Vibraciones Mecanicas - Dinamica

5/17/2018 Vibraciones Mecanicas - Dinamica

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CAPITULO

e.poeibIe queloll 8I8I8mU III8CIInlcosxperl_ WltN/JcIOM8/I1N8s 0 888ft 1 I O I I 1 8 I Id c M I . 'IIbrtIt:JoMe foIDctIILas vlbradonM .. ItamanBm


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VIBRACIC'" -" MECANICAS19.1 totroducclcn

Vlbraclones sinamonlguamlento

19.2 Vibraciones libres de parHculas,Movlmlento armenco simple

19.3 Pendulo simple (scluclonaproximada)19.4 Pimdulo simple (soluciOn ""acta)19.5 vibractcnes Iibr&s de cuerposrlgldos

19.6 Aplieaci6n del principio de laconservaclon de Is energia

19.7 Vlbraciones iorzadasVibraciones amortiguadas

19.8 Vib~aciofle:s Iibres amortiguadas19.9 Vibraciones lorzadas

amortiguada.19.10 Analoglas _'

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?"'I~ Qllf' arhhm sobrc ella son su peso \V }I la [uerza T ejercid.a por elrcsorte, de mngnttud T = k8b;tit..P doudc 8~1J~ItUlH 18 elung.u.' iOlI delresorte. Por 10 tanto, Sf" tiPI'tP,

S upongase ahora que 18 parncula s e d esp la 7.< l a 1lila (Jl~t.lnd;, 1',... desde SlJp os ici6 n de e qllilib1 io y se suelta sin veloeidad in..i.dal. S i Xm se ha -elegitlumas peque.m que o~".."'.. la particu la sc rnov era hacia un lad o y otrn des u p os ic i6 11 d e c qu iltb n o, se l ia g en emdo un a vibraclon d e am plitu d .t,n'Adviertu que In vibraelon tambien puede producirse imp ..artiendo ciertnv elo cid ud in ic ia l H la pardcula cuandc c s t a se encoentm en la posicion doequillbrio x = 0 0, de rnanern m as general. al iniciar el movim lento de 1 0partfculn c l e s d e una posicion dndn x ;;;;;;\'tJ "Oft u na v clo ctd ad initial Yo,

Porn anallznr III vib m ci() n. se conslderaralu parncula en unn posicionPen ,Igfm nempo arbinurio IWguro 19,1b). Dcnotnndo por.t cI des-plazamicnro 01 ' rnedldo desde la posicion de equillbrtu 0 (pcsltivo I... cia absjo), sa 110hl qne Ius fuerans que ncnian sobrc In partfcula SOt) supeso W )' I" fuerza T ejerctda por c1"CS0I1" que, en esta postclon , tteneu n a 1 t1 a gl li tu d T ~ k(8 r'Still ....U + x). Como \V = k8'1 ' se cncuentrn que 13IIr"!;IIitud de I. resuhante F de la s dos Iuerzas (posinva hacia abajo) es

Ii'=IV- k(6,. + x) =-h0" tal modo I" resultante de las fucrzas ejercldas sobre la partfcula esl'o'Ol'0r";o",,1 al desplazamtento 01' med td o d esd c 1 0 p ostcio n d e "


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1216 -"'""""'""" AI susnm lr ~ en In ccuacion (19.3), se escribex = C1 sen w.ll + C2 cos w,/

Esta cs ]a solucio ge r1en1 ] de 1 3 ecusclon difercnclal(19.5)

(196)que puede obtenerse de I" ecllaci6n (19.2) nl div id i r amb os re rm in os en-tre m j-al observnr que kim = co! . A I dilcrcnciar dos veces ambo s miem-bros de I. ecuacton (19.5) eon respecto a I, se obnenen hIS siguient'" ex-presloncs p at'a la vclccjdad y li t acclcracion en cl ticmpo "

u = = r = = C.w" cos W 'lt - C~W,,;sell W/.ta ~ . i ; ~ -(..'lW~ sen w f) - C~~ cosw.l

(197)- (198)

L os vulores de las constant", elY C . depen den de las ClJn

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Figura 19.2

(19.13)

E11IL'jIll~m de t;idos descrnos po r urudud de tiempo sc denota median-te IN Y Sf> MIH,)('f' eomo JrPf:rrencin nOll41'(J1de la vibracion. Se scribeFrecnenclu nat t ' a . 1 =~.= . ! . . _ ~IJ

- T" :"1T----- (1914)L a u nid ud de frecuencta es una Irecuencia de l cie!o por segundo. ('0-rrespond iendo a un perlodo de 1 s. En tdrnunos de unirlacles lunda-mentales la unldad de fi'eclH~ncia es consecuentemente lis u s I, SHdcnomtna hertz (Hz) en el 51 de umdades. Thmbien Sf" eonclnve de Inecuaetnn (19.1~) que una lrceurnoa de 1.,- ' o .l H z e~I"t('r rl .. I:. fH;IS'1 m dela purtfculn, S :~ Qb . .c r vn q ue el P4trill-do y ln rre cu en cia s on in de pem lie ute s J~ l as umd fc fo nc s inichlles y deIn amplihlrl r i P la vihrarton. H;AY 'Jue observer que- Tn }' J ; , dependende b "I(lSa } 110 del I" ''''' d e hi partieula y, por e llo, SOil mdependienresdel valor de g.

Las curvas vejocidad-tiempo Yacelcrncion-t tcmpo pucden ft1pn.:sell-tarse m ediante curvas scuoidales del m lsrno periodn que la curva despla-zam lcnto-tlempo, pem con Anguto s de r as e d i.f er en te~ s . De 111 .e cu ac tone s(l~.ll) y (If). 12). se nota que I" " va lore s m ax im os de las m agnitudes deIn velocidad y la accleracjon so n

(19.15)Puesto que el punta Q describe 01 c lreu lo nuxtliur, de radio '\"m a b ve-Iocida d a ng ular < '''15t1m Ie "',.. 511 ve locldad y accleracicn sou iguales,respeceivnm cntc, a las cxpresioucs (10.15 ). S l se recnerdan las ecuacio-nes (19.]]) Y (19.121. se halla, POI' tanto , que I.veloeidud y I"acelsra-ci6n de P pneden obtenerse en cuclqnlcr Insumte PI'O\'Ct":tulIl]O sobreel eje .r vectores de m agnitudes Vm =XmWN Y tllN ~ xmw~ q ue rep rese n-tan, respectivamente. la velceidad y la acelel 'aci6n de Q en el mismoms ra n re ( fig u ra 19.3). Figura 19.3

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1218 Vib""","", mecernc

" " , J \ /ma)T t ~ " \ ... - . . . .-~"'",~ -II'

b)Figura 19.4

[,0, resultados que se obtienen no se ltm itan a la soluclen del pro-blema de una masa o unldad 0"" un resortc. E, posiblc uhlizerloa pa-m analizar el movim iento rectlllneo de una parncula coda 00;. one IIIres,, ' tnPlte Fde 1(1.-$UCr=(1Sone ach il1 n $t ) l: } fl ! tma porticula c s p ro po "_cionnl nl (Msplll::.tJlHi(mto .r !I estn diri{!.ida hacia O. L a ecuacion funds-11 1 ntnl de movimiento F - mn puede cscribirse entonces en I:, Ionnude I" ecuaeion (19.6), que es caractertsnca de un movtmiento arrnoru-00 simple. Al observer que el coeficiente de x debe s r igU~lla w~.espostble deremunar con faetltdad I. frecueneta circular natural w " delmovlrni nto. Sustltuvendo e] valor que se obtuvo pi.l.rn.W'I en las ecuu-c lo ne s ( 19 .1 3) y (19.14). se obttene entonoe el pcrtodo T,,)' l a l re cu en -cla nstuml f,l del movlmlcnto.

1IJ.3. PENDULO SIMPLE (SOLUCI6N APROXIM'ADA)La rn~[" pal'le de las v ib ra ci on es e nc oo rr ad as en apllcaciones de in-genielia se repr 'entan m ediante ur i rnovirniento arm onlce S im ple. M u-dHLS otrus, aunquc de Ull tipo dderente, se apn)'. \Liman POl" medic deun movim lento armonico simple. siempre que su amplitud perm anez-ca pequena. Constdere, por ejemplo, lin p en du lo s imple , consistent"en una plomada de "'35 a III unida a una euerda de longituell. que tie-nc la posibilidnd de osctlar ell un plene vertical (figum H)Acl). En untiempo dado t. la euerda forma un angulo (J con la vertical. Las fuer-zas que noninn sobrc In plomada SOil SU peso \ '" y 1 . 1 . 1 fucrza T ejercldap oria cu erd a ( FIg ura 1 9.4 1 .A I de se omp en sa re l "e cto r mn d e la s c om -p on on te s t,t1 ng en (_ ~ia ly norm al. ron rna, dirigida hueia la derecha. estoe.", en la direceton que corresponds a valores crecienres de O . y obser-var que ("I ;:;::to ' = te , se cscnbc' L . F , = mar: -Wren 0 ~ ",IiiS i se observe que lV =mg ,. se d iv id e Gn~l'emt se obtiene

. . ! ! .Q + T seu 8 - 0 (19.16)Para oscilaciones de am plltud peq uena, puede , U S U tu irse sen e por 0,e presado co radlanes, y escnbirse

(19-17)La cornparacion con ln e"C"1J3cion (l~)_[l) muestm C)IU:.1a ecuacidn dile-rencial (19.17) es la de UTI 11I1I\ hulentu annonico simple eon una lre-""pooi" circular natural w" igual a ( g I L ) ' ! > . La soluciou general de laecuacjon (19.17) puede, por (.'O llsig lJiente. expresnrsc com o

8 ~ 6.. se n (w"t + )donde 0" , es I" amp Iiud de I", oscilactoues y es el "l'lgll 10 de l>

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'19.4. PENDULO SIMPLE (SOLUCION EXACTA)La formula (19.18) es g o V l -,en' (8",/2) .en donde In integral q ue se obuene, denotnda comunmente pm K. plle-de cnlcularsc utilizande metoda, de intcgraci6n n"merica. Tambtenpuede eneon t n t " . en ta bla s de i rrlegmles e I il)1leas p ara d iv ers os , , " 1 0 'res de 0../2. t Pam

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PROBLEMA RESUELTO 19.1Un bloqne de.50 kg < . ; 1 " nillPVP j:'lltrf! g1lfa s verticales com o se m uestra. E l blowque es empujado 40 rnm bacia abajo des-de su poSiC' i6n de cqutlibno y sesu eh a. P ara cad a arreg lo de resorte, determine el p ertod c d e 1 .9v tb racion , lar n: bd rn ;.\ v elo ct ded d el b loque y SU fIl~Wm 3 ... .el(i 'nlC'inn.

SOLUCI6Nfl) 1'Il!-~urlc~onectudos en pan'lcln, Se determine prlmcrc Incons

tante k de un solo resorte Cf]1 uvalcn te a 10 5dos r es or te s d ete nn ln tln do ta m.ag-frUfJd de '. 0 f ' ~ ( j f ' Z l 1 P que se reqote-e pam causer una deformanien 8. "'P'IP.s:toque para UI1~ dlJf()t'111~1t:i611 S lus milgnitudes de las fucrzas ejercidas por elresone sen , respeetivameute, k,6 y k.c. se bene

I'=k, 6 + k,.8 = (k , + k.l61 - : 1 constanre k del resorte equivalents es

k =f =k, + k,= 4 k 1m + 6 kN/m = 10 kNim ~ 10' N/mPeriOllo tie dbmri6'l: Pues ro que m = 50 k g t la ecuaeton (19.4) pro-duce

2: k 10 4 N/1'Ilw " e ; ; _ 50kgT" - 21f/",,,

~J)", ~ 14_14 m(VsT" 11.1-11, < II

l.'doddml urd:dnm: Q " , - 11"11(011 = (0.040 m)(I4_14 ... d I : ' i l )1).. .. ~ 0 .566 fJlIs '\" = tL:; ' f i( io IliA t < I l l

. .-- tClIi lH-C1Cifiu "u;.:r.im.(~: am = X J'IW ~ ~ (0_040 m){l4.14 rIldls}2.G " , = ~.OOm / s " Om ~ OJ"lllll,' t < II

b ) Hesortc eoneetndos en serie. Se determma praneru la constan-t k de lIT' solo resorte equivalents pam lo s des rcsortes d el. erm .in .fn u/J ) In P lo n-gOCMH uJtnlo de los resortes O Ojo u na carga estatiea det r ll) il l) .,( lo -1 P . Pa ra fa -cilitar p i c :ilc uJ o_ s e u sa u na carga estatica de magnitud P - 12 k 1 .

6 =8, + 6, ~ . ! ' . . + . !' . . ~ 12 kN + 12 kN ~ 5 Ink, k, 4 kN/m 6 kN/mP 12 kNk ~ 6 = 5 rn = 2.4 kN/m ~ 2400. m

Periodo d ( J dbr(u'i6l1: , k 2400 N /mw ... ------I"j m 50k:g2,,-7...-- W"

"'" = 6.93 ",dI,

l'elodflu{l mdxima: Vrn =xmw" = (0_040 111) (6 .93 racV" .: i )t ." "l . ;; ;; ;0,277 Il"\Is "\JII ~ O.2j7 1 1 1 / . .. t ...

Acelt>jI"{Jci6n mti.\;ma: a ' l I : l i 5 : XPl"!(~ ;::: {O .040 m )(6_S 3 radls:}2a,T j ; ;; ;; ;1.~20 mJs2 a'i - 1.9~O ,n/s:l 1 . . ...


