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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Estatística Aplicada I
Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Capítulo IV
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Modelos de Distribuições
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Introdução
Distribuições teóricas discretas
Distribuições teóricas contínuas
IV – Modelos de Distribuições
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Introdução
Distribuições teóricas discretas
Distribuições teóricas contínuas
IV – Modelos de Distribuições
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.1 Introdução
Existem variáveis aleatórias que têm uma função de
distribuição pertencente a uma classe de distribuições
teóricas.
As distribuições teóricas, como o próprio nome indica,
foram submetidas a estudos prévios e têm propriedades
conhecidas; portanto, podem servir como modelo em
determinadas situações em que a distribuição esteja
identificada, poupando tempo na análise do problema
estudado.
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.1 Introdução
As distribuições teóricas que aqui serão estudadas são:
• Caso discreto - Distribuição binomial
- Distribuição hipergeométrica
- Distribuição de Poisson
• Caso contínuo - Distribuição uniforme
- Distribuição exponencial
- Distribuição normal
- Distribuição qui-quadrado
- Distribuição t de Student
- Distribuição F
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Introdução
Distribuições teóricas discretas
Distribuições teóricas contínuas
IV – Modelos de Distribuições
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Prova de Bernoulli
• A prova de Bernoulli é uma experiência aleatória que serve de
base a várias distribuições teóricas (distribuição binomial,
distribuição binomial negativa e distribuição geométrica).
• Consideremos uma experiência aleatória na qual existem apenas
dois acontecimentos em que estamos interessados: o
acontecimento A que será designado por sucesso e o
acontecimento contrário, , que será designado por falha. O
sucesso ocorre com probabilidade p, e o insucesso com
probabilidade q = 1− p .
A
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Prova de Bernoulli
• O espaço de resultados está assim particionado em
dois acontecimentos em que: }A,A{S
p1q)A(PfalhaA
p)A(PsucessoA
• A uma experiência aleatória com estas características
dá-se o nome de prova de Bernoulli.
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Prova de Bernoulli
• Principais características:
pq)p1(ppp
pp1q0)x(fx
)X(E)x(E:Variância
pp1q0)x(fx:Média
2
1
0
2222
i
2
i
222
i
2
1
0
ii
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Prova de Bernoulli
• Sucessão de provas de Bernoulli: Defini-se como o
processo caracterizado por repetidas provas que têm lugar nas
seguintes condições:
1. Cada prova resultem em somente dois resultados possíveis,
designados como “sucesso” e “falha”.
2. A probabilidade de um sucesso em cada prova, designada por
p, permaneça constante. A probabilidade de falha designa-se
por q = 1− p.
3. As provas sejam independentes, isto é, os resultados obtidos
numa sequência de provas não influenciam os resultados da(s)
provas(s) subsequente(s).
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição binomial
• Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos
experimentos que apresentam apenas dois resultados: sucesso ou
falha.
• Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses:
- H1. n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas;
- H2. cada prova admite apenas dois resultados – sucesso ou
falha;
- H3. a probabilidade de sucesso é p e de falha é 1 – p = q.
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição binomial
• Considerando-se uma sucessão de n provas de Bernoulli, a
variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos
nessas n provas de Bernoulli tem distribuição binomial.
• A variável aleatória X, que é igual ao número de provas que
resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com
parâmetros p e n em que 0 < p < 1 e n = {1, 2, 3, ..., n}.
• A função de probabilidade de X é
n...,,2,1,0x,qpx
n)x(f
xnx
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição binomial
• É assim chamada (binomial), pois variando X (número de vezes
do sucesso) obtemos os termos correspondentes do
desenvolvimento do binômio (q + p)n. Com efeito,
n0
01n0n
n22n1nnn
pq!0!n
!n...
pq)!1n(!1
!npq
)!0n(!0
!n
p...pq!2
)1n(npnqq)pq(
• Generalizando, tem-se: xnxxxn
qpx
npq
)!xn(!x
!n)x(f
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição binomial
• Principais características:
- De acordo com as hipóteses, observa-se que X é a soma de n
variáveis do tipo “Bernoulli”, daí
npqn)X(Var:Variância
npn)X(E:Média
2
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição binomial
• Exemplo: Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter
uma certa molécula rara. Considere que as amostras sejam
independentes em relação à presença da molécula rara. Encontre
a probabilidade de que, nas próximas 18 amostras, exatamente 2
contenham a molécula rara.
