UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS … · basados puramente en la 2da Ley de Newton,...

UNIVERSIDAD DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

ESTRATEGIAS AVANZADAS PARA EL CONTROL DE UN SISTEMA MIMO

DE 2 ROTORES

MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA

JAVIER OLGUÍN PIZARRO

PROFESOR GUÍA:

MANUEL DUARTE MERMOUD

MIEMBROS DE LA COMISIÓN:

HECTOR AGUSTO ALEGRIA

DORIS SAEZ HUEICHAPAN

SANTIAGO DE CHILE

OCTUBRE 2007

RESUMEN DE LA MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA POR: JAVIER OLGUÍN PIZARROFECHA: PROF. GUÍA: SR. MANUEL DUARTE MERMOUD

“ESTRATEGIAS AVANZADAS PARA EL CONTROL DE UN SISTEMA MIMO DE 2 ROTORES”

El control de un sistema de dos rotores acoplados es un problema abordado frecuentemente en la literatura técnica, debido a la complejidad derivada de la no linealidad de este sistema y a la fuerte interacción que se tiene entre sus diferentes variables. Así, en esta Memoria se realiza un estudio sobre los modelos fenomenológicos existentes para este tipo de sistemas y se deriva uno nuevo que representa adecuadamente el comportamiento de la planta con que se trabajó (parte del Laboratorio de Automática del Edificio de Electrotecnologías de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile). Posteriormente se analiza una estrategia de control básica PID convencional para establecer una base de comparación y se diseñan además dos tipos de controladores avanzados, los cuales son analizados y comparados mediante simulaciones computacionales y pruebas experimentales.

La nueva modelación del sistema se realiza en gran medida con datos empíricos obtenidos directamente de la planta, pues los modelos fenomenológicos basados puramente en la 2da Ley de Newton, proporcionados por el fabricante del equipo, dejan fuera ciertas dinámicas y condiciones de borde importantes para un buen funcionamiento del modelo.

Con respecto al esquema PID convencional, se destaca su simpleza tanto en el diseño como en sus excelentes tiempos de respuesta, pero tiene grandes defectos en cuanto al ruido en la señal de control generada y además no garantiza la estabilidad frente a perturbaciones.

Para sobrellevar estas dificultades se recurre a la adaptabilidad y al control no lineal, los cuales son la base de los otros dos controladores diseñados en este trabajo. Primero, se considera un controlador adaptable directo por modelo de referencia que ocupa funciones no lineales conocidas, mientras que el segundo es un controlador indirecto donde sólo se conoce la estructura de la planta, ocupando observadores difusos adaptables óptimos para su funcionamiento. Ambos controladores muestran mejorías (en la señal de control y estabilidad) con respecto al PID, tanto en seguimiento de referencias como en respuesta frente a perturbaciones. Sin embargo, la complejidad asociada a cada uno de estos controladores (diseño, aplicación y tiempo computacional) es un punto a considerar a la hora de la implementación. También se hace necesario el uso de redes neuronales para invertir funciones no conocidas, agregando aún más dificultades para su aplicación.

En conclusión, se presenta un nuevo modelo específico para el sistema de dos rotores acoplados del laboratorio. Se diseñan y comparan en simulaciones y aplicaciones en tiempo real, tres tipos de controladores, discutiendo las ventajas y desventajas de cada uno de ellos.

i

(CHARLES M. SCHULZ IN MEMORIAM)

ii

Agradecimientos

Quiero agradecer a mi madre, padre y hermano, amigos y profesores.

... A Samantha y Andrew Largeman.

iii

Índice General

RESUMEN ............................................................................... ................................ I

AGRADECIMIENTOS ..................................................................................... .......... III

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN............................................................................... ..........................5

