UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAcybertesis.uni.edu.pe/bitstream/uni/11815/1/betetta_gj.pdf · de...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

“CONTROL NO LINEAL DE UN LAMINADOR DE ALTA POTENCIA USANDO

LAS BASES DE LAGUERRE”

TESIS

PARA OPTAR EL GRADO ACADÉMICO DE MAESTRO EN CIENCIAS CON

MENCIÓN EN AUTOMÁTICA E INSTRUMENTACIÓN

ELABORADO POR

JUDITH LUZ BETETTA GÓMEZ

ASESOR

M Sc. RAUL BENITES SARABIA

LIMA – PERÚ

2014

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A la memoria de mi señor padre Sisinio y

mis hermanos Arturo y Eloy, a mi madre

Victoria, hermanas Olivia y Nery y a mi

maestro Ing. Carlos Medina.

El autor.

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Un agradecimiento muy especial a mí asesor,

MSc. Raúl Benítez Zarabia, por sus consejos

y apoyo brindado para el desarrollo de la

presente tesis. Igualmente agradezco al Dr.

Huber Nieto por su permanente aliento para

su culminación, al Ing. Daniel Carbonel,

amigo entrañable por su paciencia y

comprensión en la actividad académica que

desarrollamos juntos, al Ing. Moisés Ventosilla

por estar pendiente del desarrollo de mi

trabajo de investigación y finalmente al Ing.

Mauricio Gálvez por su preocupación para

llevar a buen término esta tesis.

El autor

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Índice de Contenido

INTRODUCCIÓN ...........................................................................................................................1 CAPÍTULO I ...................................................................................................................................4 PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN..................................................................................4

1.1 Identificación del problema ...................................................................................................4 1.2 Formulación del problema ....................................................................................................4

1.3 Objetivos de la investigación ................................................................................................7 1.4 Justificación..........................................................................................................................7 1.5 Propuesta de solución ..........................................................................................................8 1.6 Descripción de las técnicas de identificación de sistemas .....................................................9

CAPÍTULO II ................................................................................................................................ 13 DESCRIPCIÓN DE LA PLANTA Y LOS PROCESOS DE LAMINACIÓN ...................................... 13

2.1 Descripción de la planta ..................................................................................................... 13 2.1.1 Laminadores en caliente continuos .................................................................................. 15 2.1.2 Caída de velocidad por impacto ....................................................................................... 15

2.1.3 Efectos de la fricción ....................................................................................................... 16 2.1.4 Rango de velocidad ......................................................................................................... 16

2.1.5 Fuente principal para los laminadores .............................................................................. 16 2.2 Fundamento Teórico de los Sistemas de Laminación ......................................................... 17

2.2.1 Aplicaciones Industriales ................................................................................................. 20 2.2.2 Métodos de control clásico vs. método de control moderno .............................................. 21 2.2.3 Sistemas de laminación ................................................................................................... 23

2.2.4 Configuraciones de sistemas de laminación..................................................................... 24 2.2.5 Fuerza de separación entre los rodillos laminadores ........................................................ 26

2.2.6 Módulo de elasticidad o módulo de Young (E) ................................................................. 31 CAPÍTULO III ............................................................................................................................... 33

ANTECEDENTES ........................................................................................................................ 33 3.1 Aportes de los Polinomios de Laguerre dentro de la identificación de sistemas ................... 33

3.1.1 Aportes de Wahlberg Bo .................................................................................................. 33 3.1.2 Aportes de Abhishek Soni................................................................................................ 33 3.1.3 Aportes de Back and Tsoi ................................................................................................ 34

3.2 Aportes de los Polinomios de Laguerre dentro del control de sistemas ............................... 34 3.2.1 Aportes de Dumont y Kovac ............................................................................................ 34

3.2.2 Aportes de Haitao Zhang ................................................................................................. 35 3.2.3 Aportes de Sanaz Mahmoodi ........................................................................................... 35

CAPÍTULO IV .............................................................................................................................. 36

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EL FORMALISMO MATEMÁTICO DE LOS POLINOMIOS ORTOGONALES ............................... 36 4.1 Justificación del uso de los Polinomios Ortogonales ........................................................... 36 4.1.1 Definiciones básicas ........................................................................................................ 37

4.2 Teoremas que sustentan el uso de funciones ortonormales ................................................ 38 4.3 Ecuación diferencial para los Polinomios Ortogonales ........................................................ 43

CAPITULO V ............................................................................................................................... 47

CONEXIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LAGUERRE CON ESTUDIOS DENTRO DE LA INGENIERIA DE CONTROL ........................................................................................................ 47

5.1 Aplicación de los Polinomios de Laguerre en la identificación de sistemas .......................... 47

5.2 Definiciones básicas de los Polinomios de Laguerre ........................................................... 50 CAPÍTULO VI .............................................................................................................................. 61

FORMALISMO DE IDENTIFICACIÓN DE UN LAMINADOR APLICANDO POLINOMIOS DE LAGUERRE ................................................................................................................................. 61

6.1 Introducción al error de aproximación ................................................................................. 61

6.2 Proposición del modelo para el laminador basado en polinomios generalizados de Laguerre ................................................................................................................................................ 64

6.3 Determinación de las matrices que pondera la base ortogonal de polinomios generalizados de Laguerre y minimización del error mediante el método de mínimos cuadrados .................... 66

CAPÍTULO VII ............................................................................................................................. 71 RESULTADOS DE LA IDENTIFICACIÓN Y MODELAMIENTO DEL LAMINADOR ....................... 71

7.1 El uso de una señal de entrada pseudo-aleatoria multinivel ................................................ 71

7.1.1 Circuito utilizado para el ensayo del sistema laminador.................................................... 72 7.2 Respuesta del sistema por efecto de la señal multinivel ...................................................... 73 7.3 Propuesta de modelo para el laminador de alta potencia .................................................... 74 7.4 Procedimiento para el proceso de identificación ................................................................. 76

7.4.1 Estimación del polo de las funciones de Laguerre ............................................................ 76 7.4.2 Ajuste fino del polo de las funciones de Laguerre ............................................................ 84

7.5 Cálculo de los parámetros del modelo de la planta ............................................................. 86 7.6 Validación del modelo aplicado al laminador ....................................................................... 90

CAPÍTULO VIII............................................................................................................................. 92

CONTROL PREDICTIVO NO LINEAL BASADO EN MODELOS .................................................. 92 8.1 Fundamentos del control predictivo basado en modelos ..................................................... 92

8.1.1 Modelos para MPC .......................................................................................................... 95 8.1.2 Modelo para procesos lineales ........................................................................................ 95

8.1.3 Respuestas libre y forzada en los MPC............................................................................ 99 8.1.4 Función objetivo ............................................................................................................ 100

8.1.5 Trayectoria de referencia ............................................................................................... 101 8.1.6 Restricciones ................................................................................................................. 102 8.2 Obtención de la Ley de Control......................................................................................... 103

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8.2.1 Estrategia de control utilizando control predictivo y algoritmo de la MDC........................ 104 8.2.2 Control predictivo........................................................................................................... 104 8.2.3 Formulación del modelo matricial ................................................................................... 106

8.2.4 Estrategia MPC usando el enfoque de la MDC .............................................................. 107 8.3 Tipos de control MPC ...................................................................................................... 114

8.3.1 Controlador MPC usando la DMC .................................................................................. 114 8.3.2 Controlador MPC tipo escalar ........................................................................................ 115

CAPÍTULO IX ............................................................................................................................ 116 CONTROL DE UN LAMINADOR DE ALTA POTENCIA USANDO MPC ..................................... 116

9.1 Criterios para el diseño del controlador ............................................................................. 116 9.1.1 Señales de referencia .................................................................................................... 116 9.1.2 Modelo y parámetros para representar la dinámica del sistema ..................................... 119

9.2 Resultados de simulación del control MPC usando algoritmo DMC y modelo Laguerre .... 121

9.3 Resultados de la simulación del control MPC usando las bases de Laguerre y algoritmo DMC escalar .......................................................................................................................... 124 9.4 Propuesta del controlador MPC usado en los drivers de laminadores ............................... 126

9.4.1 Esquema del controlador MPC alternativo al Grupo Ward-Leonard en la planta de producción de vinilos .............................................................................................................. 127 9.4.2 Restricciones aplicadas al MPC Propuesto .................................................................... 129

CAPÍTULOX .............................................................................................................................. 132 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .............................................................................. 132

10.1 Conclusiones finales relacionadas con la Identificación del sistema en estudio. .............. 132

10.2 Conclusiones finales relacionadas con el uso de un algoritmo basado en los criterios de la DMC para la planta en estudio ............................................................................................... 133

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................... 135 ANEXOS.................................................................................................................................... 137

Anexo 1: Código Matlab para la identificación y el modelamiento del sistema de laminación .. 137 Anexo 2: Código Matlab para control MPC usando algoritmo DMC para laminador de 100HP 141

Anexo 3: Código Matlab para el control MPC usando algoritmo DMC en su forma escalar para un laminador de 100 HP ......................................................................................................... 146

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Índice de Ilustraciones

Figura 1.1: Proceso de identificación sobre un sistema para la obtención de un modelo matemático, mediante la realización de mediciones y captura de datos en el sistema. ................. 10 Figura 1.2A: Modelos de Hammerstein y Wiener. ......................................................................... 11 Figura 1.2B: Modelos de Volterra. ................................................................................................ 11 Figura 1.2C: Modelo de Laguerre. ................................................................................................ 11 Figura 2.1: El molino de rodillos del sistema laminador, que se utiliza para producir baldosas de vinilo. ........................................................................................................................................... 14 Figura 2.2: La salida de las baldosas de vinilo, realizado en una prensa continua por una matriz de corte. ........................................................................................................................................... 14 Figura 2.3: Diagrama de Bloques del proceso de producción. ...................................................... 17 Figura 2.4: Esquema de un Rolling Mill. ....................................................................................... 18 Figura 2.5: Gráficas relacionadas al proceso de producción. ........................................................ 18 Figura 2.6: Un ejemplo de control Feed Forward. ......................................................................... 19 Figura 2.7: Control óptimo propuesto en las dos últimas etapas. .................................................. 19 Figura 2.8: Comparación de la variación del espesor estaciones finales, con el control FFF, control óptimo y óptimo integral. .............................................................................................................. 20 Figura 2.9: Valor del looper. ......................................................................................................... 20 Figura 2.10: Control de tensión. ................................................................................................... 22 Figura 2.11: Control del ángulo del looper. ................................................................................... 22 Figura 2.12: Configuración de los sistemas de laminación. ........................................................... 25 Figura 2.13A: Control de tensión con looper roll. .......................................................................... 26 Figura 2.13B: Control de tensión con potenciómetro..................................................................... 26 Figura 2.14: Deflexión en el centro de los rodillos en función del esfuerzo de separación entre los rodillos. ........................................................................................................................................ 27 Figura 2.15: Acción del laminador con manto de entrada de espesor H y espesor de salida h. ..... 28 Figura 2.16: Ilustración del método “Brazo de Palanca”. ............................................................... 29 Figura 2.17: Potencia acumulativa de laminación H/h. .................................................................. 31 Figura 2.18: Curva de sigma versus épsilon donde se extrae el llamado Módulo de Young. ......... 32 Figura 4.1: Representación esquemática del uso de los polinomios ortogonales. Se observa que la gráfica Y(s) versus X(s) se torna cada vez más aproximada a una salida real si se emplea una mayor cantidad de polinomios ortogonales, extraídos a partir de expandir H(s). ........................... 36 Figura 4.2: Representación gráfica de la relación entre el polinomio de aproximación P(x) dentro del rango infinitesimal de la función f(x) contenida entre a y b, como sugiere el teorema de Weiertrass ................................................................................................................................... 41 Figura 5.1A: Esquema de conexión de los polinomios de Laguerre y los objetivos de esta tesis. Se muestra el uso de los polinomios de Laguerre y la identificación del sistema. ............................... 48 Figura 5.1B: Se muestra el MPC que usa el modelo con los polinomios de Laguerre para predicción de las futuras salidas a partir de la minimización de la función de costo J(u). En esta tesis usamos en MPC para el control de la velocidad y la corriente de armadura en la fabricación de vinil. ........................................................................................................................................ 48 Figura 5.2: Representación de los polinomios de Laguerre en función de muestras o la variable independiente. ............................................................................................................................. 52 Figura 5.3: Ejemplo de diagramas de bloques enfatizando la aplicabilidad de polinomios de Laguerre como filtros. .................................................................................................................. 53 Figura 5.4: Estructura de los filtros de Laguerre............................................................................ 56 Figura 5.5: Ejemplo de aplicación de los polinomios de Volterra-Laguerre mostrado como diagramas de bloques y filtros [25]. .............................................................................................. 57

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Figura 6.1: Esquema del proceso de laminación de material melamínico. Notar las variables, la corriente de armadura y la velocidad de los cilindros móviles. ...................................................... 64 Figura 7.1A: Señal de entrada PRMS mostrando su carácter multivalor en contraste con los típicos bang-bang o binarios (es decir es 0 o 1). ...................................................................................... 72 Figura 7.1B: Esquema del grupo Ward-Leonard usado para la identificación del sistema laminador. .................................................................................................................................................... 73 Figura 7.2: Respuesta de la corriente a una entrada PRMS ......................................................... 74 Figura 7.3: Respuesta de la velocidad del laminador a una entrada PRMS. .................................. 74 Figura 7.4A: Diversas morfologías de los polinomios de Laguerre para diferentes valores de su polo. Arriba izquierda: los polinomios se aglomeran para muy pocas muestras. Arriba derecha: los polinomios tienden a salir de la región de aglomeración. Abajo izquierda: los polinomios son ahora extendidos casi homogéneamente hasta las primeras 1000 muestras, aproximadamente. Abajo derecha: se ha producido un total reescalamiento de los polinomios ocupando más de las 2500 muestras. ..................................................................................................................................... 77 Figura 7.4B: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho) error de la identificación. Paneles inferiores (izquierdo) evolución de los coeficientes, (centro) identificación de la velocidad angular, (derecho) error de la identificación. Para todos los paneles, se ha usado el valor del polo de Laguerre de 0.9991. ........................................................................................................................................ 78 Figura 7.4C: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho) error de la identificación. Paneles inferiores (izquierdo) evolución de los coeficientes, (centro) identificación de la velocidad angular, (derecho) error de la identificación. Para todos los paneles, se ha usado el valor del polo de Laguerre de 0.9993. ........................................................................................................................................ 79 Figura 7.4D: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho) error de la identificación. Paneles inferiores (izquierdo) evolución de los coeficientes, (centro) identificación de la velocidad angular, (derecho) error de la identificación. Para todos los paneles, se ha usado el valor del polo de Laguerre de 0.9995. ........................................................................................................................................ 80 Figura 7.4E: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho) error de la identificación. Paneles inferiores (izquierdo) evolución de los coeficientes, (centro) identificación de la velocidad angular, (derecho) error de la identificación. Para todos los paneles, se ha usado el valor del polo de Laguerre de 0.9997. ........................................................................................................................................ 81 Figura 7.4F: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho) error de la identificación. Paneles inferiores (izquierdo) evolución de los coeficientes, (centro) identificación de la velocidad angular, (derecho) error de la identificación. Para todos los paneles, se ha usado el valor del polo de Laguerre de 0.9998. ........................................................................................................................................ 82 Figura 7.4G: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho) error de la identificación. Paneles inferiores (izquierdo) evolución de los coeficientes, (centro) identificación de la velocidad angular, (derecho) error de la identificación. Para todos los paneles, se ha usado el valor del polo de Laguerre de 0.9999. ........................................................................................................................................ 83 Figura 7.4H: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho) error de la identificación. Paneles inferiores (izquierdo) evolución de los coeficientes, (centro) identificación de la velocidad angular, (derecho) error de la identificación. Para todos los paneles, se ha usado el valor del polo de Laguerre de 0.999817 que es el polo elegido. .................................................................................................. 85 Figura 7.5A: Evolución de los parámetros de corriente indicando las regiones de convergencia. Notar que las regiones están más allá de las 1500 muestras y se extienden hasta las 2500. ........ 86

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Figura 7.5B: Evolución de los parámetros de velocidad indicando las regiones de convergencia. Notar que las regiones están más allá de las 1500 muestras y se extienden hasta las 2500. ........ 87 Figura 7.6: Error de aproximación de la corriente y de la velocidad tomando 1500, 2000, 2150 y 2540 muestras, respectivamente. ................................................................................................ 88 Figura 7.7A: Promedios de los errores para la corriente para diferentes muestras. ....................... 89 Figura 7.7B: Promedios de los errores para la velocidad para diferentes muestras. ...................... 89 Figura 7.8: Comparación de la corriente del sistema con la del modelo. ....................................... 91 Figura 7.9: Comparación de la velocidad del sistema con la del modelo. ...................................... 91 Figura 8.1: Estrategia del Control Predictivo. ................................................................................ 94 Figura 8.2: Estructura básica del control predictivo. ...................................................................... 95 Figura 8.3A: Respuesta del proceso ante impulso unitario. ........................................................... 97 Figura 8.3B: Respuesta del proceso ante entrada del tipo escalón. .............................................. 97 Figura 8.4: Respuesta libre y forzada. ........................................................................................ 100 Figura 8.5: Trayectoria de referencia. ......................................................................................... 102 Figura 9.1: Función escalón normalizado. .................................................................................. 116 Figura 9.2: Función escalón filtrado w(t) con 휶 = ퟎ.ퟗ . .............................................................. 117 Figura 9.3: Función tangente hiperbólica con filtrado w(t) con 휶 = ퟎ.ퟗ . .................................... 117 Figura 9.4: Comparación de la tangente hiperbólica con la misma señal afectada por el filtro primer orden para =0.1. ...................................................................................................................... 118 Figura 9.5: Comparación de la tangente hiperbólica con la misma señal afectada por el filtro primer orden para =0.5. ...................................................................................................................... 118 Figura 9.6: Comparación de la tangente hiperbólica con la misma señal afectada por el filtro primer orden para =0.9. ...................................................................................................................... 119 Figura 9.7: Comparación de la referencia con la respuesta predictiva del laminador. .................. 121 Figura 9.8: Porcentaje de error cuadrático entre la referencia y la respuesta del sistema. ........... 122 Figura 9.9: Comportamiento de la tensión de armadura (señal de control) .................................. 122 Figura 9.10: Comportamiento de la corriente durante el proceso de control, los picos aparecen como consecuencia de la ruptura del estado de inercia del motor en los primeros instantes hasta llegar a un máximo de 330 amperios aproximadamente y tendiendo a estabilizarse a los 14 segundos a un valor cercano a los 120 amperios. ...................................................................... 123 Figura 9.11: Comparación de la referencia con la respuesta predictiva del laminador. ................ 124 Figura 9.12: Porcentaje de error cuadrático entre la referencia y la respuesta del sistema. ......... 125 Figura 9.13: Variaciones de la señal de control. ......................................................................... 125 Figura 9.14: Comportamiento de la corriente durante el proceso de control, los picos aparecen como consecuencia de la ruptura del estado de inercia del motor en los primeros instantes y se van acentuando para valores de 160, 120, 310, 55,190. ............................................................. 126 Figura 9.15: Esquema del controlador de potencia para el sistema de laminación ...................... 127 Figura 9.16: Esquema del controlador de potencia para el sistema de laminación ...................... 129 Figura 9.17: Angulo de disparo de la puesta en marcha de la máquina hasta alcanzar su velocidad nominal. ..................................................................................................................................... 131

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Índice de Tablas

Tabla 4.1: Propiedades genéricas de los polinomios ortogonales, 풉풏 indica la norma de polinomio de grado n. Notar que 휞 es la función Gamma. ............................................................................ 44 Tabla 4.2: Propiedades genéricas de los polinomios ortogonales, w(x) indica el peso asociado al polinomio de grado n. Notar que 휞 es la función Gamma.............................................................. 45 Tabla 4.3: Propiedades genéricas de los polinomios ortogonales. Se indica la forma explícita de los polinomios hasta el orden 3. ......................................................................................................... 45 Tabla 4.4: Propiedades genéricas de los polinomios ortogonales, 풃풏 indica los coeficientes asociados a su expansión polinomial............................................................................................ 46 Tabla 4.5: Propiedades genéricas de los polinomios ortogonales, G(x, t) indica la función generatriz. .................................................................................................................................... 46 Tabla 4.6: Propiedades genéricas de los polinomios ortogonales indicando algunas de sus propiedades de sus generatrices. ................................................................................................. 46 Tabla 7.1: Parámetros calculados para el modelo de la corriente y velocidad. .............................. 90

xi

Nomenclaturas

AC ............................................................................................................................................. 128

ARIMA ......................................................................................................................................... 99 ARMA .......................................................................................................................................... 59 ARX ............................................................................................................................................. 33 DC .................................................................................................................................................1 DMC ..............................................................................................................................................8 DSP ........................................................................................................................................... 115 FIR .............................................................................................................................................. 57 FPGA ......................................................................................................................................... 115 IIR ................................................................................................................................................ 57 LMS ............................................................................................................................................. 39 LQMPC ........................................................................................................................................ 22 LTI ............................................................................................................................................... 59 MPC ..............................................................................................................................................1 PID ................................................................................................................................................8 PRMS .......................................................................................................................................... 69 SCR ............................................................................................................................................. 73 VDE ........................................................................................................................................... 130

xii

ABSTRACT

The main objectives of this Thesis are in the first place the identification of a nonlinear

dynamic system and then based in the identified model it is proposed a strategy Nonlinear

Predictive Control Based on Models (MPC) using a set of orthogonal polynomials to

express the nonlinearities of the system. An additional goal of this proposal is the usage of

the algorithm like the Dynamic Matrix Control (DMC).

The first objective is achieved by applying a method for identification of nonlinear

systems using Generalized Laguerre polynomials (PGL), for which the system parameters

are extracted using a set of input-output data obtained by applying a sequence Pseudo

Random Multilevel Sequences (PRMS) to the system used to validate the proposal.

The methodology has been validated in the identification system for manufacturing

mill vinyl flooring PISOPAK PERU SAC. The rolling mill system was modeled using the

PGL until third grade; the model was obtained after several tests the system to ensure

proper identification. In the present case, the system and model are fit around in all test

horizon. The software used in these tasks is MATLAB.

The model previously identified is used in formulation a MPC strategy, in the present

thesis it is used the DMC algorithm such that optimal manufacturing of vinyl tiles can be

guaranteed. This theoretical formulation is used for simulate a MPC controller for tracking

the trajectory of the rolling speed of the system. The use of DMC is an algorithm that

improves accuracy in control of the reference trajectory. Observed simulations obtain

squared errors of the order of 0.015 % after the transient state exceeded, which manifests

the great strength of the proposed controller. The MPC will allow additional benefits

because it reduces the high power demand and the mechanical stresses in the system of

lamination that occur in transient states when the machine is started under load. Precise

control of the speed of the mill is a key indicator of manufacturing optimum vinyl tile. The

simulation result in terms of tracking one reference type hyperbolic tangent function

indicates that these control systems are very promising for use in industrial control of

nonlinear systems.

xiii

RESUMEN

Los principales objetivos de esta tesis son, en primer lugar la identificación de un

sistema dinámico no lineal y basado en el modelo identificado proponer una estrategia de

control predictivo no lineal basado en modelos (MPC), utilizando un sistema de

polinomios ortogonales para expresar las no linealidades del sistema. Otro objetivo de

esta propuesta es el uso del algoritmo de control de la “Matriz Dinámica de Control”

(DMC).

El primer objetivo se logra mediante la aplicación de un método para la identificación

de sistemas no lineales utilizando Polinomios de Laguerre Generalizados (PGL), para el

cual los parámetros del sistema se extraen utilizando un conjunto de datos de entrada-

salida obtenido mediante la aplicación de una secuencia pseudo aleatoria multinivel

(PRMS) al sistema utilizado para validar la propuesta.

La metodología ha sido validada en el sistema de identificación para la fabricación de

baldosas de vinilo en PISOPAK PERÚ SAC. El sistema de tren de laminación se modeló

usando la PGL hasta tercer grado; el modelo se obtuvo después de varias pruebas al

sistema para asegurar la identificación apropiada. En el presente caso, el sistema y el

modelo se ajustan alrededor de todo el horizonte de prueba, y el software utilizado en

estas tareas es MATLAB.

El modelo identificado anteriormente se utiliza en la formulación de una estrategia de

MPC, en la presente tesis se utiliza el algoritmo DMC de tal manera que la fabricación

óptima de baldosas de vinilo quede garantizado. Esta formulación teórica se utiliza para

simular un controlador MPC para el seguimiento de la trayectoria de la velocidad de

laminación del sistema. El uso del algoritmo DMC mejora la precisión en el control de la

trayectoria de referencia. A partir de las simulaciones se observa que los errores

cuadráticos son del orden de 0,015 % después del estado transitorio, siendo evidente la

gran capacidad del controlador propuesto. El MPC permitirá beneficios adicionales, ya

que reduce la gran demanda de potencia y las tensiones mecánicas en el sistema de

laminación que se producen en estados transitorios cuando la máquina se pone en

marcha bajo carga. El control preciso de la velocidad del sistema es un indicador clave de

la fabricación óptima de baldosas de vinilo. El resultado de la simulación en términos de

xiv

seguimiento de un tipo de función tangente hiperbólica de referencia indica que estos

sistemas de control son muy prometedores para su uso en el control industrial de

sistemas no lineales.

1

INTRODUCCIÓN

Las teorías de identificación y control de sistemas acompañados de metodologías

matemáticas han jugado un rol crucial en las actuales tecnologías de control

implementadas en las plantas industriales. Esto ha permitido optimizar los procesos y en

general son parte del progreso de las economías tanto locales como globales.

En efecto, la creciente producción industrial ha requerido nuevas técnicas de control

de sistemas que demandan evidentemente la exploración de nuevas formulaciones,

especialmente las que tratan aspectos no lineales y que deben describir apropiadamente

las fenomenologías de las plantas de producción.

Estos avances relevantes han sido posibles gracias al progreso computacional, lo

cual ha jugado un papel crucial para calcular y simular complejos procesos industriales

con el objeto de evaluar potencialidades y ventajas de los modelos de identificación y

control. La simulación computacional ha resultado ser de extrema importancia en los

campos de la ingeniería de procesos industriales en el sentido que provee parámetros

ligados al éxito de un proceso fabril.

Esta tesis está focalizada en la identificación y su posterior propuesta mediante la

simulación para el control de las variables claves de la producción y calidad en la

industria de los pisos de vinilo. Con respecto a la propuesta de control simulada

realizaremos ciertos diagnósticos para tomar decisiones que involucren la razón costo-

beneficio del sistema. Concretamente, proponemos el uso del MPC para efectos de

simulación.

Una de las características necesarias de los procesos de laminación es la elevada

exactitud en el control de velocidad de los rodillos laminadores o calandrias y sus

respectivos transportadores de entrada y salida.

En lo referente al control de velocidad se parte del hecho de que la temperatura en

el manto y en las calandrias es independiente, en tal sentido el control de velocidad; se

efectúa sobre motores DC que son alimentados por conversores estáticos y/o grupos

Ward-Leonard.

2

La etapa de laminación constituye una de las más importantes etapas del proceso

de fabricación de pisos de vinilo, ya que en ésta se da el acabado y el espesor del manto

del cual se cortarán las baldosas.

Adoptar una técnica de control automático, es una decisión clave para la mejora de la

competitividad de la empresa y también para alcanzar objetivos que de otro modo

difícilmente podrían darse, tales como precisión, seguridad, homogeneidad, etc. La

mejora de la competitividad se consigue, por ejemplo, mediante: reducciones de los

costos de producción, mejora de la productividad y calidad de los procesos.

El modelado de sistemas no lineales requiere de conceptos e ideas matemáticas

importantes como es el conocimiento del comportamiento de los polinomios de

aproximación, como por ejemplo los polinomios generalizados de Laguerre, de

estrategias y herramientas computacionales. De esta forma en este trabajo se aplica

conceptos, para identificar el sistema laminador. Finalmente, se enfoca el control del

sistema hacia el uso de las técnicas MPC como una alternativa moderna en la solución

de problemas de control a nivel industrial.

Organización de la Tesis

En el capítulo I se hace el planteamiento de la investigación, el cual comprende la

identificación, formulación del problema; los objetivos, justificación y la propuesta de

solución al problema planteado. Se describe el marco teórico de la identificación de

sistemas como técnicas para obtener los modelos matemáticos de sistemas dinámicos a

partir de mediciones realizadas en el proceso.

En el capítulo II, se describe la planta industrial y los procesos de laminación que en

ella se realizan, asimismo se describen los laminadores en caliente continuos; se plantea

el fundamento teórico de los sistemas de laminación, se muestra algunas aplicaciones

industriales, y se comparan los métodos de control clásico versus los métodos de control

moderno.

En el capítulo III, se analizan los aportes de los polinomios generalizados de

Laguerre dentro de la identificación y control de sistemas.

En el capítulo IV, se plantean los fundamentos teóricos más resaltantes relacionados

con los polinomios ortogonales, sus propiedades y representación; los teoremas que

sustentan las propiedades del producto interno, norma, la fórmula de Rodrígues

3

generalizada, particularmente el capítulo se centra en el uso de los polinomios de

Laguerre para realizar un modelo que permita controlar un laminador.

En el capítulo V, se analiza la conexión de los polinomios de Laguerre con el campo

de la ingeniería de control. Se definen los polinomios de Laguerre, se describen sus

propiedades y se mencionan algunas aplicaciones.

En el capítulo VI, se plantea una propuesta del modelo para el laminador basado en

polinomios generalizados de Laguerre. Se calcula las matrices que pondera la base

ortogonal de dichos polinomios así como la minimización del error mediante el método de

mínimos cuadrados.

En el capítulo VII, se muestran los resultados de la identificación y el modelo del

sistema laminador.

En el capítulo VIII, se planea los fundamentos del control predictivo basado en

modelos y se plantea una estrategia de control utilizando un algoritmo similar al DMC.

En el capítulo IX, se muestran los resultados de la simulación del control al laminador

utilizando las técnicas MPC como resultado del uso del algoritmo similar al DMC y del

control escalar.

En el capítulo X, se plantea las conclusiones y recomendaciones del trabajo de tesis.

4

CAPÍTULO I PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN

1.1 Identificación del problema Uno de los problemas principales en los sistemas laminadores, como en el caso de

la fabricación de los pisos vinílicos son las tensiones sobre el manto entre laminador y

laminador que ocasionan cambios en el espesor, y en algunos casos la rotura del manto

de laminación. Esto trae como consecuencia que la calidad de los productos no sea

adecuada y por lo tanto sea rechazada en el mercado. En esencia, lo que se tiene es un

nivel bajo de productividad, y más aún la calidad no está garantizada; todo ello es

gravitante para competir en los mercados internacionales por lo que es necesario

corregir estas anomalías y/o deficiencias de los controladores usados en los sistemas de

laminación.