- Seja X = número de amostras de ar que contenham a molécula
rara nas próximas amostras analisadas (sucessos); então, X é a
variável aleatória binomial com p = 0,1 e n = 18. Assim,
284,0)9,0()1,0(2
18)2X(Pqp
x
n)x(f
162xnx
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição binomial
• Exemplo: Determine a probabilidade de que no mínimo 4
amostras contenham a molécula rara.
- Neste caso, a probabilidade requerida é
098,0
)168,0284,0300,0150,0(1
)9,0()1,0(x
181
)9,0()1,0(x
18)4X(P
3
0x
x18x
18
4x
x18x
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição binomial
• Exemplo: Determine a probabilidade de que o número de
amostras que contenham a molécula rara esteja entre 3 e 6.
- Neste caso, a probabilidade requerida é
265,0
005,0022,0070,0168,0
)9,0()1,0(x
18)6X3(P
6
3x
x18x
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição hipergeométrica
• Suponhamos que temos um conjunto de N elementos e que M
destes elementos têm uma certa característica em que estamos
interessados (sucesso); logo os outros N-M elementos não têm
essa característica.
• Ao retirarmos n elementos do conjunto inicial de N elementos
(retirar de forma aleatória e sem reposição – probabilidade do
sucesso não constante) consideremos X a variável aleatória que
representa o número de elementos que são retirados e que têm a
característica em que estamos interessados.
• A variável aleatória definida nas condições anteriores tem
distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n.
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição hipergeométrica
• A probabilidade da variável aleatória assumir o valor x é dada
por:
M,nmin...,,)MN(n,0máxxcom
n
N
xn
MN
x
M
)n,M,N,x(b)xX(P
• Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição
hipergeométrica com parâmetros N, M e n, então:
1N
nN
N
MN
N
Mn)X(Var
N
Mn)X(E
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição hipergeométrica
• Exemplo: Na produção de 1000 parafusos em uma máquina A
foi observado que 100 apresentam algum tipo de defeito. Como
vão ser utilizados 10 parafusos de cada vez, determine a
probabilidade de todos serem perfeitos.
- Neste caso, N = 1000, M = 100 e n = 10, a probabilidade
requerida, portanto, será:
35,0
10...21
991...9991000
10...21
891...8999001
10
1000
010
1001000
0
100
)0X(P
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição de Poisson
• A distribuição de Poisson (que deve o seu nome ao físico francês
Simon Poisson) está associada a um grande conjunto de situações
práticas cujos alguns exemplos são os seguintes:
- Número de mensagens que chegam em um servidor no intervalo
de uma hora.
- Número de partículas defeituosas em um cm3 de volume de um
certo líquido.
- Número de defeitos em um metro de comprimento, de um fio
produzido por uma máquina têxtil.
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição de Poisson
• Todos os exemplos apresentados têm uma
característica comum: a variável aleatória em estudo
representa o número de ocorrências de um certo
evento ao longo de um intervalo (tempo,
comprimento, área ou volume).
• Os valores que a variável aleatória pode assumir são
valores inteiros não negativos: 0, 1, ..., n,... .
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição de Poisson
• Outras características que identicam uma distribuição de Poisson
são:
- O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são
variáveis independentes.
- A probabilidade de um certo número de ocorrências se verificar
é a mesma para intervalos da mesma dimensão; isto é, a
probabilidade depende apenas da amplitude do intervalo e não
da posição em que se situa nesse intervalo.
- As ocorrências do fenômeno descrito verificam-se uma a uma e
nunca em grupos.
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição de Poisson
• Para encontrar a expressão que dá a probabilidade de x sucessos
num intervalo t, algumas hipóteses precisam ser admitidas:
H1. P(X = 1, ∆t) = λ ∆t (ou seja, a probabilidade de um sucesso
num intervalo ∆t é proporcional à amplitude do intervalo).
