Variables Aleatoires
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Définitions Covariance Corŕelation Meilleur prédicteur linéaire
Chapitre 5
Couple de variables aléatoires
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Définitions Covariance Corŕelation Meilleur prédicteur linéaire
Définitions1 On appelle couple de variables aléatoires (discrètes)
l’application:
Ω → R
ω → (X (ω),Y (ω))
2
La distribution d’un couple de v.a. est définie parles ensembles X (Ω) et Y (Ω)∀x i ∈ X (Ω) et y j ∈ Y (Ω), la probabilité p ij del’évenement [(X = x i ) ∩ (Y = y j )]
3 De la loi conjointe, on tire les lois marginales
P(X = x i ) =
y j ∈Y (Ω)
P [(X = x i ) ∩ (Y = y j )] =
y j ∈Y (Ω)
p ij = p i •
P(Y = y j ) =
x i ∈X (Ω)P [(X = x i ) ∩ (Y = y j )] =
x i ∈X (Ω)p ij = p • j
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Définitions Covariance Corŕelation Meilleur prédicteur linéaire
Exemple
Si X et Y prennent un nb fini de valeurs, on repŕesente
graphiquement la loi conjointe dans un tableau.Exemple : On tire 3 cartes d’un jeu de 32. Soit X le nombre decœurs et Y le nombre de brelan (3 cartes de même ”type”).X (Ω) = {0, 1, 2, 3} ; Y (Ω) = {0, 1} ; C 332 = 4960 tirages possibles
Cardinaux :
Y X 0 1 2 3
0 C 324 − 8 C 18 C
224 − 24 C
28 C
124 C
38
1 8 24 0 0
Distribution de probabilités :
Y X 0 1 2 3
0 p 00 = 252620 p 10 =
273620 p 20 =
84620 p 30 =
7620 p •0 =
616620
1 p 01 = 1620 p 11 =
3620 p 21 = 0 p 31 = 0 p •1 =
4620
p 0• = 253620 p 1• =
276620 p 2• =
84620 p 3• =
7620 p •• = 1
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Définitions Covariance Corŕelation Meilleur prédicteur linéaire
Indépendance
Définition
Deux v.a. X et Y sont dites indépendantes si: ∀x i ∈ X (Ω) et∀y j ∈ Y (Ω), on a P [(X = x i ) ∩ (Y = y j )] = P(X = x i )P(Y = y j )
Dans l’exemple, on remarqueP
[(X = 3) ∩ (Y = 1)] = 0 = P
(X = 3)P
(Y = 1),donc X et Y ne sont pas indépendants
Généralisation
n v.a. X 1, ...,X n sont dites indépendantes si:∀x
1 ∈ X
1(Ω),..., ∀x
n ∈ X
n(Ω), on a
P [(X 1 = x 1) ∩ ... ∩ (X n = x n)] = P(X 1 = x 1)...P(X n = x n)
Typiquement, si on répête une même expérience plusieurs fois dans
les mêmes conditions, et que X i se réfère à la i ème expérience, on a
indépendance des X i Renaud Bourlès - École Centrale Marseille Mathématiques pour la finance
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Définitions Covariance Corŕelation Meilleur prédicteur linéaire
Covariance
Obejctif : Étudier le ”lien” entre deux v.a.
Définition
Soient X et Y deux v.a. On appelle covariance X et Y le réélσXY = cov(XY ) = E [(X − E(X )) (Y − E(Y ))]
Propriétés1 cov(X ,Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y )2 cov(X ,Y ) =cov(Y ,X ) (symétrie)3 cov(X ,X ) = σ2X =Var(X )4
cov(aX + bY ,Z ) = acov(X ,Z ) + b cov(Y ,Z )5 Var(X + Y ) =Var(X ) + 2cov(X ,Y )+Var(Y )6 Si X et Y sont indépendants alors cov(X ,Y ) = 0
(cov(X ,Y ) = 0 n’implique pas nécessairement X et Y indpts)
7
| cov(X ,Y ) |≤ σx σy (égalité ssi Y = aX + b )Renaud Bourlès - École Centrale Marseille Mathématiques pour la finance
D´fi i i C i C ĺ i M ill ´di li ´ i
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Exemple
On a deux bôıtes A et B et 2 billes 1 et 2. Chaque bille estplacée au hasard dans une des deux bôıtes.
