Université Internationale de Casablanca École d’Ingénierie · 2020. 10. 29. · Introduction...

Université Internationale de Casablanca

École d’IngénierieTronc Commun Ecole

TC / S5

Mécanique des Milieux ContinusLois de comportement

Pr. ESMILI

Année Universitaire: 2017/2018

Introduction• La Mécanique des Milieux Continus a pour objet de définir les

lois qui régissent le comportement de tous les milieux qui respectent l'hypothèse de continuité. Pour cela elle utilise les lois fondamentales de la mécanique basées sur la description dynamique du milieu. Pour être en conformité avec les résultats expérimentaux basés sur une description cinématique, nous serons amenés à employer les lois de comportement. Dans le cas le plus simple nous aurons à traiter des problèmes d'élasticité linéaire dans l'hypothèse des petites perturbations

Quelques citations et réflexions…• Chaque matin en Afrique une gazelle se

réveille. Elle sait qu’elle doit courir plus vite que le lion le plus rapide ou elle sera dévorée.

Chaque matin en Afrique un lion se réveille . Il sait qu’il doit courir plus vite que la gazelle la plus lente ou il jeunera.

Peu importe que tu sois un lion ou une gazelle, quand le soleil se lèvera, tu ferais mieux d’être déjà en train de courir.

• Il n’y a pas de vents favorables pour celui qui ne connait pas son port.

• Ce n’est pas parce que les choses sont difficiles à faire qu’on ne les fait pas, c’est parce qu’on ne les fait pas qu’elles sont difficiles.

• Chacun rêve de changer l’humanité mais personne ne pense à se changer lui-même.

Le Chêne un jour dit au roseau :Vous avez bien sujet d'accuser la Nature ;

Un Roitelet pour vous est un pesant fardeau. Le moindre vent qui d'aventure

Fait rider la face de l'eau, Vous oblige à baisser la tête :

Cependant que mon front, au Caucase pareil,Non content d'arrêter les rayons du soleil,

Brave l'effort de la tempête.Tout vous est aquilon ; tout me semble zéphir.

Encore si vous naissiez à l'abri du feuillage Dont je couvre le voisinage,

Vous n'auriez pas tant à souffrir : Je vous défendrais de l'orage ;

Mais vous naissez le plus souvent Sur les humides bords des Royaumes du vent. La Nature envers vous me semble bien injuste.

Votre compassion, lui répondit l'Arbuste ,Part d'un bon naturel ; mais quittez ce souci.Les vents me sont moins qu'à vous redoutables. Je plie, et ne romps pas. Vous avez jusqu'ici Contre leurs coups épouvantables Résisté sans courber le dos ;Mais attendons la fin. Comme il disait ces mots, Du bout de l'horizon accourt avec furie Le plus terrible des enfantsQue le Nord eût porté jusque-là dans ses flancs. L'Arbre tient bon ; le Roseau plie. Le vent redouble ses efforts, Et fait si bien qu'il déracine Celui de qui la tête au ciel était voisine,

Et dont les pieds touchaient à l'empire des morts.

LE CHÊNE ET LE ROSEAU Jean de la Fontaine

• I Milieux Déformables• II Forces de Contact• III Contraintes • IV Loi Fondamentale de la Dynamique• V Déformations• VI Relation Contraintes - Déformations

Mécanique des Milieux Continus

I Milieux Déformables

• I-1 Forces Externes et Équilibre Mécanique• I-2 Comportement d’une Structure• I-3 Raideur et Rigidité

I-1 Forces Externes : Équilibre Mécanique

FF

Équilibre des Forces

Équilibre des Moments

0

F

0

M

F

Dl

F

F

I-2 Comportement d’une Structure :Essai de Traction

FR

FM

Élasticité Plasticité Rupture

FE

F

Dl

Dl

F

Rigidité de la Structure F=KDl

K

I-3 Raideur et Rigidité : Géométrie de la Structure et Comportement du Matériau

Rigidité de la Structure F=KDl

F ~ S <= Expérience

F

Dl

Dl

l

F1

F2

Dl

F1 F2

S2l S1

F

Dl2F

Dl1

Sl2

l1 S

Dl1

l1

Dl2

l2

Acier

Plastique

Raideur du Matériau

e

s

Contrainte Déformation

=> Dl ~ l

SK ~

lK

1~

l

lE

S

F D

II Forces de Contact

• II-1 Forces Internes : Action et Réaction• II-2 Forces Internes : Répartition Homogène• II-3 Forces Internes : Répartition non Homogène• II-4 Vecteur Contrainte : État Local

