.10. Die Matrixdarstellung von TR zur Standardbasis B = e−iNω, . . . , eiNωvon TN lautet(6.15)

AR = 2 ·

r−N

r−N+2 r−N+1 r−N

r−N+4 r−N+3 r−N+2 r−N+1

......

......

rN−2 rN−3 rN−4 rN−5 · · · r−N

rN rN−1 rN−2 rN−3 · · · r−N+2 r−N+1 r−N

rN rN−1 · · · r−N+4 r−N+3 r−N+2

......

...rN rN−1 rN−2

rN

Die Eigenwerte des Operators TR sind gerade die Eigenwerte dieser Matrix. Siestehen auf der Diagonalen der Jordan-Normalform

JR = S−1ARS

der Matrix AR. Die Spalten vm, 1 ≤ m ≤ 2N + 1, von S sind dabei die Eigen-vektoren und (bei entarteten Eigenwerten) die Hauptvektoren zum Eigenwert λ. Istν die maximale Große eines “Jordan-Kastchens” der Matrix JR zum Eigenwertλ, so bestimmt man alle Eigenvektoren und Hauptvektoren zu diesem Eigenwertals den Kern von (λI − AR)ν . Die Dimension dieses Kerns ist gerade die alge-braische Vielfachheit von λ. Zu jeder Spalte vm = [v−N,m, . . . , vN,m]T gehort eineEigenfunktion bzw. verallgemeinerte Eigenfunktion des Operators TR, namlich

fm =N∑

k=−N

vk,meikω.

Ubung 6.11. Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigen- bzw. verallgemeinerteEigenfunktionen der eingeschrankten Transfer-Operatoren TP und T|P |2 fur P (ω) =18 (1 + 3eiω + 3ei2ω + ei3ω).

Die schwache Konvergenz der Folge (ϕn)n≥0 des Kaskadenalgorithmus lasst sichnun vollstandig charakterisieren.


Satz 6.12. Fur ein trigonometrisches Polynom P (ω) = 12

∑N2k=N1

pke−ikω mitP (0) = 1 sind die folgenden Aussagen aquivalent.

a) Die Funktion φ in (6.4) liegt in L2(R) und fur alle ϕ0 ∈ M konvergiert dieFolge (ϕn)n≥0 des Kaskadenalgorithmus schwach gegen φ.

b) Fur alle ϕ0 ∈ M ist die Folge (ϕn)n≥0 des Kaskadenalgorithmus beschrankt inL2(R), d.h. es existiert B > 0 mit ‖ϕn‖L2(R) ≤ B fur alle n ≥ 0.

c) Der eingeschrankte Transfer-Operator T|P |2 hat den Spektralradius ρ = 1 undalle Eigenwerte vom Betrag 1 sind nicht entartet.

Beweis: a)=⇒b): Die schwache Konvergenz besagt, dass die linearen Funktionale

`n : L2(R) → C, `n(g) = 〈ϕn, g〉gegen das Funktional 〈φ, g〉 konvergieren. Nach dem Prinzip der gleichmaßigenBeschranktheit folgt aus der Konvergenz auf dem Hilbertraum L2(R) die Beschranktheitder Operatornormen

‖`n‖ = sup‖g‖2≤1

|`n(g)| = ‖ϕn‖2.

b)=⇒a): Jede beschrankte Folge in L2(R) besitzt eine Teilfolge, die schwach kon-vergiert. Als Grenzwert einer Teilfolge von (ϕn) kann nur die Funktion φ auftreten,gegen die die Funktionen ϕn punktweise f.u. konvergieren. Also gilt folgende Aus-sage: Jede Teilfolge von (ϕn)n≥0 besitzt selbst wieder eine schwach gegen φ kon-vergierende Teilfolge. Damit muss φ ∈ L2(R) gelten, und die gesamte Folge (ϕn)n≥0

konvergiert gegen φ.

b)=⇒c): Fur k ∈ Z wahlen wir ϕ(k) = χ[k,k+1) ∈M als Startfunktion des Kaskade-nalgorithmus. Die Voraussetzung liefert, dass die Iterationsfolge (ϕ(k)

n )n≥0 jeweilsbeschrankt in L2(R) ist. Fur −N ≤ k ≤ N erhalten wir

[ϕ(0), ϕ(k)](ω) =∑

m∈Z

∫

Rϕ(0)(t)ϕ(k)(m + t) dt e−imω = e−ikω

sowie

(6.16) [ϕ(0)n , ϕ(k)

n ] = Tn|P |2([ϕ

(0), ϕ(k)]) = Tn|P |2(e

−ik·), n ≥ 0.

Die Funktionen auf der linken Seite sind trigonometrische Polynome. Sie sind inder L1(0, 2π)-Norm gleichmaßig (bzgl. n) beschrankt, denn

∫ 2π

0

| [ϕ(0)n , ϕ(k)

n ](ω)| dω ≤ ‖ϕ(0)n ‖2 ‖ϕ(k)

n ‖2.

Also ist auch die L1-Norm der rechten Seite fur alle |k| ≤ N und n ∈ N gleichmaßigbeschrankt. Durch Linearkombination erhalt man, dass die Folge ‖Tn

|P |2f‖L1 beschranktist fur jedes f ∈ TN . Also ist die Folge der Operatornormen ‖Tn

|P |2‖ beschrankt.Dies liefert, dass der Spektralradius des eingeschrankten Transfer-Operators dieUngleichung ρ ≤ 1 erfullt und dass alle Eigenwerte vom Betrag 1 nicht entartetsind. (Ansonsten wurden gewisse Eintrage der Potenzen Jn der Jordan-NormalformJ = J|P |2 unbeschrankte Folgen definieren, siehe auch von Mises-Verfahren inder Numerik I oder Stabilitat von Differenzenverfahren in der Numerik II.) Dass


der Spektralradius tatsachlich 1 ist, erhalten wir unten aus Folgerung 6.13. (Wirhaben ja b)=⇒a) schon gezeigt, durfen an dieser Stelle also auf die Folgerung 6.7zuruckgreifen.)

c)=⇒b): Wegen

‖ϕn‖22 =12π

∫ 2π

0

[ϕn, ϕn](ω) dω =12π

∫ 2π

0

Tn|P |2([ϕ, ϕ])(ω) dω

folgt die Beschranktheit von (‖ϕn‖)n≥0 aus den oben zitierten Aussagen zur Lin-earen Algebra.

Mit Folgerung 6.7 folgt aus der schwachen Konvergenz, dass die Grenzfunktion φ

kompakten Trager supp φ ⊂ [N1, N2] besitzt. Demnach gilt [φ, φ] ∈ TN , und wirerhalten aus (6.13) die Identitat

(6.17) T|P |2([φ, φ]) = [φ, φ].

Dies ergibt die folgende Aussage.

Folgerung 6.13. Falls eine der aquivalenten Bedingungen in Satz 6.12 erfullt ist,so ist [φ, φ] ∈ TN eine Eigenfunktion des eingeschrankten Transfer-Operators T|P |2zum Eigenwert 1. Insbesondere ist der Spektralradius ρ = 1 auch ein Eigenwert vonT|P |2 .

Um die starke Konvergenz zu charakterisieren, schranken wir die Menge der Start-funktionen des Kaskade-Algorithmus weiter ein und setzen(6.18)M0 := f ∈ L2(R); supp f kompakt, f(0) = 1, f(2πk) = 0 fur alle k ∈ Z \ 0.

Die letzte Bedingung ist aufgrund der Poissonschen Summenformel aquivalent zu∑

k∈Zf(· − k) ≡ 1 f.u.,

also sind die Z-Shifts von f eine Teilung der Eins. Die Zusatzbedingung P (π) = 0bewirkt, dass die Iterationsfolge (ϕn)n≥0 inM0 liegt, falls dies fur die Startfunktionϕ0 gilt. Dies ist mit (6.6) sofort einzusehen. Es gilt nun die folgende Charakter-isierung der starken Konvergenz des Kaskadenalgorithmus.

Satz 6.14. Fur ein trigonometrisches Polynom P (ω) = 12

∑N2k=N1

pke−ikω mitP (0) = 1 sind die folgenden Aussagen aquivalent.

a) Fur alle ϕ0 ∈M0 konvergiert die Folge (ϕn)n≥0 des Kaskadenalgorithmus starkgegen φ.

b) P erfullt die Summenregeln (5.47), also P (π) = 0, und der eingeschrankteTransfer-Operator T|P |2 hat den einfachen Eigenwert 1 und alle anderen Eigen-werte sind vom Betrag kleiner als 1 (also ist der Spektralradius 1).

Beweis: a)=⇒b): Wie im Beweisteil b)=⇒c) von Satz 6.12 verwenden wir dieFunktionen ϕ(k) = χ[k,k+1) ∈ M0 als Startfunktionen des Kaskadenalgorithmus.


Die Voraussetzung der starken Konvergenz ϕ(0)n → φ und ϕ

(k)n → φ liefert in Analo-

gie zu (6.16)

[φ, φ] = limn→∞

[ϕ(0)n , ϕ(k)

n ] = limn→∞

Tn|P |2(e

−ik·), n ≥ 0, |k| ≤ N.

Daraus folgt die Konvergenz

limn→∞

Tn|P |2(f) = f(0)[φ, φ]

fur alle f ∈ TN . Die Beschranktheit erfordert wieder, dass der Spektralradius deseingeschrankten Transfer-Operators ρ ≤ 1 erfullt und dass alle Eigenwerte vomBetrag 1 nicht entartet sind. Die Konvergenz gegen die Eigenfunktion f1 = [φ, φ]zum Eigenwert 1 besagt, dass 1 ein einfacher Eigenwert sein muss und dass alleanderen Eigenwerte vom Betrag kleiner als 1 sind. Damit sind alle Eigenschaftendes Operators T|P |2 gezeigt.

Um die Summenregel P (π) = 0 zu zeigen, betrachten wir den adjungierten Op-erator T ∗|P |2 : TN → TN . (Eine explizite Angabe ist hier nicht erforderlich. Erergibt sich durch Hintereinanderausfuhrung von Upsampling, Faltung mit den Ko-effizienten von |P |2 und anschließender Projektion in TN .) Die Matrixdarstellungist die transponierte und komplex-konjugierte Matrix A∗|P |2 . Der adjungierte Oper-ator T ∗|P |2 besitzt dieselben Eigenwerte wie T|P |2 (mit gleicher Vielfachheit). Zumeinfachen Eigenwert 1 gehort eine Eigenfunktion g1 ∈ TN mit

〈g1, eik·〉L2(0,2π) = lim

n→∞〈(T ∗|P |2)ng1, e

ik·〉 = limn→∞

〈g1, Tn|P |2(e

ik·)〉 = 〈g1, f1〉.

Weil die Fourierkoeffizienten von g1 alle denselben Wert haben, ist g1 ein trigonometrischesPolynom der Form g1 = β

∑Nk=−N eik· mit β 6= 0. Der zugehorige Eigenvektor von

A∗|P |2 ist β[1, . . . , 1]T . Aufgrund der Form von A|P |2 in (6.15) erhalten wir darausdie Summenregeln

r−N + r−N+2 + · · ·+ rN =12, r−N+1 + r−N+3 + · · ·+ rN−1 =

12,

wobei rk die Koeffizienten des trigonometrischen Polynoms |P |2 sind. Dies istaquivalent zu |P (0)|2 = 1 und |P (π)|2 = 0, also folgt insbesondere P (π) = 0.

b)=⇒a): Nach Satz 6.12 wissen wir schon, dass (ϕn)n≥0 schwach gegen φ kon-vergiert und φ ∈ L2(R) gilt. Wegen Lemma 6.6 genugt es also ‖ϕn‖2 → ‖φ‖2 zuzeigen. Hierzu beachten wir wieder die Gleichung

‖ϕn‖22 =∫ 2π

0

Tn|P |2 [ϕ, ϕ](ω) dω = ‖Tn

|P |2 [ϕ, ϕ]‖L1(0,2π).

Nach (6.12) konnen wir o.B.d.A. annehmen, dass bereits [ϕ, ϕ] ∈ TN gilt. DieVoraussetzung sichert, dass λ = 1 dominanter und einfacher Eigenwert des Opera-tors T|P |2 ist. Als Eigenfunktion zum Eigenwert 1 haben wir in Folgerung 6.13 dieFunktion f1 = [φ, φ] gefunden. Wenn wir nun die Konvergenz

(6.19) limn→∞

Tn|P |2([ϕ, ϕ]) = f1

zeigen konnen, so folgt die Behauptung aus ‖f1‖L1(0,2π) = ‖φ‖22.


Die Beziehung (6.19) folgt als Anwendung der Iteration nach von Mises. Dazumussen wir die Darstellung

(6.20) [ϕ, ϕ] = f1 +2N+1∑

k=2

ckfk

mit ck ∈ C und den Eigen- und verallgemeinerten Eigenfunktionen fk ∈ TN ,2 ≤ k ≤ 2N + 1, zu den Eigenwerten λ 6= 1 von T|P |2 zeigen. Die Funktionenf1, . . . , f2N+1 bilden dabei eine Basis von TN .

Wichtig an der Darstellung (6.20) ist, dass der Koeffizient von f1 gleich 1 ist. Umdies nachzuweisen, betrachten wir nur die Stelle ω = 0. Wegen ϕ ∈ M0 gilt[ϕ, ϕ](0) = 1. Die Definition (6.4) von φ und Folgerung 6.7 ergeben zusammenmit den Voraussetzungen an P auch φ ∈ M0, also f1(0) = [φ, φ](0) = 1. Fur alleweiteren Funktionen fk, 2 ≤ k ≤ 2N + 1, gilt mit einem λ 6= 1 und ν ∈ N

(λI − T|P |2)ν(fk) ≡ 0.

Die Voraussetzung P (0) = 1 und P (π) = 0 liefert Tµ|P |2f(0) = f(0) fur alle f ∈ TN

und alle µ ≥ 0. Also erhalten wir

(λ− 1)νfk(0) = 0

und wegen λ 6= 1 und ν ∈ N ergibt sich fk(0) = 0. Damit ist die Darstellung (6.20)nachgewiesen.

Beispiel 6.15. Wir greifen das Beispiel 6.8 wieder auf. Die Skalierungsmasken(pk) und (rk) ergeben

|P (ω)|2 =14(2 + eiω + e−iω), |R(ω)|2 = |P (2ω)|2.

Der eingeschrankte Transfer-Operator T|P |2 : T1 → T1 besitzt zur Basis B =e−i·, 1, ei· die Matrixdarstellung

A|P |2 =

12 0 012 1 1

20 0 1

2

.

Daraus erhalt man die Eigenwerte 1 und 1/2 (doppelt, nicht entartet). Also istρ(T|P |2) = ρ(A|P |2) = 1. Der Eigenwert 1 ist einfach und einziger Eigenwert vomBetrag 1. Weiterhin gilt P (π) = 0, also sind die Bedingungen zur starken Konver-genz in Satz 6.14(b) erfullt. Der Eigenfunktion [φ, φ] = 1 von T|P |2 entspricht derEigenvektor (0, 1, 0)T von A|P |2 .

Fur T|R|2 : T2 → T2 erhalten wir zur Basis B = e−i2·, e−i·, 1, ei·, ei2· die Matrix-darstellung

A|R|2 =

12 0 0 0 01 0 1

2 0 012 0 1 0 1

20 0 1

2 0 10 0 0 0 1

2

.

Diese hat die Eigenwerte 1, 1/2 (doppelt) und 0 (doppelt), jeweils nicht entartet.Wieder ist ρ(T|R|2) = ρ(A|R|2) = 1. Der Eigenwert 1 ist einfach und einzigerEigenwert vom Betrag 1. Weil aber R(π) = 1 6= 0 gilt, sind nur die Bedingungen


zur schwachen Konvergenz in Satz 6.14(b) erfullt. Die Eigenfunktion [η, η] = 14 (2+

eiω + e−iω) zum Eigenwert 1 von T|R|2 entspricht dem Eigenvektor 14 (0, 1, 2, 1, 0)T

von A|R|2 .

Ubung 6.16. Die Skalierungsmaske (sk)k∈Z mit s0 = s3 = 1 und sk = 0 sonst hatdas Skalierungssymbol S(ω) = 1

2 (1 + e−i3ω). Als Grenzfunktion in (6.4) ergibt sichalso

θ(x) =13χ[0,3)(x).

Stellen Sie die Matrixdarstellung des eingeschrankten Transfer-Operators auf demRaum T3 zur Standardbasis B von T3 auf und berechnen Sie die Eigenwerte undEigenfunktionen des Operators. Welche der Bedingungen der starken bzw. schwachenKonvergenz des Kaskadenalgorithmus sind erfullt?

Losung: Die Matrix lautet

AS =

0BBBBBBBBB@

12 0 0 0 0 0 0

0 0 12 0 0 0 0

0 1 0 0 12 0 0

12 0 0 1 0 0 1

20 0 1

2 0 0 1 0

0 0 0 0 12 0 0

0 0 0 0 0 0 12

1CCCCCCCCCA.

Sie hat die Eigenwerte 1 (doppelt), −1, 12 (dreifach), − 1

2 . Keiner der Eigenwerte 1 und −1 ist entartet: Zu

λ = 1 sind v1 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0)T und v2 = (0, 1, 2, 0, 2, 1, 0)T linear unabhangige Eigenvektoren. Also sind

die Voraussetzungen fur die schwache Konvergenz erfullt. Zum Eigenvektor v1 gehort die Eigenfunktion f ≡ 1

des Transfer-Operators, die die Beziehung |S(ω)|2 + |S(ω + π)|2 = 1 wie in (5.10) beschreibt. Eine weitere

Eigenfunktion zum Eigenwert 1 ist nach Folgerung 6.13 auch die Funktion [θ, θ] = 19 (3+2(eiω + e−iω)+ ei2ω +

e−i2ω). Die Voraussetzungen fur die starke Konvergenz sind verletzt: Es gilt zwar S(π) = 0 (was insbesondere

aus der obigen Relation folgt), aber die strikte Dominanz und Einfachheit des Eigenwerts λ = 1 sind verletzt.

Ubung 6.17. Das Vorliegen von schwacher oder starker Konvergenz hangt wesentlichvon der Startfunktion des Kaskadenalgorithmus ab. Falls φ ∈ L2(R) gilt, konnenwir ein δ > 0 mit |1− φ(ω)| < 1

2 fur alle ω ∈ [−δ, δ] =: Eδ wahlen. Zeigen Sie, dassdann fur die Startfunktion ϕ mit ϕ = χEδ

die starke Konvergenz ϕn → φ eintritt.(Hinweis: Man bestimmt eine Majorante fur ϕn mit Hilfe von φ.)

: Losung: Es gilt

ϕn(ω) =nY

j=1

P (2−j

ω)ϕ(2−n

ω) =nY

j=1

P (2−j

ω)χ2nEδ(ω).

Fur alle ω ∈ 2nEδ ist andererseits

φ(ω) =nY

j=1

P (2−j

ω)φ(2−n

ω) = ϕn(ω)φ(2−n

ω).

Daraus folgt |ϕn(ω) − φ(ω)| ≤ 12 ||φ(ω)| fur alle ω ∈ 2nEδ . Fur alle anderen ω folgt aus ϕn(ω) = 0 sofort

|ϕn(ω)− φ(ω)| = |φ(ω)|. Damit ist |φ|2 integrierbare Majorante zu |ϕn − φ|2, und die punktweise Konvergenz(6.8) liefert mit dem Satz uber die majorisierte Konvergenz

limn→∞

ZR|ϕn − φ|2 = 0.


3. Einschub: Das Spektrum des Transfer-Operators

Wir wollen mit einfachen Hilfsmitteln der Linearen Algebra weitere Aussagen zumSpektrum des Transfer-Operators herleiten. Dazu sei

P (ω) =12

N2∑

k=N1

pke−ikω

mit P (0) = 1 und P (π) = 0 gegeben (d.h. die Summenregeln sind erfullt). Alsogilt

P (ω) =1 + e−iω

2R(ω), R(ω) =

12

N2−1∑

k=N1

rke−ikω

mit einem trigonometrischen Polynom R. Wir verwenden noch die Bezeichnung

TN1,N2 = f =N2∑

k=N1

ake−ikω; ak ∈ R

fur trigonometrische Polynome der entsprechenden Form. Nun ist es einfach nachzurech-nen, dass der Transfer-Operator TP definiert durch

TP f(ω) = P (ω2 )f(ω

2 ) + P (ω2 + π)f(ω

2 + π)

den Raum TN1,N2 wieder in sich abbildet. Ebenso bildet naturlich TR den RaumTN1,N2−1 in sich ab. Unser Ziel ist es nun, den engen Zusammenhang der Spektrenvon TR und TP zu erlautern. (Der Faktor 1+e−iω

2 spielt namlich eine ganz wichtigeRolle!)

Hilfssatz 6.18. Falls λ ∈ C Eigenwert von TR und f ∈ TN1,N2−1 zugehorige (ve-rallgemeinerte) Eigenfunktion ist, so ist µ = λ

2 Eigenwert von TP mit zugehoriger(verallgemeinerter) Eigenfunktion g(ω) = 1−e−iω

2 f(ω) ∈ TN1,N2 . Genauer: furf ∈ TN1,N2−1 und k ∈ N gilt

(6.21) (λI − TR)kf = 0 =⇒(

λ

2I − TP

)k

g = 0 mit g(ω) =1− e−iω

2f(ω).