De otra parte los sistemas de control convencionales originan grandes corrientes

cuando la máquina debe ser arrancada con material entre los rodillos. Esas grandes

corrientes van a originar sobreesfuerzos mecánicos lo que muchas veces obligan

sobredimensionar el reductor de velocidad e inclusive los piñones de transmisión en los

rodillos laminadores. El problema en esencia es de índole eléctrica, mecánica y con

mayor énfasis de producción.

Podríamos enfocar la solución en esos tres puntos para atender la necesidad de

proveer un adecuado sistema de control que permita controlar la corriente desde el inicio

hasta el set point final. Precisando que lo esencial es controlar la velocidad y que en

todo el rango de operación no existan picos de corriente y de esa manera evitar los

esfuerzos sobremecánicos.

1.2 Formulación del problema Los sistemas de laminación frecuentemente pueden ser puestos en marcha con

material en los rodillos y además sufrir impactos de carga por efecto de aglomeración a la

entrada de la calandria. Este tipo de operación ocasiona excesivas demandas de

corriente al motor de accionamiento y elevados esfuerzos mecánicos en el eje del motor,

y el reductor que enlaza los rodillos laminadores con el motor.

5

En esencia, la correcta operación de un sistema laminador requiere del seguimiento

de una trayectoria de velocidad desde el arranque hasta alcanzar el máximo set point; así

como un eficiente control de las sobre intensidades demandadas por el motor en la etapa

transitoria y el mantenimiento del set point final con precisión respecto a la función de

referencia.

Por lo expuesto, la realización del control de trayectoria y de las sobre corrientes,

demandan obtener un modelo del sistema con capacidad de reproducir el

comportamiento dinámico del laminador. Por lo general no se conoce del todo las leyes

físicas o ecuaciones de primeros principios que gobiernan sus estados y/o

comportamiento eléctrico, mecánico y de laminación; en tal sentido un logro de esta tesis

es la caracterización del sistema con una precisión muy aceptable.

La necesidad de realizar un control adecuado del sistema laminador, trae consigo el

requerimiento de conocer el modelo dinámico que represente con fidelidad al sistema, en

nuestro caso el laminador. Nuestra propuesta es la de proponer un sistema

electromecánico no lineal en el cual los parámetros son funciones de una base ortogonal

finita de Polinomios Generalizados de Laguerre. Basado en el modelo obtenido derivado

de un conjunto de entradas/salidas obtenido con aplicación de señales de armadura

PRMS, proponemos la estrategia de Control Predictivo Basado en Modelos (MPC).

Con la técnica indicada se propone que la trayectoria de la velocidad se ajuste al

voltaje de fuerza que obedece a una función prefijada, pero bajo la premisa de utilizar que

el modelo usado sea capaz de representar la dinámica no lineal del sistema. Resumiendo

el problema del control del sistema de laminación, tenemos:

Identificar el sistema de laminación capaz de representar la dinámica no lineal del

sistema, haciendo uso de bases ortogonales finitas.

Proponer un modelo de control MPC, que a título de comprobación y/o validación

basado en el modelo previamente identificado se simulará mediante dos

algoritmos MPC, el primero será el de la llamada Matriz Dinámica de Control

(DMC) y el segundo es el modo de el Control Escalar, con lo cual se pretende

demostrar la utilidad del Control Predictivo que usando el modelo de Laguerre

permite resolver problemas de control de velocidad en un laminador que debe

operar desde el arranque bajo carga y/o sufrir impactos de carga, sin

sobrecorrientes ni esfuerzos mecánicos.

6

La figura 6.1 representa al sistema laminador y sobre el cual aplicaremos la

identificación haciendo uso de los polinomios de Laguerre, en este caso la idea de

representar el modelo dinámico es para refrendar el hecho de que el sistema tiene un

carácter no lineal, además de que no existen las ecuaciones que nos permitan plantear

de manera directa el comportamiento del modelo del sistema.

Un problema que se presenta en el momento de plantear una solución es como tratar

a un sistema laminador. De hecho observamos que está compuesto por un motor de

corriente continua, un reductor de velocidad, los laminadores y el propio proceso de

laminación que es el que finalmente ocasiona el torque de carga. En razón a que no

tenemos un modelo y debe proveerse un modelo para plantear una estrategia de control,

surge la pregunta ¿Este sistema debe considerarse como una caja negra o una caja

gris?, de hecho que se conoce las ecuaciones del motor DC, se conocen las propiedades

de los reductores de velocidad y algunos aspectos de las no linealidades de los sistemas

laminadores. En consecuencia todo el conjunto puede ser considerado como un sistema

no lineal del tipo electromecánico.

Entonces la primera tarea consiste en obtener un modelo que represente el

comportamiento de la dinámica de todo el sistema. Para ello se ha propuesto utilizar data

de entrada y salida para lo cual el sistema ha sido debidamente ensayado utilizando

señales en este caso, voltajes en la armadura del motor del tipo PRMS (Pseudo Random

Multi Sequences). En este sentido se ha aplicado hasta 4 cambios de nivel y que de

acuerdo a las reglas de identificación permitirá obtener hasta un sistema de grado tres.

En el caso particular se ha tenido una consideración importante, que la dinámica no

lineal sea absorbida por los polinomios de una base ortogonal y en el caso del sistema

laminador se ha usado para la validación de la propuesta tres polinomios para

representar cada uno de los parámetros electromecánicos.

En el caso bajo estudio los parámetros no son números, son funciones que van a

determinar el modelo propio del sistema. La obtención de los vectores de peso de estas

funciones ortogonales es adquirida a partir de la data obtenida en múltiples ensayos

hasta obtener un conjunto adecuado que represente con fidelidad el sistema.

A partir de la data se obtienen múltiples soluciones y las que se ajustan a la solución

adecuada y correcta es aquella que pertenece a una región donde se observe estabilidad

7

de las soluciones, ya que estos sistemas suelen tener ciertas complejidades y entonces

las soluciones son obtenidas de múltiples iteraciones.

1.3 Objetivos de la investigación El objetivo principal de esta tesis es formular una teoría consistente de identificación

usando los polinomios de Laguerre, para luego usarlos en la formulación de un sistema

de control predictivo basado en modelos para el control de:

la velocidad del laminador

la corriente de armadura del driver de una planta de fabricación de baldosas

vinílicas.

El uso de los polinomios de Laguerre dentro de una metodología matemática resulta

importante en la identificación de sistemas e implementación del control predictivo.

Su aplicación, evita el uso de una gran cantidad de parámetros. Esto es beneficioso

para el proceso de optimización de la “performance” del controlador de la planta, para

maximizar el rendimiento y minimización de la razón costo-beneficio.

En suma, los objetivos de esta tesis, son:

la identificación de procesos de laminación de la fabricación de pisos vinílicos y

el planteamiento de un controlador MPC con capacidad de responder al

fenómeno de las no linealidades del sistema a nivel de simulación.

1.4 Justificación El problema planteado justifica proveer al sistema de un control moderno. En

principio tenemos la necesidad de que los productos puedan competir en el mercado

global ya que de esta manera con una reducida productividad, y con una calidad precaria,

es extremadamente difícil poder competir en mercados internacionales, de tal manera

que la propia necesidad del sistema, la propia necesidad de la empresa, es la que orienta

la razón de usar nuevos sistema de control.

De otro lado también se plantea que para mejorar la eficiencia se debe cambiar los

sistemas tradicionales WARD LEONARD por los grupos de electrónica de potencia como

fuente de poder del motor de Corriente Continua. Se prefiere el motor de Corriente

8

Continua, en razón de su capacidad de recuperación de velocidad frente a impactos de

carga lo que suele ocurrir en las primeras calandrias de los trenes de laminación. De

hecho que el cambio se justifica, por la mejora en la productividad, la eficiencia y la

calidad de los productos.

Adicionalmente podríamos aunar a esto, que la eficiencia se incrementará por el

cambio de los equipos WARD LEONARD ya que habríamos reducido o eliminado las

perdidas en el motor de corriente alterna y en el generador de corriente continua y

naturalmente que los driver a tiristores en el caso de electrónica de potencia, lograrán

que las pérdidas sean mucho menores comparadas con las maquinas que conforman un

grupo WARD LEONARD.

1.5 Propuesta de solución La propuesta de solución va acompañada del conocimiento sobre el comportamiento

del sistema y la accesibilidad a los datos de entrada y salida del sistema que permitan

caracterizar al sistema y lograr su identificación. Dichos datos deben tomarse de manera

directa durante el proceso de producción desde la armadura del motor de los interpolos

para la corriente y del taco generador para la velocidad de los rodillos.

Se propone utilizar un esquema de Control Predictivo Basado en Modelos,

considerando que una de las propiedades de este tipo de control es la de ser capaz de

realizar seguimientos de trayectoria de referencia. Esta es una alternativa de propuesta

para reemplazar los controladores PID actualmente existentes en la planta y que son de

mucha utilidad en el control de set points fijos, pero no en el caso de pretender controlar

la velocidad desde el arranque para evitar sobreintensidades eléctricas y grandes

esfuerzos mecánicos.

Para implementar el MPC, mediante el algoritmo del control escalar y el de la Matriz

Dinámica de Control se tomarán en cuenta los siguientes criterios:

El sistema no lineal será identificado mediante polinomios generalizados de

Laguerre.

En el sistema identificado, las no linealidades del sistema serán completamente

absorbidas mediante el uso de los polinomios ortogonales de Laguerre, de tal

manera que la linealidad del sistema respecto de la señal de armadura se

mantenga.

9

A partir del criterio de las ecuaciones electromecánicas de las máquinas DC, se

obtendrá un modelo de parámetros dinámicos, para representar el

comportamiento no lineal de la planta, además se propone una estrategia de

Control MPC usando un modelo de Laguerre que represente apropiadamente la

dinámica del sistema.

El controlador MPC es propuesto para lograr una “performance” óptima ante los

impactos de carga en el sistema laminador, y para realizar un eficiente seguimiento a la

función de referencia de velocidad para evitar sobretensiones en el manto de salida de la

calandria laminadora, que ocasionaría cambios de espesor no deseados.

1.6 Descripción de las técnicas de identificación de sistemas Podemos definir la identificación de sistemas como las técnicas que permiten la

obtención de modelos matemáticos capaces de representar el comportamiento de los

sistemas dinámicos a partir de mediciones realizadas durante el proceso, del cual se

obtienen las entradas o variables de control, salidas o variables controladas y

perturbaciones [1] (ver figura 1.1).

El enfoque de la identificación se puede realizar en función de la estructura del

modelo y del comportamiento físico, entre los cuales, podemos distinguir:

Black box, si el sistema no tiene una interpretación física. Un modelo que no está

basado en la aplicación de leyes fundamentales, resulta complicado y difícil de

conocer.

Grey box, si algunas partes del sistema pueden ser modelados basándose en

principios fundamentales y otros como una caja negra. Algunos de los parámetros

del modelo pueden tener una interpretación física, a este tipo de modelos también

se les conoce como “Tailor-made”, estimando solo los parámetros no conocidos.

White box, si la estructura del modelo se obtiene a partir de leyes fundamentales,

es decir que todos los parámetros tienen una interpretación física.

10

Figura 1.1: Proceso de identificación sobre un sistema para la obtención de un modelo matemático, mediante la realización de mediciones y captura de datos en el sistema.

De otro lado, un buen modelamiento [2] es aquel que tenga buena predicción y que

produzca pequeños errores cuando se le apliquen las entradas típicas del sistema bajo

estudio.

Adicionalmente en el mundo real el comportamiento y las características de los

sistemas, en la mayoría de los casos son no lineales, aunque dentro de un rango de

operación podrían ser considerados como lineales; pero ocurre que cuando se varía el

punto de operación en rangos amplios, las características predictivas con modelo

linealizado no tienen una buena respuesta. En tal sentido es necesaria la búsqueda de

modelos no lineales, que representan al sistema en todo el rango de operación de la

planta.

Los sistemas no lineales pueden ser representados mediante bloques. En estos, se

representan mediante la conexión de Sistemas Lineales Estacionarios con No

Linealidades Estáticas (saturaciones u otro tipo de no linealidades de elementos del

sistema), los modelos más estudiados han sido el modelo de Hammerstein y el Wiener

[1]. Actualmente se trabaja con modelos matemáticos tales como las series de Volterra

truncadas y el uso de polinomios ortogonales con base de espacios dimensionalmente

finitos, como se muestra en la figura 1.2.

11

Figura 1.2A: Modelos de Hammerstein y Wiener.

Figura 1.2B: Modelos de Volterra.

Figura 1.2C: Modelo de Laguerre.

La identificación usando polinomios ortogonales como los de Laguerre es una

herramienta efectiva para la aproximación de sistemas dinámicos no lineales a partir de la

12

información de los datos de entrada-salida del sistema, en este caso la tarea es

determinar el vector de peso de la base de los polinomios ortogonales.

La obtención de la ley de control, usando el modelo en estudio se realiza mediante

técnicas predictivas. Los métodos de control predictivo se basan en la idea de realizar la

formulación de un criterio de control en un tiempo dado, en términos de las predicciones

de las salidas futuras que son obtenidas del modelo de la planta del proceso a controlar.

Las estrategias de MPC se vienen usando con éxito en la industria, debido a que

permite manejar problemas de control difíciles tales como plantas con retardo, de fase no

mínima, sistemas no lineales, plantas que presentan inestabilidad en lazo abierto entre

otras aplicaciones. De otro lado una de las virtudes del MPC es que permite introducir

restricciones con cierta facilidad en las variables de entrada y salida.

13

CAPÍTULO II DESCRIPCIÓN DE LA PLANTA Y LOS PROCESOS DE LAMINACIÓN

2.1 Descripción de la planta Actualmente cada laminador está constituido por un grupo Ward-Leonard

conformado por un motor principal (DC) de 100HP de potencia, un reductor de velocidad

de 200HP, un sistema de laminación y dos unidades motorizadas para ajustar la distancia

entre los rodillos laminadores destinados en fijar el espesor del manto. El sistema, sufre

variaciones a la entrada que se traducen en impactos de carga que pueden asociarse a

una señal de ruido, de otra parte por razones de producción se debe mantener constante

la velocidad para lograr el espesor fijado.

De otro lado, el sistema de laminación es no lineal y de ecuaciones no conocidas; por

este motivo en el caso de la presente tesis se propone modelar el sistema, utilizando los

polinomios generalizados de Laguerre, por considerar que el nivel de cómputo sería poco

exigente. También porque la matemática utilizada es accesible y bastante prometedora.

En los sistemas de regulación y control de calandrias la acción principal es controlar

la velocidad. Sin embargo si la corriente de armadura alcanza valores prohibitivos; se

debe incluir un sistema secundario que actúa sobre el control principal para limitar la

corriente.

El sistema de laminación que utiliza grupo Ward-Leonard, es inherentemente lento

comparado con los sistemas conversores estáticos, pero posee gran ventaja sobre éstos

ya que puede absorber “overshoots” (que son los picos de corriente) sin reducir el límite

normal de control.

Cuando se usa el sistema de control Ward Leonard la carga mecánica es accionada

por un motor DC de excitación independiente cuya corriente de campo se mantiene

constante. La velocidad y dirección de rotación están determinadas por la magnitud y

polaridad del voltaje suministrado a los terminales de armadura.

14

Las figuras 2.1 y 2.2 muestran el sistema de laminación y la salida de las baldosas

de vinilo después de la matriz de corte.

Figura 2.1: El molino de rodillos del sistema laminador, que se utiliza para producir baldosas de vinilo.

Figura 2.2: La salida de las baldosas de vinilo, realizado en una prensa continua por una matriz de corte.

La velocidad del motor, dependiente del voltaje de armadura, está sujeto a

variaciones de acuerdo a la demanda de torque en el motor, indudablemente que esta

inherente regulación del sistema introduce incorrecciones en el control de velocidad, con

el fin de superar esta incorrección, se introduce el control de velocidad de lazo cerrado.

Motor DC Reductor de

velocidad

Faja transportadora

15

El circuito de armadura siempre es propenso a sobrecargas, pero la corriente puede

ser limitada mediante un limitador de sobre corriente e impactos de carga repentina

basada en la señal de un lazo de corriente de armadura. El error de corriente de

armadura amplificado y limitado será la referencia para el lazo de control del generador y

el error de velocidad es la referencia menos el voltaje del tacogenerador como

transductor de velocidad [3].

2.1.1 Laminadores en caliente continuos Para obtener salidas continuas de material laminado a gran velocidad, desde un

laminador caliente continuo, el manto debe ser corrido a la mayor velocidad posible en los

grupos laminadores, manteniendo constante la temperatura y tensión del manto. El

sistema de control para el impulsor de un grupo laminador y para los lazos entre grupos

debe tener una respuesta rápida, con la finalidad de reducir el efecto de caída de

velocidad por impacto. Los rodillos calientes de acero que forman parte del sistema

laminador de calandrias, dan una superficie al laminado bastante pulida y una buena

exactitud del espesor del manto, lo cual es obtenido cuando se controla la tensión del

manto entre laminadores vía un adecuado control de la aceleración. De otro lado es

oportuno decir que las operaciones de laminación motivo de esta tesis exigen muy

severas demandas en el comportamiento transitorio de las máquinas de corriente

continua. Desde que muchos de los efectos transitorios son difíciles de predecir

teóricamente, el diseñador necesita tener una alta experiencia en el área eléctrica y

mecánica, todo esto debido a la reducción de velocidad por impacto.

2.1.2 Caída de velocidad por impacto La elección del motor, el reductor y calandrias es influenciada por los impactos de

carga y la demanda de torque del manto en el proceso de laminado. Adicionalmente debe

considerarse que:

El tiempo finito para captar las variaciones de velocidad depende de la inercia de

los rodillos y del impulsor

El tiempo finito necesario para producir la corriente que el nuevo torque requiere,

depende de los parámetros del motor.

Sin sistemas de control la caída de velocidad es de 4% al 8% de la velocidad base,

recobrando el valor estacionario entre el 1.5% y el 2% a medida que la corriente

16

armadura se incrementa y el motor desarrolla un torque suficiente para sensar la carga

aplicada.

La caída por impacto produce aglomeración de manto a la entrada del grupo

laminador causando sobrecarga y en los laminadores sucesivos estiramiento del manto

entre laminador y laminador debido a las fuertes tensiones que se producen en el manto

y por ende variación en el espesor del laminado.

La caída de velocidad por impacto es expresada en porcentaje de velocidad/tiempo.

Este valor es un índice de la “desviación del sincronismo” (es decir sincronización entre el

motor y reductor).

2.1.3 Efectos de la fricción A medida que el manto pasa a través de los rodillos la temperatura aumenta por

efecto de la fricción, y debe ser regulada a un valor que permita el desmolde del material

generalmente a 65° centígrados en la superficie.

2.1.4 Rango de velocidad El rango de velocidad de operación requerido en los grupos laminadores depende de

sus características. Para laminadores de la planta en estudio es de 1:4 y 4:8.

Desde que el rango de velocidades de operación es de 1:4:8, algunos de los motores

operan con voltaje de armadura reducido.

2.1.5 Fuente principal para los laminadores En la mayoría de motores impulsores de rodillos laminadores, las tensiones de

armadura son suministradas por generadores controlados por campo.

Se acostumbra controlar el campo, mediante tiristores cuyo sistema de disparo debe

permitir una regulación de velocidad que asegure una aceleración suave y velocidad del

laminado constante.

Para ilustración del caso en estudio en la figura 2.3, se muestra el diagrama de

bloques del proceso de fabricación de pisos de vinilo de la planta industrial PISOPAK

Perú S.A.C., donde se resalta la etapa de laminación materia de identificación y

propuesta de simulación del Control Predictivo.

17

Figura 2.3: Diagrama de Bloques del proceso de producción. 2.2 Fundamento Teórico de los Sistemas de Laminación

En su trabajo “Modeling and Control of a Hot Rolling Mill” [4], Rossomando y J. Denti

Filho, muestran un control óptimo sobre una lámina que pasa a través de un rodillo

caliente, representado en el espacio de estados para la minimización de las variaciones

del espesor de la lámina. Adicionalmente, presenta los resultados de la simulación del

modelo del sistema de control, los cuales son comparados con los datos reales de la

planta aplicando técnicas tradicionales de control, en los cuales no se considera el estado

transitorio de arranque. El resultado de estas simulaciones nos da variaciones menores a

las que realmente se producen en la planta, por ello, evidencia que la simulación es una

herramienta importante para el análisis simplificado de la dinámica de los rodillos de

laminación.

Tolva de recuperación

Mezclador (Bambury)

Sistema de moteo y molino

Primera reducción calandra nº 1

Segunda reducción calandra nº 2

Impresora y laminadora final

Encerado y pulido

Corte de baldosas

Empaque

Triturador

Pisos

Retorno Scrap

Alimentación de material

Sistema de laminación

18

Su propuesta, está orientada al realizar el control del espesor de la lámina a la salida

del sistema de laminación. El esquema propuesto permite la aplicación de técnicas de

control óptimo.

Figura 2.4: Esquema de un Rolling Mill.

El proceso de laminación consiste en introducir una lámina entre dos rodillos

giratorios ocasionando una reducción en su espesor. La figura 2.4 muestra dos rodillos

giratorios y dos motores (situados en la parte superior del marco de la calandria), que

permiten el control del espesor, donde el proceso de laminación responde a un ajuste

requerido y dependiente de las perturbaciones del proceso, derivados de los cambios de

temperatura en los rodillos de laminación y de las variaciones del espesor de la lámina a

la entrada.

La figura 2.5 muestra 3 gráficos del proceso de laminación. En la primera,

observamos la fuerza del rodillo indicándose con flechas las zonas donde el material es

arrastrado por los rodillos calientes. En la segunda, podemos observar las variaciones de

temperaturas y en la tercera, la variación del espesor de la salida.

Figura 2.5: Gráficas relacionadas al proceso de producción.

19

En la temperatura de salida de la laminadora se producen zonas de disminución de

temperatura, dichas pérdidas térmicas producen un incremento proporcional en la fuerza

del rodillo y en el espesor de la lámina de salida. Siendo las variaciones de temperatura

y el espesor de la lámina de entrada, los responsables de las variaciones de la fuerza en

el rodillo que influye en el espesor de la lámina de salida.

En la figura 2.6, se muestra el sistema con el control convencional, que es un

sistema de realimentación de fuerza hacia adelante (Force Feed Forward), que está

basada en la detección de fluctuaciones de la dureza en el material cuando pasa a través

del primer tren de laminación, llevando esta información hacia el o los trenes finales. Una

vez que se ha determinado el espesor y la temperatura de trabajo en cada etapa, la

fuerza de los rodillos puede ser determinada y las variaciones de espesor detectadas, las

mismas que son usadas para hacer una corrección rápida en el último tramo.

Figura 2.6: Un ejemplo de control Feed Forward.

Las nuevas técnicas de control, tales como el control óptimo, donde el objetivo

principal es mantener la variación del espesor de salida del manto a valores cercanos a

cero, para cualquier variación de temperatura o variación del espesor en la entrada del

sistema, tal como se muestra en la figura 2.7.

Figura 2.7: Control óptimo propuesto en las dos últimas etapas.

20

Debe observarse que en el control propuesto, se mantiene el control convencional en

los primeros tramos de laminación, realizando un control óptimo o control óptimo integral,

en el tramo o tramos finales del sistema.

Figura 2.8: Comparación de la variación del espesor estaciones finales, con el control FFF, control

óptimo y óptimo integral.

Estas técnicas superan parte de las deficiencias de los conceptos del control

convencional y sus ventajas son mostradas en la figura 2.8.

2.2.1 Aplicaciones Industriales Como otra aplicación, se puede observar la propuesta de I. S. Choy (“A MPC Design

“Looper” and Tensión Control in a Strip Mill”) [5], en el control de tensión del manto con

looper roll, que permite mantener la precisión del espesor y del ancho del manto de

salida. Para controlar la tensión entre las etapas de laminado, se requiere mantener un

torque constante sobre los rodillos utilizando para ello el looper roll. El sistema del looper

roll reduce las tracciones entre etapas de laminado, además del exceso de alimentación

de una etapa sobre otra, tal como se muestra a continuación:

Figura 2.9: Valor del looper.

21

El looper entre los rodillos reduce las variaciones de tensión cambiando su ángulo y

puede hacer que el proceso opere más suavemente, incluso bajo un severo desbalance

de flujo de masa. Por lo tanto es mejor mantener la posición del looper cercana a un valor

deseado durante la operación, para así dar máxima flexibilidad y poder manejar los

cambios sorpresivos en la tensión de la lámina. La posición del looper puede ser

controlada por la velocidad del motor del rodillo o la velocidad angular del motor del

looper. Hay interacción mutua entre el ángulo del looper y la tensión del manto, lo cual

hace difícil el diseño de un controlador. La posición del looper y la tensión de la lámina

entre trenes deberían ser simultáneamente controladas para reducir efectivamente esta

interacción mutua. Existen muchas estrategias de control las cuales incluyen control

robusto, control multivariable, control óptimo, etc., que han sido propuestos y aplicados

para conseguir mejorar el rendimiento para el control de la tensión de la lámina y del

looper. El principal objetivo del diseño del controlador es reducir la interacción mutua y

rechazar rápidamente las perturbaciones. El looper se grafica en la figura 2.9.

2.2.2 Métodos de control clásico vs. método de control moderno Como es ampliamente conocido, uno de los controladores clásicos es el PID

(Proportional, Integrative and Derivative) que es la acción de una componente integral,

derivativa y proporcional al input o entrada, ha sido usado extensivamente desde hace

varias décadas. Concretamente, el favoritismo en el empleo de este tipo de control ha

sido su efectividad para controlar el set point (o valor de consigna) en procesos

industriales en las cuales son muy esporádicos las fluctuaciones o disturbios tanto

esperados como random (no esperados o impredecibles).

Como se ha discutido plenamente en la literatura ligada a sistemas de control

automático, la importancia del uso del PID es aún viva, y se desprenden opiniones

relevantes en el sentido que aún existen escenarios y territorios de exclusiva aplicabilidad

del PID en comparación con otras técnicas de control mucho más avanzadas. Sin

embargo, la industria moderna está migrando a sistemas de control robustos que sean

capaces de adelantarse y corregir preventivamente futuros eventos de colapso a través

de modelos matemáticos predictivos como el MPC, ya que los parámetros de los

sistemas no permanecen constantes.

En efecto, los controladores MPC son empleados para rechazar de modo óptimo las

perturbaciones y un seguimiento de la señal de referencia en el control de la tensión y el

22

ángulo del looper. La acción integral es incorporada para permitir la reducción del error

que se pueda producir debido a las perturbaciones [5].

La mayor dificultad en esta aplicación es plantear las restricciones en las entradas y

salidas del proceso, así como también el garantizar la estabilidad. Todas estas

especificaciones pueden ser incluidas en diseño convencional MPC, tal como el LQMPC

(que es el control óptimo aplicado al algoritmo MPC), el cual ha sido implementado para

controlar la tensión y el ángulo del looper (ver figuras 2.10 y 2.11)

Figura 2.10: Control de tensión.

Figura 2.11: Control del ángulo del looper.

El LQMPC determina un vector de ganancias de realimentación de estado óptima K,

para con ella plantear la ley de control óptima para satisfacer las restricciones y

especificaciones deseadas. Es importante resaltar que se debe identificar correctamente

las restricciones del sistema, ya que a veces el control sin restricciones dará predicciones

23

que pueden violar algunas de éstas restricciones y por lo tanto tal ley de control es

inviable.

Finalmente, para tener una idea clara de algunas diferencias entre el MPC y el PID

se listan algunas de ellas:

En el MPC se puede monitorear la trayectoria de la variable actuadora dentro de

un error de aproximación y del modelo matemático usado. En el PID, no siempre

existe una importancia en la trayectoria, ya que su objetivo es solamente

permanecer firme en el valor de consigna fija.

El MPC es versátil porque usa un modelo matemático de acuerdo al sistema, es

decir de acuerdo al tipo de proceso, el usuario tiene la libertad de usar una

metodología matemática adecuada que de alguna forma plasma los principales

elementos del problema en sí. Por ejemplo existen casos en donde se demanda el

uso de “n” parámetros y “m” variables. En otros casos de procesos, el

requerimiento podría de “n+1” parámetros y “m-1” variables. Esto no significa que

la calidad de cálculo degradaría la acción de control, sino convierte la estrategia

de control en una mucha más robusta. Por el otro lado, el PID se confía

únicamente de una derivada e integración y una función proporcional, es decir

restringe su espacio de operaciones lo que conlleva inherentemente a uno donde

el número de parámetros y variables son reducidos. Esto puede tener ventajas en

algunos sistemas del tipo SISO; sin embargo podría colapsar en aquellos casos

del tipo MIMO donde las variables demandan una sintonía fina con un error de

medición de parámetros mínimo.

El MPC se optimiza en cada unidad de tiempo lo que permite mejorar el

seguimiento de la trayectoria a través de una función de referencia, mientras que

el PID solamente fija su acción de control a permanecer en el valor de consigna

sin importar una trayectoria.

El MPC puede resolver situaciones de riesgo cuando el set point cae por debajo

de su valor nominal (fluctuaciones), y de aquí puede recuperarse porque el MPC

no está hecho únicamente para mantener un set point como si lo hace el PID.

2.2.3 Sistemas de laminación

Los sistemas de laminación o de calandrado, son sistemas mecánicos que se

componen de dos o más rodillos. La presión que se ejerce entre estos rodillos se gradúa

mecánicamente, pudiendo ser varios los rodillos involucrados en el mecanismo y

dependiendo de la configuración empleada.

24

Entre estos rodillos pasa el material que se debe laminar o cuyo espesor debe ser

reducido, para ello se puede requerir de más de una etapa de laminación, donde el

espesor del manto de material se va reduciendo etapa tras etapa. Normalmente en la

última o dos últimas etapas es donde la presión que se ejerce en los rodillos se vuelve

más rigurosa para obtener el espesor deseado. El laminado producido por las calandrias,

es un proceso de deformación volumétrica en el que se reduce el espesor inicial del

material trabajado mediante las fuerzas de compresión que ejercen dos rodillos sobre el

material de trabajo.

Los procesos de laminado se realizan en su gran mayoría en caliente para realizar la

gran deformación que debe ser ejercida sobre el material trabajado. Además,

normalmente los materiales laminados en caliente tienen propiedades isotrópicas, es

decir sus propiedades mecánicas y térmicas son las mismas en diferentes direcciones, y

además carecen de tensiones residuales, es decir tensiones que se mantienen en el

material a pesar de no ejercerse carga sobre ellas.

