US Federal Reserve: 199806pap

8/14/2019 US Federal Reserve: 199806pap

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P r i c i n g t h e S t r a t e g i c V a l u e o f P o i s o n P u t B o n d s

A l e x a n d e r D a v i d

C a p i t a l M a r k e t s S e c t i o n

B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m

N o v e m b e r 1 9 9 7

M a i l i n g A d d r e s s : M a i l S t o p # 9 0 , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , 2 0 t h & C o n s t i t u t i o n A v e . N W , W a s h i n g t o n D . C . 2 0 5 5 1 . P h o n e :

( 2 0 2 ) 4 5 2 - 2 3 3 3 . F a x : ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 5 2 9 6 . E . M a i l ( I n t e r n e t ) : a d a v i d @ f r b . g o v . T h e p a p e r r e p r e s e n t s t h e v i e w s o f t h e a u t h o r a n d

s h o u l d n o t b e i n t e r p r e t e d a s r e e c t i n g t h e v i e w s o f t h e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m o r o t h e r m e m b e r s

o f i t s s t a . I a m g r a t e f u l t o D a v i d B o w m a n , M a r k C a r e y , J e n n i f e r C a r p e n t e r , G r e g D u e e , J o e O s t r o y , M i t c h P o s t , G a r y

T e S e l l e , H a l u k U n a l , a n d C h u n g s h e n g Z h o u f o r h e l p f u l c o n v e r s a t i o n s a n d t h e i r a d v i c e o n t h e i s s u e , t o M i k e P i z z i f o r e x c e l l e n t

r e s e a r c h a s s i s t a n c e , a n d t o M a r k F i s h e r f o r s e v e r a l M a t h e m a t i c a t i p s . I a l s o t h a n k M a r t i n E . W e l c h I I I , S e n i o r V i c e P r e s i d e n t

a n d C h i e f F i n a n c i a l O c e r a t K m a r t f o r p r o v i d i n g s o m e i m p o r t a n t i n f o r m a t i o n a b o u t t h e i r d e a l . A n e a r l y v e r s i o n o f t h e p a p e r

w a s p r e s e n t e d a t t h e S e v e n t h A n n u a l D e r i v a t i v e s S e c u r i t i e s C o n f e r e n c e a t K i n g s t o n , O n t a r i o i n M a y 1 9 9 7 , a n d a t t h e W e s t e r n

F i n a n c e A s s o c i a t i o n M e e t i n g s a t S a n D i e g o , C a l i f o r n i a , i n J u n e 1 9 9 7 .

1



A b s t r a c t

T h e r o l e o f p u t a b l e b o n d s a s a d e f e n s e a g a i n s t t a k e o v e r s a n d a s p r o t e c t i o n f o r i n v e s t o r s a g a i n s t m a r k e t

a n d e v e n t r i s k h a s b e e n a p p r e c i a t e d i n t h e l i t e r a t u r e , b u t t h e t h r e a t e n i n g p o w e r o f p u t b o n d h o l d e r s |

t h e a b i l i t y t o i n d u c e a n a n c i a l c r i s i s | h a s l a r g e l y b e e n i g n o r e d . I n t i m e s o f l o w l i q u i d i t y f o r a r m ,

p u t b o n d h o l d e r s c a n t h r e a t e n t o e i t h e r f o r c e t h e c o m p a n y i n t o a r e o r g a n i z a t i o n o r t o r a i s e i t s b o r r o w i n g

c o s t s . T h i s t h r e a t e n i n g p o w e r i m p l i e s t h a t t h e r e i s a d i e r e n c e b e t w e e n t h e i n t r i n s i c a n d s t r a t e g i c v a l u e

o f t h e o p t i o n . U s i n g r e c e n t r e s u l t s i n b a r g a i n i n g t h e o r y , I s o l v e f o r t h e s t r a t e g i c v a l u e s o f t h e s e o p t i o n s

a t t h e t i m e o f t h e t r i g g e r i n g o f t h e p u t . T h e t h e o r y i s a p p l i c a b l e b o t h t o c a s e s w h e r e t h e b o n d s a r e h e l d

c l o s e l y b y a f e w i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s o r t h e b o n d s a r e w i d e l y h e l d b y s m a l l m a r k e t p a r t i c i p a n t s . I t w i l l

b e s e e n t h a t t h e s t r a t e g i c v a l u e s o f p l a y e r s w i l l d e p e n d o n t h e f o l l o w i n g ` s t a t e ' v a r i a b l e s a t t h e t i m e o f t h e

p u t : ( 1 ) T h e s i z e o f t h e e a c h l e n d e r ' s h o l d i n g o f t h e c o m p a n y ' s d e b t , ( 2 ) T h e s i z e o f t h e ` e e c t i v e l y ' l i q u i d

a s s e t s o f t h e c o m p a n y r e l a t i v e t o t h e a m o u n t o f p u t a b l e d e b t o u t s t a n d i n g , ( 3 ) T h e c o s t s o f b a n k r u p t c y ,

a n d ( 4 ) T h e p r i c e s o f a l l n a n c i a l a s s e t s a t t h e t i m e t h e p u t o p t i o n s a r e t r i g g e r e d . P r i o r t o t h e c r i s i s a l l

n a n c i a l a s s e t s a r e p r i c e d i n a c o n t i n o u s - t i m e f r a m e w o r k w h e n i n t e r e s t r a t e s f o l l o w t h e V a s i c e k p r o c e s s

a n d r m ' s d e b t h o l d e r s a r e s u b j e c t t o a s h a r p p r i c e d e c l i n e d u e t o a n L B O . T h e m o d e l i s c a l i b r a t e d t o

o n e s u c h r e c e n t c r i s i s | t h a t o f K m a r t C o r p .

J E L C l a s s i c a t i o n : G 3 3 , G 1 2

2



1 I n t r o d u c t i o n

P o i s o n p u t b o n d s r s t b e c a m e p o p u l a r i n t h e l a t e 1 9 8 0 s a f t e r a s e r i e s o f l e v e r a g e d b u y o u t t r a n s a c t i o n s

( L B O s ) h a d r e d u c e d t h e v a l u e s o f t a r g e t c o m p a n y ' s d e b t h o l d e r s . T h e y h a v e r e m a i n e d p o p u l a r i n t h e 1 9 9 0 s

w i t h a l a r g e v a l u e o f s u c h b o n d s i s s u e d e v e n b e f o r e a n e w w a v e o f t a k e o v e r a c t i v i t y b e g a n i n 1 9 9 4 . I n v e s t o r s

h u n g r y f o r y i e l d h a v e i n c r e a s e d t h e i r a p p e t i t e f o r s p e c u l a t i v e g r a d e b o n d s , b u t h a v e d e m a n d e d p r o t e c t i o n

a g a i n s t l a r g e d o w n s i d e r i s k s . W e e s t i m a t e t h a t p o i s o n p u t s h a v e a c c o u n t e d f o r a b o u t 1 2 p e r c e n t o f a l l

b o n d s i s s u e d b y U . S . n o n n a n c i a l c o m p a n i e s i n t h e 1 9 9 0 s . W h i l e t h e r o l e s o f p o i s o n p u t s a s a n t i - t a k e o v e r

d e f e n s e s a n d a s p r o v i d i n g i n v e s t o r s p r o t e c t i o n a g a i n s t e v e n t - r i s k ( s e e f o r e x a m p l e , C r a b b e 1 9 9 1 , C o o k a n d

E a s t e r w o o d 1 9 9 4 ) t h e t h r e a t e n i n g p o w e r o f p o i s o n p u t b o n d h o l d e r s | t h e a b i l i t y t o i n d u c e a n a n c i a l c r i s i s

| h a s l a r g e l y b e e n i g n o r e d . I n t i m e s o f l o w l i q u i d i t y f o r t h e r m , p u t b o n d h o l d e r s c a n t h r e a t e n t o e i t h e r

f o r c e t h e c o m p a n y i n t o a r e o r g a n i z a t i o n o r r a i s e i t s b o r r o w i n g c o s t s . T h i s g i v e s t h e i r b o n d s a s t r a t e g i c v a l u e

i n a d d i t i o n t o t h e i n t r i n s i c v a l u e o f t h e o p t i o n s . O n e s u c h n a n c i a l c r i s i s i s d e s c r i b e d n e x t .

I n D e c e m b e r 1 9 9 5 , f o l l o w i n g s e v e r a l q u a r t e r s o f w e a k s a l e s , K m a r t C o r p . c a m e o n t h e b r i n k o f a

b a n k r u p t c y l i n g : T h e i r p r o b l e m s s t e m m e d f r o m t h e p o s s i b l e e x e r c i s e o f $ 5 5 0 m i l l i o n o f p o i s o n p u t b o n d s

o u t s t a n d i n g , w h i c h a l l o w e d h o l d e r s t o s e l l b a c k , o r ` p u t ' t h e n o t e s b a c k t o t h e r e t a i l e r , i f t h e r a t i n g o n t h e

c o m p a n y ' s s e n i o r d e b t { a s d e t e r m i n e d b y e i t h e r S t a n d a r d a n d P o o r ' s o r M o o d y ' s { f e l l b e l o w i n v e s t m e n t

g r a d e . T h e p u t a b l e d e b t w a s h e l d b y t w o s e t s o f i n s t i t u t i o n a l l e n d e r s { b a n k s a n d i n s u r a n c e c o m p a n i e s {

a n d w a s n o t p u b l i c l y t r a d e d . D e s p i t e h a v i n g m o r e t h a n $ 1 b i l l i o n i n c a s h a n d o t h e r m a r k e t a b l e s e c u r i t i e s ,

K m a r t w a s p r o h i b i t e d b y c o v e n a n t s i n i t s b a n k d e b t f r o m a c c e l e r a t i n g p a y m e n t o n m o r e t h a n $ 1 0 0 m i l l i o n

o f t h e p u t a b l e d e b t . E x e r c i s e o f t h e o p t i o n s , t h e r e f o r e , w o u l d f o r c e K m a r t i t i n t o a b a n k r u p t c y l i n g . I n

D e c e m b e r , t h e r e t a i l e r ' s d e b t w a s r a t e d t w o n o t c h e s a b o v e j u n k s t a t u s a t ` B B B ' b y S t a n d a r d a n d P o o r ' s a n d

` B a a 2 ' b y M o o d y ' s . K m a r t r e a c h e d a s e t t l e m e n t w i t h t h e l e n d e r s , o e r i n g i n s u r a n c e c o m p a n i e s t h a t h e l d

t h e p u t a b l e b o n d s a l u m p s u m t o s u r r e n d e r t h e i r o p t i o n s . W h i l e t h e s e t t l e m e n t a m o u n t i s u n k n o w n , i t w a s

r u m o r e d i n c e r t a i n p r e s s r e p o r t s t h a t a t o t a l o f $ 9 8 m i l l i o n w a s p a i d t o p u t a b l e b o n d h o l d e r s a n d t h a t a n

i n s u r a n c e c o m p a n y w a s o e r e d v e t i m e s a s m u c h p e r d o l l a r a s b a n k s h o l d i n g s i m i l a r b o n d s .

1

T h e s e t t l e m e n t

w a s a c c e p t e d b y b o n d h o l d e r s a n d K m a r t ' s s h a r e s s o a r e d 2 7 p e r c e n t f o l l o w i n g t h e r e t a i l e r ' s a g r e e m e n t w i t h

h o l d e r s .

S e v e r a l m a r k e t i m p e r f e c t i o n s i n h e r e n t i n t h e o p t i o n s t r a n s a c t i o n i m p l y t h a t t h e r e i s d i e r e n c e

b e t w e e n t h e i n t r i n s i c a n d t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e o p t i o n . T h e f o r m e r i s t h e p r e s e n t d i s c o u n t e d v a l u e

u n d e r a n e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e . T h e l a t t e r r e s u l t s d u e t o b o n d h o l d e r s h a v i n g s o m e t h r e a t e n i n g

p o w e r o n t h e r m i n a t i m e o f n a n c i a l c r i s i s . T h e s t r a t e g i c v a l u e s p a i d i n i n f o r m a l b a r g a i n i n g s i t u a t i o n s

t o c r e d i t o r s a r e d e t e r m i n e d t h r o u g h b a r g a i n i n g b e t w e e n t h e r m a n d t h e p u t a b l e b o n d h o l d e r s . S o m e o f t h e

m a r k e t i m p e r f e c t i o n s a r e : ( i ) t h e b o n d s a r e n o t p u b l i c l y t r a d e d , ( i i ) o n e l a r g e b o n d h o l d e r h e l d a f t h o f t h e

f a c e v a l u e o u t s t a n d i n g a n d s e v e r a l ( 1 5 - 2 0 ) s m a l l e r b o n d h o l d e r s h e l d t h e r e m a i n d e r , ( i i i ) t h e r m i s l i q u i d i t y

1

B l o o m b e r g F i n a n c i a l S e r v i c e , N o v e m b e r 1 5 t h 1 9 9 5 . \ K m a r t S e e n O e r i n g L u m p P a y m e n t t o R e m o v e P u t O p t i o n . "

3



c o n s t r a i n e d a n d i s p r o h i b i t e d b y c o v e n a n t s t o r e n a n c e t h e p u t d e b t c o s t l e s s l y a n d ( i v ) t h e r e a r e d i r e c t ( a n d

p e r h a p s i n d i r e c t ) c o s t s o f b a n k r u p t c y .

T h e v a l u e o f d i e r e n t b o n d h o l d e r s o p t i o n s i n s u c h s i t u a t i o n s d e p e n d s o n t h e i r b a r g a i n i n g p o s i t i o n s .

U s i n g r e c e n t r e s u l t s i n N - p e r s o n m u l t i l a t e r a l b a r g a i n i n g t h e o r y ( H a r t a n d M a s - C o l e l l ( 1 9 9 6 ) ) , I s o l v e f o r t h e

s t r a t e g i c v a l u e s o f t h e s e o p t i o n s . T h e s o l u t i o n o f t h e n o n - c o o p e r a t i v e g a m e c o i n c i d e s w i t h a c o o p e r a t i v e

g a m e t h e o r y c o n c e p t | t h e S h a p l e y V a l u e | a n d a s s i g n s a s t r a t e g i c v a l u e t o e a c h p l a y e r e q u a l t o h i s

e x p e c t e d m a r g i n a l v a l u e . T h e e x p e c t a t i o n i s w i t h r e s p e c t t o t h e u n i f o r m m e a s u r e o v e r a l l c o a l i t i o n s t h a t c a n

p o t e n t i a l l y b e f o r m e d . I n t h e m o d e l d e s c r i b e d , t h e ` p r o b a b i l i t y ' o f e a c h b o n d h o l d e r b e i n g i n a t h r e a t e n i n g

c o a l i t i o n i s s h o w n t o b e a f u n c t i o n o f t h e e e c t i v e l i q u i d i t y - t o - p u t a b l e d e b t r a t i o o f t h e r m . I t i s s h o w n

t h a t t h e s t r a t e g i c v a l u e s o f d i e r e n t s i z e d b o n d h o l d e r s a r e d i e r e n t a n d d i e r s i g n i c a n t l y f r o m t h e i n t r i n s i c

v a l u e s o f t h e s e o p t i o n s . E v e n w h e n t h e n u m b e r o f b o n d h o l d e r s i n c r e a s e s t o i n n i t y , t h e t w o v a l u e s w i l l n o t

c o i n c i d e f o r a n e e c t i v e l i q u i d i t y - t o - p u t a b l e d e b t r a t i o l e s s t h a n o n e . I t w i l l b e s e e n t h a t t h e s t r a t e g i c v a l u e s

o f p l a y e r s w i l l d e p e n d o n t h e f o l l o w i n g v a r i a b l e s a t t h e t i m e o f n e g o t i a t i o n s : ( 1 ) T h e s i z e o f t h e e a c h l e n d e r ' s

h o l d i n g o f t h e c o m p a n y ' s d e b t , ( 2 ) T h e s i z e o f t h e ` e e c t i v e l y ' l i q u i d a s s e t s o f t h e c o m p a n y r e l a t i v e t o t h e

a m o u n t o f p u t a b l e d e b t o u t s t a n d i n g , ( 3 ) T h e e x p e c t e d c o s t s o f b a n k r u p t c y , a n d ( 4 ) T h e v a l u e o f n o n p u t a b l e

b o n d s a n d e q u i t y .

P r i o r t o t h e c r i s i s , w e f o r m u l a t e t h e p r i c e s o f a l l n a n c i a l a s s e t s i n a f r i c t i o n l e s s f r a m e w o r k ( n o

l i q u i d i t y p r o b l e m s ) . I t i s a s s u m e d t h a t i n t e r e s t r a t e s f o l l o w t h e V a s i c e k ( 1 9 7 7 ) p r o c e s s a n d t h a t t h e r m l e s

f o r b a n k r u p t c y ( d e f a u l t s ) w h e n t h e v a l u e o f i t s a s s e t s h i t s a l o w e r b o u n d . T h e d e f a u l t b o u n d a r y d e p e n d s

o n t h e f a c e v a l u e o f a l l d e b t s o u t s t a n d i n g a n d e x o g e n o u s l y g i v e n r e c o v e r y r a t e s o f e a c h c l a s s o f l i a b i l i t i e s .

T h e r m i s s u b j e c t t o a n L B O , w h i c h r a i s e s t h e a m o u n t o f i t s j u n i o r d e b t a n d h e n c e l e a d s t o a n i n c r e a s e

i n t h e d e f a u l t b o u n d a r y . T h e r e f o r e , e v e n t h o u g h t h e a s s e t p r o c e s s i s c o n t i n u o u s , t h e p r i c e s o f b o n d s a r e

s u b j e c t t o s h a r p d e c r e a s e s i n t h e e v e n t o f a n L B O . W e w i l l n o t e t h a t s u c h a m o d e l i s c o n s i s t e n t w i t h t h e

o b s e r v e d h i g h s p r e a d s f o r b o n d s w i t h s h o r t m a t u r i t i e s . W e t h e n c a l c u l a t e r a t i n g b o u n d a r i e s f o r t h e a s s e t

v a l u e a t w h i c h t h e p o i s o n p u t s c a n b e e x e r c i s e d ; a t t h e s e b o u n d a r i e s t h e p r o b a b i l i t i e s o f d e f a u l t m a t c h t h e

d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s f o r t h e p u t - t r i g g e r i n g r a t i n g ( f o r e x a m p l e , B a i n t h e c a s e o f K m a r t ) f o r b o n d s r a t e d b y

M o o d y ' s . T h e v a l u e s o f t h e p o i s o n p u t s p r i o r t o t h e c r i s i s , a r e t h e s o l u t i o n o f a p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n

w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( a t t h e r a t i n g b o u n d a r i e s ) d e t e r m i n e d b y t h e b a r g a i n i n g s o l u t i o n a s d i s c u s s e d

a b o v e .

T h e v i o l a t i o n o f a b s o l u t e p r i o r i t y i n d e b t c o n t r a c t s ( s e e f o r e x a m p l e F r a n k s a n d T o r o u s 1 9 8 9 ) i s

a n i n d i c a t o r o f s t r a t e g i c b e h a v i o r a m o n g v a r i o u s c r e d i t o r s o f t h e r m i n a n d b e f o r e b a n k r u p t c y . S e v e r a l

r e c e n t p a p e r s h a v e m o d e l e d t h e s t r a t e g i c b e h a v i o r a n d i t s i m p a c t o n b o n d v a l u a t i o n . I n A n d e r s o n a n d

S u n d a r e s a n ( 1 9 9 6 ) a n d i n M e l l a - B e r r a l a n d P e r r a u d i n ( 1 9 9 7 ) t h e r m i s a b l e t o m a k e t a k e - i t - o r - l e a v e - i t

o e r s t o b o n d h o l d e r s a t t h e t i m e c o u p o n s a n d p r i n c i p a l i s d u e . T h e y s h o w t h a t i f t h e r m i s u n c o n c e r n e d

a b o u t r e p u t a t i o n a l c o n c e r n s i n t h e i r a b i l i t y t o i s s u e f u t u r e d e b t , t h e n i t s o e r s a s t r a t e g i c d e b t s e r v i c e , w h i c h

i n m a n y s i t u a t i o n s i s s m a l l e r t h a n t h e p r o m i s e d s u m s . W e s h a l l a b s t r a c t f r o m s u c h b e h a v i o r b y b o r r o w e r s b y

4



a s s u m i n g t h a t r m s m u s t o e r b o n d s p e r i o d i c a l l y a n d d o n o t w a n t t o h a r m t h e i r r e p u t a t i o n s . I n a d d i t i o n ,

w e m o d e l m u l t i l a t e r a l b a r g a i n i n g w i t h a l t e r n a t i n g o e r s , a f r a m e w o r k i n w h i c h t h e r s t - m o v e r a d v a n t a g e i s

s m a l l w h e n t h e p l a y e r s a r e p a t i e n t ( o r t h e c o s t s o f d e l a y a r e s m a l l ) . A i v a z i a n a n d C a l l e n ( 1 9 8 3 ) p r o p o s e d t h e

S h a p l e y V a l u e a s t h e s o l u t i o n t o t h e b a r g a i n i n g p r o b l e m b e t w e e n s h a r e h o l d e r s a n d b o n d h o l d e r s ; B e r g m a n

a n d C a l l e n ( 1 9 9 1 ) u s e d t h e a l t e r n a t i n g o e r s f r a m e w o r k o f R u b i n s t e i n ( 1 9 8 2 ) a s t h e s o l u t i o n . B o t h p a p e r s

a s s u m e t h a t b o n d h o l d e r s b a r g a i n j o i n t l y a s a g r o u p w i t h s h a r e h o l d e r s i n a 2 - p e r s o n g a m e . B e c a u s e o n e o n

o u r g o a l s i s t o s t u d y t h e r e l a t i v e s t r a t e g i c v a l u e o f l a r g e a n d s m a l l c r e d i t o r s w e f o r m u l a t e a n N - p e r s o n g a m e .

T h e b a r g a i n i n g s o l u t i o n c o i n c i d e s w i t h t h e S h a p l e y v a l u e , b u t w e p o i n t t o a n e x p l i c i t n o n - c o o p e r a t i v e g a m e

w i t h a l t e r n a t i n g o e r s t h a t h a s t h e S h a p l e y V a l u e a s i t s u n i q u e s o l u t i o n . I n a d d i t i o n , w e p r i c e s t r a t e g i c

v a l u e o f b o n d h o l d e r s i n a n e n v i r o n m e n t w i t h s t o c h a s t i c i n t e r e s t r a t e s . D u n n a n d S p a t t ( 1 9 8 4 ) r e p o r t a n d

p r i c e s t r a t e g i c v a l u e i n t h e s i n k i n g f u n d b o n d m a r k e t ; h o a r d e r s a t t e m p t t o c o r n e r t h e m a r k e t f o r t h e r m ' s

b o n d s , s o t h a t r e p u r c h a s e s f r o m t h e o p e n m a r k e t a r e u n a v a i l a b l e . T h e y t h e n d e m a n d p a y m e n t s g r e a t e r t h a n

f a c e v a l u e f r o m t h e r m .

T h e p l a n f o r t h e p a p e r i s a s f o l l o w s : G e n e r a l C h a r a c t e r i s t i c s o f t h e P u t B o n d M a r k e t a r e i n

S e c t i o n 2 . I n S e c t i o n 3 , n o n p u t a b l e b o n d s a r e p r i c e d i n a f r i c t i o n l e s s f r a m e w o r k i n w h i c h t h e t a r g e t r m ' s

d e b t i s s u b j e c t t o a s h a r p p r i c e d e c l i n e d u e t o a n L B O . I n S e c t i o n 4 , t h e c a p i t a l s t r u c t u r e o f t h e r m w i t h

p o i s o n p u t s i s d e s c r i b e d , a n d t h e f r i c t i o n l e s s s t r u c t u r e i s a d j u s t e d t o i n c o r p o r a t e t h e t i m i n g a n d r u l e s o f t h e

b a r g a i n i n g g a m e t h a t a r i s e s w h e n c o v e n a n t s i n p o i s o n p u t s a r e v i o l a t e d . I n S e c t i o n 5 , i n t r i n s i c a n d s t r a t e g i c

v a l u e s f o r p o i s o n p u t o p t i o n s a r e d e n e d . S t r a t e g i c v a l u e s a r e s o l v e d f o r w h e n t h e p u t a b l e d e b t i s d i v i d e d

e q u a l l y a m o n g a n a r b i t r a r y n u m b e r o f b o n d h o l d e r s i n S e c t i o n 6 , a n d w h e n o n e l a r g e b o n d h o l d e r h o l d s a

s i g n i c a n t a m o u n t o f t h e d e b t i n S e c t i o n 7 . T h e m o d e l i s c a l i b r a t e d t o K m a r t ' s s i t u a t i o n i n S e c t i o n 8 . T h e

p r i c i n g o f t w o d i e r e n t v a r i a n t s o f p o i s o n p u t s a t t h e t i m e o f i s s u a n c e i s i n S e c t i o n 9 . T h e c o n c l u s i o n a n d

s o m e i m p l i c a t i o n s a r e i n S e c t i o n 1 0 .

2 A c q u i s i t i o n A c t i v i t y a n d t h e P o i s o n P u t B o n d M a r k e t

A f t e r a r e l a t i v e l y q u i e t p e r i o d i n t h e e a r l y 1 9 9 0 s , a n e w w a v e o f m e r g e r a c t i v i t y i n t h e n o n n a n c i a l s e c t o r

b e g a n i n 1 9 9 4 , a n d h a s b e e n g r o w n i n s t r e n g t h s i n c e t h e n . B o l s t e r e d b y t h e p u r c h a s e o f s m a l l c o m p a n i e s ,

t h e n u m b e r o f d e a l s c o m p l e t e d h a s i n c r e a s e d s t e a d i l y o v e r t h e p a s t 1 2 y e a r s . H o w e v e r , t h e a g g r e g a t e v a l u e

o f t a r g e t s a c q u i r e d d i s p l a y s t w o d i s t i n c t w a v e s ( F i g u r e 2 , t o p p a n e l s ) ; t h e a g g r e g a t e v a l u e o f t a r g e t s a c q u i r e d

w a s a b o u t $ 1 3 0 b i l l i o n p e r y e a r i n 1 9 8 4 - 1 9 8 9 , s a n k t o a b o u t $ 5 0 b i l l i o n i n 1 9 9 0 - 1 9 9 3 , a n d h a s b e e n a b o u t

$ 2 2 0 b i l l i o n f r o m 1 9 9 4 - 1 9 9 7 .

T h e r e a r e s o m e m a j o r d i e r e n c e s i n t h e a c q u i s i t i o n s c o n s u m m a t e d i n t h e t w o w a v e s . I n t h e w a v e o f

t h e 1 9 8 0 s c a s h w a s t h e d o m i n a n t m o d e o f n a n c i n g t h e p u r c h a s e t a r g e t s , m o s t l y n a n c e d b y a l a r g e i n c r e a s e

i n a c q u i r e r s ' d e b t s . I n t h e c u r r e n t w a v e , m o r e t h a n h a l f t h e c o n s i d e r a t i o n o e r e d t o t a r g e t s ' s h a r e h o l d e r s

h a s b e e n i n t h e s t o c k o f t h e a c q u i r e r . T h i s f e a t u r e i s d i s p l a y e d i n t h e t o p r i g h t p a n e l o f F i g u r e 2 : t h e

5



d a r k p o r t i o n i n t h e t o p r i g h t p a n e l r e p r e s e n t s t h e e q u i t y o f t h e t a r g e t c o m p a n y r e t i r e d a s a r e s u l t o f t h e

a c q u i s i t i o n ; t h e r e m a i n d e r o f t h e d e a l v a l u e w a s p a i d i n t h e s t o c k o f t h e a c q u i r e r . D e a l s i n w h i c h t h e s t o c k o f

p u b l i c c o m p a n i e s w a s p u r c h a s e d b y l e v e r a g e d b u y o u t r m s a n d p r i v a t e i n v e s t o r g r o u p s | c l a s s i e d a s L B O s

| w e r e a n i m p o r t a n t p h e n o m e n o n i n t h e 1 9 8 0 s , a c c o u n t i n g f o r 3 0 p e r c e n t o f t h e d e a l v a l u e ( F i g u r e 2 m i d d l e

p a n e l s ) . I n c o n t r a s t , t h e i r r o l e i n t h e c u r r e n t w a v e h a s b e e n a l m o s t n e g l i g i b l e . T h e a c a d e m i c l i t e r a t u r e h a s

i d e n t i e d t w o i m p o r t a n t m o t i v a t i o n s f o r l e v e r a g e d b u y o u t s a n d h o s t i l e a c q u i s i t i o n s : r e d u c i n g i n c e n t i v e a n d

a g e n c y c o s t p r o b l e m s b e t w e e n m a n a g e m e n t a n d s h a r e h o l d e r s , a n d i m p r o v i n g t h e o p e r a t i n g p e r f o r m a n c e o f

t h e t a r g e t s , o f t e n t h r o u g h e x t e n s i v e a s s e t s a l e s . T h e s m a l l e r s h a r e o f s u c h d e a l s i n t h e c u r r e n t m e r g e r w a v e i s

i n l i n e w i t h t h e v i e w t h a t n o n n a n c i a l c o r p o r a t i o n s h a v e g e n e r a l l y b e e n o p e r a t i n g m o r e e c i e n t l y , a n d t h a t

s h a r e h o l d e r s g a i n s i n t h e b u l l m a r k e t h a v e b e e n a t o r a b o v e e x p e c t a t i o n s . C o n c o m i t a n t l y , t h e p e r c e n t a g e o f

d e a l s c l a s s i e d a s h o s t i l e h a s d r o p p e d s h a r p l y f r o m a l m o s t 3 0 p e r c e n t i n t h e 1 9 8 0 s t o l e s s t h a n 8 p e r c e n t i n

t h e c u r r e n t w a v e a n d t h e p e r c e n t a g e o f i n t r a - i n d u s t r y d e a l s h a s r i s e n s u b s t a n t i a l l y f r o m a b o u t 4 1 p e r c e n t t o

6 6 p e r c e n t . T h e l a r g e r p e r c e n t a g e i n t h e c u r r e n t w a v e r e e c t s b o t h t h e s m a l l e r r o l e o f n a n c i a l b u y e r s a n d

t h e g r e a t e r n u m b e r o f s t r a t e g i c c o m b i n a t i o n s a m o n g r m s i n t h e s a m e o r r e l a t e d b u s i n e s s e s .

D e s p i t e t h e l a r g e n u m b e r o f f r i e n d l y s t o c k m e r g e r s i n t h e 1 9 9 0 s , a l m o s t $ 1 0 0 b i l l i o n o f n o n n a n c i a l

e q u i t y h a s b e e n r e t i r e d f r o m c a s h d e a l s e a c h y e a r s i n c e 1 9 9 4 . T h e d e b t s o f s e v e r a l o f t h e r m s i n v o l v e d i n

d e a l s w i t h s i g n i c a n t e q u i t y r e t i r e m e n t s h a v e b e e n d o w n g r a d e d b y t h e r a t i n g a g e n c i e s . W h i l e t h e n u m b e r

o f L B O s c o m p l e t e d r e c e n t l y h a s b e e n s m a l l , f u n d s r a i s e d b y n o n - v e n t u r e p r i v a t e e q u i t y i n v e s t o r s | w h i c h

i n c l u d e s p e c i a l i s t L B O r m s | h a v e c o n t i n u e d t o g r o w r a p i d l y : s u c h f u n d s d r e w i n a b o u t $ 5 0 b i l l i o n i n

1 9 9 5 a n d 1 9 9 6 , a n d i n c r e a s e d t h a t t o t a l b y a n o t h e r $ 2 0 b i l l i o n i n t h e r s t h a l f o f 1 9 9 7 ( F i g u r e 2 , b o t t o m

l e f t p a n e l ) . A m o r e c o m p l e t e d i s c u s s i o n o f t h e s e f u n d s c a n b e o b t a i n e d i n F e n n , L i a n g a n d P r o w s e ( 1 9 9 7 ) .

