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1) Considere o plano que contm o ponto P = (5, 2, 2) e perpendicular ao vetor v = (1, 2, 3) . a) Determine a equao desse plano. b) Calcule o volume do tetraedro formado por esse plano e pelos planos XOY, YOZ e ZOX.

2) Um helicptero parte de um ponto A e faz os seguintes movimentos sucessivos: 500m para cima 1300m para o norte 800m para o leste 300m para cima 400m para o sul 200m para oeste 100m para baixo chegando ao ponto B. Associe cada movimento a um vetor e calcule a distncia aproximada entre os pontos A e B.

3) Encontre a equao do plano que contm os pontos (1, 1, 0), (2, 1, 1) e (1, 0, 1) .

4) Considere um cubo de aresta 2 e escolha um sistema conveniente de coordenadas. a) Calcule o cosseno do ngulo entre duas diagonais. b) Calcule a distncia entre os pontos mdios de duas arestas reversas.

c) Escolha uma diagonal de uma face e uma diagonal do cubo que no sejam concorrentes. Mostre que elas so ortogonais.

d) Considerando a figura abaixo, mostre que a diagonal FD perpendicular ao plano BGE.

A

B C

D

E

F G

H

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1) a) O plano perpendicular ao vetor v = (1, 2, 3) tem equao x + 2y + 3z = d . Para que P pertena a esse plano deve-se ter d = 3.

A equao do plano x + 2y + 3z = 3.

1) b) Os pontos de interseo deste plano com os eixos so 3, 0, 0( ), 0, 32

, 0

e 0, 0, 1( ).

O volume do tetraedro que tem esses trs vrtices mais a origem :

V = 16

3 32

1 = 34

.

2) Sejam: Eixo X Direo leste-oeste

Eixo Y Direo norte-sul

Eixo Z Direo cima-baixo

Escrevendo os movimentos na escala 1/100 temos: (0, 0, 5) + (0, 13, 0) + (8, 0, 0) + (0, 0, 3) + (0, 4, 0) + (2, 0, 0) + (0, 0, 1) = (6, 9, 7) O mdulo do vetor (6, 9, 7) 166 =12,88. De acordo com a escala, a distncia entre A e B de 1288m, ou seja, aproximadamente 1290m.

3) Qualquer plano pode ser representado por uma equao do tipo Ax + By + Cz =1. Como os trs pontos devem pertencer a esse plano devemos ter:

A + B =12A B + C =1

A + C =1

Resolvendo o sistema encontramos A = 14

, B = 34

e C = 54

. A equao do plano :

14

x +34

y + 54

z =1 ou x + 3y + 5z = 4.

4) Considere o cubo com os seguintes vrtices e faa uma figura. A = (0, 0, 0), B = (2, 0, 0), C = (2, 2, 0), D = (0, 2, 0), E = (0, 0, 2), F = (2, 0, 2), G = (2, 2, 2), H = (0, 2, 2).

a) Sejam AG = (2, 2, 2) e EC = (2, 2, 0) (0, 0, 2) = (2, 2,2) . Como AG = EC = 2 3 o cosseno do ngulo entre essas diagunais

cos = 2 2 + 2 2 + 2(2)2 3 2 3

=13

.

b) O ponto mdio de BC M = (2, 1, 0) . O ponto mdio de DH N = (0, 2, 1). Temos ento MN = (2, 1, 1). A distncia entre M e N 4 +1+1 = 6 .

c) Sendo AG = (2, 2, 2) e BD = (0, 2, 0) (2, 0, 0) = (2, 2, 0) temos que o produto interno desses vetores : 2 (2) + 2 2 + 2 0 = 0 o que mostra que essas retas so ortogonais.

d) Temos FD = (2, 2, 2), BG = (0, 2, 2) e BE = (2, 0, 2) . Como FD, BG = 0 e FD, BE = 0 ento FD ortogonal a BG e a BE. Logo, FD

perpendicular ao plano BGE.