Respecto a los rodillos, de ellos podemos decir que normalmente por lo menos uno

debe ser metálico y éste ha de estar perfectamente alisado y pulido en su superficie, es

hueco y se calienta por algún procedimiento que puede ser eléctrico o a través de algún

fluido (gas, vapor, aceite, etc.).La finalidad de los sistemas laminadores es obtener

láminas de espesor controlado o bien modificar el aspecto superficial de una lámina. El

espesor de la lámina está dado por la distancia existente entre dos rodillos. Con el

proceso de calandrado, se producen láminas que se utilizan como materia prima para

otros procesos como producción de cauchos, alfombras, impermeables, baldosas

vinílicas, etc [6].

2.2.4 Configuraciones de sistemas de laminación Existen varias configuraciones de molinos de laminación, así como se muestra a

continuación.

25

Figura 2.12: Configuración de los sistemas de laminación.

La configuración más común de una calandria es la que está compuesta por dos

rodillos opuestos, que se conoce como molino de laminación de dos rodillos

(configuración A), pudiendo ser reversibles o no reversibles. En el molino no reversible,

al girar siempre en el mismo sentido, el material de trabajo (también denominado manto)

entra siempre por el mismo lado y en el reversible el manto puede entrar por ambos

lados, ya que los rodillos pueden girar en cualquiera de los dos sentidos [7] (ver figura

2.12).

Otras configuraciones menos empleadas son la de tres y cuatro rodillos. La

configuración de tres rodillos (configuración B) consiste en una columna vertical en la que

el sentido de giro de los rodillos no cambia y el manto puede pasar en cualquiera de los

sentidos para lograr una serie de reducciones, subiendo o bajando el material después de

cada paso. Esta configuración es tal vez la más complicada, debido a que el mecanismo

debe elevar o bajar el manto después de cada pasada.

En los molinos de cuatro rodillos (configuraciones C y D) se usan dos rodillos de

menor diámetro, denominados rodillos de trabajo, que se encargan de realizar la presión

sobre el manto. Cada uno de estos rodillos se apoya en dos rodillos de mayor diámetro,

denominados rodillos de soporte, para evitar desviaciones debidas a las grandes fuerzas

que se ejercen sobre el manto de trabajo.

En el caso de laminado de materiales rígidos es casi general la preferencia de control

de tensión con looper roll (figura 2.13A) y en el caso de laminados de materiales blandos

como el caso de los pisos de vinil se prefiere un control de tensión con potenciómetro

(figura 2.13B). Ambos esquemas se muestra en las siguientes figuras:

26

Figura 2.13A: Control de tensión con looper roll.

Figura 2.13B: Control de tensión con potenciómetro.

En el caso de laminados de materiales blandos, como es el caso que se desarrollara

en esta tesis, lo aplicaremos a una de las etapas del proceso de fabricación de los pisos

de vinilo que es el sistema de laminación o calandrado, donde se emplea control de

tensión con potenciómetro, cuyo principio de funcionamiento está basado en medir el

loop que se debe producir entre etapas de laminado.

2.2.5 Fuerza de separación entre los rodillos laminadores Los valores de las fuerzas de separación en los sistemas laminadores de rodillos

calientes suelen ser muy altas por ejemplo de cinco mil toneladas, estas fuerzas

dependen de la temperatura del proceso y del material de trabajo de los pisos vinílicos,

como las resinas, carbonatos y pigmentos previamente procesados en un mezclador

intensivo y tratado en un molino pre laminador.

Además estas fuerzas de separación producen dos efectos muy importantes

denominados elongación elástica hacia adentro y el alargamiento de rodillos.

27

Los fenómenos principales sobre los procesos de laminación son:

La deformación hacia adentro que a título de ilustración la figura 2.14 muestra la

gráfica de la deflexión y las fuerzas de separación.

El otro fenómeno en los rodillos es el alargamiento, de ligeramente ovoides se

hacen rectos.

Figura 2.14: Deflexión en el centro de los rodillos en función del esfuerzo de separación entre los rodillos.

En la figura 2.14 se observa como una carga de mil doscientas toneladas origina una

deflexión en el centro de los rodillos de 0.150 pulgadas, esta evaluación resulta

considerando los rodillos como si fueran vigas empotradas en cada extremo y

uniformemente cargadas sobre el ancho del manto de trabajo [6]. Una forma aproximada

para expresar la deformación hacia adentro (e) puede ser la siguiente expresión

empírica muy definida en los grupos de estudiosos de laminación.

3 2

2 2

2 2 2 2

244

2 BP 4L - 2B LΔe =

4D d 5P BL( D + d )3πE + + +dD D + d 2πE D +d

(2.1)

Dónde: B : Ancho del manto laminado

L : Longitud del rodillo

D : Diámetro en el extremo del rodillo

0 30 60 90 120 150

1600

1200

800

400 Esfu

erzo

de

sepa

raci

ón d

e lo

s ro

dillo

s (to

nela

das)

Deflexión en 10-3pulg

28

d : Diámetro en el centro del rodillo

P : Fuerza de separación por unidad de área del manto

E : Módulo de Young

En la figura 2.15 se ilustra la acción de un laminador que opera con manto de

entrada de espesor H y espesor de salida h. Como se aprecia el rodillo en todo tiempo

tiene contacto con una porción de circunferencia sobre el manto y sobre el cual se

desarrollan las fuerzas S de oposición y Tx de avance. Además se muestra el paso del

material entre los dos rodillos.

a R

h

H

Tx Tx+dx

x

x+dx

S

S

arco de contacto

h)R(H

Plano de entrada

Plano neutral

Plano de salida

Esfuerzo vertical

Esfuerzo horizontal

Figura 2.15: Acción del laminador con manto de entrada de espesor H y espesor de salida h.

Si seccionamos el manto en dos segmentos verticales, a medida que cada segmento

pasa entre los rodillos estos son comprimidos verticalmente y se expanden en la

dirección del movimiento de los rodillos, debido a la expansión los segmentos tienden a

estrecharse a la salida de la superficie del laminador, cerca del plano de entrada los

segmentos son comprimidos de atrás hacia adelante y cerca del plano de salida de

adelante hacia atrás, próximo a la mitad del arco de contacto existe un plano neutro

donde se produce un cambio de dirección de la fuerza horizontal (ver figura 2.15).

El coeficiente de fricción y Tx están relacionados con la siguiente ecuación:

dTx = 2S ( tan θ ± μ )dx

(2.2)

29

Dónde:

: Es el coeficiente de fricción del manto con el rodillo.

S : Es la fuerza de oposición al manto.

Tx : Es la fuerza de avance del manto.

Una manera práctica de obtener el torque de laminación es aplicar el método

denominado “brazo de palanca” cuyo principio se muestra en la figura 2.16; en el cual el

torque de laminación (TL) puede ser expresado en términos de la fuerza F de separación

de los rodillos actuando sobre un brazo de palanca, el cual es una fracción m del arco de

contacto, luego el Torque de laminación es:

L = 2Fm R (H- h)T (2.3)

En este caso: F : Es la fuerza de separación de los rodillos

m : Fracción del arco en contacto

R : Radio del rodillo

H : Espesor del manto a la entrada

h : Espesor del manto a la salida

La fuerza de separación (F) y el torque de laminación (TL) se fundamentan en que la

cantidad de energía requerida para una reducción determinada (H/h) es siempre la

misma, pero para una temperatura y velocidad conocidas y constantes para un manto.[6]

Figura 2.16: Ilustración del método “Brazo de Palanca”.

30

La energía por tonelada (et), requerida para un efecto de reducción se puede

aproximar a la siguiente expresión:

t

1.58 FmR (H h)eBh r (1 f)

(2.4)

Dónde: f : Es el factor de deslizamiento

B : Ancho del manto

R : Radio del rodillo

r : (H – h)/h

m : Arco del rodillo en contacto con el manto.

El factor f se da en términos de la fuerza de laminación y por lo tanto su valor varía

con la temperatura, el criterio presentado es aplicable a un simple laminador, pero

también puede ser expandido a múltiples etapas laminadoras.

En la figura 2.17 se ilustra el caso de un tren laminador de 6 etapas en términos de

potencia acumulativa. A partir de la potencia y conociendo la velocidad angular (w) del

rodillo obtenemos:

tL

e T w

(2.5)

LTF2m R(H h)

(2.6)

La temperatura del material es un factor muy importante en el cálculo de la fuerza de

laminación, ya que durante este proceso el calor se pierde por radiación, convección y

por contacto con el rodillo frio.

Además todas las relaciones de temperatura son dependientes de la velocidad,

donde su cálculo es directamente comparado con la fuerza de separación de los rodillos

(F), torque de laminación (TL) y la temperatura del manto [6].

31

Figura 2.17: Potencia acumulativa de laminación H/h.

2.2.6 Módulo de elasticidad o módulo de Young (E) El módulo de elasticidad o módulo de Young es un parámetro que caracteriza el

comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una

fuerza. Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo

valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente

del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es

siempre mayor que cero. Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico

inglés Thomas Young.

Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos

materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite

elástico, puede encontrarse empíricamente con base al ensayo de tracción del material.

También podría decirse que el módulo de elasticidad o módulo de Young es una

medida de la rigidez del material y corresponde a la pendiente de la recta inicial de la

curva esfuerzo-deformación, donde se hace posible aplicar la ley de Hooke. Mientras

mayor es el valor de dicha pendiente, más rígido es el material y menor será la

deformación elástica total.

32

Figura 2.18: Curva de sigma versus épsilon donde se extrae el llamado Módulo de Young.

Dónde:

: Es el esfuerzo

: Es la deformación

El módulo de Young es la tangente en cada punto del diagrama esfuerzo-

deformación.

33

CAPÍTULO III ANTECEDENTES

3.1 Aportes de los Polinomios de Laguerre dentro de la identificación de sistemas 3.1.1 Aportes de Wahlberg Bo

Los trabajos desarrollados por el autor generalmente han estado asociados con

temas de identificación y particularmente dentro de los diversos trabajos que desarrolla

hace uso de los modelos de Laguerre, utiliza las funciones de transferencia y modelos de

ruido en el llamado operador de retraso para a partir de ellos obtener modelos predictivos

de los parámetros que llevan a aproximaciones de muy alto orden en casos por ejemplo

de muestreo rápido y/o dispersión en las constantes de tiempo.

El uso de una información a priori acerca de las constantes de tiempo del sistema,

son relacionados con los modelos de Laguerre, los diversos trabajos revisados muestran

por ejemplo que el orden del modelo puede ser reducido significativamente, para el caso

de los modelos ARX, usando modelos de Laguerre. Aún más la precisión numérica del

correspondiente problema de estimación de regresión lineal es mejorado por una elección

apropiada del parámetro de Laguerre [8]. En los siguientes puntos a manera de

información mostramos un resumen de los diversos sustentos matemáticos que usa el

autor para presentar sus trabajos.

3.1.2 Aportes de Abhishek Soni Durante muchas décadas ha existido la necesidad de desarrollar nuevas técnicas de

control en los sistemas no lineales industriales. Abishek Soni muestra un estudio sobre la

identificación de sistemas no lineales usando modelos de Volterra y Volterra-Laguerre

desde los datos de un proceso input-output. La ventaja que se ha encontrado en los

modelos empíricos es que su estructura puede ser escogida con el fin de facilitar el

problema de diseño del controlador. Abishek Soni halló hasta dos importantes variables

que deben ser seleccionados para la proyección de las bases de Laguerre:

El polo de Laguerre.

El número de filtros o funciones de Laguerre.

34

El autor ha desarrollado un profundo estudio de los filtros discretos de Laguerre como

una base ortogonal apuntando la identificación de sistemas en general. Por otro lado, la

determinación de los parámetros estimados en los modelos son obtenidos, mediante dos

métodos, off-line y on-line para el cálculo del polo de Laguerre. En las Técnicas de

Identificación de Sistemas No-lineales, es conocido el uso de las funcionales de Volterra

mediante series de aproximación. Dichas aproximaciones tienen dificultades en la

parametrización de los kernels de Volterra, por lo puede requerir un gran número de

parámetros para modelos superiores a los de segundo orden.

Es por ello que el principal aporte del Abiskek Soni ha sido el de reformular la

identificación del sistema a través de la construcción de un modelo híbrido que permite

reducir el número de parámetros sustancialmente. En esencia, el autor propone la

proyección de los kernels en un espacio de funciones ortogonales de Laguerre [9].

La determinación de los parámetros estimados en los modelos son obtenidos,

mediante dos métodos off-line y on-line para el cálculo del polo de Laguerre.

3.1.3 Aportes de Back and Tsoi El aporte fundamental de Back y Tsoi ha sido el de incorporar funciones de Laguerre

como kernels dentro de una propuesta de identificación no lineal. En efecto, en sus

estudios, los autores han demostrado que la identificación de modelos no lineales de

hasta tercer orden de expansión, en una formulación de series de Volterra, esta ha sido

muy precisa, usando funciones de Laguerre subsecuentemente después de realizar una

proyección multidimensional de los kernels de Volterra en un espacio constituido por

funciones de Laguerre. [10]

El uso de este tipo de familias de funciones ortonormales ha traído como

consecuencia la construcción de algoritmos robustos y que han mostrado sustancial

eficacia cuando se ha confrontado problemas de identificación puramente no lineal.

3.2 Aportes de los Polinomios de Laguerre dentro del control de sistemas 3.2.1 Aportes de Dumont y Kovac

Quizás uno de los aportes más evidentes de la teoría de control conteniendo a los

polinomios de Laguerre ha sido la presentada por Guy Dumont et.al. En sus trabajos se

observan aplicaciones industriales usando las metodologías compuestas por las

funciones de Laguerre.

35

Entre sus contribuciones, destaca aquella que apuntó a controlar la presión de vapor

de agua dentro de una planta de preparación de insumos químicos destinado a la

fabricación de papel de alta calidad. El control de calidad en la producción de papel, debe

contemplar que el producto final o sea el papel, contenga un brillo óptimo para ser usado

como papel en impresiones de alta calidad. [11]

Dumont et.al. realizaron una identificación del sistema usando los polinomios

ortogonales de Laguerre a la que luego lo incorporaron en un análisis y posterior

construcción del control predictivo. La implementación en la planta trajo como resultado la

disminución de pérdidas, es decir redujeron notablemente la razón costo-beneficio lo que

motivó seguir en las investigaciones la de incorporar a las funciones de Laguerre como

parte de una metodología de identificación y consecuentemente, el control del sistema.

3.2.2 Aportes de Haitao Zhang En sus investigaciones, Haitao Zhang ha reportado un extensivo estudio del uso de

los polinomios ortogonales de Laguerre y su posterior implementación dentro de una

planta destinada al control del nivel del agua en dos tanques trabajando en paralelo.

Como se menciona en uno de sus trabajos, el uso de los polinomios de Laguerre ha

servido para identificar el sistema sin complicaciones computacionales el cual podría

haberse realizado con simples polinomios pero con una cantidad enorme de parámetros

[12]. Es precisamente esta simplificación computacional que provee ventajas para

analizar otras propiedades en paralelo sin perder precisión en los cálculos de

importancia.

3.2.3 Aportes de Sanaz Mahmoodi

El autor atacó los problemas de naturaleza química que aparecen en los procesos de

neutralización de pH. Básicamente, se construyó un algoritmo secuencial cuadrático con

el fin de implementar un control no lineal basado en los polinomios ortogonales de

Laguerre en conjunción con aquellos polinomios de Wiener. Un punto importante que se

rescata de este análisis, es que los estudios de identificación y control de la planta se

llevaron a cabo con un alto número de muestras por encima de los 1000. [13]

Esto nos lleva a concluir, que no solamente una aceptable identificación de un

sistema no lineal bastaría con el uso de los polinomios de Laguerre, sino también el que

se contemple una cantidad bastante aceptable de muestras, lo que garantizaría una

extracción eficiente de los coeficientes o parámetros del sistema.

36

CAPÍTULO IV EL FORMALISMO MATEMÁTICO DE LOS POLINOMIOS ORTOGONALES

4.1 Justificación del uso de los Polinomios Ortogonales Dentro de la Ingeniería de Control y la Identificación de Sistemas, a menudo se

necesita implementar un sistema de control robusto que sea capaz de operar sin

complicaciones de cálculo (on-line) y que sea preciso en sus resultados. Es por ello que

el método basado en los polinomios ortogonales reduciría sustancialmente los algoritmos

llevando a minimizar el tiempo de cálculo y haciendo efectivo la interface software

hardware.

Figura 4.1: Representación esquemática del uso de los polinomios ortogonales. Se observa que la gráfica Y(s) versus X(s) se torna cada vez más aproximada a una salida real si se emplea una

mayor cantidad de polinomios ortogonales, extraídos a partir de expandir H(s).

( ) ( ) ( )Y s H s X s

1( ) ( )

M

K KK

H s C s

1 1( ) ( ) ( )Y s C s X s

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s C s C s C s X s

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s C s C s C s C s C s X s

37

4.1.1 Definiciones básicas Las funciones reales, continúas y derivables de ℛ → ℛ cuyo cuadrado integrable

junto con una función de peso W(x), existe y es finito dentro un rango [a, b] satisface la

ecuación:

∫ |푓(푥)| 푤(푥)푑푥 < ∞ (4.1)

Producto Interno: El producto interno de f(x) con otra función real g(x) y usando

una función de peso푤(푥)se define como la integral dentro de un rango [a, b] de

Ortogonalidad como:

< 푓,푔 >= ∫ 푓(푥)푔(푥)푤(푥)푑푥 (4.2)

Se suele llamar producto interno normalizado si < 푓,푔 >=훿 , donde훿 es el delta

de Kronecker. El producto interno también puede visualizarse con funciones o

estados que pertenecen al espacio de Hilbert. Por ejemplo, sea la integral de

A(x) y B(x)

퐴(푥)퐵(푥)푑푥 = 퐶 Φ (푥)퐶 Φ (푥)푑푥 = 퐶 퐶 Φ (푥)Φ (푥)푑푥

∫퐴(푥)퐵(푥)푑푥 = ∑|퐶 | (4.3)

Si estas funciones se expanden en polinomios ortogonales entonces la

integración de Φ (푥)Φ (푥) resulta ser 훿 = 1 si 푗 = 푘,

Norma: A partir de la definición de producto interno, la norma para la función f(x)

se define como:

‖풇(풙)‖ = ⟨푓, 푓⟩ = ∫ 푓(푥)푓(푥)푤(푥)푑푥 (4.4)

Notar que lo acompañamos con una función de peso 푤(푥).

Ortonormalidad: Una función ortonormal gi(x) es definida por:

∫ 푔 (푥)푔 (푥)푑푥 = 훿 = 0푖 ≠ 푗1푖 = 푗 (4.5)

Donde 훿 es el delta de Kronecker.

38

Esta misma situación puede observarse en la definición anterior que hace uso de

los estados de Hilbert,

(푓⨂푔) = 1 ⇔ 푓 = 푔0 ⟺ 푓 ≠ 푔 (4.6)

Donde ⨂denota el operador del producto de estados de Hilbert.

Convergencia: Obtener una función ortonormal convergente 휓 (푡) , con

representación exponencial compleja, reduce el problema porque se puede

estimar como una combinación lineal de funciones exponenciales {푒 ;푘 =

1, 2, … ,푛}. En tal sentido definiremos 휓 (푡) como:

휓 (푡) = ∑ 푣 푒 (4.7)

Donde los términos 푣 son constantes. De otro lado, si definimos una adecuada

función de peso 푤(푥) = (훼푥) 푒 fijando [a, b]=[0,∞] y normalizando la

integral, tendremos:

∫ (푥) (푥)푤(푥) 푑푥 = 훿 0푖 ≠ 푗1푖 = 푗 (4.6)

Estas funciones forman una base ortonormal completa en el espacio de

Lebesgue 퐿 [0,∞ >.Además un sistema de funciones en el intervalo 0 ≤ 푡 < ∞

está completo si cada elemento de la función continua 푓(푡), para la cual la

integral ∫ 푓 (푡)푑푡 existe, entonces, esta puede ser aproximada de modo

convergente mediante una combinación lineal de funciones [12].

4.2 Teoremas que sustentan el uso de funciones ortonormales En general todos los sistemas dinámicos tienen comportamiento no lineal, aunque

siempre es posible aproximarlos a un modelo lineal. Para los cuales se conocen métodos

con los que es posible obtener con cierta flexibilidad, el modelo físico de dichos sistemas,

pero en los no lineales la obtención del modelo no es sencilla. En muchos casos solo se

hacen ciertas predicciones de acuerdo a su funcionamiento. Otra posibilidad de obtener

modelos de sistemas no lineales es mediante el uso de los polinomios de aproximación y

para resolver el problema de la no linealidad, se pueden usar los polinomios ortogonales

39

tales como Laguerre, Chebyshev, Hermite, etc. El beneficio de los modelos ortogonales

se observa cuando se aplican los algoritmos de optimización de la identificación con los

mínimos cuadrados (LMS).

En esta tesis, mediante los polinomios generalizados de Laguerre se describe el

comportamiento de un sistema no lineal lo cual requiere el uso de señales de entradas

especiales que exciten al sistema en todos sus modos para asegurar una adecuada

identificación. Algunos modelos muy usados para representar un sistema no lineal son:

Modelo de Estados: Definido por

[푥(푡)] = 풇[푡, 푥(푡),푢 (푡)],∀푡 ≥ 0(4.8)

Dónde:

푥(푡) : Representa la matriz de estados del sistema

푥(푡) : Es referido como el estado del sistema en el tiempo t,

풇

: Es el operador que asocia a los valores de t, x(t) y u(t) relativo a su

correspondiente vector n dimensional.

t : Denota el tiempo.

푢 (푡) : Es un vector m dimensional real.

Polinomios de aproximación: Un sistema no lineal conforme a la teoría de aproximación puede ser modelado

por una suma de potencias crecientes de la señal de entrada 푥(푛),en general las

potencias positivas de 푥(푛) es decir como 푦(푛) = ∑ 푥 (푛),푥(푛) y 푦(푛)

representan las señales de entrada y salida respectivamente.

Para un sistema lineal causal de primer orden, la señal de salida 푦(푛) puede ser

expandida como una combinación lineal de 푀 memorias de las señales de

entrada 푥(푛)como ∑ 퐶(푘)푥(푛 − 푘), donde los 퐶(푘) son los coeficientes del

filtro que representan al sistema causal lineal [14]. En general los sistemas

donde 푦(푛) = ∑ 푥 (푛),se fundamentan en el Teorema de Weierstrass. Un

caso particular es cuando 푥(푛) es ruido gaussiano blanco, las propiedades

estadísticas de 푥(푛) pueden caracterizarse por su media y varianza iguales a 0 y

1 respectivamente.

40

Teorema de Weirstrass El teorema de Weirstrass caracteriza al conjunto de las funciones continuas

sobre un intervalo compacto vía aproximación uniforme por polinomios

algebraicos. Este teorema constituye el primer resultado significativo en la teoría

de aproximación de una variable real y juega un papel muy importante en el

desarrollo de la teoría de aproximación [15].

Por el otro lado toda función continua sobre un intervalo [a, b]휖ℝ, puede ser

aproximada uniformemente por una serie de polinomios, o en tal caso los

polinomios constituyen una familia uniforme de C[a, b] . Entonces, pareciera

evidente que para aproximar una función por polinomios, se puede usar los

polinomios de interpolación, sin embargo se sabe que los polinomios de

interpolación de una función no convergen.

Enunciado del teorema: Dado 퐟: [퐚,퐛] ⟶ℝ continuo y un arbitrario 훆 > 0,

existe una familia de polinomios p(x) tal que|퐟(퐱)−퐩(퐱)| < 휀∀푥 ∈ [푎, 푏] .

Una de las más útiles y bien conocidas clases de funciones reales de variable

real son los polinomios algebraicos, es decir las funciones de la forma:

푝(푥) = 푎 푥 + … + 푎 푥 + 푎 (4.9)

Donde n es un entero no negativo y 푎 , 푎 , …..,푎 son constantes reales (pero

que en general podrían ser también complejas). Los polinomios se pueden

evaluar fácilmente, también se puede hallar la derivada y la integral indefinida

de un polinomio y el resultado es de nuevo un polinomio, tienen además la

propiedad, como lo demostró Karl Weierstrass (1815-1897) en su famoso

teorema, que se pueden aproximar mediante funciones continuas en un intervalo

[a, b] bien definido. Por todas estas razones, la idea de la teoría de aproximación

es hacer aproximaciones de funciones generales con funciones sencillas y

fáciles de calcular, como lo requiere por ejemplo la necesidad y aplicabilidad de

los esquemas y metodologías avanzadas de la ingeniería.

Del teorema de aproximación de Weierstrass se define una función f continua en

un intervalo [a, b], para un> 0, entonces existe un polinomio p(x) tal que:

|푓(푥) − 푝(푥)| < 휀,∀푥 ∈ [푎, 푏](4.10)

41

Este resultado fue probado con los polinomios de Bernstein, para lo cual por

simplificación se asume que [a,b] = [0,1]; entonces con un apropiado cambio de

variable siempre se definen los polinomios de Bernstein como [16]:

퐵 (푥) = 푛푘 푓 푘

푛 푥 (1− 푥) ,0 ≤ 푥 ≤ 1(4.11)

Si f es acotada en [0,1], entonces se puede ver que el límite aplicado a B(x) en

cada punto x resulta ser la función f(x). Si f es continua en todo x [0, 1],

entonces la convergencia de p(x) a f es uniforme en [0,1].

Figura 4.2: Representación gráfica de la relación entre el polinomio de aproximación P(x)

dentro del rango infinitesimal de la función f(x) contenida entre a y b, como sugiere el teorema de Weiertrass

Así pues, dentro de una banda de ancho 2 alrededor de f siempre podemos

hallar un polinomio p(x) como se muestra en la figura 4.2.

Más aún, los polinomios de Bernstein imitan muy bien el comportamiento de la

función f, por ejemplo, si f es k veces continuamente diferenciable en [0,1],

entonces:

푚푎푥 푓( )(푥)− 퐵( )(푥) → 0 ⇔ 푛 → ∞(4.12)

Caso de los polinomios ortogonales: El uso adecuado de los polinomios ortogonales se basa en la postulación del

teorema de Riesz-Fischer. En esencia este teorema trata de funciones

ortonormales en el sentido del producto interno, tal que ∬푓( )푔( ) = 훿 .

42

El teorema postula que la existencia de un conjunto ortonormal de funciones

puede constituir una base para expresar una función bajo ciertas restricciones.

Enunciado del Teorema: Se define una secuencia ortonormal {Ψ } si

cumple ∬Ψ ,Ψ g( ) = δ ó < Ψ ,Ψ >= δ , donde δ es la función delta de

Kroenecker; y el conjunto {Ψ }se dice que es completo si para cada Y ∈ L [0,∞)

puede ser expandida como Y = ∑ ⟨y, Ψ ⟩Ψ , Luego para cualquier real ε > 0

existirá un N entero positivo tal que:

푌 − ⟨푦,훹⟩훹 < 휀

Ahora si {Ψ } tiene las características mencionadas, entonces podemos definir

una secuencia{C }de números reales tal que ∑ |C | converge, entonces allí

existe un único Y ∈ L [0,∞)de modo que C =< 푌,Ψ > y consecuentementeY =

∑ C Ψ en el sentido de convergencia enL [0,∞).[17]

a) Polinomios de aproximación convergentes: Como regla general los

polinomios de aproximación convergentes ortogonales [15] satisfacen

ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden que siempre pueden

ser interpretadas como ecuaciones de valores y funciones propias. A

continuación se detallan las definiciones básicas aplicables a las funciones

ortogonales:

Definición 1: Un sistema de funciones reales f (x) con (n=0, 1, 2,3...) se

dice ortogonal respecto a la función peso w(x) en el intervalo

[a, b] si ∫ f (x)f (x)w(x)dx = αδ ∀m ≠ n, (4.13)

Definición 2: Dado dos polinomios p(x) y q(x) se dice que son

ortogonales, respecto a la función peso w(x) en [a, b] si es <p(x),q(x)>=0

Definición 3: La familia de polinomios pn(x), donde n representa el grado

del polinomio, se llama familia o conjunto de polinomios ortogonales

respecto a w(x) en [a, b], si <pn, pm>=0 para m ≠ n, y se dice que la familia

de los pn(x) es ortonormal respecto a w(x) cuando:

43

⟨푝 ,푝 ⟩ = 훿 = 0푠푖푛 ≠ 푚1푠푖푛 = 푚 (4.14)

b) Otras Definiciones de los Polinomios Ortogonales: La aplicación de la

Teoría de Polinomios Ortogonales es relativamente reciente y podemos

decir que el momento más alto de su formalización matemática lo hallamos

en el libro de G.Szegö en el año 1939 [18],donde se desarrolla toda la

teoría de aproximación a partir de la noción de ortogonalidad.

De otro lado la expansión de funciones en una base de polinomios como

la serie de Taylor por ejemplo no es en absoluto la única posibilidad.

Existen muchas formas de expandir una función en polinomios, y la

selección de una expansión adecuada dependerá básicamente del

problema físico a representar. Una de las propiedades más importantes se

expresa con el Teorema de unicidad.

Teorema de unicidad. Si {pn(x)} / nN y {qn(x)} / nN son dos conjuntos

de polinomios ortogonales que satisfacen la misma relación de

ortogonalidad en [a, b], entonces son iguales. Es decir, si:

∫ p∗ (x)p (x)W(x)dx = ∫ q∗ (x)q (x)w(x)dx →p (x) = q (x) (4.15)

Donde w(x) es la función de peso.

4.3 Ecuación diferencial para los Polinomios Ortogonales La ecuación diferencial de segundo orden cuya solución son los polinomios

ortogonales tiene la forma:

푔 (푥) ( ) + 푔 (푥) ( ) + 훼 푝 (푥) = 0 (4.16)

Dónde: 푔 (푥) : polinomios de grado 2

푔 (푥) : polinomios de grado 1

훼 : constante

푝 (푥) : polinomio ortogonal

44

A continuación se muestra en la Tabla 4.1 los principales polinomios ortogonales con

sus respectivas funciones de peso w(x), ℎ y 푃

Tabla de las Funciones Ortogonales y sus Propiedades Nomenclatura Nombre a b w(x) 풉풏 푷풏

푃 (x) Legendre −1 1 1 2

√2푛 + 1

푇 (x) Chebyshev 1E −1 1 1

√1− 푥

휋2

휋

푈 (x) Chebyshev 2E −1 1 1− 푥 휋2

퐻 (x) Hermite −∞ ∞ 푒 2 푛! √휋

퐿 (푥) Laguerre 0 ∞ 푒 1

퐿 (푥) Laguerre

Generalizados. 0 ∞

푥 푒 con

훼 > −1 Γ(푛 + 훼 + 1)

푛!

