UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE ... · O Teste de Aprendizagem Auditivo...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE ESTATISTICACURSO DE ESTATISTICA

ANDRE POSSATI

AVALIACAO DE TECNICAS DE MEMORIZACAO EM UM TESTE RAVLT: UMA

APLICACAO DA ANALISE DE COVARIANCIA

ORIENTADOR: Prof. Dr. Damiao Nobrega da Silva

NATAL/RN2015

ANDRE POSSATI

AVALIACAO DE TECNICAS DE MEMORIZACAO EM UM TESTE RAVLT: UMA

APLICACAO DA ANALISE DE COVARIANCIA

Monografia apresentada ao Departamentode Estatıstica da Universidade Federal doRio Grande do Norte, em cumprimentocom as exigencias legais para obtencao dotıtulo de formacao em Estatıstica.

ORIENTADOR: Prof. Dr. Damiao Nobrega da Silva

NATAL/RN2015

UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede.

Catalogação da Publicação na Fonte

Possati, André.

Avaliação de técnicas de memorização em um Teste Ravlt: uma

aplicação da análise de covariância / André Possati – Natal, RN, 2016.

65 f.: il.

Orientador: Prof. Dr. Damião Nóbrega da Silva.

Monografia (Graduação) – Universidade Federal do Rio Grande do

Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Curso de Estatística.

1. Modelos lineares (estatística) - Monografia. 2. Teste de

Aprendizagem Auditivo Verbal de Rey (RAVLT) - Monografia 3.

Análise de covariância - Monografia. I. Silva, Damião Nóbrega da. II.

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 519.233.4

Agradecimentos

Eu poderia escrever um livro nesta secao para falar da pessoa que tem participado

da minha vida durante esses 10 ultimos anos, da minha luta, dos meus tombos, do meu

renascimento. Mas nenhum livro seria capaz de descrever a felicidade que sinto por te-la

ao meu lado, sempre positiva, sempre rindo deliciosamente das minhas bobagens e sempre

companheira durante os perıodos mais difıceis. Fernanda, obrigado por me manter ali-

mentado, amado e sao, por esse perıodo todo! Obrigado tambem por me apresentar sua

famılia maravilhosa: Ines, Washington, Rachel, Maria Angelica e Jose, de quem recebi

conselhos, abracos e tres sobrinhos lindos!

Nao menos importante foi a dedicacao dos meus pais Rubens e Marcia, na construcao

do meu carater, do meu senso crıtico e na construcao da minha capacidade de colocar-me

no lugar do outro. Gostaria de poder fazer o mesmo que fizeram por mim, mas sei que

essa tarefa so e capaz de realizar quem e pai e mae. Obrigado!

Obrigado tambem aos meus pais/amigos/irmaos Osvaldo e Maria, Ademir e Nadja,

Francisco, Wagner... por estarem sempre presentes, e principalmente por ajudarem a

mim, meu pai e irmaos a suportarem a dor da perda de minha mae.

Gostaria de agradecer tambem aos meus irmaos Maurıcio e Marcos pelo companhei-

rismo que ja dura mais de 30 anos, pelas risadas, pelas noitadas regadas a boa musica e

pelo alicerce que me ajudaram e ajudam a construir. Obrigado tambem a Anna por toda

a alegria que trouxe a famılia!

Ao cla Onaga, Claudia, Maıra e Flavia, pelo seu bom humor e sagaz inteligencia, pe-

las massagens maravilhosas, pelos livros, filmes e principalmente pela companhia essencial

nesses anos todos.

Aos meus amigos de infancia, Marcelo, Tiagos (Costantini e Olho), Gilberto, Rodrigos

(Moita, VG e Costantini), Andre, Marina, Julia, Caio e suas (seus) respectivas (os), pelas

infinitas horas de jogo, filosofia e bom humor. Aos seus pais pelo fundamental apoio nas

horas que mais precisei!

Aos meus amigos de escola que me arrastavam de casa para alguma festa quando

nao tinha mais dinheiro para sair (porque gastara tudo antes da hora), Paulo, Fernando,

Bruno, Rodrigo, Eduardo, Leonardo, Wagner, Maurıcio, Yuzo e outros varios que ainda

me acompanham.

Aos meus queridos amigos da UFRN: Kalil, Francimario, Joyce, Inara, Fidel, Elias,

Ramiro, Deillany, Jhonnata pelas muitas horas de estudo, ajuda com as disciplinas e boas

conversas, e tantos outros que nao quero perder contato.

Gostaria fazer um agradecimento especial aos meus amigos do Ventania, Guilherme

e Marılia, primeiro pela amizade que construımos nesses ultimos quatro anos, pela com-

panhia na casa da Ponta Negra e sobretudo pelo maravilhoso lanche que voces fazem!

Sucesso amigos!

Ao RXK, a entidade que mais cresce no Brasil, por esses quase 20 anos de muita, mas

muita coisa boa!

Gostaria de agradecer a fantastica equipe de professores da Estatıstica da UFRN, pelo

acolhimento e amizade, ao Prof. Pledson pelo excelente trabalho junto a coordenacao do

curso e, em especial, ao Prof. Damiao, que aceitou a tarefa de me orientar nesse trabalho

dedicando muitas horas de seu tempo para que o resultado fosse o melhor possıvel. Obri-

gado Professor!

Ao Programa Novos Talentos, ao PET e IC, dos quais tive a honra de participar e

aprender licoes valiosas para toda a vida, bem como aos professores/tutores desses pro-

gramas: Pledson, Formiga, Dione e Carla.

Eu nao poderia terminar sem agradecer a Ana Maria, pela oportunidade de trabalhar-

mos juntos em sua Dissertacao de Mestrado, por ter me cedido gentilmente seu banco de

dados, por sua dedicacao em alcancar o objetivo de me fazer compreender um pouco mais

de psicologia, pelo seu tempo e pela sua amizade. Obrigado!

”Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espırito.”

Fenelon

ResumoO Teste de Aprendizagem Auditivo Verbal de Rey (RAVLT) e um instrumento de

grande utilidade para avaliacao clınica de processos de perda de memoria. O objetivo

principal deste trabalho e avaliar os efeitos de treinamento cognitivo e higiene do sono na

memorizacao de palavras em um teste RAVLT com idosos de 60 a 86 anos, em Natal. Estes

indivıduos foram alocados aleatoriamente a quatro tratamentos de interesse: controle,

treino cognitivo, higiene do sono e combinacao de treino cognitivo com higiene do sono.

Dados do numero de palavras recordadas e ındices de memorizacao relacionados obtidos

apos a intervencao da aplicacao dos tratamentos sao analisados analises de covariancia,

tomando-se os valores pre-intervencao dessas medidas como covariaveis. Os resultados

sugerem que treino cognitivo combinado com higiene do sono pode aumentar o numero

medio de palavras recordadas na evocacao espontanea em relacao ao grupo controle.

Observa–se, tambem, que a tecnica de analise de covariancia e, em geral, mais eficiente

que analise de variancia para comparar os efeitos dos tratamentos.

Palavras-chave: Estudo pre-teste/pos-teste. Experimento completamente aleatorizado.

Modelos lineares.

AbstractThe Rey Auditory Verbal Learning Test (RAVLT) is a useful tool for clinical evaluation

of memory loss processes. This study aims to evaluate the effects of cognitive training and

sleep hygiene techniques on word memorization in a RAVLT test applied to 60-86 year-

old subjects. The individuals in the study were randomly allocated to four treatments of

interest: control, cognitive training, sleep hygiene and a combination of cognitive training

with sleep hygiene. Data on the post-treatment number of recalled words and related

memorization indexes are analyzed by covariance analyses, taking the corresponding pre-

intervention measures as covariates values. The results suggest that cognitive training

combined with sleep hygiene may increase the average number of words recalled in the

spontaneous evocation phase of the test in relation to the control group. Covariance

analysis is seen to be generally more efficient than analysis of variance to compare the

treatment effects.

Keywords: Pretest/posttest study. Completely Randomized Experiment. Linear Models.

Sumario

LISTA DE ILUSTRACOES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1 INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.1 Objetivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.2 Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Estrutura da monografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 ESTUDO EXPERIMENTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 O modelo de analise de covariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Verificacao das suposicoes do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Testes de hipoteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.1 Paralelismo das retas de regressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.2 Efeito dos tratamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.3 Coeficiente angular nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Intervalos de confianca para medias ajustadas . . . . . . . . . . . 32

4 ANALISE DOS RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Evocacao espontanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.1 Tentativa A6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.2 Tentativa A7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 Memoria de curto prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Velocidade de esquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 Indices de interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.1 Interferencia proativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.2 Interferencia retroativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 CONCLUSAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

APENDICES 57

A GRAFICOS PARA ANALISES RESIDUAIS . . . . . . . 59

B PROGRAMA R PARA AS ANALISES ESTATISTICAS 65

Lista de ilustracoes

Figura 1 – Cronograma das etapas do teste RAVLT . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Figura 2 – Dispersao dos escores pos-teste e pre-teste na tentativa A6 para os

quatro tratamentos. Retas de regressao sao estimadas sob paralelismo . 37

Figura 3 – Dispersao dos escores pos-teste e pre-teste na tentativa A7 para os


Figura 4 – Dispersao dos escores totais pos-teste e pre-teste para os quatro trata-

mentos. Retas de regressao sao estimadas sob paralelismo . . . . . . . 42

Figura 5 – Dispersao dos ındices de esquecimento pos-teste e pre-teste para os


Figura 6 – Dispersao dos ındices de interferencias proativa pos-teste e pre-teste

para os quatro tratamentos. Retas de regressao sao estimadas sob

paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 7 – Dispersao dos ındices de interferencias retroativa pos-teste e pre-teste

para os quatro tratamentos. Retas de regressao sao estimadas sob

paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 8 – Diagrama de dispersao e grafico de probabilidade normal com envelope

para os resıduos padronizados do modelo de analise de covariancia para

o escore da tentativa A6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59



o escore da tentativa A7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60



o escore total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61



o ındice de esquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62



o ındice de interferencia proativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63



o ındice de interferencia retroativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Lista de Tabelas

Tabela 1 – Teste de paralelismo das retas de regressao da analise de covariancia

para o escore pos-teste na tentativa A6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Tabela 2 – Estimativas de mınimos quadrados e erros padroes para os parametros

do Modelo 3 da analise de covariancia para o escore pos-teste na ten-

tativa A6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Tabela 3 – Analise de variancia para os testes ajustados dos efeitos dos tratamen-

tos e da covariavel para o escore pos-teste na tentativa A6 . . . . . . . 38

Tabela 4 – Medias ajustadas para o escore pos-teste na tentativa A6 com erros

padroes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


para o escore pos-teste na tentativa A7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


do Modelo 3 da analise de covariancia para o escore pos-teste na ten-

tativa A7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


tos e da covariavel para o escore pos-teste na tentativa A7 . . . . . . . 40

Tabela 8 – Medias ajustadas para o escore pos-teste na tentativa A7 com erros

padroes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


para o escore total pos-teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


do Modelo 3 da analise de covariancia para o escore total pos-teste . . 42


tos e da covariavel para o escore total pos-teste . . . . . . . . . . . . . 43

Tabela 12 – Medias ajustadas para o escore total pos-teste com erros padroes . . . 43


para o ındice de esquecimento pos-teste . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


do Modelo 3 da analise de covariancia para o ındice de esquecimento

pos-teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


tos e da covariavel para o ındice de esquecimento pos-teste . . . . . . 46

Tabela 16 – Medias ajustadas para o ındice de esquecimento pos-teste com erros

padroes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


do ınidice de interferencia proativa pos-teste . . . . . . . . . . . . . . 47


do Modelo 3 (escala transformada) da analise de covariancia para o

ındice de interferencia proativa pos-teste . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


tos e da covariavel para o ındice de interferencia proativa pos-teste

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Tabela 20 – Medias ajustadas o ındice de interferencia proativa pos-teste com erros

padroes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49


para o ındice de interferencia retroativa pos-teste . . . . . . . . . . . . 49


do Modelo 3 da analise de covariancia para o ındice de interferencia

retroativa pos-teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


tos e da covariavel para o o ındice de interferencia retroativa pos-teste

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Tabela 24 – Medias ajustadas para o o ındice de interferencia retroativa pos-teste

com erros padroes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

17

1 Introducao

1.1 Motivacao

De acordo com o IBGE, o ritmo de envelhecimento da populacao brasileira esta acima

da media mundial (SARAIVA; MARTINS, 2012). Dados de 2012 revelaram que a razao

entre o numero de pessoas de 60 anos ou mais de idade para cada 100 pessoas de menos de

15 anos vem aumentando de maneira “marcante”, conforme o proprio instituto. Segundo

Kalache (1987), os fatores determinantes do envelhecimento de um paıs sao, fundamen-

talmente, ditados pelo comportamento de suas taxas de fertilidade e, de modo menos

importante, de suas taxas de mortalidade. Ainda segundo este autor, o envelhecimento

da populacao brasileira e um fato irreversıvel, e que devera se acentuar no futuro proximo.