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RESOLUCI6N DE PROBLEMAS--------------------------------EN FORMA INDEPENDIENTE

Este capitulo "borda las oi lm;II; ion

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4. D.'er",inar W f fmpU,. .d de x y .1 (Ingulo de fa.e austttuyendo el valorque se obruvo para " 'n y los valores iniciales de ,- y x en la ecuucinn (19.10) y I.eeua-c i6n obtcruda 0 . 1 d _ i fe r e l1 c i l1 r In ecuocion 1 9 .1 0 co n resp ec to a t.La ecuacion (1 9_1 0) y las dos ecuaciones qu e se obtuvieron al diferen tar In (~('11i-l_cion(19.10) dos veces con respeceo a t se pueden utlllzar ahora I""" eucouuur el despla-zamienro, l a ve loci dad y la nceleracion de 1 3 p8rtiCI,,1I~en cualquter t - iempo. Las eeua-clones ( 19 .15 ) produeen la velocklud III(LX'i li lOl tJm y l u ucel er acl on rmix irna a m "5. Tambittl p(lra pt:quentJS o8"cilacionett d,el,JCtldulo 8imple, 01 A ng Hlo.O queI. cuerda del pendulo forma con la vertical .. atisface la ecuaeion dlferencial

(1)).17)donde I es In longitud de I. cucrda y 0 '0c"P"""" en rnd.anes [seccion 19.3]. Est"ecuaeion de fin e de n uVO un nw vi' lli tm t o a .n nO 'li co simple, y SU solucion es de b l rnis-ma forma que I.ccuaci6n (19.10).

o - 0", se n (W,l + < 1 donde la [recuencia cte ular natural M.. :; V i i J i se f':xprp~-i.;.l en rad/s. La determina-ci6rl d e las rhversas constnntes en esta expresion se rcahza de rnanera similar a Ia quese cl"."rihiil antes. Becucrde que I. veloetdad de I" pJom ada es tangente a I. trayee-toria y que su m.gnilud eorresponde a u = 1 0 , mientra que Ia acclcracion de I. plo-mad. tienc una componente langencial a" de magnltud a, - Iii. y u na comp on en tea n , d ir ig id a hacla el cen tra de la traycctona y de magnttud ali = liP.

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Problemas

19.1 Una pertrcula se rnueve de manera annunica sirn ple _ S tla am p l! ..tu d cs de ISill, Y 1.\velocldad luaxima correspoedc a 6 ftls. d ctc rm tn 1 .1 1c c-lerucicn m axim a de la partrcul u y el pertodo de su movrmremo.19.2 U.).:)p'lrt-l{."1.ll:\ so m n ev e de maucra aemonica simple, Si lu velo-

ctded rnA\.1rna es de 200 m m /s y 1u aceleraclon mrtcmu ecrresponde 0 '\ < 1 nV s2determine nmpli tuel y frPc~llrnt"i:'l rli:m\..:1 mnvi11'l i"l l tu elf." t~~ita pa:r1 'ell In.

19.3 Determine I a amp lnud y l a accle rac ien nuWma de una partfeul ..q u e s e m u ev e e n r no vu nie nto {~ rm 6 I1 icos im p le co n vclocidrtd m axim a de 4ft ls ) ' fr ''CUC llCO il l de 6 Hz_

'9,4 Un bloque de 20 lb se sostlene lnlcmhnente de manera que clrescrte vertical coaectndo como se muestra no t . - ' 1 i I : i deformado. Si el blcquese : :HII: ;, : ][,I n::pt: nthuuueute desde el repose, determ inc: (J) umpli 1;1Id y f.-c tue l~ ~cia para el movimleruo resultants. b) la v eloctdad m ihim a y la 'K..eleractonmu. 'o ; imnde l b loquc.

19.5 Un blcque de 70 Ib se eoneetu nun resorts y puede fnOVCI'SC' sinrrioci6n po r una J"J,nnru en In fonn:-. Indicadn, EI bloque se cncucntm en suposiciOn de equtltbrio cuande es golpeado eun uu Ilmrlillu qUIj II! hnprlmeuna vel oc id a d lnldul de 10 fVs. Determ ine al ct pcriodo y la Ire cu eu cia d elmov im i cn to ros ul tno te , b) III um plltu d de I m ovi rn ienlO y [a acelcmctcn ma-xima del bloqce,

19.6 Uu instrumento de laboretoric A estri utornlllndo ~ Ill'l,ll'l'les:i agH~-dora en 1 . ; . forma indit 'tKla. La II'I~ se u eu ev ~ "..~rtiC:;lllIIelJt~!;:'1I ruovirnienln nr -monioo SllHpl( 3: la m tsrna Irecuereta que el motor d e v elo t"id ad v aria hlc q ueIII impulse. EI tnsbumento sa \ " : :1 . :;l plVb~t r a "1I~l tlC .'@ Ie mci6 n p ioo de 50 mfr_5. In i .l lf lp li tud de la mesa ag[mdQrH es de 58 mm, detemune a) lu veloetdad quese n34uiero del motor en l pm, b 1 1:.1"t"Ir.ri(I:~(1m:'1,,; 11"1:11 p 1:1,Inesa,

19.7 Un pendulo simpltt ooll.~isloJ,;oll !JIm l J l u l II , L L l a unida a una cuenlequ e oscll ....en u n plan o v ertlcn l COil pericdc de 1..3 s , S uponrendo un m ovi-mtcruo urmcnjco ~jmple)" que [u valocided In{OOflla de la plomade es de 0_4m/s., dete-rmil le' 1 7 ) la am plttud del mov imren tu en grades, b) ta aceleraetonhingencial mdxima de la plorrud a.

19.8 Un bloque A de 10 IlJde~~I~~1 ~LJl1:LlIIH placa B de 40 lb, lacualest:\ con ectadu a u ri resn rte no deformadc de constante k ~ 6 0 1 I) /ft. L a pla-CO lB se nH. lC\C ' lcntamcntc 2.4 ill. [mclu la taquterdn y se suelto desde el re -poso. S i el bloqce A no se desltaa sobre la plnca, determine a} Ia nmphrud y" l"eCuencia del movimientn rp~lllt :}Mf>. h) H I correspondion te valor permlsiblemlnlmo del coeflctentc de ni(.."Cic)lI l":stUica.

A

Flgu", P19.8

O O l bFlgu,. P19.4

Figura P19,5

F ig ur a P 1 9.6

1223

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1224

Flgur. P19.9

Figura P19.11

.1

Figura Pt9.t2

Figura P19.16

19.9 Uti (""OlIlLrfndo 4 Ib so conccta 0 un resorte tie constnnte [gi ll,!f Ih/in. y puede desltzarse Sill Incclon por una harm horbcntal. E.I (.'0] enes:ta en rep050 cmmdn to!; gol~u.lo '''( .111111'1in~I':i:Of ~f" It" impl'imp lin n ve loo{iliri lulcial de 55 il)J:,:. Deteimiue lu iltllpli:nld y Ia accloracien moi.xirncollartn durante e l rnovimlento resultants.

19.10 1 movsmtenro de una partrcula se describe uedkuuc I~IVCUilei6n.'( = 60 (-,OS l(}m + 45 scn(lO'lrl - w/3}. donde r sc expresa en mutme-tm~ )' I en scgoedos. Pam cl movimlento rcsultontc. determine a) el periodo, b) s u amph tu d. c) $ 1 . 1 angulo de fase.

19.11 Un motor de vekctdad "rmabie S6 coocctn rigid;;uhell[,e a la \figIiG. 1 r oto r e .'ita 1 1 1 1 poco desbalanccado y ocaaonn que la ' igi.'L vibre con linIrecueuct n i,6"ll:alt In velcctdad del rooter. Cunndo 1 : 1 \ 't ;! iOL !ic .i :. .u :1d el mot or eru en cr q ue 60 0 rp m 0 mayo r q u e 1200 rpm , s e u hs erv a (Jll~ UI1 pcqueno UUjero colocndo en A permnnece en contacto cou la \1gn, Para velccldudes de e-ntr c 600 y 1200 rpm sc cbscr va que cl objcto -'I~d_ b" I;) i ndu. :: i-Uterde con tnc tccon la '~gll,Determine Ia am phtud del moctmreruo de A cunndc la velocldudde 1 motor es e l f > fl) fiX) rpm, ' : J } I 2f~ rpm, Pmpnlt'inll~ :"1 .~ n-'sPIIPShts: Inruoen lL oid< L(ll.:$ S I (,."()I~I'Oeu lIIil[bL~k.s (l~ uS tJ com un ell Estndcs Umdos.

19.12 Un bloque de 1.4 kg e sm s cs te nr do CI:)l'1'1~) e muestru mediante1111I't'"S ottt" de constunte k = = 400 Kltn que puede acruar b,j~jorenstcn 0 cutn-pi~jon_ El b lOf}l tC se encuentra en la posici6n de e qu ilib ria cu an do se Ie gulpea dcsdc abajo ron un marttllo que lc imprimc una \ 'docid.ml hncia urriba de2,5 ovs . De le J 'm i lw (1) c! tiempo rf'qucndo para que el bloque se rnueva 60mm hat-hi ;t11'l'ilu,b) la \1{'loc-iti::ld Y rl('Plpmrifm mm':,,)'Wul(lif-'nr."$ e l f' l h loquc

19.13 En < :1problema 19.12, determine I n p os te to n, v elo cid ad y nee -I t ; 1 : : H . , i 6 J 1del bloque 0,90 s d t . : O S p H C - Sde q u e s e le g o l p e a c o n el tnartjllc.

, 9.14 Un hlcque de 70 lbse conecta a un resorte de constonte k = = 9ltip slft.r p uc de mo ve rs e s in fr: ic ci6 n p t:lTlin n IlUI1It.L\ ell III forma mdtcadu. Ebjoque se encuentra en MI pO!>iC'i6nde equthbno cuanrlo ,S dosplazado [5in . lu efu nb.:.jo y S ~ 1(,"S I I !l h L n ( ?' ~f > '1 " I1 I il ll '" pam 1 _F } 5 0 rl('.~pm!::r;: de que el bloqccos sohado (I) 1 0 1 dlstaucta total recorrirlu, ' : J ) su aceleracion.

Flgur. P19.14 Figura P19.1519.15 Un collarfn C de 10 Ib es soltcdo d."," .1 "'1'0.'0 en la posicion

qne se m uesera y s e d es llz a .s i r1 frtccton PO l' una 1sunn verncul bast a go lp t: il rIII~ rfJSfni'p dp MI1~hmtf' k ; ; ; ; F )O lh lfi. ill c ea l comprhne. La voloctdad del OUllann se reduce ;u C l,:'r n " el oo]ll,riH i lLvi~. .te 1. 1 dtreccton de su trtcvimlcntopara re gre sa r i1 !Il pooi(,:l6n trn cta l. E etoece s e l ciclo SO repuo. D eterm ine elel pcnodo del mcvimlentc del collurin, b ) ln vcloeidad del collarrn O,~ s fjp~-pues de ser sohado. {Nol,.: E:-.11tI,;'_~ 1,,111I1Vvllilieilto penddrco, poem 110 un mo-viuuentu al'ftlor~ico stmple.)

19.16 1.0 plomuda de un pendulo simple d. longitud I ~ 1.2 '" se1IIH!-'\"(' evm \'l"'I'If'i..iad rlf' IR O mm/s hacta la derecha en el tiem po I ;;;; 0 cu an -do (J = O. Suponga un movimleuto &rl1'1(II'1iI;O simple)' determine. en el tiem-po t ~ 1.5 S, a) el ~nglllo 0, b ) las magnitude. de In velcddad j' 90el'''1Oi6nde b plomeda.


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19.17 Un oollurtn de 10 Ih desoansn sobre ~I resorte mostrudo pOI" 13Bgurn, ul cual no {"~'ij~ cooectedo. Cuando el ccllurfn se cmpu]a haci .. abo'ju9 in. 0 !11~ }' luego se suelta, se observe que pie-roe eontacto con el resorte.Determine 11) la ccustan te del rescrec, h J [n postclon, veloctdcd y ecole rnci6ndel ccllann 0 .16 S o d~PIJ~_~ de ::Nf em pujado hacla aha.Jo 9 " 1 1 1 . Y sol tarse.

2~l:\[/rn

Figura P19_fl Figura P19.1819_18 VI) bloqne de l3_6 kg sc sosticnc mediante el ~Io de rcscr-

res m ost .... lo. S i el bloque es m ovtdo, desde : 5 1 1posici6n de equililm o. 44 m mverncalmente h acia a hn jn y h lflg n se le s ue lm . determine II ) e -I per iodc y bIrccuoncia del rnovimicflto resultante, b) I tt v elc cid ad \ . e ce lem cr on ftlMirl'lusdel bloque, .

19.19 Un bloque de 50 kg so sosnene mediante elanry:l" ~{' n' de constantes kl yk~S


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Fig uttli P19.23

I}

Figura P19.26

19.23 Un bloquc de 4,08 kg. se sosnene como Indica la - 6 g l 1 1 1 ' median-te Ires resortes. eada uno de lo s cnules Ilene constante k, E n 1.Q :tici6n deeqllilihlio, la tension Gil los resortes A. Bye es. respectivamente. de 22, 10Y J ~ N. I!:I b loque se des-plaza vorticehncnte haci nbejo 12.,5 mm, desde sup osic io n d e- e qu rh bn o. y se sue-ita: a partir de) reposQ, S i en el movtnnentoresultnnte la tension minima ell el rP~n.rU! 8 es cern. determine (I ) la cons-tunte k del resorte, b) In Jrccncncia del moetmrento, c) la comprosion maxirna en el resorte t\.

, 9.24 Se observa que el pcrtodo de vibruclen del sistema de Ires r e o -sortes y un bloqoe es de 0.2 s. Luego de elirnlnor e! rcsorte de constnntek~ .", 16 kN/m del si:stcma, cl pcriQdo observado corresponds ::t 0.25 s. De-termine 0) In m ssa m,I}) l a cons tan te k. d el re sc ue .

,\

Figura "19.24 Figura P19.25

19.25 El pertodo de vibr:lCi6n del sistema que se nruesu-a es de 0.2 s.Luego de rctlrar el resorts de coasrante k, ~ 31i k:'llm .1 bloque A se co-necta al resorte de


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19.28 L... b 81 'T f1 ; \ R f . ! ~ h " i (!ol1r(~rulaa una articu l'H:lon eolocada en A y udos resortes, cada 1IflO de constante k . Si 1 1 = 700 mm, d = 300 mm, y rri -20 kg, determine el valor de k para el cual el periodo d. pequ enss osciJocioneses 0) de 1 s, b) infilltto. No tom e en cuenta Ia m ssa de la harm y suponb'"' (IHecada resorte puede uctunr a telJ:s:iuu u a w1llp~i611.

