Vogel, Esquina Noroeste
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PROGRAMACIN LINEAL
PROGRAMACIN LINEAL
Dr. Jos Emilio Martnez Varilla
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PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 2 de 40
TEMA 2.0
2.5. ALGORITMO DEL TRANSPORTE:MTODO DE LA ESQUINA NOROESTE;
MATRIZ DEGENERADA;MTODO DE VOGEL;
MTODOS DE OPTIMIZACIN.
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Tema 2.5 - 3 de 40
MODELOS EN REDES
Una red consiste en una serie de nodos conectados por arcos que tambin se denominan conexiones o lneas.
Existen redes fsicas (carreteras, comunicaciones, oleoductos, etc.) y sistemas que pueden representarse como redes:
Los nodos representan estados de un sistema, finalizacin de unaoperacin, un perodo de tiempo,
Los arcos representan rdenes de precedencia entre operaciones,
Grficamente, las redes se representan:
Nodos mediante crculos.
Arcos mediante lneas.
Direccin del arco mediante puntas de flecha.
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Tema 2.5 - 4 de 40
EJEMPLO DE RED
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Tema 2.5 - 5 de 40
RED GENERALIZADA
Existe una red generalizada cuando:
En cada columna existen nicamente dos coeficientes mas el
correspondiente a la funcin objetivo.
A estos coeficientes se les suele llamar ganancia o perdida, ya que
representan la ganancia o perdida que experimenta el flujo al pasar por
el correspondiente arco.
Todas las restricciones son de tipo igualdad, representando la condicin
de equilibrio del flujo en cada nodo: el flujo que llega al nodo final es igual
al que sale mas las ganancias menos las perdidas.
Las variables del problema pueden tener limitaciones de flujo mnimo y
mximo.
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Tema 2.5 - 6 de 40
MODELO DE TRANSPORTE
Consiste en enviar una cierta cantidad de mercancas desde unos almacenes
(orgenes), en los que se dispone de cantidades limitadas, a unos puntos
finales (destinos) en donde es preciso servir una cierta demanda.
La formulacin terica del problema es:
0x
Dxj
Oxi
:a sujeto
xc(z)Min
ij
j
m
1i
ij
i
n
1j
ij
m
1i
n
1j
ijij
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Tema 2.5 - 7 de 40
MODELO DE TRANSPORTE: EJEMPLO 1.Costes y disponibilidades
Orgenes Destinos Oferta
4 5 6 7
1 132 --- 97 103 135
2 85 91 --- --- 56
3 106 89 100 98 93
Demanda 62 83 39 91 ---
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Tema 2.5 - 8 de 40
MODELO DE TRANSPORTE: EJEMPLO 1.
Orgenes (i) Destinos (j)
4 62
135 1
5 83
56 2
6 39
93 3
7 91
Orgenes 4 5 6 7 Oferta
1 132 x 97 103 135
2 85 91 x x 56
3 106 89 100 98 93
Demanda 62 83 39 91
Grafo del problema
Costes y disponibilidades
Destinos
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Tema 2.5 - 9 de 40
MODELO DE TRANSPORTE: EJEMPLO 1.
El planteamiento quedara:
Definicin de variables: xij - Cantidad de producto que se transporta desde el
origen i, (i = 1,2,3), hasta el destino j, ( j = 4,5,6,7)
Funcin Objetivo:
14 16 17 24 25
34 35 36 37
Min (z) = 132 x + 97 x + 103 x + 85 x + 91 x +
+106 x + 89 x + 100 x + 98 x
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Tema 2.5 - 10 de 40
MODELO DE TRANSPORTE: EJEMPLO 1.
Sujeto a:
Restricciones de oferta:14 16 17
24 25
34 35 36 37
x + x + x 135
x + x 56
x + x + x + x 93
Restricciones de demanda: 14 24 34
25 35
16 36
17 37
x + x + x = 62
x + x = 83
x + x = 39
x + x = 91
No negatividad: xij 0
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Tema 2.5 - 11 de 40
MODELO DE ASIGNACIN
Consiste en asignar un conjunto de recursos (personas o mquinas) a una
serie de trabajos, de forma que se minimice el tiempo o coste empleado en
llevar a cabo las tareas.
El planteamiento general es el siguiente:
m n
ij iji 1 j 1
Min (z) c x
Sujeto a: Cada trabajo slo puede efectuarse una vez:
m
ij
i 1
j x 1
Cada persona o mquina puede efectuar un solo trabajo:n
ijj 1
i x 1
Las variables slo pueden tomar valores cero o uno.