P r e s s r e p o r t s i n d i c a t e t h a t a t l e a s t f o u r l a r g e r m s d r e w i n f u n d s i n t h e $ 3 - 6 b i l l i o n r a n g e i n t h e r s t h a l f o f

1 9 9 7 . S e v e r a l p r a c t i t i o n e r s h a v e n o t e d t h a t b u y o u t r m s w i l l l i k e l y m a k e s u b s t a n t i a l p u r c h a s e s i n t h e e v e n t

o f a s i g n i c a n t m a r k e t c o r r e c t i o n . T h e e n h a n c e d a c q u i s i t i o n a c t i v i t y a m o n g n o n n a n c i a l r m s w i t h c r e d i t

q u a l i t y i m p l i c a t i o n s , a n d t h e i m p e n d i n g t h r e a t o f a l e v e r a g e d b u y o u t h a s p r o m p t e d r o b u s t i s s u a n c e o f p o i s o n

p u t b o n d s i n t h e 1 9 9 0 s ( F i g u r e 2 , b o t t o m r i g h t p a n e l ) . C u m u l a t i v e l y , a b o u t $ 1 4 1 b i l l i o n o f p o i s o n p u t b o n d s

h a v e b e e n i s s u e d s i n c e 1 9 9 1 , w i t h t h e m e d i a n i s s u e r i s s u i n g a f a c e v a l u e o f a b o u t $ 2 5 0 m i l l i o n . D a t a f r o m t h e

F l o w o f F u n d s a t t h e F e d e r a l R e s e r v e B o a r d i n d i c a t e s t h a t U . S . n o n n a n c i a l c o r p o r a t i o n s h a v e c u m u l a t i v e l y

i s s u e d a b o u t $ 1 , 1 0 0 b i l l i o n o f b o n d s i n t h e s a m e p e r i o d ; t h e r e f o r e , p o i s o n p u t s h a v e a c c o u n t e d f o r o v e r 1 2

p e r c e n t o f a l l n o n n a n c i a l i s s u a n c e i n t h e 1 9 9 0 s . A s s e e n i n t h e g u r e , m o s t o f t h e v o l u m e h a s b e e n f r o m

s p e c u l a t i v e g r a d e i s s u e r s .

P o i s o n p u t b o n d s w e r e i n i t i a l l y d e s i g n e d t o m a k e r m s l e s s a t t r a c t i v e a s t a k e o v e r t a r g e t s ( b y

i n c r e a s i n g t h e i m m e d i a t e n a n c i n g n e e d s o f p r o s p e c t i v e a c q u i r e r s ) a n d t h u s p r o v i d e a n a d d i t i o n a l m e c h a n i s m

f o r s t r e n g t h e n i n g m a n a g e r i a l r e s i s t a n c e t o h o s t i l e b i d s . T h e i r p o p u l a r i t y i n c r e a s e d r a p i d l y i n t h e l a t e 1 9 8 0 ' s

a f t e r l e v e r a g e d b u y o u t s l o w e r e d t h e c r e d i t q u a l i t y o f m a n y r m s a n d t h r e a t e n e d t h e l i q u i d i t y o f c o r p o r a t e

b o n d m a r k e t s . I n r e s p o n s e t o i n v e s t o r s d e m a n d f o r p r o t e c t i o n a g a i n s t ` e v e n t - r i s k ' , t h e s e p u t s g a v e h o l d e r s

6



r i g h t s t o s e l l t h e i r b o n d s b a c k t o t h e i s s u e r a t p a r i n t h e e v e n t o f a l e v e r a g e d r e s t r u c t u r i n g a n d s u b s e q u e n t

d o w n g r a d i n g . I n i t i a l l y , m o s t p u t s w e r e e x e r c i s a b l e i f t h e r e w a s t h e t h r e a t o f a h o s t i l e t a k e o v e r . S i n c e m o s t

t a r g e t s a g r e e d t o t u r n ` f r i e n d l y ' j u s t p r i o r t o t h e a c q u i s i t i o n b u t s t i l l e x p e r i e n c e d a d e c l i n e i n t h e i r c r e d i t

q u a l i t y , i t b e c a m e c o m m o n t o m a k e t h e b o n d s e x e r c i s a b l e u p o n a n y c h a n g e i n o w n e r s h i p o r r e c a p i t a l i z a t i o n

a n d a ` l a r g e ' d o w n g r a d i n g o f t h e d e b t b y e i t h e r S t a n d a r d a n d P o o r ' s o r M o o d y ' s ( s e e f o r e x a m p l e , W r i n k l e r

1 9 8 8 , W e b e r m a n 1 9 8 8 ) . N a s h , N e t t e r a n d P o u l s e n ( 1 9 9 7 ) r e p o r t c h a r a c t e r i s i c s o f p o i s o n p u t s i s s u e d i n 1 9 8 9 .

C o n d i t i o n s ( n o n - m u t u a l l y e x c l u s i v e ) t h a t c o u l d t r i g g e r t h e p o i s o n p u t i n c l u d e d t h e f o l l o w i n g c o n t i g i n c i e s :

t h e c o m p a n y m e r g e s w i t h a n o t h e r c o m p a n y ( a b o u t 6 7 % ) , a n i n d i v i d u a l b e c o m e s a b e n e t i a l o w n e r o f m o r e

t h a n a c e r t a i n p e r c e n t o f s t o c k ( 8 2 % ) , a c h a n g e i n m a j o r i t y o f t h e b o a r d o f d i r e c t o r s ( 4 2 % ) o r a s a l e o f a l l o r

s u b s t a n t i a l l y a l l a s s e t s ( 2 2 % ) . I n a t h i r d o f t h e p o i s o n p u t s , t h e d e b t h a d t o b e d o w n g r a d e d i n a d d i t o n t o

o n e o f t h e t r i g g e r s m e n t i o n e d . C r a b b e ( 1 9 9 1 ) e s t i m a t e d t h a t t h e p r o t e c t i o n t h e s e b o n d s p r o v i d e d i n v e s t o r s

a g a i n s t ` e v e n t r i s k ' i n t h e l a t e 1 9 8 0 ' s r e d u c e d y i e l d s b y a b o u t 3 0 b a s i s p o i n t s i n t h e s e c o n d a r y m a r k e t . T h e

n u m b e r o f c o n t i g e n c i e s c o v e r e d i n c r e a s e d i n s u b s e q u e n t c o n t r a c t s , o f t e n l e a d i n g t o e x t e n d e d l e g a l b a t t l e s

b e f o r e a n e e c t i v e e x e r c i s e o f t h e p u t s . I n t h e 1 9 9 0 s , p o i s o n p u t b o n d s e v o l v e d ( s u c h a s t h a t o f K m a r t

C o r p . ) t h a t w e r e e x e r c i s a b l e j u s t o n a r a t i n g c h a n g e a l o n e , t h u s p r o t e c t i n g t h e b o n d h o l d e r s f r o m d e c l i n e s i n

c r e d i t q u a l i t y i r r e s p e c t i v e o f t h e c a u s e .

3 P r i c i n g N o n - P u t a b l e B o n d s

W e s h a l l s o l v e b o n d p r i c e s f o r a r m w i t h p r o t e c t e d d e b t o u t s t a n d i n g . T h e b a s i c s t r u c t u r e o f t h e m o d e l

i s a s i n B l a c k a n d C o x ( 1 9 7 6 ) , L o n g s t a a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 6 ) , a n d B r i y s a n d d e V a r e n n e ( 1 9 9 7 ) .

2

I n t h i s

s e c t i o n , t h e r m d e f a u l t s o n l y w h e n t h e v a l u e o f i t s a s s e t s h i t s a n e x o g e n o u s l y s p e c i e d d e f a u l t b o u n d a r y

( d i s c u s s e d b e l o w ) . L a t e r w e w i l l a d j u s t t h e f r a m e w o r k t o p r i c e b o n d s w h e n t h e c o m p a n y m a y b e f o r c e d i n t o

a r e o r g a n i z a t i o n b e f o r e i t s v a l u e h i t s t h e d e f a u l t b o u n d a r y b y t h e e x e r c i s e o f o u t s t a n d i n g p u t a b l e b o n d s .

A s s u m p t i o n 1

F o l l o w i n g V a s i c e k ( 1 9 7 7 ) , t h e d y n a m i c s o f f r

t

g u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q a r e

d r

t

= ( r

t

) d t +

r

d z

1 t

; ( 1 )

w h e r e , , a n d

r

a r e c o n s t a n t s a n d f z

1 t

g i s a S t a n d a r d B r o w n i a n M o t i o n p r o c e s s . V a s i c e k s h o w s t h a t t h e

d y n a m i c s o f r e t u r n o f t h e d e f a u l t - f r e e z e r o c o u p o n b o n d P ( r

t

; T ) m a t u r i n g a t t i m e T a r e g i v e n a t t i m e t

u n d e r Q b y

d P ( r ; t ; T )

P ( r ; t ; T )

= r

t

d t

P

( t ; T ) d z

1 t

; ( 2 )

2

S e v e r a l o t h e r p a p e r s w i t h s i m i l a r s t r u c t u r e s h a v e b e e n w r i t t e n . W e d o n o t a t t e m p t a n e x h a u s t i v e s u r v e y o f t h e p r i c i n g

l i t e r a t u r e . N o t a b l y , p a p e r s s u c h a s B r e n n a n a n d S c h w a r t z ( 1 9 8 4 ) , B r e n n a n , D e t e m p l e a n d K a l a y ( 1 9 8 9 ) , L e l a n d ( 1 9 9 4 ) , L e l a n d

a n d T o f t ( 1 9 9 6 ) a n d M e r t o n ( 1 9 7 4 ) h a v e p r o v i d e d a l t e r n a t i v e c o n d i t i o n s t r i g g e r i n g d e f a u l t .

7



w h e r e

P

( t ; T ) i s a d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n o f t i m e g i v e n b y

P

( t ; T ) =

r

( 1 e x p ( ( T t ) ) ) : ( 3 )

T h e v a l u e o f t h e d i s c o u n t b o n d i s g i v e n b y

P ( r

t

; T ) = e x p

1

( 1 e x p ( ( T t ) ) ) ( R ( 1 ) r ) ( T t ) R ( 1 )

e x p

2

r

4

3

( 1 e x p ( ( T t ) ) )

2

; t T ( 4 )

w h e r e R ( 1 ) = +

r

m

r

1

2

2

r

2

, a n d m

r

i s t h e m a r k e t p r i c e o f i n t e r e s t r a t e r i s k , a s s u m e d t o b e a c o n s t a n t .


U n d e r Q , t h e v a l u e o f t h e r m ' s a s s e t s f o l l o w s t h e p r o c e s s

d V

t

V

t

= r

t

d t +

V

d z

1 t

+

p

1

2

d z

2 t

; ( 5 )

w h e r e f z

2 t

g i s a l s o a S t a n d a r d B r o w n i a n M o t i o n p r o c e s s , i n d e p e n d e n t o f f z

1 t

g . T h e i n s t a n t a n e o u s c o r r e l a t i o n

b e t w e e n

d V

t

V

t

a n d d r

t

i s .


T h e r m ' s a s s e t p r o c e s s f V

t

g i s i n d e p e n d e n t o f t h e c a p i t a l s t r u c t u r e o f t h e r m . T h i s i s t h e s t a n d a r d

a s s u m p t i o n t h a t t h e M o d i g l i a n i - M i l l e r T h e o r e m h o l d s . T h e a s s u m p t i o n a l s o i m p l i e s t h a t c h a n g e s i n c a p i t a l

s t r u c t u r e , s u c h a s p a y m e n t s o f c o u p o n s a n d p r i n c i p a l , h a v e n o e e c t o n f V

t

g .


T h e r e i s s e n i o r a n d j u n i o r d i s c o u n t d e b t o f B a n d D o u t s t a n d i n g r e s p e c t i v e l y ; a t t h e t i m e o f i s s u a n c e , t i m e

0 , e a c h d o l l a r o f d e b t p r o m i s e s a n a l p a y m e n t o f f

S

a t m a t u r i t y i f t h e r m i s s o l v e n t , w h e r e f

S

= e

y

S

T

,

f o r S = B ; D . T h e c r e d i t o r o w n i n g t h e s e d e b t s a r e p r o t e c t e d u p t o f r a c t i o n s 0

S

1 o f t h e p r o m i s e d

p a y m e n t a t m a t u r i t y t h r o u g h m i n i m u m n e t w o r t h r e q u i r e m e n t s : t h e c r e d i t o r s f o r c e t h e r m i n t o l i n g f o r

a r e o r g a n i z a t i o n w h e n i t s v a l u e a t t i m e t h i t s t h e t i m e - v a r y i n g d e f a u l t b o u n d a r y

t

. I f t h e r m d e f a u l t s a t

t i m e t , t h e b o n d h o l d e r s r e c e i v e

S

f

S

P ( r

t

; t ; T ) i n r i s k l e s s s e c u r i t i e s t h a t m a t u r e a t T , t o a v a l u e o f

S

f

S

.

I n a d d i t i o n , e q u i t y h o l d e r s c a n e x t r a c t a f r a c t i o n

E

o f t h e v a l u e o f t h e r m n e t o f a n y b a n k r u p t c y c o s t s .

W e a s s u m e t h a t b a n k r u p t c y c o s t s a r e a f r a c t i o n o f t h e v a l u e o f t h e r m . T h e d e f a u l t b o u n d a r y ,

t

, i s

g i v e n b y

t

=

1

( 1 ) ( 1

E

)

[

B

f

B

B +

D

f

D

D ] P ( r

t

; t ; T ) P ( r

t

; T ) : ( 6 )

D u e t o t h e r a n d o m n e s s o f i n t e r e s t r a t e s , t h e d e f a u l t b o u n d a r y i s s t o c h a s t i c . I n t h i s p a p e r w e d o n o t m a k e t h e

i m p o r t a n t d i s t i n c t i o n b e t w e e n d e f a u l t a n d l i n g f o r a r e o r g a n i z a t i o n o f l i a b i l i t i e s . T h e p r o t e c t e d f r a c t i o n s o f

8



t h e d e b t s a n d t h e f r a c t i o n o f t h e v a l u e e x t r a c t e d b y e q u i t y h o l d e r s i s d e t e r m i n e d b y a b a r g a i n i n g p r o c e s s i n

b a n k r u p t c y , w h i c h i s d e t e r m i n e d b y a v e r y c o m p l e x s e t o f r u l e s ( c f . , f o r i n s t a n c e , F r a n k s a n d T o r o u s 1 9 8 9 ) .

T h e f r a c t i o n s m a y b e c h o s e n t o b e c o n s i s t e n t w i t h r u l e s o f a b s o l u t e p r i o r i t y , a l t h o u g h t h i s i s n o t e s s e n t i a l .

3

I f

t h e r m l e s f o r b a n k r u p t c y p r i o r t o h i t t i n g t h e d e f a u l t b o u n d a r y ( i t s v a l u e i s h i g h e r t h a n t h a t g o v e r n e d b y

m i n i m u m n e w w o r t h ) , t h e n a l l c l a i m s a r e p a i d i n o r d e r o f a b s o l u t e p r i o r i t y . T h e v a l u e s o f d i e r e n t s e c u r i t i e s

i n b a n k r u p t c y i s a v e r y i m p o r t a n t t o p i c f o r f u t u r e r e s e a r c h .


A L e v e r a g e d B u y o u t ( L B O ) o e r f o r t h e r m a r r i v e s w i t h a n e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n w i t h p a r a m e t e r .

T h e d e n s i t y o f a n L B O a t t i m e t i s g i v e n b y : f ( t j ) = e x p ( t ) .

4

T h e L B O a r r i v a l p r o c e s s i s s t a t i s t i c a l l y

i n d e p e n d e n t o f d z

1

a n d d z

2

. I n t h e l e v e r a g e d b u y o u t , t h e j u n i o r d e b t o f t h e r m i s i n c r e a s e d b y a f r a c t i o n

> 1 . T h i s w i l l c a u s e a n i n c r e a s e i n t h e t h r e s h o l d d e f a u l t b o u n d a r y t o

L

t

g i v e n b y

L

t

=

1

( 1 ) ( 1

E

)

[

B

f

B

B +

D

f

D

D ] P ( r

t

; T )

L

P ( r

t

; T ) : ( 7 )

B y A s s u m p t i o n 3 , t h e L B O w i l l n o t a e c t t h e v a l u e o f t h e r m ' s a s s e t s , t h e r e f o r e , t h e p r o b a b i l i t y o f a r m

l i n g f o r b a n k r u p t c y w i l l i n c r e a s e a f t e r t h e t r a n s a c t i o n . T h e L B O r a i s e s t h e d e b t - t o - e q u i t y r a t i o o f t h e

r m . T h e L B O w i l l b e c o n s u m m a t e d o n l y i f t h e v a l u e o f t h e r m ' s a s s e t s a t t h e t i m e o f t h e L B O a r r i v a l

e x c e e d s

L

t

, t h e p o s t - L B O d e f a u l t b o u n d a r y . T h e s u d d e n p o s s i b i l i t y o f a d e f a u l t g i v e s t h e m o d e l s o m e o f t h e

p r o p e r t i e s o f t h e ` r e d u c e d ' f o r m a p p r o a c h o f b o n d p r i c i n g ( c . f . , f o r i n s t a n c e M a d a n a n d U n a l 1 9 9 4 , D u e

a n d S i n g l e t o n 1 9 9 5 ) .


W e s h a l l a s s u m e t h a t i f t h e v a l u e o f t h e r m s ' a s s e t s a t m a t u r i t y i s l e s s t h a n t h e f a c e v a l u e o f t h e d e b t , t h e

r m w i l l b e a b l e t o r a i s e a d d i t i o n a l d e b t , a s l o n g a s i t s v a l u e e x c e e d s t h e t h r e s h o l d d e f a u l t b a r r i e r . U n d e r

t h i s a s s u m p t i o n , t h e r m w i l l n o t d e f a u l t o n i t s d e b t a t m a t u r i t y a s a s s u m e d i n B r i y s a n d d e V a r e n n e ( 1 9 9 7 ) .

T h e a s s u m p t i o n w i l l a l s o h o l d f o r a n y c o u p o n p a y m e n t s m a d e a t d i s c r e t e i n t e r v a l s . T h e r e f o r e , w e a r e a l s o

a s s u m i n g t h e r e a r e n o ` o w ' b a n k r u p t c y p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h c o u p o n p a y m e n t s a s i n A n d e r s o n a n d

S u n d a r e s a n ( 1 9 9 6 ) .

F o l l o w i n g t h e l i t e r a t u r e ( c f . , f o r i n s t a n c e , L o n g s t a a n d S c h w a r t z 1 9 9 6 , B r i y s a n d d e V a r e n n e 1 9 9 7 ,

Z h o u 1 9 9 7 ) , w e w i l l u s e t h e F e y n m a n - K a c T h e o r e m ( c f . , f o r i n s t a n c e , D u e 1 9 9 2 ) t o p r i c e t h e n o n - p u t a b l e

p a r t o f t h e b o n d s .

D e n e t h e p r o c e s s f q

t

g = f l n

V

t

t

g , w h e r e f

t

g f o l l o w s ( 6 ) . P r i o r t o a n L B O , w h e n q

t

h i t s

z e r o , t h e r m d e f a u l t s . A f t e r a n L B O o e r a r r i v e s , i t w i l l e i t h e r b e c o n s u m m a t e d o r i t w i l l b e p a s s e d u p .

3

W i t h a b s o l u t e p r i o r i t y ,

B

f

B

B P ( r

t

; T ) = m i n f ( 1 ) V

t

; B e

y

B

t

g ,

D

f

D

D P ( r

t

; T ) = m i n f ( 1 ) V

t

B

f

B

B P ( r

t

; T ) ; D e

y

D

t

g , a n d

E

( 1 ) V = ( 1 ) V

t

B

f

B

B P ( r

t

; T )

D

f

D

D P ( r

t

; T )

4

T h e e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n i s f r e q u e n t l y u s e d b y s t a t i s t i c i a n s t o r e p r e s e n t t h e d i s t r i b u t i o n o f t i m e t h a t e l a p s e s b e f o r e t h e

o c c u r r e n c e o f s o m e ` r a r e ' e v e n t . I f t h e e v e n t s b e i n g c o n s i d e r e d o c c u r i n a c c o r d a n c e w i t h a P o i s s o n p r o c e s s , t h e n t h e w a i t i n g

t i m e u n t i l a n e v e n t o c c u r s a n d p e r i o d o f t i m e b e t w e e n a n y t w o s u c c e s s i v e e v e n t s w i l l h a v e a n e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n ( c f . , f o r

i n s t a n c e , D e g r o o t 1 9 8 5 ) .

9



I n t h e f o r m e r c a s e , t h e r m d e f a u l t s w h e n q

t

h i t s l n ( l ) , w h e r e l : =

B

B +

D

D

B

B +

D

D

. I n t h e l a t t e r c a s e , t h e

d e f a u l t b o u n d a r y d o e s n o t c h a n g e , a n d t h e r m w i l l d e f a u l t w h e n q

t

h i t s z e r o . T h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y

o f d e f a u l t f o r a g i v e n a s s e t v a l u e V

t

w i l l b e d i e r e n t f o r e a c h o f t h e t h r e e s i t u a t i o n s d e s c r i b e d ; w e w i l l i n d e x

t h e s i t u a t i o n b y K ; K = P , f o r t h e c a s e b e f o r e t h e L B O a r r i v a l , K = L , a f t e r t h e c o m p l e t i o n o f a n L B O ,

a n d , K = U , i f t h e L B O o e r a r r i v e s b u t i s n o t c o n s u m m a t e d .

L e m m a 1 U n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e Q , t h e p r o c e s s f q

t

g i s a d i u s i o n p r o c e s s w i t h d r i f t

1

2

2

( t ) a n d

v o l a t i l i t y ( t ) , w h e r e

2

( t ) = (

V

+

P

( t ; T ) )

2

+ ( 1

2

)

2

v

0 t T ( 8 )

w h e r e

P

( t ; T ) i s g i v e n i n ( 3 ) . L e t

t

1

; t

2

=

R

t

2

t

1

2

( t ) d t . T h e p r o b a b i l i t y o f h i t t i n g z e r o u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l

m e a s u r e Q c o n d i t i o n a l o n q

t

1

= x , ( q

t

; t ; T ) , i s g i v e n b y

( q

t

; t

1

; t

2

) = N

x +

1

2

t

1

; t

2

p

t

1

; t

2

!

e

x

N

x

1

2

t

1

; t

2

p

t

1

; t

2

!

( 9 )

T h e d e n s i t y o f t h e h i t t i n g t i m e c o n d i t i o n a l o n q

t

1

= x i s g i v e n b y

0

( q

t

; t

1

; t

2

) = x ( ( t

2

)

2

( t

2

t

1

)

3

)

1

2

n

x

1

2

t

1

; t

2

p

t

1

; t

2

!

: ( 1 0 )

T h e t r a n s i t i o n d e n s i t y o f f q

t

g a b s o r b e d a t z e r o i s g i v e n b y

P r o b

q

t

2

= y j q

t

1

= x ; m i n

0 s t

2

q

s

> 0

: = p

a

( x ; y ; t

1

; t

2

) = n

y x +

1

2

t

1

; t

2

p

t

1

; t

2

!

e

x

n

y + x +

1

2

t

1

; t

2

p

t

1

; t

2

!

( 1 1 )

N ( ) a n d n ( ) a r e t h e c . d . f . a n d t h e d e n s i t y o f a s t a n d a r d n o r m a l r a n d o m v a r i a b l e ,

t

1

; t

2

i s c o m p u t e d i n ( 8 ) ,

a n d P ( r

t

; T ) , t h e p r i c e o f a r i s k l e s s d i s c o u n t b o n d , i s a s i n ( 4 ) .

P r o o f . ( 1 ) , ( 2 ) , ( 5 ) a n d ( 6 ) t o g e t h e r i m p l y t h a t

d V

t

V

t

d

t

t

=

V

d z

1 t

+

p

1

2

d z

2 t

+

P

( t ; T ) d z

1 t

:

N o w a p p l y i n g I t o ' s L e m m a t o t h e p r o c e s s f l n

V

t

t

g , i m p l i e s t h e d i s t r i b u t i o n a s s t a t e d a n d t h e v a r i a n c e a s i n

( 8 ) . L e t

q ; 0

b e t h e r s t t i m e f q

t

g h i t s 0 | t h e a s s e t v a l u e h i t s t h e d e f a u l t b o u n d a r y . N o w s t a n d a r d r e s u l t s

o n h i t t i n g t i m e s a n d t h e T i m e C h a n g e t h e o r e m ( t o c o n v e r t p r o b a b i l i t i e s w i t h t i m e t t o t i m e ( t ) ) i m p l y ( 9 ) ,

( 1 0 ) , a n d ( 1 1 ) ( f o r c o m p l e t e l y a n a l o g o u s r e s u l t s , s e e B r i y s a n d d e V a r e n n e 1 9 9 7 ) . F o r f u r t h e r l i t e r a t u r e o n

h i t t i n g t i m e s s e e H a r r i s o n ( 1 9 8 5 ) .

W e n e x t c h a r a c t e r i z e p r i c e s o f b o n d s a f t e r t h e a r r i v a l o f t h e L B O o e r . T h e p r i c e s n a t u r a l l y

d e p e n d o n w h e t h e r o r n o t t h e L B O w a s c o n s u m m a t e d .

1 0



L e m m a 2 I f t h e L B O i s n o t c o n s u m m a t e d , t h e n t h e p r i c e o f a n o n - p u t a b l e b o n d o f s e n i o r i t y S m a t u r i n g a t

T a t t i m e t , e q u a l s

P

U

S

( V

t

;

t

;

L

t

; r

t

; t ; T ) = P ( r

t

; T )

1 +

U

( V

t

;

t

; t ; T ) (

S

1 )

f

S

; ( 1 2 )

f o r S = B ; D , w h e r e

U

( V

t

;

t

; t ; T ) = (

V

t

t

; t ; T ) i s d e n e d i n ( 9 ) . I f t h e L B O i s c o n s u m m a t e d , t h e n t h e

p r i c e o f a n o n - p u t a b l e b o n d o f s e n i o r i t y S m a t u r i n g a t T a t t i m e t , e q u a l s

P

L

S

( V

t

;

t

;

L

t

; r

t

; t ; T ) = P ( r

t

; T )

1 +

L

( V

t

;

L

t

; t ; T ) (

S

1 )

f

S

; ( 1 3 )

f o r S = B ; D , w h e r e

L

( V

t

;

L

t

; t ; T ) = (

V

t

L

t

; t ; T ) i s d e n e d i n ( 9 ) .

P r o o f . T h e F e y n m a n - K a c s o l u t i o n ( c . f . , f o r i n s t a n c e , D u e 1 9 9 2 ) i m p l i e s t h a t

P

D

= E

Q

"

e x p (

Z

T

0

r

s

d s ) [ 1

f

q 0

T g

D

+ 1

f

q 0

> T g

1 ]

#

;

I f t h e L B O i s n o t c o n s u m m a t e d , t h e n t h e d e f a u l t b o u n d a r y i s

t

a n d t h e r e f o r e , t h e p r o b a b i l i t y o f d e -

f a u l t i s

U

( V

t

;

t

; t ; T ) = (

V

t

t

; t ; T ) w h e r e (

V

t

t

; t ; T ) i s p r o v i d e d i n L e m m a 1 . T a k i n g e x p e c t a t i o n s , u s i n g

U

( V

t

;

t

; t ; T ) a s t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t i m p l i e s ( 1 2 ) . S i m i l a r l y , i f t h e L B O i s c o n s u m m a t e d , t h e n t h e

d e f a u l t b o u n d a r y i n c r e a s e s t o

L

t

. D e n e t h e p r o c e s s f q

L

t

g = f

V

t

L

t

g ; c o n d i t i o n a l o n q

L

t

, t h e p r o c e s s h a s t h e

s a m e l a w a s f q

t

g , i m p l y i n g t h a t

L

( V

t

;

t

; t ; T ) = (

V

t

L

t

; t ; T ) . A g a i n t a k i n g e x p e c t a t i o n s i m p l i e s ( 1 3 ) .

W e n e x t c h a r a c t e r i z e t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t w h e n t h e r e i s a p o t e n t i a l L B O t h r e a t t o t h e r m .

L e m m a 3 B e f o r e t h e a r r i v a l o f a n L B O o e r t h e p r i c e o f a n o n - p u t a b l e b o n d o f s e n i o r i t y S , m a t u r i n g a t

T , a t t i m e t , e q u a l s

P

P

S

( V

t

; r

t

;

t

;

L

t

; t ; T ) = f

B

P ( r

t

; T ) [ 1 +

P

(

V

t

t

;

L

t

; t ; T ) (

S

1 ) ] ; ( 1 4 )

w h e r e

P

( q

t

;

L

t

; t ; T ) , t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t b y T u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e Q , i s w r i t t e n

a s t h e s u m o f t h e p r o b a b i l i t i e s o f f o u r m u t u a l l y e x c l u s i v e e v e n t s A ; B ; C ; D w h o s e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t i e s

a r e

A

( q

t

;

L

t

; t ; T ) =

Z

T

t

[ e x p ( s ) ( q

t

; t ; s ) ] d s ; ( 1 5 )

B

( q

t

;

L

t

; t ; T ) =

Z

T

t

Z

l n l

0

[ e x p ( s ) p

a

( q

t

; y ; t ; s ) ( y ; s ; T ) ] d y d t ; ( 1 6 )

C

( q

t

;

L

t

; t ; T ) =

Z

T

t

Z

1

l n l

[ e x p ( s ) p

a

( q

t

; y ; t ; s ) ( y l n ( l ) ; s ; T ) ] d y d t ; a n d , ( 1 7 )

D

( q

t

;

L

t

; t ; T ) = e x p ( ( T t ) ) ( q

t

; t ; T ) ; ( 1 8 )

1 1



w h e r e ( q

t

; t ; s ) i s g i v e n i n ( 9 ) , p

a

( q

t

; y ; t ; s ) a s g i v e n i n ( 1 1 ) a n d l : =

B

B +

D

D

B

B +

D

D

.

T h e p r o o f i s i n t h e a p p e n d i x . T h e p r o b a b i l i t i e s a b o v e i n v o l v e i n t e g r a t i n g t h e c . d . f . o f t h e N o r -

m a l d i s t r i b u t i o n | f o r w h i c h t h e r e i s n o c l o s e d - f o r m ; n e v e r t h e l e s s , t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n i s c o m p l e t e l y

s t r a i g h t f o r w a r d a n d c a n b e p e r f o r m e d i n a n e g l i g i b l e a m o u n t o f t i m e o n a m o d e r n c o m p u t e r . W e i l l u s t r a t e

t h e L e m m a w i t h s o m e s a m p l e p a t h s t h a t l e a d t o d e f a u l t s o f T y p e A , B a n d C i n F i g u r e 3 . L e m m a s 3 a n d

2 c h a r a c t e r i z e t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t b e f o r e a n d a f t e r a n L B O . R a t i n g s s e t b y c r e d i t r a t i n g a g e n c i e s ,

a s s o c i a t e r a t i n g s w i t h p r o b a b i l i t i e s o f d e f a u l t , t h e r e f o r e t h e p r o b a b i l i t i e s c a l c u l a t e d a r e s u c i e n t f o r t h e

r a t i n g .

