Unu Doi Trei

7/26/2019 Unu Doi Trei

1/17


2/17

David Berlinski (n. 1942) este profesor de matematic, filozof i scriitor.A obinut doctoratul n matematic la Princeton University. A predat

matematica i filozofia la mai multe universiti din Statele Unite i dinFrana, iar n prezent locuiete la Paris. Este autorul altor cteva celebrecri despre matematic:A Tour of the Calculus, The Advent of the Algo-rithm. The Idea that Rules the WorldiInfinite Ascent: A Short Historyof Mathematics.


3/17

Traducere din englez deILEANA CRCIUN i DAN CRCIUN


4/17

Redactor: Marieva IonescuCoperta: Ioana NedelcuTehnoredactor: Manuela Mxineanu

DTP: Radu Dobreci, Dan Dulgheru

Tiprit la Monitorul Oficial R.A.

David BerlinskiOne, Two, Three. Absolutely Elementary MathematicsCopyright 2011 by David BerlinskiAll rights reserved.

Harem Scene with Sultan, by Jean-Baptiste van Mour,reproduced courtesy of Azize Taylan and with the assistanceof Okan Altiparmak.

HUMANITAS, 2013, pentru prezenta versiune romneasc

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiBERLINSKI, DAVIDUnu, doi, trei: matematica absolut elementar / David Berlinski;

trad.: Ileana Crciun, Dan Crciun. Bucureti: Humanitas, 2013ISBN 978-973-50-4220-2I. Crciun, Ileana (trad.)II. Crciun, Dan (trad.)51

EDITURA HUMANITASPiaa Presei Libere 1, 013701 Bucureti, Romniatel. 021/408 83 50, fax 021/408 83 51

www.humanitas.ro

Comenzi online: www.libhumanitas.roComenzi prin e-mail: [email protected] telefonice: 0372 743 382; 0723 684 194


5/17


6/17

Citim ca s aflm ceea ce tim deja.

V.S. Naipaul


7/17

Introducere

Aceasta este o crticic despre matematica absolut ele-mentar (MAE); aadar, o carte despre numere naturale, zero,numere negative i fracii. Nu este nici manual, nici tratat, darnici o brour de frunzrit n grab. Mi-ar plcea s cred c eajoac rolul unei ancore pentru celelalte cri ale mele desprematematic.

Matematicienii i-au imaginat ntotdeauna c matematica

seamn cu o cetate, al crei orizont este dominat de trei turnurimree, ministerele unei puternice culturi intelectuale ntm-pltor, a noastr. Aceste construcii impuntoare sunt nchinateGeometriei, Analizei i Algebrei: studiul spaiului, studiul tim-pului i studiul simbolurilor i al structurilor.

Impozante precum ziguratele babiloniene, aceste edificiieman un aer sacru.

Terenul comun pe care se nal este i el sacru, sfinit depasul omului.

Acesta este domeniul matematicii absolut elementare.Multe pri ale matematicii sclipesc ispititor. Sunt exotice.

Matematica elementar, pe de alt parte, evoc lucruri din viaaobinuit: plata facturilor, marcarea zilelor de natere, partajuldatoriilor, tierea pinii i msurarea distanelor. Este ceva

pmntesc. Dac mine ar disprea manualele i, odat cu ele,toate comorile pe care le conin, ar dura secole pn s redesco-perim analiza matematic, dar numai cteva zile ca s ne recu-perm datoriile i, odat cu ele, toate numerele care le exprim.


8/17

Aa cum este predat i uneori folosit, matematica ele-mentar necesit o imersiune ntr-un univers aparent haotic.Este nevoie de rbdare, iar plcerea se cere amnat. Virguleledin numerele zecimale par s o ia razna, numerele negativedevin pozitive, iar fraciile stau dintr-odat cu capul n jos.