, 9"29 Lit barril ABesta ccnectadu a una nrtieuloci6n CQI~da en A yados resortes, cada uno de constante k ;;;;;;.35 kN /m . ~) Determ ine la ma-sa m del hloqllf!- C P ll'H pi (" lIAIel ponodo c i t " pt"qllena." i i osdlacione...es de 4s. b) S i el extreme n se Ilexiona 60 rnm y se Ie suelta, determine la vcleci-dad mdximu del bloque C . '0 lome en euenta la m asa de la bar-a y s:upon~b'Mque- cede rcsortc puede aotunr a tension 0a eompresldn.

Figura P19.29

19.30 D e acuerdo oon la rnecdnica de m ateriales. una vigil d e s ec ei ontransversnl un ifonnc q\IC SOl)()rlc de manora simple una carga estdtlca P apli ~cada on el centro presentara uno deflexi6n S A ~ PL .' / 41> 1 , donde L es I.longitud de 11vigil. e l l '1 '16du lo de elfL~licidad, P , fl'1momenm detnerclatlt!llir~a de lu ~e(.,;i61'l trunsversul de la viga. Si L = 15 f t . , E = 30 x 106 psi,e - I ;;;;;. X ] 0 -3 1 1 - 1 . .determine a) In . constante de resorte equwalente d e laviga, b) I~fre cc eo cse d e vibrn

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~19'.33 La eCl1llC:'i6n de - rll!?IlJl-twll@\if.1I1 e lf ' l in r f' !l io rl f' no lineal Ajo enun e .... emo e$. P = 4xlill:, doude F es la Iuerza. cxpresada en newtons, quese apfica en el otro extrem e. y .I es la deflexton expresada en m etros. a) Peaterrnine la deflexi6n Xu !ii L I l ' L bloqlle de 100 g se sespcndo del resorte y estde n re po so . b) Supomendc (1U~la pem kem c de: la curva fll~J-/..a-dcnc,xj6n enel puntc correspoadiente a esta catga pued uttlizarse como una constantsde rcsortc cqcivdomc, determine In Ireouencia de vibrucion del bloqoe s:este se som ete a un pequeno dcsplazam tento hscta aba]o desde u pcstcicnd ....f.._'qllilibno'j' Illego Sf" lc slIt?lt:i.

"19.34 Si el integrando de la ecuucldn (HU~), seccion WA, se amplrahaste una rene do l>oteneias pares de sen ; ,p r se integra. rlerm restre q lie elpertodo de lIH p6m lulo snnple de 1{;JlIgitud t p l J i I . " 4 . k : ~Lp"):dlll"'':-it: 111t!tlii1lll~ 10f 6 1 " n u l l a

1 2rr IL( l+ 1 :sen'!!: O m )\17 4 2 .donde fJ" , CS la nmplitud de las oscnacrones.

19.35 COil la f6rml1.J.a dada en el problema Hl34, determine la umph-n.d {t. para la cunl eolpcnodo ele IIIl pendnlo sample es l per ciento mAs ler-go que cl pcnodc del mismo pcndulo en cl caso de J l C f - J1 t c n a . . oseil~i.ciol'.cs.

*19.36 Con Ins datos de la tabla 19,1 dptpnninp pI perlodn un fM";.ll-d llio sim ple de IO l1 gitlld I - R O O mm (I ) para l)C(i"e i ia . ,, \csctlactoues , b) paraoscila eion es d e amp lltu rl 6 ", ;;;;;30 0, c) par.l osdlaciones de amp lltu d O m =Ytr'.

"19.37 Con los ~J~los t i l : ' la tabla 19,1. determtne la 1 c _ 1 I 1 g i t u d en pulga-des de un l ' I o 6 n o l l 1 0 sim ple qne oscjln ell un percdo de 3;s y una nmp li tu d de0., ~ C > O " .

o Ii + w ~ e - 0 ( 19.21)

19.5. VIBRACIONES LIBRES DE CUERPOS RiGIOOSEI (lmiJisis de las vibraciones de un cuerpo rigido 0 de UJ) sistema decuerpos rigid(", que posee un solo gr>ldo de hbertad cs irnilar al ana-[isis de Ins vibracioncs de una p~lrtlcUlo:. Un~ variable cpropteda, comouna distancia X 0 lin angulo 6, se el ige pam definir Ia posicion del coer-po 0 de l sistema de cuerpos. r sc cscribe una ccuncion que relacloneesta vanable y su segunda denvada respeeto a t.Si In eeuacton obteru-da cs de In misrna forma que It1 ccuacion (l9.6)~ esto as, si se Hene

b vibmcidn eonsiderada es un moviroiento armomco simple. EI perto-do YI. frecnencla natural de la vtbraelon pueden obtenarse entonees'donor.condo w. y sustituyendo ,\I valor en las ecuaciones (19.13) J'(19..14),

En gener ..., una lonna simple de obrener una de Ins ecuaciones(19.21) eonstsre en expresar que el sistema de las fuerzas externas esequjvalente al sistema de las [uerzas efecovss si S dihllja un r l i :1gram3de cuell:>Ohbre para un valor arbitrano de la variable. Y Sf! escrfbe laecuacion de mcvimicnto apropiadu, Reeuerdese que ~I ohjetivo cip)-w

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se r lo deMnuhUld6n del cocficicnte de 10 vnrinblc x 0 0, no l a d e tc rnu -naeion de In variable misma 0 de I. derivada x 0 e _ Al il, 'llOlar este coe -flciente 9 w~, se obuene lu Irecceucla circular nnturul Wjt de ln cual csposlble determtnar 'Til y t"EI metcdo descnto puede utiliaarse pam analiaar vibraciones queSOn en verdad represenmdas mediante un movimiento urmoulco si 1)).pie) 0vibraoiones de pequefia nmplltud que cs postble aproximar me-dlante un movtm teneo arm ouleo stm ple. C omo ejemplo, se determ ma-....cl penodo de peque"as oscilaciones de una place euadrada de lade'lh que esM suspendtda de l punto medio 0 de "no de sus lados (figu--m , R,VI) . S e considera I;) p lata en una postclcn srbnm rtn deflm dn l)Ore l d ng ul o 0 que form a la ti"lle.i;l OG !JUII I~Iverttcal j- illbujum os una cUa-oi611 rl~[Ii"grail,"" rl . . ""P '1 '0 IiL re par. e ''1"""a, que el peso W de I.plncn t q ue la s comp on en te :'!i n,Y n~de ln reaccidu t!11 0 ~Oll t:quiva-lentes a los vectores ma, y mao y "I par / .. (nl ,~m' IfLiT,). Puesm ' 1 ' 1 ( 'la velocldnd yla acelernclrin a n g ; l t a m s de la plnca . ' 1 0 1 1 i,guale:s. 1 ' t : ! 5 p e t . . " - -tivmn'mte._~ e y 8_ I"., m ognill(des respectivas de l'!~o, veeto res so nmblJ y mhO- , en tanto que e I memento del par C5 10 . En Ius aphcacjo-ne s PM;", de esle metodo (capitu lo 16) sc trat6 sicmpre que rue po-sible de suponer cl scntido corrccto de Ia acelcracion. S in emhargo. eneste 03S0 se debe suponer el misrno sentido posibvo pam 0 y 0 1 ' ' ' ' ' 'obtener una ccuacion de In forma (19.21). Consceucntemente, la ace-leraci6n angular 8 se supondra positiva en senndo coutrario al de lasmaneclllas del relo], nun cuando esm suposicicn es evidentementeirreal, AI igm ,!"r los mementos ~ " 1 1 respeeto a O . se escnbe

- \\f(b se n 0) =(mbO)b + 1 0Si se observe que 1- krH[~2b}~ + (2lrl!'] - ~1PjI /~) \\1 - m.g, xe ob-l ione

-- 3 g6+ 5bson9-0 (19.22)Pnrn o sc lln cio ne s d e p eq oena amplrrud, sc p ue dc susntuir se n (J por (j~expresude el l radianes, y escnbir

(19.23)L < . comparaci6n con (19.21) muestra que Ia ecuacron obtenida es Ja deun movimieuto ann6n.ico Simple y que la rrecuencia circular natural WIlde las osctlactoncs es igual a (;)g/Ob)!'". Al sustituir (l~.n). se encuen-tm que cl pcrtodo de las oscilactoncs cs

T = 2.". _ 011" f5 b (19.24)" w .. ~ V1g

F. l 1"fi'.'i:ultll(Jn. (lllP SP ohMe-np . es v ~tlid o solo p._"lr.l osctlartones de- pe.queil;;} ;;}.!_upTillJd_Uilil descripcion 111as.II;:;:~ta de l muvluucntu de lu plu-case nhliP TlP "I romp''' ' ' ' las "',,,",,,"'..,. (HI. I r, ) Y (1!H2). H"y 'l"P oh-scrvar que las des ecueclcues SUII iJeJlUt:a.:;:si se dig..: I igual a 5 b / 3 _ E:slusignifica q tie In p laca oscllara com o u n , > < l n r l 1 l 1 o si,"pl~ lip longitudI - 5"/3, Y es posfble utillaar I", ,-.O \,II.do, de 10 seccion 19.4 p',m co-rregir el valor del penodo dado ell (19.24). E I punto A de I" plaea 1 " , - " , -llzedo en la hn a OG a una distancia / =5b/3 desde 0 se denne comoel ce ntro d e o scilacio u corre sponden te a 0 (figura 19.5(1).

19.5. Vibra.ciones. libleEiide cuerpos rigidos 12.2

rb 15 1 >"3-!----9c,,.\~--+---'--

l~

b)Figurtl 19.5


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~Ii

" .l_....-... IJI--:~

PROBLEMA RESUELTO 19.2Un cilindro de peso \V y nldio r se suspende de una ccerds que le ci a vuel-ta come se lndlca. Un extreme de fa euerda se conecta dtrectemente a unsopcrte rigido. en tan to que el ctrc extrem a sc line a un resort d e c or er an -tc k. Dceermrncel perlodc y le Irecueocc naturalde las vibreciooesdel cryllndro.

SQLUCI6NCtnemnttca deJ movamcnto. Se expres~1 el desplasamiento lineal yLn a ce le ro ci6 l\ d el' e jlto dr o e n te rm ln cs d el d es :p J.~ ~'lm ie i'l! O a .n gu la r' e . At e le -g i r el s.nUOO posldvo en .1 sen n do de Ias manectllas del reluj y "I lIIeWI I",dssp lazam tentos desde la poslclcn de eq ulli b rio. se escribe

(I)

Ecuackmes de ,"0\'101lcl1.10. El sistema de fucrzas externas que ao-trlan sobre un cilinclm eonsutn en el peso w y la s fueraas Tl Y T2 que ejer-cc la cue-de. Se cxprcse que este slstcrna cs cquivalente al ~e las Iuerzasefecttoas representado por e! vector m a aplicadQ a G y a l par hr.1\Ir - T.(2r) ~ miir + l e t (2)

Cuando cl cilil~dm CSl{L en su po.';;icj{jrtde cqudtbno, Ii) tension en In cuerdnes Tfj ~ ~W. Note:que para UI1 desplazamtentn a.n~_lI:ar 6, la magnitucl deT2-!l:s 1 . - 1 " + k8 - ~1\1 + k8 - ~W + k(2 rO) (3)La susutuocn de (1) y (3) eu (2), y el hechu de que I - turf'S!:, 1 ) 1 1 ; 1 n Ineu t,:';!j,.cribi ..

IVr - (tw + 2krfJ)(2r) ~ m(rii)r + -:-'nr'iiIi + 1l.o - 03m

EI movim iento se observa ( . 'OmO armonioo simple. y se ncocw , . - f!I" " 3 m2 8 kw=--.. .3 m

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PROBLEMA RESUELTO 19.3U1 1 disco circular, que pesa 20 lb Ynene un radio de 8 in_. se suspende delin clarnbrc como sc mucstra, 1 disco sc becc gil"8T {de modo (j1.IC SC tucr-ce el alambre) y luegc se suelra, se ohserva qne eo)penodo de vibraci6n tor-sio no ..) es d e } . 13 s. Un e n g n . 1 I 1 e S(> 5 1 1 S p l'tde h . 1 e ! , f O del mi!tmo alul'nbre.), I(:x:riodu 1 . ' 1 ( ' vibnlci6Jl (orsion~ll ell esre casu \fode 1.93 s. S i S C sopcne que elmemento del par ejerctdo por el ulambre es proporcional a 1 angulo de tor-slon, determine ll} lu constante de resorte torsional del clambre. b) (>1mo.menta de tucrc la ecnr ro tda l del engrane. c) Ia ve locrdad a.ngularmadma quealcanza el engrane si se haoe girur 00" y se sueha.

SOLUCI6N.fl) \ i bnu '1 'I 1T l d cl d is { :o . Dcnotando p oo r ( ) e l desplazamteruo an~'lI-

lur del dleeo, se expres.a fl' s 'A] sustituir (1), se obuene

1.13 = 2". 0,138K K = -1,27 I II ftlr ...1 ....b ) Yibn.cioo. del cngl'nne. Puesto que el pertodo de ,ibraCi6n del

engrnne es 1.9:\ y K - 4 ,2 7 II> . r Vr dd . 1 0 ecuac ie n (l) produce)93 = 2". rT '",< ." = n.un II. ' fI .,- < II. J 4 Z i

c) \dfK:idud ungulm IllJ.hilllii de! cn_granc. Puesto que el moci-mientO es urmcrucc s im ple . se nene

S i sc recuerda que 0...= gO O :::Ii 1.571 rod y ' I : ' - - 1.93 e, S I! :' I !: ' . .. . rillt>

123


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RESOLUCI6N DE PROBLEMAS- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -EN FORMA INDEPENDIENTE

En esta Jeccton se via que un cuerpo rfgido. 0 un sistema de CI.e11'JOS r i , b r i d c , ) s , cuyapostcion puede defl Ili roo median te I L11.;1 soh. l".(JQ rdcnnda . 'I: 0 0 , p rod uci r a un mo vi -m leuto nrmonico simple s! 1


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4. A l camp-arm-las ecuadoue:


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G

fig",," P19.38

F1gura P19.40

1234

Problemas

T 19.38 L a bam uniform. A 1 J d. 9 kg se " ' " , , , , , I . " resortes en los pun-tos f\ 'i B~ eada uno. de. constnnte igllru :J 850 N/m. los cuales pueden


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19 .42 Urta bLLn-~L un iformc Afj del;1.2 kg se conecta a una nrrcnlaccnenel punt" A y a d ns re sortes. cad. u no d e ecnstan te k ~ 450 Nrm , a) De-ra rrni nc I; ) rnasa sn del b toque C para el eunl el pertodo de pequeil3S escila-clones es de 0 .:13:s. b) S! 12 ] ~ t !1 .WLU B ~ l H : L j a 60 nun y Iuegc se suelm, de-terrnme I.velocidad max; rna de I h loquc C .