Beweis: Wir beginnen mit (richtigen) Eigenfunktionen, also dem Fall k = 1 in(6.21). Als wichtige Identitat benutzen wir

1 + e−iω2

21− e−i

ω2

2=

1− e−iω

4.

Einsetzen der Definition von g ergibt nach Ausklammern des gemeinsamen Faktors1−e−iω

4

TP g(ω) =1− e−iω

4TRf(ω) =

λ

2g(ω).

Also ist die Behauptung fur alle Eigenwerte und Eigenfunktionen von TR gezeigt.

Aus der obigen Rechnung schließen wir sogar fur jedes f ∈ TN1,N2−1 auf(

λ

2I − TP

)[1− e−i·

2f

]=

1− e−i·

4· (λI − TR)[f ].

3. EINSCHUB: DAS SPEKTRUM DES TRANSFER-OPERATORS 113

Also erhalten wir(

λ

2I − TP

)k [1− e−i·

2f

]=

1− e−i·

2k+1· (λI − TR)k[f ].

Damit ist die Behauptung in (6.21) gezeigt; d.h. auch verallgemeinerte Eigenfunk-tionen werden von TR nach TP mit dem Faktor 1−e−i·

2 weitergegeben.

Die Dimension von TN1,N2 ist M := N2−N1 +1. Hilfssatz 6.18 liefert M−1 Eigen-werte und (verallgemeinerte) Eigenfunktionen von TP . (Beachte: Falls f1, . . . , fM−1

linear unabhangig sind, so sind auch die mit 1−e−i·2 multiplizierten Funktionen

g1, . . . , gM−1 linear unabhangig.) Die so erhaltenen (verallgemeinerten) Eigenfunk-tionen sind eine Basis des Teilraums

FN := g ∈ TN ; g(0) = 0.Wir mussen also nur einen weiteren Eigenwert (mit Eigenfunktion oder verallge-meinerter Eigenfunktion) zusatzlich bestimmen.

Hilfssatz 6.19. TP besitzt den Eigenwert 1. Ist k ≥ 0 die algebraische Vielfachheitdes Eigenwerts 2 von TR, so ist k+1 die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 1von TP . Weiterhin existiert eine (moglicherweise verallgemeinerte) Eigenfunktionf von TP zum Eigenwert 1 mit f(0) 6= 0.

Beweis: P erfullt die Summenregeln P (0) = 0 und P (π) = 0. Die zugehorigeMatrixdarstellung zur Basis (e−iN1ω, . . . , e−iN2ω) hat die Form wie in (6.15). FallsN2 −N1 gerade ist, ergibt sich

(6.22) AP =

pN1

pN1+2 pN1+1 pN1

pN1+4 pN1+3 pN1+2 pN1+1

......

......

pN2−2 pN2−3 pN2−4 pN2−5 · · · pN1

pN2 pN2−1 pN2−2 pN2−3 · · · pN1+2 pN1+1 pN1

pN2 pN2−1 · · · pN1+4 pN1+3 pN1+2

......

...pN2 pN2−1 pN2−2

pN2

Im Fall N2 − N1 ungerade ist die Form ahnlich. In beiden Fallen sind die Spal-tensummen alle gleich 1, also ist der Zeilenvektor w = (1, 1, . . . , 1) ein Links-Eigenvektor von AP zum Eigenwert 1. Die in Hilfssatz 6.18 gefundenen Eigen-funktionen von TP haben die Form

g(ω) =N2∑

k=N1

ake−ikω mit g(0) =N2∑

k=N1

ak = 0.

Hierdurch sind N2 − N1 Rechts-Eigenvektoren (oder verallgemeinerte Eigenvek-toren) (aN1 , . . . , aN2)

T von AP gegeben, die orthogonal zum Linkseigenvektor wsind; sie bilden eine Basis des orthogonalen Komplements von w im Raum RM .


Deshalb muss ein weiterer (moglicherweise verallgemeinerter) Rechts-Eigenvektorv = (vN1 , . . . , vN2)

T von AP existieren mit

N2∑

k=N1

vk 6= 0

(sonst gabe es keine Basis von Eigenvektoren und verallgemeinerten Eigenvektorenvon AP ). Wurde dieser zusatzliche Vektor zu einem Eigenwert µ 6= 1 von AP

gehoren, so musste er aber orthogonal zum Links-Eigenvektor w sein, Widerspruch.Also gehort der zusatzliche Rechts-Eigenvektor zum Eigenwert 1; die zugehorigeEigenfunktion g =

∑N2k=N1

vke−ik· erfullt g(0) 6= 0. Dadurch ist auch klar, dassdie algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 1 von AP um eins großer ist als diealgebraische Vielfachheit des Eigenwerts 2 von AR.

Bemerkung 6.20. Wir haben insgesamt gezeigt, dass das Spektrum σ(TP ) gegebenist durch

σ(TP ) = λ/2;λ ∈ σ(TR)∪1,wobei wir in dieser Schreibweise “geordnete” Mengen (unter Beibehaltung der Vielfach-heit von Elementen) verwenden. Eine entsprechende Aussage liefert, dass die Mul-tiplikation von R mit 1+eiω

2 zu dem gleichen Spektrum σ(P ) mit (verallgemeinerten)Eigenfunktionen g(ω) = 1−eiω

2 f(ω) fuhrt.

Ist nun R = |P0|2 gegeben und multiplizieren wir nacheinander mit 1+e−iω

2 und1+eiω

2 , so erhalten wir die folgende Aussage fur P (ω) = 1+eiω

2 P0(ω):

Das Spektrum σ(T|P |2) des eingeschrankten Transfer-Operators ist gegeben durch

σ(T|P |2) = λ/4; λ ∈ σ(T|P0|2)∪1, 1/2.

Die zum vorderen Teil gehorenden (verallgemeinerten) Eigenfunktionen von T|P |2ergeben sich als

g(ω) =(1− e−iω)(1− eiω)

4f(ω) =

2− e−iω − eiω

4f(ω).

Alle diese Funktionen erfullen die Bedingungen g(0) = g′(0) = 0. Zwei weitere(verallgemeinerte) Eigenfunktionen kommen hinzu, und zwar

• eine Funktion g1 mit g1(0) 6= 0 zum Eigenwert 1,• eine Funktion g2 mit g2(0) = 0, g′2(0) 6= 0 zum Eigenwert 1/2.

Falls diese Eigenwerte einfach sind (also in dem ersten Teil nicht vorkommen), sinddie Funktionen g1 und g2 sogar Eigenfunktionen. Die Funktion g1 ist uns schonbekannt: es handelt sich um [φ, φ], falls φ ∈ L2(R) gilt.

An den Beispielen und Ubungen lassen sich diese Uberlegungen sehr schon veran-schaulichen. Dass tatsachlich verallgemeinerte Eigenfunktionen hinzutreten konnen,wird durch Beispiel 6.31 veranschaulicht (Schritt von P2 nach P1).

4. STABILITAT DER SKALIERUNGSFUNKTION, COHEN’S BEDINGUNG 115

4. Stabilitat der Skalierungsfunktion, Cohen’s Bedingung

Fur Skalierungsfunktionen φ, deren Shifts φ(· − k); k ∈ Z eine Orthonormalbasis(von V0) bilden, haben wir in Folgerung 5.7 die Eigenschaft

(6.23) |P (ω2 )|2 + |P (ω

2 + π)|2 = 1

fur das Skalierungssymbol als notwendige Bedingung erhalten. Das Beispiel derUbungsaufgabe 6.16 zeigt jedoch, dass diese Bedingung nicht hinreichend ist fur dieOrthogonalitat der Z-Shifts von φ. Auch hierfur liefert der Unterschied zwischenschwacher und starker Konvergenz eine Begrundung.

Satz 6.21. Das trigonometrische Polynom P erfulle P (0) = 1 und die Bedingung(6.23).

a) Dann liegt die Funktion φ mit

φ(ω) =∞∏

j=1

P (2−jω)

in L2(R), der Kaskadenalgorithmus konvergiert schwach fur alle Startfunktionenϕ ∈M gegen φ und es gilt 0 ≤ [φ, φ] ≤ 1.

b) Starke Konvergenz des Kaskadenalgorithmus fur alle Startfunktionen ϕ ∈ M0

mit [ϕ, ϕ] ≡ 1 liegt genau dann vor, wenn die Z-Shifts von φ ein ONS bilden,also wenn [φ, φ] ≡ 1 gilt.

Beweis: a) Fur ϕ ∈ M ist [ϕ, ϕ] ein trigonometrisches Polynom. Setzen wirB := maxω[ϕ, ϕ](ω), so ergibt (6.13) und die Bedingung (6.23)

0 ≤ [ϕn, ϕn](ω) ≤ B.

Hieraus folgt

‖ϕn‖22 =12π

∫ 2π

0

[ϕn, ϕn](ω) dω ≤ B,

und mit Satz 6.12(b) folgt φ ∈ L2(R) sowie die schwache Konvergenz des Kaskade-nalgorithmus fur alle ϕ ∈M. Wahlen wir die Startfunktion ϕ = χ[0,1) mit orthog-onalen Z-Shifts, so ist [ϕ, ϕ] ≡ 1, und die Gleichungen (6.13) und (6.23) ergeben

(6.24) [ϕn, ϕn] = Tn|P |2 [ϕ, ϕ] ≡ 1.

Hieraus folgt die Beziehung [φ, φ] ≤ 1. Dies wird als Ubungsaufgabe gestellt.

b) Die Startfunktion ϕ = χ[0,1) ∈ M0 erfullt [ϕ, ϕ] ≡ 1, wie in Teil a) erwahnt.Aus der starken Konvergenz von ϕn gegen φ erhalten wir

[φ, φ](ω) =∑

k

〈φ, φ(· − k)〉e−ikω

= limn→∞

∑

k

〈ϕn, ϕn(· − k)〉e−ikω(6.25)

= limn→∞

[ϕn, ϕn](ω) = 1.


Hierbei durfte die Summation und Grenzwertbildung vertauscht werden, weil φ undϕn kompakten Trager haben. Im letzten Schritt wurde noch die Identitat (6.24)verwendet.

Gilt umgekehrt [φ, φ] ≡ 1, so ist ‖φ‖2 = 1. Weil die schwache Konvergenz schonaus den allgemeinen Voraussetzungen des Satzes folgt (siehe Teil a)), bleibt mitHilfssatz 6.6 nur zu zeigen, dass

limn→∞

‖ϕn‖2 = 1

fur alle Startfunktionen ϕ ∈M0 mit [ϕ, ϕ] ≡ 1 gilt. Dies ist aber durch die Identitat(6.24) gesichert.

Ubung 6.22. Beweisen Sie, dass aus den Voraussetzungen von Satz 6.21 die Beziehung[φ, φ] ≤ 1 folgt. (Hinweis: Modifizieren Sie den ersten Teil des Beweises zu b), in-dem Sie nur die schwache Konvergenz verwenden.)

Die in Teil b) des Satzes gemachte Aussage kann sogar noch verscharft werden,indem die Bedingung an die Orthogonalitat der Z-Shifts der Startfunktion ϕ fal-lengelassen wird. Hierzu benotigen wir ein weiteres Hilfsmittel aus der LinearenAlgebra.

Der eingeschrankte Transfer-Operator T|P |2 hat die folgende offensichtliche Eigen-schaft:

Fur alle nichtnegativen trigonometrischen Polynome f ∈ TN ist auch das PolynomT|P |2f nichtnegativ.

Deshalb nennt man T|P |2 einen positiven Operator. In einer Arbeit von Rheinboldtund Vandergraft 1 wird in allgemeinerem Zusammenhang die folgende Eigenschafteingefuhrt.

Definition 6.23. Ein positiver Operator T : TN → TN heißt

a) unzerlegbar (engl. irreducible), wenn aus der Ungleichung Tf ≤ αf fur einf ≥ 0 , f 6= 0 und α ∈ R, α > 0 die strikte Positivitat f > 0 folgt. Andernfallsheißt T zerlegbar.

b) primitiv, wenn es ein k ∈ N gibt, so dass T kf > 0 fur alle f ≥ 0, f 6= 0 gilt.

Ubung 6.24. Eine einfache Uberlegung zeigt, dass die Primitivitat des Operatorsauch die Unzerlegbarkeit impliziert. (Hinweis: Ein positiver linearer Operator ist“monoton”, d.h. aus f ≤ g folgt auch Tf ≤ Tg.)

Bemerkung 6.25. Die Zerlegbarkeit wird in der Regel fur quadratische MatrizenA ∈ Rn×n, n ≥ 2, eingefuhrt. A heißt zerlegbar, wenn es zwei nichtleere disjunkte

1W. C. Rheinboldt, J. S. Vandergraft, “A simple approach to the Perron-Frobenius theoryfor positive operators on general partially-ordered finite-dimensional linear spaces”, Math. Comp.27 (1973), 139–145; der Artikel verallgemeinert einige wesentliche Aussagen der Perron-FrobeniusTheorie fur nichtnegative Matrizen auf positive (besser: “nichtnegative”) Operatoren auf endlich-dimensionalen Vektorraumen.


Mengen I, J ⊂ 1, . . . , n mit I ∪J = 1, . . . , n so gibt, dass ai,j = 0 fur alle i ∈ Iund j ∈ J gilt. Gleichbedeutend ist, dass es eine Permutationsmatrix P gibt mit

PAPT =(

A1 B1

0 A2

)

und Blocken A1 ∈ Rm×m und A2 ∈ R(n−m)×(n−m), 1 ≤ m ≤ n − 1. Andern-falls heißt A unzerlegbar. Die Unzerlegbarkeit von Matrizen spielt an verschiedenenStellen eine wichtige Rolle.

• Ein hinreichendes Kriterium fur die positive Definitheit einer symmetrischenMatrix A ist die strikte Diagonaldominanz

ai,i >

n∑

j=1,j 6=i

|ai,j |, 1 ≤ j ≤ n.

(Beweis mit dem Kreisesatz von Gerschgorin) Ersetzt man in hochstens n− 1-Zeilen die strikte Ungleichung durch die schwache Form ’≥’ und fordert zusatzlichdie Unzerlegbarkeit von A, so ist dies wiederum hinreichend fur die positiveDefinitheit. Hierauf beruhen z.B. Konvergenzaussagen zum Einzelschrittver-fahren (Gauß-Seidel) in der Numerik I.

• In der Graphentheorie geben Inzidenzmatrizen mit Werten ai,j ∈ 0, 1 an, obzwei Knoten eines (gerichteten) Graphen verbunden sind. Die Erreichbarkeitjedes Knoten von jedem anderen ist aquivalent dazu, dass die Inzidenzmatrixunzerlegbar ist.

• Stochastische Matrizen A ∈ Rn×n haben Eintrage ai,j ≥ 0 und Spaltensummen1. (Man beachte hier den Zusammenhang zu den Summenregeln (5.47) und denMatrizen AR in (6.15).) Solche Matrizen treten z.B. bei der Behandlung vonstationaren diskreten Markoff-Prozessen

~p(k+1) = A~p(k)

auf. Der Vektor ~p(k) ∈ Rn beschreibt eine Haufigkeitsverteilung, also ist ~p(k) ≥0 und

∑i p

(k)i = 1. Die Matrix A hat den Spektralradius 1, weil die Spal-

tensummennorm ‖A‖1 = 1 ist und der Vektor 1 aus lauter Einsen ein Links-Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist. Also ist ρ = 1 auch ein Eigenwert. FallsA > 0 gilt, sichert die von Perron und Frobenius entwickelte Theorie, dass 1einfacher Eigenwert mit positivem Eigenvektor ~p > 0 (und Spaltensumme 1) ist.Dieser Vektor liefert die eindeutige Grenzverteilung des Markov-Prozesses, d.h.es gilt

~p = limk→∞

Akp(0)

bei beliebiger Anfangsverteilung p(0).Falls A hingegen unzerlegbar ist, so konnen mehrere Eigenwerte vom Betrag

1 auftreten. Alle Eigenwerte vom Betrag 1 sind einfach und als Grenzverteilungbezeichnet man den Eigenvektor ~p zum Eigenwert 1. Dieser ist wieder strikt pos-itiv. Falls A sogar primitiv ist, also eine strikt positive Potenz Ak > 0 existiert,so ist λ = 1 wieder der einzige Eigenwert vom Betrag 1 (R. A. Horn und C.R. Johnson, “Matrix Analysis”, Cambridge Univ. Press 1985, Theorem 8.5.2).Dies fuhrt dann zum “starken” Konvergenzsatz von Markoff. Die Primitivitatfolgt schon, wenn mindestens ein Diagonalelement von A positiv ist (a.a.O.,Corollary 8.4.8).


Das Beispiel der unzerlegbaren Matrix A =(

0 11 0

)mit den Eigenwerten

1 und −1 belegt, dass unzerlegbare Matrizen existieren, die nicht primitiv sind.A hat die einfachen Eigenwerte 1 und −1. Die Lage aller Eigenwerte einerunzerlegbaren Matrix hat die folgende erstaunliche Struktur (a.a.O., Corollary8.4.6): Die Eigenwerte vom Betrag 1 sind die k-ten Einheitswurzeln

λ1 = 1, λ2 = e2πi/k, . . . , λk = e2πi(k−1)/kzu einem 1 ≤ k ≤ n, das n teilt. Sie sind alle einfach. Fur jeden weiterenEigenwert λ vom Betrag |λ| < 1 sind e2πim/kλ mit 1 ≤ m ≤ k − 1 ebenfallsEigenwerte der gleichen algebraischen Vielfachheit wie λ.

Wir kehren zur Betrachtung des eingeschrankten Transfer-Operators T|P |2 zuruck.Als positiver Operator hat er die folgende Eigenschaft (unabhangig davon, ob derKaskadenalgorithums konvergiert oder nicht).

Satz 6.26. Der Spektralradius ρ des eingeschrankten Transfer-Operators T|P |2 istein Eigenwert. Falls ρ > 0 gilt, existiert eine nichtnegative Eigenfunktion fρ ∈ TN

mit fρ ≥ 0, fρ 6≡ 0 zu diesem Eigenwert.

Der Beweis ist im Artikel von Rheinboldt und Vandergraft enthalten (Theorem 7)und ubertragt das bekannte Resultat uber nichtnegative Matrizen auf positive Op-eratoren. Wir haben diese Eigenschaft schon anhand der Eigenfunktion [φ, φ] ≥ 0zum Eigenwert 1 beobachtet, falls schwache (oder starke) Konvergenz des Kaskade-nalgorithmus vorliegt. Fur die Orthogonalitat der Z-Shifts wurde man gerne auffρ ≡ 1, also insbesondere die strikte Positivitat schließen. Dazu sind die in Defini-tion 6.23 gegebenen Bezeichnungen hilfreich.

Satz 6.27. Gegeben sei das trigonometrische Polynom

P (ω) =12

N2∑

k=N1

pke−ikω =(

1 + e−iω

2

)m

P0(ω),

wobei m ∈ N0 und P0 ein trigonometrisches Polynom mit P0(0) = 1, P0(π) 6= 0 ist.Dann sind aquivalent:

a) T|P0|2 ist unzerlegbar.b) T|P0|2 ist primitiv.c) P0 (und aquivalent dazu P ) erfullt “Cohen’s Bedingung”2:

(i) P besitzt keine “symmetrischen” Nullstellenpaare (ω, ω + π). (Diese Beze-ichnung wird wegen der Lage von eiω und ei(ω+π) auf dem Einheitskreisgewahlt.)

(ii) Es existiert kein Zyklus

(6.26) ω0 ∈ [0, 2π), 2ω0 mod 2π, . . . , 2`ω0 mod 2π

der Lange ` + 1 ≥ 2 aus paarweise verschiedenen Zahlen in [0, 2π) mit2`+1ω0 ≡ ω0 mod 2π, so dass

(6.27) P0(2kω0 + π) = 0 fur alle 0 ≤ k ≤ `

2Albert Cohen, adakemischer Schuler von Yves Meyer und Professor an der Universite Marieet Pierre Curie (Paris VI), formulierte diese Bedingung in seiner These d’Etat 1989


gilt.

Beweis: Wir zeigen die Implikationen a)=⇒c)=⇒b)=⇒a). Die letzte folgt aus derDefinition und Ubung 6.24.

a)=⇒c): Falls ein Nullstellenpaar ω∗, ω∗ + π von P0 vorliegt (also auch N =N2 − N1 ≥ 2 gelten muss), wahlen wir f(ω) = 1 − cos(ω − 2ω∗) ∈ T1. Danngilt T|P0|2f(2ω∗) = 0, und wegen T|P0|2f ≥ 0 hat die Funktion dort mindestens einedoppelte Nullstelle. Weil 2ω∗ doppelte und einzige Nullstelle von f im Perioden-intervall ist, existiert eine Konstante α > 0 mit T|P0|2f ≤ αf . Da f nicht striktpositiv ist, widerspricht dies der Unzerlegbarkeit des Operators.