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Tema 2.5 - 12 de 40
MODELO DE ASIGNACIN: EJEMPLO 2
Vendedor 1 2 3 4 Puntos totales
A 3 7 4 1 15
B 2 6 5 2 15
C 3 5 5 2 15
D 1 4 6 4 15
rea
Puntuaciones de cada vendedor a cada rea
El planteamiento quedara:
Definicin de variables: xij Variable binaria que tomar el valor 1 cuando se
asigne el vendedor i, (i =A,B,C,D), al rea de venta j, (j = 1,2,3,4); o el valor 0
en caso contrario.
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Tema 2.5 - 13 de 40
MODELO DE ASIGNACIN: EJEMPLO 2
Funcin objetivo:
A1 A2 A3 A4 B1 B2
B3 B4 C1 C2 C3 C4
D1 D2 D3 D4
Max (z) = 3x + 7x + 4x + 1x + 2x + 6x
+ 5x + 2x + 3x + 5x + 5x + 2x
+ 1x + 4x + 6x + 4x
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Tema 2.5 - 14 de 40
MODELO DE ASIGNACIN: EJEMPLO 2
Sujeto a:
Cada vendedor slo puede estar asignado a un rea:
A1 A2 A3 A4
B1 B2 B3 B4
C1 C2 C3 C4
D1 D2 D3 D4
x + x + x + x =1
x + x + x + x =1
x + x + x + x =1
x + x + x + x =1
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Tema 2.5 - 15 de 40
MODELO DE ASIGNACIN: EJEMPLO 2
Cada rea solo puede tener asignado un vendedor:
A1 B1 C1 D1
A2 B2 C2 D2
A3 B3 C3 D3
A4 B4 C4 D4
x + x + x + x =1
x + x + x + x =1
x + x + x + x = 1
x + x + x + x =1No negatividad: xij 0
En este problema en concreto, aunque las variables, en teora, podran tomar valores
diferentes de uno, en el ptimo siempre sern cero o uno.
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Tema 2.5 - 16 de 40
MODELO DE TRANSBORDO
Se reconoce mediante el uso de nodos intermedios o transitorios para el envo
de recursos entre las distintas fuentes (oferta) y destinos (demanda)
Se construye una malla con orientacin desde las fuentes (nodos de inicio)
hacia los destinos (nodos de llegada), utilizando amortiguadores (nodos
transitorios) que permiten recibir y transferir recursos. Las flechas que unen
los nodos de la malla representan los eventuales flujos de recursos en la
secuencia de distribucin
16
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PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 17 de 40
MODELO DE TRANSBORDO
Luego, la malla permite convertir un modelo de transbordo en un modelo de
transporte regular y resolverse como tal, utilizando los amortiguadores
As, la malla reconoce tres tipos de nodos:
Nodos puros de Oferta: solo transfieren recursos
Nodos de Transbordo: entregan y reciben recursos
Nodos puros de Demanda: solo reciben recursos
El amortiguador debe ser suficientemente grande para permitir que los
recursos se transfieran desde las fuentes hacia los destinos
17
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Tema 2.5 - 18 de 40
ESQUEMA DE TRANSBORDO
Un esquema simple del modelo de transbordo se expresa como una red
de modelo de asignacin:
D1
D2
Nodos puros de
Oferta
Nodos puros de
Demanda
A1
A2
Nodos de
Transbordo
F1
F2
F3
18
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Tema 2.5 - 19 de 40
EJEMPLO DE TRANSBORDO
Dos fbricas de automviles, P1 y P2, estn conectadas a tres distribuidores,
D1, D2 y D3, por medio de dos centros de trnsito, T1 y T2, de acuerdo con la
red que se muestra en la siguiente diapositiva
Las cantidades de la oferta en las fbricas P1 y P2, son de 1000 y 1200
automviles, y las cantidades de la demanda en las distribuidoras D1, D2 y D3,
son de 800, 900 y 500 automviles. El costo de envo por automvil (en
cientos de pesos) entre los pares de nodos, se muestra en los eslabones
(arcos) de conexin de la red
19
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PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 20 de 40
800
900
500
1200
1000
D3
D2
D1
T1
T2
P1
P2
3
4
42
5
8
6
5
39
RED - MODELO DE ASIGNACION
20
-
PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 21 de 40
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Cada vez que se plantea un problema de programacin lineal, se procede
cumpliendo las siguientes etapas:
1.- Comprensin del problema (lectura en detalle)
2.- Definicin de las variables de decisin
3.- Descripcin de la funcin objetivo
4.- Identificacin de las restricciones del problema
21
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PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 22 de 40
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Se plantea identificando como variables de decisin a todas las posibilidades
