VIGAS-Deform Flex -Doble Integracion 1

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  • METODO DE DOBLE INTEGRACION

    x

    y

    Eje deformado

    de la viga

    Eje inicial de la viga

    sin deformar

    Seccin de la viga

    sin deformar

    Giro de la

    seccin

    Flecha de la

    seccin

    A una distancia x del origen o, la seccin de estudio de la viga, por efecto

    de las cargas que actan sobre ella, experimenta dos tipos de deformaciones:

    : Giro de la seccin o deformacin angular

    y: Flecha de la seccin, tambin denominado desplazamiento lineal

  • En la seccin de estudio, en su configuracin deformada:

    Tg = dy = (por ser pequeo)

    dx

    Luego: = dy d = d2y

    dx dx dx2

    d

    Se cumple:

    dx d

    1 = d 1 = d2y

    dx dx2

    Pero de la teora de flexin de vigas:

    1 = M EI d2y = M

    EI dx2

    Esta ecuacin se denomina, ecuacin

    diferencial del eje deformado de la viga

    o simplemente: elstica

  • EI d2y = Mdx2

    Al producto EI, se le llama rigidez a la deformacin por flexin. Ecuacin diferencial con variables separables, la solucin es:

    Primera integracin :

    EI dy = Mdx + C1 ; como dy = dx dx

    EI = Mdx + C1 Ecuacin de giros

    Segunda integracin :

    EIy = Mdxdx + C1x + C2 Ecuacin de la elstica

    Las constantes C1 y C2 , se obtienen de la condicin de bordes o

    extremos de la viga

  • Ejemplos:P

    B

    BA

    Elstica o

    deformada

    yB 0

    B 0A = 0

    yA = 0

    A B

    A B

    q

    Elstica o

    deformada

    A 0

    yA = 0

    B 0

    yB = 0

    P

    yB

  • qP

    Elstica

    o flecha

    A B

    A = 0

    yA = 0

    B = 0

    yB = 0

    Elstica o

    deformada

    P

    AB C

    q

    A = 0

    yA = 0

    Bi 0

    Bd 0

    yB 0

    c 0

    yc = 0

  • E = 2 * 105 Kg/cm2

    EIy = M = -12 + 2 (t.m)

    EIy` = -12x + 2 + C1 (t.m2)

    EIy = -6x2 + 3 + C1x + C2 (t.m3)3

    Para x=2, yB = 0 : -6(2)2 + 2C1 + C2 = 0

    Para x=8, yc = 0 : -6(8)2 + (63)/3 + 8C1 + C2 = 0

    Resolviendo: C1 = 48 y C2 = -72

    (x - 2)2 12x + 48 = 0

    x2 4x + 4 -12x + 48 = 0

    x2 16x + 52 = 0

    x` = 16 162 4(1)(52)2

    x = 8 3,464 x = 4,536 m EIy = 27,713

    11

    2 m 6 m

    Para la viga mostrada, calcular la flecha mxima en el tramo BC

    2t 2t

    A CB

    x

    12 t.m

  • Ymax = 27,713

    EI

    IEN = 1 (30 * 103 + 10 * 303) 600(5)2

    3

    IEN = 85000 cm4

    Ymax = 27,713 * 109 = 1,63 cm

    85000 * 2 * 105

    10 10 10cm

    10cm

    30

    15

    EN

  • PP

    2P

    A B C D E

    2 m 3 3 2

  • PP

    2P

    A B C D E

    2P 2P

    2 m 3 3 2

    - -

    + +

    P

    P

    P

    P

    -

    +

    -

    2P2P

    P

  • Iz = 24 * 363 = 93312 cm4

    12

    Q = 24 * 18 * 9 = 3888 cm3

    = 2P * 102 * 18 600 P 15552 Kg

    93312

    = P * 3888 60 P 34560 Kg

    93312 * 24

    EIy = 2P - Px (Kg.m)

    EIy = - P x2 + P 2 + C12

    EIy = - P x3 + P 3 + C1x + C26 3

    36

    24

    18

    EN

  • Cuando x = 2 yB = 0 - P * 8 + 2C1 + C2 = 0

    6

    x = 5 yc = 0 yc = - 25 P + 9P + C1 = 0

    2

    C1 = 25 18 P C1 = 7 P

    2 2

    - 4 P + 7P + C2 = 0 C2 = - 17 P

    3 3

    EIy = - P x3 + P 3 + 7 Px - 17 P6 3 2 3

    x = 0 yA = - 17 * P

    3 EI

    x = 5 EIyc = - 125 P + 27 P + 35 P 17 P6 3 2 3

    EIyc = (-125 + 54 + 70 - 34) P yc= - 35 * P

    6 6 EI

    ymax = - 35 * P

    6 EI

    35 * P * 106 1

    6 EI

    P 1 * 6 * 2,4 * 105 * 93312

    35 * 106

    P 3839,12 Kg

  • Problema

    R1 = 100 N

    R2 = 200 Nx

    yA

    CB

    Y

    X

    300 N

    2 m 1 m

    EI d2y = M = ( 100x 300 < x 2 >) N.mdx2

    EI dy = ( 50 x2 150 < x 2 >2 + C1) N.m2

    dx

    EIy = 50 x3 50 < x - 2>3 + C1x + C2 N.m3

    3

  • 1. En A, para X = 0, la ordenada Y = 0. Sustituyendo estos valores en la

    ecuacin se obtiene C2 = 0. recordemos que < x 2 >3 no existe para

    valores de X menores que 2, que haran negativo el parntesis.

