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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDECANATO DE ESTUDIOS DE POST-GRADO

DOCTORADO INTERDISCIPLINARIO EN CIENCIAS

NUEVOS OPERADORES GENÉTICOS PARA EL DISEÑO DECONTROLADORES CON MULTIPLES OBJETIVOS Y RESTRICCIONES

NO-CONVEXAS

Tesis Doctoral presentada ante la Universidad Simón Bolívar por

Gustavo Adolfo Sánchez Hurtado

como requisito parcial para optar al grado académico de

DOCTOR EN CIENCIAS

con la asesoría de la profesora

Minaya Villasana

Mayo, 2011

v

AGRADECIMIENTOS

Quisiera manifestar mi agradecimiento a las personas que han colaborado para realizareste trabajo de investigación. En primer lugar a la profesora Minaya Villasana (USB)sin cuya valiosa asesoría hubiese sido imposible llevar a término el proyecto. En segundolugar a los profesores Miguel Strefezza y Ubaldo García Palomares (USB) por sus múltiplesrevisiones y comentarios. A los profesores Oliver Schüetze y Carlos Coello Coello por sucordial recibimiento y ayuda durante el tiempo en que estuvimos trabajando en conjuntoen las instalaciones del CINVESTAV, México. A los profesores Carlos González y OrlandoReyes (USB) por el apoyo recibido, tanto en el ámbito personal y profesional. Por último,a mi esposa, mis hijos, y a toda mi familia por el tiempo, la paciencia y la comprensiónque me han brindado.

vi

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDECANATO DE ESTUDIOS DE POST-GRADO

DOCTORADO INTERDISCIPLINARIO EN CIENCIAS

NUEVOS OPERADORES GENÉTICOS PARA EL DISEÑO DECONTROLADORES CON MULTIPLES OBJETIVOS Y RESTRICCIONES

NO-CONVEXAS

Por: Gustavo Adolfo Sánchez HurtadoCarnet: 99-80737

Tutora: Prof. Minaya VillasanaFecha: Mayo, 2011

RESUMEN

En determinadas circunstancias, el diseño de un controlador automático debe ser for-mulado como un problema de optimización con múltiples objetivos y restricciones no-convexas. Desafortunadamente, no siempre estos problemas pueden resolverse mediantealgoritmos deterministas que garanticen la convergencia hacia una solución óptima. Enestos casos, los algoritmos aleatorios (y en particular los genéticos) pueden representaruna alternativa cuando se desea obtener mejores resultados. En efecto, la mayoría de losreportes publicados sobre el tema confirman de manera experimental la eficacia de estosalgoritmos para resolver problemas de diseño de controladores automáticos. No obstante,aún persisten en esta área de investigación numerosos aspectos por mejorar e importantesproblemas que considerar. En este contexto, la principal contribución del presente tra-bajo consiste en la propuesta y el análisis de nuevos operadores genéticos, especialmenteconcebidos para intentar obtener mejores aproximaciones de los Conjuntos de Pareto, encomparación con otros métodos competitivos citados frecuentemente en la literatura.

Palabras Claves: operadores de variación, diseño de controladores, optimización multi-objetivo, algoritmos genéticos, restricciones no convexas.

ÍNDICE GENERAL

APROBACIÓN DEL JURADO ii

AGRADECIMIENTOS v

RESUMEN vi

ÍNDICE DE TABLAS xi

ÍNDICE DE FIGURAS xiv

ÍNDICE DE ALGORITMOS xv

ÍNDICE DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS xvi

1 INTRODUCCIÓN 1

1.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Planteamiento del problema de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Consideración de las restricciones de diseño. . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Representación del espacio de búsqueda . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Integración con operadores de búsqueda local . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 SISTEMAS LINEALES REALIMENTADOS 15

2.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Índices de desempeño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Índices de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Índices de respuesta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3 Rechazo de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.4 Estabilidad robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Controladores PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Método de Ziegler y Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2 Método de Hohenbichler y Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Reubicación de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

viii2.5 Diseño de controladores mediante LMIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.1 Problema H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.2 Problema H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Resumen del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 OPTIMIZACIÓN MULTI-OBJETIVO 36

3.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Estrategias para resolver un problema multi-objetivo . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 Formulación de preferencias “a priori” . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.2 Formulación de preferencias de manera interactiva . . . . . . . . . . 41

3.2.3 Formulación de preferencias “a posteriori” . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Algoritmos genéticos multi-objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Operadores de variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2 Esquemas de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.3 Métodos de archivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.4 Tratamiento de las restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.5 Multi-Objective Genetic Algorithm (MOGA) . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.6 Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA-II) . . . . . . . 51

3.3.7 Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA2) . . . . . . . . . . 54

3.4 Evaluación de desempeño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.1 Índices de desempeño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.2 Pruebas estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


4 DISEÑO DE CONTROLADORES PID MULTI-OBJETIVO 63

4.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Método de diseño basado en el cálculo exacto de la región de estabilidad . 64

4.3 Método de diseño basado en la aproximación la región de estabilidad . . . 75


5 BÚSQUEDA MULTI-OBJETIVO LOCAL 82

5.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2 Ascenso de Colina con Paso Lateral (ACPL) . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.1 Caso sin información de gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.2 Caso con información de gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.3 Tratamiento de restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3 Evaluación del operador ACPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

ix5.3.1 Problema convexo sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3.2 Problema convexo con restricciones de intervalo . . . . . . . . . . . 95

5.3.3 Problema no convexo con restricciones de intervalo . . . . . . . . . 99

5.4 Sensibilidad del ACPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5 Integración SPEA2-ACPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5.1 Problema convexo sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.5.2 Problema no convexo con restricciones de intervalo . . . . . . . . . 108


6 PROBLEMA H2/H∞ 112

6.1 Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.3 Solución mediante LMIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.4 Método MOPPEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.5 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


7 CONCLUSIONES 129

APÉNDICE 133

REFERENCIAS 137

ÍNDICE DE TABLAS

1.1 Promedio y desviación standard del valor mínimo alcanzado por cada algo-

ritmo, calculados sobre un total de 100 ejecuciones. Problemas P1 y P2 . . 11

2.1 Frecuencias singulares y ecuaciones de las rectas que delimitan la región de

estabilidad para KP = −4.4, modelo (2.26) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Resumen de ventajas y desventajas de los algoritmos MOGA, NSGA-II y

SPEA2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Resumen de indicadores de desempeño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Ejemplo de valores obtenidos para el indicador I correspondientes a 7 eje-

cuciones de los algoritmos A1 y A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1 Proporción de individuos factibles para distintos valores de L, L . . . . . . 66

4.2 Configuración utilizada para los algoritmos A1 y A2. Problema de diseño

PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 Resultados obtenidos para el indicador de cobertura. Algoritmos A1 y A2 . 73

4.4 Resultados de los indicadores ESS y DMAX. Algoritmos A1 y A2 . . . . . 73

4.5 P-valores correspondientes a las pruebas de Wilcoxon para determinar las

diferencias que son estadísticamente significativas. Algoritmos A1, A2 . . . 73

4.6 Configuración utilizada por SPEA2 durante la primera etapa del método

de aproximación de la región factible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7 Resultados del indicador de cobertura. Algoritmos A1, A2 y A3 . . . . . . 80

4.8 Resultados de los indicadores N, ESS y DMAX. Algoritmos A1, A2 y A3 . 80

4.9 P-valores correspondientes a las pruebas de Wilcoxon para determinar las

diferencias que son estadísticamente significativas. Algoritmos A1, A2 y A3 80

5.1 Parámetros que deben ser definidos por el usuario en los casos con y sin

información de gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Valores utilizados para los parámetros ACPL . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3 Valores utilizados para los parámetros ACPL. Problema P3 . . . . . . . . 100

5.4 Sensibilidad del operador ACPL1 ante variaciones en el vector r . . . . . . 101

5.5 Sensibilidad del operador ACPL1 ante variaciones en el vector Nnd . . . . 103

xi5.6 Configuración utilizada para resolver el problema P4 . . . . . . . . . . . . . 107

5.7 Indicadores GD/IGD obtenidos para el problema P4 . . . . . . . . . . . . 108

5.8 Configuración utilizada para las pruebas del problema P3 . . . . . . . . . . 108



6.1 Datos correspondientes a los problemas COMPleib . . . . . . . . . . . . . 122

6.2 Parámetros utilizados por SPEA2 y SPEA2-ACPL . . . . . . . . . . . . . 126

6.3 Resultados del indicador de cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.4 Resultados de los indicadores ESS y DMAX . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

ÍNDICE DE FIGURAS

1.1 Modelo a lazo cerrado en tiempo discreto. Controlador de dos grados de

libertad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Sistema a lazo cerrado con controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Sistema LTI a lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Interconexión Planta/Controlador (lazo cerrado) . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Diagrama de polos de un sistema con índices de estabilidad ns = 2, qa = 3 19

2.4 Diagrama de polos de un sistema con índices de estabilidad ns = 1, qa = 2 19

2.5 Indices de desempeño a partir de la respuesta ante un escalón unitario . . . 20

2.6 Lazo de realimentación con incertidumbre no estructurada ∆ . . . . . . . . 22

2.7 Lazo de control con PID ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.8 Respuesta del sistema con los parámetros KD,KP , KI de acuerdo con las

fórmulas de Ziegler y Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.9 Límites de la región de estabilidad para KP = −4.4 para el modelo (2.26) . 27

2.10 Respuesta al escalón del sistema a lazo cerrado para el modelo (2.26) cor-

respondiente al controlador PID caracterizado por KP = −4.4, KI = 2.2 y

KD = −10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.11 Diagrama de polos (×) y ceros (◦) a lazo abierto para el modelo (2.26) . . 30

2.12 Respuesta al escalón del sistema a lazo cerrado, para el modelo (2.26).

Controlador diseñado mediante reubicación de polos. . . . . . . . . . . . . 30

3.1 Esquema general de un algoritmo genético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Operador discreto de cruce de un punto. El punto de cruce se encuentra en

la mitad del cromosoma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Operador discreto de cruce de dos puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Ejemplo de cálculo de rango para el algoritmo MOGA . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Ejemplo de cálculo de rango para el algoritmo NSGA-II . . . . . . . . . . . 52

3.6 Ejemplo de cálculo de crowding distance para el algoritmo NSGA-II . . . . 53

3.7 Ejemplo de cálculo de S y R para el algoritmo SPEA2 . . . . . . . . . . . 55

3.8 Ejemplo de cálculo de la distancia σ para el algoritmo SPEA2 . . . . . . . 56

xiii3.9 Ejemplo de dos aproximaciones con distintos valores para los indicadores

GD, IGD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.10 Ejemplo de cálculo para el indicador DMAX . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.11 Cálculo de los rangos para la prueba Wilcoxon . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1 Espacio de controladores PID estabilizantes correspondiente al modeloG0(s)determinado mediante el método de Hohenbichler y Abel (2008) . . . . . . 66

4.2 Selección de un punto al azar en el interior de un polígono convexo . . . . 67

4.3 Lazo con controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4 Ejemplo de las aproximaciones obtenidas por A1 y A2 . . . . . . . . . . . . 71

4.5 Evolución de las aproximaciones de los frentes. Algoritmo A1. Ngen es el

número de generación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6 Evolución de las aproximaciones de los frentes. Algoritmo A2. Ngen es el

número de generación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.7 Perturbación y ruido que actúan sobre el lazo . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.8 Salida del lazo de control, afectada por perturbación y ruido . . . . . . . . 74

4.9 Ejemplo de aproximación obtenida al final de la primera etapa . . . . . . . 78

4.10 Ejemplo de las aproximaciones que se obtienen mediante A1, A2 y A3 . . . 79

5.1 Situación que se presenta cuando el punto de prueba se encuentra lejos de

un COLP. Cono de descenso amplio (región sombreada). . . . . . . . . . . 85

5.2 Situación que se presenta cuando el punto de prueba se encuentra cerca de

un COLP. Cono de descenso estrecho (región sombreada). . . . . . . . . . . 85

5.3 Verdadero conjunto de Pareto para el problema P1 . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4 Verdadero frente de Pareto para el problema P1 . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5 Aproximación del conjunto de Pareto generada por ACPL1. Problema P1 93

5.6 Aproximación del frente de Pareto generada por ACPL1. Problema P1 . . 94



5.9 Verdadero conjunto de Pareto para el problema P2 . . . . . . . . . . . . . . 96

5.10 Verdadero frente de Pareto para el problema P2 . . . . . . . . . . . . . . . 96





5.15 Ejemplo de aproximaciones del frente de Pareto generadas por ACPL1 y

ACPL2. Problema P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

xiv5.16 Aproximación obtenida mediante ACPL2 con ε1=[0.01, 0.01] . . . . . . . . 101

5.17 Aproximación obtenida mediante ACPL2 con ε2=[0.1, 0.1] . . . . . . . . . 102

5.18 Aproximación obtenida mediante ACPL2 con ε3=[1, 1] . . . . . . . . . . . 102

5.19 Aproximación obtenida mediante ACPL2 con εP = 0.01 . . . . . . . . . . . 103

5.20 Aproximación obtenida mediante ACPL2 con εP = 0.1 . . . . . . . . . . . 104

5.21 Aproximación obtenida mediante ACPL2 con εP = 1 . . . . . . . . . . . . 104

5.22 Aproximaciones obtenidas por ACPL1 para distintos valores del parámetro

Tol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.1 Modelo lineal a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2 Representación genética propuesta. Método MOPPEA . . . . . . . . . . . 118

6.3 Ejemplo de las soluciones obtenidas por A1, A2 y A3. Problema AC1 . . . 123


6.5 Ejemplo de las soluciones obtenidas por A1, A2 y A3. Problema NN10 . . 124

6.6 Ejemplo de las soluciones obtenidas por A1, A2 y A3. Problema WEC1 . . 125


ÍNDICE DE ALGORITMOS

3.1 Extracción del sub-conjunto de soluciones no-dominadas . . . . . . . . . . . 42

3.2 Multi-Objective Genetic Algorithm (MOGA) . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Asignación de rango NSGA-II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA-II) . . . . . . . . . . . 53

3.5 Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.1 Operador ACPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2 Retorno a la región factible para el operador ACPL1 . . . . . . . . . . . . . 90

6.1 Generación de una aproximación del Frente de Pareto para el problema mixto

H2/H∞ mediante LMIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2 Generación de un vector de polos aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

ÍNDICE DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS

LQR Linear Quadratic Regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

x(t) Vector de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

u(t) Vector de señales manipuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

H2 Norma 2 en el espacio de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

H∞ Norma infinita en el espacio de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . 3

LMI Linear Matrix Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

PID Proportional Integral Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

MOEA Multi-Objective Evolutionary Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

MOGA Multi-Objective Genetic Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

G(s) Matriz o función de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

SPEA2 Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

MRCD Multi-objective Robust Control Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

NSGA− II Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

λ Vector de auto-valores de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

MOPSO Multiple Objective Particle Swarm Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

MOPPEA Multi-Objective Pole Placement with Evolutionary Algorithms . . . . 13

COMPleib COnstraint Matrix-optimization Problem library . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

y(t) Vector de señales medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

w(t) Vector de señales exógenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

z(t) Vector de señales controladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Ln2 [0,+∞) Espacio lineal de señales de energía finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

R Conjunto de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

C Conjunto de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

nu Dimensión del vector de señales manipuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

nw Dimensión del vector de señales exógenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

xvii

ny Dimensión del vector de señales medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

nz Dimensión del vector de señales controladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

n Dimensión del vector de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

|X| Número de elementos del conjunto X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

ncl Grado del sistema a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

ns Número de polos estables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

qa Abscisa del polo que se encuentra más a la derecha . . . . . . . . . . . . . . . 18

ess Error en estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

tr Tiempo de subida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

ts Tiempo de asentamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Mp Porcentaje de sobre-elongación máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

R(s) Conjunto de funciones complejas racionales de coeficientes reales . . 21

KP Constante proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

KI Constante integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

KD Constante derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Tu Período de las oscilaciones críticas. Método de Ziegler-Nichols . . . . .24

Ku Ganancia de la cadena directa. Método de Ziegler-Nichols . . . . . . . . 24

POM Problema de optimización Multi-Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

X Espacio factible de variables de decisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

n Número de variables de decisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

M Número de funciones objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

x Vector de variables de decisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

F Espacio Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

z1 z2 z1 domina a z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37C(x,b) Cono de diversidad de tipo b en x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

COGP Conjunto Óptimo Global de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

COLP Conjunto Óptimo Local de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

FOGP Frente Óptimo Global de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

FOLP Frente Óptimo Local de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

∇f Gradiente de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

xviii

IWTP Interactive Weighted Tchebycheff Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

µs Número total de individuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

λs Número de hijos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

GD Distancia generacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

IGD Distancia generacional inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

DMAX Distancia máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

C Cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

ESS Espaciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

H0 Hipótesis nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

H1 Hipótesis alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

α Nivel de significancia de la prueba de Wilcoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

L,L Intervalo de variación para cada parámetro PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Ns(L,L) Número de individuos factibles muestreados en L,L . . . . . . . . . . . . . .65

K Conjunto de controladores estabilizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

Vmax Volumen máximo del espacio de búsqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

B(x0, r) Vecindario de definido alrededor de x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Nnd Vector de límites para el cálculo de direcciones de diversidad . . . . . . 88

ε Parámetros para calcular la longitud del paso lateral . . . . . . . . . . . . . .88

ab Dirección acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Niter Número de puntos muestreados en el vecindario del punto de origen 88

εP Tolerancia para decidir si un punto pertenece a P∗ . . . . . . . . . . . . . . . . .89

Tol Tolerancia para decidir si un punto es factible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

rmax Cota para delimitar un semi-plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

imax Cota para delimitar un semi-plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

H2/H∞ Número de iteraciones del algoritmo basado en LMIs . . . . . . . . . . . . 122

∆γ2 Define el incremento en la cota de la inecuación H2 . . . . . . . . . . . . . . 122

∆γinf Define el incremento en la cota de la inecuación Hinf . . . . . . . . . . . . 122

γmin Define la mínima cota de la inecuación H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122γmax Define la máxima cota de la inecuación Hinf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

El concepto de sistema es tal vez uno de los más fértiles en la historia de la ciencia y la

tecnología (Bertalanffy, 1950). Es posible definir un sistema real (compuesto por equipos,

maquinaria, objetos, etc) como una interconexión de componentes que intercambian infor-

mación, energía y materia, con la finalidad de lograr uno o varios objetivos. Un controlador

automático es un sistema que se interconecta con otro denominado planta, para intentar

que el conjunto se comporte de acuerdo a ciertas especificaciones establecidas previamente,

sin que sea necesario ningún tipo de intervención humana.

Los objetivos técnológicos que justifican la inversión económica que implica el proceso

de diseño, instalación y mantenimiento de un controlador automático pueden ser múltiples:

mejorar el funcionamiento, reducir costos, aumentar la seguridad, disminuir el consumo

de energía y/o la emisión de desechos, etc. Prácticamente todos los sistemas necesarios

para dar soporte a la vida humana moderna necesitan controladores automáticos para su

correcto funcionamiento (fábricas, máquinas, reactores, plantas de tratamiento de agua,

vehículos, turbinas, sistemas de bombeo, computadoras, equipos bio-médicos, etc). En

algunos casos resulta incluso imposible realizar las operaciones en modo manual (sin la

intervención de un controlador automático) debido a la complejidad de los procesos y la

necesidad de precisión y rapidez en la toma de decisiones.

1.1. Antecedentes

Hasta la segunda mitad del siglo XX, los métodos de análisis y diseño de contro-

ladores automáticos se basaban en la interpretación de diagramas y gráficos propuestos por

investigadores pioneros en el área tales como Bode, Evans, Nyquist y Nichols. De manera

sorprendente por su sencillez, estos métodos permitieron controlar sistemas de bajo orden,

de una sola entrada y una sola salida, obteniendo un desempeño aceptable para la época.

2A partir de 1960, la disponibilidad de equipos de computación cada vez más rápidos y

con mayor capacidad de memoria, hizo posible resolver problemas de mayor complejidad,

obteniendo al mismo tiempo mejor desempeño de los lazos de control. El diseño de un

controlador automático comienza a partir de entonces a formularse formalmente como un

problema de optimización con múltiples objetivos y restricciones. Es decir, se considera

que el proceso de diseño termina cuando se ha conseguido una solución que optimiza

un conjunto de funciones y satisface una serie de restricciones expresadas en forma de

desigualdades.

En este sentido, uno de los problemas de diseño multi-objetivo más conocidos es el

Linear Quadratic Regulator (LQR), el cual consiste en diseñar un controlador que estabilice

el sistema a lazo cerrado y que minimice al mismo tiempo dos cantidades: a) la norma

cuadrática de la desviación de los estados con respecto a su estado de reposo y b) la norma

cuadrática del esfuerzo de control (Kalman, 1960).

Considere por ejemplo un sistema lineal descrito por la ecuación de estado

•x(t) = Ax(t) + Bu(t) , x(0) = 0 (1.1)

que se supone controlable y observable. El problema LQR consiste en determinar el vector

de entrada u(t) en función del vector de estados x(t) de forma que la suma ponderada∫ ∞0 x(t)TQx(t)dt +

∫ ∞0 u(t)TRu(t)dt (1.2)

tenga el mínimo valor posible.

En esta formulación, las matrices Q y R juegan un papel importante ya que ayudan

a ponderar la influencia de cada término en el diseño final del controlador. De hecho,

considerar uno solo de estos términos a efectos de la determinación de una estrategia de

control, podría conducir a situaciones catastróficas.

Si se diseña una solución intentando minimizar la energía del vector de estados x(t), es

posible que aumente la energía de la señal de entrada u(t) de manera exagerada, lo cual

pudiera producir daños o al menos saturación de los actuadores.

Si por el contrario diseñamos el controlador intentando minimizar la energía de u(t),

entonces el tiempo de respuesta del sistema pudiera resultar demasiado lento y la acción

del controlador sería inocua. Es importante constatar que las dos cantidades que se desea

3minimizar se encuentran realmente en conflicto puesto que si se logra que una de ellas

disminuya, es probable que la otra aumente al mismo tiempo.

El ejemplo analizado en el párrafo anterior ilustra de manera sencilla la necesidad de

conseguir un compromiso entre diferentes criterios en conflicto, lo cual es un fenómeno am-

pliamente estudiado en ingeniería de control (rápidez vs precisión, desempeño vs robustez)

y en otras áreas tales como la economía (calidad vs costo, costo vs tiempo, etc).

De hecho, durante las últimas décadas se ha dedicado un enorme esfuerzo en el de-

sarrollo de métodos que permitan resolver problemas que involucran objetivos en conflicto,

en particular aquellos formulados en función de la normaH2 oH∞ de las matrices de trans-

ferencia características de un lazo (Apkarian et al, 2008; Boyd et al, 1994; Doyle et al,

1989; Scherer, 1997).

En este contexto, una de las estrategias que cuenta actualmente con mayor aceptación

consiste en reducir el problema (algunas veces al costo de obtener soluciones conservadoras)

a la determinación de la factibilidad de una inecuación matricial lineal (en inglés, LMI).

De acuerdo con el investigador Stephen Boyd (1994), la conexión entre el estudio de

las LMIs y los problemas de control fue establecida por primera vez aproximadamente

en 1892, año en que el matemático ruso Lyapunov demuestra en su tesis doctoral que el

sistema descrito por:

•x(t) = Ax(t) (1.3)

es estable, si y solo si existe una matriz S positiva definida tal que

ATS + SA < 0 (1.4)

Una de las principales ventajas de la formulación del problema de diseño en términos de

LMIs, es que existen herramientas de cómputo muy eficientes para decidir con respecto

a su factibilidad. De hecho, Boyd (1994) es catégorico al afirmar que “gracias a estas

herramientas, el problema teórico de control de sistemas lineales, tal como se planteaba

durante la etapa clásica, se encuentra definitivamente resuelto”.

No obstante, debido a diversas razones técnicas o económicas a menudo es nece-

sario adoptar una estructura pre-establecida para el controlador: Proporcional-Integral-

Derivativo (PID), compensador por adelanto/atraso, control decentralizado, etc. Tam-

bién puede ser necesario considerar índices de desempeño de muy variada naturaleza en

4diferentes canales de la planta (ver capítulo 2). Lo cual finalmente trae como consecuencia

que las funciones que intervienen en el problema de optimización sean no-convexas y que la

aproximación convexa (de tipo LMI por ejemplo) pueda resultar demasiado conservadora.

En estas circunstancias, una alternativa posible consiste en el empleo de algoritmos

aleatorios los cuales pueden ser aplicados para resolver el problema de diseño original,

sin necesidad de introducir aproximaciones conservadoras. De hecho, estos algoritmos

no exigen propiedades matemáticas tales como continuidad o convexidad, ni requieren

información sobre el gradiente de las funciones objetivo para su funcionamiento. Se basan

exclusivamente en el muestreo de un número determinado de puntos en el espacio de

búsqueda, acompañado de algún mecanismo que intenta guiar el proceso de búsqueda

hacia las regiones con mayor potencial para producir buenas soluciones.

En contrapartida, una importante desventaja de los algoritmos aleatorios es que en

general no garantizan convergencia hacia una solución óptima. De hecho, pueden producir

resultados diferentes (aunque bastante aproximados entre sí) cada vez que se ejecutan

a partir de las mismas condiciones iniciales: incertidumbre que genera serias dudas con

respecto a la confiabilidad en un entorno industrial, particularmente cuando se consideran

aplicaciones críticas y decisiones que deben tomarse en tiempo real.

A pesar de estos cuestionamientos, numerosos investigadores coinciden en que los algo-

ritmos aleatorios pueden representar una alternativa válida para intentar obtener mejores

resultados, cuando las soluciones obtenidas previamente por otros métodos no son com-

pletamente satisfactorias.

Dentro de este contexto, un algoritmo genético se define como un tipo de algoritmo

aleatorio que intenta simular el proceso de evolución biológica con el objeto de resolver

un problema de optimización. Desde hace más de una década se han utilizado para

resolver problemas en el área del control de procesos que involucran múltiples objetivos

en contradicción (Fleming, 2001). A continuación se presentan algunas referencias, con el

fin de dar una idea del trabajo desarrollado en esta área.

Uno de los primeros artículos fue presentado por Fonseca y Fleming (1994). Estos au-

tores describen una aplicación del algoritmo Multi-Objective Genetic Algorithm (MOGA)

para el diseño de un regulador lineal de segundo orden, parametrizado por su ganancia,

5sus polos y sus ceros, de la forma

C(s) = K(s + z1) (s + z2)(s + p1) (s + p2) (1.5)

La planta a lazo abierto estudiada tiene como función de transferencia

G(s) =−s + 4

s2 (s + 4)(1.6)

y consideran los siguientes objetivos de diseño:

1. Estabilidad del sistema a lazo cerrado

2. Valor medio cuadrático de la señal de control.

3. Valor medio cuadrático de la señal de salida.

4. Sensibilidad ante perturbaciones.

5. Sensibilidad ante incertidumbres en el modelo.

6. Estabilidad del controlador.

Los autores afirman que su método de diseño permite encontrar soluciones muy cer-

canas a las producidas resolviendo el problema LQR con distintos valores de las matrices

R y Q, pero considerando una estructura de control más sencilla.

Posteriormente, Fonseca (1995) publica su tesis de doctorado, en la cual presenta una

aplicación de MOGA para el control de una turbina de gas caracterizada por un sistema

de ecuaciones diferenciales no-lineales. Para este problema se propuso un controlador

parametrizado por 8 variables de decisión (ganancias) y 7 objetivos de diseño. Este autor

afirma que la presencia de múltiples discontinuidades y amplias mesetas en cada una de las

funciones objetivo, hace que los métodos que utilizan información de gradiente presenten

dificultades cuando se intentan aplicar a esta clase de problemas y justifica por ende el

enfoque genético.

