UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

TINA BOHINC

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

Študijski program: Matematika in tehnika

Geometrijski izrazi

grškega izvora

DIPLOMSKO DELO

Mentor: dr. Marko Razpet Kandidatka: Tina Bohinc

Ljubljana, december, 2011

Program dela

V diplomskem delu podajte kratek pregled zgodovine matematike, pri čemer dajte

glavni poudarek starogrški matematiki. Predložite zgled za slovar, ki bo razložil

geometrijske izraze, ki imajo izvor v klasični grščini.

Ljubljana, december, 2011 Mentor: dr. Marko Razpet

3

Zahvala

V diplomskem delu se najlepše zahvaljujem mentorju in odličnemu profesorju dr.

Marku Razpetu, ki mi je s strokovno pomočjo pomagal pri izvedbi diplomske naloge

in bil vedno pripravljen podati kakšno zanimivo informacijo o Grkih in njihovi

zgodovini. Profesor mi je bil in je še vedno zgled; s svojo preprostostjo in dostopno-

stjo je veliko pripomogel k sodelovanju med samim pisanjem diplomskega dela in mi

s tem, kot mladi učiteljici, dal poduk, kakšno mora biti sodelovanje med učiteljem

in učencem. Hvala Vam za vse.

Zahvaljujem se moji družini, in sicer mami in očetu, ker sta me vsa leta študija

spodbujala in mi stala ob strani, kadar mi ni šlo vse po načrtih. Hvaležna sem jima

tudi za to, ker sta mi finančno omogočila željeni študij matematike in tehnike. Hvala

tudi moji sestri Manci, ki me je prav tako v času študija spodbujala in me naučila,

da padec na izpitu ni tako grozna stvar in se jo da popraviti. Hvala vam.

Zahvaljujem se tudi Marku, ker me je poslušal in se zanimal o vsem, kar je za-

pisanega v diplomskem delu. Zahvala gre tudi Davidu, ker mi je s svojim znanjem

grščine lahko priskočil na pomoč. Hvala vama.

Zahvala tudi vsem ostalim mojim prijateljem, ki jih pisno nisem omenila, a jih imam

v mislih.

Za konec navajam še kratko misel:

„Gospod!

V Tvoje naročje izročam otroke, h katerim sem poslana.

Vem, da če bom jaz sedela, bodo oni legli,

če bom jaz kritizirala, bodo oni rušili,

če bom jaz v dvomih, bodo oni obupali,

če bom jaz vodila, me bodo oni prehiteli,

4

ampak če bom jaz nasmejana, bodo oni sonce!

Podari mi potrpežljivost in moč,

da bodo otroci v mojih dejanjih in besedah videli Tebe.“

(Oratorij, 2007)

5

Povzetek

Diplomsko delo govori o zgodovini matematike, nato pa predvsem o grški matematiki;

o grških črkah, akcentih, diftongih, številih itd. Jedro diplomskega dela je namenjeno

razlagi geometrijskih izrazov, ki izvirajo iz klasične grščine. Zato je narejen slovar,

kjer je zbranih nekaj besed, ki pridejo prav predvsem v srednji šoli.

Ključne besede

Aksiom, antipodni točki, Apolonij, Arhit, Arhimed, asimptota, cikloida, cilinder,

deltoid, diagonala, diameter, Diokles, disk, elipsa, elipsoid, epicikloida, Evklid, ge-

ometrija, heptagon, Heron, hiperbola, hiperboloid, hipotenuza, Hiparh, izrek, izo-

metrija, kardioida, kateta, lema, lemniskata, matematika, Menelaj, meter, metrika,

Papos, parabola, paraboloid, paralelnost, paralelepiped, paralelogram, piramida,

Pitagora, polieder, prizma, prizmatoid, Proklus, romb, romboid, sfera, simetrija,

središčni razteg ali homotetija, stereometrija, stožec ali konus, Tales, trapez, trape-

zoid, trigonometrija, višinska točka ali ortocenter.

6

Geometry terms of Greek origin

Summary

This thesis presents the history of mathematics and focuses on Greek mathematics;

it talks about Greek letters, accents, diphthongs, numbers etc. The core of this work

is intended for interpretation of geometric terms – originating from classical Greek.

Because of that I added a dictionary of most often used words in secondary school.

Key words

Axiom, antipodal points, Apollonius, Archytas, Archimedes, asymptote, cycloid,

cylinder, kite, diagonal, diameter, Diocles, disc, ellipse, ellipsoid, epicycloid, Euclid,

geometry, heptagon, Hero, hyperbola, hyperboloid, hypotenuse, Hipparchus, theo-

rem, isometry, cardioid, cathetus, lemma, lemniscate, mathematics, Menelaus, metre,

metric, Pappus, parabola, paraboloid, parallel, parallelepiped, parallelogram, pyra-

mid, Pythagoras, polyhedron, prism, prismatoid, Proclus, rhomb, rhomboid, sphere,

symmetry, homothety, stereometry, cone, Thales, trapezium, trapezoid, trigonome-

try, orthocentre.

MSC (2010): 01A99, 01A20, 00A20.

7

Kazalo

1 UVOD 12

1.1 Kratek pregled zgodovine matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Grška matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 RAZLAGA BESED 26

3 ZAKLJUČEK 97

8

Slike

1 Trapez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Antipodni točki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Apolonij. [33] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Arhit. [34] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Arhimed. [35] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Približevanje vodoravni asimptoti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7 Približevanje navpični asimptoti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8 Približevanje poševni asimptoti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9 Asimptota pri hiperboli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10 Cikloida. [36] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

11 Epicikloida. [39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

12 Hipocikloida. [39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

13 Hipotrohoida. [36] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

14 Epitrohoida. [36] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

15 Deltoid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

16 Deltoidu včrtana krožnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

17 Mišica deltoid. [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

18 Otroški zmaj v obliki deltoida. [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

19 Diagonale v sedemkotniku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

20 Premer ali diameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

21 Diokles. [37] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

22 Presekani stožec, kjer dobimo elipso. [7] . . . . . . . . . . . . . . . . 43

23 Elipsa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

24 Izdelava vrta v obliki elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

25 Elipsoid. [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

26 Sfera ali obla. [23] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

27 Sploščeni sferoid. [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

28 Podolgovati sferoid. [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

29 Epicikloida, kjer je k = 2. [39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9

30 Epicikloida, kjer je k = 4. [39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

31 Epicikloida, kjer je k = 2,1. [39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

32 Epicikloida, kjer je k = 1. [39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

33 Evklidov izrek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

34 Evklid. [25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

35 Ohranjeni fragment Evklidovih Elementov. [25] . . . . . . . . . . . . 54

36 Elementi. [26] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

37 Nikolaj Ivanovič Lobačevski. [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

38 János Bolyai. [28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

39 Bernhard Riemann. [29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

40 Heptagon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

41 Heron. [41] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

42 Presekana stožca, kjer dobimo hiperbolo. [7] . . . . . . . . . . . . . . 59

43 Hiperbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

44 Enodelni hiperboloid. [42] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

45 Dvodelni hiperboloid. [42] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

46 Vodni stolp – prva hiperboloidna struktura (Rusija 1896). [42] . . . . 63

47 Hipotenuza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

48 Hiparh. [43] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

49 Dioklesova cisoida. [44] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

50 Kateti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

51 Naslovnica Paposovega dela z naslovom Zbirka. [47] . . . . . . . . . 72

52 Presekan stožec, kjer dobimo parabolo. [7] . . . . . . . . . . . . . . . 73

53 Parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

54 Eliptični paraboloid. [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

55 Hiperbolični paraboloid. [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

56 Paralelogram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

57 Piramide pri Gizeh. [48] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

58 Pitagora. [49] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

59 Tetraeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

10

60 Heksaeder ali kocka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

61 Oktaeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

62 Dodekaeder. [50] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

63 Ikozaeder. [51] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

64 Romb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

65 Blejski otok in njegova zrcalna slika. [55] . . . . . . . . . . . . . . . . 89

66 Središčni razteg ali homotetija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

67 Središčni razteg pri pajkovi mreži. [58] . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

68 Tales. [57] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

69 Obodni koti nad istim lokom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

70 Talesov izrek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

71 Trapez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

72 Satje. [54] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

73 Višinska točka ali ortocenter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

11

1 UVOD

Matematika se je skozi stoletja spreminjala in dopolnjevala. Učenjaki so na različnih

koncih sveta odkrivali pestrost in lepoto matematične vede, med delom pa večkrat

naleteli na zanke in težave, ki jih pri raziskovanju ni bilo malo. Zvrstilo se je mnogo

znanih matematikov, ki so bili pri odkrivanju te vede uspešni in so se tako zapisali

v njeno zgodovino. Celotno diplomsko delo je bolj usmerjeno k grški matematiki,

a je kljub temu na začetku zapisan kratek pregled skozi zgodovino matematike, saj

le tako lahko spoznamo, da je bila tudi grška matematika temelj za njen nadaljnji

razvoj. Pregled zgodovinskega razvoja nam osveži spomin, da se poleg obdobja

grških matematikov spomnimo tudi ostalih obdobij in se seznanimo z dejstvi iz

egipčanske, mezopotamske, kitajske, indijske matematike itd. Nadaljevanje je na-

menjeno grški matematiki, zato je napisano nekaj ključnih podatkov o njej in o

matematikih tega obdobja. Sledi opis razvoja grških črk in številk ter kratka razlaga

o številu p. Glavni del diplomske naloge pa predstavljajo geometrijski izrazi, ki izha-

jajo iz klasične grščine, le-ti so razvrščeni po abecednem vrstnem redu. Najprej je

izraz zapisan v slovenščini, nato v grščini, kjer je podana tudi razlaga grške besede,

sledi opis matematičnega pojma, ponekod pa je zaradi boljše predstave dodana še

slika ali zanimivost.

12

1.1 Kratek pregled zgodovine matematike

Matematika se je začela razvijati že pred več tisočletji, z novimi poglavji se dopolnjuje

še danes. Velik del matematike, ki se je učimo v šoli, je zelo star; razvijala se

je na Bližnjem vzhodu, v stari Grčiji, Indiji in srednjeveškem islamskem imperiju.

Skozi čas se je spreminjala, postala je taka, kot jo razumemo danes. O zgodovini

matematike pričajo pisni viri in mnoge arheološke najdbe. Včasih naletimo tudi na

to, da si zgodovinarji v marsičem niso enotni. Kdaj točno in kako se je matematika

začela, ne ve nihče. Ve se le to, da je bila prisotna tam, kjer se je razvila pisava.

Najstarejše predmete, ki jih lahko pojasnimo kot matematične, so pred 37000 leti

odkrili v Afriki. Matematika se je kot samostojna dejavnost razvila na starem Bliž-

njem vzhodu okoli 5000 let pr. Kr. Ljudje so se začeli ukvarjati s tem, kako velika

imajo polja, kolikšna je prostornina njihovih košar, koliko delavcev potrebujejo za

posamezno delo. Uvedli so merske enote in se naučili pretvarjanja. Naleteli so tudi

na težke aritmetične operacije, s čimer so se ukvarjali pisarji (profesionalni javni

uradniki, ki so znali pisati in reševati preproste matematične naloge). [4]

Egipčanska matematika

Egipčanska matematika se od mezopotamske najprej loči po tem, da so stari Egipčani

pisali s črnilom na papirus, Mezopotamci pa z lesenimi pisali na glinene tablice.

Pri Egipčanih se je zato ohranilo razmeroma malo dokumentov, medtem ko se je

pri drugih ohranilo mnogo tablic. Za egipčansko matematiko je zelo pomembno

delo Rhindov papirus, ki je iz obdobja okoli leta 1650 pr. Kr. Vsebuje obsežne

preglednice, ki so pomagale pri izračunih, in zbirko problemov, ki so jih uporabljali

za poučevanje pisarjev. Poleg že navedenih značilnosti o egipčanski matematiki je

pomembno tudi to, da so uporabljali dva številska sistema, in sicer prvega za pisanje

na kamen, drugega pa za pisanje na papir. Metoda zapisa števil je bila podobna

kot pri rimskih številkah. Razlika je v tem, da so uporabljali mnogokratnike števila

deset. Primer, simbol | pomeni ena, simbol⋂

pomeni deset. Torej so število 57

zapisali kot⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ⋂

|||||||. Seštevanje in podvajanje sta bili osnovni aritmetični

operaciji, znali so reševati preproste linearne enačbe, izračunati ali določiti približek

13

površine in prostornine več geometrijskih likov in teles itd. [4]

Mezopotamska oziroma babilonska matematika

Večina tablic, značilnih za mezopotamsko matematiko, izhaja iz obdobja med 1900

in 1600 pr. Kr. Babilonski pisarji so tablice uporabljali kot pripomočke za računanje

ali pa kot zbirke problemov za poučevanje mladih pisarjev. Vedno bolj so stremeli

k zahtevnim problemom. Števila so pogosto označevali s pomočjo šestdesetiškega

številskega sistema, znali so reševati linearne enačbe, pri geometriji so se ukvarjali

z merjenjem, uporabljali so tablice množenja, obratnih vrednosti, koeficientov za

pretvarjanje itd. Poznali so formule za ploščino trikotnika, pravokotnika, trapeza in

prostornino valja, kocke in piramide. Značilnost mezopotamske matematike je tudi

ta, da so se ukvarjali s problemi, ki so skušali bralca predvsem razvedriti. [4], [6]

Kitajska matematika

Tudi kitajski rokopisi so bili zelo neobstojni, saj so pisali na lubje ali bambus. Pa-

pirnate knjige so redko prehajale iz roda v rod, zato so jih prepisovali in večkrat kaj

dodali. Značilno delo za kitajsko matematiko je matematično besedilo z naslovom

Devet poglavij matematicne umetnosti, ki vsebuje probleme in rešitve. V tem

obdobju so imela zelo pomembno vlogo sorazmerja, geometrijske probleme pa so

reševali z metodo „izreži in prilepi“. Pri linearnih enačbah so si prav tako pomagali

s sorazmerji. [4]

Indijska matematika

O indijski matematiki se ne ve ravno veliko. Nekaj matematike so potrebovali pri

graditvi oltarjev, kjer so uporabljali Pitagorov izrek, približen izračun diagonale

kvadrata, obravnave površin in prostornin teles. Indijska matematika je vplivala

na zahodno matematiko. Ukvarjali so se predvsem z uporabno matematiko, ki pa ni

bila pretirano znanstvena. Indijska matematika se je začela razvijati že pred grško

matematiko, njen razvoj pa je zacvetel zaradi astronomije. Najpomembnejša iznajd-

ba indijskih matematikov je bila desetiški številski sestav. V tem času je bilo nekaj

14

znanih matematikov, med njimi indijski matematik Arjabhata (okoli 6. st. pr. Kr.),

poleg njega pa še Brahmagupta in Bhaskara. Indijska matematika je prispevala k

trigonometriji, poleg tega so se zanimali še za algebro in kombinatoriko. Reševali so

kvadratne enačbe, poznali so metode za računanje kvadratnih in kubičnih korenov

ter preučevali enačbe z eno in več neznankami. [4]

Arabska matematika

Glavno središče arabske matematike je bilo na ozemlju današnje države Irak, v katero

so ljudje iz Indije prinesli prve znanstvene knjige o astronomiji. V 9. st. so ustanovili

Hiso modrosti – akademijo znanosti, ki je povzročila razvoj znanosti in matema-

tike. Med prvimi grškimi deli, ki so jih prevedli, so bili Evklidovi Elementi. Zelo

pomemben arabski matematik je bil Muhamad Ibn Musa Al Hvarizmi iz območja

današnjega Uzbekistana. Razložil je desetiški sestav za pisanje števil in računanje,

poleg tega je napisal knjigo, ki obravnava linearno in kvadratno enačbo ter uporabno

geometrijo. Arabski matematiki so se ukvarjali s polinomi in algebrskimi enačbami.