i ct fac trei ptrimi mprite la apte optimi?Calculatorul electronic a permis aproape oricui s trateze

astfel de ntrebri cu o indiferen rece. Rapid, exact i simplu,el face mai bine toate operaiile cu care oamenii se chinuiau

acum o sut de ani. Senzaia c n matematica elementarlucrurile ne sunt familiare pe jumtate proaspete n minte,chiar dac pe jumtate uitate este reconfortant; la fel icalculatorul i computerul, n care avem o ncredere excesiv,ns imperativele memoriei i tehnologiei ridic o ntrebareevident: de ce ne-am osteni s nvm ceea ce tim deja sau,cel puin, credeam c tim?

ntrebarea se nate dintr-o confuzie. Tehnicile matematiciielementare sunt una, iar explicaiile lor, cu totul altceva. Oricinepoate s adune dou numere naturale doi plus doi, de exemplu.Este ns mult mai greu s spui ce nseamn adunarea i cumse justific ea. Matematica explic sensul i ofer justificarea.Teoriile ce rezult astfel se bazeaz pe aceeai combinaie deart i rafinament caracteristic oricrui demers intelectual

complex.Era att de uor ca lucrurile s fi stat altfel. n pofida uneinecesiti imperioase, matematica elementar putea s nu selase exprimat ntr-o teorie coerent, astfel c expunerea ei arfi semnat cu o hart n care drumurile se despart fr nici unrost ori se sfresc ntr-o harababur de nedesclcit. Dar teoriaprin care matematica elementar este explicat i tehnicile ei

sunt justificate este un construct intelectual coerent. Este plinde for. Are sens. Nu este niciodat contraintuitiv. i, astfel,este adecvat obiectului su. Dac atunci cnd vine vorba decea mai simpl operaie matematic tot adunarea rmne

10 DAVID BERLINSKI


9/17

ceva ce nu nelegem, aceasta se ntmpl numai pentru cnimic din natur (sau din via) nu poate fi neles pe deplin, aacum ne-am dori.

Cu toate acestea, teoria rezultat este fundamental. Nu vndoii de asta!

Urmele educaiei din copilrie s-au pierdut n noapte. Armas o singur idee, i astfel o singur idee predomin: aceeac toate calculele i conceptele matematicii absolut elementare

sunt guvernate de unicul act al numrtorii cu unu. Este o

analiz bazat pe o economie a mijloacelor i o reducere aexperienei la esena sa, la fel de spectaculoas ca toate obiecteletiinelor fizice.

Pn la sfritul secolului al XIX-lea, acest lucru nu a fostneles. i nici chiar un secol mai trziu nc nu se bucur deo larg nelegere. Educaia colar este de puin ajutor. V rogs uitai lucrurile pe care le-ai nvat la coal, a scris mate-

maticianul german Edmund Landau n cartea saFundamenteleanalizei matematice, nu le-ai nvat.

Din cnd n cnd, le voi cere i eu cititorilor s uite cte cevadin ce au nvat.

Acum trebuie s v mprtesc un secret. Unul bine cu-noscut tuturor celor care scriu despre (sau predau) matematic:

nimnui nu-i place foarte mult aceast materie. Cel mai binee s-o recunoatem de la bun nceput. Aidoma jocului de ah,matematica are puterea de a induce obsesii, dar rareori afeciune.

De ce trebuie s fie aa? m refer la repulsia fa de ma-tematic.

Exist dou motive evidente. Matematica l ntmpin penovice cu o aur de stranietate, aproximativ proporional cu

numrul mare de simboluri pe care le utilizeaz. Exist nsimbolismul matematic ceva suprtor, pentru c, dei solicitrbdarea, nu prea pare s promit i plcere.

La ce bun atta strduin?

UNU, DOI, TREI 11


10/17

Dac aparatul simbolistic al matematicii o face s fie maipuin apreciat, un alt impediment apare din pricina raiona-mentelor pe care le folosete. Matematica este o chestiune dedemonstraie sau nu este nimic. Dar, cu certitudine, cere unanumit efort. Adeseori, chiar i n cea mai simpl demonstraiematematic exist detalii extrem de importante i, ceea ce estenc i mai ru, o diferen nnebunitoare ntre structura com-plicat a demonstraiei, pe de o parte, i lucrul simplu, evidentcare trebuie demonstrat, pe de alt parte. Nu exist nici un

numr natural ntre zero i unu. Cine s-ar ndoi de asta? i totuitrebuie demonstrat, pas cu pas. Pe baza unor noiuni dificile.

