¨W ; ß - Hanyangoptics.hanyang.ac.kr/~choh/degree/[2013-1] general... · 2016. 8. 29. · (34.1)...

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양양자자물물리리학학

그림34.1 어둠속에서야간투시장치로찍은 상.

무엇을배우는가33334444....1111 물질,,,, 시간,,,, 공간의본성33334444....2222 흑체복사33334444....3333 광전효과

보기문제34.1 일함수

보기문제34.2 레이저포인터의광자

33334444....4444 콤프턴산란보기문제34.3 콤프턴산란

33334444....5555 물질파보기문제34.4 빗방울의드브로이파장

입자의이중슬릿실험33334444....6666 불확정성관계

보기문제34.5 속도위반티켓에서벗어나

기위한수단

33334444....7777 스핀슈테른-게를라흐실험기본입자의스핀과파울리의배타원리

33334444....8888 스핀과통계보스-아인슈타인응축

무엇을배웠는가/주요내용문제풀이능력키우기풀이문제34.1 루비듐의보스-아인슈타

인응축

객관식문제설명문제연습문제

원서36장

양자물리학

오늘날야간투시장치는경찰관이나군인들에게기본적인장비가되었다. 야간투시장치는대부

분의광학기기들과마찬가지로렌즈를사용하여 상을포착하지만, 본래의목적은희미한빛

을 잡아내고 증폭시켜서 사용자들이 미량의 불빛으로도 상을 볼 수 있도록 하는 것이다(그

림 34.1참조).야간투시장치는빛의직진성이나파동성이아니라, 이장에서논의할빛의입자

성으로작동한다.

빛은물체와상호작용할때자주입자같은특성을드러낸다. 빛이개별원자나분자, 또는

생체세포들과상호작용할때는광자라고불리는미세한파동묶음처럼행동한다. 야간투시장치

에서광자는광전효과라는현상을통해전기신호로변환되고, 다시광전자증배관 또는마이크로

채널판이라는장치를통해증폭된다. (이들장치의작동원리를이장에서논의한다.)이렇게발

생한 전자들은 인광스크린에 부딪쳐 다시 빛으로 전환된다. 이때 어둠 속에서도 볼 수 있도록

빛을증폭시키지만, 그림 34.1처럼세부사항이나색깔을표시하지는못한다.

광자의존재는결국빛이파동이아니라는뜻일까?이장에서입자와파동의경계가모호

하다는것을알게될것이다. 미시세계에서파동은입자처럼행동할수있고, 입자는파동처럼

행동할 수 있다. 이러한 발견은 물리학의 이해에 혁명적인 변화를 가져왔으며, 상대성이론이

시간과공간에대한인식의틀을바꾼것에필적한다. 이책의나머지뒷장들은양자물리로알

려진이러한변화들을설명하고있다.

지금쯤은물질이원자로구성되어있다는사실을받아들 을것이다. 원래원자는눈에보이지

456 34장 양자물리학

무엇을배우는가

� 양자가설에 기초하여 주어진 진동수 구간에서 방출되는

복사일률에 대한 플랑크의 복사법칙을 유도할 수 있다.

양자가설로 고전적 해석의 문제점이었던 단파장(고진동

수)에대한자외선파국을피할수있고, 고전적복사법칙

을하나의극한으로포함한다.

� 보통은 빛과 같이 파동으로 생각되는 것들도 입자의 특

성을 갖는다. 광전효과는 빛이 광자라는 기본양자로 구

성된다는 양자가설을 토대로 설명할 수 있다. 광자에너

지는진동수에플랑크상수를곱한값이다.

� 콤프턴 효과란 고에너지 광자(엑스선)와 전자의 충돌현

상이다. 엑스선의 산란에서 관찰된 현상들은 광자가 입

자의특성을갖는다고가정하면간단히설명할수있다.

� 보통은 물질로 생각되는 것들도 파동의 특성을 갖는다.

입자의드브로이파장은플랑크상수를입자의운동량으

로나눈것으로정의하며,물질파와관련된기본파장이다.

� 하이젠베르크의 불확정성 관계는 동시에 측정한 운동량

불확정도와 위치 불확정도의 곱은 절대하계를 갖는다고

규정한다. 에너지와 시간 불확정도의 곱도 같은 하계를

갖는다.

� 기본 양자입자들은 스핀이라는 고유특성을 가지며, 스핀

은 각운동량의 단위이다. 스핀은 양자화된다. 입자는 스

핀에 따라 두 종류로 나뉜다. 플랑크 상수를 2�로 나눈

단위로 스핀이 정수배인 입자를 보손, 반정수배인 입자

를페르미온이라고부른다.

� 파울리의 배타원리는 어떤 두 페르미온도 동시에 같은

양자상태를 점유할 수 없다고 천명한다. 즉 주어진 원자

에서 어떤 두 페르미온도 정확히 동일한 양자수를 가질

수 없다는 뜻이다. 여기서 양자수란 입자의 양자상태를

특징짓는 숫자들이다. 보손은 극저온에서 상당수가 동일

한양자상태를점유하도록응축될수있다.

34.1 물질, 시간, 공간의본성

않는 것이라고 여겨졌었다. 실제로 원자는‘개별적이고 더 이상 나눌 수 없는’이라는 뜻의 그

리스어에서 비롯된 단어이다. 그러나 원자가 하부구조를 가지고 있다는 것을 곧 알게 될 것이

다. 원자는 원자핵 주변에‘전자구름’이 둘러싸고 있으며, 원자핵은 다시 양성자와 중성자로

구성되어있다. 물리학자들은전자에는하부구조가없다고믿고있지만, 양성자와중성자는각

각 루온으로 엮인 세 개의 쿼크가 모여 만들어진 것으로 알려져 있다(21.2절 참조). 쿼크와

루온또한하부구조가없는기본단위로알려져있다. 물리학자들이어떻게이러한추론에도

달했는가는 37~40장에 걸쳐 논의하겠다. 지금은 물질이 더 이상 나눌 수 없는 최소단위, 즉

‘알갱이’로구성되어있다는것만지적해둔다.

시간과 공간은 어떠할까?이들도‘알갱이’로 되어 있을까?상대론에 관한 35장에서 시간

과 공간 사이의 관련성에 대한 놀라운 결과를 배웠다. 그러나 아직도 시간과 공간이 무한소의

양으로나뉠수있는가에대한의문은고려하지않았다. 미적분학은 �t→0의극한으로속도와

가속도를정의하므로시간이띄엄띄엄한것이아니라연속적인것이라고가정하고있다. 에너

지와운동량사이의관계는시간과공간의관계와비슷하다. 따라서곧바로에너지와운동량이

연속적인양인지, 아니면가장작은에너지와운동량알갱이가존재하는지에대한질문을제기

한다. 예를 들어 회전하는 공은 회전운동에너지를 가지고 있다. 각속도를 증가시키면 공의 운

동에너지도증가시킬수있다. 하지만무한히작게증가시킬수있을까?아니면가장작은에너

지의양자를더해야만할까?

빛을다시고려하면서위의질문에대한답을탐구해보자. 31장에서배운대로빛은전자

기파로생각할수있다. 처음으로빛을탐구한 32장과 33장에서는거울, 렌즈및기타광학기기

를조사하면서기하광학을배웠다. 빛이직선으로움직인다는가정하에빛을광선으로다루었

다. 그러나 34장에서 회절과 간섭 같은 물리적인 효과들을 설명할 때에는 빛의 파동성을 다룰

수밖에 없었다. 34장에서는 빛을 조사하는 공간의 크기가 빛의 파장 정도가 되어야만 파동성

이유효하고, 그보다훨씬크면기하광학이훌륭한어림이된다는것을알았다.

빛을 전자기파로서 기술한 앞의 논의는 관찰할 수 있는 모든 현상을 설명하는 데 충분할

까?다음절들에서설명하듯이대답은‘아니요’이다.

18장에서 열복사를 논의할 때, 이상화된 흑체 개념을 도입했다. 이러한 이상화는 온도가 T인

커다란 공동에 뚫린 작은 구멍에서 나오는 복사를 관찰하는 것으로 정확하게 실현할 수 있었

다. 만약에실온에서위와같은구멍에서나오는빛을응시한다면구멍은까맣게보일것이다.

구멍을통해공동으로들어간빛이산란되어결국벽에흡수되기때문이다. 그러나더높은온

도가되면구멍에서전자기스펙트럼의가시광선 역에해당하는빛이나오기시작한다. 전기

난로에서가열된조리기구의탁한빨간색깔이나백열전구필라멘트의밝은빛깔, 태양광등이

바로일상에서흔히접하는흑체복사이다(그림 34.2참조).

먼저고전파동물리와관찰로부터알려진흑체복사에대한사실을간단히정리하자. 흑체

복사의전체세기 I(단위시간, 단위면적당복사되는에너지)에대한슈테판-볼츠만의법칙은

34.2 흑체복사 457

34.2 흑체복사

(34.1)

이며, �(�)는 파장의 함수인 스펙트럼방출도(spectral emmittance,또는 스펙트럼 복사도)이다.

스펙트럼 방출도는 단위시간, 단위면적, 해당 파장당 복사되는 에너지이며 SI 단위는

[�(�)]�Wm�3이다. 적분은 0부터무한대까지모든파장 �를포함하며, 슈테판-볼츠만상수 �

는다음과같다.

슈테판-볼츠만 복사법칙(식 34.1)에서 가장중요한것은 전체복사세기가온도의 네제곱에비

례한다는것이다.

독일의물리학자빌헬름빈은 1896년에흑체의스펙트럼방출도를설명하기위해경험적

으로다음과같은빈의법칙(Wien’s law)을유도했다.

(작은 � 어림). (34.2)

여기서 a와 b는 상수이다. 빈의 법칙은 파장이 짧은 흑체의 방출도를 설명하는 데 성공했지만

파장이 긴 경우에는 실패했다. 빈의 변위법칙(Wien displacement law)은 스펙트럼 방출도에

대한또하나의중요한실험결과를알려준다. 즉스펙트럼방출도가최대인파장 �m은다음과

같이온도에의존한다.

(34.3)

한편 국의 물리학자 레일리 경과 제임스 진스 경은 빛을 전자기파로 기술하여 흑체복사의

스펙트럼방출도에대한다음의공식을유도했다.

(큰 � 어림). (34.4)

여기서 c는광속이며 kB는볼츠만상수로다음과같다.

그러나이결과는 �→0일때발산한다는확연한단점을갖고있었다. 이문제점은이후자외선

파국으로알려지게되었다(자외선은파장이짧다).만일식 34.4가모든길이의파장에대해옳

다면식 34.1의적분은발산하므로흑체복사의세기는모든온도에서무한대일것이다. 분명히

불가능한일이다. 그러나긴파장에서는레일리와진스의결론이실험결과와일치한다.

1900년에독일의물리학자막스플랑크는모든파장에대해성립하는스펙트럼방출도를

유도하기위해급진적인가정이필요했다. 그는빛이나다른전자기복사에포함된에너지는띄

엄띄엄한덩어리형태로만고체와상호작용한다고제안했다. 그는다음과같이덩어리의에너

지가빛의진동수에비례한다는가설을세웠다.

(34.5)

여기서 h는플랑크상수(Plank’s constant)이며다음의값을갖는다.


그림 34.2 빛을 내뿜는 화산용암은흑체복사의좋은예이다.

(34.6)

앞에서도입한 eV단위(1 eV�1.602178�10�19 J)로는 h�4.13567�10�15 eV s이다.

이장의뒷부분에서알게되겠지만, 플랑크상수를 2�로나눈값은양자물리의여러방정

식에서자주사용되기때문에다음과같은새로운기호 �로표기한다.

(34.7)

빛의파장과진동수는여전히 c��f의관계를통해속도와연관되어있으므로식 34.5를

(34.8)

로다시표기할수있다.플랑크가양자화에너지가설을토대로구한플랑크의복사법칙(Planck’s

radiation law)은

(34.9)

이며, IT (f)df는 f와 f�df 사이의 진동수에서 온도 T의 흑체가 단위입체각, 단위면적당 방출하

는 복사일률(단위시간당 에너지)이다. IT (f)는 고유세기 또는 스펙트럼 밝기(spectral

brightness)이며, SI 단위는 Wm�2 sr�1 Hz�1이다. 지금은 플랑크의 결과를 그냥 사용하지만,

이장의후반에서진동수와온도의존성을이해하기위해다시조사할것이다.

스펙트럼 밝기는 방향에 의존하지 않는다. 스펙트럼 밝기 IT (f)를 반구의 모든 방향에 대

해적분하면스펙트럼방출도 �T (f)를다음과같이얻는다.

따라서스펙트럼방출도는정확히스펙트럼밝기의 �배이다.

(34.10)

첫 번째 적분에서 cos � 인자는 흑체의 구멍에 수직인 단위벡터 tn의 복사성분이므로, 극각의

함수로 표기한 유효 단위면적을 나타낸다. 반구의 입체각에 대한 적분은 각도 �(0부터 �/2까

지)와 각도 �(0부터 2�까지)의 이중적분이다(그림 34.3참조). IT (f)는 각도에 의존하지 않기

때문에위의적분은매우쉽게계산할수있다. 식 34.10과 34.9를결합하면

(34.11)

을얻는다. 스펙트럼방출도 �T (f)의 SI단위는Wm�2 Hz�1이다.

또한 스펙트럼 밝기와 스펙트럼 방출도는 진동수 대신 파장의 함수로 표기할 수 있다. 이

34.2 흑체복사 459

그림 34.3 흑체복사는구멍에서시작해반구의모든방향으로방출된다.

를위해 c��f를사용하면다음을얻는다.

따라서스펙트럼밝기를파장의함수로나타내면표기하면

(34.12)

이며, SI 단위는Wm�3 sr�1이다. 이제앞에서와같이파장의함수로얻은스펙트럼밝기를모

든방출각도에대해서적분하면스펙트럼방출도를다음과같이파장의함수로얻게된다.

(34.13)

위의 SI단위는 Wm�3이다. 플랑크 법칙의 네 형태(식 34.9, 34.11, 34.12, 34.13)는 모두 똑같

이 유효하다. 그러나 스펙트럼 밝기나 스펙트럼 방출도를 논의할 때에는 주의를 기울여야 한

다. 위에서확인했듯이 �배차이가난다. 왜냐하면스펙트럼방출도가스펙트럼밝기의반구의

방출각도에대한적분이기때문이다.

그림 34.4는스펙트럼방출도에대한플랑크복사법칙을세온도에서파장의함수로나타

낸 그래프이다. 가장 위의 곡선은 태양표면의 온도와 비슷한 5800 K에서 계산한 것이다. 방출

도함수는 500 nm(청록색)의 파장 근처에서 최대이며, 빈의 법칙(식 34.3)과 일치한다. 다른

두 그래프는 540 nm(황록색)에서 최대인 5400 K곡선과 580 nm(오렌지색)에서 최대인 5000

K곡선이다. 또한그림 34.4는다른가시광선스펙트럼의색깔들도보여준다.