Soit X =nb de billes dans la boite A ; Y=nb de bôıtes vides.On a X (Ω) = {0, 1, 2} et Y (Ω) = {0, 1}
4 cas équiprobables
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Définitions Covariance Corŕelation Meilleur prédicteur linéaire
Y X 0 1 20 0 1/2 0 1/21 1/4 0 1/4 1/2
1/4 1/2 1/4 1
E(X ) = 0x 1/4 + 1x 1/2 + 2x 1/4 = 1 ;E(Y ) = 0x 1/2 + 1x 1/2 = 1/2E(XY ) =?, XY (Ω) = {0, 1, 2}P(XY = 0) = 3/4, P(XY = 1) = 0, P(XY = 2) = 1/4
⇒ E
(XY
) = 2/4 = 1/2⇒ cov(X ,Y ) = 1x 1/2 − 1/2 = 0
On a cov(X ,Y ) = 0, or X et Y ne sont pas indépendants, par ex
P(X = 1 ∩ Y = 1) = 0 = P(X = 1)P(Y = 1) = 1/2x 1/2 = 1/4
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Definitions Covariance Correlation Meilleur predicteur lineaire
Corŕelation
Définition
Soient X et Y des v.a. de moyennes finies et de variances nonnulles. Le coefficient de correlation de X et Y est alors
ρX ,Y = cov(X ,Y )
σX σY
Propriété : D’après la propríeté 7 de la covariance :
−1 ≤ ρX ,Y ≤ 1
Par ailleurs | ρX ,Y |= 1 ssi Y = aX + b avec a > 0 si ρ = 1 eta
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Definitions Covariance Correlation Meilleur predicteur lineaire
Vocabulaire
ρX ,Y = 0 ⇒ X et Y sont ”non corréĺes”
indépendants ⇒ non corrélés (la réciproque n’est pas vraie)
ρX ,Y > 0 ⇒ X et Y sont positivement corrélés
ρX ,Y = 1 ⇒ X et Y sont parfaitement positivement corrélés
ρX ,Y
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Definitions Covariance Correlation Meilleur predicteur lineaire
Meilleur prédicteur linéaire
Le coefficient de corrélation est souvent présenté commeune mesure de la relation linéaire entre deux variables
On a vu précédemment qu’une correlation parfaite
correspond à une relation linéaire (parfaite)Qu’en est-il pour les correlations ”imparfaites”?
Supposons que l’on veuille approximer une variable aléatoire Y par une fonction linéaire de X (autre v.a.) : α + β X .
Comment choisir au mieux α et β ? (on parlera alors demeilleur prédicteur linéaire)
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Definitions Covariance Correlation Meilleur predicteur lineaire
L’erreur de l’approximation s’écrit
= Y − α− β X
et est appelée la variable aléatoire résiduelle.
L’idée est de choisir α et β de façon à minimiser E(2),l’erreur quadratique moyenne. On noteMSE (Mean Squared Error) = E(2) = E [(Y − α− β X )2]
On a déjà vu que si ρX ,Y = ±1, l’apprimation peut-être faitede manière exacte, i.e. avec E(2) = 0.
Dans le cas général, l’erreur quadratique moyenne peut s’écrire:
MSE = E(Y 2)−2αE(Y )−2β E(XY )+β 2E(X 2)+2αβ E(X )+α2
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p
La valeur minimum de cette expression (si elle existe) estobtenue en égalisant les dérivées partielles (par rapport à α età β ) à 0. On obtient alors
β E(X 2) + αE(X ) = E(XY )β E(X ) + α = E(Y )
C’est-à-dire β =
σXY σ2x
α = E(Y ) − β E(X )
Remarque : alors E() = 0
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p
Pour résumer, on a
DefinitionSoient X et Y deux v.a. Soit l’équation Y = α + β X + où αet β sont des constantes et une v.a. définie par = Y − α− β X .
