UPN Determinan
-
Upload
ikhsan-setyawan -
Category
Documents
-
view
232 -
download
0
Transcript of UPN Determinan
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 2/43
NOTASI MATRIKS
2
2
Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebutmatriks berordo atau berukuran m x n.
Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks
Notasi A = (aij)
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
..................
...
...
321
3333231
2232221
1131211
A =
Dengan i = 1,2,...,m
j = 1,2,...,n
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 3/43
JENIS –JENIS MATRIKS
3
3
Matriks persegi
adalah matriks yang berukuran n x n
Matriks nol
adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan
nol
=
13
41 A
=
00
00
00
23 xO
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 4/43
JENIS –JENIS MATRIKS
4
4
Matriks Diagonaladalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah
diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D.
Contoh :
Matriks Skalar
adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya
sama
= 500020
001
33 x D
=500
050005
33 x D
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 5/43
JENIS –JENIS MATRIKS
5
5
Matriks Identitasadalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal
utamanya bernilai 1.
Matriks Segitiga Atas
adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya
bernilai nol Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen
di atas diagonal utamanya bernilai nol
=
100
010
001
D
=
600
210
542
A
=
152
043
001
B
AA*I
AI*A
:identitasmatrikssifat-Sifat
=
=
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 6/43
DETERMINAN MATRIKS
6
6
Setiap matriks persegi memiliki nilai determinanNilai determinan dari suatu matriks merupakansuatu skalar.
Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan
nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 7/43
NOTASI DETERMINAN
77
Misalkan matriks A merupakan sebuah matrikspersegi
Determinan A ditulis sebagai det (A)det(A) sering dinotasikan |A|
Ada beberapa cara untuk menentukandeterminan, diantaranya adalah: Determinan dengan cara Sarrus
Determinan dengan cara Ekspansi KofaktorDeterminan dengan cara Operasi BarisElementer (OBE)
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 8/43
NOTASI DETERMINAN
88
Pada matriks 2x2 cara menghitung nilaideterminannya adalah :
Contoh :
=
2221
1211
aa
aa A
21122211)det( aaaa A −=
= 31
52
A 156)det( =−= A
2221
1211)det(
aa
aa A =
31
52
)det( = A
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 9/43
METODE SARRUS
99
Pada matriks 3x3 cara menghitung nilaideterminannya adalah menggunakan Metode Sarrus
Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaa A −−−++=
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 10/43
Contoh :
Tentukan determinan matriks
Jawab :
= 1
−−
−=
122
011
123
A
( )
122
011
123
det
−−
−= A
22
11
23
−−
202203 −−−++=
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 11/43
METODE SARRUS
1111
Nilai Determinan dicari menggunakan metodeSarrus
det(B) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3·0)-(2 ·-1 ·-1)= 2 +12+0+6-0-2= 18
−− −−=
102
311322
B
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 12/43
MINOR
1212
Yang dimaksud dengan MINOR unsur aijadalahdeterminan yang berasal dari determinan orde ndikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
Dinotasikan dengan MijContoh Minor dari elemen a₁₁
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A3332
2322
11aa
aa M =
=
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
444342
343332
242322
11
aaa
aaaaaa
M =
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 13/43
MINOR
1313
Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)
3332
2322
11aa
aa M =
3331
2321
12aa
aa M =
3231
2221
13aa
aa M =
3332
1312
21aaaa M =
3331
131122
aaaa M = dst
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 14/43
KOFAKTOR MATRIKS
1414
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskandengan
Contoh :Kofaktor dari elemen a23
2323
32
23 )1( M M c −=−= +
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 15/43
TEOREMA LAPLACE
1515
Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlahperkalian elemen-elemen dari sembarang baris ataukolom dengan kofaktor-kofaktornya
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 16/43
TEOREMA LAPLACE
1616
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada BarisMisalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansikofaktor baris pertama|A|
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
131312121111
131312121111
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
M a M a M a
cacaca
+−=
+−=
++=
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 17/43
TEOREMA LAPLACE
1717
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor bariskedua
|A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor barisketiga
|A|
3231
1211
233331
1311
223332
1312
21
232322222121
232322222121
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
M a M a M a
cacaca
−+−=
−+−=
++=
2221
1211
33
2321
1311
32
2322
1312
31
333332323131
333332323131
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
M a M a M a
cacaca
+−=
+−=
++=
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 18/43
TEOREMA LAPLACE
1818
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada KolomMisalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansikofaktor kolom pertama|A|
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2322
1312
31
3332
1312
21
3332
2322
11
313121211111
313121211111
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
M a M a M a
cacaca
+−=
+−=
++=
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 19/43
TEOREMA LAPLACE
1919
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolomkedua
|A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolomketiga
|A|
2321
1311
323331
1311
223331
2321
12
323222221212
323222221212
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
M a M a M a
cacaca
−+−=
−+−=
++=
2221
1211
33
3231
1211
23
3231
2221
13
333323231313
333323231313
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
M a M a M a
cacaca
+−=
+−=
++=
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 20/43
Contoh
Hitunglah Det(A) dengan ekspansikofaktor :
Misalkan, kita akan menghitung det
( A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
2 1 0
1 2 1
0 1 2
= A
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 21/43
=a31 C31 +a32 C32 +a33 C33
= 0 – 2 + 6 = 4
2 1 0
1 2 1
0 1 2
= A
∑=
=3
1
33)det(
j
j jca A
23)1(10 +−+= 1 1 0 2 33)1(2 +−+ 2 1
1 2
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 22/43
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktorsepanjangkolom ke-3
= 0 – 2 + 6
= 4
2 1 01 2 1
0 1 2
= A
32)1(10 +−+=1 0
1 2 33)1(2 +−+2 1
1 2
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 23/43
• Tentukan determinan matriks berikut
dengan cara Sarrus dan Kofaktor
=987
5316!