빈의 법칙, 레일리-진스의 법칙, 슈테판-볼츠만의 법칙, 빈의 변위법칙들은 모두 플랑크의

복사법칙(식 34.13)에서유도할수있다.

빈의 법칙: �가작으면플랑크법칙에서지수함수의인수가커진다. 따라서

로표기할수있다. 플랑크법칙의특수한경우로빈의법칙을다음과같이얻는다.

이는식 34.2와같은파장의존성을가지며, 상수는 a�2�hc2, b�hc/kB이다.

레일리-진스의 법칙: �가 크면 지수함수의 인수가 작아진다. 따라서 지수함수를 ex �

1�x로전개할수있고, ehc/�kBT�1 � hc/�kBT이다. 따라서다음을얻는다.


그림 34.4 세 온도(5800 K, 5400 K,

5000 K)에서 플랑크의 스펙트럼 방출도를파장의함수로서나타낸그래프.

복사법칙유도과정 34.1

이는식 34.4인레일리-진스의법칙과일치한다.

빈의 변위법칙: 이 법칙을 이해하려면 �(�)가 최대가 되는 파장을 찾아야 한다. 즉 파

장에대해서미분하고근을구해야한다. 미분은다음과같다.

T→�인무의미한경우를제외하고, 위의식은분자가 0일경우에만 0이될수있다. 따라서

을만족하는파장을구해야한다. 여기서 �m은플랑크복사법칙이최대가되는파장의값

이다. u�hc/�mkBT로치환하면위의식을다음과같이간단히줄일수있다.

이 식은 스프레드시트와 같은 프로그램에서 간단한 회귀법으로 구할 수 있다. 뻔한 해로

u�0이 있지만, 이는 무한 파장에 해당하므로 무의미하다. 따라서 먼저 유한한 값 1에서

회귀법을 시작하면 5�5e�1�3.1606를 얻고 이 값을 이용해 다시 5�5e�3.1606�4.7880를

얻는등이과정을몇번만거치면다음의값으로빠르게수렴한다.

이제상수 h, c, kB의값을이용하여다음을얻는다.

이는식 34.3에서실험적으로얻은결과와완전히일치하는값이다.

슈테판-볼츠만 법칙: 전체 복사세기 I는 플랑크 복사법칙을 0부터 �까지 모든 파장에

대해서다음과같이적분해서구한다.

플랑크상수, 볼츠만상수, 광속을넣으면슈테판-볼츠만상수로다음을얻는다.

34.2 흑체복사 461

퀴즈문제34.1

빛의가시스펙트럼은대략 380

nm(남보라색)에서 780 nm(빨간

색)까지이다. 광자에너지의범위

는전자볼트단위로무엇인가?

a) 1.59 eV to 3.26 eV

b) 2.54�10�19 eV to 5.23�10�19 eV

c) 0.38�1015 eV to 0.78�1015 eV

d) 190 eV to 390 eV

그림 34.5에서 확인할 수 있듯이 플랑크 법칙은 이전에 존재했던 모든 복

사법칙들을특별한경우로포함하고있다.

플랑크의 법칙은 짧은 파장에서는 빈의 법칙과 일치하며, 긴 파장에서는

레일리-진스의 법칙과 부합한다. 이러한 성공으로 인해 플랑크의 흑체 복사법

칙은 양자화된 에너지상태라는 급진적인 가정에도 불구하고 학계로부터 즉시

인정받게 되었다. 특히 유도과정 34.1을 보면 양자가설이 앞에서 언급했던 고

전적자외선파국(식 34.4참조)을어떻게해결하는지알수있다. 즉주어진진

동수 f에서 하나의 광자를 생성하려면 에너지 hf가 필요하므로 진동수가 증가

함에따라광자를생성하는데필요한에너지를공급하는것이점점어려워진다. 이에따라고

진동수에서 차단이 필수적이고 관측결과와도 부합한다. 따라서 빛이 지닌 양자본성의 직접적

인결과로자연스럽게자외선파국을피할수있는것이다.

가장 흥미로운 흑체 스펙트럼의 예는 우주배경복사이다. 배경복사는 빅뱅

의 잔재이며 전 우주에 걸쳐서 놀라울 정도로 균일하게 분포되어 있다. 1990년

에 추진된 COBE위성탐사와 좀 더 최근의 WMAP위성탐사 결과는 이를 놀라

울 정도로 세 하게 증명했다. 그림 34.6처럼 COBE탐사자료는 우주배경복사

가온도 2.725�0.001 K일때의흑체복사와완벽히일치한다. 즉우주자체가완

벽한흑체복사체라는것을발견한것이다. COBE탐사를이끈조지스무트와존

매더는 COBE 위성탐사의 성과를 인정받아 2006년 노벨 물리학상을 받았다.

(우주배경복사에대한자세한논의는 40장에서계속하겠다.)

흑체복사로우주의온도를측정하듯이물리적으로접촉하지않고물체의온

도를측정하기위해서흑체복사를이용할수있다. 이장초반에언급했듯이, 물체가충분히뜨

겁다면가시 역의광자를방출할것이다. 예를들어제철소에서녹은철의온도는백열의철에

서방출되는광자를분석하여측정하고있다. 실온에가까운물체들은주로적외선 역의광자

들을복사한다. 현대식적외선온도계는고막에서방출되는적외선을이용하여인체의온도를

잴수있다. 이외에도적외선온도계는음식물과전기소자의온도를측정할때도사용된다.

원래 플랑크의 에너지 양자가설은 물리학의 혁명이라기보다는 계산을 위한 특이한 수단쯤으

로 여겨졌었다. 그러나 1905년 아인슈타인의 광전효과에 대한 설명 이후로 이 관점은 완전히

바뀌었다. 아인슈타인은 빛이 에너지의 덩어리, 또는 양자로 이루어졌다고 가정하여 광전효과

의수수께끼를풀었다. 광전효과는 1886년하인리히헤르츠가최초로발견했고, 로버트 리컨

이 1916년 아인슈타인의 모든 예측들을 정량적으로 확인함으로써 증명되었다. 광전효과에 대

한 설명으로 아인슈타인은 1921년 노벨 물리학상을 받았다. 34.4절에서 다시 보게 되겠지만,

빛의양자본성은 1923년콤프턴에의해결정적으로확인되었다. 미국의화학자길버트루이스

는 1926년에빛의양자를나타내기위해광자(photon)라는용어를만들어냈다. 이장의남은

부분에서광자는빛과다른모든전자기복사의양자를통칭하는용어로사용한다.

광전효과(photoelectric effect)에서 빛은 적당한 금속의 표면에서 전자를 떼어 내어 전류


그림 34.5 T�5000 K에서 플랑크의복사법칙, 레일리-진스의 복사법칙, 빈의 법칙을 비교한 그래프. 유도과정34.1에서얻은상수들을사용한다.

그림 34.6 마이크로파배경복사의스펙트럼방출도를진동수의함수로나타낸 그래프. 푸른 네모들은 COBE 위성으로 얻은 자료들이고, 빨간색 곡선은온도 2.725 K에서 얻은 플랑크 복사곡선이다.

34.3 광전효과

를 형성할 수 있다. 광전효과가 어디에 응용되는지는 엘리베이터의 문을

관찰하면알수있다. 엘리베이터문은사람이입구에있다는것을어떻게

인식할수있을까?답은광원과광전효과를활용한광수용체로구성된광

감지기에 있다. 만일 사람과 같은 물체가 광원과 광수용체 사이에 위치하

면, 수용체는더이상빛을받지못하므로전기스위치가작동하여엘리베

이터의 문이 열리게 된다. 차고 문도 같은 원리로 작동한다. 광감지기가

있어서머리위로문이내려오는것을막는것이다.

광전효과를 관찰하기 위해 다음과 같이 실험할 수 있다. 그림 34.7은

기본적인 장치를 보여 준다. 왼쪽은 전구나 발광다이오드(많은 광회로에

서 사용한다)또는 태양광 같은 광원이다. 오른쪽은 광감지기로 진공상태

의유리용기안에금속조각(직사각형모양의음극)과금속판(검은줄로표시한양극)으로이루

어져 있다. 광감지기에 자주 사용되는 금속은 세슘이다. 광감지기는 전원과 전류계로 구성된

회로의 일부이다. 광원과 광감지기 사이에는 오직 한 가지 색깔(이 경우 푸른색)의 빛만 통과

시키는필터가있다. 실험에서다음과같은결과를도출할수있다.

� V�0인전원과푸른색필터가설치된상태에서전류계가전류를검출하면, 전자들이금

속조각과 금속판 간격을 이동하고 있다는 뜻이다. 만약 세기가 증가하면 측정된 전류

또한증가하고, 이는더많은전자들이이동하고있다는뜻이다.

� 빨간색 필터로 바꾸면 아무런 전류도 검출되지 않는다. 이 사실은 세기가 증가해도 마

찬가지이다.

� 푸른색 필터와 양의 V 값에서 전류계를 통과하는 전류의 양은 증가한다. 전압이 음의

값으로 변하여 증가하면 전류계에서 측정되는 전류의 양은 점점 감소하고 어느 문턱값

에도달하면전류가멈춘다.

이와같은실험을통해금속의표면에빛을쪼이면전자들이튀어나온다는사실을알수있다.

전자들은 운동에너지를 가지고 있으며, 최댓값은 음의 전압을 양극에 가하여 측정할 수 있다.

만일 전자들(전하 q��e)이 퍼텐셜 V��V0를 극복하고 최대 운동에너지 K최대로 음극에서

출발하여운동에너지 0으로양극에도달하면일-에너지정리에서다음을얻는다.

(34.14)

(이경우의전자들은느리게움직이므로운동에너지로비상대론적어림값 mv2을사용한다.)

퍼텐셜 V0는 멈춤퍼텐셜이라고 부르며, 주어진 금속에서 빛의 색깔, 즉 진동수에 의존한다. 자

세히측정해보면 V0가진동수 f의 1차함수임을알수있다. 또한특정진동수이하에서는멈춤

퍼텐셜이 0이 된다. 더 낮은 진동수의 빛은 광전음극판에 있는 전자들이 표면을 벗어나는 데

필요한에너지를공급하지못한다.

고전파동물리학의관점에서보면다음과같은개념적문제들이발생한다.

� 고전적으로는 빛의 세기가 충분히 크면 진동수에 상관없이 금속으로부터 전자들을 떼

어 낼 수 있다. 그러나 관찰결과는 입사광의 세기에는 상관없이 f최소 이상의 진동수를

12

34.3 광전효과 463

그림 34.7 광전효과 장치의 개략도와회로.

가질 때에만 광전효과가 일어남을 보여 준다. 아인슈타인은 (오늘날 광자라고 부르는)

광양자의에너지가진동수에비례한다(E�hf)고설명했다.

� 고전적으로는 튀어나온 전자들의 최대 운동에너지는 빛의 세기가 증가하면 같이 증가

해야한다. 그러나관찰결과에의하면빛의세기를증가시키면전자의운동에너지가아

니라 매초 튀어나오는 전자들의 수만 증가한다. 빛의 진동수를 증가시켜야만 튀어나오

는전자의운동에너지가증가한다.

광전효과의물리적원리는다음과같다. 식 34.5의에너지를갖는광자가금속표면에충돌

하여, 전자와금속의인력을극복할만큼충분한에너지를전달하면전자를떼어낼수있다.

주어진금속표면에서전자를떼어내기위한최소한의에너지를일함수(work function) �

라하며, 이는주어진금속의상수이다. 광자와충돌한전자가가질수있는최대운동에너지는

K최대�hf��이다. K최대는 음수가 될 수 없으므로, 결국 광전효과가 일어나기 위한 빛의 최소

(문턱)진동수는다음과같다.

(34.15)

표 34.1에는 여러 물체의 일함수와 그에 대응하는 문턱진동수, 차단파장이 수록되어 있다. 식

34.14의최대운동에너지와멈춤퍼텐셜사이의관계를이용하면다음과같은멈춤퍼텐셜의진

동수의존성을얻는다.

(34.16)

그림 34.7의 오른쪽 회로에서 광감지기의 광전음극이 무슨 물질인지 모른다고 하자. 파장

250 nm의 빛(자외선)을 사용할 때는 전류를 멈추기 위해 2.86 V의 멈춤퍼텐셜을 걸어야

하고, 400 nm의빛(남보라색)을사용할때는 1.00 V, 630 nm(주황색)인경우에는 0.130 V

의멈춤퍼텐셜을걸어야한다.


최대원소 원소최소 최소최대

아연

알루미늄

베릴륨

카드뮴

칼슘

탄소

세슘

코발트

구리

금

철

납

마그네슘

수은

니켈

니오븀

칼륨

백금

셀레늄

은

나트륨

우라늄

표34.1 흔한원소의일함수와대응하는최소진동수와최대파장

일함수보기문제 34.1

문제

미지물질의일함수는얼마인가?

답

이문제는그래프를이용하여푸는것이가장쉽다. 식 34.16에서멈춤퍼텐셜, 일함수및진

동수는 선형관계이다. 선형관계는 직선으로 그릴 수 있으므로, f�c/�을 이용하여 주어진

파장들을대응하는진동수로전환시킬수있다. 그리고주어진세멈춤퍼텐셜 V0를진동수

의 함수로 xy좌표축에 기입한다(그림 34.8참조). 세 좌표들을 연결하여 그린 직선은 f�0

에서 �2.1 V의값을갖는다. 따라서식 34.16을이용하여일함수를구하면다음과같다.

표 34.1을보면광감지기로사용한미지의금속이세슘이라는것을알수있다. 세슘의일

함수는표에수록된가장작은값이다.

상대론에대한 35장에서입자의운동량과에너지의관계식은 E2�p2c2�m2c4이었다. 이식

에서 광자의 질량은 0이므로 에너지와 운동량의 관계는 E�pc이다. (화살표 없이 사용한 p는

운동량의크기이다. 그러나 p를그냥운동량이라고부르겠다.)따라서식 34.8로부터광자의운

동량은다음과같이표기할수있다.

(34.17)

즉 광자의 운동량과 에너지 둘 다 진동수에 비례하고 해당 전자기복사의 파장에 반비례한다.

광자는 진동수로 기술되지만 입자의 특성을 갖고 있다. 이러한 빛의 파동----입자 이중성(wave-

particle duality)은 개념적으로 이해하기 힘든 것으로, 20세기 전반의 물리학자와 철학자들을

분주하게만들었다.

