o " . J

•

, u o rJ n m yk l l1 Z 1 9no hl11 ch H o ch chu l \ Zury h u

Z a jmuj I~ lówni e ukladaml n I lmlow 'ch l'ówn a IÍ r Ó ZI lCzkov;" , h • c'Zus ,j'owych 11I ' JZ. ' k o \ - r Ja

J -go a r ykul l [(~], 1 rzygow a n a J a p ro' l; l' d e kcj I .

o rÓJk V ' D l rl

h pIta o rej klel I i 11/ 1~~- - r rl

ll šm ' .

\ I I r z 1r1l11l I' I II I ' ,\l1 II llll· '/, II I .. \' h II ,I ' '\'1 .1 hl\l, \ lIr ,

I • II I' ni , t I

III t hu -1111 1I1lll ' "JI \ . '\ I ,\') II I!-> , . .

I • II • I I I

!-.. ľ \"1 I I I • I ,rl 'll

• I'

Z \' I I' I r I r~ • r\1 1\ . (

r , I

Z\\ a: .\I1anzllk . / nl. : kl. Pe O"

" _ ... gor o ro\V ••

NOTbert HUNGERB UHLER

Wpr wadz ni

k\,\ ni t 'ójk ( z w. tl" j k .. ów i n a. ca . .J li

"

ó\' pr k n

r j l"i h o

h kh r zo dawl y il n i i

lu 0' 0 I i . lk . J

;la. zki . zaln w

ci zn n wi 1 l'i h

h ni z r \i\ y 1 li z b .l ]- \\ i Y h rn # 11 i A # li zl v ,

vYla. 111 1 ' 1 w ln

1 I == LA1?in . ')

b == ,\ ( 111 ~ - n -) , .)

== '\lI-+n- )

z 1 kl I ' i cl Zl k k 'ry11 i " 'Z _jl \V .. . ) } " . . 1 1 1 1

1 kóvv r ' jk " i - ' r j ki g , ki r'jl-~t n z\vi 1 pi' II 11 i .' li Tl D( a b ) == 1. J k I W pl' zi", dIa .A == 1 Ol' ,z 'A z '1.. ni

,

1 l'vv. Z

rn 1 1" Zl j ar z J 111y trójk .. pi rw ny, w i c

,1' J j k " " i rw n10zn 'z na' W 1 . '1 .

1 r I j k pi r j }-i i i 1 W I , 1 ' 1 ln r. \\7 J najr' Zl i j . zy 1 u o 'ó\

II ki

z . 1 , . [lJ [2] [ J) , B 1 w'r' ni 1 .rl L li ,Vvi o ', on ] n a.t ,k O Z r ki h Z Ú ' r w ,ni , 1 1 I i j Zl n v j k L V\'. 301'1' II , u tOl'

... y g "dl l i j t · kr i II ,:ar ( 1 : , k ié!:zki Lz! alld L it 7 .'

f lL' i . a ro II [] Zl 1 J ; •

Z 1 zna 1

L -l cl

Zn .1

ru L ni . .) - I i 1 lanyn z , . .J rku: zn zl 1 d a, o 1 k" h 2

. I 11 n

1 Z" rz 21 .

,

lij ..:

, 1'0\ n

i 12, .

Z I i.' k z j . zi 1 1 ik :

37 .

d ku. z 1 rol1 ~11 _ 1 \ r , t . v yn i tn v h b ka

i 1110 -l r 1 Z II 1 z' t r;:, . h .

.rr II zuk 1 wi rz 1 "jka ' \ V pita " . j ki 1 o równ 1 1 h. . 1 1

I r a.i k i 1 vV i 1 h i z i t k i h r ó j 1· r ó j k .t .. "vV i . . j ~i h i 1 i i n i .1,. I Z 1 i wi 1 . ( 'i\ a: wi r ' jki z jl y za . zn

1 oki

jl' b ki r ' j ] -él t ,I \i\' vv ~ zy. t ki 1 t.l',1 jké!t 'w j n j z ni 1 110zn zy ka,l nln i

'1 "] j r'jki I r z p Wlť{ li zb W'l i rnJ. ró ujnl po \\' l' Z\Y L "z ,ni I j . z ,cl 1 ia,

Trójki tlÓjkqtów pitagar j kich a równyIl1 palu

z i i

ZlIJ 1 zn 1 z' I i . \V n II ' \ 1 ln I

zliw' znv ,._ól d bol-a, 1 rów

" . c I 1._ rz \\"1

" h .,' j 1- .. .t ' .

