Virasoro代数の表現論入門 - Kobe UniversityVirasoro代数の表現論入門庵原...

Virasoro代数の表現論入門

庵原　謙治（神戸大、理、数), 古閑　義之（大阪大、理、数）

概要

ここでは、Virasoro代数の表現論に関して [FeFu2]で得られている結果について解説する。その応用としてBernstein-Gelfand-Gelfand (BGG) 分解及び,Bechi-Rouet-Stora-Tyutin(BRST) 分解を特に Belavin-Polyakov-Zamolodchikov (BPZ) 系列の場合に構成する。

目次

1 定義 2

2 Jantzen Filtration 5

2.1 Shapovalov Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Jantzen Filtration I: Orginal Version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Jantzen Filtration II: A Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Weightの分類 I 10

3.1 方針 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 結果（Class R±） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 埋め込みDiagram 15

4.1 Singular Vectorの存在と一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 埋め込みDiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Verma加群の構造 19

5.1 準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2 結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.3 証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 BPZ系列のBGG分解 & 指標 23

7 Screening Operator 25

7.1 Screening Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.2 Determinant Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

8 Weightの分類 II 30

9 Fock加群の構造 31

9.1 Class V, I, R−の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9.2 Class R+の場合：準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9.3 Class R+の場合：構造定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10 BPZ系列のBRST分解 41

11 コメント 43

Reference44

1 定義この節では、Virasoro代数及び、その特別な highest weight 表現であるVerma加群や既約 highest weight加群、更に Fock表現について、その定義を復習する。まず、主役の代数であるVirasoro代数の定義を思い起こそう：

定義 1.1 Virasoro代数Virとは、C-vector space

Vir :=⊕

n∈ZCLn ⊕ Cc

であって、以下の交換関係を満たす Lie代数である：

[Lm, Ln] = (m− n)Lm+n +1

12(m3 −m)δm+n,0c,

[Vir, c] = 0.

この Lie代数は三角分解

Vir = Vir+ ⊕ Vir0 ⊕ Vir−, Vir± :=⊕

±n∈Z>0

CLn, Vir0 := CL0 ⊕ Cc

を持つ。従って、Virasoro代数の highest weight moduleと呼ばれる表現を考え得るが、まずその中で最も、` universalなもの ’を定義しよう：

定義 1.2 (z, h) ∈ C2 (∼= (Vir0)∗)に対して、Vir≥ := Vir0 ⊕ Vir+-module Cz,h := C1z,h

を以下で定める。

c.1z,h = z1z,h, L0.1z,h = h1z,h, Vir+.1z,h := 0.

このとき、highest weightが (z, h)のVerma加群 M(z, h)とは誘導加群

M(z, h) := IndU(Vir)

U(Vir≥)Cz,h = U(Vir)⊗U(Vir≥) Cz,h

のことである。

2

このとき、以下は容易にわかる：

補題 1.1 (z, h) ∈ C2 (∼= (Vir0)∗)に対して、

1. M(z, h)は V ir0-diagonalizableである, i.e.,

M(z, h) =⊕

n∈Z≥0

M(z, h)h+n, M(z, h)h+n := u|L0.u = (h + n)u.

2. 正の整数 n ∈ Z>0にたいして、

dim M(z, h)h+n = p(n) (nの分割数) < ∞.

3. M(z, h)は唯１つの極大部分加群 J(z, h)を持つ,i.e.,

L(z, h) := M(z, h)/J(z, h)

は highest weightが (z, h)の既約 highest weight加群。

次に、Virasoro代数の Fock加群を導入する。Hを rank 1 のHeisenberg Lie代数とする。つまり、Hは vector spaceとして、

H :=⊕

n∈ZCan ⊕ CKH

であり、以下の交換関係を満たすものである。

[am, an] := δm+n,0mKH, [H, c] = 0.

H は三角分解H = H− ⊕H0 ⊕H+, H± :=

⊕

±n∈Z>0

Can, H0 := Ca0 ⊕ CKH

を有する。ここで、H≥ := H0 ⊕H+, H≤ := H− ⊕H0とする。η ∈ C に対し、H-加群 Fη を以下で定義する。まず、

Cη := C1η

以下で定義される 1次元の H≥-加群とする：

1. an.1η = ηδn,01η (n ∈ Z \ 0).2. KH.1η = 1η.

誘導加群Fη := IndHH≥Cη

Hの Fock加群という。次に、Fη上にVirasoro加群の構造を導入する。まず、

a(z) :=∑

n∈Zanz

−n−1

とおく。このとき、以下の補題が成立する。

3

補題 1.2 λ, κ ∈ Cに対して、Tλ,κ(z) :=

1

2a(z)2

+ (λ∂z + κz−1)a(z) +1

2κ(κ− 2λ)z−2,

とおく。但し、

akal

:=

akal (k ≤ l),

alak (k > l).,

である。作用素 Lλ,κn |n ∈ Z を

∑

n∈ZLλ,κ

n z−n−2 := Tλ,κ(z).

で定義すると、以下が成り立つ：

1. Vir は Fη に以下で作用する：

Ln 7→ Lλ,κn and c 7→ zλidFη ,

但し、zλ := 1− 12λ2である。

2. Lλ,κ0 .(1⊗ 1η) =

1

2(η + κ)(η + κ− 2λ)(1⊗ 1η).

補注 1.1 作用素 Tλ,κ(z) は energy momentum tensor と呼ばれることもある。

この作用で、 Fη をVirasoro-加群とみなしたとき、Fη の代わりに Fηλ,κ. と書くこと

にする。実は、これらを fullに考える必要は無い。それは以下の同型による：

補題 1.3 λ, η, κ ∈ C　とする。このとき、Virasoro加群として以下は同型：

1. Fηλ,κ∼= Fη+κ

λ,0 .

2. Fηλ,κ∼= F−η

−λ,−κ.

3. (Fηλ,κ)

c ∼= Fη−λ,κ−2λ, 但し、(·)c は U(Vir) の anti-involution

σ : U(Vir) −→ U(Vir), Ln 7→ L−n (n ∈ Z), c 7→ c

の引き起こす contragredient dualである。

証明は 1, 2はそれぞれ、Hの同型an 7−→ an + κδn,0KH, KH 7−→ KH

及び、an 7−→ −an, KH 7−→ KH

について考えれば良い。3はHの anti-involution

an 7−→ a−n, KH 7−→ KH

の引き起こすH-加群としての同型

(Fη)c ∼= Fη

を考えれば良い。(詳細は、練習問題。)　従って、以下では、Fη

λ := Fηλ;0 とし、Virasoro加群 Fη

λ の構造を調べる。

4

2 Jantzen Filtration

この節では、Jantzen Filtrationについて、Jantzen [Ja]によるもの、及びその B. Feigin

& D. Fuchsらによる一般化 [FeFu2]について解説する。

2.1 Shapovalov Form

ここでは、Verma加群M(z, h)上の反変形式 (Shapovalov formとも呼ばれる)、及びKac-determinant について簡単に復習する。まず、

σ : U(Vir) −→ U(Vir), Ln 7→ L−n (n ∈ Z), c 7→ c

を anti-involutionとする。次に、直和分解

U(Vir) = U(Vir0)⊕ Vir−U(Vir) + U(Vir)Vir+

に関して第 1成分への射影を

π : U(Vir) −→ U(Vir0) ∼= C[(Vir0)∗]

とする。

定義 2.1 (z, h) ∈ (Vir0)∗ ∼= C2に対して、M(z, h)上の反変形式 (contravariant form)

〈·, ·〉z,h とは、

〈·, ·〉z,h : M(z, h)×M(z, h)−→U(Vir−)×U(Vir−)−→U(Vir0) −→C,

(x.vz,h, y.vz,h) 7−→ (x, y) 7−→π(σ(x)y)7−→π(σ(x)y)(z, h).

で定義されるものである。但し、x, y ∈ U(Vir−),vz,h := 1⊗ 1z,hとする。

このとき、以下の定理は良く知られており、その証明も簡単である。

定理 2.1 (z, h) ∈ (Vir0)∗とする。このとき、

1. (対称性 ) 〈u,w〉z,h = 〈w, u〉z,h (u,w ∈ M(z, h)).

2. (反変性 ) 〈x.u, w〉z,h = 〈u, σ(x).w〉z,h (x ∈ U(Vir), u, w ∈ M(z, h)).

3. Rad〈·, ·〉z,h = u ∈ M(z, h)|〈u,w〉z,h = 0 (∀w ∈ M(z, h)) はM(z, h)の極大部分加群.

上記の定理 2.1の 2で特に x = L0とおくことにより、以下の系を得る：

系 2.2 n, m ∈ Z>0に対して、m 6= nならば

〈·, ·〉z,h|M(z,h)h+m×M(z,h)h+n = 0.

5

そこで、n ∈ Z>0に対して、

〈·, ·〉z,h;n := 〈·, ·〉z,h|M(z,h)h+n×M(z,h)h+n

とおき、これが非退化かどうかを調べれば良い。つまり、定理 2.1及び系 2.2より、

系 2.3 　以下は同値：

M(z, h) : 既約 ⇐⇒ Rad〈·, ·〉z,h;n := Rad〈·, ·〉z,h ∩M(z, h)h+n = 0 ∀n ∈ Z>0.

そこで、補題 1.1の 2より、n ∈ Z>0に対して、ui1≤i≤p(n)をM(z, h)h+nの基底とするとき、

det〈·, ·〉z,h;n := det((〈ui, uj〉z,h)1≤i,j≤p(n)

)

がわかれば良い。これについては、以下の公式が知られている（証明は、e.g., [TK]を見られよ）：

定理 2.4 (Kac determinant) n ∈ Z>0とするとき、基底の選び方によるスカラー倍を除いて、以下が成立：

det〈·, ·〉z,h;n ∝∏

α,β∈Z>0α≥β

1≤αβ≤n

Φα,β(z, h)p(n−αβ),

但し、

Φα,β(z, h) :=

h + 1

24(α2 − 1)(z − 13) + 1

2(αβ − 1)

×h + 1

24(β2 − 1)(z − 13) + 1

2(αβ − 1)

+ 1

16(α2 − β2)2

α > β,

h + 124

(α2 − 1)(z − 13) + 12(α2 − 1) α = β,

とする。

2.2 Jantzen Filtration I: Orginal Version

ここでは、Janzten [Ja] に従って、元々の Jantzen filtrationについて復習する。まず、Rを体 K上の可換代数であって、かつ P.I.D.であるとする。Q(R) を R の商体とし、R-加群M に対し、MQ(R) := Q(R) ⊗R M とおく。以下、Rの素元 tを 1つとり、之を固定する。さて、νt : R −→ Z≥0 ∪ ∞を t進付値とし、剰余体R/tRをK,自然な射影を · : R ³ Kとおく。また、R-加群の圏からK-vector spaceの圏への函手 φをφ(M) := K ⊗R M で定義する。また、さぼって v ∈ M に対して、φ(v) := 1⊗ v ∈ φ(M)

と書いたりもする。次に、M を有限次元 ( r 次元としよう）Q(R)-vector spaceであって、非退化なQ(R)-

valuedな対称双一次形式 (·, ·)M をもつものとする。このとき、M のR-sublattice MR であって、以下を満たすものが存在すると仮定する：

(MR, MR)M ⊂ R, (MR)Q(R) = M.