Zanje so bila pomembna le pozitivna števila, odkrivali so tudi na področju geometrije,

trigonometrije in kombinatorike. Za arabsko matematiko je značilno tudi to, da je

vsa arabska algebra potekala z besedami. Npr. enačbo 3x2 = 4x+2 so povedali tako:

„Tri lastnosti so enake štirim stvarem plus dvema dirhemoma.“ Najslavnejši arabski

matematik je bil Umar Al Hajam (živel je med letoma 1048 in 1131). Ukvarjal se je z

iskanjem postopka za reševanje enačb 3. stopnje. Arabski matematiki so napredovali

tudi v uporabni matematiki, saj so okraševali stavbe s ponavljanjem preprostih likov.

[4]

Matematika v Zahodni Evropi

Okoli 10. st. so se učenci v Zahodni Evropi učili v tako imenovanih katedralskih

šolah, kjer so se izobraževali bodoči duhovniki in cerkveni uslužbenci. V teh šolah

so tako tudi spodbujali zanimanje za matematiko. Hodili so v Španijo, kjer je bilo

moč najti le najstarejša in najlažja matematična besedila. Katedralske šole so nato

pripeljale do ustanovitve univerz na Oxfordu, v Parizu, Bologni, kjer jih matematika

15

ni toliko zanimala. Nicole Oresme (1320–1382) se je ukvarjal s kinematiko in z

metodo ponazarjanj spreminjanja količin. Leonardo iz Pise, znan tudi pod imenom

Fibonacci (živel je med letoma 1170 in 1240), je napisal knjigo Liber abbaci – Knjiga

o računanju, v njej je govoril o pretvarjanju valut, izračunavanju dobičkov, kvadratni

enačbi itd. Napisal je tudi knjigo Practica geometriae, to je priročnik „uporabne

geometrije“ in knjigo Liber quadratorum – Knjiga kvadratov. [4]

Matematika v 15. in 16. stoletju

V 15. st. se je v Evropi razvilo znanje o plovbi in potovanjih, pri čemer je prišlo do

prenašanja kultur. V 16. st. so v krajih od Južne Amerike pa do Kitajske ustanovili

jezuitske šole, kjer so spoznavali matematiko. Pri plovbi je bilo potrebno znanje

astronomije in razumevanje sferne geometrije. Zato je bila v 15. in 16. st. najbolj

pomembna trigonometrija. Kasneje je naraščalo tudi zanimanje za aritmetiko in

algebro. V tem času je bil pomemben matematik Johannes Müller s svojim delom

De triangulis omnimodis, ki je bilo posvečeno trigonometriji. [4]

Razvoj algebre

V 16. st. so učenjaki začeli uporabljati okrajšave za besede, npr. p za plus. Še

vedno pa ni bilo splošnih oznak. Italijanski matematiki so za neznano količino začeli

uporabljati izraz „cosa“, kar pomeni stvar. Ko pa so se jim pridružili drugi matema-

tiki, so začeli uporabljati „coss“. Znan je angleški matematik Robert Recorde (1510–

1558) s svojim delom The Grounde of Artes, v katerem je razložil osnove aritmetike.

Z metodo za rešitev kubične enačbe sta s ukvarjala Scipione da Ferro (1465–1526)

in Niccolò Fontana Tartaglia (1500–1557). Znana sta bila še Girolamo Cardano

(1501–1576) in njegov učenec Lodovico Ferrari (1522–1565), le-ta pa je našel rešitev

splošne enačbe četrte stopnje. Pomemben postane tudi matematik Rafael Bombelli

(1526–1527), ki je v svojem delu Algebra razširil Cardanove ideje, nato je povezal

algebro in geometrijo. Algebra je dobila današnji videz ob koncu 16. st., ko se je z

njo začel ukvarjati François Viète (1540–1603). Viète je bil strokovnjak za šifriranje

in dešifriranje tajnih sporočil; bil je v službi dveh francoskih kraljev (Henrika III. in

16

Henrika IV.). Znan je tudi matematik René Descartes (1596–1650), ki se je ukvarjal

z algebro. V knjigi La Geometrie je predlagal oznake, ki jih uporabljamo še danes.

Za označevanje neznank je predlagal male črke (x, y, z . . . ), za znane količine pa

(a, b, c . . . ). V tem obdobju se je razvila teorija polinomov in njihovih korenov.

Descartes in Pierre de Femat (1601–1665) sta iznašla „koordinatno geometrijo“, ki je

povezala algebro in geometrijo. Fermat je bil po poklicu pravnik in ne profesionalni

matematik, zato svojih rezultatov ni nikoli objavil. [4], [6]

Uporabna matematika

Na koncu 16. st. in začetku 17. st. se je matematika začela uporabljati za razlaganje

vesolja. Galileo Galilei (1564–1642) se je ukvarjal z astronomijo in fiziko gibanja

teles. Johannes Kepler (1571–1630) je uporabljal staro grško znanje o stožnicah za

opis sončnega sistema. Mnogo učenjakov se je ukvarjalo z določanjem tangent na

krivulje in like, med njimi tudi Bonaventura Cavalieri (1598–1647). Njemu je uspelo

izračunati ploščino in prostornino številnih likov in teles. Isaac Newton (1642–1727)

in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) sta odkrila infinitezimalni račun, to se

pravi diferencialni in integralni račun, ki sta bila osrednji matematični področji 18.

st., s katerima se je ukvarjalo veliko matematikov, med njimi tudi Jakob Bernoulli in

njegov brat Johann, in matematičarki, kot sta na primer Gaetana Agnesi (1718–1799)

in Emilie de Châtelet (1706–1749). V tem času je bil največji matematik Leonhard

Euler (1707–1783), rodil se je v Baslu v Švici, večino časa svojega življenja pa preživel

v Rusiji in Berlinu. Ukvarjal se je z matematiko, fiziko, astronomijo, inženirstvom in

filozofijo. Uredil je Fermatovo teorijo števil, raziskal je algebro in polinome, preučeval

je geometrijo trikotnika, odkril osnovni izrek o poliedrih in raziskoval geometrijo

krivulj in ploskev. Ukvarjal se je tudi z loterijo in ugankami in bil prvi, ki je povedal,

da je najbolje sinus in kosinus obravnavati kot funkciji kota. Spodbujal je oznaki p

(za krožno konstanto) in e (za osnovo naravnih logaritmov). Matematika je v tem

stoletju dosegla vrh z delom Pierra Simona Laplacea (1749–1827), ki je napisal knjigi

o nebesni mehaniki in verjetnosti, in Joseph-Louisa Langrangea (1736–1813), ki je

pisal o mehaniki. [4]

17

Matematika 19. stoletja

V 19. st. sta bili pomembni strogost in profesionalnost. Znan je bil matematik Carl

Friedrich Gauss (1777–1855), njegovo prvo delo je bilo Disquisitiones Arithmeticae

– Aritmetične raziskave, ki je pokrivalo čisto in uporabno matematiko. Poleg njega

je pomemben Augustin Louis Cauchy (1789–1857), ukvarjal se je s proučevanjem

integralnega in diferencialnega računa. Njegova dela so nadaljevali in popravljali

drugi matematiki, med njimi Karl Weierstrass (1815–1897), ki je veljal za strogega

in natančnega. V tem času je delovalo kar nekaj pomembnih matematikov, na primer

Richard Dedenkind (1831–1916), Giuseppe Peano (1858–1932), oba sta raziskovala

osnove aritmetike, Georg Cantor (1845–1918), ki je iznašel pojem množice, Niels

Henrik Abel (1802–1829), ki je dokazal, da formula za rešitev splošne enačbe pete

stopnje ne obstaja, in Évariste Galois (1811–1832). Do sprememb je prišlo tudi v ge-

ometriji, in sicer so se Gauss, Nikolaj Ivanovič Lobačevski (1793–1856), János Bolyai

(1802–1860) in Bernhard Riemann (1826–1866) ukvarjali s petim Evklidovim postu-

latom, to je z znamenitim aksiomom o vzporednici, kar je pripeljalo do neevklidskih

geometrij. Poleg matematike so učenjaki proučevali tudi druga področja, kot so

fizika, elektrika, magnetizem itd. Felix Klein (1849–1925) je pokazal, da je neevklid-

ska geometrija povezana z novimi algebrskimi teorijami, za poenotenje matematike

pa se je zavzemal Henri Poincaré (1854–1912). [4]

Matematika 20. stoletja in današnja matematika

Razvoj matematike je bil v 20. st. hiter, saj se je znanje vsakih dvajset let podvojilo.

V tem času je imel pomembno vlogo David Hilbert (1862–1943), ki se je ukvarjal

s triindvajsetimi nerešenimi matematičnimi vprašanji iz preteklosti. Do napredka

ni prišlo samo v matematiki, ampak tudi v astronomiji. Začele so izhajati revije

z najnovejšimi matematičnimi članki. Doba 20. st. se zato imenuje „zlata doba

matematike“, saj je obseg matematike začel naraščati, s tem pa tudi nivo abstrakt-

nosti. S temelji matematike so se ukvarjali v prvih desetletjih 20. st. Kurt Gödel

(1906–1978) je pokazal, da nekaterih stvari ni moč dokazati. V matematiki so za-

čele prevladovati abstraktna analiza, topologija, teorija množic itd. Ob koncu 20.

18

st. se je močno razvila uporaba računalnika. V njegov razvoj so bili vpleteni tudi

matematiki. Računalniki na matematiko vplivajo kot uporabno orodje, orodje za

simulacijo in vizualizacijo, omogočajo reševanje enačb itd. Matematične ideje so za-

čeli uporabljati v fiziki, kemiji, biologiji, medicini in na mnogih drugih področjih.

[4]

19

1.2 Grška matematika

Kdaj točno so Grki začeli razmišljati o matematiki, se ne ve. Prvi matematični dokazi

izvirajo okoli leta 600 pr. Kr., razvijali so se še do okoli leta 400 po Kr. Za grško

matematiko je značilno, da je bila edina, ki je v središče postavila logično sklepanje

in dokaz. Pomemben del grške matematike so Evklidovi Elementi (STOIQEIA),

nastali so okoli leta 300 pr. Kr. Grščina je bila jezik izobraženih ljudi, značilen za

Sredozemlje, jezik trgovine in kulture. Bila je skupen jezik mnogim matematikom,

čeprav le-ti niso bili rojeni v Grčiji. Grški matematiki so služili denar najprej kot

astrologi, nekaj jih je podpirala država, nekateri so tudi poučevali. Načeloma so se z

matematiko ukvarjali ljudje, ki so imeli dovolj imetja, časa in matematičnega daru.

Le-teh pa ni bilo veliko. Matematiki so med seboj sodelovali prek pisem, največ pa

so delali sami. V grški matematiki je večinoma prevladovala geometrija, ukvarjali so

se tudi z lastnostmi celih števil, s teorijo razmerij, z astronomijo in mehaniko. Prva

grška matematika sta bila Tales, živel je okoli leta 600 pr. Kr., in Pitagora, živel je

okoli leta 500 pr. Kr. Tales naj bi poskušal dokazati nekaj geometrijskih izrekov in

trditve, med njimi tudi te, da je vsota kotov v vsakem trikotniku enaka vsoti dveh

pravih kotov, da vsak premer razdeli krog na dve polovici in da je razmerje med

enakoležnimi stranicami podobnih trikotnikov enako za vse stranice. O Pitagori so

poznane številne zgodbe. Govori se o pitagorejski bratovščini, to je združenju ljudi,

ki so se posvečali predvsem verskim, filozofskim vprašanjem, razglabljanju in študiju

matematike. Zanje je značilno tudi to, da nikoli niso jedli mesa, fižola, lovili rib in

uporabljali volne. Verjeli so v reinkarnacijo in razvili številski misticizem. Menili so,

da so števila tajno načelo resničnosti. Večina idej in dosežkov so pripisovali Pitagori,

ki v resnici sploh ni bil dejaven matematik, a se je zanimal za številski misticizem.

Njihovo pomembno odkritje je Pitagorov izrek in odkritje razmerij brez skupne mere.

Tako za Pitagora kot za Talesa je značilno, da sta se matematike naučila v Egiptu in

Babilonu. Pomembno vlogo tega obdobja so imela razmerja. Daljice so bile zanje del

premic, nikoli niso govorili o dolžini premice. Podobno so tudi ploščine, prostornine

in kote obravnavali kot drugačne vrste količin, ki niso bile nujno povezane s števili.

Grški matematiki so dokazali, da razmerje med stranico in diagonalo kvadrata ne

20

more biti razmerje nobene dvojice celih števil. Do matematike sta bila filozofa Pla-

ton in Aristotel zelo spoštljiva, zato sta jo večkrat omenila v svojih delih. V času

Aristotela, to je med letoma 384 in 322 pr. Kr., so že spoznali, da moramo za dokaze

izrekov najprej začeti s predpostavkami in jih sprejeti za resnične, zato jih ne dokazu-

jemo. Kot že rečeno so najstarejše grško matematično delo Evklidovi Elementi, ki

so zgrajeni sistematično. Več o samem Evklidu in njegovih delih je bolj natančno

opisano v poglavju Vsebine. Grška geometrija se z Elementi ne konča, vendar so dela

Arhimeda (okoli leta 250 pr. Kr.) in Apolonija (okoli leta 200 pr. Kr.) pomembna.

