UNIVERSITE LIBANAISE FACULTE DE GENIE · UNIVERSITE LIBANAISE FACULTE DE GENIE. A player pays 5$...

Entrance Exam 2013 - 2014 Mathematics Duration : 3 hours

The distribution of grades is over 25 July 13 , 2013

I- ( 2.5 pts ) The space is referred to an orthonormal system ),,;( kjiO .

Consider in the plane )(P of equation 0322 zyx , the circle )(C of center )1;3;1( A and radius 3 ;

and in the plane )(Q of equation 03 zyx , the circle )( of center )0;1;2( B and radius 3 .

1- Write a system of parametric equations of each of the axis )(d of )(C and the axis )( of )( .

2- Determine the point of intersection I of )(d and )( .

3- Prove that I is the center of a sphere )(S containing the circles )(C and )( . Calculate the volume of )(S .

II- ( 3.5 pts ) Consider the equation 0sin1)2(sin)(cos:)( 222 zzE where 2

0

.

Let 'M and "M be the images , in the complex plane , of the solutions 'z and "z of )(E .

1- Calculate 'z and "z in terms of and prove that , as varies , 22 "' zz remains constant .

2- Calculate "'MM in terms of and determine so that "'MM is minimum .

3- Prove that , as varies , 'M and "M vary on a hyperbola )(H of center O , for which the asymptotes ,

a focus and the associated directrix are to be determined . Draw )(H .

III- ( 3.5 pts ) Consider the sequences )( nU , )( nV and )( nW defined for all natural numbers 1n by

4

3

4

3

4

3 21

n

n

nnU n ;

222

21

n

n

nnVn and

222sin

2sin

1sin

n

n

nnWn .

1- Prove that )( nU has 1 as an upper bound and that )( nV converges to 2

1 .

2- a) Using the inequality xxx

x sin6

:)1(3

which is true for all x in [;0[ , prove that :

For all 1n and for all natural numbers k , 224

3

22sin

6

1

n

k

n

k

n

k

nn

k .

b) Prove that , for all 1n , nnnn VWUn

V 26

1 and deduce that nnn VW

nV

26

1 .

c) Prove that )( nW is convergent and determine its limit .

IV- ( 3.5 pts ) Consider an urn containing 10 balls of which n balls are green , m balls are red and the others

are white such that 8and2;2 mnmn .

Faculty of Engineering – Lebanese University

All the Entrance Exam Sessions are available on www.ulfg.ul.edu.lb

UNIVERSITE LIBANAISE

FACULTE DE GENIE

A player pays $5 and draws two balls at random from the urn; he gains $15 for each green ball drawn ,

$5 for each red ball drawn and loses $5 for each white ball drawn .

Let X be the random variable that represents the total algebraic gain of the player after the game .

1- a) Determine the values of X .

b) Calculate )25X( p and )15X( p in terms of n and m .

c) Knowing that 15

1)25X( p and

15

2)15X( p , determine n and m .

2- Suppose in this part that the urn contains 3 green balls , 2 red balls and 5 white balls .

a) Determine the probability distribution of X and calculate its expected value .

b) Calculate the probability that the player has drawn 2 balls of same color knowing that his total

algebraic gain was positive .

V- ( 5 pts ) Given in an oriented plane , a circle )(C of center A and radius 3 and a circle )'(C of center B and

radius 1 such that 6AB .

1- Let S be the similitude of angle 3

that transforms )(C into )'(C .

a) Determine the ratio of S and justify that its center I is such that IBIA 3 .

b) Prove that 7

18IA and

7

6IB . Construct I .

2- Let r be the rotation of center A and angle 3

2 and h the dilation of center A and ratio

3

2.

a) Construct the points D and E such that )(BrD and )(BhE .

b) Calculate AD

BE and );( BEAD . Deduce )(DS .

c) Prove that I belongs to the circle circumscribed about the triangle ADE .

In what follows , refer the plane to the direct orthonormal system ),;( vuA such that ABu6

1 .

3- Determine the complex relation of the similitude S . Deduce the affix of I .

4- a) Determine the complex relation of each of the rotation r and the dilation h .

b) Determine the affix of each of the points D and E and verify that EDS )( .

VI- ( 7 pts ) Consider the function f defined on the interval [;0] by xnxnxf 2)( .

Let )(C be the representative curve of f in an orthonormal system ),;( jiO .

1- Determine the points of intersection A and B , )( BA xx , of )(C and the axis of abscissas .




FACULTE DE GENIE

2- a) Set up the table of variations of f and determine the point S corresponding to the minimum of f .

b) Prove that the restriction of f to the interval ]1;0] has an inverse function 1f to be determined .

3- a) Study the concavity of )(C and determine its point of inflection I .

b) Verify that the abscissas of the points A , B , S and I are , in a certain order , 4 consecutive terms of an

increasing geometric sequence whose common ratio is to be determined .

4- Draw )(C . ( Unit : 2 cm )

5- a) Determine , in terms of , an equation of the tangent )(d to )(C at the point M of abscissa .

b) Determine the ordinate of the point of intersection of )(d with the axis of ordinates .

c) Prove that , as traces [;0] , has a minimum 0 . Determine 0 and the corresponding

position of M .

6- a) Prove that , for all 0m , there exists two points 1M and 2M on )(C where the tangent to )(C

cuts the axis of ordinates at the point with ordinate m .

b) Prove that the abscissas 1 and 2 of 1M and 2M are such that 3

21 e .

c) Determine the point E of )(C such that the tangents to )(C at E and B intersect on the axis of ordinates .

7- Consider the sequence )( nI defined on IN by e

nn dxxnI

1

)( .

a) Using integration by parts , prove that , for all 1n , 1 nn IneI .

b) Calculate the area of the domain bounded by )(C and the axis of abscissas in 2cm .




FACULTE DE GENIE

Entrance Exam 2013 - 2014 Solution of Mathematics Duration : 3 hours

The distribution of grades is over 25 July 13 , 2013

EXERCISE 1

1- The axis )(d of )(C is the perpendicular to )(P at A ; )2;1;2( u is a direction vector of )(d .

A system of parametric equations of )(d is );12;3;12( IRttztytx

The axis )( of )( is the perpendicular to )(Q at B ; )1;1;1( v is a direction vector of )( .

A system of parametric equations of )( is );;1;2( IRmmzmymx .

2- The system )12;13;212( mtmtmt has a unique solution 1 tm .

Therefore , )(d and )( intersect at the point )1;2;3( I .

3- I belongs to )(d then I is equidistant from all points of )(C ; For any point M of )(C , the triangle

IAM is right at A such that 3414 IA and 3 rAM then 321222 AMIAIM .

I belongs to )( then I is equidistant from all points of )( ; For any point M of )( , the triangle

IBM is right at B such that 3111 IB and 3' rBM then 321222 BMIBIM .

Therefore I is equidistant from all points of )()( C . Hence , I is the center of a sphere )(S of radius

32R containing the circles )(C and )( .

EXERCISE 2

1- 0sin1)cos(sin2)(cos:)( 222 zzE ; for all [2

;0[

, the equation )(E is quadratic .

22222222 coscoscossincoscossin' i .

The solutions of )(E are ii

z

cos

1tan

cos

coscossin'

2

and iz

cos

1tan" .

2)1(2cos

1tan2

cos

1tan

cos

1tan"'

2

2

22

22

iizz .

OR 2)1(2tancos

12tan2"'2"'"' 2

2

2222

zzzzzz .

2- cos

2

cos

2

cos

2"'"' izzMM since

20

then 0cos .

"'MM is minimum is equivalent to cos is maximum where 1cos0 ; therefore

"'MM is minimum when 1cos ; that is when 0




FACULTE DE GENIE

3- )cos

1;tan('

M and )

cos

1;tan("

M are the images of 'z and "z

The coordinates x and y of each of 'M and "M are such that 1cos

1tan

2

222

yx .

Therefore , as varies , 'M and "M vary on the hyperbola )(H of equation 122 xy .

The center of )(H is the origin O , the asymptotes are the straight lines of equations xy and xy .

The focal axis of )(H is the axis of ordinates .

1 ba then 2c ; therefore )20(F is a focus of )(H and the straight line )(d of equation

2

22

c

ay is the associated directrix .

Drawing )(H .

EXERCISE 3

1- 4

3

4

3

4

3

4

321

n

n

nnnU n then 1

4

3

4

3

4

3

4

3

4

3

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

nU

timesn

n

22 2

)1(321

n

nn

n

nVn

then

2

1

2limlim

2

2

n

nV

nn

n and )( nV converges to

2

1.

2- The sequence )( nW is defined for 1n by 2222

sin3

sin2

sin1

sinn

n

nnnWn .

a) By applying )1( to 2

1

n we get

226

3

2

11sin

6

11

nnnn ; that is

224

3

22

11sin

1

6

11

nnnnn .

b) By applying )1( to 2n

k for nk ;3;2;1 and adding the n inequalities we get

nnnn VWUn

V 26

1 .

For all 1n , 1nU then nnn VWn

V 26

1 .

c) )( nV converges to 2

1 and 0

6

12

nim

n then )( nW is convergent and its limit is equal to

2

1.




FACULTE DE GENIE

EXERCISE 4

1- The random variable X represents the total algebraic gain of the player after the game .

a) ▪ If the player draws 2 green balls then , 2551515 X .

▪ If the player draws a green ball and a red one then , 155515 X .

▪ If the player draws a green ball and a white one then , 55515 X .

▪ If the player draws 2 red balls then , 5555 X .

▪ If the player draws a red ball and a white one then , 5555 X .

▪ If the player draws 2 white balls then 15555 X .

Hence , the set of values of X is 25;15;5;5;15 .

b) When 2 balls are randomly drawn from the urn that contains 10 balls , the sample space is

equiprobable and consists of 210C possible outcomes .

▪ )25X( represents the event " the player draws 2 green balls " ; therefore

90

)1()25X(

210

2

nn

C

Cp n .

▪ )15X( represents the event " the player draws a green ball and a red one " ; therefore

45

)15X(210

mn

C

mnp

.

c) 15

1)25X( p is equivalent to

15

1

90

)1(

nn ; 6)1( nn therefore 3n .

15

2)15X( p is equivalent to

15

2

45

mn ; 6nm where 3n ; therefore 2m .

2- Suppose in this part that the urn contains 3 green balls , 2 red balls and 5 white balls .

a) ▪ )15X( is the event " the player draws 2 white balls " ; therefore 9

2)15X(

210

25 C

Cp .

▪ )5X( is the event " the player draws 1 red ball and 1 white one " ; 9

252)5X(

210

C

p .




FACULTE DE GENIE

▪ )5X( is the event " the player draws 1 green ball and 1 white one or 2 red balls " ;

45

1653)5X(

210

22

210

C

C

Cp .

▪ 15

2)15X( p and

15

1)25X( p

The expected gain of the player is $115

125

15

215

45

165

9

25

9

215 X .

b) Let A : " the player draws 2 balls of same color " and B : " the algebraic gain is positive " .

The required probability is )(

)()/(

Bp

BApBAp

where

BA : " the player draws 2 green balls or 2 red balls " ;

45

4

45

1

15

1)25()(

210

22 C

CXpBAp and

9

5

45

25)25()15()5()( XpXpXpBp .

Therefore 25

4

)(

)()/(

Bp

BApBAp .

EXERCISE 5

1- S is the similitude of center I angle 3

that transforms )(C into )'(C .

a) ▪ The ratio of S is 3

1

)(

)'(

Cofradius

Cofradiusk .

▪ The similitude transforms the center A of )(C into the center B of )'(C ; therefore IAIB3

1 ;

that is IBIA 3 .




FACULTE DE GENIE

b) BAS )( ; then )2(3

);(

IBIA .

▪ In triangle IAB we can write

3

cos2222 IBIAIBIAAB ; that is

222 3936 IBIBIB ; 7

362 IB .

Therefore 7

6IB and

7

18IA .

▪ The points A and B being given , the point I belongs to the circle )( of center A and radius 7

18

and the circle )'( of center B and radius 7

6.



Figure 10A B

I

3


FACULTE DE GENIE

The circles )( and )'( intersect at two points ; I is the point such that )2(3

);(

IBIA .

2- Consider the rotation )3

2,(

Arr and the dilation )3

2,( Ahh .

a) ▪ )(BrD ; therefore D is the point such that 6 ABAD and )2(3

2);(

ADAB .

▪ )(BhE ; therefore E is the point such that ABAE3

2 ; therefore E is the point of ][AB

such that 4AE and 2BE .

b) ▪3

1

6

2

AD

BE .

▪ )2(33

2);();();();(

ADABADBABAADBEAD .

▪ The above relations with BAS )( show that EDS )( .



Figure 11

A B

D

3

2

E

I

3

)(

)'(


FACULTE DE GENIE

c) EDS )( gives )2(3

);(

IEID .

