7/21/2019 VLatino (18)

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MODELAMIENTO MATEMTICO APLICADO A CONMINUCINMATHEMATICAL MODELING APPLIED TO COMMINUTION

Edgar Ademar Prez Matos, Luis Alvarado Jaramillo, Mercedes Aida Osorio Maza, Zoila Emperatriz RuizMostacero

Universidad Nacional de ngenier!a

RESUMEN

El modelamiento matem"tico aplicado a e#uipos destinados en el proceso de conminuci$n de minerales%c&ancado, molienda', suelen ser &erramientas tan importantes para llegar a simular ( luego optimizarprocesos metal)rgicos continuos %a nivel industrial'* vale decir llegar a predecir el producto granulomtrico deun cierto mineral tratado, conociendo tan solo lo del alimento %simulaci$n'+ Oviamente el modelo almacenar"intr!nsecamente, in&erentemente las caracter!sticas -!sicas del mineral %dureza, -ractura' ( operativas dele#uipo %aertura./00'+/onsiguiendo de esta manera me1orar el rendimiento del e#uipo en cuesti$n ( #ueciertamente contriuir" en la uena repercusi$n en los procesos posteriores del tratamiento del mineral+

Palaras clave+.modelamiento, conminuci$n, simulaci$n, optimizaci$n, granulometr!a, mineral+

ABSTRACT

Mat&ematical modeling applied to e#uipments utilized in ore comminution process %crusing, milling' is soimportant tool -or simulation and optimisation o- continuos metallurgical processes %at indudtrial rate', ise#uivalent, to predict t&e granulometric (ield o- a processed ore, ( onl( 2no3ing o- -eed rate %simulated',Ovionsl( t&e model 3ill store intrinsic l( and in&erentl( t&e pl(sical properties o- ore %&ardness, -racture' ande#uipment operation conditions %/00 opening'+ 4&e etter per-ormance otained in t&is manner o- t&ee#uipment 3ill certaiml( contriute -or a good conse#uence in -uture ore processing 3or&s+

5e( 3ords+.modeling, comminution, simulation, optimization, granulometri(, ore+INTRODUCCIN

En el presente estudio nos ocuparemos del procesode conminuci$n en la etapa del c&ancado%trituraci$n', analizando el desempe6o de losdiversos e#uipos como c&ancadoras de #ui1adas,giratorias, c$nicas7 est"ndar $ de caeza corta 8s&ort &ead+ 9 mediante el uso adecuado delmodelamiento* poder determinar el rango operativo

#ue le compete %optimizaci$n', al e#uipo enmenci$n+ :;

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:I matriz identidad de tama6o7 nxn +

:x matriz de proceso %#ue depende de las

-unciones b ( C', de tama6o7 nxn +Ladenominaci$n n #uedar" de-inida o limitadapor la variedad o cantidad de tama6o demallas granulomtricas consideradas+

Amerita tamin precisar las siguientesmatrices ( -unciones %mani-estacionesmatem"ticas', #ue intervendr"n en elproceso de conminuci$n de minerales7

Matriz columna

Alimento7 f Producto7 p

11

31

21

11

.

.

.

nxnf

f

f

f

f=

*11

31

21

11

.

.

.

nxnp

p

p

p

p=

!unci"n Cla#i$icaci"n CiRe-erido "sicamente a los eventos continuos (constantes #ue acontece en la etapa del c&ancado%o de -ragmentaci$n', por e-ecto de la c&ancadora,&acia los -ragmentos $ part!cula mineral alimentado,con la proailidad de ser clasi-icado para suposterior -racturamiento :>

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100

100

10

2

1

n

n

k

Matricialmente7

nxnnnnnn BBBB

BBBBB

B

B

...

1......

.......

.......

1...1...1

1...11

:

321

333231

2221

11

!unci"n !ractura Parcial +

Dunci$n -ractura $ -racci$n de part!culas #ue

aparecen en el intervalo de tama6os i provenientede la reducci$n de material del intervalo de tama6o 1+:>@K?F;KHHHHHHHHHHHHHHHH

HH

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9 gr"-icamente se mani-iesta7