Liu et al (1995) resuelven un problema de diseño con dos grados de libertad, tal como

es posible apreciar en la figura 1.1. El modelo de la planta a controlar viene dado en

tiempo discreto por

G(z) =b+(z)b−(z)

a+(z)a−(z)(1.7)

6

Figura 1.1: Modelo a lazo cerrado en tiempo discreto. Controlador de dos grados delibertad.

donde los polinomios b+(z) y a+(z) contienen los ceros y polos que el controlador puede

cancelar.

El problema consiste en diseñar las dos funciones de transferencia

C1(z) =g(z)a+(z)

(z − 1)d(z)b+(z)(1.8)

C2(z) = a0 +a1z

+a2z2 + . . . +

anzn (1.9)

donde los parametros ai , i ∈ {1, 2, . . . , n} y los coeficientes de los polinomios g(z) y d(z)

son las variables del problema de optimización.

El algoritmo genético que estos autores proponen es similar al Strength Pareto Evolu-

tionary Algorithm 2 (SPEA2) propuesto por Zitzler et al (2001). Comparan sus resultados

con respecto a los obtenidos mediante un método de optimización de tipo quasi-Newton

y en sus conclusiones afirman que logran disminuir los tiempos de subida, establecimiento

y sobre-elongación, utilizando para ello mayor energía en la señal de control.

En su tesis doctoral, Herreros (2000) presenta un estudio sobre el diseño de contro-

ladores robustos multi-objetivo por medio de algoritmos genéticos. Formula un problema

de tipo min-max que tiene como variables de decisión los coeficientes característicos de

la función de transferencia del controlador y del modelo de incertidumbre. Propone

un nuevo algoritmo llamado MRCD (Multi-Objective Robust Control Design) junto con

sus respectivos operadores. Para validar sus resultados, los compara con respecto a los

generados mediante LMIs. De acuerdo con el autor, el algoritmo genético produce mejores

aproximaciones (lo cual se ilustra gráficamente) aunque no presenta pruebas estadísticas

que sustenten esta afirmación.

7En 2002, Liu et al publican una monografía que cubre buena parte de los conceptos

básicos en el área de control multi-objetivo. Como idea novedosa proponen una codificación

genética de los individuos de la forma

p = (λ, R, L) (1.10)

donde λ es el vector de auto-valores, R es la matriz de auto-vectores derechos y L es la

matriz de auto-vectores izquierdos de la matriz de estados a lazo cerrado. Estos autores

consideran como objetivos de diseño las sensibilidades individuales de cada auto-valor.

En (Takahashi et al., 2004) se propone un algoritmo genético que asegura la generación

de un conjunto de soluciones que cumple con las condiciones necesarias para ser un Con-

junto de Pareto. Este algoritmo se aplica al problema de diseño mixto H2/H∞, con-

siguiendo, de acuerdo con los autores, mejores soluciones que las obtenidas mediante LMIs.

Sin embargo estos autores tampoco presentan pruebas estadísticas que sustenten este he-

cho.

En (Tan et al., 2005) se presenta un estudio sobre optimización multi-objetivo evo-

lutiva, con aplicaciones para problemas de ingeniería tales como control de procesos y

programación de horarios. Se presenta además una interfaz de diseño en MATLAB R©llamada MOEA-Toolbox, la cual permite la formulación y ejecución de los programas de

manera amigable (Joos, 2002).

En (Pedersen, 2005) se proponen algunas variaciones del algoritmo Non-Dominated

Sorting Genetic Algorithm (NSGA-II) para adaptarlo al diseño de controladores de bajo

orden en el dominio frecuencial. Se analiza con detalle el problema del escalamiento de las

funciones objetivo y su efecto en la evolución del proceso de búsqueda y en la distribución

final de las soluciones.

En los últimos años se han reportado aplicaciones de diversos conceptos novedosos

relacionados con dominancia y evolución. Por ejemplo, Martinez et al (2006) proponen

una estrategia de optimización multi-objetivo llamada Programación Física (PF) para

resolver problemas de control robusto. Heo et al (2006) utilizan el algoritmo Multiple

Objective Particle Swarm Optimization (MOPSO) para diseñar el controlador de una

planta generadora de energía eléctrica. En (Gambier et al., 2006) se propone un nuevo

método de diseño basado en juegos dinámicos cooperativos. En (Dellino et al., 2007)

se propone una metodología híbrida para resolver problemas de alta complejidad en un

8contexto multi-disciplinario. Finalmente, en (Wang et al., 2009) se presenta un algoritmo

que intenta optimizar la posición de los polos del sistema a lazo cerrado utilizando MOPSO.

1.2. Planteamiento del problema de investigación

A partir del análisis de las referencias presentadas en la sección anterior, es posible

constatar que se ha desarrollado un importante trabajo en el área de la aplicación de

Multi-Objective Evolutionary Algorithms (MOEAs) para resolver problemas de control

automático. En líneas generales, se ha puesto mucho énfasis en ilustrar las ventajas de esta

metodología de forma experimental, mediante casos de estudio y aplicaciones prácticas.

El gran desafío en esta área de investigación, tal como lo plantean en su trabajo Fleming

y Purshouse (2002), consiste en “convencer a los escépticos de que estos nuevos métodos

merecen plena confianza en un entorno industrial”. No obstante, todavía persisten nu-

merosos aspectos prácticamente inexplorados en esta dirección, algunos de los cuales se

introducen brevemente en los siguientes párrafos.

1.2.1 Consideración de las restricciones de diseño.

La restricción de estabilidad, por sólo nombrar un ejemplo, es fundamental para

cualquier diseño. Un sistema inestable no debe funcionar en la práctica, puesto que pueden

producirse daños o incluso destrucción de sus componentes.

El enfoque tradicional para atacar los problemas de control automático mediante algo-

ritmos genéticos consiste en definir una función para penalizar fuertemente a los individuos

inestables, de forma que en el transcurso del proceso evolutivo se logre que la población esté

compuesta por una mayoría de individuos estables. Como ejemplo, considere la función

de penalidad propuesta por Herreros (2000)

f(K) =

0 si max [Re(λ(K))] < 0

max [Re(λ(K))] en caso contrario(1.11)

donde K representa la matriz de transferencia del controlador evaluado y λ es el vector

de autovalores del sistema a lazo cerrado. Con esta función se penalizan los individuos

inestables (no factibles) con una cantidad igual a la mayor abscisa de estabilidad del

sistema a lazo cerrado. Aunque esta estrategia tiene la ventaja de ser muy fácil de im-

plementar, en la práctica puede producir fenómenos indeseados tales como convergencia

9prematura de la población. El reto consiste en explorar métodos alternativos que permi-

tan un manejo más eficiente de las restricciones tales como la generación de individuos

estables por construcción y/o la reparación mediante operadores especiales (ver capítulo

4 y 6).

1.2.2 Representación del espacio de búsqueda

Es posible representar matemáticamente un controlador lineal e invariante en el

tiempo, de una entrada y una salida, de dos formas:

• Mediante una función de transferencia

K(s) =amsm + am−1sm−1 + . . . + a1s + a0sn + bn−1sn−1 + . . . + b1s + b0 (1.12)

• Mediante un par de ecuaciones matriciales de estado

xK(t) = AKxK(t) + BKy(t)

u(t) = CKxK(t) + DKy(t)(1.13)

La ventaja de estas dos representaciones es que son generales y por lo tanto permiten

imponer cualquier estructura deseada para el controlador. Su desventaja es que, desde el

punto de vista de la búsqueda genética, no es sencillo generar y mantener individuos que

satisfagan restricciones de estabilidad. Para ilustrar este fenómeno, considere el modelo

de planta propuesto por Fonseca y Fleming (1993):

G(s) =4− s

s2 (4 + s)(1.14)

Suponga que se desea diseñar un controlador PID ideal mediante un algoritmo genético

y se decide adoptar una representación de los individuos que consiste simplemente en un

vector que contiene los parámetros KD, KP y KI característicos del controlador (ver figura

1.2).

Suponga además que en alguna etapa del proceso de búsqueda se seleccionan los

siguientes padres factibles (estabilizantes)

p1 =(KD1 KP1 KI1 ) =

(3.5 1 2

)(1.15)

p2 =(KD2 KP2 KI2 ) =

(3.5 2 6

)(1.16)

10

Figura 1.2: Sistema a lazo cerrado con controlador PID

los cuales generan los siguientes vectores de polos a lazo cerrado

λp1 =

−0.1781 + 3.5024i

−0.1781− 3.5024i

−0.0719 + 0.8033i

−0.0719− 0.8033i

(1.17)

λp2 =

−0.1972 + 3.0607i

−0.1972− 3.0607i

−0.0528 + 1.5964i

−0.0528− 1.5964i

(1.18)

Mediante el operador de cruce uniforme, estos dos individuos generan el par de hijos

h1 =(

3.5 2 2)

(1.19)

h2 =(

3.5 1 6)

(1.20)

los cuales a su vez generan los siguientes vectores de polos a lazo cerrado

λh1 =

0.0163 + 3.3630i

0.0163− 3.3630i

−0.2663 + 0.7978i

−0.2663− 0.7978i

(1.21)

11

λh2 =

−0.4214 + 3.3099i

−0.4214 + 3.3099i

0.1714 + 1.4582i

0.1714− 1.4582i

(1.22)

Puesto que ninguno de los hijos generados produce un sistema a lazo cerrado estable,

el objetivo que se plantea en este caso consiste en desarrollar representaciones alternas

del espacio de controladores que permitan mejorar el proceso de generación de indi-

viduos factibles y la exploración del espacio de búsqueda mediante operadores de variación

genética especialmente adaptados (ver capítulo 6).

1.2.3 Integración con operadores de búsqueda local

Una de las principales desventajas de los algoritmos genéticos es que no existen

garantías con respecto a la precisión de las soluciones obtenidas. Considere por ejemplo

que se desea resolver el problema de minimización de la función de Rosenbrock (P1)P1 : x1, x2 ∈ [−10, 10]min100(x2 − x21)2 + (1− x1)2 (1.23)

En la tabla 1.1 se muestra un ejemplo de los resultados obtenidos luego de 100 ejecu-

ciones de un algoritmo genético simple (GS) y 100 ejecuciones del algoritmo determinista

BFGS, de tipo quasi-Newton (Broyden, 1970). Se presenta el promedio y la desviación es-

tandard del menor valor de la función objetivo encontrado durante la ejecución de cada al-

goritmo. Para las pruebas se utilizaron poblaciones iniciales aleatorias (en el caso genético)

y punto inicial aleatorio (en el caso BFGS). Note que el promedio de la mejor solución

obtenida por el algoritmo genético es aproximadamente 1000 veces mayor que el promedio

logrado por BFGS.

Tabla 1.1: Promedio y desviación standard del valor mínimo alcanzado por cada algo-ritmo, calculados sobre un total de 100 ejecuciones. Problemas P1 y P2

P1 P2Genético 5.4271(7.3176) 1.1762(0.6551)BFGS 0.0042(0.0151) 42.0898(41.7667)

12Considere ahora el siguiente problema (P2)

P2 : x1, x2 ∈ [−10, 10]min2 + x21 − cos(20πx1) + x22 − cos(20πx2) (1.24)

A partir de la misma configuración utilizada en el caso anterior, se obtienen los resultados

mostrados en la tabla 1.1. Note que ahora el promedio BFGS es aproximadamente 35 veces

mayor que el logrado por el genético, lo cual se explica considerando que el algoritmo

determinista queda “atrapado” en cualquiera de los mínimos locales característicos del

problema P2.Los anteriores ejemplos permiten ilustrar un fenómeno sobre el cual existe bastante

consenso dentro de la comunidad de investigadores en el área: los algoritmos genéticos

facilitan la exploración (búsqueda gruesa), pero presentan serias limitaciones para la ex-

plotación de las regiones (búsqueda fina).

Surge entonces la idea de combinar la capacidad de exploración del algoritmo genético

con la capacidad de explotación de un operador de búsqueda local, para intentar que las

zonas más prometedoras sean correctamente aprovechadas. En la literatura, este tipo de

algoritmos reciben el nombre de meméticos (Moscato, 1989), haciendo referencia a las

unidades de difusión cultural llamadas memes (Dawkins, 1976).

En la actualidad son pocas las publicaciones en las que se reportan aplicaciones de

algoritmos meméticos para problemas de control automático (Caponio et al, 2007; Shyr

et al 2002; Wanner et al, 2008). Un objetivo que se plantea en este trabajo consiste en

producir de manera eficiente mejores soluciones considerando un algoritmo memético (ver

capítulos 5 y 6) en comparación con el genético puro.

1.3. Estructura de la tesis

En los próximos capítulos se presenta un conjunto de operadores, representaciones

genéticas y adaptaciones algorítmicas, especialmente concebidos para intentar obtener

mejores aproximaciones de los Conjuntos de Pareto, en comparación con otros métodos

competitivos citados comúnmente en la literatura.

En el capítulo 2 se introducen conceptos básicos relacionados con el control de sistemas

lineales a lazo cerrado. Se presenta el problema general de control, haciendo énfasis en

su formulación como un problema multi-objetivo. Se describen algunos índices que usual-

mente se utilizan para especificar los requerimientos que debe cumplir un controlador.

13También se repasan algunos métodos clásicos de diseño incluyendo PIDs, reubicación de

polos y LMIs.

En el capítulo 3 se introducen conceptos generales relacionados con la optimización de

múltiples objetivos, conjuntos y frentes de Pareto. Se hace un breve recuento de las ideas

que pueden utilizarse para resolver problemas de esta naturaleza, tomando en cuenta el

archivo de las soluciones no-dominadas y el tratamiento de las restricciones. Seguidamente

se describe el funcionamiento de los algoritmos MOGA, NSGA-II y SPEA2, junto con los

índices de desempeño y las pruebas estadísticas que se han propuesto para su evaluación.

En el capítulo 4 se proponen nuevos operadores de variación para el diseño de con-

troladores PID, basados en la generación y mantenimiento de individuos estables durante

del proceso de búsqueda. Se utiliza el método propuesto en (Hohenbichler & Abel, 2008)

para generar los vértices de la región factible correspondiente al sistema a lazo cerrado.

Adicionalmente se propone un nuevo método para aproximar la geometría de la región

factible, basado en muestreo aleatorio uniforme (Calafiore & Dabbene, 2006). Los resulta-

dos de este capítulo fueron previamente publicados en (Sánchez et al., 2008a) y (Sánchez

et al., 2009).

En el capítulo 5 se presenta un nuevo operador de búsqueda local llamado Ascenso de

Colina con Paso Lateral (ACPL) especialmente diseñado para problemas multi-objetivo.

En caso de no encontrar soluciones dominantes (como en el ascenso de colina tradicional),

el operador utiliza la información recolectada para intentar moverse hacia algún cono de

diversidad (paso lateral). También se presenta un análisis de la sensibilidad del operador

con respecto a sus parámetros característicos. Por último se propone un esquema para

la integración del ACPL con el algoritmo SPEA2, dando como resultado un algoritmo

memético denominado SPEA2-ACPL, para el cual se presentan los resultados obtenidos

durante las pruebas que se realizaron en el caso de un problema convexo y uno no-convexo.

Estos resultados fueron previamente publicados en (Schütze et al., 2008) y (Lara et al.,

2010).

En el capítulo 6 se propone un nuevo método de diseño de controladores llamado Multi-

Objective Pole Placement with Evolutionary Algorithms (MOPPEA), utilizando como

base del proceso de búsqueda a los algoritmos SPEA2 y SPEA2-ACPL. Se presentan los

resultados obtenidos para el diseño mixto H2/H∞ en el caso de cinco modelos extraidos de

COMPleib (Leibfritz, 2004) y se comparan con respecto a los obtenidos mediante LMIs.

14Los resultados del capítulo fueron publicados en (Sánchez et al., 2007) y (Sánchez et al.,

2008b).

Por último, se presentan las conclusiones del trabajo y se describen algunas direcciones

para futuras investigaciones.

CAPÍTULO II

SISTEMAS LINEALES REALIMENTADOS

En este capítulo se introducen algunos conceptos básicos relacionados con el control

de sistemas lineales a lazo cerrado. Se presenta el problema general de control, haciendo

énfasis en su formulación como un problema multi-objetivo. Se definen los índices que

usualmente se incluyen como parte de las especificaciones que debe cumplir un controlador

automático. Por último se realiza un breve repaso de tres estrategias bien conocidas

que se han sido propuestas para resolver problemas de diseño de controladores lineales:

sintonización PID, reubicación de polos mediante realimentación de estados y LMIs.

2.1. Generalidades

Un sistema lineal e invariante (ver figura 2.1) puede definirse mediante las ecua-

ciones de estado

x(t) = Ax(t) + Bww(t) + Buu(t)

z(t) = Czx(t) + Dzww(t) + Dzuu(t)

y(t) = Cyx(t) + Dyww(t) + Dyuu(t)

(2.1)

donde u ∈ Lnu2 [0,+∞) es el vector de señales manipuladas, w ∈ Lnw2 [0,+∞) es el vector

de entradas exógenas (perturbaciones), y ∈ Lny2 [0,+∞) es el vector de señales medidas, z

∈ Lnz2 [0,+∞) es el vector de señales controladas y x ∈ Ln2 [0,+∞) es el vector de estado

(el espacio L2[0,+∞) es definido en el Apéndice).

Figura 2.1: Sistema LTI a lazo abierto

16Las matrices A ∈ Rn×n, Bw ∈ Rn×nw , Bu ∈ Rn×nu, Cz ∈ Rnz×n, Cy ∈ Rny×n, Dzw ∈

Rnz×nw , Dzu ∈ Rnz×nu , Dyw ∈ Rny×nw y Dyu ∈ Rny×nu se denominan matrices de estado

del sistema a lazo abierto.

Un sistema se dice estable en el sentido BIBO (Bounded Input Bounded Output) si

a cualquier entrada acotada, corresponde una salida acotada. Es posible demostrar que

el sistema (2.1) es estable en el sentido BIBO si y sólo si los autovalores de la matriz

A pertenecen a C− (semi-plano abierto complejo izquierdo). En este caso se dice que la

matriz de estado A es de tipo Hurwitz.

Los conceptos de controlabilidad y observabilidad (Kalman, 1963) juegan un papel

importante para el diseño de controladores. Se dice que un sistema es controlable si es

posible transferir un estado inicial a cualquier otro estado finito en un intervalo de tiempo

finito. Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema es completamente

controlable.

Por otro lado, un sistema es completamente observable si es posible reconstruir la

información de cada variable de estado en función de las mediciones de las salidas y las

entradas.

De esta forma, el sistema (2.1) se dice completamente controlable y observable si y sólo

si las matrices (Bu ABu · · · An−1Bu ) (2.2)

(Cy CyA · · · CyAn−1 )T

(2.3)

son de rango completo.

La Transformada de Laplace (también definida en el Apéndice) de los vectores y(t) y

z(t) se escribe

Z(s) = Gzw(s)W (s) + Gzu(s)U(s) (2.4)

Y (s) = Gyw(s)W (s) + Gyu(s)U(s)

con

Gzw(s) = Cz(sI − A)−1Bw + Dzw (2.5)

Gzu(s) = Cz(sI − A)−1Bu + Dzu

17Gyw(s) = Cy(sI −A)−1Bw + DywGyu(s) = Cy(sI −A)−1Bu + Dyu

donde Gzw(s), Gzu(s), Gyw(s) y Gyu(s) se denominan matrices de transferencia a lazo

abierto.

La necesidad de interconectar el sistema a lazo abierto con un controlador automático

surge de los siguientes hechos:

• Existen perturbaciones (cuya acción es imposible evitar) que desplazan al sistema

del régimen de operación deseado.

• Es imposible conocer con exactitud la estructura y/o los parámetros del sistema real

(incertidumbre).

• Ante las perturbaciones y en presencia de incertidumbre, el sistema debe reaccionar

de una manera que sería imposible lograr mediante un sistema a lazo abierto (sin

realimentación).

Cuando se interconecta el sistema (2.1) con un controlador lineal (ver figura 2.2)

representado por

xK = AKxK + BKy

u = CKxK (2.6)

el sistema a lazo cerrado resultante se escribe

xcl = Aclxcl + Bclwz = Cclxcl + Dclw (2.7)

donde

Acl =

A BuCK

BKCy AK + BKDyuCK , Bcl =

Bw

BKDyw (2.8)

Ccl =(Cz DzuCK ) , Dcl = Dzw

Por su parte la matriz de transferencia a lazo cerrado puede escribirse como

Gzwcl(s) = Gzw(s) + Gzu(s)K(s)(I −Gyu(s)K(s))−1Gyw(s) (2.9)

18

Figura 2.2: Interconexión Planta/Controlador (lazo cerrado)

con

K(s) = CK(sI − AK)−1BK (2.10)

Es evidente, a partir de estas ecuaciones, que no es trivial la selección de matrices AK, BKy CK tales que el sistema a lazo cerrado sea estable y cumpla con una lista predeterminada

de requerimientos.

2.2. Índices de desempeño

A menudo se requiere que las salidas del sistema a lazo cerrado sigan cierta

dinámica en respuesta a las perturbaciones y en presencia de incertidumbre. En otras

palabras, se requiere dotar a la conexión (figura 2.2) de propiedades que el sistema a lazo

abierto (figura 2.1) no posee de manera aislada.

En el transcurso de las últimas décadas, se han propuesto numerosos criterios o índices

para medir el desempeño de un controlador automático, es decir, para cuantificar que tan

bien cumple con los objetivos para los cuales fue diseñado. A continuación se definen

algunos de los más comunes.

2.2.1 Índices de estabilidad

Sea ncl el grado y λ el vector de polos del sistema a lazo cerrado. Es posible

considerar como índice de estabilidad el número de polos estables

ns = |{λi/Re(λi) < 0}| (2.11)

19o a la abscisa del polo que se encuentre más a la derecha en el plano complejo, sea qa tal

que

qa = maxi Re(λi) (2.12)

En las figuras 2.3 y 2.4 se muestra un ejemplo del cálculo de estos índices para dos

configuraciones de polos distintas. Note que de acuerdo al índice ns el primer sistema

sería mejor que el segundo. Con respecto al índice qa la conclusión sería exactamente la

opuesta.

Figura 2.3: Diagrama de polos de un sistema con índices de estabilidad ns = 2, qa = 3

Figura 2.4: Diagrama de polos de un sistema con índices de estabilidad ns = 1, qa = 2

2.2.2 Índices de respuesta temporal

Cuando el sistema a lazo cerrado es estable, es posible definir índices en función de

su respuesta temporal ante señales de prueba en distintos canales de entrada. Considere

el caso de un sistema de tipo Single-Input Single-Output (SISO).

20Para una entrada de referencia r(t) en forma de escalón, es decir

r(t) =

0 para t < 0

R para t ≥ 0(2.13)

el error en estado estacionario ess se define como:

ess = limt→∞ |r(t)− y(t)| (2.14)

donde y(t) es la respuesta del sistema. Note que de manera similar es posible definir el

error en estado estacionario para entradas más complejas tales como rampas, senoidales,

triangulares, etc.

El tiempo de subida tr al 90%, el tiempo de asentamiento ts al 5% y el porcentaje de

sobre-elongación máxima Mp pueden definirse como se muestra a continuación (ver figura

2.5).

1

1.05

0.95

0.90

ess

t

y(t)

trts

Mp(%)

Figura 2.5: Indices de desempeño a partir de la respuesta ante un escalón unitario

tr(90%) =arg mint {t : y(t) = 0.9× limt→∞ y(t)

}(2.15)

ts(5%) =arg maxt {∣∣∣y(t)− limt→∞ y(t)∣∣∣ ≥ 0.05

}(2.16)

Mp =

‖y(t)‖∞− limt→∞ y(t)‖y(t)‖∞ × 100 si ‖y(t)‖∞ > limt→∞ y(t)

0 en caso contrario(2.17)

21Uno de los conflictos más comunes cuando se analiza la respuesta de un sistema a lazo

cerrado es el que existe entre el tiempo de subida tr y el porcentaje de sobre-elongación

máximaMp. En efecto, si se diseña el controlador para obtener el menor tiempo de subida,

es probable que se obtenga al mismo tiempo una mayor sobre-elongación.

Un problema de diseño multi-objetivo que hiciera intervenir los cuatro índices que se

acaban de definir más la restricción de estabilidad pudiera plantearse como

minK∈R(s)nu×ny ( ess(K) tr(K) ts(K) Mp(K))

sujeto a:

qa(K) < 0

(2.18)

2.2.3 Rechazo de perturbaciones

Sea w(t) una perturbación cuyo efecto sobre la salida z(t) es necesario rechazar y

Gzwcl(s) la matriz de transferencia definida en (2.9). El rechazo de la señal de perturbación

puede medirse en función de una norma (ver Apéndice A) tal como

‖W (s)Gzwcl(s,K)‖i (2.19)

donde i ∈ {1, 2,∞} y la matriz W (s) se incluye de manera arbitraria para ponderar la

importancia de las bandas de frecuencia en las cuales w(t) concentra su mayor energía.

Considere por ejemplo una perturbación en forma de impulso unitario w(t) = δ(t).

Para minimizar la energía de la señal de salida, se debe plantear un problema de la forma

minK∈R(s)nu×ny ‖W (s)Gzwcl(s,K)‖2sujeto a

qa(K) < 0

(2.20)

Si en lugar de minimizar la energía de la señal de salida se necesita minimizar su

máxima amplitud (por ejemplo para prevenir posibles situaciones peligrosas), se debe

entonces plantear el problema

minK∈R(s)nu×ny ‖W (s)Gzwcl(s,K)‖∞sujeto a

qa(K) < 0

(2.21)

222.2.4 Estabilidad robusta

Ningún modelo matemático puede predecir con absoluta certeza la respuesta de

un sistema en condiciones reales de funcionamiento. En consecuencia, cualquier método

de diseño de controladores debe considerar este hecho, introduciendo incertidumbre en el

modelo.

Considere por ejemplo el lazo mostrado en la figura 2.6. La matriz de transferencia

∆(s) representa una incertidumbre no estructurada que se adiciona al modelo de la planta

a lazo abierto G(s). Suponga que ∆(s) esté acotada de forma que se cumpla

‖∆(s)‖∞ ≤ 1 (2.22)

Entonces es posible demostrar que el sistema a lazo cerrado es estable si y sólo si se cumple∥∥K(s) (I + G(s)K(s))−1∥∥∞ < 1 (2.23)

Figura 2.6: Lazo de realimentación con incertidumbre no estructurada ∆

De manera general, se considera que mientras menor sea la norma que aparece en lado

izquierdo de la desigualdad (2.23) más robusto será el lazo de control con respecto las

incertidumbres sobre el modelo de la planta. Sin embargo, a medida que se mejora la

robustez del diseño, es posible que se degrade al mismo tiempo el desempeño del lazo

medido en términos de la norma de otro canal del modelo. De esta forma se constata

nuevamente la necesidad de adoptar un enfoque multi-objetivo en el tratamiento de los

problemas de diseño.

2.3. Controladores PID

De acuerdo con Åström y Hägglund (1995) cerca del 95% de los controladores

instalados en la industria son del tipo Proporcional-Integral-Derivativo (PID). Su principal

23ventaja en la práctica consiste en que vienen pre-programados en los equipos electrónicos

comerciales y por ende son bien conocidos tanto por los ingenieros como por los operadores

y responsables del mantenimiento de las plantas.

Desde un punto de vista teórico, un PID asegura un error en estado estacionario nulo

para una referencia en forma de escalón gracias a su efecto integrador. Por otro lado, la

acción derivativa interviene cuando hay cambios bruscos en el error (si el error cambia

lentamente, la contribución principal se debe a los modos proporcional e integral).

Considerando las ventajas expuestas anteriormente, se entiende la necesidad de veri-

ficar si es posible resolver un problema de diseño mediante una estructura PID (o alguna

adaptación de la misma) antes de considerar soluciones más complejas.