6

MRは rankが rのR-自由加群である。MRのR-free basis e1, · · · , erを 1つ取り、

DR := det((ei, ej)M)1≤i,j≤r

とおく。このとき、DR は R の unit倍を除いて一意、従って νt(DR) はwell-defined。ここで、K-vector space M := φ(MR) 上の非退化対称双一次形式 (·, ·) を以下で定義する：

(φv1, φv2) := (v1, v2)R (v1, v2 ∈ MM).

定義 2.2 k ∈ Z≥0に対して、

MR(k) := v ∈ MR| (v, MR)M ⊂ tkR

とおき、ιk : MR(k) → MR を自然な埋め込みとする。ここで、

M(k) := φ ιk(MR(k))

とおくと、K-vector space M に filtration

M = M(0) ⊃ M(1) ⊃ M(2) ⊃ · · ·

を定める。この filtration M(k)k∈Z≥0を Jantzen filtrationという。

このとき、以下の定理が成立する：

定理 2.5 ([Ja]) 1. M(1) = Rad(·, ·)である。

2. k ∈ Z>0　に対して、商空間M(z, h)(k)/M(z, h)(k + 1)上に非退化な対称双一次形式が存在する。( v1, v2 ∈ MR(k) に対して、(φv1, φv2)k := t−k(v1, v2)M を考えよ。)

3. n ∈ Z>0に対して、以下の等式が成立する：

νt(DR) =∞∑

k=1

dimK M(k).

( R が P.I.D. であることを用いるのはここだけである。)

さて、Verma加群M(z, h)に対して、Jantzen filtrationをこれに従って、定義するには以下の事実に注意すれば良い。まず、Shapovalov form 〈·, ·〉z,h であるが、系 2.2より、これは n ∈ Z≥0ごとに、weight subspace M(z, h)h+n上に定義されていると思って良い。各weight subspaceは有限次元の vector spaceだから、上で述べた構成が applyでき、それらの直和をとることにより、Verma加群M(z, h)の Jantzen filtration M(z, h)(k)が定義される。このとき、以下の補題に注意しておく。

補題 2.6 k ∈ Z≥0に対して、M(z, h)(k) はVerma加群 M(z, h) の部分加群である。特に、M(z, h)(1)は M(z, h) の極大部分加群である。

7

2.3 Jantzen Filtration II: A Generalization

ここでは、Janzten filtration a la Feigin & Fuchs とでも言うべき、[FeFu2] で与えられている Janzten filtrationのある種の一般化について述べる。なお、以下に於いて、基礎体Kは固定する。

S を代数多様体とし、V,W を S 上の rank r の vector bundle とする。今、vector

bundleの morphsm f : V −→ W が与えられているとする。（つまり、以下の図式は可換。）

Vf//

666

6666

W

§§§§

§§§

S

V,Wの sectionのなす sheafをそれぞれ V ,Wをする。さて、P ∈ S 及び、点 P を regularな点として含む曲線 C ⊂ S を 1つとり、固定する。そして、V,W,V ,W , f の曲線Cへの制限をそれぞれVC ,WC ,VC ,WC , fC とし、V,W の点 P での fibreをVP ,WP , VC ,WC の点 P での stalkを VC,P ,WC,P , fCの点 P 上の fibreへの制限を fC,P とする。ここで、以下の仮定をする：

[仮定] ImfC,P の rank は目一杯、i.e., r。

さて、ここで、fC,P と書いたら、fの induceするmorphism VC,P −→WC,P を表すとし、fibre上のmorphismは fP : VP −→ WP と略記することにする。OC を C の構造層とし、OC,P をその点 P に於ける stalkとする。このとき、定義よりOC,P は離散付値環ゆえ、unique maximal ideal mP = (t) が存在する。（t ∈ OC,P は一意化元、と呼ばれる。）

定義ー命題 2.1 n ∈ Z≥0に対して, VC,P の OC,P -部分加群 VC,P (n) 及び VP の K-vector

subspace VC,P (n) を以下で定義する：

VC,P (n) := u ∈ VC,P |fC,P (u) ∈ mnPWC,P,

VC,P (n) := u(P ) ∈ VP |u ∈ VC,P (n).

同様に、WC,P の OC,P -部分加群 IKC,P (n) 及び WP の K-vector subspace IKC,P (n) を以下で定義する：

IKC,P (n) := m−nP (mn

PWC,P ∩ ImfC,P ) ,

IKC,P (n) := u(P ) ∈WP |u ∈ IKC,P (n).

ここで、 IKC,P (0) := ImfC,P とし、WP の商空間 WC,P (n) を以下で定義する：

WC,P (n) := WP /IKC,P (n− 1).

πn を自然な射影 WP ³ WC,P (n)とし、 ‘f の n階微分’

f(n)C,P : VC,P (n) −→WC,P (n)

8

を以下で定義する：f

(n)C,P (u) := πn((t−nfC,P (u))(P )),

但し、u は VC,P (n) の元であって、u(P ) = u ∈ VC,P (n) を満たすものとする。このとき、以下が成立する。

1. Map f (n) は well-defined, i.e.,

((t−nfC,P )(u))(P ) ∈ IKC,P (n− 1) (∀u ∈ VC,P (n) ∩mPVC,P ).

2. 以下の filtrationが存在する：

VP =: VC,P (0) ⊃ VC,P (1) ⊃ VC,P (2) ⊃ · · · ,

∞⋂n=1

VC,P (n) = 0.

3. 以下の co-filtration が存在する：

WP =: WC,P (0) ³ WC,P (1) ³ WC,P (2) ³ · · · .

上の VP の filtration VC,P (n) を (VP ,WP ; f ; C) の Jantzen filtration といい、, WP

の co-filtration WC,P (n) を (VP ,WP ; f ; C) の Jantzen co-filtration という。

さて、簡単にわかることだが、まず以下の命題が成り立つ：

命題 2.7 n ∈ Z>0 とする。

1. VC,P (n) = Kerf(n−1)C,P ,

2. WC,P (n) = Cokerf(n−1)C,P ,

3. 従って、特に K-vector space として、VC,P (n) ∼= WC,P (n).

この命題の意味するところは、以下に説明するDualityにある。V∨,W∨をそれぞれV,Wの dual bundle とし、

tf : W∨ −→ V∨

をfの transposeとする。W∨C,P (n), V∨C,P (n)をそれぞれ、(W∨

P ,V∨C,P ; tf ; C)の Jantzen

(co-) filtration とする。このとき、以下の命題が成り立つ：

命題 2.8 n ∈ Z>0とする。

W∨C,P (n) ∼= WC,P (n)∗, V∨C,P (n) ∼= VC,P (n)∗,

但し、∗ は K-vector space の dual を表すものとする。

9

さて、次に、s ∈ C に対して、U ⊂ C をsの開近傍であって、VC ,WC を trivializeするものとする。mi1≤i≤r ⊂ Γ(U,VC), ni1≤i≤r ⊂ Γ(U,WC) をそれぞれ Γ(U,VC), Γ(U,WC)

の Γ(U,OC)-free basis とする。ここで、det fC,s ∈ OC,s を以下を満たすものとして定義する：

(det fC,s)n1 ∧ n2 ∧ · · · ∧ nr := fC,s(m1) ∧ fC,s(m2) ∧ · · · ∧ fC,s(mr) ∈ Γ(U,∧rWC).

det fC,s はOC,s の uint倍を除いて、well-definedである。νP : (OC,P ,mP ) −→ Z≥0 を付値とする。このとき、Character sum formula と呼ばれる、以下の等式が成り立つ：

補題 2.9

νP (det fC,P ) =∞∑

n=1

dimK VC,P (n).

3 Weightの分類 I

(z, h) ∈ C2に対して、

D(z, h) := (α, β) ∈ (Z>0)2|α ≥ β ∧ Φα,β(z, h) = 0

とおく。　weightの分類、とここで表題にあるのは、要するにD(z, h)のTypeによって(z, h) ∈ C2の分類をする、ということである。

3.1 方針

まず、天下りではあるが

z = 13− 6(P

Q+

Q

P), h =

m2 − (P −Q)2

4PQ

とする。このとき、簡単な計算により、

Φα,β(z, h) =1

(4PQ)2(m− Pα + Qβ)(m + Pα−Qβ)

×(m−Qα + Pβ)(m + Qα− Pβ)

を得る。

補注 3.1 (α, β) ∈ (Z>0)2に対して、

z(t) := 13− 6(t + t−1), hα,β(t) :=1

4(α2 − 1)t− 1

2(αβ − 1) +

1

4(β2 − 1)t−1

とおくと、Zα,β := (z(t), hα,β(t))|t ∈ C∗

となる。 ¤

10

また、このとき、定義より、

D(z, h) = (α, β) ∈ (Z>0)2|α ≥ β, (Pα−Qβ = ±m) ∨ (Qα− Pβ = ±m)

となっている。結局、(α, β)-平面で 4本の直線Pα−Qβ = ±m 及び Qα−Pβ = ±m の有理点を数え上げる問題に帰着される。そこで、大別すると、以下の様な状況に分かれるのは、明らかであろう：

Class V (Vacant): D(z, h) = ∅,

Class I (Irrational): D(z, h) 6= ∅ かつ P/Q 6∈ Q,

Class R (Rational): D(z, h) 6= ∅ かつ P/Q ∈ Q。

実は、有理点の分類の立場からは更に、Class Rを以下のClassに分けるのが自然である：

Class R+: D(z, h) 6= ∅ かつ P/Q ∈ Q>0。

Class R−: D(z, h) 6= ∅ かつ P/Q ∈ Q<0。

定義から、直ちにわかることは、もし、(z, h)がClass Vに属していたら、Verma加群M(z, h)は既約である。また、もし、(z, h)がClass Iに属していたら、]D(z, h) = 1となることも明らかである。従って,weight (z, h)がClass Vまたは、Class Iに属する場合は、

]D(z, h) ≤ 1

となり、単純過ぎて面白く無い。という訳で、以下ではweight (z, h)はClass R に属すると仮定する。そこで、P, Q ∈ Zと仮定しても、一般性を失わない。更に、このとき、m 6∈ Zなら、D(z, h) = ∅となるので、以下では

P ∈ Z \ 0, Q ∈ Z>0, m ∈ Z

と仮定する。ここで、4本の直線のグラフを考えることにより、以下の 3つのTypeの存在が従う：

11

QP6= ±1 かつ m 6= 0 の場合：

P/Q > 0

6

-

β

α©©©©©©©©©©©©

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

©©©©©©©©©©©©

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

P/Q < 0

6

-

β

α

HHHHHHHHHHHH

AA

AA

AA

AA

AA

AA

HHHHHHHHHHHHA

AA

AA

AA

AA

AAA

図 1: Type I

P/Q = ±1 かつ m 6= 0 の場合：　

P/Q = 1

6

-

β

α

P/Q = −1

6

-

β

α

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

図 2: Type II

P/Q > 0 かつ m = 0 の場合：

6

-

β

α

©©©©©©©©©

¢¢¢¢¢¢¢¢¢

図 3: Type III

12

補注 3.2 1. 所謂、Belavin-Polyakov-Zamolodchikov (BPZ) 系列、と呼ばれるもののhighest weight は以下の様に、paparemtrizeされる：

z = 13− 6(p

q+

q

p), h =

(rp− sq)2 − (p− q)24pq

.