La ce bun atta strduin?Inevitabil, aici intervine o negociere subtil. n matematic,

e nevoie mai nti de investiii nainte de a obine un ctig,iar ceea ce se ctig nu este niciodat la fel de palpabil precumceea ce s-a investit. Este un schimb pe care muli oameni refuz

s-l fac.ntr-adevr, la ce bun atta strduin?ntrebarea nu este lipsit de substan. Merit un rspuns.n multe domenii ale matematicii, rspunsurile sunt evidente.

Geometria este studiul spaiului, substana misterioas dintrepuncte. A trata cu indiferen geometria nseamn a trata cuindiferen lumea fizic. Acesta este unul dintre motivele pentru

care elevii de liceu l-au acceptat dintotdeauna pe Euclid, frtragere de inim, dar cu senzaia c erau forai s nvee cevace chiar le era util.

i algebra? Aversiunea pe care aceast materie o provoac(n liceu) a fost ntotdeauna compensat de senzaia c simbo-lurile ei au o putere magic de a stpni curgerea i structuralucrurilor. Subiectele vechilor manuale erau muncile cmpului

i ngrmintele. Dar n cele moderne apar energia i masa.Einstein a avut nevoie numai de algebra de liceu pentru a createoria relativitii restrnse, dar i-a trebuit algebra de liceu,fr de care s-ar fi rtcit.

12 DAVID BERLINSKI


11/17

Analiza matematic a intrat serios n atenia matemati -cienilor europeni sub forma aa-numitului calcul. Ei au nelesaproape de ndat c le-a fost druit cea dinti i, n uneleprivine, cea mai mrea dintre teoriile tiinifice. A te ndoi deimportana analizei matematice sau a minimaliza afirmaiile einseamn a ignora cel mai bogat i cel mai dezvoltat corp decunotine acumulat de specia uman.

Da, da. Totul este nltor, dar matematica absolut elemen-tar? Nu cu mult timp n urm, matematicianul francez Alain

Connes a inventat termenul de matematic arhaic pentrua descrie spaiul n care ideile erau n stare embrionar i ncneseparate n discipline diferite. Este o expresie elegant i odescriere potrivit. i ne arat de ce matematica elementar,atunci cnd este privit corect, are mreia absolutului. Estefundamental i, aidoma limbajului, un act instinctiv al specieiumane.

O teorie a matematicii absolut elementare este o explicaien termeni moderni a ceva nrdcinat n imaginaie; dezvoltareaei de-a lungul secolelor reprezint un extraordinar exerciiu alcontiinei de sine.

Iat justificarea strduinei: sentimentul c, privind un locvechi i familiar prin ochii matematicianului, putem ctigaputerea de a-l vedea pentru prima oar.

i asta nu e puin lucru.Paris, 2010

UNU, DOI, TREI 13


12/17


13/17

instrumentele cu ajutorul crora pn i noroiul poate fi fcutnumrabil opat de noroi, unstrop sau un morman, dupcare urmeaz opat, doi stropi sau trei mormane. Aceleai unu,doi i trei folosite la numrarea oilor sunt, de asemenea, folositen sortarea lor. Numerele naturale l ajut pe ciobanul cu pieleatbcit, ai crui obraji supi se ncreesc peste doi dini de aur,s-i ordoneze oile i totodat viaa.

Prima este a mea,jupne, cum spun ciobanii, a doua estea ta i a treia este a lui.

ARTA SCRIBULUI

Sumerienii i-au istruit copiii n MAE cu peste cinci mii deani n urm, pe cnd soarele deertului era nc nou i nimic nuera nc vechi. Copiilor sumerieni le erau predate lucrurile de

baz; profesorii lor sesizaser elementele eseniale. Nu le-afost uor. Odat trecui anii copilriei, scribii sumerieni austudiat ani buni pentru a scrijeli pe plcue de argil registrefiscale, creane comerciale, coduri juridice, tranzacii imobiliare.Ei au lsat n urma lor dovada unei cunoateri profunde amatematicii, pentru prima oar n istorie.