H2. P(X > 1, ∆t) = 0.
H3. P (X – 0, ∆t) = 1 – λ
H4. As ocorrências de sucessos em intervalos são independentes.
• Tem-se que ∆t = t/n, logo P(X = 1, ∆t) = λt/n.
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição de Poisson
• Para encontrar a expressão que dá P(X,t), ou seja, a probabilidade
de X sucessos no intervalo t, pode-se calcular o limite de uma
distribuição binomial com parâmetros n e t/n. Assim:
tx
xnx
x
e!x
)t()t,x(P
n
t1
n
t
x
nlim)t,x(P
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição de Poisson
• Se o número médio de ocorrências no intervalo em estudo for λ >
0, a variável aleatória X, que é igual ao número de ocorrências no
intervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro λ,
sendo a função de distribuição de X dada por
...,2,1,0x,e!x
)t()x(f
tx
• Características:
t)X(Var:Variância
t)X(E:Média
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição de Poisson
• Exemplo: Mensagens chegam a um servidor de computadores
de acordo com a distribuição de Poisson, com uma taxa média de
10 por hora.
a) Qual a probabilidade de 3 mensagens chegarem em 1 hora?
b) Qual a probabilidade de 6 mensagens chegarem em 30
minutos?
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
Distribuição de Poisson
• Exemplo:
0076,0e!3
)10(e
!3
)110()3X(Pe
!x
)t()x(f
10t)x(E
103
1103
tx
b) Seja X a representação do número de mensagens em 30
minutos (0,5 hora). Então E(X) = 10.0,5 = 5 mensagens e
a) Seja X a representação do número de mensagens em 1 hora.
Então E(X) = 10 mensagens e
1462,0e!6
)5(e
!6
)5,010()6X(Pe
!x
)t()x(f
56
5,0106
tx
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Introdução
Distribuições teóricas discretas
Distribuições teóricas contínuas
IV – Modelos de Distribuições
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
Distribuição uniforme
• A distribuição uniforme é a mais simples distribuição contínua;
entretanto, é uma das mais importantes e utilizadas dentro da
teoria de probabilidade.
• Tem uma importante característica a qual a probabilidade de
acontecer um fenômeno de mesmo comprimento é a mesma.
• Consideremos uma variável aleatória contínua, cujos valores
podem ocorrer dentro dum intervalo limitado (aberto ou fechado)
[a,b]. Se quaisquer dois subintervalos de igual amplitude têm a
mesma probabilidade, então a variável aleatória tem distribuição
uniforme.
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
Distribuição uniforme
• Diz-se que a variável aleatória contínua X tem
distribuição uniforme no intervalo [a,b] se a sua
função de densidade de probabilidade for dada por:
xdevaloresoutrospara0
bxaab
1
)x(f
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição uniforme
bx1
bxaab
ax
ax0
)x(F
• Os parâmetros caracterizadores desta distribuição são a e b, que
satisfazem a condição −∞ < a < b < +∞.
• Sua função de distribuição cumulativa F(x) é dada por:
• Características: Se a variável aleatória X tem distribuição
uniforme no intervalo [a,b] então:
12
)ab()X(Var,
2
ba)X(E
2
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição uniforme
7x0para,7
1
07
1
ab
1)x(f
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
1142,07
8,0
7
xdx
7
1)8,0x0(P)a(
8,0
0
8,0
0
• Exemplo: A ocorrência de panes em qualquer ponto de uma rede
telefônica de 7 km foi modelada por uma distribuição uniforme no
intervalo [0,7] . Qual é a probabilidade de que uma pane venha a
ocorrer nos primeiros 800 metros? E qual a probabilidade de que
ocorra nos 3 km centrais da rede?
4285,07
25
7
xdx
7
1)5x2(P)b(
5
2
5
2
b
a
dx)x(f)bxa(P
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Distribuição uniforme
2x0para,5,002
1
ab
1)x(f
• Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta
(0,2). Qual a probabilidade de que este ponto esteja entre 1 e 1,5?