II-1 Forces Internes :Action et Réaction

-FF-F F

F-F

A B

F(A/B) = -F(B/A) La Résultante des Forces Internes est toujours Nulle

II-2 Forces Internes :Répartition Homogène

Le Vecteur Contrainte T Force par unité de Surface [MPa]

est indépendant du point dans la section S

TF FF

S

FT

II-3 Forces Internes : Répartition non Homogène

Le Vecteur Contrainte T dépenddu point M dans la section S

TF FM

S

dSMTF )(

II-4 Vecteur Contrainte : État local

T dépend : du point M dans la section S : de l’orientation n de la section S

T

F F

M

TF

M

n

n

Fn

S

dSnMTF ),(

III Contraintes

• III-1 Tenseur des Contraintes• III-2 Représentation des Contraintes

III-1 Tenseur des Contraintes

• III-1.1 Repère local : Traction, Cisaillement• III-1.2 Tenseur des Contraintes : Définition• III-1.3 Tenseur des Contraintes : Symétrie• III-1.4 Contraintes Principales et Axes Propres• III-1.5 Sollicitations Principales• III-1.6 Invariants du Tenseur des Contraintes• III-1.7 Sphérique et Déviateur des Contraintes

III-1.1 Tenseur des Contraintes :Repère Local

T(M,n)T

M

snn

snr

n, r, T coplanaires

r

n

t

snn = T n Traction > 0 Compression <0

snr = T r Cisaillement

Trièdre local direct n, r, t

snt = T t = 0

Facette de centre M et de normale n

x3

x2

x1

x3

x2

III-1.2 Tenseur des Contraintes : Équilibre local des Forces

dS1

x1T1

x1

x2

x3T3

x3

x1

x2

T2

-T2

-T3

T(n)

n-T1

dS2

dS3

dS

332211)( dSTdSTdSTdSnT

3

2

1

332313

322212

312111

321

)(

n

n

n

nT

nTTT

sssssssss

nMnMT

)(),( s

x3

x2

x1

dx1

dx3

dx2

III-1.3 Tenseur des Contraintes : Équilibre local des Moments

s32

s23s13

s12

s31

s21

s12 dx2 dx3 dx1= s21 dx3 dx1 dx2



s11 s21 s31

s12 s22 s32

s13 s23 s33

sij =sji

Le Tenseur des Contraintes est Symétrique

)(Ms

)(Ms

MN

T

M

III-1.4 Tenseur des Contraintes : Contraintes Principales et Axes Propres

sI 0 0

0 sII 0

0 0 sIII

X3

X2

X1

x3

x2

x1

n

t s11 s21 s31

s12 s22 s32

s13 s23 s33

A

)(Ms

)(M

nt

s

NT

tAT

nA

s NAA t

s N

tAT

NAn t

AMAM t)()( s

III-1.5 Tenseur des Contraintes : Sollicitations Principales Traction - Compression

TriaxialeUniaxiale s1 0 0

0 s2 0

0 0 s3

Biaxiale s1 0 0

0 s2 0

0 0 0

s1 = s2 = s

s

s1 = s2 = s3 = -p

Hydrostatique

-p 0 0

0 -p 0

0 0 -p

s1 0 0

0 0 0

0 0 0

s1

s p

III-1.6 Tenseur des Contraintes : Les Invariants Tensoriels

sI 0 0

0 sII 0

0 0 sIII

s11 s21 s31

s12 s22 s32

s13 s23 s33

I1= sI + sII + sIII = skk =3 sm =Tr(s)

I2= sI sII+ sII sIII + sIII sI = (s11 s22 - s122) + (s11 s33 - s13

2) + (s22 s33 – s232)

I3= sI sII sIII =Det(s)

Caley-Hamilton

6 Composantes = 3 (Invariants ou Valeurs Propres) + 3 Angles d’Euler

)(M )(Ms

0322

13 III 032

21

3 sss III

III-1.7 Tenseur des Contraintes : Sphérique et Déviateur sm 0 0

0 sm 0

0 0 sm

Sphérique S Tr(S)= Tr(s)

6 Composantes = sm + sd + µ +3 Angles d’Euler

s11- sm s21 s31

s12 s22 - sm s32

s13 s23 s33 - sm

+

Déviateur D Tr(D)= 0

sm Contrainte Normale Moyenne (Traction ou Compression)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

sm + sd

sd Contrainte Déviatorique Moyenne (Cisaillement)

p1(µ) 0 0

0 p2(µ) 0

0 0 p3(µ)

p Tenseur des Directions Tr(p)=0 et Tr(p2)=3

psss dmDSM )(

)(Tr3

1 ss m

DSM )(s)DTr(

3

1 22 ds

III-2 Représentation des Contraintes• III-2.1 Contraintes Octaédriques• III-2.2 Espace des Contraintes• III-2.3 Critères de Plasticité et de Rupture• III-2.4 Ellipsoïde des Contraintes• III-2.5 Cercle de Mohr Principal• III-2.6 Cercles de Mohr • III-2.7 Cisaillement Simple

snn

III-2.1 Représentation des Contraintes : Contraintes Octaédriques

sm Contrainte Normale Moyenne (Traction ou Compression)