The quadrilateral AEID is cyclic for having two supplementary opposite angles DIEˆ and DAE ˆ ;

therefore I belongs to the circle circumscribed about the triangle ADE .

The plane is referred to the direct orthonormal system ),;( vuA such that ABu6

1 .

3- In this system we have )0;0(A , )0;6(B

The complex relation of the similitude )3

;3

1;(

IS is of the form bzaz ' where

▪ iieai

6

3

6

1)

2

3

2

1(

3

1

3

13

.

▪ )(ASB ; that is bzaz AB ; b6 .

Therefore the complex relation of S is 6)6

3

6

1(' ziz .

The affix of the center I of S is ii

ii

a

bz I

7

39

7

45

28

)35(36

35

36

6

3

6

5

6

1

.

4- a) The complex relation of the rotation )3

2;(

Ar is of the form bzaz ' where

▪ ieai

2

3

2

13

2

.

▪ )(ArA ; that is 0b .

Therefore the complex relation of r is ziz )2

3

2

1(' .

The complex relation of the dilation )3

2;( Ah is zz

3

2' .

b) ▪ )(BrD ; therefore iiziz BD 333)2

3

2

1(6)

2

3

2

1( ; )33;3( D .

▪ )(BhE ; therefore 43

2 BE zz ; )0;4(E .

▪ ED ziiiizi 462

3

2

3

2

3

2

16)333()

6

3

6

1(6)

6

3

6

1( ; therefore

EDS )( .




FACULTE DE GENIE

EXERCISE 6

The function f is defined on the interval [;0] by xnxnxf 2)( .

1- The abscissas of the points of intersection of )(C and the axis of abscissas are the solutions of the

equation 0)( xf which is equivalent to 02 xnxn ; 0xn or 1xn then 1x or ex .

The points of intersection of )(C and xx ' are )0;1(A and )0;(eB .

2- a)

xnimx

0

then

)()( 2

00

xnxnimxfimxx

.

)1()( xnxnimxfimxx

.

x

xnxf

12)('

.

Table of variations of f

The point of )(C corresponding to the minimum of f is )4

1;( eS .

b) The restriction of f to the interval ]1;0] is continuous and strictly decreasing then , it has an inverse

function 1f defined on [;0[)]1;0]( f .

For all x in [;0[ , )(1 xfy is equivalent to ynynyfx 2)( ; that is 02 xynyn

where ]1;0]y then ]0;] yn ; therefore 2

411 xyn

and

2

411exp

xy .

Finally , 1f is defined on [;0[ by

2

411exp)(1 x

xf .

3- a)2

23)("

x

xnxf

.

Table of concavity of )(C

The concavity of )(C changes at the point )4

3;( eeI

Which is the point of inflection of )(C .

b) The abscissas of the points A , S , B and I are respectively 1 , e , e and ee ; these numbers

are , in this order , 4 consecutive terms of an increasing geometric sequence of common ratio e .

4-

)(0

xfimx

then , the axis of ordinates is asymptote to )(C .



x

0

)(' xf

0 e

+

)(xf

4

1

Figure 18

x

(C ) concaves

0

)(" xf 0

ee

upwards downwards

Figure 19


FACULTE DE GENIE

For all n in IN , 0 x

xnim

n

x

then , 0

)( 2

x

xn

x

xnim

x

xfim

xx

; therefore )(C has at

an asymptotic direction parallel to the axis of abscissas .

Drawing )(C .

5- a) An equation of the tangent )(d to )(C at the point M of abscissa is )()()(' fxfy ;

nnx

nyd

2)(

12:)( .

b) )(d cuts yy ' at the point of ordinate 132 nn .



Figure 20

O A B

I

x

y

)(C


FACULTE DE GENIE

c) 4

5

2

313

2

2

nnn then , as traces [;0] , traces [;

4

5[ and

takes its minimum value 4

50 when

2

3n ; ee ; that is IM .

6- a) m is equivalent to 4

5

2

32

mn .

For all 0m , the equation m is equivalent to 4

5

2

3 mn or

4

5

2

3 mn ;

then , there exists two points 1M and 2M on )(C with abscissas 1 and 2 such that

4

5

2

31 mn and

4

5

2

32 mn where the tangent to )(C cuts the axis of ordinates

at the point with ordinate m .

b) 321 nn then 3)( 21 n ; that is 321 e .

OR a) m is equivalent to 0132 mnn ; 013)( 2 mnn .

For the quadratic equation in n : 013)( 2 mnn , 54 m then ,

For all 4

5 m , this equation has two solutions in n and , since n can take any real value ,

therefore there exists two values of for which m ; hence there exists two points 1M and

2M on )(C where the tangent to )(C cuts the axis of ordinates at the point with ordinate m .

b) 1n and 2n are the solutions of the quadratic equation in n : 013)( 2 mnn ;

therefore 321 nn then 321 n ; that is 321 e .

c) The tangents to )(C at E and B intersect on the axis of ordinates if and only if the abscissa of E is such

that 3exx EB where exB then 2exE ; )2;( 2eE

7- a) Let nxnxu )()( and 1)(' xv then x

xnnxu

n 1)()('

and xxv )( ; therefore

1

1

11

1

)()()( n

e

nen

e

nn InedxxnnxnxdxxnI .




FACULTE DE GENIE

b) For all x in ];1[ e , 0)( xf then , the required area S is such that e

dxxfS

1

)( units of area .

12

1

2

1

)()( IIdxxnxndxxf

ee

.

11

1

0 exdxIe

e

then 101 IeI and 22 12 eIeI ; therefore 3)(

1

edxxf

e

.

Finally , eS 3 units of area ; that is 2412 cmeS .




FACULTE DE GENIE

Faculté de génie - Université Libanaise

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FACULTE DE GENIE

Concours d'entrée 2013 - 2014 Mathématiques Durée : 3 heures

La distribution des notes est sur 25 13 juillet 2013

I- ( 2.5 pts ) L’espace est rapporté à un repère orthonormé ),,;( kjiO .

On considère dans le plan )(P d’équation 0322 zyx , le cercle )(C de centre )1;3;1( A et de rayon 3 ;

et dans le plan )(Q d’équation 03 zyx , le cercle )( de centre )0;1;2( B et de rayon 3 .

1- Ecrire un système d’équations paramétriques de chacun des deux axes )(d de )(C et )( de )( .

2- Déterminer le point d’intersection I de )(d et )( .

3- Montrer que I est le centre d’une sphère )(S contenant les cercles )(C et )( . Calculer le volume de )(S .

II- ( 3.5 pts ) On considère l’équation 0sin1)2(sin)(cos:)( 222 zzE où 2

0

.

Soit 'M et "M les images , dans le plan complexe , des solutions 'z et "z de )(E .

1- Calculer 'z et "z en fonction de et montrer que , quand varie , 22 "' zz reste constant .

2- Calculer "'MM en fonction de et déterminer tel que "'MM soit minimum .

3- Montrer que , quand varie , 'M et "M varient sur une hyperbole )(H de centre O , pour laquelle on

détermine les asymptotes , un foyer et la directrice associée . Tracer )(H .

III- ( 3.5 pts ) On considère les suites )( nU , )( nV et )( nW définies pour tout entier naturel 1n par

4

3

4

3

4

3 21

n

n

nnU n ;

222

21

n

n

nnVn et

222sin

2sin

1sin

n

n

nnWn .

1- Montrer que )( nU est majorée par 1 et que )( nV converge vers 2

1 .

2- a) En utilisant l’inégalité xxx

x sin6

:)1(3

qui est vraie pour tout x dans [;0[ , montrer que :

Pour tout 1n et pour tout entier naturel k , 224

3

22sin

6

1

n

k

n

k

n

k

nn

k .

b) Montrer que , pour tout 1n , nnnn VWUn

V 26

1 . En déduire que nnn VW

nV

26

1 .

c) Montrer que )( nW est convergente et déterminer sa limite .

IV- ( 3.5 pts ) On considère une urne contenant 10 boules dont n sont vertes , m sont rouges et les autres sont

blanches telles que 8et2;2 mnmn .

Un joueur paye $5 et tire deux boules au hasard de cette urne .

Soit X la variable aléatoire qui est égale au gain algébrique du joueur après le jeu .




FACULTE DE GENIE

Le joueur gagne $15 pour chaque boule verte tirée , $5 pour chaque boule rouge tirée et perd $5 pour

chaque boule blanche tirée .

1- a) Déterminer les valeurs de X .

b) Calculer )25X( p et )15X( p en fonction de n et m .

c) Sachant que 15

1)25X( p et

15

2)15X( p , déterminer n et m .

2- On suppose dans cette partie que l’urne contient 3 boules vertes , 2 boules rouges et 5 boules blanches .

a) Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique .

b) Calculer la probabilité que le joueur ait tiré 2 boules de même couleur sachant que son gain algébrique

est positif .

V- ( 5 pts ) On donne dans un plan orienté , un cercle )(C de centre A et de rayon 3 et un cercle )'(C de centre B et

de rayon 1 , tels que 6AB .

1- Soit S la similitude d’angle 3

qui transforme )(C en )'(C .

a) Déterminer le rapport de S et justifier que son centre I est tel que IBIA 3 .

b) Montrer que 7

18IA et

7

6IB . Construire I .

2- Soit r la rotation de centre A et d’angle 3

2 et h l’homothétie de centre A et de rapport

3

2.

a) Construire les points D et E tels que )(BrD et )(BhE .

b) Calculer AD

BE et );( BEAD . En déduire )(DS .

c) Montrer que I appartient au cercle circonscrit au triangle ADE .

Dans ce qui suit , on rapporte le plan au repère orthonormé direct ),;( vuA tel que ABu6

1 .

3- Déterminer la relation complexe de la similitude S . En déduire l’affixe de I .

4- a) Déterminer la relation complexe de chacune de la rotation r et de l’homothétie h .

b) Déterminer l’affixe de chacun des points D et E et vérifier que EDS )( .

VI- ( 7 pts ) On considère la fonction f définie sur l’intervalle [;0] par xnxnxf 2)( .

Soit )(C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ),;( jiO .

1- Déterminer les points d’intersection A et B , )( BA xx , de )(C avec l’axe des abscisses .

2- a) Dresser le tableau de variations de f et déterminer le point S correspondant au minimum de f .

b) Montrer que la restriction de f sur l’intervalle ]1;0] admet une fonction réciproque 1f que l’on déterminera .

suite géométrique croissante dont la raison est à déterminer .




FACULTE DE GENIE

3- a) Etudier la concavité de )(C et déterminer son point d’inflexion I .

b) Vérifier que les abscisses des points A , B , S et I sont , dans un certain ordre , 4 termes consécutifs d’une

4- Tracer )(C . ( Unité graphique : 2 cm )

5- a) Déterminer , en fonction de , une équation de la tangente )(d à )(C au point M d’abscisse .

b) Déterminer l’ordonnée du point d’intersection de )(d avec l’axe des ordonnées .

c) Montrer que , quand décrit [;0] , admet un minimum 0 . Déterminer 0 et la position

correspondante de M .

6- a) Montrer que, pour tout 0m , il existe deux points 1M et 2M sur )(C où la tangente à )(C coupe l’axe

des ordonnées au point d’ordonnée m .

b) Montrer que les abscisses 1 et 2 de 1M et 2M sont telles que 3

21 e .

c) Déterminer le point E de )(C tel que les tangentes à )(C aux points E et B se coupent sur l’axe des ordonnées .

7- On considère la suite )( nI définie sur IN par e

nn dxxnI

1

)( .

a) A l’aide d’une intégration par parties , montrer que , pour tout 1n , 1 nn IneI .

b) Calculer l’aire du domaine limité par )(C et l’axe des abscisses en 2cm .




FACULTE DE GENIE

Concours d'entrée 2013 - 2014 Solution de Mathématiques Durée : 3 heures

La distribution des notes est sur 25 13 juillet 2013

EXERCICE 1

1- L'axe )(d de )(C est perpendiculaire à )(P de A ; )2;1;2( u est un vecteur directeur de )(d .

Un système d'équations paramétriques de )(d est );12;3;12( IRttztytx

L'axe )( de )( est perpendiculaire à )(Q de B ; )1;1;1( v est un vecteur directeur de )( .

Un système d'équations paramétriques de )( est );;1;2( IRmmzmymx .

2- Le système )12;13;212( mtmtmt a une solution unique 1 tm .

donc, )(d et )( se coupent au point )1;2;3( I .

3- I appartient à )(d alors I est équidistant de tous les points de )(C ; pour tout point M de )(C , le triangle

IAM est droite à A tel que 3414 IA et 3 rAM alors 321222 AMIAIM .

I appartient à )( alors I est équidistant de tous les points de )( ; pour tout point M de )( , le triangle

IBM est droite à B tel que 3111 IB et 3' rBM alors 321222 BMIBIM .