Diante disso a manutencao da capacidade funcional de cada indivıduo, de forma que ele

permaneca autonomo e independente pelo maior tempo possıvel, e um grande desafio

(COSTA; PORTO; SOARES, 2003).

Um dos estudos conduzidos para identificar fatores que afetam a capacidade de memo-

rizacao de idosos foi o experimento controlado realizado como requisito para obtencao do

tıtulo de Mestre em Psicologia na Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN)

pela estudante Ana Maria Souza Moreira (MOREIRA, 2015). O objetivo geral da au-

tora do experimento foi o de avaliar os efeitos de um programa de treino cognitivo e de

tecnicas de higiene do sono para as funcoes executivas e para qualidade de sono de idosos

saudaveis. Tradicionalmente, as “funcoes executivas” referem-se as habilidades cognitivas

envolvidas no planejamento, iniciacao, seguimento e monitoramento de comportamen-

tos complexos dirigidos a um fim e sao utilizadas para designar uma ampla variedade

de funcoes cognitivas que implicam: atencao, concentracao, seletividade de estımulos,

capacidade de abstracao, planejamento, flexibilidade de controle mental, autocontrole e

memoria operacional (HAMDAN; PEREIRA, 2009).

De acordo com Schaie (2005 apud COTTA et al., 2012) a memoria se relaciona a

uma gama de processos cognitivos que envolvem a aquisicao, a formacao, a conservacao

e a evocacao de informacoes. Ao longo do ciclo de vida percebe-se seu aprimoramento

na infancia e adolescencia, estabilizacao ao longo da idade adulta e declınio ao longo

do envelhecimento, formando uma curva em formato de U invertido. Ainda segundo

Cotta et al. (2012), a avaliacao da memoria do paciente idoso se da atraves de testes

neuropsicologicos e um dos testes mais utilizados nesse processo, por ser particularmente

util em sua avaliacao neuropsicologica, e o Teste de Aprendizado Auditivo-Verbal

de Rey ou RAVLT (REY, 1941; TAYLOR, 1959).

Os dados obtidos no experimento em Moreira (2015) foi baseado neste teste RAVLT.

18 Capıtulo 1. Introducao

Este teste e constituıdo por uma listagem de 15 substantivos (lista A) a ser lida para o su-

jeito pesquisado com um intervalo de um segundo entre cada palavra. Esse procedimento

e realizado cinco vezes consecutivas e ao final de cada uma delas e pedido ao sujeito que

se recorde de cada uma das quinze palavras. Os escores (numero de palavras recordadas)

alcancados durante esse processo de evocacao das palavras sao registrados em cada uma

das cinco tentativas. Estes escores sao denotados pelas variaveis A1, A2, A3, A4 e A5

e os correspondentes valores possıveis de cada um deles compreendem, portanto, inteiros

de 0 a 15.

Logo apos esta etapa, uma lista composta por outros 15 substantivos (lista de in-

terferencia B) e lida ao sujeito e solicitada sua subsequente evocacao (tentativa B1). O

numero de palavras certas nesta tentativa e tambem denotado por B1. A seguir pede-se

ao sujeito que se recorde das palavras da lista A sem que ela seja reapresentada (tentativa

A6). Apos um intervalo de 20 minutos, pede-se ao sujeito que se lembre das palavras da

lista A (tentativa A7) tambem sem que a lista A seja lida para ele. Similarmente, os esco-

res correspondendo aos numeros de palavras corretamente recordadas nestas duas ultimas

tentativas sao denotados por A6 e A7, respectivamente. Estas etapas podem ser melhor

visualizadas no cronograma apresentado na Figura 1. Apos a tentativa A7, e feito o teste

de memoria de reconhecimento, quando uma lista contendo as 15 palavras da lista A, as

15 palavras da lista B e 20 distratores (semelhantes as palavras de lista A e B em termos

fonologicos ou semanticos) sao lidas para o sujeito. A cada palavra lida, o sujeito deve

indicar se ela pertence (ou nao) a lista A. A essa variavel e dada o nome reconhecimento

e os escores alcancados variam entre 0 e 50. Contudo, essa variavel nao sera analisada no

presente trabalho.

Os escores A1,..., A7 e B1 do teste RAVLT permitem a formacao de varios outros

ındices que podem ser usados para avaliar diferentes caracterısticas do mecanismo de me-

morizacao de um indivıduo. Segundo Cotta et al. (2012), o escore total nas cinco primeiras

tentativas A1 + · · · + A5 e uma medida da curva de aprendizagem das palavras. Tambem,

as quantidades A7/A6, B1/A1 e A6/A5 medem respectivamente a velocidade de esqueci-

mento, a interferencia proativa e a interferencia retroativa. A velocidade de esquecimento

permite estudar a relacao do conteudo aprendido com o tempo. A interferencia proativa

permite avaliar o grau de dificuldade do aprendizado de uma nova informacao devido a

informacao previamente absorvida e a retroativa avalia a dificuldade do indivıduo recordar

informacao passada devido a exposicao de um novo conteudo.

1.2. Objetivos 19

Figura 1 – Cronograma das etapas do teste RAVLT

Uma caracterıstica deste estudo experimental e a medicao das variaveis do teste

RAVLT relacionadas com a memoria dos indivıduos participantes, ou seja A1 a A7 e

B1, nas fases antes e depois da intervencao decorrente dos tratamentos aplicados. As

variaveis respostas foram tomadas como as medidas e ındices de interesse referentes na

fase pos-intervencao do experimento e as covariaveis foram definidas como o valor de cada

resposta na fase pre-intervencao pela aplicacao dos tratamentos.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo geral

O objetivo geral desta monografia e o de avaliar estatisticamente a significancia dos efeitos

dos tratamentos do experimento realizado em Moreira (2015), ou seja, controle, higiene do

sono, treino cognitivo e higiene do sono mais treino cognitivo, em caracterısticas medidas

pos-aplicacao do teste RAVLT. Estas caracterısticas sao relacionadas com:

• memoria de curto prazo do teste RAVLT;

• evocacao espontanea;

• velocidade de esquecimento;

• medida de interferencia proativa;

20 Capıtulo 1. Introducao

• ındice de interferencia retroativa.

A ferramenta estatıstica escolhida para analisar os dados do experimento em Moreira

(2015) e a analise de covariancia (ANCOVA). A analise de covariancia e uma tecnica

estatıstica que combina caracterısticas de um modelo de analise de variancia (ANOVA)

com modelos de regressao para avaliar os efeitos dos tratamentos controlando–se os efeitos

da covariavel na resposta. Esta tecnica e bem descrita em Cochran e Cox (1957), Cox

(1958), Snedecor e Cochran (1989) e Kuehl (2000), dentre outros. Uma das motivacoes

dessa tecnica e o aumento de precisao na estimacao dos efeitos dos tratamentos em expe-

rimentos aleatorizados devido a incorporacao de informacao auxiliar correlacionada com

a resposta de interesse. Detalhes sobre a aplicacao da teoria de modelos lineares para

estimacao e inferencia em modelos de analise de covariancia podem ser vistos em Neter

et al. (1996), Rencher (2008) e Hinkelmann e Kempthorne (2007).

1.2.2 Objetivos especıficos

A aplicacao da analise de covariancia neste trabalho dar-se-a usando as medidas pre-teste

como covariaveis. Neste contexto, definem–se como objetivos especıficos os seguintes:

• Avaliar estatisticamente se as retas da regressao de cada tratamento das medidas

pos-teste versus as medidas pre-teste podem ser representadas por retas paralelas;

• Avaliar e estimar estatisticamente o efeito das covariaveis e dos efeitos dos trata-

mentos sobre as caracterısticas definidas na Secao 1.2.1;

• Estimar as respostas medias dos tratamentos ajustadas pelo efeitos da covariaveis;

• Estimar a eficiencia da inclusao da covariavel nas analises em relacao aos modelos

de analise de variancia para planos experimentais completamente aleatorizados.

1.3 Estrutura da monografia

A estrutura desta monografia e a seguinte: No Capıtulo 2, sera apresentada uma descricao

mais detalhada do experimento realizado em Moreira (2015). A metodologia estatıstica

para as analises estatısticas sera abordada no Capıtulo 3. A analises dos resultados sera

discutida no Capıtulo 4. Por ultimo, no Capıtulo 5, serao apresentadas as conclusoes do

trabalho e sugestoes para estudos futuros.

21

2 Estudo experimental

Serao apresentados, a seguir, aspectos do protocolo experimental usado para a obtencao

dos dados no estudo apresentado em Moreira (2015). A utilizacao destes dados para esta

monografia foi devidamente autorizada pela pesquisadora responsavel pelo trabalho. Era

de interesse, a princıpio, conduzir a pesquisa em toda a cidade de Natal, mas devido a

algumas dificuldades optou-se por restringir a coleta de dados a apenas uma instituicao. A

instituicao escolhida tem como missao incentivar e empreender iniciativas que promovam

o bem estar da pessoa idosa. Ao final desta etapa, um total de 41 idosos maiores de 60

anos, sendo 35 mulheres e 6 homens, foram selecionados para participacao no estudo.

Os indivıduos do estudo foram aleatoriamente divididos em quatro grupos: Controle,

Treino cognitivo (TC), Higiene do sono (HS) e Treino Cognitivo + Higiene do Sono

(TC+HS). Excetuando-se o grupo Treino Cognitivo, que foi constituıdo por 11 sujeitos,

os demais grupos se estabeleceram com 10 indivıduos cada. A media geral de idade se

situou proxima aos 69,5 anos com desvio padrao de 7,9 anos.

A pesquisa aconteceu em tres etapas, realizadas nessa ordem: avaliacao do funciona-

mento executivo e qualidade do sono dos participantes, intervencao especıfica destinada a

cada grupo e reavaliacao das funcoes executivas e da qualidade do sono. Ao grupo controle

foram aplicadas as avaliacoes iniciais e sua reavaliacao foi realizada apos um mes e meio.

O mesmo intervalo de tempo foi dado aos outros tres grupos para que fossem reavaliados.

O grupo TC participou de um programa de treino cognitivo das funcoes executivas. O

grupo HS foi submetido a um programa de psicoeducacao das tecnicas de higiene do sono

e o grupo TC+HS participou de um programa de treino das funcoes executivas bem como

da psicoeducacao da higiene do sono.

Todos os grupos passaram por um programa de treinamento que durou seis sessoes,

com frequencia semanal e duracao media de 1 hora e 30 minutos cada sessao. O grupo

de sujeitos submetido ao tratamento TC passou pelo treinamento onde foram propostos

tres exercıcios simples de memorizacao, um exercıcio extra (de complexidade maior) e

um exercıcio a ser realizado em casa. As atividades presenciais eram monitoradas pela

pesquisadora e a atividade realizada em casa era retomada na sessao seguinte, onde se

perguntava ao sujeito sobre a execucao, suas dificuldades e aspectos mais interessantes. Na

ultima sessao nao foi proposto exercıcio de casa. No grupo submetido ao tratamento HS

foram trabalhadas e discutidas as funcoes do sono e a sua importancia para a manutencao

da boa qualidade de vida, como por exemplo, a importancia da regularidade do sono, a

importancia dos habitos comportamentais no sono e a importancia do ambiente de sono

adequado. Essas sessoes tambem foram finalizadas com a proposicao de exercıcios a serem

realizados em casa, com excecao da ultima.