1.1 Planteamiento del Problema...........................................................................5

1.2 Discusión Bibliográfica............................................................................. .......6

1.1.1 Sobre el Sistema de 2 Rotores.................................................................6

1.1.2 Sistemas Difusos.....................................................................................7

1.1.3 Sistemas Adaptables...............................................................................8

1.3 Objetivos y Metodología...............................................................................10

1.4 Estructura de la Memoria..............................................................................11

1.5 Referencias............................................................................................. ......12

CAPÍTULO 2

SISTEMA MULTIVARIABLE DE 2 ROTORES ACOPLADOS.............................................14

2.1 Introducción e Hipótesis Simplificatorias.......................................................14

2.2 Modelación Fenomenológica.........................................................................16

2.2.1 Modelo de Entrada............................................................................. ....16

2.2.2 Modelo Vertical......................................................................................16

2.2.3 Modelo Horizontal..................................................................................19

2.3 Instrumentación...........................................................................................21

1

2.3.1 Posición.......................................................................... .......................21

2.3.2 Velocidad..................................................................................... ..........22

2.4 Determinación de Parámetros.......................................................................22

2.4.1 Modelo de Entrada............................................................................. ....22

2.4.2 Modelo Vertical......................................................................................24

2.4.3 Modelo Horizontal..................................................................................25

2.5 Referencias............................................................................................. ......26

CAPÍTULO 3

DESCRIPCIÓN DE LOS CONTROLADORES.................................................................27

3.1 Red Neuronal Como Función Inversa.............................................................27

3.1.1 Justificación...........................................................................................27

3.1.2 Análisis de la Función.............................................................................28

3.1.3 Entrenamiento............................................................................ ...........29

3.1.4 Resultados y Modificaciones..................................................................32

3.2 PID Convencional.................................................................................. ........34

3.2.1 Desarrollo Matemático del Controlador..................................................34

3.2.2 Esquemas de Control.............................................................................34

3.2.3 Sintonización de Parámetros..................................................................36

3.3 Control Adaptable Convencional...................................................................37




3.4 Control Difuso Adaptable..............................................................................42




3.5 Referencias............................................................................................. ......53

CAPÍTULO 4

APLICACIÓN DE LAS ESTRATEGIAS DE CONTROL......................................................54

4.1 Ensayos Tipo................................................................................................54

4.1.1 Seguimiento de Referencia....................................................................54

2

4.1.2 Respuesta Frente a Perturbaciones........................................................55

4.1.3 Índices de Desempeño.......................................................................... .57

4.2 Controlador PID Convencional.......................................................................57

4.2.1 Simulaciones.........................................................................................57

4.2.2 Aplicación al Sistema Real.....................................................................60

4.2.3 Índices para Controlador 2-PID...............................................................62

4.3 Controlador Adaptable..................................................................................62

4.3.1 Simulaciones.........................................................................................62


4.3.3 Índices para Controlador Adaptable convencional..................................66

4.4 Controlador Difuso Adaptable.......................................................................67

4.4.1 Simulaciones.........................................................................................67


4.4.3 Índices para Controlador Difuso Adaptable............................................71

CAPÍTULO 5

CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO........................................................................72

5.1 Conclusiones................................................................................................72

5.2 Trabajo Futuro........................................................................................ .......77

ANEXOS................................................................................... ..............................78

Anexo 1 Código para Interfaz MATLAB-OPTO22...................................................78

Anexo 2 Código para PIC16F873.........................................................................85

Anexo 3 Código para Óptimo Difuso (S-Function)................................................88

Anexo 4 Bloques Simulink para Modelo Vertical..................................................91

Anexo 5 Bloques Simulink para Modelo Horizontal..............................................92

APÉNDICE A

REACONDICIONAMIENTO DEL SISTEMA MIMO DE 2 ROTORES..................................93

A.1 Introducción.................................................................................................93

A.2 Diseño del Nuevo Sistema............................................................................94

A.2.1 Análisis del Sistema Físico.....................................................................94

A.2.2 Diseño Interfaz TRMS-PC.......................................................................95

3

A.2.3 Diseño del Modulador para los Motores.................................................96

A.2.4 Diseño para los Encoders de Posición....................................................96

A.2.5 Diseño para las Salidas del Circuito.......................................................97

A.3 Construcción del Nuevo Sistema...................................................................97

A.3.1 PIC.................................................................................................... .....98

A.3.2 Modulador por Ancho de Pulso...............................................................98

A.3.3 Decodificación y Conversores D/A..........................................................99

A.4 Referencias del Apéndice............................................................................100

APÉNDICE B

MODELO FENOMENOLÓGICO ORIGINAL DE FEEDBACK INSTRUMENTS LTD.............101

B.1 Introducción...............................................................................................101

B.2 Modelo No Lineal........................................................................................102

B.2.1 Introducción al Sistema e Hipótesis Simplificatorias.............................102

B.2.2 Modelo Vertical....................................................................................103

B.2.3 Modelo Horizontal......................................................................... .......105

B.2.4 Modelo Final........................................................................................106

B.2.5 Modelo de Entrada..............................................................................107

B.3 Parámetros y Modelos Experimentales.......................................................107