.1 o 1 _ wi 1

0. 1 == 21nn l

Q,,,, = 27111

b ? 1 == 1 - - n~

? O)

Cl = rn- + 7 i .

oJ .... '') == 171,2 + ~. - -

D ,

z .

nI r ' jk . 111ial j dnal-ow pol P p 'owa zi 10 , .

r Vl n 1 1

2) ,) '»)

== ln n 1 ( rn - - 11 1) = 1'n 11:2 1 ,- - 1. :) ,

1 " 1 .

zi 1 ' bi, '"' r II , rz z rn i zl i r j ..: . kl 1 ik: z wi r .j '- s t.rollj ..

)

Pl'Z Z 1 Z ni n 1 - 11 ') # • n a l ,. \Vl

) , ,

zw é}zuJ 11

, '1 • ~ ľ

dIa I

é')

1

\- ' nik j \Vll .

.ni di f

. . ~ . Zll \- la 111 1 1 1 \ 1

111 == - - (n 2 - 4r7'1 - - n: ) . ...

t li z ba lk wi a w "róznik 1 li ·i 1 ' II ln k\\ a r t 1 E N za 1 o zi róV\ no ', '

')

(217 , - -

zn II i . jak t Zll -" .

,Zv. r u nanl II Cl , I 1' Z \\ i

. Z

. \ 1

III

Dla ych, k órzy o równ mu -Ua ni wi-dzél: i ni _ cl C''l wi -dzl é 'szys kl go,

pl'oponujem . d rog~ na skróty. Okreslmy

dwa C'iagl II zb naturaln. h PTI i q" wzorami r k ure ne, J nyl i Po = :"' , qo = 1,

Pn+1 = 7pn + 12qn

qn+l :; 4pn + ~qTl .

atwo wykazaé przez mdukej , z _ dIa

kazde o 11 li zb Pn j S parzy a ? ...,

nlepodzl lna prz z 3 1 ]1;;' - 3q~ = 1 O trzymuj my WI ni skOl') zon~ seľL~

I'OZ 'lé}:Z3n (]ln j'J , (ln ) równanla P Ha (6) dia zcz góln -j war osei o = 1.

'zy lnik z che - p awdzié

z · nl ' konczeni wi I r ÓJek pl n 'o .nych

tróJkC!, ÓW pl agorej klCh o równym Jol u mozna o rzymaé, wykorzys UJ~C oplsan

wyzej clagl PTI 1 qn oraz wyznaczoné}: prz z III rl~ rozWl<!zan ró nania P lla.

.7 nl.: i4

nd

(zoh . np. [7]), i II a ono ni l'v wialn roz\viq,za,nia. (tzn. j._ li zbťt pj rw. z~ o taci 1'n + 1 (l 1 iIo zyn II

n~ tJ- { , ± ln} ) aki 1 liczl ).

g ly nI

Ua ( ,) prow'-'" ....... zi \: .id l'ozwiaz ni rów '-

. . . ~ 00 rOZWlazanla. V\ J O\V

'-

równania (2). loni z I ) 'Vyl il~a i 1?~ i ' . • a,n1 J arzy. 1, Z 111

z a'Ul ku ( ) 711 j t liczl <-.lkowi 4, anlV t • -# 71 2 ( V

. Z nI ľZ Cl \Vllylll

rZYI a ku li zla rn zi lila ~ iťť prz z 3 .

r z zdarza si 1. 'z z li 'n y o . z kania, dt ách trójl-q ÓW w i. to cie zna.l íli'r y tr ... y. la z go'. O ói ró\ n ni (2) ozna za Z Tll i 71'2 é! rózI vlní

pi rv i k n i wi lOlnia.nu trz i go to nia p( » == .' (x - 1 ~)( , + rn) + ~" tz ] i rwi t k e '0 wiel nlÍa.nu. I 1nia zgoclni z twi r z I i 1 \var Ullf' k