푃 (푥) Jacobi −1 1 (1 − 푥) (1

+ 푥)

ℎ = x

Γ(푛 + 훼 + 1)Γ(푛 + 훽 + 1)푛! Γ(푛 + 훼 + 훽 + 1)

Con훼 > −1 y 훽 > −1

Tabla 4.1: Propiedades genéricas de los polinomios ortogonales, 풉풏 indica la norma de polinomio

de grado n. Notar que 횪 es la función Gamma.

En general todos los polinomios ortogonales {푝 (푥)} pueden ser obtenidos usando la

fórmula de Rodrígues generalizada:

풑풏(풙) = ( ) (푤(푥)푞 (푥)) (4.17)

Donde 푤(푥), 푞(푥) y μn vienen especificados en la Tabla 4.2 para diversos polinomios

ortogonales.

Relación de Recurrencia: También se pueden formular, los polinomios

ortogonales usando la relación de recurrencia:

푝 (푥) = (푎 + 푥푏 )푝 (푥) − 푐 푝 (푥) (4.18)

Función Generatriz Generalizada: Para todos los polinomios ortogonales se

define una función generatriz G(x, t) [16], de tal manera que cada uno de los

45

polinomios ortogonales {p (x)} será proporcional al coeficiente de t del

desarrollo en series de Taylor, en potencias de t alrededor del punto x=0, esta

función generatriz que constituye una forma alternativa de definir los polinomios

ortogonales viene expresada por la serie G(x, t) = ∑ C p (x)t con

C constante.

Polinomio 흁풏 풘(풙) 풒(풙)

푃 2 푛! 1 1 − 푥

푇 (−1)

√휋2 Γ(푛 +

12

) 1

√1− 푥 1 − 푥

푈 (−1)

(푛 + 1)√휋2 Γ(푛 +

32

) 1− 푥 1 − 푥

퐻 (−1) 푒 1

퐿 푛! 푒 x

퐿 푛! 푥 푒 x

Tabla 4.2: Propiedades genéricas de los polinomios ortogonales, w(x) indica el peso asociado al

polinomio de grado n. Notar que 횪 es la función Gamma.

Polinomio 풏 = ퟎ 풏 = ퟏ 풏 = ퟐ 풏 = ퟑ

푃 1 푥 12 (3푥 − 1)

12 (5푥 − 3푥)

푇 1 푥 2푥 − 1 4푥 − 3푥

푈 1 2푥 4푥 − 1 8푥 − 4푥

퐻 1 2푥 4푥 − 2 8푥 − 12푥

퐿 1 1 − 푥 12푥 − 2푥 + 1 −

16 (푥 − 9푥 + 18푥 − 6)

퐿 1 −푥 + 푎 + 1

12푥 − 2(푎 + 2)푥

+12

(푎 + 1)(푎 + 2)

−16푥 + (푎 + 3)

12푥 −

12

(푎 + 2)(푎 + 3)푥

+16

(푎 + 1)(푎 + 2)(푎 + 3)

Tabla 4.3: Propiedades genéricas de los polinomios ortogonales. Se indica la forma explícita de los polinomios hasta el orden 3.

46

Polinomio 풂풏 풃풏 풄풏

푃 0 2푛 + 1푛 + 1

푛

푛 + 1

푇 0 2 1

푈 0 2 1

퐻 0 2 2푛

퐿 2푛 + 1푛 + 1

−1

푛 + 1

푛푛 + 1

퐿 2푛 + 1 + 훼푛 + 1 −

1푛 + 1

푛 + 훼푛 + 1

Tabla 4.4: Propiedades genéricas de los polinomios ortogonales, 풃풏 indica los coeficientes

asociados a su expansión polinomial.

Polinomio 푪풏 푮(풙, 풕)

푃 1 1

√1− 2푥푡+ 푡

푇 2 1 − 푡1− 2푥푡+ 푡

+ 1

푈 1 1

1− 2푥푡 + 푡

퐻 1푛! 푒

퐻 1

(2푛)! cos(2푥푡)푒

퐻 1

(2푛 + 1)! sen(2푥푡)푒

퐿 1 1

1− 푡푒

퐿 1 1

(1− 푡) 푒

Tabla 4.5: Propiedades genéricas de los polinomios ortogonales, G(x, t) indica la función

generatriz.

Polinomio 품ퟐ(풙) 품ퟏ(풙) 휶풏

푃 1− 푥 −2푥 푛(푛 + 1)

푇 1− 푥 −푥 푛

푈 1− 푥 −2푥 푛(푛 + 1)

퐻 1 −2푥 2푛

퐿 푥 1 − 푥 푛

퐿 푥 1− 푥 + 훼 푛

퐿 1− 푥 훽 − 훼 − 푥(2 + 훼 + 훽) 푛(푛 + 훼 + 훽 + 1)

Tabla 4.6: Propiedades genéricas de los polinomios ortogonales indicando algunas de sus

propiedades de sus generatrices.

47

CAPITULO V CONEXIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LAGUERRE CON ESTUDIOS DENTRO

DE LA INGENIERIA DE CONTROL

5.1 Aplicación de los Polinomios de Laguerre en la identificación de sistemas En general, una de las acciones más representativas dentro de la ingeniería de

control es la identificación de un sistema mediante la adquisición de datos. Esta

adquisición es considerada como una de las acciones cruciales dentro de la ingeniería en

el sentido que a partir de una buena base de datos, es posible realizar una metodología

que conlleve a identificar y/o validar un modelo propuesto.

Por ejemplo, sea {Dq} un conjunto de datos discretos extraídos a partir de un proceso

de una planta, entonces es posible buscar un modelo que conlleve a describir

aproximadamente el comportamiento del sistema.

Una primera aproximación es sin duda, una expansión de polinomios, que en la

práctica, esta metodología traería como resultado que el modelo pueda tener una

cantidad significativa de parámetros lo que es un inconveniente para subsecuentes

implementaciones software-hardware en la planta. Esto se muestra en la figura 5.1A

Los polinomios ortogonales y en particular las funciones de Laguerre entran como un

formalismo que permitirá reducir el número de parámetros, lo que es relevante para

optimizar la funcionalidad de los algoritmos.

En efecto, en la figura 5.1B se muestra que la respuesta de un sistema que usa el

controlador MPC y que muestran los parámetros obtenidos y que va con el error

cuadrático, constituyen una función objetivo desde la cual se debe calcular los valores

óptimos de los esfuerzos de control ∆u.

48

Figura 5.1A: Esquema de conexión de los polinomios de Laguerre y los objetivos de esta tesis. Se muestra el uso de los polinomios de Laguerre y la identificación del sistema.

Figura 5.1B: Se muestra el MPC que usa el modelo con los polinomios de Laguerre para predicción de las futuras salidas a partir de la minimización de la función de costo J(u). En esta tesis usamos en MPC para el control de la velocidad y la corriente de armadura en la fabricación

de vinil.

49

Relación de los Polinomios de Laguerre con la Identificación de Sistemas Un trabajo relevante de Lecchini y Gevers [19] fue la obtención de una expresión

explícita para la identificación de sistemas cuyo comportamiento se puede representar

mediante las funciones de Laguerre, a partir de respuestas a señales de entrada tipo

escalón. Ellos modelaron la planta usando la siguiente relación.

푦(푧, 푐) = ∑ 푐 퐿 (푧,푎)푥(푧) (5.1)

Donde x(z), y(z, c) denotan el input y output respectivamente, mientras que c , L

denotan los parámetros de identificación y los polinomios de Laguerre, respectivamente.

El término “a” corresponde al polo de Laguerre. En este planteamiento es el parámetro c

el cual debe ser ajustado de acuerdo a los datos de la planta; matemáticamente

hablando, este ajuste debe ser tal que su función de costo asociada presente un mínimo

al conjunto{c } elegido.

Polinomios de Laguerre aplicados a Modelos para controlar Plantas Industriales Kovac y Dumont [11] implementaron un sistema de control predictivo y adaptivo con

el objetivo de controlar la presión del vapor creado en la preparación de insumos para la

fabricación de papel con un determinado brillo. Ellos usaron de manera exitosa la

representación en el tiempo del sistema, usando polinomios de Laguerre para describir

los procesos entrada-salida,

푦(푡) = ∑ 푐 퐿 (푡)푥(푡). (5.2)

Definieron una función de costo dependiente del actuador y del error de posición de

la válvula que regula la cantidad de agua y que corrige cualquier anomalía en la presión

del vapor de agua adentro del tanque y de los esfuerzos de control del actuador.

퐽(∆) = |푦(푡) − 푦 (푡)| + 푏∆ (5.3)

Donde ∆ es el actuador, y y (t) es una referencia que debe seguir la variable

controlada, en este caso, la presión del vapor de agua. Se observó que las diferencias

respecto a un control PID eran muy amplias, en el sentido que la variable controlada

presentó pequeñas oscilaciones y una capacidad de control superior al PID. Las ventajas

de la aplicación de este tipo de control se reflejan en lo reportado por los autores

precisando que el costo-beneficio fue optimizado sustancialmente.

50

Conexión de los Polinomios de Laguerre con los objetivos de esta tesis Como se detalló antes, existen múltiples trabajos con los polinomios de Laguerre y

sus respectivas aplicaciones en la identificación de sistemas y el control de variables de

plantas industriales, pero cabe precisar que cada sistema es único en cuanto a su

dinámica y parámetros involucrados.

5.2 Definiciones básicas de los Polinomios de Laguerre Los polinomios generalizados de Laguerre [20], mostrados en la Tabla 4.6,

corresponden a la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

푥푑 휑 ( )

푑푥+ (푎 + 1 − 푥)

푑휑 ( )

푑푥+ 훼 휑 ( ) = 0(5.4)

Donde 훼 = 푛 , tal que 휑 ( ) = 퐿 (푥) , para 푥 ∈ [0,∞⟩ , 푛 = 0, 1, 2, 3.. ,푎 > −1 y se

denotan por 퐿 (푥), que son conocidos como los polinomios generalizados de Laguerre,

siendo la expresión general en base a la función gamma como sigue:

퐿 (푥) = (−1)Γ(푛 + 푎 + 1)Γ(푘 + 푎 + 1)

푥푘! (푛 − 푘)!

(5.5)

A partir de la ecuación (5.5), podemos deducir los primeros polinomios generalizados

de Laguerre.

퐿 (푥) = 1, 퐿 (푥) = −푥 + 푎 + 1,

퐿 (푥) =12푥 − 2(푎 + 2)푥 +

12

(푎 + 1)(푎 + 2)

퐿 (푥) = −16푥 + (푎 + 3)

12푥 −

12

(푎 + 2)(푎 + 3)푥+16

(푎+ 1)(푎 + 2)(푎 + 3)

La fórmula de Rodrígues para los polinomios generalizados de Laguerre, la relación

de recurrencia, la generación de funciones, entre otros se muestran en las tablas 4.2, 4.4

y 4.5.

Polinomios Generalizados de Laguerre Otra forma bastante usada de expresar los polinomios de Laguerre es a partir de la

ecuación (5.6)

51

퐿 (푡) =1푘!푒 푥

푑푑푡

푒 푡 .(5.6)

Cada 퐿 (푡) es un polinomio de grado k y la familia de polinomios {퐿 (푡)} es un

sistema ortogonal completo con respecto a la función peso 푤 (푡) = 푡 푒 .

Propiedades de los Polinomios de Laguerre

Ortogonalidad Dado un polinomio ortogonal de Laguerre 퐿 (푡) se define una función de peso

푤(푡) = (훼푡) 푒 , tal que fijando los límites [푎, 푏] = [0, ∞ > normaliza la integral:

퐿 (푡)퐿 (푡)푤(푡)푑푡 = 훿 = 0푖 ≠ 푗1푖 = 푗(5.7)

Bases Ortogonales A partir de los fundamentos anteriores es posible definir la k-ésima función de

Laguerre en tiempo continuo del modo siguiente:

휓 (푡) = √2훼푒

(푘 − 1)!푑푑푡

푡 푒 (5.8)

Para el caso, evaluando la función de Laguerre para los tres primeros valores de k

obtenemos:

휓 (푡) = √2훼푒 ,

휓 (푡) = √2훼푒 (1− 2훼푡),

휓 (푡) = √2훼푒 (1− 4훼푡+ 2훼 푡 ).

Estas funciones forman una base ortonormal completa en un espacio de

퐿 [0,∞ >[21]. Así una base de funciones en el intervalo 0 ≤ 푡 < ∞es completo si cada

elemento de la función continua푓(푡), para la cual la integral ∫ 푓 (푡)푑푡 existe.

En la figura 5.2 se grafican las diversas morfologías de las funciones de Laguerre

para diferentes órdenes. Un hecho notable es la convergencia uniforme de las funciones.

El vector de peso para cada base de funciones permite representar con precisión al

sistema en proceso de identificación dependiendo de la dinámica del sistema en estudio.

52

Figura 5.2: Representación de los polinomios de Laguerre en función de muestras o la variable

independiente. Funciones de Laguerre en el dominio de la frecuencia

Tomando la transformada de Laplace de la función de Laguerre ( )k t , se obtiene:

1( ), 2

( )

k

k k

sL ss

(5.9)

Donde es el polo de Laguerre, “s” es la variable de Laplace y “k” un número entero.

Funciones de Laguerre en tiempo discreto

La función discreta de Laguerre , [26],[27]kL z está dada por:

121 1, , 1

k

kzL z k

z z

(5.10)

Estas funciones son analíticas en |푧| > 1 y continua en |푧| ≥ 1푦 − 1 < 훼 < 1.

En tiempo discreto la función base de Laguerre está dada como:

53

∅ (푖) = 1− 훼 (−훼)푗 − 1푘

푖 + 푘 − 1푘 − 1

훼 푈(푖 − 푗 + 푘) (5.11)

En esta ecuación 훼 representa el polo de Laguerre y U( ) representa la función

escalón unitario. El parámetro훼controla la tasa exponencial de decrecimiento de las

funciones de Laguerre y especifica el comportamiento dinámico del modelo de Laguerre.

Este polo se encuentra en el rango 0 ≤ 훼 < 1.

Sistemas Representados por Funciones de Laguerre Para representar esquemáticamente un sistema cualquiera se puede caracterizar la

función de salida 푌(푧)como respuesta a una función de entrada 푋(푧)haciendo uso de los

polinomios de Laguerre que forman una base de orden L.

En este caso los Cn representan el peso de los polinomios y los {∅ n} la base

ortogonal.

Figura 5.3: Ejemplo de diagramas de bloques enfatizando la aplicabilidad de polinomios de

Laguerre como filtros.

Definiciones Generales para la base {∅풏}

Definición 1: Si en un espacio V, existe un conjunto de n elementos de Laguerre

{∅ ,∅ ,∅ …∅ },tal que cada elemento v ∈ V, entoncesvpuede ser escrito como una

combinación lineal de{∅ , … ,∅ },es decir:

54

V(x) = a ∅ (x)

Si los퐚퐢,son escalares y no todos iguales a cero, entonces el conjunto {∅ퟏ,∅ퟐ,∅ퟑ, … ,∅퐧}

es llamado una base de V(x) y "n" es la dimensión de V(x).

Definición 2: Si el conjunto base de elementos de Laguerre{∅ퟏ,∅ퟐ, … ,∅퐧} satisface que:

< ∅퐢,∅퐣 >= ∂

Entonces dicho conjunto base es una base ortonormal. En esta definición <∙,∙> denota

producto interno.

Definición 3: Dada una base ortonormal, cualquier función real continua f(i)/i =

0,1, ….que satisface f(0) = 0, puede ser expandida como:

푓(푖) = 푎 ∅ (푖)

훼 = 푓(푖)∅ (푖)

Polinomios de Laguerre en la forma de espacio de estado

Los polinomios de Laguerre pueden también ser representados en una forma de

espacio de estado. La representación de espacio de estado en tiempo discreto; en tal

caso es [22]:

ℓ(푘 + 1) = 퐴(훼)ℓ(푘) + 퐵(푎)푢(푘) (5.12)

푦 (푘) = 퐶 ℓ(푘) + ℓ (푘) + ∑ [ℓ(푘) 퐸 ℓ(푘)]ℓ (푘) (5.13)

Tomando el caso de sistemas de tercer orden tenemos que esta estructura está

compuesta de un elemento lineal (5.12) seguido por una salida sin memoria estática no

lineal (5.13), donde:

55

퐴(훼) =

⎣⎢⎢⎢⎡

훼 0 0 … 0(1− 훼 ) 훼 0 … 0

(−훼)(1− 훼 ) (1− 훼 ) 훼 … 0⋮ ⋮ … ⋱ ⋮

(−훼) (1− 훼 ) (−훼) (1 − 훼 ) … … 훼⎦⎥⎥⎥⎤

(5.14)

퐵(훼) = (1− 훼 )

⎣⎢⎢⎢⎡

1−훼

(−훼)⋮

(−훼) ⎦⎥⎥⎥⎤ (5.15)

퐶 = [퐶 ⋯퐶 ] (5.16)

퐷 =퐶 ⋯ 퐶⋮ ⋱ ⋮퐶 ⋯ 퐶

(5.17)

퐸 =퐶 ⋯ 퐶⋮ ⋱ ⋮

퐶 ⋯ 퐶 (5.18)

De otro lado, de las ecuaciones (5.12) y (5.13), se puede observar que A (훼) y B (훼)

sólo dependen de 훼, es por ello que podemos concluir que el comportamiento dinámico

de los filtros de Laguerre es fijado fundamentalmente por el valor del polo 훼 . Esta

estructura se muestra en la figura (5.4) donde el modelo de Laguerre es dado por la

ecuación (5.9). Se observa que la parte superior de los bloques sin memoria incluyen las

contribuciones lineales de la salida y tienen un total de L términos.

La parte del medio representa las combinaciones de segundo orden de las salidas de

los filtros de Laguerre, es decir 푙 , 푙 푙 , … , 푙 푙 , 푙 ,…,푙 , lassiguientes partes representan

las contribuciones de tercer orden.

56

Figura 5.4: Estructura de los filtros de Laguerre.

Recientes Aplicaciones de los Polinomios de Laguerre a) Sistemas Volterra-Laguerre La figura 5.5 corresponde a una aplicación dinámica de los filtros de Laguerre

discretos. El comportamiento dinámico de un filtro de Laguerre de acuerdo a esta figura

es mostrado para el caso cuando se requiere los elementos diagonales y hasta el tercer

orden. Los diagramas de bloques asociados muestran la acción de la transformada Z

inversa con el objeto de fijar el polo de Laguerre.

Esta figura 5.5 que ha sido tomada de una investigación realizada por C. Medina-

Ramos en el 2010 [23] en donde se ha usado la combinación de los polinomios

ortogonales y los operadores integrales de Volterra. En su versión digitalizada, la

expansión de Volterra que describe la salida del sistema es como se muestra en la figura

y cuya ecuación es como sigue:

푦 (푘) = 퐶 + 퐶 ℓ (푘) + 퐶 ℓ (푘)ℓ (푘) + + 퐶 ℓ (푘)ℓ (푘)ℓ (푘)

(5.22)

57

ℓ (푘) = ∑ Φ (푖)푢(푘 − 푖) (5.23)

En (5.22) 풚풍(푘) es la salida de Laguerre, 퐶 representa los coeficientes de Laguerre

y ℓ (푘) la acción total de la secuencia de entrada푢(푘 − 푖).

La ventaja de usar la base de Laguerre según el autor fue la de aprovechar la

ortogonalidad para obtener un sistema diagonal hasta de tercer orden, de tal manera que

el número de parámetros queda minimizando respecto a un sistema clásico de Volterra

[24]

Figura 5.5: Ejemplo de aplicación de los polinomios de Volterra-Laguerre mostrado como diagramas de bloques y filtros [25].

En la investigación se advierte que un excesivo número de filtros conlleva a exceso

de variables, lo que ocasionaría el incremento de la parametrización.

Aplicaciones de los Polinomios de Laguerre en los Modelos FIR y IIR

Los sistemas identificados con modelos FIR e IIR, por lo general son del área de las

comunicaciones y filtrado de ruido, siendo estos sistemas de rápida respuesta [25],

[26],[27],[21],[16]. Sin embargo vale anotar las desventajas y es que, los filtros FIR e IIR

58

al ser adaptivos, sus coeficientes “tienen” que adaptarse constantemente a las variables

de salida del sistema.

Por otro lado los IIR y FIR requieren de un menor costo computacional; pero con el

riesgo que el error 휀 = 푦 − 푦 sea grande.

En suma: FIR e IIR son sensibles a disturbios intrínsecos del sistema

FIR e IIR se aplican a ruidos acústicos, vibración y telecomunicaciones

Los FIR e IIR admiten constantes de tiempo rápidos, no se aplican a sistemas lentos.

Por el otro lado los modelos FIR e IIR suelen tener problemas para representar

algunos modelos dinámicos. Ante lo cual la propuesta de Kautz [21] es fundamental para

cubrir estas dificultades para determinar el orden del modelo, la convergencia de los

algoritmos y la sensibilidad en la determinación de los coeficientes del modelo.

El modelo que propuso Kautz es como sigue:

ℎ(푡) = 푐 휓 (푡) (5.27)

Donde휓 (푡) es una función ortogonal exponencial. A diferencia de modelos de

estructuras FIR e IIR, los parámetros {푐 } no dependen del orden N. El uso de funciones

ortonormales convergente, con representación exponencial compleja, reduce el problema

de encontrar la función ortonormal 휓 (푡) la cual es una combinación lineal de las

funciones exponenciales {푒 ; 푘 = 1, 2, … ,푛}tal que

휓 (푡) = 푣 푒 (5.28)

Donde los 푣 son constantes.

Aplicaciones de Laguerre en el procesamiento de señales

Los sistemas invariantes en el tiempo pueden ser descritos por funcionales que

responden a las excitaciones con características propias, es decir:

59

⌊푌⌋ = 퐻[푥 (푡)] + [푒 (푡)] , [푒 (푡)] representa la matriz de errores por uso de modelos

aproximados y por el ruido asociado al sistema.

A título de ilustración un sistema de orden n puede ser descrito por modelos tipo

ARX, ARMA y en su forma más simple y solo con carácter de ilustración un modelo LIT

es descrito por

푌(푘) = ∑ ℎ(푘) 푥(푡 − 푘) + 푒(푘) (5.29)

Las señales describen a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI), utilizando

una función de transferencia como una formulación de polos y ceros. El propósito es

obtener un modelo para un sistema en proceso de identificación usando un pequeño

número de parámetros.

Como caso sencillo se muestra un sistema tipo LIT, con una sola entrada y una sola

salida descrito por 푦(푡) = ∑ ℎ(푘)푥(푡 − 푘) + 푣(푡) donde {ℎ(푘)} ∈ ℜ es una función de

peso y {푣(푡)} es un función representativa de las perturbaciones de promedio cero (ruido

blanco) y 푥(푡) la entrada al modelo.

Así entonces la salida del sistema푦(푡) puede ser representada como 푦(푡) = 푦(푡) +

푒(푡)[28].

Generalizando tenemos que un modelo de señal invariante en el tiempo en su modo

discreto y lineal está dada por:

푦(푡) = 퐺(푧,휃)푥(푡)(5.30)

푦(푡) = 휑 (푡)휃(5.31)

Donde 퐺(푧,휃) es una función de transferencia lineal, 푧 es el operador de

desplazamiento definido como 푧(푡) ≜ 푥(푡 + 1) ; y 휃 es un vector de ponderación de

parámetros,휑(푡)es un vector dependiente solo de la entrada del sistema 푥(푡) y sus

valores pasados, y los valores pasados de la salida del sistema 푦(푡) [22].

Dada una función tal como:

퐺(푧,휃) = 푏 푧 (5.32)

60

Donde 휃 = [푏, … , 푏 ] , 휑(푡) = [푥(푡), … , 푥(푡 − 푀)] . Esta función representa a un

modelo de señal de respuesta finita al impulso (FIR), el cual para sistemas de mayor

orden, es decir M, puede ser aproximado más eficientemente por un filtro de respuesta

infinita al impulso (IIR), representado por:

퐺(푧,휃) =∑ 푏 푧

1 + ∑ 푎 푧,(5.33)

Donde푀 y 푀 son números enteros.

Respecto al uso de modelos exponenciales, se ha probado que es un desarrollo

importante considerando la respuesta impulso de un modelo LTI el cual puede ser

descrito por la suma de las P exponenciales complejas.

ℎ(푡) = 퐴 푒 푡 = 0,1, … , 푇 − 1(5.34)

Donde 퐴 푦푒 son las amplitudes y las frecuencias complejas respectivamente, con

푏 = 훼 + 푗2휋푓 , donde 훼 es el factor dumping y 푓 es la frecuencia de la 푖 exponencial,

y T es un entero.

Kautz [21] consideró que un modelo que permite menores errores y un mejor cálculo

del orden es de la forma:

ℎ(푡) = ∑ 푐 휓 (푡), (5.35)

Donde휓 (푡)es una función ortogonal.

61

CAPÍTULO VI FORMALISMO DE IDENTIFICACIÓN DE UN LAMINADOR APLICANDO

POLINOMIOS DE LAGUERRE

6.1 Introducción al error de aproximación La identificación de sistemas dentro de la ingeniería moderna ha sido un tema que ha

estado muy ligado a cuestiones de precisión, es decir como hallar una ley matemática

que describa una cierta fenomenología minimizando el error de aproximación.

En principio si al sistema asignamos un presunto modelo que represente su

dinámica, las salidas del modelo son funciones de parámetros desconocidos. Por

ejemplo, sea 푦(푘) la variable estimada la cual pretendemos como modelo de

aproximación utilizando un conjunto de polinomios pertenecientes a una base ortogonal;

podemos escribir:

푦(푘) = 푐 ∅ 푥(푘) = Φ( ) [푋 ](6.1)

푦 = 푐 ∅ 푥(푘) + 휀(푘) = Φ( ) [푋 ] + 휀(푘)(6.2)

Dónde:

푥 : Entrada al sistema.

푦 : Respuesta estimada del modelo que representa al sistema.

푐 : Parámetros desconocidos.

∅ : Funciones conocidas.

푦 : Respuesta del sistema.

휀 : Error de aproximación.

Dado un horizonte de medición N, obtenemos N pares de observación

(푥 ,푦 ), (푥 ,푦 ) … . (푥 ,푦 ) del sistema dinámico, en evolución temporal, se deben estimar

los 푁 parámetros desconocidos para las variables 푦 calculadas a partir del modelo

aplicado y las señales de excitación 푥(푘) .Lo ideal es que se logre una elevada

coincidencia de la respuesta del modelo con los valores 푦 medidos.

62

De la teoría estándar de errores, el método de mínimos cuadrados establece que la

función de costo:

퐽(휃) =12

휀 (6.3)

Es función del cuadrado de los errores de medición obtenido para cada par ordenado

de datos. En efecto, 휀 es el error de aproximación en la observación i-ésima cuando se

usa el modelo basado en polinomios ortogonales y base finita de dimensión n,

휀 = 푦 − 푦 = 푦 − 푐 ∅ 푥 (6.4)

Para una mayor síntesis se Introduce la siguiente notación:

∅ = [∅ ,∅ …∅ ]

휃 = [푐 , 푐 … 푐 ]

푦 = [푦 ,푦 … 푦 ]

휀 = [휀 , 휀 … 휀 ] (6.5)

Definimos la matriz Φ de dimensión N, que puede ser escrita como:

Φ =∅ 푥⋮

∅ 푥(6.6)

En virtud a las consideraciones anteriores la función de costo en su forma matricial

(6.3) se define como sigue:

퐽(휃) =12휀 휀 =

12‖휀‖ (6.7)

Siendo

휀 = 푦 − 푦(6.8)

El paso siguiente es obtener la condición que minimiza el error. El sustento para la

minimización se da en el siguiente teorema:

63

Teorema: La función J(θ) dado por (6.3) es mínima para los parámetros estimados θ si:

Φ Φ휽 = Φ 푦(6.9)

Si la matriz Φ Φ es no singular y tiene inversa, este mínimo es único si se cumple la

siguiente relación:

휽 = (Φ Φ) Φ 푦 = Φ 푦 (6.10)

La ecuación 6.10 queda definida a partir del siguiente desarrollo

ˆy

2 ˆ ˆTy y

,2

dd debe ser minimizada, tal que se debe cumplir 0

ddJ ; luego desarrollando la

expresión planteada, podemos escribir.

ˆ 0

ˆ( )ˆ

ˆ ( )( )

T

T T

T T T

T T T

y

y

y

inv y

휃 es la llamada matriz pseudo-inversa de Moore-Penrose de Φ. El beneficio radica en su

utilidad para determinar la solución por mínimos cuadrados de un sistema donde el

espacio fila es mayor que el espacio columna.

De otro lado, la expansión de (6.8) queda expresada como:

⎣⎢⎢⎢⎡휀휀...휀 ⎦⎥⎥⎥⎤

×

=

⎣⎢⎢⎢⎡푦푦...푦 ⎦⎥⎥⎥⎤

×

−

⎣⎢⎢⎢⎡∅ (1)푥∅ (2)푥..

.∅ (푁)푥

∅ (1)푥 …∅ (2)푥 …..

.∅ (푁)푥 …⎦

⎥⎥⎥⎤

×⎣⎢⎢⎢⎡푐푐...푐 ⎦⎥⎥⎥⎤

×

(6.11)

Que se puede sintetizar como: 휀 = 푦 −Φ휃 (6.12)

64

6.2 Proposición del modelo para el laminador basado en polinomios generalizados de Laguerre

En la figura 6.1 se representa el esquema básico del sistema de laminación de

modelo y parámetros desconocidos y sobre el cual se realiza el presente estudio. Si bien

el sistema no es conocido, resulta evidente que el sistema tendrá variables importantes

bajo estudio: la corriente de armadura y la velocidad de los rodillos de laminación.

Figura 6.1: Esquema del proceso de laminación de material melamínico. Notar las variables, la corriente de armadura y la velocidad de los cilindros móviles.

En el caso de un motor DC resulta claro que la dinámica del sistema queda

representado por las siguientes ecuaciones:

푖 (푘 + 1) = 푎푖 (푘) + 푏푤 (푘) + 푐푣(푘 + 1)(6.13)

푤 (푘 + 1) = 푑푤 (푘) + 푓푖 (푘) + 푔푇 (푘 + 1)(6.14)

Dónde:

푖 : Es la corriente de armadura del motor DC

푤 : Es la velocidad del sistema laminador

푣 : Es el voltaje de armadura

푇 : Es el torque de carga

푎, 푏, 푐, 푑, 푓, 푔 : Son escalares

Las ecuaciones anteriores representan la dinámica del sistema no lineal, tal que las

no linealidades del sistema se representan por parámetros dependientes de funciones

ortogonales; con el objetivo de que sean estas funciones las que modelen el

ia

Wa

Motores AC Constante

Reductor de

Velocidad

Taco generador

65

comportamiento del sistema y que conserve su linealidad con x(k) pero que en esencia

como conjunto representen la dinámica no lineal del sistema laminador.