Sphérique S Tr(S)= Tr(s)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

sm


D1 0 0

0 D2 0

0 0 D3

+

sd Contrainte Déviatorique Moyenne (Cisaillement)

x1

x2

x3

sm

T

r

n

snn = sm

snr = sd

snrsd DSM )(s

)(Tr3

1Sm s )DTr(

3

1 22 ds

1

1

1

3

1

n

mnn DSnDnnSnTn ss )(Tr3

1)(Tr

3

1

2222222 )()(2)()( mmnnnr nDnnDSnnSnnDSnTT ssss

2222 )(Tr3

1)(Tr2)(Tr

3

1dmm DDS sss

sI

sII

sIII

O s1 0 0

0 s2 0

0 0 s3

III-2.2 Représentation des Contraintes : Espace des Contraintes

s2

s1

s3

M

=

+

HSphérique

Déviateur

sdsm

0 MHHO

)(Ms

1

1

1

3

1D

3

2

1

sss

MO

DSM )(s m

m

m

MH

ssssss

3

2

1

)(Tr 22

DMH

3

m

m

m

HO

sss

)(Tr 22

SHO

3

sP

Limite Plastique enCisaillement sP sur P

P

Limite de Rupture sR

en Traction sur sR

D

sII

sI

sIII

O

III-2.3 Représentation des Contraintes : Critères de Plasticité et de Rupture

s1

sd

sd

R

Point R s1 (R) = sR et sd (R) < sP

sd (P) = sP et s1 (P) < sR

Ms(M)

P

Point P

3

3

3

III-2.4 Représentation des Contraintes : Ellipsoïde des Contraintes de LAME

s1T1

s2

T2

T3

s3

s1 0 0

0 s2 0

0 0 s3

n1

n2

n3

T1

T2 =T3

n T

n

n

Tn

Lorsque n appartient à un plan principal, T appartient au même plan

12

3

3

2

2

2

2

1

1

sssTTT

r

t

Facette de normale x2

x3

x1

x2

r

n

t

r

n

t

III-2.5 Représentation des Contraintes : Cercle de Mohr Principal

s1 0 0

0 s2 0

0 0 s3

Facette de normale x1

x1

x2

x3

T snn= s1

snr= 0

T snn= s2

snr= 0

s1

x1

s2

x2

C

R

T

snr

snn

snn

snr

2q

n

snn = T n = n s n = OC+Rcos2qsnr = T r = n s r = -Rsin2q

R=

OC=

Facette de normale nx3

x1

x2

n

qT

Facettes contenant la direction principale x3

de normale au plan x1 x2

O

snr

snn

)(Ms

221 ss

221 ss

Facette dont la normale n appartient à un plan principal (x1 x2)

III-2.6 Représentation des Contraintes : Cercles de Mohr

tr

n

s1 0 0

0 s2 0

0 0 s3

x1

x2

x3

snn

snr

s3 s1s2

Tsnr

snn

Facette dont la normale n n’appartient pas à un plan principalx2

x3

n

t

rx1

snn

snr

s1

s3 s2snr snn

T

)(Ms

III-2.7 Représentation des Contraintes : Cisaillement Simple

X1X2

x1

x2

0 -t 0

-t 0 0

0 0 0

Le cisaillement est maximal sur les facettes orientées à 45° des facettes principales

-s 0 0

0 s 0

0 0 0

X1

-sX2

s

snr

snn

x1-t

t x2

s

s

IV Loi Fondamentale de la Dynamique

• IV-1 Conditions aux Limites• IV-2 Bilan des Forces : Équilibre Dynamique• IV-2 Équation de l’Équilibre Dynamique• IV-3 Exemple : Prisme pesant• IV-4 Application : Optimisation en Compression

IV-1 Loi Fondamentale de la Dynamique : Conditions aux Limites

Au Point M de la Surface : n Normale Extérieure f Force Extérieure Appliquée (/ unité de surface)

Mf

nx3

x1

x2

x1

f1

f2 f3

s11 s12 s13

s21 s22 s23

s31 s32 s33

00

1= =>

s11 s12 f1

s21 s22 f2

f1 f2 f3

La normale n à une surface libre de charge est direction principale à valeur propre = 0

0f = 0 0

=>

s11 s12 0

s21 s22 0

0 0 0

f

n

s11

s12

x2s22

s21

)()( MfnM

s

IV-2 Loi Fondamentale de la Dynamique : Bilan des Forces : Équilibre Dynamique

n Normale Extérieure f Force Extérieure Appliquée (/ unité de surface)

Au Point M en Volume : M g Accélération (force / unité de masse)g X Force Extérieure Appliquée (/ unité de masse)

X

Au Point P en Surface :