19.43 Un eilmdro LIn; forme de e kg pusde rod ar sln desllzarse sobreu na s up erf icie h oriz on ta l y se coneeta u 1 barm hortznntal I~B ( 1 . 1 : 4 kg rrte-dinntu tin pasador colocedo 'Cl1 cl punto C. La barre se encuentra ccnectadaados: resortes, cnda uno de constante k ;;;;;;;)k.\ ' lm, como se muestra. S i laharm _ W n 1L 1t :- '" Vl " -1 2mrn 1i . 'lCi ' l 1 ' : '1dereeha de lu posrcton de cgui tibr ln y TL legOse sue 1tao determ in e a) el pertodo de v.ib I'ad(m dd ~l::;tt:! I!a , b) la [lJ.j]gJ utudde la veloctdad max; mn de I. barrn AB.

F ig ura P19.4:i y. P19...19.44 S e supone que un ciljndro unlform e de G k g ru ed a sin des l i z a r -se sobre una superflcre horizon tal y se L'Q11ect :J rnedlan te un pasador coloca-do e ll el pu I I(U C a Ia bar ra hon ;, .r .. uJtul d.B de 4 kg. Esn . s e e n eu en rr a e on cc -tadu a c!Qs:resortes, eada uno de oonsrante k = 3.5 kN/m . como in c l r e a ln

rtgvrn_ S i el coeficiente de Inoeton cst~tic.o entre d dHndm y in s up er flo e esde 0_5. dotennlne la am plltud rm txim .a del m ovtm rento del PH!1 lO C que cscompsnble ro n l a ~ ,. l~ i" r! i( j ,t l d t! rod :) m i el~ to,

19.,45 Una C3\"i dad sem icireu lar se reeortn en una plat 'a cundmda uni-fanne q Lie se conecba :1 \.111pasador sin Hcclcn en su eon trc gcomcrnco O.Detenurne al "I penockr de pe'l"e~ as osctlaclones de I. placu, h) l a long it udde U 11 penduIu simple que tiene el m rsrno penodo.

, 9 .46 Determ ine el pencdo de pcquenas oseilacioncs ds un cuarto deei hnrlro circular lin ifrH1l'ip rle :rnllin r = t.l.~m, e1cunl rueda sjn dcsllzarse.[Sug"rencia, 000.".., que CO - 4V2"/~1'! Yque, segU" .1 teorema de 1 0 0e j" s p ar al el os , i~",r' - ...(GO)'.J

19.47 Para lu plat 'a semtct rcu tar un r forme 00 radio t: \ deterrulne el l)l3-6000 de pequef as oscilaciones cuando se le snspende n) de b posicion A co-010 tndtoa 10 flgU.tl:.l. b) de l pasado- ublcudo en 0 1 puntc 8_

F:lgl..!r.a!P 19.4119.48 Un alai nbrc ddgadQ y hornogeneo S I S ! dub] a en [erma de trtdn-

gulo i.~&celes de lades b, by L6b. Detennrne el _ P V r i c . , J u W : lit:(ll[l:;:nu::; oscr-lnciones st 01 alambre se suspende ,,) del pun to A",,,no se m uestm . h) do lpunlQ B ,

"",.'om" 1235

':;Ig urn P19A2

125mm 1.2.Jmm1 1 ~ " ' , , " " 1 I-.

~mm__ I~mm

1=19U" , P19 .45

F=!gura P 1' gA G

, I I.e"Figura p19.MI


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F ig uta P 19.49

Flgur. P19.51

19.49 Una placa rectangular lmifOI",ne se ~ll~rWl1rlt> np lin pusador lo-cahzado en el punto medlo de un borde 001''110 indica la figura. S! sa CXIll~idera que 18 d lm ells[6n b es cons tan re . determine la .-aw n db para la cual elportodc de- osctlaoron de la place es 0) mlnlmo. b) el mlsmo que el de unpendulo srm ple do longrtnd c.

19.50 S e hu obscrvadc que -1pcriodo de lJoCGuefiasosctlnciones tie u nabtela alrededor de A es de 1.03 s. 51 l a dlstancia r a ~ 160 rnm, determine elradio de giro centrctdal de I" biela.

Figura Pt9_5019.51 Un dL$(.'Onlforme de radio r ~ 10 in. se conecra en t- \ . 1 U I1 i. \

berra AB de 26 ln. )' peso 11'1~igninc:iLliteiL e pecde girar (.ron ltbertad en uuplano vertteal alrededor de B . D eterm ine el penodu de pequenas oscilndo-nes si a) " I disco tiP J 'lP 1 :1 l i l i I P r t ' : : " I c ' 1 c ' l f ~ gir:~1"en 1111 cojtnete tnstnlndo en A. b)b bnrrasc remaeha u1 disco en fl.

19.52 Un p en au lQ C 'Q m pu ~ ',Q se defil~e como una placa rlgida que 0,..cila alrededor de lUI PUlLto Hj!)0, c!ell'UllJiuoldL) centro de suspension. De-muestre que el pe-riodo de oS C'ifiCjon de un pendulo compuesto es igJ ml a]de ~111l X !: n,d u] osimp le d e lo ~itu d OA. donde b) d.ist~fI{. 'i~dosde A h ustn elcentro. de masa G es Cot\ .. k w _ E l punrc t\ esnt defhudo com o cl centroOf'; o..~ilaf'i(j,n )' corneide con p i centre de percusion enunciado en el preble-ma 17.5i.

Flgu ro l! l,P11 i1 .52Y P19 .5319.53 Una plaea rrgid" oscila alrededor del punto flJo O. Demuestreq ue el p el"io do d e osc ilac te n m,'is pequeso ()("IHTP (. '1!.afldo1ftdistaneia r des-

de el pUi1 [0 0 h85l8 el centro de masa C es igual a k., 9 .54 Demuestre que ~i e l J >4 !lld lllor om p ue s:to d el p ro blem a UU12 ">(l'suspende de ,\ en vez de hacerlc de O. e-~ penudo tit: oscil~.C'i6nes el mismode antes y el nuevo centro de oscilad60 se ubiea en 0_


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19.55 Dos barras urulormes, c.. do una de masa IIIY Itm gitud I. se , , , . 1 -dan junl.;1S pam Iorm ar Hl1 @1ls:3111bl"!ipo L . EI ensemble estrl restrtngidn pordos m sortcs. cada uno de constanre k, y se encuenrra en ccplilibrio en uri pla-no wrtiCftr on III pns:i(-i(II~nn~liIrl:-I. Determine III Irecuencia de las- pe

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1238 .._ mocan. grd.OVS ' 1 : 1 1 el senudc de las manecillas del .-cloj desde ill posicion deequrltbno y luego se sueltn. determ ine su veloeidad angular Y 13 aceleraeonangular 5 s dcspues.

Figura< P'19.62


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19 .63 S e observe un penodo d. 4.1 s para I" cscilaciones ""gul.,,,,de un rotor de giroscoplo de 450 g suspcnd rdo de un alarnbrc como indicala flgura. 51 al suspender una esfera de 50 mm en la mrsrna lonna se obne-ne un pencdo de 6.2 s, determine el rndio de gin) eentroidul del rotor. (Dell-,;dad del ecero = 78 5Q kg/ rn a.)

,. .Fig."'. P19.63

19.64 Una barre delgeda de S kg se suspeude dt: till ali ; l lUlm:de ace-ro, el cual tiene una eonstante de resorte lor.;ional K ~ 1.95 N . rn/rnd. S i labarrn se gird 180 0 ulrededor de la vertical y luego se suelta, Jeten'nine a) e[p en od o d e 0 ""II.cI6 ". b) I. vetoctdad m en I", soportes ,\ Y B como lndlca la flguT:~. 1 . . : , ' 1 ccnstante torstonul de resorte purll cada buren cosde 150 lb . ftlrnd, yel ststema esta en equtlrbno cuando la placa 5C encuentra en posicion vern-cal. S i I.p laca g im do> grndos ulrededor del eje AB y luego" "w it", ~etermine. a) el penodo de oscilad6n, b ) la magnitud de: la velocidad mAxima delcentro de masa C de I" placa. Flgu,. P19.66


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1240 V; b ra.."",. mecAn ....

Figur.f!l P19.67I

19.67 Una plataform n honzontal P se sostiene m ediante varlas barrasrfgidns eonectadas u un ulnm bre vertical. Se encuentru qlie 01 periode de os-ctlacten de la plataform a corresponde a 2.2 s cuando esra oncra j' a 3.8 s cuan-do un objcro A de memento de- tncrcm urcfbr-ne se If" f'Olnr::1 PI)r'i111n N'Jn!1l1centro de masa directamente arriba del centro de I.~place. 5i el ulambre tie-nc una eonstante torsional k : - 27 N . m/rad, determine elmcmentc de iner-d~1eentroidel del objeto A

19.68 na p la ce t ri angul ar equtlatera Y u nllorm e de Indo b s e s us pe n-de de trcs alambrcs vcrticalcs de iguallollgitlld I. l)efcl"iniT)O el periodc depcquenas osctlactones de la placa cuando (1) .6 rim a u n pe

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EI principio de eonscrvncidn de In 6nergla proporciona una form aconveniente de deterrnlnar el portodo de vibraciou de un cUeJl'o rIgi-do 0 de uu sistem a de cuelpos rig idos que posccn un solo ,grado de L bertad, una vez que se ha establecido que el mcvimientc del sistem a esun movimienlo armdnico simple 0 que pu ide api'o.QII)arse Itledj~nte unm ovim lcnto arm 6nico S im ple. Al elegir una \-ali,tlM e apropiada, como ladistancia x 0 el ~nSII~o, se eonsideran dos posiciones particulures delsistema:

1. El (h~;\'/)lfl:nmip'lfo r/pLfi. ..lpmtl PSmnl'imo; se tiene Tl:;;;;;. Y "lpuede e.:\pr~~al'.~ en tenuluos de ln ampljtud Xm 0 O m (al ele-gir V = 0 en lu pusici6n de equllfbnc).2. f) si:o"llmw J K ' 8 ~ J pur st. ,msidc,H d ( / l!qu iliiJfi(J; se ti en e V 2 . ~ O.YT~pllpdp P ' \' [' Ir t" sm""S( " en termincs de la veloctdad mddmu olu vekchhul ,mgular maxima O m _

S c e " ' T J o r < : l S : \ entonces que In em ;;:rg ia total del sistem a se conserva ysc cscrihc T, + V, - T. + V. AI recorder de (l9J5) gu para UI I mo-vim iento arm onieo sim ple la veloctdad m {lX im a es i';lmJ ~\Iproducto deIn amp ll tu d y de In frecucncta circular natural W,J' s c c nc uc ntr a ql.IC Inccuacion que sc obtiene puede resolverse para w...

C orne ejcmplo, se eonsidera de nuevo la place cundrndn de la seccion 19.5. En lu [l(ISid6u de desplazam tento m ,\> im o (flgura 19.Ga), setiene

T, =0 v, =\If{b - b < ' O , 8",) '" 1I1,(i - < X I S 0,,)o p ue stn 'I' It' I - !". '()$ ~." iiiii 2 . _~n:


30/75

II

Pmid6n2 c

1242

PROBLEMA RESUELTO 19.4Dete.-mine el penodo de pcqucaas osctlecones de HI1 citil'u,lrv de radio r-querneda sin desljzarse denrrc de 11113 superfkse curva de nuho R .

SOLUCl6NS c denots a por 0 el {ulgulo que forma la lrnea O C eon la vertical. P uesrc queel oil; ndrc ruede si I~ desltaarse, se puede tip!i,,:u" ct principlo de I ,L CC)IlSP!'W-e i o n d e llit e n el1 ,r fa en tr e In po.'i idol'! I, du IllkO = ONI' Y ln p oslc lo n _ g . dondeR - O.