(cI a i aj Jlllni ZOll r h: z i j n wi lorrlian \,. po,.., t ci ilo z "1 II ZVI nil-ó\\" liu'o\vy 1 i pra\\dz ny" p'}zy nik 'z x~). oda ni nIn'21?3==-~ #0. \ YI ,ika é!;d z li zl y calkowi -' nI n'j" n3 é! rózn od ±rn (1 ow· n p( ±'111.) -I ) i W odatk II Inaj~ rázn lna uly. Za I trój kčt pi . ar j kj _ Di Ci == 1, 2 3) o boka h 211?ni 1'11'2 - n; oraz 1n 2 + n~ 111ajť{: o. I o I ol P = -1111 I __ n3- I h prz ivvpo. oké! II Ci4 rázl I \vi~ Di ni rzy tajé!c

Znal ZiOI , . J.;:a lna, cjalné!; \~l la no~é: z (7 wy ik i . 'zy jl 1 1 .l

.i cln z liczl " i j .~t. ·zy.t. Latwotez z uv,az " i za naz ni li j ."'t

wi lokr tno' i i 111. I liczba rn j .t pi rw. za to przynajr ni j j " i II

Z tl" jl\. '- ,ó Di j t ,I" j k , ln pi rwo I I 111. Zat 111 rójka Di i == 1. 2 : , j wówcza, I i 1' . o 1 . - OJ n . I. i i ni 1 1a li zl II Ul' ln j, k ór a lzi. lila.bv j dl o Z ' ni ~ dlugo,~ i \. ., tkih , 1 oków znal z' o h trójl- .. óv\'.

~ zy 1110Z i .. z rzy' i dIa. róznych 1n otrzv111an t a1 <- l'ó' k ... ? ie! B v , i , t.yn prz kOll .", z UW ,Zl Y i dolel adni j z iez 1 ni po\vi dZl11y 11 n Cl

1110 ul 'N"iJ- zy od 1171 (rz 1 a. ojrz é 1 ' W kl' '\ i 10111í ,nu p( ')) . T'rójk .. t Dl nla wi,- V\. • Z j t 'ój przypro. tokatnét o najwi<ťk zjl go.~ i _ . .J .'li x i y '- č{

cllu '0,' i I P 'ZY1 ' ok~ n ch Dl to z cl fini Li' 1 ol·óvv i I a.nl· wt cl

alb 111 = -,... . --EN,

2 1 o Tn =

..,-y 2 E

( z I k 'w pod i r\N" ia. tki 111 1 la 'Na t I at lraln q) . Za ~n , trójk \v zna z z 11'1.

1 k i 1 j liz 1 pi l'V\ C'>zej 111 == + 1 o l'ZVl11Uj 1 1 trój k I i r\ Ot.l .. trójk.: ów i a 'Ol' j.Jjch o róvvnych . ola h. II j , aki h rn'. rzypolllnijl11y

wi r z ni · iri hl t : kai y cÍé!:g ary II t CZI k ór g 1'01' I \\ yr zy . é! \vzgl ... l' i rw z zawi ra ni l'o{ z ni vvi I liezb pi Iv' . z cl. I ni j wi G ni ko!' cz ni wi 1 li z pi f\V zy I . ci 1'n = 6 + 1. O. 1 j 1 Y -10 . 1z . o ~e r zwazania. .

Twi rdz ni . J tni j ni k07í ,. on a rod..,in a trój k trójkcti ó t p li agore) "kleh ró ny 11 palach. vV ",cz gólno" i. dla ró':' nych lz c"'b p2 w zych po ta i

171 = T\ + OiT yn1 uj 171y ró~n trójki pi rt otn trójkatóu pztagot j klCh o palu P == rnnl(n + 1), gd "i 11 i I . q naiuralnyn2i rO::L iq -aniarl1l rÓ lLnania

~ ~ ~

171- = n- + 111 + l-.

Uw o l . .

I-i 1 ~ . Ir pi cl . \., ~ ró I ga. I 1 a J W zy. , 'OJ rwo 1

• • . hj trójk p 1, 111 I 1"\'\10 ny s nI .