Falls ein Zyklus (6.26) mit der Eigenschaft (6.27) vorliegt (also auch N = N2−N1 ≥` + 1 gelten muss), wahlen wir f(ω) =

∏`k=0(1− cos(ω − 2kω0) ∈ T`+1. Dann gilt

T|P0|2f(2kω0) = |P0(2k−1ω0)|2 f(2k−1ω0)︸︷︷︸=0

+ |P0(2k−1ω0 + π)|2︸︷︷︸=0

f(2k−1ω0 + π)

fur alle 1 ≤ k ≤ ` + 1. Wie oben folgt T|P0|2f ≤ αf fur ein α > 0, im Widerspruchzur Unzerlegbarkeit des Operators.

c)=⇒b): Gegeben sei ein beliebiges f ∈ TN mit f ≥ 0, f 6= 0. Weiter seien

0 < ω1 < · · · < ωr < 2π

die paarweise verschiedenen Nullstellen von f im offenen Intervall (0, 2π). Wirbezeichnen die Anzahl der paarweise verschiedenen Nullstellen von T k

|P0|2f , k ≥ 1,im offenen Intervall (0, 2π) mit µk. Es gilt:

1. (µk)k≥0 ist monoton fallend: Seien ηi, 1 ≤ i ≤ µk, die paarweise verschiedenenNullstellen von T k

|P0|2f . Weil P0 keine symmetrischen Nullstellenpaare besitzt,folgt aus T k+1

|P0|2f(ω) = 0 mit ω ∈ (0, 2π) die Bedingung

T k|P0|2f(ω2) = 0 oder T k

|P0|2f(ω2 + π) = 0.

Also muss ω ∈ 2ηi mod 2π; 1 ≤ i ≤ µk ∩ (0, 2π) gelten. Damit ist µk+1 ≤ µk

gezeigt. Weiterhin folgt sogar µk+1 < µk, falls– T k

|P0|2f ein symmetrisches Nullstellenpaar η, η + π ∈ (0, 2π) besitzt (alsoηj = ηi + π fur ein Paar i, j gilt),

– ηi = π fur ein 1 ≤ i ≤ µk gilt.Denn dann enthalt die obige Menge hochstens µk − 1 Elemente.

2. Aus µk+1 = µk > 0 folgt mit den obigen Bezeichnungen, dass P0(ηi + π) = 0und T k+1

|P0|2f(2ηi) = 0 fur alle 1 ≤ i ≤ µk gilt.

Aus der Existenz einer Sequenz µk = µk+1 = · · · = µk+N+1 > 0 mit k ∈ N0 folgtaus den obigen Uberlegungen, dass P0 eine Menge von Nullstellen der Form ηi +π, (2ηi mod 2π)+π, . . . , (2Nηi mod 2π)+π besitzt. Hierbei sind alle ηi, . . . , (2Nηi

mod 2π) ∈ (0, 2π). Weil der Laurent-Grad von P0 aber kleiner oder gleich N ist,muss diese Menge einen Zyklus enthalten. In (0, 2π) gibt es nur Zyklen der Langegroßer oder gleich 2. Dies widerspricht Cohen’s Bedingung.


Damit haben wir gezeigt, dass µk+N+1 < µk fur alle k ≥ 0 mit µk > 0 gilt. Wegenµ0 = r ≤ N (beachte: f ∈ TN mit f ≥ 0 hat hochstens N paarweise verschiedeneNullstellen) folgt nun µN(N+1) = 0. Also gilt T k

|P0|2f(ω) > 0 fur alle ω ∈ (0, 2π)und k ≥ N(N + 1).

Falls T k|P0|2f(0) = 0 gilt, muss wegen P0(0)P0(π) 6= 0 auch T k−1

|P0|2f(π) = 0 gelten.

Dies ist soeben fur k > N(N +1) widerlegt worden. Also ist T k|P0|2f(ω) > 0 fur alle

ω ∈ [0, 2π) und k > N(N + 1).

Bemerkung 6.28. Im letzten Beweisteil haben wir sogar bewiesen, dass Cohen’sBedingung die folgende Eigenschaft des Operators T|P |2 impliziert: Fur alle f ∈ TN

mit f ≥ 0 und f 6≡ 0, alle ω ∈ (0, 2π) sowie alle k ≥ N(N + 1) gilt T k|P |2f(ω) > 0.

Die Primitivitat (und Unzerlegbarkeit) von T|P |2 scheitert also nur durch Einsetzender Stelle ω = 0, denn aus P (0) = 1 und P (π) = 0 folgt sofort T k

|P |2f(0) = 0 furalle Funktionen

f ∈ FN = g ∈ TN ; g(0) = 0.

Wir kommen nun zur Erweiterung der Aquivalenzen von Satz 6.14 sowie einerVerscharfung von Teil b) von Satz 6.21 zur starken Konvergenz des Kaskadenalgo-rithmus.

Satz 6.29. Das trigonometrische Polynom

P (ω) =12

N2∑

k=N1

pke−ikω

erfulle P (0) = 1 und |P (ω)|2 + |P (ω + π)|2 ≡ 1 fur alle ω ∈ [0, 2π). Dann sindaquivalent:

a) P erfullt Cohen’s Bedingung.b) Der Kaskadenalgorithmus konvergiert fur alle ϕ ∈M0 stark gegen φ.c) Die Familie φ(· − k); k ∈ Z ist eine ONB des Raumes V0, also [φ, φ] ≡ 1.d) Es gilt ‖φ‖2 = 1.

Beweis: a)=⇒b): Da P automatisch die Summenregeln erfullt, genugt es zuzeigen, dass der eingeschrankte Transfer-Operator T|P |2 die Spektraleigenschaftenin Satz 6.14(b) hat. Aus der schwachen Konvergenz (Satz 6.21(a)) folgt bereits,dass der Spektralradius ρ = 1 ist. Wegen P (π) = 0 gibt es ein trigonometrischesPolynom P0 mit

P (ω) =1 + e−iω

2P0(ω).

Mit σ(T|P0|2) bezeichnen wir die (geordnete) Menge der (mit Vielfachheiten gezahlten)Eigenwerte des eingeschrankten Transfer-Operators T|P0|2 und mit τ seinen Spek-tralradius. Dann sind die Eigenwerte von T|P |2 nach Bemerkung 6.20 gegeben durch

σ(T|P |2) = λ/4; λ ∈ σ(T|P0|2)∪1, 1/2.Es genugt also zu zeigen, dass τ/4 < 1 gilt. Ware τ/4 = 1, so wurde nach Satz6.26 eine nichtnegative Eigenfunktion f ∈ TN−1 von T|P0|2 zum Eigenwert τ = 4


existieren. Diese liefert dann die Eigenfunktion

g(ω) =2− e−iω − eiω

4f(ω) ≥ 0

zum Eigenwert 1 des Operators T|P |2 . Die konstante Funktion e0 ≡ 1 ist wegen(6.23) ebenfalls eine Eigenfunktion zum Eigenwert 1. Setzen wir B = ‖g‖∞ > 0, soist

h := e0 − g/B ≥ 0eine weitere nichtnegative Eigenfunktion zum Eigenwert 1. Weiterhin ist h(0) = 1und h(ω0) = 0 fur ein ω0 ∈ (0, 2π). Dies liefert schließlich T k

|P |2(ω0) = 0 fur allek ∈ N im Widerspruch zur Primitivitat, siehe Bemerkung 6.28. Also muss τ/4 < 1gelten. Damit ist nachgewiesen, dass 1 einfacher Eigenwert von T|P |2 ist und alleanderen Eigenwerte vom Betrag kleiner als 1 sind.

b)=⇒c) wurde bereits in Satz 6.21 gezeigt und c)=⇒d) ist trivial.

d)=⇒a): Nun gelte ‖φ‖2 = 1. Nach Satz 6.21(a) konvergiert der Kaskadenalgo-rithmus fur jede Startfunktion ϕ ∈ M schwach gegen φ. Aus der punktweisenKonvergenz ϕn → φ folgt mit Fatou’s Lemma

(6.28) 2π =∫

R|φ(ω)|2 dω ≤ lim inf

n→∞

∫

R|ϕn(ω)|2 dω = lim inf

n→∞

∫ 2π

0

[ϕn, ϕn](ω) dω.

Wir nehmen nun an, Cohen’s Bedingung sei verletzt. Weil P keine symmetrischenNullstellenpaare haben kann, muss ein Zyklus ω0, . . . , ω` ∈ (0, 2π) aus paarweiseverschiedenen Zahlen existieren mit

ωk+1 = 2ωk mod 2π, 0 ≤ k ≤ `− 1, ω0 = 2ω` mod 2π

und P (ωk + π) = 0 fur 0 ≤ k ≤ `, ` ≥ 1. Wir konnen eine Funktion ϕ ∈ M sowahlen, dass fur f = [ϕ, ϕ] gilt:

• 0 ≤ f ≤ 1,• f(ωk) = 0 fur alle 0 ≤ k ≤ `.

(Dies geht z.B. so: Jeder Zyklus besteht aus rationalen Vielfachen von 2π. Ist Kder Hauptnenner, so erfullt die Funktion ϕ = 1

K χ[0,K) die Bedingungen ϕ(0) = 1und ϕ(2πm/K) = 0 fur alle m 6= 0. Also ist ϕ ∈ M0 und f(ωk) = 0. DurchVergleich mit der Funktion η = χ[0,1) ergibt sich f ≤ [η, η] = 1.)

Dann istfn := [ϕn, ϕn] = Tn

|P |2f ≤ 1und fur hinreichend großes n gilt fn ∈ TN . Die Nullstellen von P erganzen sich mitden Nullstellen von f und ergeben die Relation

fn(ωk) = 0, 0 ≤ k ≤ `, n ∈ N0.

Damit erhalten wir einen Widerspruch zu (6.28), denn fur das trigonometrischePolynom f vom Grad N mit Nullstellen in (0, 2π) und Werten 0 ≤ f ≤ 1 ist

∫ 2π

0

fn(ω) dω < 2π − cN .

Die Konstante cN > 0 hangt nur von N ab (siehe z.B. die Bernstein-Ungleichungfur trigonometrische Polynome).


Wir haben bewiesen, dass aus [φ, φ] ≡ 1 bereits die starke Konvergenz des Kaskade-nalgorithmus (fur alle ϕ ∈ M0) folgt. Auch ohne die Bedingung (6.23) kann einesolche Aussage gezeigt werden. Zur Erinnerung: die Z-Shifts von φ bilden eineRiesz-Basis von V0, falls Konstanten A,B > 0 existieren mit A ≤ [φ, φ] ≤ B. Furein trigonometrisches Polynom [φ, φ] ∈ TN ist dies aquivalent zur strikten Posi-tivitat [φ, φ] > 0.


P (ω) =12

N2∑

k=N1

pke−ikω

mit P (0) = 1, P (π) = 0 und P besitze keine symmetrischen Nullstellen. Weiterhinkonvergiere der Kaskadenalgorithmus fur alle ϕ ∈M schwach gegen φ. Dann sindaquivalent:

a) P erfullt Cohen’s Bedingung.b) Es gilt [φ, φ] > 0.

Unter einer (und damit beiden) dieser Zusatzvoraussetzungen konvergiert der Kaskade-nalgorithmus fur alle ϕ ∈M0 stark gegen φ.

Beweis: a)=⇒b): Wegen φ ∈ L2(R) ist die Funktion eφ := [φ, φ] ∈ TN eineEigenfunktion von T|P |2 zum Eigenwert 1. Aus Cohen’s Bedingung und Bemerkung6.28 folgt eφ(ω) > 0 fur alle ω ∈ (0, 2π). Weiter ist eφ(0) ≥ |φ(0)|2 = 1, also eφ > 0.

b)=⇒a): Der Beweis wird ahnlich wie der zu Satz 6.29 gefuhrt. Es gelte eφ :=[φ, φ] > 0. Nach Voraussetzung konvergiert der Kaskadenalgorithmus fur jedeStartfunktion ϕ ∈M schwach gegen φ. Wie in (6.28) folgt mit Fatou’s Lemma

(6.29)∫ 2π

0

eφ(ω) dω ≤ lim infn→∞

∫ 2π

0

[ϕn, ϕn](ω) dω.

Wir nehmen nun an, Cohen’s Bedingung sei verletzt. Da P nach Vorausset-zung keine symmetrischen Nullstellenpaare hat, konnen wir wieder einen Zyklusω0, . . . , ω` ∈ (0, 2π) und eine Funktion η ∈M so wahlen, dass fur g = [η, η] gilt:

• 0 ≤ g ≤ 1,• g(ωk) = 0 fur alle 0 ≤ k ≤ `.

Das Riesz-Fejer Lemma (Beweis im nachsten Abschnitt) erlaubt uns, ein trigonometrischesPolynom

t(ω) =N∑

k=0

ake−ikω, ak ∈ R,

zu wahlen mit |t(ω)|2 = eφ(ω)/eφ(0) und t(0) = 1. Die Funktion

ϕ =N∑

k=0

akη(· − k)


hat kompakten Trager und erfullt ϕ(0) = t(0)η(0) = 1, also ϕ ∈M. Weiterhin gilt

f := [ϕ, ϕ] = |t|2g = eφg ≤ eφ

und f(ωk) = 0 fur alle 0 ≤ k ≤ `. Die Monotonie des Operators T|P |2 ergibt

fn := [ϕn, ϕn] = Tn|P |2f ≤ eφ

und es gilt fn(ωk) = 0 fur alle 0 ≤ k ≤ `. Weil fn fur hinreichend großes n inTN liegt und eφ > 0 vorausgesetzt ist, erhalten wir einen Widerspruch zu (6.28).Damit ist die Aquivalenz a)⇐⇒b) bewiesen.

Wir zeigen nun noch, dass a) und b) die starke Konvergenz liefern. P erfulltnach der Voraussetzung die Summenregeln, und die Voraussetzung der schwachenKonvergenz ergibt, dass der Spektralradius von T|P |2 wieder ρ = 1 ist. WurdeT|P |2 nicht die Spektraleigenschaft in Satz 6.14(b) besitzen, so hatten wir wie imBeweis von Satz 6.29 eine nichtnegative Eigenfunktion g ∈ TN zum Eigenwert 1mit g(0) = 0. Wegen eφ > 0 konnen wir B > 0 so wahlen, dass

h := eφ − g/B ≥ 0

eine Eigenfunktion zum Eigenwert 1 mit einer Nullstelle in (0, 2π) ist. Dies ergibtwie im Beweis von Satz 6.29 den Widerspruch zu Cohen’s Bedingung (Primitivitat).

Beispiel 6.31. Wir betrachten das Skalierungssymbol der Daubechies-Skalierungsfunktionφ2 (fur ein Wavelet ψ2 mit m = 2 verschwindenden Momenten)

P (ω) =18((1 +

√3) + (3 +

√3)e−iω + (3−

√3)e−i2ω + (1−

√3)e−i3ω)

=14

1 + e−iω

2((1 +

√3) + 2e−iω + (1−

√3)e−i2ω)

=12

(1 + e−iω

2

)2

((1 +√

3) + (1−√

3)e−iω).

P erfullt Cohen’s Bedingung, also ist der eingeschrankte Transfer-Operator T|P2|2auf T1 zum Teilsymbol P2(ω) = 1

2 ((1 +√

3) + (1−√3)e−iω) unzerlegbar.

• Der eingeschrankte Transfer-Operator T|P2|2 hat die Eigenwerte 4 (einfach) mitder Eigenfunktion f1 ≡ 1 und −1 (doppelt, nicht entartet). Der Kaskadenalgo-rithmus zu P2 konvergiert weder schwach noch stark.

• Der eingeschrankte Transfer-Operator T|P1|2 auf T2 zum Teilsymbol P1(ω) =14 ((1+

√3)+2e−iω +(1−√3)e−i2ω) hat die Eigenwerte 1 (doppelt und entartet)

mit nur einer Eigenfunktion f1(ω) = 2 − eiω − e−iω, 1/2 (einfach) und −1/4(doppelt, nicht entartet). Da der Kaskadenalgorithmus nicht stark konvergiert(1 ist doppelter Eigenwert), aber P1 Cohen’s Bedingung und P1(0) = 0 erfullt,kann nach Satz 6.30 auch keine schwache Konvergenz vorliegen. Dies belegt,dass der doppelte Eigenwert 1 entartet sein muss!

• Der eingeschrankte Transfer-Operator T|P |2 auf T3 hat die Eigenwerte 1 (ein-fach) mit Eigenfunktion f1 ≡ 1, 1/2 (einfach), 1/4 (doppelt und entartet),1/8 und −1/16 (doppelt, nicht entartet). Hier liegt also starke Konvergenzdes Kaskadenalgorithmus vor. Dies ist auch ohne die Berechnung der Eigen-werte festzustellen: P erfullt alle Voraussetzungen von Satz 6.29 und Cohen’s


Bedingung. Insbesondere stellt man also fest, dass die Z-Shifts von φ2 ein ONSbilden.

Das Spektrum des Operators T|P |2 verrat sogar noch mehr uber die Funktion φ.Wir wissen bereits, dass die Differenzierbarkeit von φ (mit φ′ ∈ L2(R)) ein gewissesAbklingverhalten der Fourier-Transformierten φ bewirkt. Als “Glattheitsraume”werden haufig die Sobolev-Raume

Hα2 (R) := f ∈ L2(R);

∫

R(1 + |ω|2)α|f(ω)|2 dω < ∞, α > 0,

verwendet. Typische sogenannte “Einbettungssatze” der Form

Hr+1/2+ε2 (R) ⊂ Cr(R)

liefern einen Zusammenhang zur ublichen Differenzierbarkeit von Funktionen. Wirbezeichnen den Wert

β = β(φ) = supα ≥ 0;φ ∈ Hα2 (R)

als den Sobolev-Exponenten der Funktion φ. Dieser laßt sich genau bestimmen!Ohne Beweis zitieren wir die folgende Aussage von T. Eirola3.


P (ω) =12

N2∑

k=N1

pke−ikω =(

1 + e−iω

2

)m

P0(ω),

wobei m ∈ N und P0 ein trigonometrisches Polynom mit P0(0) = 1, P0(π) 6= 0 ist.Ist τ der Spektralradius von T|P0|2 und τ < 4m, so gilt

β(φ) ≥ m− log4 τ.

Falls P Cohen’s Bedingung erfullt, gilt sogar Gleichheit und φ 6∈ Hβ(φ)2 .

5. Die Daubechies Skalierungsfunktionen

Ingrid Daubechies gelang Ende der 1980’er Jahre die Konstruktion orthogonalerWavelets mit kompaktem Trager und beliebig hoher Glattheit. Das Kernstuck istdabei die Konstruktion von Skalierungssymbolen

P (ω) =12

N∑

k=0

pke−ikω =(

1 + e−iω

2

)L

P0(ω),

die die Orthogonalitatsrelation

|P (ω)|2 + |P (ω + π)|2 ≡ 1

erfullen. Hierbei ist, wie zuvor, L ∈ N und P0 ist ein trigonometrisches Polynommit P0(0) = 1, P0(π) 6= 0. Es wird sich herausstellen, dass N = 2L − 1 derkleinstmogliche Grad eines solchen Symbols P ist.

3Timo Eirola, Sobolev characterization of solutions of dilation equations, Siam J. Math.Anal. 23 (1992), 1015–1030

5. DIE DAUBECHIES SKALIERUNGSFUNKTIONEN 125

Zur Vereinfachung setzen wir x = sin2(ω/2). Also ist

|P (ω)|2 = (1− x)L|P0(ω)|2, |P (ω + π)|2 = xL|P0(ω + π)|2.Der folgende Hilfssatz liefert eine Losung R = |P |2 der Orthogonalitatsrelation.

Hilfssatz 6.33. Das trigonometrische Polynom R ∈ T2L−1 mit

(6.30) R(ω) =(

2 + e−iω + eiω

4

)L L−1∑

k=0

(L− 1 + k

k

) (2− e−iω − eiω

4

)k

erfullt R ≥ 0, R(0) = 1 und R(ω) + R(ω + π) = 1 fur alle ω ∈ [0, 2π).

Beweis: Die Relation R ≥ 0 folgt direkt aus der Definition. Mit x = sin2(ω/2) =2−e−iω−eiω

4 hat das gegebene R die Form

R(ω) = (1− x)LL−1∑

k=0

(L− 1 + k

k

)xk =: q(x).

Sofort erhalt man R(0) = q(0) = 1 und R(π) = q(1) = 0. Weiterhin ist

R(ω + π) = xLL−1∑

k=0

(L− 1 + k

k

)(1− x)k = q(1− x).

Das Polynom q vom Grad 2L− 1 ist ein Grundpolynom zur Hermite-Interpolationder Funktionswerte und ersten L − 1 Ableitungen an den Stellen 0 und 1: Leichtzu berechnen ist q(0) = 1 und q(ν)(1) = 0 fur alle 0 ≤ ν ≤ L− 1. Weiterhin ergibtsich mit der Leibniz-Regel

q(ν)(0) =ν∑

j=0

(ν

j

)(−1)ν−j L!

(L− ν + j)!(L− 1 + j)!