PQ!'I l t j_orl 1Ene-rgia ctllelic;a.PlIcsto IJue l .a vel oc idad del c :i ti i' lt lr o cs core, T J = O.EueTgfa , ' )OIe"uc ia l , AI elegiT el nivel de refereucta com o se muesna}' dcnotcr por 'Vel peso del cflil'H]ro, se uenc

V, - IVIt - W(R - r)(l - 00$ 8)Al obs 1'\"".. r t,_fuepaf3 pequenns oscilaciones (1 cos 9) = 2 : 1~20/2) :...1)'/2, se tielle

e "V, - IV (li - r) ;Pcstcjen 2. S i se denota per e: lu ...e locldad an gu lar d e 1 3 lin en O C

cvnndo 01 cjhedro p : 1 S o p O I " la posicion 2, }r se observe que el p U l 1 to C es .pIcentro de rotactcu lnsm maneo del cilludro. se escrrbe

l im - (H - r ) O . ,

T~= - [ m n ; ; , + ! / w ; ., . ' " , ( f l - r ) ' "2m(lt - r) O~ + ~{"fmr } -,-_ - e.,;;;;;;m(R - f " )20~

I'uesto ( 1 1 1 C 6 " 1 - wl1l6my '" v = mg, SC cscnbemg(R - ,.) 0; _ ~m(n - r}~{wri9,..}2 ,_ 2 _g_{J)1\I-31~-r

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1 : ; 1 1 los problem as .igu iente., se pedi'~ qu e urillee el pri I 1 G i l " o de /0 conse '1,Ylcion dela (;."lierg{a pard determi nm-el pe 1" [ode 0 r recueucia natural del rnovimiento urmcnlco sunple de una parncula "ClL~'l'" rigido. S upontendo que ehge un :!ngulo 0 pamde f in i r 1 0 1 posicion d e[ s is te m a (con t l = 0 e ll ln posiclon do equllfbno), 1 0 cunl se ha-rii e ll la [ ] laY" e ra de 10:; p roblem as de esrn leceton, se expresaru q O le Ia ene rgr" totaldel slstamn se l'on:se~,I, T I + V! = " 1 ' 2 ; + V 2 1 e n t re 1 3 1 ) ( ) S L c i 6 1 1 1 d e desplaznmien t ouuulmu (O J = O N . ' 0 . ; ; ; ; ; ; 0) y la po .r ,; ;i d6 n 2 de velocidad maxnna ( O ~ ; ; ; ; ; ; t J Hlt8~ = O ). Se ncne CJlIf' T J Y V~ scrdn am bas eero, y que la ecuncidn de h i e n e r g i a sereduclra a " J - T~~doncle VI y T : ; : : - ; u u lU!i exprestones cuudraneas homogeneas e n6Im)' 8 ' m . respeetivamenr. CO' -I lO. p;u"'J un movimjentc nrmonlco simple , 9 1" = 9 1'1wr'jy al sustituir este producto en Ia eeuacidn de la enGl ' fL l se uhteudni, daspues J~shu-p li fic ar . u n a eeuacid n qu e es posl h ie m:s.nlver pflrn W. I_ {' nn \,'P? rJIIp. ~p. h::!p drtf.l! l"mi_nado ' < : I frecuen cm circular nu tu rn l w... pucde obtenerse el pertedo " " " 1 y la r re c u e n c .ianatural f.de la "blflCi611_Los pasos que se deben scguir so n es tos :1. Calcular M e"erg(a palencial VI energfa pote"cial a.ociada co" L a [u e ,;:,(J dii., ia ejercitfu po r WI

re80rle t."8 V ( ' " ; ; ; ; ; ; f.b2 , donde e es la constante del resorre vv es su delormncion. Enproblem", qne irnplican la rot:)Ci611 de lin euerpo "lrededor de un eje. per 10 gene-rnl so tend ", x =fi~, dondc e cs la distancia dcsde el ej e de rctaclcn hast" cl ['"otodel "Uf''l'" doude el resorte esra eon ectado. J' donde ~ es cl jnguTo de ro..ci6n. POT

1243

32/75

1244

10 tanto, cuundo X alcanza su valor maximo Xfll Y 0 llcga a su valor ma x im o 8,ru CS posi-ble expri"~arv, cnmo

( : ) L u euel'gia pohmdal V I del .8i~'emo en su IJo;'fidofl (Ie (ICt.llJ1a.::oami{mtonI(iximo se obtiene sumando las diversas energas pctenclales que se han ealeula-do. Sera igllal aI producto de una constante y O ; n .2. Caicuiar la enel'"gic~ c i-J iet ic a T :1 :del sistenm C':J 81.1 po!ticiim de t ,e/ode/(ulmaxima. Observe que est. poslcton es tambten 10postcrdn de equllllmo del ,is'tema,

u) Sit t l si.~te Plla gl1ld co Inpuest pOl' !ll~'w l 0 C-I~e,..po , . . ; g i d o , I n ell e r b r i a c i ne -tiC', To del sistema sera I. sum. de la energia cmenca asoeiada eon el movimlentodel centro de masn G del cu c rp o y la cn c r g . o cmetten usoclada co n la rotacldn de leuerpo alrededor de (;, I'or 10 tanto, se escribira

1 '2 = t m ~ l + t lW ; 1Suponiendo 'l"~la pnsici6n del cuerpo se ha deflnldo m diante un angulo B , expre-se O m Y " ' . . e L 1 t< ! rminos de In razon de earn bio a '" de 0 cuando cl cuerpo pnse porS U posicion de equilibrio. L.~nergi~ cluetica del cuerpo se expresara enronees co-mo el producto de una constantc yO;',. Advicrta que si 0 mide 10 rotaclon del cuer-po alrededor desu centro de m asa. com o fue el coso p ara I1 lplaca de In O g ura 19 .6,entonccs W ," = = O m . Eo otros c..'lSDS. s in em b ar go ) ln cmemdtica del movimiento debeudhzarse para dertvar una relacion entre w" ' y 6,. [problema resuelro 19.4).

b) Si el sistemn e~'d I"nmpflf'~trJ tie nu-ios cuerlloff rigido. repita el calcu-1 0 anterior pard cad. "no de 1 0 ' cuerpos. uulizando I. rnisrna eoordenada 0, y surnelo s resultados qu e se nhttenen,3. 19uale 1.8 energiti potencial VI del sistema a 8U ener.,!!(a Citli,icll 1 " ' 2 ,

VI =T.y . reeordando la prtrnern de I"" ecuacioues (19.15), su r tituya s: en eI terminc del la-do derecho pOl' el produero de I. Hml"itlld 8m y 10[recueucla circular w. Puesto quearnbos M rrnlnos connenen ahora O I l fac tor e~j~es posible cancelar este t a b mo y laecuaclon resultante pued= resolverse para 1 3 lrecuencla c ircular Will '

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Problemas

19.69 Dos b loques cad . "no de 1.5 kg d. m asa, se eoneetan esl .bones qu,e estan urudos m ediante uu pasedor a I~ hnrrn 8('; en loaforma in -diead8_ L as m asas de los ~:,.lI;lW I1~ y la b arra SOI~flsigni.ficalltcs, 'j 1 0 0 blo-ques pneden desllzarse sin fricci6n, E 1 bloque D es:ta unido a on resorte deconstants k :!II 120 N/m. Si el b toque A se mueve 15 mm desde su posfctcnde e qul ll b no y luew > se suelta, determ ine I. m .gn lt\ ,d de lu v elc cl ds d m ';''''rna del bloque D durante el movimiento rasnltante.

19.70 Des blcques, c. . . J < L uno de 1.5 k g de masa, se conectan a csln-1)(l' lH"S: lie estan unidos mediante un pasador a la barra Be en la forma in-dicada, Las m esas d e los csleb on es y la ber ra SOD insignihcantes. y lo s b lo .ques pueden deslfzarse sin fnccron. Ef bloque D esra untdo a till J 'CSQr te deconstants k ~ 720 N/m . S i e l b l" '1 "~ A " , 1 \ 1 e n re po .< o cu and o '0 Ie . ." ,I"""honzontahne.ue con un m aw y se le ep kca una velccidad aucinl de 250 rnnvs,determine 1. m agnltud d I desplaa u m e neo m axim o d el b lo qu e D d uran te ,,1mootmtentc resukante.

19.71 Des pequeiies csferas. Ay C~cada una de mass.1'1, estill ccnec-tadas a una harm AB, 1 0 1 cual se snstif"ne mediante un pasador y una rnensu-l a col oe ados C'II ,8 'j por m edlo de un -esorte CD d e c on . .nm rc 1 . - . S r b m esade la barra es insigruficantc y el sistema se encuentra en equlllbrto cuande!3 harm esti en posJci6nhoriwuta.l, determine 1.3freclU"nf'-la de las pequeJla5osct lactones de l s ts rema .

19 .72 Un bloque de 20 Ih "'t~unido a J reso rt. A )' c on eeta do .1 re-sorre 8 mediante UI18 cuerda Y una polea. E I bloquc sc sosecno en la post-c .i6n mos rrada 0011 los des resortes sin deformar cuando el soporte se red ray cl blcque se suelta sil~ v alocidad tnlctal. S i se fg nora la frir=t:MI1 y l as ma sa sde la polea y lo s r es or re s, d ete rm i ne C ~ )d p errc do d e In v tb ra eiou rc su lra n-te . b) I."'.gnitlld ,I.la velocidad m adm a aleanzada por el bloque .

Figuta P19.72

Figura PlU9 YP19.70

A

I-t--+--Flgu ... P19.7'

1245

34/75

Figura P19.n

Fig" ra P! 9.75

kpj_:llbtill.

~ I S ;.- l 1 8 ; n - rFigura P19.77

19.7 3 F .l borde intem n de lin vol::jr'll'( 'If' 38 kg se eoloca sobre elde Uri euel t il I 'l l, ) ' se encuen tra q l e c cl pencdo (je pcq l u . d l n . < j : oset I l l .{.1Q11eses1.26 s . D eterm ine el memen to de inercia centrotdal del v olante.

19.74 Una burra uniforme A B pcede gjrar en Lin plano vertical adedor (le UT, ejc horteonml ell C loet,li7.ado a una ltist[lTIt:iii. c por encimacentro de masa C de Ii.! bareaPam osciiaclones peqnertas, d~t(';rlllirn: c ; : ![or de c p am eo le uu l lu Freeuenem d el m rw im ie nl c ~ru maxima.:~eL.c I

. Jigura P19.7419.75 na biela esta supcrtuda 1'01" el 1110de rill cuchtllo en cl p~

A: sc ohserva que el pertodo de sus osclluciones pequenns es de 0.805 s. LgO.:iC lnvterte la bidll Y sc Ie s os tr co e med ia nte el filII) del euohdlo en el puto 8. y en esre ceLSOel penodo de S ID oscilaciones pequcnes cs de 0.80.1 s.r. . + .rl~ ;;; 10.5 i n ., de t ,. .n~ inp a) la Ilhitad6n del centro de rrm sa C . b ) eldio tit: ~iru ce I l lJ'QidHI k,

19.7 6 U na placa unfform e )' tlt'" lg :atl~ ,que se rccorta Ci'l form a decuarto df" [{ .-calo p uede giru r en u n p lnno vertical alrededor de un eje hozontal en el punto O. Determine el pertodo da pcquejll'l.S osctlaefones dfplaca.

Figura P ' 9. 7619.77 Una burra uniforme I U J C pp.~ fi Ih y est:i unida ados resortecornu indlcn la At,l1lra.S i ill e xtrem e C :se le ap lica un pequcnc dcsplaaoouen

tn y lm :,go se suelta, determ ine la frecuencia de vibrac:i6n de la banu.


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19_78 Un disco urufonne de radio r y mesa ')1 pacde rodar sin desli-zarse ~uu~ 11118 !iuperficte cthndrfca y esrs conectado a una harm ..lBC deJongitnd L y 1ll3S$ in sig niA ea nte . 1 ..1 h~n 'R 4 '! >: :mIn itio !'a u n r cs orte d e L"Oi'l.S-hu~tc k Y pocdc rodar 00]1 Hbertnd en e l p la no - ve ~Ileal w rededor del punwB. S i al estremo i\ se Ie n pltca u n p eq ucn o d esp lazam ien tc y luego se suel-Ia, (1P.',p.nYlinpln frecuencia de las osctlactoues resultanecs en terminos de m.L,kyg.

1.'2_ I

1t:

Figura P19.7819.79 Un cilindro umfbrme de 7 kg puede rodar stu deslizarse sobre

una rampa y e'shi con ctado a un resorte A8 como se muestru, 5i


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1248 19.81 Una barra delgada A ll de 10 kg y longitud I = 0.6 m se une ades collurines de masa Inslgniflc ...te. 1 (,'ollarin . 1 - \ sc une a un resorte deconstante k ~ 1.5 kN/m), puede desllzarse pOT una barru hurieoutal, Ct. (01.1"-to quP f> 1C"~fllll\rin 8 p lle dfl! d es liz ars e h breme nte por una barra vertical. S i elsistema esH1ien cqulhbrto coendc 1&harm AB c st n v e rt ic al y u l eo ll urm A ~ele apbca un l~UCi\O dcsplazarmenrc y lueg o se Ie suelta , del erm ine el pe-node de las vibrnciones resultnntes.

Flgur. P19.S1 Y P19.8219.82 Une harl1l de1g.ada AB de 5 kg Y longim d I - 0.6 m sc concernados ccllannes, cad a uno de 2.5 k"gde m asa. t;1 eollann A se nne a un re-

sorte de constante k = 1.5 k~/ln y puede desleerse pOf una burru horizon-ta l, e n ta n to q l_ le el c olla rr n B puede deslearse ltbremeete pInr u n b a rra ver-tical S i e ! stsrem a esta en equilibrio cuando I~ barm AI? C _ 5 - vertical y al collarinA sc lc epllca un ~cquci'o desplazamientn y luego se Ie sueltu..determine elpenodo de las vi bmeiones reslllbHltcs_

Flgur. P19.83

19.83 Tres barras ligeru:s, UIIi form cs eoidfn ncns, de 3.6 kg se unou .1'Ilt:~d la ute p as ad or es ell 13 forma q ue se in d[c ,:d } ' puedeu moverse en nn plano"9rl:ical. SI a la berra Be se le nplhu HI~peqll~ii{} desplszamtentc _ \I {l~p'lesse Ie sueha, determ ine 131pertodo de vtbm cion del ~is!t:llm.

IlOOmmL

1 81 0 0 1 1 1 1 1 1LFIgura P19.84

19.84 Una esfera /"\de 0.7 kg)' U!Ia lI.:.srl.:~i:l C de 0.5 kg estan (.'OI',-C("-das a los extrem es de uno barra tiC de I kg, I. cual puede gjrar en un 1'1".I~O vertical nlrsdedor de lin e]e en B. De-term.'-1 J.:I penodc de pequenns QS -ctla cto ne s d e 1 3 ba rra .

37/75

19.85 r ..s es feras A y r: , eada linn ciA I"I4?S OW, ... conectan tl t05 extre-mos de una harm homogenea del mlsmo pe..~o \P )' de I01'lgltud 21, I ,. cual sedobla com o indica 19 figura, S e perm its que el sistema oscile alrededor deun pssador sin fricci6rl en B, 5j fJ 1m: 41Y"Y I ~ 25 in., determine la Frecuen-cia d e p eq u en as ~ila(,;j()II~!j:.

Ftgura P'19.85

19.86 La berra ...8 de 3Ib esta unida mediante- pt:'nUJ~ a I,UI disco de5 lb. S i el disco rucda sin de Ii"""e. detenniae el periodo de pequefias os-cilnciones del sistema,

19.87 Do. dtscos uurformes de 6 kg est&n unid"" .. til: bnrrn All ( I~ ~ 1b . . - g COrnO indica ,If! 6g ura. S t 18 con-stante de l resorte es de 5 kN/m y lo s d is-CO S ruedan sin desltzarse. dets-m tne L a lrecuencia de vibracicn d el sistema ,

100 !lnn l SOmm

F " i g l l f " ; L ' p'19.87 '

19.88 Una media seccicn de un eihndro uruformede mdic r y mnsnm desc an sa s a b r e - dos I'odillos A Y B ~ cuda uno de- los cuales es UI) cilindroum form e de radio rl4}' masnm /S . S r e l msdro cilillclm "'~ gil':} :l ttnv6s de linlingulo pt.->queno y despues se suelta, )' 00 ocurre desltzamjento. determinela frecu ene ia de pe qu ena s oselaeones d el s is tema.

