escuela de ingenieria civil matematica ii

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FACULTAD DE INGENIERIA ARQUITECTURA Y URBANISMOESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

MATEMATICA II

DOCENTE:IDROGO BURGA, Edinson.INTEGRANTES:TANTARICO VSQUEZ, Mario.GUEVARA DAZ, Vctor Daniel.ONOFRE MAICELO, Pedro.VSQUEZ ESTELA, Kevin.VSQUEZ LLAMO, Elden.TEMA:MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS.MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS..MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN.

Pimentel, 14 de Octubre del 2013

VALORES MXIMOS Y MNIMOSDEFINICION: Una funcin de dos variables tiene un mximo local en (a,b) Si f(x,y) f(a,b) para todos los puntos (x,y) en algn disco con centro (a,b). El numero f(a,b) se denomina valor mximo relativo. Si f(x,y) f(a,b) para todo par (x,y) en dicho disco, entonces f(a,b) es un valor mnimo relativo.Si las desigualdades de la definicin 1 se cumplen para todos los puntos (x,y) del dominio de f, entonces f tiene un mximo absoluto o mnimo absoluto en (a,b).

TEOREMA 2: Si f tiene un extremo local (es decir, mximo o mnimo relativo) en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden de f existen ah, entonces: y .DEMOSTRACION Sea g(x)= f(x,b). Si f tiene un extremo local en (a,b), entonces g tiene un extremo local en a.Si hacemos que en la ecuacin de un plano tangente tenemos . Por lo que la interpretacin geomtrica del teorema 2 es que si la grfica de f tiene un plano tangente en un extremo local, entonces el plano tangente debe ser horizontal.Un punto (a,b), tal que o una de estas derivadas parciales no existe , se le llama punto crtico o estacionario de f. El teorema 2 establece que si f tiene un mximo o mnimo relativo en (a,b), entonces (a,b) es un punto crtico de f. sin embargo, como en el clculo de una sola variable, no todos los puntos crticos originan un mximo o un mnimo. En un punto crtico, una funcin podra tener un mnimo relativo o un mximo relativo o ninguno de los dos.DEMOSTRACION DE LA SEGUNDA DERIVADASuponga que las derivadas parciales de f son continuas en un disco de centro (a,b), y suponga que y , es decir , (a,b) es un punto crtico de f sea:

a) Si y , entonces f(a,b) es un minimo localb) Si y , entonces f(a,b) es un mximo localc) Si , entonces f(a,b) no es un extremo localNOTA 1: en el caso (c ), al punto (a,b) se le llama un punto silla de f, y la grfica de f atraviesa a su plano tangente en (a,b)NOTA 2: si , la prueba no proporciona ninguna informacin: f puede tener un mximo o un mnimo local en (a,b), o (a,b) podra ser un punto silla de fNOTA 3: para recordar la frmula para D, resulta til escribirla como un determinante:DEJEMPLO 1Calcular los valores mximos y mnimos relativos y punto o puntos silla de la funcin.

Ptos crticos: P= (3,0);(3,2);(-1,0);(-1,2)

P.C. = 0 = 0

= 0 = 0

P.C. = 0 = 0

= 0 = 0

Analizamos la derivada parcial, para calcular el mximo y mnimo absoluto;Con los puntos crticos P= (3,2) y (-1,0)

Verificamos cuales son los mnimos y mximos relativos:

VALORES MXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS

Para una funcin f de una variable, el teorema del valor extremo establece que si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un valor mnimo absoluto y un mximo absoluto. Calculamos a estos al evaluar a f no slo en los nmeros crticos sino tambin en los extremos a y b.Existe una situacin similar para funciones de dos variables. Al igual que un intervalo cerrado contiene a sus externos, un conjunto cerrado en es aquel que contiene todos sus puntos frontera. (Un punto frontera de D es un punto (a,b) tal que todo disco con centro (a,b)contiene puntos de D y tambin puntos que no estn en D)D= [(x, y)/]Que consiste de todos los puntos dentro y fuera del circulo , es un conjunto cerrado porque contiene todos sus puntos frontera (que son los puntos de sobre el circulo ). Pero incluso si un punto de la circunferencia en la frontera fuese omitido, el conjunto no sera cerrado.Un conjunto acotado en es aquel que esta contenido dentro de algn disco. En otras palabras, es finito en extensin. Luego, en trminos de conjuntos cerrados y acotados, podemos establecer la siguiente analoga con el teorema del valor extremo en dos dimensionesTEOREMA DEL VALOR EXTREMO PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES Si f es contina en un conjunto D, cerrado y acotado en , entonces f tiene un valor mximo absoluto y valor mnimo absoluto, en algunos puntos y en D.Para calcular los valores extremos que garantizados por el teorema 8, notamos que, por el teorema 2, si tiene un valor extremo en , entonces es un punto crtico de f o un punto frontera de D. De esta forma, tenemos la siguiente extensin del mtodo del intervalo cerrado.Para calcular los valores mnimo y mximos absolutos de una funcin continua , sobre un conjunto cerrado y acotado D.1. Determine los valores de en los puntos crticos de en D.2. Calcule los valores extremos de sobre la frontera de D.3. El ms grande de los valores de los encontrados en los pasos 1 y 2 es el valor mximo absoluto; el ms pequeo de dichos valores es el valor mnimo absoluto.