(L− 1)!

= (−1)νν!ν∑

j=0

(−1)j

(L

ν − j

)(L− 1 + j

j

)

= (−1)νν!ν∑

j=0

(L

ν − j

)(−L

j

)= 0

fur 1 ≤ ν ≤ L − 1. Also gilt q(x) + q(1 − x) = 1 fur alle x ∈ R. Damit ist dieBehauptung gezeigt.

Der nachste Schritt besteht in der Ermittlung des trigonometrischen PolynomsP aus der angegebenen Funktion R = |P |2. Weil R ein nichtnegatives Cosinus-Polynom ist (R reell, R ≥ 0 und alle Koeffizienten von R sind reell), dient hierzudas Riesz-Fejer Lemma4.

Hilfssatz 6.34. (Lemma von Riesz und Fejer)

Gegeben sei das trigonometrische Polynom

A(ω) =a0

2+

N∑

k=1

ak cos kω ≥ 0

4siehe z.B. Polya, Szego, Lehrbuch der Analysis 2, S. 82, Aufgabe 41


mit reellen Koeffizienten a0, · · · , aN und aN 6= 0. Dann existiert ein trigonometrischesPolynom B(ω) =

∑Nk=0 bke−ikω mit reellen Koeffizienten b0, . . . , bN , das

|B(ω)|2 = A(ω), ω ∈ R,

erfullt.

Beweis. Wir bestimmen B nach der Methode der “spektralen Faktorisierung”.Zum trigonometrischen Polynom A(ω) definieren wir das algebraische Polynom

a(z) :=zN

2

(a0 +

N∑

k=1

ak(zk + z−k)

).

Fur z = e−iω ist dann A(ω) = z−Na(z). Wegen aN 6= 0 ist z = 0 keine Nullstellevon a. Weil a reelle Koeffizienten besitzt und a(z) = a(1/z) erfullt, gilt: Mit z sindauch z, 1/z und 1/z Nullstellen von a (wobei manche dieser Werte zusammenfallenkonnen). Wegen z−Na(z) ≥ 0 fur alle |z| = 1 ist die Ordnung aller Nullstellen zauf dem Einheitskreis jeweils gerade. Also hat a die Gestalt

a(z) = α(z − 1)2n1(z + 1)2n2

n3∏

k=1

(z − rk)(1− zrk)

n4∏

k=1

(z − eiθk)2αk(z − e−iθk)2αk

n5∏

k=1

(z − zk)(z − zk)(1− zzk)(1− zzk),

wobei rk ∈ R \ −1, 0, 1, θk ∈ (0, 2π) \ pi, zk ∈ C \ R mit |zk| 6= 1 Nullstellenvon a sind und der Koeffizient α reell ist. Wir konnen nun ein Polynom b vomGrad N durch Auswahl der Halfte der Nullstellen von a so bestimmen, dass b reelleKoeffizienten hat und zNb(z)b(1/z) = a(z) erfullt. Dazu setzen wir

b(z) = γ(z − 1)n1(z + 1)n2

n3∏

k=1

(z − rk)n4∏

k=1

(z − eiθk)αk(z − e−iθk)αk

n5∏

k=1

(z − zk)(z − zk)

mit geeignetem γ ∈ R. Die Monom-Darstellung b(z) =∑N

k=0 bkzk mit reellenKoeffizienten liefert schließlich das gesuchte trigonometrische Polynom B(ω) =∑N

k=0 bke−ikω, denn mit z = e−iω gilt

|B(ω)|2 = b(z)b(1/z) = z−Na(z) = A(ω).

Bemerkung 6.35. Die Auswahl der Nullstellen zur Definition von b im obigenBeweis ist nicht eindeutig. Manchmal wahlt man den “minimal-phasigen” Filter,indem alle reellen und komplexen Nullstellen außerhalb des Einheitskreises verwen-det werden. Dies war der ursprungliche Vorschlag von Daubechies und fuhrt vondem trigonometrischen Polynom R = RL aus Hilfssatz 6.33 zu den Daubechies-Filtern (in Matlab durch dbL bezeichnet). Nachtraglich wurden andere Kombina-tionen der Nullstellen ausgewahlt, die zu “symmetrischeren” Koeffizientenfolgen bk

fuhren. Ausgehend von derselben Funktion RL erhalt man so die “Symmlet-Filter”(in Matlab durch symL bezeichnet).

5. DIE DAUBECHIES SKALIERUNGSFUNKTIONEN 127

Beispiel 6.36. Wir fuhren die Schritte fur L = 2 aus. Die Funktion R = R2 inHilfssatz 6.33 ist

R(ω) =(

2 + e−iω + eiω

4

)2 (1 +

2− e−iω − eiω

2

)=

∣∣∣∣1 + e−iω

2

∣∣∣∣4 4− e−iω − eiω

2.

Wir verwenden das Riesz-Fejer Lemma nur fur den Bruch. Das quadratische Poly-nom a(z) = (4z − 1 − z2)/2 hat die Nullstellen r1 = 2 − √3 und r−1

1 = 2 +√

3.

Der minimal-phasige Faktor ist b(z) = γ(z − (2 +√

3)) mit γ = −√

1−√3/2 =

(1−√3)/2. Als Skalierungssymbol ergibt sich

P (ω) =(

1 + e−iω

2

)2(

(1 +√

3) + (1−√3)e−iω

2

)

=18

((1 +

√3) + (3 +

√3)z + (3−

√3)z2 + (1−

√3)z3

).

Die Konvergenzeigenschaften des Kaskadenalgorithmus wurden schon in Beispiel6.31 ausgefuhrt. Die resultierende Funktion φ hat orthogonale Z-Shifts.

Die Untersuchung der Konvergenz der Daubechies- (und Symmlet-) Filter stutztsich auf die Spektraleigenschaften des eingeschrankten Transfer-Operators zumtrigonometrischen Polynom

RL(ω) = |PL(ω)|2 =(

2 + e−iω + eiω

4

)L L−1∑

k=0

(L− 1 + k

k

)(2− e−iω − eiω

4

)k

das fur jedes L ∈ N in Hilfssatz angegeben wurde. Offensichtlich ist ω = π dieeinzige Nullstelle von RL. Also gilt Cohen’s Bedingung, und Satz 6.29 liefert sofortdie starke Konvergenz des Kaskadenalgorithmus fur alle Startfunktionen ϕ ∈ M0

gegen die Skalierungsfunktion φ = φL. Weiterhin konnen wir schließen, dass dieZ-Shifts der Funktion φL ein ONS bilden.

Um die Glattheit (bzw. den Sobolev-Exponenten) von φL zu bestimmen, mussnoch der Spektralradius des eingeschrankten Transfer-Operators zum Teilpolynom

SL(ω) =L−1∑

k=0

(L− 1 + k

k

)(2− e−iω − eiω

4

)k

ermittelt werden. Fur kleine Werte von L gibt Tabelle 6.1 die exakten Werte desSobolev-Exponenten in Satz 6.32. In der letzten Zeile der Tabelle wird außerdemder entsprechende Koeffizient der Holder-Stetigkeit von φL angegeben, also

βL = β(φL) = supα ≥ 0; φ ∈ Lipα(R).

Fur beliebiges L kann zumindest eine scharfe asymptotische Aussage gezeigt wer-den. Dazu wird direkt die Fourier-Transformierte φL abgeschatzt. Das folgendeResultat wird im Buch von Louis, Maass und Rieder bewiesen (Satz 2.4.37).

Satz 6.37. Der kritische Sobolev-Exponent βL und Holder-Exponent βL erfullen

limL→∞

βL

L= lim

L→∞βL

L= 1− log4 3 ≈ 0.20752.


φL L = 1 L = 2 L = 3 L = 4 L = 5

βL 0.5 1 1.415... 1.775... 2.096...

βL 0.550... 1.088... 1.618... 1.596...

Tabelle 6.1. Glattheit der Daubechies-Skalierungsfunktionen

KAPITEL 7

Wavelet-Transformation in der Signal- undBildverarbeitung

Wir wollen nun darstellen, wie die Wavelet-Transformation in der Signal- und Bild-verarbeitung eingesetzt wird. Hierzu sind zunachst einige Modifikationen notwendig,da die gegebenen “Funktionen” f nun diskrete Definitions- (und Werte-)bereichehaben und auf einem endlichen Intervall vorliegen. Als Modelle verwenden wirFunktionen

f : IN → R fur Signale

oderf : IM × IN → R fur Bilder,

wobei M,N ∈ N und IN = k/N ; k ∈ N0, 0 ≤ k < N gilt. Man kann f als diskreteFunktion auf dem Intervall [0, 1) bzw. dem Quadrat [0, 1)2 ansehen. Als Notationverwenden wir f [k/N ] fur die diskreten Funktionsauswertungen. Fur praktischeZwecke sind M,N oft Zweierpotenzen.

1. Wavelets fur unendliche Signale

Analog zu den Methoden aus Kapitel 6 wollen wir diskrete Wavelet-Basen fur denHilbertraum

`2(N−1Z) =

f : N−1Z→ R;N−1

∑

k∈Z|f [k/N ]|2 < ∞

mit dem Skalarprodukt

〈f, g〉 := N−1∑

k∈Zf [k/N ]g[k/N ]

definieren. Der Faktor N−1 soll dabei den Zeitabstand der Diskretisierungspunkteangeben (also ist N die Abtastrate pro Zeiteinheit). Das Skalarprodukt ist inAnlehnung an den kontinuierlichen Fall so definiert, dass es die Form einer Riemann-Summe hat. Die Skalierungsfunktionen und Wavelets sind als Funktionen auf N−1Zzu betrachten. Von nun an sei N = 2J und J ∈ N.

Gegeben seien die Skalierungssymbole

P (ω) =12

N∑

k=0

pke−ikω, Q(ω) =12

1∑

k=−N+1

qke−ikω,

129

130 7. WAVELET-TRANSFORMATION IN DER SIGNAL- UND BILDVERARBEITUNG

wobei qk = (−1)kp1−k und

|P (ω)|2 + |P (ω + π)|2 = 1, ω ∈ R,

vorausgesetzt werden. Mit p = (pk), q = (qk) bezeichnen wir die Koeffizientenfolgenund mit ↑2` p, ↑2` q die entsprechenden Folgen nach dem Upsampling mit demFaktor 2` (Einfugen von jeweils 2` − 1 Nullen). Wir definieren die Funktionenφj , ψj : N−1Z→ R, j < J , und φJ rekursiv uber diskrete Faltung

φJ [k/N ] =

2J/2 fur k = 0,

0 sonst,

φj [k/N ] = 2−1/2(↑2J−1−j (p)) ∗ φj+1[k/N ]

= 2−1/2N∑

`=0

p`φj+1[(k − 2J−1−j`)/N ],(7.1)

ψj [k/N ] = 2−1/2(↑2J−1−j (q)) ∗ φj+1[k/N ]

= 2−1/21∑

`=−N+1

q`φj+1[(k − 2J−1−j`)/N ].

Man beachte, dass auf der rechten Seite die Funktionen φj+1[(k − 2J−1−j`)/N ]gerade die 2−j−1Z-Shifts von φj+1 sind. Die Definitionen entsprechen genau denSkalierungsgleichungen (5.5) und (5.16) im kontinuierlichen Fall. Bezeichnet manmit

f(ω) =1N

∑

k∈Zf [k/N ]e−ikω

die (diskrete) Fourier-Transformierte, so gilt

φj(ω) = 2−j/2

J−1−j∏r=0

P (2rω),

ψj(ω) = 2−j/2Q(2J−1−jω)J−2−j∏

r=0

P (2rω).

Bemerkung 7.1. Stellt man die diskrete Funktion φj durch einen Polygonzug dar,so erhalt man (bis auf die Normierung) die Iterierten des Kaskaden-Algorithmuszur Startfunktion ϕ = N2 (linearer zentrierter B-Spline). Unter geeigneten Bedin-gungen an P (u.a. Cohen’s Bedingung) konvergieren φ

[jk/N ] und ψj [k/N ] rasch

gegen die Werte der kontinuierlichen Funktionen 2j/2φ(2jk/N) bzw. 2j/2ψ(2jk/N)aus Kapitel 6.

Eine direkte Beziehung zwischen diskreten und kontinuierlichen Skalierungsfunktio-nen bzw. Wavelets ist gegeben durch

φj(x) = N−1/2∑

k∈Zφj [k/N ]φJ(x− k/N), j ≤ J,

ψj(x) = N−1/2∑

k∈Zψj [k/N ]φJ(x− k/N), j < J,

wobei wir fur die kontinuierlichen Funktionen die runden Klammern verwenden.Die diskreten Funktionen sind also die Koeffizientenfolgen der kontinuierlichen

1. WAVELETS FUR UNENDLICHE SIGNALE 131

Funktionen (bis auf Normierung) in der Darstellung zur festen Basis φJ(·−k/N ; k ∈Z von VJ .

Ubung 7.2. Verwenden Sie die Matlab-Funktion upcoef zur Darstellung der diskretenFunktionen φj und ψj, 0 ≤ j < 7, fur N = 128 und Skalierungssymbole

P (ω) =18((1 +

√3) + (3 +

√3)e−iω + (3−

√3)e−i2ω + (1−

√3)e−i3ω)

P (ω) =1 + e−i3ω

2.

Entsprechend den Bezeichnungen im kontinuierlichen Fall ziehen wir die 2−jZ-Shiftsvon φj und ψj zur Konstruktion einer Orthonormalbasis heran. Ein solcher Shiftist in unserer Notation gegeben durch φj [(n − 2J−jk)/N ] = φj [n/N − 2−jk] mitk ∈ Z und j ≤ J .

Satz 7.3. Fur jedes L < J bilden die diskreten Funktionen

(7.2) φL[· − 2−Lk]; k ∈ Z ∪ ψj [· − 2−jk]; k ∈ Z, L ≤ j < Jeine Orthonormalbasis von `2(N−1Z).

Zu einer gegebenen Funktion f ∈ `2(N−1Z) seien nun

aj [k2−j ] = 〈f, φj [· − 2−jk]〉,dj [k2−j ] = 〈f, ψj [· − 2−jk]〉

definiert. Man beachte, dass hierdurch diskrete Funktionen auf der Menge 2−jZ,j ≤ J , definiert sind, also eine “Ausdunnung” stattfindet. Dann lassen sich aj−1

und dj−1 genau wie im kontinuierlichen Fall aus aj berechnen. Wie in (5.33) und(5.34) gilt

aj−1[k2−j+1] = 2−1/2∑

`∈Zp`−2kaj [` 2−j ](7.3)

dj−1[k2−j+1] = 2−1/2∑

`∈Zq`−2kaj [` 2−j ](7.4)

Umgekehrt ergibt sich aj aus aj−1 und dj−1 wie in (5.36) als

aj [k 2−j ] = 2−1/2∑

`∈Z(pk−2`aj−1[` 2−j+1] + qk−2`dj−1[` 2−j+1].

Man erkennt also, dass die Entwicklung diskreter Wavelets eigentlich nur eine weit-ere Beschreibung der Perfect Reconstruction Filter Bank in Bild 5.1 ist.

Zu erwahnen ist noch, dass die diskreten Wavelets verschwindende Momente∑

k∈Zkνψj [k/N ] = 0, 0 ≤ ν ≤ m− 1,

besitzen, falls P eine m-fache Nullstelle bei π besitzt. Dies fuhrt wie im kontinuier-lichen Fall zu kleinen Wavelet-Koeffizienten, falls die diskrete Funktion f Abtastungeiner m-mal stetig differenzierbaren Funktion ist. Denn dann entspricht das innere


Produkt 〈f, ψj〉 einer Linearkombination m-ter vorwartsgenommener Differenzenzur Schrittweite h = 1/N ,

〈f, ψj〉 =∑

k

ck∆mh f [k/N ] = O(hm).

2. Wavelets fur endliche Signale

In Anwendungen ist meist ein endliches diskretes Signal f : IN → R vorgegeben.Wie oben ist IN = 0, 1

N , . . . , N−1N ⊂ [0, 1). Falls die diskrete Funktion φj [·−2−jk

bzw. ψj [· − 2−jk] ihren Trager ganz in IN hat, stimmt das innere Produkt

aj [k2−j ] = 〈f, φj [· − 2−jk]〉IN,

dj [k2−j ] = 〈f, ψj [· − 2−jk]〉IN

mit dem uber N−1Z uberein. Man bezeichnet solche Wavelets ψj [· − 2−jk] als die“inneren” Wavelets zur Menge IN . Nur am Rand von IN (also fur k nahe 0 und2j) mussen die Werte aj [k2−j ] und dj [k2−j ] durch eine sinnvolle Fortsetzung von faußerhalb des Intervalls definiert werden. Dies lasst sich auch durch die Einfuhrungvon “Rand-Wavelets” beschreiben. Hierzu gibt es im wesentlichen 4 Strategien.

2.1. Zero-Padding. Man definiert das durch Nullen fortgesetzte Signal

f0[k/N ] =

f [k/N ], 0 ≤ k < N,

0, sonst,

und berechnet die Wavelet-Zerlegung von f0 uber N−1Z. Dieses Vorgehen entsprichtder Verwendung des Matlab-Befehls conv fur alle diskreten Faltungen zur Berech-nung der Folgen aj und dj im Zerlegungs-Algorithmus. Falls f keine homogenenRandbedingungen f [0] = f [1] = 0 erfullt, fuhrt dies aber zu großen Wavelet-Koeffizienten nahe am Rand, da dann “Unstetigkeit” des (diskreten) Signals amRand vorliegt.

Dieses Vorgehen laßt sich auch beschreiben, indem man als Rand-Wavelets dieabgeschnittenen diskreten Funktionen ψj [· − 2−jk]|IN

verwendet, denn

〈f0, ψj [· − 2−jk]〉N−1Z = 〈f, ψj [· − 2−jk]|IN 〉IN .

Da die Rand-Wavelets i.a. kein verschwindendes Moment mehr besitzen, werdendie Wavelet-Koeffizienten am Rand besonders groß sein.

2.2. Periodisierung. Zu f : IN → R und f0 wie oben definiert man das1-periodische Signal

fper[k/N ] =∑

`∈Zf0[k/N + `], k ∈ Z,

und berechnet die Wavelet-Zerlegung von fper. Dieses Vorgehen entspricht derBerechnung der diskreten Faltungen zur Wavelet-Zerlegung mit der FFT. Es fuhrtebenfalls zu großen Wavelet-Koeffizienten nahe am Rand, falls die gegebenen Datengar nicht periodisch sind.

2. WAVELETS FUR ENDLICHE SIGNALE 133

Zur Interpretation dieses Vorgehens durch die Einfuhrung von Rand-Wavelets beachteman, dass

〈fper, ψj [· − 2−jk]〉N−1Z = 〈f, ψperj [· − 2−jk]〉IN

gilt, wobei durchψper

j =∑

`∈Zψj [·+ `]

ein diskretes 1-periodisches Wavelet auf N−1Z definiert ist. Die Einschrankungvon ψper

j [· − 2−jk] auf IN stimmt mit ψj [· − 2−jk] uberein, falls der Trager dieserFunktion in IN liegt (siehe Begriff des “inneren Wavelets”). Andernfalls entstehtein Rand-Wavelet, dessen Trager zwei disjunkte Anteile nahe des Randes 0 und 1von IN hat. Insgesamt hat ψper

j zwar wieder m verschwindende Momente auf IN ,

N−1∑

k=0

kνψperj [k/N ] = 0, 0 ≤ ν ≤ m− 1,

die einzelnen Teile am linken und rechten Rand haben i.a. jedoch kein verschwinden-des Moment. Dies erklart auf andere Weise, dass die Wavelet-Koeffizienten amRand groß werden, falls f keine periodischen Randbedingungen erfullt. Bemerkenswertist noch die Eigenschaft, dass fur N = 2J und alle J > L ≥ 0 die Funktionen

φperL [· − 2−Lk]; 0 ≤ k < 2L ∪ ψper

j [· − 2−jk]; 0 ≤ k < 2j , L ≤ j < Jeine Orthonormalbasis von `2(IN ) bilden.

Ubung 7.4. Beweisen Sie diese Aussage.

2.3. Klappung (engl. folding). Zu f : IN → R definiert man zunachst diegerade Fortsetzung

f1[k/N ] =

f [k/N ], 0 ≤ k < N,

f [−k/N ], −N + 1 ≤ k < 0,

0, sonst.

Meist setzt man noch f [−N/N ] = f [−(N − 1)/N ], um wieder eine Gesamtlangevon 2N = 2J+1 zu erhalten. Sodann definiert man das 2-periodische Signal

f fold[k/N ] =∑

`∈Zf1[k/N + 2`], k ∈ Z,

und berechnet die Wavelet-Zerlegung von f fold. Hierdurch wird zwar die vorherbeschriebene “Unstetigkeit” bei k = 0 behoben, dennoch besitzt f fold i.a. keineGlattheit hoherer Ordnung (im kontinuierlichen Fall ware die Funktion stetig,aber nicht differenzierbar bei t = 0). Also gibt es wieder relativ große Wavelet-Koeffizienten nahe am Rand.