Torej najpomembnejši del grške matematike je sistematično in dobro urejeno poda-

janje matematičnih rezultatov. Merjenja ploščine so se lotili tako, da ji niso prirejali

števila, ampak so konstruirali pravokotnik ali kvadrat z enako ploščino kot opazovani

lik, pri kvadraturi kroga so si pomagali s kako posebno krivuljo. Problem sta jim

povzročali tudi konstrukcija tretjine kota in podvojitev kocke. Kasneje so dokazali,

da nista rešljivi z ravnilom in šestilom. Poleg geometrije so se ukvarjali tudi z as-

tronomijo. Razvili so sferno geometrijo, s katero so napovedali gibanje zvezd in

planetov. Pomemben grški matematik je tudi Papos (sredi 4. st. po Kr.), ki je pisal

opombe k starejšim delom in povzetke drugih matematikov. Zadnji grški pisec je bil

Prókles (okoli leta 450 po Kr.), ki je napisal opombe k delu Evklidovi Elementi. [4]

O zgodovini grške pisave

Med najstarejše pisave štejemo slikovno pisavo, pri kateri en slikovni znak označuje

določeno besedo. Pri tej pisavi lahko najdemo veliko pomanjkljivosti, saj so se je

morali posamezniki zelo dolgo učiti, poleg tega pa niso našli dovolj med seboj razli-

čnih slik. Kasneje so isti slikovni znak uporabljali za pomensko različno besedo, če se

je glasila enako. Čez čas se je razvila zlogovna pisava, kjer uporabljena znamenja ne

predstavljajo več cele besede, ampak samo posamezni zlog. Tako se je 2000 znakov

stare slikovne pisave skrčilo na 500 znamenj. Po zlogovni pisavi se je razvila črkovna

pisava, iznašli so jo Semiti. Zelo pomemben korak so pri razvoju pisave naredili

Grki. Okoli leta 900 pr. Kr. so se seznanili s feničansko pisavo in jo prilagodili.

Tako je nastal „alfabet“. Grki so na začetku uporabljali tako imenovano linearno

21

A pisavo, ki so jo prevzeli od Minojcev na Kreti, kasneje pa so feničanske znake

za glasove spremenili v znake za samoglasnike in razvili linearno B pisavo (linearna

A pisava je danes še vedno nerazvozlana). Feničanski he je postal znak za kratki

široki e, het pa znak za dolgi široki e. Drugače je bilo v osrednji Grčiji, kjer so

uporabljali znak het za glas h, dolgi in kratki e pa so označevali z e; kasneje se je

kot prva polovica znaka he ali het v koine grščini (splošno razširjen grški jezik) začel

uporabljati pridih, in sicer šibki (spiritus lenis) za prvega ali ostri (spiritus asper)

za drugega. Ta znak, ki se nam zdi odvečen, je očitno služil za označevanje rahlega

tleska, ki je slišen pri izgovorjavi besede, začete s samoglasnikom. V Grčiji so dolgo

časa obstajali različni alfabeti, med katerimi sta najpomembnejša zahodnogrški in

vzhodnogrški. Grki so leta 403 pr. Kr. v Atenah uradno uveljavili vzhodnogrški

alfabet, iz katerega izhajata latinica in cirilica. Grška pisava je imela najprej velike

črke, male črke so se uveljavile šele v 9. st. [5]

Naglasi oziroma akcenti

Da bi pokazali, na katerem zlogu je kaka beseda naglašena, so Grki od 3. st. pr. Kr.

uporabljali tri različne muzikalne naglase, kar pomeni, da so naglašali s spremenljivo

višino glasu (poudarjeni zlog so izgovarjali približno za kvinto višje od ostalih). Za

visoki ton so uporabili akut (a), za nizki ton pa gravis (ä). Ker so dolgi zlogi lahko

združevali oba naglasa, se je iz tega razvil cirkumfleks (¨), ki ustreza dvigu in spustu

glasu z „zavijajočim tonom“. Od 4. st. po Kr. je v navadi, da gravis nadomešča

akut na zadnjem zlogu besede, če tej sledi še ena beseda. [5]

Dvoglasniki oziroma diftongi

Grščina tvori dvoglasnike iz kombinacij a, e, h, o, w na prvem (vodilni vokali) in i, u na

drugem mestu. Po večini je dvoglasnike zajela „monoftongizacija“, kar pomeni, da so

jih brali kot dolge vodilne vokale. Kot poseben primer se uporablja i v zvezi z dolgimi

samoglasniki, ki so jo deloma podpisovali (iota subscriptum), deloma pripisovali

(iota adscriptum, pri velikih črkah). [5]

22

Grški alfabet [5], [16]

Klasični alfabet Glasovna vrednost Grško ime

A, a a alfa

B, b b beta

G, g g gama

D, d d delta

E, e e epsilon

Z, z dz, z zeta

H, h e eta

J, j th theta

I, i i, j jota

K, k k kapa

L, l l lambda

M, m m mi

N, n n ni

X, x x ksi

O, o o omikron

P, p p pi

R, r r ro

S, σ, c s sigma

T, t t tav

U, u y ipsilon

F, f ph fi

Q, q ch hi

Y, y ps psi

W, w o omega

23

Grške številke

V nadaljevanju so zapisana števila, kakor so jih pisali Grki. [14]

1 aþ 11 iaþ 21 kaþ 40 mþ 500 fþ 6000 ÿ�

2 bþ 12 ibþ 22 kbþ 50 nþ 600 qþ 7000 ÿz

3 gþ 13 igþ 23 kgþ 60 xþ 700 yþ 8000 ÿh

4 dþ 14 idþ 24 kdþ 70 oþ 800 wþ 9000 ÿj

5 eþ 15 ieþ 25 keþ 80 pþ 900 �þ 10000 ÿi

6 �þ 16 i�þ 26 k�þ 90 �þ 1000 ÿa 11000 ÿiÿa

7 zþ 17 izþ 27 kzþ 100 rþ 2000 ÿb 20000 ÿk

8 hþ 18 ihþ 28 khþ 200 svþ 3000 ÿg

9 jþ 19 ijþ 29 kjþ 300 tþ 4000 ÿd

10 iþ 20 kþ 30 lþ 400 uþ 5000 ÿe

Zgodba o številu p

Število p ima dolgo zgodovino. Na začetku je bil p le grška črka – v latinici us-

treza črki p, ki ni označevala števila. Grki in učenjaki pred njimi so ugotovili, da je

razmerje med obsegom in premerom kroga vedno enako. To razmerje obravnavamo

kot konstanto, imenujemo ga število p. Matematiki so spoznali, da se to konstantno

razmerje pojavlja tudi pri ploščini kroga. Točna določitev števila p je bila privlačna in

problematična. Bila je skrivnost, ki so jo raziskovali številni matematiki. Nemškemu

matematiku Johannu Lambertu je okoli leta 1765 uspelo dokazati, da je p iracionalno

število. Decimalni zapis ni nikoli natančno enak vrednosti števila p, ampak se lahko

tej vrednosti le poljubno približamo. [4]

24

p = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679...

Prvih sto decimalk števila p. [4]

Kar nekaj matematikom se je uspelo dovolj dobro približati vrednosti števila p. Z

raziskovanjem tega števila so se ukvarjali v različnih obdobjih, kar je zapisano v

spodnji preglednici.

Narodnost Ime Vrednost približka

Starogrška Arhimed (287–212 pr. Kr.) 31071 < p < 31

7

matematika Ptolemaj (85–165) 377120 = 3, 1416...

Kitajska Liu Hiu (263) 3,141024... < p < 3,141764...

matematika Ču v Cung Čih (1270–1330) 355133 = 3, 1415929...

Indijska Ariabhata (476–550) 3,1416...

matematika Bhaskara (1114–1185) 3,14156...

Arabska matematika Al Kashi (1424) 16 pravilnih decimalk

Srednjeveška Fibonacci (1170–1230) 864275 = 3, 141818...

matematika François Viète (1540–1603) 9 pravilnih decimalk

Ludolf van Ceulen (1540–1610) 32 pravilnih decimalk

Slovenska matematika Jurij Vega (1754–1802) 136 pravilnih decimalk

Preglednica: Najbolj znani približki števila p. [6]

25

2 RAZLAGA BESED

Glavni del sestavljajo geometrijski izrazi, ki izhajajo iz klasične grščine. Zaradi lažje-

ga razumevanja nadaljnjega dela bom podala primer, ki pokaže način razlage besed.

• Primer: Trapez: gr. trapeza, � – miza, oltar

Najprej je s krepkim tiskom napisan geometrijski matematični izraz v slovenščini,

nato je izraz zapisan v grščini. Grška beseda ima na koncu zapisan člen �, kar

pomeni, da je samostalnik ženskega spola. Če je beseda srednjega spola, ima člen tä.

Če ima beseda člen å, potem je samostalnik moškega spola. V nekaterih primerih

je pri grški besedi zapisano še atoc, tä, kot pri primeru aksiom: �xıwma, atoc, tä.

Druga beseda pomeni drugo obliko sklona, rodilnik, tretja beseda pa, kot že rečeno,

določa spol. Pri nekaterih izrazih (pridevnikih) je poleg besede navedeno število 2

ali 3, kot v primeru stereometrije: stereoc 3, kar pomeni, da ima beseda v vseh treh

oz. dveh spolih pravilno obliko sklanjatve. Vsem tem sledi razlaga grške besede, ki

je v primeru besede trapez miza, oltar.

V nadaljevanju je razložen matematični pojem, poleg tega so zapisane tudi enačbe,

ki jih potrebujemo pri izračunu ploščine, obsega, površine, prostornine itd.

Trapez je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic. Na spodnji sliki stranici AB

in CD predstavljata osnovnici, AD in BC pa kraka trapeza. Trapez ima dve diago-

nali, ki ju označimo z e in f , kjer prva povezuje oglišči AC, druga pa BD. V trapezu

je značilna srednjica, ki povezuje razpolovišči krakov in je vzporedna osnovnicama.

Dolžina srednjice je aritmetična sredina obeh osnovnic:

s =a + c

2. (1)

Če ima trapez enako dolga kraka in enako dolgi diagonali, potem je trapez enakokrak.

Ploščina trapeza se izračuna po enačbi:

S =(a + c)v

2, (2)

26

kjer sta a in c osnovnici trapeza, v pa njegova višina. Obseg trapeza je enak:

o = a + b + c + d, (3)

kjer so a, b, c, d stranice trapeza. [1], [2], [6]

Zaradi pestrosti diplomskega dela je ponekod podana slika matematičnega izraza

ali zanimivost.

Slika 1: Trapez.

OPOMBA: V diplomskem delu je poleg geometrijskih izrazov navedenih tudi nekaj

imen starih grških geometrov in nekaj splošnih matematičnih izrazov.

OPOMBA: Pri končnici eid c ni napisanega znaka za pridih na dvoglasniku ei, ker ne

gre za samostojno besedo, ampak za končnico pri sestavljanju z drugimi besedami.

Podobno tudi pri končnici atoc za rodilnik ne pišemo znaka za pridih.

27

AAksiom: gr. �xÐwma, atoc, tä – čast, ugled, zahteva

Aksiom je očitna temeljna resnica ali trditev, ki jo sprejmemo brez dokazov in jo

privzamemo kot veljavno. Drugi izraz oziroma bolj ali manj sinonim za aksiom je

postulat; beseda izhaja iz latinske besede postulatum, kar pomeni zahteva. Očitna

dejstva se od postulatov razlikujejo v tem, da se ne nanašajo samo na geometrijo,

temveč na celotno matematiko. [1], [2], [3], [6], [10]

• Primer – Evklidov aksiom o vzporednici: Za poljubno premico l in poljubno

točko P , ki ne leži na l, obstaja natanko ena taka premica m, da točka P leži

na m in je m vzporedna l. [10]

Antipodni točki: gr. �ntÐ – nasproti + gr. poÔc, podìc, å – noga

Naj bo γ = K(S, r) krožnica, A in B pa točki na njej. Točki A in B na krožnici γ

sta antipodni, če velja A ∗ S ∗B. Za antipodni točki A in B tudi daljici AB rečemo

diameter ali premer kroga. [2], [10]

Slika 2: Antipodni točki.

28

OPOMBA: Znak ∗ pomeni ležati med; to se pravi, da v primeru A ∗ S ∗B, točka S

leži med točkama A in B.

Apolonij: gr. >Apoll¸nioc

Apolonij je bil starogrški matematik, geometer in astronom, živel je v času med

letoma 260 in 190 pr. n. št. Študiral je v Aleksandriji pri Evklidovih učencih. Nase

je opozoril z osmimi knjigami O stoznicah, od katerih se je ohranilo sedem knjig. V

njih je razpravljal o paraboli, hiperboli in elipsi ter proučeval pomembne značilnosti

teh krivulj. Apolonij se je pri svojih delih naslonil na predhodnike: Evklida, Nikote-

lesa in Konona. Določil je imena stožnic, ki jih prej Evklid še ni uporabljal. [2], [3],

[33]

Slika 3: Apolonij. [33]

Arhit: gr. >Arqutac

Arhit je bil starogrški matematik, filozof, astronom, državnik, strateg in vojskovodja,

živel je med letoma 428 in 365 pr. Kr. Bil je učitelj v Atenah, znan je tudi po tem, da

je Platona učil geometrijo in ga vpeljal v pitagorejstvo. Arhit velja za utemeljitelja

mehanike. Bil je prvi, ki je rešil problem podvojitve kocke s pomočjo krivulje, in

29

sicer Arhitove krivulje, kakor jo imenujemo, poleg tega je dokazal, da zmnožek dveh

zaporednih števil nikoli ni kvadratno število. [2], [3], [34]

Slika 4: Arhit. [34]

Arhimed: gr. >Arqim dhc

Za enega največjih starogrških matematikov velja Arhimed (287–212 pr. n. št.),

živel je v Sirakuzah. Bil je tudi fizik, izumitelj, inženir, astronom in svetovalec

kralja Hierona. Arhimed se je ukvarjal z integralnim računom in tudi s približkom

za obseg kroga z včrtanimi in očrtanimi pravilnimi večkotniki, kar je predstavil v

svojem delu Merjenje kroga. Napisal je še vrsto knjig in razprav, in sicer knji-

go O krogli in valju, v kateri je izraz za površino in prostornino krogle, knjigo

O spiralah, v kateri se lahko najde „Arhimedovo spiralo“, knjigo O konoidih in sfero-

idih, v kateri so podane prostornine nekaterih rotacijskih teles druge stopnje, razpravo

O plavajocih telesih itd. Arhimed je bil računsko zelo spreten, po tem se je raz-

likoval od drugih matematikov tedanjega časa. Pomembno je tudi njegovo delo

Problem o govedu, ki govori o problemu iz diofantske analize. Arhimed je bil ubit,

ko so Rimljani zavzeli Sirakuze. [2], [3], [9], [35]

30

Slika 5: Arhimed. [35]

Asimptota: gr. �sumptota – ki se ne sklada,

iz gr. � – ne + sumpıptw – ujemam se, trčim skupaj

Asimptota je premica, ki se ji približuje druga krivulja. Ko se krivulja od koordi-

natnega izhodišča oddaljuje, se asimptoti poljubno približa in jo seka neskončnokrat

ali pa nikoli. Zgled za krivulje, ki imajo asimptote, so grafi racionalnih funkcij.