22 Capıtulo 2. Estudo experimental

Todas as avaliacoes e intervencoes foram realizadas pela mestranda responsavel pela

pesquisa. No entanto, todos os protocolos foram codificados e entregues para que ou-

tros pesquisadores pontuassem, sem que a autora tivesse acesso a informacao de quais

protocolos representavam as pre e/ou pos intervencoes, como tambem sem saber quais

correspondiam a cada grupo.

O objetivo geral do experimento em Moreira (2015) e avaliar os efeitos de um programa

de treino cognitivo e das tecnicas de higiene do sono para as funcoes executivas e para

qualidade de sono de idosos saudaveis. Contudo, no presente trabalho, a atencao principal

se da na analise dos dados referentes as variaveis que se relacionam exclusivamente com a

memoria, visto que o experimento realizado com os idosos nao contemplava esse objetivo

especıfico. Optou-se tambem por se desconsiderar quaisquer inferencias a populacao uma

vez que os indivıduos participantes dos estudo nao foram selecionados por amostragem

probabilıstica.

23

3 Metodologia

3.1 O modelo de analise de covariancia

Considere um experimento controlado com k tratamentos alocados segundo um plano

completamente aleatorizado a um conjunto de N = n1 + n2 + · · · + nk unidades experi-

mentais, em que ni denota o numero de replicas do i-esimo tratamento. Seja yij o valor de

uma variavel resposta y de interesse para a j-esima unidade experimental submetida ao

i-esimo tratamento. Similarmente, seja xij o valor de uma covariavel x a j-esima unidade

experimental do i-esimo tratamento, para i = 1, 2, ..., k e j = 1, 2, ..., ni.

O modelo estatıstico de analise de covariancia com um fator de tratamento e uma

covariavel x pode ser expresso por

yij = µ+ αi + βxij + εij, (3.1)

em que µ e uma constante, αi e o efeito fixo do i-esimo tratamento (com α1 = 0) e os εij

sao variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas N(0, σ2) representando

os erros experimentais associados com as observacoes yij, i = 1, 2, ..., k e j = 1, 2, ..., ni.

Algumas observacoes sobre este modelo sao:

1. Uma outra suposicao adicional que e implıcita no modelo (3.1) e que os valores

da covariavel nao sao influenciados pelos tratamentos. No presente contexto, esta

suposicao nao deve ser violada no experimento que sera analisado uma vez que,

conforme descrito na Capıtulo 2, os valores das covariaveis foram medidos antes

da aplicacao dos tratamentos e nao medidos simultaneamente com os valores das

variaveis respostas.

2. A parametrizacao α1 = 0 no modelo (3.1) define o parametro µ como o efeito do

tratamento 1 (tratamento de referencia) e os parametros αi, i = 2, ..., k, como os

efeitos diferenciais do i-esimo tratamento em relacao ao primeiro tratamento. Esta

parametrizacao para o efeito do primeiro tratamento e compatıvel com a restricao

padrao usada pelo software estatıstico R. Na realidade, outras restricoes poderiam ser

adotadas, como por exemplo αk = 0 (a opcao padrao no sistema SAS) e∑k

i=1 αi = 0.

Cada dessas restricoes alternativas levam a diferentes interpretacoes dos parametros

do modelo.

3. O modelo (3.1) sugere que a regressao de y em x pode ser sumarizada por retas

paralelas, uma para cada tratamento. Estas retas tem coeficientes angulares comum

β, mas os correspondentes interceptos sao dados por µ, µ+ α2,..., µ+ αk. Um caso

particular deste modelo e quando α2 = · · · = αk, quando as retas sao coincidentes.

24 Capıtulo 3. Metodologia

Um outro caso particular e quando β = 0, situacao esta representando retas paralelas

ao eixo x.

A representacao matricial para o modelo de ANCOVA (3.1) e dada por

y = Zα + xβ + ε, (3.2)

em que y = (y11, ..., y1n1 , y21, ..., y2n2 , ..., yk1, ..., yknk)>,

ZN×k =

1 0 0 ... 0...

......

...

1 0 0 ... 0

1 1 0 ... 0...

......

...

1 1 0 ... 0...

......

...

1 0 0 ... 1...

......

...

1 0 0 ... 1

, αk×1 =

µ

α2

...

αk

, xN×1 =

x11

...

x1n1

x21

...

x2n2

...

xk1

...

xknk

e εN×1 =

ε11

...

ε1n1

ε21

...

ε2n2

...

εk1

...

εknk

,

com ε ∼ N(0, σ2I). Esta notacao indica que o vetor ε tem distribuicao Normal N -

dimensional com vetor de medias zero e matriz de covariancias σ2I.

Os estimadores de mınimos quadrados dos parametros α e β sob o modelo (3.2) sao

dados como a solucao (α, β) do sistema de equacoes normais (RENCHER, 2008, p. 446)

Z>Zα + Z>xβ = Z>y,

x>Zα + x>xβ = x>y.(3.3)

Dessa forma, uma vez que Z>Z tem posto completo, segue que o estimador de mınimos

quadrados do vetor α e

α =

µ

α2

...

αk

= α0 − (Z>Z)−1Z>xβ =

y1. − βx1.

y2. − y1. − β(x2. − x1.)...

yk. − y1. − β(xk. − x1.)

, (3.4)

em que α0 = (Z>Z)−1Z>y e a solucao para as equacoes normais para o modelo y = Zα+ε

sem covariaveis, yi. = (1/ni)∑ni

j=1 yij, xi. = (1/ni)∑ni

j=1 xij e α1 = 0. O estimador de

mınimos quadrados para β pode ser calculado pela expressao

β = [x>(I−P)x]−1x>(I−P)y = e−1xx exy, (3.5)

em que P = Z(Z>Z)−1Z>,

exx = x>(I−P)x =k∑i=1

ni∑j=1

(xij − xi.)2

3.2. Verificacao das suposicoes do modelo 25

e

exy = x>(I−P)y =k∑i=1

ni∑j=1

(xij − xi.)(yij − yi.).

A soma de quadrados residual associada com o ajuste pode ser tambem calculada por

SQEy.x = y>y− α>Z>y− β>X>y = SQEy − β

>X>(I−P)y, (3.6)

em que

SQEy = eyy = y>(I−P)y =k∑i=1

ni∑j=1

(yij − yi.)2

e a mesma soma de quadrados para o modelo ANOVA y = Zα + ε sem covariaveis. A

soma de quadrados SQEy.x tem N − k − 1 graus de liberdade associados e uma outra

expressao alternativa e dada por

SQEy.x = eyy −e2xy

exx=

k∑i=1

ni∑j=1

(yij − yi.)2 −[∑k

i=1

∑ni

j=1(xij − xi.)(yij − yi.)]2∑ki=1

∑ni

j=1(xij − xi.)2. (3.7)

Observa–se, portanto, que SQEy.x < SQEy. Com base neste fato, pode–se medir o

aumento em eficiencia pela adicao da covariavel no modelo por

E =SQEy/(N − k)

SQEy.x/(N − k − 1),

ou seja a razao do quadrado medio residual do modelo de ANOVA sem covariaveis para o

quadrado medio residual do modelo de ANCOVA. Esta medida foi proposta por Finney

(1946) e sugerida por Kuehl (2000). Ela indica quantas replicas seriam necessarias pelo

modelo ANOVA para atingir a mesma precisao das medias dos tratamentos estimadas

sob o modelo ANCOVA. Por exemplo, o valor de 1,5 em eficiencia significa que o modelo

de analise de variancia precisa de 50% mais replicas para atingir a mesma precisao das

medias dos tratamentos estimadas sob o modelo de analise de covariancia.

3.2 Verificacao das suposicoes do modelo

O modelo de analise de covariancia (3.1) assume que erros aleatorios sao independentes

e normalmente distribuıdos com media zero e variancia constante. Como o experimento

e aleatorizado, espera-se que os testes produzidos baseados no modelo que assume in-

dependencia das observacoes sejam aproximacoes validas para os testes que deveriam

ser realizados com base na teoria da aleatorizacao. Uma apresentacao desta teoria para

analise de covariancia e dada em Hinkelmann e Kempthorne (2007, cap. 8).

A suposicao de homogenidade das variancias pode ser verificada pela analise do grafico

de dispersao dos resıduos (ou de uma versao padronizada) versus os valores preditos pelo


modelo ajustado. De acordo com o ajuste pelo metodo dos mınimos quadrados para o

modelo (3.1) com base nos estimadores (3.4) e (3.5), os valores preditos pelo modelo sao

yij = µ+ αi + βxij = yi. + β(xij − xi.). (3.8)

Os resıduos resultantes deste ajuste sao dados por

eij = yij − yij = yij − yi. − β(xij − xi.) (3.9)

e os resıduos padronizados (TAMHANE, 2009) sao

rij =eij

sy.x

√1−

{1ni

+(xij−xi.)2

exx

} , (3.10)

em que sy.x = SQEy.x/(N−k−1). Pode–se, tambem, testar formalmente a homogeneidade

das variancias com testes, como por exemplo, o teste de Levene (LEVENE, 1960). A ideia

geral do teste de Levene e testar se as variancias das observacoes sao homogeneas atraves

de uma ANOVA para comparar as medias de zij = |yij − mediana(yij)|. Esta variavel

transformada e tal que E(zij) ≈ V ar(yij).

A suposicao de normalidade pode ser verificada com o teste de Shapiro-Wilk (SHA-

PIRO; WILK, 1965) e a avaliacao do grafico de probabilidade normal. Nos casos que

evidenciam nao normalidade ou variancia heterogenea entre os erros do modelo, o procedi-

mento de transformacao de Box-Cox (BOX; COX, 1964) pode ser aplicado para encontrar

uma escala em que estas suposicoes sejam aproximadamente atendidas.

3.3 Testes de hipoteses

3.3.1 Paralelismo das retas de regressao

A principal hipotese a ser testada em uma analise covariancia e, normalmente, a de que

nao ha efeito dos tratamentos na variavel resposta, ajustando–se pelo valor da covariavel.

Contudo, antes de proceder o teste desta hipotese, deve–se verificar se o modelo (3.1)

fornece uma descricao apropriada para os dados. Um passo importante neste sentido e a

verificacao da suposicao que as retas de regressao da resposta em funcao de covariavel,

relativa a cada tratamento, sao paralelas.

Para verificar esta suposicao, pode–se aplicar o princıpio da soma de quadrados extra

em um modelo linear geral (ver, por exemplo, Neter et al. (1996, Secao 2.8)). Esta

abordagem se baseia na comparacao das somas de quadrados residuais entre o modelo

reduzido (induzido pela hipotese nula) e o modelo completo, cujos parametros podem

assumir os valores das hipoteses nula ou da alternativa. O teste F para a hipotese de

interesse usa a estatıstica

F =(SQE(R)− SQE(C))/(gl(R)− gl(C))

SQE(C)/gl(C), (3.11)

3.3. Testes de hipoteses 27

em que SQE(R) e SQE(C) sao as somas de quadrados residuais dos modelos reduzido e

completo e gl(R) e gl(C) sao, analogamente, os graus de liberdade das respectivas somas

de quadrados destes modelos. Sob a hipotese nula, a estatıstica (3.11) tem distribuicao

F de Snedecor com graus de liberdade gl(R)− gl(C) e gl(C), respectivamente.

