vainita

PRECLCULO

Ron LarsonThe Pennsylvania State University

Robert HostetlerThe Pennsylvania State University

Sptima Edicin

Barcelona - Bogot - Buenos Aires - Caracas - Mxico

CO

NTEN

IDO

Palabras de los autores (prefacio) vii

Caractersticas y puntos importantes del libro xi

Funciones y sus grficas 11.1 Coordenadas rectangulares 21.2 Grficas de funciones 141.3 Ecuaciones lineales con dos variables 251.4 Funciones 401.5 Anlisis de grficas de funciones 541.6 Catlogo de funciones bsicas 661.7 Transformaciones de funciones 741.8 Algebra de funciones y funciones compuestas 841.9 Funciones inversas 931.10 Modelizacin y variacin 103Resumen del captulo 115 Ejercicios de repaso 117Prueba del captulo 123 Demostraciones en matemticas 124P.S. Resolucin de problemas 125

Funciones polinomiales y racionales 1272.1 Funciones cuadrticas y modelos 1282.2 Funciones polinomiales de grado superior 1392.3 Divisin de polinomios y divisin sinttica 1532.4 Nmeros complejos 1622.5 Ceros de funciones polinomiales 1692.6 Funciones racionales 1842.7 Desigualdades no lineales 197Resumen del captulo 207 Ejercicios de repaso 208Prueba del captulo 212 Demostraciones en matemticas 213P.S. Resolucin de problemas 215

Funciones exponencial y logartmica 2173.1 Funciones exponenciales y sus grficas 2183.2 Funciones logartmicas y sus grficas 2293.3 Propiedades de logaritmos 2393.4 Ecuaciones exponenciales y logartmicas 2463.5 Modelos exponenciales y logartmicos 257Resumen del captulo 270 Ejercicios de repaso 271Prueba del captulo 275 Prueba acumulada: captulos 1 3 276Demostraciones en matemticas 278 P.S. Resolucin de problemas 279

iii

Contenido

Captulo 1

Captulo 2

Captulo 3

Trigonometra 2814.1 Medicin de ngulos en radianes y en grados 2824.2 Funciones trigonomtricas y el crculo unitario 2944.3 Trigonometra del tringulo rectngulo 3014.4 Funciones trigonomtricas de un ngulo cualquiera 3124.5 Grficas de las funciones seno y coseno 3214.6 Grficas de otras funciones trigonomtricas 3324.7 Funciones trigonomtricas inversas 3434.8 Aplicaciones y modelos 353Resumen del captulo 364 Ejercicios de repaso 365Prueba del captulo 369 Demostraciones en matemticas 370P.S. Resolucin de problemas 371

Trigonometra analtica 3735.1 Uso de identidades fundamentales 3745.2 Comprobacin de identidades trigonomtricas 3825.3 Resolucin de ecuaciones trigonomtricas 3895.4 Frmulas de suma y diferencia de funciones trigonomtricas 4005.5 Frmulas de funciones trigonomtricas de ngulo mltiple

y de producto a suma 407Resumen del captulo 419 Ejercicios de repaso 420Prueba del captulo 423 Demostraciones en matemticas 424P.S. Resolucin de problemas 427

Temas complementarios de trigonometra 4296.1 Leyes de los senos 4306.2 Leyes de los cosenos 4396.3 Vectores en el plano 4476.4 Producto vectorial y producto punto 4606.5 Forma trigonomtrica de un nmero complejo 470Resumen del captulo 481 Ejercicios de repaso 482Prueba del captulo 486 Prueba acumulada: captulos 4 6 487Demostraciones en matemticas 489 P.S. Resolucin de problemas 493

Sistemas de ecuaciones y desigualdades 4957.1 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 4967.2 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables 5077.3 Sistemas de ecuaciones lineales con tres o ms variables 5197.4 Fracciones parciales 5337.5 Sistemas de desigualdades 5417.6 Programacin lineal 552Resumen del captulo 562 Ejercicios de repaso 563Prueba del captulo 567 Demostraciones en matemticas 568P.S. Resolucin de problemas 569

iv Contenido

Captulo 4

Captulo 5

Captulo 6

Captulo 7

CO

NTEN

TSC

ON

TENID

O

Contenido v

Matrices y determinantes 5718.1 Matrices y sistemas de ecuaciones 5728.2 Operaciones con matrices 5878.3 La inversa de una matriz cuadrada 6028.4 Determinante de una matriz cuadrada 6118.5 Aplicaciones de matrices y determinantes 619Resumen del captulo 631 Ejercicios de repaso 632Prueba del captulo 637 Demostraciones en matemticas 638P.S. Resolucin de problemas 639

Sucesiones, series y probabilidad 6419.1 Sucesiones y series 6429.2 Sucesiones aritmticas y sumas parciales 6539.3 Sucesiones geomtricas y series geomtricas 6639.4 Induccin matemtica 6739.5 El teorema del binomio 6839.6 Principios de conteo 6919.7 Probabilidad 701Resumen del captulo 714 Ejercicios de repaso 715Prueba del captulo 719 Prueba acumulada: captulos 7 9 720Demostraciones en matemticas 722 P.S. Resolucin de problemas 725

Temas de geometra analtica 72710.1 Rectas 72810.2 Introduccin a las cnicas: parbolas 73510.3 Elipses 74410.4 Hiprbolas 75310.5 Rotacin de cnicas 76310.6 Ecuaciones paramtricas 77110.7 Coordenadas polares 77910.8 Grficas de ecuaciones polares 78510.9 Ecuaciones polares de las cnicas 793Resumen del captulo 800 Ejercicios de repaso 801Prueba del captulo 805 Demostraciones en matemticas 806P.S. Resolucin de problemas 809

Captulo 8

Captulo 9

Captulo 10

Repaso de conceptos fundamentales de lgebra A1A.1 Nmeros reales y sus propiedades A1A.2 Exponentes y radicales A11A.3 Polinomios y factorizacin A23A.4 Expresiones racionales A36A.5 Resolucin de ecuaciones A46A.6 Desigualdades lineales con una variable A60A.7 Errores en el lgebra del clculo A70

Respuestas de ejercicios impares y de pruebas A77

ndice A211

ndice de aplicaciones (sitio en la red: www.college.hmco.com)

Apndice B Conceptos en estadstica (sitio en la red:www.college.hmco.com)

B.1 Representacin de datosB.2 Medidas de tendencia central y de dispersinB.3 Regresin y mnimos cuadrados

vi Contenido

Apndice A

vii

Bienvenidos a preclculo, sptima edicin. Estamos muy contentos en presentaresta edicin nueva de nuestro libro de texto. Nos enfocamos en hacer accesible lasmatemticas, apoyando el xito de los estudiantes y ofreciendo a los maestrosopciones flexibles de enseanza.

Accesible para los estudiantesAl paso de los aos hemos tenido cuidado en escribir este libro teniendo en cuen-ta a los estudiantes. Poniendo atencin especial en la presentacin; empleamos unlenguaje matemtico preciso y un estilo de escritura claro, para desarrollar unaherramienta efectiva de aprendizaje. Creemos que cada estudiante puede aprendermatemticas y estamos comprometidos en proporcionar un libro que haga accesi-bles los contenidos del preclculo a los estudiantes. Para la sptima edicinhemos revisado y mejorado algunas de las caractersticas del libro, diseadas paraeste fin.

En todo el libro, presentamos soluciones de ejemplos en diversos puntos de vista,en formas algebraica, grfica y numrica. Incorporar esta caracterstica pedag-gica ayuda a los estudiantes a ver que un problema se puede resolver en ms deuna forma y qu mtodos distintos producen el mismo resultado. El formato tam-bin aborda muchos estilos de aprendizaje distintos.Hemos encontrado que muchos estudiantes de preclculo comprenden los con-ceptos matemticos ms fcilmente cuando trabajan en el contexto de situacionesde la vida real. Los estudiantes tienen varias oportunidades para hacer esto en lasptima edicin. La caracterstica nueva tome una decisin se ha agregado al libropara conectar datos de la vida real y aplicaciones para motivar a los estudiantes.Tambin ofrece a los estudiantes la oportunidad de generar y analizar modelosmatemticos con mayor nmero de datos. Para reforzar los conceptos de funcio-nes, cada funcin se introduce en el uso con una definicin y una descripcin delas caractersticas bsicas. Adems, las funciones elementales se presentan en unresumen en los forros del libro para utilizarlos como referencia.

Hemos escrito y diseado cuidadosamente cada pgina para hacer el libro msfcil de leer y accesible a los estudiantes. Por ejemplo, para evitar voltear pginasen forma innecesaria e interrupciones en los procesos de pensamiento de los estu-diantes, cada ejemplo, y solucin correspondiente, inicia y termina, en la mismapgina.

Apoya el xito del estudianteDurante ms de 30 aos de enseanza y escritura hemos aprendido muchas cosasacerca de la enseanza y del aprendizaje de las matemticas. Hemos encontradoque los estudiantes tienen ms xito cuando saben qu es lo que se espera queaprendan y por qu es importante aprender los conceptos. Con esto en mente,hemos mejorado la serie de estudio temtico en la sptima edicin.Cada captulo inicia con una lista de aplicaciones que se analizan y sirve comoherramienta de motivacin que conecta el contenido de la seccin con situacionesde la vida real. Empleando el mismo tema pedaggico, cada seccin inicia con un

Palabras de los autores

PREFAC

IO

viii Palabras de los autores

conjunto de objetivos de aprendizaje de la seccin que debe aprender. Estos con-tinan con una aplicacin ilustrativa de la vida real, por qu debe aprender esto,que motiva a los estudiantes e ilustra un rea de aplicacin de los conceptos mate-mticos en un ejemplo, o ejercicio, en la seccin. El resumen del captulo, Quaprendi?, al final de cada captulo, es un repaso de seccin por seccin que ligalos objetivos de aprendizaje a conjuntos de ejercicios de repaso, al final de cadacaptulo.

En todo el libro, otras caractersticas mejoran an ms la accesibilidad. Ayudas deestudio se proporcionan para reforzar los conceptos y para ayudar a los estudian-tes a aprender cmo estudiar matemticas. Tecnologa, escribiendo acerca dematemticas, notas histricas y exploraciones se han ampliado con objeto dereforzar conceptos matemticos. A cada ejemplo, con su solucin, le sigue unaverificacin que dirige al estudiante a solucionar un ejercicio similar del conjun-to de ejercicios. La seccin de ejercicios inicia con un control de vocabulario queproporciona al estudiante oportunidad para probar su comprensin de los temasimportantes de cada seccin. Los ejercicios nuevos tome una decisin conectanan ms los datos de la vida real y aplicaciones y motivan a los estudiantes. Losejercicios de reafirmacin de habilidades proporcionan prctica adicional de losconceptos del captulo o de captulos anteriores. Los exmenes del captulo, alfinal de cada captulo y los exmenes acumulados peridicos ofrecen a los estu-diantes oportunidades frecuentes para una auto-evaluacin y para desarrollarhabilidades firmes de estudio y de toma de exmenes.

El uso de tecnologa tambin apoya a los estudiantes con estilos distintos deaprendizaje. Las notas de tecnologa se proporcionan en todo el texto en su puntode uso. Estas notas llaman la atencin a los puntos fuertes y dbiles de la tecno-loga de graficacin, tambin ofrecen mtodos alternos para resolver o verificarun problema empleando tecnologa. Estas notas tambin dirigen a los estudiantesa la gua de tecnologa de graficacin, en el sitio en la red del libro, para ayudaen la secuencia de pulsaciones de teclas que est disponible para numerososmodelos de calculadoras. El uso de la tecnologa es opcional. Esta caracterstica,y ejercicios relacionados, se pueden omitir sin prdida de continuidad en la cober-tura de los temas.