W e n o w p r o v i d e a c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e c o s t s o f b a n k r u p t c y u p t o p e r i o d T : s i n c e b a n k r u p t c y

c o s t s a r e a x e d p r o p o r t i o n o f t h e v a l u e o f t h e r m a t b a n k r u p t c y , a n d t h e r m d e f a u l t s w h e n i t s v a l u e h i t s

t

b e f o r e a n L B O o r

L

t

a f t e r t h e L B O , t h e e x p e c t e d c o s t s o f b a n k r u p t c y u p t o p e r i o d T , c a n b e e v a l u a t e d

b y t h e s a m e f o r m u l a s a b o v e f o r p r i c i n g b o n d s .

L e m m a 4 L e t t h e v a l u e o f t h e r m b e V

t

, t h e n e x p e c t e d b a n k r u p t c y c o s t s u p t o p e r i o d T , d i s c o u n t e d t o t ,

a r e g i v e n b y B

K

( V

t

; r

t

;

t

;

L

t

; t ; T ) P ( r

t

; t ; T ) i n s i t u a t i o n K , w h e r e

B

P

( V

t

; r

t

;

t

;

L

t

; t ; T ) =

[

P

(

V

t

t

; t ; T )

C

(

V

t

t

; t ; T ) ] +

C

(

V

t

t

; t ; T )

L

( 1 9 )

p r i o r t o t h e a r r i v a l o f a n L B O o e r , t o

B

L

( V

t

; r

t

;

t

;

L

t

; t ; T ) =

(

V

t

L

t

; t ; T )

L

( 2 0 )

a f t e r a s u c c e s s f u l L B O t r a n s a c t i o n , a n d b y

B

U

( V

t

; r

t

;

t

;

L

t

; t ; T ) = (

V

t

; t ; T ) ; ( 2 1 )

a f t e r a n u n s u c c e s s f u l L B O t r a n s a c t i o n , w h e r e (

V

t

t

; t ; T ) a n d

P

(

V

t

t

; t ; T ) a r e g i v e n i n L e m m a s 2 a n d 3

r e s p e c t i v e l y .

P r o o f . T h e d e f a u l t b o u n d a r i e s b e f o r e a n d a f t e r t h e L B O o e r a r r i v a l a s g i v e n i n ( 6 ) a n d ( 7 ) r e s p e c t i v e l y .

B e f o r e t h e L B O o e r a r r i v a l , t h e t r a n s i t i o n d e n s i t y f u n c t i o n f o r t h e f q

t

g f

V

t

t

g p r o c e s s i s

P

( q

t

;

L

t

; t ; T ) .

T h e c o s t s a r e h i g h e r f o r d e f a u l t s o f T y p e C ( s e e L e m m a 3 ) . T a k i n g e x p e c t a t i o n s i m p l i e s ( 1 9 ) . S i n c e t h e r e i s

o n l y o n e L B O o e r p o s s i b l e , a f t e r a n o e r a r r i v a l , t h e t r a n s i t i o n d e n s i t y f u n c t i o n i s ( q

t

; t ; T ) . A g a i n , t a k i n g

e x p e c t a t i o n s y i e l d s ( 2 0 ) i f t h e L B O w a s w a s s u c c e s s f u l , a n d ( 2 1 ) i f w a s u n s u c c e s s f u l .

1 2



4 T h e P u t I n d u c e d C r i s i s

T h e r m i s a s s u m e d t o b e i n a n i m m e d i a t e n a n c i a l c r i s i s i n P e r i o d

P

: i t h a s D o f j u n i o r p u t a b l e b o n d s

o u t s t a n d i n g t h a t w i l l b e e x e r c i s e d i f t h e c o m p a n y ' s d e b t r a t i n g f a l l s b e l o w a p r e - s p e c i e d t h r e s h o l d l e v e l a n d

h a s e e c t i v e l y l i q u i d a s s e t s s m a l l e r t h a n t h e a m o u n t o f d e b t t o b e p a i d b a c k t o t h e p u t a b l e b o n d h o l d e r s .

5

T h e r m a l s o h a s B o f s e n i o r n o n - p u t a b l e d e b t ( t h i s m i g h t b e a l l b a n k d e b t ) a n d D

N

o f j u n i o r n o n - p u t a b l e

d e b t . I t i s a s s u m e d t h a t t h e r m ' s c u r r e n t r a t i n g ( b o n d p r i c e ) i s c l o s e a t t h e t h r e s h o l d r a t i n g ( e x e r c i s e

p r i c e ) . T h e e q u i t y h o l d e r s o f t h e r m a r e a s s u m e d t o b e r e p r e s e n t e d c o l l e c t i v e l y b y t h e m a n a g e m e n t a n d

s h a l l b e r e f e r r e d t o a s t h e ` r m ' . T h e r m e n t e r s i n t o a b a r g a i n i n g p r o c e s s w i t h t h e p u t a b l e b o n d h o l d e r s

i n a n a t t e m p t t o b u y b a c k t h e p u t o p t i o n s a n d h e n c e d e l a y p a y i n g b a c k t h e d e b t . I t i s a s s u m e d t h a t a l l

t h e p u t a b l e b o n d h o l d e r s a r e f u l l y c o g n i z a n t o f t h e b a l a n c e s h e e t o f t h e c o m p a n y | a n d t h e r e f o r e t h e r e

i s a c o m p l e t e i n f o r m a t i o n b a r g a i n i n g p r o b l e m . I f t h e r m f a i l s t o n e g o t i a t e a s e t t l e m e n t t o b u y o u t t h e

p u t o p t i o n s o n t h e d e b t , a n d t h e b o n d h o l d e r s p u t t h e i r b o n d s , t h e n i t m u s t l e f o r a r e o r g a n i z a t i o n o f i t s

l i a b i l i t i e s .

T h e p u t a b l e b o n d s a r e e x e r c i s a b l e a t p a r w h e n i t s c r e d i t r a t i n g h i t s a p r e s p e c i e d l e v e l ; i t c a n

b e a l t e r n a t i v e l y a s s u m e d t h a t t h e b o n d s b e c o m e e x e r c i s a b l e w h e n t h e b o n d p r i c e o r s o m e o t h e r o b s e r v e d

v a r i a b l e t h a t c a p t u r e s a s a l i e n t a s p e c t o f t h e r m ' s c r e d i t q u a l i t y h i t s s o m e p r e s p e c i e d l e v e l . I n r e c e n t

y e a r s s e v e r a l p u t a b l e b o n d s h a v e b e e n i s s u e d t h a t a r e e x e r c i s a b l e w h e n t h e r m i s p u r c h a s e d b y a b u y e r

t h r o u g h a l e v e r a g e d b u y o u t t r a n s a c t i o n . M o o d y ' s a s s o c i a t e p r o b a b i l i t i e s o f d e f a u l t w i t h e a c h r a t i n g . I n t h i s

m o d e l , b y L e m m a s 2 a n d 3 , t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f t h e v a l u e o f i t s a s s e t s , a n d

t h e r e f o r e , p u t s a r e e x e r c i s a b l e w h e n t h e v a l u e h i t s v

P

, v

L

o r v

U

u n d e r s i t u a t i o n s P ; L o r U r e s p e c t i v e l y . I n

t h i s a n d a l l s e c t i o n s u p t o S e c t i o n s e : p r i o r w e s h a l l a s s u m e t h a t t h e v a l u e o f t h e r m ' s a s s e t s h a s j u s t h i t o n

o n e t h e s e e x e r c i s e b o u n d a r i e s , a n d t h e r e f o r e t h e p u t s a r e i m m e d i a t e l y e x e r c i s a b l e . T h e p r i c i n g o f t h e d e b t i s

a s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . T h e s e n i o r b o n d h o l d e r s h a v e w r i t t e n c o v e n a n t s o n t h e a c t i v i t i e s o f t h e r m . T h e

c o v e n a n t i s s u m m a r i z e d i n t h e n e x t a s s u m p t i o n .


I f t h e r m a c c e l e r a t e s t h e p a y m e n t s o n m o r e t h a n a T o f o u t s t a n d i n g p u t a b l e b o n d s ( a t r i g g e r a m o u n t ) ,

t h e n i t i s f o r c e d i n t o l i n g f o r a r e o r g a n i z a t i o n o f a l l i t s l i a b i l i t i e s . I f t h e r m l e s b e f o r e i t s a s s e t v a l u e h i t s

t h e d e f a u l t b o u n d a r y b o u n d a r y a s d e n e d i n ( 6 ) ( o r ( 7 ) a f t e r a s u c c e s s f u l L B O ) , t h e n t h e r e c o v e r i e s o f t h e

v a r i o u s c l a i m h o l d e r s a r e m a d e i n o r d e r o f a b s o l u t e p r i o r i t y . T h e s e q u e n c e o f e v e n t s i n l a i d o u t i n F i g u r e

4 . C o n s i s t e n t w i t h t h e a s s u m p t i o n s o n p a y o u t s i n b a n k r u p t c y , i t i s a s s u m e d t h a t p a y m e n t s a t t h e t i m e t h e

b o n d s a r e p u t ,

P

, a r e m a d e i n r i s k l e s s s e c u r i t i e s t h a t m a t u r e a t T :

B

P

F

( V

P

; r

P

; T ) = m i n f ( 1 ) V

P

; B f

B

P ( r

P

; T ) g ; ( 2 2 )

5

T h e a m o u n t o f c a s h a n d s e c u r i t i e s o n t h e b a l a n c e s h e e t m i g h t n o t c o r r e s p o n d t o t h e e e c t i v e l i q u i d i t y o f t h e c o m p a n y .

O f t e n , c o v e n a n t s w r i t t e n o n t h e r m ' s b a n k d e b t r e s t r i c t t h e u s e o f t h i s c a s h i n d i s t r e s s s i t u a t i o n s .

1 3



D

N

P

; F

( V

P

; r

P

; T ) =

D

N

D + D

N

m i n f ( 1 ) V

P

B

P

F

; D f

D

P ( r

P

; T ) g ; ( 2 3 )

D

P

; F

( V

P

; r

P

; T ) =

D

D + D

N

m i n f ( 1 ) V

P

B

P

F

; D f

D

P ( r

P

; T ) g ; ( 2 4 )

E

P

F

( V

P

; r

P

; T ) = V

P

B

P

F

D

P

F

; ( 2 5 )

f o r s e n i o r d e b t B , j u n i o r n o n - p u t a b l e d e b t D

N

, j u n i o r p u t a b l e d e b t D a n d e q u i t y E .

I f t h e c o m p a n y i s a b l e t o n e g o t i a t e a s e t t l e m e n t t o b u y b a c k e n o u g h o f t h e o p t i o n s , i t n e e d s

i m m e d i a t e n a n c i n g o f W , w h i c h c o m p r i s e s o f X

C

t o p a y f o r t h e o p t i o n s , a n d D

P

t o p a y f o r t h e p u t a b l e

d e b t t h a t i s p u t ( a n a g r e e m e n t w i t h s o m e o f t h e b o n d h o l d e r s m i g h t b e s u c i e n t t o s t a v e o a n i m m e d i a t e

r e o r g a n i z a t i o n ) . T h e r m s e e c t i v e l i q u i d i t y c o n s t r a i n s i t t o l e t t i n g D

P

T , t h e t r i g g e r l e v e l . A t t h e

m a t u r i t y o f t h e d e b t T , t h e r m w i l l e i t h e r b e ` i n s o l v e n t ' w i t h p r o b a b i l i t y

K

d u e t o p o o r p e r f o r m a n c e , o r

i t i s ` s o l v e n t ' w i t h p r o b a b i l i t y 1

K

, w h e n t h e s i t u a t i o n i s K = P ; L ; U a s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 , a n d

t h e p r o b a b i l i t i e s ,

K

, a r e a s i n L e m m a s 2 a n d 3 . T h e p a y o s o f t h e d i e r e n t l i a b i l i t i e s i n i n s o l v e n c y i s a s

d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . A o w c h a r t d e s c r i b i n g t h e c r i s i s i s d i s p l a y e d i n F i g u r e 4 .

T h e i m m e d i a t e n a n c i n g n e e d o f L c a n b e a c h i e v e d t h r o u g h o n e o f t w o m e t h o d s : 1 ) T h e r m

c a n i s s u e e q u i t y ; 2 ) A n e w b a i l - o u t l o a n . I t i s a s s u m e d t h a t t h e b a i l - o u t l o a n i s u n p r o t e c t e d (

L

= 0 ) , a n d

t h e r e f o r e i t s i s s u a n c e d o e s n o t c h a n g e t h e d e f a u l t b o u n d a r y o f t h e r m . I t i s e v i d e n t t h a t i f t h e n e w l o a n i s

p r i c e d a t p a r ( P

L

= 1 ) , a n d t h e r e a r e n o d i s t r e s s c o s t s o f i s s u i n g e q u i t y , t h e r m s h a l l b e i n d i e r e n t b e t w e e n

r a i s i n g d e b t a n d e q u i t y ; e v e n t h o u g h q u i t e s t a n d a r d , t h i s i s f o r m a l l y s h o w n b e l o w .

L e m m a 5 I f t h e b a i l - o u t l o a n i s m a d e a t p a r ( P

K

L

= 1 ) , f o r K = P ; L ; U , a n d e q u i t y c a n b e i s s u e d a t n o

d i s t r e s s - c o s t s , t h e n e q u i t y h o l d e r s a r e i n d i e r e n t t o t h e m e t h o d o f n a n c i n g .

P r o o f . L e t t h e v a l u e o f t h e e q u i t y h o l d e r s w i t h t h e b a i l - o u t l o a n p r i c e d a t p a r b e v

K

L

= V B

K

B P

K

B

D P

K

D

L ( f o r n o t a t i o n a l s i m p l i c i t y , t i m e s u b s c r i p t s a n d a r g u m e n t s o f t h e p r i c i n g f u n c t i o n s h a v e b e e n

l e f t o u t ) , f o r K = P ; L ; U . T h e p r i c i n g f u n c t i o n s P

K

D

a n d P

K

B

a r e g i v e n i n L e m m a s 2 a n d 3 a n d e x p e c t e d

b a n k r u p t c y c o s t s a r e g i v e n i n L e m m a 4 . S i m i l a r l y , l e t v

K

E

= V B

K

B P

K

B

D P

K

D

b e t h e v a l u e o f t h e

e q u i t y h o l d e r s u n d e r e q u i t y n a n c i n g . I f e q u i t y c a n b e i s s u e d u n d e r n o d i s t r e s s c o s t s , t h e n a f r a c t i o n o f

t h e o w n e r s h i p i s s o l d t o n e w e q u i t y h o l d e r s s a t i s f y i n g v

K

E

= L . T h e n , t h e v a l u e t o t h e e x - a n t e s h a r e h o l d e r s

e q u a l s ( 1 ) v

K

E

, w h i c h i s e a s i l y s e e n t o e q u a l v

K

L

.

I n t u i t i v e l y , b e c a u s e t h e b a i l - o u t l o a n i s s e n i o r t o e q u i t y , t h e r e s i d u a l c l a i m o f t h e c u r r e n t e q u i t y

h o l d e r s w i l l b e t h e s a m e f o r e a c h o f t h e t w o m e t h o d s . S i n c e i t i s u n l i k e l y t h a t t h e d i s t r e s s c o s t s o f e q u i t y a t

t h e t i m e o f a n a n c i a l c r i s i s a r e n o n - z e r o , w e s h a l l a s s u m e t h a t t h e n a n c i n g n e e d i s m e t t h r o u g h a b a i l - o u t

l o a n . T h e p a y o s a t m a t u r i t y f o r t h e d i e r e n t c l a s s e s o f c r e d i t o r s a r e a s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 ; e a c h c r e d i t o r

r e c e i v e s f

S

= e

y

S

T

a t m a t u r i t y i f t h e r e i s n o d e f a u l t , a n d

S

f

S

i f d e f a u l t o c c u r s p r i o r t o T ( A s s u m p t i o n s 3

a n d 5 ) .

C o n d i t i o n 1

1 4



T h e p u t a b l e b o n d s h o l d e r s m a k e f u l l r e c o v e r y o f f a c e v a l u e a n d a c c r u e d i n t e r e s t i f t h e r m l e s f o r a

r e o r g a n i z a t i o n o f i t s l i a b i l i t i e s a t a v a l u e o f a s s e t s h i g h e r t h a n t h e t h r e s h o l d v a l u e :

D

P

; F

( V

P

; r

P

; T ) D f

D

P ( r

P

; T ) ;

w h e r e D

P

; F

i s d e n e d i n ( 2 4 ) ; t h e c o n d i t i o n i s e q u i v a l e n t t o ( 1 ) V

P

B f

B

P ( r

P

; T ) + ( D

N

+

D ) f

D

P ( r

P

; T ) .

C o n d i t i o n 1 i s n e e d e d f o r t h e e x i s t e n c e o f a s o l u t i o n t o t h e b a r g a i n i n g p r o b l e m b e t w e e n t h e p u t a b l e

b o n d h o l d e r s a n d t h e r m ( t o b e d i s c u s s e d b e l o w ) . I t w i l l b e s h o w n t h a t i f t h e c o n d i t i o n h o l d s , t h e n t h e

v a l u e o f p u r e b o n d h o l d e r c o a l i t i o n s i s m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g i n t h e s i z e o f t h e c o a l i t i o n . C o n v e r s e l y , i t w i l l

b e s h o w n b y a n e x a m p l e t h a t i f t h e c o n d i t i o n i s v i o l a t e d , t h e n t h e p r o p o s e d n o n - c o o p e r a t i v e s o l u t i o n w i l l

n o t b e l o n g t o t h e c o r e o f t h e b a r g a i n i n g g a m e ( t o b e d e n e d ) . I f t h e c o n d i t i o n i s v i o l a t e d , t h e n t h e r e w i l l a

b r e a k d o w n o f n e g o t i a t i o n s b e t w e e n t h e p u t a b l e b o n d h o l d e r s a n d e q u i t y h o l d e r s l e a d i n g t o a n e x e r c i s e o f t h e

o p t i o n s a n d a n i m m e d i a t e r e o r g a n i z a t i o n o f t h e l i a b i l i t i e s o f t h e r m . I t w i l l a l s o b e s e e n t h a t t h e a s s u m p t i o n

i s s u c i e n t l y s t r o n g t o i m p l y t h a t c o l l e c t i v e l y t h e p u t a b l e b o n d h o l d e r s a n d t h e r m h a v e a l a r g e r ` p i e ' t o

s h a r e b e t w e e n t h e m b y n e g o t i a t i n g a s e t t l e m e n t t h a n i n a n i m m e d i a t e r e o r g a n i z a t i o n w h e n t h e r a t i n g o f t h e

r m h i t s s p e c u l a t i v e g r a d e .

L e t u s d e n e t h e f u n c t i o n v

K

P

( S ) t o b e t h e v a l u e o f t h e c l a i m s o f a c o a l i t i o n o f p l a y e r s S I , w h e n

a l l p l a y e r s m a k e c o a l i t i o n a l l y o p t i m a l d e c i s i o n s , w h e r e I i s t h e s e t o f a l l p l a y e r s i n t h e g a m e , t h e s i t u a t i o n

o f t h e g a m e i s K f o r K = P ; L ; U , a n d

P

d e n o t e s t h e t i m e a t w h i c h t h e b o n d s b e c o m e p u t a b l e . W e a s s u m e

t h a t t h e e q u i t y h o l d e r s a r e c o l l e c t i v e l y r e p r e s e n t e d b y t h e m a n a g e m e n t , a l s o c a l l e d t h e ` r m ' . W e a b u s e

n o t a t i o n s l i g h t l y t o l e t v

K

P

( D

S

) t o b e t h e m a r k e t v a l u e o f a s e t S o f p u t a b l e b o n d h o l d e r s , a n d v

K

P

( E

S

D

S

)

t h e m a r k e t v a l u e o f t h e e q u i t y h o l d e r s a n d a s e t S o f p u t a b l e b o n d h o l d e r s .

L e t C b e t h e s e t o f b o n d h o l d e r s t h a t d e c i d e t o s e l l t h e i r o p t i o n s b a c k t o t h e c o m p a n y a n d P b e t h e

s e t o f b o n d h o l d e r s t h a t d e c i d e t o p u t t h e i r b o n d s , a t t h e t i m e w h e n t h e o p t i o n s r s t b e c o m e e x e r c i s a b l e . I f t h e

b o n d h o l d e r s d o n o t p u t t h e i r b o n d s , t h e n t h e v a l u e o f t h e i r c l a i m s i s P

K

D

p e r d o l l a r o f d e b t . T h e r e f o r e , e a c h

b o n d h o l d e r n o t c o o p e r a t i n g w i t h t h e r m h a s a d o m i n a n t s t r a t e g y o f p u t t i n g h i s b o n d s w h e n

D

P

F

D

> P

K

D

.

U n d e r C o n d i t i o n 1 , t h e y r e c e i v e f

B

P ( r

P

; T ) p e r d o l l a r o f d e b t i n e a c h s i t u a t i o n , w h i c h i s l a r g e r t h a n P

K

D

a s l o n g a s t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t i s p o s i t i v e ( s e e L e m m a s 2 a n d 3 ) ; t h e r e f o r e ,

v

K

P

( D

P

) = D

P

f

B

P ( r

P

; T ) w h e n D

P

T ( 2 6 )

=

D

P

D

D

P

F

= D

P

f

B

P ( r

P

; T ) : w h e n D

P

> T ( 2 7 )

D e n e t h e f u n c t i o n s

v

K

( V

P

;

P

;

L

P

; r

P

;

p

; T ) = V

P

B

K

P

( V

P

;

P

;

L

P

; r

P

;

p

; T ) B P

K

B

( V

P

;

P

;

L

P

; r

P

;

p

; T )

1 5



D

N

P

K

D

( V

P

;

P

;

L

P

; r

P

;

p

; T ) ; ( 2 8 )

f o r K = P ; L ; U w h e r e t h e b a n k r u p t c y c o s t f u n c t i o n s a r e g i v e n i n ( 1 9 ) , ( 2 0 ) , a n d ( 2 1 ) r e s p e c t i v e l y , a n d t h e

p r i c i n g f u n c t i o n s a r e i n ( 1 4 ) , ( 1 3 ) , a n d ( 1 2 ) . T h e f u n c t i o n v

K

i s t h e s i z e o f t h e ` p i e ' t o b e s h a r e d b e t w e e n

t h e e q u i t y h o l d e r s a n d t h e p u t a b l e b o n d h o l d e r s i n t h e s i t u a t i o n K . T h e t o t a l v a l u e t o d i v i d e b e t w e e n t h e

r m a n d t h e p u t a b l e b o n d h o l d e r s i s g i v e n b y t h e v a l u e o f t h e a s s e t s l e s s t h e e x p e c t e d c o s t s o f b a n k r u p t c y

u p t o p e r i o d T a n d t h e p a y m e n t s t o s e n i o r a n d o t h e r j u n i o r p u t a b l e d e b t h o l d e r s .

T o s i m p l i f y t h e n o t a t i o n , f r o m n o w o n w e s h a l l o m i t t h e a r g u m e n t s o f t h e f u n c t i o n s v , P

K

, E

P

F

,

D

P

F

a n d B

K

. F o r e x a m p l e , w e s h a l l w r i t e v

K

( V

P

;

P

;

L

P

; r

P

;

p

; T ) s i m p l y a s v

K

P

. T h e m a r k e t v a l u e o f

t h e c l a i m s o f e q u i t y h o l d e r s a n d t h e s e t o f c o o p e r a t i n g b o n d h o l d e r s i s g i v e n b y

v

K

P

( E

[

D

C

) = v

K

P

L + X

C

= v

K

P

D

P

f

B

P ( r

P

; T ) w h e n D

P

T ( 2 9 )

= E

P

F

+ D

P

F

; w h e n D

P

> T : ( 3 0 )

L = D

P

+ X

C

, i s t h e s i z e o f t h e b a i l - o u t l o a n n e e d e d b y t h e r m i m m e d i a t e l y , a n d X

C

( a f u n c t i o n

o f t h e s a m e a r g u m e n t s V

P

;

P

;

L

P

; r

P

;

p

, a n d T ) i s t h e p a y m e n t f o r t h e o p t i o n s . W h e n ( D D

C

) >

T , n o n - c o o p e r a t i n g b o n d h o l d e r s p u t t h e i r b o n d s a n d f o r c e t h e r m i s f o r c e d i n t o l i n g f o r a n i m m e d i a t e

r e o r g a n i z a t i o n . D

P

F

a n d E

P

F

a r e g i v e n i n ( 2 4 ) a n d ( 2 5 ) .

L e m m a 6 I f C o n d i t i o n 1 h o l d s , t h e r m i s s o l v e n t a n d i s i n s i t u a t i o n K f o r K = P ; L ; U , t h e n

v

K

P

> E

P

F

+ D

P

F

:

T h e r e f o r e , t h e v a l u e o f r e s o u r c e s t o b e s h a r e d b y e q u i t y h o l d e r s a n d p u t a b l e b o n d h o l d e r s i f t h e y s u c c e s s f u l l y

n e g o t i a t e a s e t t l e m e n t i s l a r g e r t h a n i f t h e r m f a i l s i m m e d i a t e l y .

T h e p r o o f i s i n t h e a p p e n d i x .

5 I n t r i n s i c a n d S t r a t e g i c V a l u e s o f t h e O p t i o n s

T h e s o l u t i o n c o n c e p t t o s o l v e t h e b a r g a i n i n g p r o b l e m b e t w e e n t h e r m a n d p u t a b l e b o n d h o l d e r s u s e s r e c e n t

r e s u l t s o n N - p l a y e r s e q u e n t i a l , p e r f e c t i n f o r m a t i o n , n o n - c o o p e r a t i v e g a m e s b y H a r t a n d M a s - C o l e l l ( 1 9 9 6 ) .

T h e g a m e i s p l a y e d f o l l o w i n g a m u l t i l a t e r a l m e e t i n g w i t h t h e r e q u i r e m e n t o f u n a n i m i t y f o r a g r e e m e n t . L e t

v ( S ) b e a f u n c t i o n t h a t a s s i g n s t o e v e r y s u b s e t I o f t h e s e t o f p l a y e r s , o f t h e g a m e t h e t o t a l u t i l i t y t h a t

c o a l i t i o n c a n a t t a i n i f a l l i t s m e m b e r s a g r e e .

6

T h e N - p e r s o n n o n c o o p e r a t i v e g a m e i s d e n e d a s f o l l o w s :

6

I f a l l p l a y e r a r e r i s k - n e u t r a l , a n d h a v e t h e s a m e s c a l i n g f u n c t i o n o f m o n e y t o u t i l i t y , t h e n , t h i s e q u a l s t h e t o t a l r e s o u r c e s t o

b e s h a r e d b y t h e p l a y e r s . S u c h a g a m e i s i n t h e c l a s s o f t r a n s f e r a b l e u t i l i t y g a m e s .

1 6



I n e a c h r o u n d t h e r e i s a s e t S I o f \ a c t i v e " p l a y e r s , a n d a \ p r o p o s e r " i 2 S . I n t h e r s t

r o u n d S = I . T h e p r o p o s e r i s c h o s e n a t r a n d o m o u t o f S , w i t h a l l p l a y e r s i n S b e i n g e q u a l l y

l i k e l y t o b e s e l e c t e d . T h e p r o p o s e r m a k e s a \ p r o p o s a l " w h i c h i s f e a s i b l e , i . e . a p a y o v e c t o r i n

v ( S ) . I f a l l t h e m e m b e r s o f S a c c e p t i t | t h e y a r e a s k e d i n s o m e p r e s p e c i e d o r d e r | t h e n t h e

g a m e e n d s w i t h t h e s e p a y o s . I f i t i s r e j e c t e d b y e v e n o n e m e m b e r o f S , t h e n w e m o v e t o t h e

n e x t r o u n d w h e r e , w i t h p r o b a b i l i t y , t h e s e t o f a c t i v e p l a y e r s i s a g a i n S a n d , w i t h p r o b a b i l i t y

1 , t h e p r o p o s e r \ d r o p s o u t " a n d t h e s e t o f a c t i v e p l a y e r s b e c o m e s S f i g . I n t h e l a t t e r c a s e

t h e d r o p p e d o u t p r o p o s e r i g e t s a n a l p a y o o f 0 . ( H a r t a n d M a s - C o l e l l 1 9 9 6 ) .

T h e k e y m o d e l l i n g a s p e c t i s t h e s p e c i c a t i o n o f w h a t h a p p e n s i f t h e r e i s n o a g r e e m e n t a n d , a s a

c o n s e q u e n c e , t h e g a m e m o v e s t o a n e w s t a g e . I n t h e f r a m e w o r k , t h e b r e a k d o w n o f n e g o t i a t i o n s i s n o t a n \ a l l

o r n o t h i n g " m a t t e r . W h e n a p l a y e r l e a v e s t h e g a m e , t h e r e s t c o n t i n u e b a r g a i n i n g | a l b e i t o v e r a d i m i n i s h e d

\ p i e " . T h e c o s t o f d e l a y i n a g r e e m e n t i s p r e s e n t i n t h e f o r m o f t h e b r e a k d o w n p r o b a b i l i t y 1 .

R e s u l t 1 I f a l l p l a y e r s a r e r i s k - n e u t r a l , C o n d i t i o n 1 h o l d s , t h e v a l u e f u n c t i o n i s d e n e d i n ( 2 6 ) , ( 2 7 ) , ( 2 9 ) ,

a n d ( 3 0 ) g i v e s t h e v a l u e o f c o a l i t i o n s w h e n t h e r m a n d b o n d h o l d e r s b a r g a i n o v e r t h e v a l u e o f t h e p u t o p t i o n s

o n t h e b o n d s i n s i t u a t i o n K , f o r K = P ; L ; U , a n d p l a y e r s f o l l o w t h e s e q u e n c e o f m o v e s a s d e s c r i b e d a b o v e ,

t h e n t h e p r o p o s a l s m a d e i n t h e u n i q u e S t a t i o n a r y S u b g a m e P e r f e c t e q u i l i b r i u m o f t h e g a m e w i t h t r a n s f e r a b l e

u t i l i t y a r e a c c e p t e d ; t h e e q u i l i b r i u m p a y o v e c t o r c o n v e r g e s t o t h e S h a p l e y V a l u e o f t h e g a m e ( a c o o p e r a t i v e

g a m e t h e o r y a x i o m a t i c s o l u t i o n ) a s ! 1 . T h e S h a p l e y V a l u e o f p l a y e r i i s :

i ; K

P

; I

=

X

S I

( N ; S ) ( v

K

P

[ s ] v

K

P

[ s f i g ] ) ; ( 3 1 )

w h e r e , ( N ; S ) =

j S j 1 ! N S !

N !

; S i s a s u b s e t o f t h e s e t o f p l a y e r s I . I f C o n d i t i o n 1 d o e s n o t h o l d a t t h e

t i m e o f b a r g a i n i n g , t h e n n e g o t i a t i o n s b r e a k d o w n i m m e d i a t e l y , a n d e a c h p l a y e r g e t h i s p a y o i n b a n k r u p t c y .