但し、 p, q, r, s ∈ Z>0 は p, q > 1, (p, q) = 1, 1 ≤ r < q 及び 1 ≤ s < pを満たすものとする。従って、特にType I の weightになっている。

2. (z, h) が Class R+ (resp. R−)かつ Type IIに属する weightだとすると、z = 1

(resp. z = 25)となる。

そこで、最も ‘generic’な場合である、Type Iのweightを parametrizeすることを考える。key observationは以下の補題による：

補題 3.1 4本の直線のうち、1本を（適当に）選んで、それを　 `z,hとおく。

Class R+ このとき、集合(α, β) ∈ Z2 ∩ `z,h|αβ > 0

と、集合 D(z, h)の間に 1対 1対応がある。（以下の図が気持ちを伝えている。）

6

-

β

α

`z,h

`1

`2 `3

6

-

β

α

`z,h

r`′1

`′2

`′3

Class R− このとき、集合

(α, β) ∈ (Z>0)2 ∩ `z,h| αβ > 0

と集合 D(z, h)の間に、1対 1対応がある。（以下の図が気持ちを伝えている。）

6

-

β

α`2`1

`z,h 6

-

β

α

r`′1

`′2

`z,h

13

次にClass Rのweight (z, h) ∈ C2に対し、今、この補題で決めた直線 `z,h上の第 1及び第 3象限にある有理点 (αk, βk) (k ∈ Z>0)を

0 ≤ α1β1 ≤ α2β2 ≤ · · ·

を満たすように、並べ直す。そして、次に、weight (z, h + αkβk) ∈ C2に対して、同様の操作をくり返す。以上を注意深く行えば良い。

3.2 結果（Class R±）

前に述べたことを、ちゃんと実行すると以下の分類を得る。p, q ∈ Z>0を互いに素な正の整数とし、

z± := z

(±p

q

)= 13∓ 6

(p

q+

q

p

)

とおき、之を固定する。このとき、(anti-) ‘dominant weight’ を parametrizeする集合K±

p,qを以下で、定義する：

K±p,q :=

(r,±s) ∈ Z2

∣∣∣∣∣0 ≤ r < q

0 ≤ s < p, rp + sq ≤ pq

次に、各 (r, s) ∈ K±p,q及び i ∈ Zに対して、L0-Weight hiを以下で定義する：

hi :=

h−iq+r,s

(±p

q

)i ≡ 0 mod 2

h−(i+1)q+r,−s

(±p

q

)i ≡ 1 mod 2

.

補注 3.3 このとき、Class R±に属するweight (z±, h)に対して、必ずある (r, s) ∈ K±p,q

及び、i ∈ Zが存在して、h = hiと書けることが、面倒だが簡単な計算により従う。

ところで、このようにして得られた L0-weightは genericな (r, s) ∈ K±p,q に対しては、

i　 ∈ Z ごとに全て異なるweightを与えるのであるが、退化しているところがあり、それによって、Case 分けを行う。結果は以下の通り。

表 1: L0-weightの分類

Case 1± 0 < r < q ∧ 0 < ±s < p

Case 2± r = 0 ∧ 0 < ±s < p

Case 3± 0 < r < q ∧ s = 0

Case 4± r = 0 ∧ ± s = 0, p

14

補注 3.4 上の分類に於いて、 Case 1±に属するL0-weight hiは、i ∈ Zごとに全て異なる weightを与えるが、それ以外の場合、以下の退化が起こっている。

Case 2± h−(i+1) = hi (i ∈ Z≥0)

Case 3± h2i = h2i−1 (i ∈ Z)

Case 4± h−2i−1 = h−2i = h2i = h2i−1 (r, s) = (0, 0) (i ∈ Z≥0)

h−2i−2 = h−2i−1 = h2i = h2i+1 (r,±s) = (0, p) (i ∈ Z≥0)

という訳で、各Case ごとに、hiの iの動く範囲を以下の表の様に制限しても、差し支えない。

Case 1σ 2σ 3σ 4σ

σ = + Z Z≥0 (−1)i−1ii∈Z≥02Z≥0

σ = − Z \ 0 Z>0 (−1)i−1ii∈Z>0 2Z>0

4 埋め込みDiagram

Verma加群M(z, h)の Jantzen filtrationの構造を調べるためにVerma加群の埋め込みdiagramを構成する。

4.1 Singular Vectorの存在と一意性

まず、一般の (z, h) ∈ (Vir0)∗に対して、以下の命題が成立する。

命題 4.1 任意の n ∈ Z>0に対して、

dimM(z, h)h+nVir+ ≤ 1.

但し、M(z, h)h+nVir+ := u ∈ M(z, h)h+n|Vir+.u = 0

である。(M(z, h)h+nVir+ \ 0の元は、singular vectorと呼ばれる。)

証明の方針:「第1ステップ」n ∈ Z>0に対してまずPn := (1r12r2 · · ·nrn)|ri ∈ Z≥0,∑n

i=1 iri =

nを nの分割とし、I = (1r12r2 · · ·nrn) ∈ Pnに対し、eI := Lrn−n · · ·Lr2−2L

r1−1とおく。こ

のとき、eI.vz,h|I ∈ Pn (vz,h = 1⊗ 1z,h) はM(z, h)h+nの基底をなす。「第2ステップ」n ∈ Z>0に対して、Pn上の全順序>を以下で定義する: I = (1r12r2 · · ·nrn), J =

(1s12s2 · · ·nsn) ∈ Pn,

I > J ⇐⇒ ∃m ∈ Z>0 s.t. m ≤ n,

rk = sk k < m,

rk > sk k = m.

　

15

「第 3ステップ」n ∈ Z>0に対して、w ∈ M(z, h)h+nVir+ \ 0が存在するとせよ。このとき、

w =∑

I∈Pn

cwI eI.vz,h

とおく。J = (1s1jsj · · ·nsn) ∈ Pn (∃j ∈ Z>1 s.t. sj > 0)であって cwJ 6= 0を満たすものに対して、J′ := (1s1+1jsj−1 · · ·nsn) ∈ Pn−j+1とおく。また、

w′ := Lj−1.w =∑

I′∈Pn−j+1

cw′I′ eI′ .vz,h

と定義する。このとき、等式

cw′J′ = αw

J cwJ +

∑

I∈PnI>J

Qw;IJ cw

I

を満たす αwJ ∈ C∗及びQw;IJ ∈ Cが存在する。

「第 4ステップ」第 3ステップで得られた cwJ に関する等式の triangularityから、一意性が従う。 ¤さて、Kac determinantと singular vectorの存在との関係について,以下の補題が成立する。

補題 4.2 (z, h) ∈ (Vir0)∗に対して、Φα,β(z, h) = 0を満たす正の整数 α, β ∈ Z>0が存在するとする。このとき、

dimM(z, h)h+αβVir+ = 1.

この補題は以下のように証明される。まず、

Zα,β : = (z, h) ∈ (Vir0)∗|Φα,β(z, h) = 0= (z(t), hα,β(t))|t ∈ C∗

但し、

z(t) := 1− 6(t− 1)2

t, hα,β(t) :=

(αt− β)2 − (t− 1)2

4t

とおく。ここで、t ∈ C \ Qのとき、Φγ,δ(z(t), hα,β(t)) = 0を満たす (γ, δ) ∈ (Z>0)2は

(α, β) ∈ (Z>0)2に存在しないことが示され、このとき、

det〈·, ·〉z(t),hα,β(t);n 6= 0 ∀n < αβ

を満たすことがわかる。このことから、定理 2.1に注意すると、

∃w(t) =∑

I∈Pαβ

cw(t)I (t)eI.vz,h ∈ M(z(t), hα,β(t))hα,β(t)+αβVir+ \ 0

てあることが従う。特に、係数たち cwI (t)I∈Pαβは互いに素な tの多項式になっている

としてよい。後は、(z(t), hα,β(t)) = 補題の (z, h)となるような tを t = t0 ∈ C∗として、w(t0)を考えれば命題 4.1より、証明が完了する。

16

4.2 埋め込みDiagram

以上の準備の基で、BPZ系列に属するVerma加群の埋め込みDiagramを構成する。まず、記号の準備として、整数 i ∈ Zに対して、[hi] := M(z, hi)とし、Verma加群M(z, hi)

からVerma加群M(z, hj) (i, j ∈ Z) への単射を

[hi] // // [hj].

で表すことにする。このとき、命題 4.1及び補題 4.2を用いると次の可換図式の存在が容易に構成される。

17

図 4: 埋め込みDiagram

1+ 2+ 3+ 4+

[h0] [h0] [h0] [h0]

[h1]<<

<<zzzzz[h−1]cc

ccGGGGG[h1]OO

OO

[h1]OO

OO

[h2]OO

OO

ddJJJJJ

[h2]OO

OO

99

99sssssssssssss[h−2]OO

OO

ee

KKKKKKK[h2]OO

OO

[h−2]OO

OO

[h4]OO

OO

ddJJJJJ

[h3]OO

OO

99


OO

ee

KKKKKKK[h3]OO

OO

[h3]OO

OO

[h6]OO

OO

ddJJJJJ

[h4]OO

OO

99


OO

ee

KKKKKKK[h4]OO

OO

[h−4]OO

OO

[h8]OO

OO

1− 2− 3− 4−

[h4] [h−4] [h4] [h−4] [h8]ddJJJJJ

[h3]OO

OO

99


OO

ee

KKKKKKK[h3]OO

OO

[h3]OO

OO

[h6]OO

OO

ddJJJJJ

[h2]OO

OO

99


OO

ee

KKKKKKK[h2]OO

OO

[h−2]OO

OO

[h4]OO

OO

ddJJJJJ

[h1]OO

OO

99


OO

ee

KKKKKKK[h1]OO

OO

[h1]OO

OO

[h2]OO

OO

[h0]bb

bbDDDDD ;;

;;wwwww[h0]OO

OO

[h0]OO

OO

[h0]OO

OO

18

5 Verma加群の構造この節では、前節で構成した Verma 加群の間の埋め込み Diagram(図 4) を用いて、

Verma加群M(z, hi)の Jantzen filtrationの構造を決定する。なお、記号の煩雑さを避けるため、図 4の埋め込みによる ImageとPre-Imageを記号の上で、区別しないことにする。

5.1 準備

ここでは、(z, h) が Class R に属する場合の Verma加群M(z, h) に対して、そのcharacter sum ∑

l>0

chM(z, h)(l)

