Druga skolska zadaca iz Matematike 1, grupe 7 i 9 13. 10. 2006.

Grupa A

1. Izracunajtelimn(

3n3 + 2n2 n).

2. Neka je niz (an) zadan rekurzivno

a1 = 1, an+1 =5an.

Dokazite da je niz (an) konvergentan i nadite njegov limes.

3. Izracunajte

limx1 e

1x21 .

4. Izracunajte

limx

2x2 3x

arcsin1

x.

Druga skolska zadaca iz Matematike 1, grupe 7 i 9 13. 10. 2006.

Grupa B

1. Izracunajte

limn

3n 37n3 + 8n+

n2 + 5

.

2. Izracunajte

limn

1 + 2 + 3 + . . . + 2n + (2n+ 1)2 n2 34 n+ 123 .

3. Izracunajte

limx2

(x2 3

) 23x2

.

4. Odredite parametar a tako da sljedeca funkcija bude neprekinuta u tocki 0 :

f(x) =

a, ako je x = 0;

cosx1x2

, ako je x 6= 0.

Rjesenja

Grupa A

1.

2.

3.

4.

Grupa B

1.

limn

3n 37n3 + 8n+

n2 + 5

= limn

3n 37n3 + 8n+

n2 + 5

:n

n= lim

n3 3

7 + 8/n3

1 +1 + 5/n2

=3 371 + 1

=

= 3372

2.

limn

5 + 6 + . . . + 2n + (2n+ 1)2 n2 34 n+ 123 = limn

(2n+1)(2n+2)2

(1 + 2 + 3 + 4)2 n2 34 n+ 123 =

limn

(2n+ 1)(2n+ 2) 202(2 n2 34 n+ 123) = limn

(2n+ 1)(2n+ 2) 202(2 n2 34 n+ 123) :

n2

n2=

limn

(2 + 1/n)(2 + 2/n) 20/n22(2 34/n+ 123/n2) =

4

22=2

3. 3. zadatak

limx2

(x2 3

) 23x2

= (1) = limx2

(1 + (x2 4)

) 23x2

= limx2

(1 + (x2 4)

) 1x24

23(x24)x2

=

limx2

(1 + (x2 4)

) 1x24 23(x+2)

= e92

4.

a = limxpi/3

cos(x pi3) 1

(x pi3)2

= limxpi/3

2 sin2((x pi3)/2)

(x pi3)2

= limxpi/3

2sin2((x pi

3)/2)

((x pi3)/2)2

4 = 8