P

fn

V

S

mG=F => = +

= =

Conditions aux Limites Théorème de la Divergence

DivDs + rX = rg

)()( PfnP

s

dVV

gr

dVXV

r S dSf

S dSn

sS dSf

dVV

s DDiv

IV-3 Loi Fondamentale de la Dynamique : Équilibre Dynamique : DivDs

dx3dx1

x2

x1

x3

dx2

mG=F projection des Forces sur l’axe x1

s11 s11+ dx1s11

x1

+(s11+ dx1s11

x1

- s11) dx2 dx3

s13

s13+ dx3s13

x3 +( - s13) dx1 dx2s13+ dx3

s13

x3s12

s12+ dx2s12

x2

+( - s12) dx1 dx3s12+ dx2

s12

x2

rg1 dx1 dx2 dx3

g1

rX1 dx1 dx2 dx3=

X1

s11

x1

s12

x2

s13

x3+ + =+ rX1 rg1

DivDs =

s11

x1

s12

x2

s13

x3+ +

s21

x1

s22

x2

s23

x3+ +

s31

x1

s32

x2

s33

x3+ +

DivDs + rX = rgsij

xj+ =rXi rgi

IV-4 Loi Fondamentale de la Dynamique : Exemple : Prisme pesant

: s(x,y)n=0

ax+by+r kx+ly +t

kx+ly +t cx+dy +s

s(x,y ) =

x

y

g

ahn

C.L. en x=0 by +r ly+t

ly +t dy +s

-1 0

= 0 0

an

C.L. en y=h-xcotga cosa

sina = 0 0

ax kx

kx cx+dy +s=>

Équilibre Statique : DivDs + rX = 0 a

k+d

0 rg= a = 0

k+d = rg =>

0 kx

kx cx+dy +s=> 0 0

0 -rg(h-xcotga-y)

=>

0 kx

kx cx+dy +s

k = 0, d = rg s = - rgh c = rgcotga

=>

C.L. en y=0

F

: s(0,y)n=0 yb = l = 0r = t = 0=>

P

L =

1

= rg

0

htga

(h-xcotga) dx0

P

0 = rg h htga 1

2

0 =: F =

0

htga

s(x,0)ndx

n

P

P = rghl

l

h

1

IV-5 Loi Fondamentale de la Dynamique : Application : Optimisation en Compression

Profil évolutif

sS

sS

P0s(h)

s(h) =P0

l

s(0)

s(0) =P0+P

l

< sS

s(0) = s(h)+ rgh

Contrainte maximale admissible sS

= sS

sS l(z) + rg l(z)dz = sS l(z+dz)

P0

P

l

h

sS

sS

s(h) = s(0) = sS

l(z) = l ergsS

z-l(z+dz)

dzl(z)

rg

Équilibre de la tranche dz

• V-1.1 Robert Hooke• V-1.2 Translation, Rotation et Déformation• V-1.3 Conservation de la Masse• V-1.4 Champ de déplacement• V-1.5 Exemple : le Glissement Simple• V-1.6 Les Grandes Déformations• V-1.7 Petites Déformations et Superposition• V-1.8 Séparer Rotation et Déformation• V-1.9 Continuité et Compatibilité des Déformations

V Déformations

• V-1 Tenseur des Déformations• V-2 Représentation des Déformations

Robert Hooke

l

Pour supporter un chargement un milieu matériel doit se déformer

A l’échelle macroscopique

l+Dl

s s

A l’échelle microscopique

Extension Dl

lGlissement

l+Dl

s s

l

g t

t

g

t

t

g

Translation, Rotation et Déformation

Seule la Déformation modifie les Longueurs et les Angles

Rigide Déformable

l

Translation

l

Rotation

l

Déformation

l+Dl

s

j

t

Conservation de la Massele tenseur gradient

dvdV

x = F (X)

xX

Xx

dX

dx

dx = GradF(X) dX = g dX

g =

x1

X1

x1

X2

x1

X3

x2

X1

x2

X2

x2

X3x3

X1

x3

X2

x3

X3

g =dvdV

m m m = rdV = rdvrr

g r = r

Champ de Déplacement

dX

dx

Xx

dx = g dXx = F (X)

X x

u(X)

u(X+dX)

u u = x - X

du

= ( - ) = (X)g Gdu dX dX

=

u1

X1

u1

X2

u1

X3

u2

X1

u2

X2

u2

X3u3

X1

u3

X2

u3

X3

G

Tenseur Gradient de Déplacement

u(X+dX) = u(X) + (X)G dX

Translation + Rotation Déformation

Exemple : Glissement Simple

x

y

g =1 g 0

0 1 0

0 0 1

= G+ +=1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 g 0

0 0 0

0 0 0

X

X =X00

x = g X

u = G X

x

x =X00 =

000 u

Y

Y =0Y0

y

y =gYY0

=gY00

u

u

u

Les Grandes Déformations

x

y

1 2 30

1

2

3 =½ 1

0 0 2G

1=

0 0

½ 1

G

G 1

G 2

G = +½ 1

½ 1

=

Les Grandes Déformations ne sont pas Additives

=( ) G+ x = g X X xX

1=

0 0

½ 1

G =½ 1

0 0 2G

Petites Déformations et Superposition

Principe de Superposition : les Petites Déformations sont Additives

=( ) +G’’ x = g’’x’ x’ =( ) + G’ G’’+ ( )X = X X+(G’’ G’+ +G’’G’)