19,69 La I " " , . A8 d. 10 kg "l~ unide a 1 " "u u > de 4 kg " " , , ; 0se m ue stm . S i los discos ruedan sin deslizarsc. determ ine fa frccucncia depequei 'Jas oscilnciones del sisternc.

15 0 111m 150 nun

I--45 0 m m _ _ jFigura P19.89

" " ' ' ' ' m a s 12

Agora P19.8S

Ftgura PI9.SS


38/75

1250 v.",.".,,_ __

I--2On,-----1Figura P19.91

FIgura P19.93

19.90 Des colhrrtnes. cada uno IIp masa m, se couectan m edian te p ~J v n . - = . . a la s harms t\C )' 8 C t i t " IOtl~h.ld J Y masa ill!:ii!plificOMC_ L os c c l l n r i r e sy B puedeu deslizarse sin nicci6n pm una bam honzontal )' se eoueetan mdilltlb' un resorte de constants k, 1 eellurfn C puede desltearse sin G'icej6n plmi.~barre vertical. y el sistema se eucueutra en C.'fluillb,rio ell la posici6n mctta~I;;LS i IIIoollann C se le aplica ua peqncno desplnzamieoto y "legO se suta, de te rm ine 11 .1n , _' cuc ;m t -" inde l mnv inuen tu TeS lI lt: :m t ed el s is te ma ,

Figura P19.9019.91 Dos plaeos scm lclrcn lares uniform es de 6 Ib estan conectadasfa lmrru .A B de 4 Ib como se muestru. 51 las places ruedan sit) desliz .arse, r

t er n l in e el pertodo de pequenas osdluctoues del slstema.19.92 Un dtsco UlJifQnl'lC de G Ib pucdc rodar ~;n des:li~..llt'W'sabre u

s upe rf lc le c tl fnd rt ca y c-sta conectndc a u na b a.1 IS .H g c 1 ' a r umforme AB delb. La barra se encuentru un ida o 111'1 rtt):lortf> {'If''eonstante k ~ 20 HlIft > ., pude gimr lrbreuu-rue un HI~ ph\IIO vertical alrededcr del PUlllO A. Si al cstrmo n se Ieo( tpUe ;l u n peque fio despkizam iento } ' Iile;e:O se s ue lta , d e te rm ine 1 pe rio(kl d ' l J ' lu v ib r a oi dn resu 1tante.

Figura P'19..'1~~19.93 Una.bnrra delgadll de musa m " longitud I sa suspende dereson es verticales, ead a uno de constante k. ("(11110 indica la figurd.. La ha

es:toi en eqnilibric cunndo se Ie apliea unn pCCJiIPn.. rotation alrededor deeje horizontal a tJ1\\'th: de C y luego se sue-Ita. Determine la Irccucnctapequenas oscilaciones.


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19.94 Una seceion de 1 l . . P tube unlforme se snspencle de dos cablesvertfcales eonectados ~I l A Y 6. Deterudue b rr't!ClI'l:UI.;i41 de Wit:ilm;i(m cuuu-do .1 robe se Ie aplea un pequeno giro alrededor del eje centroldal 00' yluego se suelta.

19.95 Una media l;ecd(lI l r iP hIJ1P.r1:' i ~pml~~ '\hhw UI)~I ~upf'rA(:ie 11.0-rtzontal, h _I (. >g o 5 C ginl iii tr


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6

T - . 1 , ; ( 6 , . , , 1 . , 1 ,:II + "'-8".:0.4'11 uri)

w

Figura 19.8

Fotogra1ia 19.1 Un slsmOmetro opere aI menrl a c a n 'J d a d de e n er g f a necesana para m a n t e t J e run a masa l ".An lmda en Ia ca .j a e l l Ia p r es enc i ade . una tUBi1& s ac ud ld a d ol s ue lo .

A connnuncton se ccnsldera el Cll .SO de un cu erp o de masn m s : u spendido de nn resorte untdo " un soporte m6> il cu)'o desplazam iento B aiguaJ a 8", 'ell wIt (f,gura 19.8). A l m edir el dcsplazam iento .r d el eu erpo desde I. posicion de equilibria estaneo oorrespondtente a wI! ~so cncucntrn que I a e lo f if ,. '3c i 6n to ta l de l resorte e n el tiempo t es 8 el~tiroI + l' - 6". sen w J l - La ecuacion de movtmientc es cntonces

IV - k(6" + r - I),. sen wIt) =Ill;:Como ,V = k8o('""rl1t1~'II'se tiene

(19,31N otese que I,IS ecuaclone (19,30) y (l9.31) son de ln m isrnu fonnnt " iH ~ u na s oln clo n de lu p rim er a eeuacion sans rarii a In seg u nd a si se deja qu e P rJ ! - k 8 mU na ecuaeion dderencial ta l como (19.30) a (19.31), que posee um lembro dcl lado derccho dlfcrcntc de ceru. sa dice que es no h o , , " " g eputh. S 1 1 so l ucion general se obnene al sum ar una snlucion particu Jell' dla ocuacion dada a In so luci6n -gen en 1 .l de la ecuacidn Iwmogen(!a conepondient (con el m iembro del lado derecho igu.l. eero). Un.soltlclollparticular de (19.30) 0 (19,31) puede obtenerse ai tratar una ,01"oi6 nla form a

(19.32A I sustltuir xp'tlr1 p o r X en 1 8 .ecnacidn (19.30) , se obticne

que puede reso Iverse pam I. am p); tud,1'".

Xrl t = k - m w lPUCSIO que. de acnerdo con I.ecuacion (19.4), kim =w~.

41/75

AI sumar I" solucfen particular (10.32) II I. funci6n ccrnplcmcnteria(UJ.34), se obnene l.soIl/ciG,. gellcrai de las ecuaciones 09.30) y(19.31),

(19.35)

Hay que observar que I", vibraciones obtenldas oonslsten en dosvibrucioncs supcrpucslns. Los pl'imeros dos terminos en ILl ecu ..ci6n(19.35) represent an una vtbracion libre del sistema. La Irecuencia deestn vtbracion es 1 3 fr ecmmch 1 '- '( llm "( ll del sistema, Is cual dcpende uni-camente de I. eonstante k del resorte y I" rnasa '" del cuerpo, )' I",constautes elY C:::pueden determmarse a partir de las condiciones tnt-clales, Est. vtbracion hb re tam bten se denomlna como vtbraeion tmn-,110 ria, ya que en I.plileti"" real se ve nmo rtiguada de iruned! 010 porla s f ue rz as de frtcclen (secclon 19.9).El {.ltimo termino en (19 ..1.5) represents 1 : 1 \ihr;wion fie ~\1fld()es-tllhle prothH.:iUi:I} nnuuenida pur Ia f~lerl.l.tapllcada 0 por el rnovimicn-to aplicado del apoyo 0 soporte, S l.1 fr't'!:("uP'11('in PS la /t"P.r;rumr.in [orza-cia impuesta POt esta [uerza 0Illovifilient'o,), su amplttud Am. d finidapor (19.:3.1) n (19.33'), depende de la ",:;6" def"ccrlendas wjlw. U1razon de Ia arepljtud .t... de I. vlbracion de cstado cstable ,,10 deflextene s t ~h c" P . ../ k eausnda pOl' una rue 17":' p"" 0 n In mnpli tud 8m de m ovi-miento del apo)'o. se Ilamafacto.- de anlpiificflci6n. A partir de las CCUfl.-clones (19.33)) (19.33'), se obtiene

a " I r r . ' .t,,,.em 1!tactor ne amp rncaoon = f'",/k =s: = 1- (wtlwY (19.36)En Ia I1g\lra 19.9 se h. gralicado ,,] factor de amphficacion en funcionde lu faWn de frecuencia w j l U Jn_ Sc advicrtc que cuando WI -- Wp IIIamplitud de In "bmci6n forzada se vuelve inurnta. Se dice qu e 10fuer-za apllcada 0 cI movimiento aphccdo por el i1lX'O estd en reeananciacon el sistema dado. En J'(l< \tidacl, la arnplltud de I.v ib ra cio n p erilla -n ece [ln itn debtdo a fuerans de nmornguomiemc (seecion 19.9); sin em-bargo, unn sltuacion de esre npo debe evtrarse, y 10 frecuencia forzadano debe alogirse demastndn cercan a a la Frecuencfa natural del sisre-rn a. T ambi~ n se pudo observar que para w J < w " el coeftcienre de sen"'It en (19.35) es postovo. en tanto que p.ra WI > w" este ooefieientee neganvo. En el primer caso I" v ib ra ci( in [o rz ad a esta en [ase eo n lafU:r7.R apltcnda 0 el movim ienro apbeado l)()r el .apoyo, m tenrrax qll~en el segundo =0 esta a ISO ' [uero d e lase

POi dlbmo, se advirtia gue la velocidad y la ='l~lp.rn("innen la vib r..lCi611 de as t ude estable pueden ob r enerse al di ferenclar des vecesCOlI respe


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PROBLEMA RESUELTO 19.5UI1 muter de 350 lb se sestiene mediante cuatro rcsortes. cede 1,)1)0 con unaconstante de 750 Jblin. t;1 desbalanceo del rotor es equfvalente a uu peso deI Q:Ii; obcsdo a 6 ill, del eje de rot.aci6n. Sl el 1't10tOr esrn. n:.-'Slt ll~gido a mo-verse verncalmente. determine a) la \~I(Jf;i~k.1en '-pm a la cual ocurrira lar es on an ei a . b) l a ampli tud d. I. vtbraeon d el m otor" I. veloeldad de J 20 0r'()frl.

SOLUCI6Na} Vcluchl:ad de rcsonancra. L:L velocidnd de rt.-":!iUIl8Ilcl;H es tgual i ; J .la frecuenctu c ir cu la r n at ur al (r)., (en rpm ) de L a~braci6f1 lrbre del m otor. L a

ll'1a:.5nel motu" y In constan tc cquivalcu rc de los resortes de soporte son350 I~ _

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Esta leccion se dedteo al analisis de 1 0s ""mJcimles forzada de un sistema meeanl-co. Estas vibraciones ocurrcn cuando cl sistefila sc somctc a una rue ra...periodica P(figtlra 19. ) , o euando esra conectudo elastleamente a un '''porte que Ilene un 010-'Io.ilnicnto nleemaere (FIgura 19,8). En e 1 pnmer C .;lW , el movimjento del sistema sedeflne mediante Tuecuaeton wferem ..ial

dondc el mlcmbro del lade dcrceho reprcscota I. "'"S,'itud de lu Fucrza P en un ins-rante determinado. En d segundo case, el movimiento se define mediante 1 0 1 ecua-< 1 6 0 difcrcncial

wi + ks =kil", sen wj f (19.31)d'lI\,l~ ~t inlernhro del lad" derechn es ~I 1''')(1.wt() de I" ",,,"t"nt~ d~ resorte k y "I des-p!w...aff l ienro del s op or te e ll u n ifJ: .')la H ll'"d ad o. E I j fl te l~ "S se conceotrard so le en el rue-vimleuto de ~.s~{J( /o ext l lMe df"I_'\L,\~.f"m'l, f'1 (~Ia_l :'i~ ddinf\- mediante 11f\ .n.t.olru; i6Ji tmrticu-iar de estus ecuuciones, de la forma

(J932)

1. Si le i ribrado~l[orzada resuita de !lU(j jtll?r,=,tl perio(lica P,P m y [recuencia circular Wf. la ernplkucl de la vlbracton cs

de ampllmd

(19,33)donde !lin es k l /re"'uenCill circular notr.ml del slsrerna w.~=v r : r m ~y k es la cons-tante de resorte, Adviertn que In frecuencm circular de la vibmc;6n es "'I y quo. I"ampheud r., no dcpende de las condiciones inieiales. Pam wJ ;;;;;;W", e I denomfnndcren la ecuacien (19.33) es " " 1 " 0 J ' x" eo ; inflnitn ( n g o " " " 19,9); se dloe que la Iuerza "pi;.cadu P e :s ta e n r~mumGi(J eon e l ststorua. , , \d~mCLs.para WI < Wm .\',n es postnva y II"IS. . . . ib raeiones eshi:f1 en /o!;e con P , mien rrns ( 1 i.c, p:;l!l';) wJ > Ul-,,, x" , es negntiv rim W i . q l l !~ a l l ~ . . . r o h ' t > reste prubleura se tt:lIgil sleutpre enfrente la ngufH 19.9. Por ejempt?j si se pidc de-terrnbu u " b fmCHlp.llcia ~~ ]8: ('"1:1:111:1lmplil"lIcl dp . uun vihradtJn forzarln tlene nn valordercrminado, pero no se sabe si la vibraoon estd en 0 Inera de fase eon respecto aI" Inerza aplicada. en la tiguro. 19.9.


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11 ) L'nu L"tl'Z C'IH~ se ho obtenido lu 11l'lplilUd Xm de l movimiento de una (''OfO-p,m ent,. delststem a con I" ecuacion (19,;)3). puede recumrse R I ., e eu a eto n es (19,33)p,u"'' '' dererm iar los valores lnn."Li moe de In vo loctdnd y 1:0.ncelerncicn de esa compo.nente:

(19,.11)e] CU(lIulo 10ft,er~ arJIlcada P se (lf1.be al dcs-balance del rotor de un nso-

lor, SU valor m ridm o es J) m = = mrwJl donde m es la rnasa del rotor. res la dlstanctaentre SOlcentro de 01"" y el eje de rotncion, )' wJ es ;guru , I, velocidsd w angul"rdel rotor expresada en rad/s (problema resuelto 19.5).2. Si L a dbra c id u for:.tldt! 11.1prov(Jc{! un l,u.H:,imie~ilo annonico . , im!Jle de uneoporte, de emplitud 8", y rr'eCuei'1cia circular t . ' 1 J . ln amphtud de la vtbracton es

(1933')donde WrJ es lnfrect.enclo cin;ui(lr rifl~r'mld el s is tema, Wu =~. Tambien en es -te CORSO ndviertn que ln { recnenr-tn circu lar de la vibracicn es wrY que la nmplltud .l"mno depende de las coudleluues Inlcialcs,c) i\sC,f!l,reSe de leer wueetroe comer.ttari03 en lOll IJdrrufa~ 1} }(I !I lb, ynque estos sa apllcan tguulrnente bien a una vibracien provocnda por pi movimientode un soporte.

h) S i :lte CHflccificti fa aceleradoll ,nuixima Urn del801Jorle, mas que su des-p la za rn ie nto m a xJ r" l1 oOm . recuerde quel y o que cl rnovirniento del soporte es arm6-nico simple. es posable uttlizar la relacion am .... Sm w j pam deterrninar S,ll; el valor ob-tenido se sustituyc cnronccs en I" ecuacion (19.33').