Basado en los criterios antes señalados y los teoremas de Weirstrass y Riesz-

Fischer, se propone utilizar una base finita ortogonal de polinomios generalizados de

Laguerre para representar la dinámica no lineal del sistema, considerando como

principales parámetros la corriente de armadura del motor y la velocidad del laminador

cuando está cargado con un torque 푇 , así para el modelo de la corriente de armadura 푖

se propone la siguiente ecuación en su forma generalizada que nos permitirá luego

deducir las ecuaciones 푖 (푘 + 1) , 푤 (푘 + 1).

퐈(푘 + 1) = 퐆(푘)퐔(푘) + 퐇(푘 + 1)퐑(푘 + 1)(6.15)

Donde la ecuación anterior tiene la forma G(k) y H(k+1) que son las funciones de

transferencia y U(k) y R(k) los inputs, respectivamente. Por otro lado, las funciones de

transferencia se pueden expresar como el producto de polinomios ortogonales por sus

respectivos parámetros:

퐆(푘) = 퐂푙 (푘) (6.16)

퐇(푘 + 1) = 퐃푙 (푘 + 1) (6.17)

Donde C y D son matrices que contienen los parámetros a ser identificados. En tal

sentido, podemos escribir la relación matricial, donde se debe entender que los

parámetros 푐 , 푑 , ℎ , 푞 , 푝 푦푟 : son dinámicos, es decir no son escalares

푖 (푘 + 1)푤 (푘 + 1) = 푙 (푘) 푐 푑

푞 푝푖 (푘)푤 (푘) + 푙 (푘 + 1) ℎ 0

0 푟푣(푘 + 1)푇 (푘 + 1) (6.18)

Como los parámetros 푐 , 푑 , ℎ , 푞 , 푝 푦푟 no son conocidos, estos serán obtenidos de un

Espacio de Hilbert haciendo uso del teorema de Riesz-Fisher de modo aproximado.

Siendo la expresión generalizada:

푔(푘) = ∑ 휌 푙 (푘) + 푒(푘) (6.19)

y aplicando dichos conceptos a la ecuación (6.18) tenemos:

푖 (푘 + 1) = 푐 푙 (푘)푖 (푘) + 푑 푙 (푘)푤 (푘) + ℎ 푙 (푘 + 1)푣(푘 + 1)

+ 휀(6.20)

푖 (푘 + 1) = 횤 + 휀

66

De manera análoga, la velocidad de los rodillos laminadores 푤 se propone expresar

como sigue:

푤 (푘 + 1) = 푝 푙 (푘)푤 (푘) + 푞 푙 (푘)푖 (푘) + 푟 푙 (푘 + 1)푇 (푘 + 1) + 휀(6.21)

푤 (푘 + 1) = 푤 + 휀

Así, 6.20 y 6.21 pueden escribirse de manera simplificada como

푖 (푘 + 1) = 횤 + 휀 (6.22)

푤 (푘 + 1) = 푤 + 휀 (6.23)

Donde

횤 = ∑ 푐 푙 (푘)횤 (푘) + ∑ 푑 푙 (푘)푤 (푘) + ∑ ℎ 푙 (푘 + 1)푣(푘 + 1) (6.24)

푤 = ∑ 푝 푙 (푘)푤 (푘) + ∑ 푞 푙 (푘)횤 (푘) + ∑ 푟 푙 (푘 + 1)푇 (푘 + 1) (6.25)

Debe observarse que en 6.13 la cantidad escalar denominada “푎” es el parámetro

que pondera la corriente, mientras que en 6.20 ∑ 푐 푙 (푘) es una función de polinomios

de Laguerre, que también juega el rol de ponderar la corriente de armadura.

6.3 Determinación de las matrices que pondera la base ortogonal de polinomios generalizados de Laguerre y minimización del error mediante el método de mínimos cuadrados

De las ecuaciones 6.20 y 6.21 es evidente que se necesita determinar el número de

polinomios de la base para representar con una aproximación arbitraria al sistema y los

pesos que ponderen la base de polinomios de Laguerre 푙 (푘), 푙 (푘), 푙 (푘), …,푙 (푘) para

todos los 푚 datos obtenidos.

Las ecuaciones (6.20) y (6.21) se pueden sintetizar de modo matricial tal como sigue:

[횤 ] × = [휙] × . [Α] × (6.26)

[푤 ] × = [휓] × . [Β] × (6.27)

67

Dónde para el caso de la corriente de armadura la ecuación matricial 6.26 es como

sigue:

1 1 1

1 1

1 1

(1) (0) (0) (0) (0) (0) (0)

(1) (1) (1) (1) (1) (1)(2). . .. . ..

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( )

Np Np Np

a a ai i i i i ii i iNp Np

a aa i i i i i ii i i

Np Np

a ai i i iai i

i c l i d l w h l v

c l i d l w hl vi

c l m i m d l m w mi m

1

1

.

.

( 1) ( )

Np

Np

i ii

h l m v m

(6.28)

Las columnas de (6.28) se expanden como sigue

p

p

p

a a1 N

a a1 N

a a1 N

1

2

Np

l (0)i (0) . . . l (0)i (0)

l (1)i (1) . . . l (1)i (1)

. . . . .Col 1

. . . . .

. . . . .

l (m 1)i (m 1) . . . l (m 1)i (m 1)

cc...

c

p

p

p

a a1 N

a a1 N

a a1 N

1

2

Np

l (0)w (0) . . . l (0)w (0)

l (1)w (1) . . . l (1)w (1)

. . . . .Col 2

. . . . .

. . . . .

l (m 1)w (m 1) . . . l (m 1)w (m 1)

dd...

d

Col 1 Col 2 Col 3

68

p

p

p

1 N

1 N

1 N

1

2

Np

l (1) (1) . . . l (1) (1)

l (2) (2) . . . l (2) (2)

. . . . .Col 3

. . . . .

. . . . .

l (m) (m) . . . l (m) (m)

hh...

h

v v

v v

v v

Siendo la matriz A la que pondera la base ortogonal, para el caso de la corriente de

armadura:

[Α] = 푐 푐 … 푐 푑 푑 … 푑 ℎ ℎ … ℎ (6.29)

Para el caso de la velocidad de los laminadores tenemos:

p p p

p p

p p

N N N

a aai i i i i i Li 1 i 1 i 1N N

aaa i i i i i i Li 1 i 1

N N

aaa i i i ii 1 i 1

w (1) p l (0)w (0) q l (0)i (0) r l (0)T (1)

p l (1)w (1) q l (1)i (1) r l (1)T (2)w (2)

. ..

. ..

. ..

p l (m 1)w (m 1) q l (m 1)i (m 1)w (m)

p

p

N

i 1

N

i i Li 1

.

.

.

r l (m)T (m)

(6.30)

Las columnas de 6.30 se obtienen del modo siguiente:

p

p

p

a a1 N

a a1 N

a a1 N

1

2

Np

l (0)w (0) . . . l (0)w (0)

l (1)w (1) . . . l (1)w (1)

. . . . .Col 1

. . . . .

. . . . .

l (m 1)w (m 1) . . . l (m 1)w (m 1)

pp...

p

Col 1 Col 2 Col 3

69

p

p

p

a a1 N

a a1 N

a a1 N

1

2

Np

l (0)i (0) . . . l (0)i (0)

l (1)i (1) . . . l (1)i (1)

. . . . .Col 2

. . . . .

. . . . .

l (m 1)i (m 1) . . . l (m 1)i (m 1)

qq...

q

p

p

p

1 L N L

1 L N L

1 L N L

1

2

Np

l (1)T (1) . . . l (1)T (1)

l (2)T (2) . . . l (2)T (2)

. . . . .Col 3

. . . . .

. . . . .l (m)T (m) . . . l (m)T (m)

rr...

r

Siendo la matriz B la que pondera la base ortogonal, entonces para el caso de la

velocidad del laminador.

[Β] = 푞 푞 … 푞 푝 푝 … 푝 푟 푟 … 푟 (6.31)

Considerando que tenemos los datos de salida cuando 푣 es una señal tipo PRMS,

(Pseudo Random Multi Sequence) la corriente y la velocidad del laminador de modo

matricial se expresan:

푖 (푘) = [푖 (1)푖 (2) … 푖 (푚)] (6.32)

푤 (푘) = [푤 (1)푤 (2) …푤 (푚)] (6.33)

Para la identificación del modelo se requiere estimar los vectores de salida 횤 (푘) y

푤 (푘) que representen al sistema no lineal, para ello podemos agrupar todos los valores

correspondientes para las m respuestas del modelo tal como sigue:

횤 (푘) = [횤 (1)횤 (2) … 횤 (푚)] (6.34)

푤 (푘) = [푤 (1)푤 (2) …푤 (푚)] (6.35)

70

Considerando las diferencias entre las muestras experimentales y los resultados del

modelo, el error de aproximación puede ser expresado como:

휀 (푘) = [푖 (푘)− 횤 (푘)](6.36)

휀 (푘) = [푤 (푘)− 푤 (푘)](6.37)

Que corresponde a las diferencias entre el modelo y el sistema:횤 (푘) representa el

modelo y 푖 (푘) el sistema; de manera similar 푤 (푘) representa el modelo y 푤 (푘) el

sistema.

Para encontrar la mejor solución para las entradas de las matrices [Α] y [Β], de las

ecuaciones matriciales (6.29) y (6.31) se minimizará las funciones de costo, donde el

error tenga dependencia de las matrices[Α] y [Β], de la siguiente manera:

퐽 (Α) = ‖휀 (푘)‖ = 푖 (푘)− [휙][Α] 푖 (푘)− [휙][Α] (6.38)

퐽 (Β) = ‖휀 (푘)‖ = 푤 (푘) − [휓][Β] 푤 (푘)− [휓][Β] (6.39)

Para la minimización de 퐽 (Α) y 퐽 (Β) , derivamos las expresiones respecto a A y B

respectivamente y los igualamos a cero, es decir:

( ) = 0, 푦 ( ) = 0 (6.40)

Donde las soluciones para 6.40 son:

Α = 푖푛푣([휙 휙])휙 [푖 (푘)](6.41)

Β = 푖푛푣([휓 휓])휓 [푤 (푘)](6.42)

Resumiendo, tendremos que para m muestras y 3푁 parámetros desconocidos en

(6.29, 6.31) es claro que tenemos (m3푁 ) conjunto de soluciones para las matrices A y

B. En consecuencia se debe considerar que las soluciones apropiadas son aquellas que

tienen carácter convergente a un valor determinado y que minimiza el error de

identificación.

71

CAPÍTULO VII RESULTADOS DE LA IDENTIFICACIÓN Y MODELAMIENTO DEL

LAMINADOR

7.1 El uso de una señal de entrada pseudo-aleatoria multinivel En el sistema de laminación, el principal componente del laminador es un motor de

corriente continua que se encarga de generar el torque necesario para que a través de un

arreglo mecánico reductor y calandrias laminen el material melamínico a la temperatura

de 65ºC, a velocidad constante que evite cambios en el espesor del manto de laminación.

Dicho mecanismo se muestra en la figura 6.1.

Las ecuaciones discretas que describen al sistema pueden asociarse a la corriente

de armadura y la velocidad del tren de laminación [4]. En general la velocidad es

evaluada cuando se aplica un torque de carga al sistema. A continuación presentamos

dichas ecuaciones:

푖 (푘 + 1) = 푐 푙 (푘)횤 (푘) + 푑 푙 (푘)푤 (푘) + ℎ 푙 (푘 + 1)푣(푘 + 1) + 휀 (7.1)

푤 (푘 + 1) = 푝 푙 (푘)푤 (푘) + 푞 푙 (푘)횤 (푘) + 푟 푙 (푘 + 1)푇 (푘 + 1) + 휀 (7.2)

Dónde:

푖 : Es la corriente de armadura del motor DC

푤 : Es la velocidad del sistema laminador

푣 : Es el voltaje de armadura

푇 : Es el torque de carga

푐 , 푑 ,ℎ , 푝 ,푞 ,푟 : Son parámetros desconocidos

Para la identificación del sistema de laminación se propone la utilización de una

señal de prueba PRMS, para la cual se deben de tener en cuenta los siguientes criterios:

72

a) El voltaje de la señal aplicada a la armadura debe tener la condición de mantener

la excitación al sistema en forma permanente.

b) El número de niveles de tensión debe ser mayor al grado del sistema.

c) El tiempo de muestreo debe ser tal que la diferencia de lecturas de las salidas

debe ser mayor que el ruido 푛(푘)asociados con el sistema, así se tiene que

|푦(푘 + 푖)− 푦(푘 + 푖 − 1)| > 푛(푘).(7.3)

Es importante tener en cuenta que para caracterizar el estado transitorio del sistema,

hay que obtener una gran cantidad de información, es decir una gran cantidad de

muestras. La identificación del sistema no lineal bajo estudio, se realizó usando una señal

PRMS de cuatro niveles [5, 50, 125, 200 voltios], cuya grafica se muestra en la figura

7.1A.

Figura 7.1A: Señal de entrada PRMS mostrando su carácter multivalor en contraste con los típicos

bang-bang o binarios (es decir es 0 o 1).

7.1.1 Circuito utilizado para el ensayo del sistema laminador

Se utiliza un Grupo Ward Leonard por su elevada capacidad de permitir

sobrecorrientes, el Grupo Ward Leonard utilizado recibe la potencia eléctrica en un motor

trifásico que acciona el rotor de un generador DC que para fines prácticos se considerará

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

Segundos

PR

MS

Xk

73

que trabaja a velocidad constante, en consecuencia la tensión de armadura depende

exclusivamente del campo del generador tal como se aprecia en la figura 7.1B:

Figura 7.1B: Esquema del grupo Ward-Leonard usado para la identificación del sistema laminador.

El campo es regulado por medio de un convertidor AC/DC monofásico. Este

convertidor está basado en una estructura de puente de SCR controlado por medio del

ángulo de disparo; por lo que un adecuado circuito de disparo permitirá el control de la

tensión de armadura que para nuestro caso estamos considerando la señal PRMS

aplicada al sistema laminador.

La velocidad del sistema es obtenida usando un tacogenerador y la corriente se

extrae mediante un transductor de efecto Hall; adicionalmente en la figura 7.1B se

muestra la extracción de la señal de voltaje en los interpolos cuyas variaciones

representarían la reacción de armadura la cual es aplicada como señal de realimentación

negativa para establecer la tensión de armadura del generador.

7.2 Respuesta del sistema por efecto de la señal multinivel Graficando las curvas de la data de corriente y velocidad del sistema de laminación

tenemos que las figuras 7.2 y 7.3 donde se muestran las respuestas de las salidas del

sistema laminador tal como sigue:

125 HP

125 HP

Ia(k)

Wa(k)

Limitador de corriente

V(k)

74

7.8

Figura 7.2: Respuesta de la corriente a una entrada PRMS

Figura 7.3: Respuesta de la velocidad del laminador a una entrada PRMS.

En la figura 7.2 podemos observar que la corriente de armadura del motor (ik), tiende

a estabilizarse al mismo valor (aproximadamente 120 amperios), esto es debido a que el

torque se mantiene constante, dado que la carga aplicada al laminador en todo instante

es la misma para un espesor constante de baldosas. En la figura 7.3 se observa que la

velocidad varía con los cambios del voltaje de armadura, siguiendo a la señal de

referencia PRMS.

7.3 Propuesta de modelo para el laminador de alta potencia Para identificar los parámetros del modelo propuesto en (7.1) y (7.2) basados en la

data input/output, se realizaron múltiples ensayos con diversas dimensiones de bases

5 10 15 20 25 30 35 40 45

-1000

-500

0

500

1000

1500

Segundos

Am

perio

s

Corriente ik

5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

Segundos

RPM

Velocidad Wk

120

75

finitas ortogonales y de diferente grado usando el software de Matlab, con la finalidad de

obtener el modelo más óptimo para representar la dinámica del sistema. En tal sentido y

luego de optimizar el programa, se comprobó que utilizando como mínimo los tres

primeros polinomios de Laguerre, con entradas de señal de armadura se obtuvieron

resultados promisorios que arrojaban errores de aproximación pequeños. Para la

aproximación del modelo que representa al sistema del laminador utilizamos las

ecuaciones (6.26) y (6.27) implementados como caso particular con tres polinomios

generalizados de Laguerre; siendo 푁 =3.

De las ecuaciones (6.20) y (6.21), se puede observar que cada parámetro primigenio

tiene ahora una representación funcional, la misma que se puede expresar en forma

general como:

h (푘) = ∑ c φ (푘) (7.3)

Siendo el objetivo calcular las matrices A y B y haciendo uso de las ecuaciones

(6.26) y (6.27), podemos plantear las ecuaciones para los valores estimados que en su

forma matricial se representan tal como:

[횤 (푘)] × = [휙(푘)] × . [Α] × (7.4)

[푤 (푘)] × = [휓(푘)] × . [Β] × (7.5)

Dónde: [Α] = [푐 푐 푐 푑 푑 푑 ℎ ℎ ℎ ] (7.6)

[Β] = [푝 푝 푝 푞 푞 푞 푟 푟 푟 ] (7.7)

Mientras que [휙(푘)] y [휓(푘)] denotan las columnas desarrolladas de las matrices

6.28 y 6.30, respectivamente. Para el caso, las matrices A y B contienen los parámetros

desconocidos del modelo propuesto y que se determinan a partir de las ecuaciones (6.41)

y (6.42) que a continuación se muestra:

Α = 푖푛푣([휙 휙])휙 [푖 (푘)]

Β = 푖푛푣([휓 휓])휓 [푤 (푘)]

De ellas se evalúan las matrices [휙(푘)] × y [휓(푘)] × a partir de los datos

obtenidos del sistema cuando es excitado por una señal PRMS. En la realización de

dichas pruebas se obtuvieron 2541 muestras.

76

7.4 Procedimiento para el proceso de identificación A continuación se propone algunos criterios para obtener e identificar los parámetros

del modelo en el afán de representar adecuadamente la dinámica del sistema con el

mínimo error.

a) Sintonizar el polo de las funciones de Laguerre: La determinación del polo de

las funciones de Laguerre es una de las tareas más importantes en el proceso de

identificación, para ello basado en las definiciones dadas en la sección 5.2 se

estimará el valor apropiado para el polo mediante un ajuste fino para la elección

final del valor del polo más conveniente y que haga posible obtener la respuesta

del modelo que represente mejor la dinámica del sistema.

b) Determinación del rango de convergencia de los parámetros del modelo:

Una vez determinado el polo y observando detenidamente la convergencia de los

coeficientes se elige un valor adecuado de una muestra que se encuentre dentro

de los puntos de convergencia de las soluciones que se obtenga para A y B a lo

largo del rango de la data input/output.

c) Verificar el error de aproximación: El error es un parámetro que se elige a

criterio del diseñador, en consecuencia los parámetros de A y B deben satisfacer

las exigencias impuestas al valor admisible del error.

7.4.1 Estimación del polo de las funciones de Laguerre Considerando el rango de las muestras del sistema graficamos las tres primeras

funciones de Laguerre para polos con diferentes valores, ello para aproximar su dinámica

en el tiempo.

Luego como en cada ecuación tenemos tres variables, entonces cada una de ellas

irá ponderada por la base ortogonal con sus pesos particulares representados por las

matrices [A] y [B]; con lo cual la ecuación general de la corriente de armadura del motor

DC y la velocidad del sistema laminador queda representado por las ecuaciones (7.4),

(7.5), así como A y B por las ecuaciones (7.6), y (7.7).

77

Figura 7.4A: Diversas morfologías de los polinomios de Laguerre para diferentes valores de su polo. Paneles superiores (izquierda): los polinomios se aglomeran para muy pocas muestras.

(derecha): los polinomios tienden a salir de la región de aglomeración. Paneles inferiores (izquierda): los polinomios son ahora extendidos casi homogéneamente hasta las primeras 1000

muestras, aproximadamente. (derecha): se ha producido un total reescalamiento de los polinomios ocupando más de las 2500 muestras.

A partir de las gráficas mostradas en la figura 7.4A se observa que la acción de los

polinomios para un dato cualquiera y en función del número de muestras va a depender

dramáticamente del valor del polo tomado, toda vez que su valor define el

comportamiento del inherente filtro pasa bajo que involucra a los polinomios de Laguerre.

En otras palabras, las gráficas en la figura 7.4A exhiben una notable sensibilidad al polo.

Para la simulación con diversos valores para el polo de Laguerre no se ha empleado la

cantidad total de muestras debido a que la convergencia de los coeficientes se produce

con muestras menores a los 2541. Observándose además que el polo más apropiado y

que haga posible la convergencia, se encuentra a partir del valor de 0.999.

En las gráficas de la figura 7.4B se muestran la evolución de los valores de los

coeficientes, la identificación de la corriente de armadura, el error de la identificación, del

mismo modo para la velocidad se muestran la evolución de los coeficientes, la

identificación de la velocidad angular, el error de la identificación, para valores del polo

de Laguerre de 0.9991, 0.9993, 0.9995, 0.9997, 0.9998 y 0.9999

0 500 1000 1500 2000 2500

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

MUESTRAS

Pol Lag1Pol Lag2Pol Lag3

0 500 1000 1500 2000 2500

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

MUESTRAS


0 500 1000 1500 2000 2500

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

MUESTRAS


0 500 1000 1500 2000 2500

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

MUESTRAS


Polo = 0.8 Polo = 0.9

Polo = 0.99 Polo = 0.999

78

Figura 7.4B: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho) error de la identificación. Paneles inferiores (izquierdo) evolución de los coeficientes, (centro) identificación de la velocidad angular, (derecho) error de la

identificación. Para todos los paneles, se ha usado el valor del polo de Laguerre de 0.9991.

500 1000 1500 2000 2500-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

MUESTRAS

c1c2c3d1d2d3h1h2h3

5 10 15 20 25 30 35 40 45-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

tiempo (seg)

Am

perio

s

ik(k+1) modeloik real

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

erro

r I (%

)

t iempo (seg)

500 1000 1500 2000 2500-200

-100

0

100

200

300

400

MUESTRAS

p1p2p3q1q2q3r1r2r3

5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

tiempo (seg)

RPM

w(k+1) modeloWk real

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

25

erro

r W (%

)

tiempo (seg)

0.9991

0.9991

79

Figura 7.4C: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho)

error de la identificación. Paneles inferiores (izquierdo) evolución de los coeficientes, (centro) identificación de la velocidad angular, (derecho) error de la identificación. Para todos los paneles, se ha usado el valor del polo de Laguerre de 0.9993.

500 1000 1500 2000 2500-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

MUESTRAS

c1c2c3d1d2d3h1h2h3

5 10 15 20 25 30 35 40 45-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

tiempo (seg)

Am

perio

s


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

erro

r I (%

)

tiempo (seg)

500 1000 1500 2000 2500-200

-100

0

100

200

300

400

MUESTRAS

p1p2p3q1q2q3r1r2r3

5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

tiempo (seg)

RPM


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

2

4

6

8

10

12

erro

r W (%

)

tiempo (seg)

0.9993

0.9993

80

Figura 7.4D: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho) error de la identificación. Paneles inferiores (izquierdo) evolución de los coeficientes, (centro) identificación de la velocidad angular, (derecho) error de la

identificación. Para todos los paneles, se ha usado el valor del polo de Laguerre de 0.9995.

500 1000 1500 2000 2500-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

MUESTRAS

c1c2c3d1d2d3h1h2h3

5 10 15 20 25 30 35 40 45-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

tiempo (seg)

Am

perio

s


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

erro

r I (%

)

tiempo (seg)

500 1000 1500 2000 2500-200

-100

0

100

200

300

400

MUESTRAS

p1p2p3q1q2q3r1r2r3

5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

tiempo (seg)

RPM


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

1

2

3

4

5

6

7

8

9

erro

r W (%

)

tiempo (seg)

0.9995

0.9995

81

Figura 7.4E: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho)


500 1000 1500 2000 2500-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

MUESTRAS

c1c2c3d1d2d3h1h2h3

5 10 15 20 25 30 35 40 45-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

tiempo (seg)

Am

perio

s


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

erro

r I (%

)

tiempo (seg)

500 1000 1500 2000 2500-200

-100

0

100

200

300

400

MUESTRAS

p1p2p3q1q2q3r1r2r3

5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

tiempo (seg)

RPM


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

erro

r W (%

)

tiempo (seg)

0.9997

0.9997

82

Figura 7.4F: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho)


500 1000 1500 2000 2500-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

MUESTRAS

c1c2c3d1d2d3h1h2h3

5 10 15 20 25 30 35 40 45-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

tiempo (seg)

Am

perio

s


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

erro

r I (%

)

tiempo (seg)

500 1000 1500 2000 2500-200

-100

0

100

200

300

400

MUESTRAS

p1p2p3q1q2q3r1r2r3

5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

tiempo (seg)

RPM


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

erro

r W (%

)

tiempo (seg)

0.9998

0.9998

83

Figura 7.4G: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho)


500 1000 1500 2000 2500-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

MUESTRAS

c1c2c3d1d2d3h1h2h3

5 10 15 20 25 30 35 40 45-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

tiempo (seg)

Am

perio

s


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

erro

r I (%

)

t iempo (seg)

500 1000 1500 2000 2500-200

-100

0

100

200

300

400

MUESTRAS

p1p2p3q1q2q3r1r2r3

5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

tiempo (seg)

RPM


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

erro

r W (%

)

tiempo (seg)

0.9999

0.9999

84

De los gráficos mostrados se observa la evolución de los parámetros de corriente y

velocidad ante diversas variaciones del polo, en razón de ello podemos decir que la

convergencia de los coeficientes del modelo, es sensible a la variación del valor del polo,

existiendo para algunas muestras indeterminaciones por efecto del cambio brusco de la

señal PRMS, también observamos que la convergencia de los parámetros de la velocidad

son más sensibles a los cambios bruscos en comparación a los parámetros de la

corriente.

7.4.2 Ajuste fino del polo de las funciones de Laguerre Observando las diversas morfologías de los polinomios de Laguerre para diversos

valores del polo y verificando además que el polo debe ser elegido a partir de 0.999 y

aplicando también el primer criterio de la sección (7.4), hemos mostrado en las gráficas

anteriores cómo se produce la evolución de los coeficientes para distintos valores del

polo.

Luego de la observación de la evolución de los parámetros variando el polo desde

0.9991 hasta 0.9999 notamos que el polo más conveniente esta alrededor de 0.9998,

para lo cual luego de una adecuada sintonía del programa y haciendo un ajuste muy fino

en nuestro modelo seleccionamos el valor de 0.999817, tal como se muestra en el

siguiente gráfico:

85

Figura 7.4H: Paneles superiores: (izquierdo) evolución de los valores de los coeficientes, (centro) identificación de la corriente de armadura, (derecho)

error de la identificación. Paneles inferiores (izquierdo) evolución de los coeficientes, (centro) identificación de la velocidad angular, (derecho) error de la identificación. Para todos los paneles, se ha usado el valor del polo de Laguerre de 0.999817 que es el polo elegido.

500 1000 1500 2000 2500-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

MUESTRAS

c1c2c3d1d2d3h1h2h3

5 10 15 20 25 30 35 40 45-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

tiempo (seg)

Am

perio

s


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

erro

r I (

%)

tiempo (seg)

500 1000 1500 2000 2500-200

-100

0

100

200

300

400

MUESTRAS

p1p2p3q1q2q3r1r2r3

5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

tiempo (seg)

RPM


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

erro

r W

(%

)

tiempo (seg)

0.999817

0.999817

86

7.5 Cálculo de los parámetros del modelo de la planta Una vez cumplido con el primer ítem de los criterios mencionados en la sección (7.4),

que es la selección del valor del polo, procedemos a aplicar el segundo ítem del criterio

mencionado en la misma sección (7.4), donde elegiremos los coeficientes que se

encuentren dentro de un rango en el que podemos observar que se mantienen

prácticamente constantes.

Para el caso de los parámetros de la corriente como se observa en la figura 7.5A

existe un rango de convergencia entre las muestras 1500 y 2000 y otra a partir de la

muestra 2150.

En cuanto a la selección de los parámetros para la velocidad observamos en la figura

7.5B que existe un rango de convergencia entre las muestras 1500 y 2000 y otra a partir

de la muestra 2140.

Figura 7.5A: Evolución de los parámetros de corriente indicando las regiones de convergencia. Notar que las regiones están más allá de las 1500 muestras y se extienden hasta las 2500.

2150

87

Figura 7.5B: Evolución de los parámetros de velocidad indicando las regiones de convergencia. Notar que las regiones están más allá de las 1500 muestras y se extienden hasta las 2500.

Es importante notar que los rangos de convergencia prácticamente coinciden para

ambas variables, corriente y velocidad, esto se debe a que dichas variables se

encuentran relacionadas con las ecuaciones planteadas para su modelamiento, pues

ambas responden al mismo tipo de ecuación.

Adicionalmente, elegiremos los valores de los coeficientes en los extremos de los

rangos de convergencia, para verificar el efecto que tienen ellos sobre los errores de

aproximación.

A continuación mostramos las gráficas del error para cada muestra de coeficientes

seleccionados, dichas gráficas muestran el valor absoluto del error relativo entre el

modelo identificado y los datos reales tomados en la planta, tanto para la corriente como

para la velocidad angular.

2140

88

Figura 7.6: Error de aproximación de la corriente y de la velocidad tomando 1500, 2000, 2150 y 2540 muestras, respectivamente.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

erro

r I (%

)

tiempo (seg)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

erro

r W (%

)

tiempo (seg)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

erro

r I (%

)

tiempo (seg)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

erro

r W (%

)

tiempo (seg)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

erro

r I (%

)

tiempo (seg)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

erro

r W (%

)

tiempo (seg)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

erro

r I (%

)

tiempo (seg)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

erro

r W (%

)

tiempo (seg)

Corriente

1500 Muestras Velocidad

1500 Muestras

Corriente

2000 Muestras Velocidad

2000 Muestras

Velocidad

2150 Muestras

Corriente

2150 Muestras

Corriente

2540 Muestras

Velocidad

2540 Muestras

89

Las gráficas de la figura 7.6 muestran los errores de aproximación tanto para la

corriente como para la velocidad y se pueden apreciar errores de aproximación muy

pequeños según la muestra que se tome. Debe notarse que alrededor del 7mo segundo

el error en el caso de la corriente sobrepasa aproximadamente al 70% y en el caso de la

velocidad al 10%. Sin embargo, para tiempo posteriores al 7mo segundo, en la mayoría

de las muestras tomadas para hallar los errores de aproximación notamos que se

mantiene en menos del 10% para el caso de la corriente y en menos del 1% para el caso

de la velocidad. Para poder tomar una decisión de cual muestra elegir, es conveniente

estimar el error promedio de cada aproximación y poder así utilizar el tercer ítem del

criterio mencionado en la sección (7.3). A continuación mostramos las gráficas del error

promedio para cada una de las muestras seleccionadas.