Die Einfuhrung von Rand-Wavelets wird durch

〈f fold, ψj [· − 2−jk]〉N−1Z = 〈f, ψfoldj [· − 2−jk]〉IN

mit dem “geklappten” 2-periodischen Wavelet

ψfoldj =

∑

`∈Z(ψj [· − 2`] + ψj [2`− ·])


auf N−1Z erzielt. Die Einschrankung von ψfoldj [· − 2−jk] auf IN stimmt wieder

mit dem Wavelet ψj [· − 2−jk] uberein, falls der Trager dieser Funktion in IN

liegt. Gegenuber dem periodisierten Wavelet besteht der Vorteil, dass fur dieRand-Wavelets jeweils eine Spiegelung des Tragers am Intervallende nach innenvorgenommen wird. Man vermeidet dadurch das Entstehen von zwei disjunktenAnteilen nahe des Randes 0 und 1 von IN . Ein weiterer Vorteil besteht darin,dass die Rand-Wavelets mindestens ein verschwindendes Moment besitzen. Jedochliegen i.a. keine hoheren verschwindenden Momente vor. Dies erklart, dass dieWavelet-Koeffizienten am Rand wieder groß werden.

Falls p symmetrisch und N ungerade ist (also pN−k = pk ∈ R fur 0 ≤ k ≤ N gilt),und falls zusatzlich P (0) = 1 und |P (ω)|2 + |P (ω + π)|2 = 1 fur alle ω erfullt ist, sobilden die Funktionen

(7.5) φfoldL [· − 2−Lk]; 0 ≤ k < 2L ∪ ψfold

j [· − 2−jk]; 0 ≤ k < 2j , L ≤ j < Jwieder eine Orthonormalbasis von `2(IN ). Leider bleibt bei diesen Forderungennur die Funktion P = (1 + e−iω)/2 (und einfache Abwandlungen hiervon) alsSkalierungssymbol ubrig. Um mehr Freiheit bei der Wahl von P zu erhalten, be-trachtet man ein Paar (P, P ) symmetrischer “biorthogonaler Skalierungssymbole”mit P (0) = P (0) = 1, P (π) = P (π) = 1 sowie

P (ω)P (ω) + P (ω + π)P (ω + π) = 1.

Definiert man wie ublich diskrete Skalierungsfunktionen φj , φj und Wavelets ψj ,ψj , so ergibt die Klappung ein Paar biorthogonaler Basen (7.5) und

φfoldL [· − 2−Lk]; 0 ≤ k < 2L ∪ ψfold

j [· − 2−jk]; 0 ≤ k < 2j , L ≤ j < J.

2.4. Rand-Wavelets mit verschwindenden Momenten. Die drei vorherge-henden Ansatze fuhren zu Rand-Wavelets auf IN ⊂ [0, 1), die weniger verschwindendeMomente als die inneren Wavelets besitzen. Dadurch hat die Wavelet-Transformationam Rand des Intervalls schlechtere Qualitat als im Inneren. Um auch am Rand diegleiche Qualitat zu erreichen, werden nun zu einem Skalierungssymbol der Form

P (ω) =12

m∑

k=−m+1

pke−ikω =(

1 + e−iω

2

)m

P0(ω)

und mit |P (ω)|2 + |P (ω + π)|2 = 1 Rand-Wavelets ψj,k mit m verschwindendenMomenten so konstruiert, dass wieder eine ONB entsteht.

Bemerkung 7.5. Die Orthogonalitatsrelation erfordet pmp−m = 0, daher ist dieGesamtlange der Koeffizientenfolge immer gerade, wie bei den Beispielen der Daubechies-Skalierungssymbole

P (ω) =12

2m−1∑

k=0

pke−ikω.

Man erhalt die obige symmetrische Indizierung durch Verschiebung der Indizes von(pk). Dies entspricht dem gleichen Z-Shift der kontinuierlichen Skalierungsfunktionφ. Mit dieser Vorgabe hat auch qk = (−1)kp1−k diese symmetrische Indizierung(q−m+1, . . . , qm).


Wir betrachten wieder die diskreten Skalierungsfunktionen φj [·] und Wavelets ψj [·]aus (7.1) mit Definitionsbereich N−1Z, N = 2J . Mit vollstandiger Induktion nach` ≥ 0 erhalt man die Beziehungen

φJ−`[k/N ] = 0, ψJ−`[k/N ] = 0 fur |k| > (2` − 1)m =: k`.

Also ist der Trager der diskreten Funktionen

φj [· − k2−j ], ψj [· − k2−j ] m ≤ k < 2j −m,

in IN enthalten. Wir verlangen noch j ≥ L und 2L > 2m, damit dieser Indexbereichnicht leer ist. Die angegebenen Funktionen werden wieder als “innere” Skalierungs-funktionen und Wavelets beibehalten.

Wir kommen nun zur Konstruktion von jeweils m diskreten Skalierungsfunktionenund Wavelets am linken und rechten Rand,

φleftj,k , ψleft

j,k , 0 ≤ k ≤ m− 1,

φrightj,k , ψright

j,k , 2j −m ≤ k ≤ 2j − 1.

Der Multiskalen-Raum Vj (der Punkt soll auf den diskreten Fall hinweisen) wirddefiniert als(7.6)Vj = span

(φleft

j,k ; 0 ≤ k < m ∪ φj [· − k2−j ];m ≤ k < 2j −m ∪ φrightj,k ; 2j −m ≤ k < 2j

).

Dabei bilden die angegebenen diskreten Funktionen ein ONS. Der Waveletraum Wj

ist wieder das orthogonale Komplement von Vj in Vj+1. Fur die Verschachtelung-seigenschaft Vj ⊂ Vj+1 machen wir den Ansatz

φleftj,k = 2−1/2

(m−1∑

`=0

pleftk,` φleft

j+1,` +m+2k∑

`=m

pleftk,` φj+1[· − `2−j−1]

),

φrightj,2j−1−k = 2−1/2

(m−1∑

`=0

prightk,` φright

j+1,2j+1−1−` +m+2k∑

`=m

prightk,` φj+1[· − (2j+1 − 1− `)2−j−1]

).

Hierbei ist 0 ≤ k < m, und die zusatzlichen Koeffizienten pleftk,` und pright

k,` sollennicht von der Skalierungsstufe j abhangen! Diese Einschrankung wird im Hinblickauf die Anwendung der Zerlegungs- und Rekonstruktions-Algorithmen gemacht.

An dieser Stelle muss man die Konstruktion kontinuierlicher Skalierungsfunktionenund Wavelets zu Rate ziehen. Ohne weiter hierauf einzugehen, halten wir fest,dass die verschwindenden Momente der diskreten Wavelets uber eine Gewichtungam Rand definiert werden. Dies hat u.a. damit zu tun, dass die kontinuierlichenSkalierungsfunktionen am Rand nicht mehr das Integral 1 haben. Es wird dazueine invertierbare Matrix der Form

A =

Aleft

IAright

mit m×m Dreiecks-Matrizen Aleft und Aright sowie der Einheitsmatrix I der LangeN − 2m spezifiziert. Die verschwindenden Momente der diskreten Rand-Wavelets


liegen dann in der Form

(ψj,k[`/N ]; 0 ≤ ` < N)T ·A · (`ν ; 0 ≤ ` < N) = 0, 0 ≤ ν < m,

vor. Dies bedeutet fur die praktische Anwendung folgendes: falls Daten der Formf [k/N ] vorliegen (z.B. durch Abtasten einer kontinuierlichen Funktion), berechnetman zuerst aJ = A · f und fuhrt sodann den Zerlegungsalgorithmus aus. Die nachder Codierung und Rekonstruktion erhaltene diskrete Funktion aJ wird mittelsf = A−1 · aJ in die Datenwerte zurucktransformiert. Die erste Multiplikation mitA wird als “Vorkonditionierung” bezeichnet und beschreibt naherungsweise denUbergang von Abtastwerten f [k/N ] zu inneren Produkten 〈f, ψj,k〉.

Explizite Losungen wurden von Cohen, Daubechies und Vial1 bestimmt. Fur dieRand-Wavelets werden von j unabhangige Koeffizientenfolgen aus dem Ansatz

ψleftj,k = 2−1/2

(m−1∑

`=0

qleftk,` φleft

j+1,` +m+2k∑

`=m

qleftk,` φj+1[· − `2−j−1]

),

ψrightj,2j−1−k = 2−1/2

(m−1∑

`=0

qrightk,` φright

j+1,2j−1−` +m+2k∑

`=m

qrightk,` φj+1[· − (2j − 1− `)2−j−1]

)

berechnet, so dass der Waveletraum Wj die Orthonormalbasis(7.7)Wj = span

(ψleft

j,k ; 0 ≤ k < m ∪ ψj [· − k2−j ];m ≤ k < 2j −m ∪ ψrightj,k ; 2j −m ≤ k < 2j

)

erhalt. Zu den Skalierungssymbolen von Daubechies mit 2 ≤ m ≤ 6 verschwinden-den Momenten sind die mit 2−1/2 multiplizierten Koeffizienten pleft

k,` , prightk,` sowie

qleftk,` , qright

k,` als ‘double precision’ Dezimalzahlen tabelliert unter

http : //www.numerical− recipes.com/contrib/

siehe auch Tabelle 7.1 fur m = 2 und Mallat’s Buch, S. 290. Die obige Webseiteenthalt auch die Koeffizienten der Dreiecksmatrizen Aleft und Aright. Z.B. ist furm = 2

Aleft =(

0.324894048898962 0.03715801511588030 1.00144540498130

),

Aright =(

1.08984305289504 0−0.800813234246437 2.09629288435324

)

Die schnelle Wavelet-Zerlegung und -Rekonstruktion wird analog zur ublichen Fil-terbank durchgefuhrt. Nur am Rand mussen die Berechnungen modifiziert werden.Z.B. erhalten wir am linken Rand fur 0 ≤ k ≤ m− 1 die Zerlegungsrelationen

aj−1[k2−j+1] = 2−1/2m+2k∑

`=0

pleftk,` aj [` 2−j ],

dj−1[k2−j+1] = 2−1/2m+2k∑

`=0

qleftk,` aj [` 2−j ].

1A. Cohen, I. Daubechies, P. Vial, Wavelet bases on the interval and fast algorithms, Appliedand Computational Harmonic Analysis 1 (1993), 54–81


` = 0 ` = 1 ` = 2 ` = 3 ` = 4

2−1/2pleft0,` 0.603332511928053 0.690895531839104 -0.398312997698228

2−1/2pleft1,` 0.0375174604524466 0.457327659851769 0.850088102549165 0.223820356983114 -0.129222743354319

2−1/2qleft0,` -0.796543516912183 0.546392713959015 -0.258792248333818

2−1/2qleft1,` -0.0100372245644139 -0.122351043116799 -0.227428111655837 0.836602921223654 -0.483012921773304

2−1/2pright0,` 0.870508753349866 0.434896997965703 0.230389043796969

2−1/2pright1,` -0.194233407427412 0.190151418429955 0.374955331645687 0.767556669298114 0.443149049637559

2−1/2qright0,` 0.257512919478482 -0.801422961990337 0.539822500731772

2−1/2qright1,` 0.371718966535296 -0.363906959570891 -0.717579999353722 0.401069519430217 0.231557595006790

Tabelle 7.1. Rand-Filter 2−1/2pleftk,` und 2−1/2qleft

k,` zurDaubechies-Skalierungsfunktion mit 2 verschwindenden Mo-menten.

Ebenfalls am linken Rand erhalten wir modifizierte Rekonstruktionsrelationen fur0 ≤ ` ≤ m− 1

aj [` 2−j ] = 2−1/2m−1∑

k=0

(pleftk,` aj−1[k 2−j+1] + qleft

k,` dj−1[k 2−j+1])

und fur m ≤ ` ≤ 3m− 2

aj [` 2−j ] = 2−1/2m−1∑

k=(`−m)/2

(pleftk,` aj−1[k 2−j+1] + qleft

k,` dj−1[k 2−j+1]) +

2−1/2∑

k∈Z(p`−2kaj−1[k 2−j+1] + q`−2kdj−1[k 2−j+1]).

Der rechte Rand wird analog behandelt.

Zusammenfassung: Die Verfahren der Periodisierung, Klappung und die ex-plizite Konstruktion der Randwavelets mit m verschwindenden Momenten fuhrenzu diskreten Skalierungsfunktionen und Wavelets φj,k und ψj,k, 0 ≤ k ≤ 2j − 1.Fur geeignetes 0 ≤ L < J sind die Funktionen

φL,k; 0 ≤ k < 2L ∪ ψL,k; 0 ≤ k < 2L ∪ · · · ∪ ψJ−1,k; 0 ≤ k < 2J−1

eine ONB von `2(IN ). Fasst man diese Funktionen als Spalten einer Matrix zusam-men, so liefert dies eine dunn besetzte Matrix N1/2W, wobei W eine Orthogo-nalmatrix ist, also WWT = I erfullt. Die Wavelet-Zerlegung von aJ ∈ `2(IN )


entspricht der Multiplikation

(7.8) WT aJ =

aL

dL

...dJ−1

.

Die Rekonstruktion wird durch

(7.9) W

aL

dL

...dJ−1

= aJ

reprasentiert. Die Orthogonalitat der Matrix entspricht der Eigenschaft der perfek-ten Rekonstruktion. Die schnelle Wavelet-Transformation entspricht einer Fak-torisierung der Matrix W. Allgemeiner konnen (z.B. bei der Klappung) auchbiorthogonale Skalierungsmasken verwendet werden. Dann wird die Zerlegungs-matrix W wie oben und die Rekonstruktionsmatrix W = W−1 verwendet. Fur dieletzte Konstruktion muss zusatzlich beachtet werden: Sind die gegebenen DatenAbtastwerte (und nicht die inneren Produkte aJ ), so muss die Vorkonditionierungam Rand durchgefuhrt werden. Weitere Einzelheiten entnimmt man dem Buch vonMallat, S. 255–265 und 281–292.

Beispiel 7.6. Die Matrix 21/2W zu N = 2J und L = N − 1 (also einem Zer-legungsschritt) lautet fur die Daubechies-Filter mit m = 2 und der expliziten Ran-danpassung

2666666666666666666666666666664

pleft0,0 pleft

1,0 qleft0,0 qleft

1,0

pleft0,1 pleft

1,1 qleft0,1 qleft

1,1

pleft0,2 pleft

1,2 qleft0,2 qleft

1,2

pleft1,3 p−1 qleft

1,3 q−1

pleft1,4 p0 qleft

1,4 q0

p1 p−1 q1 q−1

p2 p0 q2 q0

p1 q1

p2 · · · q2 · · ·p−1 q−1

p0 q0

p1 pright1,4 q1 qright

1,4

p2 pright1,3 q2 qright

1,3

pright1,2 pright

0,2 qright1,2 qright

0,2

pright1,1 pright


0,1

pright1,0 pright


0,0

3777777777777777777777777777775Anhand der Tabelle 7.1 lasst sich uberprufen, dass WN := W tatsachlich eineOrthogonalmatrix ist. Weiterhin besitzen die Spaltenvektoren von ATW jeweils 2verschwindende Momente.

3. WAVELETS FUR ZWEIDIMENSIONALE DATEN 139

Werden L > 1 Zerlegungsschritte verwendet (L ≤ J − 2), so wird W durch dasProdukt

(7.10) W = WN

(WN/2

IN/2

)· · ·

(WN/2L−1

I(N−N/2L−1)

)

ausgedruckt. Hierbei ist IM die Einheitsmatrix der Große M×M und die MatrizenW2j haben die gleiche Form wie oben und die Große 2j × 2j . Sie beschreiben dieDarstellung eines einzelnen Zerlegungsschritts

(7.11) WT2j aj =

(aj−1

dj−1

).

Die transponierte Matrix WT des Produkts (7.10) beschreibt also die rekursiveZerlegung der Koeffizientenvektoren aj , J ≥ j > J − L, in der Filterbank zurWavelet-Zerlegung.

3. Wavelets fur zweidimensionale Daten

Auch hier wollen wir nur den diskreten Fall betrachten. Zum kontinuierlichen Fallverweisen wir auf Mallat, S. 303–312.

Gegeben sei wieder das trigonometrische Polynom P mit P (0) = 1 und |P (ω)|2 +|P (ω + π)|2 = 1. Die diskreten Funktionen φj und ψj auf IN , mit N = 2J undj < J , sind in (7.1) definiert. Auf IN sind dann fur J0 ≤ j < J die Familien

(7.12) Φj := φj,k; 0 ≤ k < 2j, Psij := ψj,k; 0 ≤ k < 2jaus “inneren” und nach einer der oben skizzierten Methoden erzeugten Rand-Funktionen gegeben. Weiter seien Φj und Ψj ONS in `2(IN ). Setzen wir

Vj = spanΦj , Wj = span Ψj ,

so ist mit Hilfe vonVj+1 = Vj ⊕ Wj , Vj ⊥ Wj ,

gezeigt, dass auch Φj ∪Ψj eine ONB von Vj+1 ist.

Wir wollen nun den Vektorraum H := `2(IN × IN ) mit dem Skalarprodukt

〈f, g〉 = N−2N−1∑

k=0

N−1∑

`=0

f [k/N, `/N ]g[k/N, `/N ]

genauer betrachten. Der Teilraum

V 2j := Vj ⊗ Vj = f : IN × IN ; f [k/N, `/N ] =

N−1∑r=0

N−1∑s=0

cr,sφj,r[k/N ]φj,s[`/N ]

wird als Tensorprodukt bezeichnet. Offensichtlich ist VJ = H, und die Raume V 2j

sind wie bei einer MRA ineinander geschachtelt, also V 2j ⊂ V 2

j+1. Die Familie

Φ2j = φ2

j,r,s[·, ∗] = φj,r[·]φj,s[∗]; 0 ≤ r, s < Nbildet eine ONB von V 2

j .


Der Wavelet-Raum W 2j , also das orthogonale Komplement von V 2

j in V 2j+1, ist

gegeben durch die Summe von 3 Tensorprodukt-Raumen

W 2j = (Vj ⊗Wj)⊕ (Wj ⊗ Vj)⊕ (Wj ⊗Wj).

Dies ergibt sich aus der Distributivitat des Tensorprodukts

V 2j+1 = (Vj ⊕Wj)⊗ (Vj ⊕Wj) = V 2

j ⊕ (Vj ⊗Wj)⊕ (Wj ⊗ Vj)⊕ (Wj ⊗Wj).

Wir erhalten sogar, dass die 3 Wavelet-Familien

Ψ1j = ψ1

j,r,s[·, ∗] = φj,r[·]ψj,s[∗]; 0 ≤ r, s < N,Ψ2

j = ψ2j,r,s[·, ∗] = ψj,r[·]φj,s[∗]; 0 ≤ r, s < N,

Ψ3j = ψ3

j,r,s[·, ∗] = ψj,r[·]ψj,s[∗]; 0 ≤ r, s < N.

eine ONB von W 2j sind. Wichtig ist, dass beide Koordinatenrichtungen zur gle-

ichen Skalierungsstufe j gehoren. Fur ein f : IN × IN → R ergeben die Wavelet-Koeffizienten

dνj,r,s = 〈f, ψν

j,r,s〉, ν = 1, 2, 3,

Details von f zu unterschiedlichen Auflosungen (Parameter j) und Richtungen (Pa-rameter ν). Fur ν = 1 wird in horizontaler Richtung geglattet und Details in ver-tikaler Richtung bestimmt, fur ν = 2 ist es genau umgekehrt. Fur ν = 3 werdenDetails beider Richtungen miteinander vermischt.

Die zweidimensionale Wavelet-Zerlegung von f : IN × IN → R uber J − J0 Stufenist nun eine Darstellung von f mittels der ONB

(7.13) ΦJ0 ∪J−1⋃

j=J0

(Ψ1j ∪Ψ2

j ∪Ψ3j ).

Die schnelle Berechnung eines Zerlegungsschritts erfolgt durch Anwendung derZerlegungs-Filterbank aus Bild 5.1 auf jede “Zeile” f [k/N, ∗] von f und anschließendeAnwendung derselben Filterbank auf alle Spalten an beiden Ausgangen der erstenFilterbank. Dies wird im oberen Teil von Bild 7.2 dargestellt. Dabei sind dieFilter p und q am Rand entsprechend anzupassen, um die Rand-Wavelets korrektzu verwenden. Analog wird ein Schritt der Rekonstruktion mit der Verkettungeindimensionaler Filterbanke durchgefuhrt, siehe Bild 7.2 (unten).

Ein Anwendungsbeispiel wird mit Matlab vorgestellt.

Ubung 7.7. Zeigen Sie, dass man eine andere ONB von `2(IN ×IN ) erhalt, indemman alle Produkte f [·, ∗] = u[·]v[∗] mit

u, v ∈ ΦJ0 ∪J−1⋃

j=J0

Ψj

bestimmt. Worin besteht der wesentliche Unterschied zu der hier vorgestelltenWavelet-Basis?