Slika 6: Približevanje vodoravni asimptoti.

31

V polih racionalna funkcija ni definirana, njen graf ima tam navpično asimptoto. Ko

se približujemo polu, vrednosti racionalne funkcije rastejo ali padajo v pozitivno ali

negativno neskončnost. Torej, graf funkcije f ima v točki a ∈ R navpično asimptoto

z enačbo x = a, ko je vsaj ena od limit

limn→−a

f(x) ali limn→+a

f(x)

neskončna.

Slika 7: Približevanje navpični asimptoti.

Kadar je stopnja polinoma v števcu za 1 višja od stopnje polinoma v imenovalcu,

ima graf racionalne funkcije poševno asimptoto y = kx + n.

32

Slika 8: Približevanje poševni asimptoti.

Poleg grafov racionalnih funkcij imajo asimptote še hiperbole, cisoide, strofoide in

druge krivulje. [1], [2], [3], [7], [8]

Slika 9: Asimptota pri hiperboli.

33

CCikloida: gr. kukloeid c – okrogel,

iz gr. kÔkloc, å – krog + gr. eid c – v obliki, iz gr. eÚdoc, ouc, tä – oblika

Cikloida je krivulja v ravnini, nastane s kotaljenjem krožnice po vodoravni premici,

na njej si izberemo neko točko, npr. točko P in ji sledimo. Krožnica se kotali brez

drsenja. V parametrični obliki jo zapišemo kot

x = a(t− sin t) in y = a(1− cos t),

kjer je a polmer krožnice, t pa kot, ki ga pri vrtenju naredi točka P . Ko kot naredi

poln obrat po premici, se ponovi začetna situacija. Cikloida je tako sestavljena iz

med seboj skladnih lokov. En lok nastane, če se torej parameter t spremeni za 2p.

Grškim geometrom cikloida ni bila poznana, a so se matematiki predvsem v 17. st.

veliko ukvarjali z njo. Cikloido je prvi raziskal Kuzanski, leta 1599 jo je poimenoval

Galilei. Roberval je leta 1634 pokazal, da je površina pod cikloido enaka trikratni

površini krožnice. Ploščina pod enim lokom cikloide je

P = 3πr2. (4)

Slika 10: Cikloida. [36]

Trohoida: gr. troqoeid c – okrogel, kolesu podoben,

iz gr. troqìc, å – kolo + gr. eid c – v obliki, iz gr. eÚdoc, ouc, tä – oblika

34

Trohoida nastane podobno kot cikloida, le da se krožnica brez drsenja kotali po

premici, opazujemo pa točko P , ki je togo povezana s kotalečo se krožnico in je lahko

znotraj ali zunaj nje.

Sorodne krivulje so npr.:

• Epicikloida: gr. epı – pri, na, poleg, nad + gr. kukloeid c – okrogel

Epicikloida nastane, ko se prva krožnica brez drsenja kotali po zunanjosti druge

krožnice, pri tem pa spremljamo izbrano točko P na prvi krožnici.

Slika 11: Epicikloida. [39]

• Hipocikloida: gr. Ípì – pod + gr. kukloeid c – okrogel

Hipocikloida nastane, ko se prva krožnica brez drsenja kotali po notranjosti druge

krožnice, pri tem spremljamo izbrano točko P na prvi krožnici.

35

Slika 12: Hipocikloida. [39]

• Hipotrohoida: gr. Ípì – pod + gr. troqoeid c 2 – okrogel, kolesu podoben

Hipotrohoida nastane podobno kot hipocikloida, le da je izbrana točka P togo

povezana s kotalečo se krožnico, lahko pa je znotraj ali zunaj nje. [2], [3], [11],

[36]

Slika 13: Hipotrohoida. [36]

• Epitrohoida: gr. epı – pri, na, poleg, nad + gr. troqoeid c 2 – okrogel,

kolesu podoben

Epitrohoida nastane podobno kot epicikloida, le da je izbrana točka P togo povezana

s kotalečo se krožnico, lahko pa je znotraj ali zunaj nje. [2], [3], [11], [36]

36

Slika 14: Epitrohoida. [36]

Cilinder: gr. qulindew – valjam

Cilinder ali valj je rotacijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnika okoli ene od

stranic za 360◦ ali okoli ene od obeh simetrijskih osi za 180◦. Valj sestavljata dve os-

novni ploskvi in plašč. Osnovni ploskvi valja sta kroga, plašč pa pravokotnik. Mrežo

valja torej sestavljata dva skladna kroga s polmerom r, ki imata ploščino enako pr2,

in pravokotnik, ki ima osnovnico enako obsegu osnovne ploskve 2pr in višino, ki je

enaka višini valja v. Če je stranica valja enaka višini, je valj pokončen, v nasprotnem

primeru je valj poševen. Valj je enakostraničen, če je stranica enaka premeru osnovne

ploskve. Pri valju je značilen osni presek, ki je pri pokončnem valju pravokotnik, pri

poševnem pa paralelogram. Površina pokončnega krožnega valja se izračuna po prvi

oziroma po drugi formuli:

P = 2 ·O + pl (5)

P = 2πr(r + v). (6)

Prostornino krožnega valja izračunamo po formuli: [2], [3], [7]

V = O · v. (7)

37

DDeltoid: gr. deltoeid c – v obliki delte,

iz gr. delta – četrta črka grške abecede + gr. eid c – v obliki

Deltoid je štirikotnik, ki ga uvrščamo med trapezoide. Za trapezoide je značilno,

da nimajo nobenega para vzporednih stranic. Deltoid ima dva para sosednjih enako

dolgih oziroma skladnih stranic in eno simetrijsko os. Diagonala f je simetrala lika,

ki razpolavlja diagonalo e, le-ti pa sta si med seboj pravokotni. Kota pri oglišču A

in oglišču C sta skladna.

Slika 15: Deltoid.

Deltoid je lahko konveksna in tudi konkavna množica točk. Konveksnemu deltoidu

lahko včrtamo krog, in sicer tako, da na primer narišemo diagonalo BD, nato pa

simetralo kota v oglišču C. S tem dobimo presečišče Sv diagonale in simetrale kota.

Narišemo še pravokotnico na katerokoli stranico do presečišča Sv. Dobimo polmer

rv včrtanega kroga, nato pa še včrtani krog.

38

Slika 16: Deltoidu včrtana krožnica.

Zanimivosti:

Beseda deltoid oziroma musculus deltoideus se uporablja tudi v medicini, pri anatomiji

človeka. Musculus deltoideus je ramenska mišica, kar je prikazano na sliki št. 17.

Slika 17: Mišica deltoid. [17]

39

Pri pouku tehnike in tehnologije ali v domači družbi lahko naredimo klasične zmaje v

obliki deltoida. Zmaji so prijetna igrača, ob katerih se otroci lahko naučijo ustreznih

ročnih spretnosti, pridobijo tehnična znanja, spoznajo naravne pojave, pri tem pa

lahko opazijo osnovne matematične značilnosti deltoida. [1], [2], [3], [6], [18]

Slika 18: Otroški zmaj v obliki deltoida. [19]

Diagonala: gr. dia – narazen, na dvoje, vsaksebi + gr. gwnıa, ac, � – kot, ogel

Diagonala je daljica, ki povezuje dve nesosednji oglišči večkotnika ali poliedra. Poljuben

n-kotnik ima n·(n−3)2 diagonal, saj ima n-kotnik n oglišč in iz vsakega od teh n oglišč

gre n− 3 diagonal, vsaka pa je šteta dvakrat. [1], [2], [3], [6]

• Primer: 7-kotnik ima tako 7·(7−3)2 = 14 diagonal.

Slika 19: Diagonale v sedemkotniku.

40

Diameter: gr. dıa – s, z, po, skozi + gr. metron, tä – mera, merilo

Diameter ali premer je daljica, ki gre skozi središče kroga ali sfere, na krožnici

povezuje dve nasprotni točki. Premer kroga je tudi najdaljša tetiva, običajno ga

označimo s črko d. Diameter kroga je dvakrat večji od polmera kroga d = 2r. V

metričnem prostoru (M,d) lahko vpeljemo diameter poljubne neprazne množice A

(A ⊆ M) [1], [2], [3], [6]:

diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}. (8)

Slika 20: Premer ali diameter.

Diokles: gr. Diokl c

Diokles je bil grški matematik in geometer, živel je okoli leta 200 pr. n. št. Znan je

po delu o stožnicah, poleg tega se je ukvarjal tudi s podvajanjem kocke, kar je rešil

z geometrijsko krivuljo, imenovano cisoida (gr. kissìc – bršljan). Z uporabo stožnic

je želel rešiti problem delitve krogle z ravnino. [2], [3], [37]

41

Slika 21: Diokles. [37]

Disk: gr. dıskoc, å – disk, okrogla plošča

Disk je okroglo ploščato telo. Množica vseh točk, ki ležijo na krogu ali v njem,

je disk ali zaprt disk. Množica vseh točk, ki ležijo znotraj kroga, je odprt disk. [2],

[3]

EElipsa: gr. êlleiyic, ewc, � – pomanjkanje, nedostatek, napaka, krivda

Elipso štejemo med krivulje 2. reda, in sicer med stožnice. Krivuljo dobimo, če

presekamo stožec z ravnino pod kotom, ki je manjši od naklonskega kota stranice

stožca.

42

Slika 22: Presekani stožec, kjer dobimo elipso. [7]

Elipsa je množica točk v ravnini, katerih vsota razdalj od izbranih točk F1 in F2

(gorišč) je konstantna:

r1 + r2 = 2a. (9)

Pri tem r1 predstavlja razdaljo točke na elipsi od prvega, r2 pa razdaljo od drugega

gorišča, a pa veliko polos elipse.

Slika 23: Elipsa.

43

Razdalja od točke A do točke C se imenuje velika os elipse, razdalji od B pa do D

pa mala os elipse. Točka 0 predstavlja središče oziroma center elipse. Razdalji od

izhodišča do točke A in od izhodišča do točke C, ki ju označimo z a, imenujemo veliki

polosi elipse. Razdalji od izhodišča do točke B in od izhodišča do točke D, ki ju

označimo z b, imenujemo mali polosi elipse. Točke A,B, C, D predstavljajo temena

elipse.

Elipsa ima dve gorišči na abscisni osi F1(−e, 0) in F2(e, 0), kjer e imenujemo linearna

ekscentričnost. S tem predpostavimo, da sta gorišči za e oddaljeni od izhodišča. Li-

nearno ekscentričnost izračunamo z izrazom

e2 = a2 − b2. (10)

Včasih se zgodi, da ima elipsa gorišči na ordinatni osi. Takrat je b > a in linearna

ekscentričnost je dana s formulo

e2 = b2 − a2. (11)

Gorišči imata koordinati F1(0,−e) in F2(0, e). Elipsa je simetrična krivulja (ima

dve simetrijski osi), za katero velja, da je vedno bolj sploščena, čim večja je njena

linearna ekscentričnost. Elipsa je vedno bolj podobna krožnici, kadar se linearna eks-

centričnost približuje nič. Razmerje e med linearno ekscentričnostjo in veliko polosjo

se imenuje numerična ekscentričnost elipse, ki je vedno na intervalu (0,1). Numerična

ekscentričnost se izračuna po naslednji formuli:

ε =e

a=

√1− b2

a2. (12)

Enačba elipse s središčem v izhodišču se glasi

x2

a2+

y2

b2= 1, (13)

44

če pa jo premaknemo za vektor ~v = (p, q), dobimo enačbo premaknjene elipse

(x− p)2

a2+

(y − q)2

b2= 1. (14)

Parametrična oblika enačbe elipse je x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t < 2p. Formulo za

ploščino elipse je objavil Galilejev učenec Bonaventura Cavalieri. Glasi se

S(E) = πab. (15)

To lahko izračunamo s pomočjo integrala:

x2

a2+

y2

b2= 1,

y = b ·√

1− x2

a2.

Pri izračunu potrebujemo še substitucijo:

x

a= cos t

x = a · cos t

dx = −a · sin t dt

1− x2

a2= 1− cos2 t = sin2 t.

Spremenimo meji pri integralu:

x = 0, t =π

2,

x = a, t = 0.

45

S(E1) predstavlja četrtino elipse, ki je omejena z zgornjimi mejami.

S(E) = 4S(E1) =

= 4∫ a

0b

√1− x2

a2dx

= 4b

∫ a

0

√1− x2

a2dx =

= −4ba

∫ 0

π2

√sin2 t · sin t dt =

= 4ab

∫ π2

0sin2 t dt =

= 4ab

∫ π2

0

12· (1− cos 2t) dt =

= 2ab · π

2=

= πab.

Zanimivosti:

Če doma želimo narediti npr. vrt v obliki elipse, si lahko pomagamo tako, da vza-

memo dva količka in ju na določeni razdalji zapičimo v tla. Ta dva količka predsta-

vljata gorišči elipse (F1 in F2), okoli njiju navežemo vrvico. Vzamemo tretji količek,

okoli tega navežemo vrvico, ki povezuje prva dva količka. S tretjim količkom se nato

gibamo v smeri urinega kazalca ali v nasprotni smeri, pri tem pa moramo paziti, da

je vrvica ves čas napeta. [1], [2], [3], [7], [11], [20], [21], [22]

46

Slika 24: Izdelava vrta v obliki elipse.

V literarni teoriji elipsa pomeni izpust oziroma izpuščanje kakega stavčnega člena, ki

ga lahko sami dopolnimo. Največkrat najdemo izpust ali elipso v pregovorih zaradi

jedrnatega sloga.