Figura 7.7A: Promedios de los errores para la corriente para diferentes muestras.

Figura 7.7B: Promedios de los errores para la velocidad para diferentes muestras.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

tiempo (seg)

erro

r med

io I

(%)

Muestra 1500Muestra 2000Muestra 2150Muestra 2540

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

tiempo (seg)

erro

r med

io W

(%)

Muestra 1500Muestra 2000Muestra 2150Muestra 2540

90

En las figuras 7.7 podemos apreciar los errores promedios para las diversas

muestras particularmente para la muestra 2540, si bien observamos que el error medio

más pequeño se observa cuando se toman el total de los datos no sería muy acertado

elegir dicha cantidad de muestras puesto que no necesariamente se asegura una óptima

identificación. En cambio, si elegimos 1500 muestras, nos permitirá seguir teniendo una

óptima identificación con un menor tiempo y una menor cantidad de data, así podemos

estimar el comportamiento del sistema que estamos identificando. Los parámetros

elegidos que describen el sistema de laminación con las consideraciones planteadas en

el ítem 7.3, se muestran en la Tabla 7.1

Parámetro Corriente Parámetro Velocidad

c1 728.781577 p1 743.863800

c2 490.621782 p2 450.8397690

c3 157.126554 p3 122.9155609

d1 -83.349880 q1 28.3493478

d2 170.818262 q2 16.3779282

d3 151.161571 q3 4.1301504

h1 604.848903 r1 -36.2006630

h2 -1428.294988 r2 -46.6477872

h3 -1234.642502 r3 -25.7138625

Tabla 7.1: Parámetros calculados para el modelo de la corriente y velocidad.

7.6 Validación del modelo aplicado al laminador

Para la identificación del sistema de laminación, tenemos 2790 muestras obtenidas

cada 16.8 ms, siendo el tiempo total de la adquisición de datos de 47,12 segundos.

Finalmente, la respuesta real del sistema se compara con el modelo de Laguerre

identificado, como se muestra en las figuras 7.8 y 7.9, donde podemos observar la

comparación entre las respuestas del modelo (línea azul) y el sistema (línea verde).

En la figura 7.8, se concluye que la corriente de armadura en el motor de corriente

continua se identificó con bastante precisión, así si observamos la figura 7.7A, podemos

notar que el error de identificación promedio es menor al 0.85%.

En la figura 7.9, se presenta la comparación de la velocidad del laminador,

concluyendo también que el error de identificación promedio se reduce a valores menores

del 0.1%, como se muestra en la figura 7.7B.

91

Figura 7.8: Comparación de la corriente del sistema con la del modelo.

Figura 7.9: Comparación de la velocidad del sistema con la del modelo.

5 10 15 20 25 30 35 40 45-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

tiempo (seg)

Am

perio

s


5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

25

tiempo (seg)

RP

M


92

CAPÍTULO VIII CONTROL PREDICTIVO NO LINEAL BASADO EN MODELOS

En este capítulo, se detallan los conceptos teóricos y metodologías del control

predictivo que se basan estrictamente en modelos matemáticos, y en particular los

modelos que usan polinomios ortogonales. Cuando nos referimos al control predictivo,

nos referimos a los controladores que se diferencian uno del otro por el modo de

predicción y el método utilizado para determinar la ley de control.

El controlador MPC que proponemos, usa un modelo de parámetros dinámicos

para describir la no linealidad del sistema y además debe controlar la velocidad del tren

de laminación utilizado en la fabricación de baldosas de vinilo, para ello debe tener un

alto rendimiento, sobre todo frente a los impactos repentinos de carga, y además con la

capacidad de seguimiento eficaz de una función de referencia de velocidad para evitar

las nocivas tracciones del manto en los trenes de laminación.

8.1 Fundamentos del control predictivo basado en modelos El Control Predictivo basado en Modelos, no es una estrategia de control

específica, sino que involucra un campo muy amplio de métodos de control. Los

métodos de diseño conducen generalmente a controladores que poseen prácticamente

la misma estructura y presentan suficientes grados de libertad. [29]. Fue concebido para

dar solución al control de plantas químicas y plantas de potencia; actualmente puede

encontrarse en diversas áreas: metalurgia, automotriz, procesamiento de pulpa de

papel, alimentos, robótica, etc. El control predictivo para su implementación requiere:

Conocimiento del modelo para predecir la salida del proceso en futuros instantes

de tiempo (horizonte).

Cálculo de las variables de control que permitan minimizar una función objetivo.

Uso de estrategia deslizante, de forma que en cada instante el horizonte se

desplace hacia el futuro, lo que implica aplicar la primera componente del vector

de control en cada instante y desechar el resto, repitiéndose el cálculo en cada

instante de muestreo.

93

Los distintos algoritmos de MPC se diferencian casi exclusivamente en el modelo

usado para representar el proceso, el ruido y la función de costo a minimizar.

El MPC presenta una serie de ventajas sobre los métodos convencionales, entre

las que podemos destacar:

Resulta particularmente atractivo para personal sin un profundo conocimiento de

control, puesto que los conceptos resultan en muchos casos muy intuitivos, a la

vez que la sintonización no es tan complicada.

El control MPC puede ser usado para controlar una gran variedad de procesos,

desde aquellos con dinámica relativamente simple hasta otros más complejos

incluyendo sistema con grandes retardos, y los de pequeño margen de fase.

Permite tratar con facilidad el caso de sistemas multivariables.

Posee intrínsecamente compensación del retardo.

Resulta conceptualmente simple la extensión al tratamiento de restricciones, que

pueden ser incluidas de forma sistemática durante el proceso de diseño. Las

restricciones en las señales de control generalmente vienen dadas por las

limitaciones físicas de los actuadores.

Es muy útil cuando se conocen las futuras referencias como en los procesos tipo

batch.

Las limitaciones de las técnicas MPC, se pueden detallar como:

Costo computacional elevado, excepto si:

- No hay restricciones, no requiere optimización on-line y el costo

computacional disminuye notablemente.

- La tasa de actualización de los movimientos de control es baja, como es

el caso de los sistemas con dinámicas relativamente lentas.

El mayor inconveniente viene dado por la necesidad de disponer de un modelo

apropiado del proceso. Si no hay modelo que describa la dinámica del sistema

no es posible hacer uso del MPC.

Estrategia de los Controladores La metodología de los controladores pertenecientes a la familia MPC se caracteriza

por la estrategia representada en la figura 8.1.

94

En cada instante t y haciendo uso del modelo del proceso se predicen las

futuras salidas para un determinado horizonte N, llamado horizonte de

predicción.

Figura 8.1: Estrategia del Control Predictivo.

Las salidas futuras, y(t + k|t) para k =1…N dependen de los valores conocidos

hasta el instante t (entradas y salidas pasadas) y de las señales de control

futuras u(t + k|t), k=0…N-1 que actuarán sobre el sistema y que deben

calcularse. Nótese que a lo largo de esta tesis, se denotara y(t + k|t) al estado del

sistema predicho en el instante t + k a partir del estado conocido en el instante t. El conjunto de señales de control futuras se calcula optimizando una

determinada función objetivo que permitirá mantener el proceso lo más próximo

posible a la trayectoria de referencia w(t+k). Esta función objetivo normalmente

suele ser una función cuadrática de los errores entre la salida predicha y la

trayectoria de referencia, incluyendo en muchos casos el esfuerzo de control.

[29]

También es necesario que la primera entrada del vector control u(t|t) actúe sobre

el proceso mientras que las demás entradas son desechadas, puesto que en el

siguiente instante de muestreo ya se conoce y(t+1) y se repite el paso anterior

con este nuevo valor y todas las secuencias obviamente serán actualizadas. Se

calcula por tanto u(t+1|t+1) (que en principio será diferente al u(t+1|t) al disponer

de nueva información), haciendo uso del concepto de horizonte deslizante.[30]

Para llevar a cabo esta estrategia, es necesario usar una estructura como la

mostrada en la figura 8.2.

95

Figura 8.2: Estructura básica del control predictivo.

8.1.1 Modelos para MPC Como se había mencionado anteriormente, la piedra angular del MPC es el modelo

previamente identificado y el cual debe ser lo suficientemente capaz de capturar al

máximo la dinámica del proceso y a la vez que sea intuitivo. El uso del modelo obtenido

para el proceso, es necesario para el cálculo de la salida predicha en instantes futuros

y(t +k | t).

Las estrategias MPC pueden usar distintos modelos para representar la relación de

las salidas con las entradas medibles, algunas de las cuales serán variables

manipuladas y otras se pueden considerar como perturbaciones medibles, que pueden

ser compensadas por acción feed-forward.

Además conviene considerar un modelo para las perturbaciones, para describir el

comportamiento que no aparece reflejado en el modelo del proceso, englobándose de

esta manera el efecto de las entradas no medibles, el ruido y los errores de modelado.

Para el estudio se puede separar el modelo en dos partes:

El modelo del proceso propiamente dicho, y

El modelo de las perturbaciones.

8.1.2 Modelo para procesos lineales Modelos identificados por su Respuesta al Impulso

También conocida como secuencia de ponderación o modelo de convolución de

primer orden. La salida viene relacionada con la entrada a través de la siguiente

ecuación:

1

)()(i

i ituhty (8.1)

p(k)

v(k)

96

Donde los hi son los valores muestreados obtenidos al someter al proceso a un

impulso unitario de amplitud igual al período de muestreo (ver figura 8.3A). Esta suma

es truncada y solo se consideran N valores (por tanto, sólo permite representar

procesos estables y sin integradores), teniendo:

1

1( ) ( ) ( ) ( )

N

ii

y t h u t i H z u t

(8.2)

Dónde )(...)()()( 22

11

1 NN zhzhzhzH .

El inconveniente de este método es su gran número de parámetros. En estos casos

la predicción vendrá dada por:

)()()()(ˆ 1

1tktuzHtiktuhtkty

N

ii

(8.3)

Este método es ampliamente aceptado en la práctica industrial para aproximar

dinámica de procesos rápidos que pueden aceptar señales de entrada de alta velocidad

y debido a que es muy intuitivo y no requiere información previa sobre el proceso.

Modelos identificados por Respuesta ante el escalón Es muy similar al anterior; pero la señal de entrada es un escalón. En el caso de

sistemas estables se tiene la respuesta truncada que será:

1 1

1( ) ( ) ( )(1 ) ( )

N

o i oi

y t y g u t i y G z z u t

(8.4)

Donde las gi son los valores muestreados ante la entrada en escalón y ∆푢(푡) =

푢(푡) − 푢(푡 − 1), según se muestra en la figura 8.3B. El valor de 푦 puede tomarse 0 sin

pérdida de generalidad, y su forma predictiva está dada por la siguiente ecuación:

1

ˆ( ) ( )N

ii

y t k t g u t k i t

(8.5)

Este método se utiliza en sistemas de dinámica lenta, como el caso de los sistemas

de destilación.

97

Figura 8.3A: Respuesta del proceso ante impulso unitario.

Figura 8.3B: Respuesta del proceso ante entrada del tipo escalón.

Identificación mediante Función de transferencia Se utiliza el concepto que la salida depende de una función tal como se detalla:

1 1A( ) ( ) B( ) ( )z y t z u t (8.6)

Siendo: 1 1 2

1 2A( ) 1 .... nanaz a z a z a z (8.7)

1 1 21 2B( ) .... na

naz b z b z b z (8.8)

98

Por tanto la ecuación predictiva estará determinada por:

1

1

B( )ˆ ( ) ( )A( )

zy t k t u t k tz

(8.9)

En estos casos es fundamental tener un conocimiento a priori del proceso sobre

todo en lo relacionado al orden de los polinomios A y B; y tienen su aplicación en

sistemas con retardo y de constantes de tiempo grande.

Identificación mediante Espacio de estados Este modelo de proceso tiene la siguiente representación:

(8.10)

(8.11)

Siendo x el vector de estados y A, B y C las matrices del sistema, de entrada y

de salida respectivamente. Para este modelo la ecuación predictiva es:

1

1

ˆ( ) C ( ) A ( ) A B ( )k

k i

i

y t k t x t k t C x t u t k i t

(8.12)

La ventaja de este modelo es su aplicabilidad en sistemas multivariables,

permitiendo a la vez analizar la estructura interna del proceso (aunque puede ocurrir

que los estados obtenidos al discretizar no puedan tener ningún significado físico). Los

cálculos pueden ser complicados cuando se tiene la necesidad de incluir observadores

de estados.

Modelo identificado por perturbaciones

Un modelo bastante extendido es el Autorregresivo Integrado de Media Móvil

(ARIMA), en el que las perturbaciones se describen por la ecuación:

1

1

C( ) ( )( )D( )z e tn t

z

(8.13)

Donde el polinomio 1D( )z incluye explícitamente el integrador )(),(1 1 tez es

un ruido de media cero y el polinomio C se considera igual a uno. Este modelo se

( ) A ( 1) B ( 1)( ) C ( )

x t x t u ty t x t

99

considera apropiado para dos tipos de perturbaciones: cambios aleatorios ocurridos en

instantes aleatorios (por ejemplo cambio en la calidad del material) y movimiento

browniano (en procesos con balance de energía) y es usado en varios métodos. Nótese

que al incluir un integrador se consigue un control con error casi nulo en régimen

permanente (escrito en inglés como: offset-free). Como un caso particular del ARIMA la

perturbación constante está dada por:

11)()(

ztetn

(8.14)

Cuya ecuación predictiva será: 푛(푡 + 푘/푡) = ( )n t

8.1.3 Respuestas libre y forzada en los MPC En los controladores MPC es usual el empleo de los conceptos de repuesta libre y

forzada. La idea es expresar la secuencia de acciones de control como la suma de dos

señales como sigue:

)()()( tututu cf (8.15)

La señal ( )fu t corresponde a las entradas pasadas (anteriores al instante t) y en el

futuro se mantiene constante e igual al último valor de la variable manipulada. Es decir,

)()( jtujtu f Para j = 1,2,3… (8.16)

)1()( tujtu f Para j = 0,1,2,… (8.17)

La señal ( )cu t vale cero en el pasado y corresponde a las señales de control en los

instantes futuros:

0)( jtuc Para j=1, 2, 3… (8.18)

)1()()( tujtujtuc Para j = 0, 1, 2,… (8.19)

La secuencia de salida predictiva se separa en dos partes, como se destaca en la

figura 8.4, en la que:

100

(yf(t)), (la respuesta libre) corresponde a la predicción de la salida cuando la

variable manipulada se hace igual a uf(t),

(yc(t)),(la respuesta forzada) corresponde a la predicción de la salida cuando la

señal de control es uc(t).

La respuesta libre corresponde a la evolución del proceso debido a su estado

actual (incluido por tanto el efecto de acciones pasadas) mientras que la respuesta

forzada es la debida a las acciones de control futuras.

Figura 8.4: Respuesta libre y forzada.

8.1.4 Función objetivo Muchos algoritmos MPC proponen distintas funciones de costo para la obtención

de la ley de control. En general se persigue que la salida futura en el horizonte

considerado siga una señal de referencia minimizando el error además de optimizar el

esfuerzo de control, lo cual se expresa como:

2

1

2 21 2

1

ˆ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)uNN

uj N j

J N N N j y t j t w t j j u t j

(8.20)

En algunos métodos el esfuerzo de control no se toma en cuenta, mientras que en

otros aparecen directamente los valores de la señal de control (no sus incrementos); los

coeficientes )( j y )( j son secuencias de pesos que ponderan el comportamiento

futuro. En la función de costo se pueden considerar:

Error en el seguimiento de referencia.

Esfuerzo de control.

101

Parámetros: Llamamos a N1 y N2 los horizontes mínimos y máximo de la

función de costo (o función objetivo) y a Nu el horizonte de control, que no tiene

por qué coincidir necesariamente con el horizonte máximo, como se verá

posteriormente. El significado de N1 y N2 resulta bastante intuitivo porque

marcan los límites de los instantes en que se desea que la salida siga a la

referencia. Así, si se toma un valor grande de N es porque realmente no importa

que haya errores en los primeros instantes, lo cual provocará una respuesta

suave del proceso. Por ejemplo para procesos con tiempo muerto d no tiene

sentido que N1 sea menor que d, puesto que la salida no empezará a

evolucionar sino hasta el instante t+d.

Los coeficientes휹(풋) y흀(풋) son secuencias que ponderan el comportamiento

futuro. Usualmente se consideran valores constantes o secuencias

exponenciales. Por ejemplo se puede conseguir un peso exponencial de 훿(푗) a

lo largo del horizonte usando:

jNj 2)( (8.21)

Si 훼 está comprendido entre 0 y 1 indica que se penaliza más a los errores

más alejados del instante t que a los más próximos, dando lugar a un control

más suave y con menor esfuerzo. Si, por el contrario, 훼 > 1 es que se penalizan

más los primeros errores, provocando un control más brusco.

Tanto como pueden ser usados como parámetros de sintonización,

obteniendo un abanico muy amplio de posibilidades con las que se puede cubrir

una extensa gama de opciones que abarcarían desde un control estándar hasta

una estrategia más compleja diseñada a medida para un proceso en particular.

8.1.5 Trayectoria de referencia Una de las ventajas del control predictivo es que si se conoce a priori la evolución

futura de la referencia, el sistema puede empezar a reaccionar antes de que el cambio

se haya realizado, evitando los efectos del retardo en la respuesta del proceso.

En muchas aplicaciones la evolución futura de la referencia r(t+k) es conocida de

antemano, como por ejemplo en robótica, servos mecanismos y procesos batch. En

otras aplicaciones aunque la referencia sea constante, se puede conseguir mejora en

las prestaciones conociendo el instante de cambio de valor y adelantándose a esa

circunstancia.

102

En el criterio de minimización (8.20), la mayoría de los métodos suelen usar una

trayectoria de referencia ( )w t k que no tiene por qué coincidir con la referencia real.

Normalmente será una suave aproximación desde el valor actual de la salida ( )y t a la

referencia conocida mediante un sistema de primer orden:

( ) ( )( ) ( 1) (1 ) ( ) 1...

w t y tw t k w t k r t k k N

(8.22)

훼 es un parámetro comprendido entre 0 y 1 (mientras más próximo a 1 más suave

será la aproximación) que constituye un valor ajustable que influirá en la respuesta

dinámica del sistema. En la figura 8.5 se muestra la forma de la trayectoria cuando la

referencia 푟(푡 + 푘)es constante y para dos valores distintos de훼; para valores pequeños

de este parámetro se tiene un seguimiento rápido 1( )w mientras que si aumenta, la

trayectoria de referencia será 2w dando lugar a una respuesta más suave [28].

Figura 8.5: Trayectoria de referencia.

8.1.6 Restricciones

En la práctica, todos los procesos están sujetos a restricciones. Los actuadores

tienen un campo limitado de acción así como una determinada velocidad de cambio

(slewrate), como es el caso por ejemplo de las válvulas hidráulicas, limitadas por las

posiciones de totalmente abierta o cerrada y por la velocidad de respuesta. Razones

constructivas, de seguridad o medioambientales o bien los propios alcances de los

sensores pueden causar límites en las variables del proceso, tales como caudales en

tuberías o temperaturas y presiones máximas. De otra parte las condiciones de

operación vienen definidas por la adopción de ciertas restricciones por motivos

103

fundamentalmente económicos, con lo que el sistema de control operará cerca de los

límites deseados.

Todos estos criterios vertidos hace necesaria la introducción de restricciones en la

función que minimice el proceso. Normalmente se considerarán límites en la amplitud y

el slewrate de la señal de control y límites en las salidas por ejemplo:

tytyytdututudututuu

maxmin

maxmin

maxmin

)()1()(

)(

(8.23)

Con la incorporación de estas restricciones a la función objetivo, la minimización

resulta más compleja, y no es obtenible de modo simple como el caso original que no

usa restricciones.

8.2 Obtención de la Ley de Control Para obtener los valores 푢(푡 + 푘|푡) será necesario minimizar la función de costo J

de la ecuación (8.20). Para ello se calculan los valores de las salidas predichas

푦(푡 + 푘|푡) en función de valores pasados de entradas y salidas y de señales de control

futuras, haciendo uso del modelo que se haya elegido, se sustituye dicho modelo en la

función de costo, obteniendo una expresión cuya minimización nos conducen a la

obtención de los parámetros desconocidos. Para el criterio cuadrático si el modelo es

lineal y en primera instancia no aplicamos restricciones, se puede obtener una solución

analítica, en los demás casos se debe usar un método iterativo de optimización.

Cualquiera sea el método usado para obtener la ley de control, la solución no

resulta trivial pues existirán N2 – N1 + 1 variables independientes, valor que puede ser

elevado (del orden de 10 a 30). Con la idea de reducir estos grados de libertad se

puede proponer cierta estructura a la ley de control. Además, se ha encontrado que

esta estructuración de la ley de control produce una mejora en la robustez y en el

comportamiento general del sistema, debido fundamentalmente a que el hecho de

permitir la libre evolución de las variables manipuladas (sin estructurar) puede conducir

a señales de control de alta frecuencia no deseables y que en el peor de los casos

podrían conducir a la inestabilidad.

104

La estructura de la ley de control se plasma en el uso del concepto de horizonte de

control M, que consiste en considerar que tras un cierto intervalo M < N2 no hay

variación en las señales de control propuestas, es decir:

( 1) 0u t j j M (8.24)

Lo cual es equivalente en el control a partir de cierto instante. El caso límite sería

considerar M igual a 1 con lo que todas las acciones futuras serian iguales a u(t).

8.2.1 Estrategia de control utilizando control predictivo y algoritmo de la MDC En esta tesis se propone utilizar un controlador MPC de elevado rendimiento para

controlar la velocidad de un sistema de laminación que puede arrancar bajo carga o que

puede recibir severos impactos de carga durante el proceso de laminación.

El criterio para elegir el MPC radica en la necesidad de utilizar un “set point variante

en el tiempo” que permita un arranque suave de la máquina en el afán de evitar los

grandes esfuerzos mecánicos del sistema involucrado así como del motor que actúa

como “drive” principal. En tal sentido la elección de la estrategia MPC es relevante

porque se requiere seguir trayectorias de referencias en razón de la cual es una técnica

apropiada para el proceso materia de estudio.

El MPC elegido usa el “Algoritmo de la matriz Dinámica de Control”, pero con la

relevancia que basado en el modelo del sistema obtenido se implementarán todas las

matrices que requieren del modelo, a diferencia del modelo tradicional que usa la

respuesta a una señal escalón como es usual en los controladores que usan MPC con DMC pero que carecen del modelo dinámico para representar el comportamiento

del proceso industrial involucrado [23].

8.2.2 Control predictivo Para la propuesta de este modelo, previamente definimos el horizonte de control M

y el horizonte de predicción N [29], basado en estos conceptos retomamos el modelo

previamente obtenido en la fase de identificación. Para el caso de la corriente, tenemos:

11 1 1

ˆ

( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( )p p pN N N

a i i a i i a i ii i i

ai

i k c l k i k d l k w k h l k v k k

(8.25)

105

Considerando que el modelo usa una base finita de polinomios ortogonales

introducimos el error de identificación 1( )k .Para el caso de la velocidad del laminador

usamos el mismo criterio con lo cual tenemos la siguiente ecuación:

21 1 1

( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( )

ˆ

p p pN N N

a i i a i i a i i li i i

a

w k p l k w k q l k i k r l k t k k

w

(8.26)

De idéntica manera como para el caso de la corriente se introduce el parámetro

2( )k como error de identificación en razón de utilizar una base finita de polinomios

ortogonales para definir los parámetros del sistema laminador.

a.- Justificación de la aproximación de los parámetros En todos los casos utilizaremos de manera genérica el Teorema de Riezs-Fisher

que dice que toda constante puede ser aproximada por una sumatoria de funciones

ortogonales, pertenecientes al espacio de Hilber, es decir infinitas funciones, en

consecuencia todo termino debe ser asociado del modo siguiente:

0(.) i i

ih c

(8.27)

Sin embargo como vamos a trabajar con una base ortogonal de un espacio finito,

aparece el error ( )k , por lo tanto cualquier parámetro genérico 0

(.) i ii

h c

será

usado en un rango finito 푁 esto trae una ventaja porque ya se está trabajando con una

base dimensionalmente finita y no infinita como propone el Teorema de Riesz-Fisher.

Adicionalmente para obtener parámetros similares a los utilizados en los

controladores que usan DMC realizamos los siguientes cambios de variables

necesarios.

106

p

p

p

p

N

jijj

N

jijj

N

jijj

N

jijj

gkgklp

akaklh

fkdkld

bkbklc

1

1

1

1

)()(

)()(

)()(

)()(

p

p

N

jijj

N

jijj

qkqklr

pkpklq

1

1

)()(

)()(

(8.28)

b.- Ecuaciones del Modelo en el Algoritmo DMC Reescribiendo las ecuaciones (8.25), (8.26) y aplicando (8.28) tenemos:

Que son las nuevas ecuaciones que describen el modelo del comportamiento del

laminador, motivo del desarrollo de la presente tesis. [31]

8.2.3 Formulación del modelo matricial Las ecuaciones (8.29) y (8.30) que describen al modelo pueden ser escritos en

función de los horizontes de control y predicción, M y N respectivamente del modo

siguiente:

a) Caso para Mm : m m m

a i a i a ii=1 i=1 i=1

N N N

i a i a i 1i=m+1 i=m+1 i=m+1

i (k + m) = b i (k + m - i) + f w (k + m - i) + a v(k + m - i)

+ b i (k + m - i) + f w (k + m - i) + a v(k + m - i) + ε (k +m)

(8.31)

)30.8()()1()()()1()29.8()()1()()()1(

2

1

kktqkipkwgkwkkvakwfkibki

liaiaia

iaiaia

107

m m m

a i a i a i Li 1 i 1 i 1

N N N

i a i a i L 2i m 1 i m 1 i m 1

w (k m) g w (k m i) p i (k m i) q T (k m i)

g w (k m i) p i (k m i) q T (k m i) (k m)

(8.32)

En ambas ecuaciones los tres primeros términos representan las señales del

futuro y los otros tres las señales del pasado.

b) Caso donde M m N : m m m

a i a i a ii m M 1 i m M 1 i m M 1

N N N

i a i a i 1i m 1 i m 1 i m 1

i (k m) b i (k m i) f w (k m i) a v(k m i)

b i (k m i) f w (k m i) a v(k m i) (k m)

(8.33)

m m m

a i a i a i Li m M 1 i m M 1 i m M 1

N N N

i a i a i L 2i M 1 i M 1 i M 1

w (k m) g w (k m i) p i (k m i) q T (k m i)

g w (k m i) p i (k m i) q T (k m i) (k m)

(8.34)

Del mismo modo para el caso descrito en a) los primeros tres términos son las

señales futuras y las restantes son las señales del pasado.

8.2.4 Estrategia MPC usando el enfoque de la MDC De las ecuaciones (8.31) y (8.33) tomando los términos

m m

i a i ai 1 i m M 1

b i (k m i) y b i (k m i)

para 1 m M y M m N

respectivamente, podemos escribir de modo matricial dichas expresiones, para lo cual

previamente ilustramos el método con el siguiente desarrollo. Si:

108

1 a

1 a 2 a

1 a 2 a 3 a

1 a 2 a 3 a M a

2 a 3 a 4 a M 1 a

3 a 4 a

m 1 b i (k)m 2 b i (k 1) b i (k)m 3 b i (k 2) b i (k 1) b i (k)..m M b i (k M 1) b i (k M 2) b i (k M 3) ...... b i (k)m M 1 b i (k M 1) b i (k M 2) b i (k M 3) .... b i (k)m M 2 b i (k M 1) b i (k M 2) b

5 a M 2 a

N M 1 a N M 2 a N 1 a N a

i (k M 3) .... b i (k)..m N b i (k M 1) b i (k M 2) ..........b i (k 1) b i (k)

Las expresiones anteriores corresponden al desarrollo para el horizonte de control

M expandida hasta el horizonte de predicción N, para que puedan ser aplicadas en las

ecuaciones (8.31) y (8.33). De tal manera que con esta información podremos escribir

Ta (f ) f a ai A i (k) ........ i (k M 1) , donde a (f )i representa los términos del futuro para la

corriente y a su vez fA quedara expresada de manera matricial como:

1

2 1

3 2 1

f M M 1 1

M 1 M M 1 2

M 2 M 1 M M 1 3

N N 1 N M 1

b 0 0 0 0b b 0 0 0b b b 0 0

A b b bb b b bb b b b b

b b b

(8.35)

De manera similar usaremos N N

i a i ai m 1 i m 1

b i (k m i) y b i (k m i)

Para las condiciones de m M y M m N respectivamente. Siguiendo con el

criterio anterior planteamos el siguiente desarrollo y decimos:

Si

109

2 a 3 a N 1 a N a

3 a 4 a N 1 a N a

N 1 a N a

N a

m 1 b i (k 1) b i (k 2) ..... b i (k 2 N) b i (k 1 N)m 2 b i (k 1) b i (k 2) ..... b i (k 3 N) b i (k 2 N)..m N 2 b i (k 1) b i (k 2)m N 1 b i (k 1)m N 0

Entonces podemos escribir,

Ta ( p ) p a a a a ai A i (k 1) i (k 2) ... i (k 2 N) i (k 1 N) i (k N) (8.36)

Donde a (p)i , representa los términos del pasado para la corriente y a su vez pA

quedara expresada de manera matricial como:

2 3 N 2 N 1 N

3 4 N 1 N

4 5 N

p

N 1 N

N

b b b b b 0b b b b 0 0b b b 0 0 0

Ab b 0 0 0b 0 0 0 00 0 0 0 0

(8.37)

Se debe notar que se ha añadido una fila y una columna de entrada cero para tener

una matriz cuadrada N x N. Para ilustrar de modo general la obtención de las matrices

desarrolladas la matriz genérica del futuro se escribe como sigue

1

2 1

1 1

1 1

0 00

M M

N N N M

(8.38)

110

Dónde:

Es la matriz de las señales futuras.

Es la entrada generalizada.