T h e p r o o f i s i n t h e a p p e n d i x . T h e S h a p l e y v a l u e i s t h e a v e r a g e m a r g i n a l v a l u e o f a p l a y e r , w h e r e

t h e a v e r a g e r e s u l t s b y i m a g i n i n g t h e r a n d o m f o r m a t i o n o f a c o a l i t i o n o f a l l t h e p l a y e r s , s t a r t i n g w i t h a s i n g l e

m e m b e r a n d a d d i n g o n e p l a y e r a t a t i m e . E a c h p l a y e r i s t h e n a s s i g n e d h i s m a r g i n a l c o n t r i b u t i o n a c c r u i n g t o

t h e c o a l i t i o n a t t h e t i m e o f h i s a d m i s s i o n . I n t h i s p r o c e s s o f c o m p u t i n g t h e e x p e c t e d v a l u e f o r a n i n d i v i d u a l

p l a y e r a l l c o a l i t i o n f o r m a t i o n s a r e c o n s i d e r e d a s e q u a l l y l i k e l y . I n R e s u l t 1 , t h e r a n d o m a s s i g n m e n t o f t h e

r s t p l a y e r , a n d t h e s m a l l p r o b a b i l i t y o f e a c h p l a y e r d r o p p i n g o u t l e a d s t o t h e p o s s i b i l i t y o f e a c h c o a l i t i o n

f o r m i n g w i t h e q u a l p r o b a b i l i t y .

W e a r e i n t e r e s t e d i n s t u d y i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e i n t r i n s i c a n d s t r a t e g i c v a l u e s o f o p t i o n s .

L e t t h e b o n d s b e c o m e e x e r c i s a b l e a t t i m e

P

, t h e n t h e i n t r i n s i c v a l u e o f t h e p u t o p t i o n s i n s i t u a t i o n K f o r

K = P ; L ; U e q u a l s

I V

K

P

= m a x f f

B

P ( r

P

; T ) P

K

D

; 0 g = f

B

P ( r

P

; T )

K

( ; ) ( 1

D

) : ( 3 2 )

1 7



U n d e r C o n d i t i o n 1 , u p o n e x e r c i s e , t h e p u t h o l d e r r e c e i v e s f u l l r e c o v e r y o f p r i n c i p a l p l u s a c c r u e d i n t e r e s t o f

f

B

P ( r

P

; T ) ; t h e s e c o n d e q u a l i t y f o l l o w s f r o m L e m m a s ( 2 ) a n d ( 3 ) . S i n c e w e h a v e a s s u m e d t h a t t h e n o n -

p u t a b l e d e b t o f t h e r m t r a d e s f r e e l y i n p e r f e c t l y c o m p e t i t i v e m a r k e t s a t a l l t i m e s , w e d e n e t h e s t r a t e g i c

v a l u e o f t h e p u t o p t i o n s o n t h e p u t a b l e d e b t a s t h e e x c e s s o f t h e v a l u e o f t h e p l a y e r o v e r t h e v a l u e o f t h e

n o n p u t a b l e d e b t . T h e r e f o r e , a t t h e t i m e t h e o p t i o n s b e c o m e e x e r c i s a b l e , w h e n t h e s i t u a t i o n i s K , a n d t h e

s e t o f p l a y e r s i s I t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e o p t i o n s o f p l a y e r i e q u a l s

S V

D

i

; K

P

I

= m a x f

D

i

; K

P

I

D

i

P

K

D

; 0 g ( 3 3 )

L e m m a 7 U n d e r C o n d i t i o n 1 ,

D

i

; K

P

D

i

f

B

P ( r

P

; T ) . T h e r e f o r e , t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e p u t o p t i o n

o f a b o n d h o l d e r o w n i n g p u t a b l e d e b t D

i

e q u a l s :

S V

D

i

; K

P

I

= m a x f

D

i

; K

P

I

D

i

P

K

D

; 0 g =

D

i

; K

P

I

D

i

f

D

P ( r

P

; T )

K

( ; ) ; ( 3 4 )

w h e r e ,

K

( ; ) i s t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t i n s i t u a t i o n K a s g i v e n i n L e m m a s 2 a n d 3 .

T h e p r o o f i s i n t h e a p p e n d i x . T h e t h e o r y o f b a r g a i n i n g h a s p r o g r e s s e d r a p i d l y i n t h e p a s t s e v e r a l

y e a r s . T h e r e c e n t f o c u s h a s b e e n o n n o n - c o o p e r a t i v e a p p r o a c h e s , c o m p l e t e l y d e n e d b y a p a r t i c u l a r s e q u e n c e

o f m o v e s ( o e r s a n d r e p l i e s ) t o b e m a d e o v e r t i m e i n t h e c o u r s e o f n e g o t i a t i o n s , a n d t h e n l o o k i n g f o r n o n -

c o o p e r a t i v e e q u i l i b r i u m i n t h e g a m e t h u s s p e c i e d . O n e o f t h e b i g g e s t b r e a k t h r o u g h s f o r t h e 2 - p e r s o n

b a r g a i n i n g g a m e w a s m a d e b y R u b i n s t e i n ( 1 9 8 2 ) w h o s o l v e d f o r a u n i q u e s u b g a m e p e r f e c t e q u i l i b r i u m i n

t h e ` a l t e r n a t i n g o e r s ' m o d e l w i t h a n e x p l i c i t c o s t o f d e l a y | m o d e l e d a s a ` s h r i n k i n g o f t h e p i e ' . F o r m o r e

t h a n t w o p l a y e r s , t h e R u b i n s t e i n m o d e l y i e l d s a f o l k - l i k e t h e o r e m ( a c o n t i n u u m o f e q u i l i b r i a ) , i f t h e s o l u t i o n

c o n c e p t i s m e r e l y s u b g a m e p e r f e c t i o n . S o m e e x a m p l e s o f t h i s a n d a s u r v e y o f b a r g a i n i n g m o d e l s a r e a v a i l a b l e

i n S u t t o n ( 1 9 8 6 ) . T o p u s h t h e a n a l y s i s f o r w a r d , t h e o r i s t s h a v e c o n c e n t r a t e d o n s t a t i o n a r y s u b g a m e p e r f e c t

e q u i l i b r i a | w h e r e s t r a t e g i e s a r e s u c h t h a t t h e c h o i c e a t e a c h s t a g e o n l y d e p e n d s o n t h e c u r r e n t s t a t e o f t h e

g a m e . F o r t r a n s f e r a b l e u t i l i t y g a m e s , t h e c o n v e r g e n c e o f s t a t i o n a r y e q u i l i b r i u m i n t h e N - p l a y e r b a r g a i n i n g

p r o b l e m t o t h e S h a p l e y V a l u e h a v e b e e n f o u n d ( i n a d d i t i o n t o t h e m o d e l o f H a r t a n d M a s - C o l e l l ) w i t h

d i e r e n t s e t s o f r u l e s b y H a r s a n y i ( 1 9 8 1 ) a n d W i n t e r ( 1 9 9 4 ) . T h e H a r t a n d M a s - C o l e l l m o d e l i s p a r t i c u l a r l y

a p p e a l i n g w h e n p l a y e r s a l l m e e t t o g e t h e r t o n e g o t i a t e ( s o m e o t h e r s m o d e l m u l t i p l e b i l a t e r a l n e g o t i a t i o n s ) ,

a n d p a r t i a l b r e a k d o w n ( b y s o m e p l a y e r s i s a l l o w a b l e ) . S i n c e t h e s a m e s o l u t i o n o b t a i n s u n d e r a v a r i e t y o f

r u l e s , w e n d i t c o m f o r t a b l e t o p o s i t t h e S h a p l e y V a l u e a s t h e s o l u t i o n .

6 E q u a l l y S i z e d B o n d h o l d e r s

I n t h e c a s e w h e r e t h e r e a r e N b o n d h o l d e r s e a c h h o l d i n g

D

N

o f t h e f a c e v a l u e o f p u t a b l e d e b t , t h e n o t a t i o n i s

f u r t h e r s i m p l i e d b y d e n i n g v

K

P

( E [ D

n

) , t h e t o t a l e x p e c t e d a m o u n t t h a t c a n b e d i s t r i b u t e d b e t w e e n t h e

1 8



e q u i t y h o l d e r s a n d n c o o p e r a t i n g b o n d h o l d e r s . U s i n g ( 2 9 ) a n d ( 3 0 ) , o n e o b t a i n s

v

K

P

( E [ D

n

) = v

K

P

N n

N

D f

D

P ( r

P

; T ) ; w h e n

N n

N

D T ; ( 3 5 )

= E

P

F

+

n

N

D

P

F

; w h e n

N n

N

D > T : ( 3 6 )

U s i n g ( 2 6 ) a n d ( 2 7 ) f o r p u r e b o n d h o l d e r c o a l i t i o n s ,

v

K

P

( D

n

) =

n

N

D f

B

P ( r

P

; T ) w h e n

n

N

T D ; ( 3 7 )

=

n

N

D

P

F

; w h e n

n

N

> T D : ( 3 8 )

T h e r e a r e N + 1 p l a y e r s i n t h e g a m e , w i t h N b o n d h o l d e r s . T h e n f r o m ( 3 1 ) , t h e S h a p l e y V a l u e o f t h e r m

f o r t h i s s p e c i a l c a s e i s

E ; K

N ;

P

=

N

X

n = 0

X

C : j C j = n

( N + 1 ; n + 1 )

v

K

P

( E [ D

C

) v

K

P

( D

C

)

=

1

N + 1

N

X

n = 0

v

K

P

( E [ D

n

) v

K

P

( D

n

)

( 3 9 )

s i n c e t h e r e a r e

N !

N n ! n !

c o a l i t i o n s w i t h n b o n d h o l d e r s .

R e s u l t 2 T h e S h a p l e y V a l u e o f t h e e q u i t y h o l d e r s w h e n t h e r e a r e N e q u a l l y s i z e d b o n d h o l d e r s , a n d C o n d i t i o n

1 h o l d s i s g i v e n b y

E ; K

N ;

P

= E

P

F

N M

c

+ 1

N + 1

+

M

c

N + 1

v

K

P

D f

D

P ( r

P

; T )

; ( 4 0 )

M

c

( T ; N ) = b N T c + 1 i s t h e s m a l l e s t n u m b e r o f b o n d h o l d e r s t h a t c a n f o r c e t h e c o m p a n y i n t o a r e o r g a n i z a -

t i o n . T h e S h a p l e y V a l u e o f e a c h b o n d h o l d e r i s g i v e n b y

D

i

; K

N ;

P

=

1

N

( v

E

N

) .

P r o o f . S u b s t i t u t i n g ( 3 5 ) , ( 3 6 ) , ( 3 7 ) , a n d ( 3 8 ) i n t o ( 3 9 ) i m p l i e s

E ; K

N ;

P

=

1

N + 1

[

N M

c

X

n = 0

E

P

F

+

n

N

D

P

F

+

N

X

n = N M

c

+ 1

v

K

P

N n

N

D f

D

P ( r

P

; T )

M

c

1

X

n = 0

n

N

D f

D

P ( r

P

; T )

N

X

n = M

c

n

N

D

P

F

] ( 4 1 )

N o w c o l l e c t i n g t e r m s i m p l i e s t h a t

E ; K

N ;

P

= E

P

F

N M

c

+ 1

N + 1

+

M

c

N + 1

v

K

P

D f

D

P ( r

P

; T )

M

c

1

N

D

P

F

N M

c

+ 1

N

I f C o n d i t i o n 1 h o l d s , t h e n D

P

F

= D f

D

P ( r

P

; T ) a n d

D

i

; K

N ;

P

i s g i v e n b y ( 4 0 ) .

1 9



T h e p r o p o r t i o n

M

c

N + 1

r e p r e s e n t s t h e p r o p o r t i o n o f a l l c o a l i t i o n s ( i n c l u d i n g t h e r m ) i n w h i c h t h e

r m r e a c h e s a s e t t l e m e n t a n d a v o i d s b a n k r u p t c y .

7

W h e n t h e r e a r e N e q u a l l y - s i z e d b o n d h o l d e r s i t i s a

s u c i e n t s t a t i s t i c f o r t h e b a r g a i n i n g s t r e n g t h o f t h e r m r e l a t i v e t o t h e p u t a b l e b o n d h o l d e r s . S i n c e t h e

f r a c t i o n i s n o n - m o n o t o n i c i n t h e n u m b e r o f p u t a b l e b o n d h o l d e r s , i t l e a d s t o a n o n - m o n o t o n i c i t y i n t h e

b a r g a i n i n g s t r e n g t h o f t h e r m . W e i l l u s t r a t e t h e p h e n o m e n o n w i t h a n e x a m p l e . w h i c h i s i l l u s t r a t e d i n

F i g u r e 5 .

E x a m p l e 1

T h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s d e s c r i b e t h e p r o b l e m a t t h e t i m e t h e b o n d s r s t b e c o m e p u t a b l e : v = 3 , D = : 5 ,

f

D

= 2 : 5 , P ( r

P

; T ) = : 4 , D

P

F

= : 5 , T = : 1 , E

P

F

= 2 , a n d

T

= : 2 5 . U s i n g L e m m a 2 w e c a l c u l a t e

t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e r m , t h e s t r a t e g i c v a l u e o f e a c h b o n d h o l d e r a n d t h e p a y m e n t f o r t h e o p t i o n a s

d e n e d i n ( 3 3 ) f o r N = 1 ; ; 2 0 . T h e t h r e e v a l u e s a l o n g w i t h t h e r a t i o

M

c

N + 1

a r e d i s p l a y e d i n t h e t h r e e

p a n e l s o f F i g u r e 5 . A s s e e n i n t h e g u r e , t h e s t r a t e g i c v a l u e s o f t h e r m a n d t h e b o n d h o l d e r s v a r y p o s i t i v e l y

a n d n e g a t i v e l y r e s p e c t i v e l y w i t h t h e r a t i o . O f n o t e i s t h e f a c t t h a t t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e o p t i o n c a n b e

s i g n i f a n t l y l a r g e r t h a n o n e . F o r e x a m p l e w h e n N = 5 , t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e r m e q u a l s 1 : 8 3 , a n d t h a t o f

t h e b o n d h o l d e r s e q u a l 1 : 1 7 . T h e r e f o r e e a c h b o n d h o l d e r h a s a s t r a t e g i c v a l u e o f : 2 3 . S i n c e e a c h b o n d h o l d e r

o w n s : 1 o f p u t a b l e d e b t , t h e v a l u e o f t h e o p t i o n b y ( 3 3 ) e q u a l s 2 : 0 8 . T h e r a t i o

M

c

N + 1

t e n d s t o

T

D

= : 2 a s

N ! 1 , t h u s p r o v i d i n g a l i m i t i n g v a l u e f o r t h e v a l u e o f t h e r m .

C o r o l l a r y 1 T h e l i m i t o f t h e e q u i t y h o l d e r s v a l u e a s t h e n u m b e r o f p u t a b l e b o n d h o l d e r s b e c o m e s l a r g e i s :

E

1

l i m

N ! 1

E

N

= E

P

F

( 1

T

D

) +

T

D

v

K

P

D f

D

P ( r

P

; T )

( 4 2 )

D

1

l i m

N ! 1

N

X

i = 1

D

i

N

= ( 1

T

D

) ( v E

P

F

) + T f

D

P ( r

P

; T ) ( 4 3 )

T h e p r o o f i s i n t h e a p p e n d i x .

I n t e r p r e t a t i o n o f L i m i t i n g V a l u e : T h e f o r m o f t h e l i m i t i n g b a r g a i n i n g v a l u e o f t h e e q u i t y h o l d e r s s u g g e s t s

t h a t

T

D

c a n b e i n t e r p r e t e d a s a p r o b a b i l i t y .

8

W i t h i n n i t e s i m a l b o n d h o l d e r s t h e r e i s a p r o b a b i l i t y 1

T

D

, o f

a c o a l i t i o n f o r m i n g t h a t w i l l f o r c e t h e c o m p a n y i n t o a r e o r g a n i z a t i o n . W i t h t h e c o m p l e m e n t a r y p r o b a b i l i t y

T

D

, t h e c o m p a n y w i l l p u r c h a s e t h e o p t i o n s b a c k f r o m e n o u g h b o n d h o l d e r s t o a v e r t a r e o r g a n i z a t i o n o f t h e

r m . P u t s l i g h t l y d i e r e n t l y , t h e S h a p l e y V a l u e o f a p l a y e r i s t h e a v e r a g e m a r g i n a l c o n t r i b u t i o n o f t h e p l a y e r

a c r o s s a l l p o s s i b l e c o a l i t i o n s . W h e n e a c h b o n d h o l d e r c o n t r i b u t e s a n i n n i t e s i m a l , t h e a v e r a g e a n d m a r g i n a l

c o n t r i b u t i o n s c o i n c i d e , a n d t h e S h a p l e y V a l u e o f e a c h b o n d h o l d e r i s s i m p l y h i s a v e r a g e c o n t r i b u t i o n . S e e

O s t r o y ( 1 9 8 4 ) f o r a n e l u c i d a t i o n o f t h i s p o i n t .

7

b N T c , u s i n g t h e o o r f u n c t i o n , i s t h e l a r g e s t i n t e g e r l e s s t h a n o r e q u a l t o N T . N o t e t h a t b N T c + 1 i s n o t a l w a y s e q u a l

t o = d N T e ( u s i n g t h e a n a l o g o u s c e i l i n g f u n c t i o n ) . F o r e x a m p l e w h e n T = D = 2 = 3 a n d N e q u a l s 3 , t h e f o r m e r n u m b e r e q u a l s

3 a n d t h e l a t t e r 2 . H o w e v e r , D 2 = 3 = T , t h e r e f o r e t h e s m a l l e s t t h r e a t e n i n g c o a l i t i o n m u s t h a v e t h r e e b o n d h o l d e r s .

8

T h i s i s r e a l l y o n l y a p s e u d o p r o b a b i l i t y , b e c a u s e i n e q u i l i b r i u m t h e r s t p r o p o s e r m a k e s a n o e r t h a t a l l p l a y e r s a c c e p t .

I t c o r r e s p o n d s t o t h e p r o b a b i l i t y o f a c o a l i t i o n f o r m i n g i n w h i c h t h e r m n e e d n o t l e f o r a r e o r g a n i z a t i o n w h e n c o a l i t i o n

f o r m a t i o n i s v i e w e d a s b e i n g r a n d o m u n d e r t h e r u l e s o f t h e b a r g a i n i n g g a m e d e n e d i n S e c t i o n 5 .

2 0



I t i s w e l l k n o w n t h a t a s t h e n u m b e r o f p l a y e r s i n c r e a s e s t o i n n i t y , t h e S h a p l e y V a l u e c o n v e r g e s

t o t h e W a l r a s i a n e q u i l i b r i u m o f t h e g a m e . T h e l i m i t i n g v a l u e o b t a i n e d a b o v e i s u s e f u l b e c a u s e i t e n a b l e s t h e

p r i c i n g o f c o v e n a n t s o f d e b t i n a p e r f e c t l y c o m p e t i t i v e s e t t i n g . I t i s s e e n t h a t e v e n w i t h i n n i t e s i m a l p u t a b l e

b o n d h o l d e r s i n a d e c e n t r a l i z e d s e t t i n g , s u c h b o n d h o l d e r s h a v e j o i n t t h r e a t e n i n g p o w e r .

C o r o l l a r y 2 U n d e r C o n d i t i o n 1 ,

S V

D

i

; K

N ;

P

= ( 1

N

) [

v

K

P

E

P

F

D

f

D

P ( r

P

; T ) ] + I V

D

i

; K

N ;

P

; ( 4 4 )

w h e r e

N

=

M

C

T ; N

N + 1

. T h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e p u t o p t i o n s e x c e e d s t h e i n t r i n s i c v a l u e , e v e n w h e n t h e r e

a r e a n i n n i t e n u m b e r o f b o n d h o l d e r s , a s l o n g a s T < D .

P r o o f . U s i n g R e s u l t 2 , a n d t h e d e n i t i o n s o f i n t r i n s i c a n d s t r a t e g i c v a l u e s a s i n ( 3 2 ) a n d ( 3 3 ) ,

S V

D

i

; K

N ;

P

= ( 1

N

) [

v

K

P

E

P

F

D

f

D

P ( r

P

; T ) ] + f

D

P ( r

P

; T )

K

( ; ) ( 1

D

) ;

T h e i n t r i n s i c v a l u e o f t h e o p t i o n s i s I V

K

P

= f

D

P ( r

P

; T )

K

( ; ) ( 1

D

) . U n d e r C o n d i t i o n 1 , t h e r s t

t e r m i n ( 4 4 ) i s p o s i t i v e , t h e r e f o r e , t h e s t r a t e g i c v a l u e e x c e e d s t h e i n t r i n s i c v a l u e f o r a l l N w h e n e v e r

N

< 1 .

F o r T < D , t h i s i s t r u e f o r a l l N , e v e n a s N ! 1 .

C o r o l l a r y 3 F o r

T

D

: 5 , t h e b a r g a i n i n g v a l u e o f t h e r m i s t h e h i g h e s t w h e n o n l y o n e b o n d h o l d e r o w n s t h e

e n t i r e p u t a b l e d e b t .

P r o o f . F r o m L e m m a 2 t h e b a r g a i n i n g s t r e n g t h o f t h e r m

E

N

i s i n c r e a s i n g i n t h e r a t i o

M

c

N + 1

. W e u s e t h e

m a t h e m a t i c a l f a c t t h a t

b N c + 1

N + 1

: 5 f o r : 5 a n d N = 1 ; 2 ; 3 ; . T h e r e f o r e

E

N

i s m a x i m i z e d f o r N = 1 .

F o r

T

D

> : 5 , t h e o p t i m a l N ( f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f t h e r m ) c a n b e g r e a t e r t h a n 1 , b u t w e

c a n o n l y p r o v i d e a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n . T h e r a t i o

M

c

N + 1

i s h i g h e s t f o r t h e s m a l l e s t i n t e g e r n s a t i s f y i n g

b n

T

D

c + 1 = n

T

D

. F o r e x a m p l e f o r

T

D

= : 6 , n = 5 .

S o m e s p e c i a l c a s e s o f t h e g a m e w h e n t h e r e a r e N e q u a l l y s i z e d b o n d h o l d e r s a r e i n t e r e s t i n g t o

h i g h l i g h t d i e r e n t a s p e c t s o f t h e s o l u t i o n :

S p e c i a l C a s e 1 : W h e n N = 1 , a n d T < D ,

E

1

=

v D

P

F

2

+

E

P

F

2

, i r r e s p e c t i v e o f t h e l e v e l o f T . I n o n e

o f t h e t w o c o a l i t i o n s t h a t c a n p o t e n t i a l l y b e f o r m e d , t h e e q u i t y h o l d e r s h a v e a m a r g i n a l v a l u e o f v D

P

F

.

I n t h e o t h e r , t h e r m f a i l s t o p u r c h a s e t h e o p t i o n s f r o m t h e b o n d h o l d e r a n d t h e r e f o r e t h e r m c o n t r i b u t e s a

m a r g i n a l v a l u e e q u a l t o E

P

F

. N o t e t h a t t h e s a m e v a l u e r e s u l t s f o r a l a r g e r a n g e i n v a l u e s o f T ; i r r e s p e c t i v e

o f T , w h e n e v e r t h e b o n d h o l d e r p u t s t h e c o m p a n y i s f o r c e d i n t o a r e o r g a n i z a t i o n . G e n e r a l i z i n g , w h e n e v e r N

i s s m a l l e n o u g h s o t h a t

D

N

> T , t h e s a m e s t r a t e g i c v a l u e s r e s u l t f o r a t r i g g e r v a l u e s a t i s f y i n g 0 <

D

N

< T .

2 1



S p e c i a l C a s e 2 : F o r T D ,

E

N

= v D f

D

P ( r

P

; T ) , 8 N . T h e r e f o r e , w h e n t h e r e i s n o t r i g g e r l e v e l

( a l l t h e p u t s c a n b e e x e r c i s e d w i t h o u t f o r c i n g t h e c o m p a n y i n t o a r e o r g a n i z a t i o n ) , t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e

r m d o e s n o t d e p e n d o n t h e n u m b e r o f b o n d h o l d e r s t h a t o w n i t s d e b t . W i t h o u t a l i q u i d i t y p r o b l e m , t h e

b o n d h o l d e r s h a v e n o t h r e a t e n i n g p o w e r a n d t h e r e f o r e t h e v a l u e o f t h e r m d o e s n o t d e p e n d o n t h e n u m b e r

o f b o n d h o l d e r s . T h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e b o n d h o l d e r s e q u a l s t h e f a c e v a l u e o f t h e d e b t , a n d h e n c e t h e

s t r a t e g i c v a l u e o f t h e p u t o p t i o n , a s d e n e d i n ( 3 4 ) , e q u a l s t h e i n t r i n s i c v a l u e o f t h e o p t i o n s .

S p e c i a l C a s e 3 : l i m

T ! 0

E

N

= E

P

F

N

N + 1

+ ( v D f

D

P ( r

P

; T ) )

1

N + 1

. I n t h i s c a s e , e a c h b o n d h o l d e r

c a n u n i l a t e r a l l y b a n k r u p t t h e r m . T h e r e f o r e , t h e r m o b t a i n s t h e s a m e a s a n y b o n d h o l d e r

1

N + 1

o f t h e

e x p e c t e d t o t a l r e s o u r c e s i n n o n - b a n k r u p t s t a t e s . W h e n N b e c o m e l a r g e , t h e r m s s t r a t e g i c v a l u e d e c l i n e s

t o E

P

F

, i t s r e s i d u a l v a l u e i n a n i m m e d i a t e r e o r g a n i z a t i o n .

M o s t t h e o r i s t s ( f o r e x a m p l e , A i v a z i a n a n d C a l l e n 1 9 8 3 ) h a v e a r g u e d t h a t a r e a s o n a b l e s o l u t i o n t o

a b a r g a i n i n g g a m e b e t w e e n p l a y e r s p r i o r t o b a n k r u p t c y m u s t b e i n t h e c o r e o f t h e g a m e . W e w i l l s h o w n

w i t h a n e x a m p l e t h a t t h e S h a p l e y V a l u e o f t h e g a m e d e s c r i b e d i s n o t i n t h e c o r e i f C o n d i t i o n 1 i s v i o l a t e d .

T h e c o r e o f a g a m e i n c o a l i t i o n a l f o r m w i t h c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n v a n d t h e s e t o f p l a y e r s I i s d e n e d a s

t h e s e t o f a l l o c a t i o n s :

C o r e [ v ] = f x 2 R

N

j

X

i 2 I

x

i

= v ( N ) a n d

X

i 2 S

x

i

v ( S ) 8 S g ( 4 5 )

T h e c o r e i s t h e s e t o f a l l o c a t i o n s t h a t i s c o a l i t i o n a l l y r a t i o n a l , i . e . , n o c o a l i t i o n o f m e m b e r s c a n b r e a k a w a y ,

a n d u s i n g o n l y t h e r e s o u r c e s o f t h e c o a l i t i o n , p r o v i d e e a c h m e m b e r a l a r g e r a m o u n t t h a n t h e c o r e a l l o c a t i o n .

E x a m p l e 2 ( T h e N e c e s s i t y o f C o n d i t i o n 1 )

T h e p a r a m e t e r s o f t h e p r o b l e m a r e a s f o l l o w s : v

P

= 5 : 0 5 , D = : 6 , D

P

F

= : 1 , T = : 4 ,

E

P

F

= 0 , a n d N = 2 . U s i n g L e m m a 2 w e n d t h a t

E

1

= 3 : 1 3 3 , a n d

D

i

= : 9 5 8 . T h e c o r e a l l o c a t i o n s

a r e d e s c r i b e d b y : x

E

0 ; x

D

i

: 3 f o r i = 1 ; 2 ; x

E

+ x

D

i

4 : 7 5 f o r i = 1 ; 2 ; x

D

1

+ x

D

2

: 1 ; a n d

x

E

+ x

D

1

+ x

D

2

= 5 : 0 5 . T h e S h a p l e y V a l u e s o f t h e p l a y e r s ,

E

1

= 3 : 1 3 3 , a n d

D

i

= : 9 5 8 c l e a r l y d o e s n o t

s a t i s f y

E

+

D

i

4 : 7 5 .

7 T h e B a r g a i n i n g S t r e n g t h o f a L a r g e B o n d h o l d e r

L a r g e i n s t i t u t i o n a l l e n d e r s a r e f a i r l y c o m m o n i n m o s t b o r r o w i n g a r r a n g e m e n t s . F o r e x a m p l e , t h e p r i v a t e

p l a c e m e n t o f d e b t i s o f t e n d o n e t h r o u g h a l e a d l e n d e r . T h e l e n d e r t a k e s o n a l a r g e a m o u n t o f t h e l o a n

a n d o f t e n p e r f o r m s v a r i o u s t a s k s i n s e r v i c i n g t h e l o a n f o r o t h e r l e n d e r s . W e a b s t r a c t f r o m t h i s m o n i t o r i n g

f u n c t i o n o f t h e l a r g e s t l e n d e r a n d f o c u s o u r a t t e n t i o n t o t h e t h r e a t e n i n g p o w e r o f t h e l a r g e l e n d e r r e l a t i v e t o

o t h e r l e n d e r s . C o n d i t i o n s u n d e r w h i c h t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e l a r g e l e n d e r i s g r e a t e r a r e p r o v i d e d b e l o w .

2 2



C o n s i d e r t h e p o t e n t i a l c o a l i t i o n s t h a t c a n b e f o r m e d w i t h N b o n d h o l d e r s o f e q u a l s i z e c o l l e c t i v e l y

h o l d i n g d e b t D , t h e l a r g e b o n d h o l d e r w i t h d e b t D

1

, a n d t h e e q u i t y h o l d e r s . T h r o u g h o u t , M

0

( T ; D ; N ) =

m i n f b

T

D

N c + 1 ; N g a n d M

1

( T ; D ; D

1

; N ) = m a x f b

T D

1

D

N c + 1 ; 0 g . T o k e e p t h e n o t a t i o n s i m p l e , t h e

a r g u m e n t s o f t h e s e f u n c t i o n s s h a l l b e l e f t o u t b e l o w . M

0

i s t h e s m a l l e s t n u m b e r o f e q u a l l y - s i z e d b o n d h o l d e r s

t h a t c a n c o l l e c t i v e l y t h r e a t e n t h e r m . M

1

i s t h e s m a l l e s t n u m b e r o f e q u a l l y - s i z e d b o n d h o l d e r s t h a t t o g e t h e r

w i t h t h e l a r g e b o n d h o l d e r c a n p u t t h e i r b o n d s a n d f o r c e t h e r m i n t o a r e o r g a n i z a t i o n . O b v i o u s l y , M

1

< M

0

.