• Primer: Ti očeta do praga, sin tebe čez prag. [15], [56]

Elipsoid: gr. êlleiyic, ewc, � – pomanjkanje, nedostatek, napaka, krivda + gr.

eid c – v obliki

Vrtenje elipse okrog ene osi v trirazsežnem prostoru povzroči nastanek nove ploskve

drugega reda, ki ji pravimo elipsoid. V kartezičnem koordinatnem sistemu ima elip-

soid naslednjo enačbo:

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1. (16)

Središče elipsoida predstavlja hkrati središče simetrije. Konstante a, b in c so pozi-

tivna števila, ki določajo obliko elipsoida.

47

Slika 25: Elipsoid. [3]

Med elipsoide se štejejo tudi posebni primeri. Kadar je a = b = c, dobimo sfero ali

oblo. Kadar sta dve osi enaki, se nastala ploskev imenuje sferoid. Med sferoide šte-

jemo sploščeni (a = b > c) in podolgovati sferoid (a = b < c). Prvi ima obliko diska,

drugi pa žoge za ragbi. Kadar ima elipsoid tri različne polosi, navadno vzamemo

a > b > c, imenuje se triosni elipsoid. [1], [2], [3], [11], [12]

Prostornina elipsoida je

V =43πabc. (17)

Slika 26: Sfera ali obla. [23]

48

Slika 27: Sploščeni sferoid. [24]

Slika 28: Podolgovati sferoid. [24]

Epicikloida: gr. epı – pri, na, poleg, nad + gr. kukloeid c – okrogel

Epicikloida je ravninska krivulja, nastane pri spremljanju izbrane točke na prvi

krožnici, ki se brez drsenja vrti po zunanjosti druge fiksne krožnice. Krivulja, ki

nastane, je poseben primer rulete. Parametrična enačba epicikloide je

x(θ) = (R + r) cos θ − r cos(R + r

rθ), (18)

49

y(θ) = (R + r) sin θ − r sin(R + r

rθ), (19)

kjer je r polmer manjše krožnice, R = kr (polmer večje krožnice), θ je kot med x

osjo in premico skozi center prve krožnice. Parametrično obliko lahko tako zapišemo

tudi drugače:

x(θ) = r(k + 1) cos θ − r cos((k + 1)θ), (20)

y(θ) = r(k + 1) sin θ − r sin((k + 1)θ), (21)

Epicikloido je grški matematik Apolonij iz Perga uporabil za predstavitev gibanja

planetov.

Kadar je k celo število, potem je krivulja zaprta in ima natančno k ostrih kotov.

Slika 29: Epicikloida, kjer je k = 2. [39]

50

Slika 30: Epicikloida, kjer je k = 4. [39]

Če je k racionalno število (k = ab ), potem ima krivulja a lokov.

Slika 31: Epicikloida, kjer je k = 2,1. [39]

Epicikloida z enim lokom se imenuje kardioida (R = r). [2], [3], [39]

51

Slika 32: Epicikloida, kjer je k = 1. [39]

Evklid: gr. EÎkleØdhc

Evklid (živel je med letoma 365 in 300 pr. Kr.) je bil eden največjih grških ma-

tematikov. Bil je Platonov učenec, ki je deloval v Aleksandriji. O njegovem življenju

je zanesljivo to, da je učil na slavni aleksandrijski univerzi Museum. Še danes pa je

znan njegov rek: „V matematiko ne vodijo kraljevske poti.“

Evklid je najtesneje povezan z geometrijo, vsa njegova dela so izšla v 13 knjigah

z naslovom StoiqeØa, kar se prevaja z Elementi. Elementi so poleg Biblije knji-

ge, ki so jih v zgodovini zahodnega sveta največkrat proučevali in tiskali. Evklidovi

Elementi imajo strogo logično zgradbo, in sicer se vsaka knjiga začne s spiskom

definicij izrazov, ki se potem uporabljajo v tej knjigi. Prve štiri knjige obravnavajo

planimetrijo, torej proučujejo lastnosti likov v ravnini. Govorijo o osnovnih lastno-

stih premic, kotov, skladnosti trikotnikov, enakosti ploščin, Pitagorovem izreku itd.

Za najtežjo Evklidovo knjigo velja deseta knjiga, ki govori o geometrijski razvrstitvi

kvadratičnih iracional in njihovih korenov. To so števila v obliki√

a +√

b. O stere-

ometriji govorijo zadnje tri knjige. Evklid se je ukvarjal tudi z deljivostjo celih števil,

seštevanjem geometrijskih vrst in s praštevili. Pomemben je tako imenovani Evkli-

dov algoritem, s katerim poiščemo največji skupni delitelj danih celih števil, poleg

52

tega mu pripada tudi izrek o neskončno mnogo praštevil. Po njem se imenuje Ev-

klidov izrek, ki pravi, da je kvadrat katete v pravokotnem trikotniku enak produktu

hipotenuze in pravokotne projekcije te katete na hipotenuzo: [1], [2], [6], [9], [10]

a2 = a1 · c, (22)

b2 = b1 · c. (23)

Slika 33: Evklidov izrek.

Slika 34: Evklid. [25]

53

Slika 35: Ohranjeni fragment Evklidovih Elementov. [25]

Slika 36: Elementi. [26]

GGeometrija: gr. gewmetrıa, ac, � – zemljemerstvo, geometrija,

iz gr. g¨, g¨c, � – zemlja + gr. metrıa, ac, � – merjenje

Geometrija je veja matematike, ki se ukvarja s proučevanjem prostora in z oblikami

ter velikostmi različnih likov in teles v prostoru. Predstavlja eno izmed najstarejših

vej, ki se je pred več tisočletji pojavila v Egiptu, Mezopotamiji, Indiji in na Kitaj-

skem. V teh krajih so reke večkrat poplavile, s tem pa so se zbrisale meje posameznih

obdelovalnih območij. Tako so morali tamkajšnji prebivalci ponovno postaviti meje,

kar je povzročilo ponovno merjenje, zarisovanje in računanje.

54

Geometrija se je v stari Grčiji začela močno razvijati po 7. st. pr. Kr. V te

kraje so jo iz Egipta prinesli trgovci. Od 5. st. pr. Kr. se je v geometriji poja-

vila sprememba, saj so grški matematiki uvedli abstrakcijo. Pomembna postaneta

dva pojma, in sicer pojem trditve in njenega strogega dokaza. Tako so postali ge-

ometrijski rezultati natančni in verjetni. Geometrija je postala veda o abstraktnih

strukturah.

Okoli 300 let pr. Kr. je v Aleksandriji ustvarjal matematik Evklid. Evklid je

zbral dotedanje znanje geometrije in ga logično usklajeno predstavil ter objavil v

13 knjigah z naslovom Elementi. V šolah se učimo geometrijo, ki je zelo podobna

Evklidovemu pristopu. Evklidska geometrija vključuje pojme, kot so točka, premi-

ca, krožnica, večkotniki, stožnice itd. Zajema poglavja planimetrije, stereometrije in

trigonometrije.

V 19. st. se je pojavila tako imenovana neevklidska geometrija, ki je temeljila

na drugačnih osnovah kot evklidska geometrija. Nikolaj Ivanovič Lobačevski in

János Bolyai sta odkrila hiperbolično geometrijo, Bernhard Riemann pa eliptično

geometrijo. Hiperbolična geometrija temelji na tem, da skozi dano točko T , ki ne

leži na premici p, poteka neskončno mnogo vzporednic k premici p, medtem ko elip-

tična geometrija pravi, da vzporednice ne obstajajo.

Slika 37: Nikolaj Ivanovič Lobačevski. [27]

55

Slika 38: János Bolyai. [28]

Slika 39: Bernhard Riemann. [29]

56

Z analitično geometrijo se je ukvarjal René Descartes. Zelo dolgo časa je bila ge-

ometrija ločena od aritmetike, leta 1637 pa je Descartes odkril povezavo med njima

in vpeljal kartezični koordinatni sistem. Beseda kartezični izhaja od latinizirane

oblike priimka Descartes: Cartesius. Koordinatni sistem omogoča, da so točke pred-

stavljene s števili, premice in krivulje pa z enačbami. Leonhard Euler je v 18. st.

premišljeval o posplošitvi evklidske geometrije. Preučeval je afino geometrijo, ki

se ukvarja predvsem s problemom kolinearnosti in ne z merjenjem dolžin in kotov.

Iz afine geometrije izhaja projektivna geometrija, temelje ji je postavil Gérard De-

sargues. Projektivna geometrija zajema evklidsko in neevklidsko geometrijo.

Zanimivosti:

Nikolaj Ivanovič Lobačevski je bil ruski matematik. Že kot osemnajstletni je magi-

striral iz matematike in fizike, nato pa je začel predavati na kazanski univerzi. Bil

je rektor univerze, kasneje so ga odstavili s položaja in mu prepovedali možnost pre-

davati. To ga je tako prizadelo, da se mu je zdravstveno stanje poslabšalo, tako

da je umrl popolnoma slep. Kazanska univerza od leta 1897 podeljuje medaljo

Lobačevskega za delo na področju geometrije. Po njem se imenuje tudi krater na

Luni.

János Bolyai je bil madžarski matematik. Njegov oče Farkas je bil prav tako mate-

matik, ki se je ukvarjal z dokazovanjem Evklidovega petega postulata. János je znal

devet tujih jezikov, med njimi tudi kitajščino in tibetanščino. Po njem se imenuje

univerza v mestu Cluj v današnji Romuniji in asteroid 1441 ter krater na Luni. Iz

njegovega življenja se ni ohranil noben njegov portret, objavljena je le slika s poštne

znamke, ki jo je izdala madžarska pošta. [1], [2], [3], [9], [10], [30], [31]

HHeptagon: gr. ápta – sedem + gr. gwnıa, � – kot, ogel

57

Heptagon štejemo med večkotnike, ki ima sedem stranic in sedem kotov. Vse strani-

ce in vsi koti so si med seboj skladni. Koti v heptagonu merijo 5π7 radianov, kar je

128,5714286 stopinj. [1], [3], [40]

Slika 40: Heptagon.

Heron: gr. VHrwn

Heron je bil starogrški matematik, geometer, fizik in inženir, živel je v času okrog

leta 62 n. št. Bil je eden zadnjih učenjakov v Aleksandriji, napisal je več del, med

njimi je znano Metrica. V delu govori, kako izmeriti obseg stožca, prizme, piramide,

v geometriji je znan po enačbi za izračun ploščine trikotnika z njegovimi stranicami.

Enačba se glasi:

S =√

s(s− a)(s− b)(s− c), (24)

kjer je s

s =a + b + c

2. (25)

Ukvarjal se je tudi z optiko. Njegovo najbolj znano delo je Pneumatica, v kateri

58

opisuje okrog sto mehanskih naprav. [1], [3], [41]

Slika 41: Heron. [41]

Hiperbola: gr. Íperbol , � – prehod, prelaz, vrhunec,

iz gr. Íper – nad, čez, onkraj + gr. ballw – mečem

Hiperbolo štejemo med krivulje 2. reda, prav tako kot elipso med stožnice. Krivuljo

dobimo, če presekamo dvojni stožec s skupnim vrhom z ravnino pod pravim kotom

glede na osnovno ploskev.

Slika 42: Presekana stožca, kjer dobimo hiperbolo. [7]

59

Hiperbola je množica točk v ravnini, katerih absolutna vrednost razlike razdalj od

izbranih točk F1 in F2 (gorišč) je konstantna:

|r1 − r2| = 2a, (26)

kjer r1 predstavlja polmer prve krožnice, r2 polmer druge krožnice, a pa polos hiper-

bole.

Slika 43: Hiperbola.

Točki A do točke B označujeta temeni hiperbole. Razdalja od izhodišča in do točke

B oz. do točke A je glavna ali realna polos, ki jo označimo z a. Drugi dve polosi

imenujemo imaginarni polosi, ki ju označimo z b.

Hiperbola ima na abscisni osi dve gorišči F1(−e, 0) in F2(e, 0), kjer e imenujemo line-

arna ekscentričnost. S tem predpostavimo, da sta gorišči za e oddaljeni od izhodišča.

Linearno ekscentričnost izračunamo z izrazom

e2 = a2 + b2. (27)

Enačba hiperbole v središčni legi se glasi

60

x2

a2− y2

b2= 1, (28)

če pa jo premaknemo za vektor ~v = (p, q), dobimo enačbo premaknjene hiperbole

(x− p)2

a2− (y − q)2

b2= 1. (29)

Včasih se zgodi, da ima hiperbola gorišči na ordinatni osi. To se zgodi, kadar ima

hiperbola naslednjo enačbo:

x2

a2− y2

b2= −1. (30)

Kadar ima hiperbola enaki polosi a = b, pravimo, da je hiperbola enakoosa. [1], [2],

[3], [7], [20]

Zanimivost:

V literarni teoriji hiperbola pomeni pretiravanje, pretirano trditev ali primero.

• Primer: Postal je tak fant, da bi gore premikal. [7], [15]

Hiperboloid: gr. Íperbol , � – prehod, prelaz, vrhunec,

iz gr. Íper – nad, čez, onkraj + gr. ballw – mečem + gr. eid c – v obliki

Hiperboloid je v trirazsežnem geometrijskem prostoru telo, ki nastane z vrtenjem

hiperbole okoli glavne ali stranske osi. Tako dobimo dva različna primera hiper-

boloida, to sta enodelni in dvodelni hiperboloid. Enodelni hiperboloid ima naslednjo

enačbo:

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1. (31)

61

Slika 44: Enodelni hiperboloid. [42]

Dvodelni hiperboloid ima enačbo:

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= −1. (32)

Slika 45: Dvodelni hiperboloid. [42]

62

Zanimivost:

Enodelni hiperboloid se večkrat uporablja tudi v gradbeništvu za konstrukcije zgradb,

ki jih imenujemo hiperboloidne strukture. Primer takih zgradb so na primer hladilni

in vodni stolpi. Zgrajeni so v obliki hiperboloida, saj je njegova površina manjša in

se tako s tem porabijo manjše količine gradbenega materiala.[1], [2], [3], [42]

Slika 46: Vodni stolp – prva hiperboloidna struktura (Rusija 1896). [42]

Hipotenuza: gr. Ípoteınw – razpenjam, molim nasproti

Hipotenuza je najdaljša stranica v pravokotnem trikotniku. Leži nasproti pravemu

kotu, po navadi jo označimo s c. Stranici poleg hipotenuze imenujemo kateti. Dolžino

hipotenuze lahko izračunamo iz znanih katet a in b s pomočjo Pitagorovega izreka.