En segunda instancia representamos la matriz genérica de las señales del

pasado como:

0000000

000

43

32

N

N

(8.39)

Luego el conjunto de las matrices genéricas a(k m)i y a(k m)w pueden ser escritas de

manera compacta como:

1

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]a af f ap p af f ap p

Lf f Lp p

i i A i A w B w B

V C V C

(8.40)

2

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]a af f ap p af f ap p

Lf f Lp p

w w D w D i E i E

T F T F

(8.41)

Dónde: T

aaf MkwkwW )]1(...)([][

Taap NkwkwW )](...)1([][

[ ] [ ( ) ... ( 1)]TLfV v k v k M

[ ] [ ( 1) ... ( )]TLpV v k v k N

TLLLf MkTkTT )]1(...)([][

TLLLp NkTkTT )](...)1([][

111

Donde 휀 es el error entre la respuesta del sistema y las funciones de referencia.

Para obtener las matrices fB , fC fD fE pB pC pD pE se utiliza las matrices

generalizadas y tal como se muestra en la tabla inferior donde se presenta el

modo como se relacionan las matrices de las ecuaciones (8.38) y (8.39).

i

Af bi Ap

Bf di Bp

Cf ai Cp

Df gi Dp

Ef pi Ep

Ff qi Fp

Tabla 8.1: Tabla de matrices relativas a las ecuaciones 8.38 y 8.39.

Finalmente, las ecuaciones (8.40) y (8.41) representan la estrategia MPC basada

en el modelo de Laguerre utilizando el algoritmo DMC, recordando que la diferencia

entre el algoritmo DMC propuesto y el clásico es que el propuesto usa el modelo

identificado para obtener las entradas de la matriz,

Función Objetivo y Ley de Control En las técnicas de control predictivo una de las tareas principales es la de establecer

una función objetivo dependiente de las variables más importantes del proceso en el

sistema bajo estudio, en este sentido dadas las ecuaciones (8.40) y (8.41), el parámetro

velocidad del sistema laminador debe controlarse con gran precisión ya que la calidad de

las baldosas vinílicas depende de su estabilidad. Adicionalmente un parámetro

importante en sistemas electromecánicos DC son los esfuerzos de control o V (voltios)

ejercidos sobre la armadura del motor. En razón de lo señalado se propone una función

de costo [32] que involucre tanto el error de velocidad como al esfuerzo de control, tal

como sigue:

2 2

1 1

1 1[ ] [ ( )]N M

ai j

J Wref W V k j iN M

(8.42)

112

Que también puede expresarse como:

2 2

1 1

1 1[ ( )] [ ( )]N M

i jJ k i V k j i

N M

Dónde: ( ) ak i Wref W representa el error de velocidad, N el horizonte de

predicción, M el horizonte de control y un factor de ponderación escalar.

Analizando la ecuación (8.41) encontramos que esta no tiene dependencia directa

del vector V y resulta obvio que no hay dependencia de los esfuerzos de control V .

Para superar este problema se propone el uso de una función “alternativa” dependiente

del parámetro V con el fin de obtener una función objetivo que permita optimizar V . La

función propuesta es:

( 1) ( )a f afrW k C V W k (8.43)

Dónde:

aW : Es la velocidad en el eje de la calandria del laminador.

afrW : Es la respuesta forzada de la velocidad.

: Es un factor de ponderación.

fC : Matriz de los términos del futuro para V

V : Son las entradas del futuro del vector V

A continuación se representa )( ik como una función de )( ijkV ; para lo cual

planteamos el siguiente desarrollo:

V(k)=V(k-1)+ V(k)

1)+V(kV(k)+1)-V(k=1)V(k

2)+V(k+1)+V(kV(k)+1)-V(k=2)V(k

3)+V(k +2))+V(k+1)+V(kV(k)+1)-V(k=3)V(k

Y para el término M -1 tenemos:

113

V(k M-1)=V(k-1)+ V(k) V(k+1)+ V(k+2))……+ V(k+M-1)

Todos los estados de V(k) hasta V(k M-1) han sido planteadas líneas arriba.

Finalmente, representando matricialmente las M ecuaciones, tenemos:

( )( 1)

( 1)

V kV k

V K M

=

1 0 0 0 0 ... 00 1 0 0 0 ... 00 0 1 0 0 ... 0

...0 0 0 0 1 ... 00 0 0 0 0 ... 1

( 1)( 1)( 1)

( 1)

V kV kV k

V k

+

1 0 0 0 0 ... 01 1 0 0 0 ... 01 1 1 0 0 ... 0

...1 1 1 1 1 ... 01 1 1 1 1 ... 1

( )( 1)( 2)

( 1)

V kV kV k

V k M

Que en su forma compacta, puede ser representada matricial tal es como sigue:

iV =L V*+L V Dónde:

V =

( )( 1)

( 1)

V kV k

V K M

iL =

1 0 0 0 0 ... 00 1 0 0 0 ... 00 0 1 0 0 ... 0

...0 0 0 0 1 ... 00 0 0 0 0 ... 1

V* =

( 1)( 1)( 1)

( 1)

V kV kV k

V k

L=

1 0 0 0 0 ... 01 1 0 0 0 ... 01 1 1 0 0 ... 0

...1 1 1 1 1 ... 01 1 1 1 1 ... 1

V =

( )( 1)( 2)

( 1)

V kV kV k

V k M

Debe observarse que V representa la matriz de los esfuerzos de control. El

siguiente paso en la construcción de J es la de representar aW ( 1)k a partir de la

función auxiliar; con tal criterio planteamos:

aW ( 1)k = f i f(C L V*+C L V) + afW ( )r k

114

Y que matricialmente puede expresarse del modo siguiente:

a f i f afrW ( 1) [ (C L V*+C L V)] W ( )k k (8.44)

Ayudados de esta definición reescribimos la función objetivo como sigue:

2 2

ref aJ [W -W ] [ ]V (8.45)

T Tref f i f afr ref f i f afrJ [W - C L V*- C L V W ] [W - C L V*- C L V W ] V V (8.46)

8.3 Tipos de control MPC En la presente tesis se proponen dos modelos diferenciados especialmente en la

obtención de la ley del controlador puede obtenerse en su forma general y en su forma

elemental como a continuación detallo.

8.3.1 Controlador MPC usando la DMC Por lo general para obtener la Ley del Controlador, se debe establecer una Función

Objetivo, en el caso particular se busca que involucre el error de la velocidad y los

esfuerzos de control, en tal sentido planteamos la ecuación que debe ser minimizada

para V para lo cual derivamos e igualamos a cero la ecuación (8.46) [31] tal como se

muestra:

2 *( ) 0T Tf f f ref f i afrT

dJ C C L V C W C LV W Vd V

La solución de V es lo que se conoce como la Ley del Controlador. 2 * *( L) ( )T T

f f f ref f i afrV inv I C C C W C L V W

Donde para motivos de aplicación se hace una aproximación de Wa(k), que para

motivos prácticos es válida, tal como se muestra: 2 * *

( )

( L) ( )a

T Tf f f ref f i afr

W k

V inv I C C C W C L V W

Finalmente lo anterior se basa en la propuesta de que ∆푉(푘) ≪ 푉∗, para obtener una

expresión simplificada que cumpla con los fines propuestos, quedando de la forma

siguiente: *( ) ( ( ) ( ))T

f f ref aV inv I C C W k W k (8.47)

115

8.3.2 Controlador MPC tipo escalar Un caso particular es aquel del Control Predictivo llamado Escalar donde el horizonte

de predicción es M=1, de tal manera que el vector de la denominada Ley del Controlador

sería una matriz de 1x1, mientras que en el otro caso tiene M elementos, aclarando que

de los M elementos de los cuales se debe tomar solamente el primer elemento del vector

en su forma predictiva, se toma solo el primero porque en la siguiente corrida todos los

otros se convierten en términos del pasado.

A partir de la ecuación (8.47), asumiendo el horizonte de control involucrado en la

ecuación (8.42) y con M=1, se obtiene la ley de control escalar de la siguiente forma:

1

2

1

[ ( | ) ( | )]( )

N

k ref aK

N

kK

c w t k t w t k tu t

c

(8.48)

Donde u(t) representa la señal de control.

El Control MPC que usa como modelo la DMC implica que estamos hablando de

sistemas que pueden tener un Horizonte de Predicción determinado y naturalmente un

Horizonte de Control considerable. No todos los modelos pueden trabajarse bajo el

sistema escalar sino que en muchos casos se debe de recurrir a un horizonte de

predicción mayor para tener una precisión más adecuada.

Cabe mencionar que en muchos casos para aplicaciones de control en tiempo real

utilizando sistemas embebidos (Microcontrolador, FPGA, DSP), resulta conveniente

desarrollar la programación mediante la ley de control escalar, que se basa solo en

operaciones aritméticas básicas como sumas y restas de las variables y parámetros

utilizados cuando el sistema sea sencillo; pero a su vez importante.

Dependiendo de la complejidad del sistema, resultará conveniente algunas veces

usar la ley de control escalar y en otros casos la DMC que a pesar de su complejidad

matemática nos garantizará un control predictivo más preciso.

116

CAPÍTULO IX CONTROL DE UN LAMINADOR DE ALTA POTENCIA USANDO MPC

En este capítulo se muestra los resultados de la simulación cuando se formula un

algoritmo MPC basado en los criterios de la DMC desarrollado en el capítulo 8, en el cual

las no linealidades son representadas por los polinomios de la base ortogonal utilizada.

En tal sentido se realizaron diversas simulaciones para el control de velocidad de un

laminador de alta potencia, controlando la trayectoria desde la puesta en marcha hasta

alcanzar un set point final.

9.1 Criterios para el diseño del controlador 9.1.1 Señales de referencia

En un laminador de alta potencia, y en general en todo proceso industrial donde se

manipulen cargas de elevada potencia, los cambios bruscos de la referencia no son

recomendables, puesto que una acción de control violenta pueda ocasionar demandas

excesivas de potencia y esfuerzos mecánicos que obligaría a sobredimensionar eléctrica

y mecánicamente el sistema.

a) Señal Escalón r(t)=1

Figura 9.1: Función escalón normalizado.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

Am

plitu

d

117

La señal escalón, es una de las referencias más utilizadas en los sistemas de control,

donde se verifica la repuesta dinámica del sistema en el seguimiento de dicha referencia,

el inconveniente que presenta este tipo de señal es su cambio brusco generando sobre

picos muy elevados, que obligaría a controlar una gran energía en el arranque o

transitorio del sistema.

En el capítulo 8 (sección 8.1.5) se menciono acerca del uso de un filtro de primer orden que se aplica a la señal de referencia real y permite obtener una señal de

seguimiento más suave respecto al escalón [29] tal como se observa en la figura 9.2

( ) ( 1) (1 ) ( ) 1...w t k w t k r t k k N

Figura 9.2: Función escalón filtrado w(t) con 휶 = ퟎ.ퟗ .

b) Para el caso de usar una señal de referencia tipo tangente hiperbólica 푟(푡) =tanh − 휏 + 1 tenemos la siguiente respuesta:

Figura 9.3: Función tangente hiperbólica discreta.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

Am

plitu

d

118

Al aplicar una referencia tipo tangente hiperbólica, se observa un comportamiento más

suave respecto a la señal de referencia tipo escalón. De igual manera si aplicamos el

filtro de primero orden de la ecuación (8.22)

( ) ( 1) (1 ) ( )w t w t r t

퐷표푛푑푒:푟(푡) = tanh푡푚− 휏 + 1

Mostramos algunas comparaciones de la señal tangente hiperbólica afectada por el filtro

Figura 9.4: Comparación de la tangente hiperbólica con la misma señal afectada por el filtro de

primer orden para =0.1.

Figura 9.5: Comparación de la tangente hiperbólica con la misma señal afectada por el filtro de

primer orden para =0.5.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

Am

plitu

d

r(t)w(t)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

Am

plitu

d

r(t)w(t)

119

Figura 9.6: Comparación de la tangente hiperbólica con la misma señal afectada por el filtro de primer orden para =0.9.

Al usar la tangente hiperbólica como señal de referencia se observa que no cambia

mucho respecto a la original, puesto que de por si la señal tangente es mucho más suave

que un escalón.

En comparación de la señales de referencia escalón y tangente hiperbólica y en base

a experiencias anteriores se recomienda como trayectoria de referencia una función

suave y convergente como la de tipo tangente hiperbólica desplazada en amplitud y cuya

expresión es:

푅푒푓(푡) = 퐺[tanh(푡 푚⁄ − 휏) + 1] (9.1)

Dónde: 푚 = Factor de escalamiento para el tiempo del proceso.

퐺= Ganancia.

휏= Tiempo de retardo debido a la inercia del arranque del motor.

9.1.2 Modelo y parámetros para representar la dinámica del sistema

Modelo del sistema: La descripción del sistema de laminación y las

ecuaciones discretas que describen al sistema están asociadas a la corriente

de armadura y la velocidad del tren de laminación, las que fueron descritas en

capítulos anteriores del modo siguiente:

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

Ampl

itud

r(t)w(t)

120

a) Para la corriente de armadura

푖 (푘 + 1) = [푐 푙 (푘) + 푐 푙 (푘) + 푐 푙 (푘)]횤 (푘) +

[푑 푙 (푘) + 푑 푙 (푘) + 푑 푙 (푘)]푤 (푘) +

[ℎ 푙 (푘 + 1) + ℎ 푙 (푘 + 1) + ℎ 푙 (푘 + 1)]푣(푘 + 1) + 휀 (9.2)

b) Para la velocidad del tren de laminación

푤 (푘 + 1) = [푝 푙 (푘) + 푝 푙 (푘) + 푝 푙 (푘)]푤 (푘) +

[푞 푙 (푘) + 푞 푙 (푘) + 푞 푙 (푘)]횤 (푘) +

[푟 푙 (푘 + 1) + 푟 푙 (푘 + 1) + 푟 푙 (푘 + 1)]푇 (푘 + 1) + 휀 (9.3)

En las ecuaciones (9.2) y (9.3), los polinomios de Laguerre utilizados son:

l (k) = Fa

l (k) = F((k − 1)a − ka )

l (k) = F((푘 − 1)(푘 − 2)

2푎 − 푘(푘 − 1)푎 +

푘(푘 − 1)2

푎 )

Donde l (k) ,l (k) y l (k) representan los 3 primeros polinomios de Laguerre

generalizados y F = (1− a )T

Parámetros Utilizados: Para la simulación MPC los parámetros utilizados son:

Polo de Laguerre a=0.999817

Periodo de Muestreo T=15.83ms

Señal de referencia 푅푒푓(푘) = 퐺[tanh(푘 푚⁄ − 휏) + 1]

Ganancia G=900 Retardo 휏 = 3

Factor de peso 0.15 Factor de Escalamiento 푚 = 120

Horizonte de control M = 5

Horizonte de predicción N = 20

Torque de carga TL = 145 N-m

Parámetros del modelo Tabla 7.1

Tabla 9.1: Tabla de valores de entrada para la simulación del MPC propuesto a la planta de

producción de vinilos.

121

9.2 Resultados de simulación del control MPC usando algoritmo DMC y modelo Laguerre

Mediante el uso de un controlador MPC basado en el modelo de Laguerre para

representar las no linealidades, se programó el control de velocidad siguiendo una

trayectoria del tipo tangente hiperbólica con desplazamiento vertical para que se inicie en

cero. En la figura 9.7 se muestra el rendimiento del control de velocidad del laminador

desde el inicio hasta el set point final de la señal de referencia, utilizado como consigna

para la velocidad de operación del sistema.

Figura 9.7: Comparación de la referencia con la respuesta predictiva del laminador.

En la figura 9.8 se muestra el error cuadrático que se obtiene al comparar la

referencia de velocidad tipo tangente hiperbólica con la velocidad a la que corresponde

el laminador. Se observa claramente como el seguimiento en el tiempo inicial tiene una

diferencia notoria y a los ocho segundos el seguimiento es satisfactorio, lográndose

estabilidad en la velocidad del laminador.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

Segundos

RP

M

ReferenciaRespuesta del sistema

122

Figura 9.8: Porcentaje de error cuadrático entre la referencia y la respuesta del sistema.

De igual forma en la figura 9.9 se muestra el resultado de la acción de control, que en

esencia es el voltaje sobre el motor DC de 100 HP.

Figura 9.9: Comportamiento de la tensión de armadura (señal de control)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

erro

r %

tiempo (seg)

ERROR CUADRATICO DE LA REFERENCIA CON LA RESPUESTA DEL SISTEMA

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

50

100

150

200

250

Vol

tios

Segundos

6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.5

1

1.5

tiempo (seg)

123

En la figura 9.10 se observa el comportamiento de la corriente resultante en el motor

de corriente continua, mostrando una interesante morfología como se observa en los

picos que alcanzan hasta los 300 amperios, que significa que no supera la corriente

nominal de 380 amperios. En efecto muestra que la acción del MPC ha reducido los picos

de la corriente en su fase inicial hasta un 20% aproximadamente con respecto a los picos

de sobre corriente como se grafican en las figuras 7.2 y 7.3. Esto es notable desde el

punto de vista de la ingeniería del control eléctrico, ya que reduce gastos innecesarios de

energía eléctrica así como también suaviza aspectos de arranque del motor. En realidad,

esto deviene en cancelaciones de sobre esfuerzos mecánicos, a lo largo de la puesta en

marcha de la máquina, lo que vendría a ser uno de los aportes más importantes de esta

tesis.

En otras palabras, mientras que el esquema propuesto de MPC trabajando con el

modelo Laguerre constituiría el software de control, entonces aparece la necesidad de

proponer un hardware asociado para proveer la potencia eléctrica que requiere el

sistema.

Figura 9.10: Comportamiento de la corriente durante el proceso de control, los picos aparecen como consecuencia de la ruptura del estado de inercia del motor en los primeros instantes hasta

llegar a un máximo de 330 amperios aproximadamente y tendiendo a estabilizarse a los 14 segundos a un valor cercano a los 120 amperios.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

50

100

150

200

250

300

350

Am

perio

s

Segundos

124

9.3 Resultados de la simulación del control MPC usando las bases de Laguerre y algoritmo DMC escalar

Los resultados de la simulación muestran que mediante el uso del MPC del

controlador propuesto y el uso del algoritmo DMC escalar, se puede alcanzar un

seguimiento aceptable, incluso bajo par de la carga aplicada en la salida del eje del motor

de accionamiento. Por otra parte, la velocidad del sistema converge uniformemente a la

función de referencia, tal como se muestra en la figura 9.11.

Figura 9.11: Comparación de la referencia con la respuesta predictiva del laminador.

En la figura 9.12 se muestra el error cuadrático que se obtiene al comparar la señal

de referencia tangente hiperbólica con respecto del sistema laminador, se observa

claramente como el seguimiento no es adecuado al inicio, pero después de los 11

segundos el controlador mantiene un error de 1.3% a diferencia del controlador con el

algoritmo DMC que tiene un error menor al 1% que es lo requerido en un sistema de

laminación óptimo del motor de corriente continua cuando la carga es de 120 amperios.

También, es observado que el mínimo del porcentaje error cuadrático alcanza

prácticamente al 7mo segundo.

El hecho que el porcentaje del error cuadrático sea pequeño, es interpretado como la

excelente sintonía entre la referencia y la respuesta del sistema y que aún mantiene su

valor a lo largo de los primeros 10 segundos. Mantenerlo por debajo del 1% es una tarea

importante cuando se desea implementar un modelo de control a una planta que desea

mantener constante el nivel de calidad en los productos finales.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

Segundos

RP

M

COMPARACION DE LA REFERENCIA Y RESPUESTA PREDICTIVA DEL LAMINADOR

ReferenciaRespuesta del sistema

125

Figura 9.12: Porcentaje de error cuadrático entre la referencia y la respuesta del sistema.

De otro lado en la figura 9.13 se observa la tensión de control requeridos para el

inicio del motor de corriente continua cuando la carga es de 120 amperios.

Figura 9.13: Variaciones de la señal de control.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

erro

r %

tiempo (seg)

ERROR CUADRATICO DE LA REFERENCIA CON LA RESPUESTA DEL SISTEMA

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

50

100

150

200

250

Vol

tios

Segundos

SEÑAL DE CONTROL

8 10 12 14 16 18 20

0

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo (seg)

126

En la figura 9.14 se observa el comportamiento de la corriente resultante en el motor

de corriente continua, mostrando una interesante morfología, como se observa en los

picos que alcanzan hasta los 300 amperios. En efecto muestra que la acción del MPC ha

reducido los picos de la corriente en su fase inicial hasta en un 20% aproximadamente

con respecto a los picos de sobre corriente como se grafican en las figuras 7.2 y 7.3.

Figura 9.14: Comportamiento de la corriente de armadura durante el proceso de control, los picos aparecen como consecuencia de la ruptura del estado de inercia del motor en los primeros

instantes y se van acentuando para valores de 160, 120, 310, 55,190.

9.4 Propuesta del controlador MPC usado en los drivers de laminadores Por lo general los laminadores antiguos han sido operados mediante grupos Ward-

Leonard, que estaban constituidos por un motor de corriente alterna AC, un generador

de corriente continua DC y un motor de corriente continua DC que constituía el driver

para el laminador; de tal manera que con aproximadamente 20 amperios aplicados al

campo del generador se podía manejar toda la potencia requerida por el motor de

corriente continua DC para dar la potencia mecánica a los rodillos laminadores.

Por lo expuesto, el generador seria el elemento de fuerza eléctrica para el motor que

acciona los laminadores. En efecto, un argumento por el cual se ha recurrido por mucho

tiempo al grupo Ward-Leonard es por su capacidad para soportar sobrecargas; sin

embargo un control predictivo permitiría un mejor control de la corriente y de esa manera

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

50

100

150

200

250

300

350

Am

perio

s

Segundos

CORRIENTE

127

se evitaría sobrecorrientes en los arranques, sobre todo cuando la maquina debe ser

inicializada por un par de carga aplicada en el eje. Entonces si se usa MPC, es posible

recurrir al seguimiento de una trayectoria desde el arranque hasta llegar al set point que

sería la velocidad de operación del laminador.

9.4.1 Esquema del controlador MPC alternativo al Grupo Ward-Leonard en la planta de producción de vinilos

Figura 9.15: Esquema de potencia propuesto para el sistema de laminación

En la figura 9.15 se muestra el convertidor propuesto que está basado en SCR. Bajo

estas condiciones se espera que el conjunto SCR debe ser manejado por medio de un

ángulo de disparo proporcionado por el generador de ángulo en función a la necesidad

del voltaje en la armadura, para lo cual el controlador basado en el MPC de la figura 9.16

debe recibir una tensión que debe traducirse en ganancia para conformar la referencia de

la señal que en este caso es una tangente hiperbólica.

Limitador de corriente

v(k)

ia(k) w(k)

128

Cuando la velocidad de un sistema laminador deba ajustarse a una trayectoria, el

ángulo de disparo debe obtenerse a partir de la tensión de control aplicado a la armadura

del motor DC para lo cual se propone el criterio de [33] como sigue:

1( 1)

3 m

V kk arccos

V

(9.4)

Donde V (k+1) es la tensión de armadura aplicada al motor DC, Vm es el valor pico

de la entrada AC aplicado al rectificador trifásico controlado. Bajo estas condiciones el

control del ángulo de disparo a través de una técnica que considere las características no

lineales como se expresa en [33], debe ser dependiente del voltaje de control instantáneo

aplicado al voltaje de armadura del motor DC y de Vm que es el máximo valor del voltaje

AC aplicado en las líneas que alimenta al convertidor SCR trifásico. La señal de

sincronización y el control del ángulo de disparo [33] pueden ser realizados de múltiples

formas como por ejemplo el circuito adaptivo de disparo que involucre la función del

generador del ángulo de disparo de la ecuación (9.4).

Se busca que el controlador MPC deba manejar al generador de ángulo como se

muestra en la figura 9.16. En el cual el rectificador trifásico SCR es la fuente de excitación

del sistema laminador donde se observa la incorporación de las bobinas de choque que

juegan el rol de filtrado de armónicos. La señal y el control de la secuencia de ángulo de

disparo de sincronización se deben de realizar de manera que cada señal de activación

este separado por 60 grados eléctricos, de modo que la secuencia de disparo es V1 hasta

V6 y así sucesivamente. Es evidente que el generador de disparo debe tener relación con

la ecuación (9.4) y se espera que el controlador MPC deba conducir el generador de

ángulo de encendido como se muestra en la figura 9.17.

Un controlador MPC con modelo de Laguerre se muestra en la figura 9.15, cuando

6wt

el tiristor T4 ya esta conduciendo, y el tiristor T1 se activa. Durante el intervalo

6 2wt , los tiristores T1 y T4 conducen y aparece el voltaje de línea a línea vL1 L2

a través de la carga. Cuando 2wt , se dispara el tiristor T6 y de inmediato el tiristor

T4 se polariza en sentido inverso. T4 se desactiva por conmutación natural. Durante el

intervalo 5

2 6wt conducen los tiristores T1 y T6 y aparece el voltaje de línea a

línea vL1 L3 a través de la carga. Si se enumeran los tiristores como se indica en la figura

129

9.15, la secuencia de disparo es 1-6, 6-3, 3-2, 2-5, 5-4, 4-1 y así sucesivamente, además

cada una de esta señales de activación periódica, están separados por sesenta grados

eléctricos.

9.4.2 Restricciones aplicadas al MPC Propuesto

El controlador MPC basado en el modelo de Laguerre mediante el uso del algoritmo

DMC fue simulado para el seguimiento de una función tangente hiperbólica usada como

señal de referencia para el tren de laminación bajo estudio. Esto se logró mediante la

aplicación de la ecuación (8.47) sujeta a las restricciones siguientes:

Figura 9.16: Esquema del controlador MPC para el sistema de laminación

i. V {Conjunto de entradas admisibles}

ii. min max( )V V k V

iii. min max( )a a aW Ref W W

v(k)

wref(k)

ia(k) wa(k)

v(k)

YIRA(k)

-

130

iv. Para evitar súbitas aceleraciones se propone que la actualización de V que

corresponde a los esfuerzos de control, se realice de manera suave para evitar

súbitas aceleraciones, mediante la siguiente expresión:

1 2( 1) ( ) ( 1)V k V k V k tanh(푘 푚⁄ − 휏)

Dónde: minV , maxV y minaW , max ,aW 1, ,m y 2 deben fijarse mediante un

adecuado proceso de sintonía a fin de lograr un error mínimo en la tarea de

seguimiento de la trayectoria de la velocidad en el laminador.

aW : es la velocidad del motor del laminador

V : es el voltaje de armadura

v. Ángulo crítico: Adicionalmente el ángulo crítico de disparo (훼 ) puede ser

evaluado usando la relación 훼 =f(β, E, v ,θ ) propuesto en [33], donde:

E: Es la fuerza electromotriz inducida del motor DC

θ = arctan((0.5− e ( ) )√

)

β = arctan ( )

El ángulo crítico de disparo es una función de la fuerza electromotriz inducida, la

tensión entre líneas de la corriente alterna y β el ángulo de la impedancia de la

máquina. Adicionalmente las reactancias de conmutación de choque “휔퐿” usadas

en las líneas de alimentación AC son requeridas en concordancia con la German

VDE Standards y puede ser obtenida de acuerdo a [34] y se calculan a partir de la

expresión

휔퐿 ≥ ..

(9.5)

Donde Id es la corriente del convertidor de las reactancias.

A continuación se muestra la variación del ángulo de disparo, obtenida a partir de

la ecuación (9.4)

131

Figura 9.17: Angulo de disparo de la puesta en marcha de la máquina hasta alcanzar su velocidad nominal.

En la figura 9.17 se muestra el ángulo de disparo para el convertidor SCR cuando el

voltaje requerido para el motor es de 230 voltios y la corriente de carga de 120 amperios

para un espesor de laminación determinado.

0 5 10 15 20 2530

40

50

60

70

80

90

Gra

dos

Segundos

132

CAPÍTULOX CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

10.1 Conclusiones finales relacionadas con la Identificación del sistema en estudio.

En la presente tesis se identifica y modela un sistema laminador para el cual se

propone la aplicación de un modelo de control predictivo que usa un algoritmo

DMC y el modelo de Laguerre, con el objeto de minimizar los esfuerzos

mecánicos y las sobrecorrientes cuando el sistema se arranca bajo torque de

carga. El esquema propuesto para uso en los laminadores es original tanto en su

forma, metodología y aplicabilidad, lo que constituye el principal aporte de esta

tesis.

En esta tesis se realizó la identificación del sistema no lineal usando los

polinomios generalizados de Laguerre para obtener el modelo del sistema de

laminación basado en calandrias, como parte del proceso de producción de pisos

vinílicos.

Una estrategia de identificación del modelo de la planta, fue el usar las bases de

polinomios de Laguerre. En todas las pruebas, el modelo propuesto demostró un

buen rendimiento en la representación del comportamiento dinámico del sistema

laminador.

Es importante mencionar que el Modelo de Laguerre se fundamenta en el

Teorema de Riesz-Ficher el cual exige que las bases estén construidas con

funciones de Laguerre de orden infinito. En esta aplicación fue necesario el uso de

los tres primeros polinomios generalizados de Laguerre, con los cuales se pudo

describir el comportamiento dinámico del sistema con un grado de aproximación

satisfactorio, esta aproximación se fundamenta en el teorema de Weirstrass.

La identificación del sistema ha sido validado como se muestra en las curvas de

identificación de los respectivos coeficientes que manifiestan convergencia

uniforme. La identificación servirá como una metodología dentro de un esquema

de control para ser usado como software operativo en la planta.

133

10.2 Conclusiones finales relacionadas con el uso de un algoritmo basado en los criterios de la DMC para la planta en estudio

Los resultados de la simulación muestran que el uso del controlador MPC, usando

el modelo basado en polinomios de Laguerre nos brinda un comportamiento del

sistema, libre de sobre impulsos de velocidad, por consiguiente, no presentará los

fenómenos de tracción perjudiciales sobre el manto de laminación que ocasionan

cambios en los espesores de las baldosas.

De otra parte se ha realizado la simulación del esquema de Control Predictivo No

lineal basado en Modelos usando el algoritmo de la DMC con el criterio de que las

no linealidades del sistema sean representadas por el modelo de Laguerre en el

cual los parámetros son variantes en el tiempo, donde los polinomios usados son

hasta de orden tres.

Una de las principales tareas en el presente trabajo es la propuesta para controlar

la aceleración y la velocidad en la unidad de potencia del laminador de pisos

vinílicos, cuando el par de carga se aplica en el eje desde el arranque de la

máquina. En este estudio se encontró que la estrategia de control propuesta es la

mejor, por su capacidad para el seguimiento de las trayectorias de velocidad

requeridas por el sistema.

Para la simulación del control del laminador se actuó sobre la armadura del motor

laminador y con las restricciones pertinentes se evitó las sobrecorrientes teniendo

una referencia del tipo tangente hiperbólica lo que permitió tener una suave

aceleración, permitiendo llegar al máximo valor de velocidad de manera

razonable.