가시광선에서 단일광자를 검출하려면 여러 현실적인 문제들이 따라온다. 첫째, 앞에서 보

았듯이 각 광자는 1.6~3.3 eV의 좁은 범위의 에너지를 갖는다. SI 단위로 표기하면

2.610�19~5.210�19 J 범위의 매우 적은 양의 에너지이다. 가장 성능이 뛰어난 광전음극도

이 범위의 광자에 대해서는 양자효율이 30%또는 그 이하이다. 다시 말하면, 광전음극에 충돌

하는 광자 중 기껏해야 30%이하만이 전자를 떼어 낼 수 있다는 뜻이다. 둘째, 방출된 하나의

전자는 매우 작은 전하이므로 극히 적은 양의 전류가 흐르게 된다. 전류를 쉽게 측정하

려면방출된광전자로많은수의전자들을생성해야한다. 실제로많은장치들은광전자

증배관으로이작업을수행하고있다.

광전자증배관(photomultiplier tube)은금속표면에 100 eV정도의운동에너지로충돌

하는한전자가여러전자들을떼어낸다는사실을이용한다. 진공유리관안의광전음극

과양극사이에증배전극이라는중간판들이놓여있다(그림 34.9참조).각증배전극은이

웃한증배전극과수백볼트의퍼텐셜차를유지하고있다. 구입가능한광전자증배관에는 n�14

개증배전극이결합되어있으며, 각증배전극은충돌하는전자 1개당평균 �개의전자를생성

할수있다. 여기서 �는최대 3.5의값을가질수있다. 따라서광전자증배관이얻을수있는총

증폭인자는 �n이다. 예컨대 n�14와 ��3.4인 경우에 증폭인자는 3.414�2.8�107이다. 즉 하나

34.3 광전효과 465

그림 34.8 특정 광감지기 물질에서빛의 진동수 함수로 나타낸 멈춤퍼텐셜.

확인문제34.1

보기문제 34.1에서 일함수가 실제로 2.1

eV라고가정하고, 세빛을광전음극에쪼

일때방출되는전자의최대운동에너지를

계산해라.

그림 34.9 광전자 증배관의 개략도.

푸른색 화살표는 하나의 광자, 빨간색화살표는전자를나타낸다.

의광자로광전음극에서튀어나온광전자마다양극에 2800만개의전자들이도달하게만든다.

광자를 검출하는 또 다른 응용은 이 장의 도입부에서 언급한 야간투시장치이다. 그림

34.10은야간투시장치의개략도이다.

야간투시장치는 광전자 증배관과 매우 비슷한 광전음극을 사용한다. 이 경우에는 대물렌

즈로 전체 상이 광전음극에 생기도록 한다. 입사광자는 광전음극에서 전자들을 방출시킨다.

약 1000 V정도의퍼텐셜차로전자들을가속시켜서소형광전자증배관의역할을수행하는수

백만 개의판들이배열되어들어있는 마이크로채널판을통과시키면전자의수가대략 104 정

도증폭된다. 마이크로채널판과형광스크린사이에존재하는약 1000V의두번째퍼텐셜차로

가속시킨전자들이스크린과충돌하여초록색빛을방출한다. 이렇게생성된빛을접안렌즈로

초점을 모아서 그림 34.1과 같은 상을 만든다. 또 다른 종류의 야간투시장치는 따뜻한 물체

에서방출되는적외선을이용하여어둠속에서도물체를볼수있게만든다.

광자를 포착해서 전기신호로 전환시키는 다른 방법들도 존재한다. 그 중 가장 주목할 만

한것으로 CCD와상보형금속산화막반도체(CMOS)가있다. 이들은시중의디지털카메라와

비디오녹화기의근간을이룬다. 그러나 CCD와 CMOS의물리원리를이해하기위해서는먼저

반도체를알아야한다. 원자물리학을다루는 38장에서CCD가어떻게작동하는지논의하겠다.

주변의모든물체는광자를방출한다. 물체에서나온광자는망막에도달하여뇌로보내는

전기신호들을유발시킨다. 이와관련된광자의수를계산하기위해광원을살펴보자.


그림 34.10 야간투시장치는빛이적은상태에서 얻은 물체의 상을 증폭시킨다.

퀴즈문제34.2

주어진광원에서광도는그대로

두고파장만을감소시키면다음

중무엇이옳은가?

a) 광원으로부터초당더많은광

자를얻는다.

b) 광원으로부터초당더적은광

자를얻는다.

c) 초당 방출되는 광자의 수는 같

지만, 광자의에너지가줄어든다.

d) 초당 방출되는 광자의 수는 같

지만, 광자의에너지가늘어난다.

e) 초당방출되는광자의수는같

지만, 광자의속력이줄어든다.

레이저포인터의광자보기문제 34.2

문제

출력 5.00mW의초록색레이저포인터에서매초방출되는광자의수는대략몇개인가?

답

초록색레이저포인터는보통 532nm의파장에서작동한다. (이값이나오는이유를이장

의뒷부분에서배울것이다.) 532 nm의파장에대응하는진동수는다음과같다.

플랑크의가설 E�hf에서, 초록색레이저포인터로부터방출되는광자의에너지는

이다. 레이저포인터의 출력이 5.00mW이므로 초당 5.00 mJ의 에너지를 방출한다. 따라서

매초방출되는광자의수는다음과같다.

다시말해서휴대용레이저포인터는초당 1.3�1016개의광자들을방출한다!

논의

플랑크 상수는 이미 eV s의 단위로 주어졌으므로, 초록색 레이저포인터에서 방출되는 광

자하나의에너지는 eV단위로다음과같다.

이제 원자와 양자 현상을 관찰할 때 eV의 에너지 단위가 얼마나 유용한지 깨닫기 시작할

것이다. 이 역에서일어나는과정들의전형적인에너지크기는 eV이다.

31장에서논의한전자기스펙트럼에서엑스선을가시광선보다약 100~100,000배높은진동수

를갖는전자기파로정의했다. 광자로이루어진전자기스펙트럼을사용하면, 엑스선의광자는

수백~수십만전자볼트의에너지를갖고있다는뜻이다. 엑스선은수천 eV(수 keV)의운동에너

지로가속시킨전자들을금속박판에쪼여서얻을수있다. 박판에서전자들이감속되면서엑스

선이 발생한다. 이러한 엑스선들을 제동복사(Bremsstrahlung,독일어로 감속복사라는 뜻이다)

라고부른다. (원자들이들떠서특정에너지의엑스선들을방출하는경우는 37장에서논의할것

이다.) 고전 전자기이론으로도 가속된 전하로부터 나오는 전자기파에 대해 어느 정도 예측할

수있지만, 이를완벽하게이해하려면 39장에서논의할양자전기역학(quantumelectrodynamics)

이라는이론이필요하다.

지금은 엑스선이 전자와 충돌하면 어떻게 되는지에 대해 알아보도록 하자. 첫째, 빛의 파

동성은무엇을예측할까?만일파동이전자와같은작고정지한물질에부딪치면, 하위헌스원

34.4 콤프턴 산란 467

확인문제34.2

태양에서매초가시광선으로방출되는광

자의 수를 계산해라. 태양으로부터 1억

4800만km 떨어져있는지구에서태양복

사에너지의세기는1370 W/m2이다. 이정

보로태양의총출력을계산할수있다. 또

한그림34.4를분석하면태양복사의광자

중 약 1/4이 가시광선에포함되어있다는

것을알수있다.

34.4 콤프턴산란

리에따라, 물체로부터구형파동이생성되어입사파를산란(또는반사)시킨다. 산란된파동의

진동수와 파장은 입사파와 같다. 그러나 1923년에 미국의 물리학자 아서 홀리 콤프턴은 정지

한 전자에서 산란된 엑스선의 파장이 원래보다 더 길어지는 사실을 발견했다. 긴 파장은 낮은

진동수를의미하므로식 34.8에의하면엑스선광자의에너지와운동량이감소했다는뜻이다.

만약광자가에너지와운동량같은입자의특성을갖는다면, 엑스선과전자의상호작용은

당구공의충돌처럼분석할수있다. 광자는광속으로움직이고엑스선에너지는전자의질량에

비해 무시할 수 없으므로 35장의 상대론적 역학을 적용해야 한다. 즉 7장에서 배운 운동량과

충돌에 대한 공식들을 사용할 수 없다. 그러나 에너지와 운동량 보존법칙을 사용하면 똑같이

원하는결과를얻을수있다.

충돌전엑스선광자의에너지를 E, 충돌후를 E이라고하면충돌전후해당광자의운동

량은 각각 p�E/c와 p�E/c이다. 전자가 정지해 있다고 가정하므로 충돌 전 전자의 운동량은

0이다. 충돌과정에서 전자는 p"e의 운동량을 받는다. 그림 34.11은 전자의 산란과정을 보여 준

다. 충돌전전자의에너지는단지정지에너지mec2뿐이며, 충돌후의에너지는

이다. 충돌시에너지와운동량보존에따라다음을얻는다.

(34.18)

(34.19)

유도과정 34.2에서엑스선의최종파장은다음과같다.

(34.20)

여기서 �는 입사한 광자와 산란된 광자 사이의 각도이다. 이 식은 콤프턴 산란(Compton

scattering) 공식으로, 산란된광자의파장을입사한광자의파장과연결시켜준다.

식 34.20을유도하기위해서는식 34.18을 p"e에대해서, 식 34.19를 Ee에대해서풀어야한

다. 첫번째식에서 p"e�p

"�p"

를얻고양변을제곱하면다음을얻는다.

(i)

식 34.19를재배열하고양변을제곱하면다음과같다.

위 계산의 마지막 좌변에서 상대론적 에너지-운동량 관계식 Ee2�pe

2c2�me2c4을 사용했다

(35.7절참조).또한광자에대한에너지-운동량관계식 E�pc를사용하면다음을얻는다.


그림 34.11 콤프턴 산란에서의 운동량보존.

콤프턴산란유도과정 34.2

양변에서me2c4을빼고공통인수 c2으로나누면다음을얻는다.

(ii)

식 (i)과 (ii)는좌변이같으므로, 우변역시같아서

이고, (p�p)2�p2�p2�2pp을이용하여다음을얻는다.

이제광자운동량과파장 p�h/� 사이의관계식 34.17을이용하면다음을얻는다.

이결과가바로식 34.20이다.

상수 h/mec는식 34.20에서볼수있듯이길이의차원이다. 이상수를전자의콤프턴파장

(Comptonwavelength)이라고하며그값은다음과같다.

(34.21)

진동수 3.3530�1019 Hz의 엑스선이 금속 박판을 때릴 때, 엑스선의 입사방향에서 32.300�

각도로산란된광자들이검출되었다.

문제1

입사한광자와산란된광자의에너지(eV단위)는각각얼마인가?

답1

우선 입사하는 광자를 살펴보자. E�hf을 이용하면 광자의 진동수를 에너지로 전환할 수

있다. eV 단위로 에너지를 구하기 위해 플랑크 상수 또한 eV s의 단위로 표기하면 다음을

얻는다.

산란된광자의에너지는콤프턴산란공식 34.20으로구할수있다(그림 34.11참조).이식

에필요한입사광자의파장은다음과같다.

34.4 콤프턴 산란 469

확인문제34.3

금속안에있는전자들은정확하게말하면

정지해있는것이아니라몇 eV의운동에

너지를 갖고 있다. 콤프턴 산란공식을 유

도할때왜전자가정지해있다고가정해

도무방한가?

콤프턴산란보기문제 34.3

식 34.21의콤프턴파장을이용하면전자에의해산란된광자의파장은

이고, 에너지로전환하면최종적으로다음을얻는다.

문제2

충돌 후 전자의 운동에너지는 얼마인가?전자 운동량의 크기는 얼마인가?광자는 x축 양

의 방향을 따라 입사하고, xy평면에서 산란된다고 가정하고, 운동량의 단위인 keV/c를 사

용해라.

답2

광자와전자의산란에서에너지는보존된다. (에너지보존은콤프턴산란공식의유도에서

근거가 되는 원리이므로 당연하다.) 따라서 전자가 얻는 운동에너지는 다음과 같이 광자

가잃는운동에너지와같다.

전자의총에너지는운동에너지와정지에너지mec2의합으로다음과같다.

위식을전자의운동량벡터의절댓값에대해풀면다음을얻는다.

다른풀이

전자의운동량은다음의운동량보존법칙으로도구할수있다.

충돌전후광자의에너지를계산했으므로,초기및최종운동량은 keV/c단위로다음과같다.

광자가 x축을 따라 입사한다고 가정하므로 다음과 같이 광자의 초기운동량 p"는 x성분만

있다.


광자의산란각은문제에서 32.300�이므로최종운동량의직각좌표들은다음과같다.

따라서전자운동량의성분으로다음을얻는다.

이제성분의제곱들을합한값에다제곱근을취하면전자운동량의절댓값은다음과같다.

이는위에서구한결과들과같으며, 두풀이방법이서로모순이없음을알수있다.

지금까지광자는다른모든전자기파와빛의양자입자라는사실을확립했다. 그렇지만여태까

지 빛의 파동성에 대해 말했던 모든 것들도 여전히 사실이다. 예를 들어 전형적인 파동현상인

간섭과회절을보여줄수있다. 빛이양자입자라해서빛의파동성이무의미하지않듯이, 일반

적인파동의특별한극한에서빛을광선으로기술할수있다.

빛의 양자성과 전자기파의 입자성이 성립한다면, 보통은 입자로 생각하던 전자나 원자들

도 파동의 특성을 갖지 않을까?당시 프랑스 대학원생이었던 루이 드브로이가 1923년에 제기

한 질문이다. 겨우 두 쪽에 불과한 그의 박사학위 논문에 포함된 이 가설로 그는 1929년 노벨

물리학상을받았다.

만약입자들이파동성을가지고있다면그들의파장은무엇일까?빛에서광자의운동량은

p�h/�이다(식 34.17 참조). 따라서 드브로이는 입자에 대해서도 같은 식을 적용하여 물질파

(matterwaves)의파장을다음과같이제안했다.

(34.22)

드브로이 파장(de Broglie wavelength)으로 부르는 이 파장은 입자의 질량 m과 속력 v에 의존

한다. 식 34.22는운동량으로상대론적결과인 p�mv를사용했지만, 여러교과서들에서는흔

히다음의비상대론적어림을사용한다.

(비상대론적어림). (34.23)

그림 34.12의 전자에 대해서 알 수 있는 것처럼, 비상대론적 어림은 광속의 약 40%까지만 식

34.22의정확한결과와같다.

그림 34.12에서 볼 수 있듯이, 광속의 10%로 움직이는 전자인 경우에도 드브로이 파장은

나노미터의 1/10 정도이다. 거시물체에 대한 전형적인 드브로이 파장은 무엇일까? 보기문제

34.4에서답을알수있다.

34.5 물질파 471

확인문제34.4

콤프턴효과를관측하기위해서왜엑스선

을 사용하는가? 가시광선으로는 콤프턴

효과를관측할수없는이유를설명할수

있는가?