4. QUANTISIERUNG UND KODIERUNG DER WAVELET-ZERLEGUNG 141

aJ 2−1

Prows // ↓2// //

Qrows // ↓2// //

Pcol’s // ↓2// aJ−1//

Qcol’s // ↓2// d1

J−1//

Pcol’s // ↓2// d2

J−1//

Qcol’s // ↓2// d3

J−1//

· · · aJ0//

d1J0

//

d2J0

//

d3J0

//

aJ0 ↑2col’s // P// /.-,()*++//

d1J0

↑2col’s // Q//

OO

d2J0

↑2col’s // P// /.-,()*++//

d3J0

↑2col’s // Q//

OO

↑2rows // P// /.-,()*++

↑2rows // Q//

OOaJ0+1

2−1// · · · aJ//

Bild 7.1. Zweidimensionale DWT-Zerlegung (oben) und Rekon-struktion (unten)

4. Quantisierung und Kodierung der Wavelet-Zerlegung

Wir wollen nun als Anwendung der Wavelet-Transformation die Datenkompressionbehandeln. Dazu betrachten wir ein stochastisches Modell, bei dem die Funk-tionsauswertung f [k/N ] (bzw. f [k/N, `/N ] fur Bilddaten) als Realisierung einerstetigen Zufallsvariablen F [k/N ] angesehen wird. Die Verteilungsdichte dieser Zu-fallsvariablen sei a priori bekannt. Mit F bezeichnen wir den Spaltenvektor (F [k/N ]; 0 ≤k < N).

4.1. Transformation des Zufallsvektors. Sei W eine Orthogonalmatrixmit Spaltenvektoren ψk = (ψk[`/N ]; 0 ≤ ` < N), 0 ≤ k < N . Als Beispiel stellenwir uns die MatrixW zur Wavelet-Transformation auf `2(IN ) vor. Dann wird durch

FW [k] := 〈F, ψk〉 =N−1∑

`=0

ψk[`/N ]F [`/N ], 0 ≤ k < N,

ein neuer Zufallsvektor FW = WT F definiert. Der ursprungliche Vektor F besitztdie Darstellung

F = WFW =N−1∑

k=0

FW [k]ψk.

Mit pk bezeichnen wir im Folgenden die Verteilungsdichte von FW [k].

Beispiel 7.8. Als Spezialfall betrachtet man haufig, dass die Zufallsvariablen F [k/N ]normal-verteilt (engl. Gaussian) mit Erwartungswert 0 und Varianz σ2

k sind. MitK werde die Korrelationsmatrix K = (EF [k/N ]F [`/N ]; 0 ≤ k, ` < N) bezeich-net. (Der Zufallsvektor F besitzt dann eine mehrdimensionale Normalverteilung.)


Ein allgemeiner Satz der Stochastik besagt, dass dann auch FW [k] normalverteiltmit Erwartungswert 0 sind und die Korrelationsmatrix

KW = (EFW [k]FW [`]; 0 ≤ k, ` < N) = WT KWbesitzen.

Am obigen Beispiel erkennt man schon, dass die stochastischen Eigenschaften vonFW [k] im allgemeinen von der Basis W abhangen. Als “optimale Basis” wird eineBasis von Eigenvektoren von K, die sog. Karhunen-Loeve Basis, bezeichnet, weilsie zur Unkorreliertheit (und Unabhangigkeit) der Zufallsvariablen FW [k] fuhrt:Mit dieser Basis ist KW die Diagonalmatrix der Eigenwerte von K. Beim JPEG-Standard zur Bildkompression wurde eine Cosinus-Basis verwendet, weil man dieseals Naherung an die Karhunen-Loeve Basis ansah. Beim neuen Standard JPEG2000treten an ihre Stelle gewisse biorthogonale Wavelet-Basen.

Wir belassen es bei diesen Bemerkungen und wenden uns den folgenden Teilen derSignalkompression zu.

4.2. Quantisierung. Die Datenkompression, aber auch allein die Abspeicherungder Koeffizienten FW [k], erfordert eine Quantisierung dieser Werte. Hiermit ist eineAbbildung

Qk : R→ x1, . . . , xsk, Qk(x) = xi fur x ∈ (yi−1, yi], 0 ≤ i ≤ sk,

mit endlichem Wertebereich gemeint. Werte im gesamten Intervall (yi−1, yi] (engl.“bin”) werden also nur durch einen Wert xi reprasentiert. Ein Beispiel zur Quan-tisierung ist das Runden

Qk(x) = i fur x ∈ [i− 1/2, i + 1/2), i ∈ −i0, . . . , i0.

Wir betrachten dannFW [k] = Qk(FW [k])

als neue (diskrete) Zufallsvariable. Ist pk die Verteilungsdichte von FW [k], so istdie Wahrscheinlichkeitsverteilung von FW [k] gegeben durch

(7.14) p(k)i = Pr(FW [k] = xi) = Pr(FW [k] ∈ (yi−1, yi])) =

∫ yi

yi−1

pk(x) dx.

(Ohne weitere Erwahnung setzen wir immer FW [k] ∈ [y0, ysk] voraus.)

Das aus der Quantisierung zuruckgewonnene Signal ist der Zufallsvektor

F = WFW =N−1∑

k=0

FW [k]ψk.

Die Verzerrung (engl. distortion) ist gegeben durch

d := E‖F − F‖2 =N−1∑

k=0

E|F [k/N ]− F [k/N ]|2.


Da W eine Orthogonalmatrix ist, gilt auch

d = E‖WT (F − F )‖2 = E‖FW − FW‖2 =N−1∑

k=0

dk

mit den einzelnen Verzerrungen

dk = E|FW [k]− FW [k]|2 =∫ ∞

−∞(x−Qk(x))2pk(x) dx, 0 ≤ k < N.

Im Folgenden soll zu vorgegebener Verzerrung d > 0 eine moglichst effiziente Quan-tisierung und Codierung der Koeffizienten FW [k] ermittelt werden.

4.3. Codierung. Ublicherweise werden die Intervalle (yi−1, yi] und die Wertexi zur Quantisierung (in einer Kurzform) separat abgespeichert. Der hierzu er-forderliche Platz wird nicht weiter berucksichtigt.

Anstelle der Werte xi werden binare “Codeworte” wi der Lange ì zur Abspe-icherung verwendet. Die eindeutige Zuordnung xi ↔ wi soll dabei so vorgenommenwerden, dass fur haufiger auftretende Werte xi eine kurzere Wortlange ì gewahltwird. Aufeinander folgende Werte xi0 , . . . , xin konnen als lineare Liste

(7.15) wi0wi1 · · ·win

(ohne Trennzeichen) gespeichert werden, falls man sogenannte Prafix-Codes verwen-det, bei denen kein Codewort wi der Kopf eines anderen Codeworts wj ist. Dannkann die Folge x0, x1, . . . , xn eindeutig aus der linearen Liste (7.15) zuruckgewonnenwerden.

Beispiel 7.9. Fur 4 Werte x1, . . . , x4 bilden die binaren Codeworte w1 =′ 0′, w2 =′

10′, w3 =′ 101′, w4 =′ 111′ keinen Prafix-Code, weil w2 der Kopf von w3 ist. Z.B.lasst sich die Liste

′01010101′

nicht eindeutig rekonstruieren: Es konnte sich sowohl um x1x3x1x3 als auch umx1x2x2x3 handeln. Ersetzt man dagegen w3 =′ 110′, so erhalt man einen Prafix-Code.

Bei einer Realisierung f des Zufallsvektors F wird der Wert Qk(fW [k]) = xi mitder Wahrscheinlichkeit p

(k)i in (7.14) angenommen. Also ergibt sich die durchschnit-

tliche Bitrate

Rk =sk∑

i=1

ìp(k)i

zum Abspeichern des Codeworts des quantisierten Koeffizienten fW [k]. Der durch-schnittliche Gesamtbedarf zur Abspeicherung der transformierten, quantisiertenund codierten Realisierung f ist dann

R =N−1∑

k=0

Rk.


Die durchschnittliche Bitrate Rk wird (nahezu) optimal, wenn wir sogenannteEntropie-Codierung verwenden. Die Entropie der skalaren Zufallsvariablen FW [k]ist definiert als

H(FW [k]) = −sk∑

i=1

p(k)i log2 p

(k)i .

Die folgende Aussage geht auf C. E. Shannon2 zuruck.

Satz 7.10. Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeiten pi, 1 ≤i ≤ s. Dann gilt fur die durchschnittliche Bitrate R jedes Prafix-Codes

R ≥ H = −s∑

i=1

pi log2 pi.

Andererseits existieren Prafix-Codes mit R ≤ H+ 1.

Man sieht leicht ein, dass Prafix-Codes den binaren Baumen entsprechen, derenBlatter die Codeworte wi sind. Dabei entspricht das Codewort wi mit der Lange `i

dem Blatt des Baumes, das von der Wurzel aus uber Verzweigungen nach links (Bit’0’) und rechts (Bit ’1’) auf einem Weg der Lange `i erreicht wird. Ein prominentesBeispiel eines Prafix-Codes mit R ≤ H+1 ist der Huffman-Code3. Siehe dazu Bild7.4. Bei gegebenen Wahrscheinlichkeiten

p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ ps

wird der binare Baum rekursiv nach folgender Regel konstruiert: Man findet zunachstden binaren Baum zum Huffman-Code von

p1 + p2, p3, . . . , ps (angeordnet)

und ersetzt dann das zu p1 +p2 gehorende Blatt durch Anhangen von zwei Blatternp1 und p2. Ein Matlab-Programm hierzu ist in Bild 7.3 gegeben. Das Ergebnis furden Eingabevektor ~p = (0.05, 0.1, 0.1, 0.15, 0.2, 0.4) ist in Bild 7.4 angegeben.

Bemerkung 7.11. Der Exzess 1 in der Abschatzung der Bitrate R kann durchUbergang zu sogenannten Block-Codes verringert werden. Weitere Prafix-Codes,die in der Praxis haufig angewendet werden, sind die arithmetischen Codes.

Beispiel 7.12. Ein Huffman-Code zur Haufigkeitsverteilung

~p = (0.05, 0.1, 0.1, 0.15, 0.2, 0.4)

2Claude Elwood Shannon (30.4.1916-24.2.2001), graduierte 1936 an der University of Michi-gan (Doppel-Abschluss in Electrical Engineering und Mathematik) und war bis 1978 Professor amMIT. Er wird als “Vater der Informationstheorie” bezeichnet. Seine Masterarbeit 1937 kann alsFundament fur die Verwendung Boolescher Algebra zum Design von Schaltkreisen angesehen wer-den. Seine fundamentalen Beitrage “A mathematical theory of communication” im Bell SystemTechnical Journal (1948), “Communication Theory of Secrecy Systems” a.a.O. (1949), “Com-munication in the Presence of Noise” Proc. IRE (1949) haben die Informationstheorie, digitaleKommunikation, Codierungstheorie und Kryptographie massgeblich beeinflusst. Sein Name wirdin Zusammenhang mit dem Abtasttheorem fur bandbeschrankte Funktionen (Whittaker-ShannonTheorem) genannt. Robert Gallager bezeichnete Shannon als “the greatest scientist of the 20thcentury”.

3D. Huffman, A method for the onstruction of minimum redundancy codes, Proc. IRE 40(1952), 1098–1101.


von 6 Werten xi hat die Codeworte′0011′, ′0010′, ′011′, ′010′, ′000′, ′1′

in der gleichen Reihenfolge wie die angegebenen pi. Der zugehorige binare Baumist in Bild 7.4 angegeben. (Gleichwertige Codes erhalt man durch Vertauschen vonBlattern.) Die entsprechenden Bitlangen `i sind (4, 4, 3, 3, 3, 1). Fur die EntropieH und die durchschnittliche Bitrate R erhalten wir die Werte

H = −6∑

i=1

pi log2 pi = 2.2842, R =6∑

i=1

pi`i = 2.35.

4.4. Hochauflosende Quantisierung und Codierung (High bit-ratecompression). Wir wollen nun beschreiben, wie die Quantisierung unter speziellenAnnahmen so optimiert werden kann, dass eine minimale durchschnittliche Bitrateerzielt wird. Dazu treffen wir die folgende Annahme.

Definition 7.13. Die Quantisierung Qk von FW [k] zu den Intervallgrenzen y(k)0 <

y(k)1 < · · · y(k)

sk heißt hochauflosend, wenn die Dichtefunktion pk von FW [k] aufjedem Intervall (y(k)

i−1, y(k)i ] konstant ist.

In der Praxis wird man annehmen, dass pk im Quantisierungsintervall nahezu kon-stant ist. Dies wird bei hinreichend kleinen Intervallen der Fall sein. Fur einehochauflosende Quantisierung berechnet man die Haufigkeitsverteilung in (7.14)sofort als

p(k)i = ∆(k)

i pk(x(k)i ) mit ∆(k)

i = (y(k)i − y

(k)i−1), x

(k)i ∈ (y(k)

i−1, y(k)i ).

Satz 7.14. Eine hochauflosende Quantisierung erzielt die minimale Verzerrung

dk = E|FW [k]− FW [k]|2 =112

sk∑

i=1

p(k)i (∆(k)

i )2

genau dann, wenn x(k)i der Mittelpunkt des Quantisierungsintervalls (y(k)

i−1, y(k)i ] ist.

Beweis: Mallat, S. 538, Proposition 11.3.

Fur eine hochauflosende und gleichmaßige Quantisierung (d.h. ∆(k)i = ∆k fur alle

1 ≤ i ≤ sk) ergibt sich dann

(7.16) dk =112

∆2k.

Der folgende Satz besagt, dass bei gleicher Verzerrung dk die Entropie der quan-tisierten Zufallsvariablen FW [k] (also die minimale durchschnittliche Bitrate Rk)minimiert wird, wenn eine gleichmaßige Quantisierung gewahlt wird.

Satz 7.15. Qk sei eine hochauflosende Quantisierung von FW [k] und dk die zugehorigeVerzerrung. Mit der differentiellen Entropie

Hd(FW [k]) := −∫

Rp(x) log2 p(x) dx


function t = huffman(p)

% function t = huffman(p)%% produce a binary tree for the Huffman code of probabilities% p(j); vector p is assumed to be in ascending order%% Only the terminal nodes (leaves) of the binary tree t% are stored. They are defined by the 3-by-(N+1) matrix t, where% - N is the number of terminal nodes% - t(1,N+1)=-2 denotes the end of the list% - t(1,k)=i is the number of the k-th terminal node% (from left to right) in the complete binary tree which% is numbered as follows:% 0% 1 2% 3 4 5 6% e.g. t(1,2)=5 means that the second terminal node% from left to right is the third node from the left at% depth 2% - t(2,k)=j is the index of data p(j) at terminal node t(1,k)% - t(3,k) is the data p(j) at terminal node t(1,k)

lp = length(p);if lp>2

% recursive definition of tree[pn,i] = sort([p(1) + p(2) p(3:lp)]);t = huffman(pn);% adjust the index entries to pt(2,1:lp-1) = i(t(2,1:lp-1)) + 1;% find index of terminal node which must be splitksplit = find( t(2,:) == 2);% make 2 new leaves at node ksplitj=t(1,ksplit);ins=[2*j+1,2*j+2; 2,1; p(2),p(1)];t = [t(:,1:ksplit-1),ins,t(:,ksplit+1:end)];

elseif lp == 2% only two elementst = [1 2 -2; 2 1 0; p(2) p(1) 0];

elseif lp==1t = [0 -2; 1 0; p(1) 0];

elseerror(’empty vector’);

end

Bild 7.2. Programm zum Huffman Code


0.4

1

QQQQQQQQQQQQQQ

0

mmmmmmmmmmmmmmmm

1

LLLLLLLLLLLLL

0.1

1

BBBB

BBBB

0.15

0

||||

||||

0

rrrrrrrrrrrrr

1

BBBB

BBBB

BB

0.05

111

1111

1

0.1

0

°°°°°°°0.2

0

||||

||||

Bild 7.3. Binarer Baum zum Huffman-Code aus Beispiel 7.12

der stetigen Zufallsvariablen FW [k] gilt dann

H(FW [k]) ≥ Hd(FW [k])− 12

log2(12dk).

Gleichheit tritt genau dann ein, wenn Qk eine gleichmaßige Quantisierung ist undx

(k)i die Mittelpunkte der Quantisierungsintervalle sind.

Beweis: Mallat, S. 539, Theorem 11.2.

Setzen wir (7.16) fur die gleichmaßige Quantisierung ein, so erhalten wir die En-tropie

(7.17) H(FW [k]) = Hd(FW [k])− log2 ∆k.

Wir wollen nun die bestmogliche (skalare) Quantisierung Qk aller ZufallsvariablenFW [k], 0 ≤ k < N , bei fester Verzerrung d =

∑k dk ermitteln. Dazu soll also

die Gesamt-Bitrate R =∑

k Rk minimiert werden. Ersatzweise minimieren wir dieGesamt-Entropie

R∗ =∑

k

H(FW [k]).

Wir wissen schon, dass jede Quantisierung Qk gleichmaßig mit einer Intervalllange∆k zu wahlen ist. Der folgende Satz besagt, dass alle Intervalllangen gleich gewahltwerden mussen.

Satz 7.16. Bei hochauflosender Quantisierung und vorgegebener Verzerrung d wirdR∗ minimal, falls alle Quantisierer Qk gleichmaßig mit der Intervalllange

∆k = ∆ =12d

N

gewahlt werden. In diesem Fall ist

(7.18) d = d(R∗) =N

122−2R∗/N 22Hd

mit der durchschnittlichen differentiellen Entropie Hd = 1N

∑kHd(FW [k]).


Beweis: Wir wissen nach Satz 7.15, dass die skalaren Quantisierer Qk gleichmaßigmit einer Intervalllange ∆k zu wahlen sind. Mit (7.17) und (7.16) ist

R∗ =N−1∑

k=0

H(FW [k]) = NHd −N−1∑

k=0

log2 ∆k = NHd − 12

N−1∑

k=0

log2(12dk).

Bei konstanter Gesamtverzerrung d =∑

k dk wird die letzte Summe genau dannmaximal, wenn alle dk denselben Wert dk = d/N haben (strikte Konkavitat derLogarithmus-Funktion, Jensen’s Ungleichung). Also nimmt R∗ sein Minimum genaudann an, wenn ∆2

k = 12dk = 12d/N gilt. Der entsprechende Wert ist dann

R∗ = NHd − N

2log2(12d/N).

Hieraus ergibt sich (7.18) sofort.

Aus der Kenntnis der differentiellen Entropie der Koeffizienten FW [k] von

F =N−1∑

k=0

FW [k]ψk

lasst sich nach dem obigen Satz die Gesamt-Bitrate R ≈ R∗ so bestimmen, dass eineerlaubte Verzerrung d nicht uberschritten wird. Dabei wird d zu gleichen Anteilenauf die Koeffizienten FW [k] verteilt und alle Koeffizienten mit dem gleichmaßigenQuantisierer Q zur Intervalllange (12d/N)1/2 behandelt. Die optimale Aufteilungder Bitrate auf die einzelnen Koeffizienten ist dann

Rk = Hd(FW [k])− N

2log2(12d/N).

Fur Zufallsvariablen FW [k] mit kleiner Varianz kann dieser Ausdruck negativ sein(weil Hd(FW [k] haufig von der Varianz bestimmt wird, siehe Ubung 7.17).

Ubung 7.17. Wir haben in Beispiel 7.8 erwahnt, dass die orthogonale Transfor-mation eines (mehrdimensional) normalverteilten Zufallsvektors F wieder einennormalverteilten Zufallsvektor FW ergibt. Berechnen Sie die differentielle EntropieHd(FW [k]) der normalverteilten Zufallsvariablen FW [k] mit der Dichte

pk(x) =1

σk

√2π

e− x2

2σ2k .

Hinweis: Das Ergebnis ist Hd(FW [k]) = log2 σk + 12 log2(2πe).

Bei praktischen Problemen tritt an die Stelle der Verzerrung d eine gewichteteSumme

d =N−1∑

k=0

dk

w2k

mit Gewichten wk > 0. Dann werden die vorherigen Argumente auf die gewichtetenKoeffizienten Fw

W [k] angewendet. Fur den ursprunglichen Koeffizienten FW [k] ergebensich dann die Großen

∆k = wk∆, dk = w2kd/N.


` \ k 0 1 2 3 4 5 6 7

0 16 11 10 16 24 40 51 61

1 12 12 14 19 26 58 60 55

2 14 13 16 24 40 57 69 56

3 14 17 22 29 51 87 80 62

4 18 22 37 56 68 108 103 77

5 24 35 55 64 81 194 113 92

6 49 64 78 87 103 121 120 101

7 72 92 95 98 121 100 103 99

Tabelle 7.2. Typische Gewichte wk,` der Koeffizienten zur Block-Cosinus-Transformation des JPEG-Standards

Fur Koeffizienten mit kleinem wk wird also eine feinere Quantisierung verwendetals fur Koeffizienten mit großem wk. Dieses Vorgehen findet man z.B. beim JPEG-Standard. Die Daten eines 8× 8-Blocks f [a + k, b + `], 0 ≤ k, ` ≤ 7, werden mittelsder diskreten zweidimensionalen Cosinus-Transformation behandelt,(7.19)

fW [k, `] =2λkλ`

64

7∑m,n=0

f [a + m, b + n] cos(

kπ

8

(m +

12

))cos

(`π

8

(n +

12

)),

wobei λk = 1 fur k > 0 und λ0 = 2−1/2 ist. Typische Gewichte wk,` sind in derTabelle 7.2 angegeben.