Di

Ci

Dig G+ Dunci$n clasi-icaci$n

Int,r1r,taci"n !i. 20

En la etapa del c&ancado precisamente en elalimento, sucede #ue las part!culas tan pe#ue6asrespecto a la aertura de descarga de la c&ancadorano su-rir"n ninguna alteraci$n %no -ragmentados',

por lo #ue se denota con un valor cero %H'* as!mismo -ragmentos tan grandes ante la aertura, detodas maneras ser"n -ragmentadas e#uivalente a unvalor de uno %;'+9 -inalmente las part!culas detama6o intermedio, #ue por su -orma aplanada $alargada ( ligada o los eventos de -ragmentaci$n,tendr"n la proailidad de ser -ragmentados :;

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7.9775.6033.9542.8031.975

1.3890.9860.7000.4960.3510.2480.1750.1240.0880.062

1.0001.0000.9620.8270.6210.4140.3180.2630.2150.1910.158

0.1350.1160.1000.0850.0720.0650.0510.0420.0360.000

1.000000000

1.0000000000.8824250260.717240373

0.5349509470.4350452620.3530481600.2939664570.2474211970.211654849

0.177985337

0.1507783920.128683758

0.110184916

0.080701105

0.094358449

0.068809931

0.057555193ES DEL PRESENTE TRABAJO TECNCO!"# $0.048635145

0.041902748ES DEL PRESENTE TRABAJO TECNCO!"# $%&'.000000000

T!!*#

+,#%-#: -+P,#-&$#: D$

/()

P,#-&$#: -

/()

9 gra-icamente tenemos7

126,3634

045

100,8031

25

71,27857

322

38 ,1 21, 99 704

526

15,55425

987

10,83858

847

7,664039

405

5,462476

545

3,953931

335

2,803279

151

1,974756

187

1,172724

605

0,589373

396

0,351921

866

0,249739

865

0,175698

606

0,123644

652

0,087726

849

0,062625

873

0,044877

611

0,019

Dig ?+ Dunci$n Dractura

Int,r1r,taci"n !i. 30

Los -ragmentos grandes a intermedios suelen ser-racturados, generalmente lo &acen en m"s de unevento ( en la continuidad se ir"n complementando( distriu(endo de acuerdo al grado de tama6osgenerados en tal proceso de conminuci$n+ :? ( @+

4ala G+ atos comparativos

Producto t7 data real reportado+

Producto Md7 data del modelo+Por el momento solo se &a conseguido vislumrarcierta tendencia comparativa %de productosgranulomtricos', al considerar los siete valoresaritrarios+A continuaci$n se tratar" de minimizar el error (acontra!do ( llegar a estalecer una aproimaci$n#ue se aseme1e ( represente a lo real , todo a#uellomediante el uso de solver.ecel+

Data Modelo

dpi

F(x)

Dig @7 4endenciade modelo

TERCERO Utilizando solver.ecel conseguimos7

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6/8

87.98862.21735.92121.99715.55410.999

7.977

5.6033.9542.8031.9751.3890.9860.7000.4960.3510.2480.1750.1240.0880.062

1.0001.0000.9620.8270.6210.4140.318

0.2630.2150.1910.1580.1350.1160.1000.0850.0720.0650.0510.0420.0360.000

1.0000000000.9998997610.9584531490.8420086820.6107724150.4377384680.322158813

0.2560516340.2119603460.1814309830.153584039

0.1314397820.1135281040.098547994

0.085542034

0.074133780.0640313590.054164524

0.046317800.0403988420.000000000

T!!*#

+,#%-#: -+

P,#-&$#: D$

/()

P,#-&$#: -/()

ue el error tienda a cero ( de recalcular lossiete par"metros aritrarios,consecuentemente con sus valores $ptimos+

ue el modelo ad#uiera una uenaaproimaci$n &acia lo real* con un errorm!nimo de H+HHGI

Dinalmente poder corroorar la a-inidad de los datos%ver 4ala ?' ( visualizando la proimidad %ver Dig+>'+

Data Modelo

dpi

F(x)

Dig >7 Aproimaci$n del modelo

RESULTADOS 4 DISCUSIONES

/onsiderando inicialmente los siete valoresaritrarios se consigue vislumrar cierta tendencia,&acia la data granulomtrica real del producto %Dig@', con un error de H+H;IGK>+

0in emargo &aciendo #ue los errores por cadatama6o granulomtrico sea m!nimo se consigue laaproimaci$n deseada con H+HHGI %de errormodelo'* con lo cual tamin se otuvo el recalculode todos los valores paramtricos $ptimos siguientes%mediante solver.ecel'7

5960338.2

4545568.0

216036.0

2

1

===

n

n

k

0*

0000.10

2417205.5

5773503.0

2

1

====

d

n

Adem"s se puede visualizar %Dig >', la consistencia#ue ad#uiere el modelo* pues la proimidad es tal#ue la curvas correspondientes a la data ( el modelose con-unden+