그림34.12 속도의함수로나타낸전자의 드브로이 파장. 빨간색: 정확한 결과, 회색:비상대론적어림.

퀴즈문제34.3

다음중무엇이옳은가?

a) 크고빠른물체들은작고느린

물체들에비해드브로이파장이

크다.

b) 작고빠른물체들은크고느린


크다.

c) 크고느린물체들은작고빠른


크다.

d) 작고느린물체들은크고빠른


크다.

34.5 물질파

빗방울의지름은약 0.50mm에서 5.0mm까지로그크기가광범위하다. 이범위의하한에

서빗방울은 2m/s의속도로낙하하며, 상한에서는 9m/s의속도로낙하한다.

문제

빗방울에대한드브로이파장의범위는무엇인가?

답

빗방울의질량과지름은다음식으로연관되어있다.

여기서 는 도, r은 반지름, d는 지름이다. 물의 도가 �1000 kg/m3이므로, 지름

d�0.50mm인물방울의질량은 6.510�8 kg이고, d�5.0mm이면 6.510�5 kg이다.

이 문제에서 고려하고 있는 극히 작은 속도에 대해서는 드브로이 파장으로 비상대론

적어림인 ��h/mv를사용해도무방하다. 따라서가장작은빗방울의드브로이파장은

이고, 가장큰빗방울의드브로이파장은 ��110�30 m이다.

논의

가장 작고 느린 빗방울들도 원자의 지름인 약 10�10 m보다 훨씬 적은 자릿수의 드브로이

파장을 갖는다. 따라서 거시물체에 대한 물질파 효과는 사실상 모두 무시해도 좋다. 맨눈

으로볼수있을정도로크고움직임을식별할수있을정도로느리게움직이는물체의드

브로이파장은너무작아서양자역학적파동현상을관찰할가능성은전혀없기때문이다.

콤프턴산란에서살펴보았듯이, 운동에너지-운동량의관계식은다음과같다.

따라서드브로이파장은입자의운동에너지의함수로다음과같이표기할수있다.

지금까지는 드브로이의 가정을 토대로 물질파의 이론적인 가능성만을 논의했다. 과연 실험적

인 증거가 있을까?증거를 조사하기 전에 파동광학을 다루는 34장으로 되돌아가서 무엇이 파

동을파동답게만드는가를복습하면도움이될것이다.

입자의이중슬릿실험

물질파의 존재를 실험적으로 증명하려면, 보통 입자라고 생각하는 질량을 갖는 전자, 중성자,


빗방울의드브로이파장보기문제 34.4

확인문제34.5

전자의드브로이파장장을1 eV와1000 eV 사

이에서운동에너지의함수로그려라. 비상

대론적어림식 p�'∂2∂∂mßK를사용하면이

에너지의범위에서뚜렷한차이가있는가?

양성자, 또는원자같은물체가파동처럼거동한다는사실을보여주어야한다. 34장에서파동

의대표적인두현상이회절과간섭이라는것을배웠다. 어떤종류의실험이물질의회절과간

섭현상을보여줄수있을까?

은간격이 d인두슬릿사이로빛을비추어빛의파동성을보일수있었다. 이방식으로

형성된간섭무늬를그림 34.13에서볼수있다.

이중슬릿 실험에서는 슬릿으로부터 거리 L인 스크린에 밝은 간섭무늬들이 나타난다. 두

슬릿의 중심에서 밝은 무늬까지 그은 선이 스크린의 수직방향과 이루는 각도가 작으면, 한 무

늬에서이웃무늬까지의거리는다음과같이주어진다.

(34.24)

그러나 34장에서 극대무늬에 대한 위 식을 유도할 때는 개별 슬릿의 너비가 빛의 파장과

같은크기정도라는조건이필요했다. 보통의빠르기로움직이는전자인경우에드브로이파장

이 1나노미터의 1/10이나그이하이므로가시광선의파장보다세자릿수이상낮다. 따라서전

자의 이중슬릿 실험을 위해서는 슬릿간격 d와 슬릿너비 a가 충분히 작아야 하는데 상당한 기

술적인 어려움이 있다. 또한 양성자와 중성자같이 더 무거운 입자를 사용하고 싶다면 기술적

난관은한층더심각해진다. 드브로이파장이입자의질량에반비례하기때문이다.

이러한 이유로 전자의 파동성을 증명하기 위한 이중슬릿 실험은 드브로이의 혁명적 이론

이제시된뒤에도즉시실행되지못했다. 1927년뉴저지의벨연구소에근무하던미국의물리학

자 클린턴 데이비슨과 레스터 저머가 수행한 실험으로 비로소 물질파가 실질적으로 존재한다

는증거를얻게되었다. 데이비슨과저머는이전부터실험했던결정에대한엑스선의브래그산

란 연구를 계속하여 니켈 결정에 전자빔을 산란시켜서 엑스선과 비슷한 간섭무늬를 관찰하는

데성공했다. 오늘날에는결정에중성자빔을산란시키는것도가능하다. 미국의물리학자클리

퍼드슐과캐나다의물리학자버트럼브록하우스는이같은기술을개발한공로로 1994년노벨

물리학상을받았다. 엑스선, 전자, 중성자모두물질파의증거인브래그산란무늬를보여준다.

1960년대 초반에서야 전자의 이중슬릿 산란실험을 수행하기 위한 정 한 기술이 개발되

었다. 따라서실험에서어떤일이일어날것인가를예측하고실험결과와비교하는것이가능하

게 되었다. 그림 34.14는 실험장치의 개략도를 보여 준다. 판에서 방출된 전자는(이를 위해서

판을 가열시키는 가열기는 그림에 표시하지 않았다)전압 V로 가속되어 (중앙의)이중슬릿을

통과해서위의스크린으로향한다.

만약전자가입자처럼행동한다면, 전자총으로부터방출된전자는슬릿들중하나를통과

해서스크린으로도달할때까지일직선으로움직일것이다. 그렇다면스크린에두슬릿의 상

인 두 개의 선이 나타날 것이라고 예상할 수 있다. 물론 각 슬릿을 통과하는 전자들이 슬릿을

통과할 때 약간 휘어질 수도 있기 때문에 스크린에 생기는 전자의 분포는 약간 퍼질 수 있을

것이다. 또한 두 슬릿의 분리거리 d가 매우 작기 때문에, 두 슬릿을 통과하는 전자들의 분포는

스크린에서겹쳐질것이다. 이러한고전적입자성예측에따르면스크린의특정부분에부딪치

는 전자수의 분포는 그림 34.15a와 같다. 왼쪽 슬릿을 통과하는 전자들의 분포는 푸른색, 오른

쪽슬릿을통과하는전자들의분포는빨간색으로표시되어있다. 초록색은두분포의합으로서

입자성예측에따라얻게될전체세기분포이다.

34.5 물질파 473

그림34.13 빛의이중슬릿실험.

그림 34.15 전자의 이중슬릿 실험에서스크린에형성되는세기분포(단위길이당 스크린에 부딪치는 전자의 수).

(a)고전적 입자성 예측을 따르는 경우.

(b)전자들이파동성을갖는경우.

그림 34.14 전자의 이중슬릿 실험의개략도.

반면에전자들이파동성을지닌다면, 파동광학을다룬 34장의빛에대한이중실험의결과

처럼, 전체 세기분포는 회절과 간섭의 효과가 결합되어 나타날 것이다. 이 경우(34.9절과 비교

해보아라),세기는스크린의 x좌표에대한함수로다음과같다.

(34.25)

여기서 d는 두 슬릿의 분리거리, a는 슬릿너비, L은 이중슬릿과 스크린 사이의 거리이다. 이들

은 빛에 대한 의 간섭실험과 똑같지만, �는 전자의 드브로이 파장이다(식 34.22참조). 그림

34.15b는식 34.25의함수 I(x)를나타낸그래프이다.

그림 34.16은 스크린에 부딪치는 전자들의 무늬(노란 점)가 식 34.25의 세기분포로 어떻

게표현되는지보여준다. 식에서 ��12.2 pm, d�3.0 nm, a�1.0 nm, L�1.0m로계산했다. 아

랫부분의 푸른색 막대그림은 스크린에서 x좌표의 작은 구간에 부딪친 전자의 수를 나타낸 것

이다. 푸른색막대그림에덧그린빨간색곡선은식 34.25의세기분포를나타낸다.

실제실험결과는무엇일까?슬릿을통과하여스크린에직접부딪치도록전자를발사할수

있기때문에,스크린에생기는무늬를시간의함수로관측할수있다.그림 34.17은 1976년에P.G.

메를리등이수행한이중슬릿실험의결과이다. 그림에서오른쪽하단으로갈수록간섭무늬가

선명하게드러난다. 이실험은전자들이파동처럼간섭한다는사실을분명하게실증한것이다.

뿐만 아니라 각 전자는 스크린의 특정 국소 역에 부딪쳐서 흔적을 남기므로, 각 전자가

전체세기분포에비례하여스크린전체에분포된다는것은사실이아니다.

광자도입자성을지니기때문에, 이중슬릿을통과하는광자들은그림 34.17처럼알갱이의

분포형태를띨것으로기대할수있다. 실제로한번에광자하나를통과시키는이중슬릿실험

에서그림 34.17의전자무늬와비슷한광자무늬를얻을수있다.

그렇다면 무엇이 개별 전자들의 행로를 결정할까?이것이 양자물리학의 핵심적인 질문이

다. 질문의답을이해하면원자의양자세계에서무엇이핵심인가를알수있다.

간섭무늬를만들때반드시두슬릿이필요할까?달리말하면전자가어떻게든동시에두

슬릿을통과할수있을까?만약한쪽슬릿이닫혀있다면, 스크린의간섭무늬는사라지고오직

하나의최댓값, 즉슬릿의 상만이형성될것이다. 그리고어느슬릿이닫혀있느냐에따라그

림 34.15a의빨간색이나푸른색곡선중하나에대응할것이다.

한쪽슬릿을닫지않고서도전자가어느슬릿을통과했는지어떻게관측할수있을까?전

하를 가진 전자가 슬릿을 통과할 때 전류를 생성한다는 사실을 이용하면 가능하다. 아마도 전

자가슬릿을통과할때이전류를측정할수있을것이다.


그림 34.16 스크린에 부딪친 전자들(윗부분의 노란 점들)과 전자수의 막대그림(아랫부분의 푸른색)을 예측한 세기분포(빨간색곡선)의비교.

그림 34.17 전자의 이중슬릿 실험에서시간에따라형성되는간섭무늬.

퀴즈문제34.4

전자가어느슬릿을통과하느냐를측정하는실험의결과를예측해보자. 만약슬릿을통과하는전자

를나타내는전류를측정한다면다음중무슨결과를얻게되는가?

a) 정확히전자의반이두슬릿을각각통과한다.

b) 각전자는하나의슬릿만통과한다. 왼쪽슬릿을통과하는전자는간섭무늬의왼쪽부분을, 오른쪽

슬릿을통과하는전자는오른쪽부분을만든다.

c) 각전자는하나의슬릿만통과한다. 왼쪽슬릿을통과하는전자는간섭무늬의오른쪽부분을, 오른

쪽슬릿을통과하는전자는왼쪽부분을만든다.

d) 각전자는하나의슬릿만통과하지만, 어느전자가어느슬릿을통과하느냐를측정할때스크린의

간섭무늬가사라져서스크린의중앙극대만관측할수있다.

전자를특정슬릿에관련시키려고시도하면간섭무늬가사라진다는사실을알았다. 보통은

입자라고생각하던물체나전자의파동성을탐구하면이결과를받아들이기가더쉬울것이다.

위치, 운동량, 에너지, 시간과같은물리량들을얼마나정 하게측정할수있을까?또한동시에

측정하면 어떻게 될까?이런 질문은 적절한 기구만 있으면 모든 역학적 물리량을 임의로 정

하게측정할수있다는고전역학에서는전혀생각할수없는것들이다.

그러나입자가파동처럼(드브로이물질파),파동이입자처럼(광자)거동하는원자속양자

역에서는이질문에대한답이그리간단하지않다. 예컨대파동의정확한위치를어떻게알

수 있을까?아마도 더 중요하게는, 양자물체의 물리특성을 측정하는 과정이 측정의 결과는 물

론미래의측정에도 향을미치지않을까?예를들어물체의위치를측정할때, 보통물체로부

터방출된광파를기록한다. 그러나이장에서배웠듯이방출된광파또한운동량을지니고있

다. 따라서 입자의 위치와 운동량을 측정하는 과정이 임의로 정 하게 동시에 이루어질 수 없

음을예상할수있다.

입자의측정에서위치의불확정도를 �x, 운동량의불확정도를 �px라하자. 통계에서는일

련의독립적인측정결과는평균값더하기/빼기표준편차로제시한다. 표준편차는측정분포의

너비를 나타내는 값이다. 실험실에서 수행한 물리적 측정의 결과 또한 평균값 더하기/빼기 측

정의불확정도로표기해야한다. 이러한불확정도는통계적또는체계적인근원을갖고있지만

지금은그차이를구별하지않겠다.

양자물리가 천명하는 놀라운 사실은 물체의 운동량과 위치를 동시에 임의로 정 하게 측

정할수없다는것이다. 물체의운동량을보다정 하게측정할수록, 위치에대한정보가덜정

해지며 그 역도 마찬가지다. 이러한 물리적 진술인 하이젠베르크불확정성관계(Heisenberg

uncertainty relation)를수학적으로표기하면다음과같다.

(34.26)

1927년에 독일의 물리학자 베르너 하이젠베르크가 제안한 불확정성 관계는 측정과정의 이해

는 물론 물리 세상에 대한 우리의 인식에도 혁명적인 변화를 가져왔다. 37장에서 불확정성 관

계를계산하는방법을다룰것이다. 지금은하이젠베르크가그의논문에서제시했던방법으로

불확정성관계를파악하는것이더중요하다. 감마선현미경을사용하여유도해보자.

만약현미경으로뭔가를보고싶다면, 물체에쪼여서반사된빛을현미경의렌즈로잡아내

야 한다. 현미경으로 분해할 수 있는 물체의 최소 크기 �x는 회절로 인해 다음과 같이 제

한된다(34장참조).

(i)

34.6 불확정성 관계 475

감마선현미경과불확정성관계유도과정 34.3

34.6 불확정성관계

여기서 �는 빛의 파장이고, �는 열린 각도, d는 현미경 렌즈구경의 크기이다(그림 34.18

참조).한편 �은 물체와 렌즈 사이의 거리로 렌즈구경보다 훨씬 크다고 가정한다. 즉 2 sin

� � d/�이다. 작은크기를분해하려면단파장의빛, 즉감마선을사용해야한다. 감마선광

자의운동량이 p�h/�이기때문이다(식 34.17참조).