B.3.1 Parámetros Físicos...............................................................................107

B.3.2 Característica del Rotor Principal.........................................................108

B.3.3 Característica del Rotor de Cola...........................................................109

B.4 Referencias del Apéndice.......................................................................... ..111

4

Capítulo 1 Introducción

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El control del sistema compuesto por dos rotores acoplados (Twin Rotor MIMO

System o TRMS) es un desafío complejo debido a la no linealidad del mismo y la

fuerte interacción que existe entre sus diferentes variables. Los trabajos que han

sido desarrollados por la empresa Feedback Instruments Ltd. [5] (la cual construyó

el sistema), además de trabajos como los mostrados en [1][2][18], son un buen

punto de partida, pues desarrollan metodologías de modelación del tipo

fenomenológica y del tipo caja negra para el TRMS. Por otro lado los trabajos

desarrollados en [5][11][12] servirán para una comparación teórica en cuanto al

comportamiento y control del sistema. En particular, en [5] se trabaja sobre el

mismo sistema que se ocupa en este trabajo y su controlador PID convencional será

la base de comparación para las pruebas experimentales estudiadas en esta

memoria.

Diferentes tipos de control no lineal pueden ser aplicados a este tipo de plantas,

tanto para la estabilización [9][13][15][17] como para seguimiento de referencias,

algunos de los cuales pueden ser revisados en [4][7][8][16][17][19]. Sin embargo, a

pesar de que algunos de éstos pueden ser más complicados que otros, se elegirán

dos líneas de trabajo que, aunque tienen aspectos en común, abarcan dos áreas

diferentes del control automático.

Por un lado, se sabe que un sistema difuso se puede ocupar como un aproximador

universal de cualquier función matemática definida sobre un conjunto compacto

5

U⊂ℝn [19]. Ello será un elemento clave en este desarrollo, pues el control con el

que se trabajará es del tipo indirecto, lo cual supone la estimación de algunos

parámetros con buen grado de precisión. Desafortunadamente, por la misma no

linealidad que existe en el sistema y simplificaciones que se deben realizar, un

controlador basado y sintonizado sobre un modelo tiende a perder calidad cuando se

aplica directamente a la planta real.

Por el otro lado, la adaptabilidad [14][16][17] se hace necesaria para resolver

muchos de los problemas antes mencionados. Este concepto será aplicado a los dos

controladores propuestos en este trabajo y pretende, además de mejorar el

desempeño del sistema en condiciones de simulación (ideales), mejorar

sustancialmente el comportamiento del sistema real, tanto en régimen permanente

como la respuesta frente a perturbaciones externas.

1.2 DISCUSIÓN BIBLIOGRÁFICA

En esta sección se realiza una breve introducción a los trabajos de modelación y

control desarrollados específicamente para el TRMS, tanto en simulaciones como

aplicaciones al sistema real. También se entrega una reseña mínima sobre conceptos

de sistemas difusos y adaptables que serán empleados en el control del TRMS.

1.1.1 SOBRE EL SISTEMA DE 2 ROTORES

El problema del sistema de 2 rotores acoplados ha sido abordado en la literatura

con diferentes grados de complejidad, tanto en la modelación como en el control del

mismo (en ambientes simulados o en el sistema real). Así, en [1] se presenta un

esquema de identificación del sistema del tipo caja negra modelando sólo el eje

vertical (transformando al sistema en monovariable). También se encuentran

técnicas de modelación a través de redes neuronales [2] o derivadas directamente

de ecuaciones matemáticas [5][18]. Sin embargo, los modelos fenomenológicos

mostrados son para un sistema general y, como se verá en este trabajo, existen

diferencias sustanciales con el sistema real que obligarán a una nueva modelación e

identificación.

Con respecto al control de este sistema, los trabajos [11] y [12] pretenden (al igual

que lo desarrollado en esta memoria) mejorar el control PID convencional [5]

introduciendo técnicas no lineales que permiten aventajarlo en su desempeño

6

general aún cuando se ve notoriamente perjudicada la simpleza de los esquemas de

control1. Sin embargo, muy pocos controladores presentan capacidad de

adaptabilidad en línea y/o no están aplicados a la planta real.

1.1.2 SISTEMAS DIFUSOS

Dentro de los sistemas difusos que se pueden encontrar en la literatura, los más

conocidos son los sistemas difusos puros del tipo Takagi & Sugeno y Mamdani [19].