Se dispone de numerosos recursos adicionales especficos del libro para ayudar alos estudiantes a tener xito en el curso de preclculo. Entre estos se incluyenayuda guiada en vivo, DVDs de instrucciones y una variedad de otros recursos,como apoyo guiado y auto-evaluacin, los cuales estn disponibles en el CD-ROMHM mathSpace, la red y Eduspace. Adems, la gua en lnea para tomar notases una gua que ayuda a los estudiantes a organizar sus notas de clases y a crearuna herramienta de estudio y repaso efectiva.

Opciones flexibles para maestrosDesde la primera vez que comenzamos a escribir libros de texto, a principios dela dcada de 1970, hemos considerado una parte crtica de nuestra funcin comoautores, proporcionar a los maestros programas flexibles; adems de abordar unavariedad de estilos de aprendizaje. Las caractersticas opcionales dentro del libropermiten a los maestros disear sus cursos para cumplir las necesidades de ins-truccin y las necesidades de los estudiantes. Por ejemplo, las exploraciones en

Palabras de los autores ix

el libro se pueden emplear como una introduccin rpida a los conceptos, o comouna forma para reforzar la comprensin del estudiante.

Nuestra meta, cuando desarrollamos los ejercicios, fue abordar una variedad deestilos de aprendizaje y preferencias de enseanza. Nuevas para esta edicin sonlas preguntas de control de vocabulario, que se proporcionan al inicio de cadaconjunto de ejercicios, dispuestos para ayudar a los estudiantes a aprender la ter-minologa matemtica adecuada. En cada conjunto de ejercicios hemos incluidouna variedad de tipos de ejercicios, incluyendo preguntas que requieren escrituray pensamiento crtico, as como aplicaciones con datos reales. Los problemasestn graduados cuidadosamente en dificultad del dominio de habilidades bsicasa ejercicios motivantes. Algunos de estos ejercicios incluyen el ejercicio de snte-sis que combina habilidades y se emplean para verificar la comprensin concep-tual y los ejercicios nuevos tome una decisin que conectan ms datos y aplica-ciones de la vida real y motivan a los estudiantes. Los ejercicios de reafirmacinde habilidades, ubicados al final de cada conjunto de ejercicios, refuerzan habili-dades previamente aprendidas. Adems, el sitio en la red Eduspace de HoughtonMifflin ofrece a los maestros la opcin de asignar tareas y exmenes en lnea;tambin incluye la habilidad de calificar automticamente estas tareas.

Estn disponibles otros recursos impresos y medios de informacin para apoyar alos maestros. El organizador en lnea del xito del maestro incluye planes de lec-ciones sugeridos y es una herramienta, especialmente til, para departamentosgrandes que deseen que todas las secciones de un curso sigan el mismo perfil. Laedicin del maestro de la gua de toma de notas del estudiante se puede usar comoun resumen de conferencia para cada seccin del libro e incluye ejemplos adicio-nales para el anlisis en clase y definiciones importantes. Este es otro recursovaluable para escuelas tratando de tener una enseanza consistente y se puedeemplear para apoyar a maestros menos experimentados. Cuando se emplea enconjunto con la gua de toma de notas del estudiante estos recursos pueden aho-rrar a los maestros tiempo de preparacin y ayudan a los estudiantes a concen-trarse en conceptos importantes.

Los maestros que enfaticen aplicaciones y resolucin de problemas, o la explora-cin y tecnologa, en conjunto con mtodos ms tradicionales son capaces de usareste libro exitosamente.

Esperamos que disfrute la sptima edicin.

Ron LarsonRobert Hostetler

PREFAC

IO

xi

Rasgos sobresalientes del libro

Apertura del captuloCada captulo inicia con una presentacin generalcompleta de los conceptos del captulo. La fotografay su leyenda ilustran una aplicacin de la vida realde un concepto clave. Las referencias de seccinayudan a los estudiantes a prepararse para elcaptulo.

Lista de aplicacionesUna lista abreviada de aplicaciones, comprendido enel captulo, sirve como herramienta de motivacinconectando el contenido de la seccin consituaciones de la vida real.

Qu debe aprender y por qu debe aprender esto

Estas secciones inician con qu debe aprender,un resumen de los conceptos principales cubiertos

en la seccin y por qu debe aprender esto, unaaplicacin de la vida real, o referencia matemtica,que ilustra la importancia del contenido de laseccin.

La prueba del carbono es unmtodo que se emplea paradeterminar la antigedad deobjetos arqueolgicos hasta50,000 aos. Por ejemplo, losarquelogos la emplean paradeterminar desde cundo existenlas pirmides de Egipto.

217

APLICACIONES SELECTASLas funciones exponencial y logartmica tienen mltiples aplicaciones en la vida real. A continuacin sedescribe una muestra de las que se estudian en este captulo.

Virus en computadora,ejercicio 65, pgina 227.

Anlisis de datos: Meteorologa,ejercicio 70, pgina 228.

Intensidad sonora,ejercicio 90, pgina 238.

Velocidades de galope de animales,ejercicio 85, pgina 244.

Estaturas promedio,ejercicio 115, pgina 255.

Datacin por carbono,ejercicio 41, pgina 266.

Puntajes del CI,ejercicio 47, pgina 266.

Ciencia forense,ejercicio 63, pgina 268.

Inters compuesto,ejercicio 135, pgina 273.

3.1 Funciones exponenciales y sus grficas

3.2 Funciones logartmicas y sus grficas

3.3 Propiedades de los logaritmos

3.4 Ecuaciones exponenciales y logartmicas

3.5 Modelos exponenciales y logartmicos

Funciones exponencialesy logartmicas 33

S

ylva

in G

ran

dad

am/G

etty

Imag

es

Seccin 3.3 Propiedades de los logaritmos 239

Cambio de baseLa mayora de las calculadoras slo tienen dos tipos de teclas log, una para loga-ritmos comunes (base 10) y otra para logaritmos naturales (base ). Aunque loslogaritmos comunes y los naturales son los de uso ms frecuente, en ocasioneses necesario evaluar logaritmos con otras bases. Para hacer esto, se puede em-plear la frmula de cambio de base siguiente.

Una forma de considerar la frmula de cambio de base es que los logaritmosde base , simplemente, son el producto de una constante por el logaritmo de ba-se El factor constante es

Cambio de bases empleando logaritmos comunes

a.

Use calculadora.

Simplifique.

b.

Ahora resuelva el ejercicio 1a.

Cambio de bases empleando logaritmos naturales

a.

Use calculadora.

Simplifique.

b.

Ahora resuelva el ejercicio 1b.VERIFICACINlog2 12

ln 12ln 2

2.484910.69315 3.5850

2.3219

3.218881.38629

loga x ln xln alog4 25

ln 25ln 4

VERIFICACIN

log2 12 log 12log 2

1.079180.30103

3.5850

2.3219

1.397940.60206

loga x log xlog alog4 25

log 25log 4

1logba.b.a

e

Qu debe aprender Usar la frmula del cambio de

base para reescribir y evaluarexpresiones logartmicas.

Usar propiedades delogaritmos para evaluar o reescribir expresioneslogartmicas.

Usar propiedades delogaritmos para expandiro condensar expresioneslogartmicas.

Usar funciones logartmicaspara modelar y resolverproblemas de la vida real.

Por qu debe aprender estoLas funciones logartmicas sepueden emplear para modelar y resolver problemas de la vidareal. Por ejemplo, en losejercicios 81 a 83, pgina 244, seemplea una funcin logartmicapara modelar la relacin entre el nmero de decibeles y laintensidad de un sonido.

Propiedades de los logaritmos

AP Photo/Stephen Chernin

3.3

Frmula de cambio de baseSean y nmeros reales positivos tales que y Se puedeconvertir a una base diferente de a como sigue.

Base b Base 10 Base e

loga x ln xln aloga x

log xlog aloga x

logb xlogb a

loga xb 1.a 1xba,

Ejemplo 1

Ejemplo 2

RASG

OS SO

BRESALIEN

TES

xii Rasgos sobresalientes del libro

EjemplosMltiples ejemplos presentan soluciones conenfoques variados, algebraicos, grficos ynumricos. Este formato aborda una variedad deestilos de aprendizaje y muestra a los estudiantesqu mtodos de solucin distintos producen elmismo resultado.

VerificacinLa verificacin dirige al estudiante a solucionarun problema similar en el conjunto de ejerciciospara prctica adicional.

ExploracionesExploracin llama la atencin de los estudiantesal descubrimiento de los conceptos matemticos,refuerza las habilidades del pensamiento crticoy los ayuda a desarrollar una comprensin intuitivade los conceptos tericos.

Ayudas de estudioAyudas de estudio refuerzan los conceptos y ayudaa los estudiantes a aprender cmo estudiarmatemticas.

TecnologaLa caracterstica tecnologa proporciona instruccionespara utilidades de graficacin en su punto de uso.

Caractersticas adicionalesEn el libro se encuentran herramientas de aprendizajeadicionales, cuidadosamente elaboradas y diseadaspara interrelacionar conceptos. Estas herramientasde aprendizaje incluyen escribiendo acerca dematemticas, notas histricas y un programacompleto para el desarrollo de habilidades.

502 Captulo 7 Sistema de ecuaciones y desigualdades

ESCRIBIENDO ACERCA DE MATEMTICASInterpretacin de puntos de interseccin. Suponga que planea rentar un camin de4 metros de longitud para efectuar una mudanza durante dos das. En la agencia Ade renta de camiones se puede rentar uno por 29.95 dlares por da, ms 0.49dlares por kilmetro recorrido. En la agencia B se puede rentar un camin por50 dlares por da, ms 0.25 dlares por kilmetro recorrido.

a. Escriba las funciones de los costos totales en trminos de x y y para rentar elcamin en cada agencia.

b. Emplee un graficador para trazar las dos funciones en la misma pantalla ydetermine el punto de interseccin. Interprete el significado en el contexto delproblema.

c. Cul agencia debera elegir si planea viajar un total de 100 kilmetros durantedos das? Por qu?

d. Cmo cambia la situacin si planea recorrer 200 kilmetros durante dos das?

Ventas de boletos de cine

Las ventas semanales de boletos de cine para una pelcula de comedia disminu-yen cada semana. Al mismo tiempo, las ventas para una pelcula de drama au-mentan. Los modelos que aproximan las ventas, , (en millones de dlares), paracada pelcula son

donde representa el nmero de semanas que se proyect cada pelcula;representa las ventas durante el fin de semana de estreno. Despus de

cuntas semanas las ventas de boletos son iguales para las dos pelculas?x 0

x

Comedia

DramaS 60 S 10

8x4.5x,

S

Ejemplo 7

Solucin algebraicaComo en la segunda ecuacin ya se ha despejado en tr-minos de sustituya este valor en la primera ecuacin ydespeje x, como sigue:

Sustituya S en la ecuacin 1.

Sume 8x y 10 en cada lado.

Asocie trminos semejantes.Divida cada lado entre 12.5.

Por tanto, las ventas semanales para las dos pelculas soniguales despus de 4 semanas.

Ahora resuelva el ejercicio 65.VERIFICACIN

x 4

12.5x 50

4.5x 8x 60 10

10 4.5x 60 8x

x,

SSolucin numricaSe puede elaborar una tabla de valores para cada modeloy determinar cundo sern iguales las ventas para las dospelculas.