[1], [2], [3]

63

Slika 47: Hipotenuza.

Hiparh: gr. VIpparqoc

Hiparh je starogrški matematik, astronom in geograf, živel je med letoma 190 in

120 pr. Kr. Znan je po tem, da je odkril modele za gibanje Sonca in Lune, bil je

prvi, ki je razvil trigonometrične tabele. To znanje mu je prišlo prav pri napove-

dovanju Sončevih mrkov. Njegovi pisni viri so večinoma izgubljeni, ohranjeno je le

eno njegovo delo z naslovom Razlaga o Aratovih in Evdoksovih pojavih. [1], [2],

[3], [43]

Slika 48: Hiparh. [43]

64

IIzrek ali teorem: gr. je¸rhma, atoc, tì – izrek, teorem, resnica,

gr. jeo iz gr. tıjhmi – postavim, določim, smatram + gr. û¨ma, atoc, tä – izraz,

izrek, zakon

Podoben pomen, kot ga ima aksiom, imajo tudi izrazi izrek, lema in trditev. Vsi

izreki so dokazani, logično sledijo iz aksiomov, definicij in že dokazanih izrekov

oziroma trditev, izjave so pravilne. Neka trditev je neodvisna od aksiomov, če ni

mogoče iz aksiomov dokazati niti pravilnosti niti nepravilnosti te trditve. [1], [2], [3],

[10]

Izometrija: gr. Òsoc – enak, sličen, podoben, isti + gr. metrıa, � – merjenje

Transformacija (ravnine R) je bijektivna funkcija T : R → R. Transformaciji rečemo

izometrija, če ohranja razdalje, in sicer za poljubni točki A, B ∈ R ravnine R, velja

T (A)T (B) = AB. Naj bo T izometrija ravnine R. Tedaj velja:

• T ohranja kolinearnost,

• T ohranja relacijo ∗ – če za kolinearne točke P , Q in R velja P ∗ Q ∗ R, velja

tudi T (P ) ∗ T (Q) ∗ T (R),

• T ohranja daljice,

• T ohranja premice,

• T ohranja vmesnost poltrakov,

• T ohranja velikost kotov,

• T ohranja trikotnike,

65

• T ohranja krožnice,

• T ohranja ploščine. [1], [2], [10]

OPOMBA: Znak ∗ pomeni ležati med; to se pravi, da v primeru P ∗Q ∗R, točka Q

leži med točkama P in R.

KKardioida: gr. kardıa, � – srce + gr. eid c – v obliki

Kardioida ali srčnica je krivulja, ki nastane pri kotaljenju prve krožnice brez drsenja

(na kateri spremljamo fiksno točko) okoli druge fiksne krožnice z enakim polmerom.

Kardioida je poseben primer epicikloide (k = 1). Enačba kardioide se v polarnih

koordinatah glasi:

r = a(1 + cos ϕ), (33)

kjer je a polmer prve krožnice, ki kroži okoli druge fiksne krožnice z enakim polmerom.

Ploščino kardioide izračunamo po naslednjem postopku, kjer K1 predstavlja del kar-

dioide, omejene med 0 in p.

S(K) = 2S(K1) =

= 2 · 12

∫ π

0[f(ϕ)]2dϕ =

= a2

∫ π

0(1 + cos ϕ)2dϕ =

= a2

∫ π

0(1 + 2 cos ϕ + cos2 ϕ)dϕ =

= a2

∫ π

0(1 + 2 cos ϕ +

12(1 + cos 2ϕ))dϕ =

66

= a2

∫ π

0(32

+ 2 cos ϕ +12

cos 2ϕ))dϕ =

= a2(3

2π)

=

=3πa2

2.

Kardioida je inverzna krivulja parabole, če je središče inverzije njeno gorišče. Če

pa izberemo za središče inverzije teme parabole, dobimo Dioklesovo cisoido, ki je

prikazana na sliki 49. [1], [2], [3], [11], [44]

Slika 49: Dioklesova cisoida. [44]

Kateta: gr. kajıhmi – spuščam dol

Kateti sta stranici v pravokotnem trikotniku, ki oklepata pravi kot. To sta kraj-

ši stranici v pravokotnem trikotniku, po navadi ju označimo z a in b. Kateti ležita

67

nasproti obeh manjših ostrih kotov. [1], [2], [6], [32]

Slika 50: Kateti.

LLema: gr. l mma, atoc, tä – dohodek, dobiček, korist

Lema ima podoben pomen, kot ga ima izrek in trditev. Več je napisano pod pojmom

Izrek. [1], [2], [10]

• Primer: Če velja C ∗A∗B in je D v notranjosti kota ∠BAE, je E v notranjosti

kota ∠DAC. [10]

OPOMBA: Znak ∗ pomeni ležati med; to se pravi, da v primeru C ∗A ∗B, točka A

leži med točkama C in B.

Lemniskata: gr. lemnıskoc, å – trak na kroni zmagovalcev

Lemniskata je krivulja, ki ima v kartezičnih koordinatah naslednjo obliko:

68

(x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2). (34)

Lemniskata je v obliki osmice ali znaka za neskončnost (∞). Krivulja je znana tudi

kot Bernoullijeva lemniskata, imenujemo jo kar lemniskata. Enačba Bernoullijeve

lemniskate v polarnem koordinatnem sistemu je:

r2 = 2a2 cos 2ρ. (35)

S(L1) je del Bernoullijeve lemniskate, ki predstavlja četrtino lemniskate in je omejen

s kotom med 0◦ in 45◦. Zato se ploščina celotne lemniskate izračuna po naslednjem

postopku: [1], [2], [3], [11]

S(L) = 4S(L1) =

= 4 · 12

∫ π4

0[f(ρ)]2dρ =

= 2 · 2a2

∫ π4

0cos 2ρdρ =

= 4a2

∫ π4

0cos 2ρdρ =

= 2a2.

MMatematika: gr. majhma, atoc, tä – znanje, znanost, predmet učenja

Matematika je znanstvena veda, ukvarja se s števili, ploskvami, telesi, krivuljami,

z odnosi v prostorih itd. Je obsežna veda, ki se deli na čisto in uporabno matema-

tiko. Čista matematika vključuje aritmetiko, algebro, geometrijo, trigonometrijo in

69

topologijo, uporabna matematika pa se ukvarja predvsem s proučevanjem naravnih

pojavov. Zajema statistiko, verjetnost, mehaniko, relativnost in kvantno mehaniko.

Čista in uporabna matematika med seboj nista ostro ločeni, vendar sta soodvisni

in se med seboj dopoljnujeta. Na razvoj matematike so vplivali različni dejavniki,

med njimi poljedeljstvo, trgovina, obrt, vojaške veščine, tehnika in filozofija, fizika

in astronomija. Matematiki tudi sedaj poskušajo s pomočjo že znanih aksiomov in

dejstev odkriti nova spoznanja, s tem pa se širi uporabnost matematike tudi na os-

tala znanstvena področja, kot so fizika, astronomija, medicina itd. [1], [2], [3], [9], [45]

Zanimivost:

gr. majht c, oÜ, å – učenec, vernik (NZ)

Menelaj: gr. Menelaoc

Menelaj (živel je okrog leta 100) je bil starogrški matematik in astronom, ki je

deloval v Aleksandriji, poleg Herona je bil eden zadnjih matematikov v tem kraju.

Ukvarjal se je predvsem s sferno geometrijo, napisal je delo z naslovom Sphaerica,

v katerem je uporabil trigonometrijo, geometrijo, astronomijo in Menelajev izrek.

Napisal je tudi šest knjig z naslovom O racunanju tetiv v krogu in tri knjige z

naslovom Elementi geometrije, ki so se izgubile. [1], [2], [3]

Meter: gr. metron, tä – mera, merilo

Meter je osnovna enota za dolžino, iz katere so izpeljane enote decimeter, centimeter,

milimeter, kilometer itd. Simbol za meter je m.

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm

70

1 km = 1000 m

Zanimivost o zgodovini metra:

Za večja francoska mesta je bilo v 2. pol. 18. st. značilno, da so imela svojo

mersko enoto. To je povzročilo probleme pri trgovanju in s tem večjo možnost go-

ljufanja. Zato je revolucionarna skupščina leta 1790 naročila Akademiji znanosti,

da določi enoto za dolžino. Akademija je s pomočjo znanih francoskih matematikov

določila novo enoto – meter, ki izhaja iz grške besede metron – mera. Nova enota se

ni takoj uveljavila, tako da so morali staro enoto ulno prepovedati. Ulna je merila

približno 1,2 metra. Meter je bil uzakonjen 25. junija 1800. [1], [2], [3], [6]

Metrika: gr. metron, tä – mera, merilo

Metrika je na dani množici M preslikava

d : M ×M → R, (36)

tako da velja:

1. Nenegativnost: d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

2. Simetričnost: d(x, y) = d(y, x) za poljubni točki x, y ∈ M.

3. Trikotniška neenakost: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) za poljubne točke x, y, z ∈ M.

Množico M skupaj z metriko d imenujemo metrični prostor (M,d).

Pomembna zgleda metrik v ravnini R× R sta:

• Evklidska metrika v R× R je definirana s predpisom

d((x1, y1), (x2, y2)) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2. (37)

71

• Taksi metrika v R× R je definirana s predpisom

d((x1, y1), (x2, y2)) = |x2 − x1|+ |y2 − y1|. (38)

[1], [2], [10], [13]

PPapos: gr. Pappoc

Papos (živel je okrog leta 320) iz Aleksandrije je bil grški matematik, geometer

in filozof. Matematik je znan po delu Synagoge − Zbirka, nekakšen priročnik za

študij grške geometrije z zgodovinskimi opombami, izboljšavami in spremembami

določenih dokazov in izrekov. Proučeval je kvadraturo kroga, trisekcijo kota in po-

dvojitev kocke, po njem se imenuje izrek, ki mu pravimo Paposov izrek. [1], [2], [3],

[9], [47]

Slika 51: Naslovnica Paposovega dela z naslovom Zbirka. [47]

72

Parabola: gr. para – od, ob, mimo, pri + gr. ballw – mečem

Parabolo štejemo med krivulje 2. reda – stožnice. Krivuljo dobimo, če presekamo

stožec s presečno ravnino, katere naklonski kot presečne ravnine proti osnovni ploskvi

je enak naklonskemu kotu med stranico stožca in osnovno ploskvijo.

Slika 52: Presekan stožec, kjer dobimo parabolo. [7]

Parabola je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane premice vodnice

(d) in od izbrane točke, gorišča oziroma fokusa (F ).

Slika 53: Parabola.

73

Točka V predstavlja teme parabole, razpolavlja razdaljo med vodnico d in goriščem

F . Razdaljo med vodnico d do gorišča F označimo s črko p. Tako dobimo enačba

premice vodnice, ki je

x = −p

2, (39)

gorišče pa ima koordinati F (p2 , 0). Enačbo parabole, ki ima teme v izhodišču koordi-

natnega sistema in je simetrična glede na abscisno os, imenujemo temenska enačba

parabole. Zapišemo jo v obliki

y2 = 2px, (40)

enačbo premaknjene parabole s temenom v točki V (x0, y0) pa zapišemo v obliki

(y − y0)2 = 2p(x− x0). (41)

Zanimivost:

V literarni teoriji parabola pomeni priliko, to je kratka, izmišljena, a verjetna zgodba

s poučno poanto. V bistvu je zgodba parabole neposreden odgovor na kako pomem-

bno vprašanje iz moralnega življenja. Najbolj znane in najlepše so svetopisemske

prilike, npr. O izgubljenem sinu. [1], [2], [3], [7], [15], [20]

Paraboloid: gr. para – od, ob, mimo, pri + gr. ballw – mečem + gr. eid c

– v obliki

Paraboloid je krivulja, ki nastane z vrtenjem parabole. Obstajata dve vrsti paraboloida,

in sicer eliptični in hiperbolični paraboloid. [1], [2], [3]

74

• Eliptični paraboloid: gr. êlleiyic, ewc, � – pomanjkanje, nedostatek,

napaka, krivda + gr. para – od, ob, mimo, pri + gr. ballw – mečem +

gr. eid c – v obliki

Eliptični paraboloid dobimo, če parabolo y2 = 2px zavrtimo okoli njene osi. Dobimo

ploskev, ki ji rečemo rotacijski paraboloid in ima enačbo

y2 + z2 = 2px. (42)

Enačba splošnega eliptičnega paraboloida v kartezičnih koordinatah je

y2

b2+

z2

c2= 2px. (43)

Na ravninah, ki so vzporedne z ravninama xz ali xy, nastajajo parabole, na ravninah,

ki so vzporedne z ravnino yz, pa nastajajo elipse. Oblika je primerna za izdelavo

anten, radarjev, reflektorjev. [2], [3], [12], [38]

Slika 54: Eliptični paraboloid. [3]

75

• Hiperbolični paraboloid: gr. Íperbol , � – prehod, prelaz, vrhunec,

iz gr. Íper – nad, čez, onkraj + gr. ballw – mečem gr. para – od, ob,

mimo, pri + gr. ballw – mečem + gr. eid c – v obliki

Hiperbolični paraboloid definiramo z enačbo

x2

a2− y2

b2= 2pz. (44)

Na ravnininah, ki so vzporedne z ravninama xz ali yz, nastajajo parabole, na ravni-

nah, ki so vzporedne z ravnino xy, pa nastajajo elipse. [2], [3], [12], [38]

Slika 55: Hiperbolični paraboloid. [3]

Paralelnost: gr. parallhloc 2 – vzporeden

Paralelnost ali vzporednost je v geometriji pojem, ki opisuje lego geometrijskih ob-

jektov. Premici p in q sta vzporedni, če obe ležita v isti ravnini in nimata nobene

skupne točke, kar označimo p || q. Prav tako sta tudi premica in ravnina vzporedni,

če nimata nobene skupne točke. Enako tudi dve vzporedni ravnini nimata nobene

skupne točke.

Vzporednost je ekvivalenčna relacija v množici premic na ravnini. Velja refleksivnost,

76

simetričnost in tranzitivnost. [1], [2], [3], [6]

• Refleksivnost: p||p (Vsaka premica je sama sebi vzporedna).

• Simetričnost: p||q ⇒ q||p (Če je premica p vzporedna premici q, je tudi q

vzporedna premici p).