물체(전자)를 감마선(종이면으로 들어가는 빔을 나타내는 노란색 원)으로 비추면, 물

체로부터 튕겨 나온 광자들이 콤프턴 산란에 의해 렌즈 쪽으로 편향된다. 한 극단적인 경

우에, 전자에서 튕겨진광자가 렌즈의 오른쪽 가장자리로편향될 수 있다. 이 광자의운동

량은 그림에서처럼 p"

1이다. 광자 운동량의 x성분은 p1,x�p1 sin ��h sin �/�이고, 되튀

긴 전자는 반대방향인 왼쪽으로 향하는 운동량의 x성분 pe1,x를 갖는다. 다른 극단적인 경

우에, 광자는 전자와 충돌한 후 운동량 p"

2로 현미경의 왼쪽 가장자리로 산란하고, 전자는

전과같은크기지만반대방향(오른쪽)으로되튀기게된다.

이때 현미경으로 들어오는 광자를 검출할 수 있지만, 구경 d의 어디를 통과했는지는

알수없다. 즉전자가받은되튐정도가미정이라는뜻이다. 따라서전자의운동량은다음

과같은불확정도를갖는다.

(ii)

이를식 (i)과결합하면다음을얻는다.

결국전자의위치에대한최소불확정도와전자의운동량에대한불확정도의곱은플랑크

상수 h라는것을알수있다.

논의

위의 논의가 대충대충인 것처럼 느낄 수 있다. 실제로 어느 정도 그렇다. 최종결과가 식

34.26의 최솟값보다 4�배나 크기 때문이다. 그러나 정확한 수치는 감마선 현미경 보기문

제의 핵심이 아니다. 그보다는 동시에 측정할 때 위치와 운동량의 불확정도 사이에 특정

한계가있다는것이더중요하다. 이는그자체로도놀라운양자물리의결과이다.

하이젠베르크는 물체의 에너지 측정의 불확정도 �E와 시간 측정의 불확정도 �t에 대한

또하나의불확정성관계를언급했다. 식 34.26의위치-운동량불확정성관계와비슷하며다음

과같이표기한다.

(34.27)

위치-운동량 불확정성 관계에서 비상대론적 자유입자에 대한 시간-에너지 관계를 유도하

는 것은 간단한 일이다. 자유입자의 에너지는 모두 운동에너지뿐이므로 에너지의 불확정

도는


그림 34.18 감마선 현미경과 광자-

전자상호작용의운동량사이의기하학적구조.

에너지-시간불확정성유도과정 34.4

이고, 시간의불확정도는다음과같다.

위의두결과를곱하면다음을얻는다.

마지막단계에서는식 34.26을사용했다.

에너지-시간불확정성관계는어떤시간간격에서특정한양의에너지때문에고전적에너

지보존이위반될수있다고암시한다. 양자상태가뚜렷한에너지값을가지지않기때문이다.

그러나에너지보존에서‘위배’하는정도가클수록‘위배’하는시간간격은더짧아진다.

이들 불확정성 관계가 일상의 경험과 충돌할까?다시 말해서 불확정성 관계로 생기는 근

본적인제한이얼마나중요할까?다음의보기문제로알아보자.

문제

독일아우토반의어떤구간에서는사실상제한속력이있다. 때때로독일경찰들은이들구

간에서 속력위반을 단속한다. 경찰은 속력위반의 증거로 자동차의 속력을 측정하는 동시

에 운전사의 사진도 찍는다. 독일의 물리학과 학생이 자신과 자동차(BMW 318Ci,운전사

와 기름을 포함한 총질량 1462 kg)의 사진과 함께, 제한속력 100 km/h의 구간에서 132

km/h로 달렸다는 통보를 받았다. 학생은 경찰이 찍은 사진이 매우 뚜렷하다는 것을 알아

채고자신의위치를 1mm의불확정도로고정시킨다. 학생은위치가정 하므로불확정성

관계에 따라 속력을 정 하게 측정하는 것은 불가능하다고 주장하면서, 속력위반 티켓을

받을수없거나최소한 30 km/h이상의과속부분(운전면허를정지시키는조건)은부당하

다고한다. 과연이전략이성공할수있는가?

답

만약에판사가물리학에대한지식을갖고있다면학생은성공하지못할것이다. 자동차의

질량을 정확하게 알고 있으면, 속력에 대한 불확정도는 운동량의 불확정도로부터 다음과

같다.

불확정성관계에서운동량의불확정도는�p� �/�x이고,속도의불확정도는다음과같다.12

34.6 불확정성 관계 477

속도위반티켓에서벗어나기위한수단보기문제 34.5

퀴즈문제34.5

보기문제 34.5에서다른모든변수

가일정하고자동차의질량만 2배

가된다면, 속도의불확정도는어

떻게되는가?

a) 보기문제답과같다.

b) 보기문제답의 1/2이다.

c) 보기문제답의 1/4이다.

d) 보기문제답의 2배이다.

e) 보기문제답의 4배이다.

식 34.7의상수 ��1.0545710�34 J s,문제에주어진 �x�10�3 m, m�1462 kg에서

을 얻는다. 결국 불확정성 관계에 의한 속력 불확정도의 최솟값은 1035분의 일로 너무나

작기때문에자신을방어하기위해사용될수없다.

불확정성 관계는 아마도 이 장에서 논의한 가장 중요한 결과이고 그 향은 지대할 것이

다. 불확정성 관계는 얼마나 정 하게 측정할 수 있는가, 즉 세상을 얼마나 정 하게 알 수 있

는가에 근원적인 제한을 둔다. 거시물체에 대해서는 불확정성 관계에 의한 효과는 거의 모든

응용에서무시해도전혀상관이없다. 하지만이는요점이아니다. 요점은운동량과위치, 에너

지와시간과같은한짝의변수들에대한측정의정 도에넘을수없는한계가존재한다는것

이다. 감마선현미경에서위치를측정하려는시도가측정대상인물체에어떻게든되튐을전달

해 준다. 양자세계에서는 보통 파동으로 생각하던 것들이 입자성을 갖고, 보통은 입자로 생각

하던 것들이 파동성을 갖는다. 불확정성 관계는 파동-입자 이중성에서 비롯된 것이다. 양자역

학을이용하여물성을계산하는방법을다루는 37장에서이에대해자세히논의하겠다.

슈테른-게를라흐실험

1920년에 독일의 물리학자 오토 슈테른과 발터 게를라흐는 양자물리 역사

상 향력이 큰 실험중 하나를 수행했다. 그들은 원자의 고전적 묘사와 양

자적 묘사를 실험적으로 구별하려고 했다. 그림 34.19는 슈테른-게를라흐

실험의 개략도이다. 오븐에서 생성된 은 원자들(전기적으로 중성)은 오븐

구멍으로 빠져나가서‘은 원자빔’형태로 직진한다(그림의 초록색 선). 은

원자빔은 특이한 자석으로 형성된 불균일한 자기장으로 들어가서 스크린

까지진행한다.

28.5절에서원자의자기모멘트는다음과같이주어진다.

여기서 L"은 각운동량이다. 28.5절에서 자기모멘트는 원형 궤도를 도는 전하에 인한 현상이며,

각운동량은 궤도운동 때문에 생긴다고 배웠다. 한편 27.6절에서는 자기장 안에 있는 자기쌍극

자의퍼텐셜에너지를U��u"

�B"로얻었으며, 힘은퍼텐셜에너지기울기의음수이었다. 따라서

z좌표만의함수인자기장에서힘은다음과같다.


확인문제34.6

보기문제 34.5에서, 속력의 불확정도가

2.00 km/h보다커야만면허정지가가능하

다는주장장이타당성을가지려면자동차의

위치를얼마나정 하게고정시켜야되는

가?

그림 34.19 슈테른-게를라흐 실험의개략도.

34.7 스핀

슈테른과 게를라흐는 궤도각운동량의 양자화 여부를 판별하려고 했다. 자기모멘트를 가진 원

자들을불균일한자기장으로통과시키면장의기울기 B/ z와원자의자기모멘트 z성분 �z의

상호작용에의해빔이굴절된다. 고전적으로는자기모멘트의 z성분은 �|�"|과 �|�

"|사이의모

든값을가질수있으므로, 가능한모든굴절에해당하는선들이스크린에나타난다. 그러나양

자화된 각운동량의 z성분은 오직 띄엄띄엄한 값들만이 가능하므로, 그림 34.19처럼 스크린에

서공간적으로분리된띄엄띄엄한점들만이나타날것이다.

은 원자의 궤도각운동량은 바닥상태에서 0이다(원자와 궤도각운동량을 계산하는 38장에

서증명하겠다).따라서궤도각운동량에의한은원자빔의분리만을측정했다면, 이실험은실

패했을 것이다. 그러나 원자의 총각운동량은 궤도각운동량뿐만이아니라 스핀(spin)이라고 부

르는 고유 각운동량이 있다. 원자 속의 모든 기본입자가 가지는 스핀은 고전적으로 동등한 개

념이없다.

기본입자의스핀과파울리의배타원리

모든 기본입자는 특징적인 고유 각운동량, 즉 스핀을 갖고 있다. 기본입자에는 근본적으로 다

른두개의집단이존재한다. 정수의스핀값(플랑크상수 �의배수)을갖는집단과반정수값

을가지는집단이다. 스핀이 0인경우는정수스핀으로취급한다.

반정수 스핀의 기본입자들은 이탈리아계 미국의 물리학자 엔리코 페르미를 기념하여 페

르미온(fermions)이라고부른다. 페르미온은전자, 양성자, 중성자, 즉주변의모든물체를이루

는기본입자들을포함한다. 스핀 �의페르미온은관습적으로 z축에투 된스핀을상징하는

� �와 � �의 상이한 두 스핀상태로 나타난다. 다음의 장들에서 다른 양자수들을 다루겠지

만, 지금은 스핀 �의 입자들이 스핀 위와 스핀 아래라고 부르는 두 스핀상태로만 존재한다는

것을알면충분하다.

정수 스핀의 기본입자들은 인도의 물리학자 사티엔드라 나스 보스를 기념하여 보손

(bosons)이라고부른다. 이장의앞에서빛의양자로도입한광자는보손이며, 스핀 1�이다.

기본입자와핵물리에관한 39장과 40장에서스핀을다시다루면서반정수와정수스핀을

갖는 기본입자들을 조사하고 보다 일반적인 원리를 배울 것이다. 지금은 근본적으로 다른, 보

손과페르미온이라는두부류의입자들이있다는것으로개념을정리해두자.

페르미온에서 가장 중요한 규칙은 파울리의 배타원리(Pauli exclusion principle)이다. 어떤

두 페르미온도 같은 시간과 같은 장소에서 동일한 양자상태를 점유할 수 없다는 규칙이다. 주

어진 원자에서, 어떤 두 페르미온(전자)도 정확히 동일한 양자수를 가질 수 없다. 에너지가 양

자화되어있기때문에, 주어진계내에서각에너지의양자상태는최대한두페르미온(스핀위

와 스핀 아래)만이 점유할 수 있다. 이 책의 나머지 장들에서 파울리 배타원리의 결과를 계속

해서이용할것이다. 37장에서파동함수를소개하고페르미온과보손에서두입자파동함수의

대칭성이근본적으로다르다는사실을배울것이다. 38장에서는다중전자원자의구축에서파

울리 배타원리가 미치는 향을 탐구할 것이다. 39장과 40장에서는 파울리 배타원리에 따라

핵내부의‘페르미-에너지’생성에대해서배울것이다.

12

12

12

12

34.7 스핀 479

19장에서는 동일한 고전입자에 대한 확률 분포함수를 도입했다. 이들 동일입자의 분포함수를

다음과같은맥스웰-볼츠만분포라고부른다.

여기서 E는 에너지, T는 온도, kB는 볼츠만 상수다. (맥스웰-볼츠만 분포를 유도할 때 기체 내

분자들의운동에너지분포만을살펴보았지만, 이함수는고전입자의모든에너지분포에대해

서도 성립한다.) 이 유도과정에서는 모든 양자효과를 무시했다. 이제 양자효과가 어떻게 분포

를변화시키는지조사해보자.

맥스웰-볼츠만의 결과는 띄엄띄엄한 에너지상태인 Ei에 있는 입자들에 대해서는 다른 방

식으로 다시 표기해야 한다. 계 내에 있는 입자의 총수를 N, 에너지 Ei인 입자의 수를 Ni라 하

면, 에너지상태 Ei에서기대되는입자의비율 ni�Ni/N은다음과같다.

(34.28)

여기서 gi는 에너지상태 Ei의 겹침수로서 에너지가 Ei인 서로 다른 에너지상태의 개수를 뜻한

다. �는 화학퍼텐셜이라고불리며에너지와단위가같다. 화학퍼텐셜은계의다른특성들이일

정하게유지되면서입자하나가더해졌을때계의에너지가변하는정도를나타낸다. 또한 Z는

분배함수(partition function)로불리며다음과같이정의한다.

(34.29)

분배함수는계의열역학적인특성을담고있으며, 분배함수의적절한미분으로계의열역학적

특성, 즉열역학적물리량들을계산할수있다.

맥스웰-볼츠만분포의유도과정에서앙상블내의모든입자는고전입자라고가정했다. 고

전적이라는 말은 모든 입자를 서로 구별할 수 있다는 뜻이다. 그러나 양자입자들은 구별이 불

가능하다. (예를 들어 한 양성자를 다른 양성자와 구별할 수 없다.)따라서 분포함수는 적절하

게수정되어야한다.

어떻게수정할것인지알아보기위해, 두입자를서로다른두상태에분포시키는가장간

단한 경우를 살펴보자. 각 상태를 a와 b라고 하자(그림 34.20참조).먼저 1과 2로 표시한 서로

구별가능한입자들을생각해보자.이들의분포가고전맥스웰----볼츠만분포(Maxwell-Boltzmann

distribution)이다. 이경우에계는 4가지로배열될수있다. 두입자모두가상태 a에있거나, 입

자 1은상태 a에입자 2는상태 b, 또는입자 1은상태 b에입자 2는상태 a, 그리고두입자모

두상태 b에있을수있다. 결국구별가능한두입자계에는 4가지다른상태(배열)들이존재한

다. 다음에는서로구별할수없는양자입자, 즉스핀이 0인두보손을생각해보자. 이들의분포

를보스----아인슈타인분포(Bose-Einstein distribution)라고부른다. 이경우에는두입자모두구

별가능한입자처럼둘다상태 a나 b에있을수있다. 하지만두입자가각각상태 a와상태 b

에 있으면, 두 입자를 구별할 수 없기 때문에 어느 것이 어느 상태에 있는지는 무의미하다. 따

라서구별가능한고전입자의경우와는달리구별불가능한보손인경우에는두입자계의배


34.8 스핀과통계

열로는단지 3가지만가능하다. 마지막으로가장간단한경우는동일한두스핀- 의페르미온

이다(예컨대스핀위의두전자).이들의분포를페르미----디랙분포(Fermi-Diracdistribution)라고

부른다. 파울리 배타원리는 동일한 두 페르미온이 같은 양자상태를 점유할 수 없다고 규정한

다. (그림 34.20의맨아래칸에서빨간원과사선으로표시한금지상태에서두페르미온은같

은상태에있다.)따라서동일한페르미온으로이루어진두입자계는각각의페르미온이양자

상태 a와 b를점유하는한가지배열만가능하다.