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
Então:
5,1
1
b
a
25,0dx5,0)5,1x1(P
dx)x(f)bxa(P
- Seja X a representação da variável escolher um ponto de (0,2).
A função densidade de probabilidade de X é dada por:
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Exponencial
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
• A distribuição exponencial está intimamente ligada à distribuição de
Poisson.
• Se o número de ocorrências de um certo acontecimento segue uma
distribuição de Poisson, a “medida de espaço” entre duas
ocorrências consecutivas ou a “medida de espaço” até à primeira
ocorrência segue uma distribuição exponencial.
• A distribuição de probabilidade de um intervalo entre dois sucessos
consecutivos de uma lei de Poisson é a distribuição exponencial.
• A distribuição exponencial é também usualmente utilizada na
descrição do tempo de vida de aparelhos, de organismos etc. (lei de
falhas exponencial).
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Exponencial
0xparaeλ)x(fxλ
• Sua função densidade de probabilidadea é dada por
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
onde λ é o parâmetro caracterizador da distribuição, sendo λ > 0.
• Características:
2
1)X(Var:Variância
1)X(E:Média
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Exponencial
• O gráfico de f(x) é dado por:
• Função distribuição cumulativa:
0 x
f(x)
λ
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
0xpara,e1dxeλ)x(F
0xpara,0)x(F
xλ
x
0
xλ
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Exponencial
• Conhecida a função distribuição cumulativa de x, pode-se
facilmente determinar
00 xx
00 ee11)x(F1)xX(P
0 x
f(x)
λ
e-λxo
xo
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Exponencial
• Exemplo: Os defeitos de um tecido seguem a
distribuição de Poisson com média de um defeito a
cada 400 m de tecido. Qual a probabilidade de que o
intervalo entre dois defeitos consecutivos seja:
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
a) No mínimo de 1000 m;
b) Entre 800 e 1000 m. Calcule a média e a variância.
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Exponencial
• Exemplo:
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Sabe-se que na distribuição de Poisson E(x) = λt,
então:
%32,5ou0532,0ee
)1000x(P)800x(P)1000x800(P)b
%1,8ou081,0ee)1000x(P)a
m/defeito400
1
m1
defeito400/1
m400
defeito1t)x(E
400
1000
400
800
400
1000
x
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Exponencial
• Exemplo:
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
2
22m000.160
4001
11)X(Var:Variância
m4004001
11)X(E:Média
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada
em inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento
teórico da estatística.
• A grande maioria das variáveis aleatórias contínuas que descrevem
processos físicos ou características humanas seguem uma
distribuição normal. Algumas vezes, as variáveis aleatórias não
seguem uma distribuição normal, mas aproximam-se muito desta.
Por outro lado, a distribuição normal desempenha um papel
crucial na inferência estatística.
• É também conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou
Laplace-Gauss
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
xpara,eπ2σ
1)x(f
2
2
σ2
)μx(
• Seja X uma variável aleatória contínua, X terá uma distribuição
normal se
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
2)X(Vare)X(E
onde μ e σ são os parâmetros caracterizadores da distribuição.
• Se a variável aleatória X tem distribuição normal então:
• A notação N(μ,σ2) é frequentemente usada para denotar uma
distribuição normal, com média μ e variância σ2.
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
• Quando se utiliza a distribuição normal na forma como se
apresenta, para o cálculo das probabilidades, surgem dois
problemas:
- A integração de f(x) fica difícultada, pois para o cálculo é
necessário o desenvolvimento da função em série;
- A elaboração de uma tabela de probabilidades única inexiste,
pois como f(x) depende de dois parâmetros, isto acarreta um
grande trabalho para tabelar essas propriedades considerando-se
as várias combinações de μ e σ2.
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Esses problemas podem ser contornados por meio de uma
mudança de variável, obtendo-se, assim, a distribuição normal
padronizada ou reduzida.
• Distribuição normal padrão:
i
i
XZ
em que X é uma variável normal de média μ e variância σ2.