を定理 2.5を用いて計算した結果のみを記す。それは以下の通りである。

補題 5.1 互いに素な正の整数 p, q ∈ Z>0を選び、之を固定する。

1. Class R+: z = z(pq),

(I) Case 1+: i ∈ Z,

∑

l>0

chM(z, hi)(l) =∑

k∈Z|k|>|i|

k−i≡1 mod 2

chM(z, hk),

(II) Case 2+: i ∈ Z≥0,

∑

l>0

chM(z, hi)(l) =∑

k>i

chM(z, hk),

(III) Case 3+: i ∈ Z≥0,

∑

l>0

chM(z, h(−1)i−1i)(l) =∑

k>i

chM(z, h(−1)k−1k),

(IV) Case 4+: i ∈ Z≥0,

i. (p, q) 6= (1, 1) ∧ (s = p ∨ i > 0),

∑

l>0

chM(z, h2i)(l) = 2∑

k>i

chM(z, h2k),

ii. (p, q) = (1, 1) ∨ (s = 0 ∧ i = 0),

∑

l>0

chM(z, h2i)(l) =∑

k>i

chM(z, h2k),

2. Class R−: z = z(−pq)

19

(I) Case 1−: i ∈ Z \ 0,∑

l>0

chM(z, hi)(l) =∑

k∈Z|k|<|i|

k−i≡1 mod 2

chM(z, hk),

(II) Case 2−: i ∈ Z>0,

∑

l>0

chM(z, hi)(l) =∑

0≤k0,

∑

l>0

chM(z, h(−1)i−1i)(l) =∑

0≤k0,

i. (p, q) 6= (1, 1) ∧ s = 0,

∑

l>0

chM(z, h2i)(l) = 2∑

0<k0

chM(z, h2i)(l) = 2∑

0≤k0

chM(z, h2i)(l) =∑

0≤k0) は以下の様に、記述される：

1. Class V:

M(z, h)(k) = 0.

2. Class I: このとき、(z, h) = (z(t), hα,β(t)) となる t ∈ C \Q 及び α, β ∈ Z>0 が存在する。

M(z, h)(k) =

M(z, h + 1

2αβ) k = 1,

0 k > 1.

20

3. Class R±: p, q ∈ Z>0　を互いに素な整数の組とし、 z = z（± pq)とおく。

(I) Case 1±: i ∈ Z (\0 for Case 1−),

M(z, hi)(k) = M(z, h|i|+k) + M(z, h−|i|−k) (Case 1+),

M(z, hi)(k) =

∑l∈Z

|l|=|i|−kM(z, hl) k ≤ i

0 k > i(Case 1−).

(II) Case 2±: i ∈ Z≥0 (\0 for Case 2−),

M(z, hi)(k) = M(z, hi+k) (Case 2+),

M(z, hi)(k) =

M(z, hi−k) k ≤ i

0 k > i(Case 2−).

(III) Case 3±: i ∈ Z≥0 (\0 for Case 3−),

M(z, h(−1)i−1i)(k) = M(z, h(−1)i+k−1(i+k)) (Case 3+),

M(z, h(−1)i−1i)(k) =

M(z, h(−1)i−k−1(i−k)) k ≤ i

0 k > i(Case 3−).

(IV) Case 4+: i ∈ Z≥0,

i. The case (p, q) 6= (1, 1) ∧ (s = p ∨ i 6= 0),

M(z, h2i)(k) = M(z, h2i+2d k+12e),

ii. The case (p, q) = (1, 1) ∨ (s = 0 ∧ i = 0),

M(z, h2i)(k) = M(z, h2(i+k)).

(V) Case 4−: i ∈ Z>0,

i. The case (p, q) 6= (1, 1) ∧ s = 0,

M(z, h2i)(k) =

M(z, h2i−2d k+12e) k < 2i,

0 k ≥ 2i.

ii. The case (p, q) 6= (1, 1) ∧ s = −p,

M(z, h2i)(k) =

M(z, h2i−2d k+12e) k ≤ 2i,

0 k > 2i.

iii. The case (p, q) = (1, 1),

M(z, h2i)(k) =

M(z, h2(i−k)) k ≤ i,

0 k > i.

21

埋め込みDiagram (図 4) は、singular vectorの存在について、最低限Kac-determinant

から読み取れる情報を基に、構成されているのであるが、実は、この定理から更に強く、以下の命題が従う：

命題 5.3 任意のVerma加群の部分加群は singular vectorで生成される。

5.3 証明

ここでは、定理 5.2の証明を、BPZ系列について行う。他の場合も、同様の ideaで証明できる。証明さて、簡単のため、i ∈ Z, k ∈ Z>0に対して、

N(z, hi)(k) := M(z, h|i|+k) + M(z, h−|i|−k) ⊂ M(z, hi)

とおく。まず、M(z, hi)(k) ⊃ N(z, hi)(k) を示す。これは、定理 2.5及び埋め込みDiagram(図 4)より、kについての数学的帰納法で証明できる。

次に、M(z, hi)(k) = N(z, hi)(k) を示す。n ∈ Z>0とし、任意の　 0 ≤ m < n なるm ∈ Z 及び任意の i ∈ Z, k ∈ Z>0に対して、

M(z, hi)(k)hi+m = N(z, hi)hi+m

が成立していると仮定する。(帰納法の最初のステップは trivial。) このとき、

M(z, hi)(k)hi+n = N(z, hi)hi+n

が成立することを以下で示す。まず、次の complexは L0-weight= hi + n のところでacyclicである：

· · · dj+1−→ M(z, h|i|+k+j)⊕M(z, h−|i|−k−j)dj−→ · · ·

· · · d2−→ M(z, h|i|+k+1)⊕M(z, h−|i|−k−1)d1−→ M(z, h|i|+k)⊕M(z, h−|i|−k)

d0−→ N(z, hi)(k) −→ 0,

但し、d0(x, y) := x + y, dj(x, y) := (x + y,−x− y) (j > 0)

とする。実際、これが complexになっていること, i.e., Kerdj ⊃ Imdj+1 (j ∈ Z≥0)は定義より明らか。よって、Kerdj ⊂ Imdj+1を示せば良い。ところで、定義より d0は全射である。また、j ∈ Z>0に対して定義より、

Kerdj = (x,−x)|x ∈ M(z, h|i|+k+j) ∩M(z, h−|i|−k−j),Imdj+1 = (x,−x)|x ∈ M(z, h|i|+k+j+1) + M(z, h−|i|−k−j−1).

22

ここで、M(z, h|i|+k+j)(1)はM(z, h|i|+k+j)の極大部分加群（cf. 定理 2.5の 1）だから,

M(z, h|i|+k+j) ∩M(z, h−|i|−k−j) ⊂ M(z, h|i|+k+j)(1)

となる。また、このとき、hi+n = h|i|+k+j +(hi−h|i|+k+j +n)であり、hi−h|i|+k+j +n n

ゆえ、帰納法の仮定から

(M(z, h|i|+k+j)(1))hi+n = (N(z, h|i|+k+j)(1))hi+n

となる。従って、N(z, h|i|+k+j)(1)の定義より、

(M(z, h|i|+k+j) ∩M(z, h−|i|−k−j)

)hi+n

⊂ (M(z, h|i|+k+j)(1))hi+n = (N(z, h|i|+k+j)(1))hi+n

=(M(z, h|i|+k+j+1) + M(z, h−|i|−k−j−1)

)hi+n

,

すなわち、Kerdj ⊂ Imdj+1が L0-weight= hi + nのところで成立する。次に、Euler-Poincare Principle により、

dim N(z, hi)(k)hi+n =∞∑

j=1

(−1)j−1dim M(z, h|i|+k+j−1)hi+n + dim M(z, h−|i|−k−j+1)hi+n

となり、

∞∑

k=1

dim N(z, hi)(k)hi+n =∞∑

k=1

dim M(z, h|i|+2k−1)hi+n + dim M(z, h−|i|−2k+1)hi+n

を得る。一方、補題 5.1より、

∞∑

k=1

dim M(z, hi)(k)hi+n =∞∑

k=1

dim N(z, hi)(k)hi+n

となり、既に示されている包含関係より、

M(z, hi)(k)hi+n = N(z, hi)(k)hi+n

が従う。　 ¤

6 BPZ系列のBGG分解 & 指標前節で得られた結果の１つの系として、既約highest weight module L(z, hi)のBernsten-

Gel’fand-Gel’fand(BGG)型の resolutionが得られる：

系 6.1 (BGG分解) 任意の i ∈ Zに対して、次の完全列が存在する：

· · · −→ M(z, h|i|+j)⊕M(z, h−|i|−j) −→ · · ·· · · −→ M(z, h|i|+1)⊕M(z, h−|i|−1) −→ M(z, hi)　 −→ L(z, hi) −→ 0.

23

証明まず、定理 2.5の 1及び定理 5.2より、以下の短完全列を得る：

0 −→ N(z, hi)(1) = M(z, hi)(1) −→ M(z, hi) −→ L(z, hi) −→ 0.

また、N(z, hi)(1)の定義より、次の列も完全：

0 −→ M(z, h|i|+1) ∩M(z, h−|i|−1) −→ M(z, h|i|+1)⊕M(z, h−|i|−1) −→ N(z, hi)(1) −→ 0

であるが、定理 5.2より、M(z, h|i|+1)∩M(z, h−|i|−1) ∼= N(z, h|i|+1)(1)ゆえ、以下の短完全列を得る：

0 −→ N(z, h|i|+1)(1) −→ M(z, h|i|+1)⊕M(z, h−|i|−1) −→ N(z, hi)(1) −→ 0.

以下同様に k ∈ Z>0に対して、短完全列

0 −→ N(z, h|i|+k+1)(1) −→ M(z, h|i|+k+1)⊕M(z, h−|i|−k−1) −→ N(z, h|i|+k)(1) −→ 0

を得る。後は、上で構成した短完全列のYoneda Product (cup 積)を取れば良い。 ¤最後に、系 6.1の応用として、L(z, h0)の指標を計算する。まず、q = e2π

√−1τ (Imτ > 0)とし、weight 12のmodular form Θn,m(τ)及び η(τ)を以

下で定義する。

定義 6.1 1. Dedekindの η函数：　 η(τ) = q124

∏∞n=1(1− qn).

2. theta函数：　m ∈ Z>0　及び　 n ∈ Z/2mZに対して、

Θn,m(τ) :=∑

k∈Zqm(k+ n

2m)2 .

ここで、Vir-加群 V を highest weight が (z, h)の highest weight module とするとき、そのweigh分解を

V =∞⊕

n=0

Vh ＋ n, Vh ＋ n := u ∈ V |L0.u = (h + n)u (n ∈ Z≥0)

とする。このとき、

trV qL0− 124

c :=∞∑

n=0

(dim Vh+n)qh+n− 124

z

とおき、これを V の normalized characterと呼ぶ。この函数 tr·qL0− 124

cの加法性から、系 6.1を用いると、既約 highest weight module L(z, h0)の normalized characterは以下の様に計算される：

trL(z,h0)qL0− 1

24c =

∑

i∈Z(−1)itrM(z,hi)q

L0− 124

c

= η(τ)−1∑

i∈Z(−1)iqhi− 1

24(z−1)

= η(τ)−1 (Θrp−sq,pq(τ)−Θrp+sq,pq(τ)) .