Los primeros son la base de todo sistema difuso y consisten en una serie de reglas

del tipo SI-ENTONCES, donde tanto las premisas como las consecuencias son

conjuntos lingüísticos. Matemáticamente, cada una de las reglas R(l) se expresan

como

Rl : SI x1 es F1l ∧...∧ xn es Fn

l ENTONCES y es Gl

donde Fil y Gl son conjuntos difusos, x=x1,... , xn

T∈U⊂ℝn y y∈V⊂ℝn son

variables lingüísticas de entrada y salida respectivamente. l=1,2 ,... ,M representa

la cantidad de reglas difusas. Así, cada regla define un conjunto difuso

F1l×...×Fn

l Gl en el espacio U×V . Los grados de pertenencia frente a una

entrada A difusa, para cada regla, quedan definidos por

A°Rl y=supx∈U[Ax✭F1l ×...×F

nl Glx , y ]

donde ✭ representa la operación mínimo, producto o alguna otra, dependiendo del

sistema que se ocupe. La salida de un sistema difuso puro es un conjunto difuso

combinación de lo mostrado anteriormente

A°R 1 , ...,RMy=A°R1 y...A°RMy

donde es el operador máximo, suma algebraica u otro.

A pesar de ser un sistema fácil de entender por las personas por sus entradas y/o

salidas lingüísticas (e.g. ALTA, BAJA, CALIENTE, FRÍO), éstas mismas son un problema

pues son de poca aplicación directa en la ingeniería. Es por esta razón que Takagi &

Sugeno desarrollan el siguiente tipo de sistemas difusos, los cuales cambian las

premisas y consecuencias por valores reales, de la siguiente manera

1 Esto será un tema constante en esta Memoria, pues hay un balance entre complejidad y desempeño.

7

Ll : SI x1 es F1l ∧...∧ xn es Fn

l ENTONCES yl=c0l c1

l x1...cnl xn

donde cil son valores reales para cada regla. Es fácil ver que la salida para una

entrada x=x1,... , xnT de todo este sistema es la suma ponderada de las salidas de

cada una de las reglas, según

yx =∑l=1

M

w l y l

∑l=1

M

wl

donde

w l=∏i=1

n

F ilx i

con Filxi el grado de pertenencia de xi para cada regla F i

l .

Con este tipo de sistemas surge el problema de incorporar reglas lingüísticas

basadas en la experiencia de personas, lo cual es solucionado con el tipo de

sistemas llamados sistemas difusos de Mamdani.

Estos sistemas incluyen un fuzzificador y defuzzificador2 a la entrada y a la salida

de un sistema difuso puro; El primero tiene como entrada un valor real y devuelve

un elemento de conjunto difuso utilizable por el sistema difuso puro, mientras que el

segundo recibe un elemento de conjunto difuso y devuelve un valor real. La

aplicación a la ingeniería es directa sin perder el conocimiento lingüístico que se

podría tener.

1.1.3 SISTEMAS ADAPTABLES

En lo que sigue se realiza una pequeña descripción de los sistemas adaptables

simples, para el caso escalar con un control del tipo directo. Para mayor detalle, se

aconseja al lector revisar [16], desde donde se extrae la siguiente información.

Supongamos una planta de la forma

xpt =apt xpt kptut

donde ap(.) y kp(.) son parámetros de la planta que puedan ser ajustados

2 Abuso de notación desde el inglés, por falta de traducción en esta aplicación.

8

directamente. Además, se tiene un modelo de referencia definido como

xmt =amxm tkmr t

donde am<0 y km son constantes conocidas. Se entiende que r(t) es la señal de

referencia acotada y continua por tramos y xm(.) representa la salida deseada (Las

funciones de transferencia asociadas a la planta y al modelo de referencia se

definen como Wp(s) y Wm(s), respectivamente). Luego, se quiere encontrar las leyes

de adaptabilidad para ap(t) y kp(t) tal que el error de control tienda a cero, es decir

limt∞

∣xpt −xmt ∣=limt∞

∣et∣=0

El error entre la salida de la planta y la del modelo de referencia

et=xp t −xmt queda determinado por

et=ametapt−amxpt kpt −kmr t

Está demostrado en [16] que si se ocupan las leyes adaptables

apt=−et xp t

kpt=−et r t

el sistema es estable y el límite antes mostrado tiende a cero.