- Seja Z uma variável aleatória tal que:
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
1)X(Var1
)X(Var1X
Var)Z(Var
01
)(E)X(E1
)X(E1X
E)Z(E
2
2
22
• Distribuição normal padrão:
- Logo, a função densidade de probabilidade será:
- A média e a variância de Z serão:
z,e2
1)z( 2
z2
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Como a média de Z é 0 e a variância 1, as probabilidades podem
ser facilmente calculadas e tabeladas.
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
1. f(x) é simétrica em relação à média x = μ, ou φ(z) é simétrica em
relação a z = 0.
μ 0
f(x)
φ(z)
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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
2. f(x) possui um máximo para x = μ, ou φ(z) possui um máximo
para z = 0.
φ(z) 0,39
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
3. f(x) tende a zero quando x tende para ± ∞, o mesmo acontecendo
com φ(z) quando z tende para ± ∞; isto é, x ou z são assíntotas de
f(x) ou φ(z).
7/5/2017
26
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
4. f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem μ + σ
e μ – σ, da mesma forma φ(z) tem dois pontos de inflexão cujas
abscissas valem +1 e –1.
μ+σ μ-σ 0 1 -1
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
5. Em ambas as funções 99,99% dos valores da variável pertencem
ao intervalo [μ - 4σ, μ + 4σ].
7/5/2017
27
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
6. Na figura (a) estão representadas duas distribuições que têm o
mesmo valor médio (μ1 = μ2), mas diferentes desvios padrões (σ1
< σ2). Na figura (b) estão representadas duas distribuições que
têm o mesmo desvio padrão, mas médias diferentes.
(a) (b) 1
2
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
6. Alguns resultados úteis relativos à distribuição normal, são
sumarizados na figura abaixo. Para qualquer variável aleatória
normal,
9975,0)3X3(P
9545,0)2X2(P
6827,0)X(P
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28
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Pelo fato de mais de 0,9975 da probabilidade de uma
distribuição normal estar dentro do intervalo (μ - 3σ, μ + 3σ), 6σ
é frequentemente referida como a largura de uma distribuição
normal.
- A integração numérica pode ser usada para mostrar que a área
sob a função densidade de probabilidade normal de – ∞ < x < ∞
é igual a 1.
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Existem vários tipos de tabelas que oferecem as áreas
(probabilidades) sob a curva normal padrão.
- Essa tabela fornece a área sob a curva normal padrão entre z = - ∞
até o valor de z considerado, ou seja, P(Z ≤ z).
zo
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29
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- O uso da tabela para encontrar, por exemplo, P(Z ≤ 1,53) é
ilustrado na figura abaixo:
1,53
P(Z ≤ 1,53) = Φ (1,53)
= área sombreada
z 0.00 0,01 0,02 0,03 . . . 0,09
0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511967 . . . 0,535856
0,1 0,539828 0,503795 0,547758 0,551717 . . . 0,575345
.
. . . . .
.
. . . . .
.
. . . . .
1,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,936992 . . . 0,944083
. .
. . . .
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
3,9 0,999952 0,999954 0,999956 0,999958 . . . 0,999967
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Definição: A função Φ(z) = P(Z ≤ z) é usada para denotar uma
probabilidade proveniente da tabela anterior. Ela é chamada de
função distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal
padrão.
- Uma tabela é requerida porque a probabilidade não pode ser
determinada pelos métodos elementares.
7/5/2017
30
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Outros exemplos:
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Exemplos: Os seguintes cálculos são mostrados de forma
diagramática na figura a seguir.
10364,089616,01)26,1Z(P1)26,1Z(P)1
7/5/2017
31
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
19490,0)86,0Z(P)2
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
91465,0)37,1Z(P)37,1Z(P)3
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
53886,0
10565,064431,0
)25,1Z(P)37,0Z(P)37,0Z25,1(P)4
7/5/2017
32
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
0)6,4Z(P
0003,0)6,4Z(P
00003,0)99,3Z(P
)99,3Z(P)6,4Z(P)5
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
).próximomaisvalor(65,1z)95,0Z(P:tabelaDa
95,0)zZ(P05,0)zZ(P)6
7/5/2017
33
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
.58,2zquando,99506,0étabelanavalordessepróxima
maisadeprobabilidA.tabelana995,0deadeprobabilid
aecorrespondzdevalorO.005,02/)99,01(aigualé
ãodistribuiçdaeextremidadcadaemáreaa,simetriaPor
99,0)zZz(P)7
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Todas as distribuições normais estão relacionadas algebricamente
e a tabela da distribuição normal padrão pode ser usada para
encontrar as probabilidades associadas com uma variável aleatória
normal arbitrária usando a transformação
i
i
XZ
onde X é a variável aleatória normal de média μ e variância σ2.