En la tabla anterior se observa que las ventas semanalespara las dos pelculas son iguales despus de 4 semanas.

Nmero desemanas, x

0 1 2 3 4 5 6

Ventas, S(comedia) 60 52 44 36 28 20 12

Ventas, S(drama) 10 14.5 19 23.5 28 32.5 37

Sucesin de trminos que alternan su signo

Escriba los primeros cinco trminos dados por

SolucinLos cinco primeros trminos de la sucesin son como sigue.

1er. trmino

2o. trmino

3er. trmino

4o. trmino

5o. trmino

Ahora resuelva el ejercicio 17.

Enumerar slo los primeros trminos no es suficiente para definir una suce-sin en forma nica. Se debe proporcionar el ensimo trmino. Para ver esto, con-sidere las sucesiones siguientes, las dos tienen los mismos tres primeros trminos.

Determinacin del ensimo trmino de una sucesin

Escriba una expresin para el ensimo trmino posible, de cada sucesin.a. b.

Solucina. n: 1 2 3 4

Trminos: 1 3 5 7Patrn posible: cada trmino es 1 menor que el doble de n.

b. n: 1 2 3 4Trminos: 2 10 Patrn posible: los trminos se alternan en signo;es negativo, si n es par. Ca-

da trmino es 1 ms, que el cuadrado de n; esto implica que

Ahora resuelva el ejercicio 37.VERIFICACINan 1n1n2 1

an175 n

an 2n 1.

an

n

2, 5, 10, 17, 1, 3, 5, 7, an ,

12

,

14

,

18

,

115 , ,

6n 1n2 n 6

,

12

,

14

,

18

,

116

, ,

12n

,

VERIFICACIN

a5 15

25 1 1

10 1

19

a4 14

24 1

18 1

17

a3 13

23 1

16 1

15

a2 12

22 1

14 1

13

a1 11

21 1

12 1

1

an 1n

2n 1.

Seccin 9.1 Sucesiones y series 643

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Escriba los cinco primerostrminos de la sucesin deensimo trmino

Son iguales a los cincoprimeros trminos de lasucesin del ejemplo 2? Si nolo son, cul es su diferencia?

an 1n1

2n 1.

Exploracin

Para graficar una sucesinempleando un graficador, use elmodo sequenc e y dot e introduzcala sucesin. La grfica de lasucesin del ejemplo 3a semuestra a continuacin. Se puedenemplear las funciones trace ovalue para identificar los trminos.

000 50 5

11

Tecnologa

Rasgos sobresalientes del libro xiii

Aplicaciones de la vida realUna variedad de aplicaciones de la vida real,empleando datos reales actuales se integranen todos los ejemplos y ejercicios. El smbolo

indica un ejemplo que requiere de una aplicacin a la vida real.

lgebra del clculoEn el libro se da nfasis especial a las tcnicasalgebraicas empleadas en clculo. Los ejemplosy ejercicios del lgebra del clculo se integran en el libro y se identifican con el smbolo .

Ejercicios de la seccinLos conjuntos de ejercicios de seccin consistenen una variedad de problemas computacionales,conceptuales y de aplicacin.

Verificacin de vocabularioLos ejercicios de la seccin inician con el controlde vocabulario, que sirve como repaso de lostrminos matemticos importantes de cada seccin.

Revisin de tcnicas preliminares

Prctica adicional y reafirmacin de habilidadesde lgebra, necesarios para completar los conjuntosde ejercicios de seccin, se ofrecen a losestudiantes y estn disponibles en Eduspace.

En los ejercicios 1 a 8 relacione la funcin cuadrtica con su grfica [las grficas estn identificadas en (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g) y (h)].

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

1. f(x) = (x 2)2 2. f(x) = (x + 4)2

3. f(x) = x2 2 4. f(x) = 3 x2

5. f(x) = 4 (x 2)2 6. f(x) = (x + 1)2 2 7. f(x) = (x 3)2 2 8. f(x) = (x 4)2

En los ejercicios 9 a 12 grafique cada funcin. Compare cada una con la grfica de y = x2.

9. (a) (b)

(c) (d) k(x) = 3x2

10. (a) f(x) = x2 + 1 (b) g(x) = x2 1 (c) h(x) = x2 + 3 (d) k(x) = x2 3

11. (a) f(x) = (x 1)2 (b) g(x) = (3x)2 + 1 (c) (d) k(x) = (x + 3)2

12. (a)

(b)

(c)

(d) k(x) = [2(x + 1)]2 + 4

En los ejercicios 13 a 28 trace la grfica de la funcin cua-drtica empleando un graficador. Identifique el vrtice, el eje de simetra y las intersecciones con el eje x.

13. f(x) = x2 5 14. h(x) = 25 x2

15. 16.

17. f(x) = (x + 5)2 6 18. f(x) = (x 6)2 + 319. h(x) = x2 8x + 16 20. g(x) = x2 + 2x + 121. 22.

23. f(x) = x2 + 2x + 5 24. f(x) = x2 4x + 125. h(x) = 4x2 4x + 2126. f(x) = 2x2 x + 127.

28.

Ejercicios 2.1 El CD-ROM HM mathSpace y Eduspace para este libro, contiene soluciones paso a paso para los ejercicios impares. Tambin proporcionan ejercicios guiados como ayuda adicional.

CONTROL DE VOCABULARIO: Complete los espacios vacos.1. Una funcin polinomial de grado n y coeficiente principal an es una funcin de la forma

f(x) = anxn + an1x

n1 + . . . + a1x + a0 (an z 0), donde n es un ________ ________ y a1 son nmeros ________.2. Una funcin ________ es una funcin polinomial de segundo grado y su grfica se denomina ________.

3. La grfica de una funcin cuadrtica es simtrica respecto a su ________.

4. Si la grfica de una funcin abre hacia arriba, entonces su coeficiente principal es ________ y su vrtice

es un ________.

5. Si la grfica de una funcin cuadrtica se abre hacia abajo, entonces su coeficiente principal es ________ y su vrtice es

un ________.

REVISIN DE TCNICAS PRELIMINARES: Practique y refuerce algunas tcnicas de lgebra tiles para esta seccin en www.Eduspace.com.

134 Captulo 2 Funciones polinomiales y racionales

x

(1, 2)24

2

4

6

y

x

(0, 2)22 44

2

4

6

y

x

(4, 0)

22

6 4

2

4

6

y

x(4, 0)

2 4 6 82

4

6

y

x

(3, 2)2 4

2

2

4

6

6

y

x

(2, 4)

22 6

2

4

y

x

(2, 0)

22 4 6

2

6

4

y

x

(0, 3)

244

4

4

y

f x x( ) 12 2 g x x( ) 18 2h x x( ) 32 2

h x x( ) 132 3b g

f x x( ) ( ) 12 22 1g x x( ) ( ) 12

21 3h x x( ) ( ) 12 22 1

f x x( ) 12 2 4 f x x( ) 16 14 2

f x x x( ) 2 54 f x x x( ) 2 143

f x x x( ) 14 2 2 12f x x x( ) 13 2 3 6

202 Captulo 2 Funciones polinomiales y racionales

Nmero de unidades vendidas(en millones)

Gan

anci

a (en

millo

nes d

e dla

res)

0 2 4 6 8 10

x

P

100

50

0

50

100

150

200

Calculadoras

FIGURA 2.57

Nmero de unidades vendidas(en millones)

Ingr

eso

(en m

illone

s de d

lares

)

0 2 4 6 8x

R

10

50

100

150

200

250

Calculadoras

FIGURA 2.56

AplicacionesUna aplicacin comn de las desigualdades proviene de los negocios e incluyen

ganancia, ingreso y costo. La frmula que relaciona estas tres cantidades es

Ganancia = Ingreso Costo

P = R C.

Incrementando la ganancia de un producto

El departamento de ventas de un fabricante de calculadoras ha determinado que

la demanda para un modelo nuevo de calculadora es

p = 100 0.00001x, 0 d x d 10,000,000, Ecuacin de la demanda

donde p es el precio por calculadora (en dlares) y x representa el nmero de cal-

culadoras vendidas (De acuerdo al modelo se observa que nadie estara dispuesto

a pagar 100 dlares por la calculadora. Si as fuera, la compaa slo podra ven-

der 10 millones de calculadoras). El ingreso de la venta de x calculadoras es

R = xp = x(100 0.00001x), Ecuacin del ingreso

como se ve en la figura 2.56. El costo total de producir x calculadoras es 10 d-

lares por cada calculadora, ms un costo de desarrollo de 2,500,000 dlares. Por

tanto, el costo total es

C = 10x + 2,500,000. Ecuacin del costo

Qu precio por calculadora debe imponer la compaa para obtener, al menos,

una ganancia de 190,000,000 dlares?

Solucin

Modelo

verbal: Ganancia = Ingreso Costo

Ecuacin: P = R C

P = 100x 0.00001x2 (10x + 2,500,000)

P = 0.00001x2 + 90x 2,500,000

Para responder la pregunta resuelva la desigualdad

P t 190,000,000,

0.00001x2 + 90x 2,500,000 t 190,000,000.

Cuando escriba la desigualdad en forma general, encuentre los nmeros crticos

y los intervalos de prueba y, despus, pruebe un valor en cada intervalo. Se tiene

que la solucin es

3,500,000 d x d 5,500,000,

como se muestra en la figura 2.57. Sustituyendo los valores de x en la ecuacin

original del precio, se obtiene que con los siguientes precios

45.00 dlares d p d 65.00 dlares,

se produce, al menos, una ganancia de 190,000,000 dlares.

VERIFICACIN Ahora resuelva el ejercicio 71.

Ejemplo 5

A44 Apndice A Repaso de conceptos fundamentales del lgebra

En los ejercicios 43 a 52, realice la suma o resta y simplifi-que.

43. 44.

45. 46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

Anlisis de error. En los ejercicios 53 y 54, detalle el error.

53.

54.

En los ejercicios 55 a 60, simplifique la fraccin compleja.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

En los ejercicios 61 a 66, factorice la expresin sacando elfactor comn con el exponente menor.

61.62.63.64.65.66.

En los ejercicios 67 y 68, simplifique la expresin.

67.

68.

En los ejercicios 69 a 72, reduzca el cociente de diferencias .

69. 70.

71. 72.

En los ejercicios 73 a 76, simplifique el cociente de diferen -cias racionalizando el numerador .

73.

74.

75.

76.

Probabilidad. En los ejercicios 77 y 78, considere un experi -mento en el cual se lanza una canica hacia una caja cuyabase se muestra en la figura. La probabilidad de que la ca-nica se detenga en la parte sombreada de la caja es igual ala razn del rea sombreada al rea total de la figura. De-termine la probabilidad .

77. 78.