Sin embargo, no siempre es posible cambiar directamente los parámetros de la

planta, por lo que hay que pensar en una acción de control que cumpla los mismos

objetivos. Idealmente, si se utiliza

u=am−apkp xptkmkp r t=*⋅xpt k *⋅r t

se puede ver que el comportamiento de la planta sería igual al del modelo de

referencia excepto por el efecto de las condiciones ideales. Dado que * y k * son

desconocidos, el problema es encontrar las leyes de adaptabilidad para (t) y k(t)

usadas en la siguiente ley de control que si es realizable

ut =txptk t r t

Definiendo

et=xpt −xmt , t =t−* , t=k t −k *

9

y recordando que con la nueva acción de control la planta se transforma en

xpt =apkpt xptkpk t r t

se tiene

et=ametkp t xpt kpt r t

Suponiendo que sólo el signo de kp es conocido, se eligen las siguientes leyes de

adaptabilidad

t =t =−sgn kpet xpt

t =k t=−sgnkpet r t

Para probar la estabilidad del sistema adaptable resultante, se escoge la función

de Lyapunov

V e, ,=12[e2∣kp∣

22 ]

cuya primera derivada temporal, al ser evaluada con et , t , t antes

descritos, se obtiene

V e , ,=ame20

Con esto se demuestra que todas las señales permanecen acotadas.

Como e está acotado y e ∈ ℒ2, es posible demostrar que

limt∞

et =0

1.3 OBJETIVOS Y METODOLOGÍA

Los objetivos generales que se pretenden alcanzar con este trabajo son

● Estudiar estrategias de control avanzadas para sistemas multivariables, y

compararlas con estrategias convencionales.

● Implementar dichas estrategias mediante simulaciones y aplicaciones de

laboratorio.

Igualmente, los objetivos específicos son

● Realizar un estudio sobre las siguientes estrategias y su aplicación en el

sistema Twin Rotor MIMO System, del Laboratorio de Automática de

10

Electrotecnologías de la Universidad de Chile:

○ Control PID Convencional.

○ Control Adaptable Convencional.

○ Control Difuso Adaptable.

● Implementar las estrategias seleccionadas mediante simulaciones y luego a

la planta de laboratorio.

● Comparar los resultados entre los controladores determinando así

debilidades y fortalezas de cada uno.

1.4 ESTRUCTURA DE LA MEMORIA

El presente trabajo está dividido en cinco capítulos los cuales se resumen a

continuación.

El Capítulo 1 contiene una introducción tanto al sistema de dos rotores como al

estado actual del control de sistemas no lineales y multivariables, ubicando al lector

en el área donde se trabajará.

En el Capítulo 2 se presenta el sistema TRMS, dando una pequeña introducción al

sistema mismo, para luego mostrar la modelación fenomenológica y la identificación

de sus parámetros. Se presentan también algunos problemas detectados y las

soluciones planteadas al tratar de hacer coincidir un modelo fenomenológico ideal

con el sistema real con que se cuenta en laboratorio.

El Capítulo 3 describe en detalle el diseño de los controladores propuestos, asi

como el procedimiento para la sintonización de cada uno de ellos. Además, se

justifica el uso de una red neuronal como función inversa para eliminar una función

no lineal que realiza directamente el control propuesto.

En el Capítulo 4 se muestran los resultados para cada uno de los controladores,

tanto en simulaciones como en la planta real. Se discute además sobre el porqué de

cada uno de los resultados, comparándolos entre ellos.

El Capítulo 5 se refiere a las conclusiones del trabajo, donde se discuten cada uno

de los aspectos involucrados en el desarrollo de éste.

11

1.5 REFERENCIAS

[1]. AHMAD, S.M. CHIPPERFIELD, A.J. y TOKHI, M.O. "Modelling and control of a twin

rotor multi-input multi-output system". Proceedings of the 2000 American

Control Conference. 28-30, Jun. 2000. Vol. 3, pp. 1720-1724.

[2]. ALBEDREZ, F. M. DARUS, I. Z. M. y TOKHI, M. O. "Dynamic modelling of a twin

rotor system in hovering position". First International Symposium on Control,

Communications and Signal Processing. 2004 pp. 823–826.

[3]. BING, C. XIAOPING, L. y SHACHENG, T. "Adaptive fuzzy output tracking control

of MIMO nonlinear uncertain systems" . IEEE Transactions on Fuzzy Systems.

Abr. 2007. Vol. 15, Núm. 2, pp. 287–300.