A hipotese de paralelismo das retas de regressao pode, entao, ser verificada da seguinte

maneira. Tomando–se o modelo (3.1) como modelo reduzido, a soma de quadrados re-

sidual deste modelo dada por SQEy.x em (3.7) tem N − k − 1 graus de liberdade. O

modelo completo e formado pelos mesmos parametros e condicoes do modelo reduzido,

porem com a adicao de termos para permitir diferentes coeficientes angulares nas retas

de regressao entre os tratamentos, ou seja

yij = µ+ αi + βxij + γ2I2ijxij + · · · γkIkijxij + εij, (3.12)

i = 1, 2, ..., k e j = 1, 2, ..., ni, em que

I2ij =

{1, se i = 2,

0, caso contrario,

...

Ikij =

{1, se i = k,

0, caso contrario.

e γ2,..., γk representam os incrementos no coeficiente angular da reta de regressao do

tratamento 1 para produzir os respectivos coeficientes angulares das retas dos tratamentos

2,..., k. Portanto, como as retas de regressao entre os tratamentos sao paralelas se, e

somente, se γ2 = · · · = γk = 0, as hipoteses de interesse neste caso sao

H01 : γ2 = ... = γk = 0

H11 : pelo menos um γi, i = 2, ..., k, e diferente de zero.

Um procedimento conveniente de calculo da soma de quadrados residual do modelo

completo e a partir da formulacao matricial para este modelo

y = Wγ + ε, (3.13)


com ε ∼ N(0, σ2I),

W =

1 0 0 ... 0 x11 0 ... 0...

......

...

1 0 0 ... 0 x1n1 0 ... 0

1 1 0 ... 0 x21 x21 ... 0...

......

...

1 1 0 ... 0 x2n2 x2n2 ... 0...

......

...

1 0 0 ... 1 xk1 0 ... xk1

......

......

...... ...

...

1 0 0 ... 1 xknk0 ... xknk

, γ =

µ

α2

...

αk

β

γ2

...

γk

e ε =

ε11

...

ε1n1

ε21

...

ε2n2

...

εk1

...

εknk

.

Pela teoria de modelos lineares, como W e de posto completo, o estimador de mınimos

quadrados do vetor γ e

γ = (µ, α2, ..., µk, β, γ2, ..., γk)> = (W>W)−1W>y

Tomando-se Pw = W(W>W)−1W>, a soma de quadrados residual do modelo (3.13)

pode ser escrita como

SQEw = y>(I−Pw)y,

com N − (1 + k− 1 + 1 + k− 1) = N − 2k graus de liberdade associados. A diferenca dos

graus de liberdade do modelo reduzido para o modelo completo e, neste caso, N − k −1− (N − 2k) = k − 1. Portanto, a estatıstica F para testar a hipotese H01 e

F =(SQEy.x − SQEw)/(k − 1)

SQEw/(N − 2k), (3.14)

Quando H01 e verdadeira, F tem distribuicao F de Snedecor com k − 1 no numerador

e N − 2k no denominador. Assim, este teste rejeita H01 em favor de H11, ao nıvel

de significancia de α, se o valor observado da estatıstica F em (3.14) for superior a

Fk−1,N−2k(α).

3.3.2 Efeito dos tratamentos

A formulacao do teste da hipotese de que nao ha efeito dos tratamentos depende se as

retas de regressao sao paralelas ou nao. Se o valor de F em (3.14) e significativo, ou seja

quando ha evidencias estatısticas de nao paralelismo, entao os efeitos dos tratamentos

devem ser estudados em diferentes valores da covariavel.

Se o teste de paralelismo das retas nao e significativo, entao pode–se testar a hipotese

de que os tratamentos tem efeitos nulos pelo prinicıpio da soma de quadrados extra

3.3. Testes de hipoteses 29

adotando–se o modelo (3.1) como o modelo completo. A soma de quadrados residual do

modelo completo e dada por SQEy.x em (3.7), com N − k − 1 graus de liberdade. As

hipoteses nula e alternativa de interesse agora correspondem respectivamente a

H02 : α2 = ... = αk = 0

H12 : pelo menos um αi (i = 2, ..., k) e diferente de zero.

O modelo reduzido e obtido impondo–se a restricao α2 = ... = αk = 0 em (3.1), ou seja

yij = µ+ βxij + εij, (3.15)

i = 1, ..., k e j = 1, ..., ni, sob as mesmas suposicoes para os erros aleatorios dadas no

modelo (3.1). A soma de quadrados residual deste modelo e mesma soma de quadrados

em um modelo de regressao linear simples da resposta sobre a covariavel, isto e

SQE =k∑i=1

ni∑j=1

(yij − y..)2 −[∑k

i=1

∑ni

j=1(xij − x..)(yij − y..)]2∑ki=1

∑ni

j=1(xij − x..)2, (3.16)

em que y.. = (1/N)∑k

i=1

∑ni

j=1 yij, x.. = (1/N)∑k

i=1

∑ni

j=1 xij e os correspondentes graus

de liberdade sao iguais a N − 2.

Portanto, a estatıstica F para testar a hipotese H02 e

F =(SQE − SQEy.x)/(k − 1)

SQEy.x/(N − k − 1), (3.17)

que, quando H02 e verdadeira, tem distribuicao F de Snedecor com (N−2)−(N−k−1) =

k−1 no numerador e N −k−1 no denominador. Seja Fk−1,N−k−1(α) o quantil 100(1−α)

desta distribuicao. Portanto, o teste para H02 rejeita esta hipotese em favor de H12, ao

nıvel de significancia de α, se o valor observado da estatıstica F em (3.17) for superior a

Fk−1,N−k−1(α).

3.3.3 Coeficiente angular nulo

Outra hipotese que pode ser testada em uma analise de covariancia e de que nao ha efeito

da covariavel na E(yij), ajustando–se pelos efeitos dos tratamentos. As hipoteses nula e

alternativa para este caso sao:

H03 : β = 0

H13 : β 6= 0

e o teste correspondente pode tambem ser realizado pelo princıpio da soma de quadra-

dos extra. Para testar estas hipoteses, impoe–se a restricao sobre β em H03 no modelo

completo (3.1), obtendo–se o modelo reduzido

yij = µ+ αi + εij, (3.18)


i = 1, ..., k e j = 1, ..., ni, com α1 = 0 e os erros aleatorios tendo as mesmas suposicoes

do modelo (3.1). Este modelo corresponde a um modelo de ANOVA sem covariaveis. A

soma de quadrados residual deste modelo reduzido e

SQE = eyy =k∑i=1

ni∑j=1

(yij − yi.)2,

com N − k graus de liberdade. Logo, por (3.7), a diferenca entre as somas de quadrados

residuais dos modelos reduzidos e completo e

SQE − SQEy.x =e2xy

exx,

com N − k− (N − k− 1) = 1 grau de liberdade. Assim, a estatıstica do teste para H03 e

F =e2xy/exx

SQEy.x/(N − k − 1)(3.19)

e deve–se rejeitar H03 : β = 0 em favor de H13 : β 6= 0 se F for superior a F1,N−k−1(α).

3.4 Intervalos de confianca para medias ajustadas

Suponha que a hipotese H02 de que os tratamentos nao tem efeito, ajustando–se pela

covariavel, e rejeitada. Entao, pode–se proceder uma analise de quais tratamentos sao

estatisticamente diferentes dos demais. Outra possibilidade e a analise de contrastes entre

as medias dos tratamentos.

Em um modelo de analise de covariancia as medias de maior interesse sao estimativas

dos valores esperados da resposta para um determinado valor x0 da covariavel. Contudo,

como estas medias dependem do valor x0 escolhido, costuma–se estima-las tomando–se

x0 = x.., ou seja

µi = E(yij) = µ+ αi + βx...

De acordo com (3.4) e (3.5), a estimativa de µi e dada por

µi = µ+ αi + βx.. = yi. − β(xi. − x..), i = 1, ..., k.

Estas quantidades sao denominadas de medias ajustadas ou medias de mınimos quadrados.

Intervalos de confianca para as medias ajustadas podem ser construıdos adaptando–se

procedimentos inferenciais sobre medias de populacoes normais. Tamhane (2009), por

exemplo, estabelece que sob o modelo (3.1)

µi ∼ N

(µi, σ

2

[1

ni+

(xi. − x..)2

exx

])

3.4. Intervalos de confianca para medias ajustadas 31

e

µi − µi′ ∼ N

(µi − µi′ , σ2

[1

ni+

1

ni′+

(xi. − xi′.)2

exx

]).

Assim, um intervalo de 100(1− α)% de confianca para µi e dado por

µi ± tν,α/2sy.x

√1

ni+

(xi. − x..)2

exx,

em que tν,α/2 representa o (1−α/2) quantil da distribuicao t de Student com N−k−1 graus

de liberdade e sy.x = SQEy.x/(N − k − 1). Similarmente, um intervalo de 100(1− α)%

de confianca para µi − µi′ e dado por

µi − µi′ ± tν,α/2sy.x

√1

ni+

1

ni′+

(xi. − xi′.)2

exx(3.20)

Neter et al. (1996, p. 1024-1025) sugerem que quando uma famılia de intervalos deva ser

construıda, entao metodos para inferencia simultanea, tais como Scheffe e Bonferroni,

sejam aplicados, mas que o metodo de Tukey nao e apropriado neste contexto de analise

de covariancia.

33

4 Analise dos resultados

Consideram-se agora as analises dos dados do estudo experimental descrito no Capıtulo 2.

Analises de covariancia sao empregadas para avaliar efeitos dos tratamentos e covariaveis

nas variaveis pos-teste RAVLT relacionadas com a evocacao espontanea, memoria de

curto prazo, velocidade de esquecimento e interferencia pro e retroativa. Detalhes da

metodologia estatıstica utilizada sao apresentados no Capıtulo 3.

Todas as analises foram realizadas com o uso do software R (R Core Team, 2015). Um

modelo do programa computacional usado nesse software e dado no Apendice B. Para

cada variavel, os seguintes modelos foram ajustados para testar as hipoteses de interesse:

Modelo 1: yij = µ+ βxij + εij

Modelo 2: yij = µ+ αi + εij

Modelo 3: yij = µ+ αi + βxij + εij

Modelo 4: yij = µ+ αi + βxij + γ2I2ijxij + · · · γkIkijxij + εij,

(4.1)

em que I`ij = 1 se i = ` e I`ij = 0 se i 6= `, ` = 2, ..., k. Estes modelos sao definidos

em (3.15),(3.18), (3.1) e (3.12). Cada modelo ajustado, foi submetido as verificacoes das

correspondentes suposicoes de normalidade e variancias constante dos erros aleatorios.

Infelizmente, o conjunto de dados fornecido nao continha informacoes sobre a ordem

em que as observacoes foram obtidas para permitir uma investigacao sobre violacoes da

suposicao de independencia das observacoes. Nos casos em que violacoes foram detectadas,

transformacoes pelo metodo de Box-Cox foram aplicadas na variavel dependente e tambem

na covariavel para manter a mesma escala para ambas variaveis.

4.1 Evocacao espontanea

As tentativas A1 a A7 para registrar o reconhecimento das palavras do questionario

RAVLT referem-se a evocacao das palavras lidas da lista A. Contudo, apenas as cinco

primeiras tentativas (A1 ate A5) sao precedidas da leitura dessa lista. Ja as tentativas A6

e A7 sao consideradas “tentativas de evocacao espontanea”, ja que, como a nomenclatura

adotada sugere, nao ha leitura previa da lista ao sujeito nessa fase do teste.

4.1.1 Tentativa A6

As analises a seguir consideram o escore pos-teste na tentativa A6 como variavel depen-

dente e o escore pre-teste na tentativa A6 como covariavel. Inicialmente, procedeu–se o

teste de paralelismo das retas de regressao. De acordo com (3.18), este teste e obtido

pela comparacao das somas de quadrados dos resıduos do Modelo 3 (reduzido) e Modelo

34 Capıtulo 4. Analise dos resultados

4 (completo). Analises dos resıduos destes modelos foram realizadas para verificar as

suposicoes dos mesmos, nao se detectando nenhuma evidencia de violacao. A Tabela 1

apresenta os graus de liberdade (GLE) e soma de quadrados residuais (SQE) para estes

dois modelos, a diferenca dos graus de liberdade (GL) e a diferenca das somas de qua-

drados residuais entre o modelo reduzido e o modelo completo (SQ), a estatıstica F e o

correspondente p-valor para o teste. Portanto, nao ha evidencias estatısticas para rejei-

tar a hipotese de paralelismo das retas de regressao dos tratamentos (F = 0,16 com 3

e 33 graus de liberdade, P = 0,92), indicando que os efeitos dos tratamentos ajustados

pela covariavel e o efeito da covariavel ajustado pelos tratamentos podem ser estudados

separadamente um do outro.