4x (x + 2)x + 2

x + 4x

x

2 + 1x

xx

2

x h 2 x 2h

x h 1 x 1h

z 3 z3

x 2 x2

x hx h 1 x

x 1h

1x h 4 1

x 4h

1(x h)2 1x 2

h 1x h

1x

h

x 31 x 212 2x1 x 212

x4

3x13 x233x23

4x 32x 132 2x2x 1122x2x 112 5x 1122xx 53 4x 2x 54x 2x 2 15 x 2 14x5 5x3x 5 2x2

t2

t 21t 21t 2

x 12xx

x2 1

x

x 1

2

x

x

2

x 12

xx 13

x 4

x4 4x

x2 1x 2

6x 2x2x 2

6x 2

6x x 2 x 2 4 8

x 2x 2

x6 x x 22 8

x 2x 2

6 xxx 2

x 2

x 2

8x 2x 2

2x 4

x 22x 2

x 2 2

x 4x 2

3x 8x 2

x 4 3x 8

x 2

2x 1

2

x 1

1x 2 1

1x

2x 2 1

1

x 3 x

2x 2 x 2

10

x 2 2x 8

1x 2 x 2

x

x 2 5x 6

2xx 5

55 x

3x 2

5

2 x

3x 1

56 5x 3

2x 1x 3

1 xx 3

5x 1

x

x 1

RASG

OS SO

BRESALIEN

TES

xiv Rasgos sobresalientes del libro

Para modelarloEstas aplicaciones presentadas en varias partesimplican datos reales y ofrecen a los estudiantesla oportunidad de generar y analizar modelosmatemticos.

Sntesis y ejercicios dereafirmacin de habilidades

Cada conjunto de ejercicios concluye con dos tiposde ejercicios.Los ejercicios de sntesis promueven la exploracinde los conceptos matemticos, habilidadesde pensamiento crtico y escritura en matemticas.Los ejercicios requieren que los estudiantesmuestren su comprensin en las relaciones entrevarios conceptos de la seccin.

Los ejercicios de repaso de habilidades refuerzanhabilidades y conceptos previamente aprendidos.

Los ejercicios tome una decisin, que se encuentranen secciones seleccionadas, conectan ms datosde la vida real y aplicaciones y motivan a losestudiantes. Tambin ofrecen la oportunidadde generar y analizar modelos matemticos deconjuntos con mayor nmero de datos.

Seccin 8.1 Matrices y sistemas de ecuaciones 585

82. Red elctrica. Las corrientes en una red elctrica estn da-das por la solucin del sistema

donde y estn medidas en amperios. Resuelva elsistema de ecuaciones empleando matrices.

83. Fracciones parciales. Use un sistema de ecuaciones paraescribir la descomposicin en fracciones parciales de la ex-presin racional. Resuelva el sistema empleando matrices.

84. Fracciones parciales. Use un sistema de ecuaciones paraescribir la descomposicin en fracciones parciales de laexpresin racional. Resuelva el sistema usando matrices.

85. Finanzas. Una corporacin pequea de zapateros solicitun prstamo por 1,500,000 dlares para ampliar su lnea dezapatos. Parte del dinero se recibi al 7%, parte al 8% yparte al 10%. Utilice un sistema de ecuaciones para deter-minar cunto se pag a cada tasa, si el inters anual fue130,000 dlares y la cantidad prestada al 10% fue 4 vecesmayor que la cantidad prestada al 7%. Resuelva el sistemaempleando matrices.

86. Finanzas. Una corporacin pequea de software recibiun prestamo por 500,000 dlares para ampliar su lnea desoftware. Parte del dinero se recibi al 9%, parte al 10% yparte al 12%. Utilice un sistema de ecuaciones para deter-minar cunto se pag a cada tasa, si el inters anual fue52,000 dlares y la cantidad prestada al 10% fue vecesmayor que la cantidad prestada al 9%. Resuelva el sistemaempleando matrices.

En los ejercicios 87 y 88 use un sistema de ecuaciones paraencontrar la ecuacin especificada que pasa por los puntosde la grfica. Resuelva el sistema empleando matrices. Em-plee un graficador para verificar sus resultados.

87. Parbola: 88. Parbola:

89. Modelizacin matemtica. Una videocinta de la trayecto-ria de una pelota lanzada por un jugador de bisbol se ana-liz con una retcula superpuesta en la pantalla de unatelevisin. La cinta se puso en pausa tres veces y se midila posicin de la pelota en cada vez. Las coordenadas obte-nidas se muestran en la tabla (x y y estn medidas en pies).

(a) Utilice un sistema de ecuaciones para encontrar la ecua-cin de la parbola que pasa por lostres puntos. Resuelva el sistema empleando matrices.

(b) Emplee un graficador para trazar la parbola.(c) En forma grfica aproxime la altura mxima de la pe-

lota y el punto en que choca contra el piso.(d) En forma analtica determine la altura mxima de la

pelota y el punto en que choca contra el piso.(e) Compare sus resultados de los incisos (c) y (d).

y ax 2 bx c

8

(2, 8)(3, 5)

(1, 9)

x

8

y

4 8 12

12

8

24

(1, 8)(2, 13)(3, 20)

x

y

4 4 8 12

y ax2 bx cy ax2 bx c

212

8x2x 12x 1

Ax 1

Bx 1

Cx 12

4x2

x 12x 1

Ax 1

B

x 1

Cx 12

I3I1, I2

I1 I2

3I1 4I2I2

I3 0 18

3I3 6

Distancia horizontal, x Altura, y

0 5.015 9.630 12.4

90. Anlisis de datos: Deslizamiento en la nieve. En la ta-bla se muestran los nmeros de personas, y (en millo-nes), en Estados Unidos que participaron endeslizamiento en nieve de 1997 a 2001. (Fuente: Na-tional Sporting Goods Association).

(a) Utilice un sistema de ecuaciones para determinar laecuacin de la parbola que pasapor los puntos que salen de la tabla. Sean el ao yt = 7 correspondiendo a 1997. Resuelva el sistemaempleando matrices.

(b) Emplee un graficador para representar la parbolaen el plano.

(c) Use la ecuacin del inciso (a) para estimar el n-mero de personas que participaron en el desliza-miento en la nieve en 2003. Cul es la diferenciaentre este valor y el valor real de 6.3 millones?

(d) Use la ecuacin del inciso (a) para estimar y en2008. Es razonable la estimacin? Explique.

ty at2 bt c

Para modelarlo

Ao Nmero, y

1997 2.81999 3.32001 5.3

70. Anlisis de datos: Meteorologa. Un meteorlogo mide lapresin atmosfrica (en pascales), a una altura (en ki-lmetros). Los datos se muestran en la tabla.

Un modelo para los datos se da por (a) Trace una grfica de dispersin de los datos y grafique

el modelo en el mismo conjunto de ejes.(b) Calcule la presin a 8 kilmetros de altura.

Sntesis

Cierto o falso? En los ejercicios 71 y 72 determine si elenunciado es cierto o falso. Justifique su respuesta.

71. La recta es una asntota para la grfica de

72.

Reflexione lo siguiente: En los ejercicios 73 a 76 use las pro-piedades de los exponentes para determinar cules funcio-nes (si las hay) son iguales.

73. 74.

75. 76.

77. Grafique las funciones dadas por y y use lasgrficas para resolver cada desigualdad.(a) (b)

78. Con un graficador para representar grficamene cada fun-cin. Use la grfica para determinar dnde la funcin escreciente o decreciente y aproxime sus valores mnimos ymximos.(a) (b)

79. Anlisis grfico. Emplee un graficador para trazar la gr-fica de las funciones

y

en la misma pantalla. Cul es la relacin entre y si aumenta, o disminuye, sin lmite?

80. Reflexione lo siguiente. Cules de las siguientes funcio-nes son exponenciales?(a) (b) (c) (d)

Reafirmacin de habilidades

En los ejercicios 81 y 82 despeje y.

81. 82.

En los ejercicios 83 y 84 trace la grfica de la funcin.

83. 84.

85. Tome una decisin Para ampliar el campo de apli-cacin analice la poblacin por milla cuadrada de Esta-dos Unidos, visite el sitio en la red de este libro encollege.hmco.com (Data Source: U.S. Census Bureau).

f x 7 xf x 29 x

x y 2x 2 y 2 25

2x3x3x 23x

xgf

gx e0.5f x 1 0.5x x

gx x23xf x x 2ex

4x 3x4x 3x

y 4xy 3xhx ex3hx 1622xgx e3xgx 14

x2f x ex 3f x 164xhx 644xhx 193xgx 22x6gx 3x 9f x 4x 12f x 3x2

e 271,80199,990

.

f x 10x 2.y 2

P 107, 428e0.150h.

hP

228 Captulo 3 Funciones exponenciales y logartmicas

Altitud, h Presin, P

10 101,29315 154,73510 123,29415 112,15720 115,069

69. Anlisis de datos: Biologa. Para estimar la defolia-cin causada por una mariposa que su oruga daa losrboles, durante un ao dado, un silvicultor cuenta elnmero, , de aglomeraciones de huevecillos en deacre (crculo con un radio de 18.6 pies) en otoo. Elporcentaje de defoliacin, y, en la primavera siguientese muestra en la tabla. (Fuente: USDA, Forest Service).

Un modelo para los datos est dado por

(a) Emplee un graficador para elaborar una grfica dedispersin de los datos y trace la grfica del mode-lo en la misma pantalla.

(b) Elabore una tabla y compare el modelo con los da-tos de la muestra.

(c) Estime el porcentaje de defoliacin si se cuentan 36aglomeraciones de huevo en de acre.

(d) Suponga que de un bosque est defoliado la pri-mavera siguiente. Use la grfica del inciso (a) paraestimar el nmero de aglomeraciones de huevo por

de acre.140

23

140

y 100

1 7e0.069x .

140x

Para modelarlo

Masas de huevo, x Porcentaje dedefoliacin, y

110 12125 44150 81175 96100 99

Rasgos sobresalientes del libro xv

Resumen de captuloQu aprendi? del resumen del captulo es unresumen general, seccin por seccin, que liga losobjetivos de aprendizaje del captulo con conjuntosde ejercicios de repaso, para prctica adicional.

Ejercicios de repasoLos ejercicios de repaso de captulo proporcionanprctica adicional con los conceptos tratados enel captulo.

Exmenes de captulo y acumulados

Los exmenes de captulo, al final de cada captulo,y los exmenes acumulados peridicos ofrecen alos estudiantes oportunidades frecuentes para haceruna auto-evaluacin y desarrollar habilidadesfirmes de estudio y de toma de exmenes.


Resumen del captulo3

Qu aprendi?

Seccin 3.1 Ejercicios de repasoReconocer y evaluar funciones exponenciales de base a (p. 218). 1 -6

Graficar funciones exponenciales y usar la propiedad uno a uno (p. 219). 7-26

Reconocer, evaluar y graficar funciones exponenciales de base e (p. 222). 27-34

Usar funciones exponenciales para modelar y resolver problemas de la vida real (p. 223). 35-40

Seccin 3.2Reconocer y evaluar funciones logartmicas de base a (p. 229). 41-52

Graficar funciones logartmicas (p. 231). 53-58

Reconocer, evaluar y graficar funciones logartmicas naturales (p. 233). 59-68

Usar funciones logartmicas para modelar y resolver problemas de la vida real (p. 235). 69, 70

Seccin 3.3Usar la frmula de cambio de base para reescribir y evaluar expresiones 71-74logartmicas (p. 239).

Usar propiedades de los logaritmos para evaluar o reescribir expresiones 75-78logartmicas (p. 240).

Usar propiedades de los logaritmos para expandir o condensar expresiones 79-94logartmicas (p. 241).


Seccin 3.4Resolver ecuaciones exponenciales y logartmicas simples (p. 246). 97-104

Resolver ecuaciones exponenciales ms complejas (p. 247). 105-118

Resolver ecuaciones logartmicas ms complejas (p. 249). 119-134

Usar ecuaciones exponenciales y logartmicas para modelar y resolver 135, 136problemas de la vida real (p. 251).

Seccin 3.5Reconocer los cinco tipos ms comunes de modelos, implicando funciones 137-142exponenciales y logartmicas (p. 257).