+=( ) G’ x’ = g’X X

Xx’ x

+=( )G’’ x = g’’x’ x’

u’ = G’X

u’u’’

u’’ = G’’x’

=( ) G+ x = g X X

u

u = G X

G G’’ + G’ + G’’ G’==>

G G’’ + G’Gij < 1% =>

Séparer Rotation et Déformation

x1

x2

X

x

+=( ) G x = g X X x x = X ( + )( + )GtG X

= X( + )tG G X X X GtG X X++

g11L

g12L

L

u

u = G X

l

l2 = L2(1+g11)2+(g12L)2

l L(1+g11)

l =L {(1+g11)2+g122}

l

;e G

)(2

1)(

2

1GGGGG

tt

e

e

e

e

:pures nsdéformatio des au tenseurqu' onsinteresser nous nous cours, ce de suite la Dans

)(2

1)(

2

1

)(2

1)(

2

1

.)()()(

):():(

GGetGG

G

GGGGG

dXGXUUdXUdXXU

tt

rotationiqueantisymetrtenseur

t

purendéformatiosymetriquetenseur

t

ndéformatioetrotationntranslatio

Etude des déformationsComme la notion de contrainte, la notion de déformation ne peut être décrite par la donnée d’un simple vecteur. Pour la définir, il faut se donner un point et une direction. C’est une notion tensorielle. L’état de déformation en un point, tout comme l’état de contrainte, se définit alors par un tenseur. Ce tenseur estsymétrique d’ordre 2 et qui sera représentée par une matrice symétrique d’ordre 3.

dx = g dX

dx' = g dX’

gg

gggg

g

g

.:

'..').()').(('.

''

t

tt

ttt

Cavec

dXCdXdXdXdXdXdxdx

dXdx

dXdx

dX

'dX

dx

'dxU

Etude des déformations

')...('.'.

').(.'.'..'.'.

dXGGGGdXdXdXdxdx

dXCdXdXdXdXCdXdXdXdxdx

ttttt

ttttt


𝐸 = 12 (𝐺Ӗ+ 𝐺Ӗ𝑡 + 𝐺Ӗ. 𝐺Ӗ)𝑡 : 𝑇𝑒𝑛𝑠𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝐺𝑟𝑒𝑒𝑛 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒

:%1

'...2')...('.'.

ij

ttt

ttt

Gsi

dXEdXdXGGGGdXdXdXdxdx


NCNdXdx

NCNdXdXCdXdxdxdx

t

ttt

...

..)².(...)²(

choisie.direction la dans initialsegment du longueur la de relative variationlaest C'

;);M(

:Ndirection la dans,Mpoint aulinéaire)dilatation(outallongemenl'définitOn

0

0

dX

dXdxN

e

:Ndirection la dans Men Dilatation

)(2

1

:)(2

1

0

i

iii

i

j

j

iij

iiiijiijij

X

uetjipour

X

u

X

u

encoreouGetjipourGG

ee

ee

dX

dx

Nn

0M

),(2

),;(

:Met N lairesperpendicunt initialeme directions les dans

Mpoint au ) angulaire distorsionou ( glissement ledéfinit On

:angulaire distorsionou Glissement

1.211...21),(

1.211...21),(

1.211...21),(

)(:

1...211..1);(

:'

0

0

33333330

22222220

11111110

0

mnMNM

EEEEM

EEEEM

EEEEM

nsdéformatiopetitesexemplepar

NENNCNdX

dx

dX

dXdxNM

oùd

t

t

t

tt

pg

eee

eee

eee

e

122211

12

2211

12

21

2121 2

1

2

)1)(1(

2

))(1))((1(

...2arcsin),(

:nsdéformatiopetiteslespouretexemplepar

))(1))((1(

...2arcsin

....

..arcsin),(

:..'

'..:

eee

eee

eee

g

eeg

EE

EEEEE

MN

MEN

NCMNCN

MCNMN

doncNCMdX

dxetNCN

dX

dxor

t

t

tt

t

tt

'.

..'..

'.

'..

'.

'...

'.