En los algoritmos DMC los parámetros 푎 y los 푏 , se obtienen a partir de las

respuestas del sistema cuando se aplica una señal escalón, pero los parámetros

en nuestro caso al tener un modelo matemático que representa al sistema los

parámetros 푎 y los 푏 , se obtienen desde el modelo que representa al sistema por

ello es evidente que usamos algoritmos similares a la DMC.

La virtud de la propuesta de nuestra estrategia de control, es haber obtenido una

función de costo dependiente de la tensión de armadura, la cual nos permitió

optimizar la acción del controlador. En la simulaciones, además, hemos usado

restricciones del sistema de control ya que se pretende controlar la velocidad y a

su vez mantener un control adecuado de la corriente, tal que se eliminen los sobre

picos, para de esta manera evitar grandes esfuerzos mecánicos sobre el reductor

134

de velocidad y en general del sistema mecánico del laminador. En consecuencia

gracias a ello, no hará falta trabajar con máquinas sobredimensionadas.

En la presente tesis se sugiere reemplazar los equipos Ward-Leonard en el

sentido que, proponiendo un sistema de hardware basado en SCR es posible

mejorar la eficiencia y precisión en el control de la velocidad que conllevaría a

estabilizar al sistema después de unos segundos del arranque. En otras palabras,

mientras que el MPC constituye la parte de software del sistema, los SCR

cumplirían con los role del hardware; ya que ambos operando desde el inicio,

evitarían innecesarias sobrecargas de corriente, que según las mediciones a lazo

abierto, llegarían hasta los 1000 amperios, lo que es evidentemente indeseable

desde el punto de vista mecánico y eléctrico.

10.3 Recomendaciones.

Se recomienda la realización de un proceso de identificación de sistemas no

lineales con recorte de sobrepicos de intensidad de corriente en el estado

transitorio.

Un trabajo relevante de investigación es la identificación on-line y la aplicación del

criterio de la inversa de principales componentes.

Como punto de partida para una investigación de una nueva Ley de Control MPC

se sugiere involucrar a la corriente en la función objetivo.

Un importante trabajo seria la implementación de la Electrónica de Potencia con el

algoritmo MPC y usando los modelos matemáticos presentes.

135

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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137

ANEXOS

Anexo 1: Código Matlab para la identificación y el modelamiento del sistema de laminación %Modelo de aproximacion por Laguerre clc;clear; close all format long %Carga de Datos load tiempo; load corriente; load PRMS; load velocidad; %Asigancion de variables y acotamiento a=250; b=2790; m=b-a+1;%Cantidad de datos a modelar tk=tiempo(a:1:b); ik=corriente(a:1:b); Xk=PRMS(a:1:b); Wk=velocidad(a:1:b); %Grafica de Datos plot(tiempo,PRMS,'LineWidth',1.5); legend('Xk'); xlabel('Segundos') ylabel('PRMS') axis([tiempo(a) 45 0 220]); grid figure plot(tiempo,corriente,'LineWidth',1.5); legend('Corriente ik'); xlabel('Segundos') ylabel('Amperios') axis([tiempo(a) 45 -1200 1500]); grid figure plot(tiempo,velocidad,'LineWidth',1.5); legend('Velocidad Wk'); xlabel('Segundos') ylabel('RPM') axis([tiempo(a) 45 0 2000]); grid figure N=3; %Numero de Polinomios a=0.999817;%Polo de Laguerre %Periodo de Muestreo T=76/4801; %segundos F=sqrt((1-a^2)*T); %Polo de los Polinomios de Laguerre %Generacion de lo Polinomios de Laguerre de Orden N v(1,1)=a;

138

Lo(1,1)=1; for k=2:N v(k,1)=(-a).^(k-2)*(1-a*a); Lo(k,1)=(-a).^(k-1); end L0=F*Lo; A(:,1)=v; for i=2:N A(:,i)=[zeros(i-1,1);v(1:N-i+1,1)]; end L(:,1)=L0; for kk=2:m; L(:,kk)=A*L(:,kk-1); end L=L'; %Matriz de los polinomios de Laguerre de Orden N %Grafica de lo Poinomios de Laguerre plot(0:m-1,L,'LineWidth',1.5); %0:1:m-1 %title('POLINOMIOS DE LAGUERRE DE ORDEN UNO, DOS, TRES ') xlabel('MUESTRAS') axis([0 2500 -0.013 0.013]); legend('Pol Lag1','Pol Lag2','Pol Lag3'); %hold on %end grid figure %determinacion de Matriz de para cofientes de ik(k) y w(k) Aw=zeros(m-1,N); %Creacion de Matriz de Velocidad Ai=zeros(m-1,N); %Creacion de Matriz de Corrientes TL=zeros(m,1); %Creacion de Vector de torque Ax=zeros(m-1,N); %Creacion de Matriz de Entrada ATL=zeros(m-1,N); %Creacion de Matriz de Torque TL(:)=125.4414; %Asignacion de valores al vector de torque for j=1:N for i=1:m-1 Ai(i,j)=L(i,j)*ik(i); Aw(i,j)=L(i,j)*Wk(i); Ax(i,j)=L(i+1,j)*Xk(i+1); ATL(i,j)=L(i,j)*TL(i+1); end end Nc=3*N; %Numero de columnas AFi=[Ai Aw Ax]; %Conformacion de Matriz completa para la Corriente CIk=zeros(m-1,Nc); %Creacion de matriz de coeficientes %Evaluacion de coeficientes for i=Nc:m-1 Inversa=inv(AFi(1:i,:)'*AFi(1:i,:)); CIk(i,:)=Inversa*AFi(1:i,:)'*ik(2:i+1)'; end %Grafica de coeficientes evaluados para ik plot(1:m-1,CIk(1:m-1,1:Nc),'LineWidth',1.5); axis([500 m -2000 1500]); grid %title('COEFICIENTES ik'); legend('c1','c2','c3','d1','d2','d3','h1','h2','h3');

139

xlabel('MUESTRAS') figure %Grafica de i(k) estimado k=1500; % muestras seleccionadas para la identificacion n=1:1:m-1; Ike=AFi*CIk(k,:)'; plot(tk(n),Ike,'.',tk(n),ik(2:m)','.','LineWidth',1.5); legend('ik(k+1) modelo', 'ik real') xlabel('tiempo (seg)') ylabel('Amperios') axis([3.9 45 -1500 1500]); grid figure error=100*sqrt((Ike-ik(2:m)').^2./(ik(2:m)'.^2)); plot(tk(n),error,'.','LineWidth',1.5); %axis([3.9 45 0 180]); grid ylabel('error I (%)') xlabel('tiempo (seg)') figure error1=100*sqrt((AFi*CIk(1500,:)'-ik(2:m)').^2./(ik(2:m)'.^2)); error2=100*sqrt((AFi*CIk(2000,:)'-ik(2:m)').^2./(ik(2:m)'.^2)); error3=100*sqrt((AFi*CIk(2150,:)'-ik(2:m)').^2./(ik(2:m)'.^2)); error4=100*sqrt((AFi*CIk(2540,:)'-ik(2:m)').^2./(ik(2:m)'.^2)); aux1=0;aux2=0;aux3=0;aux4=0; for i=2:m-1 aux1=error1(i)+aux1; aux2=error2(i)+aux2; aux3=error3(i)+aux3; aux4=error4(i)+aux4; end Emed1=ones(m-1,1)*aux1/(m-2); Emed2=ones(m-1,1)*aux2/(m-2); Emed3=ones(m-1,1)*aux3/(m-2); Emed4=ones(m-1,1)*aux4/(m-2); plot(tk(n),Emed1,tk(n),Emed2,tk(n),Emed3,'.',tk(n),Emed4,'LineWidth',1.5); legend('Muestra 1500','Muestra 2000','Muestra 2150','Muestra 2540'); ylabel('error medio I (%)') xlabel('tiempo (seg)') grid figure % determinacion de Matriz para cofientes de Wk(k) AFw=[Aw Ai ATL]; %Conformacion de Matriz completa de Corrientes CWk=zeros(m-1,Nc); %Creacion de matriz de coeficientes %Evaluacion de coeficientes for i=Nc:m-1 Inversa=inv(AFw(1:i,:)'*AFw(1:i,:)); CWk(i,:)=Inversa*AFw(1:i,:)'*Wk(2:i+1)'; end %Grafica de coeficientes evaluados para Wk plot(1:m-1,CWk(1:m-1,1:Nc),'LineWidth',1.5); legend('p1','p2','p3','q1','q2','q3','r1','r2','r3'); axis([500 m -100 800]); grid

140

title('COEFICIENTES Wk'); xlabel('MUESTRAS') figure %Graficar de Wk(k) estimado otra forma n=1:1:m-1; Wke=AFw*CWk(1500,:)'; plot(tk(n),Wke/78.5,'.',tk(n),Wk(2:m)/78.5','LineWidth',1.5); legend('w(k+1) modelo', 'Wk real') ylabel('RPM') xlabel('tiempo (seg)') %axis([3.9 45 0 25]); grid figure error=100*sqrt((Wke-Wk(2:m)').^2./(Wk(2:m)'.^2)); plot(tk(n),error,'.','LineWidth',1.5); axis([3.9 45 0 20]); ylabel('error W (%)') xlabel('tiempo (seg)') grid figure error1=100*sqrt((AFw*CWk(1500,:)'-Wk(2:m)').^2./(Wk(2:m)'.^2)); error2=100*sqrt((AFw*CWk(2000,:)'-Wk(2:m)').^2./(Wk(2:m)'.^2)); error3=100*sqrt((AFw*CWk(2150,:)'-Wk(2:m)').^2./(Wk(2:m)'.^2)); error4=100*sqrt((AFw*CWk(2540,:)'-Wk(2:m)').^2./(Wk(2:m)'.^2)); aux1=0;aux2=0;aux3=0;aux4=0; for i=2:m-1 aux1=error1(i)+aux1; aux2=error2(i)+aux2; aux3=error3(i)+aux3; aux4=error4(i)+aux4; end Emed1=ones(m-1,1)*aux1/(m-2); Emed2=ones(m-1,1)*aux2/(m-2); Emed3=ones(m-1,1)*aux3/(m-2); Emed4=ones(m-1,1)*aux4/(m-2); plot(tk(n),Emed1,tk(n),Emed2,tk(n),Emed3,tk(n),Emed4,'LineWidth',1.5); axis([0 45 0 0.2]); legend('Muestra 1500','Muestra 2000','Muestra 2150','Muestra 2540'); ylabel('error medio W (%)') xlabel('tiempo (seg)') grid

141

Anexo 2: Código Matlab para control MPC usando algoritmo DMC para laminador de 100HP

%CONTROL PREDCITIVO BASADO EN MODELOS %ALGORITMO USADO ES DINAMIC MATRIX CONTROL %LA SIMULACIÓN ES SOBRE UN SISTEMA LAMINADOR DE 100 HP %EVALUACION DE LAS MATRICES PARA FORMULAR LA NDMC close all clear, clc; format long %CARGA DE SEÑAL PRMS load PRMS; ini=250; Xk=PRMS(ini:100:4800); %Remuestro de datos de la señalPRMS m=1800; %Cantidad de Datos TL=zeros(m,1); %Creacion de Vector de torque TL(:)=125.4414; % TORQUE AL 50% DE CARGA DESDE EL ARRANQUE a=0.999817; %Polo de Laguerre T=76/4801; %PERIODO DE MUESTREO DE LA DATA (segundos) F=sqrt((1-a^2)*T); %Generacion de Polinomios de Laguerre hasta orden N=3 plot(PRMS) figure stem(Xk) N=3; v(1,1)=a; Lo(1,1)=1; for k=2:N v(k,1)=(-a).^(k-2)*(1-a*a); Lo(k,1)=(-a).^(k-1); end L0=F*Lo; A(:,1)=v; for i=2:N A(:,i)=[zeros(i-1,1);v(1:N-i+1,1)]; end L(:,1)=L0; for kk=2:m; L(:,kk)=A*L(:,kk-1); end L=L'; %Matriz DE POLINOMIOS DE LAGUERRE, HASTA ORDEN 3 %COEFICIENTES DEL MODELO IDENTIFICADO %Corriente Ci=1.0e+003*[0.728781577593540,0.490621782684950,0.157126554341646,... -0.083349880403869,0.170818262195343,0.151161571964708,... 0.604848903278765,-1.428294988016982,-1.234642502918323]; %Velocidad Cw=1.0e+002*[7.430863800444222,4.508397690784928,1.229155609707427,... 0.283493478481026,0.163779282231970,0.041301504332230,... -0.362006630219933,-0.466477872564888,-0.257138625184074]; N1=1;

142

N2=20; %horizonte de prediccion N2=P. Nu=8; %horizonte de control M. % CONDICIONES INICIALES Wk=zeros(N2,1); ik=zeros(N2,1); g=zeros(N2,1); u=zeros(m,1); q=zeros(m,1); yf=zeros(N2,1); ik(1)=10; Wk(1)=1; g(1)=Wk(1); %GENERACION DE PARAMETROS DINÁMICOS PARA LA MATRIZ DE CORRIENTE. for k=1:m-1; bi(k)=Ci(1)*L(k,1)+Ci(2)*L(k,2)+Ci(3)*L(k,3);% PARAMETROS DE CORRIENTE ik. fi(k)=Ci(4)*L(k,1)+Ci(5)*L(k,2)+Ci(6)*L(k,3); ai(k)=Ci(7)*L(k+1,1)+Ci(8)*L(k+1,2)+Ci(9)*L(k+1,3); gi(k)=Cw(1)*L(k,1)+Cw(2)*L(k,2)+Cw(3)*L(k,3); pi(k)=Cw(4)*L(k,1)+Cw(5)*L(k,2)+Cw(6)*L(k,3); qi(k)=Cw(7)*L(k,1)+Cw(8)*L(k,2)+Cw(9)*L(k,3); end %respuesta al escalon for k=1:N2 ik(k+1)=bi(k)*ik(k)+fi(k)*Wk(k)+ai(k+1)*Xk(k+1); Wk(k+1)=(gi(k)*Wk(k)+ pi(k)*ik(k)+ qi(k+1)*TL(k+1))*(1+0.2*sin(10*(k+1))); g(k+1)=Wk(k+1); end %Generacion de la Matris Dinamica N=N2;%Horizonte de prediccion M=Nu;%Control %Generacion de la DMC del futuro % for i=1:N; % bi(i)=i; % end % for i=1:M; % for j=1:i; % Aif1(i,j)=bi(1+i-j); % end % end % for i=1:N-M; % for j=1:M; % Aif2(i,j)=bi(M+1+i-j); % end % end % Aif=cat(1,Aif1,Aif2); %Matriz del DMC futuro % %Generacion de la DMC del pasado % Aip=zeros(N,N); % for i=1:N-1; % for j=1:N-i; % Aip(i,j)=bi(i+j); % end % end G=zeros(N2-N1+1,Nu); %Equivalente a Cf de la tesis, matriz del futuro for i=1:N2-N1+1; for j=1:Nu; if N1+i-j<=0 G(i,j)=0;

143

else G(i,j)=g(N1+i-1-j+1); end end end %CONDICONES INICIALES yf(1)=Wk(1); yf(2)=Wk(2); yf(3)=Wk(3); r(1)=0.5; r(2)=1; r(3)=10; u(1)=0.1; u(2)=0.1; u(3)=0.1; %w(1)=0; w(2)=0; w(3)=0; q(1)=1; q(2)=1; q(3)=1;ik(1)=0.5; ik(2)=1; ik(3)=1; alf=0.1; lambda=0.015; MM=1500; %Cantidad de muestras del modelo I=eye(Nu,Nu);%matriz identidad. %LAZO DE CONTROL. for t=3:MM+3; %TRAYECTORIA DESEADA,REFERENCIA raster Y RESPUESTA LIBRE yf. for k=1:N2; W(t+k)=900*(tanh(t/120-3)+1); % SEÑAL DE REFERENCIA TIPO TANGENTE HIPERBOLICA r(t+k)=alf*r(t+k-1)+(1-alf)*W(t+k); %FILTRADO DE LA SEÑAL DE REFERENCIA %MODELO DEL LAMINADOR DENTRO DEL HORIZONTE DE PREDICCION ik(t+k)=Ci(1)*L(t+k-1,1)*ik(t+k-1)+Ci(2)*L(t+k-1,2)*ik(t+k-1)+Ci(3)*L(t+k-1,3)*ik(t+k-1)+ ... Ci(4)*L(t+k-1,1)*Wk(t+k-1)+Ci(5)*L(t+k-1,2)*Wk(t+k-1)+Ci(6)*L(t+k-1,3)*Wk(t+k-1)+ ... Ci(7)*L(t+k,1)*u(t+k)+Ci(8)*L(t+k,2)*u(t+k)+Ci(9)*L(t+k,3)*u(t+k); Wk(t+k)=Cw(1)*L(t+k-1,1)*Wk(t+k-1)+Cw(2)*L(t+k-1,2)*Wk(t+k-1)+Cw(3)*L(t+k-1,3)*Wk(t+k-1)+ ... Cw(4)*L(t+k-1,1)*ik(t+k-1)+Cw(5)*L(t+k-1,2)*ik(t+k-1)+Cw(6)*L(t+k-1,3)*ik(t+k-1)+ ... (Cw(7)*L(t+k,1)*TL(t+k)+Cw(8)*L(t+k,2)*TL(t+k)+Cw(9)*L(t+k,3)*TL(t+k))*(1+0.1*sin(10*(t+k))); yf(t+k)=Wk(t+k); end %MATRIZ R DE SEÑALES DE REFERENCIA r R=r(t+1:1:t+N2)'; %MATRIZ DE RESPUESTA LIBRE yf YF=yf(t+1:1:t+N2); %LEY DE CONTROL. %Determinacion del vector de control Glam=inv(G'*G+lambda*I); U=Glam*G'*(R-YF); % xu=size(U); du=U(1); u(t+1)=0.36*u(t)+7.1*du*(tanh(t/120)+1); %LEY DE CONTROL ACTUAL %RESTRICCIONES DE LA SEÑAL DE CONTROL %Limitacion de la tension de Armadura (RESTRICCIONES) dif=r(t)-q(t); if q(t)>=1700 % if dif>=1

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u(t+1)=0.47*u(t)+4.6*du*(tanh(t/120)+1); elseif dif<1 u(t+1)=0.466*u(t)+4.59*du*(tanh(t/120)+1); end end if ik(t)>=250 u(t+1)=0.9*u(t+1); end if u(t+1)<0 u(t+1)=0; end if u(t+1)>240 u(t+1)=240; end %Fin de restriccionesw %Control del proceso del sistema usando tres polinomios de Laguerre ik(t+1)=Ci(1)*L(t,1)*ik(t)+Ci(2)*L(t,2)*ik(t)+Ci(3)*L(t,3)*ik(t)+ ... Ci(4)*L(t,1)*q(t)+Ci(5)*L(t,2)*q(t)+Ci(6)*L(t,3)*q(t)+ ... Ci(7)*L(t+1,1)*u(t+1)+Ci(8)*L(t+1,2)*u(t+1)+Ci(9)*L(t+1,3)*u(t+1); q(t+1)=Cw(1)*L(t,1)*q(t)+Cw(2)*L(t,2)*q(t)+Cw(3)*L(t,3)*q(t)+ ... Cw(4)*L(t,1)*ik(t)+Cw(5)*L(t,2)*ik(t)+Cw(6)*L(t,3)*ik(t)+ ... Cw(7)*L(t+1,1)*TL(t+1)+Cw(8)*L(t+1,2)*TL(t+1)+Cw(9)*L(t+1,3)*TL(t+1); end %ANGULO DE DISPARO alfa=zeros(MM,1); for i=1:MM alfa(i)=180*acos(3.1416*u(i)/(3*311))/3.1416; end %GRAFICOS figure ejex=(1:MM); ejex=ejex*T; plot(ejex,r(1:MM)/78.5,ejex,q(1:MM)/78.5,'.','linewidth',2); grid axis([0 20 0 25]); legend('Referencia','Respuesta del sistema') ylabel('RPM') xlabel('Segundos') title('COMPARACION DE LA REFERENCIA Y RESPUESTA PREDICTIVA DEL LAMINADOR') figure plot(ejex,u(1:MM),'linewidth',2); grid axis([0 20 0 260]); ylabel('Voltios') xlabel('Segundos') title('SEÑAL DE CONTROL') figure plot(ejex,ik(1:MM),'linewidth',2); grid axis([0 20 0 350]); ylabel('Amperios') xlabel('Segundos') title('CORRIENTE') figure

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error=100*abs((q(1:MM)-r(1:MM)')./r(1:MM)'); plot(ejex(1:MM)',error,'.','LineWidth',2); axis([0 20 0 30]); ylabel('error %') xlabel('tiempo (seg)') title('ERROR RELATIVO DE LA REFERENCIA CON LA RESPUESTA DEL SISTEMA') grid figure plot(ejex,alfa(1:MM),'linewidth',2); axis([0 20 0 100]); grid ylabel('Grados') xlabel('Segundos') title('ANGULO DE DISPARO')

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Anexo 3: Código Matlab para el control MPC usando algoritmo DMC en su forma escalar para un laminador de 100 HP % CONTROL PREDICTIVO BASADO EN MODELOS MPC % ALGORITMO DE CONTROL PREDICTIVO ESCALAR % CONTROL DE LA TRAYECTORIA DE ARRANQUE DE UN MOTOR DE 100HP clear; clc; close all; %CARGA DE DATOS DE ENTRADA DE PLANTA load PRMS; ini=250; Xk=PRMS(ini:100:2790); m=1800; %Cantidad de Datos TL=zeros(m,1); %Creacion de Vector de torque TL(:)=125.4414; % TORQUE AL 50% DE CARGA DESDE EL ARRANQUE %COEFICIENTES DEL MODELO IDENTIFICADO %Corriente Ci=1.0e+003*[0.728781577593540,0.490621782684950,0.157126554341646,... -0.083349880403869,0.170818262195343,0.151161571964708,... 0.604848903278765,-1.428294988016982,-1.234642502918323]; %Velocidad Cw=1.0e+002*[7.430863800444222,4.508397690784928,1.229155609707427,... 0.283493478481026,0.163779282231970,0.041301504332230,... -0.362006630219933,-0.466477872564888,-0.257138625184074]; %Algoritmo de Generacion de Polinomios de LAGUERRE a=0.999817; %Polo de Laguerre T=76/4801; %PERIODO DE MUESTREO DE LA DATA (segundos) F=sqrt((1-a^2)*T); N=3; %Polinomios de Laguerre hasta orden N=3 v(1,1)=a; Lo(1,1)=1; for k=2:N v(k,1)=(-a).^(k-2)*(1-a*a); Lo(k,1)=(-a).^(k-1); end L0=F*Lo; A(:,1)=v; for i=2:N A(:,i)=[zeros(i-1,1);v(1:N-i+1,1)]; end L(:,1)=L0; for kk=2:m; L(:,kk)=A*L(:,kk-1); end L=L'; %Matriz DE POLINOMIOS DE LAGUERRE, HASTA ORDEN 3 %HORIZONTES de Prediccion y Control Fijos N1=1; N2=12; Nu=1; % CONDICIONES INICIALES Wk=zeros(N2,1); ik=zeros(N2,1); g=zeros(N2,1); yf=zeros(N2,1); u=zeros(m,1); q=zeros(m,1); ik(1)=1;

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Wk(1)=0.1; g(1)=Wk(1); for k=1:N2 ik(k+1)=Ci(1)*L(k,1)*ik(k)+Ci(2)*L(k,2)*ik(k)+Ci(3)*L(k,3)*ik(k)+ ... Ci(4)*L(k,1)*Wk(k)+Ci(5)*L(k,2)*Wk(k)+Ci(6)*L(k,3)*Wk(k)+ ... Ci(7)*L(k+1,1)*Xk(k+1)+Ci(8)*L(k+1,2)*Xk(k+1)+Ci(9)*L(k+1,3)*Xk(k+1); Wk(k+1)=Cw(1)*L(k,1)*Wk(k)+Cw(2)*L(k,2)*Wk(k)+Cw(3)*L(k,3)*Wk(k)+ ... Cw(4)*L(k,1)*ik(k)+Cw(5)*L(k,2)*ik(k)+Cw(6)*L(k,3)*ik(k)+ ... (Cw(7)*L(k+1,1)*TL(k+1)+Cw(8)*L(k+1,2)*TL(k+1)+Cw(9)*L(k+1,3)*TL(k+1)); g(k+1)=Wk(k+1); end %CONDICONES INICIALES yf(1)=Wk(1); yf(2)=Wk(2); yf(3)=Wk(3); r(1)=0.5; r(2)=1; r(3)=2; u(1)=0; u(2)=0; u(3)=0; %w(1)=0; w(2)=0; w(3)=0; q(1)=0.5; q(2)=1; q(3)=5; alf=.1; lambda=0.15; MM=1500; %LAZO DE CONTROL for t=2:MM+2 for k=1:N2 W(t+k)=900*(tanh(t/120-3)+1); % SEÑAL DE REFERENCIA TIPO TANGENTE HIPERBOLICA r(t+k)=alf*r(t+k-1)+(1-alf)*W(t+k); %FILTRADO DE LA SEÑAL DE REFERENCIA %MODELO DEL LAMINADOR DENTRO DEL HORIZONTE DE PREDICCION ik(t+k)=Ci(1)*L(t+k-1,1)*ik(t+k-1)+Ci(2)*L(t+k-1,2)*ik(t+k-1)+Ci(3)*L(t+k-1,3)*ik(t+k-1)+ ... Ci(4)*L(t+k-1,1)*Wk(t+k-1)+Ci(5)*L(t+k-1,2)*Wk(t+k-1)+Ci(6)*L(t+k-1,3)*Wk(t+k-1)+ ... Ci(7)*L(t+k,1)*u(t+k)+Ci(8)*L(t+k,2)*u(t+k)+Ci(9)*L(t+k,3)*u(t+k); Wk(t+k)=Cw(1)*L(t+k-1,1)*Wk(t+k-1)+Cw(2)*L(t+k-1,2)*Wk(t+k-1)+Cw(3)*L(t+k-1,3)*Wk(t+k-1)+ ... Cw(4)*L(t+k-1,1)*ik(t+k-1)+Cw(5)*L(t+k-1,2)*ik(t+k-1)+Cw(6)*L(t+k-1,3)*ik(t+k-1)+ ... (Cw(7)*L(t+k,1)*TL(t+k)+Cw(8)*L(t+k,2)*TL(t+k)+Cw(9)*L(t+k,3)*TL(t+k))*(1+0.2*sin(10*(t+k))); yf(t+k)=Wk(t+k); end %DETERMINACION DE LA LEY DE CONTROL ESCALAR du(t)=(g(1)*(r(t+1)-yf(t+1))+g(2)*(r(t+2)-yf(t+2))+ ... g(3)*(r(t+3)-yf(t+3))+g(4)*(r(t+4)-yf(t+4))+ ... g(5)*(r(t+5)-yf(t+5))+g(6)*(r(t+6)-yf(t+6))+ ... g(7)*(r(t+7)-yf(t+7))+g(8)*(r(t+8)-yf(t+8))+ ... g(9)*(r(t+9)-yf(t+9))+g(10)*(r(t+10)-yf(t+10))+ ... g(11)*(r(t+11)-yf(t+11))+g(12)*(r(t+12)-yf(t+12)))/ ... (g(1)^2+g(2)^2+g(3)^2+g(4)^2+g(5)^2+ ... g(6)^2+g(7)^2+g(8)^2+g(9)^2+g(10)^2+ ... g(11)^2+g(12)^2+lambda); u(t+1)=0.56*u(t)+8.1*du(t)*(tanh(t/120)+1);%LEY DE CONTROL ACTUAL %RESTRICCIONES DE LA SEÑAL DE CONTROL %Limitacion de la tension de Armadura (RESTRICCIONES) dif=r(t)-q(t);

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if q(t)>=1700 % if dif>=1 u(t+1)=0.46*u(t)+8*du(t)*(tanh(t/120)+1); elseif dif<1 u(t+1)=0.455*u(t)+7.99*du(t)*(tanh(t/120)+1); end end if ik(t)>=250 u(t+1)=0.9*u(t+1); end if u(t+1)<0 u(t+1)=0; end if u(t+1)>240 u(t+1)=240; end %Control del proceso del sistema usando tres polinomios de Laguerre ik(t+1)=Ci(1)*L(t,1)*ik(t)+Ci(2)*L(t,2)*ik(t)+Ci(3)*L(t,3)*ik(t)+ ... Ci(4)*L(t,1)*q(t)+Ci(5)*L(t,2)*q(t)+Ci(6)*L(t,3)*q(t)+ ... Ci(7)*L(t+1,1)*u(t+1)+Ci(8)*L(t+1,2)*u(t+1)+Ci(9)*L(t+1,3)*u(t+1); q(t+1)=Cw(1)*L(t,1)*q(t)+Cw(2)*L(t,2)*q(t)+Cw(3)*L(t,3)*q(t)+ ... Cw(4)*L(t,1)*ik(t)+Cw(5)*L(t,2)*ik(t)+Cw(6)*L(t,3)*ik(t)+ ... Cw(7)*L(t+1,1)*TL(t+1)+Cw(8)*L(t+1,2)*TL(t+1)+Cw(9)*L(t+1,3)*TL(t+1); end %ANGULO DE DISPARO alfa=zeros(MM,1); for i=1:MM alfa(i)=180*acos(3.1416*u(i)/(3*311))/3.1416; end %GRAFICOS figure ejex=(1:MM); ejex=ejex*T; plot(ejex,r(1:MM)/78.5,'-',ejex,q(1:MM)/78.5,'.','linewidth',2); grid axis([0 20 0 25]); legend('Referencia','Respuesta del sistema') ylabel('RPM') xlabel('Segundos') title('COMPARACION DE LA REFERENCIA Y RESPUESTA PREDICTIVA DEL LAMINADOR') figure plot(ejex,u(1:MM),'linewidth',2); grid axis([0 20 0 250]); ylabel('Voltios') xlabel('Segundos') title('SEÑAL DE CONTROL') figure plot(ejex,ik(1:MM),'linewidth',2); grid axis([0 20 0 350]); ylabel('Amperios') xlabel('Segundos') title('CORRIENTE') figure

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error=100*abs((q(1:MM)-r(1:MM)')./r(1:MM)'); plot(ejex(1:MM)',error,'.','LineWidth',1.5); axis([0 20 0 30]); ylabel('error %') xlabel('tiempo (seg)') title('ERROR CUADRATICO DE LA REFERENCIA CON LA RESPUESTA DEL SISTEMA') grid figure plot(ejex,alfa(1:MM),'linewidth',3); axis([0 20 0 100]); grid ylabel('Grados') xlabel('Segundos') title('ANGULO DE DISPARO')

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