이제 좀 더 복잡한 1차원 모델로 6개의 에너지 양자를 5개의 입자들에 분배하는 에너지

분포를 조사해 보자. 구별 가능한 고전입자에서는, 6개의 에너지 양자를 한 입자가 차지하고

나머지 4개의 입자가 각각 0의 에너지를 가질 수 있다. 이 방식은 6�6�0�0�0�0로 표기할

수 있다. 구별 가능한 입자이므로 5개 입자들 중 어느 것이 6개 에너지 양자를 가지는지 따져

보면 5가지방식이가능하다. 또다른방법으로에너지양자를 6�5�1�0�0�0로분배할수

있다. 이때 5개 입자 모두 5개의 양자를 가질 수 있으며, 나머지 4개 입자들이 나머지 양자 하

나를가질수있다. 따라서이러한에너지분배로 gi�5�4�20가지다른방식이가능하다. 그림

34.21은 6개에너지양자를 5개입자로분배할수있는가능한모든경우를보여준다. 각배열

위의푸른색숫자들은아래의배열을만들수있는가능한모든경우의수를나타낸다. 6개에

너지양자를 5개입자로분배할수있는경우의총수는각숫자들의합이며, 이는 210이다.

12

34.8 스핀과 통계 481

그림 34.20 두 입자를 서로 다른 두상태로분포시킨모습.

그림34.21 5개의구별가능한입자들이 6개의에너지양자를가질수있는모든분배의모습.

이제각에너지상태의점유확률을계산해보자. 점유확률은각에

너지상태로 가능한 경우의 수에 각 상태를 점유한 입자 수를 곱하여

모두더한결과를분배의총수로나눈것이다.

그 결과가 그림 34.22의 푸른색 네모로 표시되어 있다. 예를 들어

4개의에너지양자를가진입자의확률을알아보자. E�4인상태를점

유한 분배는 그림 34.21의 세 번째와 다섯 번째뿐이며, 하나의 입자만

이 E�4상태를점유하고있다. 세번째분배는 20개의경우, 다섯번째

분배는 30개의 경우가 있다. 따라서 E�4 상태의 점유확률은

f(4)�(1�20�1�30)/210�0.238이며, 분배의 총수는 210이다. 다른 에

너지값들에대한점유확률도같은방법으로구할수있다.

그림 34.22의 푸른색 곡선은 식 26.28의 지수함수를 나타낸다. 이렇게 작은 숫자의 입자

계와 에너지상태에서도 해석적인 해인 지수함수(볼츠만 분포)와 대체로 잘 맞는다는 것은 실

로 대단한 일이다. 식 34.28의 온도 T와 화학퍼텐셜 �는 모든 점유수의 합이 입자의 수(이 경

우 5)와 같아야 한다는 조건( Ni�N)과 점유수와 에너지의 곱을 모두 다 더하면 계의 에너

지양자의수(이경우 6)와같아야한다는조건( NiEi�E전체)으로부터도출할수있다.

이번에는구별불가능한입자들인경우에는어떻게달라지는지조사해보자. 보손인경우

에는 그림 34.21처럼 배열할 수 있으므로 거의 대부분의 작업은 끝낸

셈이다. 그러나보손은구별이불가능하므로서로다른입자들에대한

순열은 새로운 상태를 만들지 못한다. 즉 주어진 입자의 배열 수를 나

타내는 가중인자는 그림 34.21의 모든 경우에 대해 항상 1이다. 따라

서분배의총수로구별가능한입자인경우에는 210개이지만, 구별불

가능한 보손인 경우에는 오직 10개만이 가능하다. 결국 E�4 상태의

점유확률은 f(4)�(1�1�1�1)/10�0.2이다.

동일한 보손의 분포는 그림 34.23의 빨간색 곡선이며 고전적 분

포(푸른색 선)와 함께 나타나 있다. 두 분포는 매우 비슷하지만, 작아

도중요한차이가존재하며이는단순한수치적인문제가아니다. 예를들어보손의경우 E�0

의점유확률이고전입자보다약간크다. 만일계에입자들이많아지면, 이효과는더욱두드러

질것이다. 이것이보손의특성이다. 즉보손은가능한한다른보손들과같은상태를점유하려

고한다.

6개에너지양자를 5개페르미온에분배할때그림 34.21과같은에너지상태가가능할까?

파울리 배타원리는 이를 허용하지 않는다. 각 에너지상태는 스핀 위와 스핀 아래 하나씩 최대

2개의페르미온만이점유할수있다. 결국각에너지상태의점유수는 2를넘을수없으므로그

림 34.21에서 점유수가 3개 이상인 일곱 경우는 불가능한 상태들이다. 가능한 세 상태는 그림

34.24에별도로표시되어있다. 이를설명하기위해계내에 3개의스핀위와 2개의스핀아래

¡i

¡i


그림 34.22 그림 34.21의 분배에서각에너지상태를점유하는평균점유수.

그림34.23 6개의에너지양자를 5개의 입자에 분배하는 문제에 대한 맥스웰-볼츠만(MB), 보스-아인슈타인(BE),

페르미-디랙(FD)분포의비교.

그림34.24 6개의에너지양자를 5개의페르미온에분배하는가능한경우.

페르미온들이 있다고 가정하자. 그림 34.24의 왼쪽과 오른쪽 분배에서 하나의 페르미온이 점

유한상태에서는짝을이루지못한스핀위가될수밖에없다. 가운데분배에서는한상태만짝

을이루고나머지세상태는페르미온이홀로점유한상태이므로, 이중 2개는스핀위, 하나는

스핀 아래일수밖에없다. 이때스핀 아래페르미온이 세에너지상태중 어디나 점유할 수 있

으므로 가능한 경우의 수는 3이다. 이에 따라 전체 계의 가능한 상태의 총수는 5이다. 따라서

E�4에너지상태의점유확률을계산하면 f(4)�(1�1)/5�0.2를얻는다(우연히도보손의경우와

같은 값이다).그림 34.23의 오렌지색 선은 모든 에너지상태의 평균 점유확률을 보여 준다. 페

르미온의경우 E�0의점유확률이고전입자보다훨씬억제된다.

매우 적은 수의 입자를 다룬 문제들을 풀었으니, 계 내에 매우 많은 수의 입자가 있는 경

우의분포를살펴보자. 보손의경우에는에너지상태 Ei에있을점유확률은보스-아인슈타인분

포인다음식으로주어진다.

(34.30)

페르미온의경우에는페르미-디랙분포로다음과같다.

(34.31)

여기서 gi는 동일한 상태 i의 수인 겹침수이다. [앞의 5개 페르미온에서, 각 에너지상태의 겹침

수는 2(gi�2)이다. 파울리 배타원리에 따라 각 에너지상태에는 최대로 하나씩의 스핀 위와 스

핀아래페르미온만점유할수있기때문이다.]

때때로다음과같이정의하는절대활성도로이들분포를표기하기도한다.

그러면보스-아인슈타인분포는

로, 페르미-디랙분포는다음과같이표기할수있다.

34.8 스핀과 통계 483

퀴즈문제34.6

4개의에너지양자를 5개의스핀- � 페르미온에분배할수있는경우는무엇(들)인가?12 확인문제34.7

8개의 에너지 양자를 5개의 입자에 분배

하는 평균 점유수를 그래프로 그려라. 페

르미온, 보손, 고전입자의경우, 가능한상

태의총수는각각얼마인가?

두 분포함수 모두, 무시할 수 있을 정도로 작은 절대활성도의 극한인 z V 1에서는 맥스웰-볼

츠만분포에접근한다.

에너지상태들이충분히가까운경우에는불연속에너지상태 Ei를연속에너지변수 E로대

체할수있다. 이경우에는맥스웰-볼츠만극한에서에너지 E의입자를발견할확률을

(34.32)

로 표기할 수 있으며, a는 규격화 상수이다. 규격화 상수는 화학퍼텐셜과 겹침수의 함수로 주

어진다. 같은방식으로, 페르미-디랙분포에서에너지 E의입자를발견할확률은다음과같다.

(34.33)

그림 34.25는 gi�2인 페르미-디랙 분포를 화학퍼텐셜로 나눈 에너지

의 함수로 나타낸 그래프들이다. 각 그래프는 세 경우의 온도에 대한

것이다. kBT V �이면 페르미-디랙 분포함수는 E��일 때 2에서 0의

값으로 떨어지는 계단함수에 접근한다. 온도가 높아지면 높은 점유수

(2)에서낮은점유수(0)로의변화가점점더매끄러워진다.

보스-아인슈타인 경우에 에너지 E의 입자를 발견할 확률은 다음

과같다.

(34.34)

여태껏 논의한 대로 광자는 보손이므로 보스-아인슈타인 통계를 따른다. 광자인 특별한

경우에 화학퍼텐셜이 0이므로 식 34.34의 규격화 상수는 a�1이다. 만약 광자에너지가 0으로

접근한다면, eE/kBT는 1로 접근하므로, 식 34.34의 분모는 0으로 접근한다. 매우 낮은 에너지를

점유하는광자의수가무한대로증가할수있다는뜻이다.

스펙트럼밝기를파장의함수로표기한플랑크의복사공식 34.9 IT(f)�2hc�2 f 3/(ehf/kBT�1)

를다시살펴보자. 광자에서 E�hf이므로, 분모가 (eE/kBT�1)이다. 즉보스-아인슈타인의분포함

수와같다.따라서플랑크의스펙트럼밝기는광자에너지의함수로다음과같이표기할수있다.

(34.35)

결국 플랑크가 구한 복사공식은 광자에너지의 함수인 스펙트럼 밝기는 에너지의 세제곱과 그

에너지에서광자를발견할보스-아인슈타인확률의곱에비례한다는뜻이다.

보스-아인슈타인응축

보스는 1924년의 논문에서 광자의 흑체 스펙트럼을 논의했다. 같은 해, 아인슈타인은 정수 스

핀을 갖는 원자로 확장했다. 아인슈타인은 극저온에서 원자의 많은 부분이 가장 낮은 에너지

상태로들어간다는것을깨닫고,“한부분이응축되고, 나머지는포화된이상기체의상태를유

지한다.”라고 발표했다. 이런 일이 일어나려면 원자들의 드브로이 파장(식 34.23참조)이 서로

겹칠 수 있을 만큼 서로 충분히 가까이 있어야 한다. 즉 이러한 조건이 ��3 > 2.61임을 보일


그림 34.25 서로 다른 세 온도에 대한페르미-디랙분포.

수있다. 여기서 는원자의단위부피당 도이고, �는드브로이파장이다.

어떻게실험실에서 BEC(보스-아인슈타인응축)를얻을수있을까?칼와

이먼과에릭코넬은저온과강한자기장에서스핀-1보손을이루는루비듐원

자들을 모으기 위해 자기 덫을 이용했다. 그들은 온도를 낮추기 위해 레이저

냉각을 사용했지만, BEC로의 전환이 가능한 온도에 도달하기에는 아직 충분

하지 않았다. 점진적으로 자기 덫의 깊이를 줄여서, 높은 에너지의 원자들이

덫에서 탈출하는 것을 허용하여, 오직 낮은 에너지의 원자들만을 덫 안에 남

겨두었다. 이러한증발냉각방식으로원자들의온도를수나노켈빈(nK)으로

낮출수있었다. 그러고나서덫을풀어서갇힌원자들이팽창하도록유도했다. 원자들이모두

단순한 이상기체 다면 열운동으로 인해 단순하게 팽창했을 것이다. 그러나 하이젠베르크 불

확정성관계에따라최소 한의속도로만팽창하는현상이 BEC실험에서관측됐다. 잠시후기

체는 팽창하는 구름의 모양이 되었으며, 이때의 공간적 크기는 0.2mm정도에 도달했다. 그림

34.26의속도분포는서로다른세온도에서의실험결과를보여준다. 명백히 200nK의결과는

400 nK와 다르다. 200 nK에서 가운데 봉우리는 BEC의 존재를 보여 준다. 오른편 그림은 50

nK일때의결과이며, 사실상모든루비듐원자들이 BEC상태가되었다.

BEC현상을발견한지 6년이채지나지않아와이먼과코넬은같은시기에다른계의 BEC

에 대해서 비슷한 일을 수행한 볼프강 케털리와 함께 2001년 노벨 물리학상을 공동 수상했다.

이제 BEC에 대한 연구는 세계적으로 활발히 진행되고 있으며, 계속해서 원자, 응축, 양자역학

에대한놀라운사실들이발견되고있다.

무엇을 배웠는가 485

그림 34.26 자기 덫에 갇힌 루비듐원자들의 보스-아인슈타인 응축. 이 그림은 와이먼-코넬 연구팀이 1995년에발표한 것이며, 그들의 노벨상 강연에포함되어 있다. (세 축은 이 책의 저자들이첨가했다.)가운데그림은보스-아인슈타인 응축의 발현을 나타낸다. 오른쪽 그림에서는 거의 모든 원자들이응축상태에있다.

무엇을 배웠는가 || 주요내용

� 플랑크 상수는 h�6.62606876(52)�10�34 J s이며, 광자에

너지는 E�hf이다.

� f와 f�df의 진동수 사이에서 방출되는 복사일률에 대한

플랑크의복사법칙에서스펙트럼밝기는진동수의함수로

다음과같다.

고전적 결과에서 나타나는 고진동수 역의 비물리적인

자외선 발산이 생기지 않으며, 고전적 복사법칙은 하나의

극한으로포함된다.

� 스펙트럼밝기는파장의함수로다음과같다.

� 스펙트럼 방출은 스펙트럼 밝기에 단순히 �를 곱한

�T(f)��IT(f)이다.

� 모든진동수(또는파장)에대해서스펙트럼방출을적분한

복사세기는 이며, 슈테판-볼츠만 상

수는다음과같다.

� 보통은 파동으로 생각하는 것들도 입자의 특성을 갖는다.

광전효과는 빛의 기본양자인 광자에 입자성을 부여하는

양자가설로 설명된다. 양자가설은 멈춤퍼텐셜의 진동수

의존성 eV0�hf��를 올바르게 설명한다. 일함수 �는 사

용한물질에의존하는상수이다.

� 콤프턴효과는파장 �의광자가한전자에서산란된후의

파장 �을다음과같이기술한다.

� 전자의콤프턴파장은다음과같다.


� 보통은물질로생각하는것들도파동의특성을갖는다. 드

브로이파장은다음과같이정의한다.