Donc I est équidistant de tous les points de )()( C . Par conséquent, I est le centre d'une sphère )(S

de rayon 32R contenant le cercles )(C et )( .

EXERCICE 2

1- 0sin1)cos(sin2)(cos:)( 222 zzE ; pour tous [2

;0[

, l'équation )(E est

quadratique.

22222222 coscoscossincoscossin' i .

Les solutions de )(E sont ii

z

cos

1tan

cos

coscossin'

2

et iz

cos

1tan" .

2)1(2cos

1tan2

cos

1tan

cos

1tan"'

2

2

22

22

iizz .

OU 2)1(2tancos

12tan2"'2"'"' 2

2

2222

zzzzzz .

2- cos

2

cos

2

cos

2"'"' izzMM puisque

20

alors 0cos .

"'MM minimum est équivalent à cos est maximum ou 1cos0 ; donc

"'MM est minimum quand 1cos ; c'est quand 0




FACULTE DE GENIE

3- )cos

1;tan('

M et )

cos

1;tan("

M sont les images de 'z et "z .

Les coordonnées x et y de chacun de 'M et "M sont tels que 1cos

1tan

2

222

yx .

donc , comme varie , 'M et "M varie sur l'hyperbole )(H d'équation 122 xy .

Le centre de )(H est l'origine O , les asymptotes sont les droites d'équations xy et xy .

L'axe central de )(H est l'axe des ordonnées.

1 ba alors 2c ; Donc )20(F est un axe de )(H et le droite )(d d’équation

2

22

c

ay est la directrice associée.

Dessinez )(H .

EXERCICE 3

1- 4

3

4

3

4

3

4

321

n

n

nnnU n alors 1

4

3

4

3

4

3

4

3

4

3

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

nU

timesn

n

22 2

)1(321

n

nn

n

nVn

alors

2

1

2limlim

2

2

n

nV

nn

n et )( nV converge de

2

1.

2- La séquence )( nW est définie pour 1n par 2222

sin3

sin2

sin1

sinn

n

nnnWn .

a) En appliquant )1( à 2

1

n nous obtenons

226

3

2

11sin

6

11

nnnn ; à savoir

224

3

22

11sin

1

6

11

nnnnn .

b) En appliquant )1( à 2n

k pour nk ;3;2;1 et en ajoutant les n inégalités nous obtenons

nnnn VWUn

V 26

1 .

Pour tous 1n , 1nU alors nnn VWn

V 26

1 .

c) )( nV converge à 2

1 et 0

6

12

nim

n alors )( nW est convergente et sa limite est égale à

2

1.




FACULTE DE GENIE

EXERCICE 4

1- La variable aléatoire X représente le gain algébrique total du joueur après le match.

a) ▪ Si le joueur tire 2 boules vertes alors, 2551515 X .

▪ Si le joueur tire une boule verte et une rouge alors, 155515 X .

▪ Si le joueur tire une boule verte et un blanc alors, 55515 X .

▪ Si le joueur tire 2 boules rouges alors , 5555 X .

▪ Si le joueur tire une boule rouge et un blanc alors, 5555 X .

▪ Si le joueur tire 2 boules blanc alors 15555 X .

Par conséquent, l'ensemble des valeurs de X est 25;15;5;5;15 .

b) Lorsque 2 boules sont tirées au hasard dans l'urne qui contient les 10 boules, l'espace de l'échantillon

est équiprobable et consiste de 210C de résultats possible.

▪ )25X( représente l'événement " le joueur tire deux boules vertes " ; donc

90

)1()25X(

210

2

nn

C

Cp n .

▪ )15X( représente l'événement " le joueur tire un boules vertes et un rouges " donc

45

)15X(210

mn

C

mnp

.

c) 15

1)25X( p est équivalente de

15

1

90

)1(

nn ; 6)1( nn donc 3n .

15

2)15X( p est équivalente de

15

2

45

mn ; 6nm ou 3n ; donc 2m .

2- Supposons que dans cette partie que l'urne contient 3 boules vertes, 2 boules rouges et 5 boules

blanches.

a) ▪ )15X( est le cas " le joueur tire deux boules blanches " ; Donc9

2)15X(

210

25 C

Cp .

▪ )5X( est le cas " le joueur tire 1 boule rouge et 1 blanche " ; 9

252)5X(

210

C

p .

▪ )5X( est le cas " le joueur tire 1 boule verte et 1 blanche ou 2 boules rouges " ;

45

1653)5X(

210

22

210

C

C

Cp .




FACULTE DE GENIE

▪ 15

2)15X( p et

15

1)25X( p

Le gain attendu du joueur est $115

125

15

215

45

165

9

25

9

215 X .

b) Soit A : " le joueur tire 2 boules de même couleur " et B : " le gain algébrique est positive " .

La probabilité requise est )(

)()/(

Bp

BApBAp

ou

BA : " le joueur tire 2 boules vertes ou 2 boules rouges " ;

45

4

45

1

15

1)25()(

210

22 C

CXpBAp et

9

5

45

25)25()15()5()( XpXpXpBp .

Donc25

4

)(

)()/(

Bp

BApBAp .

EXERCICE 5

1- S est la similitude de centre I angle 3

qui transforme )(C en )'(C .

a) ▪ Le rapport de S est 3

1

)(

)'(

Cderayon

Cderayonk .

▪ La similitude transforme le centre A de )(C dans le centre B de )'(C ; donc IAIB3

1 ;

alors IBIA 3 .

b) BAS )( ; alors )2(3

);(

IBIA .

▪ Dans le triangle IAB nous pouvons écrire

3

cos2222 IBIAIBIAAB ; tel que

222 3936 IBIBIB ; 7

362 IB .

Donc 7

6IB et

7

18IA .

▪ Les points A et B étant donné, le point I appartient au cercle )( de centre A et de rayon 7

18

Figure 10A B

I

3




FACULTE DE GENIE

Et le cercle )'( de centre B et de rayon7

6.

Les cercles )( et )'( se coupent en deux points; I est le point tel que )2(3

);(

IBIA .

2- Considère la rotation )3

2,(

Arr et la dilatation )3

2,( Ahh .

a) ▪ )(BrD ; donc D est le point tel que 6 ABAD et )2(3

2);(

ADAB .

▪ )(BhE ; donc E est le point tel que ABAE3

2 ; donc E est le point de ][AB

telle que 4AE et 2BE .

b) ▪3

1

6

2

AD

BE .

▪ )2(33

2);();();();(

ADABADBABAADBEAD .

▪ Les relations ci-dessus avec BAS )( montre que EDS )( .

Figure 11

A B

D

3

2

E

I

3

)(

)'(




FACULTE DE GENIE

c) EDS )( donne )2(3

);(

IEID .

Le quadrilatère AEID est cyclique pour avoir deux angles complémentaires opposées DIEˆ et DAE ˆ ;

donc I appartient au cercle circonscrit au triangle ADE .

Dans ce qui suit , on rapporte le plan au repère orthonormé direct ),;( vuA tel que ABu6

1 .

3- Dans ce système, nous avons )0;0(A , )0;6(B

La relation complexe de la similitude )3

;3

1;(

IS est du forme bzaz ' ou

▪ iieai

6

3

6

1)

2

3

2

1(

3

1

3

13

.

▪ )(ASB ; tel que bzaz AB ; b6 .

Donc la relation complexe de S est 6)6

3

6

1(' ziz .

L'affixe du center I de S est ii

ii

a

bz I

7

39

7

45

28

)35(36

35

36

6

3

6

5

6

1

.

4- a) la relation complexe du rotation )3

2;(

Ar est du forme bzaz ' ou

▪ ieai

2

3

2

13

2

.

▪ )(ArA ; tel que 0b .

Donc la relation complexe de r est ziz )2

3

2

1(' .

la relation complexe de la dilatation )3

2;( Ah est zz

3

2' .

b) ▪ )(BrD ; donc iiziz BD 333)2

3

2

1(6)

2

3

2

1( ; )33;3( D .

▪ )(BhE ; donc 43

2 BE zz ; )0;4(E .

▪ ED ziiiizi 462

3

2

3

2

3

2

16)333()

6

3

6

1(6)

6

3

6

1( ; donc

EDS )( .




FACULTE DE GENIE

EXERCICE 6

La fonction f définie sur l’intervalle [;0] par xnxnxf 2)( .

1- Les abscisses des points d'intersection de )(C et l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation

0)( xf ce qui est équivalent à 02 xnxn ; 0xn ou 1xn donc 1x ou ex .

Les points d'intersection de )(C et xx ' sont )0;1(A et )0;(eB .

2- a)

xnimx

0

donc

)()( 2

00

xnxnimxfimxx

.

)1()( xnxnimxfimxx

.

x

xnxf

12)('

.

Table de variations de f

Le point de )(C correspondant au minimum de f est )4

1;( eS .

b) la restriction de f sur l’intervalle ]1;0] est continue et strictement décroissante donc , il a un inverse

fonction 1f définie sur [;0[)]1;0]( f .

Pour tous x dans [;0[ , )(1 xfy est équivalente à ynynyfx 2)( ;

tel que 02 xynyn ou ]1;0]y alors ]0;] yn ; donc 2

411 xyn

et

2

411exp

xy .

Finalement , 1f est définie sur [;0[ by

2

411exp)(1 x

xf .

3- a)2

23)("

x

xnxf

.

Table de concavité de )(C

La concavité de )(C changes au point )4

3;( eeI

Lequel est le point d'inflexion de )(C .

b) Les abscisses des points A , S , B et I sont respectivement 1 , e , e et ee ; Ces nombres

sont , dans cet ordre , 4 termes consécutifs d'une suite géométrique croissante de rapport commun e .

4-

)(0

xfimx

alors , l'axe des ordonnées est asymptote à )(C .

x

0

)(' xf

0 e

+

)(xf

4

1

Figure 18

x

(C ) concaves

0

)(" xf 0

ee

upwards downwards

Figure 19




FACULTE DE GENIE

Pour tous n dans IN , 0 x

xnim

n

x

alors , 0

)( 2

x

xn

x

xnim

x

xfim

xx

;

Donc )(C a de une direction asymptotique parallèle à l'axe d'abscisses.

Dessinez )(C .

5- a) Une équation du tangente )(d à )(C au point M d'abscisse est )()()(' fxfy ;

nnx

nyd

2)(

12:)( .

b) )(d coupe yy ' au point d'ordonnée 132 nn .

c) 4

5

2

313

2

2

nnn alors , comme trace [;0] , trace [;

4

5[ et

prend sa valeur minimale valeur 4

50 quand

2

3n ; ee ; telque IM .

6- a) m est équivalente à4

5

2

32

mn .

Pour tous 0m , l'équation m est équivalente à 4

5

2

3 mn ou

4

5

2

3 mn ;

Figure 20

O A B

I

x

y

)(C




FACULTE DE GENIE

alors , ils existent deux points 1M et 2M sur )(C avec abscisses 1 et 2 tel que

4

5

2

31 mn et

4

5

2

32 mn ou la tangente à )(C coupe l'axe des ordonnées

au point avec ordonnée m .

.

b) 321 nn alors 3)( 21 n ; tel que 321 e .

OU a) m est équivalente à 0132 mnn ; 013)( 2 mnn .

Pour l'équation quadratique n : 013)( 2 mnn , 54 m alors ,

Pour tous 4

5 m , cette équation a deux solutions en n et , n peut prendre n'importe

quelle valeur réelle, donc ils existent deux valeurs de pour lequel m ; donc ils existent deux points

1M et 2M sur )(C ou la tangent à )(C coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée m .

b) 1n et 2n sont les solutions de l'équation quadratique dans n : 013)( 2 mnn ;

donc 321 nn alors 321 n ; tel que 321 e .

c) Les tangentes à )(C de E et B se coupent sur l'axe des ordonnées si et seulement si l'abscisse est telle

qui 3exx EB ou exB alors 2exE ; )2;( 2eE

7- a) Soit nxnxu )()( et 1)(' xv alors x

xnnxu

n 1)()('

et xxv )( ; donc

1

1

11

1

)()()( n

e

nen

e

nn InedxxnnxnxdxxnI .

b) Pour tous x dans ];1[ e , 0)( xf alors , La surface nécessaire S est telle que

e

dxxfS

1

)( unité de surface .

12

1

2

1

)()( IIdxxnxndxxf

ee

.

11

1

0 exdxIe

e

alors 101 IeI et 22 12 eIeI ; donc 3)(

1

edxxf

e

.

Finalement , eS 3 unité de surface; tel que 2412 cmeS .



LEBANESE UNIVERSITY

FACULTY OF ENGINEERING

Entrance exam 2013-2014 PHYSICS Duration: 2 h

14/7/2013

Exercise I [20 pts]: Forced oscillations. Resonance phenomena.