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ProblemasI

19.98 Un collartn de 4 kg puede desliaarse por una barra horizontalxi n frit 'f 'ion )' ~f" conecta a un resorte de constantc igtml ~I 450 N/m. Sobree l ( .'I )l hu r I1a ct va u n it fucree pertodicn de magrntud P = Pm sell wJI . dondeF'll = 13 N. Determine la amphtnrl del movilnierlto del collartn . ' i i ll) wf ~5 ,ad/" h) wI = 1 0 ra dz s.

19.99 U 1' 1 ccllnrtn de 4 k g pu erle d e:"li".,a!'S e pOl'" IllIa harm IH iri:t.c'lIihllsln i"rll."ti6n r sc concctn 0 un rcscrtc de ccnstantc /,;, Sobro ol ecllann aetnauna fu eraa peri6diCtL de mngntrud P ; ; ; ; ; ;PJ 'sen (i)/'. donde 11'~,!:! 9 N Y w f : : :l l~ ni(Vs. n...errrrine el valor de 1 3 constante de resorte k st cl movimicnto delcolla-to ucnc una ~lInp[ilud de 100 111rl1 y 4 .: :"~h' i) ell fusu e on 1 3 fu ere a upll-cada, b) fuera de rase co n Ii i fuerza apl icada.

19.100 Un collarfn de masa m que se d(l':,.Ii~ pot U11a harm horizon-tal sin Irtccion se

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1258 _moe.,""",

Ftgunt P19.104

Flgur. P1S.105 V P1S.106

r - . 2 0 0 " ' . ' , 2 0 0 mm - - - t /IA k C

FIgura PIg. lOS

19.104 Una vi!!u en vnladizo AI> soporra un bloque que provocn UIl"deflexi6n estdtjca de 40 mm en B. SVPQnief ldo que el soporte cclocado enA experin1enta an desplazamtento penodico vertical {j - 8m se n wI', dendeS ... ~ 10 mfrl, (Je lennine el intervale de valores de w J pars el cual la am pli-tud del movimicnto del bloquc ~Cl1i IYlC_10t u 20 film. Ignore I.. ITHu:nd{~ 1viga Y suponga que el bloque no sobresele de esta.

19.105 U ti bloque A de 2 kg se deslea pO l' una m nura '\ rttcal sin Inc-cion Y Sf" con ecta a u n s op orte rn 6v illJ m edia nte u n re so rre AB de con tan -rc k ;;;;;;ii N/m. Si el de5pl~mient{J del SOPOi '~ tces 15;;;;;;8m sen wp. dondeam ~ 100 mm Y wJ ; ; ; ; ; ; 5 md/s, determine a) b amplltud del IlIo\'iullt:Jtlu delbloque. b) 1 0.amp litu d d e la fu erza fltl(..tuaI1te que ejeroe el resorte sobre e!hloq U il ,; ,

19.1 06 U tI bloque A de Ii, lb S f> dp .:di~ pm n 1 l < L r an u rn vertical sin fric-d6J I Y 00 c on c cta o il un s.upul'lt mcvtl B mediante UJ) resorte . l " \ J 3 ' de ccnstnntek - 1 30 Ib lil. S i 0 1 desp lazam ien to d el soporte es 6 - S s en "'I. doude 6m -6 in., detorm inu al In~er'l,'alt1de- va lo r es Wj para los euoles 1 : 1 arnplitud de tt lfuera ..a Ilucruante que ejerce el resorte Mlhn. : el blvc,j1Jt:: es menor a 30 lb.

19.107 Un blcque A de 5 Ib csUi. unklo a un resorts de consmnte k ; ; ;4 lblft } ' a una barra BCD de peso insigniflcantc. L....1 bar r a e. .s r a conectuda enD ~I Ill') soporte m6vil E . por medic de un resorts irJp11ti(-o, Si pi soporte Eit:a)i ....._UI dt:spla.id.'1.miento5 = 8 ,, , s en f .l Jj t,dondct5. -l 'i - O_2ill, )'(4JJ = 10 radzs.determine (I) la magnitt ld de la acelcracon m a.um a del bloque .r\, b) la m ag11it''IId de la fucrza mdxima trnnsmitida al soporte en c.

Figura P19.10T

19.108 Una pequefia esfera 8 de 2 kg se oonecta a I.barra AB de pe -: ;0 ins ignif lcnr lte . la cual :Ie soseene en .t\ m ediante 1.11)nsador y una mdn-sula y se eonecta en C a uu soporte mUviI 0 por m edic de uu resone deeoastnnte k =3,6 kN/m. Si el.s:opol"te D experiment" uti desplA?Amhmto ver-tical 8 - 8"j seu w p , llum .le;:6'11- 3 mm Y w f = 15 I -adtS . de te rmine a) 1a meg-nttud de 1 0 m axtm a velocldad angular d. I. barra AB. b) I. m agnuud de I.acclcre cie n m 6...dmtl do lE i.e s fcm B.

't 9.1 09 Hnn vign ABr. : 'O f ! - :\:O:!itiellil mediante una eonexton de (>JIM-(; dcr en ,\ y por If!edlc de rodtllos en B. Un bloq oc de 120 kg colocado so -f:~=~:===::;==~b re e l es tremo de la v ig a ocasiona u na de f1 exi6 1l e st~tica de 1 5 m rn e n C.S opootendo que el scporte en A exper imenta ll!l deSp'A?.amjpnlo pt>ri6di-co ve rt ic a l fj = Sm se n wIt, donde 8,,, ... 10 mm )' WI = lB rad/s, y c l s op or -te en B no se m ueve. determ ine la acelem cion maxima del bloque en C .No tottle on coenm el peso de la viW ""'y S upO flg:a que' el bloque nunca sesepara de esta,igura P19.109

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19.110 Un pendulo simple de longitud I se suspende de un ccllertn cque es forzado u m overse de m nnern horizontal de neue-do eo n 1 : - t rel9C'i6nX : t : " !Oil 6 111 sen wIt. Determ ine el raugo de valores de w f para In cunl la amplr-tu d d el m ov trn te oto d p. 1 :'1p lomn rln j~:!; manor qlle {i"I_ (S uponga que 3 .... csp eq ue nc e cm p ar ad o con la longitud I d el p cn du lo .)

19.111 En e! problema 19.110, determine e l r.li'lgode "'UIOMS fie wfpara la cual 1 .1 am plnud de ruuvhniento de 13 I ,IO I-.).. . I H e ece de 2 8,f .I'

19,112 Un motor de 200 kgse sosnene mediante soportes CJ .H~ uenenun a constan te total de 215 kJ\Vm , EI desbalanee del rotor es equrvalente un un Ill:l.,'m Ih-' 30 g Ilhic-arla a 200 mm del ej e de rotaci6n. Determine el in -terv alo d e v alore s perrntsib'cs d e In v cloch JH d d el motor si 10 i lm plitu d d e h ivibr..tei6n no superara los 1.5 m m.

19,113 UlL motor J~18kg de muse . ' S - C sostlel'le medrcnre cuatro re-sortes. cada uno de con stn ntc ig tm l a 40 kN/m. EJ motor e . s t a restringido amoverse verttcalmente, y se observa que [a nmphtud de- SU movimlenlc es de1,5 mill a uno veioctdad de I200 rpm. Si la masa del rotor es de 4 kg, de-tf'nllinf' I" distancia entre el centro de masa de l rotor y ee lcje de In Ilech a.

Figl.l~aP19.11J

19.114 Un motor de 360 lb esta atemillado a 1I1l::' vigfl hori7..ontal li-gem, El d~~t!4uilibriude SU 1'0101' es equivnleute a un peso de ~.9 0:(: ubica~do" 7.5 in. del eje de "'1"o16n. y I.deflexion estdnca d e Iu viga debrda 01 p e-w de l moror es de 0.6 in . 1 . . - , a"'p i;,,,d d o I.vibraoidn d eb id a " I d esb ala ne epuede d ism in ul n: e agregando una place a la base del m otor. S l 1:;1;ulL plitudd(~h v1hmc:ifiI1debe ser menor a 2,16 X 10-3 in , p ar a v el oe id ad es del mo-tOI' m ayores de 300 rpm , determ ine ci peso de 18 place rcquendo.

19.115 Un 1110t01" tie mUSt. fl o 1 S i I " ' :olS't'lf'np mediante resortes ("U)' '3 eons-tunte till: rescrte 6([ulvalcnte es k. El d es equ ihbno de au rotor eqll ivale a UIl.8mssa m ubicada ,p l-ad istancta r del eje de rotaclon. Demuestre que cuando la....lcc rd ad 1 1 1 " 1 g u i n r de l r o t o r es w p l e t 'lmplitud I' m del m ov im ien to d el m otor C 'S

r(m!M)(wrlwn)'.~1 '11 - 1- ("lJi,.lfl)'2

19.116 La barra r \B esta unlda rigichlmeote al marco de un motor quefunclona a velocidad constante. C uando un collann de masa m s e c olo ca so -brio' el resorte. se observe q ue este vib.-!).con um plitud de 15 !TIm . S i dos. co-llannes. cad u uno de m asa m, se colccan sobre el resone, se obse 1'Vi1 'I LIe t i lam plitud es d. 1Smm. i Que amplltud de vibraci6n deberfn espe L 1 I " . cuan-do se colccan trcs collarincs, cndn uno de m nsa In. sobre e l res e rt e? (Obren-ga dos respuest as. )

IILFigura P'I9.1I0

0) hiFigure P1Q,116

< I


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1260 -~

I'1g"," P19.121

Figura P,9 .122

19.117 Re

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19.123 EI hloqne ~\ p"e-de moverse _Sill friccto n en f a runura como semucstra y sobre e l actrln una fueraa peri6dict) ...ertieal de nmgnilud P = Pmsen 6'11, donde WI = = 2 rad/s j' Pi l l = 5 lb . U n resorte de cons tun te k s e co -necta a la pattI!!' inferior dAI bloque A y n un bloque B de- 41 lb. Determine1 1 ) d valor de la coustaute k que evitmoiuna "lbrac6il de esrado estable delbloque A. b) I.am phtnd correspondiente de I.vtbm cien del bloqne B.

19.124 Un vibrometro, utilizado para medn- Ia amplitud de \;br.cio-nes, conslste en I Ina ("aja fjIIP(:ontifl'l'I(> I,Jn sistema masa-resorte cuya Irccccu-eta natural eonoclda es de 150 Hz. La caj~LCSl:ti rigid~UII~'lte uurd u a lu su-p erfle le q ue se m U6 \'9 de acu erdo OO n la ecnactcn y ; ; ; ; ; ;... sen wI" Si laamplltud ;:,,~del mcvumentc de la mnsa relatlvo u [n C:.'LJ:l se U tiH 7 . .... como UIlL1medtdc de I.. ;;ullplllud I)", de Ia v tb racion d e 1< 1u perfkse. determ in e 0) elerror porcentual cuando la frecuencia de la -ibraclen es de 750 H7..h) 1n F r e -c u- en (: l: 1 ~ Lla C I r ul e l error es cero.

1!9.125 Crerto acelercmerro i . ? s : L i i compcesto esencsalmente 1>0 ] 'una C 0 1 -jn que contiene un stsrcme roese-resorte cuya frecueueju natural cO IIc x:k 4t e sde 1760 Hz, 1 . . . : " 1 ; caja esta rigidamClllC onida a una superfkle (lite se muevede aouerdc con la t.'(;ll.lJd611 y = 3m sen w p ' 5i la i9.nlplitud ;:'j~ d el mo vir nie nto U C ! li t masa relanva a fa caja por un factor d e e sca la w : se utihza como unamedtda de la acelerad6n maxima 0.... ::= f J . . w j d e la su pe rfcte v ilmm tf'". d f'" tf"r-mine @I error pcrcentual cuendo la frecuenca de 1


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Cuundo W ~ k8", se escnbe(l!).3!l)

A I sustituir x =.I" en (19,38) y dividir entre e '" so escribe ln eC"(1-ci6n caracteristica

(19,39)y se obtienen lsu..rafoes

( C ) ' k2m m (l9,40)CA=--+2m -

( _ ! } , _ ) 2 _ .i~2m m (19.41)Al def tn tr e l coo jic ie Jl !" d e " ,,,o rl ;g ,mm; ,,mo c rin co G, com o el valor dec que bace que el radical eli Ia ecuacion (1 9 .4 0 ) se igunl o u cere, se es-enbe

donde w ,. es 1 3 Frecuencia Cin ; . .ular natural d I sistema e n uusencta deamor t i guamien to . Se pueden d i s t i ngw r tres casos diferentes de emor-ti ,guamieDto, dependiendo del valor del eoeftoente c.

I. SoiJre(mwrtiguamierlw o amortiguamierHu Juerle: (;> Ct', Lasralccs . . \ J Y A2 . de la ecuaeion caractenstlca ( 1 1 ; L31 ) ) s o n rcalesy dlstintas, y ln s oluclon general de I" ecuaciun difereuclal(19.38) es(19.42)

Estn solucton corresponde .il un movimlento uo vibrutunc.Puesto qu e A 1 Y A 2 0 son ambas neganvas, X ' tie nde a cero cuan-do t aumentu de manera indeflnida. Sill emba r g o , e J s is t emaen realidad vuelve a su postoon de equllibric despues de Ulltiempo finite.