Cl l == ·0 b - Ol Cl - , 201 - -

a~ == 14 O b'1 = 2 6 o') =.1.4 ~ ~ -

a.3 == h2 b3 == 77 3 == 775.

- o"' tani I jé! Jda. é!:C w wzora h (1) ..\ == O' z (1711 nI) == (,1 O) (77 _ \ 11 ']) == (;). L) (1'n · 11.3) = ( : ). W. póln I ol rój 1- '" ó" to P = 2 20 O. lVIozl a dovi odnié, i za ln . rójk . o 111ni j. zyn pol II j t 01l1ini '- t. Przylrla za. 1 Zl 1 ZiOl Y rz ' uz ci rogr 11U ~Iath .1nati a,

2

1

,

[l J ollm

Lit r tura Th G ntl

, an .

Uath . 'ompan101l. 2 0 . 11 1 o \ 1 .). - .

[')] .J • mliff , ew 1'1 $

ol th JUath . Rpo . 1to1"Y ( -d ·· h . ybourn) , , JI (l 14 ), O.

[3] D ocl son , Ltf and L ett . oJ

[4]

L tmL - 'a 1"0 ll, ew York \ -ntur. 1:'19 .

F - rm a

nnat ' 16 ~O ')20

1"e I J I , '2, 4- , , ; lOphan i 1 X . Al'l h ,

1 Haz wink I , En c ycJ011Q dl oJ math mattCL , r"l uw r c - mK

II IIi h I' OL' o r h t ( . ), L I

. I Ull rbuhl -r. J\Iath . Hag. lL /

1 2-1 ( 1 L Lij),

J . l o rd ll , D10pharzt1l1

ca mic Pl'e , Lonci 1"oc. Edmb ,

'2 ' (1 O 5- ~ ),-- 1 .

quat1.Ofi. • .

) 1 9 -0 .

I ath . ~ o .,

W zór F rlllata

: rroll na.jw r ,Zl i j ni wi zi 1 rz Z I i rl a a. p

V\ [ ]: j ~b '" i t rz iwpr;" 01- " 1 .: a. b i d I rzypl'O, ok~ n r t o ol\.a 1 y 1 II OZl a ·zyn1a. ~ 1 ov. ..

I r I kéttn o 1 i tynl a111y1 olu k l ad~

,

z nl0n 1

li t rójk .: rójk ..t,

~4 + b2d~ b' = ... 4 _ 4b2d2 I i'=

41 (b 2 - · d2 ) 2-(b -d2 2 ... b2 -d •

,

r V\ Z z h ,

o ro\\ 11 1 .

'z z o '\ 1

1 , 1 .

I 1

w Z 'r 7 - 1 I az y , O t ľ Z r

i ok 1 dru ' ; i wyuli li Z alko ~i a zUli I . - r-..

Iójk ~ 'V\ ro.t l é!; 0 1111102 ni w. zy. k ' I

o~ i b k" v vv li z b 1 okó\v

H\:o\\ i . I ó1. j ln k • I" •

Z Y W 1. 1 ... nI Z ' W r ul-u r ~w o.~ . 1

Z ' ni I-tór Z o rz II 1 r ~ l' k ów ni b .. " rzy '" . Z kaú Zll

Hini j zy r k II za al i I 1 z . lnikó,/V .

Zadani . HV

do\\"o ll) 11. -

Ii/,i II k i k t 'j k .: ÓW

• 1

go TI E N i t l i j gol' j ki h o rów

ni skoí zona rodzÍl y h p 1

c

Z ang'Í l ki go pr:: lo ::yl P. ,:'.

'!1M •• •• ZadaIlia

R dag tj" A' ~y toJ OL

ozwazam r funk' o war o' ia h rz z, wi y h . "

okr '1 n na z "o z {- ,1 } H ak ,ór zna a 'z é j ako na zbiór w' rz holków n-"w. miarow j ko .kj [-1.1 ]11 .1a k i o podzbi IU zbioru {I ' , . . , n} fuk j lL A : {- }n - Rcl finiLlj ID, vt/z 'n II A : 1 T2 . . ,. n == TI " 1 ' r zy' muj J i rlJ == 1.

l EA

tl • w rza tz w . uklad \, ... 1 ha. unk j

M 832. clowodnié i dIa B C {I, '_, "" 17} z ho zÍ

. ~ , oz am == u ~B .