[4]. DONG-LING, T. HUNG-YUAN, C. y CHING-JUNG, L. "The adaptive control of

nonlinear systems using the Sugeno-type of fuzzy logic". IEEE Transactions on

Fuzzy Systems. Abr. 1999. Vol. 7, Núm. 2, pp. 225-229.

[5]. FEEDBACK Instruments Ltd. "Twin rotor MIMO system, advanced teaching

manual 1; 33-007-4M5". Crowborough, Inglaterra. Nov. 1999.

[6]. FISCHLE, K. y SCHRODER, D. "An improved stable adaptive fuzzy control

method". IEEE Transactions on Fuzzy Systems. Feb. 1999. Vol. 7, Núm. 1, pp.

27-40.

[7]. HAN-XIONG, L. y SHAOCHENG, T. "A hybrid adaptive fuzzy control for a class of

nonlinear MIMO systems". IEEE Transactions on Fuzzy Systems. Feb. 2003. Vol.

11, Núm. 1, pp. 24-34.

[8]. HOJATI, M. y GAZOR, S. "Hybrid adaptive fuzzy identification and control of

nonlinear systems". IEEE Transactions on Fuzzy Systems. Abr. 2002. Vol. 10,

Núm. 2, pp. 198-210.

[9]. ISIDORI, A. y BYRNES, C. I. "Output regulation of nonlinear systems". IEEE

Transactions on Automatic Control. Feb. 1990. Vol. 35, Núm. 2, pp. 131–140.

[10]. ISIDORI, A. MARCONI, L. y SERRANI, A. "Robust nonlinear motion control of a

helicopter". IEEE Transactions on Automatic Control. Mar. 2003. Vol. 48, Núm

3, pp. 413–426.

[11]. ISLAM, B. U. AHMED, N. BHATTI, D. L. y KHAN, S. "Controller design using fuzzy

12

logic for a twin rotor MIMO system". 7th International Multi Topic Conference,

INMIC. 8-9 Dic. 2003, pp. 264-268.

[12]. JIH-GAU, J. WEN-KAI, L. y CHENG-YU, T. "Intelligent control scheme for twin

rotor MIMO system". IEEE International Conference on Mechatronics, ICM. 10-

12 Jul. 2005, pp. 102-107.

[13]. KARAGIANNISA, D. ASTOLFI, A. y ORTEGA, R. "Two results for adaptive output

feedback stabilization of nonlinear systems". Automatica 39, Brief Paper.

2003, pp. 857–866.

[14]. KOO, T.J. "Stable model reference adaptive fuzzy control of a class of nonlinear

systems". IEEE Transactions on Fuzzy Systems. Ago. 2001. Vol. 9, Núm 4, pp.

624–636.

[15]. MITTAL, M. PRASAD, J. V. R. y SCHRAGE, D. P. "Nonlinear adaptive control of a

twin lift helicopter system". IEEE Control Systems Magazine. Abr. 1991. Vol.

11, Núm. 3, pp. 39-45.

[16]. NARENDRA, K. S. ANNASWAMY, A. M. "Stable adaptive systems". Englewood

Cliffs, N.J. : Prentice Hall, 1989, Capítulos 1,3.

[17]. NARENDRA, K.S. y PARTHASARATHY, K. "Identification and control of dynamical

systems using neural networks". IEEE Transactions on Neural Networks. Mar.

1990. Vol. 1, Núm. 1, pp. 4–27.

[18]. VERHAEVERT, J. y BEYENS, J. "Study and realisation of controlling a twin rotor".

Vehicular Technology Conference, VTC2007-Spring. IEEE 65 th . 22-25 Abr. 2007,

pp. 2535–2539.

[19]. WANG, Li-Xin. Adaptive Fuzzy Systems and Control. New Jersey : Prentice Hall,

1994. Capítulos 1, 2.

13

Capítulo 2 Sistema Multivariable

de 2 Rotores Acoplados

2.1 INTRODUCCIÓN E HIPÓTESIS SIMPLIFICATORIAS

El sistema multivariable de 2 rotores acoplados (Twin Rotor MIMO System, TRMS)

está diseñado para simular la dinámica de un helicóptero. Se compone básicamente

de un pivote que permite una rotación en los ejes vertical y horizontal, un rotor

principal y un rotor de cola.