L e m m a 8 T h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e r m i s g i v e n b y :

E

N

=

1

N + 2 N + 1

(

+

N M

0

X

m = 0

(

m

N

D + D

1

D + D

1

D

P

F

+ E

P

F

) ( m + 1 ) +

N

X

N M

0

+ 1

( v

P

F

(

N m

N

D f

D

P ( r

P

; T ) ) ) ( m + 1 )

M

1

1

X

m = 0

(

m

N

D + D

1

) f

D

P ( r

P

; T ) ( m + 1 )

N

X

m = M

1

(

m

N

D + D

1

D + D

1

D

P

F

) ( m + 1 ) )

+

N M

1

X

m = 0

(

m

N

D

D + D

1

D

P

F

+ E

P

F

) ( N + 1 m ) +

N

X

N M

1

+ 1

( v

P

( D

1

+

N m

N

D ) f

D

P ( r

P

; T ) ) ( N + 1

M

0

1

X

m = 0

m

N

D f

D

P ( r

P

; T ) ( N + 1 m )

N

X

m = M

0

(

m

N

D

D + D

1

D

P

F

+ E

P

F

) ( N + 1 m ) )

T h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e l a r g e b o n d h o l d e r i s g i v e n b y :

D

1

N

=

1

( N + 2 ) ( N + 1 )

(

+

M

1

1

X

m = 0

(

m

N

D + D

1

) f

D

P ( r

P

; T ) ( N m + 1 ) +

N

X

M

1

(

m

N

D + D

1

D + D

1

D

P

F

) ( N m + 1 )

M

0

1

X

m = 0

(

m

N

D f

D

P ( r

P

; T ) ) ( N m + 1 )

N

X

m = M

0

(

m

N

D

D + D

1

D

P

F

) ( N m + 1 )

+

N M

0

X

m = 0

(

m

N

D + D

1

D + D

1

D

P

F

+ E

P

F

) ( m + 1 ) +

N

X

m = N M

0

+ 1

( v

P

(

N m

N

D f

D

P ( r

P

; T ) ) ) ( m + 1 )

N M

1

X

m = 0

(

m

N

D

D + D

1

D

P

F

+ E

P

F

) ( m + 1 )

N

X

m = N M

1

+ 1

( v

P

(

N m

N

D + D

1

) f

D

P ( r

P

; T ) ( m + 1

T h e v a l u e o f e a c h o f t h e s m a l l e r b o n d h o l d e r s e q u a l s :

v

P

E

D

1

N

.

T h e s u m m a t i o n s i n t h e t w o e q u a t i o n s l e a d t o l o n g p o l y n o m i a l s t h a t c a n b e e a s i l y w r i t t e n d o w n

u s i n g a s y m b o l i c m a t h e m a t i c a l p r o g r a m s u c h a s M a t h e m a t i c a . W e h a v e p r e f e r r e d t o l e a v e t h e m i n t h e

c u r r e n t f o r m b e c a u s e t h e s o l u t i o n s a r e m o r e t r a n s p a r e n t f o r t h e r e a d e r u n d e r t h i s f o r m .

2 3



7 . 1 O n e L a r g e a n d O n e S m a l l B o n d h o l d e r

D o e s a p u t a b l e b o n d h o l d e r o w n i n g l a r g e a m o u n t s o f p u t a b l e b o n d s n e c e s s a r i l y h a v e a h i g h e r s t r a t e g i c v a l u e

p e r d o l l a r o f p u t a b l e d e b t o w n e d ? D o e s a r m w i t h o n e l a r g e a n d o n e s m a l l b o n d h o l d e r n e c e s s a r i l y h a v e a

h i g h e r s t r a t e g i c v a l u e t h a n a n o t h e r w i t h t h e s a m e a m o u n t o f t o t a l p u t a b l e d e b t s p l i t e q u a l l y b e t w e e n t w o

b o n d h o l d e r s ? W e d e m o n s t r a t e i n t h i s s e c t i o n t h a t t h e a n s w e r t o b o t h q u e s t i o n s i s ` N o ' . C o n d i t i o n s u n d e r

w h i c h t h e s t a t e m e n t s h o l d s t r u e a r e p r o v i d e d .

E x a m p l e 3

S u p p o s e t h e r e i s o n e l a r g e a n d o n e s m a l l b o n d h o l d e r h o l d i n g D

1

a n d D o f p u t a b l e d e b t r e s p e c t i v e l y . T h e

f o l l o w i n g p a r a m e t e r s d e s c r i b e t h e p r o b l e m : v

P

= 5 , D = : 3 , D

1

= : 6 , f

D

= 2 : 5 , P ( r

P

; T ) = : 4 ,

T = : 1 , E

P

F

= 3 , a n d

T

= : 2 5 . U s i n g L e m m a 8 , F i g u r e 6 s h o w s t h e s t r a t e g i c v a l u e s f o r t h e l a r g e

a n d s m a l l b o n d h o l d e r s p e r d o l l a r o f d e b t a n d t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e r m w h e n t h e t r i g g e r l e v e l o f d e b t

i s a l l o w e d t o v a r y b e t w e e n 0 a n d D + D

1

. T h e v a l u e s r e m a i n c o n s t a n t w i t h i n t h r e e r e g i o n s t o b e d e n e d

b e l o w b u t e x h i b i t s o m e i m p o r t a n t d i s c o n t i n u i t i e s a s t h e t r i g g e r l e v e l m o v e s f r o m o n e r e g i o n t o t h e n e x t . T h e

t h r e e c a s e s d e t e r m i n e t h e r e l a t i v e b a r g a i n i n g s t r e n g t h s o f t h e l a r g e a n d s m a l l b o n d h o l d e r s a n d t h e r m . A s

i s L e m m a 2 , t h e v a l u e s o f t h e p l a y e r s d e p e n d o n t h e p r o p o r t i o n o f c o a l i t i o n s t h a t c a n c r e d i b l y t h r e a t e n t h e

c o m p a n y i n t o a r e o r g a n i z a t i o n . T h e t h r e e d i s t i n c t c a s e s a r e :

C a s e ( i ) : T < D < D

1

. E a c h b o n d h o l d e r c a n u n i l a t e r a l l y f o r c e t h e r m i n t o a r e o r g a n i z a t i o n .

C a s e ( i i ) : D < T < D

1

. O n l y t h e l a r g e b o n d h o l d e r c a n u n i l a t e r a l l y d r i v e t h e r m i n t o a r e o r g a n i z a t i o n .

C a s e ( i i i ) : D < D

1

< T b u t D + D

1

> T . T h e l a r g e a n d t h e s m a l l b o n d h o l d e r c a n j o i n t l y ( b u t n o t

u n i l a t e r a l l y ) f o r c e t h e r m i n t o a r e o r g a n i z a t i o n .

C a s e s ( i ) a n d ( i i i ) a r e s i m i l a r i n t h a t t h e s m a l l a n d t h e l a r g e b o n d h o l d e r c a n p o t e n t i a l l y b e p a r t

o f a n i d e n t i c a l n u m b e r o f c o a l i t i o n s t h a t c a n l e a d t o a r e o r g a n i z a t i o n o f t h e r m . I n C a s e ( i i ) , t h e l a r g e

b o n d h o l d e r c a n b e i n v o l v e d i n a l a r g e r n u m b e r o f s u c c e s s f u l c o a l i t i o n s ; t h e c o a l i t i o n E

S

D

1

( t h e r m

a n d l a r g e b o n d h o l d e r ) d o e s n o t h a v e t o l e f o r r e o r g a n i z a t i o n b u t t h e c o a l i t i o n E

S

D ( t h e r m a n d l a r g e

b o n d h o l d e r ) i s f o r c e d i n t o i t . N o t s u r p r i s i n g l y , F i g u r e 6 s h o w s t h a t t h e s t r a t e g i c v a l u e p e r d o l l a r o f t h e l a r g e

b o n d h o l d e r i s s u b s t a n t i a l l y l a r g e r t h a n t h a t f o r t h e s m a l l b o n d h o l d e r . I n C a s e s ( i ) a n d ( i i i ) t h e s t r a t e g i c

v a l u e p e r d o l l a r o f t h e s m a l l b o n d h o l d e r s d e b t i s l a r g e r . T h e r e a s o n i n g i s a s f o l l o w s ; i n c o a l i t i o n s i n w h i c h

t h e c o m p a n y l e s f o r r e o r g a n i z a t i o n , e a c h d o l l a r o f d e b t | e i t h e r o f t h e l a r g e o r t h e s m a l l b o n d h o l d e r |

h a s t h e s a m e r e c o v e r y ,

1

D + D

1

D

P

F

. I n c o a l i t i o n s i n w h i c h r e o r g a n i z a t i o n i s a v o i d e d , e a c h d o l l a r o f t h e

l a r g e b o n d h o l d e r s d e b t c o n t r i b u t e s

v

P

D

1

o f t h e t o t a l v a l u e a n d w h i l e e a c h d o l l a r o f t h e s m a l l b o n d h o l d e r ' s

d e b t c o n t r i b u t e s a l a r g e r

v

P

D

o f t h e t o t a l v a l u e . S a i d s i m p l y , t h e c o o p e r a t i o n o f e a c h l e n d e r i s r e q u i r e d f o r

t h e p l a y e r s t o j o i n t l y r e a l i z e t h e ` p i e ' v

P

; t h e r e f o r e t h e s m a l l e r b o n d h o l d e r c o n t r i b u t e s m o r e p e r d o l l a r .

T h e r e f o r e , i f t h e l a r g e a n d t h e s m a l l b o n d h o l d e r s a r e i n v o l v e d i n t h e s a m e n u m b e r o f n o n - b a n k r u p t c o a l i t i o n s ,

t h e n t h e s m a l l b o n d h o l d e r h a s a h i g h e r s t r a t e g i c v a l u e p e r d o l l a r .

2 4



I t i s e v i d e n t f r o m F i g u r e 6 t h a t t h e v a l u e o f t h e r m i s n o n - d e c r e a s i n g i n

T

D + D

1

. T h e v a l u e o f

t h e r m j u m p s u p a t : 3 a n d : 6 . A t t h e s e v a l u e s o f t h e t r i g g e r l e v e l o f d e b t t h e g a m e m o v e s f r o m C a s e ( i )

t o C a s e ( i i ) a t : 3 , a n d f r o m C a s e ( i i ) t o C a s e ( i i i ) a t : 6 , a s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h . A t e a c h o f

t h e s e p o i n t s t h e r e i s a d i s c o n t i n u o u s d e c r e a s e i n t h e p r o p o r t i o n o f l e n d e r s t h a t c a n c a u s e a r e o r g a n i z a t i o n .

T o a n s w e r t h e s e c o n d q u e s t i o n s t a t e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h i s s u b s e c t i o n , s u p p o s e D < T < D

1

.

T h e n , i t s v a l u e i s

E

=

1

3

v ( E ) +

1

3

( v ( E

S

D

S

D

1

) v ( D

S

D

1

) ) +

1

6

E

P

F

+

1

6

( v

P

D D

1

) . S u p p o s e

t h e r e i s a n i d e n t i c a l r m w i t h t h e p u t a b l e d e b t D + D

1

h e l d b y t w o e q u a l l y s i z e d b o n d h o l d e r s . T h e n t h e

v a l u e o f t h e r m e q u a l s

E

=

1

3

v ( E ) +

1

3

( v ( E

S

D

S

D

1

) v ( D

S

D

1

) ) +

1

3

E

P

F

, i f

D + D

1

2

> T a n d

E

=

1

3

v ( E ) +

1

3

( v ( E

S

D

S

D

1

) v ( D

S

D

1

) ) +

1

3

( v

P

D D

1

) i f

D + D

1

2

< T . T h e r s t t w o t e r m s i n

e a c h s i t u a t i o n a r e t h e s a m e s i n c e t h e t o t a l a m o u n t o f p u t a b l e d e b t i s c o n s t a n t . I n t h e r s t c a s e , t h e v a l u e

i s s m a l l e r t h a n t h e s i t u a t i o n w h e r e t h e r e i s o n e l a r g e b o n d h o l d e r a n d i n t h e s e c o n d , t h e v a l u e i s l a r g e r .

7 . 2 O n e L a r g e a n d S e v e r a l S m a l l B o n d h o l d e r s

W h e n D < D

1

, t h e a n a l y s i s c l o s e l y f o l l o w s t h a t o f t h e c a s e w h e n t h e r e i s o n e l a r g e a n d o n e s m a l l b o n d h o l d e r .

F o r e x a m p l e , w h e n D < T D

1

, t h e n t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e r m a n d t h e l a r g e p l a y e r s d o n o t d e p e n d o n

N , t h e n u m b e r o f s m a l l b o n d h o l d e r s , b e c a u s e t h e s e p l a y e r s a r e n e v e r p i v o t a l t o a n y t h r e a t e n i n g c o a l i t i o n .

W h e n D < D

1

, t h e a n a l y s i s c a n b e d i v i d e d i n t o c a s e s s i m i l a r t o t h o s e i n t h e p r e v i o u s s u b s e c t i o n .

E x a m p l e 4

S u p p o s e t h e r e i s o n e l a r g e a n d o n e s m a l l b o n d h o l d e r h o l d i n g D

1

a n d D o f p u t a b l e d e b t r e s p e c t i v e l y . T h e

f o l l o w i n g p a r a m e t e r s d e s c r i b e t h e p r o b l e m : v

P

= 5 , D = : 6 , D

1

= : 3 , f

D

= 2 : 5 , P ( r

P

; T ) = : 4 ,

T = : 1 , E

P

F

= 3 , a n d

T

= : 4 . U s i n g L e m m a 8 , F i g u r e 6 s h o w s t h e s t r a t e g i c v a l u e s f o r t h e l a r g e

a n d s m a l l b o n d h o l d e r s p e r d o l l a r o f d e b t a n d t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e r m w h e n t h e t r i g g e r l e v e l o f d e b t i s

a l l o w e d t o v a r y b e t w e e n 0 a n d D + D

1

.

F i g u r e 7 s h o w s t h e r e l a t i v e b a r g a i n i n g p o w e r s o f t h e p l a y e r s f o r t h r e e d i e r e n t c a s e s . J u s t a s

i n L e m m a 2 , t h e v a l u e s o f t h e p l a y e r s d e p e n d o n t h e p r o p o r t i o n o f c o a l i t i o n s t h a t c a n c r e d i b l y t h r e a t e n

t h e c o m p a n y i n t o a r e o r g a n i z a t i o n . I n C a s e ( i ) , T < D

1

< D , t h e r e f o r e , a c o l l e c t i o n o f a t l e a s t M

0

b o n d h o l d e r s ( d e n e d a b o v e ) , t h e l a r g e b o n d h o l d e r a l o n e o r t h e l a r g e b o n d h o l d e r a n d M

1

b o n d h o l d e r s c a n

c r e d i b l y t h r e a t e n t h e r m . A s t h e d e b t D i s d i v i d e d a m o n g a l a r g e n u m b e r o f b o n d h o l d e r s , a l a r g e r

n u m b e r o f t h r e a t e n i n g c o a l i t i o n s c a n b e f o r m e d . T h e r e f o r e , a s N i n c r e a s e s , t h e v a l u e o f t h e l a r g e r e l a t i v e

t o s m a l l b o n d h o l d e r s t e n d s t o d e c r e a s e ( t h e n o n - m o n o t o n i c i t y a s d i s c u s s e d p r e v i o u s l y a p p l i e s ) . I n C a s e

( i i ) , D

1

< T < D a n d ( i i i ) , D

1

< D < T , t h e l a r g e b o n d h o l d e r c a n n o t t r i g g e r a b a n k r u p t c y o n h i s

o w n . C o o p e r a t i o n w i t h s o m e a m o u n t o f p u t a b l e d e b t i s n e e d e d . A s N i n c r e a s e s , t h e p o t e n t i a l t h r e a t e n i n g

c o a l i t i o n s h e i s a p a r t o f i n c r e a s e , t h e r e f o r e i n c r e a s i n g h i s r e l a t i v e v a l u e w i t h t h e n u m b e r o f s m a l l b o n d h o l d e r s .

2 5



8 B a r g a i n i n g P r o b l e m a t t h e t i m e o f K m a r t ' s P o i s o n P u t C r i s i s

A l l b u t o n e p a r a m e t e r o f t h e m o d e l n e e d e d t o c a l c u l a t e s t r a t e g i c v a l u e s u s i n g L e m m a 2 h a v e e i t h e r b e e n

o b t a i n e d f r o m p u b l i c l y r e l e a s e d d a t a o r f r o m p r e v i o u s e m p i r i c a l s t u d i e s . T h e o n l y f r e e p a r a m e t e r , | t h e

a r r i v a l p r o b a b i l i t y o f a n L B O | i s b a c k e d o u t f r o m o b s e r v e d b o n d p r i c e s a n d t h e u s e o f L e m m a 3 . I t h a s

b e e n r e p o r t e d t h a t t h e t o t a l s e t t l e m e n t t o b u y o u t t h e p u t o p t i o n s w a s a b o u t $ 9 8 m i l l i o n f o r o p t i o n s o n

f a c e v a l u e o f $ 5 5 0 m i l l i o n . N e w s r e p o r t s a l s o s u g g e s t e d t h a t o n e l a r g e i n s u r a n c e c o m p a n y | h o l d i n g a l m o s t

a f t h o f t h e p u t a b l e d e b t | h a d b e e n p a i d 5 t i m e s p e r d o l l a r a s s m a l l e r b o n d h o l d e r s f o r s u r r e n d e r i n g

t h e i r o p t i o n s .

9

R e p o r t s o f u n e q u a l p a y m e n t s t o d i e r e n t b o n d h o l d e r s l e a d u s t o b e l i e v e t h a t t h e p a r t i e s

c o n c e r n e d w e r e c o n s i d e r i n g t h e r e l a t i v e t h r e a t e n i n g p o w e r s o f t h e d i e r e n t b o n d h o l d e r s i n t h e i r e v a l u a t i o n

o f t h e s e t t l e m e n t . T h e c a l i b r a t i o n e x e r c i s e i s a s f o l l o w s :

P a r a m e t e r s o f V a s i c e k P r o c e s s ( e s t i m a t e d i n C h a n , K a r o l y i , L o n g s t a a n d S a n d e r s ( 1 9 9 2 ) ) :

= : 1 8 ( V a s i c e k p r o c e s s s l o p e p a r a m e t e r )

= : 0 8 5 ( V a s i c e k p r o c e s s m e a n r e v e r s i o n p a r a m e t e r )

r

= : 0 2 ( V a s i c e k p r o c e s s v o l a t i l i t y p a r a m e t e r )

r = : 0 5 8 ( F e d e r a l F u n d s R a t e , N o v e m b e r 1 9 9 5 )

B a n k r u p t c y P a r a m e t e r s ( E m p i r i c a l R e s e a r c h ) :

= : 0 3 ( P r o p o r t i o n a l c o s t s o f b a n k r u p t c y , W e i s s 1 9 9 0 )

B

= : 7 0 ( R e c o v e r y o n b a n k l o a n s , M o o d y ' s 1 9 9 7 )

D

= : 3 3 ( R e c o v e r y o n j u n i o r d e b t , M o o d y ' s 1 9 9 7 )

E

= : 2 5 ( F r a c t i o n o f E q u i t y V a l u e o f R e o r g a n i z e d C o m p a n y t o s h a r e h o l d e r s , W e i s s 1 9 9 0 )

= 2 : 7 5 ( P r o p o r t i o n a l I n c r e a s e i n d e b t i n a n L B O T r a n s a c t i o n , W a r g a a n d W e l c h 1 9 9 3 )

P a r a m e t e r s o f K m a r t ' s S t o c k R e t u r n P r o c e s s ( B a s e d o n P u b l i c l y A v a i l a b l e M a r k e t D a t a f r o m B l o o m b e r g

F i n a n c i a l M a r k e t s . )

V

= : 4 ( A s s e t V o l a t i l i t y P a r a m e t e r )

= : 1 4 ( C o r r e l a t i o n o f A s s e t V a l u e w i t h I n t e r e s t R a t e s )

9

B l o o m b e r g F i n a n c i a l M a r k e t s , N o v e m b e r 1 5 1 9 9 5 , a n d \ K m a r t S e e n O e r i n g L u m p P a y m e n t t o R e m o v e P u t O p t i o n , "

a n d \ K m a r t S h a r e s S o a r o n S e t t l e m e n t w i t h D e b t h o l d e r s , " D e c e m b e r 2 1 1 9 9 5 . T h e C F O a t K m a r t , M r . M a r t i n E . W e l c h I I I

i n f o r m e d u s t h a t t h e r e w a s i n d e e d o n e l a r g e b o n d h o l d e r h o l d i n g a b o u t $ 1 0 0 m i l l i o n o f s e c u r i t i e s . T h e r e m a i n d e r o f t h e d e b t

w a s h e l d a b o u t e q u a l l y b y 2 0 i n s t i t u t i o n a l l e n d e r s . H e a l s o s a i d t h a t i f K m a r t a c c e l e r a t e d p a y m e n t s o n m o r e t h a n $ 1 1 0 m i l l i o n

o f t h e p u t a b l e d e b t , t h e n a l l i t s b a n k d e b t w o u l d a l s o b e p u t a n d h e n c e f o r c e t h e C o m p a n y i n t o l i n g f o r C h a p t e r 1 1 . T h i s

d e t e r m i n e s t h e t r i g g e r l e v e l o f p u t a b l e d e b t , T

2 6



T h e a v e r a g e h i s t o r i c a l v o l a t i l i t y o f K m a r t ' s s t o c k r e t u r n i n t h e 1 9 9 4 - 1 9 9 7 p e r i o d i s a b o u t 0 : 4 ( F i g u r e 2 ) . T h e

a v e r a g e i m p l i e d v o l a t i l i t y o n o n e m o n t h p u t o p t i o n s o n K m a r t ' s s t o c k i s h i g h e r , a t a b o u t 0 : 4 9 . B e c a u s e t h e

l a t t e r m e a s u r e i s s u b j e c t t o t h e u s u a l s p e c i c a t i o n e r r o r s w e c h o o s e t h e a c t u a l v o l a t i l i t y . W e u s e t h i s s a m e

v o l a t i l i t y p a r a m e t e r f o r t h e a s s e t r e t u r n p r o c e s s . i s t h e c o r r e l a t i o n i n t h e s a m e p e r i o d b e t w e e n m o n t h l y

r e t u r n s o n K m a r t ' s s t o c k a n d 3 0 - d a y T r e a s u r y B i l l s .

B a l a n c e S h e e t I t e m s ( B o o k V a l u e a s l i s t e d i n K m a r t ' s 1 9 9 5 A n n u a l R e p o r t ) :

A

0

= $ 1 5 : 3 b ( T o t a l A s s e t s )

B = $ 5 : 1 b ( S e n i o r D e b t )

D

N

= $ 4 : 3 b ( J u n i o r N o n - P u t a b l e D e b t )

D

1

= $ : 1 b ( P u t a b l e D e b t H e l d b y O n e L a r g e B o n d h o l d e r )

D = $ : 4 5 b ( P u t a b l e D e b t H e l d b y S m a l l B o n d h o l d e r s )

E = $ 6 : 0 3 b ( S h a r e h o l d e r E q u i t y )

C o v e n a n t O n S e n i o r D e b t ( F o o t n o t e 9 ) : T h e r m c a n a c c e l e r a t e p a y m e n t o n n o m o r e t h a t $ . 1 1 b o f j u n i o r

p u t a b l e b o n d s w i t h o u t t r i g g e r i n g b a n k r u p t c y p r o c e e d i n g s .

T = $ : 1 1 b ( T r i g g e r L e v e l o f P u t a b l e D e b t )

N = 2 0 ( N u m b e r o f S m a l l P u t a b l e B o n d h o l d e r s )

M a r k e t V a l u e o f t h e F i r m ( H i s t o r i c a l s t o c k a n d b o n d p r i c e s a r e f r o m B l o o m b e r g F i n a n c i a l M a r k e t s ) :

V

E

= 3 : 4 6 b 4 8 6 , 5 1 1 S h a r e s O u t s t a n d i n g a t $ 7 . 1 2 5 p e r s h a r e

V

B

= $ 5 : 6 1 S e n i o r 9 % C o u p o n D e b t v a l u e d a t a b o u t $ 1 . 1 0 p e r d o l l a r .

1 0

V

D

= $ 4 : 8 5 b J u n i o r 8

1

2

D e b t v a l u e d a t a b o u t $ . 8 9 p e r d o l l a r

1 2

= $ : 4 ( I m p l i e d 1 2 - Y e a r P r o b a b i l i t y o f D e f a u l t s )

T h e a v e r a g e s t o c k p r i c e o f K m a r t i n D e c e m b e r 1 9 9 5 | t h e m o n t h o f n e g o t i a t i o n s | w a s $ 7 . 1 2 5 ( F i g u r e 2 ,

t o p l e f t ) . T h e c a l c u l a t i o n o f t h e I m p l i e d 1 2 - Y e a r P r o b a b i l i t y o f D e f a u l t ( u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e )

i s a s f o l l o w s : T h e a v e r a g e m a t u r i t y o f d e b t o u t s t a n d i n g w a s a b o u t 1 2 y e a r s . M o s t o f t h e b o n d s c a r r i e d a

c o u p o n o f 7 - 1 1 % . A s s e e n i n t h e t o p r i g h t p a n e l o f F i g u r e 2 , t h e s p r e a d o n K m a r t d e b t i n c r e a s e d t o a b o u t

5 0 0 b a s i s p o i n t s . M a r k e t d a t a r e v e a l s t h a t K m a r t ' s 8

1

2

b o n d s t r a d e d a t a b o u t 8 9 c e n t s t o t h e d o l l a r . U s i n g

( 4 ) , a n d t h e p a r a m e t e r s a b o v e f o r t h e V a s i c e k p r o c e s s a t a s h o r t - t e r m r a t e o f 5 . 8 % ( t h e F e d e r a l F u n d s r a t e

a t t h e t i m e o f t h e c r i s i s ) i m p l y t h a t a 1 2 - y e a r d i s c o u n t b o n d w o u l d b e v a l u e d a t P ( : 0 5 8 ; 1 2 ) = : 4 1 8 c e n t s

p e r d o l l a r . T y p i c a l l y , t h e r e c o v e r y o n j u n i o r d e b t i n b a n k r u p t c y i s

D

= : 3 3 ( M o o d y ' s ( 1 9 9 7 ) ) . U s i n g t h e

2 7



f o r m u l a P

D

= P ( : 0 5 5 ; 1 2 ) f

D

[ 1 +

1 2

(

D

1 ) ] t h e n i m p l i e s

1 2

= : 4 .

1 1

U s i n g t h e p r i c i n g f o r m u l a f o r 9 %

s e n i o r c o u p o n d e b t a n d a h i g h e r r e c o v e r y

B

, i m p l i e s t h a t s e n i o r d e b t w o u l d t r a d e a t a b o u t $ 1 . 1 c e n t s p e r

d o l l a r . T h e s u m o f t h e m a r k e t v a l u e s o f t h e l i a b i l i t i e s e q u a l s $ 1 3 . 2 7 b i l l i o n . T h e b o o k v a l u e o f a s s e t s i s l i s t e d

a s $ 1 6 . 6 4 b i n K m a r t ' s 1 9 9 5 A n n u a l R e p o r t .

V a l u e s i n a n I m m e d i a t e R e o r g a n i z a t i o n :

1 2

W e a s s u m e t h a t t h e l e v e l o f d e b t s o n t h e b o o k s o f t h e c o m p a n y

s h o w n a b o v e e q u a l p r i n c i p a l a n d a c c r u e d i n t e r e s t . T h e r e f o r e ,

B

P

F

= m i n f ( 1 : 0 3 ) 1 3 : 2 7 ; 5 : 1 g = 5 : 1 ( R e c o v e r y o n S e n i o r D e b t )

D

P

F

= m i n f ( 1 : 0 3 ) 1 3 : 2 7 5 : 1 4 : 8 5 g = 4 : 8 5 ( R e c o v e r y o n J u n i o r D e b t )

E

P

F

= ( 1 : 0 3 ) 1 3 : 2 7 5 : 1 4 : 8 5 = 2 : 9 3 ( S h a r e h o l d e r s E q u i t y V a l u e )

I m p l i c a t i o n s o f M o d e l a n d t h e s i z e o f t h e ` P i e ' : T h e m o d e l i m p l i e s t h a t t h e d e f a u l t b o u n d a r i e s a r e

= 1 7 : 5 3 ( D e f a u l t B o u n d a r y P r i o r t o L B O a s i n ( 7 ) )

L

= 4 2 : 8 3 ( D e f a u l t B o u n d a r y P r i o r A f t e r L B O a s i n ( 6 ) )

S i n c e P ( : 0 5 5 ; 1 2 ) e q u a l s : 4 1 8 ,

t

= 7 : 3 2 a n d

L

t

= 1 7 : 9 . T o m a t c h t h e d e f a u l t p r o b a b i l i t y o f

1 2

= : 3 8 , w i t h

t h e m a r k e t v a l u e s o f j u n i o r a n d t h e a b o v e d e f a u l t b o u n d a r i e s , t h e i m p l i e d v a l u e o f t h e L B O a r r i v a l p a r a m e t e r

i s = : 0 2 . H o w e v e r , b e c a u s e t h e c u r r e n t m a r k e t v a l u e o f t h e a s s e t s i s v e r y l o w , w i t h a h i g h p r o b a b i l i t y t h e

v a l u e o f t h e a s s e t s a t t h e t i m e o f t h e L B O o e r a r r i v a l w i l l b e b e l o w

L

t

, t h e h i g h e r d e f a u l t b o u n d a r y i n t h e

e v e n t t h e L B O i s c o n s u m m a t e d . T h e m o d e l i m p l i e s t h a t t h e p r o b a b i l i t y o f a T y p e - C d e f a u l t ( s e e F i g u r e 3 )

i s o n l y a b o u t . 0 4 % . U s i n g ( 1 9 ) t h e s e b o u n d a r i e s i m p l y t h a t t h e e x p e c t e d d i s c o u n t e d b a n k r u p t c y c o s t s e q u a l

B

P

P ( 0 ; 1 2 ) = $ : 1 b : F i n a l l y , u s i n g ( 2 8 ) , v , t h e ` p i e ' t o b e s h a r e d b e t w e e n t h e p u t a b l e b o n d h o l d e r s a n d t h e

r m i s $ 3 . 7 1 b .

U s i n g L e m m a 8 w i t h t h e a b o v e p a r a m e t e r v a l u e s , i t i s e s t i m a t e d t h a t t h e s t r a t e g i c v a l u e p e r

d o l l a r o f o p t i o n a t t h e t i m e o f b a r g a i n i n g w a s a b o u t $ . 4 8 p e r d o l l a r f o r t h e l a r g e b o n d h o l d e r , a n d a b o u t

$ . 4 3 p e r d o l l a r f o r t h e s m a l l b o n d h o l d e r s , f o r a n a g g r e g a t e p a y m e n t o f a b o u t $ 2 4 1 m i l l i o n . S o m e r e p o r t s

h a v e s u g g e s t e d t h a t K m a r t m a d e a t o t a l p a y m e n t o f a b o u t $ 9 8 m i l l i o n f o r t h e r e m o v a l o f t h e o p t i o n s .

A l s o , t h e m o d e l s u g g e s t s t h a t t h e s t r a t e g i c v a l u e f o r t h e l a r g e b o n d h o l d e r w a s l a r g e r t h a n t h a t o f t h e s m a l l e r

b o n d h o l d e r s , b u t t h e d i e r e n c e i s n o t a s l a r g e a s r u m o r e d i n t h e m e d i a ( o p e n i n g p a r a g r a p h o f t h i s s e c t i o n ) .