Tabela 1 – Teste de paralelismo das retas de regressao da analisede covariancia para o escore pos-teste na tentativa A6

Modelo GLE SQE GL SQ F Pr(>F)3 36 209,404 33 206,46 3 2,94 0,16 0,9246

Os ajustes pelo metodo dos mınimos quadrados pelos Modelos 1, 2 e 3 permitem testar

as hipoteses sobre os efeitos ajustados dos tratamentos e do efeito ajustado da covariavel.

Ao ajuste de modelo de retas paralelas da regressao dos tratamentos (Modelo 3) foram

verificadas as correspondentes suposicoes de normalidade dos erros aleatorios pelo teste

Shapiro–Wilk (estatısticaW = 0,98, P = 0,75) e variancias constantes pelo teste de Levene

(F = 0,64, com 3 e 37 graus de liberdade, e P = 0,59), nao se observando evidencias

de violacao dessas suposicoes. Os graficos dos resıduos padronizados do Modelo 3 na

Figura 8 no Apendice A corroboram os resultados obtidos nesses testes. Estes graficos

nao indicam instabilidade da variancia dos resıduos versus os valores preditos e versus

os tratamentos. Tambem, o grafico dos resıduos padronizados versus a covariavel nao

sugere alguma possibilidade de efeito nao linear dessa covariavel nos escores pos-teste.

Por ultimo, o grafico de probabilidade Normal sugere que a suposicao de normalidade dos

erros aleatorios no Modelo 3 parece razoavel, uma vez que todos os resıduos se encontram

dentro do envelope para a reta esperada.

As estimativas e erros padrao dos parametros do Modelo 3 sao dados na Tabela 2. A

soma de quadrados residual para este modelo, dada na Tabela 1, e SQEy.x = 209,40 com

N − k − 1 = 41 − 4 − 1 = 36 graus de liberdade, levando a estimativa da variancia do

erro experimental σ2 = s2y.x = 209,40/36 = 5,82. As somas de quadrados residuais dos

Modelos 1 e 2 sao 248,58 e 319,01 com 39 e 37 graus e liberdade, respectivamente. Assim,

as estimativas de σ2 por estes modelos sao 248,58/39 = 6,37 e 319,01/37 = 8,62.

A Figura 2 exibe um diagrama de dispersao para os escores pos teste versus os escores

pre-teste para cada tratamento com as respectivas retas ajustadas pelo Modelo 3. De

acordo com a Tabela 3, que contem as somas de quadrados diferenciais (Tipo III) para

4.1. Evocacao espontanea 35

Tabela 2 – Estimativas de mınimos quadrados e erros padroes paraos parametros do Modelo 3 da analise de covarianciapara o escore pos-teste na tentativa A6

Coeficiente Estimativa Erro padraoµ 4,8967 1,4013

β 0,5608 0,1292α2 0,2711 1,0571α3 1,0142 1,1336α4 2,5365 1,0814

2 4 6 8 10 12 14

510

1520

Resposta pré tratamento

Res

post

a pó

s tr

atam

ento

ControleTCHSTC+HS

Figura 2 – Dispersao dos escores pos-teste e pre-teste na tentativa A6 para os quatrotratamentos. Retas de regressao sao estimadas sob paralelismo

testar o efeito entre o modelo reduzido e completo, a estatıstica para testar a significancia

dos efeitos dos tratamentos ajustados pela covariavel e F = 2,25 com 3 e 36 graus de

liberdade (P = 0,099). Assim, ha evidencias estatısticas moderadas de diferencas entre

as medias dos tratamentos ao nıvel de significancia de 10%, mas nao ao nıvel de 5%.

Esta evidencia sobre os efeitos dos tratamentos controlando–se pela covariavel pode,

de certa forma, ser melhor entendida com base nas medias ajustadas dadas na Tabela 4.

O Tratamento que combina higiene do sono com treino cognitivo apresenta, em media,

duas palavras a mais do que a media dos outros tres tratamentos. Usando (3.20), in-

tervalos de confianca de aproximadamente 90% de confianca para a diferenca de medias

dos tratamentos TC, HS e TC+HS para a media ajustada do tratamento controle sao

respectivamente (-1,56; 2,10), (-1,48; 3,51) e (0,67; 4,40). Portanto, indivıduos submeti-


Tabela 3 – Analise de variancia para os testes ajustados dos efeitosdos tratamentos e da covariavel para o escore pos-testena tentativa A6

Fonte SQ GL F Pr(>F)Intercepto 71,02 1 12,21 0,0013A6 (pre) 109,61 1 18,84 0,0001Tratamentos 39,18 3 2,25 0,0997Resıduos 209,40 36

dos a combinacao dos tratamentos TC + HS apresentam um numero medio (ajustado)

de palavras recordadas na tentativa A6 de pelo menos 0,7 e no maximo 4,4 a mais do

que o numero medio dos indivıduos sob o tratamento controle. Os tratamentos TC e

HS, quando aplicados isoladamente, nao apresentam diferencas significativas em relacao

ao controle. Tambem, pode–se observar na Tabela 4, que os erros padroes das medias

ajustadas sao proximos de 0,8 unidade. Esse resultado sugere a necessidade de um expe-

rimento com maior numero de replicas de cada tratamento para permitir uma distincao

mais clara entre os tratamentos.

Tabela 4 – Medias ajustadas para o escore pos-teste na ten-tativa A6 com erros padroes

Tratamento Media Erro padraoControle 9,45 0,77TC 9,72 0,73HS 10,47 0,79TC+HS 11,99 0,76

Ja o teste para verificar o efeito da covariavel ajustado pelos tratamentos, linha da

fonte de variacao A6 (pre) na Tabela 3, e fortemente significativo (F = 18,84 com 1

e 36 graus de liberdade, P = 0,0001). Assim, os escores de evocacao espontanea pos

tratamentos estao positivamente correlacionados com os escores de evocacao espontanea

pre tratamentos (β = 0,56, erro padrao = 0,13).

A eficiencia da inclusao da covariavel e dada por E = 8,62/5,82 = 1,48, sugerindo que

seriam necessarias 48% mais replicas para que um modelo de analise de variancia sem a

covariavel atingisse a mesma precisao dos efeitos dos tratamentos sob o modelo de analise

de covariancia que usa os escores pre-teste como covariavel.

4.1.2 Tentativa A7

Agora, procedem-se as analises para o escore pos-teste na tentativa A7 como variavel

dependente e o escore pre-teste na tentativa A7 como covariavel. De maneira analoga

as analises na Secao 4.1.1, procedeu–se inicialmente as analises dos resıduos do Modelo

4, nao se observando nenhuma evidencia de violacao das suposicoes desse modelo. O

4.1. Evocacao espontanea 37

teste de paralelismo das retas de regressao foi tambem obtido comparando–se as somas de

quadrados dos resıduos do Modelo 3 (reduzido) e Modelo 4 (completo). De acordo com a

Tabela 5, nao ha razoes para rejeitar a hipotese de paralelismo das retas de regressao dos

tratamentos (F = 0,48 com 3 e 33 graus de liberdade, P = 0,70).

Tabela 5 – Teste de paralelismo das retas de regressao da analisede covariancia para o escore pos-teste na tentativa A7


Para os resıduos do modelo ajustado com retas de regressao paralelas entre os trata-

mentos (Modelo 3), o teste de Shapiro-Wilk apresenta o valor da estatıstica de teste W

= 0,98 e valor P = 0,85. O teste de Levene para homogeidade das variancias entre os

tratamentos tem F = 0,17, com 3 e 37 graus de liberdade, e P = 0,92. Portanto, nao ha

evidencias contra as suposicoes de normalidade e variancia constante dos erros aleatorios

sob o Modelo 3. Estas conclusoes podem ser visualizadas com os graficos na Figura 9

no Apendice A. Percebe–se tambem desta figura que nao e evidente se ha um efeito nao

linear da covariavel na resposta.

As estimativas e erros padrao dos parametros do Modelo 3 sao dados na Tabela 6. A

Tabela 6 – Estimativas de mınimos quadrados e erros padroes paraos parametros do Modelo 3 da analise de covarianciapara o escore pos-teste na tentativa A7


β 0,7555 0,1251α2 -1,3582 1,0194α3 -0,4178 1,0555α4 -0,3311 1,0520

soma de quadrados residual para este modelo e SQEy.x = 195,78 com 41 − 4 − 1 = 36

graus de liberdade. A estimativa da variancia do erro experimental sob este modelo e

σ2 = s2y.x = 195,78/36 = 5,44. As somas de quadrados residuais dos Modelos 1 e 2 sao

206,64 e 393, 98 com 39 e 37 graus e liberdade, respectivamente, e as correspondentes

estimativas de σ2 por estes modelos sao 206,64/39 = 5,30 e 393,98/37 = 10,65.

O diagrama de dispersao para os escores pos-teste versus os escores pre-teste para cada

tratamento com as respectivas retas ajustadas pelo Modelo 3 e exibido na Figura 3. De

acordo com a Tabela 7, a estatıstica para testar a significancia dos efeitos dos tratamentos

ajustados pela covariavel e F = 0,67 com 3 e 36 graus de liberdade (P = 0,58). Assim,

nao ha evidencias estatısticas de diferencas entre as medias ajustadas dos tratamentos ao

nıvel de significancia de 5%, conforme pode–se perceber nas relacoes das medias ajustadas


2 4 6 8 10 12 14

510

1520


Res

post

a pó

s tr

atam

ento

ControleTCHSTC+HS

Figura 3 – Dispersao dos escores pos-teste e pre-teste na tentativa A7 para os quatrotratamentos. Retas de regressao sao estimadas sob paralelismo

e erros padroes da Tabela 8. Neste sentido, o efeito dos tratamentos combinados foi mais

forte na tentativa A6, do que na A7.

O teste para verificar se ha efeito linear da escore A7 pre-teste no correspondente

escore pos-teste, ajustado pelos tratamentos e, a exemplo do resultado desse teste na

analise do escore A6, fortemente significativo (F = 36,44 com 1 e 36 graus de liberdade,

P < 0,0001). Este teste sugere que o modelo de analise de covariancia e mais apropriado

para comparar os efeitos dos tratamentos do que o modelo de analise de variancia que

ignora os escores pre-teste, uma vez que os escores de evocacao espontanea pos-teste na

tentativa A7 estao positivamente correlacionados com os correspondentes valores pre-teste

(β = 0,76, erro padrao = 0,13).

Tabela 7 – Analise de variancia para os testes ajustados dos efeitosdos tratamentos e da covariavel para o escore pos-testena tentativa A7

Fonte SQ GL F Pr(>F)Intercepto 71,81 1 13,21 0,0009A7 (pre) 198,20 1 36,44 <0,0001Tratamentos 10,86 3 0,67 0,5787Resıduos 195,78 36

A eficiencia da inclusao da covariavel e dada por E = 10,65/5,44 = 1,96, sugerindo

4.2. Memoria de curto prazo 39

Tabela 8 – Medias ajustadas para o escore pos-teste na ten-tativa A7 com erros padroes


que seriam necessarias 96% mais replicas para que um modelo de analise de variancia

sem a covariavel atingisse a mesma precisao dos efeitos dos tratamentos sob o modelo de

analise de covariancia que usa os escores pre-teste como covariavel.

4.2 Memoria de curto prazo

Os testes A1 ate A5 se relacionam com a memoria de curto prazo (COTTA et al., 2012),

tendo em vista que cada um dos cinco testes e precedido da leitura da lista A. Ao

somatorio dos acertos das cinco primeiras tentativas de evocacao (A1 ate A5) e dado o

nome de “escore de aprendizagem” (que adiante sera chamado de Total).