'.sin)',cos(

dxdx

MCNdXdX

dxdx

dXCdX

dxdx

dXdX

dxdx

dxdxdxdx

ttttt

ggg

'dx

122211

12

2211

12

21

2121 2

1

2

)1)(1(

2

))(1))((1(

...2arcsin),( e

eee

eee

eeg

EE

EEEEE

t

121133

31

1133

31

13

1313 2

1

2

)1)(1(

2

))(1))((1(

...2arcsin),( e

eee

eee

eeg

EE

EEEEE

t

233322

23

3322

23

32

3232 2

1

2

)1)(1(

2

))(1))((1(

...2arcsin),( e

eee

eee

eeg

EE

EEEEE

t

333231

232221

131211

30230130

32020120

31021010

),(),,(2

1),,(

2

1

),,(2

1),(),,(

2

1

),,(2

1),,(

2

1),(

eeeeeeeee

egg

geg

gge

e

EMEEMEEM

EEMEMEEM

EEMEEMEM

Lois de Comportement en élasticitéLois de Hooke et Lois de Lamé

Le solide est supposé homogène, isotrope, ne subissant pas de variation de température et sans contraintes initiales (ou résiduelles). Les déplacements et leurs variations dans l’espace (les déformations) sont supposés très faibles devant l’unité. Les déformations sont donc additives.

2 expériences fondamentales:1ère expérience:

ll+

Dl

2ème expérience:


Soit un solide subissant les les 3 états de contraintes suivants dans la base principale des contraintes:

(1) (2) (3)


Superposons les 3 états de contraintes (1), (2) et (3) et ajoutons les déformations respectivement dans la direction (1), la direction (2) et la direction (3):

ou encore

12

31

23

33

22

11

12

31

23

33

22

11

.

00000

00000

00000

0001

0001

0001

2

2

2

:

ssssss

eee

eee

G

G

GEEE

EEE

EEE

isuivantequematricielltionreprésentalasouventadopteOn

Les deux dernières relations se résument dans la suivante ( Lois de Hooke ) :

Lamé de 2ème :et Lamé de 1er :

:encoreou Poisson de :et Young de module :E

:matériauun d' élastiqueétat l't définissenseulement constantesdeux et constantesDeux

.2.2

:

)21)(1(

.

)1(2:

.)21)(1(

.

1

:

10:.)21)(1(

.

1

:1

)21)(1(

.

111

1212

111111

ntcoeifficientcoeifficie

ntcoeifficie

TrouTr

LamédeloislessontCe

Eet

Enoteon

TrEE

encoreou

etjipouravecTrEE

ntgénéralemeplusetE

TrEE

TrE

ijijij

iiijijijij

eesees

e

e

s

e

e

s

e

s

e

e

s

e

s

Continuité et Compatibilité des Déformations

e

W

=>

soit RotD = 0G

= ( ) dX du = G dX +e W

Continuité => du intégrable

Vecteur tourbillon dX = dXW=RotD e -RotD W =tGrad RotG e = Grad =>

d = Grad dX intégrable si RotD(Grad ) = 0

Inc( )= RotD(RotG ) = RotG(RotD ) = 0

[Inc( )]rl= rmilkj = 0 e Avec DivDInc( )=0e

e ee

km

ij

xx

e2

V-2 Tenseur des Déformations

• V-2.1 Repère local : Extension, Distorsion• V-2.2 Tenseur des Déformations : Définition• V-2.3 Déformations Principales et Axes Propres• V-2.4 Invariants du Tenseur des Déformations• V-2.5 Sphérique et Déviateur des Déformations• V-2.6 Changement de Volume et de Forme

V-2.1 Tenseur des Déformations : Repère local

ell

erl

l, r, u coplanaires

r

t

ell = u l Extension > 0 Contraction < 0

erl = u r Distorsion

Trièdre local direct l, r, t

etl = u t = 0

M

l

Au point M segment unitaire direction l

u(M,l)(M,l ) =u e l(M)

V-2.2 Tenseur des Déformations : Définition (M,l ) =u e l(M)

Le Tenseur des Déformations e est Symétrique

u1

x2eij =eji

x1

u(l)

l2

l1

l3

l

x1

x3

x2M

u2

u3

u1l1

l1u2l2

l2

u3l3

l3

1

1

1

332211)( lulululu

3

2

1

333231

232221

131211

321

)(

l

l

l

lu

luuu

eeeeeeeee

ML

U

V-2.3 Tenseur des Déformations : Déformations Principales et Axes Propres

EI 0 0

0 EII 0

0 0 EIII

X3

X2

X1

x3

x2

x1

u e11 e12 e13

e21 e22 e23

e31 e32 e33

A

Eil = aij ejk akl

lM )(Me

)(ME

lu

e

LU

E

uAU

lA

e LAA t

e L

E

uAU

LAl t

AMAM t)()( eE

V-2.4 Tenseur des Déformations : Les Invariants Tensoriels

EI 0 0

0 EII 0

0 0 EIII

e11 e12 e13

e21 e22 e23

e31 e32 e33

I1= EI + EII + EIII = ekk =3 em =Tr(e)

I2= EI EII+ EII EIII + EIII EI = (e11 e22 - e122) + (e11 e33 - e13

2) + (e22 e33 – e232)

I3= EI EII EIII = Det(e)