Es fácil ver el comportamiento multivariable del sistema pues, tal como se

muestra en la Figura 2.1, existen 2 entradas que corresponden al voltaje aplicado en

cada uno de los bornes de los motores de corriente continua (en verde), y 4 salidas

14

Figura 2.1: Esquema del TRMS

MR

TR v

h

uv

uh

que corresponden a los ángulos de inclinación para cada eje y las velocidades de

cada uno de los motores (azul y rojo, respectivamente). Además, la misma figura

muestra la nomenclatura que se ocupa en el resto de este trabajo con:

v : Ángulo de elevación del sistema (eje vertical).

h : Ángulo de rotación del sistema (eje horizontal).

MR : Velocidad angular del rotor principal (main rotor).

TR : Velocidad angular del rotor de cola (tail rotor).

uv : Voltaje (normalizado) para el rotor principal.

uh : Voltaje (normalizado) para el rotor de cola.

Es importante mencionar en este punto que el voltaje normalizado se encuentra

en el rango [0,1], donde 0 corresponde al mínimo y 1 al máximo. Esto se hace así

pues no necesariamente los voltajes máximos de los rotores serán los mismos. En

particular para este trabajo, se ocupan 20 [V] máximos en el rotor principal mientras

que 15 [V] en el rotor de cola, para compensar la diferencia entre las hélices

principal y de cola.

Las hipótesis simplificatorias que se ocupan para el modelo fenomenológico que

se presenta son las mismas que entrega Feedback Instruments Ltd. en [1] (ver

Apéndice 2) y son

● La dinámica de las hélices se puede expresar como ecuaciones

diferenciales de 1er orden.

● La fricción del sistema se considera del tipo viscosa.

Por último, los modelos vertical y horizontal se obtendrán a partir de la 2da ley de

Newton, es decir

Mi= J id2i

dt2 , i∈{h,v}

donde

Mi : Suma de momentos de torque en el plano i.

Ji : Suma de los momentos de inercia relativos al plano i.

15

i : Ángulo para el plano i, según lo mencionado anteriormente.

2.2 MODELACIÓN FENOMENOLÓGICA

2.2.1 MODELO DE ENTRADA

Para poder comenzar la modelación fenomenológica, se debe conocer la relación

entre el voltaje de entrada aplicado a cada uno de los motores y la fuerza de empuje

que se obtiene (ver Figura 2.2). Esta relación se compone básicamente de 2 etapas:

Relación entre voltaje (uv,uh) y velocidad angular (m,t), y relación entre velocidad

angular y la fuerza de empuje (Fv,Fh), cuyos parámetros deben ser determinados

experimentalmente.

La velocidad angular se obtiene, a su vez, en 2 partes: Una dinámica de 1er orden

y una estática polinomial, relacionadas a través de (uvv,uhh) (Figura 2.2). La relación

entre velocidad y fuerza es un polinomio que depende exclusivamente del modelo y

forma de la hélice que se ocupe.

2.2.2 MODELO VERTICAL

El modelo vertical acá descrito es el mismo que se propone en [1][Apéndice 2],

por lo que algunas partes resultan redundantes. Sin embargo, es importante detallar

todo el desarrollo para una mayor claridad.

De la Figura 2.3 es fácil ver que el primero de los momentos Mv1 se expresa como

16

Figura 2.2: Modelos de entrada

mPv uvv

uvv1Tmr s1

uv Fv m Fv

tPhuhh

uhh1T tr s1

uh Fh t Fh

Figura 2.3: Diagrama de momentos de fuerza para el eje vertical

−v

Fv m

g

Mv2Mv4

Mv1

Mv3

Mv1=g{[mt

2mtrmts lt−mm

2mmrmms lm ]cosv−mb

2lbmcb lcbsinv }

con

Mv1 : Torque de retorno para las fuerzas de gravedad.

mmr : Masa del motor CC con el rotor principal.

mm : Masa del rayo pivote-motor principal.

mtr : Masa del motor CC con el rotor de cola.

mt : Masa del rayo pivote-motor de cola.

mcb : Masa del contrapeso.

mb : Masa del rayo pivote-contrapeso.

mms : Masa del escudo principal.

mts : Masa del escudo de cola.

lm : Largo del rayo pivote-motor principal.

lt : Largo del rayo pivote-motor de cola.

lb : Largo del rayo pivote-contrapeso.

lcb : Distancia pivote-contrapeso.

g : Aceleración de gravedad.