Usar funciones de crecimiento y decaimiento exponencial para modelar y resolver 143-148problemas de la vida real (p. 258).

Usar funciones gausianas para modelar y resolver problemas de la vida real (p. 261). 149

Usar funciones de crecimiento logstico para modelar y resolver problemas 150de la vida real (p. 262).


Ejercicios de repaso 271

En los ejercicios 1 a 6 evale la funcin en el valor in-dicado de Redondee su resultado a tres decimales.

Funcin Valor1.2.3.4.5.6.

En los ejercicios 7 a 10 relacione la funcin con su grfica[las grficas estn identificadas con (a), (b), (c) y (d)].

(a) (b)

(c) (d)

7. 8.9. 10.

En los ejercicios 11 a 14 use la grfica de para describir latransformacin que produce la grfica de

11.12.13.14.

En los ejercicios 15 a 22 emplee un graficador para elabo-rar una tabla de valores para la funcin. Despus trace sugrfica.

15. 16.

17. 18.19. 20.21. 22.

En los ejercicios 23 a 26 use la propiedad uno a uno paradespejar x en la ecuacin.

23. 24.

25. 26.

En los ejercicios 27 a 30 evale la funcin dada poren el valor indicado de Redondee su resultado

a tres decimales.

27. 28.29. 30.

En los ejercicios 31 a 34 use un graficador y elabore una ta-bla de valores para la funcin. Despus trace su grfica.

31. 32.33. 34.

Inters compuesto. En los ejercicios 35 y 36 complete la ta-bla para determinar el monto, , para dlares invertidos auna tasa, , durante aos y compuesta veces por ao.

35.36.

37. Tiempos de espera. El tiempo promedio entre las entradasde dos llamadas consecutivas, en un conmutador, es de 3minutos. La probabilidad, , de esperar menos de minu-tos hasta la prxima llamada, se calcula con el modelo

Suponga que una llamada acaba de en-trar. Encuentre la probabilidad de que la prxima llamadaser dentro de

(a) minuto. (b) 2 minutos. (c) 5 minutos. 38. Depreciacin. Despus de aos el valor, , de un auto-

mvil que originalmente cost 14,000 dlares est dadopor(a) Emplee un graficador para trazar la funcin.(b) Halle el valor del automvil despus de 2 aos de su

compra.(c) De acuerdo con el modelo, cundo se deprecia el

automvil ms rpidamente? Explique.

Vt 14,00034t.

Vt

12

Ft 1 et 3.

tF

P 2000 dlares, r 5%, t 30 aosP 3500 dlares, r 6.5%, t 10 aos

ntrPA

t > 0st 4e2t,f x e x2hx 2 ex2hx ex2

x 0.278x 1.7x

58x 8

x.fx ex

e82x e3e5x7 e15

13x2

813x2 19

f x 18x2

5f x 12x 3

f x 2 x6 5f x 5 x2 4f x 2.65x1f x 2.65x1

f x 4x 3f x 4x 4

gx 8 23xf x 23

x,

gx 12x2f x 12

x,

gx 4x 3f x 4x,gx 5x1f x 5x,

g.f

f x 4x 1f x 4xf x 4xf x 4x

3 1 2 3x

21

1

5

y

3x

2

12345

y

3 1 2 1

3 1 2 3x

2

2345

y

3 1 1 2 3x

2

1

2345

y

x 0.8f x 145xx 11f x 70.2xx 1f x 1278x5x f x 20.5xx 3f x 30xx 2.4f x 6.1x

x.3.1

Ejercicios de repaso3

n 1 2 4 12 365 Continua

A

Prueba del captulo 275

Examen del captulo3

Use este examen como lo hara en clase. Cuando termine si lo cree necesario, verifi-que sus respuestas con las de la parte final del libro.

En los ejercicios 1 a 4 evale la expresin. Aproxime su resultado a tres decimales.

1. 2. 3. 4.

En los ejercicios 5 a 7 haga una tabla de valores. Luego trace la grfica de la funcin.

5. 6. 7.

8. Evale: (a) y (b)

En los ejercicios 9 a 11 elabore una tabla de valores. Despus trace la grfica de lafuncin. Identifique las asntotas.

9. 10. 11.

En los ejercicios 12 a 14 evale el logaritmo empleando la frmula de cambio de ba-se. Redondee su resultado a tres decimales.

12. 13. 14.

En los ejercicios 15 a 17 utilice las propiedades de los logaritmos para desarrollar laexpresin como una suma, diferencia y/o como el producto de una constante por ellogaritmo.

15. 16. 17.

En los ejercicios 18 a 20 reduzca la expresin logartmica a otra que tenga un solotrmino.

18. 19.20.

En los ejercicios 21 a 26 resuelva de forma algebraica la ecuacin. Aproxime su re-sultado a tres decimales.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. Establezca un modelo exponencial de crecimiento para la grfica mostrada en la figura.28. La vida media del actinio radiactivo es de 21.77 aos. Qu porcentaje de una

cantidad presente de actinio radiactivo permanecer despus de 19 aos?29. Un modelo que se puede emplear para predecir la estatura, (en centmetros), de un

nio con base en su edad es dondees la edad del nio en aos. (Fuente: Snapshots of Applications in Mathematics).(a) Elabore una tabla de valores. Despus trace la grfica del modelo.(b) Use la grfica del inciso (a) para calcular la estatura de un nio de cuatro aos.

Despus calcule la estatura real empleando el modelo.

x14 x 6,H 70.228 5.104x 9.222 ln x,

H

227Ac

log x log8 5x 218 4 ln x 7

ln x 121025

8 e4x 5

3e5x 1325x 125

2 ln x lnx 5 3 ln y4 ln x 4 ln ylog3 13 log3 y

log 7x2

yz3ln 5x6log2 3a

4

log24 68log25 0.9log7 44

f x 1 lnx 6f x lnx 4f x log x 6

4.6 ln e2.log7 70.89

f x 1 e2xf x 6 x2f x 10x

e3.1e71043212.42.79

2,000

4 6 8 10t

y

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

2

(9, 11,277)

Crecimiento exponencial

(0, 2745)

FIGURA PARA 27


Examen acumulativo para los captulos 1-33

Use este examen para repasar el material de captulos anteriores. Cuando termine, silo cree necesario, verifique sus respuestas con las de la parte final del libro.

1. Grafique los puntos y Encuentre las coordenadas del punto medio delsegmento de recta que une los puntos y la distancia entre los puntos.

En los ejercicios 2 a 4 represente en el plano la ecuacin sin emplear graficador.

2. 3. 4.

5. Encuentre una ecuacin de la recta que pasa por y 6. Explique por qu la grfica a la izquierda no representa a como una funcin de

7. Evale (si es posible) la funcin dada por para cada valor.

(a) (b) (c)

8. Compare la grfica de cada funcin con la de (Nota: no es necesario trazarlas grficas).(a) (b) (c)

En los ejercicios 9 y 10 encuentre (a) (b) (c) y (d) Cul es el dominio de

9. 10.

En los ejercicios 11 y 12 encuentre (a) y (b) Determine el dominio de cadafuncin compuesta.

11. 12.

13. Determine si tiene una funcin inversa. Si es as, encuntrela.14. La potencia, , producida por una turbina de viento es proporcional al cubo de la ve-

locidad del viento Una velocidad de 43 kilmetros por hora produce una salida depotencia de 750 kilowatts. Encuentre la salida para una velocidad de 64 kilmetros porhora.

15. Encuentre la funcin cuadrtica que su grfica tiene el vrtice en y pasa porel punto

En los ejercicios 16 a 18 trace la grfica de la funcin sin la ayuda de un graficador.

16. 17. 18.

En los ejercicios 19 a 21 encuentre los ceros de la funcin y escrbala como un pro-ducto de factores lineales.

19.20.21. f x 2x4 11x3 30x2 62x 40

f x x4 4x3 21x2f x x3 2x2 4x 8

gs s2 4s 10f t 14tt 22hx x 2 4x

4, 7.8, 5

S.Phx 5x 2

gx xf x x 2,gx x 6f x 2x2,

g f.f g

gx x2 1f x x 1,gx 4x 1f x x 3,fg?

fgx.fgxf gx,f gx,

gx 3x 2hx 3x 2r x 12 3x

y 3x

f s 2f 2f 6

f x xx 2

x.y3, 8.12, 1

y 4 xy x2 9x 3y 12 0

1, 1.3, 4

2

2

4

2

4

4x

y

FIGURA PARA 6

RASG

OS SO

BRESALIEN

TES

xvi Rasgos sobresalientes del libro

Demostraciones en matemticasAl final de cada captulo se presentandemostraciones de propiedades y teoremasmatemticos importantes, as como un anlisisde varias tcnicas de demostracin.

P.S. resolucin de problemasCada captulo concluye con una coleccinde ejercicios. Estos ejercicios tienen caractersticasinusuales que los apartan de los ejercicios de librostradicionales.

Qu significa la palabra demostracin? En matemticas, la palabra demostracin se

emplea para dar a entender un argumento vlido. Cuando se demuestra un enunciado

o teorema se deben emplear hechos, definiciones y propiedades aceptadas en un orden

lgico. Tambin se pueden emplear teoremas previamente demostrados. Por ejemplo, la

frmula de la distancia se usa en la demostracin de la frmula del punto medio como se

muestra a continuacin. Hay diferentes mtodos de demostracin, los cuales se analizan

en captulos posteriores.

DemostracinEmpleando la figura, debe demostrar que d1= d2 y d1 + d2 = d3.

Mediante la frmula de la distancia se obtiene

Por tanto, se deduce que d1 = d2 y d1 + d2 = d3.

124

Demostraciones en matemticas

La frmula del punto medio (p. 5)El punto medio del segmento de recta que une los puntos (x1, y1) y (x2, y2) est dada

por la frmula del punto medio:

Punto medio F

HIK

x x y y1 2 1 22 2

, .

El plano cartesiano

El plano cartesiano se

nombra as en honor al

matemtico francs Ren

Descartes (1596-1650).

Mientras Descartes observ que

una mosca se pasaba de un lugar

a otro en las tejas de un techo

de forma cuadrada. Dedujo

que la posicin de la mosca se

podra describir si consideraba

una esquina del techo como

referencia. Esto le condujo al

desarrollo del plano cartesiano.

x

( )y

d1

d2d3

(x1, y1)

(x2, y2)

x1 + x22

y1 + y22,

d x xx

xy y y

x x y y

d x x xx

y y y

x x y y

d x x y y

11 2

1

21 2

1

2

2 12

2 12

2 21 2

2

21 2

2

2 12

2 12

3 2 12

2 12

212

212

FH

IK

FH

IK

FH

IK

FH

IK

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1. Como vendedor, usted recibe un salario mensual de 2,000

dlares, ms una comisin de 7% de las ventas. Se le ofrece

un trabajo nuevo a 2,300 dlares por mes, ms una comisin

de 5% sobre las ventas.

(a) Escriba una ecuacin lineal para su salario mensual real,

W1, en trminos de sus ventas mensuales, S.

(b) Escriba una ecuacin lineal para el salario mensual, W2,

de su oferta de trabajo nuevo, en trminos de las ventas

mensuales, S.

(c) Use un graficador para representar en el plano ambas

ecuaciones en la misma ventana de visualizacin. En-

cuentre el punto de interseccin. Qu significa?

(d) Usted considera que puede tener ventas de 20,000 dla-

res al mes. Debe cambiar de trabajo? Explique.