전자들로 이중슬릿 간섭실험을 수행하면 증명할 수 있다.

전자를사용해도광자와동일한간섭무늬를얻을수있다.

� 하이젠베르크 불확정성 관계는 운동량 불확정도와 위치

불확정도의 곱은 절대하계를 갖는다고 천명한다. 즉

�x��px � �이다. 에너지-시간 불확정성 관계는 �E��t

� �이다.

� 기본 양자입자들은 스핀이라는 고유한 특성을 가지며, 스

핀은 각운동량의 단위이다. 양자화된 스핀에 따라 입자를

두부류로나눈다. 하나는 �의반정수배스핀을가지는페

르미온이고, 다른 하나는 �의 정수배 스핀을 가지는 보손

이다.

� 파울리의배타원리는어떤두페르미온도동시에같은양

자상태를점유할수없다고천명한다. 즉주어진원자에서

어떤두페르미온도정확히동일한양자수를가질수없다.

� 보손은 낮은 온도에서 상당수가 같은 양자상태를 점유하

도록응축할수있다.

12

12

주요용어

광자(photon)

광전자증배관(photomultiplier tube)

광전효과(photoelectric effect)

드브로이파장(de Broglie wavelength)

맥스웰-볼츠만분포

(Maxwell-Boltzmanndistribution)

물질파(matterwaves)

보손(bosons)

보스-아인슈타인 분포(Bose-Einstein

distribution)

분배함수(partition function)

빈의법칙(Wien’s law)

빈의변위법칙(Wien displacement law)

스펙트럼밝기(spectral brightness)

스펙트럼방출도(spectral emmittance)

스핀(spin)

양자전기역학(quantumelectrodynamics)

일함수(work function)

제동복사(Bremsstrahlung)

콤프턴산란(Compton scattering)

콤프턴파장(Comptonwavelength)

파동-입자이중성(wave-particle duality)

파울리배타원리(Pauliexclusionprinciple)

페르미-디랙분포(Fermi-Diracdistribution)

페르미온(fermions)

플랑크복사법칙(Planck’s radiation law)

플랑크상수(Plank’s constant)

하이젠베르크불확정성관계(Heisenberg

uncertainty relation)

새 기호와 주요 방정식

h�6.62606876(52)�10�34 J s, 플랑크상수

eV0�hf��, 광전효과의일함수

콤프턴산란공식

전자의콤프턴파장

�x��px � �, 위치와 운동량에 대한 하이젠베르크 불확정성

관계

�E��t � �, 에너지와 시간에 대한 하이젠베르크 불확정성

관계

12

12

확인문제 해답

33334444....1111 K최대�(f�f최소)h�hf��.

33334444....2222 1억 4800만 km�148�106�103 m�1.48�1011 m

문제풀이 능력 키우기 487

가시스펙트럼에서 P가시�P/4�9.43�1025 W이다.

1초에 9.43�1025 J의에너지가태양으로부터방출된다.

가시광자의 평균 파장이 ��550 nm라고 가정하면 각 광자의

에너지는다음과같다.

33334444....3333 1.00 eV 전자의운동량은mec2�511 keV이다.

100 keV엑스선의운동량은다음과같다.

전자의운동량은엑스선의 1%이며, 충분히무시할수있다.

33334444....4444 가시광선에서광자에너지는 1.59 eV와 3.27 eV사이에있다.

2.26 eV광자의운동량은다음과같다.

1.00 eV전자의운동량은mec2�511 keV이다.

(pc)광자/(pc)전자�(2.26 eV)/(1010 eV)�2.24�10�3

가시광자의 운동량은 전자 운동량의 0.224%이며, 충분히 무시

할수있다.

33334444....5555

운동에너지가 1000 eV인전자의드브로이파장은 ��0.0387879

nm이다.

비상대론적으로운동량을계산하면다음을얻는다.

��0.0388068 nm.

따라서차이는매우작다.

33334444....6666 �v�2.00 km/h�0.556m/s

33334444....7777 상태의수는각각 18, 16, 495이다.

문제풀이 능력 키우기

문제풀이요령

1111.... 광자나물질파에대한대부분의계산은입자의특성인에너

지 E와 운동량 p를 파동의 특성인 파장 �와 진동수 f에 연관시

키는 것으로 시작한다. 주요 관계식으로 E�hf, p�E/c�hf/c�

h/�, ��h/p이있다.

2222.... 단위를적용할때주의해라. 모든단위를미터와킬로그램으

로바꾸는것은단위지수의관리를수월하게한다. 전자볼트를

사용하면계산을간단하게할수있지만, 플랑크상수를적절한

문제

온도 200 nK의 자기 덫에서 보스-아인슈타인 응축을 관찰하는 데 필요한 루비듐 원자의

최소 도는얼마인가? (귀띔: 루비듐-87원자의질량은 1.5�10�25 kg이다.)

풀이

생각하기

보스-아인슈타인응축을다룬절에서보면루비듐원자들은양자역학적으로겹칠수있을

만큼서로충분히가까이있어야하며, 기준은 �3 > 2.61이다. 따라서 200 nK의온도에서

열운동을하는루비듐원자의드브로이파장을구해야한다.

그리기

이 경우에 그림이 반드시 필요하지는 않지만, 그림 34.27에서 원자의 파동함수가 퍼진 정

도인드브로이파장과덫내에서겹쳐있는원자들사이의최인접거리를시각화했다.

조사하기

도의기준은

(i)

이고, 드브로이파장 �는식 34.22에서다음과같다.

(ii)

루비듐 원자의 운동량 p는, 기체 내 원자의 운동에너지가 주어진 온도에서의 열에너지와

같다는다음의식에서구한다.

(iii)

단순화하기

식 (iii)을식 (ii)에대입하면드브로이파장은다음과같다.

(iv)

식 (i)에서구한 도에방금구한드브로이파장에대한식 (iv)를대입하면다음을얻는다.


단위 h�6.626�10�34 J s 또는 h�4.136�10�15 eV s로 사용하는

지확인해야한다.

3333.... 재확인할 때는 각 물리량의 대략적인 크기를 10의 지수로

기억하면 편리하다. 예컨대 원자의 크기는 10�10 m,전자의 질

량은 10�30 kg, 양성자나 전자의 전하는 10�19 C, 실온에서

kBT� eV이다.140

루비듐의보스-아인슈타인응축풀이문제 34.1

그림 34.27 덫 내에서 겹쳐 있는 루비듐원자의개념도....

계산하기

상수 값(h�6.63�10�34 J s, kB�1.38�10�23 J/K)과 주어진 온도(T�200 nK�2�10�7 K)를

대입하여다음의드브로이파장을얻는다.

따라서 도는다음과같다.

반올림하기

온도의 유효숫자가 한 자리이므로 드브로이 파장에 대한 답은 ��6�10�7 m이다. 이 크기

는루비듐원자의지름인약 5�10�10 m보다대략 1000배이상이다.

한편 BEC를관찰할수있는최소 도는대략 > 1�1019 m�3이다.

재확인하기

도 1019원자/m3는큰값일까, 작은값일까?물분자와공기분자의 도와비교해보자. 1

m3의액체물에는 3�1028개의물분자가있으며, 1 m3의공기에는 3�1025개의질소와산소

분자들이들어있다. 따라서덫내루비듐원자의기체 도는정상상태에있는공기의

도보다약 100만배낮다.

만약 도 1019원자/m3의덫안에 100만개의원자들이구형으로배열되어있다면, 구

의반지름은얼마인가? 100만개의원자들이점유한구의전체부피는다음과같다.

구의 부피는 V� �r3이므로, 주어진 도에서 100만 개의 원자를 포함하는 구의 반지름

으로다음을얻는다.

따라서코넬과와이먼이성공한실험에서보스-아인슈타인응축에대한 상을직접얻을

수없음이분명하다. 이때문에두사람은덫의전원을끄고내용물이각방향으로적어도

10배이상팽창한후에야그림 34.26의 상을 얻을수있었다.

43

객관식 문제 489

객관식 문제

33334444....1111 파장 350nm의자외선이멈춤퍼텐셜 0.25 V의물질에입사한다.

물질의일함수는무엇인가?

aaaa)))) 4.0 eV bbbb)))) 3.3 eV cccc)))) 2.3 eV dddd)))) 5.2 eV

33334444....2222 광전효과에서차단진동수로무엇이옳은가?

aaaa)))) 고전물리로는설명할수없다.

bbbb)))) 이경우에고전모형은정확하지않다는것을보여준다.

cccc)))) 빛의광자모형을반드시사용해야한다는것을보여준다.

dddd)))) 광자에너지가진동수에비례한다는것을보여준다.


eeee)))) 모두다맞는다.

33334444....3333 더큰광전류를발생시키려면무엇(들)이필요한가?

aaaa)))) 더밝은빛 bbbb)))) 더높은진동수cccc)))) 더어두운빛 dddd)))) 더낮은진동수33334444....4444 다음중드브로이파장이가장작은것은무엇인가?

aaaa)))) 광속의 80%로진행하는전자 bbbb)))) 광속의 20%로진행하는광자cccc))))광속의70%로진행하는탄소핵 dddd))))광속의80%로진행하는헬륨핵eeee)))) 광속의 50%로진행하는리튬핵33334444....5555 이상적인흑체로무엇이옳은가?

aaaa)))) 입사광의 100%를흡수하지만, 자체복사는없다.

bbbb)))) 생성하는빛의 100%를방출하지만, 자체복사는흡수하지못한다.

cccc)))) 입사광의 100%를흡수하거나자체복사를 100%방출한다.

dddd)))) 입사광의 50%를흡수하고자체복사를 50%방출한다.

eeee))))접촉하는모든물체를완전히어둡게만든다.

33334444....6666 진동수는일정하고광선의세기가증가하면무엇이옳은가?

aaaa)))) 광자의속도가증가한다.

bbbb)))) 광자의에너지가증가한다.

cccc)))) 단위시간당광자의수가증가한다.

dddd)))) 빛의파장이증가한다.

33334444....7777 다음중무엇의온도가더높은가?

aaaa)))) 백열물체 bbbb)))) 적열물체 cccc)))) 청열물체33334444....8888 운동에너지의범위가좁은전자들이슬릿사이의거리가D인이중슬릿에입사한다. 전자들은인광스크린에분리거리가 �x인줄무늬를만든다. 슬릿사이의거리가D/2로줄어들면, 줄무늬사이의분리거리는어떻게되는가?

aaaa)))) �x bbbb)))) 2�x cccc)))) �x/2 dddd)))) 답이없다.

설명문제

33334444....9999 왜백열물체는적열물체보다뜨거운가?

33334444....11110000 이장을배운후전자는입자인가, 파동인가?

33334444....11111111 만일푸른색셔츠를입는도중에거울을보면, 거울 상의셔츠는 푸른색이지, 빨간색이 아니다. 하지만 콤프턴 효과에 의하면, 되튕기는광자는더낮은에너지, 즉더긴파장이어야한다. 왜거울 상의색깔이입고있는셔츠와같은색깔인지설명해라.

33334444....11112222 우주의 진공상태는 비어 있는 것이 아니라 입자와 반입자들이끊임없이 생성하고 소멸하기를 반복하는 들끓는 바다이다. 양성자-반양성자 쌍이 하이젠베르크의 불확정성 관계를 위반하지 않고 생성되기위한최소수명을구해라.

33334444....11113333 플랑크 상수가 5 J s인 우주에서 테니스 게임은 어떻게 바뀌는가?선수와공, 공과네트의상호작용을각각고려해라.

33334444....11114444 고전역학에서알짜힘이작용하지않는입자의최종위치를예측하려면어떤정보가필요한가?왜양자역학에서는이러한예측이불가능한가?

33334444....11115555 고전 물리학자는 더 밝은 자외선을 금속표면에 비추면서 어떤결과를예상하는가?광전효과이론의예측과어떻게다른가?

33334444....11116666 60W의 가시광선과 2mW의 엑스선 중 무엇이 인체조직에 더심한해를끼치는가?그이유를설명해라.

33334444....11117777 중성자는 스핀 인 페르미온이다. 비편극 중성자빔은 �1/2와�1/2상태에 있는 스핀의 수가 서로 같다. 비편극 중성자빔이 비편극된 3He을 통과하면 3He이 중성자를 흡수하여 4He을 생성할 수 있다.

만일 3He이편극되어 3He 핵안중성자들의스핀이모두정렬되어있다면, 편극된 3He은 비편극 중성자빔에서 비편극된 3He과 같은 수의중성자를 흡수하는가?비편극 중성자빔의 각 스핀상태는 3He에 얼마나잘흡수되는가?

33334444....11118888 광전효과 실험에서 100 mW의 푸른색 레이저광선(��514.5

nm)을 세슘으로 만든 광전음극에 쪼이고, 다음에는 레이저광선의 출력을 2배로 증가시켜서 200 mW를 쪼인다. 음극에서 방출되는 전자하나의에너지를비교해라.

12

연습문제

각장의푸른색문제번호는문제풀이집에풀이한문제를나타낸다. 또한푸른점 •와 ••은문제의난이도를표시한다.

33334444....2222절

33334444....11119999 다음의 봉우리 파장을 각각 구해라. 태양과 지구의 표면온도는각각 5800. K와 300. K라고가정해라.

aaaa)))) 지구가받는태양광 bbbb)))) 지구가방출하는빛33334444....22220000 전자기 스펙트럼의 가시광선 역 내에서 뜨거운 필라멘트의흑체복사 봉우리 방출이 일어나는 온도의 범위를 계산해라. 가시광선의 파장은 380 nm에서 780 nm까지이다. 이들 두 온도의 필라멘트에

서나오는복사의전체세기는각각얼마인가?

33334444....22221111 우리은하의 중심으로부터 방출되는 초고에너지 감마선의 최대에너지는 3.5�1012 eV이다. 이빛의파장은얼마인가?이빛의에너지를양성자의정지질량에너지와비교해라.

33334444....22222222 실온(20.0�C)의물체와물체에서방출되는복사를생각해보자.

스펙트럼 에너지 도의 봉우리에서 (a)파장, (b) 진동수 및 (c) 광자하나의에너지를각각계산해라.

•33334444....22223333 인체피부의온도는약 35.0�C이다.

aaaa))))흑체로가정하면,피부에서방출되는복사의봉우리파장은얼마인가?

bbbb)))) 전체 표면적을 2.00 m2로 가정하면, 피부에서 방출되는 전체 일률

연습문제 491

은얼마인가?

cccc)))) (b)의답에따라왜전구처럼밝게빛나지않는가?