1 3

T h e m o d e l a l s o s u g g e s t s t h a t i f t h e r e w a s a s i n g l e b o n d h o l d e r o w n i n g a l l t h e d e b t , t h e p a y o u t f o r t h e r m

w o u l d h a v e b e e n $ 7 0 m i l l i o n l o w e r ! S i m i l a r l y , h a v e a t r i g g e r o f a b o u t $ 2 2 0 m i l l i o n i n s t e a d o f $ 1 1 0 m i l l i o n ,

w o u l d h a v e s a v e d t h e r m a l m o s t $ 6 0 m i l l i o n a t t h e t i m e o f s e t t l e m e n t .

1 1

T h i s i s a n a p p r o x i m a t i o n . T o b e m o r e e x a c t w e s h o u l d n d 2 4 p r i c e s o f b o n d s w i t h d i e r e n t c o u p o n s , a n d u s e t h e b o n d -

p r i c i n g f o r m u l a t o s i m u l t a n e o u s l y i n f e r t h e p r o b a b i l i t i e s o f d e f a u l t a t e a c h c o u p o n d a t e .

1 2

S e e F i g u r e 4 f o r t h e d e n i t i o n s o f t h e r e c o v e r i e s .

1 3

I f t h e a m o u n t s h e l d b y t h e l a r g e a n d s m a l l b o n d h o l d e r s w e r e r e v e r s e d , t h a t i s t h e l a r g e b o n d h o l d e r h e l d $ 4 5 0 m i l l i o n o f

p u t a b l e b o n d s , t h e n t h e m o d e l i m p l i e s t h a t t h e s t r a t e g i c v a l u e o f h i s o p t i o n w o u l d i n d e e d b e 5 t i m e s l a r g e r .

2 8



R e a d e r s m i g h t s u p p o s e t h a t t h e s t r a t e g i c v a l u e s c a l c u l a t e d a r e i m p l a u s i b l y h i g h . O n e r e a s o n t h a t

t h e s t r a t e g i c v a l u e p e r d o l l a r c a l c u l a t e d i s e n o r m o u s , i s b e c a u s e t h e e x e r c i s e o f m o r e t h a n $ 1 1 0 m i l l i o n o f

p u t a b l e b o n d s c a n r e d u c e t h e c l a i m s o f e q u i t y h o l d e r s b y a b o u t $ 8 0 0 m . A s a n o t h e r c o n c e p t u a l e x p e r i m e n t ,

s u p p o s e a l l t h e r m s j u n i o r d e b t w a s p u t a b l e . K e e p i n g t h e s a m e p r o p o r t i o n a l t r i g g e r a m o u n t o f 2 0 p e r c e n t o f

t h e f a c e v a l u e o f t h e p u t a b l e d e b t , o r $ 1 b i l l i o n , w e r e c a l c u l a t e t h a t t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e l a r g e b o n d h o l d e r

i s a b o u t 1 6 . 8 c p e r d o l l a r o f p u t a b l e d e b t , a n d t h a t o f t h e s m a l l b o n d h o l d e r i s a b o u t 1 6 c p e r d o l l a r .

9 P r i c i n g O p t i o n s P r i o r t o C r i s i s

I n t h i s s e c t i o n w e s h a l l p r i c e t w o d i e r e n t k i n d s o f P o i s o n P u t B o n d s a t t h e t i m e o f i s s u a n c e o f t h e s e b o n d s .

W e s h a l l c a l l t h e b o n d s ` O r d i n a r y ' P o i s o n P u t s , w h e n h o l d e r s c a n p u t t h e i r b o n d s b a c k t o t h e i s s u e r a t

p a r i n t h e e v e n t o f a l e v e r a g e d r e s t r u c t u r i n g a n d s u b s e q u e n t d o w n g r a d i n g t o s p e c u l a t i v e g r a d e ( a n y s p e c i c

r a t i n g c a t e g o r y ) .

1 4

W e s h a l l c a l l t h e b o n d s ` S u p e r ' P o i s o n P u t s , w h e n t h e h o l d e r s c a n p u t t h e b o n d s i f

t h e c r e d i t r a t i n g o f t h e b o n d s h i t s s p e c u l a t i v e g r a d e , i r r e s p e c t i v e o f t h e r e a s o n f o r t h e d o w n g r a d e ( s e e t h e

c o m m e n t s i n S e c t i o n a b o u t t h e e v o l u t i o n o f s u c h b o n d s ) . W e s h a l l a s s u m e t h a t t h e r a t i n g o f t h e b o n d s a r e

s o l e l y d e t e r m i n e d b y t h e i r p r o b a b i l i t i e s o f d e f a u l t . B e c a u s e t h e v a l u e o f t h e r m ' s a s s e t s f o l l o w s a c o n t i n u o u s

p r o c e s s , f o r e v e r y t i m e - h o r i z o n t h e r e e x i s t s a l o w e r b o u n d f o r t h e v a l u e o f t h e r m ' s a s s e t s h i t s i n s i t u a t i o n

K , t h e r a t i n g t u r n s f r o m i n v e s t m e n t t o s p e c u l a t i v e g r a d e . I t i s e v i d e n t t h a t f o r a g i v e n p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t

a t a n y h o r i z o n V

L ; t

V

P ; t

V

U ; t

b e c a u s e t h e d e f a u l t b o u n d a r y i s l o w e s t f o r t h e c a s e K = U , a n d

h i g h e s t f o r K = L ; f o r t h e c a s e K = P , t h e h i g h e r d e f a u l t b o u n d a r y o b t a i n s w h e n a n L B O i s s u c c e s s f u l l y

c o n s u m m a t e d , a n d s i n c e t h i s i s i n i n d e p e n d e n t e v e n t w i t h p r o b a b i l i t y l e s s t h a n o n e , V

P

, l i e s b e t w e e n t h e

o t h e r t w o .

A s s u m p t i o n 8 T h e s p e c u l a t i v e g r a d e b o u n d a r y i n s i t u a t i o n K , f o r K = P ; L ; U , i s g i v e n b y V

K ; t

=

V

K

P ( r

t

; T ) , w h e r e v

K

i s a c o n s t a n t t h a t w i l l b e s u b s t i t u t e d i n t o ( 9 ) t o m a t c h t h e d e f a u l t s c a l e

S

( T ) b y

M o o d y ' s I n v e s t o r S e r v i c e , a s s h o w n i n T a b l e 1 . C o r r e s p o n d i n g t o t h e n o r m a l i z a t i o n o f a s s e t v a l u e i n S e c t i o n

3 , w e d e n e v

K ; t

= v

K

P ( r

t

; T ) = l n

V

K t

t

.

T h e s u p e r p o i s o n p u t s a r e e x e r c i s a b l e ( a ) P r i o r t o t h e L B O t h e a s s e t v a l u e d r i f t s d o w n t o t h e

d e f a u l t b o u n d a r y , ( b ) A t t h e t i m e o f t h e L B O , t h e r m ' s c r e d i t r a t i n g ( d e f a u l t p r o b a b i l i t y ) j u m p s d o w n d u e

t o a r i s e i n t h e d e f a u l t b o u n d a r y ( c ) A f t e r a s u c c e s s f u l L B O , t h e r m ' s r a t i n g i s a b o v e s p e c u l a t i v e g r a d e ,

b u t s u b s e q u e n t l y t h e a s s e t v a l u e d r i f t d o w n t o t h e h i g h e r d e f a u l t b o u n d a r y , a n d ( d ) A f t e r a n u n s u c c e s s f u l

L B O a t t e m p t , t h e r m ' s r a t i n g i s a b o v e s p e c u l a t i v e g r a d e , b u t s u b s e q u e n t l y t h e a s s e t v a l u e d r i f t d o w n . L e t

S

( T ) b e a n e x o g e n o u s l y g i v e n f u n c t i o n t h a t g i v e s t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t f o r a b o n d o f m a t u r i t y T , a t

w h i c h t h e r a t i n g t u r n s f r o m i n v e s t m e n t t o s p e c u l a t i v e g r a d e .

1 4

W h i l e s e v e r a l b o n d s b e c o m e p u t a b l e w h e n t h e r a t i n g h i t s s p e c u l a t i v e g r a d e , t h e r a t i n g b o u n d a r y s p e c i e d d i e r s w i d e l y

a c r o s s b o n d s . T h e a n a l y s i s i s t h i s s e c t i o n i s v a l i d f o r a n y s p e c i c r a t i n g b y s u b s t i t u t i n g p r o b a b i l i t i e s o f d e f a u l t a t d i e r e n t

h o r i z o n s f o r t h e s p e c u l a t i v e g r a d e c a t e g o r y b y t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i t i e s o f d e f a u l t f o r t h e r a t i n g s p e c i e d i n t h e c o n t r a c t

o f t h e b o n d .

2 9



P r i o r t o a n L B O , t h e r m ' s r a t i n g t u r n s s p e c u l a t i v e g r a d e w h e n i t s n o r m a l i z e d v a l u e q

t

h i t s v

K

.

T h e o p t i o n p a y s o a t t h e r s t t i m e t h e v a l u e h i t s a p a y o b o u n d a r y . S i n c e t h e r a t i n g b o u n d a r y i n c r e a s e s

a t t h e r i s k l e s s r a t e ( s a m e a s t h e d e f a u l t b o u n d a r y ) , a n a l o g o u s l o g i c t o t h a t u s e d i n L e m m a 1 a n d t h e s p a t i a l

h o m o g e n e i t y o f B r o w n i a n M o t i o n i m p l i e s t h a t c o n d i t i o n a l o n q

0

, t h e d e n s i t y o f t h e t i m e t o h i t s p e c u l a t i v e

g r a d e i s

r

0

( m

0

; 0 ; t ) =

0

( m

0

v

P

; 0 ; t ) ; ( 4 6 )

w h e r e

0

( m

0

; 0 ; t ) i s g i v e n b y ( 1 0 ) . S i m i l a r l y , t h e t r a n s i t i o n d e n s i t y o n t h e n o r m a l i z e d s p a c e , c o n d i t i o n a l o n

t h e r m ' s v a l u e a l w a y s r e m a i n i n g a b o v e t h e s p e c u l a t i v e g r a d e b o u n d a r y i s

p

r

( m

0

; y ; 0 ; t ) = p

a

( m

0

v

P

; y v ; 0 ; t ) ( 4 7 )

w h e r e p

a

( q

0

; y ; t ) i s g i v e n b y ( 1 1 ) .

R e s u l t 3 ( S u p e r P o i s o n P u t s ) L e t P

0

( f ) b e t h e v a l u e a t t h e t i m e 0 o f i s s u a n c e o f a s i t u a t i o n - d e p e n d e n t

s e c u r i t y , f , t h a t p a y s t h e v a l u e f

K

( V

P

) , a t t h e t i m e o f e x e r c i s e o f t h e s u p e r p o i s o n p u t o p t i o n s

P

, i f t h e

s i t u a t i o n i s K , a n d t h e e x e r c i s e b o u n d a r i e s a r e d e n e d i n A s s u m p t i o n 8 . T h e n , i t s v a l u e i s t h e s u m o f f o u r

p a r t s . E a c h p a r t c o n s t i t u t e s t h e v a l u e o f t h e o p t i o n i n o n e o f f o u r m u t u a l l y e x c l u s i v e e v e n t s E ; F ; F ; H .

P

E

0

( f ) = P ( r

0

; T )

Z

T

0

r

0

( q

0

; 0 ; s ) f

P

( V

P ; s

) e

s

d s ; ( 4 8 )

P

F

0

( f ) = P ( r

0

; T )

Z

T

0

Z

l

v

P

e

s

p

r

( m

0

; y ; 0 ; s )

Z

T

s

r

0

( y + v

P

v

U

; s ; t ) f

U

( V

U ; s

) d t

!

d y d s ; ( 4 9 )

P

G

0

( f ) = P ( r

0

; T )

Z

T

0

Z

v

L

l

e

s

p

r

( m

0

; y ; 0 ; s ) f

L

( e

y

P ( r

t

; T ) ) d y d s ; a n d ( 5 0 )

P

H

0

( f ) = P ( r

0

; T )

Z

T

0

Z

1

v

L

e

s

p

r

( m

0

; y ; 0 ; s )

Z

T

s

r

0

( y ( v

U

v

P

) ; s ; t ) f

L

( V

L

) d t

!

d y d s : ( 5 1 )

W h e r e l w a s d e n e d i n L e m m a 3 ,

r

0

( q

0

; 0 ; t ) i s d e n e d i n ( 4 6 ) a n d p

r

( q

0

; y : s ; t ) i s d e n e d i n ( 4 7 ) .

T h e p r o o f i s i n t h e a p p e n d i x . A g a i n f o r e x p o s i t i o n w e d i s p l a y t h e p a y o s u n d e r t h e f o u r e v e n t s

i n F i g u r e 8 .

C o r o l l a r y 4 S u p p o s e C o n d i t i o n 1 h o l d s a t e a c h b o u n d a r y V

K

P

, f o r K = P ; L ; U . L e t P

0

( 1 ) b e t h e v a l u e o f

a s e c u r i t y t h a t p a y s P ( r

P

; T

) a t

P

.

P

0

( v

K

P

) = P

0

( v ) P

0

( B ) B P

0

( P

B

) ( 5 2 )

P

0

( P

B

) = P

0

( 1 ) f

B

+ f

B

P

0

( ( ; ) ) (

B

1 ) ] ; ( 5 3 )

E

0

[ E

P

F

] = ( 1 ) P

0

( v ) P

0

( 1 ) B f

B

P

0

( 1 ) D f

D

( 5 4 )

D

0

[ D

P

F

] = P

0

( 1 ) D f

D

( 5 5 )

3 0



w h e r e v

K

P

i s d e n e d i n ( 2 8 ) , v t a k e s t h e v a l u e s v

K

i s s i t u a t i o n K a s g i v e n i n A s s u m p t i o n 8 , B t a k e s t h e

v a l u e s B

K

g i v e n i n ( 1 9 ) , ( 2 0 ) , ( 2 1 ) , P

B

( ; ) t a k e s t h e v a l u e s P

K

B

( ; ) a s p r o v i d e d i n L e m m a s 2 a n d 3 , P

0

( )

i s t h e o p e r a t o r d e n e d i n L e m m a 3 , a n d E

0

( ; ) d e n o t e s t h e e x p e c t a t i o n a t t i m e 0 u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l

m e a s u r e Q .

P r o o f . T h e v a l u e o f t h e r m a t

P

e q u a l s V

K ;

P

. B y A s s u m p t i o n 8 , t h i s e q u a l s v

K

P ( r

P

; T ) , w h i c h h a s a

t i m e T v a l u e o f v

K

. T h e r e f o r e P

0

( V

P

) = P

0

( v ) , w h e r e P

0

( ) i s t h e o p e r a t o r d e n e d i n L e m m a 3 . N o w u s i n g

t h e d e n i t i o n o f v

K

P

i n ( 2 8 ) i m p l i e s ( 5 2 ) . T h e p r o o f f o r t h e o t h e r v a r i a b l e s r e s u l t s f r o m a s i m i l a r a p p l i c a t i o n

o f t h e P

0

( ) o p e r a t o r .

C o r o l l a r y 4 c a n b e u s e d t o n d f o r m u l a s f o r t h e i n t r i n s i c a n d s t r a t e g i c v a l u e s o f t h e p u t o p t i o n s a t

t h e t i m e o f i s s u a n c e . T h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e o p t i o n s d e p e n d s o n t h e o w n e r s h i p s t r u c t u r e o f t h e o p t i o n s

a t t h e t i m e o f t h e p u t ; t o p r i c e t h e s t r a t e g i c v a l u e a t t h e t i m e o f t h e c r i s i s , w e s h a l l a s s u m e t h a t a l l a g e n t s

b e l i e v e t h a t t h e o w n e r s h i p s t r u c t u r e o f t h e o p t i o n s w i l l n o t c h a n g e u p t o t h e m a t u r i t y o f t h e d e b t . G i v e n t h e

o w n e r s h i p s t r u c t u r e , t h e s t r a t e g i c v a l u e o f e a c h p l a y e r a t t h e t i m e o f b a r g a i n i n g w i l l p r o v i d e t h e b o u n d a r y

c o n d i t i o n s f o r t h e v a l u e o f t h e o p t i o n , w h e n t h e a s s e t v a l u e h i t s t h e t r i g g e r i n g b o u n d a r y V

K ; t

i n s i t u a t i o n

K a t t i m e t .

A s s u m p t i o n 9 A l l a g e n t s b e l i e v e t h a t t h e o w n e r s h i p s t r u c t u r e o f t h e o p t i o n s w i l l n o t c h a n g e u p t o t h e

m a t u r i t y o f t h e d e b t .

F o r e x a m p l e , f o r t h e c a s e o f N e q u a l l y s i z e d p u t a b l e b o n d h o l d e r s , u s i n g ( 3 2 ) a n d ( 4 4 )

P

0

( I V ) = f

D

( 1

D

) P

0

(

K

( ; ) ) ; a n d ( 5 6 )

P

0

( S V ) = ( 1

N

) [

P

0

( v ) P

0

( E

P

F

)

D

P

0

( 1 ) f

D

] + P

0

( I V ) ( 5 7 )

I n t h e c a s e w h e n t h e r e i s o n e l a r g e h o l d e r h o l d i n g D

1

o f p u t a b l e d e b t , a n d N e q u a l l y s i z e d h o l d e r s o w n i n g

D o f t h e d e b t , t h e e q u a t i o n s i n L e m m a 8 d e t e r m i n e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e v a l u e o f t h e r m a n d

t h e b o n d h o l d e r s . T h e n C o r o l l a r y 4 d e t e r m i n e s t h e v a l u e o f t h e r e l e v a n t v a r i a b l e s a t t h e t i m e o f i s s u a n c e , a s

i l l u s t r a t e d i n 5 7 .

W h e n C o n d i t i o n 1 i s n o t s a t i s e d , t h e n C o r o l l a r y 4 c a n n o t b e u s e d d i r e c t l y . I n t h a t s i t u a t i o n , t h e

p a y o s i n a n b a n k r u p t c y w i l l h a v e t o s u b s t i t u t e d a t t h e b o u n d a r i e s w h e r e t h e c o n d i t i o n f a i l s .

R e s u l t 4 ( O r d i n a r y P o i s o n P u t s ) L e t P

o

0

( f ) b e t h e v a l u e a t t h e t i m e 0 o f i s s u a n c e o f a s i t u a t i o n - d e p e n d e n t

s e c u r i t y , f , t h a t p a y s t h e v a l u e f

L

( V

P

) P ( r

P

; T

) , a t t h e t i m e o f e x e r c i s e o f t h e o r d i n a r y p o i s o n p u t o p t i o n s

P

, i f t h e s i t u a t i o n i s L , a n d t h e e x e r c i s e b o u n d a r i e s a r e d e n e d i n A s s u m p t i o n 8 . T h e n

P

o

0

( f ) = P ( r

0

; T )

Z

T

0

Z

v

L

l

e

s

p

a

( q

0

;

y

; 0 ; s ) f

L

( y ) d y d s : ( 5 8 )

3 1



P r o o f . T h e r m ' s r a t i n g t u r n s f r o m i n v e s t m e n t t o s p e c u l a t i v e g r a d e a t t h e t i m e o f L B O i f i t s n o r m a l i z e d

v a l u e l i e s i n ( l ; v

L

) . U s i n g t h e d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e L B O a r r i v a l a n d i n t e g r a t i n g i m p l i e s ( 5 8 ) .

W e n o t e t h a t t h e f o r m u l a f o r v a l u i n g t h e o r d i n a r y p o i s o n p u t c l o s e l y r e s e m b l e s t h e f o r m u l a f o r

P

0

( G ) o f t h e s u p e r p o i s o n p u t i n L e m m a 3 . T h e o n l y d i e r e n c e i s t h a t t h e s u p e r p o i s o n p u t p a y s o a t

t h e r s t t i m e t h e r a t i n g h i t s s p e c u l a t i v e g r a d e , w h i l e t h e o r d i n a r y p u t d o e s n o t . O f c o u r s e , t h e o p t i o n d o e s

n o t p a y o i f t h e r m d e f u a l t s p r i o r t o t h e L B O a r r i v a l . T h e r e f o r e , w e u s e t h e t r a n s i t i o n d e n s i t y f u n c t i o n

p

a

( q

0

; y ; 0 ; t ) f o r t h e o r d i n a r y p u t v a l u a t i o n a n d t h e p

r

( q

0

; y ; 0 ; t ) t r a n s i t i o n d e n s i t y f o r t h e s u p e r p o i s o n

p u t v a l u a t i o n . A g a i n , t h e s p e c u l a t i v e g r a d e r a t i n g b o u n d a r y i n t h e f o r m u l a t i o n c a n b e s u b s t i t u t e d b y a n y

s p e c i c r a t i n g c a t e g o r y .

E x a m p l e 5 ( M a r k e t V a l u e o f A s s e t s , C r e d i t R a t i n g a n d t h e V a l u e o f O p t i o n s )

I n t h i s e x a m p l e w e n d t h e s t r a t e g i c a n d i n t r i n s i c v a l u e s o f p u t a b l e b o n d s f o r r m s w i t h d i e r e n t a s s e t

v a l u e s a n d h e n c e d i e r e n t c r e d i t r a t i n g s . W e u s e R e s u l t s 3 a n d 4 t o p r i c e t h e S u p e r a n d O r d i n a r y P o i s o n

P u t s r e s p e c t i v e l y . T h e o p t i o n s a r e p r i c e d a t i s s u a n c e , w i t h a m a t u r i t y o f 2 0 y e a r s . T h e v a r i o u s p a r a m e t e r

a s s u m p t i o n s a r e a s f o l l o w s : P a r a m e t e r s f o r t h e V a s i c e k p r o c e s s a n d t h o s e d e t e r m i n i n g p a y o s o f d i e r e n t

p l a y e r s i n b a n k r u p t c y a r e t h e s a m e a s i n S e c t i o n 8 . I t i s a s s u m e d t h a t = 0 ( z e r o c o r r e l a t i o n b e t w e e n

a s s e t r e t u r n s a n d t h e s h o r t - t e r m r a t e ) . T h e a s s e t v o l a t i l i t y p a r a m e t e r i s

V

= : 3 , a n d t h e L B O e x p o n e n t i a l

d i s t r i b u t i o n a r r i v a l p a r a m e t e r i s = : 0 3 . T h e f a c e v a l u e s o f d e b t i s s u e d a r e B = 5 : 1 , D

N

= 4 : 3 , a n d

D = : 5 5 ; ( 6 ) a n d ( 7 ) i m p l y t h a t = 1 8 : 3 2 , a n d 4 4 : 7 6 . U s i n g L e m m a s 2 a n d 3 , w e e s t i m a t e t h a t t h e r a t i n g

b o u n d s f o r t h e a s s e t s a r e v

P

= 4 8 : 9 9 , v

L

= 4 5 : 2 , a n d v

L

= 1 1 2 : 5 0 . ( 5 6 ) i s u s e d t o p r i c e t h e i n t r i n s i c

v a l u e o f t h e s u p e r p o i s o n p u t . U s i n g R e s u l t 4 a n a n a l o g o u s f o r m u l a i s u s e d t o p r i c e t h e o r d i n a r y P o i s o n

P u t . I t i s a s s u m e d t h a t t h e t r i g g e r v a l u e o f p u t a b l e d e b t i s s e t b y c o v e n a n t s a t : 1 , a n d t h e b o n d s a r e h e l d

b y i n n i t e s i m a l b o n d h o l d e r s . T h e r e f o r e , t h e l i m i t i n g v a l u e o f t h e r a t i o M

c

= N + 1 = T = D i s u s e d i n ( 5 7 ) i n

t h e c a l c u l a t i o n o f s t r a t e g i c v a l u e .

R e c a l l t h a t t h e r m ' s r a t i n g a r e l o w e r e d i n t o t h e s p e c u l a t i v e g r a d e r a n g e i n s i t u a t i o n S a t t i m e t

i f t h e v a l u e o f i t s a s s e t s f a l l s t o v

S

P ( r

t

; T ) . T h e c u m u l a t i v e p r o b a b i l i t i e s o f d e f a u l t o v e r h o r i z o n s o f 1 , 2 , 5 , 1 0 ,

a n d 2 0 y e a r s a r e : 0 1 0 ; : 0 3 7 ; : 1 2 ; : 2 2 ; : 3 7 w h e n t h e v a l u e o f t h e a s s e t s h i t s V

P ; t

p r i o r t o a n L B O a r r i v a l . A f t e r

a n L B O a r r i v a l , t h e i m p l i e d d e f a u l t r a t e s a r e : 0 0 7 ; : 0 3 5 ; : 1 1 ; : 2 3 ; : 3 8 r e s p e c t i v e l y f o r t h e v e t i m e h o r i z o n s .

M o o d y ' s u s u a l l y r a t e s r m s w i t h a 2 0 - y e a r c u m u l a t i v e d e f a u l t r a t e o f : 3 8 o r m o r e s p e c u l a t i v e g r a d e ( T a b l e

1 ) .

1 5

S t r a t e g i c a n d i n t r i n s i c v a l u e s a r e s h o w n i n T a b l e 2 . T h e t a b l e s h o w s t h a t t h e s t r a t e g i c a n d i n t r i n s i c

v a l u e s a r e e a c h d e c r e a s i n g i n t h e v a l u e o f t h e r m . T h i s i s b e c a u s e t h e p r o b a b i l i t y o f a p a y o u t i n c r e a s e s a s

t h e v a l u e o f t h e r m i s l o w e r e d t o w a r d s i t d o w n g r a d e b o u n d a r y . U s i n g L e m m a 3 w e e s t i m a t e t h e 2 0 - y e a r

1 5

J o n e s , M a s o n a n d R o s e n f e l d ( 1 9 9 4 ) ( a m o n g o t h e r a u t h o r s ) h a v e c i t e d t h e d i c u l t y o f a m o d e l w i t h a c o n t i n u o u s a s s e t

p r o c e s s i n g e n e r a t i n g a n e m p i r i c a l l y p l a u s i b l e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t a t s h o r t h o r i z o n s . Z h o u ( 1 9 9 7 ) r e s o l v e s t h e p r o b l e m w i t h

a d i s c o n t i n u o u s j u m p p r o c e s s ; w e g e n e r a t e a h i g h e r p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t , p r i o r t o a n L B O a r r i v a l , w i t h a j u m p i n t h e d e f a u l t

b o u n d a r y , w h i c h o c c u r s u p o n t h e c o m p l e t i o n o f a n L B O . S i n c e w e h a v e m o d e l e d t h e a r r i v a l o f o n l y o n e L B O , w e c a n n o t m a t c h

t h e s a m e 1 - y e a r p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t a f t e r t h e L B O a r r i v a l .

3 2



d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s f o r e a c h o f t h e a s s e t v a l u e s d i s p l a y e d . T h e p r o b a b i l i t i e s a r e u s u a l l y a s s o c i a t e d w i t h

M o o d y ' s r a t i n g a s s h o w n i n t h e t h i r d c o l u m n . T h e i n t r i n s i c v a l u e s o f t h e o r d i n a r y P o i s o n P u t s a r e e x t r e m e l y

s m a l l , b e t w e e n : 0 0 1 a n d : 0 0 6 f o r r m s w i t h r a t i n g s c o m p a r a b l e A a a t o B a a 2 . T h e s t r a t e g i c v a l u e s r a n g e

b e t w e e n : 0 2 a n d : 1 9 f o r t h e s e r a t i n g c a t e g o r i e s . T h e s t r a t e g i c v a l u e s o f t h e S u p e r P o i s o n p u t s a r e a b o u t

1 2 - 1 7 t i m e s l a r g e r t h a n t h e i r i n t r i n s i c v a l u e s . A l s o n o t a b l y , t h e s t r a t e g i c v a l u e s o f t h e o p t i o n s c a n b e l a r g e r

t h a n 1 , f o r r m s w i t h r a t i n g s c l o s e t o t h e s p e c u l a t i v e g r a d e b o u n d a r y . I n t h e s e c a s e s t h e v a l u e o f t h e o p t i o n s

w i l l i n c r e a s e t h e f a c e v a l u e o f t h e d e b t .

E x a m p l e 6 ( C o r r e l a t i o n B e t w e e n A s s e t V a l u e a n d S h o r t - T e r m R a t e s a n d t h e V a l u e o f O p t i o n s ) .

T h e s a m e s e t o f p a r a m e t e r s a r e u s e d f o r t h e l a s t e x a m p l e . H o w e v e r , t h e a s s e t v a l u e f o r a l l c a s e s

c o n s i d e r e d i s 4 5 . T h e c o r r e l a t i o n c o e c i e n t i s v a r i e d b e t w e e n : 3 a n d : 3 . F o r e a c h c a s e , t h e r a t i n g

b o u n d a r i e s f o r t h e n o r m a l i z e d a s s e t p r o c e s s v

K

, f o r K = P ; L ; U a r e r e c a l c u l a t e d f o r e a c h e x a m p l e a n d

a r e s h o w n i n c o l u m n s 3 - 5 o f T a b l e 3 . T h e s e l e v e l s a r e c a l c u l a t e d u s i n g L e m m a 3 t o m a t c h t h e 2 0 - y e a r

d e f a u l t p r o b a b i l i t y o f M o o d y ' s B a r a t e d b o n d s . I t c a n b e c h e c k e d t h a t C o n d i t i o n 1 i s s a t i s e d a t e a c h o f

t h e b o u n d a r i e s f o r e a c h c a s e c o n s i d e r e d . T h e r a t i n g b o u n d a r i e s a r e i n c r e a s i n g i n t h e c o r r e l a t i o n c o e c i e n t ,

s i n c e t h e a s s e t p r o c e s s i s e e c t i v e l y m o r e ` v o l a t i l e ' . T h e r e f o r e t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t i s h i t w h e n t h e r m

h a s a h i g h e r a s s e t v a l u e . B e c a u s e o f t h e h i g h e r a s s e t v a l u e s a t t h e t i m e s t h e o p t i o n s b e c o m e e x e r c i s a b l e , t h e

i n t r i n s i c a n d s t r a t e g i c v a l u e s o f t h e o p t i o n s a r e g r e a t e r .

1 0 C o n c l u s i o n a n d E x t e n s i o n s

P u t a b l e b o n d s g i v e t h e b o n d h o l d e r s t h r e a t e n i n g p o w e r t o f o r c e t h e c o m p a n y i n t o a r e o r g a n i z a t i o n i n t i m e s o f

l o w l i q u i d i t y . W e h a v e u s e d r e c e n t r e s u l t s i n b a r g a i n i n g t h e o r y t o p r o v i d e s t r a t e g i c v a l u e s o f p u t a b l e b o n d s .

I t i s s h o w n t h a t t h e s e b o n d h o l d e r s c a n e x t r a c t m o r e t h a n t h e i r i n t r i n s i c v a l u e s f r o m t h e c o m p a n y . T h e

s t r a t e g i c v a l u e s o f t h e s e b o n d h o l d e r s d e p e n d c r u c i a l l y o n t h e e e c t i v e l i q u i d i t y - t o - p u t a b l e d e b t r a t i o o f t h e

r m . E v e n w h e n t h e n u m b e r o f b o n d h o l d e r s i n c r e a s e s t o i n n i t y ( a r e a s o n a b l e a p p r o x i m a t i o n f o r p u b l i c l y

i s s u e d b o n d s ) , t h e t w o v a l u e s w i l l n o t c o i n c i d e f o r a n e e c t i v e l i q u i d i t y - t o - p u t a b l e d e b t r a t i o l e s s t h a n o n e .