2. Para los nmeros 2 al 9 en un teclado numrico (vea la

figura) elabore dos relaciones: una transformando nmeros

en letras y la otra transformando letras en nmeros. Son

funciones ambas relaciones? Explique.

3. Qu se puede decir acerca de la suma y diferencia de cada

una de las siguientes opciones?

(a) Dos funciones pares. (b) Dos funciones impares.

(c) Una funcin impar y una funcin par.

4. Cada una de las dos funciones siguientes es inversa de ella

misma.

f(x) = x y g(x) = x.Grafique cada funcin y explique por qu esto es cierto.

Grafique otras funciones lineales que sean sus propias in-

versas. Encuentre una frmula general para una familia de

funciones lineales que son sus propias inversas.

5. Demuestre que una funcin de la forma siguiente es par.

y = a2nx2n + a2n2x

2n2 + . . . + a2x2 + a0

6. Un profesional de golf trata de hacer un hoyo en uno, en el

campo de golf a escala, como se muestra fig. 6. Coloca un

plano coordenado sobre el campo. La pelota de golf est en

el punto (2.5, 2) y el hoyo est en el punto (9.5, 2). El pro-

fesional desea rebotar la pelota en la pared lateral del campo

en el punto (x, y). Encuentre las coordenadas del punto (x, y).

Luego escriba una ecuacin para la trayectoria de la pelota.

7. El 11 de abril de 1912, a las 2:00 p.m., el Titanic zarp de

Cobb, Irlanda, en viaje a Nueva York. El 14 de abril, a las

11:40 p.m., choc con un iceberg y se hundi, habiendo

cubierto casi 2,100 millas de las cerca de 3,400 millas del

viaje.

(a) Cul fue la duracin total del recorrido en horas?

(b) Cul fue la velocidad promedio en millas por hora?

(c) Escriba una funcin relacionando la distancia del

Titanic desde Nueva York y el nmero de horas viaja-

das. Encuentre el dominio y rango de la funcin.

(d) Grafique la funcin del inciso (c).

8. Considere la funcin dada por f(x) = x2 + 4x 3. Encuentre la rapidez promedio de cambio de la funcin de x1 a x2.

(a) x1 = 1, x2 = 2 (b) x1 = 1, x2 = 1.5

(c) x1 = 1, x2 = 1.25

(d) x1 = 1, x2 = 1.125

(e) x1 = 1, x2 = 1.0625

(f) Parece aproximarse la rapidez de cambio promedio a

un valor? Si es as, cul es este valor?

(g) Encuentre las ecuaciones de las rectas secantes que pa-

san por los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) para los incisos

del (a) al (e).

(h) Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto

(1, f(1)) empleando su respuesta del inciso (f) como la

pendiente de la recta.

9. Considere las funciones dadas por f(x) = 4x y g(x) = x + 6.

(a) Encuentre ( f q g)(x).(b) Encuentre ( f q g)1(x).(c) Encuentre f 1(x) y g1(x).

(d) Encuentre (g1 q f 1) y compare el resultado con el del inciso (b).

(e) Repita los incisos del (a) al (d) para f(x) = x3 + 1 y

g(x) = 2x.

(f) Escriba dos funciones f y g, uno a uno, y repita los inci-

sos del (a) al (d) para estas funciones.

(g) Establezca una conjetura acerca de (f q g)1(x) y (g1 q f1)(x).

P.S. Resolucin de problemasLa siguiente coleccin de ejercicios propicia y estimula la reflexin y promueve la exploracin y desarrollo de los conceptos aprendidos en este captulo.

125

10. Suponga que usted est en un bote a 2 millas del punto

ms cercano en la costa. Debe viajar al punto Q, 3 millas a

lo largo de la costa y 1 milla tierra adentro (vea la figura).

Usted puede remar a 2 millas por hora y caminar a 4 millas

por hora.

(a) Escriba el tiempo total, T, del viaje como una funcin

de x.

(b) Determine el dominio de la funcin.

(c) Use un graficador para representar grficamente la

funcin. Asegrese de elegir una ventana de visuali-

zacin apropiada.

(d) Use las caractersticas zoom y trace para encontrar el

valor de x que minimiza T.

(e) Escriba un prrafo breve interpretando estos valores.

11. La funcin Heaviside H(x) es ampliamente utilizada en

aplicaciones de la ingeniera (vea la figura). Para imprimir

una copia ms grande de la grfica, visite el sitio en la red

www.mathgraps.com.

Trace la grfica de cada funcin a mano.

(a) H(x) 2 (b) H(x 2) (c) H(x) (d) H(x) (e) (f) H(x 2) + 2

12. Sea

(a) Cules son el dominio y rango de f ?

(b) Encuentre f(f(x)). Cul es el dominio de esta funcin?

(c) Encuentre f( f( f(x))). Es una recta la grfica? Por

qu es recta, o por qu no lo es?

13. Demuestre que la propiedad asociativa es vlida para com-

posiciones de funciones, es decir,

( f q (g q h))(x) = (( f q g) q h)(x).

14. Considere la grfica de la funcin f que se muestra en la

figura. Use esta grfica para representar en el plano cada

funcin. Para imprimir una copia ms grande de la grfica,

visite el sitio en la red www.mathgraphs.com.

(a) f(x + 1) (b) f(x) + 1 (c) 2f(x) (d) f(x) (e) f(x) (f) _ f(x)_ (g) f(_x_)

15. Use las grficas de f y f 1 para completar cada tabla de

valores de funciones.

(a)

(b)

(c)

(d)

126

H x xx

( ) ,,

RST1 00 0

12 H x( )

f xx

( )

11

x31 23 1

23

2

123

y

x

y

222

4

2

4

4 4

2 2 4

4

2

2

4

y

x

f2 2 4

4

2

2

4

y

x

f1

x 4 2 0 4

( f( f 1(x))

x 3 2 0 1

( f + f 1)(x)

x 3 2 0 1

( f f 1)(x)

x 4 3 0 4

_ f 1(x)_

Las funciones juegan un papel importante en la modelizacin de situaciones de la vida real.Mediante una funcin cbica se puede estimar el crecimiento en el nmero de ventas de CDs de msica en Estados Unidos.

1

APLICACIONES SELECCIONADASLas funciones tienen mltiples aplicaciones en la vida real. A continuacin se describe una muestrade las que se estudian en este captulo.

1.1 Coordenadas rectangulares

1.2 Grficas de funciones

1.3 Ecuaciones lineales con dos variables

1.4 Funciones

1.5 Anlisis de grficas de funciones

1.6 Catlogo de funciones bsicas

1.7 Transformaciones de funciones

1.8 lgebra de funciones y composicin de funciones

Funciones y sus grficas

11

AP/

Wid

e W

orl

d P

ho

tos

Anlisis de datos: correo,ejercicio 69, pgina 12.

Estadstica de poblacin,ejercicio 75, pgina 24.

Matrcula universitaria,ejercicio 109, pgina 37.

Costo, ingreso y utilidad,ejercicio 97, pgina 52.

Ventas de msica digital,ejercicio 89, pgina 64.

Mecnica de fluidos,ejercicio 68, pgina 73.

Uso de combustible,ejercicio 67, pgina 82.

Informacin del consumidor,ejercicio 68, pgina 92.

Motores diesel,ejercicio 83, pgina 102.

1.9 Funciones inversas

1.10 Modelizacin matemtica y variacin

El plano cartesianoAs como se pueden representar nmeros reales mediante puntos sobre una rectatambin se pueden representar pares ordenados de nmeros reales mediante puntosen un plano llamado sistema coordenado rectangular o plano cartesiano, deno-minado as en honor del matemtico francs Ren Descartes (1596-1650).

El plano cartesiano se forma usando dos rectas de nmeros reales que se in-tersecan de manera perpendicular, como se muestra en la figura 1.1. La recta nu-mrica horizontal se denomina eje x y la vertical es el eje y. El punto deinterseccin de estos dos ejes es el origen y los dos ejes dividen el plano en cua-tro partes a las que se les llama cuadrantes.

FIGURA 1.1 FIGURA 1.2

Cada punto en el plano corresponde a un par ordenado, , de nmerosreales y llamados coordenadas del punto. La coordenada x representa ladistancia dirigida desde el eje al punto y la coordenada y representa la distan-cia dirigida desde el eje al punto, como se muestra en la figura 1.2.

La notacin denota tanto un punto en el plano como un intervalo abiertosobre la recta numrica real. El contexto le indicar cul es el significado atribuido.

Trazo de puntos en el plano cartesiano

Localice los puntos y

SolucinPara localizar el punto imagine una recta vertical que pasa por , en eleje x y una recta horizontal que pasa por 2, en el eje . La interseccin de estasdos rectas es el punto Los otros cuatro puntos se pueden trazar de mane-ra similar, como se muestra en la figura 1.3.


1, 2.y

1(1, 2)

(2, 3).(1, 2), (3, 4), (0, 0), (3, 0)

x, y

Distancia dirigidadesde el eje xx, y

Distancia dirigidadesde el eje y

x

yy,x

(x, y)

eje x

( , )x y

x

y

Distancia dirigida

Distanciadirigida

eje y

eje x3 2 1 1 3

1

2

3

1

2

3

eje y

Origen

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

2

(Rectanumricavertical)

(Recta num-rica horizontal)

2 Captulo 1 Funciones y sus grficas

Qu debe aprender Localizar puntos en el plano

cartesiano.

Usar la frmula de la distanciapara encontrar la distancia entre dos puntos.

Usar la frmula del punto me-dio de un segmento de recta.

Usar un plano coordenado yfrmulas geomtricas paramodelar y resolver problemasde la vida real.

Por qu debe aprender estoEl plano cartesiano se puedeusar para representar relacionesentre dos variables. Por ejemplo,en el ejercicio 60, pgina 12, unagrfica representa el salario mnimo en Estados Unidos de 1950 a 2004.

Coordenadas rectangulares

Ariel Skelly/Corbis

1.1

1

3

4

12

4

(3, 4)

x4 3 1 32

(3, 0)(0, 0)

( 1, 2)

( 2, 3)

y

41

FIGURA 1.3

Ejemplo 1

Lo importante de un sistema coordenado rectangular es que permite ver re-laciones entre dos variables. No se sobreestima la importancia de la introduccinde las coordenadas en el plano, por Descartes. Hoy en da, sus ideas son de usocomn en cualquier campo relacionado con la ciencia y los negocios.

Dibujo de una grfica de dispersin

En la tabla se muestran, de 1990 a 2003, las cantidades (en millones de dla-res) que se gastaron en equipo de esqu en Estados Unidos, donde representa ela o. Dibuje una grfica de dispersin de los datos. (Fuente: National SportingGoods Association).SolucinPara dibujar una grfica de dispersin de los datos mostrados en la tabla, sim-plemente, represente cada par de valores mediante un par ordenado y di-buje los puntos resultantes, como se muestra en la figura 1.4. Por ejemplo, elprimer par de valores est representado por el par ordenado Obser-ve que el corte en el eje indica que se han omitido los nmeros entre 0 y 1990.

FIGURA 1.4


En el ejemplo 2, pudo haber elegido para representar el a o 1990. Enese caso, el eje horizontal no se hubiera cortado y las marcas sobre el eje se hu-bieran se alado del 1 al 14 (en lugar de 1990 a 2003).

t 1

VERIFICACIN

A o

Dl

ares

(en m

illone

s)

t1991 1995 1999 2003

100200300400500600700800

A

Cantidad gastada en equipo de esqu

t1990, 475.