de flujos de asignacin, a transferir entre los nodos de la red de transbordo
Se define como funcin objetivo la minimizacin de los costos de transporte
asociados al transbordo
Las restricciones corresponden a un balance de transferencia de unidades
para cada nodo de la red de asignacin, sin olvidar la condicin de no
negatividad
22
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PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 23 de 40
800
900
500
1200
1000 T1
T2
P1
P2
XP1T1
XP2T2
XD
1D
2XD
2D
3
D2
D1
D3
PROBLEMA PROGRAMACION LINEALRed para plantear el PPL:
23
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PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 24 de 40
F.O. Mn Z = 3XP1T1 + 4XP1T2 + 2XP2T1 + 5XP2T2 + 8XT1D1 + 6XT1D2 +
4XT2D2 + 9XT2D3 + 5XD1D2 + 3XD2D3
s.a. : 1000 = XP1T1 + XP1T21200 = XP2T1 + XP2T2
XP1T1 + XP2T1 = XT1D1 + XT1D2XP1T2 + XP2T2 = XT2D2 + XT2D3
XT1D1 = XD1D2 + 800
XT1D2 + XT2D2 + XD1D2 = XD2D3 + 900
XT2D3 + XD2D3 = 500
Xij 0
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
24
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Tema 2.5 - 25 de 40
EJEMPLO DE TRANSBORDO
El transbordo ocurre ya que la cantidad de la oferta de 2200 (1000 + 1200)
automviles en los nodos P1 y P2, requiere pasar a travs de los nodos de
transbordo de la red (T1 y T2) ,antes de llegar a sus puntos de destino en los
nodos D1, D2 y D3
El modelo de transbordo se convierte a un modelo de transporte con seis
puntos de origen (P1, P2, T1, T2, D1 y D2) y cinco de destino (T1, T2, D1, D2 y
D3)
Nodos puros de Oferta
Nodos de Transbordo
Nodos puros de Demanda
P1, P2
D3
T1, T2, D1, D2
25
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PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 26 de 40
NODOS PUROS DE OFERTA
Y NODOS PUROS DE DEMANDA
Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos puros de oferta y puros
de demanda, queda:
Oferta en un Nodo puro de Oferta
Demanda en un Nodo puro de Demanda
Oferta Original
Demanda Original
Un nodo puro de oferta no posee amortiguador
Un nodo puro de demanda no posee amortiguador
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Tema 2.5 - 27 de 40
NODOS DE TRANSBORDO
Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos de transbordo, se
establece de acuerdo a:
Oferta en un Nodo de Transbordo
Demanda en un Nodo de Transbordo
Oferta Original
Amortiguador
Demanda Original
Amortiguador
+
+
La oferta necesariamente posee un amortiguador, mientras que a veces se
encuentra oferta original
La demanda necesariamente posee amortiguador, mientras que en
ocasiones hay demanda original
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Tema 2.5 - 28 de 40
NODOS DE TRANSBORDO
La oferta del nodo de transbordo T1 s posee oferta original, mientras que la
oferta del nodo de transbordo T2 no posee oferta original
400
400
200
300
500
200
P1
P2
T1
T2
D1
D2
D3
28
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Tema 2.5 - 29 de 40
NODOS DE TRANSBORDOLa demanda del nodo de transbordo T1 no posee demanda original, mientras
que la demanda del nodo de transbordo T2 s posee demanda original
300
200
300
600
400
200
P1
P2
T1
T2
D1
D2
D3
29
-
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Tema 2.5 - 30 de 40
EJEMPLO DE TRANSBORDO: Se obtiene la 1 solucin mediante mtodo de Vogel
P1
T1 Oferta
Demanda
1000
1200
B1
900+B4800+B3B1 B2500
3
T2 D1 D3D2
P2
T1
B2
B3
B4
T2
D1
D23
5
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M M
M
M
M
M
4
5
M
2
8 6
4 9
M
M
-
PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 31 de 40
800
900
500
1200
1000 T1
T2
P1
P2
XP1T1
XP2T2
XD
1D
2XD
2D
3
D2
D1
D3
MODELO DE ASIGNACION PROBLEMA DE TRANSBORDO
-
PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 32 de 40
800
900
500
1200
1000
T1
P1
D1
P2
T1
T2
T2
D2
D1
D2
D3
MODELO DE ASIGNACION PROBLEMA DE TRANSPORTE
-
PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 33 de 40
EJEMPLO DE TRANSBORDO
Obtener la primera solucin factible mediante Vogel, implica asignar el
mximo nmero de unidades posible en las celdas de menor costo marginal,
segn los sucesivos gradientes
No obstante, en ocasiones, la celda de menor costo marginal puede asociarse
con un mximo nmero de unidades determinado por los amortiguadores.