従って、trL(z,h0)qL0− 1

24cはweight 0 のmodular formであることがわかる。

24

7 Screening Operator

この節では、Fock加群の間の Screening operatorと呼ばれるmorphismを導入し、それを用いて、Virasoro加群の射

Γλ,η : M(zλ, hηλ) −→ Fη

λ , Lλ,η : Fηλ −→ M(zλ, h

ηλ)

c

の L0-weight subspaceへの制限の determinantを計算する。但し、

zλ = 1− 12λ2, hηλ =

1

2η(η − 2λ)

である。

7.1 Screening Operator

ここでは、Screening operatorを定義し、その存在について議論する。詳細については、[TK] を参照されよ。まず、µ ∈ C 及び不定元 ζ に対して、作用素 eµq ∈ EndH<

(⊕η∈CFη

)及び , ζµa0 ∈

EndH(⊕

η∈CFη)を以下で定義する：

eµq.(1⊗ 1η) := 1⊗ 1η+µ,

ζµa0 .(1⊗ 1η) := ζµη(1⊗ 1η).

次に、作用素 Sµ;aa∈C ⊂ EndC(⊕

η∈CFη)の生成函数 Sµ(ζ)を以下で定義する：

Sµ(ζ) := exp

(µ

∑

k>0

a−k

kζk

)exp

(−µ

∑

k>0

ak

kζ−k

)eµqζµa0 .

簡単な計算から、Sµ(ζ)は以下の交換関係を満たすことが示される：

補題 7.1 n ∈ Z とする。

[Ln, Sµ(ζ)] = ζn

ζ

d

dζ+

1

2µ(µ− 2λ)(n + 1)

Sµ(ζ).

また、a ∈ Z>1に対して、作用素 Sµ(ζi) (1 ≤ i ≤ a) の合成は以下のように記述される：

Sµ(ζ1) · · ·Sµ(ζa)

=∏

1≤i<j≤a

(ζi − ζj)µ2

× exp

(µ

∑

k>0

a−k

k

a∑i=1

ζki

)exp

(−µ

∑

k>0

ak

k

a∑i=1

ζ−ki

)

× eaµq

(a∏

i=1

ζi

)µa0

.

25

正確には、左辺は領域 (ζ1, · · · , ζa)||ζ1| > |ζ2| > · · · > |ζa| > 0 で収束する作用素であり、右辺によって、その解析接続が与えられているとみなす。さて、ここで、作用素K(µ; ζ1, · · · , ζa) (a ∈ Z>0) を以下の式で定義する：

K(µ; ζ1, · · · , ζa) := Sµ(ζ1) · · ·Sµ(ζa)

(a∏

i=1

ζi

)−µa0− 12(a−1)µ2

.

このとき、補題 7.1より、K(µ; ζ1, · · · , ζa) は以下の交換関係を満たすことが、示される：

補題 7.2 n ∈ Z とする。

[Ln, K(µ; ζ1, · · · , ζa)]

=a∑

i=1

ζni

ζi

∂

∂ζi

+1

2µ(µ− 2λ)(n + 1) + µa0 − 1

2(a + 1)µ2

K(µ; ζ1, · · · , ζa).

さて、次に、作用素K(µ; ζ1, · · · , ζa)のFuorier係数を見てみる。　 a ∈ Z>1に対して、

Ma := (ζ1, · · · , ζa) ∈ (C∗)a|ζi 6= ζj (1 ≤ i 6= j ≤ a)

とし、多価函数∏

1≤i<j≤a

(ζi − ζj)µ2

a∏i=1

ζ− 1

2(a−1)µ2

i

のMonodromy群に附随するC-係数の local systemを Sµ とし、その dualを S∨µ とする。各 twisted cycle Γ ∈ Ha(Ma,S∨µ ) 及び li ∈ Z (1 ≤ i ≤ a) に対して、

O(µ; Γ; l1, · · · , la) :=

∫

Γ

K(µ; ζ1, · · · , ζa)a∏

i=1

ζ−li−1i dζi

とおく。このとき、補題 7.2及び、部分積分より、以下の命題が従う：

命題 7.3 λ, η ∈ C 及び、li (1 ≤ i ≤ a) は、条件

λ =1

2µ− µ−1, η − λ = −1

2aµ− bµ−1, li = b (∀i) (∃ µ ∈ C∗, ∃ b ∈ Z)

を満たすとする。このとき、作用素

O(µ; Γ; l1, · · · , la)

はVirasoro加群の射である。

以下、この節では λ及び ηを命題を満たすものとし、之を固定する。

定義 7.1 作用素

S(µ; Γ; a, b) := Oµ; Γ; b, · · · , b︸︷︷︸

a

を (twisted-)cycle Γ ∈ Ha(Ma,S∨µ ) に附随する screening operatorという。

26

さて、次に作用素 S(µ; Γ; a, b) が non-trivialな射になるための、1つの十分条件を与える。a = 1の場合は明らかに non-trivialゆえ、a > 1 とする。実は、積分

∫

Γ

∏1≤i<j≤a

(ζi − ζj)µ2

a∏i=1

ζ− 1

2(a−1)µ2

i

a∏i=1

dζi

ζi

(1)

が non-trivialなら、作用素 S(µ; Γ; a, b) は non-trivialになることが、簡単にわかる。そこで、この積分の non-trivialityについて調べよう。もし、1

2µ2 ∈ Zなら、local system

S∨µ は trivial になるが、このとき、Γ として、原点 ζ1 = · · · = ζa = 0の周りのResidue

を拾う cycleをとれば、積分 (1) は non-trivialになる。そこで、以下では 12µ2 6∈ Zとす

る。ここで、

Ya−1 := (z1, · · · , za−1) ∈ (C∗)a−1|zi 6= zj (i 6= j), zi 6= 1

と置く。このとき、変数変換

ζ1 := ζ, ζi := ζzi−1 (1 < i ≤ a)

によって、積分 (1)の積分核は

∏1≤i<j<a

(zi − zj)µ2

∏i≤i<a

(1− zi)µ2

z− 1

2(a−1)µ2

i

∏1≤i<a

dzi

zi

× dζ

ζ

となる。このうち、zi変数に依存する項は Ya−1上の多価函数であり、そのMonodromy

群はC-係数の local system Sµ を定めるが, [TK] の Lemma 3.9 により、同型

Ha(Ma,S∨µ ) ∼= Ha−1(Ya−1, S∨µ )⊗H1(C∗,C)

が存在することが示されている。但し、S∨µ は Sµ の dual local systemである。つまり、或種の cycle Γ ∈ Ha(Ma,S∨µ ) に対しては、cycle Γ1 ∈ Ha−1(Ya−1, S∨µ ) 及び Γ2 ∈ H1(C∗,C)

が存在して、積分 (1) は以下の積分に等しくなる、というのである：∫

Γ1

∏1≤i<j<a

(zi − zj)µ2

∏i≤i<a

(1− zi)µ2

z− 1

2(a−1)µ2

i

∏1≤i<a

dzi

zi

×∫

Γ2

dζ

ζ.

従って、問題は上の積分の第 1項の non-trivialityに帰着された。そこで、

　Ωa :=

µ ∈ C

∣∣∣∣1

2d(d + 1)µ2 6∈ Z,

1

2d(d− a)µ2 6∈ Z (1 ≤ d < a)

とおく。このとき、[TK]の命題 4.2 及び、[Sel] により、以下の定理が成立する：

定理 7.4 以下の性質を満たすΩa 上定義された cycle Γ(µ) ∈ Ha−1(Ya−1, S∨µ )が存在する：

1. 任意の Ya−1 上の正則函数 g(z1, · · · , za−1) に対して、以下の積分は Ωa 上正則：∫

Γ(µ)

∏1≤i<j<a

(zi − zj)µ2

∏1≤i<a

(1− zi)µ2

z− 1

2(a−1)µ2

i g(z1, · · · , za−1)∏

1≤i<a

dzi

zi

.

27

2. 以下の等式が成立する：∫

Γ(µ)

∏1≤i<j<a

(zi − zj)µ2

∏1≤i<a

(1− zi)µ2

z− 1

2(a−1)µ2

i

∏1≤i<a

dzi

zi

=(−π)a−1Γ

(12aµ2 + 1

)

(a− 1)!Γ(

12µ2 + 1

)a ∏1≤j<a sin 1

2jµ2π

.

　

そこで、a ∈ Z>0 及び b ∈ Z とし、更に µ ∈ Ωa とする。Γ1 = Γ(µ) ∈ Ha−1(Ya−1, S∨µ ) を上の定理にある cycle とし、Γ′ を H1(C∗,C) の生成元とする。また、Γ := Γ(µ)× Γ′ とおく。このとき、以下の定理が成り立つ：

定理 7.5 Screening operator

S(µ; Γ; a, b) : Fλ− 12aµ−bµ−1

λ −→ Fλ+ 12aµ−bµ−1

λ

は以下に述べる意味で non-trivialである。

1. b ≥ 0 のとき、1⊗1λ− 12aµ−bµ−1 の像はFλ+ 1

2aµ−bµ−1

λ の level が 12ab の non-trivialな

元 (singular vector) を定める。

2. b ≤ 0 のとき、像が 1⊗ 1λ+ 12aµ−bµ−1 になるような Fλ− 1

2aµ−bµ−1

λ の level が 12ab の

non-trivialな元 (co-singular vector) が存在する。

7.2 Determinant Formulae

ここでは、前で得た結果を基に、次の 2つの射について、そのdeterminantを計算する。

定義 7.2 λ, η ∈ C とする。このとき、

Γλ,η : M(zλ, hηλ) −→ Fη

λ , 1⊗ 1zλ,hηλ7→ 1⊗ 1η,

Lλ,η : Fηλ −→ M(zλ, h

ηλ)

c, 1⊗ 1η 7→ (1⊗ 1zλ,hηλ)∗,

とおく。但し、(1⊗1zλ,hηλ)∗ ∈ M(zλ, h

ηλ)

c は (1⊗1zλ,hηλ)∗(1⊗1zλ,hη

λ) = 1によってnormalize

されるものとする。

補注 7.1 射 Γλ,η 及び Lλ,η の関係は以下の通りである。

1. Γλ,η, Lλ,η の合成は、Shapovalov formによって定義される射 Szλ,hη

λ, i.e.,

Szλ,hηλ

: M(zλ, hηλ) −→ M(zλ, h

ηλ)

c, u 7→ 〈u, ·〉zλ,hηλ

に他ならない。

28

2. 補題 1.3 より、以下の関係が成立する。

Lλ,η = tΓλ,2λ−η.