(t, A)

tA

Seccin 1.1 Coordenadas rectangulares 3

Ao, t Cantidad, A

1990 4751991 5771992 5211993 5691994 6091995 5621996 7071997 7231998 7181999 6482000 4952001 4762002 5272003 464

La grfica de dispersin del ejemplo 2 es una forma de representar los datos demanera grfica. Los datos tambin se pueden representar utilizando una grficade barras o una grfica poligonal. Si tiene acceso a un graficador intente repre-sentar de manera grfica los datos indicados en el ejemplo 2.

Tecnologa

Ejemplo 2

El CD-ROM HM mathSpace y Eduspace,para este texto, contienen fuentesadicionales relacionadas con losconceptos analizados en este captulo.


Teorema de Pitgoras y la frmula de la distanciaEl famoso teorema siguiente se usa con frecuencia en este libro.

Suponga que se quiere determinar la distancia entre dos puntos y, en el plano. Con estos dos puntos se forma un tringulo rectngulo, co-

mo se muestra en la figura 1.6. La longitud del cateto vertical del tringulo esy la longitud del cateto horizontal es Mediante el teorema de

Pitgoras se puede escribir

Este resultado es la Frmula de la distancia entre dos puntos. x2 x12 y2 y12.d x2 x12 y2 y12

d2 x2 x12 y2 y12x2 x1.y2 y1

x2, y2x1, y1d

Frmula de la distanciaLa distancia entre los puntos y del plano es

d x2 x12 y2 y12.

x2, y2 x1, y1d

a

b

c

a b2 2+ = c2

FIGURA 1.5

xx1 x2

x x2 1

y y2 1

y1

y2

d

( , )x y1 2

( , )x y11

( , )x y22

y

FIGURA 1.6

Determinacin de una distancia

Encuentre la distancia entre los puntos y 3, 4.2, 1

Ejemplo 3

Solucin algebraicaSea y Aplicando la frmula de ladistancia se tiene

Frmula de la distancia

Simplifique.

Simplifique.

Use una calculadora.

As, la distancia entre los puntos es, aproximadamente, 5.83 unida-des. Se puede usar el teorema de Pitgoras para verificar que la dis-tancia es correcta.

Teorema de Pitgoras

Sustituya d.

Se comprueba la distancia.

Ahora resuelva los ejercicios 31(a) y (b).VERIFICACIN

34 34

34 2 ? 32 52d2 ? 32 52

5.83

34

52 32 3 22 4 12

d x2 x12 y2 y12

x2, y2 3, 4.x1, y1 2, 1Solucin grficaUse papel cuadriculado en centmetros para tra-zar los puntos y Dibuje el seg-mento Despu s use una regla graduada encentmetros para medir su longitud.

FIGURA 1.7

El segmento mide aproximadamente 5.8 cent-metros, como se muestra en la figura 1.7. As, ladistancia entre los puntos A y B es de casi5.8 unidades.

1

2

3

4

5

6

7

cm

B.AB3, 4.A2, 1

Sustituya x1, y1, x2 y y2.

Teorema de PitgorasPara un tringulo rectngulo con hipotenusa de longitud y catetos de longi-tudes y se tiene como se ve en la figura 1.5 (El recprocotambi n es cierto; es decir, si el tringulo es rectngulo).a2 b2 c2

a2 b2 c2,b,ac


Verificacin de un tringulo rectngulo

Justifique que y son v rtices de un tringulo rectngulo.

SolucinLos tres puntos estn en la figura 1.8. Usando la frmula de la distancia se pue-den encontrar las longitudes de los tres lados, como sigue:

De la igualdad

se concluye, de acuerdo con el teorema de Pitgoras, que el tringulo debe ser untringulo rectngulo.


La frmula del punto medioPara encontrar el punto medio del segmento de recta que une dos puntos en un pla-no coordenado, simplemente, se pueden encontrar los valores promedio de las coor-denadas respectivas de los dos puntos extremos usando la frmula del punto medio.

Para una demostracin de la frmula del punto medio vea Demostraciones en ma-temticas en la pgina 124.

Determinacin del punto medio de un segmento de recta

Halle el punto medio del segmento de recta que une los puntos y

SolucinSean y

Frmula del punto medio

Sustituya

Simplifique.

El punto medio del segmento de recta es como se muestra en la figura 1.9.

Ahora resuelva el ejercicio 31c.VERIFICACIN2, 0,

2, 0

x1, y1, x2 y y2. 5 92 ,3 3

2 Punto medio x1 x22 ,

y1 y22

x2, y2 9, 3.x1, y1 5, 3

9, 3.5, 3

VERIFICACIN

d12 d22 45 5 50 d32

d3 5 42 7 02 1 49 50

d2 4 22 0 12 4 1 5

d1 5 22 7 12 9 36 45

5, 72, 1, 4, 0

x

2 3 5 7

1

2

3

4

5

6

7 (5, 7)

(4, 0)

d1 = d3 =

d2 =

5045

5(2, 1)

y

4 61

FIGURA 1.8

x

6

3

6

6

(9, 3)

(2, 0)

( 5, 3) Punto medio

y

3 3 96

3

FIGURA 1.9

La frmula del punto medioEl punto medio del segmento de recta que une los puntos y est dado por la frmula

Punto medio x1 x22 ,y1 y2

2 .

x2, y2 x1, y1

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Aplicaciones

Determinacin de la longitud de un pase

Durante el tercer cuarto del Tazn del Azcar 2004, el mariscal de campo delequipo de Luisiana State University lanz un pase desde la lnea de la yarda 28 a40 yardas de la lnea lateral. El pase lleg al receptor en la yarda 5, a 20 yardas dela misma lnea lateral, como se ve en la figura 1.10. Qu tan largo fue el pase?SolucinSe puede encontrar la longitud del pase determinando la distancia entre los pun-tos y

Frmula de la distancia.

Sustituya y

Simplifique.

Simplifique.


Por tanto, el pase fue, aproximadamente, 30 yardas de longitud.


En el ejemplo 6 la escala en la lnea de meta, generalmente, no aparece enun campo de ftbol americano. Sin embargo, cuando se emplea geometra coor-denada para resolver problemas de la vida real, se tiene libertad para colocar elsistema coordenado de forma que convenga a la solucin del problema.

Estimacin del ingreso anual

La corporacin FedEx tuvo ingresos anuales de 20,600 millones de dlares en2002 y 24,700 millones de dlares en 2004. Sin saber otra informacin adicio-nal, en cunto estima que fue el ingreso en 2003? (Fuente: FedEx Corp.).SolucinUna solucin para el problema es suponer que el ingreso tuvo un patrn lineal.Con esta suposicin se puede estimar el ingreso en 2003 determinando el puntomedio del segmento de recta que conecta los puntos y

Frmula del punto medio

Sustituya y

Simplifique.

Por tanto, se estimara que el ingreso fue de casi 22,650 millones de dlares, co-mo se muestra en la figura 1.11 (El ingreso real en 2003 fue de 22,500 millonesde dlares).


2003, 22.65

y2.x1, y1, x2, 2002 20042 ,20.6 24.7

2

Punto medio x1 x22 ,y1 y2

2 2004, 24.7.2002, 20.6

VERIFICACIN

30

929

400 529

y2.x1, y1, x2 40 202 28 52d x2 x12 y2 y12

20, 5.40, 28


A o

Ingr

eso

(en m

il millo

nes d

e dla

res)

20212223242526

2002 2003 2004

Ingreso anual de FedEx

Puntomedio

(2002, 20.6)

(2003, 22.65)

(2004, 24.7)

FIGURA 1.11

Distancia (en yardas)

Dist

anci

a (en

yarda

s)

Pase en ftbol americano

5 10 15 20 25 30 35 40

5101520253035

(40, 28)

(20, 5)

FIGURA 1.10

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Traslacin de puntos en el plano

El tringulo de la figura 1.12 tiene v rtices en y Muevael tringulo tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba y determinelos v rtices del tringulo desplazado, como se muestra en la figura 1.13.

FIGURA 1.12 FIGURA 1.13

SolucinPara mover los v rtices tres unidades a la derecha, sume 3 a cada . Para llevarlos v rtices dos unidades hacia arriba, sume 2 a cada .

Punto original Punto trasladado

Ahora resuelva el ejercicio 51.Las figuras proporcionadas en el ejemplo 8, en realidad, no fueron esencia-

les para la solucin. Sin embargo, se recomienda que se desarrolle el hbito deincluir ilustraciones grficas con las soluciones, incluso si no se requieren.

Las frmulas geom tricas siguientes se emplean con frecuencia en este libro.Para su conveniencia, estas frmulas, y otras, se proporcionan en la contraportada.

VERIFICACIN

2 3, 3 2 5, 52, 3

1 3, 4 2 4, 21, 4

1 3, 2 2 2, 41, 2

yx

x2 2 3 5 711 6

4321

5

234

y

x2 2 3 5 711 4 6

45

234

(2, 3)

(1, 4)

( 1, 2)

y

2, 3.1, 2, 1, 4,


Gran parte de las grficas hechaspor computadora, incluyendo estemosaico de un pez de coloresgenerado en una de ellas, consisteen transformaciones de puntos enun plano coordenado. Un tipo detransformacin, la traslacin, seilustra en el ejemplo 8. Otros tiposincluyen reflexiones, rotaciones oalargamientos.

Pau

l Mo

rrel

l

Ejemplo 8

Frmulas para el rea A, el permetro P, la longitud de la circunferencia Cy el volumen VRectngulo Crculo Tringulo Slido rectangular Cilindro Esfera

r

r

h

h

wlh

b

a cr

l

w

P a b cC 2rP 2l 2w

V 43r3V r2hV lwhA 12bhA r

2A lw


ESCRIBIENDO ACERCA DE MATEMTICASAmpliando el ejemplo. En el ejemplo 8 se justific cmo trasladar puntos del planocoordenado. Escriba un prrafo breve describiendo de que manera cada uno de lossiguientes puntos transformados est relacionado con el punto original.

Punto original Punto transformado

x,yx, y

x,yx, y

x, yx, y

Empleando una frmula geomtrica

Una lata cilndrica tiene un volumen de 200 centmetros cbicos y un radio de 4centmetros, como se muestra en la figura 1.14. Encuentre la altura de la lata.

SolucinLa frmula para el volumen del cilindro es Para encontrar la altura dela lata se despeja

Luego, empleando y se determina la altura.

Sustituya V por 200 y r por 4.

Simplifique el denominador.


Como el valor se aproxim por redondeo, la comprobacin no conduce a unaigualdad. Si la solucin es correcta, las expresiones a cada lado del signo igualson, aproximadamente, iguales entre s.

Escriba la ecuacin original.

Sustituya V por 200, r por 4 y h por 3.98.

La solucin es correcta.

Tambin se puede usar el anlisis unitario para saber si la respuesta es razonable.


200 cm316 cm2 3.98 cm

200 200.06

200 ? 423.98

V r2 h

h

3.98

20016

h 200 42

r 4,V 200

h Vr2

h.V r2h.

FIGURA 1.14

Ejemplo 9


Ejercicios1.1 El CD-ROM HM mathSpace y Eduspace para este libro contienen soluciones paso a pasopara los ejercicios impares. Tambin proporcionan ejercicios guiados como ayuda adicional.

En los ejercicios 1 y 2 aproxime las coordenadas de lospuntos.

1. 2.

En los ejercicios 3 a 6 trace los puntos en el plano car-tesiano.

3.4.5.6.

En los ejercicios 7 a 10 encuentre las coordenadas del punto.