• Zl

4 _' - . , .

z r z m r zn ... U B \ ln Bon b' r'w .1-1 i B.

zv"- zai I a tl'. 1 ...

M 833. . , ,

dla kaid j funk ji f: {- , } 1 - R W lll, Z

mozna dobra ' taki rz • Z WI

. 1

. aA Z

f == L. c{ .? ,n} ClAU

o Z '\ i az 1 i n a ut 1. 1 ..

M 834. 1 f: {-I } tl - R z finiujmy f UI k j ~ L f: {- , ,} n - R WZ ' D'YY'I

f '1 '" X n) = ~ (I - 1 " 2 , .. ' ,r n l+

- ~? - • ~ , ..0 . n + ... + f -'1 . .. \ .r n -] - : 11)

11 i a war o' j f t Lf o 1'z. ,uj ,

U'

W ... a i lli h wí rzcholka h k ~

~ ki ). . ,

OWO 1

. LI. - 2 c ·'d . t n

• Zl ard A oz la z r zb

. m II z 10" 1

zwiazar i na. t l'. 16 ...

Uwa a . o z z niki l110zn w korz s aé do ykazani -rgo . ' zno ' i '~ zn go b lq.clz nI 10 ow go I o \ 1 r zcholka ]

11 - W . I11 Jarow J kostkl (o ~ i ni h v i -r z holkó", prz '" hodzin. z p rawdopodobi 1'st\ em ln ).

3

F 467. O lat fiz c~ za tal awiaj 4 . i zy I utr

ma m p zv lkow4. O za o,vaé jaké!- or ty zni II j wi k z 4 m a ~ i mi ' n li t ri 10 í w r a i' ID as

w I ktronowolta h. . .

z 1 j t ,

1Z j 4' i li z a I u trin w

porów '\ walna z li z b<!: fo now romi lliovv_ •. ia relik ,O" .

ma] " lL \'Vi ma ciala konal zarn o atm raŤurz

- -', 4 E. 1\ I 1

tra ja fo Ol ÓW "vyn ... . 11 == (l. ( ~1~) '-\. pól zynniki ID li z bow. nl , k - t :l .:

. Zl U. ==

Bol zmalU a ,o nic h - al... I n k . Prz.,ja' , t ;; \V ... z· h ' \ ia a j '0 t rÓWI a \ pr. 1" niu

, . t . Cl

• j pkr == - 27 kg ma za' ob rw wal

I 3 ' kryt . .

•

J lzi i iokrotI i

I • •• •

Ja nej ma nI J • •

I 1 ]. za . " .

ZWlazanl a ...

F 468. "i w mom a ... zen · a 'w' atla o wi ralnv

o zy '\ i zi prz Z hwil~ pro ty i ia wl ~knc ·

ia 'Ó, k' . O zco'\ ať cza t o pro gdy en .· r . ura

wlókna pa la 1 == K do T2 == 1 00 ~ tj . "~'oJ

ra i y odbi rania w·zelÍ. " zroko\ ' ch. doty Z

za,ró"vki . wók : mo za 'ó ki P == \IV r i II -z kl' ju ""lákn r == 1 . 1 - m ~ to" wolf 'a

p == 19 3 ~~ ... a mol W wolfralTI II == 1 gol'

m' y'I ~é wolf a 1 w poró,'r a 'u z . 1 m do k 1 al

z ar II ID k == o/c , rawo fa a- oltzm

, . . a rTIOWI z ma

, . "

nTYl l rllowaI 1 . J cial o konal zarn o Wl

o kowej pO'\iV' 1'Z hni

. cr' T 4 dzi () == 1 7 · 1 - 8 \ m -21\ - j •

la t fa,na-Boltzmanl a. iepIo ·olow . a l tal .. oki h m w wy

•

J "-1 . ~ m , .

O Wlazanl na .·r. ~

wyno i == 3 t tal4; gazowé1 .

dz' h