    2. En el otro apoyo para X = 3, la ordenada tambin es nula. Conocido C2 = 0 y

    sustituyendo en la expresin, se obtiene

    0 = 50 (3)3 50 (3 2)3 + 3C1 o C1 = - 133 N.m2

    3

    3. Determinadas las constantes de integracin y sustituidos sus valores ,

    se pueden escribir las expresiones de la pendiente y de la ordenada de la

    elstica en su forma convencional

  • Tramo AB (0 x 2)

    EI dy = (50 x2 133) N.m2

    dx

    EIy = 50 x3 133x N.m2

    3

    Tramo BC (2 x 3)

    EI dy = [50 x2 150 (x 2)2 133] N.m2

    dx

    EIy = 50 x3 50 (x 2)3 133x N.m3

    3

  • 50 x2 133 = 0 o x = 1,63 m

    EIymax = - 145 N.m3

    Expresando E en N/m2 e I en m4, se obtiene y en m.

    Por ejemplo, si:

    E = 10 * 109 N/m2 e I = 1,5 * 106 mm4 = 1,5 * 10-6 m4

    El valor de y es:

    (10 * 109) (1,5 * 10-6)y = -145

    y = -9,67 * 10-3 m = - 9,67 mm

  • 600 N

    AB C

    R1 = 500 N

    1 m 3 m 2 m 2 m

    R2 = 1300 N

    X

    Y

    E

    600 N

    AB C

    DR1 = 500 N

    1 m 3 m 2 m 2 m

    R2 = 1300 N

    X

    Y

    E

    400 N/m

    400 N/m

  • Problema

    A

    B C

    D E

    Y

    X

    400 N/m

    R1 = 500 N R2 = 1300 N

    1 m 3 m 2 m 2 m

    EI d2y = M = 500x 400 < x 1>2 + 400 < x 4 >2 + 1300 < x 6> N.m

    dx2 2 2

    EI dy = 250x2 200 < x 1 >3 + 200 < x 4 >3 + 650 < x 6 >2 + C1 N.m2

    dx 3 3

    EIy = 250x3 50 < x 1 >4 + 50 < x 4 >4 + 650 < x 6 >3 + C1x + C2 N.m3

    3 3 3 3

    600 N

  • X=0 : YA = 0 C2 = 0

    X=8 : YD = 0 :

    250 (6)3 50 (5)4 + 50 (2)4 + 6 C1 = 0 C1 = - 1308

    3 3 3

    EIy = 250 (3)3 50 (2)4 1308 (3) = - 1941 N.m3

    3 3

    EIy = 250 (8)3 50 (7)4 + 50 (4)4 + 650 (2)3 1308 (8) = - 1814 N.m3

    3 3 3 3

  • Problema

    400 N

    ABC

    Rc RA

    2 m 1 m

    Mc

    EI d2y = Mc + Rcx 400 < x 2 >

    dx2

    EI dy = Mcx + Rcx2 200 2 + C1

    dx 2

    EIy = Mcx2 + Rcx

    3 200 < x 2 >3 + C22 6 3

    = 0

    = 0

    Mc (3)2 + Rc (3)

    3 200 (1)3 = 0

    2 6 3

    MA =0 : Mc + 3 Rc 400(1) = 0 Rc = 193 N y Mc = -179 N.m ; RA = 207 N

  • Problema

    A B

    900 N/m

    1 m 3 m

    MA

    MB

    Y

    X

    EI d2y = MA + VAx 900 < x 1 >2

    dx2 2

    EI dy = MAx + VAx2 150 < x 1 >3 + C1

    dx 2

    EIy = MAx2 + VAx

    3 150 < x 1 >4 + C22 6 4

    = 0

    = 0

    VA VB

  • 4MA + (4)2 VA 150 (3)

    3 = 0

    (4)2MA + (4)3 VA 150 (3)

    4 = 0

    VA = 949 N y MA = - 886 N.m

    VB + 949 900 (3) = 0 VB = 1750 N

  • Problema

    RC

    MA

    RA

    3 m 1 m 1 m

    36 t/m 12 t

    A B C D

    +

    -

    +

    +

    - -

    78,82

    0,81 m

    2,19 m

    29,18

    12

    57,28 12

    2917,18

  • EIy = - MA + RAx 36 x2 + 36 < x 3 >2 + Rc < x 4 >

    2 2

    EIy = - MAx + RAx2 6x3 + 6 < x 3 >3 + Rc < x 4 >2 + C12 2

    EIy = - MAx2 + RAx

    3 3x4 + 3 < x 3 >4 + Rc 3 + C1x + C22 6 2 2 6

    X = 0 yA = 0 C1 = 0 ; yA = 0 C2 = 0

    X = 4 yC = 0: - 8 MA + 32 RA 384 + 3 = 0

    - 24 MA + 32 RA = 1147,5

    - 3 MA + 4 RA = 143,44

    (M)c = 0: - MA + 4 RA ( 36 * 3 )(2,5) + 12 = 0

    - MA + 4 RA = 258

    3 MA 4 RA = -143,44

    2 MA = 114,56 MA = 57,28 RA = 78,82

    RC = 41,18