As analises a seguir consideram o escore total pos-teste como variavel dependente e o

escore total pre-teste como covariavel. Os quatro modelos de interesse foram ajustados

pelo metodo dos Mınimos Quadrados e as analises dos resıduos tambem nao detectaram

nenhuma evidencia de violacao das suposicoes do Modelo 4. O resultado do teste de

paralelismo entre as retas de regressao para cada tratamento e dado na Tabela 9. Portanto,

nao se observa evidencias estatısticas contra a hipotese de paralelismo (F = 0,35 com 3 e

33 graus de liberdade, P = 0,79).

Tabela 9 – Teste de paralelismo das retas de regressao da analisede covariancia para o escore total pos-teste


Uma vez que o modelo de retas paralelas entre os tratamentos fornece uma repre-

sentacao adequada dos dados, realiza–se a analise dos resıduos do Modelo 3. As es-

tatısticas do teste de normalidade de Shapiro-Wilk e do teste de Levene para homegenei-

dade das variancias entre os tratamentos sao respectivamente W = 0,96 (P = 0,18) e F =

0,58 (com 3 e 37 graus de liberdade, P = 0,63), nao se observando evidencias estatısticas

de violacao dessas suposicoes. Os graficos na Figura 10 no Apendice A suportam estas

conclusoes e nao evidenciam um efeito nao linear da covariavel na resposta.

O ajuste do Modelo 3 para o escore total pos-teste pode ser sumarizado pelas estima-

tivas e erros padrao dos parametros do Modelo 3 que sao dados na Tabela 10. Tambem,


Tabela 10 – Estimativas de mınimos quadrados e erros padroespara os parametros do Modelo 3 da analise de co-variancia para o escore total pos-teste


β 0,9390 0,1207α2 -4,5104 2,7577α3 -0,6013 2,8485α4 -3,5634 2,8215

a soma de quadrados residual para este modelo, e SQEy.x = 1432,0 com 36 graus de li-

berdade, levando a estimativa da variancia do erro experimental σ2 = s2y.x = 1432,0/36 =

39,78. Estas somas de quadrados residuais para os Modelos 1 e 2 sao 1580,8 e 3838, 6 com

39 e 37 graus e liberdade, e as estimativas de σ2 para estes modelos sao 1580,8/39 = 40,53

e 3838,6/37 = 103,74.

A relacao entre os escores totais pos-teste versus os escores totais pre-teste para cada

tratamento pode ser visualizada na Figura 4. De acordo com a Tabela 11, nao ha efeitos

25 30 35 40 45 50 55

2030

4050

6070


Res

post

a pó

s tr

atam

ento

ControleTCHSTC+HS

Figura 4 – Dispersao dos escores totais pos-teste e pre-teste para os quatro tratamentos.Retas de regressao sao estimadas sob paralelismo

dos tratamentos ajustados pela covariavel significativamente diferentes de zero (F = 1,25

com 3 e 36 graus de liberdade, P = 0,31), sugerindo uma homogeneidade entre os escores

totais medios dos quatros tratamentos, ajustados pelos valores dos escores totais anteriores

4.3. Velocidade de esquecimento 41

a aplicacao dos tratamentos. Pelas analise das medias ajustadas na Tabela 12, nota–se

Tabela 11 – Analise de variancia para os testes ajustados dos efeitosdos tratamentos e da covariavel para o escore total pos-teste

Fonte SQ GL F Pr(>F)Intercepto 222,46 1 5,59 0,0235Total (pre) 2406,62 1 60,50 <0,0001Tratamentos 148,78 3 1,25 0,3072Resıduos 1431,99 36

uma pequena desvantagem no numero de medio ajustado de palavras dos tratamentos TC,

HS e TC+HS em relacao ao Controle, e erros padroes dessas medias quase iguais entre

si e proximos de duas unidades. Este comportamento dos grupos tratados em relacao

ao grupo controle precisa ser melhor entendido, seja com experimentacoes adicionais ou

buscando–se uma melhor interpretacao para este resultado.

A Tabela 11 ainda revela que o teste para verificar o efeito da covariavel ajustado

pelos tratamentos e fortemente significativo (F = 60, 50 com 1 e 36 graus de liberdade,

P < 0,0001), indicando a correlacao positiva entre os escores totais pre e pos-teste (β =

0,94, erro padrao = 0,12).

Tabela 12 – Medias ajustadas para o escore total pos-testecom erros padroes



que seriam necessarias duas vezes e meia o numero de replicas para que um modelo de

analise de variancia sem a covariavel atingisse a mesma precisao dos efeitos dos tratamen-

tos sob o modelo de analise de covariancia que usa os escores pre-teste como covariavel.

4.3 Velocidade de esquecimento

Segundo Cotta et al. (2012), a velocidade de esquecimento avalia a vulnerabilidade do

conteudo apreendido a passagem do tempo. Essa caracterıstica e medida pela razao entre

os escores A7 e A6, ou seja A7/A6. Nota-se, por essa definicao, que valores menores que

1 indicam esquecimento e valores maiores ou iguais a 1 indicam o oposto.

Nas analises seguintes, a variavel dependente e o ındice de esquecimento pos-teste e a

variavel dependente e o valor deste ındice com as medidas pre-teste. Os quatro modelos


definidos no ınicio deste capıtulo foram ajustados. A analise dos resıduos para o Modelo 4

sugeriu evidencias de violacoes das suposicoes normalidade e/ou variancia constante. Por

isso, aplicou–se o procedimento de Box-Cox para encontrar uma transformacao para a

variavel dependente em que tais suposicoes fossem adequadas. A transformacao sugerida

foi a logarıtmica, a qual foi aplicada nao so no ındice de esquecimento pos-teste, mas

tambem no ındice pre-teste.

A estatıstica para testar a hipotese de paralelismo das retas de regressao dos tratamen-

tos, usando os dados transformados, e dada na Tabela 13. Portanto, nao ha evidencias

estatısticas para rejeitar a hipotese de paralelismo das retas de regressao ao dos trata-

mentos ao nıvel de 5% (F = 2,48 com 3 e 33 graus de liberdade, P = 0,08).

Tabela 13 – Teste de paralelismo das retas de regressao da analisede covariancia para o ındice de esquecimento pos-teste


As estatısticas de Shapiro-Wilk e do teste de Levene para verificar as suposicoes de

normalidade e variancia constante no Modelo 3, usando os dados das variaveis pre-teste

e pos-teste na escala logarıtmica, sao W = 0,96 (P = 0.15) e F = 0.75 (com 3 e 33 graus

de liberdade, P = 0,53), indicando portanto que ambas suposicoes sao razoaveis para a

analise. Os graficos correspondentes para analise residual estao na Figura 11 do Apendice

A. Nestes graficos, a anomalia mais aparente e no grafico de probabilidade normal, em

que um resıduo padronizado nao se situa dentro do envelope esperado. Porem, o valor

deste resıduo esta proximo da “fronteira” definida pelo envelope e, espera-se, que ele nao

seja uma observacao influente para comprometer as conclusoes da analise dos resultados

para este ındice.

As estimativas e erros padrao dos parametros do Modelo 3 sao dados na Tabela 14.

Este ajuste tem uma soma de quadrados residual igual a SQEy.x = 1,59 com 36 graus

Tabela 14 – Estimativas de mınimos quadrados e erros padroespara os parametros do Modelo 3 da analise de co-variancia para o ındice de esquecimento pos-teste


β -0,0745 0,0874α2 -0,1047 0,0919α3 -0,0463 0,0954α4 -0,1388 0,0953

de liberdade, produzindo uma estimativa da variancia do erro experimental σ2 = s2y.x =

4.3. Velocidade de esquecimento 43

1,59/36 = 0, 04. As somas de quadrados residuais dos Modelos 1 e 2 sao 1,70 e 1,62 com

39 e 37 graus e liberdade, respectivamente. Assim, as estimativas de σ2 por estes modelos

sao 1,70/39 = 0,04 e 1,62/37 = 0,04.

A Figura 5 exibe o diagrama de dispersao para os ındices de esquecimento pos teste

versus os valores pre-teste para cada tratamento com as respectivas retas ajustadas pelo

Modelo 3. O teste para a hipotese de que nao ha efeito dos tratamentos ajustado pela

−2 −1 0 1 2

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0


Res

post

a pó

s tr

atam

ento

ControleTCHSTC+HS

Figura 5 – Dispersao dos ındices de esquecimento pos-teste e pre-teste para os quatrotratamentos. Retas de regressao sao estimadas sob paralelismo

covariavel e dado na Tabela 15. Assim, nao ha evidencias estatısticas de diferencas entre

as medias dos tratamentos ao nıvel de significancia de 5% (F = 0,86 com 3 e 36 graus de

liberdade, P = 0,47). As medias ajustadas estimadas sao dadas na Tabela 16. Nota–se

um menor numero medio do ındice de esquecimento transformado nos tratamentos TC

e TC+HS em relacao ao controle e ao HS (mas, erros padroes aproxidamente iguais).

E importante notar que esta escala e logarıtmica, isto implica que os valores negativos

sao aqueles onde se observou valor do ındice menor que 1 na razao A7/A6 dos valores

originais, ou seja, indicando maior esquecimento em algum nıvel. No presente caso, essas

diferencas nao foram significativas.

O teste para verificar o efeito da covariavel ajustado pelos tratamentos tambem nao

foi significativo (F = 0,73 com 1 e 36 graus de liberdade, P = 0,40). Assim, os valores do

ındice de esquecimento pre-teste nao tem correlacao linear significativa com os valores do

ındice pos-teste (β = -0,07, erro padrao = 0,09).


Tabela 15 – Analise de variancia para os testes ajustados dos efei-tos dos tratamentos e da covariavel para o ındice deesquecimento pos-teste

Fonte SQ GL F Pr(>F)Intercepto 0,04 1 0,95 0,3365Esquecimento (pre) 0,03 1 0,73 0,3998Tratamentos 0,11 3 0,86 0,4726Resıduos 1,59 36

Tabela 16 – Medias ajustadas para o ındice de esquecimentopos-teste com erros padroes

Tratamento Media Erro padraoControle 0,06 0,07TC -0,04 0,06HS 0,02 0,07TC+HS -0,08 0,07

A eficiencia da inclusao da covariavel e dada por E = 0,04/0,04 = 1, sugerindo que

o modelo de analise de variancia sem a covariavel tem a mesma precisao dos efeitos dos

tratamentos que o modelo de analise de covariancia que usa os escores pre-teste como

covariavel. Isto implica nao haver necessidade de se utilizar a tecnica ANCOVA para esse

caso e os efeitos dos tratamentos poderiam ser estimados e testados por um modelo de

analise de variancia (ANOVA) com o fator de tratamentos sem a covariavel.

4.4 Indices de interferencia

A seguir serao analisados o ındice de interferencia proativa (B1/A1) e o ındice de inter-

ferencia retroativa (A6/A5). Estes ındices tratam da capacidade do sujeito em resistir

ao efeito de distratores proativos (interferencia de um conteudo anteriormente aprendido

sobre a aprendizagem de um novo conteudo) e, da avaliacao da interferencia de um novo

conteudo na aprendizagem de um conteudo anteriormente aprendido), respectivamente

(COTTA et al., 2012).

4.4.1 Interferencia proativa

As analises desta secao consideram o ındice de interferencia pro-ativa pos-teste como

variavel dependente, tomando–se a versao pre-teste deste ındice como covariavel. O

procedimento de Box-Cox aplicado aos resıduos do Modelo 4 sugeriu a necessidade de

transformar os dados da variavel dependente para a recıproca da raiz quadrada, ou seja

1/√y. Esta mesma transformacao foi aplicada a covariavel. A analise residual para o

4.4. Indices de interferencia 45

modelo ajustado com os dados transformados nao evidenciou suspeitas de violacoes da

normalidade e variancia homogenea das observacoes ou efeito nao linear da covariavel.