4.5. Bilddaten-Kompression. Fur Bilddaten ist die Interpretation der Pix-elwerte f [k/N, `/N ], 0 ≤ k, ` ≤ N−1, als Realisierung eines stochastischen Prozesseshaufig nicht naheliegend. Dazu ist die Diversitat von Bilddaten zu groß und un-strukturiert. Weiterhin passt die Annahme der “hochauflosenden Quantisierung”nicht zum Zweck der Daten-Kompression bei niedriger Bit-Rate.

Durch orthogonale Transformation erhalten wir zuerst eine Darstellung

f =N2−1∑m=0

fW [m]ψm, fW [m] = 〈f, ψm〉.

Mit fW [m] = Q(fW [m]) bezeichnen wir die quantisierten Werte. Anstelle der“erwarteten” Verzerrung wie im letzten Abschnitt erhalten wir die deterministischeVerzerrung

d = d(R, f) = ‖f − f‖2 =N2−1∑m=0

|fW [m]− fW [m]|2,

die nun von der Bitrate R (also der Quantisierung und Codierung), aber auch vonf selbst abhangt.


Eine Verbindung zum stochastischen Modell wird hergestellt, wenn wir die Dichte-funktion pk(x) durch das Histogramm p(x) der Koeffizienten fW [k], oder gleichbe-deutend die entsprechende Verteilungsfunktion

Pr(FW [k] ≤ x) durch #m : fW [m] ≤ x

ersetzen. Dann werden aus den Wahrscheinlichkeiten p(k)i in (7.14) die relativen

Haufigkeiten

pi =1

N2#k; fW [k] ∈ (yi−1, yi]

und aus der differentiellen Entropie und der Entropie wird

Hd(fW) = −∫ ∞

−∞p(x) log2 p(x) dx, H = −

s∑

i=1

pi log2 pi.

Der Shannon’sche Satz 7.10 liefert, dass der gesamte Bitbedarf R zur Entropie-Codierung der Werte fW [k], 0 ≤ k < N2, die Abschatzung

R ≥ N2Herfullt. Als durchschnittliche Bitrate pro Pixel erhalten wir

R = R/N2 ≥ H.

Als “Verzerrungs-Orakel” bezeichnet man den in Satz 7.16 erhaltenen Wert

dH(R, fW) =N2

122−2R 22Hd(fW).

Dieser Wert entspricht unter der Annahme der hochauflosenden Quantisierung derVerzerrung, die man bei vorheriger Kenntnis (daher “Orakel”) der Verteilungsdichtep = p(f) zur Bitrate R erreichen kann.

Adaptive Codierungsverfahren (wie etwa die arithmetischen Codes) kommen ohnedie Vorhersage der Verteilungsdichte p aus. Die Haufigkeiten pi und die variableCodelange `i werden dabei wahrend der Codierungsphase angepasst. Dadurchkann sogar eine Bitrate R < H erzielt werden. Zum Beispiel liefert die Wavelet-Transformation Koeffizienten fW [m], die je nach der Skalierungsstufe eine unter-schiedliche Großenordnung haben. Die adaptive Codierung (geordnet nach Skalender Wavelet-Transformation) passt daher die Codelangen `i den Skalierungsstufenan und fuhrt i.a. zu effizienterer Codierung als die “globale” Codierung aller N2

Koeffizienten.

Ubung 7.18. Es gelte |fW [k]| ≤ C fur alle 0 ≤ k < N2. R sei so gross, dass beigleichmaßiger Quantisierung des Intervalls [−C, C] und fester Lange ` der Code-worte die Annahme der hochauflosenden Quantisierung erfullt ist. Zeigen Sie mit(7.16), dass dann

d = d(R, f) ≤ N2

3C2 2−2R

gilt, die Verzerrung also mindestens exponentiell mit der Bitrate R = R/N2 abn-immt.


4.6. Wavelet Bild-Codierung. Eine einfache Wavelet Bild-Codierung fuhrtzuerst die Wavelet-Transformation mit einem zweidimensionalen Tensor-Produkt-Wavelet durch, das

• hinreichend viele verschwindende Momente hat, um in glatten Regionen desBildes moglichst kleine Wavelet-Koeffizienten zu erzielen,

• moglichst kleinen Trager hat, um den Einfluss abrupter Helligkeits- oder Farb-wechsel (Kanten) auf moglichst wenige Wavelet-Koeffizienten zu beschranken.

Wir wissen aus der Entwicklung der Daubechies-Wavelets, dass beide Ziele sichwidersprechen, also ein geeigneter Kompromiss gefunden werden muss. In derPraxis verwendet man haufig Wavelets mit 5-9 verschwindenden Momenten. Um dieRandeffekte zu bewaltigen, greift man auf bi-orthogonale symmetrische Waveletszuruck und fuhrt die gerade Fortsetzung am Rand durch (siehe Abschnitt 2.3).Als geeignete Wavelets haben sich in praktischen Untersuchungen biorthogonaleWavelets mit fast gleicher Tragerlange und 7 bzw. 9 verschwindenden Momentenerwiesen. Die Abweichung von strikter Orthogonalitat ist hierfur sehr gering.

Eine gleichmaßige Quantisierung zur Intervalllange ∆ wird durch

Q1(x) =

0 fur |x| < ∆/2,

sign(x)k∆ fur (k − 1/2)∆ ≤ |x| < (k + 1/2)∆, k > 0,

definiert. Durch das “Nullintervall” I0 = (−∆/2, ∆/2) wird der Schwellwert (engl.threshold)

θ = ∆/2

zum Abschneiden von Wavelet-Koeffizienten festgelegt. Die obige Quantisierungbeinhaltet also das “harte Abschneiden” von Arbeitsblatt 2.

Fur die Codierung mit niedriger Bitrate (zur Datenkompression) ist die Annahmeder hochauflosenden Quantisierung meist nicht gerechtfertigt. Dann hat sich gezeigt,dass ein doppelt so großer Schwellwert

θ = ∆

zu einer besseren Bildqualitat bei gleicher Bitrate fuhrt. Der hierzu passende gle-ichmaßige Quantisierer lautet

Q2(x) =

0 fur |x| < ∆,

sign(x)(k + 1/2)∆ fur k∆ ≤ |x| < (k + 1)∆.

Als Codierer verwendet man ublicherweise adaptive arithmetische Codes mit vari-abler Lange. Bei Bitraten R ≥ 1 (Kompression 1:8) und sehr oft bei R ≥ 0.5(Kompression 1:16) sind keine Veranderungen des Bildes erkennbar.

Bemerkung 7.19. Als PSNR-Wert (“Peak Signal-to-Noise Ratio”) eines codiertenBildes mit Graustufen 0 ≤ f [k/N, `/N ] ≤ 255 zur Bitrate R bezeichnet man denWert

PSNR(R, f) = 10 log10

N2 2552

d(R, f).


Bei hochauflosender Quantisierung liefert das Verzerrungs-Orakel die Beziehung

PSNR(R, f) = (20 log10 2)R + K

mit einer Konstanten K, die von der Verteilungsdichte p zu f , aber nicht von derGroße N2 abhangt.

Erzielt die Transformation eine große Anzahl von Koeffizienten im NullintervallI0 = (−∆/2, ∆/2) bzw. (−∆, ∆), so wird dies bei der Codierung in noch starkererForm berucksichtigt. Anstelle der jeweiligen Codierung von fW [m] = 0 gibt es zweiVarianten.

a) Im JPEG-Standard werden die Koeffizienten fW [k, `] in (7.19) in einer “Zickzack-Reihenfolge” durchlaufen. Dabei entstehen mehrere Sequenzen von quantisiertenKoeffizienten fW [k, `] = 0. Eine solche Sequenz wird angegeben, indem in einemCodewort (S, B) der Bitlange 8 die vorderen 4 Bits die Lange der Sequenz vonNullen (mit 0 ≤ S ≤ 15) angeben. Die hinteren 4 Bits werden anderweitigverwendet. Die hieraus resultierenden Codeworte (S,B) der Lange 8 werdennochmals mit dem Huffman-Code codiert, um noch hohere Datenkompressionzu erzielen. Einzelheiten dazu findet man z.B. bei Mallat, S. 563f.

b) Zusatzlich zu den quantisierten Koeffizienten außerhalb des Nullintervalls fuhrtman einen Inzidenz-Bereich b der Große N2 ein:

b[m] =

1, falls fW [m] 6= 0,

0, falls fW [m] = 0.

Dadurch entfallt die Speicherung der Koeffizienten im Nullintervall, man benotigtaber einen Teil des Bit-Bedarfs R fur den Inzidenzbereich.

Mit M bezeichnen wir die Anzahl der “signifikanten” Koeffizienten fW [m] 6= 0.Dann ist durch

p0 = (N2 −M)/N2, p1 = M/N2

die Haufigkeitsverteilung des Inzidenzbereichs b gegeben. Zu seiner Entropie-Codierungwerden also

(7.20) R0 ≥ −N2(p0 log2 p0 + p1 log2 p1) = M log2

N2

M+ (N2 −M) log2

N2

N2 −M.

Bits benotigt. Der gesamte Bitbedarf R ist dann

R = R0 + R1,

wobei R1 den Bedarf fur die signifikanten Koeffizienten darstellt. Die Verzerrungzum Quantisierer Q1 lautet

(7.21) d(R, f) =∑

|fW [m]|<∆/2

|fW [m]|2 +∑

|fW [m]|≥∆/2

|fW [m]−Q(fW [m])|2.

Der erste Anteil wird uber Methoden der nichtlinearen Optimierung fur bestimmteKlassen von Bildern abgeschatzt.

Bemerkung 7.20. Man bezeichnet mit f∗W [m], 0 ≤ m < N2, die Umordnung derWavelet-Koeffizienten nach abnehmendem Absolutbetrag, also

|f∗W [0]| ≥ |f∗W [1]| ≥ · · · ≥ |f∗W [N2 − 1]|.


Weil die zweite Summe in (7.21) genau M Summanden enthalt, gilt

fM :=∑

|fW [m]|≥∆/2

fW [m]ψm =M−1∑m=0

f∗W [m]ψσ(m)

mit einer Permutation σ der Basiselemente ψ0, . . . , ψN2−1. Da wir eine Or-thonormalbasis haben, ist die erste Summe in (7.21) gleich dem Fehlerquadrat derApproximation

(7.22)∑

|fW [m]|<∆/2

|fW [m]|2 =N2−1∑

m=M

|f∗W [m]|2 = ‖f − fM‖22.

Weiterhin ist ‖f − fM‖22 sogar das Minimum aller M -Term Approximationen, d.h.

‖f − fM‖22 = min

‖f − g‖22

∣∣∣∣∣ g =∑

m∈KM

〈f, ψm〉ψm, #KM = M

.

Da hier das Minimum uber eine Teilmenge gebildet wird, die kein Teilraum von`2(IN × IN ) ist, spricht man von nichtlinearer Approximation und nennt fM diebeste M -Term Approximation von f (in der `2-Norm).

Ein leicht zu beweisendes Resultat der nichtlinearen Approximation lautet wie folgt.

Satz 7.21. Falls die Koeffizienten fW [m] = 〈f, ψm〉 zur Orthonormalbasis ψm; 0 ≤m ≤ N2 − 1 die Beziehungen

A(m + 1)−s ≤ |f∗W [m]| ≤ B(m + 1)−s

mit s > 1/2 erfullen, so gelten die Abschatzungen

(7.23)A2

2s− 1(1− 21−2s

)(M + 1)1−2s ≤ ‖f − fM‖22 ≤

B2

2s− 1M1−2s

fur die beste M -Term Approximation fM mit M ≤ N2/2− 1 Summanden.

Beweis: Mit (7.22), der Voraussetzung und dem Integral-Vergleichskriterium furReihen ist

‖f − fM‖22 =N2−1∑

m=M

|f∗W [m]|2

≤ B2N2−1∑

m=M

(m + 1)−2s ≤ B2

∫ ∞

M

x−2s dx =B2

2s− 1M1−2s.

Fur die Abschatzung nach unten erhalten wir ahnlich

‖f−fM‖22 ≥ A2N2−1∑

m=M

(m+1)−2s ≥ A2

∫ N2

M+1

x−2s dx =A2

2s− 1((M+1)1−2s−N2(1−2s)).

Die Bedingung M ≤ N2/2− 1 ergibt fur den letzten Faktor

(M + 1)1−2s(1− (N2/(M + 1))1−2s

) ≥ (M + 1)1−2s(1− 21−2s

).


Bemerkung 7.22. Haufig reicht es aus, nur die Großenordnung der Abschatzungenanzugeben, ohne auf die konkreten Konstanten zu verweisen. Die Aussage von Satz7.21 lasst sich dann kurz ausdrucken durch

|f∗W [m]| ∼ C(m + 1)−s =⇒ ‖f − fM‖22 ∼ C2M1−2s.

Hierbei bedeutet die Notation ‘ ∼′, dass obere und untere Abschatzungen mit pos-itiven Konstanten existieren, die nicht von N abhangen. Die Konstante C kanngerade solche Abhangigkeiten von N ausdrucken.

In vielen Fallen ist der erste Summand ‖f − fM‖22 in (7.21) derjenige, der dieGroßenordnung der gesamten Verzerrung d(R, f) bestimmt. Oft wird der RaumX = BV [0, 1]2 der Funktionen mit beschrankter Variation als Modellraum verwen-det. Die diskrete Funktion f auf I2

N wird dann als Diskretisierung von g ∈ BV [0, 1]2

mit der Auflosung h = N−1 aufgefasst. Die diskrete BV -Norm wird definiert als

‖f‖BV =1N

N−1∑

k,`=0

(∣∣f [k+1N , `

N

]− f[

kN , `

N

]∣∣2 +∣∣f [

kN , `+1

N

]− f[

kN , `

N

]∣∣2)1/2

.

Sie erfullt ‖f‖BV ≤ √2‖g‖BV gleichmaßig in N , siehe Mallat, S. 37f. Unter

geeigneten Zusatzbedingungen gilt die Abschatzung

|f∗W [m]| ∼ N‖f‖BV (m + 1)−1, m > 0,

fur die abnehmend sortierten Wavelet-Koeffizienten. Der folgende Satz macht nunAngaben uber die Großenordnung der Verzerrung in Abhangigkeit der Bitrate Rohne die Annahme der hochauflosenden Quantisierung, also auch bei niedriger Bi-trate (hoher Kompression).

Satz 7.23. Wir nehmen an, dass die (Wavelet-)Koeffizienten von f die Beziehung

(7.24) |f∗W [m]| ∼ C (m + 1)−s

mit s > 1/2 und C > 0 erfullen. Zum gleichmaßigen Quantisierer Q1 und furR ≤ N2 existiert dann ein adaptiver Codierer variabler Lange mit

(7.25) d(R, f) ∼ dH(R, f) ∼ C2R1−2s

(1 + log2

N2

R

)2s−1

.

Beweis: Wir zeigen nur einige Beweisteile. Der vollstandige Beweis steht in Mallat,S. 554.

1. Fur den Quantisierer Q1 zur Intervalllange ∆ gilt |fW [m]−Q(fW [m])|2 ≤ ∆2/4,also

M−1∑m=0

|f∗W [m]−Q(f∗W [m])|2 ≤ M∆2/4.

Aus den Beziehungen

A C M−s ≤ |f∗W [M − 1]| ≤ B C M−s und |f∗W [M ]| < ∆/2 ≤ |f∗W [M − 1]|folgt

BCM−s ≥ ∆/2 =⇒ M∆2/4 ≤ (BC)2 M1−2s.


Zusammen mit Satz 7.21 ergibt sich

(7.26) d(R, f) = ‖f − fM‖22 +M−1∑m=0

|f∗W [m]−Q(f∗W [m])|2 ∼ C2M1−2s,

falls auch noch M ≤ N2/2− 1 erfullt ist.

2. Der Zusammenhang von M zum Bitbedarf R0 fur die Inzidenzmatrix wird in(7.20) hergestellt. Die Funktion h(x) = −x log2 x ist konkav und erfullt h(x) >h(1− x) fur alle x ∈ (0, 1/2). Mit M/N2 < 1/2 ist p0 > 1/2, also

R0 = −N2(p0 log2 p0 + p1 log2 p1) ∼ −N2p1 log2 p1 = M log2

N2

M> M.

3. Im Beweis von Mallat wird gezeigt, dass der Bitbedarf R1 zur Codierung der Msignifikanten Koeffizienten nur R1 ∼ M betragt. Damit ist der gesamte Bitbedarfdurch

R ∼ R0 ∼ M log2

N2

Mgegeben. Auflosen dieser Beziehung fur M/N2 < 1/2 ergibt

M ∼ R

(1 + log2

N2

R

)−1

.

Denn: Mit y = R/N2 ∈ (0, 1) und x = M/N2 ∈ (0, 1/2) soll y ∼ −x log2 x aufgelost werden. Dies geschiehtdurch

y

1− log2 y∼ −x log2 x

1− log2 x− log2(− log2 x)∼ −x log2 x

− log2 x= x.

Hierbei werden fur x ∈ (0, 1/2) die Beziehungen− log2 x = log2(1/x) > 1 und log2(− log2 x) = log2(log2(1/x)) ≤log2 e

e| log2 x| verwendet.

Einsetzen in (7.26) ergibt (7.25).

4. Die Rechtfertigung der Annahme M ≤ N2/2− 1, die in allen 3 Beweisschrittenverwendet wird, erfolgt (sehr vage) aus R = R0 + R1 ≤ N2 und R ≥ 2M .

Die Veranschaulichung der Untersuchungen dieses Kapitels werden auf Arbeitsblatt3 gegeben.

KAPITEL 8

Wavelet-Packets

Die effiziente Zerlegung akustischer Signale erfordert Basisfunktionen ηk, die furnahezu konstante hohe Frequenzen uber einen langeren Zeitabschnitt eine bessereFrequenz-Auflosung bieten als Wavelets.

Wir geben wie Kapitel 5 eine Skalierungsfunktion φ ∈ L2(R) mit kompakten Tragersupp φ ⊂ [0, N ] =: Iφ und dem Skalierungssymbol

P (ω) =12

N∑

k=0

pke−ikω

vor. Das “wesentliche Frequenzintervall” von φ sei wie in (3.11) definiert als

Jφ = [−∆(φ),∆(φ)].

Weiter gelteP (0) = 1, |P (ω)|2 + P (ω + π)|2 = 1,

und die Funktionen φ(· − k); k ∈ Z seien eine ONB von V0. Das orthogonaleWavelet ψ in (5.16) ist dann definiert durch

ψ(x) =∑

k∈Zqkφ(2x− k), qk = (−1)1−kp1−k.

Sein Trager ist im Intervall Iψ = [−(N − 1)/2, (N + 1)/2] enthalten, und es besitztdas “wesentliche Frequenzband”

Jψ = [−ω∗+(ψ)−∆+(ψ),−ω∗+(ψ) + ∆+(ψ)] ∪ [ω∗+(ψ)−∆+(ψ), ω∗+(ψ) + ∆+(ψ)].

Durch Skalierung und Shift erhalten die Funktionen φj,k und ψj,k die Zeit-Frequenz-Fenster

W (φj,k) := 2−j(k + Iφ)× 2jJφ,

W (ψj,k) := 2−j(k + Iψ)× 2jJψ.

Ziel dieses Abschnittes ist die Konstruktion weiterer Familien ηj,k, die bei vergle-ichbarer Zeitauflosung 2−j einen Teil eines hoheren Frequenzbandes 2j+LJψ liefern.Eine recht einfaches Verfahren wird durch die von R. Coifman und V. Wickerhauservorgeschlagenen Wavelet-Packets geliefert.

1. Konstruktion

Zur Konstruktion der Wavelet-Packets dient der folgende Satz zur Zerlegung einesshift-invarianten Raumes.

157

158 8. WAVELET-PACKETS

Satz 8.1. Es sei j ∈ Z. Der Raum Xj sei 2−jZ-shift-invariant und besitze dieONB θj,k = θj(· − 2−jk); k ∈ Z. Dann definieren die Funktionen

θ0j−1,k = 2−1/2

N∑

`=0

p`θj,2k+`,(8.1)

θ1j−1,k = 2−1/2

1∑

`=−N+1

q`θj,2k+`(8.2)

mit k ∈ Z ebenfalls eine ONB von Xj. Weiterhin gilt fur die Fouriertransformiertenvon θi

j−1 := θij−1,0, i = 0, 1, die Beziehung

(8.3) (θ0j−1)

∧(ω) = 21/2P (2−jω)θj(ω), (θ1j−1)

∧(ω) = 21/2Q(2−jω)θj(ω).