7/5/2017
34
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
• Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Exemplo: Suponha que as medidas de corrente em um
pedaço de fio sigam a distribuição normal, com uma
média de 10 miliampères e uma variância de 4
(miliampères)2. Qual a probabilidade de a medida
exceder 13 miliampères?
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição Normal
5,12
1013
2
10XZ
• Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Seja X a representação da corrente em miliampères. A
probabilidade requerida pode ser representada por P(X > 13).
Usando a transformação de variável tem-se:
06681,093319,01
)5,1Z(P1)5,1Z(P)13X(P
Logo,
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35
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição qui-quadrado
2
22 S)1n(
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
tem uma distribuição qui-quadrado, com n-1 graus de liberdade,
abreviada como ou .
• Trata-se de um modelo de distribuição contínua muito importante
para a teoria da inferência estatística.
• Seja X1, X2, ..., Xn, como uma amostra aleatória de uma
distribuição normal, com média µ e variância σ2 desconhecidas. A
grandeza
2
1n2
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição qui-quadrado
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
Entendendo a ideia de graus de liberdade:
• Consideremos um conjunto de dados qualquer. Graus de liberdade
é o número de valores deste conjunto de dados que podem variar
após terem sido impostas certas restrições a todos os valores.
• Por exemplo, consideremos que estudantes obtiveram em um teste
média 8,0 . Assim, a soma das 10 notas deve ser 80 (restrição).
• Portanto, neste caso, temos um grau de liberdade 9 (10 – 1 = 9),
pois as nove primeiras notas podem ser escolhidas aleatoriamente,
contudo a 10ª nota deve ser igual a [10 – (soma das 9 primeiras)].
7/5/2017
36
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição qui-quadrado
2)(Var
)(E
222
22
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
• Em geral, a função densidade de probabilidade de uma
variável qui-quadrado é dada baixo, em que k é o
número de graus de liberdade e Γ(k/2) é a função gama:
• Pode-se demonstrar que a média de uma distribuição
qui-quadrado é igual ao número de graus de liberdade,
e que a variância é igual ao dobro do número de graus
de liberdade:
0
1mx2/1)2/k(
2/kdxxe)m(,e
)2/k(2
1)x(f
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição qui-quadrado
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
• A forma da curva que descreve a função densidade varia conforme
o valor do grau de liberdade (valor do parâmetro φ):
7/5/2017
37
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição qui-quadrado
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- A distribuição qui-quadrado está tabelada. A tabela fornece a
abscissa da distribuição para diversas áreas (probabilidades) da
cauda à direita. Assim:
• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição qui-quadrado
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Exemplo 01: Admita φ = 9 e α = 5%.
Entra-se na 1ª coluna com φ = 9, e na 1ª linha com α = 0,05; na
intersecção dessas obtém-se o número 16,9.
• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado
16,9
φ = 9
α = 5%
7/5/2017
38
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição qui-quadrado
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Exemplo 02: Considere uma distribuição qui-quadrado com
parâmetro 18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio
padrão; (b) a mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 90º percentil.
a) A média, a variância e o desvio padrão:
• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado
636)(
362)(
18)(
22
18
2
18
2
2
18
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição qui-quadrado
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Exemplo 02:
b) A mediana
• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado
7/5/2017
39
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição qui-quadrado
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Exemplo 02:
c) O 1º quartil
• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição qui-quadrado
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Exemplo 02:
d) O 90º percentil
• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado
7/5/2017
40
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição t de Student
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
• Trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha
à distribuição normal padrão, N(0,1).
• É utilizada para inferências estatísticas, particularmente, quando se
tem amostras com tamanhos inferiores a 30 elementos (Fonseca &
Martins, 1996).