Com base nos ajustes dos Modelos 3 e 4 na escala transformada, realizou–se o teste

de paralelismo cujos resultados sao dados na Tabela 17. Este teste nao indica, portanto,

evidencias estatısticas para rejeitar a hipotese de paralelismo das retas de regressao dos

tratamentos (F = 1,09 com 3 e 33 graus de liberdade, P = 0,37).

Tabela 17 – Teste de paralelismo das retas de regressao da analisede covariancia do ınidice de interferencia proativa pos-teste


O ajuste do Modelo 3 foi submetido a verificacao das suposicoes de normalidade e

variancias constantes. Os testes de Shapiro-Wilk e de Levene forneceram respectivamente

as estatısticas W = 0,99 e (P = 0,99) e F = 0,68 (com 3 e 33 graus de liberdade, P =

0,57), nao revelando portanto indıcios de violacoes dessas suposicoes. Uma analise grafica

que estas suposicoes sao razoaveis e dada na Figura 12 no Apendice A.

As estimativas e erros padrao dos parametros do Modelo 3 sao dados na Tabela 18. Os

Tabela 18 – Estimativas de mınimos quadrados e erros padroespara os parametros do Modelo 3 (escala transformada)da analise de covariancia para o ındice de interferenciaproativa pos-teste


β 0,3823 0,1578α2 -0,1767 0,0880α3 -0,1297 0,0904α4 -0,0372 0,0912

resıduos deste modelo tem soma de quadrados SQEy.x = 1,46 com 36 graus de liberdade.

A correspondente estimativa da variancia do erro experimental σ2 = s2y.x = 1,46/36 =

0,04. Os Modelos 1 e 2 produzem soma de quadrados residuais iguais a 1,66 e 1,70 com

39 e 37 graus e liberdade, respectivamente. Assim, as estimativas de σ2 por estes modelos

sao 1,66/39 = 0,04 e 1,70/37 = 0,04.

O diagrama de dispersao para os ındices de interferencia proativa (transformados) pos

e pre-teste e as respectivas retas ajustadas de cada tratamento pelo Modelo 3 sao dados

na Figura 6. De acordo com os testes na Tabela 19, nao ha evidencias estatısticas de

diferencas entre as medias dos tratamentos ao (F = 1,68 com 3 e 36 graus de liberdade,

P = 0,19). A Tabela 20 mostra as diferencas nas medias das variaveis transformadas


0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0


Res

post

a pó

s tr

atam

ento

ControleTCHSTC+HS

Figura 6 – Dispersao dos ındices de interferencias proativa pos-teste e pre-teste para osquatro tratamentos. Retas de regressao sao estimadas sob paralelismo

(elevando-se as variaveis originais a−1/2), indicando que na escala original maiores valores

para interferencia proativa foram em media sob o tratamentos TC, depois HS, seguido

por TC+HS, em relacao ao tratamento controle. Contudo, pelo teste discutido acima tais

diferencas entre as medias ajustadas nao foram estatisticamente significativas.

O teste sobre o efeito da covariavel ajustado pelos tratamentos, segunda linha da

Tabela 19, e significativo (F = 5,87 com 1 e 36 graus de liberdade, P = 0,02). Assim,

detecta–se que ha um efeito linear positivo do ındice de interferencia proativa pre-teste

no correspondente ındice pos-teste (β = 0,38, erro padrao = 0,16), justificando o uso

da analise de covariancia em relacao a um modelo com efeito apenas dos tratamentos

(Modelo 2).

Tabela 19 – Analise de variancia para os testes ajustados dos efei-tos dos tratamentos e da covariavel para o ındice deinterferencia proativa pos-teste

Fonte SQ GL F Pr(>F)Intercepto 0,98 1 24,06 <0,0001Proativa (pre) 0,24 1 5,87 0,0206Tratamentos 0,20 3 1,68 0,1889Resıduos 1,46 36


Tabela 20 – Medias ajustadas o ındice de interferencia proa-tiva pos-teste com erros padroes


A eficiencia devido a inclusao da covariavel e E = 0,046/0,04 = 1,13. Assim, estima–

se que seriam necessarias 13% mais replicas para que um modelo de analise de variancia

sem a covariavel atingisse a mesma precisao dos efeitos dos tratamentos sob o modelo de

analise de covariancia que usa o ındice pre-teste como covariavel.

4.4.2 Interferencia retroativa

A analise de covariancia para o ındice de interferencia retroativa pos-teste usando os

valores pre-teste deste ındice como covariavel e discutida a seguir. Uma analise de resıduos

inicial nos resıduos do ajuste de mınimos quadrados para o Modelo 4 evidenciou possıvel

violacao na suposicao de normalidade das medidas. O procedimento de Box-Cox sugeriu

a transformacao cubica, a qual foi aplicada aos dados de ambas as variaveis dependente

e covariavel. A analise residual nesta nova escala nao revelou possibilidades de violacoes

das normalidade e homogeneidade das variancias.

Pelo ajuste dos Modelos 3 e 4 na escala transformada realizou–se o teste da hipotese

de paralelismo das retas de regressao para os quatro tratamentos. Os resultados dados na

Tabela 21 suportam esta hipotese (F = 1,03 com 3 e 33 graus de liberdade, P = 0,39).

Tabela 21 – Teste de paralelismo das retas de regressao da analisede covariancia para o ındice de interferencia retroativapos-teste


Submetendo–se o modelo de retas paralelas da regressao dos tratamentos (Modelo 3)

a correspondente verificacao das suposicoes normalidade e homogeneidade das variancias,

obteve–se pelos testes de Shapiro-Wilk e de Levene as estatısticas W = 0,97 (P = 0,37)

e F = 0,84 (com 3 e 33 graus de liberdade, P = 0,48), nao se detectando portanto

evidencias de violacao dessas suposicoes. O resultado destes testes e confirmada pelos

graficos residuais na Figura 13, no Apendice A. Nesta figura, tambem nao se observa

evidencias de efeito nao linear da covariavel.

As estimativas e erros padrao dos parametros do Modelo 3 sao dados na Tabela 22.

A soma de quadrados residual deste modelo e SQEy.x = 2,77 com 36 graus de liberdade


Tabela 22 – Estimativas de mınimos quadrados e erros padroespara os parametros do Modelo 3 da analise de co-variancia para o ındice de interferencia retroativa pos-teste


β 0,0482 0,1536α2 -0,1242 0,1291α3 -0,1357 0,1385α4 0,1517 0,1282

e a estimativa da variancia do erro experimental σ2 = s2y.x = 2,77/36 = 0,08. As somas

de quadrados residuais dos Modelos 1 e 2 sao 3,29 e 2,78 com 39 e 37 graus e liberdade,

respectivamente. Assim, as estimativas de σ2 por estes modelos sao 3,29/39 = 0,08 e

2,78/37 = 0,07.

A Figura 7 ilustra o diagrama de dispersao para valores dos ındices de interferencia

retroativa pos e pre-teste, juntamente com com as respectivas retas de regressao para cada

tratamento. Pelos resultados dos testes na Tabela 23, conclui-se que nao ha evidencias

0.0 0.5 1.0 1.5

−0.

50.

00.

51.

01.

52.

0


Res

post

a pó

s tr

atam

ento

ControleTCHSTC+HS

Figura 7 – Dispersao dos ındices de interferencias retroativa pos-teste e pre-teste para osquatro tratamentos. Retas de regressao sao estimadas sob paralelismo

estatısticas de diferencas entre as medias ajustadas dos tratamentos ao nıvel de signi-

ficancia de 5% (F = 2,25 com 3 e 36 graus de liberdade, P = 0,10), mas tais diferencas


sao significativas ao nıvel de 10%. A Tabela 24 mostra as diferencas nas medias das

variaveis transformadas (elevando-se as variaveis originais a terceira potencia).Usando

(3.20), intervalos de 90% de confianca para as diferencas dos grupos TC, HS e TC + HS e

o grupo controle sao respectivamente (-0,38; 0,13), (-0,43; 0,16) e (-0,09; 0,39), tornando

necessaria investigacoes adicionais com maior numero de indivıduos, por exemplo, para

se ter maior precisao na comparacao destes tratamentos.

O teste para a hipotese de que nao ha efeito da covariavel ajustado pelos tratamentos

tambem nao e significativo (F = 0,10 com 1 e 36 graus de liberdade, P = 0,76). Assim, o

ındice de interferencia retroativa pre-teste nao prediz significativamente o ındice pos-teste

e, assim, a diferenca entre os tratamentos poderia ser verificada pelo modelo de analise

de variancia com o fator de tratamentos.

Tabela 23 – Analise de variancia para os testes ajustados dos efei-tos dos tratamentos e da covariavel para o o ındice deinterferencia retroativa pos-teste

Fonte SQ GL F Pr(>F)Intercepto 1,63 1 21,14 0,0001Retroativa (pre) 0,01 1 0,10 0,7554Tratamentos 0,52 3 2,25 0,0992Resıduos 2,77 36

Tabela 24 – Medias ajustadas para o o ındice de interferenciaretroativa pos-teste com erros padroes



que o modelo de analise de variancia sem a covariavel tem praticamente a mesma precisao

nos efeitos dos tratamentos que o modelo de analise de covariancia que usa os escores

pre-teste como covariavel e, portanto, a analise de covariancia seria desnecessaria.

51

5 Conclusao

Neste trabalho, dados dos numeros de palavras recordadas nas etapas A1, A2, A3,

A4, A5, A6, A7 e B1 de um teste RAVLT foram analisados por modelos de analise

de covariancia. Os dados foram obtidos por estudo desenvolvido por Moreira (2015)

usando um experimento completamente aleatorizado, em que as unidades experimentais

eram um grupo de 41 idosos com idades variando de 60 a 86 anos. O objetivo principal

do experimento foi avaliar o efeito de quatro tratamentos (Controle, Treino Cognitivo,

Higiene do Sono e Treino Cognitivo + Higiene do Sono) em variaveis dependentes cujos

valores representam os escores simples A6 e A7 alcancados pelos idosos apos a aplicacao

dos tratamentos e tambem ındices de aprendizado de palavras, oriundos de combinacoes

de escores das listas A e B. Estes ındices foram definidos como o escore total A1 + A2 +

A3 + A4 + A5, a velocidade de esquecimento A7/A6, a interferencia proativa B1/A1 e a

interferencia retroativa A6/A5.

As analises dos resultados foram realizadas a partir de modelos de analise de co-

variancia. Em cada um destes modelos, tomou-se como covariavel a correspondente me-

dida da caracterıstica de interesse observada nos indivıduos antes da intervencao pela

aplicacao do tratamento. Os modelos de retas paralelas foram suportados pelos dados em

todas as analises consideradas. Estas analises sugerem um efeito de significancia moderada

do tratamento que combina treino cognitivo com higiene do sono no aumento do numero

medio de palavras recordadas na tentativa A6 (ajustados pela covariavel) em relacao ao

controle. Tambem existem evidencias moderadas de efeitos dos tratamentos sobre a in-

terferencia retroativa embora tais efeitos, de acordo com os numeros de replicas usados

no experimento, parecam ser explicados por diferencas entre o tratamento combinado e

seus componentes quando administrados separadamente. Para as outras caracterısticas,

ou seja evocacao espontanea na tentativa A7, memoria de curto prazo, velocidade de

esquecimento e interferencia proativa, nao se observou diferencas significativas entre os

quatro tratamentos.

A adocao da analise de covariancia se mostrou mais eficiente do que uma analise

de variancia para estimar e avaliar os efeitos dos tratamentos em quase todas as carac-

terısticas analisadas. As unicas excecoes foram nas analises dos ındices de velocidade de

esquecimento e de interferencia retroativa. As eficiencias estimadas para as evocacoes es-

pontaneas nas tentativas A6 e A7, para a memoria de curto prazo e ındice de interferencia

proativa foram respectivamente 148%, 196%, 261% e 113%.

Uma sugestao para um possıvel experimento que tenha o mesmo objetivo com unidades

experimentais semelhantes as que foram consideradas no neste trabalho seria aumentar o

numero de replicas por tratamento visando detectar diferencas da ordem de uma ou duas

52 Capıtulo 5. Conclusao

palavras, em media, com alta probabilidade.