実は、この observationが以下の計算の鍵になる。

さて、補注 7.1 より、射 Γλ,η 及び Lλ,η のうち、いづれか一方の determinantが計算出来れば十分である。更に、Shapovalov form の誘導する射 Sz,h の determinant は定理 2.4

により、与えられることに注意すると後は、以下の、簡単な計算及び、定理 7.5 を用いると直ちに得られる。さて、(z, h) = (zλ, h

ηλ) のとき、Kac-determinant がどのようにな

るかを見てみよう。まず、λ ∈ C に対して、λ± := λ±

√λ2 + 2

とおく。（これは、µ の 2次方程式 λ = 12µ − µ−1 の解である。）このとき、以下の等式

が成り立つ：

Φα,β(zλ, hηλ)

=1

4

η − λ− 1

2(αλ+ + βλ−)

η − λ− 1

2(βλ+ + αλ−)

×

η − λ +1

2(αλ+ + βλ−)

η − λ +

1

2(βλ+ + αλ−)

α 6= β,

=1

2η − λ− αλ η − λ + αλ α = β.

結果は、以下の通り。まず、n ∈ Z>0 に対して、

M(z, h)n := u ∈ M(z, h)|L0.u = (h + n)u,M(z, h)c

n := u ∈ M(z, h)c|L0.u = (h + n)u,(Fη

λ)n := u ∈ Fηλ |L0.u = (hη

λ + n)uとし、

Γλ,η;n := Γλ,η|M(zλ,hηλ)n

: M(zλ, hηλ)n −→ (Fη

λ)n,

Lλ,η;n := Lλ,η|(Fηλ)n

: (Fηλ)n −→ M(zλ, h

ηλ)

cn

とおく。また、Map Γλ,η;n, Lλ,η;nの適当な基底に関するdeterminantをそれぞれ、det Γλ,η;n, det Lλ,η;n

とおくと、以下の定理が成り立つ：

定理 7.6 ([TK]) λ, η ∈ C とし、n ∈ Z>0 とする。

det Γλ,η;n ∝∏

r,s∈Z>01≤rs≤n

(η − λ) +

1

2(rλ+ + sλ−)

p(n−rs)

,

det Lλ,η;n ∝∏

r,s∈Z>01≤rs≤n

(η − λ)− 1

2(rλ+ + sλ−)

p(n−rs)

.

29

8 Weightの分類 II

この節では、Fock加群 Fηλ を parametrizeする ‘weight’ (λ, η)を分類する。なお、ここ

での分類は § 3 での分類より、ある意味では細かいものを与えることになる。それは、λ

を固定したとき、L0-weight hηλ を与える η が genericには 2つあり、しかもFock module

として、その 2つは同型では無い（contragredient dualになっている）ことに起因する。

まず、T ∈ C∗ 及び、(α, β) ∈ (Z>0)2 に対して、

λ(T ) :=1√2(T − T−1), ηα,β(T ) :=

1√2(αT − βT−1)

とおく。このとき、

zλ(T ) = z(T 2), hλ(T )±ηα,β(T )

λ(T ) = hα,β(T 2)

となっていることに、注意しておく。そこで、(λ, η) ∈ C2 に対して、(zλ, hηλ) がClass ∗

に属すとき、‘weight’ はClass ∗ に属する、ということにする。(λ, η) が Class V に属するとき、何もしようがない。　(λ, η) が Class I に属するとき、ある正の整数の組 (α, β) ∈ (Z>0)

2 及び T ∈ C∗ が存在して、

T 2 6∈ Q, λ = λ(T ), η ∈ λ(T )± ηα,β(T )となる。(λ, η) が Class R± に属するとしよう。このとき、

λ = λ

(ω±

√p

q

), ω+ = 1, ω− = (−1)

12

となる互いに素な整数 p, q ∈ Z>0が存在する。さて、(λ, η) がClass R− に属するとしよう。このとき、定理 7.6 より、射 Γλ,η 及び Lλ,η が共に、退化するとことは無い。つまり、このとき、Fock加群 Fη

λ は Verma加群M(zλ, hηλ) か contragredient Verma加群

M(zλ, hηλ)

c のいづれかに同型である。従って、この場合、Fock加群の構造を新たに調べ直す必要は無い。よって、以下では、(λ, η) が Class R+ に属する場合を考える。天下りではあるが、‘dominant weight’ を parametrize する集合として、

Kp,q :=

(r, s) ∈ Z2

∣∣∣∣∣0 ≤ r ≤ q

0 ≤ s ≤ p

を考える。次に各 (r, s) ∈ Kp,q に対して、

η(r, s; i) := λ

(√p

q

)+

η−iq+r,s

(√pq

)i ≡ 0 mod 2,

η−(i+1)q+r,−s

(√pq

)i ≡ 1 mod 2,

とおく。この η(r, s; i) の退化の度合いによって、集合 Kp,q を以下の 3つの Group に分ける：

30

表 2: Kp,qのGroup分け

Group [ 0 < r < q ∧ 0 < s < p

Group \ (r ≡ 0 (q) ∧ s 6≡ 0 (p)) ∨ (r 6≡ 0 (q) ∧ s ≡ 0 (p))

Group ] r ≡ 0 (q) ∧ s ≡ 0 (p)

補注 8.1 η(r, s; i) の退化の度合いは以下の表の通り：

Group \ r ≡ 0 (q) η(0, s; i) = η(q, p− s; i + 1)

s ≡ 0 (p)η(r, p; i) = η(r, p; i + 1) i ≡ 0 (2)

η(r, 0; i) = η(r, 0; i + 1) i ≡ 1 (2)

Group ] ∀ s η(0, s; i) = η(q, p− s; i + 1)

∀ rη(r, p; i) = η(r, p; i + 1) i ≡ 0 (2)

η(r, 0; i) = η(r, 0; i + 1) i ≡ 1 (2)

という訳で、各 (r, s) ∈ Kp,q に対して、η(r, s; i) の i の動く範囲を、下記の表の様に制限しても一般性を失わない。

Group [ \ ]

i の範囲 Z 2Z 2Z

補注 8.2 集合 Kp,q の自己同型

(r, s) 7−→ (q − r, p− s)

は以下の意味を持つ。簡単な計算から

η(q − r, p− s; i)− λ

(√p

q

)= −(η(r, s;−i)− λ

(√p

q

)),

であるが、これはh

η(q−r,p−s;i)λ = h

η(r,s;−i)λ 　

であることを意味している。特に i = 0 の場合、これは、Kac table の対称性に他ならない。しかし、Fock加群の level では、補題 1.3 より、以下の同型に対応している：

Fη(q−r,p−s;i)λ

∼= (Fη(r,s;−i)λ )c.

これが、この節の始めに述べたことの意味である。

9 Fock加群の構造この節では、Fock加群の構造を調べる。特に、non-trivialなのは (λ, η) ∈ C2 がClass

R+ に属する場合なので、この場合に詳細に調べる。

31

9.1 Class V, I, R−の場合

ここでは、単純な場合を全て、片付けておく。まず、(λ, η) が Class V に属する場合、Fock加群 Fη

λ は既約、従って、この場合は以下の様になる：

補題 9.1 (Class V) 以下の同型が存在する。

Fηλ∼= M(zλ, h

ηλ)∼= M(zλ, h

ηλ)

c.

次に、(λ, η)がClass I叉はClass R−に属する場合、ある正の整数の組 (α, β) ∈ (Z>0)2

及び T ∈ C∗ が存在して、

λ = λ(T ), η ∈ λ(T )± ηα,β(T )

となる。定理 7.6 より、この場合、以下の様になる：

補題 9.2 (Class I, R−) 以下の同型が存在する：

1. η = λ(T ) + ηα,β(T ) の場合、Fη

λ∼= M(zλ, h

ηλ).

2. η = λ(T )− ηα,β(T ) の場合、

Fηλ∼= M(zλ, h

ηλ)

c.

という訳で、これらの場合は、何も新しいことが無く面白く無いのである。因に、[FeFu2]

では、(λ, η) が Class R− に属する場合の構造は Class R+ に属する場合の dualっぽく書いてあり、これは｀大嘘 ’である。おそらく、真面目に考えずに答えを書いたのであろう。

9.2 Class R+の場合：準備

ここでは、まず、Jantzen filtration a la Feigin & Fuchs 用いるための setting を行う。次に、Character sumの計算をし、次節に向けての準備を行う。まず、M,F,Mc を D = C2 上の trvial vector bundle であり、その点 (λ, η) ∈ D 上の fibre がそれぞれ、M(zλ, h

ηλ),Fη

λ ,M(zλ, hηλ)

c であるものとする。次に、Γ, L を vector

bundleの射であって、M Γ //

##GGGGGGGGG F L //

Mc

wwww

wwww

ww

D

点 (λ, η) ∈ D の fibre上でそれぞれ Γλ,η, Lλ,η となるものとする。また、vector bundle の

射 S : M −→Mc をS := L Γ 定める。以上の状況に § 2.3 で導入した Jantzen filtration

32

の一般化を apply 出来ることは、既に説明済みである。各点P = (λ0, η0) ∈ D に対して、CP ⊂ D を以下で定義される直線とする：

(λ− η)− (λ0 − η0) = 0.

ここで、M(zλ0 , hη0

λ0)(n)n∈Z≥0

, M(zλ0 , hη0

λ0)(n]n∈Z≥0

, Fη0

λ0[n)n∈Z≥0

及びM(zλ0 , h

η0

λ0)c(n)n∈Z≥0

, Fη0

λ0(n]n∈Z≥0

, M(zλ0 , hη0

λ0)c[n)n∈Z≥0

, をそれぞれ 4つ組MP ,Mc

P ; S; CP, MP ,FP ; Γ; CP, FP ,McP ; L; CP に附随する Janzten (co-)filtration

とする。次に、各 (λ, η) ∈ D 及び n ∈ Z≥0 に対して、

Pr(n) : M(zλ, hηλ)

c ³ M(zλ, hηλ)

c(n),

Pr(n] : Fηλ ³ Fη

λ(n],

Pr[n) : M(zλ, hηλ)

c ³ M(zλ, hηλ)

c[n)

を自然な射影とする。OCP ,P の一意化元 tを固定し、Szλ,hηλ, Γλ,η, L

λ,ηの n階微分 S(n)

zλ,hηλ, Γ

(n]λ,η, L

λ,η[n)

を定義する。このとき、以下の補題は簡単に証明出来る：

補題 9.3 ([FeFu2]) k, l ∈ Z≥0 とする。ここで、

w ∈ M(z, h)(k + l) \M(z, h)(k + l + 1) ∩ M(z, h)(k] \M(z, h)(k + 1]

なる元wが存在すると仮定する。但し、(z, h) = (zλ, hηλ) とする。このとき、以下の性質

を満たす vector wf ∈ Fηλ [l) \ Fη

λ [l + 1) 及び wc ∈ M(z, h)c \ 0 が存在する。

1. Pr(k](wf ) = Γ(k]λ,η(w),

2. Pr(k+l)(wc) = S(k+l)z,h (w) かつ Pr[l)(wc) = Lλ,η

[l) (wf )。

さて、では実際に、個々の場合に Fηλ の構造をみていこう。まず、p, q ∈ Z>0 を互いに

素な正の整数とし、

λ := λ

(√p

q

), z := zλ

とおき、之を固定する。次に、(r, s) ∈ Kp,q に対して、

h(r, s; i) := hη(r,s;i)λ

とおく。このとき、命題 2.8 及び補注 8.2 より、基本的にはCharcater sum

∑

k>0

chM(z, h(r, s; i))(k]

を用いて、解析するだけである。そこで、この場合にも補題 2.9 を用いて計算した結果のみを以下に記す。

補題 9.4 互いに素な正の整数 p, qを選び、これを固定する。

33

1. Group [: (i ∈ Z), ∑

k>0

chM(z, h(r, s; |i|+ 2k − 1)),

2. Group \: (i ∈ 2Z),

(i) r ≡ 0 (q): ∑

k>0

chM(z, h(r, s;−∣∣∣∣i−

r

q

∣∣∣∣−(

2k − r

q

))),

(ii) s ≡ 0 (p): ∑

k>0

chM(z, h(r, s;

∣∣∣∣i +s

p

∣∣∣∣ +

(2k − s

p

))),

3. Group ]: (i ∈ 2Z),

(i) i 6= 0: ∑

k>0

chM(z, h(r, s; i + 2(sgni)k)),

(ii) i = 0 ∧ rp− sq 6= 0:∑

k>0

chM(z, h(r, s;−2(sgn(rp− sq))k)),

(iii) i = 0 ∧ rp− sq = 0: ∑

k>0

chM(z, h(r, s;∓2k)).