Caley-Hamilton

6 Composantes = 3 (Invariants ou Valeurs Propres) + 3 Angles d’Euler

)(ME )(Me

0322

13 III 032

21

3 eee III

V-2.5 Tenseur des Déformations : Sphérique et Déviateur em 0 0

0 em 0

0 0 em

Sphérique S Tr(S)= Tr(e)

6 Composantes = em + ed + µ +3 Angles d’Euler

e11- em e12 e13

e21 e22 - em e23

e31 e32 e33 - em

+


em Déformation Normale Moyenne (Extension ou Contraction)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

em + ed

ed Déformation Déviatorique Moyenne (Distorsion)

p1(µ) 0 0

0 p2(µ) 0

0 0 p3(µ)

p Tenseur des Directions Tr(p)=0 et Tr(p2)=3

peee dmDSM )(

)(Tr3

1 ee m

DSM )(e)DTr(

3

1 22 de

e1dx1

e2dx2

e3dx3

dx1

dx3

dx2

dV= dx1 dx2 dx3

V-2.6 Tenseur des Déformations : Changement de Volume et de Forme

x1

x2

x3

e1 0 0

0 e2 0

0 0 e3

e dv=(1+e1) dx1 (1+e2)dx2 (1+e3)dx3

dv

dVdv

Changement de Volume

à Forme Constante

Changement de Forme

à Volume Constant

e

Sphérique S Déviateur D

Variation Relative de Volumedv- dV

dV = e1 + e2 + e3 = Tr(e) = Div u

V-3 Représentation des Déformations

• V-3.1 Déformations Octaédriques• V-3.2 Ellipsoïde des Déformations• V-3.3 Cercle de Mohr Principal• V-3.4 Cercle de Mohr et Déformation• V-3.5 Cercles de Mohr • V-3.6 Glissement Pur et Glissement Simple

ell

V-3.1 Représentation des Déformations : Déformations Octaédriques

em Déformation Normale Moyenne (Extension - Contraction)

Sphérique S Tr(S)= Tr(e)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

em


D1 0 0

0 D2 0

0 0 D3

+

ed Déformation Déviatorique Moyenne (Distorsion)

x1

x2

x3

em

u

r

l

ell = em

elr = ed

elred DSM )(e

)(Tr3

1Sm e )DTr(

3

1 22 de

1

1

1

3

1

l

mll DSlDllSlul ee )(Tr3

1)(Tr

3

1

2222222 )()(2)()( mmlllr lDllDSllSllDSluu eeee

2222 )(Tr3

1)(Tr2)(Tr

3

1dmm DDS ees

V-3.2 Représentation des Déformations : Ellipsoïde des Déformations

e1u1

e2

u2

u3

e3

e1 0 0

0 e2 0

0 0 e3

l1

l2

l3

u1

u2 =u3

l u

l

l

un

Lorsque l appartient à un plan principal, u appartient au même plan

12

3

3

2

2

2

2

1

1

eeeuuu

r

t

Direction x2

x3

x1

x2

r

l

t

r

l

t

V-3.3 Représentation des Déformations : Cercle de Mohr Principal

e1 0 0

0 e2 0

0 0 e3

Direction x1

x1

x2

x3

ell= e1

elr= 0

u ell= e2

elr= 0

e1

x1

e2

x2

C

R

ub

elr

ell

ell

elr

2q

l

ell = u l = l e l = OC+Rcos2qelr = u r = l e r = -Rsin2q

R=

OC=

Direction lx3

x1

x2

l

qu

b

Directions à la direction principale x3

au plan x1 x2

O

elr

ell

)(Me

221 ee

221 ee

V-3.4 Représentation des Déformations : Cercle de Mohr et Déformation

X uq

2q

e ll

e lr e 1

e 2

X x

C

u

u

x

u

xX

ell

elr

e 1e 2

ell

elr

e1

e2

e1

ell

elr

e2

X

x

x = X + u

x1

x2

e1 0 0

0 e2 0

0 0 e3

e =

Plan principal x1 x2

2q

q

Direction l appartenant à un plan principal (x1 x2)

V-3.5 Représentation des Déformations : Cercles de Mohr

tr

l

e1 0 0

0 e2 0

0 0 e3

x1

x2

x3

ell

elr

e3 e1e2

uelr

ell

Direction l n’appartenant pas à un plan principalx2

x3

l

t

rx1

ell

elr

e1

e3 e2elr ell

u

)(Me

V-3.6 Représentation des Déformations : Glissement Pur et Glissement Simple

x1

x2

e

e

La distorsion est maximale sur les directions orientées à 45° des directions principales

Le glissement est le double de la distorsion g = 2e

e 0 0

0 -e 0

0 0 0

elr

elleX1

X2

X2

-eX1

x2-e

e x1

e

X1

X2

-e

ex1

x2x2

0 e 0

e 0 0

0 0 0

x1

0 e 0

-e 0 0

0 0 0

X1

X2

g 0 2e 0

0 0 0

0 0 0

La rotation = -e

ee

W G

VI Relation Contraintes - Déformation

• VI-1 Contraintes et Déformations• VI-2 Lois de Comportement• VI-3 s et e Nominales et Naturelles• VI-4 Le Travail de Déformation