• Considere X1, X1, ..., Xn como uma amostra aleatória para uma
distribuição normal com média e variância desconhecidas. A
grandeza,
tem uma distribuição t, com n - 1 graus de liberdade.
n/S
XT
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição t de Student
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
• Como visto, a distribuição t também possui um parâmetro
denominado grau de liberdade (k = φ = n - 1), e é simétrica em
relação à sua média.
• A média dessa distribuição é zero, e sua variância é dada por:
)2(2
)t(tVar2
x]1)k/x[(
1
)2/k(k
2/)1k[()x(f
2/)1k(2
• A função densidade de probabilidade t é dada abaixo, sendo k o
número de graus de liberdade:
7/5/2017
41
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição t de Student
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
• Gráfico da distribuição t de Student (para φ = 4):
• Observa-se que para valores de φ < 30 a distribuição t apresenta
maior dispersão do que a normal padrão N(0,1), já que o desvio
padrão, nesses casos, é maior do que 1, que é o desvio padrão da
distribuição normal padrão.
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição t de Student
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
03,1235
35)t( 35
02,1260
60)t( 60
41,124
4)t( 4
• Exemplo:
- Para φ = 4 tem-se:
- Para φ = 35 tem-se:
- Para φ = 60 tem-se:
7/5/2017
42
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição t de Student
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Trata-se de uma tabela unicaudal. Assim:
• Uso da tabela de distribuição t de Student
Encontra-se na tabela
1 – α α
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição t de Student
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
- Procedimento de uso da tabela:
• Uso da tabela de distribuição t de Student
7/5/2017
43
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição t de Student
a) A média, a variância e o desvio padrão:
• Exemplo: Considere uma distribuição t com parâmetro igual a
18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) a
mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 95º percentil.
06,113,1)t(:padrãoDesvio
13,1218
18)t(:Variância
0)t(:Média
18
18
2
18
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição t de Student
b) A mediana – Md(t18) :
• Exemplo:
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
c) O 1º quatil – Q1:
d) O 95º percentil – P95:
Md =
7/5/2017
44
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
Distribuição F de Snedecor
• Trata-se de um modelo de distribuição contínua também útil para
inferências estatísticas.
• A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatórias
independentes com distribuições qui-quadrado. Assim, uma
distribuição F com υ (pronuncia-se upsilon) graus de liberdade no
numerador e ν (pronuncia-se ni) graus de liberdade no
denominador é expressa por:
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
2
2
2
2
),(F
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
• Sejam W e Y variáveis aleatórias independentes qui-quadrado,
com υ e ν graus de liberdade, respectivamente. Então a razão
tem a função densidade de probabilidade
e é dita seguir a distribuição F com υ graus de liberdade no
numerador e ν graus de liberdade no denominador, geralmente
abreviada com Fυ,ν.
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
/Y
/WF
x0
1x2
x2
)x(f1)(
1)2/(
2/
Distribuição F de Snedecor
7/5/2017
45
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
• A função F possui dois parâmetros: o grau de liberdade do
numerador e o grau de liberdade do denominador, que são
denominados, comumente, por υ e ν ou φ1 e φ2 .
• A média, a variância e a moda dessa distribuição são dadas por:
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
2
2:Moda
24
22:Variância
2:Média
2
2
1
1
2
221
21
2
22
2
2
Distribuição F de Snedecor
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
• Formas de gráficos da distribuição F :
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
Distribuição F de Snedecor
7/5/2017
46
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
• Uso da tabela de distribuição F
- A tabela fornece as abscissas que deixam α na cauda à direita,
dados os parâmetros φ1 e φ2.
Distribuição F de Snedecor
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
• Uso da tabela de distribuição F
- Para se encontrar o valor da abscissa F1-α(u,v) utiliza-se a
fórmula:
u,v,
v,u,1F
1F
- Exemplo: Admita uma
distribuição F com u = 9,
v = 5 e α = 5, determine as
abscissas.
Distribuição F de Snedecor
7/5/2017
47
05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
FIM
IV – Modelos de Distribuições