En la literatura es posible encontrar varias formas para expresar la función de trans-

ferencia de un controlador PID. La más simple es la conocida como forma ideal

KPID(s) =KDs2 + KPs + KI

s(2.24)

caracterizada por tres parámetros realesKD, KP , KI que deben ser ajustados por el diseñador

del sistema de control (ver figura 2.7).

Figura 2.7: Lazo de control con PID ideal

2.3.1 Método de Ziegler y Nichols

El investigador Aidan O’Dwyer (2006) ha contabilizado 408 reglas para el ajuste

de los parámetros PID, de las cuales 293 fueron propuestas después de 1992. Una de las

más importantes históricamente fue publicada por Ziegler y Nichols en 1942 y consiste

básicamente en las siguientes fórmulas

KP = 0.6Ku (2.25)

KI = 1.2KuTu

KD = 0.075KuTu

24donde Tu es el período de las oscilaciones que se obtienen a lazo cerrado cuando se in-

crementa progresivamente la ganancia de la cadena directa desde cero hasta el valor Ku.Considere el siguiente modelo a lazo abierto

G(s) =−0.5s4 − 7s3 − 2s + 1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4)(s2 + s + 1)(2.26)

Para este modelo, las oscilaciones críticas se obtienen para Ku = 6.2 y el período de

las oscilaciones es Tu = 4.2 lo cual, según las fórmulas de Ziegler y Nichols corresponde

a KP = 3.7, KI = 1.8 y KD = 1.95. La respuesta del sistema a lazo cerrado ante una

entrada de referencia en forma de escalón se muestra en la figura 2.8. Para este controlador,

los índices de respuesta temporal tienen los siguientes valores ess = 0, tr(90%) = 24.5,

ts(5%) = 30.9 y Mp = 0.

0 20 40 60 80 100−0.5

0

0.5

1

t

y(t)

Figura 2.8: Respuesta del sistema con los parámetros KD,KP , KI de acuerdo con lasfórmulas de Ziegler y Nichols

Aunque goza de mucha aceptación debido a su sencillez, el ámbito de aplicación del

método de Ziegler y Nichols, y de la mayoría de los métodos similares, es bastante limitado.

Por ejemplo, ninguno garantiza el logro de un compromiso satisfactorio entre un conjunto

de índices de desempeño, en relación con los problemas de diseño multi-objetivo formulados

en la sección anterior.

2.3.2 Método de Hohenbichler y Abel

Cuando se decide adoptar una estrategia de control PID, surge la duda acerca de

cuáles son los valores de los parámetrosKP ,KD, KI (si es que éstos existen) que garantizan

la estabilidad del sistema a lazo cerrado.

25En este sentido, Hohenbichler y Abel (2008) propusieron un método para calcular

los límites de la región de controladores PID estabilizantes en el espacio (KP , KD,KI).

Dado un modelo de planta G(s) a lazo abierto, estos autores demostraron que es posible

determinar los intervalos de la ganancia proporcional KP tales que exista al menos un

plano (KD, KI) estabilizante. La única limitación para este resultado es que el sistema a

lazo abierto no posea ceros en el eje imaginario.

La idea básica de dicho método se fundamenta en el teorema propuesto en (Ackermann

& Kaesbauer, 2003), el cual afirma que las regiones estabilizantes en el planoKI−KD para

unKP fijo, están formadas por polígonos convexos cuyos vértices pueden ser determinados.

Considere una función de transferencia a lazo abierto expresada como:

G(s) =A(s)

R(s), B(s) = sR(s) (2.27)

con

A(s) = amsm + am−1sm−1 + . . . + a1s + a0, am = 0 (2.28)

B(s) = bnsn + bn−1sn−1 + . . . + b1s, bn = 0

y para un valor s = jω, denote:

RA(ω) = Re [A(jω)] , RB(ω) = Re [B(jω)] (2.29)

IA(ω) = Im [A(jω)] , IB(ω) = Im [B(jω)]

Suponga que se interconecta G(s) con un controlador PID ideal de manera que la ecuación

característica del lazo cerrado se escriba como (ver figura 2.7):

P (s) =(KDs2 + KP s + KI)A(s) + B(s) = 0 (2.30)

Ackermann y Kaesbauer (2003) demostraron el siguiente resultado: Para un valor fijo

de KP , la región de estabilidad del polinomio P (s) en el plano KI −KD está compuesta

por polígonos convexos, cuyos vertices se definen mediante la intersección de las siguientes

rectas:

KI = 0 (2.31)

KD =

0 si n < m + 2

− bnam , si n = m+ 2

∞, si n > m+ 2

(2.32)

26

KI = KDω2 − RA(ω)RB(ω) + IA(ω)IB(ω)

R2A(ω) + I2A(ω)(2.33)

donde ω > 0 (denominada frecuencia singular) es solución real de la ecuación

ω =IA(ω)RB(ω)−RA(ω)IB(ω)

KP (R2A(ω) + I2A(ω))(2.34)

Considere la función de transferencia propuesta anteriormente en (2.26). Para KP =

−4.4 las rectas que delimitan la región de estabilidad en el plano KI −KD , junto con sus

respectivas frecuencias singulares, se muestran en la tabla 2.1. En la figura 2.9 se grafican

dichas rectas, de manera que es posible observar los límites de la región de estabilidad

para este valor particular de KP .La respuesta al escalón del sistema a lazo cerrado correspondiente a los valores KP =

−4.4, KI = 2.2 y KD = −10 se muestra en la figura 2.10. En este caso los índices

de respuesta temporal tienen los siguientes valores ess = 0, tr(90%) = 15.9, ts(5%) =

32.6 y Mp = 17%. Note que a diferencia del lazo diseñado mediante Ziegler-Nichols,

esta respuesta presenta mayor sobre-elongación pero en contrapartida presenta un menor

tiempo de subida. Queda claro entonces que el valor de los índices de desempeño del

sistema a lazo cerrado dependen de la posición del vector de parámetros KP ,KI , KD en

el espacio de controladores estabilizantes.

Tabla 2.1: Frecuencias singulares y ecuaciones de las rectas que delimitan la región deestabilidad para KP = −4.4, modelo (2.26)

ω KI −KD- KI = 0- KD = ∞

0.32 KI = 0.1KD + 6.83.65 KI = 24KD − 88.8

27

−70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0

−4

−2

0

2

4

6

8

KD

KI

Figura 2.9: Límites de la región de estabilidad para KP = −4.4 para el modelo (2.26)

2.4. Reubicación de polos

En esta sección suponga que se desea diseñar un controlador para el sistema lineal

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)(2.35)

que se supone controlable y observable. Considere el cambio de variables de estado definido

mediante

x = Tx, u = Ru+ Fx (2.36)

donde T y R son matrices invertibles. Se obtiene de esta forma una representación

equivalente del sistema a lazo abierto:

·x= (T−1AT + T−1BF )x + (T−1BR)u

y = (CT + DF )x + DRu(2.37)

Por otra parte, si el vector de estados se encuentra disponible y se realimenta mediante

una matriz estática K ∈ Rnu×n de la forma

u = Kx, u = R−1(KT − F )x = Kx (2.38)

tendremos dos representaciones equivalentes a lazo cerrado

x = (A + BK)x

y = (C + DK)x⇔

·x= (A + BK)x

y = (C + DK)x(2.39)

28

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

y(t

)

Figura 2.10: Respuesta al escalón del sistema a lazo cerrado para el modelo (2.26)correspondiente al controlador PID caracterizado por KP = −4.4, KI = 2.2 y KD = −10

con

A = T−1AT + T−1BF,B = T−1BR (2.40)

C = (CT + DF ), D = DR (2.41)

y además

A + BK = T−1(A + BK)T (2.42)

En el caso de sistemas de una sola entrada y una sola salida, la transformación definida

por

T =(V V A . . . V An−1 )−1 , R = 1, F = −V AnT (2.43)

donde V es un vector tal que

V Ak−1B = 0, ∀k < n− 1, V An−1B = 1 (2.44)

produce el par(A,B)en la forma controlable

A =

0 1 0 0 . . . 0

0 0 1 0 . . . 0...

......

. . . . . . 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

, B =

0

0...

0

1

(2.45)

29En particular, si se desea que el sistema a lazo cerrado esté caracterizado por el poli-

nomio

p(s) = sn + pn−1sn−1 + pn−2sn−2 + . . . + p1s + p0 (2.46)

basta con seleccionar

K = −(p0 p1 . . . pn−1 ) (2.47)

de donde es posible deducir

K = (RK + F )T−1 (2.48)

Si el vector de estados no se encuentra disponible, es posible realimentar un observador

de la forma ·x= Ax+ Bu+ L(Cx− y) (2.49)

donde (Cx − y) es el término de corrección y L ∈ Rn×ny es la matriz de ganancias del

observador, la cual debe ser calculada de forma que los autovalores de la matriz A + LC

pertenezcan todos a C−. La representación completa en espacio de estados del controlador

diseñado se expresa como

·x= (A + BK + LC)x− Ly

u = Kx(2.50)

Considere el sistema a lazo abierto definido por la función de transferencia (2.26). Para

asegurar un error en estado estacionario nulo ante una entrada de referencia en forma de

escalón unitario, se incluye un polo en el origen en el modelo a lazo abierto. El diagrama

de polos y ceros correspondiente se muestra en la figura 2.11. Suponga que se desea aplicar

el método explicado en esta sección de manera que a lazo cerrado se tenga el siguiente

vector de polos

λK =(−1 −2 −3 −4 −5 −0.5 + 0.866i −0.5− 0.866i

)(2.51)

Es posible verificar que este objetivo se logra mediante el vector de realimentación de

estados

K = −(

10 13.75 14.37 14.84 17.03 11.56 15)

Para completar el diseño es necesario calcular el vector de ganancias del observador L.

Suponga que se desea obtener el vector de polos para el observador λL = λK, lo cual se

logra mediante el vector de ganancias

L = −(

0 0 0 0 0 0 40)T

(2.52)

30La respuesta al escalón del sistema a lazo cerrado se muestra en la figura 2.12. En este caso

los índices de respuesta temporal tienen los siguientes valores ess = 0, tr(90%) = 2.85,

ts(5%) = 10.65 y Mp = 13%, los cuales son bastante mejores que los obtenidos mediante

los controladores PID presentados en la sección anterior. En contrapartida, la complejidad

de este controlador es mucho mayor que la de un PID.

−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 2.11: Diagrama de polos (×) y ceros (◦) a lazo abierto para el modelo (2.26)

0 5 10 15−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t

y(t

)

Figura 2.12: Respuesta al escalón del sistema a lazo cerrado, para el modelo (2.26).Controlador diseñado mediante reubicación de polos.

2.5. Diseño de controladores mediante LMIs

Una LMI es una inecuación matricial lineal de la forma:

F (x) = F0 +m∑i=1 xiFi > 0 (2.53)

31donde cada xi ∈ R es una variable escalar real y cada Fi ∈ Rn×n es una matriz simétrica

constante. El símbolo de desigualdad en la ecuación (2.53) significa que la matriz F debe

ser positiva definida.

En numerosos problemas de diseño de controladores, las variables de decisión que deben

ser ajustadas son matrices simétricas. Considere por ejemplo la inecuación de Lyapunov

ATX + XA < 0 (2.54)

donde

X =

x1 x2

x2 x3 , A =

a11 a12

a21 a22 (2.55)

la cual puede reescribirse como en (2.53) definiendo F0 = 0 y

−x1F1 − x2F2 − x3F3 > 0 (2.56)

F1 =

2a11 a12

a12 0

(2.57)

F2 =

2a21 a11 + a22

a11 + a22 2a12 (2.58)

F3 =

0 a21

a21 2a22 (2.59)

De esta manera, resolver la inecuación (2.54) equivale a determinar una matriz X

tal que la matriz ATX + XA sea negativa semi-definida. En las próximas secciones se

formulan los problemas de diseño H2 y H∞, de amplia importancia en el área de sistemas

automáticos, los cuales pueden ser resueltos determinando la factibilidad de una LMI.

2.5.1 Problema H2En esta sección se considera el siguiente modelo lineal a lazo abierto:

·x

zjy

=

A Bj B

Cj Dj EjC Fj 0

x

wju

(2.60)

32y un controlador lineal K representado mediante:

·xcu

=

AK BK

CK DK xKy

(2.61)

de forma que a lazo cerrado se tiene

zj = Tjwj =

Aclj Bclj

Cclj Dclj wj (2.62)

con

Acl =

A + BDKC BCK

AK BKC (2.63)

Bclj =

Bj + DKFj

BKFj (2.64)

Cclj =(Cj + EjDKC EjCK ) (2.65)

Dclj = Dj + EjDKFj (2.66)

El problema H2 consiste en diseñar un controlador tal que

‖Tj(s)‖2 ≤ γ2j (2.67)

donde γ2j es el valor deseado para la norma de la matriz de transferencia a lazo cerrado,

el cual debe ser fijado por el diseñador.

Es posible demostrar (Scherer et al., 1997) que la desigualdad (2.67) se cumple si y

sólo si existen matrices X > 0, Y > 0, A, B, C, D tales que:

AX + XAT + BC +(BC)T

AT + A + BDC Bj + BDFj(AT + A + BDC

)TAY + Y AT + BC +

(BC)T

Y Bj + BFj(Bj + BDFj)T (

Y Bj + BFj)T−I

< 0

(2.68)

X I(CjX + EjC)T

I Y(Cj + EjDC)T

CjX + EjC Cj + EjDC Q

> 0 (2.69)

33

traza(Q) < γ2j (2.70)

Dj + EjDFj = 0 (2.71)

Si estas inecuaciones se cumplen, las matrices del controlador correspondiente se cal-

culan mediante las fórmulas:

MNT = I −XY (2.72)

DK = D

CK = (C − DCX)M−TBK = N−1(B − Y BD)

AK = N−1(A−NBcCX − Y BCcMT − Y (A + BDcC)X)M−TConsidere el siguiente modelo a lazo abierto, propuesto en (Scherer et al., 1997):

A B1 B

C1 D1 E1C F1 0

=

0 10 2

−1 1 0

0 2 −5

1

0

1

0

1

0

0 1 0

0 0 1

0

0

0

0

0 1 0 2 0

(2.73)

Para verificar si el anterior conjunto de inecuaciones es o no factible es posible utilizar

la instrucción feasp de MATLAB R©. En este caso, fijando γ21 = 10 las LMIs resultan

factibles y se obtienen los siguientes resultados

X =

473.7130 −24.7516 −6.9934

−24.7516 3.6762 −0.0953

−6.9934 −0.0953 4.2502

(2.74)

Y =

0.9540 1.5255 −4.2185

1.5255 11.8585 −20.8031

−4.2185 −20.8031 115.0885

(2.75)

34

‖T1(s)‖2 = 3.1748 ≤ γ21 (2.76)

y la función de transferencia del controlador correspondiente es

K2(s) = 1206.314(s + 5.008)(s + 1.365)

(s + 460.4)(s + 5.16)(s + 0.6827)(2.77)

2.5.2 Problema H∞De manera análoga a lo planteado en la sección anterior, el problema H∞ consiste

en diseñar K tal que

‖Tj(s)‖∞ ≤ γ∞j (2.78)

lo cual se cumple si y sólo si existen matrices X,Y, A, B, C, D tales que:

AX + XAT + BC +(BC)T

∗ ∗ ∗

(AT + A + BDC)T AY + Y AT + BC +(BC)T

∗ ∗

(Bj + BDFj)T (Y Bj + BFj)T −γ∞jI ∗

CjX + EjC Cj + EjDC Dj + EjDFj −γ∞jI< 0

(2.79)

Con γ∞1 = 10, las LMIs resultan factibles y se obtienen los siguientes resultados

X =

391.3011 −36.2150 −8.0631

−36.2150 56.4724 −4.3847

−8.0631 −4.3847 48.2515

(2.80)

Y =

1.2249 2.2637 −2.5332

2.2637 15.3622 −12.9829

−2.5332 −12.9829 75.7149

(2.81)

‖T1(s)‖∞ = 3.2448 ≤ γ∞1 (2.82)

y el controlador correspondiente es

K∞(s) = 1.225(s− 46.14)(s + 4.799)(s + 2.718)

(s + 13.94)(s + 5.707)(s + 2.351)(2.83)

352.6. Resumen del capítulo

En este capítulo se introdujeron algunos conceptos básicos relacionados con el

control de sistemas lineales a lazo cerrado. Se presentó un breve repaso de tres métodos

que han sido propuestos para el control de sistemas lineales: PID, reubicación de polos

y factibilidad de LMIs. La ventaja de la estructura PID consiste en su sencillez y bajo

orden. Además, la región de estabilidad está perfectamente definida y puede calcularse

a partir del método propuesto por Hohenbichler y Abel (2008). La reubicación de polos

permite, en el caso SISO, seleccionar la posición de los polos a lazo cerrado, lo cual permite

al menos asegurar la estabilidad de la interconexión Modelo Nominal / Controlador. Las

herramientas que permiten resolver LMIs se han convertido en una de las mejores opciones

disponibles en el área del diseño de controladores lineales. En este capítulo se presentó un

conjunto de LMIs que deben ser satisfechas para que las normas H2 y H∞ de una matriz

de transferencia sean acotadas.

También se definieron indicadores de desempeño que pueden adoptarse como medida

de la calidad de una interconexión Planta/Controlador, de tal forma que el diseño puede

a partir de este punto plantearse como la búsqueda de soluciones que representen un buen

compromiso entre distintos indicadores en conflicto, problema que se analiza de manera

detallada en el próximo capítulo.

CAPÍTULO III

OPTIMIZACIÓN MULTI-OBJETIVO

En este capítulo se analizan algunos conceptos relacionados con los problemas de opti-

mización de múltiples objetivos y con las estrategias que pueden plantearse para resolver-

los. Se introduce brevemente el tema de los mecanismos para el archivo de las soluciones

no-dominadas y el tema de las restricciones. Seguidamente se describe el funcionamiento

de tres algoritmos genéticos en particular, a saber: MOGA, NSGA-II y SPEA2. Por úl-

timo, se introduce el tema de la evaluación del desempeño estadístico de estos algoritmos.

3.1. Definiciones

Resolver un problema de optimización multi-objetivo (POM) consiste en mini-

mizar de manera simultánea un conjunto de funciones de la forma

minx∈X f1(x) (3.1)

minx∈X f2(x)

...

minx∈X fM(x)

donde x representa el vector de decisión, X ⊂ Rn el espacio de búsqueda y n ∈ N, n > 0,

el número de variables de decisión (Roy, 1971).

En general, la reducción del valor de una de las funciones objetivo conduce al incre-

mento de otra, por lo cual no existe un x∗ ∈ X que sea mínimo de todas simultaneamente.

Para Osyczka (1985) el símbolo “min” debe ser interpretado en el caso multi-objetivo como

la búsqueda de un conjunto de soluciones que produzcan valores aceptables para todos los

objetivos.

Muchos métodos que se han propuesto para resolver este problema se basan en una

transformación escalar del vector objetivo, de la forma

U : RM → R (3.2)

37con el fin de replantear el problema de optimización en forma escalar, como

minz1,z2,...,zM U(z1, z2, . . . , zM) (3.3)

sujeto a : zi = fi(x) , 1 ≤ i ≤M , x ∈ X

Kalianmoy Deb (2001) considera que reducir el problema vectorial a uno escalar, im-

plica en general alguna pérdida en la calidad de las soluciones que pueden obtenerse. Los

algoritmos que producen una sola solución deben ejecutarse en repetidas ocasiones para

identificar los mejores compromisos, utilizando conocimiento previo sobre el problema para

definir prioridades entre los objetivos.

Un enfoque alternativo consiste en la búsqueda de soluciones especiales llamadas no-

dominadas, de acuerdo con los conceptos que se definen a continuación . Dado el problema

planteado en (3.1), se denomina Espacio Objetivo y se denota F al conjunto definido por

z ∈F ⇐⇒ ∃x ∈ X : z = F(x) =(f1(x) f2(x) ... fM(x)

)T(3.4)

Sean z1 y z2 dos vectores pertenecientes a F . Se dice que z2 es dominado por z1 y se

denota z1 z2 si y solo si

z1i ≤ z2i , i = 1, 2, ...,M (3.5)

∃i ∈ {1, ..,M} : z1i < z2iSi todas las componentes de z1 son estrictamente menores que las de z2 , es decir, si se

cumple

z1i < z2i , i = 1, 2, ...,M (3.6)

se dice entonces que z2 es estrictamente dominado por z1 y se denota z1 ≺ z2. También

puede suceder que los vectores z1 y z2 sean no dominados mutuamente, es decir, tales que

z1 � z2 ∧ z2 � z1 (3.7)

En este caso se dice que z1 y z2 son incomparables y se denota

z1 ‖ z2 (3.8)

Sea BM el conjunto de números binarios de M dígitos tales que

b ∈ BM ⇐⇒

b = bMbM−1 . . . b2b1, bi ∈ {0, 1}, i = 1, 2, . . . ,M

b = 00 . . . 000, b = 11 . . . 111(3.9)

38Se denomina cono de diversidad de tipo b definido en el punto x al conjunto C(x, b) definido

por

y ∈ C(x, b) ⇐⇒

fi(y) ≤ fi(x) si bi = 0

fi(y) > fi(x) si bi = 1para i = 1, 2, . . . ,M (3.10)

Note que el número de conos de diversidad es igual a 2M − 2. Como ejemplo, x1 ∈C(x0, 110) si y sólo si

f1(x1) ≤ f1(x0) (3.11)

f2(x1) > f2(x0)f3(x1) > f3(x0)

Se denomina Conjunto Óptimo Global de Pareto (COGP) y se denota P∗ al conjunto

para el cual se cumple

x∗ ∈ P∗ ⇔ ∄x ∈ X , F(x) F(x∗) (3.12)

De manera similar, se denomina Conjunto Óptimo Local de Pareto (COLP) y se denota

P∗L a cualquier conjunto para el cual se cumple

x∗ ∈ P∗L ⇔ ∄x ∈ XL , F(x) F(x∗) (3.13)

donde XL es un sub-conjunto de X .

Se denomina Frente Óptimo Global de Pareto (FOGP) y se denota PF∗ al conjunto

para el cual se cumple

z∗ ∈ PF∗ ⇔ ∃x∗ ∈ X , z∗ = F(x∗) (3.14)

Se denomina Frente Óptimo Local de Pareto (FOLP) y se denota PF∗L al conjunto para

el cual se cumple

z∗ ∈ PF∗L ⇔ ∃x∗ ∈ XL , z∗ = F(x∗) (3.15)

Note que si todas las funciones objetivo son continuas y derivables, una condición

necesaria para x∗ ∈ P∗ es que se cumpla

∇fi(x∗)Td ≥ 0,∀i ∈ {1, ..,M},∀d ∈ RM (3.16)

De hecho, es posible calcular una dirección de descenso para todas las funciones objetivo

(3.1) a partir de la información sobre los gradientes ∇fi(x), i ∈ {1, ..,M}.

39En efecto, sea x ∈ X y sea d ∈ Rn, d = 0, definida mediante

d = −M∑i=1 α∗i∇fi(x) (3.17)

donde α∗ ∈ RM es solución del problema

minα∈RM ∥∥∥∑Mi=1αi∇fi(x)∥∥∥22

sujeto aM∑i=1αi = 1,αi ≥ 0

(3.18)

entonces Schäffler et al (2002) demostraron que si d es distinto de 0, entonces d es una

dirección de descenso para todas las funciones f1, f2, . . . , fM3.2. Estrategias para resolver un problema multi-objetivo

Una gran cantidad de estrategias se han propuesto para resolver problemas que

involucran objetivos en conflicto. Las preferencias del diseñador pueden ser consideradas

antes, durante o después del proceso de búsqueda. De esta forma es posible establecer la

siguiente clasificación.

3.2.1 Formulación de preferencias “a priori”

El rasgo común a este tipo de métodos es que el diseñador define sus preferencias

antes de ejecutar el algoritmo, ya sea mediante coeficientes de ponderación, metas mínimas

a alcanzar, orden lexicográfico, etc.

Método min-max Consiste en plantear el problema de la forma:

minx∈X maxi∈{1,2,...,M}

c1 (f1(x)− γ1)c2 (f2(x)− γ2)∗

∗

cM (fM(x)− γM)

(3.19)

En esta formulación los ci, γi se eligen para normalizar los valores de las funciones objetivo

y en general se utilizan las fórmulas:

40

ci =1

fimax − fimin (3.20)

γi = fimindonde

fimax = maxx∈X fi(x), i ∈ {1, 2, ...,M} (3.21)

fimin = minx∈X (x), i ∈ {1, 2, ...,M}

Note que de igual forma podría plantearse la minimización de cualquier otra norma para

medir la magnitud del vector de funciones objetivo.

Método de suma ponderada El problema se plantea de la forma

minx∈X M∑i=1 wici (fi(x)− γi) (3.22)

donde los wi son coeficientes que se eligen para ponderar la importancia relativa de cada

función objetivo. La desventaja de este enfoque es que no es sencillo seleccionar los valores

de wi, por lo cual en general se requieren varios intentos de ensayo y error para ajustarlos.

Los parámetros ci, γi se calculan de la misma forma que en el método anterior.

Método de restricción ε Este método se conoce igualmente como método de las de-

sigualdades (Zakian & Al-Naib, 1973). Consiste en resolver el siguiente problema escalar

minx∈X f1(x)

sujeto a:

fi(x) ≤ εi , i ∈ {2, 3, ...,M}

(3.23)

En este caso es necesario experimentar sucesivamente con distintos valores del vector ε,

relajando las restricciones que sean más dificiles de satisfacer, hasta conseguir una solución

satisfactoria.

Programación de metas Consiste en resolver el siguiente problema escalar

minx∈X M∑i=1wipisujeto a:

fi(x)− pi = ti, i ∈ {1, 2, 3, ...,M}

pi ≥ 0

(3.24)

41donde los wi, ti, i ∈ {1, 2, 3, ...,M} son parámetros que deben ser definidos por el diseñador.

Método de optimización lexicográfica En este método se establece un orden de

preferencia (lexicográfico) entre los objetivos. Se resuelve en primer lugar el problema

escalar

minx∈X f1(x) (3.25)

con α1 valor mínimo de f1. En una segunda etapa se intenta resolver el problema

minx∈X f2(x)

sujeto a:

f1(x) = α1 (3.26)

y así sucesivamente.

Por ejemplo, en una tercera etapa se intentaría resolver

minx∈X f3(x)

sujeto a:

f1(x) = α1f2(x) = α2 (3.27)

3.2.2 Formulación de preferencias de manera interactiva

Un ejemplo de este tipo de métodos es el Interactive Weighted Tchebycheff Pro-

cedure (IWTP), el cual consiste en resolver una secuencia de problemas escalares del tipo

minα α

sujeto a:

α ≥ wTF(x)

x ∈ X

(3.28)

Durante el proceso, el diseñador debe interactuar con el algoritmo, proporcionando el

vector de pesos w más adecuado, con el fin de explorar las zonas del espacio objetivo que

sean más interesantes a su criterio.

423.2.3 Formulación de preferencias “a posteriori”

Estos métodos generan un conjunto de potenciales soluciones al problema hasta

que se cumpla alguna condición de parada. Al finalizar la ejecución, el diseñador debe

seleccionar la solución definitiva entre las no-dominadas que se generaron durante el pro-

ceso de búsqueda. Un ejemplo sencillo consiste en generar vectores al azar, uniformemente

distribuidos en el espacio de variables y luego filtrarlos para extraer el sub-conjunto de

soluciones no-dominadas (ver algoritmo 3.1).

Otro ejemplo que puede ser incluido dentro de esta categoría son los llamados algorit-

mos genéticos multi-objetivo, los cuales se describen en la siguiente sección.