An elastic horizontal pendulum consists of a solid (S), of mass m = 200 g, attached to the end of a spring (R) of negligible

mass and of stiffness k, the other end of the spring being fixed. The centre of inertia G of the solid can move on a

horizontal axis (O, i

), O being the position of G when (S) is at equilibrium. A suitable device exerts on the pendulum an

exciting force of adjustable angular frequency . G starts to oscillate on both sides of O. At an instant t, the abscissa of G

is x and its velocity is v

= v i

= idt

dx ; the exciting force is then of the form F

= F i

= F 0 sin(t+) i

, of constant

amplitude F0 and the solid (S) is subjected to a friction force of the form f

= - h v

= - h v i

where h is a positive constant.

1) Show that the differential equation in x associated with the motion of the pendulum is of the form: 2

0

2

Fd x h dx k+ + x= sin(ωt+φ)

dt m dt m m.

2) In steady state, the solution of this differential equation is written as: x = Xmsin(t).

a) Deduce, by giving t two particular values, the expression of tan in terms of the data and show that the amplitude Xm

is given by: Xm = 0

2 2 2 2

F

h (k m ) .

b) By giving ω different values and by measuring, for each of these values, the corresponding value of Xm, we notice that

we obtain an amplitude resonance phenomenon.

i) Determine the expression of the corresponding resonance angular frequency r in terms of the data.

ii) Draw the shape of the amplitude resonance curve for two different values of h.

3. a) Determine the expression of v.

b) Deduce the expression of the amplitude Vm of v in terms of the data.

c) i) Determine the resonance angular frequency ω0 of Vm.

ii) Draw the shape of the resonance curve of the amplitude Vm for two

different values of h.

4. We give each of the quantities ω, h and k a particular value. Using an

appropriate device, we perform, in steady state, the recording of F and x; the

curves (1) and (2) represent respectively the variation of F and x as a function

of time, where a vertical division represents a force of 0.3 N and a

displacement of 1 cm and a horizontal division represents 30 ms. Referring to the curves:

a) Determine the expressions of F and x;

b) Determine the values of k and h.

Exercise II [22 pts]: Different roles of a coil

A. Opening and closing of the injector of a car

An electromagnet, formed of a coil, is used to control the opening and closing

of the injector in the modern car engines. This coil can also be used as a metal

detector. In this exercise, we are interested to determine the inductance L of

the coil.

Figure 2

(1)

(2)



LEBANESE UNIVERSITY


Figure 1

To determine the inductance L of the coil of negligible resistance, we carry out the circuit of figure 1. The used generator

delivers, across its terminals, a triangular asymmetrical voltage ug. The resistance of (R) is equal to 1.0 k. A suitable

system allows us to obtain the curves of figure 2 which represent the variation of the voltage uR = uBM across (R) and that

of the voltage uL= uAB across the coil as a function of time.

1. How did we obtain the curve uL by using the recorded voltages on the channels YA and YB?

2. a) Give the expression of uL in terms of uR.

b) i) Referring to figure 2, determine the value of the inductance L in each of the two intervals t and t'.

ii) The manufacturer announces L 2.0 H. Comment on briefly the two values obtained of L by accepting a relative

variation of absolute value 10%.

B. Effect of iron on the inductance

The set up used is that of figure 1, where we replace the generator by an ideal one of

emf E = 3.2 V.

Using an appropriate device, we record the variation of the voltage uR = uBM as a

function of time. The origin of time is taken at the instant when the switch K is

closed.

1. Derive, at an instant t, the differential equation in uR.

2. The solution of this differential equation is of the form uR = U0 (1-e-t/). Determine

the expressions of the constants U0 and .

3. The recording of uR is, initially, obtained in the absence of any metal placed near the coil (curve (a)), then in the

presence of a piece of iron placed near the coil (curve (b)) (fig 3).

a) Determine the values of the constants a and b associated respectively with (a) and (b).

b) i) Compare the values La and Lb of the inductance of the coil in the absence and in the presence of iron.

ii) What can we deduce?

C. A metal detector

The metal detector is essentially made up of an ideal (L, C) electric oscillator.

1. Draw a diagram of the circuit showing the direction of the current i at an instant t.

2. Derive the differential equation in uC, uC being the voltage across the capacitor.

3. Deduce, from this differential equation, the expression of the proper frequency f0 of the oscillator in terms of L and C.

4. The detector, associated with a frequency-meter, displays, in the absence of any metal, a signal of frequency f0= 20 kHz.

The inductance of the coil being 2.0 H, calculate the value of C.

5. The previous detector displays, in the presence of a metal, a signal of frequency f = 21 kHz. Did we find iron? Justify.

K

L, r R

ug

YA YB

A B

M

Figure 3.

(a)

0

u(V)

t(ms)

3

1

2 (b)

0 4 8 14 12 16 2 6 10



LEBANESE UNIVERSITY


Exercise III [18 pts]: Corpuscular aspect of radiations

A- Hydrogen atom

Given: c = 2.998108 m/s ; h = 6.62610-34Js; 1 eV = 1.6010-19 J.

The Balmer series consists of visible spectral lines and others lying in the ultraviolet domain. The wavelength of the first

line Hα is 656.2 nm, that of the second Hβ is 486.1 nm, that of the third Hγ is 434.0 nm, and so on. The wavelength of the

limiting spectral line of this series is 364.6 nm.

1. Calculate, in eV, the energy of a photon associated with the limiting spectral line of Balmer series.

2. Determine the energy of the starting level and that of the arrival level.

B- Photoelectric effect

The potassium cathode (C) of a photoelectric cell has a useful surface area S = 2.00 cm2. The cathode, whose work

function is W0 = 2.20 eV, receives radiations from a hydrogen point source placed at a distance D = 1.25 m which radiates

uniformly in all directions, a power PS = 2.00 W.

1. Calculate the threshold wavelength of the potassium cathode.

2. Which are, among the Balmer series spectral lines, the radiations able to produce a photoelectric

emission?

3. The maximum kinetic energy of an emitted electron is quantized. Why?

4. Using a filter, we illuminate the cathode with the blue light H. The emf E of the generator is

adjusted to allow the anode collecting all the electrons emitted by the cathode whose quantum

efficiency is rq = 0.875%.

a) Show that the radiant power P0 received by the cell is equal to 2.0410-5 W.

b) Determine the number N0 of the incident photons on the cathode in one second;

c) Determine the current I0 carried by the circuit.

5. We switch off the lamp, at an instant chosen as the origin of time t0 = 0. The power received by (C), at an instant t, is

then written as: P = P0e-50 t.

a) Determine:

i) The number dn of the electrons emitted by (C) between the instants t and t+dt;

ii) The variation dq of the charge carried by the circuit between the instants t and t+dt;

b) Deduce the expression of the current i carried by the circuit at the instant t;

c) Determine the time at the end of which the current i will be supposed practically nil.

(C) (A)

Vacuum

E + A

Radiations



LEBANESE UNIVERSITY


Entrance exam 2013-2014 Solution of Physics 14/7/2013

Exercise I: Forced oscillations. Phenomena of resonance.

Q Notes

1. The mechanical energy of the system (oscillator, Earth) is given by: Em = EC + EPé = ½mv2 + ½kx2.

∑P = dEm

dt P(R⃗⃗ N) + P( f

) + P( F

) =

dEm

dt

0 - hvv + F0sin(t+)v = mvdv

dt + k x

dx

dt ; while simplifying by v =

dx

dt and while replacing

dv

dt by

d2x

dt2, we

obtain: - hdx

dt + F0sin(t+) = m

d2x

dt2 + k x

d2x

dt2 +

h

m dx

dt +

k

m x =

F0

msin(t+).

Another method: ∑ F⃗ = dP⃗⃗

dt = m

dv⃗⃗

dt = m

d2x

dt2i = mg⃗ + R⃗⃗ N + f

+ T⃗⃗ + F

, with T⃗⃗ = - kx i

After projection: md2x

dt2 = - h

dt

dx - kx + F0sin(t+)

d2x

dt2 +

h

m

dt

dx +

k

m x =

F0

msin(t+).

3

2.a)

dt

dx = Xmcos(t) et

d2x

dt2 = - 2Xmsin(t). While replacing in the differential equation, we obtain:

- 2Xmsin(t) + h

m Xmcos(t) +

k

m Xm sin(t) =

F0

msin(t+).

For t = 0 h

m Xm =

F0

msin() F0 sin() = hXm.

For t = /2 - 2Xm + k

m Xm =

F0

msin(/2+) =

F0

mcos(). - m2Xm + k Xm = F0 cos()

[k - m2]Xm = F0 cos() tan = h

k−m2 et h22 Xm2 + [k - m2]2 Xm

2 = F02

Xm = F0

√h22+[k−m2]2

4

2.b.i The resonance of amplitude takes place when the amplitude is maximum, i.e. when its derivative with

respect to is nil : dXm/d = - ½F0[2h2 -4m(k-m2)][h22 +(k-m2)2]-3/2 = 0

2h2 -4m(k-m2) = 0 h2 = - 2m22 + 2mk r = √k

m−

1

2(

h

m)2

2

2.b.ii when h increases, r decreases. 1.5

3.a We have x = Xmsin(t) the expression of v : v = Xmcos(t). 1

3.b The expression of the amplitude Vm of v : Vm = Xm Vm = F0

√h2+[k/−m]2 1

3.c.i There is a resonance of the amplitude Vm of the velocity, when the denominator is minimal, therefore for

k/2 – m = 0 ω0 = √k

m.

1

Xm1

Xm2

Xm

r1 r2

h1

h2

h1 < h2



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3.c Thus, when h increases, the angular frequency of resonance 0 do not

depend on h.

1.5

4.a The value of ϕ : = 12/19 = 0.33 rad or 18.9°. The period of oscillations: T = 1930 = 570 ms or

0.570 s = 2/T = 11 rad/s. xm = 3 cm and F0 = 40.3 = 1.2 N

x = 3sin(11 t) and F = 1.2sin(11 t + 0.33) { x en cm ; F en N and t en s}

3

4.b k - m2 = y h = y tan = 0.343 y

h22 +(k-m2)2 = h22 + y2 = [F0/Xm]2 = 1600 1.117 y2 = 1600 y = 37.85 = k – 0.2112

k = 62.1 N/m. 11 h = 0.34337.85 h = 1.18 kg/s

2

20

Exercise II Different roles of a coil

A.1 Since that the voltage uL = ug – uR = ug +(– uR), then it is sufficient to insert the buttons INV (of

channel YB) and ADD.

1.5

A.2.a According to the Ohm’s law in the case of a coil, we have: uL = Ldi/dt and the Ohm’s law in the case of

a resistor uR = R i, then uL = L

R duR

dt.

2

A.2.b.i In the interval t : duR

dt =

uR

t (curve carried by a line)

duR

dt=

2+2

310−3 = 1333 V/s and uL = 2.5 V L = 2.5103

1333 = 1.88 H.

In the interval t' : duR

dt =

uR

t (curve carried by a line)

duR

dt=

−2−2

1710−3 = - 235.3 V/s and uL = - 0.5 V L = − 0.5103

− 235.3 = 2.12 H.

3

A.2.b.ii The obtained values are coherent with the value given by the manufacturer: La

L =

0.12

2 6% < 10%

And Lb

L=

0.12

2 6% < 10%.

1

B.1. According to the law of voltage addition: ug = uL + uR E = L

R duR

dt + uR. 1.5

B.2. duR

dt =

U0

e-t/, E =

L

R

U0

e-t/ + U0 – U0 e-t/.

By identification and whatever the time, one obtains: U0 = E et U0

L

R= U0 =

L

R.

2

B.3.a For t = , uR = 0.633.2 = 2.02 V

a = 2 ms and b = 3,3 ms.

2

B.3.b.i La = Ra = 103210-3 = 2 H et Lb = Rb = 1033.310-3 = 3.3 H. La < Lb. 1.5

B.3.b.ii The presence of iron near the coil causes an increase in its inductance. 0.5

Figure 3.

(a)

0

u(V)

t(ms)

3

1

2 (b)

0 4 8 14 12 16 2 6 10

Vm1

Vm2

Vm

0

h1

h2

h1 < h2



LEBANESE UNIVERSITY


C.1 0.5

C.2 We have uAB = uMN L di

dt = uC, but i = -

dq

dt = - C

duC

dt - LC

d2uC

dt2 = uC thus :

d2uC

dt2 +

1

LC uC = 0. 2.5

C.3 The general form of this differential equation is d2uC

dt2 + 0

2 uC = 0 02=

1

LC.

As the proper frequency f0 = 0/2, then f0 = 1/[2√LC].

1.5

C.4 The proper frequency f0 = 20 kHz = 1/[2√LC] LC = 6.3310-11 C = 3.1610-11 F. 1.5

C.5 With a frequency of 21 kHz > 20 kHz L' < L; this implies that L has decreased. Thus iron was not

found.