2. Amort-ig,flamicnIQ criuco. C = Ce. La ecuacion caractcrtstica uc-ne una doble ral A ~ -0

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donde wd se define por la relacron

w ' i = !_ _ ( _ _ ) 2i m 2nl

AI susutuir kim = w~ y reeordnr (I9.41). se escrtbe(19.45)

dcndc I" constante clc; se eonocc como el [actor de emort ...g_'!lamit'/ltO. Au]'. cuando el rnovhniento en realjdnd no se rept-te .;). I mismo, 1 ; ; 1 constante wJ se eonoce oomun IIIente comola/re{"ll!l 'HCio cko!lltH de Is . v ibraci( in ~lmortig1lada. U na susti-tuci6n similar a la que so u~liw en la secciou 19.2 permite e".cribir I. 5011lci6ngeneral de la ecuuclon (19.38) en la [orma

x = X " " /", n), sen (w"t + < 1 09.46)EI movtmiento deflnklo por In eeuacion (19.46) '" vibratonocon amplitud decreeiente (figura 19.11). 'f el lnrervalo de uem-po Td ::::27r/wt/ q ue sep aJ1 l. d os pUl1to~sucesivos donde la CUI'-va deflnfda po,' I. ecuacion (19,46) toea una de las curvas lf-mite que se muestran eu la figtLJ,119,11se conoce eomrinmentecom o el per iOl/O de ~lbraci6" amor t l ! ! . I lOdo . D e acuerdo con I.ecuaclon 09.45}, se observe clue lrl{l < Wt y. por ello, que 'Tdes mas grande que el pertodo de vtbractdn To del .,Istemn noamortiguudo ccrrespondiente.

x

,///III-x.Figuril 19.11

19 ..& Vi l:Hac iOO8: !l libraaamMiquadas 1 2 6 3


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FO I'o g ra f'a 1 9,. 2 La sU '$p en s l n de a \l 'o rn 6 v iJe:sla corrcoesra. en esancla. per un rasone y unamort9Jador. e t cual e r o v c c a r a qU4:I loac.afJ'"0Q3-Na[;0 ocmcin a vibmcioncs forzada!J amorUguadl1scuando el vehlaJlo sea cood\lcido sabre Uflcamino disparejo.

'19.9. VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADASSi el sistema considerado en lo seccion anterior ests sujeto a una fuer-za pcrtodica P d e m agmru d P =Pm se n w_ " , l~ lec uac to n d e movimleu-to se convierte en

(1947)La solucion general de (19.47) se obtiene "I sumar lin" solucion pM.ticular de (19.47) a In funcion ccmplementurta 0 solucion genen'll de leccuaei6n ho rnogenea (W.38l . La funeion cornplemcntar ta e,t;\ dada por(19.42), (19.43) 0 (19.44), .eg{m el ripe de umortlguamlento conside-rado, Esto repressnta L1I1 movimiento transuoru: que finalmcntc se:lmo rtig:u:l.EI interes en esta seccton se een tra Cl'J Ia v ib ra ei 6n de e stad o esra -ble representoda por unit schrciou partlculur de (lQ.47) de I" form"

09.48)AI sustituir ,"I~aJ1en V,7. de x en (19047) , se obtieno-mwjxm Sen (W jt - c p } + cWJ"j , '" ,cos (wJt - f P ) + kXm Sen (wJt - rp )

= Pm sen wI I

f'lly-rnr =P,,, sen 'P(k - mw}) Xm =Pm cos tp

( 19.49)(19.50)

AI elevnr 01 eundrado umbo, mtembros de (19049) Y (19.50) y surnur,resulta(19.51)

Al resolve r (1951) para t " . . . y dividi r (19.49) y (19.50) miembro a rntem-bro, se obtiene, respecnvamente,

x ," = -:J==~P'-" ;;---=-=:V(k - mwn + (ew,>" tan

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L a f6nnuJa (19.53) expre ," .1 factor de amplif ' icac16n en fund6"de la razrin de frecuendas w f / w , r y del [acto.' de ~lllufl_jgwlll}jento clc;Fs poslhlr- lIsi-lrl:1 p:lr;I rleterminar 1,1nmplltud flF I.. vihmd6n rlp estn,do estable prutlucida por una Iuerza epllcadn de- lIIagu.ilud P - P m se n"'I 0 por el movimiento de apoyo ap licado S ~ 5 ." sen "'p. La 16rml l 'la (19.54) define en terminos de los irusmos parametres la diferenciad e [ as e tp entre 1 < 1 fu erz a a plica da 0 el m ov im tcnto del .po),o apilcadoy la vib racion d estado eseable rescl tanee d el s is tem a amO' l ' t igUHdo. EIF acto r d e amplfflca cion se I,,, graficado en fllnci6n de la razon de fre-cuenci es en I. fig""" 10.12 P"J"Od lf er en te s vaior cs del factor d e arn or-tig",.miento. S e o bs erv e que I H amplitud de una vibracron forzada puederouoten erse peq uena ul elegiT un nlto coeflclente de arnortlguamfentovisCOSOcoal rnantener a le ja da s I"" [re cu en cra s natural y forzadn.

Figl,lril ~9,12

"19.10. ANALOGiAS ELECTR!CASL os clrcu itos tl'llctricos osctlantes se caractenzsn por ecuaetones r l i f f " -reneiales d el unsmo npo - i l l ! : la s q U i : :: s . e C)lJti~II~1I1:11 la s seeelunes pre-recl~nh~~:':' Per In ta nto .. ;;:1 1lnalisif! es slrm lu r ill de lin sistem a m ec ...ni-'-" 0, )' los resultados que se obtienen para lin sistema vibratono dadopueden ext nderse de uunedfato 31 circuito equtva lente. De manerainverse , cunlquicr rcsu ltado ob teutdo para un circuitc electrico se apli-eara tam bien al sistem a m ceam co correspond icnte.


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12&6 .""""""",-

E,-EII\SCUWjtFlgur. 19.13

Consldere un ctrcuito electlico compuesro por 11Ii inductor de in,ductancia L'I un resistor de reststenciu R )' n capacitor de capacitan-ein C conectado en serie con una fuent.e de vnltaje alterno E ~ E m senW JI (figur" 19.13). De la teo ria elemental tie circuitos] se sabc que siidencta Ia ec rri cnte en .1 cireu ito y q Ia earga electnca en el capaci-tor, I. carda de potencial e, L(di/dl) a traves dol Inductor, Ri " !crav6,del resistor y qlC a traves del ""l'flcitor. AI expresar que la surna :dge-b mi c. del voltu je nplkadn y de I", C "".tfd..., e potencial u lredcdcr delcircuito cerrado es cero, S 4 " ! scrfbe

. di. qF . " , 'M "'11- Ldi - III - C '"0 (19.5$)A l reord en m - In :" t~rminos }r recorder que en euulq u ier tnstnn te la co-rn III" ies igual a I.ruzon de cambio '/ do la c.rg' q. se tiene

(19.56)

Se wrific~ que Ia ecuacien (19.56), que define Ius oseilaciones del cir-r-nito electrico de 1 0 ligura 19.13. cs del mismo ttpo que 1 0 ecuaclon(19.47). I" cual c a rac tenza I", vibraclones Iorzadas 'ImOltit, 'llOd

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La tabln 19.2 puede utillzarse pam extender 1 0 < resultados que seubtuvicrun 4 . : ! 1 I la s seecioues an reriores p ara d iversos sistemas mecarucos" "IS """logos el6ctrioos. Por ej"'''plo, In arnplitud i". de la corriente enel enuuito d. I" A,;ur. 19.13 se obnenc al notar que corresponds a J valor maximo tim de l a vekxfdad fin p i sistema mee....niNl :lnal~o_ De .1C;"UIJr-do con ln primern de las ecoaciones (l9.37), Lori! l!5 XmWj-' !j i ee ~IDUtU)eXy t de la ecuacion (19.52) y se reem plazan las:eonstnntoe cW ' "I:ist t"ma rue-cdnicc con expresiones electric ...s correspondlentes. se belle

"'IE ...i:= - J ' ( = Z = - ~ L ~ " ' J ~ ' ) ; ; " O = + = ( R = " ' = r = ' - '

(19.57)

El radical en lit espreston antertor se r.onOC'Prvuno i'/lpl'Iltmdfl dp-I a- ir -cuiro clcctnco.

La analog'ia entre sisJel'fl i)$ y ctrcuitos eleerncos Sf' eumple tantopara oscilncfcncs transitorias com o para oscl lacion es d e- estn do estab le.1"'l5 oscilaeiones del clreulto que se muestra en la lLguro 19.14. percjcrnp lo, son .;:m alog a:s a las vibraciones libres 'HHorti~mdas de l sistemade la flgura UJ.IU. En cuanto a lu que S E " refiere a condiciones tnicln-les, debe udvertirse que se"d del ctrcnilo S cuando la cargo cu cl cnpn-ciror es q =q" es equivalenre a Hherar 13 masa del : - ; : i s t e m a mecanicosin velocidod inidal desde lu posicion r .,- .Io' Se debe observar tom-bien 'l"e si una batcrfa de voltaje constante i: se introduce en el eir-cuito electrico de la RguJd. 19.] 4, el cierre del intemlptol' S sem equi-valenre a apllcar en forma repennna una fuerza de ma~itud constantsP ala masa del sistema mecdnlco de la Figura 19.10.

El analisls anterior serta de valor euesttonable st el unteo results-do fHem haccr posible que los estudianres de mecanica anallzaran cir-cutros clecrrteos sin aprendcr los elementos de la teona de ctrcuitos,Se es:pera que este andllsjs strvn. en cambia, de moftvaclcn pnr9 queIus estudteutes .al'litjut:rJ ~II 18 :suludu[I de prublcmus U{' vlbruclouesm ecan ieas las teen! ca s III flip-ill ,'iti ca s f l " ( \ ' q 11 i . , . : a ~ :lprPnl1 iproll Poll 1m (11-times C Ur."M:)'';: leona de circuitos. Sin embargo. el valor plincipal dele on cep to de In ana log ta eM ( .1 .r " iC : iJes it1H ~n su ap 1 iMidon eu mltmlo.f;c:c-pc-r'imentales p~11'a13 determmacion de hIS caracteristlcas de u n siste -rna mecanioo dererrntnado. De heche, un e ir cu lto e le ctr io o se eonstru-ye con mayor faclltdad que un modele mccanlco. )' el liccho de quesus caractertstleas puedan m odlflcarse a J variar la tnductancia, 13 resls-tencia 0 ln capacidad de sus difcrcntcs componentcs hace que el 1ISOde la analogfa elcetnca rcsulte particulnrmente conveniente.

I!

'0'Figura 19.14


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Figura 19.15

F.;;;EIII~t"IIt1'J~Figura 19_16

Pam determtnar ( a n n alo g fa electrtca de U J J s is tema mecanleo de -te :nn i nado, hay q u e e en tra r 1 8 arencion eu l.:a.tlaIII as a e n movirn Iento de lsistema y observer qu e resorres, a Jn or ti gu adoTe: ;s 0 fuerzas externas sele aplican directamenre. Despues es posible coustrutr un circuito cleo-trice equivalente pm " dupliear csda 11M de I.., unldades m ecan icas de-f in idas de esa form a, lo s dllereutes circurtos qu e s c c btj en en de esc rn o .do form ardn en conjunto el ci

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RESOLUCI6N DE PROBLEMASEN FORMA INDEPENDIENTE

En " , 0 . , leccjon se funnulc un modele mils realista de uu sistema vibratorto al incluirel efecto del amortigrlfLmipn'() f~;;~CDS'Oprooocadc pOr" la fricci61i luida. El amortigua-mientc viscose se rcpresento en I .Gg:ura19,10 mediante I. fuerza ejerclda sobre elcuerpo en movimlenro por un pmholQ que se mueve en el interior de un :lniortigua-dor. Esta luerza es igual en megnltud a ci, domle la uonstunte 1';, expresada an N . s/mo lb - sift. sa OOIlOL"'e como coe flcieJ jte de amm1:iguam;enJo r.:;iSCOSD. Tengase presenteque cs nceesar to utilizer 1 8 mismn eonvenc iou de s ig : IU,)~pam r, ty X .I. \';bracione'f librcB Yn'lorti{!,II(1l/(U', Sc cncontro que la ceuacion dlferenctalque define este movtmlenro es

(19.38)Para obtener la solucion de esta e cu a r ..1ull. calcule el roe_ficienle de amortiguli-mjentocritico c c.' ("nl.. pm"()rli~lIa",i.",o), la ,0100i6n de la ecuacion (19.38) es

x - C,e"" + C",, '~ (19.42)donde

(19.40)y donde las eonstantes e lY C :2 puedan determmarsc a partir de condiciones inicia-les x(O) y.t(O}, Ssta soluci6n corresponde n un movimiento no vibratorio.I)) .'ii c = C", (amortigwjm iento criticaj, ia s olu eio n d e- In c cu ae io n (l9.38) es

(19-43)que eorresponde tam bien a un movirniento no vthratorio.

c) Si c < (,."c (~ubaUlorllg!lluniCII'O)~la soluclon de I n ecuncton (19.38) es(1946)

eland"(19-45)

y donde Xo y I f > pueden determinarse a partir de las oondtc tones ln ic ta les x(O) y x(O ),Estn soluci6n eorrespoode a oscilaclcnes de ampbtud decreciente y de periodo 'rd :.2'1f/w" (Ilgura 19.11}. (co"tin6a)


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doode

., V ibrac ioJ le1 i [orzada amQr"Ugliaclall . Estas vtbracioncs ccurren cuando uns is tema c o n amor bg u am ie n to viscose se SOli 'JeMn una Iuerza p e ri6 dic ,1 P de rna~ni-tud P = P....sen wI t 0 cuando esti1 el~stic,;alJleote conecrado u un 0poro con un me-vtmlento alternative 8 = Orll sen WJI. E n e l p rim er caso l movtmienro so dellnc me -diante la e cu ae to n d ife re nc ia l

09.47)yen el segundo caso mediante una ecuacion similar que S (1 obtiene 31 reemplazar P mco n ko IW S6[0 il'ltp.rf"_,\~t el movimiento de e s tado cs tab le del sistema. el cual se defi -n e mediante una $olrwi6n particular de estas eouaclcnes, d e 1 0 .fo rma

X " " " = x ." sen ("'II - ' 1 ' ) (19.48)\'m Xm 1

f 'm /k =

Vibraciones Mecanicas - Dinamica

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