7. El punto se localiza tres unidades a la izquierda del eje y cuatro unidades arriba del eje .

8. El punto se localiza ocho unidades debajo del eje y cua-tro unidades a la derecha del eje .

9. El punto se localiza cinco unidades debajo del eje y am-bas coordenadas son iguales.

10. El punto est en el eje y 12 unidades a la izquierda deleje .

En los ejercicios 11 a 20 ubique los cuadrantes en los quese halla el punto (x, y), tal que se satisfagan las condicio-nes.

11. y 12. y13. y 14. y15. 16.17. y 18. y19. 20.

En los ejercicios 21 y 22 dibuje una grfica de dispersincon los datos que se muestran en la tabla.

21. Nmero de tiendas. En la tabla se muestra el nmero detiendas Wal-Mart para cada ao, , de 1996 a 2003.(Fuente: Wal-Mart Stores, Inc.).

x

y

xy < 0xy > 0y < 0x > 0y > 0x < 0

x > 4y < 5y 3x > 2y > 0x 4y < 0x < 0y < 0x > 0

yx

x

yx

x

y

43,323, 4, 34, 3,1, 13,2, 2.55, 6,0.5, 1,3, 8,

1, 12, 4,3, 1,0, 0,1, 40, 5,3, 6,4, 2,

x

AB

C

D2246

2

4

2

4

y

x

A

B C

D

2 4246

2

4

6

2

4

y

CONTROL DE VOCABULARIO

1. Relacione cada trmino con su definicin.(a) Eje (i) Punto de interseccin del eje vertical con el horizontal(b) Eje (ii) Distancia dirigida desde el eje x(c) Origen (iii) Distancia dirigida desde el eje y(d) Cuadrantes (iv) Cuatro regiones del plano coordenado(e) Coordenada (v) Recta horizontal de nmeros reales(f) Coordenada (vi) Recta vertical de nmeros reales

En los ejercicios 2 a 4 complete los espacios vacos.

2. Un par ordenado de nmeros reales se puede representar en un plano, denominado sistema coordenadorectangular o plano ________.

3. El _______________ es el resultado derivado del Teorema de Pitgoras.4. La determinacin de los valores promedio de las coordenadas de los dos puntos extremos de un segmento de recta en un plano

coordenado, tambin se conoce como ________ ________.REVISIN DE TCNICAS PRELIMINARES: Practique y refuerce algunas tcnicas de lgebra tiles para esta seccin enwww.Eduspace.com.

yx

yx

Ao, x Nmero de tiendas, y

1996 3,0541997 3,4061998 3,5991999 3,9852000 4,1892001 4,4142002 4,6882003 4,906


22. Meteorologa. En la tabla siguiente se muestra (en gradosCelsius) el registro de la temperatura menor, y, enDuluth, Minnesota para cada mes donde represen-ta enero. (Fuente: NOAA).

En los ejercicios 23 a 26 determine la distancia entre lospuntos (Nota: en cada caso, los dos puntos se encuentranen la misma recta, horizontal o vertical).

23.24.25.26.

En los ejercicios 27 a 30 (a) determine la longitud de cadalado del tringulo rectngulo y (b) demuestre que estaslongitudes satisfacen el teorema de Pitgoras.

27. 28.

29. 30.

En los ejercicios 31 a 40 (a) grafique los puntos, (b) deter-mine la distancia entre los puntos y (c) determine el puntomedio del segmento de recta que une los puntos.

31. 32.33. 34.35. 36.37.38.39.40.

En los ejercicios 41 y 42 demuestre que los puntos formanlos vrtices del polgono que se indica.

41. Tringulo rectngulo:42. Tringulo issceles:43. Un segmento de recta tiene como un punto extre-

mo y como su punto medio. Determine el otropunto extremo del segmento de recta en trminosde y

44. Use el resultado del ejercicio 43 para encontrar las coorde-nadas del punto extremo de un segmento de recta si las co-ordenadas del otro punto extremo y del punto medio son(a) y (b)

45. Use la frmula del punto medio tres veces para encontrarlos tres puntos que dividen el segmento de recta que une

y en cuatro partes.46. Emplee el resultado del ejercicio 45 para encontrar los

puntos que dividen el segmento de recta que une los pun-tos dados en cuatro partes iguales.(a) (b) .

47. Deportes. Un jugador de ftbol pasa el baln desde unpunto a 18 yardas de la lnea final y a 12 yardas de la lnealateral. El pase lo recibe un compaero que est a 42 yar-das de la lnea final y a 50 yardas de la lnea lateral, comose muestra en la figura. Cul es la longitud del pase?

48. Distancia de vuelo. Un aeroplano vuela en lnea recta deNpoles a Roma, Italia, que se encuentra a 120 kilmetrosal norte y a 150 kilmetros al oeste de Npoles. Cul es ladistancia de vuelo del aeroplano?

Distancia (en yardas)

Dist

anci

a (e

n ya

rdas

)

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

(12, 18)

(50, 42)

2, 3, 0, 01, 2, 4, 1

x2, y2x1, y1

5, 11, 2, 4.1, 2, 4, 1

ym.x1, y1, xm,x2, y2

xm, ymx1, y1

1, 3, 3, 2, 2, 44, 0, 2, 1, 1, 5

16.8, 12.3, 5.6, 4.96.2, 5.4, 3.7, 1.813, 13, 16, 12 12, 1, 52, 43

2, 10, 10, 21, 2, 5, 47, 4, 2, 84, 10, 4, 51, 12, 6, 01, 1, 9, 7

x

(1, 5)

(1, 2)

(5, 2)

62

2

4

y

x

(9, 4)

(9, 1)

(1, 1) 6 8

2

4

6

y

x4 8

8

4

(13, 5)(1, 0)

(13, 0)

y

x1 2 3 4 5

12345 (4, 5)

(4, 2)(0, 2)

y

3, 4, 3, 63, 1, 2, 11, 4, 8, 46, 3, 6, 5

x 1x,

Mes, x Temperatura, y

1 39 C2 39 C3 34 C4 21 C5 8 C6 3 C7 2 C8 0 C9 6 C

10 13 C11 31 C12 37 C


Ventas. En los ejercicios 49 y 50 use la frmula del puntomedio para estimar las ventas de Big Lots, Inc. y Dollar TreeStores, Inc. en 2002, dadas las ventas en 2001 y 2003. Su-ponga que las ventas siguieron un patrn lineal. (Fuente:Big Lots, Inc.; Dollar Tree Stores, Inc.).49. Big Lots

50. Dollar Tree

En los ejercicios 51 a 54 el polgono est desplazado a unanueva posicin en el plano. Encuentre las coordenadas delos vrtices del polgono en su nueva posicin.

51. 52.

53. Coordenadas originales de los vrtices:.

Desplace ocho unidades hacia arriba y cuatro unidades a laderecha.

54. Coordenadas originales de los vrtices:.

Desplace 6 unidades abajo y 10 unidades a la izquierda.Precio al menudeo. Para los ejercicios 55 y 56 emplee lagrfica siguiente, donde se muestra el precio promedio, almenudeo de 1 kilogramo de mantequilla, de 1995 a 2003.(Fuente: U.S. Bureau of Labor Statistics).

55. Aproxime el precio mayor de un kilogramo de mantequi-lla, que se muestra en la grfica. Cundo sucedi esto?

56. Aproxime el cambio porcentual en el precio de la mante-quilla, a partir del precio en 1995, para el precio mayormostrado en la grfica.

Publicidad. Para los ejercicios 57 y 58 use la grfica siguien-te, donde se muestra el costo de un anuncio de 30 segundosen televisin (en miles de dlares), durante el Sper Taznde 1989 a 2003. (Fuente: USA Today Research y CNN).

57. Aproxime en qu porcentaje aument el costo de un anun-cio de 30 segundos del Sper Tazn XXIII en 1989 al S-per Tazn XXXV de 2001.

58. Estime en qu porcentaje aument el costo de un anunciode 30 segundos (a) del Sper Tazn XXIII de 1989 al S-per Tazn XXVII en 1993, (b) del Sper Tazn XXVII en1993 al Sper Tazn XXXVII de 2003.

59. Msica. En la grfica siguiente se muestra la cantidad deartistas de la industria de la grabacin que fueron elegidospara el Saln de la Fama del Rock and Roll, de 1986 a 2004.

(a) Describa una tendencia de los datos. A partir de sta,estime el nmero de artistas para el 2008.

(b) Por qu piensa que el nmero de elegidos en 1986 yen 1987 fue mayor que en otros aos?

Ao

Nm

ero

de e

legi

dos

1987 1989 1991 1993 1995 1997

2

6

10

1999 2001

14

2003

4

8

12

16

Ao

Costo

del

anu

ncio

de T

V d

e30

segu

ndos

(en m

iles d

e dla

res)

600800

10001200140016001800200022002400

1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

1995 1997 1999 2001 2003Ao

Prec

io p

rom

edio

(en d

lares

por k

ilogra

mo)

1.501.752.002.252.502.753.003.253.50

5, 27, 6,3, 6,5, 8,

7, 42, 4,2, 2,7, 2,

x( 3, 0)

( 5, 3)

( 3, 6) ( 1, 3)

3 un

idad

es

6 unidades

31

57

y

x

( 1, 1)

( 2, 4) (2, 3)2 unidades

5 un

idad

es

4

224

y

Ao Ventas (en millones)

2001 3,433 dlares2003 4,174 dlares

Ao Ventas (en millones)

2001 1,987 dlares2003 2,800 dlares


61. Ventas. La compaa Coca-Cola tuvo ventas por 18,546millones de dlares en 1996 y 21,900 millones de dlaresen 2004. Use la frmula del punto medio para estimar lasventas en 1998, 2000 y 2002. Suponga que las ventas siguie-ron un patrn lineal. (Fuente: The Coca-Cola Company).

62. Anlisis de datos: Calificaciones en exmenes. En la ta-bla siguiente se muestran las calificaciones de los exme-nes de admisin de matemticas, x, y las calificaciones delos exmenes finales, , en un curso de lgebra de unamuestra de 10 estudiantes.

(a) Bosqueje una grfica de dispersin de los datos.(b) Halle la calificacin del examen de admisin de un es-

tudiante con 80 puntos en el examen final.(c) Implica una calificacin mayor en el examen de ad-

misin un aumento en el examen final? Explique.63. Volumen de una bola de billar. Una bola de billar tiene vo-

lumen de 98 centmetros cbicos. Encuentre su dimetro.

64. Longitud de un tanque. El dimetro de un tanque ciln-drico de gas propano es de 1.2 metros. El volumen total deltanque es de 17 metros cbicos. Determine su longitud.

65. Geometra. Una seal para que un vehculo se desplace abaja velocidad tiene la forma de un tringulo equiltero. Laseal tiene un permetro de 129 centmetros. Encuentre lalongitud de cada uno de los lados y el rea de la seal.

66. Geometra. El radio de un cono de sealamiento de trnsi-to tiene 14 centmetros y la superficie lateral del cono es de1,617 centmetros cuadrados. Encuentre la altura del cono.

67. Dimensiones de un cuarto. Un cuarto es 1.5 veces mslargo que ancho y su permetro es de 25 metros.(a) Dibuje un diagrama que represente el problema. Iden-

tifique la longitud como y el ancho como (b) Escriba en trminos de y encuentre una ecuacin

para el permetro, en trminos de (c) Encuentre las dimensiones del cuarto.

68. Dimensiones de un recipiente. El ancho de un recipientede base rectangular de almacenamiento

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