DEMOSTRACION DEL TEOREMA 3

Calculamos la derivada del segundo orden de f en la direccin de la derivada del primer orden es igual:

Al aplicar este teorema por la segunda derivada tenemos:

EJEMPLO 1Determine los valores mximos y mnimos absolutos de f en el conjunto D

x = 1

Reemplazo el valor de x en

2x = 2y x = yPor lo tanto y = 1Puntos crticos (1,1)

Para f (0,0) = f (0,0) = 0f (3,0) = 9

Para f (3,y) = f (3,0) = 9f (3,2) = 1 Para f (x,2) = f (0,2) = 4f (3,2) = 1

Para f (0,y) = 2y f (0,0) = 0f (o,2) = 4

Existe un mximo en f (3,0) = 9Existe un mnimo en f (0,0) = 0

MULTIPLICADORES DE LAGRANGEEl mtodo de LaGrange se presenta para maximizar o minimizar una funcin general f(x,y,z) sujeta a una restriccin (o condicin) de la forma .Es ms fcil explicar la base geomtrica del mtodo de Lagrange para funciones de dos variables, por eso comenzaremos calculando los valores extremos de f(x,y) sujetos a una restriccin de la forma g(x,y) = k. En otras palabras, buscamos los valores extremos de f(x,y) cuando se impone la restriccin de que el punto (x,y) debe estar sobre la curva de nivel g(x,y) = k. La figura 1 ilustra esta curva junto con varias curvas de nivel de f. Estas tienen por ecuacin f(x,y) = c, donde c = 7,8,9,10,11. Hacer mxima f(x,y) = c corte g(x.y) = k. Esto ocurre cuando estas curvas se tocan solo en un punto, es decir cuando tienen una recta tangente comn. Esto significa que las rectas normales en el punto donde se tocan, son idnticas. Por tanto, los vectores gradiente son paralelos, es decir, para cierto escalar .Esta clase de argumento tambin se aplica al problema de hallar los valores extremos de f(x,y,z) sujeto a la restriccin g(x,y,z) = c y decimos que si el valor mximo de entonces la superficie de nivel es tangente a la superficie de nivel y por tanto los correspondientes vectores gradiente son paralelos.Este argumento intuitivo se puede precisar en la forma siguiente. Suponga que una funcin f tiene un valor extremo en un punto P en la superficie S y sea C una curva con ecuacin vectorial que se encuentra sobre S y pasa por P, de tal manera que representa los valores que f toma sobre la curva C. Como f tiene un valor extremo se deduce que 0. Pero si es diferenciable, podemos usar la regla de la cadena para escribir

=

Esto significa que los vectores gradientes:

Mtodo de los multiplicadores de Lagrange. Hallar los valores mximo y mnimo de sujetos a la restriccin (suponiendo que existen estos valores extremos):a. Encuentre todos los valores de x,y,ztales que

b. Evalu f en todos los puntos x,y,z resultantes del inciso A el valor ms grande es el valor mximo de f, el valor ms pequeo es el valor mnimo de f.Si escribimos la ecuacin vectorial en trminos de sus componentes, entones las ecuaciones del paso (a) se convierten en:

Para funciones de dos variables el mtodo de los multiplicadores de Lagrange es semejante al mtodo que acabamos de describir, donde se hallan valores de x, y, z tales que:

y

Esto es igual a resolver tres ecuaciones con tres incgnitas:

Ejemplo 1 Calcular los valores extremos de la funcin , sujeto a la restriccin: , Desarrollo:

2 6 y 10

Por lo tanto:(Mx. Relativo) (Mn. Relativo)

PROBLEMAS DE OPTIMIZACINPROBLEMA DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS 1. El rea de una cimentacin esta expresada por la siguiente funcin : halle su mnimo esfuerzo de flexin para que dicha estructura haga el menor trabajo posible.

Teorema:

8

2) El diseo de una viga esta expresada por la siguiente funcin Calcular su esfuerzo cortante de dicha estructura.Solucin:

PC= (-1,

PROBLEMA DE MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS 2. Un topgrafo quiere encontrar la mxima y mnima cota de un terreno no llano para su perfil longitudinal, ubicado l, en un rea rectangular dada por y su ubicacin del topgrafo expresado de la siguiente manera

****Entonces: La cota mxima en la regin seria y la mnima cota seria

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE1) para encofrar una viga peraltada el ing. Civil necesariamente debe de calcular la mxima Solucin. Sean x, y y z la longitud, el ancho y la altura, respectivamente, de la cimentacin, dados en metros. As que deseamos maximizarV = xyzSujeta a la restriccing(x,y,z) = 2xz + 2yz + xy = 12

Utilizando el mtodo de multiplicadores de Lagrange, buscamos los valores de x, y, z y tales que V = g y g(x,y,z) = 12. Esto da las ecuacionesVx = gxVy = gyVz = gz2xz + 2yz + xy = 12que se convierte en

yz=(2z + y)(2.35)

xz=(2z + x)(2.36)

xy=(2x + 2y)(2.37)

2xz + 2yz + xy=12(2.38)

2)Se disponen de 320 mts de cerca para encerrar un campo rectangular. Cmo debera colocarse la cerca, de manera que el rea encerrada sea lo ms grande posible?xy

Funcin objetivo:rea Restriccin: Permetro = 320x, y 0Queremos:Optimizar F(x,y) = x.y, Sujeto a 2x + 2y = 320 Al hacer el sistema, conseguimos: y = 2 ; x = 2 ; 2x + 2y = 320.Cuya solucin es (x,y) = (80, 80) y = 40.F (80, 80) = 6400.Comprobamos que es un mximo, al comparar con otro puntosobre la restriccin.F(100,60) = 6000 < 6400Concluimos que:La mayor rea que puede encerrarse con 320 mts de cerca es de 6400 metros cuadrados y corresponde a un cuadrado, cuyo lado mide 80 mts.

valores maximos y minimos.1