Entradas : P : Población generada por un algoritmo de optimizaciónSalidas : A : Conjunto de soluciones no-dominadas extraídas de Pi = 1;1j = 1;2Mientras i ≤ |P | hacer3

p1 ← Pi;4flag ← false;5Mientras (j ≤ |P |) ∧ (flag = false) hacer6

p2 ← Pj;7Si p2 p1 entonces8

flag ← true;9finsi10j = j + 1;11

Fin12Si flag = false entonces13

Incluir p1 en A;14finsi15i = i + 1;16

Fin17Algoritmo 3.1 : Extracción del sub-conjunto de soluciones no-dominadas

3.3. Algoritmos genéticos multi-objetivo

Los Algoritmos Genéticos (AG) ejecutan operaciones aleatorias sobre una población

de individuos, semejantes a las que se realizan durante el proceso de la evolución biológica

(mutaciones y recombinaciones). De manera similar a lo que ocurre en la naturaleza, los

individuos más adaptados tienen mayor probabilidad para sobrevivir y reproducirse con

respecto a los menos aptos. Jimenez y Sánchez (2002) identifican los siguientes elementos

43

Figura 3.1: Esquema general de un algoritmo genético

característicos de un AG (ver figura 3.1):

• Una representación del espacio de soluciones.

• Un método para crear nuevos individuos.

• Un criterio para comparar individuos entre sí, usualmente expresado mediante una

función de adaptación.

• Un método para seleccionar los individuos más adaptados.

• Un conjunto de operadores de variación.

• Un conjunto de parámetros que guían la evolución del algoritmo: tamaño de la

población, número de iteraciones, probabilidades de aplicación de los operadores,

etc.

• Un criterio de parada.

Tradicionalmente se considera que los AG realizan de manera adecuada la búsqueda

global (exploración) pero no son eficientes para la explotación de las soluciones (Hart,

1994). Otra importante desventaja de estos algoritmos es que no existen reglas precisas

para ajustar los parámetros que controlan la dinámica del algoritmo, ni para decidir el

tipo de operador que conviene utilizar (Eiben & Smith, 2003).

No obstante, numerosos autores han publicado reportes en los que afirman que este tipo

de herramientas han permitido resolver problemas de optimización de alta complejidad,

especialmente en aplicaciones de control automático (Fleming & Purshouse, 2002).

443.3.1 Operadores de variación

A continuación se describen algunos operadores de variación que transforman uno

o más vectores reales en otro u otros vectores reales. Cada operador se aplica sobre uno o

varios individuos con una probabilidad, denotada pc en el caso de los operadores de cruce

y pm en el caso de los operadores de mutación.

La terminología que se adopta en este capítulo fue propuesta en (Eiben & Smith, 2003).

En particular, se denomina cromosoma a la estructura que contiene la información genética

de un individuo, la cual puede venir expresada en diversos formatos alfa-numéricos. Cada

cromosoma está compuesto por diversos genes, los cuales se asocian con las variables de

decisión del problema de optimización.

Operadores de cruce

Los operadores de cruce generan nuevos individuos (hijos) a partir de la informa-

ción de dos o más padres. De acuerdo con la naturaleza de la operación que llevan a cabo,

es posible identificar dos tipos:

• Operadores discretos, caracterizados por uno, dos o más puntos de cruce, tal

como se muestra en las figuras 3.2 y 3.3. Cada punto de cruce define una sección de

cromosoma que será heredada por uno de los hijos. En el caso extremo, si cada gen

se elige aleatoriamente a partir del cromosoma de uno de los padres, el operador de

cruce se denomina uniforme.

• Operadores continuos, entre los cuales es posible mencionar el operador arit-

mético. Sean x1 y x2 los cromosomas correspondientes a dos individuos pertenecientes

a la población. El operador de cruce aritmético genera dos nuevos individuos x1 y

x2 mediante

x1 = αx1 + (1− α)x2 (3.29)

x2 = (1− α)x1 + αx2donde α es un escalar aleatorio uniformente distribudo en el intervalo [0, 1]. Note

que si la región factible es convexa y los padres x1,x2 son factibles, los hijos x1,x2generados por este operador son igualmente factibles.

45

Figura 3.2: Operador discreto de cruce de un punto. El punto de cruce se encuentra enla mitad del cromosoma.

Figura 3.3: Operador discreto de cruce de dos puntos.

Un operador continuo citado frecuentemente en la literatura es el Simulated Binary

Cross-Over (SBX) propuesto en (Deb & Agrawal, 1995). Este operador produce dos hijos

a partir de dos padres mediante las ecuaciones :

x1i =1

2(1 + βi)x1i +

1

2(1− βi)x2i (3.30)

x2i =1

2(1− βi)x1i +

1

2(1 + βi)x2i

con

βi =

(2ri) 1ηc+1 , si ri ≤ 12( 12(1−ri)) 1ηc+1 (3.31)

donde ri es una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [0, 1] y ηc es

un coeficiente que regula la distancia entre los cromosomas de los padres y los hijos. Un

valor ηc ≫ 1 produce hijos que con alta probabilidad se encuentran muy cerca de sus

padres en el espacio de variables.

46Operadores de mutación

En el mundo natural, una mutación es un fenómeno poco común. En mamíferos

la tasa de mutación es de 1 en 2.2×109 bases nucleotídicas (Kumar & Subramanian, 2002)

mientras que en los virus es del orden de 1 en 100 (Malpica et al., 2002). En la mayoría de

los casos las mutaciones son letales para los organismos (los mutantes no suelen alcanzar

la edad reproductiva) pero a lo largo del proceso evolutivo, contribuyen a incrementar la

diversidad genética de la especie.

De cualquier forma, el operador de mutación se aplica únicamente a un porcentaje

reducido de los genes totales de la población. Este porcentaje se puede seleccionar de

dos maneras: de forma fija, especificando el mismo porcentaje de mutación en todas

las generaciones del algoritmo genético y de forma variable, por ejemplo reduciendo el

porcentaje de una generación a otra. De esta manera, se intenta realizar una búsqueda

más amplia al principio del algoritmo y más restringida en las generaciones finales.

Un operador de mutación puede ser representado de la forma

〈x1,x2, . . . ,xn〉 → 〈x1,x2, . . . ,xn〉 (3.32)

donde el vector x representa al individuo original y x representa al mutante. Un tipo

común de mutación es la perturbación aletoria, definida mediante

xi = xi + δi , ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} (3.33)

donde cada δ es un vector aleatorio de distribución uniforme, gaussiana u otra.

3.3.2 Esquemas de selección

Por convención, se denota µs al número de padres que conforman la población

actual, a partir de los cuales se generan λs hijos. En un algoritmo de tipo (µs, λs) los hijos

son directamente seleccionados para ser parte de la próxima generación (sin competencia

en contra de sus padres). Si λs < µs es necesario completar a partir de los antiguos padres.

Si λs > µs es posible eliminar los peores hijos hasta que queden exactamente µs.Por el contrario, en un algoritmo de tipo (µs + λs) se establece una competencia entre

padres e hijos para seleccionar los µs sobrevivientes.

47Se han propuesto numerosos métodos para la selección de un sub-conjunto de indi-

viduos a partir de una población inicial. La mayoría se basa en la definición de una

función de adaptación (fitness) Fit(i) ≥ 0 para cada individuo i, lo cual permite realizar

comparaciones.

Por ejemplo, el torneo binario consiste en seleccionar al azar (con probabilidad uni-

forme) dos individuos pertenecientes a la población. Sean Fit(i) y Fit(j) los valores de la

función de adaptación correspondientes a los individuos i, j. El torneo binario selecciona

el individuo i si y sólo si se cumple Fit(i) ≥ Fit(j) (se dice en este caso que i está más

adaptado que j). En caso contrario se selecciona el individuo j.

Otro método consiste en asignar a cada individuo i una probablidad de selección pro-

porcional a su función de adaptación de la forma

pi =Fit(i)∑µsi=1 Fit(i) (3.34)

Sin embargo, el método descrito en el párrafo anterior presenta desventajas debido a

que suele conducir a dos situaciones extremas: convergencia prematura o convergencia

lenta. Por esta razón, Eiben y Smith (2003) recomiendan una alternativa basada en el

ordenamiento de la población en valores decrecientes de la función de adaptación y la

asignación de la probabilidad de selección mediante la fórmula

pi =2− s

µs +2(µs − r(i) + 1)(s− 1)

µs(µs + 1)(3.35)

donde r(i) es el rango del individuo en la lista ordenada y s ∈ [1, 2] es un parámetro que

controla la presión de selección. Cuando s se acerca a 2, mayor presión se ejerce para

seleccionar los mejores individuos. Por el contrario, cuando s se acerca a 1, todos los

individuos tienen idéntica probabilidad de selección.

3.3.3 Métodos de archivo

El problema de la gestión de archivo se presenta de manera natural cuando se

intenta generar una aproximación finita, lo más cercana y bien distribuida posible con

respecto al verdadero frente de Pareto. La idea básica para la gestión del archivo consiste

en comparar la solución actual con respecto a las que ya existen en el archivo, para

posteriormente decidir si es conveniente o no incluir la nueva, eliminando las soluciones

dominadas por esta última.

48Para comprobar si una solución pertenece o no al archivo es posible considerar un

criterio de similitud, ya sea en el espacio objetivo o en el espacio de variables. El objetivo

consiste en evitar que se archiven soluciones duplicadas o muy similares, de tal manera

que se preserve la diversidad genética y se mejore la distribución de las soluciones.

También es posible considerar cualquier otro criterio que se estime conveniente para

favorecer el tipo de soluciones que se desea archivar, o utilizar conceptos especiales de

dominancia, que incluyan las preferencias del diseñador. Cuando el archivo sobrepasa

su capacidad máxima es necesario eliminar algunas soluciones, tomando en cuenta por

ejemplo una medida de densidad, para favorecer a las soluciones pertenecientes a las

regiones menos pobladas.

3.3.4 Tratamiento de las restricciones

Un problema de optimización multi-objetivo con restricciones puede plantearse

como sujeto a

minx∈X ( f1(x) f2(x) . . . fM(x))T

sujeto a:

g1(x) ≤ 0

g2(x) ≤ 0...

gR(x) ≤ 0

(3.36)

Una estrategia frecuentemente considerada consiste en transformar el problema en uno

sin restricciones mediante la incorporación de una función de penalidad por cada objetivo,

de la forma

minx∈X f1(x) + p1(x) (3.37)

minx∈X f2(x) + p2(x)

...

minx∈X fM(x) + pM(x)

donde usualmente se toma

pi(x) =R∑j=1 wij [max (0, gj(x))] , i = 1, 2, . . .M (3.38)

49y los parámetros wij son pesos que deben ser ajustados para ponderar el efecto de cada

restricción sobre cada función objetivo. Precisamente, una desventaja de este enfoque es

que puede ser difícil seleccionar estos pesos de manera que el algoritmo explore la región

factible de manera eficiente (Coello et al., 2007).

Algunos investigadores han propuesto transformar las restricciones del problema en R

nuevos objetivos, de manera que el problema se reformula como

minx∈X f1(x) minx∈X g1(x) (3.39)

minx∈X f2(x) minx∈X g2(x)

......

minx∈X fM(x) minx∈X gR(x)

Otra forma de atacar el problema de las restricciones consiste en modificar los esquemas

de selección de individuos, para dar prioridad a los individuos factibles con respecto a los

no factibles. También es posible utilizar operadores de reparación los cuales utilizan algún

mecanismo para transformar un individuo no factible en factible.

En general se recomienda no eliminar por completo a todos los individuos no factibles,

con el objeto de permitir la captura de las regiones del conjunto de Pareto que pertenezcan

a las fronteras de la región de factibilidad.

A continuación se presentan tres algoritmos frecuentemente citados en la literatura y

que, con numerosas variantes y mejoras, conforman el estado del arte en el área de la

optimización genética multi-objetivo.

3.3.5 Multi-Objective Genetic Algorithm (MOGA)

Propuesto originalmente por Fonseca (1995), este algoritmo ha sido utilizado en

numerosas aplicaciones de control (Chipperfield & Fleming, 1996; Chipperfield et al, 1998;

Duarte et al, 2000). Por ejemplo, en (Griffin et al., 2000) se utilizó para resolver un pro-

blema de diseño caracterizado por 10 objetivos y 12 variables de decisión. En (Adra et al.,

2005a) se propuso una versión híbrida para optimizar el sistema de control de una aeronave.

También en (Silva et al., 2008) se utilizó para diseñar el controlador H∞ de una turbina

de gas. Estos autores redujeron los tiempos de simulación mediante aproximaciones del

proceso no-lineal.

50El funcionamiento de MOGA se explica a continuación (ver algoritmo 3.2). A cada

individuo se le asigna un rango rMOGA de acuerdo al número de otros individuos que lo

dominan.

Entradas :P0 : Población inicial N : Número máximo de generacionesµs número de padres que conforman la poblaciónλs número de hijos a ser generadospc probabilidad de crucepm probabilidad de mutaciónσshare : Tamaño deseado para cada sub-poblaciónSalidas : P : Aproximación del Conjunto de Paretok = 1;1Mientras k ≤ N hacer2

Pk = Pk−1;3Calcular la función de adaptación para cada individuo de Pk de acuerdo con la4ecuación 3.41;Seleccionar los padres;5Aplicar los operadores de variación para generar los hijos;6Calcular la función de adaptación para cada individuo de Pk incluyendo a los7hijos generados en el paso anterior;Seleccionar los sobrevivientes y almacenarlos en Pk;8k = k + 1;9

Fin10Algoritmo 3.2 : Multi-Objective Genetic Algorithm (MOGA)

De esta forma, el rango rMOGA de un individuo i ∈ {1, 2, . . . µs} viene dado por:

rMOGA(i) = 1 + psup(i) (3.40)

donde psup(i) es el número de individuos que dominan a i (los no-dominados tendrán rango

1). En la figura 3.4 se muestra un ejemplo del rango correspondiente a una población de

7 individuos, en un problema de dos objetivos.

Para seleccionar los mejores individuos, MOGA adopta un mecanismo llamado fitness

sharing que consiste en calcular la función de adaptación de cada individuo mediante la

fórmula

Fit(i) =µs − rMOGA(i) + 1

µs µs∑j=1 Φ(dij) (3.41)

Φ(dij) =

1−( dijσshare)2 , si dij ≤ σshare

0, si dij > σshare (3.42)

51

Figura 3.4: Ejemplo de cálculo de rango para el algoritmo MOGA

donde

dij =∥∥Fi − Fj∥∥2 (3.43)

F es el vector de funciones objetivo y σshare representa la distancia mínima deseada (en

el espacio objetivo) entre dos soluciones pertenecientes a la aproximación final del Frente

de Pareto.

Este mecanismo penaliza a los individuos que habitan en zonas densamente pobladas,

intentando conservar la diversidad genética y mejorar la distribución.

3.3.6 Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA-II)

Este algoritmo (Deb et al., 2000) es uno de los más ampliamente citados en la

literatura. En cuanto a las aplicaciones de control, en su tesis de doctorado Lagunas

(2004) lo utiliza para sintonizar los parámetros de un controlador PID de dos grados de

libertad. Por su parte, Dupuis et al (2004) presentan el diseño de un controlador PID

cuyos objetivos se plantean en función de las diferencias entre los índices deseados y los

índices simulados. También, Reyes et al (2009) presentan el diseño multi-objetivo de un

controlador difuso caracterizado por 50 variables de decisión.

El NSGA-II asigna un rango rNSGA−II(i) a cada individuo i ∈ {1, 2, . . . µs}, calculadocomo se explica a continuación. En cada iteración j (ver algoritmo 3.4) se determinan los

individuos no-dominados y se les asigna rango j. Seguidamente se eliminan los individuos

no-dominados de la sub-población actual y se comienza una nueva iteración (ver algoritmo

3.3). En la figura 3.5 se muestra un ejemplo de los rangos correspondientes a la misma

población presentada en la figura 3.4.

52

Entradas : P0 : Población inicialSalidas : rNSGA−II : Vector de rangos correspondiente a P0j = 1;1Mientras |Pj| > 0 hacer2

Generar el conjunto Qj de vectores no-dominados pertenecientes a Pj;3Actualizar el vector rNSGA−II asignando rango j a los individuos pertenecientes4a Qj;Pj+1 = Pj/Qj;5j = j + 1;6

Fin7Algoritmo 3.3 : Asignación de rango NSGA-II

Rango 1

Rango 2Rango 3

Figura 3.5: Ejemplo de cálculo de rango para el algoritmo NSGA-II

La preservación de diversidad de NSGA-II se basa en calcular para cada individuo una

cantidad llamada crowding distance, calculada como se explica a continuación (ver figura

3.6). En primer lugar se seleccionan los individuos que tengan el mismo rango. Luego se

ordenan estos individuos en valores crecientes con respecto al objetivo i ∈ {1, 2, . . .M}.

Sea ki el índice que corresponde a un individuo cualquiera en la lista ordenada con respecto

al objetivo i, de forma que sus vecinos más cercanos tengan índices ki − 1 y ki + 1.

53

Entradas :P0 : Población inicial N : Número máximo de generacionesµs número de padres que conforman la poblaciónλs número de hijos a ser generadospc probabilidad de crucepm probabilidad de mutaciónSalidas : P : Aproximación del Conjunto de Paretok = 1;1Mientras k ≤ N hacer2

Pk = Pk−1;3Calcular el vector de rangos y crowding distance para cada individuo en Pk;4Seleccionar los padres mediante torneo binario modificado;5Aplicar operadores de variación;6Calcular el vector de rangos y crowding distance para cada individuo en Pk7incluyendo los hijos generados en el paso anterior;Seleccionar los sobrevivientes mediante torneo binario modificado y8almacenarlos en Pk;k = k + 1;9

Fin10Algoritmo 3.4 : Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA-II)

d1

d2

crowding distance =

d1 + d2

crowding distance =∞

crowding distance =∞

Figura 3.6: Ejemplo de cálculo de crowding distance para el algoritmo NSGA-II

54El valor del crowding distance se calcula mediante la fórmula:

crowding distance =M∑i=1 Fki+1i − Fki−1i (3.44)

El mecanismo de selección utilizado por NSGA-II es un torneo binario modificado:

entre dos individuos se prefiere al que tenga menor rango. Si los rangos son iguales,

entonces se prefiere al que tenga el mayor valor de crowding distance.

3.3.7 Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA2)

Este algoritmo fue propuesto en (Zitzler et al., 2001) como una versión mejorada

del algoritmo SPEA (Zitzler, 1999). Pocas aplicaciones se han publicado en el área de

sistemas de control. Una de ellas fue presentada por Wang et al (2008) en la cual describen

el diseño de un controlador robusto para un sistema de calentamiento a base de vapor.

El SPEA2 utiliza un archivo externo A para almacenar los individuos no dominados

(ver algoritmo 3.5) generados durante el proceso de búsqueda.

Entradas :P0 : Población inicial N : Número máximo de generacionesµs número de padres que conforman la poblaciónλs número de hijos a ser generadospc probabilidad de crucepm probabilidad de mutaciónSalidas : Ak = 1;1Mientras k ≤ N hacer2

Calcular la función de adaptación Fit(i) para los individuos pertenecientes a Pk3y A;Seleccionar los padres mediante torneo binario modificado;4Aplicar operadores de variación;5Calcular la función de adaptación Fit(i) para los individuos pertenecientes a Pk6, A y los hijos generados en el paso anterior;Actualizar el archivo A;7Seleccionar los sobrevivientes mediante torneo binario modificado y8almacenarlos en Pk;k = k + 1;9

Fin10Algoritmo 3.5 : Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2

55A cada individuo i se le asigna un valor S(i) llamado fuerza (del inglés, strength) que

se calcula como:

S(i) =∣∣{j : j ∈ P ∪A ∧Fi Fj}∣∣ (3.45)

es decir es el número de individuos que son dominados por i en el conjunto unión de P

y A. Posteriormente se calcula la suma de las fuerzas de los individuos que dominan a i

obteniendo

R(i) =∑j∈P∪P,zj zi S(j) (3.46)

En la figura 3.7 se presenta un ejemplo del cálculo de estos valores.

S=2

R=0

S=3

R=0S=2

R=0

S=3

R=0

S=1

R=2

S=1

R=6

S=1

R=8

S=0

R=13

Figura 3.7: Ejemplo de cálculo de S y R para el algoritmo SPEA2

Por otra parte se calcula un valor de densidad D(i) para cada individuo, definida como:

D(i) =1

2 + σi (3.47)

donde σi corresponde a la distancia entre el individuo i y su k-ésimo vecino más cercano

(ver figura 3.8). El valor de k se toma como el entero más cercano a√|P |+ |A|.

Finalmente, la función de adaptación Fit(i) de cada individuo se obtiene como

Fit(i) =1

R(i) + D(i)(3.48)

Para seleccionar los padres selecionan todos los individuos cuyo Fit(i) sea mayor que 1 (no-

dominados). Si este número es menor que λs, se completa con individuos cuyo Fit(i) sea

el mayor posible. En caso contrario se utiliza un mecanismo para eliminar los individuos

que habiten en las zonas de más alta densidad.

56

k-ésimo vecino más

cercano 1

2

3

σ

Población de 9 individuos → k = 3

distancia

Figura 3.8: Ejemplo de cálculo de la distancia σ para el algoritmo SPEA2

Para finalizar esta sección, en la tabla 3.1 se presenta un resumen de las ventajas y

desventajas de los tres algoritmos descritos anteriormente.

Tabla 3.1: Resumen de ventajas y desventajas de los algoritmos MOGA, NSGA-II ySPEA2

Algoritmo Ventajas DesventajasMOGA Utiliza un mecanismo

de asignación de rangosencillo

El usuario necesita es-pecificar el parámetroσshare

NSGA-II Utiliza un mecanismorápido para laasignación de rango.No necesita especi-ficar parámetrosadicionales

No integra la gestiónde un archivo externopara las soluciones no-dominadas

SPEA2 Utiliza un archivoexterno para alma-cenar las solucionesno dominadas. Nonecesita especi-ficar parámetrosadicionales

Es más lento com-parado con MOGA YNSGA-II

573.4. Evaluación de desempeño

El tema de la evaluación del desempeño de algoritmos multi-objetivo se encuentra

todavía en desarrollo. En esta sección se presentan en primer lugar los indicadores que

serán utilizados en los próximos capítulos. Luego se describe brevemente la prueba de

Wilcoxon, la cual permite la comprobación de hipótesis relacionadas con las medianas de

dos conjuntos de datos.

3.4.1 Índices de desempeño

Básicamente, son tres los aspectos que se miden mediante los índices que se han

propuesto (Coello et al., 2007):

• Cantidad de soluciones no-dominadas.

• Distancia entre las soluciones no-dominadas y las soluciones del COGP.

• Distribución de las soluciones no-dominadas: se desea obtener una distribución lo

más uniforme y completa que sea posible (que cubra la mayor parte del COGP).

Es interesante notar que la evaluación de las aproximaciones es también un problema

de naturaleza multi-objetivo. Por ello, los expertos recomiendan usar varios indicadores

para evaluar los distintos aspectos del desempeño de un algoritmo. En lo que sigue se

denota P a una aproximación cualquiera de P∗ y PF a la aproximación correspondiente

de PF∗.Distancia generacional

Este indicador, denotadoGD, mide la distancia promedio de las soluciones pertenecientes

a la aproximación PF con respecto a PF∗.GD =

1

|PF|

√√√√|PF|∑i=1 |di|2 (3.49)

di = minzk∈PF∗ ∥∥zi − zk∥∥ (3.50)

De igual forma es posible evaluar la Distancia Generacional Inversa (IGD) mediante la

fórmula

IGD =1

|PF∗|√√√√|PF∗|∑i=1 |di|2 (3.51)

58di = minzk∈PF ∥∥zi − zk∥∥ (3.52)

Mientras menores sean ambas medidas, mejor será la aproximación correspondiente.

Sin embargo, estos indicadores no son necesariamente compatibles: si uno tiene un valor

cercano a cero, esto no implica que el otro también lo tenga. En la figura 3.9 se muestran

dos ejemplos para ilustrar esta situación. La gráfica de la izquierda corresponde a un caso

en cual se tendría un valor bajo para GD y alto para IGD. La gráfica de la izquierda

muestra un ejemplo de la situación inversa.

f1

f2

GD ↓ IGD ↑

f1

f2

GD ↑ IGD ↓ Caso:

Caso:

Figura 3.9: Ejemplo de dos aproximaciones con distintos valores para los indicadoresGD, IGD

Distancia máxima

Es la distancia máxima medida entre dos soluciones cualesquiera pertenecientes a

la aproximación. En otras palabras, este indicador mide la extensión de la aproximación

del frente de Pareto (ver figura 3.10).

DMAX = maxzi,zk∈PF ∥∥zi − zk∥∥ (3.53)

Cobertura

Este indicador binario fue propuesto en (Zitzler, 1999), para comparar dos aproximaciones

PF1 y PF2, sin necesidad de conocer el COGP. Se define como sigue a continuación:

C (PF1,PF2) =|{z2 ∈ PF2 tales que ∃z1 ∈ PF1 : z1 z2}|

|PF2| (3.54)

59

f1

f2

DMAX

Figura 3.10: Ejemplo de cálculo para el indicador DMAX

Mide la proporción de elementos de PF2 que son dominados por al menos un elemento

de PF1. Por ejemplo, C(PF1,PF2) = 1 implica que todos los elementos de PF2 son

dominados por al menos un elemento de PF1.Espaciado

Propuesto en (Schott, 1995), este indicador mide la desviación de las distancias

entre los vecinos más cercanos en el espacio objetivo. Se define como sigue a continuación:

ESS =1

|PF|

√√√√|PF|∑i=1 ∣∣di − d

∣∣2 (3.55)

di = minzk∈PF,k �=i ∥∥zi − zk∥∥ , d =1

|PF|

|PF|∑i=1 di (3.56)

En la tabla 3.2 se muestra un resumen de los diferentes indicadores junto con el valor

ideal para cada uno de ellos. El símbolo ∞ significa que mientras más grande es el valor,

mejor es la aproximación con respecto al indicador correspondiente.

60Tabla 3.2: Resumen de indicadores de desempeño

Indicador Símbolo Valor IdealDistancia generacional GD 0

Distancia generacional inversa IGD 0Distancia máxima DMAX ∞

Cobertura C 1Espaciado ESS 0

3.4.2 Pruebas estadísticas

Los algoritmos genéticos pueden ser considerados fundamentalmente como pro-

cesos estocásticos. El mismo algoritmo, partiendo de las mismas condiciones iniciales,

produce resultados distintos cada vez que se ejecuta, lo cual justifica el empleo de me-

didas y pruebas estadísticas para comparar los resultados producidos por dos algoritmos

cualesquiera.

En particular, la prueba de Wilcoxon utiliza como estadístico de decisión W la suma

de los rangos de cada observación, siendo el rango el número que le corresponde a cada

observación cuando se ordenan todas en orden ascendente.

Suponga que se realizan siete ejecuciones de dos algoritmos, A1 y A2, comenzando a

partir de la misma población inicial. Posteriormente se calculan los valores correspondientes

a un indicador de desempeño I obteniendo los resultados de la tabla 3.3.

Tabla 3.3: Ejemplo de valores obtenidos para el indicador I correspondientes a 7 ejecu-ciones de los algoritmos A1 y A2

I A1 A21 0.44 0.502 0.55 0.483 0.61 0.584 0.53 0.525 0.56 0.596 0.45 0.657 0.54 0.70

Promedio 0.52 0.57

La prueba consiste en formular una hipótesis nula de la forma

H0 : IA1 = IA2 (3.57)

61y una hipótesis alternativa

H1 : IA1 = IA2 (3.58)

con un nivel de significancia α, donde IA1 y IA2 son las medianas de cada proceso estocás-

tico. En la figura 3.11 se muestra el cálculo de los estadísticos WA1, WA2 para el ejemplo

de la tabla 3.3.