• Tranzitivnost: p||q in q||r ⇒ p||r (Če je premica p vzporedna premici q in q

vzporedna premici r, potem je tudi p vzporedna premici r).

Paralelepiped: gr. parallhloc 2 – vzporeden + gr. âpıpedon, tä – ravnina

Paralelepiped je geometrijsko telo, prizma, ki ima za osnovno ploskev paralelo-

gram. Paralelepiped je lahko pravilen (stranske ploskve so pravokotne na podlago) ali

poševen (stranske ploskve niso pravokotne na podlago). Pravilen paralelepiped ima

lahko za osnovno ploskev kvadrat in pravokotnik. Prvemu pravimo kocka, drugemu

pa kvader. Površino paralelepipeda izračunamo po enačbi:

P = 2(ab + bc + ac), (45)

kjer so a, b, c stranice paralelepipeda.

Prostornino paralelepipeda se izračuna po enačbi: [1], [2], [3]

V = abc. (46)

Paralelogram: gr. parallhloc 2 – vzporeden + gr. gramm , � – črta

Paralelogram je štirikotnik, ki ima dva para vzporednih stranic, lahko je pravokoten

ali poševen. Med pravokotne paralelograme štejemo pravokotnike, v katerem so vsi

77

notranji koti pravi. Poznamo tudi enakostranične paralelograme, in sicer kvadratu

pravimo pravokotni enakostranični paralelogram, rombu pa poševni enakostranični

paralogram. V paralelogramu se diagonali razpolavljata, nasprotni stranici AB in

CD oziroma AD in BC sta enako dolgi, poljubna sosednja kota sta suplementarna,

poljubna nasprotna kota pa enako velika. [1], [2], [3], [6]

Slika 56: Paralelogram.

Zanimivost:

Gram gr. gramma, atoc, tä – črka, pismenka, zakon

Osnovna enota za maso je kilogram. Gram je utežna mera, ki predstavlja tisočinko

kilograma. Simbol za enoto gram je g. [1], [2], [6]

Piramida: gr. puramıc, ıdoc, � – piramida,

iz gr. pura, � – grob + gr. megac – velik, slaven

Piramida je polieder, ki je omejen z n-kotnikom (predstavlja osnovno ploskev) in

n trikotniki (sestavljajo plašč). Piramida je lahko pokončna, poševna, pravilna in

enakoroba. Piramidi pravimo pokončna, če so vsi stranski robovi enako dolgi, v

78

nasprotnem primeru je piramida poševna. Piramida je pravilna, če je pokončna in

ima za osnovno ploskev pravilni n-kotnik. Piramida je enakoroba, če so vsi njeni os-

novni in stranski robovi enako dolgi. Sestavni deli piramide so torej osnovna ploskev,

stranska ploskev, osnovni rob (rob, kjer se stikata osnovna in stranska ploskev), stran-

ski rob (rob, kjer se stikata stranska robova) in vrh. Površina piramide je

P = O + pl, (47)

kjer O predstavlja ploščino osnovne ploskve in pl ploščino plašča. Prostornino pi-

ramide izračunamo:

V =13O · v, (48)

kjer je O ploščina osnovne ploskve in v višina piramide. Prostornina piramide pred-

stavlja tretjino prostornine prizme z osnovno ploskvijo O in višino v.

Zanimivost:

Prvo piramido so pred 4500 leti postavili pri Sakari v Egiptu. Načrt zanjo je narisal

zdravnik, svečenik, astronom in pisatelj Imhotep. Zelo zanimiva je tudi Keopsova

piramida pri Gizi v Egiptu, ki pokriva 5,25 hektara puščave, naklonski kot med os-

novno in stransko ploskvijo pa meri 52◦. Keopsova piramida je visoka 147 metrov,

zgrajena je iz 2300000 kamnitih blokov (posamezni blok tehta 2300 kilogramov).

Stara ljudstva so piramide uporabljali za grobnice in templje. [1], [2], [3], [6]

79

Slika 57: Piramide pri Gizeh. [48]

Pitagora: gr. Pujagorac

Pitagora je živel v 6. st. pr. n. št. Bil je grški matematik, filozof in mistik, us-

tanovil je šolo. Po njem se je imenovala skupina filozofov – pitagorejci – zanje je bilo

značilno, da so se lotili proučevanja nespremenljivih elementov v naravi in družbi.

Verjeli so, da je načelo vseh stvari mogoče najti v številih. Preučevali so geometrijo,

aritmetiko, astronomijo in glasbo. Pitagorejci so svojemu učitelju Pitagori pripiso-

vali odkritje Pitagorovega izreka, ki pravi, da je kvadrat hipotenuze v pravokotnem

trikotniku enak vsoti kvadratov obeh katet. Izrek so poznali že Babilonci vsaj tisoč

let pred njimi, vendar so prvi splošni dokaz dobili v pitagorejski šoli. Pitagorejci

so poleg omenjenega izreka znani tudi po odkritju iracionalnih števil, poznali so

lastnosti pravilnih večkotnikov in pravilnih teles (tudi pravilni oktaeder in pravilni

dodekaeder). Ukvarjali so se tudi z določitvijo intervalov v glasbi.

Zanimivost:

Pitagora se je poleg matematike ukvarjal tudi z akustiko in zvokom. Spoznal je,

da imajo strune na glasbilih višji ton, če jih skrajšamo. Višina tona se torej primerja

z dolžino strune. Poleg tega je odkril, da ima struna, ki je dvakrat daljša od druge,

ravno za oktavo nižji ton. Ugotovil je, da ima struna z napenjanjem npr. vijaka višji

ton. [1], [2], [6], [9], [49]

80

Slika 58: Pitagora. [49]

Pitagorov izrek

Pitagorov izrek je izrek, ki je dobil ime po grškem matematiku, Pitagori. Izrek

velja v pravokotnem trikotniku, le-ta pa pravi, da je kvadrat hipotenuze enak vsoti

kvadratov obeh katet. Pitagorov izrek zapišemo kot

c2 = a2 + b2, (49)

kjer sta a in b kateti, c pa hipotenuza, stranica, ki leži nasproti pravemu kotu. [1],

[2], [6]

Polieder: gr. poluc, poll , polu – mnog + gr. édra, � – sedež, stol, sedišče

Polieder ali oglato telo je telo, ki je omejeno z ravnimi ploskvami. Če ima polieder za

81

stranske ploskve pravilne večkotnike in se v vsakem oglišču stika enako število robov,

rečemo, da je polieder pravilen. Po Platonu se imenujejo poliedri tudi Platonska

telesa. Pravilnih poliedrov je pet:

• Tetraeder: gr. tèssarec, tèssara – štiri + gr. édra, � – sedež, stol,

sedišče

Tetraeder sestavljajo štirje enakostranični trikotniki, štiri oglišča in šest robov. V

vsakem oglišču tetraedra se stikajo trije robovi.

Slika 59: Tetraeder.

• Heksaeder: gr. ¡x – šest + gr. édra, � – sedež, stol, sedišče

Heksaeder ali kocko sestavlja šest kvadratov, osem oglišč in dvanajst robov. V

vsakem oglišču heksaedra se stikajo trije robovi. V naravi lahko najdemo primere v

obliki heksaedra. Sol je sestavljena iz kristalov, ima obliko kocke.

82

Slika 60: Heksaeder ali kocka.

• Oktaeder: gr. ækt¸ – osem + gr. édra, � – sedež, stol, sedišče

Oktaeder sestavlja osem enakostraničnih trikotnikov, šest oglišč in dvanajst robov.

V vsakem oglišču oktaedra se stikajo štirje robovi. Zlato in diamant imata obliko

oktaedra.

Slika 61: Oktaeder.

• Dodekaeder: gr. d¸deka – dvanajst + gr. édra, � – sedež, stol, sedišče

Dodekaeder sestavlja dvanajst pravilnih petkotnikov, dvajset oglišč in trideset robov.

V vsakem oglišču tetraedra se stikajo trije robovi.

83

Slika 62: Dodekaeder. [50]

• Ikozaeder: gr. eÒkosi(n) – dvajset + gr. édra, � – sedež, stol, sedišče

Ikozaeder sestavlja dvajset enakostraničnih trikotnikov, dvanajst oglišč in trideset

robov. V vsakem oglišču tetraedra se stika pet robov. [1], [2], [6]

Slika 63: Ikozaeder. [51]

Prizma: gr. prıw – žagam

Prizma je polieder ali oglato telo, ki je omejeno z dvema n-kontikoma (predstavljata

84

osnovni ploskvi) in n paralelogrami (sestavljajo plašč). Prizma je lahko pokončna,

poševna, pravilna in enakoroba. Prizmi pravimo pokončna, če so vsi stranski robovi

enaki višini prizme, v nasprotnem primeru je prizma poševna. Prizma je pravilna,

če je pokončna in ima za osnovno ploskev pravilni n-kotnik. Prizma je enakoroba,

če so vsi njeni osnovni in stranski robovi enako dolgi. Sestavni deli prizme so torej

osnovni ploskvi, stranske ploskve, osnovni robovi (rob, kjer se stikata osnovna in

stranska ploskev), stranski robovi (rob, kjer se stikata stranska robova) in višina.

Površina prizme je

P = 2O + pl, (50)

kjer O predstavlja ploščino osnovne ploskve in pl ploščino plašča. Prostornino prizme

izračunamo:

V = O · v, (51)

kjer je O ploščina osnovne ploskve in v višina prizme. Za prizmo je značilen osni

presek, ki gre skozi stranski rob ali simetrijsko os stranske ploskve prizme. [1], [2],

[6]

Prizmatoid: gr. prıw – žagam + gr. eid c – v obliki

Prizmatoid je polieder, pri katerem vsa njegova oglišča ležijo na dveh vzporednih

ravninah. Prizmatoid ima tako lahko za stranske ploskve trapeze, paralelograme,

trikotnike, pri čemer ni nujno, da ima enako število stranskih ploskev. [1], [2], [3]

Proklus: gr. Prìkloc

85

Proklus je bil grški matematik, živel je med letoma 410 in 485. Bil je avtor ko-

mentarjev na Evklidove Elemente, tudi on je poskušal dokazati slavni peti Evklidov

aksiom. [1], [2], [3]

RRomb: gr. ûomboc, å – vrtavka

Romb je štirikotnik, uvrščamo ga med paralelograme (poševnokotne enakostranične

paralelograme). Veljajo enake lastnosti kot pri paralelogramih. Več o njih je napisano

pod besedo paralelogram. Ploščino romba izračunamo po formuli:

S = av = a2 sinα, (52)

kjer a predstavlja stranico romba, v pa višino romba. Ploščina romba se lahko

izračuna tudi takole:

S =ef

2, (53)

kjer e in f predstavljata diagonali, ki se med seboj razpolavljata in sta si med seboj

pravokotni.

Obseg romba izračunamo po formuli:

o = 4a, (54)

kjer a predstavlja stranico romba. [1], [2], [6]

86

Slika 64: Romb.

Romboid: gr. ûomboc, å – vrtavka + gr. eid c – v obliki

Romboid je paralelogram, ki ni ne kvadrat, ne pravokotnik in ne romb. Romboid

nima enako dolgih sosednjih stranic in nima posebnih značilnosti, ki so značilne za

romb, kvadrat in pravokotnik, temveč ima splošne značilnosti paralelograma. [1], [2],

[3]

SSfera: gr. sfaØra, � – krogla, obla, žoga

Sfera je množica točk v trirazsežnem evklidskem prostoru, ki so enako oziroma za

polmer oddaljene od ene točke – središča. Sfera ali krogelna lupina omejuje geome-

trijsko telo kroglo. V kartezičnih koordinatah lahko zapišemo enačbo sfere

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2, (55)

kjer koordinate (a, b, c) predstavljajo njeno središče. Površina sfere s polmerom r je

87

P = 4πr2, (56)

prostornina, s polmerom r pa

V =43πr3. (57)

[1], [2], [3], [7]

Simetrija: gr. summetrıa, � – pravo razmerje

Simetrija je lastnost geometrijskih likov, teles, enačb, ki se pri dani operaciji, ki

delujejo nanje, ne spremenijo. Najpomembnejše simetrične operacije so vzporedni

premik, vrtenje in zrcaljenje. Množica je simetrična glede na dano premico, če se

pri zrcaljenju čez to premico preslika sama vase. Tej premici pravimo simetrijska os,

somernica ali simetrala množice. Množica je središčno simetrična, če obstaja točka,

čez katero se množica preslika vase. [1], [2], [6], [52]

Zanimivost:

Simetrija je v naravi vidna skoraj na vsakem koraku. Ko se sprehajamo okoli Blej-

skega jezera, v njem lahko vidimo zrcalno sliko otoka in okoliških hribov.

88

Slika 65: Blejski otok in njegova zrcalna slika. [55]

Središčni razteg ali homotetija: gr. åmoc 3 – taisti, skupen + gr. jesic, ewc,

� – lega

Središčni razteg ali homotetija je poseben primer podobnostne preslikave. Za središčni

razteg P s središčem v točki O in faktorjem k 6= 0 velja naslednje:

• ohranja velikost kotov,

• premico preslika v vzporedno premico,

• vse razdalje pomnoži s |k|, pri čemer |k| > 1 pomeni razteg, |k| < 1 pomeni

skrčitev,

• daljico AB preslika v vzporedno daljico P (A)P (B),

• ohranja premice, ki gredo skozi točko O. [1], [2], [6]

|A1B1| = |AB| · k|B1C1| = |BC| · k|C1D1| = |CD| · k|A1D1| = |AD| · k

89

Slika 66: Središčni razteg ali homotetija.

Zanimivost:

Središčni razteg ali homotetijo opazimo tudi pri pajkovi mreži.

Slika 67: Središčni razteg pri pajkovi mreži. [58]

Stereometrija: gr. stereoc 3 – trden, trd + gr. metrıa, � – merjenje

Stereometrija je veja matematike, ki se ukvarja z lastnostmi teles v trirazsežnem

prostoru, in sicer z računanjem površine in prostornine teles in računanjem dolžine

daljic ter velikosti kotov. [1], [2], [53]

90

Stožec ali konus: gr. k¸noc, å – smrekov storž

Stožec ali konus je telo, ki ga omejuje krog, ki predstavlja osnovno ploskev, ter

kriva ploskev v obliki krožnega izseka, ki predstavlja plašč. Razdalji od osnovne

ploskve do vrha stožca pravimo višina, razdalji od vrha pa do točke na robu osnovne

ploskve pa stranica stožca. Stožec je lahko pokončen ali poševen. Pokončni stožec

je rotacijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli ene od katet

za 360◦. Lok krožnega izseka je enak obsegu osnovne ploskve, polmer pa stranici

stožca. Če stranice stožca niso enako dolge, rečemo, da je stožec poševen. Površina

pokončnega stožca se izračuna po prvi oziroma drugi formuli:

P = O + pl, (58)

P = πr(r + s), (59)

kjer r predstavlja polmer osnovne ploskve, s pa stranico stožca.