補注 9.1 L0-weight h(r, s; i) とVerma加群のところに出てきたweight hi の関係は.以下の通りである。まず、

σ : Kp,q −→ K+p,q, (r, s) 7−→ (r, s), (q − r, p− s) ∩K+

p,q

とおく。このとき、(r, s) ∈ Kp,q 対して定義されるweight h(r, s; i) と σ(r, s) ∈ K+p,q に

対して定義される weight hi の関係は以下の表で与えられる。Group (r, s) ∈ Kp,q h(r, s; i) σ(r, s)

[ rp + sq < pq hi (r, s)

rp + sq > pq h−i (q − r, p− s)

\ r ≡ 0 (q)hi− r

qi ≥ r

q

h−i−(1− rq) i < r

q

(0, s) r = 0

(0, p− s) r = q

s ≡ 0 (p)hsgn(rp−sq)(i−(1− s

p)) i > − s

p

hsgn(rp−sq)(i+ sp) i ≤ − s

p

(r, 0) s = 0

(q − r, 0) s = p

] rp− sq 6= 0hi−2 r

qi ≥ r

q

h−i−2 sp

i ≤ − sp

(0, p)

rp− sq = 0hi i ≥ 0

h−i i ≤ 0(0, 0)

34

実は、より強く以下の補題が成り立つ。

補題 9.5 p, q を互いに素な正の整数とし、

z := 13− 6

(p

q+

q

p

)

を固定する。このとき、各 k ∈ Z>0 に対して、以下の同型が存在する。

1. Group [: (i ∈ Z),

M(z, h(r, s; i))(k] ∼= M(z, h(r, s; |i|+ 2k − 1)),

2. Group \: (i ∈ 2Z),

(i) r ≡ 0 (q):

M(z, h(r, s; i))(k] ∼= M(z, h(r, s;−∣∣∣∣i−

r

q

∣∣∣∣−(

2k − r

q

))),

(ii) s ≡ 0 (p):

M(z, h(r, s; i))(k] ∼= M(z, h(r, s;

∣∣∣∣i +s

p

∣∣∣∣ +

(2k − s

p

))),

3. Group ]: (i ∈ 2Z),

(i) i > 0 ∨ i = 0 ∧ rp− sq ≥ 0:

M(z, h(r, s; i))(k] ∼= M(z, h(r, s; i− 2k)),

(ii) i < 0 ∨ i = 0 ∧ rp− sq ≤ 0:

M(z, h(r, s; i))(k] ∼= M(z, h(r, s; i + 2k)).

証明はどの 3 つの場合も同様ゆえ、Group [ の場合のみ、示すことにする。　証明　まず、Character sum formula (補題 9.4) より、以下が成立する：

(A)M(z, h(r, s; i))(1]h(r,s;|i|+1)−h(r,s;i)

Vir+ 6= 0.

(B)M(z, h(r, s; i))(1]h(r,s;−(|i|+1))−h(r,s;i)

Vir+

= 0.

実際、主張 (A) は補題 9.4 より、以下の事実が成り立つことから従う：

dimM(z, h(r, s; i))(1]h−h(r,s;i)

Vir+

=

0 h < h(r, s; |i|+ 1),

1 h = h(r, s; |i|+ 1).

35

　また、主張 (B) は補題 9.4 より、multiplicity に関して等式

[M(z, h(r, s; i))(1] : L(z, h(r, s;−(|i|+ 1)))] = 0

が成り立つことから従う。さて、Verma加群 M(z, h(r, s; i)) の部分加群で主張 (A), (B)

を共に満たすものは M(z, h(r, s; |i|+1)) と同型ゆえ、k = 1 の場合は証明終わり。さて、k に関する帰納法で k − 1まで、証明できたとすると、補題 9.4 と帰納法の仮定から

∑

l≥k

chM(z, h(r, s; i))(l] =∑

l≥k

chM(z, h(r, s; |i|+ 2l − 1))

となり、同様の証明で k の場合も証明できる。　 ¤

9.3 Class R+の場合：構造定理

ここでは前節の結果を用いて、(λ, η) が属する 3つのGroup の場合にそれぞれ、Fock

加群Fηλ の構造を調べていく。

まず (λ, η) が Group [ に属す場合の Fock加群 Fη(r,s;i)λ (i ∈ Z) の構造を調べる。

wk ∈ M(z, hη(r,s;i)λ ) (k 6= 0)を L0-weightが h(r, s;−(sgnk)(|i|+ |k|))の 0でない singular

vector とする。更にこのとき、補題 9.3 によって存在が保証されている wk に対応するFη(r,s;i)

λ の元をwfk とする。また、wf

0 := 1⊗ 1η(r,s;i)λ とおく。このとき、以下の定理が成

り立つ：

定理 9.6 ([FeFu2]: Group [) Fock加群 Fη(r,s;i)λ に関して、以下が成立する：

1. k ∈ Z>0 とするとき、以下の同型が存在する。

U(Vir).wf2k−1

∼= L(z, h(r, s;−(|i|+ 2k − 1))).

そこで、Gη(r,s;i)λ := Fη(r,s;i)

λ /⊕k∈Z>0 U(Vir).wf2k−1 とおき、

π : Fη(r,s;i)λ ³ Gη(r,s;i)

λ

を canonical projectionとする。

2. l ∈ Z とするとき、以下の同型が存在する。

U(Vir).π(wf2l)∼=

L(z, h(r, s; i)) l = 0,

L(z, h(r, s;−(sgnl)(|i|+ 2|l|))). l 6= 0

そこで、Gη(r,s;i)

λ := Gη(r,s;i)λ /⊕l∈Z U(Vir).π(wf

2l) とおき、

π : Gη(r,s;i)λ ³ Gη(r,s;i)

λ


36

3. このとき、以下の同型が存在する：

Gη(r,s;i)

λ∼=

⊕

k∈Z>0

U(Vir).π π(wf−2k+1),

U(Vir).π π(wf−2k+1)

∼= L(z, h(r, s; |i|+ 2k − 1)) (k ∈ Z>0).

この定理の証明の準備とし、次の補題を示す。

補題 9.7 m, n ∈ Z は m− n ∈ 2Z を満たすとする。このとき、以下が成立する：

Ext1(Vir,Vir0)(L(z, h(r, s; m)), L(z, h(r, s; n))) ∼= 0.

証明　まず、k ∈ Z に対して、

Ext1(Vir,Vir0)(M(z, h(r, s; k)), L(z, h(r, s; n))) ∼= Ext1

(Vir≥,Vir0)(Cz,h(r,s;k), L(z, h(r, s; n)))

∼= HomVir0(Cz,h(r,s;k), H1(Vir+, L(z, h(r, s; n))))

に注意する。後は、系 6.1 を用いて、H1(Vir+, L(z, h(r, s; n))) を計算し、定理 5.2 を用いて、短完全列

0 −→ M(z, h(r, s; m))(1) −→ M(z, h(r, s; m)) −→ L(z, h(r, s; m)) −→ 0

に附随する、Extの長完全列を考えれば良い。 ¤定理 9.6の証明　 1 について。k ∈ Z>0 とするとき、補題 9.3 より、

wf2k−1 ∈ Fη(r,s;i)

λ [k) ∩KerPr(k−1], i.e., U(Vir).wf2k−1 ⊂ Fη(r,s;i)

λ [k) ∩KerPr(k−1]

であることが示される。一方、 [U(Vir).wf2k−1 : L(z, h(r, s;−(|i| + 2k − 1)))] 6= 0 かつ、

j ∈ Z \ 0 に対して、

[U(Vir).wf2k−1 : L(z, h(r, s;−(sgnj)(|i|+ |j|))] ≤ [Fη(r,s;i)

λ [k) : L(z, h(r, s;−(sgnj)(|i|+ |j|))],[U(Vir).wf

2k−1 : L(z, h(r, s;−(sgnj)(|i|+ |j|))] ≤ [KerPr(k−1] : L(z, h(r, s;−(sgnj)(|i|+ |j|))]

ゆえ、補題 9.5 及び、命題 2.7 より、1が示される。2について。 k ∈ Z>0 及び l ∈ Z に対して、補題 9.3 より、次の事実が成り立つことに注目する。

wfl ∈ Fη(r,s;i)

λ [k) ∩KerPr(k+1] ⇐⇒ l ∈ 2k ± 1,±2k (:= Ik とおく。).

そこで、1 の場合と同様に,muliplicityに関する計算から、

chFη(r,s;i)λ [k) ∩KerPr(k+1] =

∑

l∈Ik

chL(z, h(r, s;−(sgnl)(|i|+ |l|)))

となることが示される。よって、1 より、

chπFη(r,s;i)λ [k) ∩KerPr(k+1] =

∑

l∈±2kchL(z, h(r, s;−(sgnl)(|i|+ |l|)))

37

となる。k = 0 の場合も同様。これと、補題 9.7 より、2 は示される。3について。k, l ∈ Z>0 に対して、補題 9.3 より、

wf−(2l−1) ∈ Fη(r,s;i)

λ [k − 1) ∩KerPr(k+1] ⇐⇒ l = k.,

となるので、1 の場合と同様に

π πFη(r,s;i)λ [k − 1) ∩KerPr(k+1] = U(Vir)π π(wf

−(2k−1))

∼= L(z, h(r, s; |i|+ 2k − 1)).