Luego, se requiere definir los rangos posibles para cada amortiguador
800 < B1 < 2200 0 < B3 < 1400
0 < B2 < 1400 0 < B4 < 500
-
PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 34 de 40
EJEMPLO DE TRANSBORDO
P1
T1 Oferta
Demanda
1000
1200
500
3
T2 D1 D3D2
P2
T1
T2
D1
D23
5
M
M
M
M
M
M
M
M
M M
M
M
M M
M
M
M
M
4
5
M
2
8 6
4 9
M
1
3
M
5
M
1 1 M 1 6
800
*
800
1000
1400
400
500
B1
B2
B3
B4B1 B2 800+B3 900+B4
2
*
MM
*M
3
* *
*
MM
-
PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 35 de 40
EJEMPLO DE TRANSBORDO
Al calcular los gradientes del mtodo de Vogel, se van obteniendo los valores
de los amortiguadores
Valores de los amortiguadores:
B1 = 800
B2 = 1400
B3 = 0
B4 = 500
Si es que hay 2 o ms gradientes de igual valor (como sucede con los
gradientes + M ), entonces se asigna el mximo nmero de unidades posibles
en aquella celda de menor costo unitario de transporte
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PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 36 de 40
1 asignacin: XD2D3 = 500, gradiente fila D2 = M
2 asignacin: XT1D2 = 1400, gradiente fila T2 = M
3 asignacin: XT1D1 = 800, gradiente fila T1 = M
4 asignacin: XP2T1 = 800, gradiente fila P2 = 3
5 asignacin: XP1T2 = 1000
6 asignacin: XP2T2 = 400Asignacin
manual
As, Vogel determina la 1 solucin bsica factible, sin embargo falta verificar
la condicin de optimalidad e iterar va simplex si es que se requiere
EJEMPLO DE TRANSBORDO
-
PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 37 de 40
EJEMPLO DE TRANSBORDO
m + n - 1 = 10Sin embargo, la asignacin inicial mediante mtodo de
Vogel tiene solamente 6 variables bsicas
Deben ingresarse cuatro valores 0 a la base
XT1T2 = 0, XT2T2 = 0, XD1T2 = 0, XD2T2 = 0
Luego, se deben calcular los precios sombra
para verificar si la solucin bsica factible es o
no es ptima
-
PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 38 de 40
EJEMPLO DE TRANSBORDO: Se deben calcular todos los precios sombra
Oferta
Demanda
1000
1200
500
3
3
5
M
M
M
M
M
M
M
M
M M
M
M
M M
M
M
M
M
4
5
M
2
8 6
4 9
M
800
800
1000
1400
400
500
0
0
0
0
P1
T1 T2 D1 D3D2
P2
T1
T2
D1
D2
B1
B2
B3
B4
B1 B2 800+B3 900+B4
-
PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 39 de 40
Oferta
Demanda
1000
1200
500
3
3
5
M
M
M
M
M
M
M
M
M M
M
M
M M
M
M
M
M
4
5
M
2
8 6
4 9
M
800
800
1000
1400
400
500
0
0
0
0
E
E
E
+M
+M
+M
+M +M
+M
+2
E E
E
EE
EE
E
E
E
P1
T1 T2 D1 D3D2
P2
T1
T2
D1
D2
B1
B2
B3
B4
B1 B2 800+B3 900+B4
Ya que ij > XJ0 i,j
A
Solucin ptima
-
PROGRAMACIN LINEAL
Tema 2.5 - 40 de 40
EJEMPLO DE TRANSBORDOSolucin ptima del ejemplo de transbordo:
XJ = ( XP1T2, XP2T1, XP2T2, XT1T2, XT1D1,
XP1T2
XP2T1
XP2T2
XT1T2
XT2T2
XT2D2
XD1T2
= 1400
= 1000
= 800
= 0
= 400
La solucin no es
nica, pues es una
solucin
degenerada
XT2T2, XT2D2, XD1T2, XD2T2, XD2D3 )
XT1D1
XD2T2
XD2D3= 800 = 500
= 0
= 0
= 0
Z = (1000*4) + (800*2) + (400*5) + (800*8) +
(1400*4) + (500*3) = 21.100 ($100)