Prostornino pokončnega stožca se izračuna po formuli:

V =O · v

3, (60)

kjer O predstavlja osnovno ploskev, v pa višino stožca. Prostornina stožca je enaka

tretjini prostornine valja z enako osnovno ploskvijo in enako višino. [1], [2], [7]

TTales: gr. Jal¨c

Talesa iz Mileta štejemo za očeta grške matematike. Bil je bogat trgovec, ki je

živel v prvi polovici 6. st. pr. n. št. Ker je veliko prepotoval, se je v Egiptu se-

znanil z astronomijo in geometrijo, tako je prenesel znanje iz Male Azije in Egipta v

91

Grčijo. Tales je znan po odkritju Talesovega izreka, poleg tega je ugotovil, da so koti

v enakostraničnem trikotniku enaki. Leta 585 pr. Kr. je napovedal Sončev mrk, kar

je presenetilo someščane. [1], [2], [3], [6]

Slika 68: Tales. [57]

Talesov izrek

Naj bo K(S, r) krožnica s središčem v točki S in polmerom r. Obodni kot nad

lokom AB je kot, ki ima vrh na krožnici, kraka pa gresta skozi točki A in B. Vsi

obodni koti nad istim lokom so enaki.

Slika 69: Obodni koti nad istim lokom.

92

Talesov izrek pravi, da je trikotnik pravokoten, če je osnovnica trikotnika premer

kroga, tretje oglišče pa leži na krožnici. [1], [2], [6]

Slika 70: Talesov izrek.

Trapez: gr. trapeza, � – miza, oltar

Trapez je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic. Na spodnji sliki stranici

AB in CD predstavljata osnovnici, AD in BC pa kraka trapeza. Trapez ima dve

diagonali, ki ju označimo z e in f , prva povezuje oglišči AC, druga pa BD. V trapezu

je značilna srednjica, ki povezuje razpolovišči krakov in je vzporedna osnovnicama.

Dolžina srednjice je aritmetična sredina obeh osnovnic:

s =a + c

2. (61)

Če ima trapez enako dolga kraka in enako dolgi diagonali, potem je trapez enakokrak.

Ploščina trapeza se izračuna po enačbi:

S =(a + c)v

2, (62)

93

kjer sta a in c osnovnici trapeza, v pa njegova višina. Obseg trapeza je enak:

o = a + b + c + d, (63)

kjer so a, b, c, d stranice trapeza. [1], [2], [6]

Slika 71: Trapez.

Trapezoid: gr. trapeza, � – miza, oltar + gr. eid c – v obliki

Trapezoidi so štirikotniki, ki nimajo nobenega para vzporednih stranic. Med trape-

zoide tako štejemo deltoid, tangentni štirikotnik, tetivni štirikotnik in pravilne n-

kotnike. Deltoid je bolj natančno razložen pod besedo deltoid na strani 33; tan-

gentni štirikotnik je štirikotnik, čigar stranice so tangente kroga; tetivni štirikotnik

je štirikotnik, čigar stranice so tetive kroga. Pravilni n-kotniki imajo vse stranice

enako dolge in vse kote enako velike. Notranji kot pravilnega n-kotnika meri (n−2)·180n .

[1], [2], [6]

Zanimivosti:

Oblike pravilnih n-kotnikov najdemo tudi v naravi. Čebele izdelajo satje v obliki

pravilnih 6-kotnikov. Oblike pravilnih 6-kotnikov opazimo tudi v tehniki, saj so

94

matice in glave vijakov prav take oblike.

Slika 72: Satje. [54]

Trigonometrija: gr. trıgwnon, tä – trikotnik + gr. metrıa, � – merjenje

Trigonometrija je veja matematike, ki se je razvila iz proučevanja trikotnika in

odnosov med njegovimi stranicami, koti in podobnimi trikotniki. Astronomija je

zelo veliko pripomogla k temu, da se je razvila trigonometrija. V 15. st. je mate-

matik in astronom Regiomontanus v razpravi De triangulis omnimodis objavil vse

dotedanje znanje trigonometrije. Trigonomija zajema trigonometrične fukcije, deli

se na trigonometrijo ravnine in sferno trigonometrijo. Trigonometrične funkcije se

uporabljajo tudi za predstavitev valov in periodičnih pojavov. Znanje trigonometrije

se lahko uporablja na različnih področjih, kot so arhitektura, astronomija, navigacija

itd. [1], [2], [3], [7]

VVišinska točka ali ortocenter: gr. ærjoc 3 – pokončen, raven, popoln + gr.

kentron, tä – središče

Višinska točka ali ortocenter je točka (V ), kjer se stikajo višine vseh treh stranic

95

trikotnika. Višinska točka je lahko znotraj, zunaj trikotnika ali pa na samem trikot-

niku. Točke L,M,N so nožišča višin trikotnika ABC. [1], [2], [10]

Slika 73: Višinska točka ali ortocenter.

96

3 ZAKLJUČEK

Med pisanjem diplomskega dela sem prišla do različnih spoznanj s področja mate-

matike, kar bom povzela v nadaljevanju.

Pri prebiranju literature naletimo na veliko podatkov o zgodovini matematike in

matematikih, ki so delovali v različnih obdobjih. Seznanimo se s tem, kako se je

matematika razvijala in dopolnjevala, in ugotovimo, da imajo številne ideje, izreki,

dejstva in trditve temelj prav v grški matematiki. Grška matematika je vplivala na

napredek na različnih področjih matematike, še najbolj pa na področje geometrije.

Pomembna značilnost grških matematikov je bila, da so v njeno središče postavili

logično sklepanje in dokaz.

Ko beremo učbenik ali knjigo o Grkih, opazimo, da so imeli velik vpliv na razvoj

pisave. Najprej so uporabljali svojo zlogovno pisavo, nato so se seznanili s feničan-

sko pisavo in jo prilagodili. Nastali so različni „alfabeti“, med katerimi se je uveljavil

vzhodnogrški alfabet, ki predstavlja izvor latinice in cirilice.

Grški alfabet se v moderni Grčiji uporablja še danes; prav tako so črke te pisave

prisotne na različnih znanstvenih področjih, še posebej v matematiki, kar lahko opa-

zimo v geometriji pri označevanju kotov, npr. pri večkotnikih. Pomembno vlogo ima

število p, ki predstavlja konstantno razmerje med obsegom in premerom kroga.

Med zbiranjem matematičnih geometrijskih pojmov ugotovimo, da številni izrazi

izhajajo iz klasične grščine. Med njimi nekaj za like, kot so deltoid, paralelogram,

romb, trapez, poleg njih pa tudi za stožnice, kot so elipsa, hiperbola in parabola itd.

Zanimivo je tudi, da je izraz matematika prav grškega izvora (gr. majhma, atoc, tä

– znanje, znanost, predmet učenja). Ker smo povezani s pedagoškim poklicem,

je dobro preveriti izvor besede učenec. Ugotovljeno je, da tudi ta izhaja iz grščine

(majht c, oÜ, å – učenec, vernik (NZ)). Kot zanimivost sta podana še dva izraza,

ki izvirata iz grščine, to sta temelj (jemèlioc, å – temelj) in koliba (kalÔbh, � –

97

šotor, koča, koliba).

Matematika je zelo povezana z drugimi znanstvenimi področji, kot so fizika, kemija,

astronomija, medicina itd. Simetrijo lahko opazimo v naravi, pri pajčevini središčni

razteg, pri čebelah satje v obliki pravilnega 6-kotnika, pri človeku mišico, ki ji pra-

vimo deltoidna mišica itd. Vse te besede, ki jih najdemo na različnih področjih,

povezuje grški izvor.

Vsebina diplomskega dela je primerna za osnovno in predvsem srednjo šolo. Delo

bi bilo mogoče ustrezno razširiti; če to znanje prenesemo v srednješolske klopi, bi

bilo morda smiselno uro matematike povezati z drugimi predmeti, kot so grščina,

zgodovina, filozofija, fizika, biologija, verstva itd.

98

Literatura

[1] M. TAVZES – Urednik – redaktor; zbiratelji in urejevalci gradiva: Veliki slovar

tujk, Ljubljana, Cankarjeva založba, 2002

[2] A. DOKLER: Grško-slovenski slovar, Ponatis, Ljubljana, Cankarjeva založba,

1999

[3] D. NELSON: The penguin dictionary of mathematics, 2. izd., Penguin Books,

1998

[4] W. P. BERLINGHOFF, F. Q. GOUVÊA: Matematika skozi stoletja, prevedel

Vital Sever, 1. izd., Ljubljana, Modrijan, 2008

[5] W. ELLIGER, G. FINK, G. HEIL, T. MEYER: K�njaroc, Grški učbenik za

klasično gimnazijo, prevedel Aleš Učakar, interna izdaja, Ljubljana, 1998

[6] D. KAVKA, G. PAVLIČ, M. RUGELJ, J. ŠPAROVEC: Linea – črta, Matema-

tika za 1. letnik gimnazij, 3. izd., Ljubljana, Modrijan, 2003

[7] M. RUGELJ, J. ŠPAROVEC, D. KAVKA, G. PAVLIČ: Spatium – prostor,

Matematika za 3. letnik gimnazij, 2. izd., Ljubljana, Modrijan, 2004

[8] M. KOLAR: Skupaj skozi Analizo 1, Ljubljana, Pedagoška fakulteta, 2003

[9] D. J. STRUIK: Kratka zgodovina matematike, Ljubljana, DZS, 1978

[10] M. CENCELJ: Geometrija, Skripta predavanj, Ljubljana, 2008

[11] M. RAZPET: Analiza 2, Zapiski predavanj, Ljubljana, 2008

[12] I. VIDAV: Višja matematika 1, Ljubljana, Društvo matematikov, fizikov in as-

tronomov Slovenije, 1994

[13] M. CENCELJ, D. REPOVŠ: Topologija, Ljubljana, Pedagoška fakulteta, 2001

[14] F. BRADAČ: Grška slovnica, Ljubljana, DZS, 1968

99

[15] S. TRDINA: Besedna umetnost, 2. del Literarne teorije, Ljubljana, Mladinska

knjiga, 1969

Elektronski viri

[16] http://164.8.24.171/dodatna_gradiva/zgodovina_matematike.html

(20. 9. 2011)

[17] http://chandler-personal-trainers.com/?p=262 (13. 7. 2011)

[18] http://sl.wikipedia.org/wiki/Deltoid (13. 7. 2011)

[19] http://saje.si/index.php/za-otroke/pobarvanke.html (27. 9. 2011)

[20] http://ahyco.ffri.hr/Seminari2008/konike/definicija_e.html

(1. 8. 2011)

[21] http://www2.arnes.si/~mpavle1/mp/k2r.html (1. 8. 2011)

[22] http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse (1. 8. 2011)

[23] http://sl.wikipedia.org/wiki/Sfera (1. 8. 2011)

[24] http://sl.wikipedia.org/wiki/Sferoid (1. 8. 2011)

[25] http://sl.wikipedia.org/wiki/Evklid (27. 7. 2011)

[26] http://www.claymath.org/library/historical/euclid/ (27. 7. 2011)

[27] http://sl.wikipedia.org/wiki/Nikolaj_Ivanovič_Lobačevski

(14. 9. 2011)

[28] http://sl.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai (14. 9. 2011)

[29] http://sl.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann (14. 9. 2011)

[30] http://sl.wikipedia.org/wiki/Afina_geometrija (14. 9. 2011)

100

[31] http://sl.wikipedia.org/wiki/Projektivna_geometrija (14. 9. 2011)

[32] http://sl.wikipedia.org/wiki/Kateta (14. 9. 2011)

[33] http://sl.wikipedia.org/wiki/Apolonij (15. 10. 2011)

[34] http://sl.wikipedia.org/wiki/Arhit (15. 10. 2011)

[35] http://sl.wikipedia.org/wiki/Arhimed (19. 10. 2011)

[36] http://sl.wikipedia.org/wiki/Cikloida (20. 10. 2011)

[37] http://www.crystalinks.com/diocles.html (20. 10. 2011)

[38] http://sl.wikipedia.org/wiki/Kvadrik (20. 10. 2011)

[39] http://sl.wikipedia.org/wiki/Epicikloida (20. 10. 2011)

[40] http://en.wikipedia.org/wiki/Heptagon (20. 10. 2011)

[41] http://sl.wikipedia.org/wiki/Heron (21. 10. 2011)

[42] http://sl.wikipedia.org/wiki/Hiperboloid (22. 10. 2011)

[43] http://sl.wikipedia.org/wiki/Hiparh (25. 10. 2011)

[44] http://sl.wikipedia.org/wiki/Sr%C4%8Dnica (26. 10. 2011)

[45] http://sl.wikipedia.org/wiki/Matematika (26. 10. 2011)

[46] http://www.os-granesina-zg.skole.hr/svjetskacuda.html (29. 11. 2011)

[47] http://sl.wikipedia.org/wiki/Papos_Aleksandrijski (27. 10. 2011)

[48] http://sl.wikipedia.org/wiki/Piramide_pri_Gizi (27. 10. 2011)

[49] http://sl.wikipedia.org/wiki/Pitagora (29. 10. 2011)

[50] http://www.waldorf-ideen-pool.de/index.php?aid=1155 (29. 10. 2011)

101

[51] http://www.bethlen.hu/matek/Mathist/Forras/Szabalyos_testek.htm

(2. 11. 2011)

[52] http://sl.wikipedia.org/wiki/Simetrija (2. 11. 2011)

[53] http://sl.wikipedia.org/wiki/Stereometrija (2. 11. 2011)

[54] http://www.genspot.com/blog-15019/med-in-cebela.aspx (8. 11. 2011)

[55] http://www.photofunblog.com/category/amazing/page/13/ (8. 11. 2011)

[56] http://sl.wikipedia.org/wiki/Elipsa_%28jezikoslovje%29 (8. 11. 2011)

[57] http://sl.wikipedia.org/wiki/Tales (9. 11. 2011)

[58] www.google.si/search?q=spider+silk (9. 11. 2011)

102