1

22

i

q

A

L

B

M N C



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Exercise III Corpuscular aspect of radiations

A.1 We have E = hc

=

6.62610−342.998108

364.610−9 = 5.44810-19 J and E = 5.44810−19

1.6010−19 = 3.40 eV. 2.5

A.2 The electronic transition corresponding to the emission of this photon is from the level of ionization to

the first excited level (n = 2) of the hydrogen atom.

The starting level has by convention a zero energy and the level of arrival is such as :

E = E - E2 3.40 = 0 - E2 E2 = - 3.40 eV.

2

B.1 The threshold wavelength S of the potassium cathode is such that W0 = hc/S S = hc/W0.

S = 6.62610−342.998108

2.201.6010−19 = 5.6510-7 m or 565 nm.

1.5

B.2 The lines of the Balmer series that can cause a photoelectric emission may verify the relation < S, thus

only Hα, which has = 656.2 nm > S do not cause the emission of photoelectrons. All the other lines

verify < S.

1

B.3 We have, according to the relation of Einstein, the energy of the received photon: E = W0 + EC(max). As

W0 is a constant of the metal, and as E is quantized thus the maximum kinetic energy EC(max) is quantized. 1.5

B.4.a The radiant power P0 received by the cell: P0 = PSs/4D2 = 22.010−4

41.252 = 2.0410-5 W. 1.5

B.4.b The number N0 of the incident photons on the cathode in one second is equal to:

N = énergie des photons émis en 1 s

énergie d′un photon

.

N = 2.0410−51

4.0910−19 = 4.991013 photons emitted in 1 s.

1.5

B.4.c The number of electrons emitted during 1 s is :

Ne = rqN = 0,008754.991013 = 4.371011 electrons emitted in 1 s.

I0 = q/t = Neqe

t =

4.3710111.6010−19

1 = 6.9910-8 A

2

B.5.a.i Knowing that P =dW

dt, dW being the energy received by (C) during dt ; and dW = dNE = dNh.

The number dn of electrons emitted, during dt, at the instant t is given by:

dn = rqdN = rq P

Edt = rq

P0e−50 t

Edt

1

B.5.a.ii The variation dq of the charge between the instants t and t + dt, is: dq = dne; dq = rq P0e

−50 t

Eedt 1

B.5.b i = dq/dt = edn/dt i = rqeP0

Ee-50 t = I0e-50 t. 1

B.5.c i becomes practically nil when t 5, with = 1/50 = 0.02 s t = 0.10 s. 1.5

18




FACULTE DE GENIE

Examen d’entrée 2013-2014 Physique durée : 2 h

14/7/2013

Exercice I [20 pts] : Oscillations forcées. Phénomènes de résonance. Un pendule élastique horizontal est constitué d’un solide (S), de masse m = 200 g, attaché à l’extrémité d’un ressort (R),

de masse négligeable et de raideur k, l’autre extrémité du ressort étant fixe. Le centre d’inertie G du solide peut se

déplacer sur un axe horizontal (O, i

), O étant la position de G lorsque (S) est en équilibre. Un dispositif approprié exerce

sur le pendule une force excitatrice de pulsation réglable. G commence à osciller de part et d'autre de O. À une date t,

l'abscisse de G est x et sa vitesse est v

= v i

= idt

dx ; la force excitatrice est alors de la forme F

= F i

= F0 sin(t+) i

,

d'amplitude F0 constante et le solide (S) est soumis à une force de frottement de la forme : f

= - h v

= - h v i

où h est une

constante positive.

1. Montrer que l’équation différentielle en x associée au mouvement du pendule est de la forme : 2

2

d x

dt+

h dx

m dt +

k

mx = 0F

m sin(t + ).

2. En régime permanent, la solution de cette équation différentielle s'écrit : x = Xmsin(t).

a) Déduire, en donnant à t deux valeurs particulières, l’expression de tan en fonction des données et montrer que

l’amplitude Xm est donnée par : Xm = 0

2 2 2 2

F

h (k m )

b) En donnant à différentes valeurs et en mesurant, pour chacune de ces valeurs, la valeur correspondante de Xm, on

remarque que l'on obtient un phénomène de résonance d'amplitude.

i) Déterminer l’expression de la pulsation de résonance r correspondante en fonction des données.

ii) Donner l'allure de la courbe de résonance d'amplitude pour deux valeurs différentes de h.

3. a) Déterminer l’expression de v.

b) En déduire l’expression de l’amplitude Vm de v en fonction des données.

c) i) Déterminer l’expression de la pulsation de résonance ω0 de Vm.

ii) Donner l'allure de la courbe de résonance de l'amplitude Vm pour deux

valeurs différentes de h.

4. On donne à chacune des grandeurs ω, h et k une valeur particulière. À

l'aide d'un dispositif approprié, on réalise, en régime permanent,

l'enregistrement de F et x; les courbes (1) et (2) représentent respectivement

les variations de F et x en fonction du temps, où une division verticale

représente une force de 0,3 N et un déplacement de 1 cm et une division

horizontale représente 30 ms. En se référant aux courbes :

a) déterminer les expressions de F et x.

b) déterminer les valeurs de k et h.

Exercice II [22 pts] : Différents rôles d’une bobine

A. Ouverture et fermeture de l'injecteur d’une voiture

Un électro-aimant, constitué par une bobine, sert à commander l'ouverture et

la fermeture de l'injecteur dans le moteur d'une voiture moderne. De même,

cette bobine peut être utilisée dans la détection de métaux. Dans cet exercice,

on s'intéresse à déterminer l’inductance L de la bobine.

Pour déterminer l'inductance L de la bobine de

résistance négligeable, on réalise le circuit de la

figure 1. Le générateur utilisé délivre, à ses bornes,

une tension ug triangulaire asymétrique. La résistance

de (R) vaut 1,0 k. Un système approprié permet

Figure 1

K

L, r R

ug

YA YB

A B

M

Figure 2

(1)

(2)




FACULTE DE GENIE

d'obtenir les courbes de la figure 2 qui représentent l'évolution, en fonction du temps, de la tension uR = uBM aux bornes de

(R) et celle de la tension uL = uAB aux bornes de la bobine.

1. Comment a-t-on obtenu, à partir des tensions enregistrées sur les voies YA et YB, la courbe uL ?

2. a) Donner l'expression de uLen fonction de uR.

b) i) En se référant à la figure 2, déterminer la valeur de l'inductance L dans chacun des deux intervalles t et t'.

ii) Le constructeur annonce L 2,0 H. Commenter brièvement les deux valeurs obtenues de L en acceptant, en valeur

absolue, un écart relatif de 10%.

B. Influence du fer sur l'inductance

Le montage utilisé est celui de la figure 1, où on remplace le générateur par un autre idéal de f.é.m. E = 3,2 V.

À l'aide d'un dispositif approprié, on enregistre l'évolution de la tension uR = uBM en fonction du temps. L'origine des

temps est prise à l'instant où l'on ferme l'interrupteur K.

1. Établir, à une date t, l’équation différentielle en uR.

2. La solution de cette équation différentielle est de la forme uR = U0 (1-e-t/).

Déterminer les expressions des constantes U0 et .

3. L'enregistrement de uR est fait, dans un premier temps, en l'absence d’aucun métal

placé à proximité de la bobine (courbe (a)), puis en présence d’un morceau de fer

placé à proximité de la bobine (courbe (b)) (fig 3).

a) Déterminer les valeurs des constantes a et b associées respectivement à (a) et (b

b) i) Comparer les valeurs La et Lb de l’inductance de la bobine en l'absence et en présence de fer.

ii) Que peut-on en déduire ?

C. Un détecteur de métaux

Le détecteur de métaux est constitué essentiellement d’un oscillateur électrique (L, C) supposé idéal.

1. Faire un schéma du circuit montrant le sens du courant i à une date t.

2. Établir, à une date t, l'équation différentielle en uC, uC étant la tension aux bornes du condensateur.

3. Déduire, de cette équation différentielle, l’expression de la fréquence propre f0 de l'oscillateur en fonction de L et C.

4. Le détecteur, associé à un fréquencemètre, affiche, en l'absence d'aucun métal, un signal de fréquence f0 = 20 kHz.

L'inductance de la bobine étant 2,0 H, calculer la valeur de C.

5. Le détecteur précédent affiche, en présence d'un métal, un signal de fréquence f = 21 kHz. A-t-on trouvé du fer ?

Justifier.

Exercice III [18 pts] : Aspect corpusculaire des radiations

A- Atome d’hydrogène

Données: c = 2,998108 m/s ; h = 6,62610-34 Js; 1 eV = 1,6010-19 J.

La série de Balmer est constituée de raies visibles et d'autres appartenant au domaine ultraviolet. La longueur d'onde de la

première raie Hα est 656,2 nm, celle de la seconde Hβ est 486,1 nm, celle de la troisième Hγ est 434,0 nm, et ainsi de suite.

La longueur d'onde de la raie limite de cette série est 364,6 nm.

1. Calculer, en eV, l’énergie d'un photon associé à la raie limite de la série de Balmer.

2. Déterminer l’énergie du niveau de départ et celle du niveau d’arrivée.

Figure 3.

(a)

0

u(V)

t(ms)

3

1

2 (b)

0 4 8 14 12 16 2 6 10




FACULTE DE GENIE

B- Effet photoélectrique

La cathode (C) d’une cellule photoélectrique au potassium a une surface utile S = 2,00 cm2. La

cathode, dont le travail d'extraction vaut W0 = 2,20 eV, reçoit les radiations d’une source ponctuelle à

hydrogène placée à une distance D = 1,25 m qui rayonne, de façon uniforme dans toutes les

directions, une puissance PS = 2,00 W.

1. Calculer la longueur d’onde seuil de la cathode de potassium.

2. Quelles sont, parmi les raies de la série de Balmer, les radiations qui peuvent provoquer une émission photoélectrique ?

3. L'énergie cinétique maximale d'un électron émis est quantifiée. Pourquoi ?

4. À l’aide d’un filtre, on éclaire la cathode par la lumière bleue H. La f.é.m. E du générateur est réglée de façon à

permettre à l’anode de capter tous les électrons émis par la cathode dont le rendement quantique est rq = 0,875%.

a) Montrer que la puissance rayonnante P0 reçue par la cellule vaut 2.0410-5 W.

b) Déterminer le nombre N0 des photons incidents sur la cathode en une seconde.

c) Déterminer l’intensité I0 du courant traversant le circuit.

5. On éteint la lampe, à une date choisie comme origine des temps t0 = 0. La puissance reçue par (C), à une date t, s'écrit

alors : P = P0e-50 t.

a) Déterminer :

i) le nombre dn d'électrons émis par (C) entre les dates t et t + dt;

ii) la variation dq de la charge circulant dans le circuit entre les dates t et t + dt.

b) En déduire l’expression de l'intensité i du courant traversant le circuit à la date t.

c) Déterminer le temps au bout duquel l’intensité i sera supposée pratiquement nulle.

(C) (A)

Vide

E + A

Radiations




FACULTE DE GENIE

Examen d’entrée 2013-2014 Corrigé de Physique 14/7/2013

Exercice I : Oscillations forcées. Phénomènes de résonance.

Q Notes

1. L’énergie mécanique du système (oscillateur, Terre) est donnée par : Em = EC + EPé = ½mv2 + ½kx2.

∑P = dEm

dt P(R⃗⃗ N) + P( f

) + P( F

) =

dEm

dt

0 - hvv + F0 sin(t+)v = mvdv

dt + k x

dx

dt ; en simplifiant par v =

dx

dt et en remplaçant

dv

dt par

d2x

dt2,

on obtient : - hdx

dt + F0sin(t+) = m

d2x

dt2 + k x

d2x

dt2 +

h

m dx

dt +

k

m x =

F0

msin(t+).

Autre méthode : ∑ F⃗ = dP⃗⃗

dt = m

dv⃗⃗

dt = m

d2x

dt2i = mg⃗ + R⃗⃗ N + f

+ F′⃗⃗⃗ + F

, avec F′⃗⃗⃗ = - kx i

Après projection : md2x

dt2 = - h

dt

dx - kx + F0sin(t+)

d2x

dt2 +

h

m

dt

dx +

k

m x =

F0

msin(t+).

3

2.a)

dt

dx = Xmcos(t) et

d2x

dt2 = - 2Xmsin(t). En remplaçant dans l’équation différentielle, on obtient :

- 2Xmsin(t) + h

m Xmcos(t) +

k

m Xm sin(t) =

F0

msin(t+).

Pour t = 0 h

m Xm =

F0

msin() F0 sin() = hXm.