•33334444....22224444 결점없는순수한반도체물질은입사광의개별광자의에너지가반도체의‘띠간격’으로알려진문턱값보다큰경우에만물질에입사하는전자기파를흡수한다. 실온에서게르마늄, 실리콘, 갈륨비소(세물질은 반도체로 널리 쓰이고 있다)의 띠 간격은 각각 0.66 eV, 1.12

eV, 1.42 eV이다.

aaaa)))) 각반도체의실온투명도범위를구해라.

bbbb)))) 띠간격 2.67 eV의반도체인 ZnSe의투명도범위와비교하고, ZnSe

결정의색깔이노란색인이유를설명해라.

cccc)))) 셋 중 무엇을 1550 nm광통신 파장에 대한 광검출기로 사용할 수있는가?

•33334444....22225555 다임(미국의 10센트 동전)의 질량은 2.268 g, 지름은 17.91

mm,두께는 1.350mm이다.

aaaa)))) 실온의다임에서방출되는초당복사에너지는얼마인가?

bbbb)))) 다임에서 방출되는 광자의 수는 얼마인가? (어림계산에서 모든 광자가봉우리파장을가진다고가정해라.)

cccc)))) 다임에서 방출되는 초당 복사에너지와 동일한 에너지를 갖기 위해필요한공기의부피는얼마인가?

33334444....3333절

33334444....22226666 특정 물질의 일함수는 5.8 eV이다. 이 물질의 광전문턱은 얼마인가?

33334444....22227777 470. nm의빛에의해나트륨표면에서튀어나오는전자의최대운동에너지는얼마인가?

33334444....22228888 특정 합금의 광전문턱 파장은 400. nm이다. 일함수는 eV 단위로얼마인가?

33337777....22229999 광전효과 실험에서 파장을 알지 못하는 레이저광선을 세슘(일함수 ��2.100 eV)음극에 쪼일 때 발생하는 전류를 상쇄시키기 위해서 0.310 V의멈춤퍼텐셜이필요하다. 그다음에동일한레이저광선을미지의물질에쪼일때는 0.110 V의멈춤퍼텐셜이필요하다.

aaaa)))) 미지음극물질의일함수는얼마인가?

bbbb)))) 미지음극물질의후보로무엇이가능한가?

33334444....33330000 550nm의빛으로아연표면을비춘다. 광전전류를완전히없애려면멈춤퍼텐셜을얼마로높여야하는가?

33334444....33331111 ��400. nm에서 750. nm까지의 백색광이 바륨(��248 eV)을비춘다.

aaaa))))바륨에서튀어나온전자의최대운동에너지는얼마인가?

bbbb)))) 가장긴파장은전자를떼어낼수있는가?

cccc)))) 어느파장의빛이운동에너지가 0인전자를떼어내는가?

•33334444....33332222 광다이오드로 사용하는 물질의 일함수를 알아내기 위해서 특정 파장에 해당하는 최대 운동에너지 0.50 eV를 측정했다. 다음에 파장을 50.0%로 줄이고 측정한 광전자의 최대 운동에너지는 3.80 eV이다. (a)물질의일함수와 (b)원래파장을구해라.

33334444....4444절

33334444....33333333 파장 ��0.120 nm의 엑스선이 탄소로부터 산란된다. 입사방향에대해 90� 방향에서검출한광자의콤프턴파장이동을구해라.

33334444....33334444 2.0 MeV엑스선 광자가 정지한 자유전자와 충돌하여 53�로 산란된다. 산란된광자의파장은얼마인가?

33334444....33335555 정지한전자와충돌한파장 0.30 nm의광자가 160�로산란되면광자가잃은에너지는얼마인가?

33334444....33336666 400.0 keV의엑스선이표적물과콤프턴산란을한다. 산란된광선은 입사광선의 25.0� 방향에서 검출된다. (a)산란된 엑스선의 운동에너지와 (b)되튀는전자의운동에너지를구해라.

33334444....33337777 광자와자유양성자의콤프턴산란을생각해보자.

aaaa)))) 140. keV의엑스선이양성자와충돌후 90.0�로산란된다면, 광자에너지의부분변화율, 즉 (E0�E)/E0는얼마인가?

bbbb)))) 90.0� 산란에서 광자에너지의 1.00%가 변화한다면 입사하는 광자의에너지는얼마인가?

•33334444....33338888 50.0 keV의 엑스선 광자가 금속 내에 정지한 전자에 충돌하여45�로 산란된다. 충돌 후 전자의 운동에너지와 운동량(크기와 방향)은각각 얼마인가?전자의 운동에너지와 운동량 사이의 비상대론적 어림식을이용해라.

33334444....5555절

33334444....33339999 다음의파장을계산해라.

aaaa)))) 2.00 eV의광자 bbbb)))) 운동에너지 2.00 eV의전자33334444....44440000 속력 100.0 km/h,질량 2.000�103 kg인 자동차의 드브로이 파장은얼마인가?

33334444....44441111 질량m�4.648�10�26 kg인질소분자의속력은 300.0m/s이다.

aaaa)))) 드브로이파장을구해라.

bbbb)))) 질소 분자로 이중슬릿 실험을 한다고 하자. 슬릿에서 70.0 cm떨어진 곳의 스크린에서 0.30 cm 간격의 간섭무늬가 생긴다면 이중슬릿사이의거리는얼마인가?

33334444....44442222 알파입자가 20,000 V의 퍼텐셜차에서 가속된다. 알파입자의 드브로이파장은얼마인가?

33334444....44443333 드브로이 파장이 초록빛의 파장(약 550 nm)과 같은 전자를 고려해보자.

a)비상대론적으로다루면전자의속력은얼마인가?

b) 위의 비상대론적 계산이 이 문제를 풀이하는 데 충분하다는 것을보여주는가?

c)전자의운동에너지를 eV단위로계산해라.

•33334444....44444444 운동량 p의 입자가 파장이 ��h/p인 파동의 특성을 갖는다는드브로이 가설을 친구에게 설명했더니, 60.0 kg의 친구는 자신을 파동처럼 생각하고 자신이 너비 90.0 cm의 방문에서 회절되는지를 질문한다.

aaaa)))) 친구가분명하게회절되려면방문을통과할때최대속력은얼마이어야하는가?


bbbb)))) 문턱을 통과하는 데 한 걸음이 필요하다면, 친구가 회절되려면 한걸음을 옮길 때 걸리는 시간이 얼마이어야 하는가? (보폭은 0.75 m라고가정하자.)

cccc)))) 친구의 질문에 대한 답은 무엇인가?귀띔: 분명한 회절은 회절구멍의너비가파동의파장보다 10.0배작을때일어난다.

••33334444....44445555 질량 m, 운동량 p�mv, 에너지 E�p2/(2m)인 뉴턴 입자의 드브로이파동과진동수 �E/h, 파장 ��h/p인파동을생각해보자.

aaaa)))) 두파동의분산관계 ��(k)을계산해라.

bbbb)))) 두파동의위상과군속도를계산해라. 무엇이입자의고전적속도에해당하는가?

••33334444....44446666 이제는 질량 m, 운동량 p�mv, 총에너지 E�mc2, �

[1�(v/c)2]�1/2인상대론적입자의드브로이파동을생각해보자. 다른파동의 파장과 진동수는 위와 마찬가지로 v�E/h, ��h/p지만, 상대론적인운동량과에너지를갖고있다.

aaaa)))) 두파동의분산관계를계산해라.

bbbb)))) 두파동의위상과군속도를계산해라. 무엇이입자의고전적속도에해당하는가?

33334444....6666절

33334444....44447777 50.0 kg입자의드브로이파장은 20.0 cm이다.

aaaa)))) 입자는얼마나빠르게움직이는가?

bbbb)))) 입자의 위치 불확정도가 20.0 cm라면, 속도의 최소 불확정도는 얼마인가?

33334444....44448888 빛이 수소 원자(r�0.53�10�10 m)를 통과하는 데 걸리는 시간동안에원자에너지의최소불확정도는얼마인가?전자볼트단위로답을표기해라.

33334444....44449999 자유중성자(m�1.67�10�27 kg)의 평균수명은 900. s이다. 중성자질량의불확정도는 kg단위로얼마인가?

33334444....55550000 양자역학적 오리인 퍼지가 플랑크 상수 ��1.00 J s의 양자세계에살고있다고가정하자. 퍼지의질량은 0.500 kg이며너비 0.750m의연못에 있다. 퍼지 속도의 최소 불확정도는 얼마인가?이 불확정도가5.00 s동안지속된다면 5.00 s후퍼지는연못에서얼마나멀리있는가?

33334444....55551111 길이 20.0 �m의상자안에갇혀있는전자가가질수있는최소속력은얼마인가?

•33334444....55552222 질량 1.00�10�16 kg,지름 5.00 �m의먼지입자가길이 15.0 �m

의상자안에갇혀있다.

aaaa)))) 입자가정지해있는지어떻게알수있는가?

bbbb)))) 입자가정지해있지않다면, 입자의속도범위는무엇인가?

cccc)))) 가장 낮은 속도를 사용하면, 입자가 1.00 mm 움직이는 데 걸리는시간은얼마인가?

33334444....8888절

••33334444....55553333 n개(0포함)의 보손 입자가 점유할 수 있는 에너지 E의 양자상태를생각해보자. 양자상태에서 n개의입자를발견할확률은 Pn�N

exp(�nE/kBT)이며, kB는볼츠만상수, T는절대온도이고, 규격화인자N은모든확률의합이 1이라는조건으로결정한다. 양자상태점유수 n

의평균값과기댓값을구해라.

•33334444....55554444 위 문제와 같은 확률분포를 갖는 페르미온 입자를 생각해 보자. 페르미온이므로 가능한 점유수는 n�0과 n�1뿐이다. 양자상태의평균점유수 <n>을계산해라.

••33334444....55555555 N개의 입자로 구성된 계를 생각해 보자. 각 입자당 평균에너지는 <E>� Ei exp(�nEi/kBT)/Z이며, Z는 식 34.29로 정의된 분배함수이다. 만일 계가 E1�0, E2�E, g1�g2�1인 두 상태 계일 때N(d<E>/dT)로 정의하는 열용량을 계산해라. 또한 극고온과 극저온,

즉 kBT W 1과 kBT V 1에서열용량의거동을어림해라.

추가문제

33334444....55556666 일함수가 4.55 eV인텅스텐음극과 360nm의빛을사용하는광전실험에서멈춤퍼텐셜은얼마인가?

33334444....55557777 100 MeV 양성자와 100 MeV 전자의 드브로이 파장의 비율을구해라.

33334444....55558888 1아인슈타인(E)은 아보가드로수(6.02�1023)와같은광자수의측정단위이다. 1아인슈타인 보라색 빛(��400. nm)에는 얼마의 에너지가들어있는가?

33334444....55559999 100. g의야구공이 100.mph로움직인다. 야구공의드브로이파장은얼마인가? 125,000 km/h로움직이는질량 250. kg인보이저우주비행선의드브로이파장은얼마인가?

33334444....66660000 너비 1.0 mm의 핀 머리에 놓여 있는 1.0 ng입자 속도의 최소불확정도는얼마인가?

33334444....66661111 광전지장치는면적 10.0 cm2의표면에수직으로입사하는파장700. nm의단색광을사용한다. 빛의세기가 0.300W/cm2일때광자의흐름률을계산해라.

33334444....66662222 지구위성이 측정한 태양상수는 대략 1400. W/m2이다. 태양이다양한 파장의 빛을 방출하지만, 파장 스펙트럼의 봉우리는 500. nm

에있다.

aaaa)))) 봉우리파장에해당하는광자진동수를구해라.

bbbb)))) 봉우리파장에해당하는광자에너지를구해라.

cccc)))) 지구에도달하는광자의유량을구해라. 태양이방출하는모든빛의파장이봉우리파장과같다고가정해라.

33334444....66663333 진공에서 1 cm떨어져 있는 두 은판 사이에 20. kV의 퍼텐셜차가걸려있다. 양극으로전류가흐르도록음극에쪼일수있는빛의가장큰파장은얼마인가?

33334444....66664444 파장 600. nm의 단색광으로 1.00 N의 힘을 가하려면 초당 몇개의 광자가면적 10.0m2의 표면에충돌해야하는가?광자는모두흡수된다고가정해라.

33334444....66665555 한 전자를 기술하는 파동함수에서 전자 속도의 통계적 분산이10�4 m/s라고하자. 전자위치의통계적분산은얼마인가?

33334444....66666666 봉우리 파장이 스펙트럼의 엑스선 역에 속하는 흑체의 온도

¡

연습문제 493

는얼마인가?

33334444....66667777 야행성 새의 눈은 출력이 2.333�10�17 W에 불과한 진동수5.8�1014 Hz의 단색광을 탐지할 수 있다. 야행성 새가 탐지하는 초당광자의수는몇개인가?

33334444....66668888 특정한자외선레이저는파장 355nm의빛을생성한다. 칼슘시료를쓰는광전실험에이레이저를사용하면멈춤퍼텐셜은얼마인가?

33334444....66669999 퍼텐셜차 1.00�10�5 V에서정지상태로부터가속된전자의파장은얼마인가?

•33334444....77770000 콤프턴은파장 0.0711nm의광자를사용했다.

aaaa)))) ��180�에서산란된광자의파장은얼마인가?

bbbb)))) 광자에너지는얼마인가?

cccc)))) 만일 표적물이 전자가 아닌 양성자 다면, (a)의 답은 어떻게 변하는가?

•33334444....77771111 지구의 상층대기가 태양으로부터 매년 받고 있는 광자의 수를계산해라.

•33334444....77772222 기체 내 자유전자가 8.5 nm엑스선과 충돌하여 엑스선의 파장

이 1.5 pm증가한다. 충돌후전자는얼마나빠르게움직이는가? (전자는정지해있었다고가정해라.)

•33334444....77773333 양성자의드브로이파장이 3.5�10�15 m가되도록양성자의운동에너지를가속기로증가시킨다.양성자의운동량과에너지는얼마인가?

•33334444....77774444 감마선 섬광검출기는 광전효과나 콤프턴 산란을 통해 감마선광자에너지를 결정 내 전자로 전이시킨다. 전자는 결정 내 원자들에에너지를 전이시키고, 원자들이 재방출하는 섬광을 광전자 증배관으로 검출한다. 광전자 증배관에 의해 생성된 전하의 펄스는 결정에 축적된 에너지에 비례한다. 이를 측정하면 에너지 스펙트럼을 얻을 수있다. 광전효과로 흡수된 감마선은 감마선 최대 에너지 스펙트럼에 광

전봉우리로 기록된다. 콤프턴 산란된 전자들 또한‘콤프턴 고원’으로알려진 저에너지 역에 기록된다. 이들 중 가장 에너지가 높은 것들은 고원의 콤프턴 경계를 만든다. 콤프턴 효과로 인해 180�로 산란된감마선광자는스펙트럼에서후방산란자 봉우리의형태로나타난다. 에너지 511 keV의감마선광자에서콤프턴경계와후방산란자봉우리의에너지를계산해라.

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