A c a l i b r a t i o n e x e r c i s e s u g g e s t s t h a t a l a r g e b o n d h o l d e r h a d a s i g n i c a n t l y h i g h e r s t r a t e g i c v a l u e i n a p o i s o n

p u t i n d u c e d c r i s i s a e c t i n g K m a r t C o r p . l a s t y e a r . W h i l e p r e v i o u s r e s e a r c h h a s s h o w n t h a t i n c l u d i n g a

p u t p r o v i s i o n i n t o b o n d s c a n r e d u c e t h e y i e l d s f o r i s s u e r s , t h e r e s e e m s t o b e a p o s s i b i l i t y o f a l a r g e c o s t

o f i n c l u d i n g s u c h c o v e n a n t s . I n K m a r t ' s c a s e , t h e c r i s i s w o u l d h a v e b e e n a v o i d e d ( t h e b o n d h o l d e r s w o u l d

h a v e n e g l i g i b l e t h r e a t e n i n g p o w e r ) i f t h e c o m p a n y h a d n o t e n t e r e d i n t o s o m e v e r y r e s t r i c t i v e c o v e n a n t s o n

t h e u s e o f c a s h w i t h t h e i r b a n k s . W h i l e i t i s v e r y c l e a r w h y t h e b a n k s w a n t e d s u c h a c o v e n a n t | t h e y d i d

n o t w a n t a n e e c t i v e v i o l a t i o n o f t h e i r s e n i o r i t y a n d h e n c e b e l e f t a s t h e l a s t c l a i m a n t s i n c a s e o f a l a r g e

d e t e r i o r a t i o n i n t h e r m ' s c r e d i t q u a l i t y | o u r m o d e l s u g g e s t s t h a t t h e c o m p a n y c o u l d h a v e s a v e d i t s e l f o f

a c o s t l y p a y o u t b y e i t h e r ( a ) i s s u i n g a l l t h e p u t a b l e d e b t t o o n e b o r r o w e r , o r ( b ) h a v i n g a l o o s e r c o v e n a n t

o n o p t i o n b u y b a c k . P r i o r t o t h e c r i s i s , t h e m o d e l s u g g e s t e d i s g e n e r a l e n o u g h t o p r i c e d i e r e n t v a r i a t i o n s o n

3 3



t h e p o i s o n p u t s . I n l i g h t o f t h e v a s t h e t e r o g e n e i t y i n t h e c o n t i n g e n c i e s t h a t m i g h t t r i g g e r t h e p u t ( S e c t i o n

2 ) , a c a r e f u l a n a l y s i s o f t h e c o n t r a c t i s e s s e n t i a l f o r a u s e f u l p r i c i n g e x e r c i s e .

T h e p a p e r h a s f o c u s e d o n t h e n e g o t i a t i o n t h a t a r i s e s b e t w e e n a b o r r o w e r a n d l e n d e r s a s a r e s u l t

o f t h e b o r r o w e r ' s v i o l a t i o n o f a p a r t i c u l a r c o v e n a n t | t h e v a l u e o f i t s a s s e t s h i t t i n g a p r e - s p e c i e d l o w e r

b o u n d . T h e n e g o t i a t i o n s a r e s u c c e s s f u l i f t h e c o m b i n e d v a l u e o f t h e p a r t i e s i s h i g h e r i n c o n t i n u a t i o n t h a n i n

a n i m m e d i a t e c o s t l y r e o r g a n i z a t i o n . T h e b a r g a i n i n g s o l u t i o n e x h i b i t s d i e r e n t i a l s t r a t e g i c v a l u e f o r l a r g e a n d

s m a l l l e n d e r s a n d n o n - v a n i s h i n g s t r a t e g i c v a l u e s f o r l e n d e r s e v e n f o r i n n i t e s i m a l l e n d e r s . O n e i m p o r t a n t

e x t e n s i o n o f t h i s a n a l y s i s i s t o a n a l y z e t h e r e c o n t r a c t i n g p o s s i b i l i t i e s t h a t a r i s e u p o n t h e v i o l a t i o n o f o t h e r

c o v e n a n t s t h a t a r e s e t i n b o n d c o n t r a c t s t o m i t i g a t e t h e c o n i c t s o f i n t e r e s t b e t w e e n s h a r e h o l d e r s a n d

b o n d h o l d e r s ( s e e f o r e x a m p l e , S m i t h a n d W a r n e r 1 9 7 9 ) . T h e c a n a l s o b e e x t e n d e d t o t h e b a n k l o a n a n d

p r i v a t e p l a c e m e n t m a r k e t s , i n w h i c h i t i s a l s o t y p i c a l f o r l e n d e r s t o i m p o s e c o v e n a n t s o n t h e r m ' s d e b t a n d

f o r t h e p r e v a l a n c e o f l a r g e p l a y e r s o f d i e r e n t s i z e s ( s e e f o r e x a m p l e , C a r e y , P r o w s e , R e a a n d U d e l l 1 9 9 3 ) . A

s t r a t e g i c v a l u e a p p r o a c h m i g h t p a r t l y e x p l a i n w h y t h e n a t u r e o f c o v e n a n t s v a r i e s a c r o s s t h e t h r e e t y p e s o f

l o a n s . B e c a u s e t h e s o l u t i o n p r o p o s e d h o l d s o n l y u n d e r s y m m e t r i c i n f o r m a t i o n b e t w e e n t h e p a r t i e s i n v o l v e d ,

i t s u s e f u l n e s s w o u l d b e l i m i t e d t o t h e a n a l y s i s w h e n t h e c o n t r a c t s b e i n g a n a l y z e d h a v e t h i s p r o p e r t y .

A p p e n d i x .

P r o o f o f L e m m a 3 .

F i r s t , s u p p o s e t h a t t h e L B O o e r a r r i v e s a t s o m e t i m e s 2 [ 0 ; T ] ( t h e p r o b a b i l i t y o f t h i s i s

f ( s j ) = e x p ( s ) ) . T h e n , t h e r e a r e t h r e e m u t u a l l y e x c l u s i v e p o s s i b i l i t i e s ( p u r e l y f o r e x p o s i t i o n , t h e s e

a r e i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 3 ) . W e s h a l l u s e t h e C h a p m a n - K o l m o g o r o v p r o p e r t y o f M a r k o v p r o c e s s e s , a n d t h e

i n d e p e n d e n c e o f t h e L B O a r r i v a l p r o c e s s f r o m i n t e r e s t r a t e a n d a s s e t v a l u e s h o c k s , t o c o m p u t e t h e p r o b a b i l i t y

o f d e f a u l t o f t h e r m b e f o r e m a t u r i t y . L e t

P

( q

t

;

L

t

; t ; T ) b e t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t ; i t c a n

b e w r i t t e n a s

P

( q

t

;

L

t

; t ; T ) =

A

( q

t

;

L

t

; t ; T ) +

B

( q

t

;

L

t

; t ; T ) +

C

( q

t

;

L

t

; t ; T ) +

D

( q

t

;

L

t

; t ; T ) w h e r e

A ; B ; C ; D a r e m u t u a l l y e x c l u s i v e e v e n t s t o b e d e s c r i b e d b e l o w . A T y p e A d e f a u l t o c c u r s w h e n t h e a s s e t

p r o c e s s h i t s t h e d e f a u l t b a r r i e r b e f o r e s . P a t h s o f T y p e B h a v e

s

V

s

L

s

, o r e q u i v a l e n t l y 0 q

s

l n ( l ) ,

w h e r e l =

B

B +

D

D

B

B +

D

D

. B e c a u s e t h e v a l u e o f t h e r m i s l o w e r t h a n t h e p o s t - L B O d e f a u l t b o u n d a r y , t h e

L B O i s n o t c o n s u m m a t e d , t h e d e f a u l t b o u n d a r y i s n o t i n c r e a s e d , a n d t h e r m s u b s e q u e n t l y d e f a u l t s w h e n

q

t

h i t s 0 . P a t h s o f T y p e C , l e a d t o a s u c c e s s f u l L B O t r a n s a c t i o n a t s a n d a s u b s e q u e n t d e f a u l t w h e n q

t

h i t s

l n ( l ) p r i o r t o T . T h e o n l y r e m a i n i n g p o s s i b i l i t y ( e v e n t D ) i s t h a t t h e L B O o e r d o e s n o t a r r i v e p r i o r t o t h e

m a t u r i t y o f d e b t , a n d t h e p r o b a b i l i t y o f t h e r m d e f a u l t i n g i s s i m p l y t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t i n g p r i o r t o T

w i t h o u t a n y c h a n g e i n t h e d e f a u l t b a r r i e r . g i v e n b y ( 1 8 ) . N o w u s i n g t h e F e y n m a n - K a c s o l u t i o n o f t h e b o n d

p r i c e a s i n L e m m a 2 y i e l d s ( 1 4 ) .


3 4



T h e a m o u n t t o b e s h a r e d b y e q u i t y h o l d e r s a n d p u t a b l e b o n d h o l d e r s i f a s e t t l e m e n t i s s u c c e s s f u l l y

n e g o t i a t e d i s g i v e n b y v

K

P

= V

t

B

K

P ( r

P

; T ) B P

K

B

; w h e r e B

K

T

i s p r o v i d e d i n L e m m a 4 . F o r c o n v e n i e n c e ,

t h e a r g u m e n t s o f t h e p r i c e a n d b a n k r u p t c y c o s t f u n c t i o n s h a v e b e e n o m i t t e d . T h e a m o u n t t o b e s h a r e d b y

t h e s e p l a y e r s i n a n i m m e d i a t e r e o r g a n i z a t i o n i s g i v e n b y E

P

F

+ D

P

F

= ( 1 ) V

t

B

P

F

; w h i c h e q u a l s

( 1 ) V

t

B f

B

P ( r

P

; T ) ( 5 9 )

u n d e r C o n d i t i o n 1 ( s e n i o r b a n k d e b t i s p a i d i n f u l l i f t h e j u n i o r d e b t h a s n o n - z e r o r e c o v e r y ) . F o r s i t u a t i o n s

L a n d U t h e p r o o f i s s t r a i g h t f o r w a r d : U s i n g L e m m a 2 , t h e v a l u e o f r e s o u r c e s i n c o n t i n u a t i o n e q u a l

V

t

B

K

t

P ( r

P

; T ) B f

B

P ( r

P

; T ) [ 1 + ( q

t

; t ; T ) (

B

1 ) ] ; ( 6 0 )

w h e r e q

t

=

V

t

L

t

f o r K = L , a n d q

t

=

V

t

t

f o r K = U . B e c a u s e f u t u r e e x p e c t e d b a n k r u p t c y c o s t s i n s i t u a t i o n K

a r e s i m p l y e q u a l t o t i m e s t h e d e f a u l t b o u n d a r y , a n d t h e r m i s c u r r e n t l y s o l v e n t ( V

t

>

t

f o r K = U o r

V

t

>

L

t

f o r K = L ) i t s c u r r e n t b a n k r u p t c y c o s t s ( i f i t f a i l s i m m e d i a t l e y ) e x c e e d f u t u r e e x p e c t e d b a n k r p u t c y

c o s t s | o r V

P

F

> B

K

P

. C o n d i t i o n 1 i m p l i e s t h a t t h e v a l u e o f b a n k d e b t ( i n c o n t i n u a t i o n ) i s l o w e r t h a n

B f

B

P ( r

P

; T ) , t h e a m o u n t t o b e p a i d t o b a n k h o l d e r s i m m e d i a t e l y . T h e r e f o r e , t h e q u a n t i t y i n ( 6 0 ) e x c e e d s

t h e q u a n t i t y i n ( 5 9 ) .

W h e n K = P | w h e n t h e L B O o e r h a s n o t y e t a r r i v e d | a n d w h e n V

P

L

P

, t h e s a m e l o g i c

a s f o r t h e a b o v e c a s e s a p p l i e s . T h e c a s e l e f t t o c o n s i d e r i s w h e n

L

P

> V

P

>

P

. U n d e r t h e r i s k - n e u t r a l

m e a s u r e Q , n o - a r b i t r a g e i m p l i e s t h a t t h e v a l u e o f t h e r m ' s a s s e t s m u s t s a t i s f y

V

P

= [

P

(

V

P

P

;

P

; T )

C

(

V

P

P

;

P

; T ) ]

t

+

C

(

V

t

t

; t ; T )

L

t

+ P ( r

P

; T ) E

Q

[ V

T

j F i r m i s s o l v e n t ] :

S i n c e t h e l a s t t e r m i s p o s i t i v e ,

V

P

[

P

(

V

P

P

;

P

; T )

C

(

V

P

P

;

P

; T ) ]

t

+

C

(

V

t

t

; t ; T )

L

t

:

S i n c e b a n k r u p t c y c o s t s a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e v a l u e o f t h e r m ' s a s s e t s a t b a n k r u p t c y , c u r r e n t b a n k r u p t c y

c o s t s a r e l a r g e r t h a n e x p e c t e d f u t u r e b a n k r u p t c y c o s t s , a n d t h e s a m e s t e p s a s f o r t h e o t h e r c a s e s a p p l y .

P r o o f o f R e s u l t 1 .

F o l l o w i n g H a r t a n d M a s - C o l e l l ( 1 9 9 6 ) w e d e n e t h e f u n c t i o n V

K

P

( ) , t h a t a s s i g n s a s u b s e t V ( S )

K

P

o f R

S

t o e v e r y c o a l i t i o n S I . W h e n a l l p l a y e r s a r e r i s k - n e u t r a l t h e n t h e s e t V

K

P

( S ) = f c 2 R

S

:

P

i 2 S

c

i

v ( S ) g , w h e r e v

K

P

( S ) i s t h e s u m o f t h e r e s o u r c e s a v a i l a b l e t o t h e p l a y e r s i n S . T h e r e a r e t h r e e

r e q u i r e m e n t s f o r t h e s e t V

K

P

( S ) :

3 5



( A : 1 ) F o r e a c h c o a l i t i o n S , t h e s e t V

K

P

( ) i s c l o s e d , c o n v e x a n d c o m p r e h e n s i v e ( i . e . , V

K

P

( ) R

S

+

V

K

P

( ) ) . M o r e o v e r , 0 2 V

K

P

( ) a n d V

K

P

( )

T

R

S

+

i s b o u n d e d .

( A : 2 ) F o r e a c h c o a l i t i o n S , t h e b o u n d a r y o f V

K

P

( ) i s s m o o t h a n d n o n l e v e l ( i . e . t h e o u t w a r d n o r m a l

v e c t o r a t a n y p o i n t o f t h e b o u n d a r y i s p o s i t i v e i n a l l c o o r d i n a t e s ) .

( A : 3 ) M o n o t o n i c i t y : V

K

P

( ) f 0

T n S

g T ( i . e . i f o n e c o m p l e t e s a v e c t o r i n V

K

P

( ) w i t h 0 ' s f o r t h e

c o o r d i n a t e s i n T n S , t h e n o n e o b t a i n s a v e c t o r i n V

K

P

( ) ( T ) .

F o r t h e s e t V

K

P

( S ) = f c 2 R

S

:

P

i 2 S

c

i

v

K

P

( S ) g , ( A : 1 ) a n d ( A : 2 ) t r i v i a l l y h o l d . F o r ( A : 3 ) , i t

i s r e q u i r e d t h a t v

K

P

( S ) v

K

P

( T ) w h e n e v e r S T . I t i s e v i d e n t f r o m t h e d e n t i o n o f v

K

P

t h a t t h e o n l y n o n -

m o n o t i n i c i t e s c a n a r i s e w h e n D

P

= T . B y L e m m a 6 , v

K

P

> E

P

F

+ D

P

F

, a n d t h e r e f o r e v

K

P

( E

S

D

C

)

i n c r e a s e s a s D

C

c r o s s e s t h e t h r e s h o l d ( D T ) , t h e s m a l l e s t l e v e l o f c o o p e r a t i n g p u t a b l e d e b t n e e d e d t o a v o i d

a n i m m e d i a t e r e o r g a n i z a t i o n . I f C o n d i t i o n 1 h o l d s , t h e n D

P

F

= D f

B

P ( r

P

; T ) , a n d t h e r e f o r e , v

K

P

( D

P

)

i n c r e a s e s a s D

P

c r o s s e s t h e t r i g g e r l e v e l T .

1 6


W e w i l l s h o w t h a t t h e m a r g i n a l v a l u e o f p l a y e r i i n a n y c o a l i t o n e x c e e d s D

i

f

B

P ( r

P

; T ) . U n d e r

C o n d i t i o n 1 , ( 2 6 ) a n d ( 2 7 ) i m p l y t h a t t h e v a l u e o f a n y p u r e b o n d h o l d e r c o a l i t o n w i t h d e b t D

S

e q u a l s

D

S

f

D

P ( r

P

; T ) ; t h e r e f o r e , t h e m a r g i n a l c o n t r i b u t i o n o f a b o n d h o l d e r w i t h d e b t D

i

t o a l l s u c h c o a l i t o n s i s

D

i

f

B

P ( r

P

; T ) . N o w c o n s i d e r t h e m a r g i n a l v a l u e o f t h e b o n d h o l d e r i n c o a l i t i o n s t h a t i n c l u d e t h e r m . L e t

D

C

b e t h e t o t a l v a l u e o f d e b t o f c o o p e r a t i n g b o n d h o l d e r s t h a t i n c l u d e s D

i

. I f D

C

D

i

( D T ) , t h e n

w i t h o r w i t h o u t t h e c o o p e r a t i a o n o f i , t h e r m n e e d n o t l e f o r a r e o r g a n i z a t i o n i m m e d i a t e l y ; u s i n g ( 2 9 ) ,

t h e m a r g i n a l v a l u e o f b o n d h o l d e r i e q u a l s D

i

f

B

P ( r

P

; T ) . T h e l a s t c a s e i s w h e n D

C

D

i

< ( D T ) ,

b u t D

C

( D T ) . I n t h i s c a s e , b o n d h o l d e r i i s p i v o t a l ; u s i n g ( 2 9 ) a n d ( 3 0 ) , t h e m a r g i n a l v a l u e o f p l a y e r

i e q u a l s

v

K

P

[ E

[

D

C

] v

K

P

[ E

[

( D

C

D

i

) ] = v

K

P

( D D

C

) f

D

P ( r

P

; T ) [ D

P

F

D

C

D

i

D

+ E

P

F

] ;

= v

K

P

D

P

F

E

P

F

+ D

i

f

D

P ( r

P

; T ) ;

a n d L e m m a 6 i m p l i e s t h a t t h e l a s t q u a n t i t y e x c e e d s D

i

f

D

P ( r

P

; T ) .


V a l u e o f F i r m :

C o a l i t i o n s w i t h o u t D

1

:

0 m < M

0

; v (

m

[

i = 0

D

i

) =

m

N

D f

D

P ( r

P

; T ) ( 6 1 )

1 6

I f D

P

F

< D f

B

P ( r

P

; T ) , t h e n v ( T + ) =

T +

D

D

P

F

< T = v ( T ) f o r a s m a l l > 0

3 6



m M

0

; v (

m

[

i = 0

D

i

) =

m

N

D

D + D

1

D

P

F

( 6 2 )

0 m N M

1

; v (

m

[

i = 0

D

i

[

E ) =

m

N

D

D + D

1

D

P

F

+ E

P

F

( 6 3 )

m > N M

1

; v (

m

[

i = 0

D

i

[

E ) = v

P

( D

1

+

N m

N

D ) f

D

P ( r

P

; T ) ( 6 4 )

T h e c o a l i t i o n h a s m + 1 m e m b e r s a n d t h e r e a r e

N !

N m ! m !

s u c h c o a l i t i o n s . E a c h o f t h e s e h a s t h e

s a m e v a l u e , t h e r e f o r e ( N + 2 ; m + 2 )

N !

N m ! m !

=

N m + 1

N + 2 N + 1

.

C o a l i t i o n s w i t h D

1

:

0 m < M

1

; v (

m

[

i = 0

D

i

[

D

1

) = (

m

N

D + D

1

) f

D

P ( r

P

; T ) ( 6 5 )

m M

1

; v (

m

[

i = 0

D

i

[

D

1

) =

m

N

D + D

1

D + D

1

D

P

F

( 6 6 )

0 m N M

0

; v (

m

[

i = 0

D

i

[

E

[

D

1

) =

m

N

D + D

1

D + D

1

D

P

F

+ E

P

F

( 6 7 )

m > N M

0

; v (

m

[

i = 0

D

i

[

E

[

D

1

) = v

P

(

N m

N

D ) f

D

P ( r

P

; T ) ( 6 8 )


N !

N m ! m !

s u c h c o a l i t i o n s . E a c h o f t h e s e h a s t h e

s a m e v a l u e , t h e r e f o r e ( N + 2 ; m + 2 )

N !

N m ! m !

=

m + 1

N + 2 N + 1

. N o w s u b s t i t u t i n g ( 6 1 ) - ( 6 8 ) i n t o ( 3 1 )

p r o v i d e s t h e e x p r e s s i o n f o r t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e r m .

V a l u e o f t h e L a r g e B o n d h o l d e r :

C o a l i t i o n s w i t h o u t E :

0 m < M

0

; v (

m

[

i = 0

D

i

) =

m

N

D f

D

P ( r

P

; T ) ( 6 9 )

m M

0

; v (

m

[

i = 0

D

i

) =

m

N

D

D + D

1

D

P

F

( 7 0 )

0 m < M

1

; v (

m

[

i = 0

D

i

[

D

1

) = (

m

N

D + D

1

) f

D

P ( r

P

; T ) ( 7 1 )

m M

1

; v (

m

[

i = 0

D

i

[

D

1

) =

m

N

D + D

1

D + D

1

D

P

F

( 7 2 )


N !

N m ! m !

s u c h c o a l i t i o n s . E a c h o f t h e s e h a s t h e s a m e v a l u e ,

t h e r e f o r e ( N + 2 ; m + 1 )

N !

N m ! m !

=

N m + 1

N + 2 N + 1

.

3 7



C o a l i t i o n s w i t h E :

0 m N M

1

; v (

m

[

i = 0

D

i

[

E ) =

m

N

D

D + D

1

D

P

F

+ E

P

F

( 7 3 )

m > N M

1

; v (

m

[

i = 0

D

i

[

E ) = v

P

(

N m

N

D + D

1

) f

D

P ( r

P

; T ) ( 7 4 )

0 m N M

0

; v (

m

[

i = 0

D

i

[

E

[

D

1

) =

m

N

D + D

1

D + D

1

D

P

F

+ E

P

F

( 7 5 )

m > N M

0

; v (

m

[

i = 0

D

i

[

E

[

D

1

) = v

P

(

N m

N

D ) f

D

P ( r

P

; T ) ( 7 6 )


N !

N m ! m !

s u c h c o a l i t i o n s . E a c h o f t h e s e h a s

t h e s a m e v a l u e , t h e r e f o r e ( N + 2 ; m + 2 )

N !

N m ! m !

=

m + 1

N + 2 N + 1

. N o w s u b s t i t u t i n g ( 6 9 ) - ( 7 6 ) i n t o ( 3 1 )

p r o v i d e s t h e e x p r e s s i o n f o r t h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e l a r g e b o n d h o l d e r . S i n c e t h e s u m o f t h e p l a y e r s v a l u e s

e q u a l v

P

, t h e v a l u e o f e a c h o f t h e s m a l l e r b o n d h o l d e r s e q u a l s

v

P

E

D

1

N

P r o o f o f R e s u l t 3 .

T h e o p t i o n p a y s o w h e n t h e r m ' s c r e d i t r a t i n g h i t s s p e c u l a t i v e g r a d e | w h i c h b y A s s u m p t i o n

8 s e t s l o w e r b o u n d s o n t h e v a l u e o f t h e r m ' s a s s e t s i n s i t u a t i o n K , K = P ; L ; U . T h e s e c u r i t y t h e r e f o r e

p a y s t h e v a l u e f

K

( V

P

) a t t h e t i m e o f e x e r c i s e o f t h e s u p e r p o i s o n p u t o p t i o n ,

P

. L e t E b e t h e e v e n t t h a t

t h e r m ' s r a t i n g h i t s s p e c u l a t i v e g r a d e b e f o r e t h e L B O a r r i v a l . T h e d e n s i t y o f a d o w n g r a d e a t a t t i m e s

i s g i v e n b y

r

0

( m

0

; 0 ; s ) , u p o n w h i c h t h e s e c u r i t y p a y s f

P

( V

P ; s

) . T h e p r o b a b i l i t y o f n o L B O b y s i s e

s

.

R e c a l l i n g t h a t t h e L B O p r o c e s s i s i n d e p e n d e n t o f t h e a s s e t v a l u e a n d i n t e g r a t i n g t h e p r e s e n t d i s c o u n t e d

v a l u e f o r s 2 [ 0 ; T i m p l i e s ( 4 8 ) .

L e t F b e t h e e v e n t t h a t t h e r m ' s r a t i n g h a s a l w a y s r e m a i n e d a b o v e s p e c u l a t i v e g r a d e u n t i l t h e

t i m e o f t h e L B O , b u t b e c a u s e o f a n i n s u c i e n t r m v a l u e t h e L B O d o e s n o t g o t h r o u g h ; s u b s e q u e n t l y t h e

r a t i n g d r o p s t o s p e c u l a t i v e g r a d e w h e n V h i t s V

U ;

P

a t

P

. T h e L B O i s n o t c o n s u m m a t e d i f t h e n o r m a l i z e d

v a l u e o f t h e r m ' s a s s e t s i s i n ( v

P

; l ) ; t h e t r a n s i t i o n d e n s i t y o f t h i s e v e n t i s p

r

( q

0

; y ; 0 ; s ) . S u b s e q u e n t l y

t h e r m ' s n o r m a l i z e d r a t i n g b o u n d a r y i s l o w e r e d t o v

U

a n d a n o t h e r a p p e a l t o t h e s p a t i a l h o m o g e n e i t y o f

B r o w n i a n M o t i o n i m p l i e s t h a t t h e d e n s i t y o f a r a t i n g d o w n g r a d e a f t e r t h e L B O i s

r

0

( y + v

U

v

L

; s ; t . N o w

u s i n g t h e d e n s i t y o f L B O a r r i v a l a n d i n t e g r a t i n g p r o v i d e s t h e e x p r e s s i o n f o r ( 4 9 ) .

L e t G b e t h e e v e n t t h a t t h e r m ' s r a t i n g t u r n s f r o m i n v e s t m e n t t o s p e c u l a t i v e g r a d e a t t h e t i m e

o f L B O . T h i s h a p p e n s i f t h e n o r m a l i z e d i f t h e r m s v a l u e i s i n [ l ; v

L

] ; t h e l o w e r b o u n d e n s u r e s t h a t t h e L B O

i s c o n s u m m a t e d , a n d t h e u p p e r t h a t t h e r m ' s r a t i n g i m m e d i a t e l y t u r n s t o s p e c u l a t i v e g r a d e | l e a d i n g t o

a n i m m e d i a t e p a y o o f t h e s e c u r i t y . T h e a c t u a l v a l u e o f t h e r m ' s a s s e t s i s e

y

l P ( r

t

; T ) . N o w p e r f o r m i n g

t h e i n t e g r a t i o n a s f o r t h e o t h e r e v e n t s y i e l d s ( 5 0 ) . T h e l a s t p o s s i b i l i t y i s t h a t t h e L B O i s c o n s u m m a t e d

3 8



T a b l e 1 : A v e r a g e C u m u l a t i v e D e f a u l t R a t e s a t V a r i o u s H o r i z o n s ( P e r c e n t )

Y e a r s A f t e r I s s u a n c e o f B o n d

I n i t i a l B o n d R a t i n g 1 2 5 1 0 2 0

I n v e s t m e n t - G r a d e . 0 . 2 . 8 2 . 4 6 . 6

A a a . 0 . 0 . 1 3 . 7 2 . 0

A a . 0 . 0 . 4 1 . 1 2 . 7

A . 0 . 1 . 6 1 . 8 5 . 0

B a a . 1 . 4 1 . 7 4 . 6 1 1 . 7

S p e c u l a t i v e - G r a d e 3 . 9 7 . 8 1 5 . 4 2 6 . 1 4 1 . 3

B a 1 . 4 3 . 7 1 1 . 6 2 0 . 9 3 7 . 8

B 7 . 3 1 3 . 9 2 9 . 5 4 4 . 3 5 2 . 9

S o u r c e : M o o d y ' s ( 1 9 9 7 ) .

b u t t h e r m ' s r a t i n g r e m a i n e s i n v e s t m e n t g r a d e ; t h i s h a p p e n s i f t h e r m ' s n o r m a l i z e d v a l u e i s a b o v e v

L

.

S u b s e q u e n t l y , t h e r m ' s r a t i n g t u r n s s p e c u l a t i v e g r a d e a f t e r t h e r m s v a l u e h i t s t h e u p p e r r a t i n g b o u n d a r y .

S i n c e t h i s r a i s e s t h e r a t i n g b o u n d a r y a n o t h e r a p p e a l t o s p a t i a l h o m o g e n e i t y i m p l i e s t h a t t h e s u b s e q u e n t

d e n s i t y o f t h e r a t i n g d o w n g r a d e i s

r ̀

( y ( v

U

v

P

) ; 0 ; s ; t ) . A g a i n p e r f o r m i n g a n i n t e g r a t i o n o v e r t 2 [ 0 ; T ]

y i e l d s ( 5 1 ) .

3 9



T a b l e 2 : M a r k e t V a l u e o f A s s e t s , C r e d i t R a t i n g a n d t h e V a l u e o f O p t i o n s

A s s e t s

2 0

R a t i n g I V

o

S V

o

I V S V

2 5 : 2 3 B a a 2 : 0 0 6 : 0 8 2 : 1 9 3 2 : 6 2

6 0 : 1 1 B a a 1 : 0 0 4 : 0 6 6 : 0 9 8 1 : 4 3

1 2 0 : 0 5 A : 0 0 2 : 0 3 8 : 0 4 8 : 7 7

1 9 0 : 0 2 8 A a : 0 0 1 : 0 2 3 : 0 2 8 : 4 8

2 4 0 : 0 2 0 A a a : 0 0 1 : 0 1 7 : 0 2 1 : 3 7

T h e m a r k e t v a l u e o f t h e r m ' s a s s e t s a r e i n t h e r s t c o l u m n .

2 0

i s t h e 2 0 - y e a r p r o b a b i l i t y

o f d e f a u l t s t a r t i n g w i t h t h e a s s e t v a l u e a s s h o w n , c a l c u l a t e d u s i n g L e m m a 3 . T h i s d e f a u l t

r a t e i s u s u a l l y a s s o c i a t e d w i t h a M o o d y ' s r a t i n g s h o w n i n t h e f o l l o w i n g c o l u m n . I V

o

a n d S V

o

g i v e t h e i n t r i n s i c a n d s t r a t e g i c v a l u e o f O r d i n a r y P o i s o n P u t s . I V a n d S V g i v e

t h e i n t r i n s i c a n d s t r a t e g i c v a l u e o f S u p e r P o i s o n P u t s . T h e v a l u e s o f t h e s e s e c u r i t i e s a r e

c a l c u l a t e d u s i n g R e s u l t s 3 a n d 4 . T h e p a r a m e t e r s f o r t h e p r o b l e m a r e = 0 ,

V

= 3 ,

= 0 3 , B = 5 1 , D

N

= 4 3 , a n d D = 5 5 ; ( 6 ) a n d ( 7 ) i m p l y t h a t = 1 8 3 2 , a n d

4 4 7 6

T a b l e 3 : C o r r e l a t i o n B e t w e e n A s s e t V a l u e a n d S h o r t - T e r m I n t e r e s t R a t e a n d t h e V a l u e o f O p t i o n s

2 0

v

U

v

P

v

L

I V

o

S V

o

I V S V

: 3 : 1 1 0 3 7 : 7 4 1 : 6 9 4 : 2 : 0 0 2 : 0 3 0 : 0 8 9 1 : 2 2

: 2 : 1 2 2 3 9 : 7 4 3 : 9 9 9 : 3 : 0 0 3 : 0 4 3 : 1 0 6 1 : 3 9

: 1 : 1 3 3 4 1 : 9 4 6 : 3 1 0 4 : 9 : 0 0 4 : 0 5 0 : 1 1 9 1 : 5 2

: 0 : 1 4 5 4 5 : 2 4 8 : 9 1 1 2 : 5 : 0 0 5 : 0 7 5 : 1 2 2 1 : 7 3

: 1 : 1 5 7 5 1 : 8 4 6 : 5 1 1 6 : 1 : 0 0 6 : 0 8 6 : 1 3 6 1 : 8 9

: 2 : 1 6 8 5 5 : 1 4 8 : 8 1 2 2 : 2 : 0 0 7 : 1 0 2 : 1 4 4 2 : 0 6

T h e m a r k e t v a l u e o f a s s e t s i n t h e e x a m p l e i s $ 4 5 b .