Pour t = /2 - 2Xm + k

m Xm =

F0

msin(/2+) =

F0

mcos(). - m2Xm + k Xm = F0 cos()

[k - m2]Xm = F0 cos() tan = h

k−m2 et h22 Xm2 + [k - m2]2 Xm

2 = F02 Xm =

F0

√h22+[k−m2]2

4

2.b.i La résonance d’amplitude a lieu lorsque l’amplitude est maximale, c’est-à-dire lorsque sa dérivée par

rapport à est nulle : dXm/d = - ½F0[2h2 -4m(k-m2)][h22 +(k-m2)2]-3/2 = 0

2h2 -4m(k-m2) = 0 h2 = - 2m22 + 2mk r = √k

m−

1

2(

h

m)2

2

2.b.ii lorsque h augmente, r diminue. 1.5

3.a On a x = Xmsin(t) l’expression de v : v = Xmcos(t). 1

3.b L’expression de l’amplitude Vm de v : Vm = Xm Vm = F0

√h2+[k/−m]2 1

3.c.i On a une résonance de l’amplitude Vm de la vitesse, lorsque le dénominateur est minimal, donc pour

k/2 – m = 0 ω0 = √k

m.

1

Xm1

Xm2

Xm

r1 r2

h1

h2

h1 < h2




FACULTE DE GENIE

3.c.ii Ainsi, lorsque h augmente, la pulsation de résonance 0 est indépendante de

h.

1.5

4.a La valeur de ϕ : = 12/19 = 0,33 rad ou 18,9°. La période des oscillations : T = 1930 = 570 ms ou

0,570 s = 2/T = 11 rad/s. Xm = 3 cm et F0 = 40,3 = 1,2 N

x = 3sin(11 t) et F = 1,2sin(11 t + 0,33) { x en cm ; F en N et t en s}

3

4.b k - m2 = y h = y tan = 0,343 y

h22 +(k-m2)2 = h22 + y2 = [F0/Xm]2 = 1600 1,117 y2 = 1600 y = 37,85 = k – 0,2112

k = 62,1 N/m. 11 h = 0,34337,85 h = 1,18 kg/s.

2

20

Vm1

Vm2

Vm

0

h1

h2

h1 < h2




FACULTE DE GENIE

Exercice II Différents rôles d’une bobine

A.1 Vue que la tension uL = ug – uR = ug + (– uR) il suffit d’enfoncer les boutons INV (de la voie YB) et

ADD. 1.5

A.2.a D’après la loi d’Ohm dans le cas d’une bobine on a : uL = Ldi/dt et la loi d’Ohm dans le cas d’un

conducteur ohmique uR = R i, alors uL = L

R duR

dt.

2

A.2.b.i Dans l’intervalle t : duR

dt =

uR

t (courbe portée par une droite)

duR

dt =

2+2

310−3 = 1333 V/s et uL = 2,5 V L = 2,5103

1333 = 1,88 H.

Dans l’intervalle t' : duR

dt =

uR

t (courbe portée par une droite)

duR

dt=

−2−2

1710−3 = - 235,3 V/s et uL = - 0,5 V L = − 0,5103

− 235,3 = 2,12 H.

3

A.2.b.ii Les valeurs obtenues sont cohérentes avec la valeur donnée par le constructeur : La

L =

0,12

2 6% <

10%

Et Lb

L=

0,12

2 6% < 10%.

1

B.1. D’après la loi d’additivité des tensions : ug = uL + uR E = L

R duR

dt + uR. 1.5

B.2. . duR

dt =

U0

e-t/, E =

L

R

U0

e-t/ + U0 – U0 e-t/.

Par identification et quel que soit le temps, on obtient : U0 = E et U0

L

R= U0 =

L

R.

2

B.3.a Pour t = , uR = 0,633,2 = 2,02 V

a = 2 ms et b = 3,3 ms.

2

B.3.b.i La = Ra = 103210-3 = 2 H et Lb = Rb = 1033,310-3 = 3,3 H. La < Lb. 1.5

B.3.b.ii La présence du fer à proximité de la bobine cause une augmentation de son inductance. 0.5

C.1 0.5

C.2 On a uAB = uMN L di

dt = uC, mais i = -

dq

dt = - C

duC

dt - LC

d2uC

dt2 = uC Par suite :

d2uC

dt2 +

1

LC uC = 0. 2.5

C.3 La forme générale de cette équation différentielle est

d2uC

dt2 + 0

2 uC = 0 02=

1

LC. Comme la

fréquence propre f0 = 0/2, alors f0 = 1/[2√LC].

1.5

C.4 La fréquence propre f0 = 20 kHz = 1/[2√LC] LC = 6,3310-11 C = 3,1610-11 F. 1.5

C.5 Avec une fréquence de 21 kHz > 20 kHz L' < L ; ce qui implique que L a diminuée. Donc on

n’a pas trouvé du fer.

1

22

Figure 3.

(a)

0

u(V)

t(ms)

3

1

2 (b)

0 4 8 14 12 16 2 6 10

i

q

A

L

B

M N C




FACULTE DE GENIE

Exercice III ASPECT CORPUSCULAIRE DES RADIATIONS

A.1 On a E =

hc

=

6,62610−342,998108

364,610−9 = 5,44810-19 J et E = 5,44810−19

1,6010−19 = 3,40 eV. 2.5

A.2 La transition électronique correspondant à l'émission de ce photon est du niveau d’ionisation au premier

niveau excité (n = 2) de l’atome d’hydrogène.

Le niveau de départ a par convention une énergie nulle et le niveau d’arrivée est telle que : E = E - E2

3,40 = 0 - E2 E2 = - 3,40 eV.

2

B.1 La longueur d’onde seuil S de la cathode de potassium est telle que W0 = hc/S S = hc/W0.

S = 6,62610−342,998108

2,201,6010−19 = 5,6510-7 m ou 565 nm.

1.5

B.2 Les raies de la série de Balmer qui peuvent provoquer une émission photoélectrique vérifient la

relation < S, donc seule Hα, qui a = 656,2 nm > S ne provoque pas l’émission de

photoélectrons. Toutes les autres raies vérifient < S.

1

B.3 On a, d’après la relation d’Einstein, l’énergie d’un photon reçu : E = W0 + EC(max). Comme W0

est une constante du métal, et comme E est quantifiée alors l’énergie cinétique maximale EC(max)

est quantifiée.

1.5

B.4.a la puissance rayonnante P0 reçue par la cellule : P0 = PSs/4D2 =

22010−4

41,252 = 2,0410-5 W. 1.5

B.4.b le nombre N0 des photons incidents sur la cathode en une seconde est égal à :

N = énergie des photons émis en 1 s

énergie d′un photon.

N = 2,0410−51

4,0910−19 = 4,991013 photons émis en 1 s.

1.5

B.4.c Le nombre d’électrons émis pendant une seconde est : Ne = rqN = 0,008754,991013 = 4,371011

électrons émis en 1 s.

I0 = q/t = Neqe

t =

4,3710111,6010−19

1 = 6,9910-8 A

2

B.5.a.i Sachant que P =dW

dt, dW étant l’’energie reçue par (C) pendant dt ; et dW = dNE = dNh.

Le nombre dn d’électrons émis, pendant dt, à l’instant t est donné par : dn = rqdN = rq P

Edt = rq

P0e−50 t

Edt

1

B.5.a.ii La charge dq transportée pendant dt à l’instant t, est : dq = dne; dq = rq

P0e−50 t

Eedt

1

B.5.b i = dq/dt = edn/dt i = rqeP0

Ee-50 t = I0e-50 t. 1

B.5.c i devient pratiquement nulle lorsque t 5, avec = 1/50 = 0,02 s t = 0,10 s. 1.5

18

Faculty of Engineering – Lebanese University – Dean’s Office


Lebanese University

Faculty of Engineering

Entrance Exam 2013 – 2014 Chemistry Duration: 1 hour

July 14/2013

First Exercise (7 points)

Kinetic Study in Gaseous Phase

The decomposition reaction of diterbutyle peroxide in gaseous phase is carried out into a

container of constant volume V. It is represented by the following equation:

(CH3)3C – O – O – C(CH3)3 (g) → 2 CH3 – C – CH3 (g) + CH3 – CH3 (g)

║

O

At 420 K, The measurement of the total pressure Pt of the mixture, at various times, gives the

following results:

t(min) 10 50 100 150 200 300

P(bar) 0.278 0.405 0.513 0.584 0.630 0.681

At the end of the reaction, the pressure is constant and is worth Pfinal = 0.718 bar.

We note n0 the initial quantity of matter of diterbutyle and x the quantity of matter of ethane

(CH3 – CH3) formed at instant t.

1- Express the quantities of matter of different chemical species at time t as function of n0 and x.

2- Show that the initial pressure P0 is equal to P final /3.

3- Show that at time t: Pt = P0 (1 +20n

x). Deduce the expression of

0n

xas function of Pt.

4- Find the two missing values in the following table:

t(min) 10 50 100 150 200 300

0n

x

0.082

0.347

0.722

0.818

5- Plot the curve 0n

x= 𝒇(𝒕). Take the following scale: 2 divisions for 25 min in abscissa and 2

divisions for 0n

x= 0.1 in ordinate.

6- Determine the half-life time of the reaction.



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Second Exercise (13 points)

Preparation and Properties of a Carboxylic Acid

Carbonylation is a reaction permitting to prepare a carboxylic acid starting with an alcohol in

the presence of a catalyst according to the following equation:

ROH + CO catalyst RCOOH

1- Carbonylation of an Alcohol (X)

The carbonylation of 2.5 g of a monoalcohol (X) of an open saturated carbon chain is

carried out. The carboxylic acid (HA) obtained is dissolved in water. A solution (S) of

volume equal to 250 mL is obtained.

The titration of 20 mL of the solution (S) required 8 mL of a sodium hydroxide solution

of concentration Cb = 0.5 mol.L-1.

1.1- Write the equation of the titration reaction of acid (HA).

1.2- Determine the number of moles of the acid (HA) in the solution (S).

1.3- Deduce the molar mass of the alcohol (X) knowing that the percentage yield of the

carbonylation reaction is 92 %.

1.4- Show that the molecular formula of (HA) is C2H5 – COOH.

Given:

- Molar mass in g.mol-1: M(H) = 1 ; M(C) = 12 ; M(O) = 16.

- Kw = 10-14.

- pKa (C2H5COOH/ C2H5COO –) = 4.9.

- This study is carried out at 25 ºC.

2- Study of the Solution S E1/2 Obtained at the Half-equivalence of the Titration

The solution obtained after the addition of 4 mL of sodium hydroxide solution of

concentration Cb = 0.5 mol.L-1 to 20 mL of the solution S is called SE1/2.

2.1- Make the inventory of the majority chemical species present in the solution SE1/2.

2.2- Give the relation between [C2H5COO –] and [C2H5COOH], in the solution SE1/2, by

neglecting the reaction of these species with water. Deduce the pH of the solution

SE1/2.

2.3- Specify the name and the properties of this solution SE1/2.

2.4- It is possible to prepare two solutions (S5) and (S6), having the same pH as the

solution SE1/2, by mixing in each case two solutions among those proposed in the

table below.



Lebanese University


Specify the two solutions used to prepare the solution (S5) and those used to prepare

the solution (S6).

Solution Solute Concentration (mol.L-1) Volume (L)

S1 Sodium Propanoate C1 = 0.05 V1 = 1.00

S2 Sodium Hydroxide C2 = 0.05 V2 = 0.50

S3 Propanoic Acid C3 = 0.05 V3 = 1.00

S4 Hydrochloric acid C4 = 0.05 V4 = 0.50

3- Some Reactions of Propanoic Acid

The derivatives of carboxylic acids have an important role in industry. Write, using the

condensed structural formulas of organic compounds, The equations of the reactions

permitting to obtain, starting with propanoic acid, propanoyle chloride, methyle

propanoate, propanoic anhydride and N-methylpropanamide.

The three parts of this exercise are independent.



Lebanese University


Entrance Exam 2012 – 2013 Solution of Chemistry Duration: 1H 14 July 2013

First Exercise

Kinetic Study in Gaseous Phase

1-The table of the progress evolution of the reaction:

State progress C8 H18O2 2 C3H6O + C2H6

initial 0 n0 0 0

Change x n 0 -x 2x X

final x final =n0 0 2n0 n0

2- The final number of moles: n final = 2 n0 +n0 = 3 n0

At a constant volume constant and temperature, we have: Pt = nt (RT/V) and

P0= n0(RT/V), thus : P0 = P final /3.

3- At each instant nt = (n0-x) +2x +x =n0+2x = n0(1 +2 x/n0) and

Pt = P0 (1 +2 𝑥

𝑛0); P0 = 0.718/3 = 0.239 bar;

𝑥

𝑛0 = (Pt –P0)/2P0 = 2.09 Pt – 0.5.

4- À t = 100 min ; 𝑥

𝑛0 = (Pt –P0)/2P0

𝑥

𝑛0 = (0. 513 – 0.239)/2×0.239 = 0.573 bar

At t = 300 min; 𝑥

𝑛0 = (Pt –P0)/2P0

𝑥

𝑛0 = (0.681-0.239)/2×0.239 = 0. 925 bar.