Nu aveau n nici un caz sentimentul suprtor al inutilitii

meseriei lor. Arta scribilor, scria unul, este mama nvturii.Numai scribii, aduga el, puteau s scrie [s graveze] o stel,s traseze hotarele unui teren, s fac socoteli.

Textul este apoi ntrerupt.i urmeaz un cuvnt izolat la stnga i la dreapta, care

sugereaz mreia intelectual a scribului: palatulLa sfritul mileniului al treilea .Hr., imperiul sumerian a

fost npdit de nisipurile deertului, nvins pn la urm detimp. Purtat de vnt, presupun, sau de vreun alt curent de gndire,cunoaterea profund a MAE a fost dobndit de mandariniichinezi, intoxicai de noua lor putere asupra pictogramelor, i

16 DAVID BERLINSKI


14/17

descoperit apoi din nou de ctre babilonieni, astfel nct esteprezent pretutindeni n lumea antic.

Societile au folosit MAE n felul lor i pentru propriilelor scopuri. ns fiecreia i-a scpat cte ceva i nici o societate,nici mcar a noastr, nu a cunoscut-o i nu o cunoate pe deplin.

UN OM DEOSEBIT

Leopold Kronecker s-a nscut n 1823 la Liegnitz, un oreldin Prusia oriental. Cutremurat de sunetul tancurilor rusetictre sfritul anului 1944, Liegnitz este acum cunoscut dreptLegnica i se afl n Polonia. Prusia oriental a disprut.

Figura lui Kronecker nu este uor de distins ntr-o fotografie.Lumina puternic i expunerea prelungit au ntunecat i adncitfiecare trstur a feei. Ridurile aspre sugereaz o legtur desnge nerecunoscut ntre Leopold Kronecker i generalulWilliam Tecumseh Sherman. Cei doi brbai au fruntea nalti prul tuns scurt, aproape en brosse*, ochii adncii n orbite imelancolici. Prin toate aceste trsturi, Kronecker este pe deplinprusac i auster, dar nasul lui i-a asumat o via proprie, incon-fundabil, curbndu-se mndru de la rdcin spre vrful coroiat.

Menionez acest lucru nu ca s fac haz de nasul altui om la urma urmelor, i eu am un nas care m d de gol , ci pentruc exprim ntr-un fel capacitatea lui Kronecker de a se deosebide ali matematicieni, dei face parte din rndurile lor. Kro-necker a fost un personaj rar n istoria gndirii, un scepticmatematic, care nu era dispus s aprobe idei fr s le neleagpe deplin i mereu grbit s trag concluzia c nu poate nelege

pe deplin majoritatea ideilor. Dac Kronecker cel Ursuz s-aremarcat spunnd nu nu numerelor negative, nu numerelor

UNU, DOI, TREI 17

* Limba francez, n original: periu (n. tr.).


15/17

reale, nu mulimilor , s-a remarcat i prin aceea c a spus da

numerelor naturale, un mare daplin de vitalitate adresat acestorobiecte strvechi ale gndirii i experienei, un da care serevars ca un torent, ct s cuprind orice construcie mate-matic ce revine la numerele naturale ntr-o serie finit de pai.

Kronecker, omul care a spus de o mie de ori nu, i Krone-cker, omul unui singur da, se contopeau ntr-o personalitatesingular: delicat, supl, mpcat cu sine.

Pe cnd nu mplinise nc treizeci de ani, Leopold Kroneckera urmat o carier n afaceri ca administrator al domeniilorunchiului su, din Prusia oriental. Era deosebit de dotat pentrutreburi practice i, n opt ani, a ajuns un om bogat. Ulterior,i-a cumprat n Berlin un conac superb i, dup ce s-a cstoritcu fiica unchiului su, Fanny Prausnitzer, l-a transformat ntr-uncentru de cultur i rafinament.