Alors Y est approximée par la relation linéaire α + β X avec comme variable aléatoire résiduelle. Le meilleur prédicteurlinéaire de Y par X est l’appliquation linéaire α + β X quiminimise l’erreur quadratique moyenne E(2).
Le coefficient β est appelé le beta de Y par rapport à X et ladroite y = α + β X est appelée droite de régression.
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Théroème
Le meilleur prédicteur linéaire de Y par X est donné par :
σXY σ2X
X + E(Y ) − σXY σ2X
E(X )
Alors, l’erreur quadratique moyenne minimum est égale à
E(2) = σ2Y (1 − ρ2X ,Y )
On peut donc définir les propriétés suivantes du coefficient decorrelation
ρX ,Y = ±1 ssi il existe une relation linéaire en X et Y Plus ρX ,Y est proche de ±1, plus l’erreur quadratiquemoyenne (MSE) est faible quand on utilise le meilleurprédicteur linéaire
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Si ρX ,Y est positif, le meilleur prédicteur linéaire a unepente positive. Ainsi, quand X augmente (resp. diminue),le meilleur prédicteur linéaire de Y augmente (resp.diminue) aussi
Si ρX ,Y est négatif, le meilleur prédicteur linéaire a unepente négative. Ainsi, quand X augmente, le meilleurprédicteur linéaire de Y diminue et vice-versa.
Attention : Une forte correlation n’implique pas de relationcausale. Le fait qu’une variable Y prenne des valeurs quipeuvent être approximées linéairement par les valeurs d’uneautre v.a. X, ne signifie pas qu’une évolution de X cause uneévolution de Y (ex : augmentation des ventes d’ordinateur etd’automobile dans les années 90)
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Application - Modèle de marché
Soit une action S. En utilisant le meilleur prédicteur linéaire, onveut approximer le rendement hebdomadaire de S (R S ) par unefonction linéaire du rendement hebdomadaire du marché (R M ).
Le meilleur prédicteur linéaire donne
R S = αS + β S R M +
avec
β S = cov (R S ,R M )σ2M
et αS = E(R S ) − β E(R M )
β S est le beta de l’action S et correspond à la pente de larégression linéaire de R S sur R M
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Deux titres différents peuvent avoir le même beta
β S = 1 : les variations du titre suivent l’évolution du marché
β S > 1 : le titre amplifie les fluctuations du marché (titrevolatil)
β S
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Calcul du risque du titre
Var (R S ) = Var (αS + β S R M + ) = Var (β S R M + )
= Var (β S R M ) + Var () + 2β S cov (R M , )
Or,cov (R M , ) = cov (R M ,R S − αS − β S R M )
= cov (R M ,R S ) − β S cov (R M ,R M ) = 0
par définition de β S .Ainsi,
Var (R S ) = β 2S Var (R M ) + Var () = β
2S σ
2M + σ
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Le risque d’un titre peut donc être décomposé en :
un risque systématique : β 2S σ2M dépendant de l’́etat
global (macroscopique) du marché (taux d’intérêt, offrede monnaie, guerre,...) et proportionnel à β S (effetamplificateur)
un risque spécifique : σ2
qui affecte uniquement le titreconsidéŕe et est indépendant des phénomènesmacroscopiques. Ex : mauvaise gestion de l’entreprise,incendie qui détruit son usine ou invention technologiquequi rend obsolète la gamme de produits
D’après la théorie économique, un portefeuille diversifié (cf.
TD) permet de supprimer le risque spécifique. Seul le risquesystématique devrait donc être pris en compte pour évaluer lerendement d’un titre. Le beta d’un titre est alors lacaractéristique principale de l’analyse de son rendement.
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