Lebanese University


5- The curve:

6 −The half-life of the reaction t1/2 is reached when x t1/2 = n0 /2

and 𝑥

𝑛0 = 0.5 then t1/2 = 80 min (1 point)

Second Exercise (13 points)

Preparation and Properties of a Carboxylic Acid

1-Carbonylation of an Alcohol (X)

1.1 The equation of the titration reaction of the acid (HA)

HA + HO- A- + H2O

nacid (equivalence) = n base added = CbVb= 0.5×0.008 = 0.004 mol

nacid total = 0.004× (250/20) = 0.05 mol.

1.2 According to the carbonylation equation n acid formed = nalcool reacting = 0.05 mol

n alcoholused = 0.05×100/92 =0.054 mol.

M alcohol= m/n =2.5/0.054= 46.29 g.mol-1.

1.3 The molar mass of the alcohol is 46.3 g it is ethanol CH3CH2OH thus the formula of

(HA) is C2H5 – COOH.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 150 200 250 300 350

t (min)



Lebanese University


2- Study of the Solution S E1/2 obtained at the Half-equivalence of the Above Titration

2.1. At the half-equivalence, the majority chemical species, other than water, present in the

solution SE1/2 are C2H5COO – , C2H5COOH and Na+ where:

n C2H5COO = n C2H5COOH,= CbVbE/2=0.002 mol.

2.2. Where : [C2H5COO –] =[ C2H5COOH] and pH = pKa = 4.9. 2.3. The solution obtained is a buffer solution whose pH does not vary by addition of water

and varies little by moderate addition of a strong acid or a strong base.

2.4. We can obtain a solution of the same pH by mixing:

a- Solution 1 + solution 4

Equation: C2H5COO – + H3O+ C2H5COOH + H2O; Kr = 104.9 reaction complete

C2H5COO – + H3O+ C2H5COOH + H2O

initial 0,05 0,025 0 bcp

final 0,025 0 0,025 bcp

and pH = pKa

b- Solution 2 + solution 3

Equation: C2H5COOH + HO- C2H5COO – + H2O Kr =109.1

C2H5COOH + HO- C2H5COO – + H2O


final 0,025 0 0,025 bcp

and pH =pKa.

c- Solution 1 + solution 3

Equation: C2H5COO – + C2H5COOH C2H5COOH + C2H5COO – Kr = 100 = 1

et pH =pKa

3- Some Reactions of the Propanoic Acid

a- CH3—CH2—COOH +PCl5 CH3—CH2—COCl +POCl3 + HCl

b- CH3—CH2—COOH + CH3—OHCH3—CH2—COO—CH3 +H2O

c- CH3—CH2—COOH + CH3—CH2—COOH CH3—CH2—COOOC—CH2—CH3 +H2O

d- CH3—CH2—COOH +CH3—NH2 CH3—CH2—CONH—CH3 + H2O.




FACULTE DE GENIE

Concours d’entrée 2013 – 2014 Chimie Durée: 1 heure

Le 14 juillet 2013

Premier exercice (7 points)

Étude cinétique en phase gazeuse

La réaction de décomposition en phase gazeuse, dans une enceinte de volume V constant, du

peroxyde de diterbutyle est représentée par l’équation suivante :

(CH3)3C – O – O – C (CH3)3 (g) → 2 CH3 – C – CH3 (g) + CH3 – CH3 (g)

║

O

À 420 K, la mesure de la pression totale Pt du mélange conduit, à différentes dates, aux résultats

suivants :

t(min) 10 50 100 150 200 300

P (bar) 0,278 0,405 0,513 0,584 0,630 0,681

Lorsque la réaction est terminée, la pression est constante et vaut Pfinale = 0,718 bar.

On note n0 la quantité de matière initiale de diterbutyle et x la quantité de matière d’éthane

(CH3 – CH3) formée à la date t.

1- Exprimer les quantités de matière des différentes espèces chimiques à la date t en fonction de n0 et x.

2- Montrer que la pression initiale P0 est égale à P finale /3.

3- Montrer qu’à la date t : Pt = P0 (1 +20n

x), en déduire l’expression de

0n

x en fonction de Pt.

4- Trouver les deux valeurs qui manquent dans le tableau suivant :

t (min) 10 50 100 150 200 300

0n

x

0,082

0,347

0,722

0,818

5- Tracer la courbe 0n

x. Prendre pour échelles : en abscisses 2 divisions pour 25 min,

en ordonnées 2 divisions pour 0n

x= 0,1.

6- Déterminer le temps de demi-réaction.




FACULTE DE GENIE

Deuxième exercice (13 points)

Préparation et propriétés d’un acide carboxylique

La carbonylation est une réaction permettant de préparer un acide carboxylique à partir d’un alcool en

présence d’un catalyseur selon l’équation suivante :

ROH + CO catalyseur RCOOH

1- Carbonylation d’un alcool (X)

On réalise la carbonylation de 2,5 g d’un monoalcool (X) à chaîne carbonée saturée et ouverte.

L’acide carboxylique (HA) obtenu est dissous dans l’eau pour avoir une solution (S) de volume

égal à 250 mL.

Le dosage d’un volume de 20 mL de la solution (S) exige 8 mL d’une solution d’hydroxyde de

sodium de concentration Cb = 0,5 mol.L-1.

1.1- Écrire l’équation de la réaction de dosage de l’acide (HA).

1.2- Déterminer le nombre de moles de l’acide (HA) dans la solution (S).

1.3- Déduire la masse molaire de l’alcool (X) sachant que le rendement de la réaction de

carbonylation est 92 %.

1.4- Montrer que la formule de (HA) est C2H5 – COOH.

Donnée:

- Masse molaire en g.mol-1 : M(H) = 1 ; M(C) = 12 ; M(O) = 16.

- Produit ionique de l’eau : Ke = 10-14.

- pKa (C2H5COOH/ C2H5COO –) = 4,9.

- Cette étude est effectuée à 25 ºC.

2- Étude de la solution S E1/2 obtenue à la demi-équivalence du dosage

La solution obtenue après avoir ajouté 4 mL de la solution d’hydroxyde de sodium de

concentration Cb = 0,5 mol.L-1 à 20 mL de la solution S est notée SE1/2.

2.1- Faire l’inventaire des espèces chimiques majoritaires présentes dans la solution SE1/2.

2.2- Donner la relation entre [C2H5COO –] et [C2H5COOH], dans la solution SE1/2, sans tenir

compte de la réaction de ces espèces avec l’eau ; en déduire le pH de la solution SE1/2.

2.3- Préciser le nom et les propriétés de cette solution S E1/2.

2.4- Il est possible de préparer deux solutions (S5) et (S6) de même pH que la solution S E1/2

en mélangeant chaque fois deux solutions parmi celles proposées dans le tableau

ci-dessous.




FACULTE DE GENIE

Préciser les deux solutions utilisées pour préparer (S5) d’une part et (S6) d’autre part.

Solution Soluté Concentration (mol.L-1) Volume (L)

S1 Propanoate de sodium C1 = 0,05 V1 = 1,00

S2 Hydroxyde de sodium C2 = 0,05 V2 = 0,50

S3 Acide propanoïque C3 = 0,05 V3 = 1,00

S4 Acide chlorhydrique C4 = 0,05 V4 = 0,50

3- Quelques réactions d’acide propanoïque

Les dérivés des acides carboxyliques présentent une grande importance industrielle. Écrire, en

utilisant les formules semi-développées des composés organiques, les équations des réactions

permettant d’avoir, à partir de l’acide propanoïque, le chlorure de propanoyle, le propanoate de

méthyle, l’anhydride propanoïque et le N-méthylpropanamide.

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.




FACULTE DE GENIE

Concours d’entrée 2013 – 2014 Corrigé de Chimie Durée: 1 heure

Le 14 juillet 2013

Premier exercice (7 points)

Étude cinétique en phase gazeuse

1-Le tableau d’évolution de la réaction :

Etat Avancement C8 H18O2 2 C3H6O + C2H6

initial 0 n0 0 0

en cours x n 0 –x 2 x x

final x final = n0 0 2 n0 n0

2- La quantité de matière finale : n final = 2 n0 + n0 = 3 n0

Travaillant à volume constant et température constante Pt = nt (RT/V) et

P0= n0(RT/V), on tire : P0 = P finale /3.

3- À tout instant nt = (n0-x) +2x +x =n0+2x = n0 (1 +2 x/n0) et Pt = P0 (1 +2 )

Or: P0 = 0,718/3 = 0,239 bar

= (Pt –P0)/2P0 = (Pt – 0,239)/2×0,239 = 2,09 Pt – 0,5.

4- À t = 100 min ; = (Pt –P0)/2P0 , = (0, 513 - 0,239)/2×0,239 = 0,573 bar

À t = 300 min ; = (Pt –P0)/2P0, =(0,681-0,239)/2x0,239 =0, 925 bar




FACULTE DE GENIE

5- La courbe :

Le temps de demi-réaction t1/2 est atteint lorsque x t1/2 = n0 /2

= 0,5 alors t1/2 = 80 min.

Deuxième exercice (13 points)

Préparation et propriétés d’un acide carboxylique

1-Carbonylation d’un alcool (X)

1.1- L’équation de la réaction de dosage de l’acide (HA)

HA + HO- A- + H2O

1.2- n acide (équivalence) = n base versée = CbVbE = 0,5×0,008= 0,004 mol

n acide total= 0,004× (250/20) =0,05 mol.

1.3- D’après l’équation de carbonylation n acide formé = nalcool réagissant = 0,05 mol

n alcool utilisé = 0,05×100/92 = 0,054 mol.

M alcool= m/n =2,5/0,054= 46,29 g.mol-1.

1.4- L’alcool de masse molaire 46,3 g est l’éthanol CH3CH2OH on tire que la formule

de (HA) est C2H5 – COOH.

t (min)




FACULTE DE GENIE

2-Étude de la solution S E1/2 obtenue à la demi-équivalence du dosage.

2.1. À part l’eau à la demi-équivalence les espèces chimiques majoritaires présentes dans la solution

SE1/2 sont : C2H5COO –, C2H5COOH et Na+

tel que n C2H5COO- = n C2H5COOH = n Na+ CbVbE/2=0,002 mol.

2.2. On tire que [C2H5COO –] =[ C2H5COOH] et pH = pKa = 4,9.

2.3. La solution obtenue est une solution tampon dont le pH ne varie pas par addition de l’eau et varie

peu par addition modérée d’un acide fort ou une base forte.

2.4. On peut obtenir une solution de même pH en mélangeant :

a- Solution 1 + solution 4

Equation: C2H5COO – + H3O+ C2H5COOH + H2O Kr = 104,9 réaction totale

C2H5COO – + H3O+ C2H5COOH + H2O

initial 0,05 0,025 0 Bcp

final 0,025 0 0,025 Bcp

et pH =pKa.

b- Solution 2 + solution 3

Equation: : C2H5COOH + HO- C2H5COO – + H2O Kr =109,1

C2H5COOH + HO- C2H5COO – + H2O


final 0,025 0 0,025 bcp

et pH =pKa

c- Solution 1 + solution 3

Equation: C2H5COO – + C2H5COOH C2H5COOH + C2H5COO – Kr = 100 = 1

Et pH =pKa

3- Quelques réactions d’acide propanoïque

a- CH3—CH2—COOH +PCl5 CH3—CH2—COCl +POCl3 + HCl

b- CH3—CH2—COOH + CH3—OHCH3—CH2—COO—CH3 +H2O

c- CH3—CH2—COOH + CH3—CH2—COOH CH3—CH2—COOOC—CH2—CH3 +H2O

d- CH3—CH2—COOH +CH3—NH2 CH3—CH2—CONH—CH3 + H2O.

واحدةالمدة: ساعة اللغة العربية 2014-2013مباراة الدخول

14/7/2013 تسونامي الجوع

انه الصراع من اجل البقاء، من اجل الحق في الغذاء، ففي حين يفتخر العالم و الدول الكبرى المتقدمة بمدى -1الجوع و مليون شخص يعانون 860ليها يخفتُ صوت أو بالاحرى همسُ إو الحضارة التي وصلت التطور والتقدم

هكذا وصفت رئيسة برنامج الغذاء .يجتاح العالم لا يعرف حدودا "ا ن تسونامي صامتإ" قص الغذاء ونقص الحياة.ن ضافي في الفقر المدقع.إأغرقت مائة مليون بشري العالمي الأزمة الغذائية العالمية التي

تعرها اهتماما" ولم تبال بالاشارات ها بالظهور منذ سنوات لكن الحكومات لمر دواوأسباب الأزمة كثيرة و قد بدأت ب -2 حتوائها و كبح جماحها.اللكارثة المقبلة و محاولة المتوقعة

نخفاض في الانتاج الزراعي الى إفقد ارتفعت أسعار النفط و موارد الطاقة بجنون في السنوات الأخيرة ، مما أدى -3حتباس حراري واية من فيضانات وتصحر ، كما شهد العالم كوارث طبيعة على المزارعينعالمرتف بسبب الكلفة

ضافة الى زيادة الطلب على المواد الغذائية في بعض الدول نتيجة للنمو السكاني الذي يقدر بثمانين مليون نسمة إ جتماعاتاالمؤتمرات وو ، كثرت القممالجوع وسوء التغذية حول العالم في محاولة لايجاد سبل لمواجهة. و سنويا

.الحكوماتورؤساء الدول و زعماء

لمنع حصول مجاعة و قد تحركت دول عدة للقنبلة الموقوتة يحتاج العالم الى ثلاثين مليار دولار سنويا بطالا إو -4 لتقديم مساعدات مالية الى برنامج الغذاء العالمي.