VI-1 Contraintes et DéformationsDescription de l’État Mécanique Local

Description Indépendante du Comportement du Matériau

Symétriesij= sji eij= eji

Conservation de la Masse : Continuité

eeInc( )= RotD(RotG ) = 0

[Inc( )]rl= rmilkj = 0 eConditions aux limites

Loi Fondamentale de la Dynamique

sij

xj+ =rXi rgi

(M) fs n(M) =

DivDs + rX = rg

Contraintes Déformations

Définition (M,l ) =u e l(M)(M, n ) =T s n(M)

TM

n

Ml

u

dV

V = Tr(e) = Div u

2e = Grad + tGrad uu

km

ij

2

xx e

VI-2 Lois de ComportementÉquation d’État du Matériau

Description du Comportement du Matériau


e

s

Viscosité

Déformations Contraintesseddt

e , , ddts, }= 0F{

Solution du Problème

=>

VI-3 s et e Nominales et Naturelles

La Loi de Comportement du Matériau relie e et s Vraies


DlF

l0S0 Nominales

Vraies

e

ssn

en

l0S0

Nominales

sn=FS0

en=Dll0

DlF

dl

l S

Naturelles ou Vraies

s =FS

de =dll

e =l0

l0+Dldll

= Ln(1+ )Dl

l0

= Ln(1+ en)

s sn

e en

s > sn

e en

VI-4 Le Travail de Déformation

• VI-4.1 Travail des Forces Externes• VI-4.2 Champs admissibles et Travaux virtuels• VI-4.3 Relation avec la Thermodynamique• VI-4.4 Réversibilités Thermique et Mécanique

VI-4.1 Le Travail de Déformation : Travail des Forces Externes

n Normale Extérieure f Force Extérieure Appliquée (/ unité de surface)

Forces de Volume : -rg Force d’Inertie

g X Force Extérieure Appliquée (/ unité de masse)

X

Forces de Surface : f

n

V

S

= + +

u

+ => Champ de déplacement u

= +

= + +

W = Tr(se)

=

Équilibre Dynamique Anti Symétrie

)()( MfnM

s

dVuV

gr dVuX

V

r

SdSuf

dVWV

WV

dV))(( esTr V

dVu

sDDiv

dVWV dVuX

V

grrs )( DDiv W

VdV)( sTr V dV)( esTr

S

dSuf

V dVu)(

sDiv

VI-4.2 Le Travail de Déformation : Champs admissibles et Travaux virtuels

Dynamiquement admissibles*+rs* X* g*DivD =rn = f*s*

Loi de Comportement

Inc( )0e*=F{ }s*e*

g*X* f*s* e* Virtuels

f

Solution réelle

X g

Cinématiquement admissiblee’u’ Continu dérivable

Inc( ) =0e’

u’ s’e’ Virtuels

=F{ }s’ e’Loi de Comportement

n fs’et DivDs’ + rX rg

W = Tr( )s* e’

uee’=ss*= W = Tr( )s e

Récupérable (Élasticité)

Dissipé (Viscosité Rupture)

Bloqué (Plasticité){

VI-4.3 Le Travail de Déformation : Relation avec la Thermodynamique

1er principe

= + -

E = Tr(se)+Q-Divq

2ème principe - 0+

et

E densité volumique d’énergie interneF densité volumique d’énergie libreS densité volumique d’entropieW densité volumique de travail reçuQ densité volumique de chaleur reçue

V

Sq flux de chaleur sortant

n

TF=E-TS

et et

1 = Tr(se) – (F+ST)

2 = –( GradT)qT

intrinsèque

thermiqueIncréments de dissipation volumique = 1 + 2 0

V EdV V WdV V QdV S

dSnq

V SdV V dVT

Q

SdSn

T

q

)( es TrW VS

dVqdSnq

Div

VS

dVT

qdSn

T

q

Div2

1

T

Tqq

TT

q GradDivDiv

)()(

)()(

TSF

ESTqQST

eses

Tr

TrDiv

VI-4.4 Le Travail de Déformation : Réversibilités Thermique et Mécanique

1 = Tr(se) – (F+ST)

2 = –( GradT)qT

Mécanique

Thermique

Dissipation volumique = 1 + 2

Réversibilité thermodynamique = 0

Réversibilité Thermique 2 = 0

GradT =0qT

En particulier

T = Cte Isotherme

q = 0 Adiabatique

Réversibilité Mécanique 1 = 0

dF = Tr(sde) – SdT

En Isotherme :

Élasticité parfaite

dF = Tr(sde)

Université Internationale de Casablanca École d’Ingénierie · 2020. 10. 29. · Introduction...

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