Bogia l-a fcut pe Kronecker s fie indiferent fa demarele joc al catedrelor de matematic, pe care le ocupau mate-maticienii de frunte ai Europei, privind cu jind cteva fotolii cupernue care nc emanau cldura ezuturilor unor profesorirposai. Cnd muzica se oprea, se ncierau necuviincios pentrulocul vacant. Inevitabil, cei mai muli erau dezamgii. Matema-ticieni de geniu, precum Georg Cantor, au ateptat ani de zile

s fie chemai la Berlin i au fost amarnic de ofensai c nu s-antmplat aa.Herr Kronecker nu a manifestat un foarte mare interes n a

deveni Herr Professor. El nu avea nevoie s se lupte pentruscaunul su. Sau pentru cina sa. Ceea ce-i lipsea era dreptul dea ine prelegeri la Universitatea din Berlin, dei i dorea foartemult. Dedicat subiectelor legate de teoria numerelor, funciile

eliptice i algebr, lucrrile lui erau remarcabile din toatepunctele de vedere, fr s fie n nici un fel revoluionare. Cnda fost ales membru al Academiei din Berlin, n 1861, a ctigatdreptul de a preda la universitate.

18 DAVID BERLINSKI


16/17

Cuprins

Introducere 9

1 Numerele 15 Arta scribului 16 Un om deosebit 17 n oriceminte omeneasc 19 Neveste, capre, numere 21 Lucrarea luiDumnezeu 22

2 Poziiile la putere 24 Un om pentru toate simbolurile 25 No-taia poziional 26

3 Mulimi 30 Unic n felul su 32 Paradox 33

4 Certitudine 34 Nimic din ce este omenesc nu este sigur 35O excepie fa de observaia lui Ovidiu 36 Cel mai mare 38Ce-ar fi dac 39 Punctul de echilibru 41

5 Un maestru glacial 45 Ruina 48

6 Axiome pentru numere 51 Al doilea congres internaional 53

Axiomele lui Peano 54 Il gattopardo 57

7 Succesiunea 59 Pornind de la zero, adunnd cte unu 61O moarte amnat 63 Jos cu Euclid 64

8 Adunarea 67

9 Definiia regresiv 71 O notaie inedit 72 Trei condiii 75 nspaiu i timp 76 Patru plus trei 77

10 nmulirea 80 Definiia nmulirii 82 Produsul dintre trei i doi 84Ridicarea la putere 84 Puterea exponenial 86

11 Marele dicionar 89 De la baza zece 91


17/17

12 Recursivitatea 93 Cuvenite mulumiri 95 Detaarea 96 Teo-rema recursivitii 97 Ce face 99

13 Oamenii legii 100 Cum se schimb lucrurile 101 Un englez in-dependent 102 Al patrulea wrangler 103

14 Matematica procedural 105 Actorii principali 106

15 Fria transcendental 112 Inducia 112 Cderea pieselor de do-mino 114 Roata cu clichet 115 Buna ordonare 118

16 Fervoare 121

17 Demonstraia 126

18 Cealalt fa a lui zero 131 Partea ntunecat 132 Ghinion,Pierre 134 Distane 135 Datorii 136

19 Extragerea 139 O simetrie distrus 140 Sistemul numerelorntregi 141 O identitate negativ 142

20 Fiorul 145 Algebra 146 Vechime 146 Noutate 147 Mij-

loace de ascensiune 148 Der Nther 15021 Esena inelelor 154 Inelul 156 Condiiile 157 Traducerea 157

O acumulare de afirmaii 157 Schi rapid, fr unele detalii 158

22 Limbajul semnelor 161 O aliniere efemer 165 Partea cea-lalt 166

23 Din lumea antic i napoi 168 Identificarea indirect 169Dublu sens 171 Comunitatea de interese 172 Inelul polinoa-

melor 174 Importana identitii 175 Toate posturile de fron-tier 177

24 mprirea, ultima operaie 180 Parte dintr-un ntreg 181 Unupentru doi 182 Ce nu sunt fraciile 184 Pe de o parte 185 Pede alt parte 186 Contra mundum 189

25 Cmpul numerelor 193 Dumnezeu tie cum 194 Identitate iinvers 196 N-a mai rmas nimic de demonstrat 198 Sfritul

povetii 201Concluzii 203

Mulumiri 207

210 CUPRINS

Unu Doi Trei

Documents

Transcript of Unu Doi Trei