La -unci$n de proceso x de la relaci$n %@', ampara e

involucra a C ( B * como una cominaci$n deproailidad de -racturamiento polacional a travsde un circuito cerrado en la etapa del c&ancado+

CONCLUCIONES

Los par"metros &allados en condici$n m!nima deerror, ad#uieren la denominaci$n de valores $ptimos,#uienes &acen posile #ue el modelamientomatem"tico este apto para poder simular%aseme1ar', ( lograr predecir la ocurrenciagranulomtrica a travs del proceso del c&ancado+

Es decir simular la granulometr!a de salida de une#uipo de conminuci$n, en -unci$n de lagranulometr!a de entrada ( del proceso de reducci$nde tama6o #ue su-re el material dentro del e#uipo+

Entonces para cada alimento simularemos un

producto ( en lo sucesivo poder llegar a estalecerun rango de estailidad del desempe6o del e#uipo%optimizaci$n en la etapa del c&ancado'+

As! mismo podemos utilizar tal modelo como una&erramienta tan importante para monitorear losavances continuos ( con la data otenida poderprocesarla, llegando a de-inir ( determinar eldesempe6o operativo del e#uipo %c&ancadora.trituradora', en la etapa de c&ancado+

AGRADECIMIENTOS

A los docentes de la -acultad de ngenier!aeol$gica Minera ( Metal)rgica #ue &icieronposilela culminaci$n del presente traa1o ( en especial alM0c+ ng+ Oscar 0ilva /ampos ( M0c ng+ JosAntonio 5oas&i2a3a /&inen, por su permanenteapo(o+

R,$,r,ncia#

;+ J+ L(nc& A+, + Duerstenau +

4ala ?+ /orroorando atos

7/21/2019 VLatino (18)

7/8

/ircuito de trituraci$n ( molienda+esarrollo en los procesos minerales .simulaci$n optimizaci$n . dise6o (control+Edit+ Rocas ( minerales+ ;Q Edici$n;KH+

G+ A(res idalgo Dernando A+, 4orres PonceMiguel 4+

4cnicas matem"ticas aplicadas alalance de materia+ngenier!a ( computaci$n ERL+Are#uipa ;K+

?+ Leonel utirrez R, Jaime 0ep)lveda+imensionamiento ( optimizaci$n deplantas concentradoras mediantetcnicas de modelaci$n matem"tica+/entro de investigaci$n minerametal)rgica ;KF+

@+ +Austin Leonard, /onc&a A+ Dernandoise6o ( simulaci$n de circuitos demolienda ( clasi-icaci$n+Programa ieroamericano de ciencia (tecnolog!a para el desarrollo+0uprograma de tecnolog!a mineral+Red de -ragmentaci$n S.A+

>+ Olad A+ Ed3ard+

0 tec&nologies T control international+0alt+ La2e /it(, Uta&, U0A+Modelos matem"ticos de conminuci$n( sus aplicaciones en la industriamineral7 nov+;@+

F+ ill =+A . Naiper 4+JMineral processing tec&nolog(+An introduction to t&e practical aspects

o- ore treatment and mineral recover(7Octoer GHHF+

I+ 4aggart Art&ur D+Elementos de Preparaci$n deminerales+ Pro-esor de ngenier!a deMinerales de la Escuela de Minas de laUniversidad de /olumia %Nueva 9or2'8 ;FF+

/orrespondencia7

ademaredgar(a&oo+com

mailto:ademaredgar@yahoo.commailto:ademaredgar@yahoo.com

7/21/2019 VLatino (18)

8/8

INTEGRANTESTES

P5r,z Mato# E%.ar A%,mar

. Pro-esor nvestigador+

. ng+ Metalurgista. UN+

Al6ara%o 7aramillo Lui#

. ocente de la Dacultad de ngenier!a

Amiental+

. M0c ng+ Amiental. UN+

O#orio Maza M,rc,%,#

. ocente de la Dacultad de ngenier!a

eol$gica Minera ( Metal)rgica+

.ng+ Estad!stico . Vrea de /iencias.UN+

Ruiz Mo#tac,ro 8oila Em1,ratriz

. ocente de la -acultad de ingenier!a

eol$gica Minera ( Metal)rgica+

. /oordinadora del Vrea de /iencias+

. Licenciada en D!sica.UN+