Figura 3.11: Cálculo de los rangos para la prueba Wilcoxon

Si el p-valor correspondiente a la prueba es menor que α entonces se rechaza la hipótesis

H0. Este valor puede obtenerse mediante la instrucción ranksum de MATLAB R© y es igual

a 0.3829 para este caso, por lo cual no existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis

H0 con un nivel de significancia α = 0.05.


En este capítulo se definieron algunos conceptos básicos relacionados con el área

de optimización multi-objetivo y algoritmos genéticos, tales como conjunto y frente de

Pareto, dominancia, direcciones de descenso, conos de diversidad, operadores de variación

y esquemas de selección.

Se realizó un breve repaso de las estrategias que pueden ser utilizadas para resolver un

problema de esta naturaleza, las cuales pueden ser agrupadas en 3 categorías:

• Formulación de preferencias a priori

• Formulación de preferencias de manera interactiva

• Formulación de preferencias a posteriori

62Con respecto a esta última categoría, se presentó un breve análisis de los algoritmos

MOGA, NSGA-II y SPEA2, los cuales son los más citados en la literatura y constituyen

el estado del arte en esta área.

Un punto importante para la evaluación del desempeño de estos algoritmos consiste

en la definición de índices para medir la calidad de las aproximaciones generadas. En este

capítulo se definieron índices tales como la distancia generacional, distancia generacional

inversa, cobertura, espaciamiento, etc.

Puesto que el proceso de búsqueda es fundamentalmente estocástico, se hace im-

prescindible el uso de pruebas estadísticas para la correcta evaluación de los resultados.

La prueba de Wilcoxon presentada permite la comprobación de hipótesis relacionadas

con las medianas de dos conjuntos de datos, sin necesidad de conocer las distribuciones

probabilísticas asociadas. Esta prueba será utilizada en los próximos capítulos para evaluar

el desempeño de los algoritmos propuestos.

CAPÍTULO IV

DISEÑO DE CONTROLADORES PID MULTI-OBJETIVO

En este capítulo se proponen nuevos operadores de variación, especialmente conce-

bidos para el diseño de controladores PID mediante algoritmos genéticos. La idea principal

consiste en garantizar la generación y el mantenimiento de una alta proporción de indi-

viduos factibles durante todo el proceso de búsqueda.

En primer lugar se utiliza el método propuesto en (Hohenbichler & Abel, 2008) para

generar los vértices de la región factible correspondiente al sistema a lazo cerrado. Poste-

riormente se propone un nuevo método para aproximar la geometría de la región factible,

basado en muestreo aleatorio uniforme (Calafiore & Dabbene, 2006).

Parte de los resultados presentados en este capítulo fueron previamente incluidos como

parte de las publicaciones (Sánchez et al., 2008a) y (Sánchez et al., 2009).

4.1. Antecedentes

Es posible encontrar en la literatura numerosas referencias de trabajos previos

relacionados con el problema que se intenta resolver en este capítulo, basados tanto en

algoritmos deterministas como aleatorios.

Con respecto a los primeros, Åström et al (1998) utilizaron el algoritmo de Newton-

Raphson para minimizar la energía de la señal de error en un lazo de control PID sujeto

a la acción de una perturbación de salida. Estos autores señalan que el resultado de la

optimización depende fundamentalmente del punto de inicio seleccionado.

Hwang & Hsiao (2002) resuelven el problema no-convexo de la siguiente forma: parten

de un valor arbitrario para la constante derivativa y a partir de allí resuelven el problema

de dos variables (proporcional/integral) incluyendo restricciones para asegurar estabilidad.

64Granado et al (2007) presentan el diseño de un controlador PID multivariable robusto,

el cual garantiza la estabilidad a lazo cerrado de sistemas lineales sujetos a incertidum-

bre poliédrica. El algoritmo de diseño se basa en resolver un conjunto de BMIs (Bilinear

Matrix Inequalities) de manera iterativa. Tal como se mencionó en la introducción, la

desventaja de este tipo de enfoques es que las soluciones encontradas pueden ser en oca-

siones demasiado conservadoras y por otra parte únicamente consiguen una solución en

cada ejecución (ver capítulo 6).

Con respecto al empleo de algoritmos aleatorios, Herreros (2000) propuso dos nuevos

algoritmos en su tesis de doctorado, a saber MRCD y MRCD-min-max. Este autor diseñó

controladores PIDs para los sistemas de ensayo de bajo órden propuestos en (Astrom et

al., 1998), consiguiendo mejores soluciones que las obtenidas mediante LMIs.

En (Dupuis et al., 2004) se reporta el diseño de un PID para controlar la velocidad

de giro de un motor de corriente continua, utilizando el algoritmo NSGA-II. Los obje-

tivos fueron planteados en función de la diferencia entre la dinámica obtenida durante

la simulación y la dinámica deseada. Se tomó en cuenta el criterio de estabilidad de

Routh-Hurwitz a efectos de generar individuos estables.

Por último, en su tesis doctoral Lagunas (2004) utilizó el NSGA-II para diseñar contro-

ladores PIDs en el caso de los sistemas de ensayo SISO propuestos en (Astrom et al., 1998).

Se consideraron los siguientes objetivos: seguimiento de la señal de referencia, rechazo de

perturbación en la carga, atenuación de ruido en la medición, robustez ante variaciones de

los parámetros de la planta y acotamiento de la señal de control.

4.2. Método de diseño basado en el cálculo exacto de la región deestabilidad

Los algoritmos genéticos operan en el interior de un espacio de búsqueda finito,

generalmente definido por el diseñador, el cual debe incluir la región factible para que el

proceso de búsqueda sea capaz de conseguir soluciones válidas.

Típicamente, la población inicial es generada mediante muestreo aleatorio uniforme en

el espacio de búsqueda. Esto significa que cada cromosoma xi, i = 1, 2, . . . µs, es generado

mediante la fórmula

xij = Lj + rj (Lj − Lj) , j = 1, 2, . . . n (4.1)

65donde L,L ∈ Rn son vectores que definen el intervalo de búsqueda para cada variable de

decisión y cada ri es una variable aleatoria distribuida uniformemente en [0, 1].

Sin embargo, este método puede resultar bastante ineficiente para producir una alta

proporción de individuos factibles, en aplicaciones de diseño de controladores. Para ilustrar

este hecho, suponga que se desea generar de manera aleatoria un conjunto de controladores

PID, caracterizados por su función de transferencia

KPID(s) =KDs2 + KPs + KI

s(4.2)

para estabilizar el modelo (Ackermann & Kaesbauer, 2003):

G0(s) =A(s)

B(s)=

−0.5s4 − 7s3 − 2s + 1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4)(s2 + s + 1)(4.3)

el cual posee una complejidad superior a los que típicamente se han analizado en trabajos

previos (órden 6 y fase no-mínima).

Sean L,L ∈ R3 los vectores que definen el intervalo de variación para cada parámetro

PID, de forma que

KP ∈ [L1, L1] (4.4)

KI ∈ [L2, L2]KD ∈ [L3, L3]

Suponga que se toman N muestras en el interior del volumen definido por L,L y sea

Ns(L,L) el número de individuos factibles correspondiente, es decir:

Ns(L,L) =N∑i=1 St(KPIDi) (4.5)

con

St(KPID) =

0 si max {Re [λ(KPID)]} ≥ −ε

1 en caso contrario(4.6)

donde ε > 0 es un parámetro que define la tolerancia considerada para la región de

estabilidad y λ(KPID) denota el vector de raices de la ecuación

B(s) + KPID(s)A(s) = 0 (4.7)

La tabla 4.1 muestra el promedio de la proporción de individuos factibles NsN para distintos

valores de L,L, calculada para N = 1000, ε = 0.01 y repitiendo el experimento un total

66de 100 veces. Note que la mejor proporción (≈ 40%) se logra en el caso L = [−1,−1,−1]

y L = [1, 1, 1] (el valor mostrado entre paréntesis corresponde a la desviación standard del

cociente NsN ).

Tabla 4.1: Proporción de individuos factibles para distintos valores de L, L

L L NsN[−0.1,−0.1,−0.1] [0.1, 0.1, 0.1] 0(0)

[−1,−1,−1] [1, 1, 1] 0.3871(0.0155)[−10,−10,−10] [10, 10, 10] 0.1440(0.0130)

[−100,−100,−100] [100, 100, 100] 0(0)[−1000,−1000,−1000] [1000, 1000, 1000] 0(0)

Es posible concluir a partir de estos resultados que definir el espacio de búsqueda

de manera arbitraria puede ser muy ineficiente. Precisamente con el objeto de evitar

esta situación, se propone a continuación un método alternativo que permite resolver el

problema de diseño en dos etapas consecutivas.

Figura 4.1: Espacio de controladores PID estabilizantes correspondiente al modelo G0(s)determinado mediante el método de Hohenbichler y Abel (2008)

Durante la primera se determinan los límites de la región de controladores PID esta-

bilizantes (ver figura 4.1) utilizando el método de Hohenbichler y Abel (2008) presentado

en el capítulo 2.

67Durante la segunda etapa se genera una distribución uniforme de individuos en el

interior de los polígonos determinados por los límites calculados durante la etapa anterior,

utilizando el método que se explica a continuación.

La información de base son los vértices de los polígonos de estabilidad. Suponga que

para un polígono de V vértices se ordena esta información de la forma

v1v2...

vV

(4.8)

donde v1 está conectado con v2 y vV , v2 está conectado con v1,v3 y así sucesivamente.

En primer lugar se seleccionan dos aristas del polígono al azar. A su vez, en cada arista

se selecciona un punto al azar, sean xa y xb. Posteriormente se selecciona un punto xcperteneciente al segmento que une xa con xb (ver figura 4.2) mediante la fórmula

xc = αxa + (1− α)xb (4.9)

donde α es un escalar aleatorio perteneciente al intervalo [0, 1].

En el caso de la región estabilizante correspondiente a G0(s) se determinaron 25 polí-

gonos de estabilidad y se generaron 2 individuos al interior de cada uno de ellos, para

obtener una población inicial de 50 individuos.

Figura 4.2: Selección de un punto al azar en el interior de un polígono convexo

En cuanto a los operadores de variación, note que aunque para un mismo valor de KPla región factible es convexa, es posible que al cruzar dos individuos con distinto valor de

68KP se produzcan hijos no factibles. En este caso se propone utilizar el siguiente mecanismo

de reparación:

• Suponga que se conocen los dos padres x1y x2, a partir de los cuales se generan los

descendientes x1 y x2 mediante el operador de cruce aritmético de la forma:

x1 = αx1 + (1− α)x2 (4.10)

x2 = (1− α)x1 + αx2donde α es un escalar aleatorio perteneciente al intervalo [0,1].

• Si cualquiera de los descendientes no es factible, entonces se disminuye α a la mitad

y se genera un nuevo par de hijos.

• La mutación se realiza de forma similar, fijando α = 1 y a partir de un individuo

factible x se genera una mutación mediante

x = x + αδ (4.11)

donde δ es un vector aleatorio de distribución gaussiana. Si el individuo resultante

no es factible entonces se disminuye α a la mitad y se genera una nueva mutación.

Considere el lazo de control mostrado en la figura 4.3. Los bloques Wn(s) y Wd(s)

corresponden a funciones arbitrarias de ponderación en frecuencia. Las variables que

intervienen en el lazo son r(s), d(s) y n(s) como señales de referencia, perturbación y

ruido respectivamente.

Figura 4.3: Lazo con controlador PID

69Tradicionalmente, para el problema de regulación se considera r(s) = 0 y por lo tanto

a lazo cerrado se tiene:

y(s) = −KPID(s)G(s)

1 + KPID(s)G(s)Wn(s)n(s) (4.12)

+1

1 + KPID(s)G(s)Wd(s)d(s) (4.13)

= −T (s)Wn(s)n(s) + S(s)Wd(s)d(s) (4.14)

con

T (s) =KPID(s)G(s)

1 + KPID(s)G(s)(4.15)

S(s) =1

1 + KPID(s)G(s)(4.16)

La función de transferencia S(s) se conoce como función de sensibilidad, mientras

que T (s) se conoce como función de sensibilidad complementaria. Note que siempre

se cumple

S(s) + T (s) = 1 (4.17)

A partir de la ecuación (4.12) se concluye que para compensar los efectos de la perturbación

y del ruido, es necesario diseñar el controlador para que las normas de S(s) y T (s) tengan

el menor valor posible. Sin embargo, la ecuación (4.17) implica que no se puede disminuir

ambas normas simultaneamente.

El modelo de planta a lazo abierto es G0 (ver ecuación 4.3) y los filtros Wn y Wd se

definen como:

Wn(s) = 1, Wd(s) =1

s + 1(4.18)

El problema que se desea resolver se plantea como

minKPID∈K f1(KPID) (4.19)

minKPID∈K f2(KPID) (4.20)

con

f1(KPID) = ‖Wd(s)S(s)‖2 (4.21)

f2(KPID) = ‖Wn(s)T (s)‖2donde K es el conjunto de controladores estabilizantes.

70El problema de diseño que involucra exclusivamente normas H2 en los distintos canales

de la función de transferencia a lazo cerrado, puede ser resuelto de manera eficiente medi-

ante métodos de programación convexa, en caso de que no se imponga ninguna estructura

especial del controlador.

Por ejemplo, Khargonekar y Rotea (1991) resolvieron este problema asumiendo una

estructura de orden completo para los controladores y considerando un único objetivo en

términos de la suma convexa de las normas cuadráticas, de la forma

minαK∈R1×n f1(K) + (1− α)f2(K) (4.22)

donde para cada valor α ∈ [0, 1] se obtiene una solución perteneciente al frente de Pareto

del problema multi-objetivo.

En el presente caso, la dificultad radica en que se desea obtener controladores con una

estructura seleccionada a priori de tipo PID, lo cual dificulta el planteamiento en términos

de programación convexa.

Como base del proceso evolutivo se adopta el algoritmo SPEA2 (ver capítulo 3) con-

siderando que:

• Permite seleccionar la cantidad máxima y las características de las soluciones de la

aproximación, gracias a un manejo adecuado del archivo externo.

• Optimiza la distribución de las soluciones en el frente, sin necesidad de ajustar

parámetros dependientes de su geometría.

• Su desventaja con respecto al NSGA-II y al MOGA es que su tiempo de ejecución,

para un mismo problema, es relativamente más lento. Sin embargo, para el tipo de

problemas que se consideran en este trabajo, la velocidad de cómputo no se considera

una variable determinante.

En concreto, se presentan a continuación los resultados obtenidos a partir de dos ver-

siones de SPEA2:

• A1: El cual opera en un espacio de búsqueda definido de manera arbitraria como

−10 ≤ KP ,KI , KD ≤ 10 (4.23)

y utiliza una función de penalidad en cada objetivo para manejar la restricción de

estabilidad.

71• A2: El cual opera en el espacio de controladores estabilizantes determinado me-

diante el método de Hohenbichler y Abel, utilizando operadores especiales de cruce

y mutación (ver ecuaciones 4.10 y 4.11).

Se realizaron 30 ejecuciones de cada algoritmo y se almacenaron los resultados obtenidos.

En la figura 4.4 se muestra un ejemplo de las aproximaciones del frente de Pareto obtenidas

por cada algoritmo. En dicha figura se puede apreciar que A2 produce individuos (mar-

cados con �) que claramente dominan a las obtenidos por A1 (marcados con ×).

0.66 0.67 0.68 0.69 0.7 0.71 0.720.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

f1

f 2

Aproximación obtenida por A1Aproximación obtenida por A2

Controlador K1

Controlador K2

Figura 4.4: Ejemplo de las aproximaciones obtenidas por A1 y A2

La configuración utilizada para las pruebas de A1 y A2 se muestra en la tabla 4.2. Note

que se permitió un máximo de 2500 evaluaciones, distribuidas durante 50 generaciones,

para cada algoritmo. Esto motivado a que previamente se verificó de manera experimental

que estos números son suficientes para alcanzar una etapa del proceso en la cual las

aproximaciones de los frentes evolucionan lentamente con respecto al inicio.

En las figuras 4.5 y 4.6 es posible apreciar un ejemplo de la evolución de las aproxima-

ciones producidas por A1 y A2 después de haber transcurrido 1,25,40,48 y 50 generaciones.

Note que en ambos casos, las tres últimas generaciones corresponden a aproximaciones muy

parecidas entre sí.

Por otra parte, si se permite una magnitud mayor en el número de evaluaciones (p.ej.

10.000 o más) entonces en la práctica no es posible detectar diferencias significativas entre

los indicadores de desempeño producidos por cada algoritmo y no sería posible evaluar el

efecto de los nuevos operadores propuestos.

72

0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

f1

f 2

Ngen = 1Ngen = 25Ngen = 40Ngen = 48Ngen = 50

Figura 4.5: Evolución de las aproximaciones de los frentes. Algoritmo A1. Ngen es elnúmero de generación.

Tabla 4.2: Configuración utilizada para los algoritmos A1 y A2. Problema de diseño PIDParámetro Valor

Representación Números realesOperador de cruce Aritmético (A1) y Aritmético con retorno (A2)

Probabilidad de cruce 0.9Operador de mutación Perturbación gaussiana con retorno a la región factible

Probabilidad de mutación 0.1Condición de parada 50 generaciones

Número máximo de evaluaciones 2500Tamaño máximo del archivo externo 50

Esquema de selección (50+50)

0.65 0.7 0.75

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

f1

f 2

Ngen = 1Ngen = 25Ngen = 40Ngen = 48Ngen = 50

Figura 4.6: Evolución de las aproximaciones de los frentes. Algoritmo A2. Ngen es elnúmero de generación.

73Los resultados obtenidos para los indicadores C,N,DMAX y ESS (definidos en el

capítulo 3) se muestran en las tablas 4.3 y 4.4.

Tabla 4.3: Resultados obtenidos para el indicador de cobertura. Algoritmos A1 y A2C(Ai, Aj) A1 A2

A1 − 0.2043(0.3103)A2 0.5946(0.4552)∗ −

Tabla 4.4: Resultados de los indicadores ESS y DMAX. Algoritmos A1 y A2N DMAX ESS

A1 15.4667(15.1128) 0.1767(0.1559) 0.0118(0.0224)A2 36.5333(14.0804)∗ 0.3692(0.1629)∗ 0.0080(0.0082)

Tabla 4.5: P-valores correspondientes a las pruebas de Wilcoxon para determinar lasdiferencias que son estadísticamente significativas. Algoritmos A1, A2

Hipótesis Nula p− valor ConclusiónC(A1, A2) = C(A2, A1) 7.7540e− 004 Rechazar

N(A1) = N(A2) 1.9066e− 006 RechazarDMAX(A1) = DMAX(A2) 2.4321e− 005 Rechazar

ESS(A1) = ESS(A2) 0.4118 No Rechazar

El indicador N representa simplemente la cantidad de individuos almacenados en el

archivo de soluciones no-dominadas al finalizar la ejecución del algoritmo. El asterisco

corresponde al indicador que es significativamente mejor de acuerdo a la prueba deWilcoxon,

para un nivel de significancia α = 0.05. En la tabla 4.5 se presentan los p-valores cor-

respondientes a la prueba de Wilcoxon, los cuales nos permiten identificar las diferencias

entre los promedios que son significativas desde el punto de vista estadístico. Note que A2

obtiene mejores valores que A1 con respecto a los indicadores C,N y DMAX.

Estos resultados podrían haberse anticipado, puesto que A2 utiliza información especial

para mantener a la población dentro de la región factible durante todo el proceso de

búsqueda. Con respecto al espaciamiento de las soluciones, el indicador ESS no permite

identificar mayores diferencias, lo cual puede constatarse de manera gráfica observando la

figura 4.4.

Para ilustrar lo que representa la diferencia entre las aproximaciones obtenidas por A1

y A2 en términos prácticos, en la figura 4.8 se presenta una simulación del efecto de dos

controladores K1 y K2 (ver figura 4.4) ante la acción de las señales de perturbación y ruido

mostradas en la figura 4.7. En particular, es posible observar una reducción significativa

de los picos de la señal de salida.

74

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

y(t)

Perturbación p(t)Ruido n(t)

Figura 4.7: Perturbación y ruido que actúan sobre el lazo

0 20 40 60 80 100−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

y(t)

Respuesta del lazo con controlador K1Respuesta del lazo con controlador K2

Figura 4.8: Salida del lazo de control, afectada por perturbación y ruido

754.3. Método de diseño basado en la aproximación la región de

estabilidad

Tal como hemos visto en las sección anterior, la restricción de estabilidad es fun-

damental para el diseño de controladores automáticos. Cuando se intenta resolver el

problema mediante algoritmos genéticos, es posible utilizar una función auxiliar para pe-

nalizar los individuos inestables (no factibles) y tratar de guiar a la población hacia la

región estabilizante.

Sin embargo, esta estrategia puede conducir a fenómenos no deseados tales como con-

vergencia prematura en caso de que sea difícil encontrar soluciones factibles. Ante esta

situación, los investigadores han planteado dos tipos de enfoque:

• Utilizar un algoritmo que opere en un espacio de búsqueda con límites dinámicos,

que puedan adaptarse para no quedar atrapado dentro de una región no factible.

• Utilizar algun método para obtener información acerca de la geometría de las regiones

factibles.

Varios investigadores han propuesto espacios de búsqueda con límites dinámicos. De

hecho el algoritmo Multi-Objective Robust Control Design (MRCD) propuesto en (Her-

reros, 2000) utiliza límites dinámicos para el espacio de búsqueda y una división de la

población en islotes distribuidos.

En (Arakawa et al., 1998) se propone el algoritmo Adaptive Range Genetic Algorithm

(ARange GA) en el cual se adopta un espacio de búsqueda adaptivo que no necesita

especificar el rango para la población inicial.

En (Khor et al., 2002) se utiliza un enfoque de aprendizaje inductivo/deductivo para di-

rigir a la población hacia zonas que se encuentran fuera de los límites iniciales de búsqueda.

Los autores afirman que su método es capaz de adaptar la precisión de la representación

genética con el fin de mejorar las soluciones.

Otro algoritmo que puede citarse dentro de esta categoría es el Adaptive Range Multi-

Objective Genetic Algorithm (ARMOGA) propuesto en (Sasaki et al., 2002). Este algo-

ritmo calcula estadísticas en función de las muestras que se han tomado para decidir los

límites del espacio de búsqueda que se utilizarán en la siguiente iteración. Los autores

76afirman que su método permite reducir el número de evaluaciones necesarias para obtener

la aproximación de Pareto.

En otro orden de ideas, los métodos aleatorios han ganado aceptación para el estudio

de sistemas inciertos y una cantidad considerable de resultados han sido publicados en la

literatura (Calafiore & Dabbene, 2006). La idea básica consiste en considerar los parámet-

ros inciertos como variables aleatorias, lo que conduce a evaluar su desempeño en términos

de probabilidades. De manera recíproca, la síntesis probabilística consiste en determinar

los valores de los parámetros para que la probabilidad de obtener un buen desempeño sea

alta.

A continuación se propone un método de diseño que intenta determinar una aproxi-

mación de la geometría de la región factible mediante muestreo aleatorio puro. Es necesario

aclarar que el objetivo no es el cálculo de la región estabilizante como tal, ya que en este

caso el algoritmo de Hohenbichler y Abel permite determinarla de manera eficiente como

se mostró anteriormente. El objetivo que se persigue es mostrar que en algunos casos

es posible obtener aproximaciones que permiten mejorar la calidad de los diseños finales

obtenidos por el algoritmo genético.

Durante la primera etapa del método propuesto se resuelve un sub-problema que con-

siste en estimar los vértices del espacio de búsqueda que maximizan simultaneamente el

volumen y la proporción de individuos factibles, muestreados aleatoria y uniformemente.

Durante la segunda etapa se selecciona un conjunto de vértices en particular con el fin de

continuar la búsqueda evolutiva considerando los objetivos de diseño del problema original

y enfocándose en la región seleccionada.

Sea n el número de variables de decisión del problema (4.19) y L,L ∈ Rn vectores

reales que definen el intervalo de variación para cada una de las variables. En el caso del

diseño PID hemos visto que se tiene n = 3 y además

KP ∈ [L1, L1] (4.24)

KI ∈ [L2, L2]KD ∈ [L3, L3]

Consideremos el siguiente sub-problema:

minL,L∈Rn g1(L,L)

g2(L,L)

(4.25)

77con

g1(L,L) = 1−Ns(L,L)

N(4.26)

g2(L,L) =

Vmax − n∏i=1(Li − Li)Vmax (4.27)

y donde Ns es el número de individuos factibles obtenidos mediante muestreo aleatorio

en el interior del volumen definido mediante L,L, ver ecuación (4.5). El número N de

elementos del conjunto de muestreo puede ser estimada mediante la fórmula de Chernoff:

N =1

2ǫ2 ln2

δ(4.28)

y entonces se cumple:

Prob{∣∣∣∣p−

NsN

∣∣∣∣ ≤ ǫ

}≥ 1− δ (4.29)

donde

p = Prob{St(KPID) = 1} (4.30)

con ǫ, δ cantidades positivas que deben ser ajustadas en función de la precisión deseada.

Por otra parte, en la ecuación (4.27) la cantidad Vmax es el volumen máximo del espacio

de búsqueda, calculado como

Vmax = maxL,L∈Rn n∏i=1(Li − Li) (4.31)

Para la pruebas se seleccionaron los valores ǫ = δ = 0.1 lo cual conlleva a un muestreo

de 100 individuos por cada sub-región. Se consideró el mismo modelo a lazo abierto

estudiado en la sección anterior (ver figura 4.3) con Vmax = 20× 20× 20.

En la tabla 4.6 se muestra la configuración utilizada para la ejecución del SPEA2

durante esta primera etapa. Note que para este problema se permitió un total de 1000

evaluaciones de las funciones g1 y g2, lo cual es suficiente para seleccionar una aproximación

de la región factible.

La figura 4.9 permite apreciar un ejemplo del frente obtenido al finalizar esta etapa.

En dicha figura también es posible apreciar los intervalos PID correspondientes a las dos

soluciones extremas del frente de Pareto. Note el conflicto agudo entre los objetivos g1 y

g2, en el cual practicamente no existe solución de compromiso.

78Tabla 4.6: Configuración utilizada por SPEA2 durante la primera etapa del método deaproximación de la región factible

Parámetro ValorRepresentación Números reales

Operador de cruce Aritmético con reparaciónProbabilidad de cruce 0.9Operador de mutación Perturbación gaussiana con reparación

Probabilidad de mutación 0.1Condición de parada 20 generaciones

Número máximo de evaluaciones 1000Tamaño máximo del archivo externo 50

Esquema de selección (50+50)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

g1

g 2

KP∈ [−4.9,2.4]

KI∈ [0.19,6.24]

KI∈ [−5.9,3.2]

KP∈ [−20,20]

KI∈ [−20,20]

KI∈ [−20,20]

Figura 4.9: Ejemplo de aproximación obtenida al final de la primera etapa

Con respecto a los operadores de variación, a lo largo de esta primera etapa es necesario

utilizar un mecanismo de reparación para corregir los individuos que no correspondan

a un conjunto válido de vértices. Esta reparación consiste simplemente en ordenar la

información contenida en los cromosomas para asegurar que aparezcan en forma ordenada.

Una vez culminada la primera etapa, se selecciona un conjunto de vértices en particular

con el fin de continuar el proceso de búsqueda considerando el problema de diseño original

y enfocándose en la región delimitada por los vértices seleccionados.

A continuación se presentan los resultados obtenidos mediante los siguientes algoritmos:

• A1: que opera en un espacio de búsqueda definido por

KP ,KI , KD ∈ [−10, 10] (4.32)

79• A2: que opera en el espacio de controladores estabilizantes determinado mediante el

método de Hohenbichler y Abel, junto con operadores especiales de variación.