後は、Characterの計算から従う。　 ¤次に、Group \ の場合で、以下の定理の証明は、Group [ の場合と同様に出来るので、結果のみを述べる。

定理 9.8 ([FeFu2]: Group \) Fock加群 Fη(r,s;i)λ に関して、以下が成立する：

1. s 6≡ 0 (p) ∧ [i < 0 ∨ [i = 0 ∧ r = q]] ∨ r 6≡ 0 (q) ∧ [i > 0 ∨ [i = 0 ∧ s = p]]:

(i) k ∈ Z>0 とするとき、KerPr(k] ∩ Fη(r,s;i)λ [k) は既約である。そこで、

Gη(r,s;i)λ := Fη(r,s;i)

λ /⊕k∈Z>0 KerPr(k] ∩ Fη(r,s;i)λ [k) とおき、


λ


(ii) k ∈ Z>0 とするとき、πKerPr(k+1] ∩ Fη(r,s;i)λ [k) は既約であり、以下が成立

する：Gη(r,s;i)

λ =⊕

k∈Z>0

πKerPr(k+1] ∩ Fη(r,s;i)λ [k).

2. s 6≡ 0 (p) ∧ [i > 0 ∨ [i = 0 ∧ r = 0]] ∨ r 6≡ 0 (q) ∧ [i < 0 ∨ [i = 0 ∧ s = 0]]:

(i) k ∈ Z>0 とするとき、KerPr(k] ∩ Fη(r,s;i)λ [k − 1) は既約である。そこで、

Gη(r,s;i)λ := Fη(r,s;i)

λ /⊕k∈Z>0 KerPr(k] ∩ Fη(r,s;i)λ [k − 1) とおき、


λ


(ii) k ∈ Z>0 とするとき、πKerPr(k+1] ∩ Fη(r,s;i)λ [k − 1) は既約であり、以下が

成立する：

Gη(r,s;i)λ =

⊕

k∈Z>0

πKerPr(k+1] ∩ Fη(r,s;i)λ [k − 1).

また、Group ] についても、同様に以下が成立する：

38

定理 9.9 ([FeFu2]: Group ]) k ∈ Z>0 とするとき、KerPr(k] ∩ Fη(r,s;i)λ [k − 1) は既約

であり、従ってFη(r,s;i)λ は完全可約である：

Fη(r,s;i)λ =

⊕

k∈Z>0

KerPr(k] ∩ Fη(r,s;i)λ [k − 1).

補注 9.2 Fock加群Fη(r,s;i)λ の構造、それぞれ以下の図で、表される。なお、以下の図に

おいて、 wは singular vector を表し、× は quotient をとって、0 になった vector を表す。また、

v // w

は適当な、quotientの中で、w ∈ U(Vir).v となっていることを示す。

39

図 5: Group [

Fηλ Gη

λ Gη

λ

c w ×w||

xxx cbbFFF

× cbbEEE

× weeJJJJ

c

OO

yy

ttttttttt cJJJJ

w zzttttttttt w × ×eeJJJJ

w yyttttttttt c

OO

JJJJ// // × c

OOddJJJJJJJJJ// // × w

eeJJJJ

c

OO

yy

ttttttttt cJJJJ

w zzttttttttt w × ×eeJJJJ

w yyttttttttt c

OO

JJJJ× c

OOddJJJJJJJJJ× w

図 6: Group \ ]

\ : 1 \ : 2 |

ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ

]

Fηλ Gη

λ Fηλ Gη

λ Fηλ

c w w × w

w × c

OO

w w

c

OO

// // w w // // × w

w × c

OO

w w

c

OO

w w × | w

40

10 BPZ系列のBRST分解この節では、BPZ 系列に属する既約 highest weight加群 L(z, h0) の BRST分解を

行う。互いに素な正の整数 p, q ∈ Z>0 を 1つとり、これを固定する。次に、(α, β) ∈ Z2 に対

して、

Fα,β := Fλ(√

pq)+ηα,β(

√pq)

λ(√

pq)

とおく。このとき、この節の目的は以下の定理の証明を行うことである：

定理 10.1 ([Fel]) (r, s) ∈ Kp,q (0 < r < q, 0 < s < p) とし、これを固定する。

1. 以下の complexが存在する：

C : · · · d−3−→−2

F2q+r,sd−2−→

−1

Fq+r,p−sd−1−→

0

Fr,sd0−→

1

F−q+r,p−sd1−→

2

F−2q+r,sd2−→ · · · .

但し、co-boundary dk は以下で与えられる：

dk :=

S(−√

2qp; Γ; s, r − (k + 1)q) k ≡ 1 mod 2,

S(−√

2qp; Γ; p− s, r − (k + 1)q) k ≡ 0 mod 2.

2. 以下の complexが存在する：

C : · · · d−3−→−2

Fr,2p+sd−2−→

−1

Fq−r,p+sd−1−→

0

Fr,sd0−→

1

Fq−r,−p+sd1−→

2

Fr,−2p+sd2−→ · · · .

但し、co-boundary dk は以下で与えられる：

dk :=

S(√

2pq; Γ; r, s− (k + 1)p) k ≡ 1 mod 2,

S(√

2pq; Γ; q − r, s− (k + 1)p) k ≡ 0 mod 2.

3. 1, 2 いずれの場合も、C の cohomology は以下で与えられる：

Hi(C) ∼=

L(zλ, h(r, s; 0)) i = 0,

0 i 6= 0.

証明をする前に以下の事実に注意しておく。

補注 10.1 M, N, Lを Vir0-diagonalizable Vir-module with finite dimensional weight sub-

spaces とする.。このとき、以下が成り立つ：

1. M が indecomposable, Lが既約かつ、N が non-trivial extension

0 −→ M −→ N −→ L −→ 0, ∨ 0 −→ L −→ N −→ M −→ 0,

であり、EndVir(M) ∼= C とする。このとき、EndVir(N) ∼= C である。

41

2. M が composition series を持ちかつ indecomposable ならば、EndVir(M) ∼= C.

証明の方針d∗ は必ず、|i| − |j| ∈ ±1 を満たすある整数 i, j ∈ Z が存在して、

d∗ : Fη(r,s;i)λ −→ Fη(r,s;j)

λ

の形になっているので、特に i < 0 かつ j = i + 1 の場合に詳細に調べる。（その他の場合も同様に調べれる。）このとき、d∗ は以下の図のように factorする。

cc w // w||

zzz cbbDDD

ddIII

w©©©©©© c

[[666666

× c

[[666666// c

OO

zz

uuuuuuuuu cIIII

ddIIIddIII

c

OO

zz

uuuuuuuuu cIIII

w zzuuuuuuuuu w // w zz

uuuuuuuuu c

OO

IIII

ddIIIddIII

w zzuuuuuuuuu c

OO

IIII// // × c

OOddIIIIIIIII// c

OO

zz

uuuuuuuuu cIIII

ddIIIddIII

c

OO

zz

uuuuuuuuu cIIII

w zzuuuuuuuuu w // w zz

uuuuuuuuu c

OO

IIII

ddIIIddIII

w zzuuuuuuuuu c

OO

IIII× c

OOddIIIIIIIII// c

OO

zz

uuuuuuuuu cIIII

この図で、→の部分が同型になっていることを示せば、補注 10.1より十分である。まず、

π : Fη(r,s;i)λ ³ Fη(r,s;i)

λ /∑

k>0

U(Vir)wf(−1)k−1k

を canonical projectionとし、l ∈ Z>0 に対して、

Gl :=2l∑

k=0

U(Vir)π(wf(−1)kk

)

とおく。このとき、次の 2 つの短完全列

0 −→ Gl−1 −→ Gl/L(z, h(r, s;−(|i|+ 2l))) −→ L(z, h(r, s; |i|+ 2l − 1)) −→ 0,

0 −→ L(z, h(r, s;−(|i|+ 2l))) −→ Gl −→ Gl/L(z, h(r, s;−(|i|+ 2l))) −→ 0

は non-splitting であり、かつ

Ext1(Vir,Vir0)(L(z, h(r, s; |i|+ 2l − 1)),Gl−1) ∼= C,

Ext1(Vir,Vir0)(Gl/L(z, h(r, s;−(|i|+ 2l))), L(z, h(r, s;−(|i|+ 2l)))) ∼= C,

であることが、示される。このことから、→ の部分が同型になっていることが従う。　¤

42

11 コメントここでは、文献等について、少し補足しておく。まず、Virasoro代数の Verma加群の構造であるが、これは、B. Feigin と D. Fuchs

[FeFu1] により、あのたった 2 ページの短い論文の中で、全ての要点が書かれてある。[FeFu2] は本人達によると、[FeFu1]の詳細版及び、Semi-infinite wedge を使って作られるVirasoro代数の表現についての詳細版なのだそうだが、B. Feigin 氏に質問をすると、[I do not remember the detail, but more or less, this is all!] と言って数行程で、`気持ち’を説明してくれるのであるが、悲しいかなそれがほとんど理解出来なかった。しかし、Verma加群については、その Virasoro代数の ‘Rank 2 らしさ’から、Jantzen filtration

を道具として、Rank2のKac-Moody Lie環のVerma加群の構造を完全に調べ切っている論文 [Mal]で展開されている手法がそのまま適用される。ここでの手法は、それに倣っている。次に、Fock加群の構造であるが、これはVerma加群の構造が頭に入っていて、Janzten

Filtrationの一般化がきっちりと定式化出来れば、後はほとんど単純な議論のみであるが、この定式化をする際に、[FeFu2]を解読するのに苦労していた我々がB. Feigin 氏に質問した結果が、前に述べた通りで、この部分が一番苦労した部分である。以上を含め、その他に、Coset constructionを affine Lie 環 sl2 の admissible表現を用

いて構成すると、全てのBPZ系列が得られることや、Unitary highest weight表現の分類について、[IK] にまとめているので（予定である）、興味があれば、見ていただきたい。

参考文献[BPZ] Belavin A. A., Polyakov A. M. and Zamolodchikov A. B., Infinite conformal

symmetry in two-dimensional quantum field theory, Nucl. Phys. B 241, (1984),

333–380.

[FeFu1] Feigin B.L. and Fuchs D.B., Verma Modules over the Virasoro Algebra, Funkts.

Anal. Prilozhen., 17, (1983), 91–92.

[FeFu2] Feigin B.L. and Fuchs D.B., Representations of the Virasoro algebra, Adv.

Stud. Contemp. Math. 7, 465–554, Gordon and Breach Science Publ. New

York, 1990.

[Fel] Felder G., BRST approach to minimal models, Nucl. Phys. B 317, (1989),

215-236, Erratum B 324, (1989), 548.

[IK] Iohara, K. and Koga, Y., 図書、準備中.

[Ja] Jantzen J.C., Moduln mit einem hochsten Gewicht, Lect. Notes in Math. 750

Springer-Verlag, 1979.

43

[Mal] Malikov F.G., Verma modules over Kac-Moody algebras of rank 2, Leningrad

Math. J., 2, No. 2, (1991), 269–286.

[Sel] A. Selberg, Bemerkninger om et multiplet integral, Norsk. Math. Tids. B 26,

(1944), 71–78.

[TK] Tsuchiya A. and Kanie Y., Fock Space Representations of the Virasoro Algebra

– Intertwining Operators –, Publ. RIMS Kyoto Univ. 22, (1986), 259–327.

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