Der Beweis wird ahnlich zu Satz 5.14 gefuhrt. Man beachte, dass beide FamilienΘi

j−1 = θij−1,k; k ∈ Z, i = 1, 2, wieder shift-invariant bzgl. 2−j+1Z sind. Setzen

wir speziell θj = 2j/2φ(2j ·) im obigen Satz, so erhalten wir genau die Zerlegung

Vj = Vj−1 ⊕Wj−1

der MRA-Wavelets. Wir konnen aber auch θj = 2j/2ψ(2j ·) verwenden und erhaltenso eine neue Zerlegung

Wj = W 2j−1 ⊕W 3

j−1

mit neuen Raumen W 2j−1 und W 3

j−1, die zusammen den Wavelet-Raum Wj ergeben.Der Unterschied wird an Bild 8.1 deutlich. Mit der Notation

Vj =: W 0j , Wj =: W 1

j ,

ergibt eine rekursive Anwendung von Satz 8.1 Zerlegungen der Form

W ij = W 2i

j−1 ⊕W 2i+1j−1 , 0 ≤ i < 2J−j ,

die wir im binaren Baum in Bild 8.1 darstellen.

Der vollstandige binare Baum in Bild 8.1 beschreibt eine Vielzahl verschiedenerBasen des Grundraums VJ = W 0

J , der an der Wurzel des Baumes steht. Wirnennen einen binaren Baum zulassig, wenn jeder Knoten entweder kein oder genau2 Kinder besitzt. Jeder zulassige Baum der Tiefe ≤ L beschreibt dann eine ONBvon VJ . Als Basis wahlt man die Erzeugendensysteme der Raume, die an denBlattern des jeweiligen Baums stehen. Zum Beispiel entspricht der Baum im linkenTeil von Bild 8.2 der Basis von MRA-Wavelets zu 3 Zerlegungsschritten, also

VJ = VJ−3 ⊕W 1J−3 ⊕W 1

J−2 ⊕W 1J−1.

Der Baum im rechten Teil von Bild 8.2 beschreibt eine andere Basis, namlich diezur Zerlegung

VJ = VJ−2 ⊕W 1J−2 ⊕W 2

J−2 ⊕W 6J−3 ⊕W 7

J−3.

Die Anzahl NL solcher Baume ist beschrankt durch

22L−1 ≤ NL ≤ 2542L−1

, L ≥ 1,

vgl. Mallat, Seite 326.

Beweis: Ein zulassiger Baum der Tiefe 1 ≤ t ≤ L + 1 besteht aus zwei zulassigen Teilbaumen der Tiefe 0 ≤t1, t2 ≤ L in beliebiger Kombination. Also ist

NL+1 = N2L + 1, L ≥ 0,

1. KONSTRUKTION 159

VJ

W 1J−1

Q

((QQQQQQQQQQQQ

W 3J−2

Q

!!BBB

BBB

W 7J−3

Q

»»111

1

W 6J−3

P

§§°°°°

W 2J−2

P

||||

||

W 5J−3

Q

»»111

1

W 4J−3

P

§§°°°°

VJ−1

P

vvmmmmmmmmmmmm

W 1J−2

Q

!!BBB

BBB

W 3J−3

Q

»»111

1

W 2J−3

P

§§°°°°

VJ−2

P

||||

||

W 1J−3

Q

»»111

11

VJ−3

P

§§°°°°°

Bild 8.1. Vollstandiger binarer Baum zur Wavelet-Packet-Zerlegung

VJ

WJ−1

Q

»»111

11

VJ−1

P

§§°°°°°

WJ−2

Q

»»111

11

VJ−2

P

§§°°°°°

WJ−3

Q

»»111

11

VJ−3

P

§§°°°°°

VJ

W 1J−1

Q

!!BBB

BBB

W 3J−2

Q

»»111

1

W 7J−3

Q

»»111

1

W 6J−3

P

§§°°°°

W 2J−2

P

§§°°°°

VJ−1

P

||||

|||

W 1J−2

Q

»»111

11

VJ−2

P

§§°°°°°

Bild 8.2. Die binaren Baume zur Wavelet-Basis (links) und zueiner weiteren Wavelet-Packet-Basis (rechts)

wobei der letzte Summand den Baum der Tiefe 0 (nur die Wurzel VJ ) berucksichtigt. Mit N0 = 1, N1 = 2 folgtfur alle L ≥ 1

log2 NL ≥ 2 log2 NL−1 ≥ · · · ≥ 2L−1

log2 N1 =⇒ NL ≥ 22L−1

.

Wegen NL ≥ N1 = 2 folgt fur L ≥ 2 auch

log2 NL = 2 log2 NL−1 + log2(1 + N−2L−1) ≤ 2 log2 NL−1 + log2(5/4) ≤ 2 log2 NL−1 + 1/4.

Per Induktion folgt hieraus

log2 NL ≤ 2L−1

log2 N1 + 1/4

L−2Xj=0

2j ≤ 5

42

L−1,

also die obere Abschatzung fur alle L ≥ 2. Die Gultigkeit fur L = 1 ist sofort klar.

Dem binaren Baum zur gewahlten Basis entspricht eine Wavelet-Packet-Filterbank.Bezeichnen wir mit Θi

j = θij(· − 2−jk; k ∈ Z die ONB des Raumes W i

j , 0 ≤ i <

2J−j , so werden die Koeffizienten

dij,k = 〈f, θi

j(· − 2−jk〉L2(R)

der Wavelet-Packet-Zerlegung rekursiv durch Faltung und Downsampling mit denFolgen (pk) bzw. (qk) berechnet, die an den Kanten des Weges von der Wurzel(entspricht den Koeffizienten aJ(f)) bis zum Knoten W i

j notiert sind. In vielenAnwendungen wird der vollstandige binare Baum der Wavelet-Packet-Koeffizientenbis zur Tiefe L berechnet. Danach wird durch Vergleich verschiedener Basen die“beste Basis” fur die gegebene Funktion f ausgewahlt. Der Algorithmus verlauftganz analog zur Wavelet-Zerlegung in Algorithmus 5.21.


Algorithmus 8.2. Vollstandige Wavelet-Packet ZerlegungGegeben sei d0

J := aJ = (〈f, θJ,k〉)k∈Z zur Funktion f =∑

k∈Z aJ,kθJ,k.

Fur j = J − 1, . . . , J − L und 0 ≤ i ≤ 2J−j−1 − 1 berechne

d2ij,k = 2−1/2

∑

m∈Zpmdi

j+1,2k+m,

d2i+1j,k = 2−1/2

∑

m∈Zqmdi

j+1,2k+m.(8.4)

Die Rekonstruktion von (dij,k)k∈Z erfolgt analog zu (5.36)

(8.5) dij,k = 2−1/2

∑

`∈Z(pk−2`d

2ij−1,` + qk−2`d

2i+1j−1,`).

Wir wollen noch die Zeit-Frequenz Konzentration der Basis-Funktionen θij angeben.

Die Tragerlange von θij ist

diam supp θij = N2−j ,

stimmt also fur alle 0 ≤ i < 2J−j mit der Tragerlange von φj und ψj uberein. DieLokalisierung im Frequenzbereich soll in den folgenden Beispielen erlautert werden.

Beispiel 8.3. Wir betrachten die Skalierungsfunktion θJ = 2J/2χ2−J [0,1) zum Haar-Wavelet. Hier ist p0 = p1 = 1, q0 = −q1 = 1 und pk, qk = 0 fur k 6∈ 0, 1. DerTrager aller Funktionen θi

j mit 0 ≤ i < 2j ist das Intervall [0, 2−j ]. Es gilt sogar

|θij | = 2j/2χ2−j [0,1).

Der Unterschied zwischen diesen Funktionen liegt in der Vorzeichenverteilung, alsodem “Frequenzanteil” von θi

j. Fur 0 ≤ j ≤ J = 3 werden die Funktionen θij durch

ihr Vorzeichen auf den Teilintervallen I3,k = [k/8, (k + 1)/8) bestimmt, das inTabelle 8.1 angegeben ist. Die letzte Spalte enthalt die Anzahl der Vorzeichenwech-sel. Diese ist mit dem Index i uber den Gray-Code verknupft. Man erkennt, dassdie Funktionen θi

0, 0 ≤ i ≤ 7, die ersten 8 Elemente der Walsh-Basis aus Beispiel1.14 (in veranderter Reihenfolge) bilden.

Beispiel 8.4. Wir betrachten die bandbeschrankte Skalierungsfunktion

θJ (x) = 2−J/2 sin 2Jπx

πx

mit der Fouriertransformierten θJ = 2−J/2χ[−2Jπ,2Jπ). Die Skalierungssymbole vonφ und ψ lauten

P (ω) = χ[−π/2,π/2)(ω), Q(ω) = χ[−π,−π/2)(ω) + χ[π/2,π)(ω).

Mit der Beziehung (8.3) folgt, dass fur festes j < J die Funktionen θij, 0 ≤ i < 2j,

eine disjunkte Zerlegung des Frequenzbereichs Jψ = [−2Jπ, 2Jπ] liefern. Ordnetman den Frequenzbereich nach wachsendem Betrag |ω| in die Bereiche

Kj,k = [−(k + 1)2Jπ,−k2Jπ) ∪ [k2Jπ, (k + 1)2Jπ), 0 ≤ k < 2J ,

so ergibt sich der in Tabelle 8.2 dargestellte Trager von θij. Die Gesamtlange der

anteiligen Frequenzintervalle auf der Stufe j ist konstant, namlich 2j 2π. Man

1. KONSTRUKTION 161

I3,0 I3,1 I3,2 I3,3 I3,4 I3,5 I3,6 I3,7 #VZW

j=3 i=0 + 0

j=2 i=0 + + 0i=1 + - 1

j=1 i=0 + + + + 0i=1 + + - - 1i=2 + - + - 3i=3 + - - + 2

j=0 i=0 + + + + + + + + 0i=1 + + + + - - - - 1i=2 + + - - + + - - 3i=3 + + - - - - + + 2i=4 + - + - + - + - 7i=5 + - + - - + - + 6i=6 + - - + + - - + 4i=7 + - - + - + + - 5

Tabelle 8.1. Haar Wavelet-Packet und Walsh-Funktionen

erkennt also, dass der Skalenindex j nicht mehr als alleiniger Reprasentant desFrequenzbereiches von θi

j verwendet werden kann. Vielmehr wird das gesamte Fre-quenzband der Skalierungsfunktion θJ durch die Basisfunktionen θi

j jeder Stufe kom-plett abgedeckt. Hierbei hangt der Index i von θi

j uber den Gray-Code mit dem nachwachsendem |ω| sortierten Frequenzbereich zusammen.

Die diskrete Wavelet-Packet-Zerlegung auf Intervallen erfordert wieder eine Anpas-sung am Rand wie in Abschnitt 2. Wir beziehen uns hier auf die Darstellung amEnde des Abschnitts 2. Seien IN = k/N ; 0 ≤ k < N und `2(IN ) mit N = 2J

gegeben. Fur jedes L + 1 ≤ j ≤ J sei ferner die orthogonale Matrix W2j der Große2j × 2j wie in (7.11) gegeben, die einen Zerlegungsschritt der Wavelet-Zerlegungmit Randanpassung darstellt, also

WT2j aj =

(aj−1

dj−1

).

Dann wird die Wavelet-Packet-Zerlegung zu einer konkreten Basis von VJ durcheine orthogonale Matrix W beschrieben, die die Faktorisierung

W = XJ

(X 0J−1

X 1J−1

)· · ·

X 0

J−L+1

. . .

X 2L−1−1J−L+1

besitzt. Hierbei ist X ij entweder die Einheitsmatrix I2j oder W2j . Die Faktoren

X ij = W2j entsprechen dabei den Knoten des binaren Baumes auf der Stufe J − j,


K3,0 K3,1 K3,2 K3,3 K3,4 K3,5 K3,6 K3,7

j=3 i=0 1 1 1 1 1 1 1 1

j=2 i=0 1 1 1 1i=1 1 1 1 1

j=1 i=0 1 1i=1 1 1i=2 1 1i=3 1 1

j=0 i=0 1i=1 1i=2 1i=3 1i=4 1i=5 1i=6 1i=7 1

Tabelle 8.2. Shannon Wavelet-Packet: 1 steht fur die Indikator-funktion auf dem Frequenzintervall K3,k

die 2 Kinder besitzen. Also gilt X ij = W2j genau dann, wenn der zugehorige Knoten

erreicht werden kann (also X [i/2]j+1 = W2j+1 gilt), aber kein Blatt des Baumes ist.

Z.B. gehort zu der Basis des rechten Baums in Bild 8.2 die Matrix

W = W2J

(W2J−1

W2J−1

)

I2J−2

I2J−2

I2J−2

W2J−2

.

Die Spalten dieser Matrix konnen wir als die “diskreten Wavelet-Packets” auffassen.

2. Beste Basen

Coifman und Wickerhauser haben einen Algorithmus angegeben, der zu einer gegebe-nen Funktion f ∈ VJ unter den mehr als 22L−1

Basen der “Tiefe” L eine beste Basisauswahlt. Da die gewahlte Basis von f abhangt, nennt man den Algorithmus adap-tiv.

Zunachst stellen wir die folgenden Begriffe vor. Dabei sei H jeweils ein separablerHilbertraum.

Definition 8.5. (Worterbuch (engl. dictionary) von Basen)Eine endliche Familie D = Bi; i ∈ I von Orthonormalbasen Bi eines separablenHilbertraums H heißt ein Worterbuch fur H.

2. BESTE BASEN 163

Zum Beispiel definiert die Familie der Wavelet-Packet Basen von CN mit N =2J (oder von L2(R)), die ein binarer Baum der Tiefe L in Bild 8.1 enthalt, einWorterbuch von CN (bzw. L2(R)).

Wir beschranken uns im Folgenden auf den Hilbertraum H = CN . Der Begriff “Ba-sis” meint im Folgenden immer eine Orthonormalbasis. Fur festes f ∈ H konnenwir zwei Basen B1 = η(1)

k ; 0 ≤ k < N und B2 = η(2)k ; 0 ≤ k < N hinsichtlich

ihrer “Effektivitat” miteinander vergleichen. Mit f∗Bi= (f∗Bi

[k])0≤k<N bezeichnenwir wieder die betragsmaßig absteigende Folge der Koeffizienten zur Entwicklung

f =∑

k∈K

fBi [k]η(i)k , fBi [k] = 〈f, η

(i)k 〉.

Dann ist der Fehler der besten M -Term Approximation von f zur Basis Bi gegebendurch

(8.6) εM (f,Bi) =

(N−1∑

k=M

|f∗Bi[k]|2

)1/2

.

Definition 8.6. f ∈ H sei fest. Die Basis B1 heißt besser (zur Approximationvon f) als die Basis B2, wenn

εM (f,B1) ≤ εM (f,B2)

fur alle 1 ≤ M ≤ N gilt. In diesem Fall schreiben wir B1 ≺ B2. Ist D einWorterbuch von CN , so definiert ‘ ≺′ eine partielle Ordnung auf D. Jedes minimaleElement bzgl. dieser Ordnung heißt eine beste Basis (in D zur Approximation vonf).

Als Hilfsmittel zum Vergleich der Gute von zwei Basen setzen wir ein Resultat ausder Analysis ein. Zunachst schreiben wir kurz

xk :=|f∗B1

[k]|2‖f‖2 , yk =

|f∗B2[k]|2

‖f‖2 , 0 ≤ k < N.

Die Parseval-Identitat ergibt sofort

(8.7)N−1∑

k=0

xk =N−1∑

k=0

yk = 1.

Satz 8.7. (Hardy, Littlewood, Polya)Fur zwei Vektoren x, y ∈ RN mit monoton fallenden Koordinaten xk ≥ xk+1 ≥ 0,yk ≥ yk+1 ≥ 0, 0 ≤ k < N − 1, und gleicher Summe (8.7) sind aquivalent:

a) Fur alle 1 ≤ M ≤ N gilt

(8.8)M−1∑

k=0

xk ≥M−1∑

k=0

yk.

b) Fur jede konkave Funktion Φ : [0, 1] → R gilt

(8.9)N−1∑

k=0

Φ(xk) ≤N−1∑

k=0

Φ(yk).


Der Algorithmus von Coifman und Wickerhauser bestimmt nun die “beste” Wavelet-Packet Basis zu f ∈ CN bezuglich einer speziellen konkaven Funktion Φ. Mannutzt also nur die Notwendigkeit der Bedingung (8.9) und wahlt Φ dazu geeignetaus. Als Kandidaten findet man haufig die Entropiefunktion

Φ(x) = −x ln x,

die Quasi-NormenΦ(x) = xp, 0 < p ≤ 1,

und die Abzahlfunktion (auch als `0-Quasinorm bezeichnet)

Φ(x) =

1 fur x > 0,

0 fur x = 0.

Zu gegebenem Φ und f ∈ CN wird durch

(8.10) CΦ(f,B) :=N−1∑

k=0

Φ( |f∗B[k]|2

‖f‖2)

eine Kostenfunktion auf dem Worterbuch D definiert. Eine beste Basis B ∈ Dfur f bzgl. Φ ist ein Minimum dieser Kostenfunktion. Man beachte, dass fur dieBerechnung von CΦ(f,B) die Reihenfolge der Koeffizienten f∗B[k] keine Rolle spielt,auf die Anordnung also verzichtet werden kann.

Bemerkung 8.8. Wir erwahnen einige Eigenschaften der Kostenfunktion. Dazusetzen wir αk = |f∗B[k]|2

‖f‖2 , 0 ≤ k < N .

a) Speziell fur Φ(x) = x (also p = 1 in der obigen Notation der Quasi-Normen)ergibt die Parseval-Identitat C(f,B) =

∑k αk = 1 unabhangig von der gewahlten

ONB B. Diese Wahl von Φ ergibt also keine Differenzierung zwischen denWavelet-Packet Basen.

b) Die Konkavitat von Φ liefert

C(f,B) = N

(1N

N−1∑

k=0

Φ(αk)

)≤ NΦ

(1N

N−1∑

k=0

αk

)= NΦ

(1N

).

Meist verwendet man eine konkave Funktion Φ mit Φ(0) = 0. Dann folgt weit-erhin

C(f,B) =N−1∑

k=0

Φ(αk) ≥ Φ

(N−1∑

k=0

αk

)= Φ(1).

c) Wir betrachten noch den folgenden Spezialfall: Ist f ein Basiselement, alsof = αψ mit ψ ∈ B, dann gilt

C(f,B) = Φ(1) ≤ C(f,B′)fur jede weitere ONB B′.

Die Notation der Kostenfunktion C(f, ·) wird auf Orthonormalsysteme B = ψ0, . . . , ψr ⊂CN erweitert, indem man

CΦ(f,B) :=r∑

k=0

Φ( |〈f, ψk〉|2

‖f‖2)

2. BESTE BASEN 165

setzt. Man beachte hier, dass der Nenner ‖f‖2 i.a. großer ist als die Summe derZahler αk = |〈f, ψk〉|2 (Bessel-Ungleichung).

Der Algorithmus von Coifman und Wickerhauser basiert nun auf folgender Beobach-tung. Es sei

W ij+1 = W 2i

j ⊕W 2i+1j

die orthogonale Zerlegung des Raums W ij+1 wie im binaren Baum 8.1 dargestellt.

Dann haben wir zwei Basen

B1 := Θij+1 und B2 := Θ2i

j ∪Θ2i+1j

von W ij+1 zur Verfugung. Mit der Notation der Kostenfunktion fur Orthonormal-

systeme gilt offensichtlich

CΦ(f,B2) = CΦ(f, Θ2ij ) + CΦ(f, Θ2i+1

j ).

Falls diese Summe kleiner ist als CΦ(f,B1), so ist die Basis B2 dem Knoten W ij+1

zuzuordnen, andernfalls die Basis B1. Ein “Bottom-Up”-Durchlauf des binarenBaums in Bild 8.1 ergibt dann die beste Wavelet-Packet Basis zum gegebenen f ∈CN .

Algorithmus 8.9. (Beste Wavelet-Packet Basis)Gegeben:

• f ∈ CN mit N = 2J

• konkave Funktion Φ : [0, 1] → R zur Bestimmung der Kostenfunktion sowie• Kosten der Koeffizientenfolge di

j, 0 ≤ i < 2J−j und J − L ≤ j ≤ J , an jedemKnoten des vollstandigen binaren Baums in Bild 8.1, also

Cij =

2j−1∑

k=0

Φ

(|di

j [k]|2‖di

j‖2)

.

Gesucht: Wavelet-Packet Basis B mit minimaler Kostenfunktion CΦ(f,B)

Initialisierung: SetzeBi

J−L = ΘiJ−L, 0 ≤ i < 2L.

Iteration: Fur j = J − L + 1, . . . , J und 0 ≤ i < 2J−j − 1falls Ci

j ≤ C2ij−1 + C2i+1

j−1

setze Bij = Θi

j,sonst setze Bi

j = B2ij−1 ∪ B2i+1

j−1 ,Ci

j = C2ij−1 + C2i+1

j−1

end

Dann ist B = B0J beste Basis zu f bezuglich Φ mit Kosten C0

J .

Der Algorithmus wahlt je nach Vorgabe von Φ geeignete Zeit-Frequenz-Atome zurDarstellung von f .

Wavelet{Analysis Wintersemester 2006/2007 · Theorie der Fourier-Transformation (siehe Analysis 2)...

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