2 0

i s t h e 2 0 - y e a r p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t s t a r t i n g w i t h

t h e a s s e t v a l u e a s s h o w n . T h e o p t i o n s p a y o w h e n t h e r a t i n g s d e c l i n e t o B a o n M o o d y ' s r a t i n g s c a l e ,

w h i c h u s u a l l y c o r r e s p o n d s t o a 2 0 - y e a r p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t o f 3 7 . 8 % . F o r e a c h d i e r e n t , t h e v

K

, f o r

K = P ; L ; U a r e c a l c u l a t e d t o i m p l y t h i s p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t w h e n t h e a s s e t v a l u e i n s i t u a t i o n K h i t s v

K

I V

o

a n d S V

o

g i v e t h e i n t r i n s i c a n d s t r a t e g i c v a l u e o f O r d i n a r y P o i s o n P u t s . I V a n d S V g i v e t h e i n t r i n s i c

a n d s t r a t e g i c v a l u e o f S u p e r P o i s o n P u t s . T h e v a l u e s o f t h e s e s e c u r i t i e s a r e c a l c u l a t e d u s i n g R e s u l t s 3 a n d

4 . T h e c o m m o n p a r a m e t e r s f o r e a c h c a s e a r e ,

V

= 3 , = 0 3 , B = 5 1 , D

N

= 4 3 , a n d D = 5 5 . ( 6 )

a n d ( 7 ) i m p l y t h a t = 1 8 3 2 , a n d 4 4 7 6

4 0



F i g u r e 1 : A c q u i s i t i o n A c t i v i t y a n d P o i s o n P u t I s s u a n c e

1985 1987 1989 1991 1993 1995 19970

20

40

60

80

Completed Aquisitions by LBO Firms and

Billons of Dollars

1. LBO firms were identified by the Securities Data Company.

Source. Securities Data Comapny

Investor Groups1

* At an annual rate.

Jan-Sep*

1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 0

5

10

15

20

25

30

35

New Commitments to Non-Venture PrivateBillions of Dollars

Source: The Private Equity Analyst


Jan-Sep*

Equity Partnerships

Value of equity retired

1985 1987 1989 1991 1993 1995 19970

50

100

150

200

250

300

350

400

Volume of Merger Activity

Nonfinancial

Billions of 1995 dollars

* At an annual rate.Source. Securities Data Company.

Jan-Sep*

1985 1987 1989 1991 1993 1995 19970

600

1200

1800

2400

Number of Completed Mergers

* At an annual rate

Jan-Sep*

1985 1987 1989 1991 1993 1995 19970

60

120

180

240

Number of Completed LBO and

* At an annual rate

Investor Group Aquistions

Jan-Sep*

Investment Grade Bonds

Speculative Grade Bonds

1991 1993 1995 1997 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Public Issuance of Poison Put BondsBillions of dollars


*

Source. Securities Data Company.

T h e m e r g e r s e r i e s i n t h e t o p p a n e l s r e p r e s e n t t h e m a j o r i t y ( > 5 0 % ) a c q u i s i t i o n o f p u b l i c a n d p r i v a t e U . S . n o n n a n c i a l

c o m p a n i e s . T h e d a r k p o r t i o n i n t h e t o p r i g h t p a n e l r e p r e s e n t s t h e e q u i t y o f t h e t a r g e t c o m p a n y r e t i r e d a s a r e s u l t o f

t h e a c q u i s i t i o n ; t h e r e m a i n d e r o f t h e d e a l v a l u e w a s p a i d i n t h e s t o c k o f t h e a c q u i r e r . T h e n u m b e r a n d t h e d e a l v a l u e

o f n o n n a n c i a l t a r g e t s t h a t w e r e a c q u i r e d b y e i t h e r L B O r m s o r p r i v a t e i n v e s t o r g r o u p s a r e s h o w n i n t h e m i d d l e

p a n e l s . F u n d s r a i s e d b y n o n - v e n t u r e p r i v a t e e q u i t y i n v e s t o r s | w h i c h i n c l u d e s p e c i a l i s t L B O r m s | a r e s h o w n i n

t h e b o t t o m l e f t p a n e l . T h e f a c e v a l u e o f P o i s o n P u t b o n d s i s s u e d i n t h e 1 9 9 0 s i s s h o w n i n t h e b o t t o m r i g h t p a n e l .

4 1



F i g u r e 2 : K m a r t ' s M a r k e t S t a t i s t i c s

1994 1995 1996 19970

20

40

60

80

100

120

Actual 30-day Volatility for Kmart Stock

Oct.

1994 1995 1996 19970

20

40

60

80

100

120

Implied Volatility from Kmart Put Options

Oct.

1994 1995 1996 19970

2

4

6

8

10

12

Yield Spread on Kmart Bonds

Oct.

1994 1995 1996 19974

8

12

16

20

24

Kmart Stock Price

Oct.

S o u r c e : B l o o m b e r g F i n a n c i a l M a r k e t s . T h e s e r i e s a b o v e a r e m o n t h l y a v e r a g e s . T h e y i e l d s p r e a d i n t h e t o p r i g h t

p a n e l i s t h e y i e l d o n K m a r t ' s 8

1

4

c o u p o n b o n d s m i n u s t h e a v e r a g e m o n t h l y F e d e r a l F u n d s r a t e . T h e v o l a t i l i t y e s t i m a t e

i n t h e b o t t o m l e f t p a n e l i s a 1 0 - d a y m o v i n g a v e r a g e o f s q u a r e d r e t u r n s . I m p l i e d v o l a t i l i t y , s h o w n i n t h e b o t t o m r i g h t

p a n e l , i s t h e a v e r a g e B l a c k - S c h o l e s i m p l i e d v o l a t i l i t i e s o n s h o r t - t e r m a t - t h e - m o n e y o p t i o n s . E a c h o f t h e s e r i e s s h o w n

i n d i c a t e i n c r e a s e d m a r k e t u n c e r t a i n t y a r o u n d D e c e m b e r 1 9 9 5 .

F i g u r e 3 : T h e E e c t o f a n L B O o n t h e P r o b a b i l i t y o f D e f a u l t

s T

A B

C

Time

0

ln(l)

qt

T h e r m d e f a u l t s o n a l l i t s l i a b i l i t i e s w h e n t h e v a l u e o f i t s a s s e t s , V

t

, h i t s t h e s t o c h a s t i c b o u n d a r y

t

, g i v e n i n ( 6 ) |

o r e q u i v a l e n t l y w h e n q

t

l n

V

t

t

h i t s z e r o . I f t h e r m i s p u r c h a s e d i n a L B O t r a n s a c t i o n , t h e b o u n d a r y i s i n c r e a s e d

t o

L

t

, g i v e n i n ( 7 ) . T h e t i m e o f t h e L B O i s s t o c h a s t i c ; i n t h e g u r e i t i s a s s u m e d t h a t t h e L B O o e r a r r i v e s a t t i m e

s . F o r e v e r y s 2 [ 0 ; T ] , t h e r e a r e t h r e e t y p e s o f a s s e t p a t h s t h a t l e a d t o d e f a u l t : q

t

h i t s 0 p r i o r t o t h e L B O i n p a t h s

o f T y p e A ; p a t h s o f T y p e B h a v e

s

V

s

L

s

, o r e q u i v a l e n t l y 0 q

s

l n ( l ) , w h e r e l =

B

B +

D

D

B

B +

D

D

, t h e r e f o r e , t h e

L B O i s n o t c o n s u m m a t e d , t h e d e f a u l t b o u n d a r y i s n o t i n c r e a s e d , a n d t h e r m d e f a u l t s w h e n q

t

h i t s 0 , T t > s ;

p a t h s o f T y p e C , l e a d t o a s u c c e s s f u l L B O t r a n s a c t i o n a t s a n d a s u b s e q u e n t d e f a u l t w h e n q

t

h i t s l n ( l ) p r i o r t o T

4 2



F i g u r e 4 : A n a t o m y o f A P u t B o n d I n d u c e d F i n a n c i a l C r i s i s

V a l u e o f C l a i m s I n A n I m m e d i a t e R e o r g a n i z a t i o n

A s s e t s L i a b i l i t i e s

N o n - P u t a b l e S e n i o r D e b t : B

P

F

= m i n f 1 V

P

; B f

B

P r

P

;

P

; T g

N o n - P u t a b l e J u n i o r D e b t : D

N

P

F

=

D

N

D + D

N

m i n f 1 V

P

B

P

F

; D f

D

P r

P

;

P

; T g

P u t a b l e D e b t : D

P

F

=

D

D + D

N

m i n f 1 V

P

B

P

F

; D f

D

P r

P

;

P

; T g

S h a r e h o l d e r E q u i t y : E

P

F

= V

P

B

P

F

D

P

F

1 V

P

1 V

P

6

B a l a n c e S h e e t a t T i m e o f C r i s i s M a r k e t - V a l u e


N o n - P u t a b l e S e n i o r D e b t : B P

B

N o n - P u t a b l e J u n i o r D e b t : D

N

P

D

P u t a b l e D e b t : D P

D


V

P

V

P

?

B a l a n c e S h e e t M a r k e t - V a l u e A f t e r S u c c e s f u l O p t i o n s T r a n s a c t i o n


S e n i o r D e b t : B P

B

J u n i o r D e b t : D

C

+ D

N

P

D

B a i l - O u t L o a n : D

P

+ X

C


V

P

V

P

@

@

@

@

@

@

@

@ R

1

R e c o v e r i e s i n I n s o l v e n t S t a t e


S e n i o r D e b t : B

T F

=

B

B f

B


T F

=

D

D

C

+ D

N

f

D

B a i l - O u t L o a n : L

T F

= 0


T F

=

E

1 V

D

1 V

D

1 V

D

B a l a n c e S h e e t M a r k e t - V a l u e i n S o l v e n t S t a t e


S e n i o r D e b t : B

T S

= B f

B


T S

= D

C

+ D

N

f

D

B a i l - O u t L o a n : L

T S

= D

P

+ X

C

f

L


T S

= V

T

B

T S

D

T S

L

T S

V

T

V

T

4 3



F i g u r e 5 : P r o p o r t i o n o f C o a l i t i o n s T h a t A v o i d A R e o r g a n i z a t i o n a n d S t r a t e g i c V a l u e P e r D o l l a r o f P u t a b l e

B o n d

0 5 10 15 20

Number of Bondholders

0

0.5

1

1.5

2

P r o p o r t i o n ,

V a l u e ,

Option Value

0 5 10 15 20


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

V a l u e

P e r

D o l l a r ,

P r o p o r t i o n

Bondholders

0 5 10 15 20


0

0.5

1

1.5

2

P r o p o r t i o n ,

V a l u e

Firm

T h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e p l a y e r s a r e c a l c u l a t e d a s s h o w n i n L e m m a 2 . T h e s t r a t e g i c v a l u e o f t h e o p t i o n i s d e n e d

i n ( 3 3 ) . T h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s d e s c r i b e t h e p r o b l e m : v = 3 , D = 5 , f

D

= 2 5 , P ( r

P

; T ) = 4 , D

P

F

= 5 ,

T = 1 , E

P

F

= 2 , a n d

T

= 2 5 . T h e p r o p o r t i o n s h o w n o n t h e a x e s e q u a l s

M

c

N + 1

; i t r e p r e s e n t s t h e p r o p o r t i o n o f

a l l c o a l i t i o n s ( i n c l u d i n g t h e r m ) i n w h i c h t h e r m r e a c h e s a s e t t l e m e n t a n d a v o i d s b a n k r u p t c y .

4 4



F i g u r e 6 : O n e L a r g e a n d O n e S m a l l B o n d h o l d e r

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Trigger

3.4

3.45

3.5

3.55

3.6

3.65

3.7

V a l u e

Firm

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Trigger

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

V a l u e P e r D o l l a r

Large Bondholder

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Trigger

1

1.2

1.4

1.6

1.82

2.2


Small Bondholder


i n ( 3 3 ) . T h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s d e s c r i b e t h e p r o b l e m : v = 5 , D = 3 , D

1

= 6 , f

D

= 2 5 , P ( r

P

; T ) = 4 ,

E

P

F

= 3 , a n d

T

= 2 5 . T h e g u r e s s h o w t h e v a l u e s o f t h e p l a y e r s a s t h e t r i g g e r l e v e l i s i n c r e a s e d f r o m 0 t o

D + D

1

4 5



F i g u r e 7 : O n e L a r g e a n d S e v e r a l S m a l l B o n d h o l d e r

0 5 10 15 20 25 30


3.28

3.3

3.32

3.34

3.36

3.38

V a l u e

Case (i) Firm

0 5 10 15 20 25 30


3.48

3.49

3.5

3.51

3.52

3.53

3.54

3.55

V a l u e

Case (ii) Firm

0 5 10 15 20 25 30


3.74

3.76

3.78

3.8

3.82

V a l u e

Case (iii) Firm

0 5 10 15 20 25 30


0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

V a l u e

P e r D o l l a r

Case (i) Small Bondholder

0 5 10 15 20 25 30


0.475

0.5

0.525

0.55

0.575

0.6

0.625

V a l u e

P e r D o l l a r

Case (ii) Small Bondholder

0 5 10 15 20 25 30


0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

V a l u e

P e r D o l l a r

Case (iii) Small Bondholder

0 5 10 15 20 25 30


0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25


Case (i) Large Bondholder

0 5 10 15 20 25 30


0.7

0.8

0.9

1


Case (ii) Large Bondholder

0 5 10 15 20 25 30


0.1

0.125

0.15

0.175

0.2

0.225

0.25


Case (iii) Large Bondholder


i n ( 3 3 ) . T h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s d e s c r i b e t h e p r o b l e m : v = 5 , D = 6 , D

1

= 3 , f

D

= 2 5 , P ( r

P

; T ) = 4 ,

E

P

F

= 3 , a n d

T

= 2 5 . T h e g u r e s s h o w t h e v a l u e s o f t h e p l a y e r s a s t h e t r i g g e r l e v e l i s i n c r e a s e d f r o m 0 t o

D + D

1

. T h e n u m b e r o f s m a l l b o n d h o l d e r s i s a l l o w e d t o v a r y b e t w e e n 1 a n d 3 0 . T h r e e s e p a r a t e c a s e s a r e c o n s i d e r e d :

I n C a s e ( i ) T = 2 , i n C a s e ( i i ) T = 4 , a n d i n C a s e ( i i i ) T = 7

4 6



F i g u r e 8 : P a y o s o f A S u p e r P o i s o n P u t B o n d

T

E

G

H

Time

F

s

0

vU

vP

ln(l)

vL

qt

_

_

_

T h e r m ' s r a t i n g h i t s s p e c u l a t i v e g r a d e i n t h e s i t u a t i o n K w h e n t h e v a l u e o f i t s a s s e t s , V

t

, h i t s t h e s t o c h a s t i c r a t i n g

b o u n d a r y V

K t

, f o r K P L U | o r e q u i v a l e n t l y q

t

= l n

V

t

P r

t

; T

h i t s v

K

. W h e n t h e r m ' s v a l u e h i t s t h i s l o w e r

b o u n d t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t i n g a t d i e r e n t t i m e h o r i z o n s m a t c h e s t h e d e f a u l t r a t e o f B a - r a t e d r m s b y M o o d y ' s .

T h e v a l u e o f a s e c u r i t y t h a t p a y s t h e v a l u e f ( V

P

) c a n b e w r i t t e n a s t h e s u m o f i t s v a l u e s i n f o u r m u t u a l l y e x c l u s i v e

e v e n t s , i . e . P

0

( f ) = P

E

0

( f ) + P

F

0

( f ) + P

G

0

( f ) + P

H

0

( f ) . I n e v e n t E , t h e r m ' s r a t i n g h i t s s p e c u l a t i v e g r a d e b e f o r e

t h e L B O a r r i v a l . I n e v e n t F , t h e r m ' s r a t i n g r e m a i n s a b o v e s p e c u l a t i v e g r a d e u n t i l t h e t i m e o f t h e L B O , b u t b e c a u s e

o f a n i n s u c i e n t r m v a l u e , t h e L B O d o e s n o t g o t h r o u g h ; s u b s e q u e n t l y , t h e r a t i n g d r o p s t o s p e c u l a t i v e g r a d e w h e n

f q

t

g h i t s v

U

. I n e v e n t G , t h e r m ' s r a t i n g t u r n s f r o m i n v e s t m e n t t o s p e c u l a t i v e g r a d e a t t h e t i m e o f L B O . T h i s

h a p p e n s i f t h e n o r m a l i z e d r m v a l u e i s i n [ l n ( l ) ; v

L

] ; t h e l o w e r b o u n d e n s u r e s t h a t t h e L B O i s c o n s u m m a t e d , a n d t h e

u p p e r t h a t t h e r m ' s r a t i n g i m m e d i a t e l y t u r n s t o s p e c u l a t i v e g r a d e | l e a d i n g t o a n i m m e d i a t e p a y o o f t h e s e c u r i t y .

U n d e r e v e n t H , t h e r m ' s r a t i n g r e m a i n s i n v e s t m e n t g r a d e u n t i l t h e L B O a r r i v a l , t h e L B O i s c o n s u m m a t e d b u t t h e

r m ' s r a t i n g r e m a i n s i n v e s t m e n t g r a d e ; t h i s h a p p e n s i f t h e r m ' s n o r m a l i z e d v a l u e i s a b o v e v

L

. S u b s e q u e n t l y , t h e

r m ' s r a t i n g t u r n s s p e c u l a t i v e g r a d e a f t e r f q

t

g h i t s v

L

4 7



R e f e r e n c e s

A i v a z i a n , V a r o u j A . a n d J e r e y L . C a l l e n , \ R e o r g a n i z a t i o n i n B a n k r u p t c y a n d t h e I s s u e o f S t r a t e g i c

R i s k , " J o u r n a l o f B a n k i n g a n d F i n a n c e , 1 9 8 3 , 7 , 1 1 9 { 1 3 3 .

A n d e r s o n , R o n a l d W . a n d S u r e s h S u n d a r e s a n , \ D e s i g n a n d V a l u a t i o n o f D e b t C o n t r a c t s , " T h e R e v i e w

o f F i n a n c i a l S t u d i e s , 1 9 9 6 , 9 ( 1 ) , 3 7 { 6 8 .

B e r g m a n , Y a c o v Z . a n d J e r e y L . C a l l e n , \ O p p o r t u n i s t i c U n d e r i n v e s t m e n t i n D e b t R e n e g o t i a t i o n a n d

C a p i t a l S t r u c t u r e , " J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s , 1 9 9 1 , 2 9 , 1 3 7 { 1 7 1 .

B l a c k , F i s c h e r a n d J o h n C . C o x , \ V a l u i n g C o r p o r a t e S e c u r i t i e s : S o m e E e c t s o f B o n d I n d e n t u r e

P r o v i s i o n s , " T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , 1 9 7 6 , 3 1 , 3 5 1 { 3 6 7 .

B r e n n a n , M i c h a e l J . a n d E d u a r d o S . S c h w a r t z , \ O p t i m a l F i n a n c i a l P o l i c y a n d F i r m V a l u a t i o n , " T h e

J o u r n a l o f F i n a n c e , 1 9 8 4 , 3 9 ( 3 ) , 5 9 3 { 6 0 7 .

, J e r o m e D e t e m p l e , a n d A v n e r K a l a y , \ B o n d C o v e n a n t s a n d t h e V a l u a t i o n o f R i s k y D e b t : A

N e w A p p r o a c h , " F i r s t B o s t o n W o r k i n g P a p e r S e r i e s F B 9 0 - 0 1 , G r a d u a t e S c h o o l o f B u s i n e s s , C o l u m b i a

U n i v e r s i t y N o v e m b e r 1 9 8 9 .

B r i y s , E r i c a n d F r a n c o i s d e V a r e n n e , \ V a l u i n g R i s k y F i x e d R a t e D e b t : A n E x t e n s i o n , " J o u r n a l o f

F i n a n c i a l a n d Q u a n t a t i v e A n a l y s i s , 1 9 9 7 , 3 3 ( 2 ) , 2 3 9 { 2 4 8 .

C a r e y , M a r k , S t e p h e n P r o w s e , J o h n R e a , a n d G r e g o r y U d e l l , \ T h e E c o n o m i c s o f P r i v a t e P l a c e -

m e n t s : A N e w L o o k , " F i n a n c i a l M a r k e t s , I n s t i t u t i o n s & I n s t r u m e n t s 3 , N e w Y o r k U n i v e r s i t y , S a l o m o n

C e n t e r 1 9 9 3 .

C h a n , K . C . , G . A n d r e w K a r o l y i , F r a n c i s A . L o n g s t a , a n d A n t h o n y B . S a n d e r s , \ A n E m p i r i c a l

C o m p a r i s o n o f A l t e r n a t i v e M o d e l s o f t h e S h o r t - T e r m I n t e r e s t R a t e , " T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , 1 9 9 2 , 4 7

( 3 ) , 1 2 0 9 { 1 2 2 7 .

C o o k , D o u g l a s O . a n d J o h n C . E a s t e r w o o d , \ P o i s o n P u t B o n d s : A n A n a l y s i s o f T h e i r E c o n o m i c

R o l e , " T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , 1 9 9 4 , 4 9 ( 5 ) , 1 9 0 5 { 1 9 2 0 .

C r a b b e , L e l a n d , \ E v e n t R i s k : A n A n a l y s i s o f L o s s e s t o B o n d h o l d e r s a n d \ S u p e r P o i s o n P u t " B o n d

C o v e n a n t s , " T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , 1 9 9 1 , 4 6 , 6 8 9 { 7 0 6 .

D e g r o o t , M o r r i s H . , P r o b a b i l i t y a n d S t a t i s t i c s , A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g , M a s s a c h u s e t t s , 1 9 8 5 .

D u e , D a r e l l a n d K e n n e t h J . S i n g l e t o n , \ M o d e l i n g t h e T e r m S t r u c t u r e o f D e f a u l t a b l e B o n d s , " M a r c h

1 9 9 5 .

D u e , D a r r e l l , D y n a m i c A s s e t P r i c i n g T h e o r y , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , P r i n c e t o n , N e w J e r s e y , 1 9 9 2 .

4 8



D u n n , K e n n e t h B . a n d C h e s t e r S . S p a t t , \ A S t r a t e g i c A n a l y s i s o f S i n k i n g F u n d B o n d s , " J o u r n a l o f

F i n a n c i a l E c o n o m i c s , 1 9 8 4 , 1 3 ( 3 ) , 3 9 9 { 4 2 3 .

F e n n , G e o r g e W . , N e l l i e L i a n g , a n d S t e p h e n P r o w s e , \ T h e P r i v a t e E q u i t y M a r k e t : A n O v e r v i e w , "

F i n a n c i a l M a r k e t s , I n s t i t u t i o n s & I n s t r u m e n t s 4 , N e w Y o r k U n i v e r s i t y , S a l o m o n C e n t e r 1 9 9 7 .

F r a n k s , J u l i a n a n d W a l t e r T o r o u s , \ A n E m p i r i c a l I n v e s t i g a t i o n o f F i r m s i n R e o r g a n i z a t i o n , " T h e

J o u r n a l o f F i n a n c e , 1 9 8 9 , 4 4 , 7 4 7 { 7 7 9 .

H a r r i s o n , J . M i c h a e l , B r o w n i a n M o t i o n a n d S t o c h a s t i c F l o w S y s t e m s , J o h n W i l e y a n d S o n s , N e w Y o r k ,

1 9 8 5 .

H a r s a n y i , J o h n C . , \ T h e S h a p l e y V a l u e a n d t h e R i s k D o m i n a n c e S o l u t i o n s o f T w o B a r g a i n i n g M o d e l s

f o r C h a r a c t e r i s t i c - F u n c t i o n G a m e s , " i n R o b e r t J . A u m a n n n e t a l . , e d . , E s s a y s i n G a m e T h e o r y a n d

M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s , M a n n h e i m : B i b l i o g r a p h i s c h e s I n s t i t u t M a n n h e i m , 1 9 8 1 .

H a r t , S e r g i u a n d A n d r e u M a s - C o l e l l , \ B a r g a i n i n g a n d V a l u e , " E c o n o m e t r i c a , 1 9 9 6 , 6 4 ( 2 ) , 3 5 7 { 3 8 0 .

J o n e s , E . P h i l l i p , S c o t t P . M a s o n , a n d E r i c R o s e n f e l d , \ C o n t i n g e n t C l a i m s A n a l y s i s o f C o r p o r a t e

C a p i t a l S t r u c t u r e s : a n E m p i r i c a l I n v e s t i g a t i o n , " T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , 1 9 9 4 , 3 9 ( 3 ) , 6 1 1 { 6 2 5 .

L e l a n d , H a y n e E . , \ C o r p o r a t e D e b t V a l u e , B o n d C o v e n a n t s , a n d O p t i m a l C a p i t a l S t r u c t u r e , " T h e J o u r n a l

o f F i n a n c e , 1 9 9 4 , 4 9 , 1 2 1 3 { 1 2 5 2 .

a n d K l a u s B . T o f t , \ O p t i m a l C a p i t a l S t r u c t u r e , E n d o g e n o u s B a n k r u p t c y , a n d t h e T e r m S t r u c t u r e

o f C r e d i t S p r e a d s , " T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , 1 9 9 6 , 5 1 ( 3 ) , 9 8 7 { 1 0 1 9 .

L o n g s t a , F r a n c i s A . a n d E d u a r d o S . S c h w a r t z , \ A S i m p l e A p p r o a c h t o V a l u i n g R i s k y F i x e d a n d

F l o a t i n g R a t e D e b t , " T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , 1 9 9 6 , 5 0 , 7 8 9 { 8 1 9 .

M a d a n , D i l i p B . a n d H a l u k U n a l , \ P r i c i n g t h e R i s k s o f D e f a u l t , " 1 9 9 4 .

M e l l a - B e r r a l , P i e r r e a n d W i l l i a m P e r r a u d i n , \ S t r a t e g i c D e b t S e r v i c e , " T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , 1 9 9 7 ,

5 2 ( 2 ) , 5 3 1 { 5 5 6 .

M e r t o n , R o b e r t C . , \ O n t h e P r i c i n g o f C o r p o r a t e D e b t : T h e R i s k S t r u c t u r e o f I n t e r e s t R a t e s , " T h e

J o u r n a l o f F i n a n c e , 1 9 7 4 , 2 9 , 4 4 9 { 4 7 0 .

M o o d y ' s , I n v e s t o r S e r v i c e , \ H i s t o r i c a l D e f a u l t R a t e s o f C o r p o r a t e B o n d I s s u e r s , " G l o b a l C r e d i t R e s e a r c h

1 9 9 7 .

N a s h , R o b e r t , J e r y M . N e t t e r , a n d A n n e t t e B . P o u l s e n , \ D e t e r m i n a n t s o f C o n t r a c t u a l R e l a t i o n s

B e t w e e n S h a r e h o l d e r s a n d B o n d h o l d e r s | I n v e s t m e n t O p p o r t u n i t i e s a n d R e s t r i c t i v e C o v e n a n t s , " M a r c h

1 9 9 7 .

4 9



O s t r o y , J o s e p h M . , \ A R e f o r m u l a t i o n o f t h e M a r g i n a l P r o d u c t i v i t y T h e o r y o f D i s t r i b u t i o n , " E c o n o m e t r i c a ,

1 9 8 4 , 5 2 , 5 9 9 { 6 3 0 .

R u b i n s t e i n , A r i e l , \ P e r f e c t E q u i l i b r i u m i n a B a r g a i n i n g M o d e l , " E c o n o m e t r i c a , 1 9 8 2 , 5 0 , 9 7 { 1 0 9 .

S m i t h , C l i o r d W . a n d J e r o l d B . W a r n e r , \ O n F i n a n c i a l C o n t r a c t i n g , " J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o -

n o m i c s , 1 9 7 9 , 7 , 1 1 7 { 1 6 1 .

S u t t o n , J o h n , \ N o n - C o o p e r a t i v e B a r g a i n i n g T h e o r y : A n I n t r o d u c t i o n , " R e v i e w o f E c o n o m i c S t u d i e s , 1 9 8 6 ,

p p . 7 0 9 { 7 2 4 .

V a s i c e k , O l d r i c h , \ A n E q u i l i b r i u m C h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e T e r m S t r u c t u r e , " J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o -

n o m i c s , 1 9 7 7 , 5 , 1 7 7 { 1 8 8 .

W a r g a , A r t h u r a n d I v o W e l c h , \ B o n d h o l d e r L o s s e s i n L e v e r a g e d B u y o u t s , " T h e R e v i e w o f F i n a n c i a l

S t u d i e s , 1 9 9 3 , 6 ( 4 ) , 9 5 9 { 9 8 2 .

W e b e r m a n , B e n , \ O n e M a n ' s P o i s o n , " F o r b e s m a g a z i n e , 1 9 8 8 , ( 2 2 ) , 1 1 7 .

W e i s s , L a w e r e n c e A . , \ B a n k r u p t c y R e s o l u t i o n . D i r e c t C o s t s a n d V i o l a t i o n o f P r i o r i t y o f C l a i m s , " J o u r n a l

o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s , 1 9 9 0 , 2 7 ( 3 ) , 2 8 5 { 3 1 4 .

W i n t e r , E y a l , \ T h e D e m a n d C o m m i t m e n t B a r g a i n i n g a n d S n o w b a l l i n g C o o p e r a t i o n , " E c o n o m i c T h e o r y ,

1 9 9 4 , 4 , 2 5 5 { 2 7 3 .

W r i n k l e r , M a t t h e w , \ H a r r i s , W i l l i a m s C o s . A r e F i r s t t o O e r S u p e r ` P o i s o n P u t s ' , " 1 6 t h N o v e m b e r , T h e

W a l l S t r e e t J o u r n a l 1 9 8 8 .

Z h o u , C h u n g s h e n g , \ A J u m p - D i u s i o n A p p r o a c h t o M o d e l i n g C r e d i t R i s k a n d V a l u i n g D e f a u l t a b l e S e c u -

r i t i e s , " F i n a n c e a n d E c o n o m i c s D i s c u s s i o n S e r i e s , 1 9 9 7 - 1 5 , B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e

S y s t e m , J u n e 1 9 9 7 .

US Federal Reserve: 199806pap

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