الفقر، لا د المجاعة و ي معركته التاريخية ضوعلى أمل أن تساهم هذه المساعدات والتحركات بانتصار الانسان ف -5 ن ضدّ حدوث أزمة غذائية جدية.محصّنة لغاية الآ لبنان خصوصا و الدول العربية عموما تزال

مجلة البيان الاقتصادية

Faculté de génie - Université Libanaise Toutes les sessions d'examens d'entrée sont disponibles sur www.ulfg.ul.edu.lb


FACULTE DE GENIE

أسئلة: أولا": في الفهم و التحليل

سياق النص ، العبارات الآتية: اشرح ، في -1

محصّنة لغاية الآن . )علامتان( –القنبلة الموقوتة –كبح جماحها –تسونامي الجوع

" وعلى أمل ... حتى الفقر " . )علامتان( : اضبط بالشكل اواخر الكلمات في المقطع الخامس من -2

" خمسة أسطر" . )ثلاث علامات( 4-3-2المقاطع وردت في ، اشرح ثلاث أفكارى عنوان النصبالاستناد ال -3

محصّنة ضد هذه الازمة الحادة. "، ما الاسباب التي تجعل الدول العربية عامة ولبنان خاصة برأيك -4 )ثلاث علامات(خمسة أسطر"

في التعبير الكتابي ثانيا": م أن يفتخر بحضارته وبانفاقه على التسلح والترف، بينما ملايين من الناس يموتون جوعا" ؟هل يحق للعال

علامات( سطرا"( )عشر 20-15لبلدان . )اذكر بعض الحلول التي تساهم في التخفيف من حدة هذا الفقر في كثير من ا




FACULTE DE GENIE



LEBANESE UNIVERSITY FACULTY OF ENGINEERING

Entrance exam 2013-2014 English 14/7/2013

Part I: Reading Comprehension

You are going to read an article about The Importance of Education. When you are through, answer the questions that

follow.

See the World in a Different Light

1. Today, education has become more of a privilege than a right. More wealthy families afford degrees at fancier

universities, while families in terrible poverty can only afford minimum education as provided by the public school system.

Do you know that regardless of the stature of the school you went to, it’s your attitude about the knowledge and skills

you’re given that counts? Yes, you may be schooled in the most prestigious and reputable school there is, but if you are not

naturally inquisitive, and if you are just on the receiving end of education, there’s the beginning of stagnation. If, on the

other hand, you are schooled in a meager town public school, yet with every lesson, you ask the questions and do

independent research, and then you’re on your way to becoming truly educated.

2. Why is there a need to be educated anyway? Is it a means for survival? Is it similar to food, shelter, clothing, or money?

Well, in these changing times, I dare say that yes, it is a means for survival. You wouldn’t survive this world’s information

boom if you do not possess critical thinking characteristics of educated people. Indeed, education may be considered as a

means to view the world in its real context, with layers of meaning embedded in its every little shade, corner, or gap. You

don’t want to be clueless for the challenges that lie ahead. You have to have an opinion for every issue there is. But how to

do that, when you do not exert any effort to learn? You cannot give what you do not have. You cannot help solve the ills if

this world if you cannot critically reflect on reality. You cannot make sense of your own life if you have not practiced doing

so in various academic exercises found only in formal education.

3. Imagine life without knowing and mastering reading, listening, writing, and speaking. How will you comprehend the

world from the minutest to the most global of issues? How will you interpret, when you have not heard? How will you jot

down your insights when you haven’t mastered the art of taking down meaningful notes? How will you express your

opinions when you haven’t based these on anything?

4. Education makes you understand and helps you be understood as well. It is also hoped that through education, you are

moved to act upon understanding. I am saddened when I hear of kids who do not take their education seriously. Not

deliberately, of course, but children who lack interests in their studies are more likely to be unaware of the value of

education in their lives. I am indeed thankful for the opportunities afforded for me to become properly educated. The youth

will realize the value of studying soon, so that they, too, can make a significant difference in society through their actions.

5. When circumstances prevent the youth from enrolling in schools at all, still, windows of opportunities exist for them. Try

to read, read, and read! Ask the questions, from the dumbest to the smartest queries. Find yourself a mentor to guide your

journey. Actively listen to intelligent media, and ask the hows and the whys. Do not accept all information from media as

absolute truths; learn to sift and be critical about the beliefs you wish to uphold and value. Regularly express your thoughts

through fluid writing and speaking. Act decently educated by holding on to good values. These are just some tips to youth

who find it hard to go to schools. There is no reason for you not to cultivate your mind and learn. You just need to make the

most of what you do have, and innovate for the rest.

6. Indeed, education is a necessity to survive and excel in living in today’s modern world. Grab all the opportunities you can

to learn, because education is a fun, lifelong process!




A. Answer the following questions in complete sentences. (Score 3)

1. What makes you well educated?

2. Why is it a must to be a man of education?

3. What advice did the writer give as a conclusion?

B. What do these underlined pronouns in the article refer to? (Score 1.5)

It p.2

These p.3

They p.4

C. Pick out from the article words that have the same meanings as the following: (Score 3)

1. size p.1

2. problem p.2

3. read between the lines p.3

4. question; inquiry p.5

5. advisor p.5

6. seize p6

D. Restate these sentences to have the same meaning. (Score 3)

1. He accepts all the information from the media.

All the information ______________________________.

2. He has more opportunities because he is well educated.

If he __________________________________________.

3. Although a student goes to a public school, he can get high education.

Despite______________________________________________

E. Correct the one mistake in each sentence. (Score 1.5)

1. I wish my parents sent me to a better school when I was young.

2. You should consider to go to a decent school for better education.

3. Can you tell me why does he make a lot of effort at an early age?




Part II. Writing (Score 8)

“He who chooses the beginning of the road chooses the place it leads to.”

How can you engineer your future, and what steps should you take to make your dream come true? Develop your

writing in a well organized paragraph of about 10 lines.




Entrance exam 2013-2014 Solution of English 14/7/2013

A. Answer the following questions in complete sentences. (Score3)

1. What makes you well educated? Your inquisitive character and independent research.

2. Why is it a must to be a man of education? To survive / to view the world/to have critical thinking and

cultural awareness/to understand and be understood.

3. What advice did the writer give as a conclusion? To read/ask questions/listen/not to accept

anything/express yourself /act decently

B. What do these underlined pronouns in the article refer to? (Score 1.5)

It p.2 education

These p.3 opinions

They p.4 youth

C .Pick out from thearticle words that have the same meanings as the following: (Score 3)

1. size Stature

2. problem issue

3. read between the lines interpret

4. question; inquiry queries

5. advisor mentor

6. seize grab

D. Restate these sentences to have the same meaning. (Score 3)

1. He accepts all the information from the media.

All the information from the media is accepted.

2. He has more opportunities because he is well educated.

If he weren’t/wasn’t well educated, he wouldn’t have more opportunities.

3. . Although a student goes to a public school, he can get high education.

Despite going to a public school, a student can get high education.




E. Correct the one mistake in each sentence. (Score 1.5)

1. I wish my parents sent me to a better school when I was young. Had sent

2. You should consider to go to a decent school for better education. Going

3. Can you tell me why he makes a lot of effort at an early age?

Part II. Writing

“He who chooses the beginning of the road chooses the place it leads to.”

How can you engineer your future, and what steps should you take to make your dream come true. Develop your

writing in a well organized essay of 150200 words. Provide an outline and a title.




FACULTE DE GENIE

Concours d’entrée de 2013-2014 Français Durée : 1 heure

Date : 13 juillet 2013

5

10

15

20

« La voiture électrique »

Définition : C’est une automobile qui fonctionne par la force électromotrice de moteurs électriques.

Plusieurs pays ont adopté le système de placer des bornes de rechargement à côté des trottoirs des grandes

villes, permettant aux utilisateurs de les louer contre une petite somme d’argent et une garantie bancaire.

Fonctionnalité : Les technologies relatives au véhicule électrique sont simples et bien maîtrisées, car

celui-ci fonctionne grâce à une batterie qui apporte de l'énergie à la chaîne de traction de la voiture

électrique et un moteur qui joue sur les forces d'interaction entre un électroaimant et un aimant permanent.

Avantages : Le véhicule électrique qu’on loue permet des déplacements rapides, silencieux et peu

polluants en environnement industriel et urbain notamment. Son utilisateur n’a plus le souci de trouver un

parking parce qu’il le prend d’une station au bord de la route de son quartier et le rend à ce même endroit

ou ailleurs.

Inconvénients : Le prix de la consommation électrique devient de plus en plus cher. Les fournisseurs

d'électricité doivent être encouragés à faire des investissements dans des domaines innovants tels que ces

voitures électriques. Donc sans une baisse du coût de l’électricité, leur activité ne peut pas évoluer. Pour

que les conducteurs soient prêts à adopter le véhicule électrique, ils doivent avoir l'assurance de trouver où

qu'ils aillent des bornes de recharge standardisées, sûres et pratiques. Une voiture à essence se recharge en

quelques minutes alors qu'actuellement, une voiture électrique nécessite un temps de recharge de plusieurs

dizaines de minutes. Ce genre d’engin ne peut pas rouler plus de 200 km, alors qu’une voiture à essence

dépasse fréquemment 500 km, voire 1 000 km pour une voiture Diesel. La peur de manquer d'autonomie

est un handicap à la vente de véhicules électriques. Ainsi, une conduite accélérée utilisera beaucoup plus

d’énergie qu’une conduite calme. L’air climatisé et le chauffage de l'air ambiant consomment trop

d'électricité. La voiture verte ne les alimente pas sans une réduction importante de son autonomie déjà

limitée. Alors, on doit supporter la chaleur et le froid. Finalement, il est très difficile de changer la

mentalité des gens qui ont peur de toute nouveauté.

I-Questions : (12pts)

1-Déterminez le type du texte en vous fondant sur quatre différents indices que vous ferez

suivre d’exemples précis. (3pts)

2-a-Expliquez la dernière phrase en la développant. (2pts)

b-Dites la raison pour laquelle on qualifie la voiture électrique de « verte » à la ligne 21

tout en vous référant à un autre passage du texte. (2pts)

3- Pourquoi faut-il « une garantie bancaire » L.3 ? (1pt)

4- a-Combien d’avantages cite-t-on et combien d’inconvénients ? (2pts)

b-Trouvez, d’après votre savoir, un autre avantage et un autre inconvénient au sujet

traité. (2pts)

II-Production écrite : (8 pts)

À la manière du texte, vous choisirez une autre nouvelle technologie que vous

préciserez dans votre titre et que vous développerez en quatre parties : Définition,

Fonctionnalité, Avantages et Inconvénients. Votre texte fera 15 à 20 lignes.




FACULTE DE GENIE

Concours d’entrée 2013-2014 Corrigé de Français Durée : 1heure

Date :13 juillet 2013

I-Questions

1- Le type du texte est informatif (1pt)

- L’emploi du présent de l’indicatif : « C’est » L.1, « devient », L. 11, etc.(½pt)

- Les termes techniques : « Automobile », « Diesel », « électrique », etc.

- l’emploi du pronom indéfini « on » L. 7.(½pt)

- la forme typographique du texte, le gras en guise de sous-titres :

Définition…..(½pt)

2-

a- La dernière phrase : Les hommes préfèrent maintenir leurs anciennes habitudes

qui les rassurent et appréhendent les changements qui les déstabilisent. (2pts)

b- « Voiture verte » parce qu’elle maintient l’écologie et contribue à réduire la

pollution. (1pt). La phrase « peu polluants » aux lignes 7-8 lui fait écho. (1pt)

3- La garantie bancaire est pour que la compagnie (ou l’état) qui loue ces voitures

protège ses biens au cas où il y aurait accident ou vol de ces voitures.

4-

a- On relève 4 avantages et 6 inconvénients. (1pt)

b- Réponses personnelles (1pt)

II-Production :

Technique : 1pt

Langue : 3pts

Idées : 4pts

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