Algumas analises futuras que podem ser realizadas como continuacao deste trabalho

seriam a aplicacao de tecnicas estatısticas que incorporem a correlacao entre os esco-

res nas diversas tentativas e tambem o aspecto de medidas repetidas dos dados. Mais

especificamente, algumas tecnicas a serem investigadas seriam:

• Analise de variancia multivariada (MANOVA) para os escores pos-testes A1,..., A5

e/ou analise de covariancia multivariada (MANCOVA) tendo como covariaveis os

respectivos valores pre-teste para estas medidas;

• Analise de variancia multivariada (MANOVA) para os escores pos-testes A1,..., A6,

A7 e/ou analise de covariancia multivariada (MANCOVA) tendo como covariaveis

os respectivos valores pre-teste para estas medidas;

• Estudo das curvas de apendizado entre as tentativas A1 ate a A5 ou ate A7;

• MANOVA ou MANCOVA para os ındices de esquecimento, interferencia proativa e

retroativa;

• Visualizacao grafica dos modelos multivariados e testes com medidas repetidas pela

metodologia HE Plots (FOX; FRIENDLY; WEISBERG, 2013; FRIENDLY, 2010;

FRIENDLY, 2007; FRIENDLY, 2006).

53

Referencias

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COSTA, E. F. A.; PORTO, C. C.; SOARES, A. T. Envelhecimento populacionalbrasileiro e o aprendizado de geriatria e gerontologia. Revista da UFG, v. 5, n. 2, 12 2003.

COTTA, M. F. et al. O teste de aprendizagem auditivo-verbal de Rey (RAVLT) nodiagnostico diferencial do envelhecimento cognitivo normal e patologico. ContextosClınicos, v. 5, n. 1, p. 10 – 25, 2012.

COX, D. R. Planning of experiments. New York: John Wiley & Sons, 1958.

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FOX, J.; FRIENDLY, M.; WEISBERG, S. Hypothesis tests for multivariate linearmodels using the car package. R Journal, The, v. 5, n. 1, p. 39–52, 2013.

FRIENDLY, M. Data ellipses, he plots and reduced-rank displays for multivariate linearmodels: Sas software and examples. Journal of Statistical Software, v. 17, n. 6, p. 1–43,2006.

FRIENDLY, M. He plots for multivariate linear models. Journal of Computational andGraphical Statistics, v. 16, n. 2, p. 421–444, 2007.

FRIENDLY, M. He plots for repeated measures designs. Journal of Statistical Software,v. 37, n. 4, p. NA–NA, 2010.

HAMDAN, A. C.; PEREIRA, A. P. d. A. Avaliacao neuropsicologica das funcoesexecutivas: consideracoes metodologicas. Psicologia: Reflexao e Crıtica, scielo, v. 22, p.386 – 393, 12 2009. Disponıvel em: 〈http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci arttext&pid=S0102-79722009000300009&nrm=iso〉.

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KALACHE, A. Envelhecimento populacional no Brasil: uma realidade nova. Cadernosde Saude Publica, scielo, v. 3, p. 217 – 220, 09 1987. Disponıvel em: 〈http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci arttext&pid=S0102-311X1987000300001&nrm=iso〉.

KUEHL, R. O. Design of experiments: statistical principles of research design andanalysis. 2nd ed.. ed. Pacific Grove, California: Brooks/Cole, 2000.

http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-79722009000300009&nrm=iso

http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-79722009000300009&nrm=iso

http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-311X1987000300001&nrm=iso

http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-311X1987000300001&nrm=iso

54 Referencias

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MOREIRA, A. M. S. Efeitos de um programa de treino cognitivo e das tecnicas de higienedo sono para as funcoes executivas e para a qualidade de sono em idosos saudaveis. 165 f.Dissertacao (Mestrado em psicologia) — Programa de Pos-Graduacao em Psicologia daUniversidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, RN, 2015.

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SCHAIE, K. W. Developmental Influences on Adult Intelligence: The Seattle LongitudinalStudy. New York: Oxford University Press, 2005.

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TAYLOR, E. M. Psychological appraisal of children with cerebral defects. Cambridge,MA: Harvard University Press, 1959. 499 p.

http://www.R-project.org/

Apendices

57

Apendice A - Graficos para analisesresiduais

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8 10 12 14 16

−2

−1

01

2

Valores preditos

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s

●

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Tratamentos

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s

Controle TC HS HS+TC−

2−

10

12

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2 4 6 8 10 12 14

−2

−1

01

2

Covariável

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s

−2 −1 0 1 2

−2

−1

01

2

Quantis teóricos

Qu

an

tis a

mo

stra

is

●

●●

●

● ● ●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●

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●

Figura 8 – Diagrama de dispersao e grafico de probabilidade normal com envelopepara os resıduos padronizados do modelo de analise de covariancia parao escore da tentativa A6

58 Apendice A - Graficos para analises residuais

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6 8 10 12 14

−2

−1

01

2

Valores preditos

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s

●

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Tratamentos

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s

Controle TC HS HS+TC

−2

−1

01

2

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2 4 6 8 10 12 14

−2

−1

01

2

Covariável

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s

−2 −1 0 1 2

−2

−1

01

2

Quantis teóricos

Qu

an

tis a

mo

stra

is

● ● ●

● ●

●●●

●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●

●●●

●●● ● ●

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Figura 9 – Diagrama de dispersao e grafico de probabilidade normal com envelopepara os resıduos padronizados do modelo de analise de covariancia parao escore da tentativa A7

59

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35 40 45 50 55 60

−1

01

2

Valores preditos

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s

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Tratamentos

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s


−1

01

2

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25 30 35 40 45 50 55

−1

01

2

Covariável

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s

−2 −1 0 1 2

−1

01

2

Quantis teóricos

Qu

an

tis a

mo

stra

is

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●●●●●●●

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Figura 10 – Diagrama de dispersao e grafico de probabilidade normal com envelopepara os resıduos padronizados do modelo de analise de covariancia parao escore total


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−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

−2

01

2

Valores preditos

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s

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Tratamentos

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s


−2

01

2

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−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−2

01

2

Covariável

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s

−2 −1 0 1 2

−2

01

2

Quantis teóricos

Qu

an

tis a

mo

stra

is

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Figura 11 – Diagrama de dispersao e grafico de probabilidade normal com envelopepara os resıduos padronizados do modelo de analise de covariancia parao ındice de esquecimento

61

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0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

−2−1

01

2

Valores preditos

Res

íduo

s pa

dron

izad

os

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Tratamentos

Res

íduo

s pa

dron

izad

os


−2−1

01

2

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0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

−2−1

01

2

Covariável

Res

íduo

s pa

dron

izad

os

−2 −1 0 1 2

−2−1

01

2

Quantis teóricos

Qua

ntis

am

ostr

ais

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Figura 12 – Diagrama de dispersao e grafico de probabilidade normal com envelopepara os resıduos padronizados do modelo de analise de covariancia parao ındice de interferencia proativa


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0.50 0.60 0.70 0.80

−2

−1

01

2

Valores preditos

Res

íduo

s pa

dron

izad

os

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Tratamentos

Res

íduo

s pa

dron

izad

os


−2

−1

01

2

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

−2

−1

01

2

Covariável

Res

íduo

s pa

dron

izad

os

−2 −1 0 1 2

−2

−1

01

2

Quantis teóricos

Qua

ntis

am

ostr

ais

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Figura 13 – Diagrama de dispersao e grafico de probabilidade normal com envelopepara os resıduos padronizados do modelo de analise de covariancia parao ındice de interferencia retroativa

63

Apendice B - Programa R para asanalises estatısticas

O codigo R a seguir obtem os resultados das analises realizadas no capıtulo 4. O programa

usa como exemplo as medidas pre e pos-teste da variavel A6. As analises para as outras

variaveis podem ser obtidas de maneira analoga, ou seja, substituindo os nomes das

variaveis de interesse nas linha do programa que criam os objetos x e y. Salienta-se

ainda a necessidade de transformar as variaveis Esquecimento, Interferencia Proativa e

Interferencia Retroativa antes de efetuar as analises, conforme descrito na analises para

estas caracterısticas.

# Leitura dos dados:

d <- read.table("dados.txt", header=TRUE)

# Carregando os pacotes utilizados:

library(car)

library(effects)

library(plotrix)

library(xtable)

library(MASS)

# Programa para realizar analises dos dados:

d$trat <- factor(d$trat)

x <- matrix(d$a6_pre, ncol=1)

y <- matrix(d$a6_pos, ncol=1)

(medx <- tapply(x, d$trat, mean))

(medy <- tapply(y, d$trat, mean))

dd <- data.frame(trat=d$trat, x, y)

fit1 <- lm(y ~ x, data=dd) # Modelo 1

fit2 <- lm(y ~ trat, data=dd) # Modelo 2

fit3 <- lm(y ~ x + trat, data=dd) # Modelo 3

64 Apendice B - Programa R para as analises estatısticas

fit4 <- lm(y ~ x*trat, data=d) # Modelo 4

# Tabelas do R para o Latex:

print(xtable(anova(fit3, fit4))) # Tabela 1

print(xtable(summary(fit3))) # Tabela 2

print(xtable(Anova(fit3, type="III"))) # Tabela 3

newdata <- data.frame(trat= c("1", "2", "3", "4"), x=mean(x))

(med <- predict(fit3, newdata = newdata, se.fit=TRUE))

tratvls <- c("Controle", "TC", "HS", "TC+HS")

tabmeds <- data.frame(Tratamento=tratvls, Media=round(med$fit, 2),

EP=round(med$se.fit, 2))

print(xtable(tabmeds, digits=c(0, 0, 2, 2)),

include.rownames=FALSE) # Tabela 4

# Somas de quadrados residuais:

anova(fit3, fit4) # Modelo 3

anova(fit1) # Modelo 1

anova(fit2) # Modelo 2

# Eficiencia:

anova(fit2)$"Mean Sq"[2]

anova(fit3)$"Mean Sq"[3]

(E <- anova(fit2)$"Mean Sq"[2]/anova(fit3)$"Mean Sq"[3])

# Analise grafica dos resıduos:

resp <- rstandard(fit3)

pred <- fitted(fit3)

tratvls <- as.numeric(dd$trat)

op <- par(mfrow=c(2,2))

plot(pred, resp, pch=16, cex=1.2,

xlab="Valores preditos", ylab="Resıduos padronizados")

abline(h=0, lwd=2)

65

plot(tratvls, resp, type="p", pch=16, cex=1.2,

xlab="Tratamentos", ylab="Resıduos padronizados",

axes=FALSE)

abline(h=0, lwd=2)

axis(1, at=1:4, labels=c("Controle", "TC", "HS", "TC+HS"))

axis(2)

box()

plot(x, resp, type="p", pch=16, cex=1.2,

xlab="Covariavel", ylab="Resıduos padronizados")

abline(h=0, lwd=2)

qqPlot(resp,xlab="Quantis teoricos",ylab="Quantis amostrais",main=" ",

pch=16, col="black",col.lines="black",grid=F,lwd=1, envelope=.99)

par(op)

# Grafico de dispers~ao:

ab_a6 = fit3

c <- coef(ab_a6)

plot(d$a6_pos~d$a6_pre,pch=NA_integer_,xlab="Resposta pre tratamento"

,ylab="Resposta pos tratamento",ylim=c(2,20))

points(d$a6_pre[1:10],d$a6_pos[1:10],pch=0)




abline(c[1],c[2], lty=1,lwd=2)

abline(c[1]+c[3],c[2], lty=2,lwd=2)



legend=c("Controle", "TC", "HS", "TC+HS")

legend2=c("","","","")

legend(2,21,legend,lty=c(1:4),bty="n",cex=0.8,lwd=2)

legend(5.3,21,legend2,pch=c(0,4,2,3),bty="n",cex=0.8)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE ... · O Teste de Aprendizagem Auditivo...

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