• A3: correspondiente al método de diseño en dos etapas presentado en esta sección,

utilizando los límites

KP ∈ [−4.95, 2.43] (4.33)

KI ∈ [0.19, 6.24]

KD ∈ [−5.97, 3.25]

que corresponden a g1 = 0 y g2 = 0.99 (ver figura 4.9). Estos valores indican que

se le da más importancia al objetivo g1, relacionado con la proporción de individuos

factibles muestreados.

La configuración utilizada para A1, A2 y A3 es idéntica a la mostrada anteriormente

en la tabla 4.2. En la figura 4.10 se puede observar un ejemplo de las aproximaciones que

se obtiene mediante cada uno de los algoritmos. En las tablas 4.7 y 4.8 se presentan los

valores promedios y las desviaciones correspondientes a los indicadores C,N,DMAX y

ESS.

0.66 0.67 0.68 0.69 0.7 0.71 0.720.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

f1

f 2

Aproximación obtenida por A1Aproximación obtenida por A2Aproximación obtenida por A3

Figura 4.10: Ejemplo de las aproximaciones que se obtienen mediante A1, A2 y A3

Como era de esperarse, el algoritmo A2 produce los mejores indicadores en cuanto

al indicador de cobertura, para el cual A1 y A3 son estadísticamente equivalentes. Sin

embargo, A3 produce mejores indicadores que A1, lo cual ilustra la eficacia del método de

aproximación de la región factible para el problema propuesto. En la tabla 4.9 se presentan

los p-valores correspondientes a las pruebas de Wilcoxon para determinar las diferencias

que son estadísticamente significativas.

80

Tabla 4.7: Resultados del indicador de cobertura. Algoritmos A1, A2 y A3C(Ai, Aj) A1 A2 A3

A1 − 0.2043(0.3103) 0.0580(0.1790)A2 0.5946(0.4552)∗ − 0.6074(0.2898)∗A3 0.6483(0.4228) 0.0723(0.1680) −

Tabla 4.8: Resultados de los indicadores N, ESS y DMAX. Algoritmos A1, A2 y A3N DMAX ESS

A1 15.4667(15.1128) 0.1767(0.1559) 0.0118(0.0224)A2 36.5333(14.0804)∗ 0.3692(0.1629)∗ 0.0080(0.0082)A3 26.5333(14.7712) 0.2423(0.1050) 0.0074(0.0076)

Tabla 4.9: P-valores correspondientes a las pruebas de Wilcoxon para determinar lasdiferencias que son estadísticamente significativas. Algoritmos A1, A2 y A3

Hipótesis Nula p− valor ConclusiónC(A1, A2) = C(A2, A1) 7.7540e− 004 RechazarC(A1, A3) = C(A3, A1) 6.0177e− 008 RechazarC(A2, A3) = C(A3, A2) 2.4955e− 009 Rechazar

N(A1) = N(A2) 1.9066e− 006 RechazarN(A1) = N(A3) 9.5896e− 004 RechazarN(A2) = N(A3) 0.0096 Rechazar

DMAX(A1) = DMAX(A2) 2.4321e− 005 RechazarDMAX(A1) = DMAX(A3) 0.0199 RechazarDMAX(A2) = DMAX(A3) 0.0025 Rechazar

ESS(A1) = ESS(A2) 0.4118 No RechazarESS(A1) = ESS(A3) 0.4917 No RechazarESS(A3) = ESS(A2) 0.9352 No Rechazar


En este capítulo se presentaron dos nuevos métodos de diseño PID multi-objetivo

que utilizan resultados de la teoría de control y algoritmos genéticos para resolver el

problema de optimización. El primer método determina los límites de la región de contro-

ladores PID estabilizantes utilizando el método propuesto por Hohenbichler y Abel (2008).

Posteriormente genera la población inicial y utiliza operadores especiales de variación para

mantenerse en el interior de la región factible.

El segundo método determina una aproximación de los límites resolviendo previamente

un primer sub-problema: se intenta maximizar simultaneamente el volumen y el número

de individuos factibles muestreados aleatoria y uniformemente.

A continuación se selecciona un conjunto de vértices en particular con el fin de continuar

el proceso de búsqueda considerando los objetivos originales y enfocándose en la región

delimitada por el conjunto de vértices seleccionados.

Las pruebas estadísticas muestran que, en el caso del problema de diseño bajo estudio,

ambos métodos permiten obtener mejores valores de los indicadores de desempeño con

respecto al método tradicional.

CAPÍTULO V

BÚSQUEDA MULTI-OBJETIVO LOCAL

En este capítulo se presenta un nuevo operador genético específicamente diseñado para

la búsqueda local multi-objetivo, llamado Ascenso de Colina con Paso Lateral (ACPL).

En caso de no encontrar soluciones dominantes el operador utiliza la información recolec-

tada para intentar moverse hacia algún cono de diversidad (paso lateral). Se propone un

esquema para la integración del ACPL con el algoritmo SPEA2, generando de esta forma

un algoritmo híbrido (memético) denominado SPEA2-ACPL. Se presentan los resultados

obtenidos cuando se utiliza el operador propuesto para resolver problemas que involucran

funciones convexas y no-convexas.

Parte de los resultados presentados en este capítulo fueron previamente incluidos como

parte de las publicaciones (Schütze et al., 2008) y (Lara et al., 2010).

5.1. Antecedentes

Algunos algoritmos de optimización se caracterizan por lograr buenas propiedades

de convergencia local, lo cual viene asociado al costo de la información sobre las derivadas

de la función objetivo. Por otra parte, los algoritmos genéticos (y muchos otros similares)

permiten explorar el espacio de búsqueda para intentar aproximarse a los mínimos globales.

Los algoritmos meméticos (Moscato, 1989) intentan combinar las ventajas de un al-

goritmo genético y un algoritmo de búsqueda local. Una de las primeras referencias en

el caso multi-objetivo fue presentada por Ishibuchi & Murata (1996) con el nombre de

Multi-Objective Genetic Local Search (MOGLS). Este autor propuso utilizar una función

escalar de ponderación con pesos aleatorios para seleccionar los padres a partir de los

cuales se debe realizar la búsqueda local.

Otro memético importante desde el punto de vista histórico es el M-PAES propuesto

en (Knowles & Corne, 2000). Este algoritmo utiliza dos archivos de almacenamiento:

83uno para las soluciones no-dominadas globales (que funciona de la misma manera que

en el SPEA2 por ejemplo) y el otro para soluciones no-dominadas locales que se emplea

únicamente para decidir si se acepta el individuo producido por la búsqueda local.

En (Murata et al., 2003) se propuso un operador que utiliza una regla generalizada de

dominancia, basada en el número de objetivos que se ven mejorados al aplicar el operador.

Típicamente la estrategia más utilizada consiste en reemplazar el individuo actual por otro

que lo domina en todos los objetivos.

Una de las primeras referencias en el caso de funciones definidas para un rango continuo

es el artículo (Goel & Deb, 2002), en el que un operador de búsqueda local fue combinado

con el NSGA-II. En las primeras pruebas el operador se aplicó al finalizar la ejecución

del NSGA-II (de manera que realmente no hay interacción entre el operador de búsqueda

local y los operadores genéticos). Posteriormente se aplicó el operador de búsqueda local

en cada generación. Los autores encontraron que el operador local mejoraba la calidad de

las soluciones obtenidas, pero aumentando considerablemente el número de evaluaciones

del vector objetivo.

En (Sharma et al., 2007) se combinó una búsqueda local de tipo Sequential Quadratic

Programming (SQP) con los algoritmos NSGA-II y SPEA2 para resolver un conjunto

de problemas benchmark. Los autores afirman que si no hay frentes de Pareto locales,

el algoritmo híbrido converge más rápido hacia un COGP sin perder diversidad en las

soluciones.

En (Adra et al., 2005b) tres métodos de búsqueda local fueron hibridizados conMOGA:

Recocido Simulado, Ascenso de Colina y Búsqueda Tabú. Los tres híbridos fueron com-

parados contra el MOGA tomando en cuenta el mismo número de evaluaciones. Los

autores afirman que el híbrido MOGA - Ascenso de Colina produjo los mejores resulta-

dos. También observaron que el proceso de búsqueda local puede provocar el fenómeno de

convergencia prematura si no se incorpora un mecanismo de preservación de la diversidad.

En (Wanner et al., 2006) el operador de búsqueda local utiliza aproximaciones cuadráti-

cas de todas las funciones objetivo, utilizando la información obtenida a partir del punto

seleccionado. Se presentan los resultados obtenidos mediante la hibridización con el algo-

ritmo SPEA2.

845.2. Ascenso de Colina con Paso Lateral (ACPL)

Sea xk ∈ X a un punto factible a partir del cual se desea llevar a cabo el proceso de

búsqueda local y xk+1 el nuevo punto generado por el operador. En el caso multi-objetivo

sería deseable que esta operación verifique las siguientes propiedades:

1. Si xk se encuentra “lejos” de un COLP, entonces xk+1 debería ser tal que xk+1 xk(descenso en todos los objetivos).

2. En caso contrario, xk+1 debería ser tal que xk+1 ‖ xk, lo cual puede contribuir a la

exploración del COLP.

3. Por otra parte el operador debe ser capaz de utilizar información de gradiente, tomar

en cuenta las restricciones del problema e interactuar fácilmente con un algoritmo

de búsqueda global.

En esta sección se presenta el operador ACPL, especialmente diseñado para proble-

mas multi-objetivo intentando cumplir en la medida de lo posible con las propiedades

antes enumeradas. En caso de no encontrar soluciones dominantes, el operador utiliza la

información recolectada para intentar generar soluciones que pertenezcan a los conos de

diversidad (paso lateral).

La idea principal se inspira en el análisis geométrico realizado por Brown y Smith

(2005). Cuando un punto se encuentra “lejos” de un COLP, los conos de ascenso, descenso

y diversidad presentan aproximadamente el mismo ángulo (ver figura 5.1). Si por el

contrario, el punto se encuentra “cerca” de un COLP, los ángulos de ascenso y descenso

se hacen menores (ver figura 5.2) y como consecuencia es menos probable seleccionar al

azar una dirección en estos conos.

5.2.1 Caso sin información de gradientes

A continuación se describe el funcionamiento del operador, asumiendo que no se

dispone de la información del gradiente de ninguna función objetivo (ver algoritmo 5.1).

Sea x0 ∈ X (con X ⊂ Rn) un punto factible a partir del cual se comienza la búsqueda

local con el objetivo de generar un conjunto Xnd de nuevos puntos factibles no dominados

con respecto a x0.

85

Figura 5.1: Situación que se presenta cuando el punto de prueba se encuentra lejos deun COLP. Cono de descenso amplio (región sombreada).

Figura 5.2: Situación que se presenta cuando el punto de prueba se encuentra cerca deun COLP. Cono de descenso estrecho (región sombreada).

86

Entradas : x0, r,Nnd, ε,NiterSalidas : Xnk = 1;1ab = 0,∀b ∈ BM ;2nb = 0, ∀b ∈ BM ;3Mientras k ≤ Niter hacer4

Seleccionar x1∈B(x0, r);5Si f(x1) f(x0) entonces6

d = x1 − x0;7Calcular t de acuerdo a (5.4);8x2 = x0 + td;9Xnd = Archivar(x2);10ab = 0, ∀b ∈ BM ;11nb = 0, ∀b ∈ BM ;12x0 = x2;1314

sino si f(x0) f(x1) entonces15d = x0 − x1;16Calcular t de acuerdo a (5.4);17x2 = x0 + td;18Xnd = Archivar(x2);19ab = 0, ∀b ∈ BM ;20nb = 0, ∀b ∈ BM ;21x0 = x2;2223

sino24b = tipo de cono de diversidad de x1 con respecto a x0;25nb = nb + 1;26ab = ab + x1−x0‖x1−x0‖ ;27

finsi28k = k + 1;29

Fin30k = 1;31Mientras k ≤M hacer32

Si nb = r,Nndb entonces33Calcular tb de acuerdo a (5.10);34x2 = x0 + tbab);35Xn = Archivar(x2)36

finsi37k = k + 1;38

Fin39Algoritmo 5.1 : Operador ACPL

87En primer lugar se selecciona de manera aleatoria un punto de prueba x1 perteneciente

al vecindario B(x0, r) definido por

B(x0, r) ={x ∈ X : x0i − ri ≤ xi ≤ x0i + ri, i = 1, 2, . . . , n

}(5.1)

En este punto existen varias posibilidades. Si se cumple f(x1) f(x0) entonces se define

la dirección de búsqueda como

d = x1 − x0 (5.2)

Si por el contrario se cumple la condición f(x0) f(x1) entonces es posible realizar la

búsqueda en la dirección inversa d = x0 − x1.El siguiente paso consiste en llevar a cabo una búsqueda lineal multi-objetivo en la

dirección d, resolviendo M sub-problemas de la forma

mintj∈R fj(x0 + tjd), j = 1, 2, . . . ,M (5.3)

para obtener un conjunto de soluciones {t∗1, t∗2, . . . , t∗M}, a partir de las cuales se debe

seleccionar la longitud del paso t (Dennis & Schnabel, 1983). Para intentar garantizar

el descenso de todas las funciones objetivo generalmente la estrategia más conservadora

consiste en seleccionar

t = min {t∗1, t∗2, . . . , t∗M} (5.4)

A continuación se describe un método aproximado con el fin de resolver los sub-

problemas escalares (5.3). Sea f : R → R la función que se desea minimizar. Como

datos de entrada se tienen dos valores t0 < t1 tales que f(t0) < f(t1). Defina

∆ = t1 − t0 (5.5)

tl = t0tm = t1tr = t0 + 2∆

En primer lugar se comprueba la condición de curvatura

f(tm)− f(tl)tm − tl <

f(tr)− f(tm)

tr − tm (5.6)

Si esta condición se cumple, entonces es posible aproximar a f por un polinomio de la

forma

p(t) = at2 + bt + c (5.7)

88cuyos coeficientes a, b, y c pueden ser calculados a partir de los valores p(tl) = f(tl),p(tm) = f(tm) y p(tr) = f(tr). En particular, el mínimo de p(t) se alcanza para

t∗ = −b

2a(5.8)

cantidad que puede servir como estimado de la solución del problema (5.3) para cada

función objetivo.

Si la condición de curvatura (5.6) no se cumple, entonces se puede conjeturar que

todavía es posible dar un paso más grande fijando tl = tm, tm = tr y tr = 2tr. Este

procedimiento puede realizarse tantas veces como sea necesario, aumentando progresiva-

mente la longitud del paso hasta que se cumpla la condición (5.6) o hasta que se llegue a

un punto fuera de la región factible (ver sección de tratamiento de las restricciones más

adelante).

Suponga ahora que x0 y x1 resulten incomparables. El operador ACPL identifica

el tipo de cono de diversidad al cual pertenece x1 con respecto a x0 y almacena esta

información. Seguidamente se selecciona un nuevo punto de prueba x2 en B(x0, r) y se

repite el procedimiento descrito anteriormente para el procesamiento de x1.Si durante este proceso se recolectan nb ≥ Nndb puntos pertenecientes a C(x0, b) en-

tonces se intenta realizar movimientos laterales utilizando las direcciones acumuladas:

ab =1

nb nb∑j∈{índices de los puntos pertenecientes a C(x0,b)} xj − x0‖xj − x0‖ (5.9)

donde los xj que intervienen en la expresión anterior corresponden a la secuencia de puntos

pertenecientes a C(x0, b). El vector Nnd debe ser definido por el usuario, en función del

presupuesto disponible para el número de evaluaciones de las funciones objetivo.

La longitud del paso lateral tb en la dirección ab puede ser calculada mediante la

ecuación

tb =εb

‖ab‖∞ (5.10)

donde ε es un vector de parámetros que regulan la distancia entre dos soluciones vecinas

del conjunto de Pareto, para cada cono de diversidad.

Todo el proceso descrito en los párrafos anteriores se ejecuta la cantidad de Niter veces:

mientras mayor sea este parámetro, mayor número de puntos serán muestreados en el

vecindario del punto de origen.

895.2.2 Caso con información de gradientes

Cuando se tiene acceso a todos los gradientes de las funciones objetivo, es posible

calcular la dirección de descenso propuesta en el capítulo 3 (ver ecuación 3.17). Poste-

riormente se puede calcular la longitud del paso mediante el método que se describió en

la sección anterior o preferiblemente mediante una búsqueda inexacta intentando que se

satisfagan las condiciones de Wolfe para todas las funciones objetivo (Dennis & Schnabel,

1983).

Con respecto al movimiento lateral, en cuanto se detecta la condición

∥∥∥∥∥

M∑i=1 α∗i∇fi(x∗)∥∥∥∥∥22 ≤ εP (5.11)

donde εP > 0 es una cantidad pequeña a definir, se puede conjeturar que el punto actual

se encuentra cerca de un COLP.

En este sentido, un método para intentar obtener puntos incomparables pertenecientes

a un vecindario de x∗ fue propuesto en (Hillermeier, 2001). En primer lugar se determinan

los vectores qi ∈ Rn, i = 1, 2, ...,M − 1 extraídos de las primeras n filas de las M − 1

columnas que conforman la matriz QK ∈ R(M+n)×(M−1), obtenida a su vez a partir de la

factorización ortogonal QR[QN QK ] ∗R = (M ′(x∗,α∗))T (5.12)

donde M ′ ∈ R(M+n)×(M+n) es la matriz jacobiana de

M(x,α) =

∑Mi=1αi∇fi(x)∑Mi=1αi − 1

(5.13)

Note que los vectores qi forman una base ortonormal de un hiperplano de dimensión

M − 1 tangente al COLP en x∗ y por lo tanto pueden ser utilizados (así como cualquier

combinación lineal) como potencial dirección de diversidad. La longitud del paso lateral

se determina como

tb =εb

‖qb‖∞ (5.14)

donde ε es el vector que se introdujo previamente en la ecuación (5.10).

905.2.3 Tratamiento de restricciones

Para el manejo de las restricciones, en el caso en que no se maneja información de

gradientes, se propone adoptar un mecanismo de retorno a la región factible. Suponiendo

que el punto de origen es factible, se realiza una búsqueda lineal multi-objetivo en la

dirección de descenso, tal como se explicó en las secciones anteriores. Si el resultado no

es factible, se ejecuta el algoritmo 5.2, basado en el método de bisección hasta alcanzar la

precisión deseada, especificada mediante el parámetro Tol.

Entradas : x0 ∈ X , x1 /∈ X , TolSalidas : x ∈ x0x1 ∩ X con miny∈∂X ‖y − x‖ ≤ Tolin0 = x0;1out0 = x1;2i = 0;3Mientras ‖outi − ini‖ ≥ Tol hacer4

mi = ini + 12(outi − ini);5Si mi ∈ X entonces6

ini+1 = mi;7outi+1 = outi;8

sino9ini+1 = ini;10outi+1 = mi;11

i = i + 1;12Fin13Algoritmo 5.2 : Retorno a la región factible para el operador ACPL1

Con respecto al caso en que se maneja información de gradiente, al momento en que

se redacta este documento todavía no se cuenta con una versión del operador que tome en

cuenta el gradiente de las funciones de restricción de manera eficiente. No obstante, para

las restricciones de intervalo sobre las variables, del tipo

ximin ≤ xi ≤ ximax (5.15)

se propone utilizar un mecanismo sencillo de proyección a la región factible de la forma

xpi =

xi si ximin ≤ xi ≤ ximaxximin si ximin > xiximax si ximax < xi (5.16)

donde xp es el vector proyectado. Este método tiene como ventaja que no se necesita

especificar ningún parámetro adicional desde el punto de vista del funcionamiento del

operador.

91En la tabla 5.1 se muestra un resumen de los parámetros a ser fijados para el correcto

funcionamiento del operador, en los casos con o sin información de gradiente.

Tabla 5.1: Parámetros que deben ser definidos por el usuario en los casos con y sininformación de gradientes

Parámetro Sin ∇fi(x) Con ∇fi(x)r ∈Rn+ Si No

Nnd ∈N2M−2+ Si Noε ∈R2M−2+ Si SiNiter ∈N+ Si SiεP ∈R+ No SiTol ∈ R+ Si Si

5.3. Evaluación del operador ACPL

5.3.1 Problema convexo sin restricciones

En esta sección considere el siguiente problema

P1 :minx∈R2 (x1 − 1)4 + (x2 − 1)2(x1 + 1)2 + (x2 + 1)2 (5.17)

Las figuras 5.3 y 5.4 muestran el verdadero conjunto y frente de Pareto, obtenidos re-

solviendo el problema escalar

P ′1 :minx∈R2 α [(x1 − 1)4 + (x2 − 1)2]+ (1− α)[(x1 + 1)2 + (x2 + 1)2]

para 1000 valores de α distribuidos uniformemente entre 0 y 1.

A continuación se presentan los resultados obtenidos al aplicar el operador ACPL

sucesivamente a partir de un punto de origen. Para verificar si el operador es capaz de

generar todo el frente, la prueba se divide en tres etapas.

En primer lugar se aplica el operador hasta que se detecta el primer paso lateral.

Inmediatamente se modifica el funcionamiento del operador para aceptar únicamente las

soluciones que mejoren un objetivo, por ejemplo f1. Durante la tercera etapa se aceptan

únicamente las soluciones que mejoren el otro objetivo, por ejemplo f2.Se realizaron pruebas utilizando las dos modalidades del operador: sin información de

gradiente (denotado ACPL1) y con información de gradiente (denotado ACPL2). Para la

92

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x 2

Figura 5.3: Verdadero conjunto de Pareto para el problema P1prueba de ambas versiones se utilizó el mismo punto de inicio x0 = [5, 5]. Los valores de

los parámetros característicos del operador se muestran en la tabla 5.2.

Tabla 5.2: Valores utilizados para los parámetros ACPLParámetro Valor

ε [0.1, 0.1]εP 0.01r [0.01, 0.01]

Niter 10Nnd [5, 5]Tol 10−4

En las figuras 5.5 y 5.6 se muestra un ejemplo de apróximación generada por ACPL1,

en el espacio de objetivos y en el espacio de variables respectivamente. En total, ACPL1

requirió 925 evaluaciones de las funciones objetivo y ACPL2 únicamente 143. Sin embargo

ACPL2 empleó 50 evaluaciones de la matriz jacobiana y 50 evaluaciones de las matrices

hessianas. Note que la aproximación producida por ACPL2 es prácticamente idéntica al

frente de Pareto generado mediante escalarización, tal como es posible apreciar en las

figuras 5.7 y 5.8.

93

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

7

8

f1

f 2

Figura 5.4: Verdadero frente de Pareto para el problema P1

−1 −0.5 0 0.5 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

Verdadero Conjunto de ParetoAproximación obtenida mediante ACPL1

Figura 5.5: Aproximación del conjunto de Pareto generada por ACPL1. Problema P1

94

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

1

2

3

4

5

6

7

f1

f 2

Verdadero frente de ParetoAproximación obtenida mediante ACPL1

Figura 5.6: Aproximación del frente de Pareto generada por ACPL1. Problema P1

−1 −0.5 0 0.5 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

Verdadero Conjunto de Pareto

Aproximación obtenidamediante ACPL2


95

0 5 10 15 20 250

1

2

3

4

5

6

7

8

f1

f 2



5.3.2 Problema convexo con restricciones de intervalo

En esta sección considere el siguiente problema

P2 : minx∈[0.5,1]×[1,2] (x1 − 1)4 + (x2 − 1)2(x1 + 1)2 + (x2 + 1)2 (5.18)

Las figuras 5.9 y 5.10 muestran el verdadero conjunto y frente de Pareto, obtenidos re-

solviendo el problema escalar

P ′2 : minx∈[0.5,1]×[1,2] α [(x1 − 1)4 + (x2 − 1)2]+ (1− α)[(x1 + 1)2 + (x2 + 1)2]

para 1000 valores de α distribuidos uniformemente entre 0 y 1.

Para la prueba de ambas versiones del algoritmo se utilizó el mismo punto de inicio

factible x0 = [1, 2] con los mismos valores de los parámetros mostrados en la tabla 5.2. En

las figuras 5.11 y 5.12 se puede observar un ejemplo del tipo de apróximación que puede

generar ACPL1 en el caso con restricciones. En las figuras 5.13 y 5.14 se observan las

correspondientes a ACPL2. En total, ACPL1 utilizó 2021 evaluaciones de las funciones

objetivo. ACPL2 requirió 103 evaluaciones de las funciones objetivo, 50 evaluaciones de

la matriz jacobiana y 50 evaluaciones de las matrices hessianas.

96

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

x1

x 2

Figura 5.9: Verdadero conjunto de Pareto para el problema P2

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

6.4

6.6

6.8

7

7.2

7.4

7.6

7.8

8

8.2

f1

f 2

Figura 5.10: Verdadero frente de Pareto para el problema P2

97

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

x1

x 2

Verdadero Conjunto de ParetoAproximación obtenida mediante ACPL1


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

6.4

6.6

6.8

7

7.2

7.4

7.6

7.8

8

8.2

f1

f 2



98

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.99

0.992

0.994

0.996

0.998

1

1.002

1.004

1.006

1.008

1.01

x1

x 2

Verdadero Conjunto de ParetoAproximación generada popr ACPL2


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

6.4

6.6

6.8

7

7.2

7.4

7.6

7.8

8

8.2

f1

f 2

Verdadero Frente de ParetoAproximación generada por ACPL2


995.3.3 Problema no convexo con restricciones de intervalo

En esta sección considere el siguiente problema no convexo propuesto en (Zitzler

et al., 1999)

P3 : min

xi ∈ [−5, 5] , i = 2, 3, . . . , 20

x1 ∈ [0, 1]

x1g(x)

(1−√ x1g(x)) (5.19)

con g(x) = 191 +20∑i=2 (x2i − 10 cos(4πxi))

Este problema posee 2119 frentes locales y el frente global, para el cual g(x) = 1, se obtiene

con xi = 0, i = 2, 3, . . . , 20. Se realizaron pruebas con ambas versiones del operador,

iniciando la búsqueda a partir del punto

x0 =(

0.5 3 3 . . . 3)

(5.20)

En la figura 5.15 se muestra un ejemplo de las aproximaciones que pueden obtenerse

mediante cada versión del operador.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0

50

100

150

200

250

Aproximación ACPL2Verdadero frente de ParetoAproximación ACPL1

Figura 5.15: Ejemplo de aproximaciones del frente de Pareto generadas por ACPL1 yACPL2. Problema P3

100Los valores de los parámetros empleados se muestran en la tabla 5.3. Como era de

esperar, ambas versiones del operador producen aproximaciones que se encuentran com-

pletamente alejadas del verdadero frente, esto motivado por el gran número de frentes

locales característicos de este problema.

Tabla 5.3: Valores utilizados para los parámetros ACPL. Problema P3Parámetro Valor

ε [0.05, 0.05]εP 1r

(0.01 0.1 0.1 . . . 0.1

)


5.4. Sensibilidad del ACPL

El comportamiento del operador ACPL depende de los valores seleccionados para

sus parámetros. En esta sección se considera de nuevo el problema P1 formulado en la

sección anterior.

La influencia del vector r ∈Rn+ se manifiesta en el número de evaluaciones de las

funciones objetivo necesarias para alcanzar el Frente de Pareto. En la tabla 5.4 se presenta

un ejemplo del número de evaluaciones que emplea ACPL1 antes de que se produzca el

primer intento de paso lateral. Note que este número disminuye cuando aumenta ‖r‖.

Mientras menor sea esta norma, menor será el tamaño de los pasos que ejecuta el operador

y en consecuencia se requieren más pasos para cubrir la misma distancia.