Aa)
=
765
!3""1
B b)
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 24/43
Penyelesaian
8
3
4
7
1
2
987
531
642
A
=
maka det (A) = 2.3.9 + 4.5.7 + 6.1.8 – 6.3.7 – 2.5.8 – 4.1.9
= 54 + 140 + 48 – 126 – 80 – 36
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 25/43
Dengan ekspansi kofaktor
5
!"#$
%&
!"'$
%&
5$ +=A#det $aka (
=987
531
642
A
= 2.(2 ! 40) ! (36 ! 4") # .(20 ! 1")
= - 26 # 12# 14 = 0
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 26/43
soal
• Tent*kan k jika +et(D) = %
−=43
101
51
k
k
D
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 27/43
Sifatsifat +eter,inan
• Nilai +eter,inan ti+ak -er*-a. apa-ila-aris +an kolo,nya +ipert*karkan$
/a+i0
1onto.2
• /ika se,*a *ns*r +ari s*at* -aris (ata*kolo,) a+ala. nol0 +eter,inan ,atriks it*sa,a +engan nol$
=
987
531
6!
A
=
956
83
71!
A%
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 28/43
• /ika se,*a *ns*r +ari s*at* -aris (ata*kolo,) a+ala. nol0 ke3*ali sat* *ns*r0+eter,inannya sa,a +engan .asil kali
*ns*r it* +engan kofaktornya$
• Pert*karan +*a -aris ata* +*a kolo,se,-arang akan ,eng*-a. tan+a+eter,inan$
6
23)det(B =⇒
= B
765
!3
""1
)det()det(
65
234
001
$% DC D −=⇒
=
=
765
""1
!3
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 29/43
• /ika se,*a *ns*r +ala, s*at*-aris (ata* kolo,) +ikalikan
+engan se-*a. -ilangan0+eter,inannya j*ga +ikalikan+engan -ilangan it*$
• /ika +*a -aris (ata* kolo,) sa,aata* se-an+ing0 +eter,inannyasa,a +engan nol$
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 30/43
• /ika kita ,engalikan *ns*r*ns*rs*at* -aris (ata* kolo,) +enganse-*a. -ilangan ke,*+ian
+ij*,la.kan +engan *ns*r*ns*ryang -erses*aian +engan s*at* -aris(ata* kolo,) yang lain0 nilai
+eter,inannya tetap$• /ika A +an B +*a ,atriks persegi
yang -er*k*ran sa,a0 ,aka
+et(A4) = +et(A)$+et(4)
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 31/43
Menent*kan Deter,inan+engan 3ara 4E
Tent*kan +et(A)
−=162&63
510
A
162
&63
510
)det( −= A Pert!"r!"# R1 $e#%"# R2 $et&'()*$et&A(
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 32/43
'"%+,"- R1$e#%"# 3
$et&'()!.$et&A(
R3 *2/R1
162
510
&63 −−=
162
510
321
3
−
−=
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 33/43
R3 *10/R2
5100
510
321
3
−
−−=
5500
510
321
3
−
−−=
165)55)(1)(1)(3( =−−=
ent* an et ,atr s
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 34/43
ent* an et ,atr s-erik*t +engan 3ara 4E
+an ekspansi kofaktor
−
−
=3122
1213
1021
2141
P
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 35/43
At*ran 1ra,er
• 6nt*k ,en3ari sol*si +ari SP7(Siste, Persa,aan 7inear) tertent*(,atriks n8n)
• Teore,a 2/ika A8=- ,er*pakan s*at*siste, n persa,aan linier +ala, npe*-a. se+e,ikian se.ingga +et(A)
9 :0 ,aka siste, terse-*t,e,p*nyai penyelesaian yang *nik(t*nggal)$
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 36/43
Siste, Persa,aan 7inear
=++
=++ =++
nnnnnn
nn
nn
b xa xa xa
b xa xa xab xa xa xa
...
...
...
2211
22222121
11212111
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
21
22221
11211
=
nnnn
n
n
aab
aab
aab
A
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
21
2222
1121
1
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 37/43
$ $ $
+engan A j a+ala. ,atriks yang
+iperole. +engan ,enggantikananggota kolo, ke j +ari A +engananggota ,atriks -
)det(
)det( 11
A
A x =
)det(
)det( 22
A
A x =
)det(
)det(
A
A x
n
n =
=
nb
b
b
b:
2
1
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 38/43
• Tent*kan penyelesaian +ari SP7-erik*t +engan ,engg*nakan at*ran3ra,er
')8 ; y ; "< = '
8 ; "y < ='5
58 ; !y < =
) >' ; > = !
>' ; "> ; !> = :
>' > ; > = &
65'3-2
6
-102'-5-3- 10'-25 )3
=++=++=+ =+
8/17/2019 UPN Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 39/43
365
243
432
)det(
−−
−= A 11−=
3622
2415
4312
)det( 1
−−−−= A 11−=
32252153
4122
)det( 2−− −−
−
= A 22−=
2265
1543
1232
)det( 3
−−
−= A