Cuando ‖r‖ aumenta a partir de cierto punto, el operador se hace demasiado impreciso,

de manera que se hace muy difícil conseguir direcciones de descenso. En consecuencia, el

número de evaluaciones de las funciones objetivo necesarios para alcanzar el frente de

Pareto aumenta de manera exponencial.

101Tabla 5.4: Sensibilidad del operador ACPL1 ante variaciones en el vector r

r Evaluaciones de las funciones objetivo[0.001, 0.001] 895[0.01, 0.01] 135[0.1, 0.1] 74

[1, 1] 7269

Como se ha visto previamente, el vector ε ∈R2M−2+ regula la distancia entre dos solu-

ciones vecinas del conjunto de Pareto, para cada cono de diversidad. En las figuras 5.16,

5.17 y 5.18 se muestran las aproximaciones obtenidas por ACPL2 a partir de tres valores

del vector ε. En las mismas es posible apreciar que el espaciamiento entre las soluciones

es regulado mediante los valores especificados en el vector ε ∈R2M−2+ .

El valor del parámetro Niter debe ser ajustado en función del número de evaluaciones

que es posible invertir durante la ejecución del operador. Mientras más grande sea Niter,mayor cantidad de puntos vecinos serán muestreados en busca de direcciones de descenso

o de diversidad. Como regla general, esta cantidad debe ser mayor que la mayor de las

cantidades especificadas en el vector Nnd, para permitir que pueda ocurrir al menos un

paso lateral en cualquier cono de diversidad.

Por su parte, la influencia del vector Nnd se manifiesta en el número de pasos laterales

ejecutados por ACPL1 para intentar cubrir el frente de Pareto. En la tabla 5.5 se presenta

el número de pasos laterales que son efectivamente ejecutados para diferentes valores del

vector Nnd, fijando Niter = 20.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

Verdadero conunto de ParetoAproximación generada por ACPL2

Figura 5.16: Aproximación obtenida mediante ACPL2 con ε1=[0.01, 0.01]

102

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

−1

−0.5

0

0.5

1

x1

x2

Verdadero conunto de ParetoAproximación generada por ACPL2

Figura 5.17: Aproximación obtenida mediante ACPL2 con ε2=[0.1, 0.1]

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x 2

Verdadero conjunto de Pareto

Aproximación obtenida mediante ACPL2

Figura 5.18: Aproximación obtenida mediante ACPL2 con ε3=[1, 1]

103Note que mientras menos pasos laterales se ejecutan, menos evaluaciones de las fun-

ciones objetivo se invierten en el funcionamiento del operador y la aproximación de la

dirección de diversidad es más precisa (se promedian más vectores). La contraparte de

esto es que la longitud del frente que se cubre es menor. En efecto, note que en el caso

extremo, cuando Nnd = [20, 20], no se ejecuta ningún paso lateral.

Tabla 5.5: Sensibilidad del operador ACPL1 ante variaciones en el vector NndNnd Número de pasos laterales N◦ de evaluaciones[2, 2] 202 25024[5, 5] 45 5591

[10, 10] 30 3919[20, 20] 0 2000

Las figuras 5.19, 5.20 y 5.21 permiten observar la influencia del parámetro εP en el fun-

cionamiento del operador ACPL2 (la versión que maneja información de gradientes). En

general se aprecia que mientras menor sea el valor de εP , más precisa será la aproximación

del Conjunto de Pareto, pero por otra parte se invertirá un mayor número de evaluaciones

de las funciones objetivo para generarla.

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x 2

Verdadero Conjunto de ParetoAproximación generadapor ACPL2

Figura 5.19: Aproximación obtenida mediante ACPL2 con εP = 0.01

104

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x 2


Figura 5.20: Aproximación obtenida mediante ACPL2 con εP = 0.1

−1 −0.5 0 0.5 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x 2


Figura 5.21: Aproximación obtenida mediante ACPL2 con εP = 1

105Para finalizar esta sección, considere el problema de optimización con restricciones P2.

La influencia del parámetro Tol se manifiesta en la distancia tolerada para las soluciones

de la aproximación con respecto con respecto al borde de la región factible (ver figura

5.22).

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.20.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1.07

1.08

Aproximación obtenidacon ACPL1 para Tol = 0.01

Aproximación obtenidacon ACPL1 para Tol = 0.1

Figura 5.22: Aproximaciones obtenidas por ACPL1 para distintos valores del parámetroTol

5.5. Integración SPEA2-ACPL

Tal como se expuso en la sección anterior, los algoritmos meméticos intentan

combinar las ventajas de un algoritmo genético con las de un algoritmo de búsqueda local.

Sin embargo, no existe en la actualidad un consenso con respecto a la mejor forma de

realizar esta integración. Entre los elementos que deben tomarse en cuenta se encuentran:

• A cuántos y a cuales individuos debe aplicarse el operador?

• En qué momento? Con qué frecuencia? Durante cuántas generaciones?

De acuerdo con la investigación que se ha realizado, estas preguntas no han sido respon-

didas de manera satisfactoria. El compromiso entre búsqueda local vs búsqueda global es

similar al que existe entre individualismo y colectivismo. En efecto, cuando es necesario

asignar recursos limitados a una población, se debe decidir entre si se quiere lograr mejorar

mucho la condición de pocos individuos, o bien mejorar poco la condición de muchos.

En este trabajo, se propone utilizar el operador ACPL como un operador de mutación

especial, el cual se aplica únicamente a los individuos pertenecientes al archivo externo

106actualizado por SPEA2. En lo que sigue se denota SPEA2-ACPL1 a la versión híbrida

correspondiente al SPEA2 en conjunto con ACPL1 (operador que no utiliza información

de gradiente). De forma similar, se denota SPEA2-ACPL2 a la versión híbrida correspon-

diente al SPEA2 en conjunto con ACPL2 (operador que utiliza información de gradiente).

En particular se propone evaluar tres estrategias de integración:

• E1: Aplicar el operador en todas las generaciones con probabilidad pACPL a partir

de la primera generación.

• E2: Aplicar el operador de manera intermitente, una de cada NACPL generaciones,

con probabilidad pACPL.• E3: Aplicar el operador con probabilidad pACPL cuando se haya consumido el 50%

de la cantidad total de evaluaciones disponibles.

Para todas las pruebas que se presentan a continuación se consideró un presupuesto

fijo de 20.000 evaluaciones del vector objetivo. Por una parte esta cantidad de evalua-

ciones permite que las 30 ejecuciones del algoritmo genético no excedan el tiempo máximo

permitido (≈24 horas). Por otra parte esta cantidad de evaluaciones es suficiente para

alcanzar una etapa del proceso en la cual las aproximaciones de los frentes evolucionan

lentamente con respecto al inicio.

5.5.1 Problema convexo sin restricciones

En esta sección considere el siguiente problema convexo

P4 : minx∈R30 (x1 − 1)4 +30∑i=2(xi − 1)230∑i=1(xi + 1)2

(5.21)

el cual involucra 30 variables de decisión. El verdadero frente de Pareto puede ser obtenido

resolviendo el problema escalar

P ′4 : minx∈R30 α[(x1 − 1)4 +30∑i=2 (xi − 1)2] + (1− α)

[ 30∑i=1 (xi + 1)2] (5.22)

con 100 valores de α distribuidos uniformemente entre 0 y 1.

107La configuración utilizada para la ejecución de las pruebas se muestra en la tabla

5.6. En la tabla 5.7 se presenta el valor medio y la desviación estándar calculada para

los indicadores GD, IGD evaluados a partir de 30 ejecuciones de cada algoritmo. El

valor resaltado con un asterisco corresponde al algoritmo que consigue estadísticamente

los mejores valores, de acuerdo con la prueba de Wilcoxon, con un nivel de significancia α

= 0.05.

Note que las versiones híbridas permiten, cualquiera sea la estrategia de integración,

obtener mejores aproximaciones considerando ambos indicadores. Por otra parte, la es-

trategia E1, la cual consiste en aplicar el operador a partir de la primera iteración, es

la que consigue los mejores resultados. Por lo tanto es posible concluir que para este

problema, la mejor opción consiste en utilizar la información de gradiente lo más pronto

posible.

Tabla 5.6: Configuración utilizada para resolver el problema P4Parámetros ValorRepresentación Números reales

Operador de cruce SBXProbabilidad de cruce 0.9Operador de mutación Perturbación gaussiana

Probabilidad de mutación 0.1Probabilidad de aplicación del ACPL 0.5

NACPL 10ε [0.1, 0.1]εP 0.1r [0.01, 0.01]


Condición de parada 200 generacionesNúmero máximo de evaluaciones 20.000

Tamaño máximo del archivo externo 100Esquema de selección (100 + 100)

108Tabla 5.7: Indicadores GD/IGD obtenidos para el problema P4

GD IGDSPEA2 10.5563(5.4469) 16.1034(6.6455)

SPEA2-ACPL1E1 : 3.2782(0.3388)∗E2 : 5.8222(1.4305)E3 : 4.6148(0.5481)

E1 : 6.7728(1.8759)∗E2 : 11.6404(3.3716)E3 : 11.0787(2.2915)

SPEA2-ACPL2E1 : 0.6797(0.0284)∗E2 : 0.7679(0.0722)E3 : 0.6645(0.0306)∗ E1 : 0.5350(0.0479)∗

E2 : 2.2375(2.7337)E3 : 0.9584(0.7102)

5.5.2 Problema no convexo con restricciones de intervalo

En esta sección se retoma el problema P3 anteriormente formulado. La configu-

ración utilizada para estas pruebas se muestra en la tabla 5.8. En la tabla 5.9 se presenta

el valor medio y la desviación estándar calculada para los indicadores GD, IGD evaluados

a partir de 30 ejecuciones de cada algoritmo.

Tabla 5.8: Configuración utilizada para las pruebas del problema P3Parámetros ValorRepresentación Números reales

Operador de cruce SBXProbabilidad de cruce 0.9Operador de mutación Perturbación gaussiana


NACPL 10ε [0.1, 0.1]εP 0.1r [0.01, 0.01]




109Tabla 5.9: Indicadores GD/IGD obtenidos para el problema P3

GD IGDSPEA2 3.6011(1.1629) 3.2091(0.9735)

SPEA2-ACPL1E1 : 3.7380(1.2520)E2 : 3.7443(1.1807)E3 : 3.7047(1.1083)

E1 : 3.2947(1.0338)E2 : 3.3384(0.9472)E3 : 3.3347(0.8820)

SPEA2-ACPL2E1 : 3.1866(0.9524)E2 : 3.6439(1.0985)E3 : 3.3079(1.0496)

E1 : 2.9530(0.8846)E2 : 3.3188(0.9771)E3 : 3.0206(0.9099)

Las pruebas estadísticas indican que no existen diferencias significativas entre los re-

sultados obtenidos por los diferentes algoritmos, independientemente de la estrategia de

evolución que se adopte. Esto se explica por la gran cantidad de frentes locales, lo cual

aumenta la probabilidad de que los operadores de búsqueda local queden atrapados.

Ahora se considera una variación del problema P3 tal como se muestra a continuación

P5 : min

xi ∈ [−5, 5] , i = 2, 3, . . . , 20

x1 ∈ [0, 1]

x1g(x)

(1−√ x1g(x)) (5.23)

con g(x) = 191 +20∑i=2 (x2i − 10 cos(πxi))

Este problema posee 519 frentes locales y el frente global, para el cual g(x) = 1, se

sigue obteniendo con xi = 0, i = 2, 3, . . . , 20. Los resultados se muestran en la tabla 5.10.

Tabla 5.10: Indicadores GD/IGD obtenidos para el problema P5GD IGD

SPEA2 0.0401(0.0099) 0.0503(0.0062)

SPEA2-ACPL1E1 : 0.0443(0.0103)E2 : 0.0430(0.0076)E3 : 0.0426(0.0096)

E1 : 0.0534(0.0063)E2 : 0.0513(0.0052)E3 : 0.0534(0.0054)

SPEA2-ACPL2E1 : 0.0146(0.0080)∗E2 : 0.0272(0.0081)E3 : 0.0375(0.0102)

E1 : 0.0412(0.0035)∗E2 : 0.0460(0.0052)E3 : 0.0509(0.0056)

110Note que para esta variación el algoritmo SPEA2-ACPL2, utilizando la estrategia

de integración E1, es nuevamente capaz de obtener mejores valores de los indicadores

GD/IGD con respecto al SPEA2, a pesar de la gran cantidad de frentes locales.


En este capítulo se presentó un nuevo operador local, denominado ACPL, específi-

camente diseñado para la búsqueda multi-objetivo. Las principales bondades del operador

son las siguientes:

1. Si el punto de prueba se encuentra “lejos” de un COLP, entonces se intenta conseguir

una dirección de descenso en todos los objetivos.

2. Si el punto de prueba se encuentra “cerca” de un COLP, entonces se intenta conseguir

una dirección de diversidad, para intentar mejorar la aproximación del frente.

3. El operador es capaz de utilizar la información de gradiente, en caso de que esta se

encuentre disponible.

4. El operador es capaz de tomar en en cuenta las restricciones del problema y de

interactuar fácilmente con un algoritmo de búsqueda global.

Se consideraron dos versiones del operador ACPL1 (la cual no utiliza información

de gradiente) y ACPL2 (que si utiliza esta información). Se presentaron los resultados

obtenidos cuando se utiliza el operador, en sus dos versiones, de manera aislada o integrada

con un algoritmo de búsqueda global para resolver problemas convexos y no convexos.

Se evaluaron tres estrategias de integración que consisten en

• E1: Aplicar el operador en todas las generaciones con probabilidad pACPL a partir

de la primera generación.

• E2: Aplicar el operador de manera intermitente, una de cada NACPL generaciones,

con probabilidad pACPL.• E3: Aplicar el operador con probabilidad pACPL cuando se haya consumido el 50%

de la cantidad total de evaluaciones disponibles.

En el caso del problema convexo P4, ambas versiones del algoritmo híbrido son capaces

de obtener mejores valores para los indicadores GD/IGD con respecto a los obtenidos por

111el SPEA2 de manera aislada, cualquiera sea la estrategia de integración utilizada. No

obstante la estrategia E1 es la que obtiene los mejores resultados.

En el caso del problema P3 con 2119 frentes locales, ninguna versión del algoritmo

híbrido es capaz de mejorar los resultados obtenidos por SPEA2. En el caso del problema

P5 caracterizado por 519 frentes locales, únicamente la versión SPEA2-ACPL2, utilizando

la estrategia E1, logra mejorar los resultados del SPEA2.

CAPÍTULO VI

PROBLEMA H2/H∞El proceso de diseño de un sistema de control tiene como objetivo dotar a la inter-

conexión de propiedades que la planta no posee de manera aislada. En el capítulo 2 se

definieron algunos índices de desempeño que pueden utilizarse para expresar matemática-

mente y verificar en la práctica el cumplimiento de dichas propiedades. Por ejemplo, para

un sistema SISO, la norma H2 mide la energía de la señal de respuesta del sistema ante

un impulso unitario, mientras que la norma H∞ se relaciona con la amplitud máxima de

la misma señal.

En este capítulo se propone un nuevo método de diseño llamado Multi-Objective

Pole Placement with Evolutionary Algorithms (MOPPEA) y se presentan los resultados

obtenidos cuando se aplica dicho método para resolver el problema mixto H2/H∞ en el

caso de cinco modelos extraídos de la biblioteca COMPleib (Leibfritz, 2004). Como base

del proceso de búsqueda se utilizan los algoritmos SPEA2 y SPEA2-ACPL (ver capítulo

4) y se comparan los resultados con respecto a los obtenidos mediante una secuencia de

problemas de factibilidad LMI. Parte de los resultados presentados en este capítulo fueron

previamente publicados en (Sánchez et al., 2007) y (Sánchez et al., 2008b).

6.1. Formulación

Se asume que el modelo de la planta a controlar (ver figura 6.1) es el siguiente:

x = Ax + Iw + Bu

z1 = y = Cx

z2 = Ax

(6.1)

el cual fue propuesto originalmente por Herreros (2000) en su tesis de doctorado, para

comparar los resultados obtenidos por un algoritmo genético con respecto a la solución

calculada mediante LMIs. Una ventaja de este modelo es que únicamente necesita las

113matrices A,B y C para estar completamente definido, sin perder por ello complejidad en

su estructura.

Figura 6.1: Modelo lineal a lazo cerrado

Con el fin de analizar el conflicto entre los objetivos de robustez y desempeño del lazo,

el problema de diseño mixto PH2/H∞ es formulado en este capítulo como:

PH2/H∞ : minKc∈R(s)nu×ny ‖G1(Kc)‖2‖G2(Kc)‖∞ (6.2)

donde G1 y G2 son las funciones de transferencia a lazo cerrado desde w hacia z1 y z2respectivamente.

6.2. Antecedentes

Uno de los primeros artículos en los que se propone un intento de solución para

el problema que nos interesa en este capítulo fue publicado por Khargonekar y Rotea en

1991. Estos autores propusieron un enfoque basado en ecuaciones algebraicas de Riccati

para el problema planteado de la forma

minK∈Rnu×nx ‖G1(K)‖2sujeto a

‖G2(K)‖∞ ≤ γ

(6.3)

donde γ es un escalar positivo.

Doyle et al (1994) formularon las condiciones suficientes y necesarias para la existencia

de soluciones, proporcionando expresiones matriciales explícitas para la determinación de

114los controladores, en el caso de un problema formulado de la forma

minK∈Rnu×ny ‖G1(K)‖2 + γ ‖G2(K)‖∞ (6.4)

donde γ es un escalar positivo.

Posiblemente uno de los artículos que ha tenido más influencia en el campo de las

aplicaciones de LMIs al problema H2/H∞ fue publicado por Carsten W. Scherer en 1995,

el cual de hecho fue previamente mencionado en el capítulo 2. Este artículo ha inspirado

y servido de base para muchos otros (Clement, 2001; Hassibi et al, 1999; Hindi et al, 1998;

Miyamoto 1997).

En cuanto a las soluciones del problema H2/H∞ basadas en algoritmos genéticos,

diversos autores han publicado artículos relacionados con este tema.

En su tesis doctoral, Herreros (2000) presenta un estudio sobre el diseño de contro-

ladores robustos multi-objetivo por medio de algoritmos genéticos. Propone el algoritmo

MRCD, junto con sus respectivos operadores y demuestra de manera gráfica que sus re-

sultados son mejores con respecto a los producidos mediante LMIs.

Como ya se ha mencionado, fue precisamente Herreros quien propuso la estructura

que se presenta en la figura 6.1. De hecho, propone tres diferentes representaciones del

espacio de controladores, con el fin de estudiar la influencia en la convergencia: la forma

canónica controlable, la forma canónica diagonal y una forma canónica balanceada. En sus

conclusiones, afirma que la forma controlable es la más adecuada para la representación del

espacio de controladores ya que tiene más posibilidades de explorar el espacio de búsqueda.

Molina-Cristobal (2005) y Popov (2005) utilizan el algoritmo MOGA para reducir el

orden de los controladores y mejorar las soluciones con respecto a las obtenidas mediante

LMIs. El primero utiliza una representación de los controladores en tiempo discreto, en

forma de ceros y polos:

K(z) = K(z + z1) (z + z2) . . . (z + znz)

(z + p1) (z + p2) . . . (z + pnp)(6.5)

y el segundo una representación polinomial en tiempo continuo

K(s) = Kb0snz + b1snz−1 + . . . + bnz−1s + bnzsnp + a1snp−1 + . . . + anp−1s + anp (6.6)

115Ambos autores señalan que estas representaciones son ineficaces para generar soluciones

factibles, lo cual los obliga a aumentar el tamaño de las poblaciones y en consecuencia el

número de evaluaciones de las funciones objetivo.

Takahashi et al (2004) proponen un algoritmo genético que asegura la generación de

aproximaciones consistentes del Conjunto de Pareto y lo aplican al problema de diseño

H2/H∞. Estos autores se ocupan del problema de la realimentación estática de estados y

proponen una representación de los controladores de la forma

K =(k1 k2 . . . kn ) (6.7)

lo cual les permite utilizar como población inicial la aproximación del Conjunto de Pareto

generada mediante LMIs.

6.3. Solución mediante LMIs

Una posible solución del problema PH2/H∞ consiste en utilizar los resultados del

trabajo de Scherer (1995) para resolver el problema mixto como una secuencia de proble-

mas de factibilidad H2 y H∞, de la manera que se describe en el algoritmo 6.1.

La idea básica consiste en disminuir linealmente el límite superior de una de las

restricciones, aumentando al mismo tiempo el límite de la otra. Note que aunque en

este trabajo se plantea una evolución lineal para el ajuste, bien pudiera utilizarse un poli-

nomio de orden superior u otras funciones monótonas decrecientes y crecientes. En el caso

que nos ocupa, antes de ejecutar el algoritmo 6.1 es necesario seleccionar los valores de los

parámetros NH2/H∞,∆γ2, ∆γ∞, γmin y γmax.El paso más importante consiste en determinar un controlador Kc que satisfaga las

condiciones

‖G1(Kc)‖2 ≤ γ2 (6.8)

‖G2(Kc)‖∞ ≤ γ∞lo cual puede lograrse resolviendo un conjunto de LMIs, tal como fue mostrado en el

capítulo 2.

Para resolver el conjunto de LMIs es necesario igualar las matrices de decisión correspon-

dientes a cada norma, razón por la cual el propio Scherer (1995) reconoce que este en-

foque genera diseños conservadores. Sin embargo argumenta que “el método posee méritos

116

Entradas :G1 : Función de transferencia entre w y z1G2 : Función de transferencia entre w y z2NH2/H∞ : Número de iteraciones∆γ2 : Distancia deseada entre dos soluciones vecinas. Norma H2∆γ∞ : Distancia deseada entre dos soluciones vecinas. Norma H∞γmin : Mínimo valor deseado para la norma H2γmax : Máximo valor permitido para la norma H∞Salidas : Pk = 1;1Mientras k ≤ NH2/H∞ hacer2

Calcule Kkc solución del sub-problema3∥∥G2(Kkc )

∥∥2 ≤ γmin + k∆γ2∥∥G1(Kkc )

∥∥∞ ≤ γmax − k∆γ∞Pk = ActualizarArchivo(Kkc , Pk−1);4k = k + 1;5

Fin6Algoritmo 6.1 : Generación de una aproximación del Frente de Pareto para elproblema mixto H2/H∞ mediante LMIs

valiosos con respecto a las alternativas disponibles, puesto que conduce a problemas que

pueden ser resueltos numéricamente de manera eficiente”.

Dado que las soluciones obtenidas al resolver la secuencia de problemas de factibilidad

LMI no son necesariamente consistentes con una aproximación del Frente de Pareto, se

propone utilizar un mecanismo para archivar las soluciones no-dominadas (ver capítulo

3) lo cual permite introducir en el proceso de búsqueda cualquier requerimiento que se

desee con respecto a la distribución o diversidad deseada en la aproximación del frente.

Es importante resaltar que en la investigación bibliográfica que se ha realizado, no ha

sido posible encontrar referencias previas del empleo de un algoritmo del tipo que aquí se

propone para resolver el problema PH2/H∞.

6.4. Método MOPPEA

Usualmente la representación genética del espacio de controladores se realiza en

formato de función de transferencia

Kc(s) = x1 s2 + x2s + x3s3 + x4s2 + x5s + x6 (6.9)

117o de matrices de estado (forma controlable u otra)

Kc =

Ac Bc

Cc Dc =

x1 x2 x31 0 0

0 1 0

1

0

0

x4 x5 x6 0

(6.10)

donde x1, x2, . . . , x6 ∈ R son las variables de decisión (Cesareo, 1997).

Sin embargo, también se han propuesto representaciones más elaboradas, con el objeto

de hacer el proceso de búsqueda más eficiente. Por ejemplo, Sánchez y Ferrer (2004) pro-

pusieron una representación basada en la parametrización de controladores estabilizantes

de Youla, la cual permite eliminar la restricción de estabilidad en la formulación del prob-

lema de optimización.

Liu et al (2002) incluyen en la representación genética la información correspondiente

a los auto-valores y auto-vectores de la matriz de transferencia a lazo cerrado, de la forma

p = (λ, R, L) (6.11)

donde λ es el vector de auto-valores, R es la matriz de auto-vectores derechos y L es la

matriz de auto-vectores izquierdos de la matriz de estados a lazo cerrado.

Zavala et al (2002) proponen utilizar como variables de decisión la posición de las raices

de los polinomios R(s), S(s) que intervienen en la ecuación diofantina característica de un

lazo, de la forma

F (s) = A(s)S(s) + B(s)R(s) (6.12)

Existen aplicaciones que exigen representaciones muy particulares. Por ejemplo, en

(Andres et al., 2004) se propuso un algoritmo llamado Variable Interval Multi-Objective

(VIM) en el cual se codifica directamente la duración y la amplitud de los intervalos de la

señal de control. También en (Villasana & Ochoa, 2003) se utiliza una representación de

la señal de control basada en intervalos de duración variable.

A continuación se propone un método de diseño, llamado Multi-Objective Pole Place-

ment with Evolutionary Algorithms (MOPPEA) cuya idea principal consiste en asignar

118una estructura de “Observación + Realimentación de Estados” (ver capítulo 2) a cada

individuo, de la forma:

·x= (A + BK + LC)x− Ly

u = Kx(6.13)

donde x es la estimación del vector de estado, K es la matriz de realimentación de esta-

dos y L la matriz de observación. De manera que el problema de diseño PH2/H∞ puede

replantearse como:

minK∈Rnu×n,L∈Rn×ny ‖G1(K,L)‖2‖G2(K,L)‖∞ (6.14)

y por lo tanto la restricción de estabilidad desaparece del problema de optimización: esto

constituye la principal ventaja del método propuesto con respecto a los trabajos de Her-

reros (2000), Molina-Cristobal (2005) y Takahashi et al (2004).

La representación genética propuesta consiste en concatenar las filas de las matrices K

y L correspondientes a cada individuo en un vector de valores reales. De esta manera, el

número total de variables de decisión se calcula mediante la fórmula

nMOPPEA = n× (nu + ny) (6.15)

donde n es el grado, nu el número de entradas y ny el número de salidas del sistema a lazo

abierto (ver figura 6.2).

Figura 6.2: Representación genética propuesta. Método MOPPEA

Esta representación genética permite utilizar los operadores de variación descritos en

el capítulo 3 y el operador de búsqueda local ACPL propuesto en el capítulo 4. Se propone

en particular utilizar el operador de cruce aritmético. Si los padres seleccionados para el

cruce pertenecen a la región de factibilidad, los hijos producidos por este operador son

igualmente factibles.

119Sean (K1, L1) y (K2, L2) las matrices correspondientes a dos individuos estabilizantes,

es decir, tales que

A + BK1 < 0, A + L1C < 0 (6.16)

A + BK2 < 0, A + L2C < 0

Entonces, se cumple que los hijos(K1, L1) y

(K2, L2) generados mediante el operador

aritmético son ambos igualmente estabilizantes.

En efecto, sean(K1, L1) y (K2, L2) las matrices que representan a los hijos generados

a partir de (K1, L1) y (K2, L2), a saber

K1 = αK1 + (1− α)K2 (6.17)

K2 = (1− α)K1 + αK2L1 = αL1 + (1− α)L2L2 = (1− α)L1 + αL2

donde α es un escalar perteneciente al intervalo [0,1]. Posteriormente se multiplican las

ecuaciones (6.16) por α y (1− α) de manera que se obtiene

αA + αBK1 < 0, αA + αL1C < 0 (6.18)

(1− α)A + (1− α)BK2 < 0, (1− α)A + (1− α)L2C < 0

(1− α)A + (1− α)BK1 < 0, (1− α)A + (1− α)L1C < 0

αA + αBK2 < 0, αA + αL2C < 0

las cuales se cumplen si α = 0, α = 1. Note que en los casos α = 0 o α = 1 los hijos son

idénticos a los padres.

Ahora se adicionan las ecuaciones (6.18) para obtener

αA + αBK1 + (1− α)A + (1− α)BK2 < 0 (6.19)

(1− α)A + (1− α)BK1 + αA + αBK2 < 0

αA + αL1C + (1− α)A + (1− α)L2C < 0

(1− α)A + (1− α)L1C + αA + αL2C < 0

lo cual puede reescribirse como

A + BK1 < 0, A + L1C < 0 (6.20)

A + BK2 < 0, A + L2C < 0

120de donde se se deduce que los hijos generados de esta forma son ambos estabilizantes.

En cuanto al operador de mutación, se propone utilizar un esquema similar al presen-

tado en el capítulo 4. La mutación se realiza fijando α = 1 y a partir de un individuo

factible x se genera una mutación mediante

x = x + αδ (6.21)

donde δ es un vector aleatorio de distribución gaussiana. Si el individuo resultante no es

factible entonces se disminuye α a la mitad y se genera una nueva mutación hasta que el

resultado sea factible.

La generación de la población inicial de MOPPEA se basa en el algoritmo recursivo

6.2. Sean pk ∈ Cn , pl ∈ Cn los autovalores de A + BK , A + LC respectivamente. Para

asegurar la condición de estabilidad a lazo cerrado, las matrices K y L deben calcularse

de tal forma que pk y pl pertenezcan al semi-plano C−, lo cual puede lograrse mediante el

método presentado en el capítulo 2, sección 2.4.

La idea principal es decidir al azar si se genera un polo real o un par de polos conjuga-

dos y a partir de allí formular la recursividad. El objetivo consiste en generar individuos

factibles, distribuidos uniformemente en la zona del semi-plano complejo izquierdo delimi-

tada por dos cotas denotadas rmax , imax que deben ser ajustadas en función de la posición

de los polos del sistema a lazo abierto. Dado que en general se recomienda perturbar lo

menos posible las coordenadas de los polos a lazo abierto, es posible calcular las cotas rmax, imax a partir de dichas coordenadas, dejando sin embargo un cierto márgen para que sea

posible la reubicación en caso de que se estime necesario.

Una vez generada la población inicial, la fase de exploración puede realizarse mediante

cualquier algoritmo genético que permita la búsqueda multi-objetivo. En este trabajo se

propone comparar los resultados obtenidos por SPEA2 y SPEA2 - ACPL con respecto al

método basado en factibilidad LMI, tal como se presenta en la próxima sección.

6.5. Resultados numéricos

Los modelos que se estudian en esta sección fueron extraidos de COMPleib, libr-ería que contiene más de 120 sistemas LTI en formato MATLAB R© (Leibfritz, 2004). Una

justificación para esta selección, es que los modelos estudiados previamente por Herreros,

121

Entradas :n : grado del polinomio caracerístico del sistema a lazo cerradormax : cota superior de los polos en el eje realimax : cota superior de los polos en el eje imaginarioSalidas : pSi n = 1 entonces1

p = −rand ∗ rmax;2sino3

Si n = 2 entonces4Si rand < 0.5 entonces5

p1 = −rand ∗ rmax;6p2 = −rand ∗ rmax;7

sino8p1 = −rmax ∗ rand + i ∗ imax ∗ rand;9p2 = −rmax ∗ rand− i ∗ imax ∗ rand;10

finsi11sino12

Si rand < 0.5 entonces13p = [−rmax ∗ rand, genpol(n− 1, rmax, imax)];14

sino15p1 = −rmax ∗ rand + i ∗ imax ∗ rand ;16p2 = −rmax ∗ rand− i ∗ imax ∗ rand;17p = [p1, p2, genpol(n− 2, rmax, imax)]18

finsi19finsi20

finsi21Algoritmo 6.2 : Generación de un vector de polos aleatorio

Molina-Cristobal y Takahashi corresponden a sistemas SISO de bajo orden, más adaptados

a la evaluación de controladores PID, para lo cual de hecho fueron propuestos (Astrom et

al., 1998).

Dado que originalmente COMPleib fue propuesta para la evaluación de soluciones al

problema H∞, para adaptar los modelos al caso H2/H∞ que se estudia en este capítulo, se

propone extraer únicamente las matrices A, B y C, conservando la estructura que aparece

en la ecuación (6.1).

Se propone en concreto evaluar el funcionamiento de tres algoritmos para resolver el

problema PH2/H∞:

122• A1: que corresponde al algoritmo SPEA2 utilizando el método MOPPEA para la

generación y el mantenimiento de individuos estabilizantes.

• A2: que corresponde al algoritmo memético SPEA2-ACPL-E1 (ver capítulo 5) uti-

lizando el método MOPPEA para la generación y el mantenimiento de individuos

estabilizantes.

• A3: que corresponde al algoritmo basado en factibilidad de LMIs (algoritmo 6.1).

En la tabla 6.1 se presentan los datos correspondientes a los modelos seleccionados para

las pruebas. Cada modelo COMPleib se caracteriza por una nomenclatura específica. Para

este trabajo se consideran cinco en particular, a saber: AC1, AC6, NN10, WEC1 y AC9.

Note que los mismos fueron seleccionados de forma que el número de variables de

decisión oscile entre 30 y 90, con el fin de analizar la influencia de esta cantidad sobre los

resultados obtenidos por cada algoritmo.

También se muestran en la tabla 6.1 los valores de los parámetros NH2/H∞,∆γ2, ∆γ∞,

γmin y γmax correspondientes a la configuración del algoritmo basado en LMIs. Los mismos

fueron ajustados mediante ensayo y error tomando en cuenta las soluciones extremas que

se obtienen considerando cada objetivo de manera aislada, utilizando los comandos h2syn

y hinfsyn de MATLAB R©.

Los parámetros rmax , imax que también aparecen en la tabla 6.1 corresponden a las

cotas utilizadas para la generación de la población inicial de MOPPEA, calculadas para

incluir los polos de cada modelo a lazo abierto.

Tabla 6.1: Datos correspondientes a los problemas COMPleibCOMPleib n nu ny nMOPPEA NH2/H∞ ∆γ2 ∆γ∞ γmin γmax rmax imax

AC1 5 3 3 30 100 0.01 0.01 1.5 5.5 10 10AC6 7 2 4 42 100 0.1 1 1 110 20 20NN10 8 3 3 48 100 0.01 0.02 3 15 10 10WEC1 10 3 4 70 100 0.05 1 2 200 100 100AC9 10 4 5 90 100 0.1 0.1 50 100 100 100

123Es importante resaltar que adicionalmente a los algoritmos A1, A2 y A3 antes men-

cionados se realizaron pruebas utilizando la representación tradicional en forma polino-

mial y en espacio de estados. Sin embargo, no fue posible conseguir individuos estables

utilizando estos formatos, por lo cual no se incluyen en los resultados que se presentan a

continuación.

Se realizaron 30 ejecuciones de cada algoritmo. En las figuras 6.3, 6.4, 6.5, 6.6 y 6.7 se

puede apreciar un ejemplo de las aproximaciones obtenidas mediante cada uno.

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 21.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

H2

H∞

Ejemplo de aproximación obtenida con A1Ejemplo de aproximación obtenida con A2Ejemplo de aproximación obtenida con A3

Figura 6.3: Ejemplo de las soluciones obtenidas por A1, A2 y A3. Problema AC1

124

2 3 4 5 6 7 820

40

60

80

100

120

140

160

H2

H∞

Ejemplo de aproximación obtenida con A1Ejemplo de aproximación obtenida con A2Ejemplo de aproximación obtenida con A3


2.5 3 3.5 4 4.5 58

10

12

14

16

18

20

H2

H∞

Ejemplo de aproximación obtenida por A1Ejemplo de aproximación obtenida por A2Ejemplo de aproximación obtenida por A3

Figura 6.5: Ejemplo de las soluciones obtenidas por A1, A2 y A3. Problema NN10

125

3 4 5 6 7 8

80

100

120

140

160

180

H2

H∞

Ejemplo de aproximación obtenida mediante A1Ejemplo de aproximación obtenida mediante A2Ejemplo de aproximación obtenida mediante A3

Figura 6.6: Ejemplo de las soluciones obtenidas por A1, A2 y A3. Problema WEC1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

100

200

300

400

500

600

700

800

H2

H∞

Ejemplo de aproximación obtenida por A1Ejemplo de aproximación obtenida por A2Ejemplo de aproximación obtenida por A3


126En estas figuras es posible apreciar que entodos los casos A2 produce individuos que

en su mayoría dominan a los de A1. Para el problema AC1 (30 variables), se aprecia

que A2 mejora los resultados de A3. En el caso de AC6, las soluciones de A2 y A3 son

mutuamente no-dominadas.

En los casos NN10, WEC1 y AC9 los resultados del algoritmo basado en LMIs mejoran

claramente los resultados del genético, considerando un presupuesto fijo de 20.000 evalua-

ciones del vector objetivo. Esta cantidad de evaluaciones permite que las 30 ejecuciones

del algoritmo genético no excedan el tiempo máximo permitido para completar el proceso

de diseño (≈24 horas).

La configuración utilizada para la ejecución de las pruebas se muestra en la tabla

6.2. Los resultados obtenidos para los indicadores C,DMAX y ESS se muestran en las

tablas 6.3 y 6.4. Independientemente del problema, es posible observar que los resultados

obtenidos por A2 son mejores que los de A1 con respecto al operador de cobertura, lo cual

ilustra la utilidad del operador ACPL para la búsqueda local en estos casos.

Por otra parte, el algoritmo A2 logra mejorar las soluciones de A3 en el caso del

problema AC1 e igualar en el caso AC6, con respecto al operador de cobertura. En los

otros dos casos, el algoritmo basado en LMIs es claramente superior, tal como fue posible

constatar de manera gráfica.

Tabla 6.2: Parámetros utilizados por SPEA2 y SPEA2-ACPL

Parámetros ValorRepresentación K+L

Operador de cruce AritméticoProbabilidad de cruce 0.9Operador de mutación Gaussiana


ε [0.1, 0.1]r [0.1, 0.1]




127

Tabla 6.3: Resultados del indicador de cobertura

C(Ai, Aj) A1 A2 A3

A1 −

AC1:0.0200(0.0535)AC6:0.0217(0.0773)NN10:0.3650(0.3996)WEC1:0.2500(0.2603)AC9:0.2978(0.3548)

AC1:0.8619(0.1326)AC6:0(0)NN10:0(0)WEC1:0(0)AC9:0(0)

A2

AC1:0.8517(0.1850)AC6:0.6750(0.2589)NN10:0.4600(0.4438)WEC1:0.3867(0.2846)AC9:0.4850(0.4329)

−

AC1:0.9810(0.0494)AC6:0(0)NN10:0(0)WEC1:0(0)AC9:0(0)

A3

AC1:0(0)AC6:0(0)NN10:1(0)WEC1:1(0)AC9:1(0)

AC1:0(0)AC6:0(0)NN10:1(0)WEC1:1(0)AC9:1(0)

−

Tabla 6.4: Resultados de los indicadores ESS y DMAXDMAX ESS

A1

AC1:0.7589(0.0535)AC6:120.4263(67.0600)NN10:3.5940(0.7046)WEC1:45.3320(7.7541)AC9:564.2026(190.4456)

AC1:0.0190(0.0069)AC6:3.5698(4.0164)NN10:0.1026(0.0407)WEC1:1.0784(0.4881)AC9:21.5037(17.8440)

A2

AC1:0.9638(0.3524)AC6:73.0991(15.1735)NN10:3.7460(0.6381)WEC1:44.4208(6.2985)AC9:261.0278(169.0322)

AC1:0.0253(0.0121)AC6:1.7792(0.5986)NN10:0.0998(0.0298)WEC1:1.0812(0.3809)AC9:14.7817(19.8238)

A3

AC1:0.1618(0)AC6:2.8065(0)NN10:1.0200(0)WEC1:36.0976(0)AC9:59.2017(0)

AC1:0.0122(0)AC6:0.0152(0)NN10:0.0188(0)WEC1:0.1540AC9:3.3800(0)

128De igual forma, con respecto al indicador ESS, el algoritmo A3 logra mejorar los

resultados obtenidos por los otros dos, lo cual se explica por el caracter determinista del

algoritmo basado en LMIs, el cual intenta producir una distribución uniforme en el frente,

caracterizada por los parámetros ∆γ2, ∆γ∞.

En relación con el índice DMAX no se aprecian claras diferencias entre A1 y A2,

aunque ambos algoritmos producen frentes mucho más amplios que A3, para todos los

problemas. Tampoco con respecto a ESS se aprecian notables diferencias entre A1 y A2.


En este capítulo se propuso un nuevo método de diseño de controladores multi-

objetivo llamado MOPPEA, que consiste fundamentalmente en:

1. Asignar a cada individuo una representación de la forma (K,L), donde K es la

matriz de realimentación y L es la matriz de observación de estados.

2. Utilizar un algoritmo recursivo para generar la población inicial de individuos factibles.

3. Utilizar un operador de cruce aritmético que permite mantener a la población dentro

de la región factible y un algoritmo genético multi-objetivo para llevar a cabo el

proceso de búsqueda.

En particular se presentó una comparación entre los resultados obtenidos por SPEA2

y SPEA2 - ACPL con respecto al método basado en factibilidad LMI, cuando se intenta

resolver el problema mixto H2/H∞ en el caso de cinco modelos de COMPleib.Las pruebas estadísticas realizadas permiten afirmar que, considerando un presupuesto

fijo de 20.000 evaluaciones, el enfoque genético es eficiente únicamente para los problemas

AC1 y AC6 caracterizados por 30 y 42 variables de decisión respectivamente. Por el

contrario, en el caso de los pro-blemas NN10, WEC1 y AC9 (con 48, 70 y 90 variables)

las soluciones obtenidas mediante LMIs dominan a las producidas por SPEA2 y SPEA2 -

ACPL.

Por otra parte, en todas las pruebas realizadas, los valores del indicador de cobertura

obtenidos por el algoritmo memético SPEA2-ACPL superan a los obtenidos por el SPEA2,

lo cual confirma la conveniencia de utilizar el operador de búsqueda local en esta clase de

problemas.

CAPÍTULO VII

CONCLUSIONES

La principal contribución de este trabajo consiste en la propuesta y el análisis de

nuevos operadores, especialmente concebidos para intentar mejorar el proceso de diseño

de controladores automáticos lineales mediante algoritmos genéticos.

Sin embargo, algunas estrategias pueden ser extrapoladas para resolver problemas de

ingeniería en otras áreas tales como identificación de sistemas y análisis de señales. Por

ejemplo, el operador ACPL puede ser adaptado para intentar resolver otros problemas de

optimización multi-objetivo, previa adecuación de sus parámetros y escalamiento de vari-

ables. En este sentido, se presentaron evidencias que permiten concluir que para problemas

que no poseen muchos frentes locales, la utilización del ACPL conduce a mejoras estadísti-

camente significativas del indicador de cobertura, con respecto al algoritmo genético puro.

Este resultado confirma las conclusiones obtenidas por otros autores en trabajos previos

similares.

También con respecto al operador ACPL, es importante destacar que la codificación

binaria propuesta para la identificación de los conos de diversidad y el cálculo de la di-

rección correspondiente a cada cono son aspectos sobre los cuales no se han conseguido

referencias previas en la revisión bibliográfica realizada. Por otra parte, aunque los mecan-

ismos de integración entre el algoritmo genético y el operador de búsqueda local explorados

en el transcurso de esta investigación fueron muy sencillos, los resultados obtenidos son

prometedores y alientan la continuación en esta línea de investigación.

El método propuesto para el diseño PID basado en el cálculo exacto de la región

estabilizante produjo resultados satisfactorios en un caso de estudio basado en un modelo a

lazo abierto de orden seis y de fase no-mínima, de una complejidad superior a los analizados

por otros autores. Es posible que su aplicación se justifique en un caso práctico, puesto que

permitiría mejorar considerablemente la calidad de las soluciones y disminuir el tiempo del

proceso de diseño. Una extensión posible consiste en evaluar el método en aplicaciones en

130línea (auto-tuning y control adaptivo), puesto que es posible asegurar que los controladores

obtenidos son al menos estabilizantes y por ende no pondrían en riesgo la integridad de la

planta controlada.

El tema de la inestabilidad es un punto sobre el cual se hizo mucho énfasis en este

trabajo. Es curioso que ninguno de los investigadores que adoptaron previamente la

metodología genética para resolver problemas de control haya tomado en cuenta este as-

pecto tan fundamental con mayor interés, optando en la mayoría de los casos por un

enfoque basado en una función de penalidad.

En este sentido, el método MOPPEA permite generar y mantener una población com-

puesta exclusivamente por individuos estabilizantes: algo que, de acuerdo con la revisión

de la literatura realizada, ningún otro algoritmo genético había garantizado plenamente.

Y esto gracias a las ventajas de la representación matricial (K,L) para la exploración del

espacio de controladores estabilizantes, con respecto a la representación polinomial o en

espacio de estados utilizada por otros autores. Las pruebas realizadas confirmaron que en

efecto estas últimas no son nada eficientes en el caso de sistemas MIMO de alto orden.

La representación (K,L) propuesta en este trabajo es preferible ya que toma en cuenta

de manera intrínseca la restricción de estabilidad. Es posible afirmar, a partir de los resul-

tados obtenidos, que la representación genética de los controladores en forma polinomial o

en forma controlable únicamente se justifica si el sistema a lazo abierto es SISO y de bajo

orden.

En nuestro conocimiento, ninguno de los investigadores dedicados previamente al problema

mixto H2/H∞ ha publicado información relacionada con los límites de la eficiencia de los

algoritmos genéticos con respecto a las soluciones LMI. En este trabajo se abordó este

tema a partir de casos de estudio en los cuales el número de variables de decisión oscila

entre 30 y 90, considerando un presupuesto fijo de 20.000 evaluaciones.

Se pudo concluir que MOPPEA es capaz de mejorar las soluciones LMI en el caso del

problema de 30 variables y de igualarlas en el caso de 42 variables. Para un mayor número

mayor de variables las soluciones LMI son claramente superiores, tomando en cuenta el

presupuesto limitado de evaluaciones del vector objetivo.

131Estos resultados confirman que, como era de esperarse, mientras más grande es el

número de variables de decisión, menos competitivo se hace el enfoque genético con

respecto a las LMIs. Queda como punto pendiente analizar lo que sucede si se aumenta

el presupuesto de evaluaciones, para lo cual se requiere la disponibilidad de equipos con

mayor capacidad de cómputo, de manera que se pueda obtener resultados en un tiempo

adecuado. Esto se debe a que es necesario repetir las pruebas tantas veces como sea

posible, con el fin de obtener medidas estadísticamente significativas.

Otro punto de investigación que queda abierto consiste en lograr una formulación

del problema LMI en términos de las matrices K y L de la estructura “Observación

+ Realimentación de Estados”. Esta formulación facilitaría una interacción que podría

conducir a mejores soluciones con respecto a cada método de diseño considerado de manera

aislada.

Una innovación interesante de MOPPEA consiste en el algoritmo recursivo para la

generación de la población inicial. En su versión actual este algoritmo permite generar

lazos cerrados cuyos polos pertenecen a una región rectangular delimitada por dos cotas.

Sin embargo, en el futuro es posible adaptar el algoritmo para que los polos se distribuyan

en otras regiones del plano complejo, tales como discos o conos.

También es importante señalar que aunque los indicadores de desempeño utilizados a

lo largo del trabajo (Cobertura, Distancia Máxima y Espaciado) son ampliamente cono-

cidos por los investigadores en el área de algoritmos genéticos multi-objetivo, tampoco

ha sido posible conseguir referencias previas relacionadas con el cálculo de indicadores de

desempeño y pruebas estadísticas similares a las presentadas en este trabajo, en el caso

de problemas de diseño de controladores. Es recomendable que los procedimientos de

evaluación de las soluciones multi-objetivo se conviertan en un estándar para este tipo de

aplicaciones, ya que permite la comparación entre los resultados obtenidos por diversos

autores.

A lo largo del trabajo se puso mucho énfasis en la generación de la población inicial.

De hecho, en este sentido se propusieron tres novedosos métodos con esta finalidad: el

método exacto que calcula los vértices de la región estabilizante en el caso PID, el método

que calcula una aproximación mediante muestreo aleatorio y el método recursivo para la

generación de individuos factibles (MOPPEA). Es interesante notar que estos métodos

se inspiran de diversas fuentes tales como la teoría clásica de control, la programación

132matemática, la geometría, la topología y los algoritmos genéticos. Cada disciplina fue

abordada intentando obtener lo mejor de cada una para alcanzar el objetivo final, el cual

no es otro que conseguir las mejores soluciones posibles para los problemas de diseño.

De esta forma se ha confirmado la necesidad de incorporar conocimiento específico en las

aplicaciones de los algoritmos genéticos, como consecuencia del famoso teorema “No free

lunch” (Wolpert & Macready, 1997).

Muchos puntos quedan sin embargo por abordar, entre los cuales es posible mencionar

los siguientes:

• Implementar algoritmos genéticos adaptivos, para disminuir la necesidad de ajustes

de parámetros por parte del diseñador.

• Continuar el estudio sobre la interacción de los operadores de búsqueda local con los

operadores de búsqueda global (explotación vs exploración).

• Considerar conceptos novedosos de dominancia, para permitir la inclusión de las

preferencias del diseñador, antes o después del proceso de búsqueda.

• Mejorar las interfaces con el usuario y del proceso de selección de soluciones (toma

de decisiones).

• Desarrollo de métodos multi-objetivo de optimización estructural y mixto-entera.

• Continuar el estudio sobre representaciones del espacio de controladores, principal-

mente en el caso no-lineal de múltiples entradas y salidas.

• Consideración de problemas de modelaje e identificación de la planta en el contexto

del diseño multi-objetivo.

• Resolver problemas de control que necesiten optimización multi-objetivo en línea,

considerando las dificultades tecnológicas que ello implica.

133

APÉNDICE

Se denomina señal a cualquier función f : R → Cn que represente una magnitud

física o lógica variable en el tiempo. A continuación se presentan algunos resultados

teóricos relacionados con señales, operadores y normas en diversos espacios de interés para

el análisis de sistemas dinámicos.

Se denota Ln2(−∞,∞) al espacio lineal compuesto por las señales f : R→ Cn continuas

y deterministas, tales que: +∞∫−∞ f ∗(t)f(t)dt <∞ (7.1)

La función ‖·‖2 : Ln2(−∞,∞) → R+0 tal que

‖f‖2 =

√√√√√+∞∫−∞ f ∗(t)f(t)dt, ∀f ∈ Ln2 (7.2)

define una norma sobre Ln2(−∞,∞). Esta cantidad puede ser interpretada como la energía

total contenida en f .

Se denota C+ al semi-plano complejo abierto derecho y C+

al semi-plano complejo

cerrado derecho, esto es

C+ ≡ {c ∈ C; Re(c) > 0}

C+

≡ {c ∈ C; Re(c) ≥ 0}

Se denota Ln2(jR) al espacio de Hilbert compuesto por las funciones matriciales

f : jR→ Cn (7.3)

dotado del producto interno

⟨f1, f2⟩ =

+∞∫−∞ f ∗1 (jω)f2(jω)dω (7.4)

134El operador lineal acotado Γ : Lp×m2 (−∞,∞) → Ln2(jC) definido por

Γ(f) = f(jω) =

+∞∫−∞ f(t)e−jωtdt (7.5)

se denomina Transformada de Fourier. Γ es un operador unitario e invertible, esto es, Γ

define un isomorfismo entre Ln2(−∞,∞) y Ln2(jC).

Se denota Hp×m2 al espacio de funciones matriciales complejas

f : C+→ Cp×m

tales que:

• f es analítica en C+.

• Para cualquier ω ∈ R , excepto en un conjunto finito {ω1, ω2, ...ωN} , se cumple:

f(jω) = limσ→0+ f(σ + jω) (7.6)

• La siguiente cantidad es finita

supσ≥0 +∞∫−∞ traza[f∗(σ + jω)f(σ + jω)]dω (7.7)

La función ‖·‖2 : Hp×m2 → R+0 tal que

∥∥∥f∥∥∥2 =

√√√√√supσ≥0 1

2π

+∞∫−∞ traza[f ∗(σ + jω)f(σ + jω)]dω (7.8)

∀f ∈ Hp×m2 , define una norma sobre Hp×m2 , denotada H2.Una función matricial f : C

+→ Cp×m se denomina real racional, si cada uno de sus

elementos fij(s) es de la forma:

fij(s) =bnusnu + bnu−1snu−1 + .. + b1s + b0snd + and−1snu−1 + .. + a1s + a0 =

Nij(s)Dij(s) (7.9)

donde todos los coeficientes de los polinomios Nij(s) y Dij(s) son reales.

135El conjunto de funciones matriciales f : C

+→ Cp×m reales racionales se denota

R(s)p×m. Si ∀fij(s), nd ≥ nu , f es llamada propia. Si ∀fij(s), nd > nu , f es lla-

mada estrictamente propia. Para cualquier fij(s), se denomina “polo” a cualquier p ∈ C+

tal que∣∣∣fij(s)∣∣∣ → ∞, cuando s → p. Una función real racional f pertenece a Hp×m2 si y

solo si es estrictamente propia y no posee polos en C+. Se denota RHp×m2 al sub-espacio

de funciones matriciales reales racionales pertenecientes a Hp×m2 .

El operador lineal acotado Λ : Ln2 [0,∞) → Hn2 definido por:

Λ(f) = f(s) =

+∞∫0 f(t)e−stdt (7.10)

se denomina Transformada Unilateral de Laplace. Λ define un isomorfismo entre Ln2 [0,∞)

y Hn2 .Se denota Ln∞(−∞,∞) al espacio lineal de señales continuas y determinísticas, com-

puesto por las funciones f : R+0 → Cn tales que:

ess supt∈(−∞,∞)√f ∗(t)f(t) <∞ (7.11)

La función ‖·‖∞ : Ln∞(−∞,∞) → R+0 tal que

‖f‖∞ = ess supt∈(−∞,∞)√f∗(t)f(t) (7.12)

∀f ∈ Ln∞ define una norma sobre Ln∞(−∞,∞) que puede ser interpretada como el módulo

máximo de la señal f para t ∈ (−∞,∞).

Se denota Hp×m∞ al espacio de funciones matriciales G : C+→ Cp×m tales que:

• G es analítica en C+.

• Para cualquier ω ∈ R , excepto en un conjunto finito {ω1, ω2, ...ωN}, se cumple:

G(jω) = limσ→0+ G(σ + jω) (7.13)

• La siguiente cantidad es finita:

ess sups∈C+ σ[G(s)] (7.14)

136donde σ representa el máximo valor singular de la matriz G(s), es decir,

σ[G(s)] =maxi √λi[G(s)∗G(s)] (7.15)

con,

λi[G(s)∗G(s)] ≡ i-ésimo autovalor de G(s)∗G(s)

La función ‖·‖∞ : Hp×m∞ → R+0 tal que∥∥∥G∥∥∥∞ =supω∈R σ[G(jω)], ∀G ∈ Hp×m∞ (7.16)

define una norma sobre Hp×m∞ denotada H∞. De hecho suponga u ∈ Hnu2 . Entonces, G

∈ Hny×nu∞ se comporta como un operador lineal multiplicativo, esto es, y = Gu ∈ H

ny2 . El

operador G es comunmente llamado “matriz de transferencia” desde u hacia y. Además,

mediante el operador Transformada de Laplace, la matriz G ∈ Hp×m∞ define un operador

lineal acotado y causal G de Lm2 [0,∞) → Lp2[0,∞), de la forma:

G = Λ−1GΛ (7.17)

Una función racional G ∈ R(s)p×m , pertenece a Hp×m∞ si y solo si G es propia y no posee

polos en C+. El conjunto de funciones matriciales racionales pertenecientes a Hp×m∞ se

denota RHp×m∞ .

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