Definiendo las constantes

A=mt

2mtrmts lt

B=mm

2mm rmms lm

C=mb

2lbmcb lcb

se obtiene una forma compacta para esta expresión

Mv1=g {[A−B]cosv−Csinv }

17

Mv2 y Mv4 se determinan fácilmente pues corresponden a al momento de fuerza de

empuje producida por el rotor principal y el momento de roce asociada a la

velocidad de giro, respectivamente, cuyas expresiones son

Mv2=lmF vm

Mv4=−vkv=−v kv

con

m : Velocidad angular del rotor principal.

Fv : Fuerza propulsora del rotor principal.

v : Velocidad angular alrededor del eje horizontal.

kv : Constante de roce.

La última expresión Mv3 corresponde al momento de fuerzas centrífugas

relacionadas al movimiento del rayo alrededor del eje definida como

Mv3=−h2 {mt

2mtrmts ltmm

2mmrmms lmmb

2lbmcb lcb}sinv cosv

con

h : Velocidad angular alrededor del eje vertical.

Agrupando constantes se obtiene

Mv3=−h2 {ABC }sinv cosv

Las componentes de los momentos de inercia relativos al eje horizontal se

expresan como

Jv1=mmr lm2 , Jv2=mm

lm2

3,

Jv3=mcb lcb2 , Jv4=mb

lb2

3,

Jv5=mtr lt2 , Jv6=mt

lt2

3,

18

Jv7=mms

2rms

2mms lm

2 , Jv8=mts r ts2mts lt

2 .

con

rms : Radio del escudo principal.

rts : Radio del escudo de cola.

Es importante mencionar que estos momentos de inercia no dependen de la

posición del sistema y son constantes en el tiempo.

2.2.3 MODELO HORIZONTAL

Este modelo horizontal, aún cuando tiene una base en la 2da ley de Newton y en el

modelo fenomenológico del modelo vertical, se obtiene en su mayoría a partir de

datos experimentales [2] pues el modelo mostrado en [Apéndice 2] para este eje no

representa de fiel manera el comportamiento del sistema. Esto sucede

principalmente por 2 razones: No considerar las limitaciones físicas del equipo y no

considerar factores externos que si afectan el comportamiento general.

Para el primer problema, el ejemplo más simple es que a pesar de la libertad de

movimiento que se tiene en los ejes horizontal y vertical existen límites que no

pueden ser violados, como que h supere los [rad].

Lo segundo es, tal como lo muestra la Ilustración 2.1, la existencia de cables que

limitan el movimiento del eje horizontal. En particular, se descubre que este

conjunto de cables produce un efecto muy parecido al péndulo (contrapeso) del

modelo vertical y esto motiva al nuevo modelo. Entonces, para el modelo horizontal

19

Ilustración 2.1: Cables de conexión

(Figura 2.4) se considera un sistema muy parecido al mostrado en la Figura 2.3,

modelando el efecto de los cables como un péndulo virtual.

Haciendo la analogía con el eje vertical, Mh1 se representa como

Mh1=D {Ecosh−F sinh }

con D, E, F constantes a determinar experimentalmente.

Mh2 y Mh4 son momentos análogos al modelo vertical dados por

Mh2= ltF ht

Mh4=−hkh=−hkh

Mh3 corresponde al momento de fuerza producido por el rotor principal y se modela

simplemente como

Mh3=k1F1m

Las componentes de los momentos de inercia relativos al eje vertical se suponen

constantes, independientes de la posición del sistema y su suma será una nueva

constante a determinar experimentalmente.

Por último, después de realizar pruebas con este modelo se verifica que si bien la

dinámica se comporta adecuadamente en cuanto a tiempos de estabilización y

tamaño y cantidad de oscilaciones, existe un desplazamiento en la salida producido

por el rotor principal. Esto se soluciona agregando una función de m sumada a la

salida del modelo.

h=hPm

20

Figura 2.4: Momentos de fuerza para el nuevo modelo horizontal

−h

Fh t g

Mh1

Mh2Mh4

F1m

Mh3

2.3 INSTRUMENTACIÓN

2.3.1 POSICIÓN

Para medir la posición (ángulos) de elevación y rotación se utiliza un encoder del

tipo HEDS9000 [3], el cuál no sólo permite medir con gran precisión (dependiendo

de la rueda dentada que se ocupe) sino que además mide el sentido de giro.

Básicamente, el sensor consiste en un rayo de luz que es interrumpido por la

rueda, produciendo un tren de pulsos de ancho variable en función de la velocidad

de giro. Luego, basta detectar cuando la señal sube o baja para determinar la

posición. El sentido de giro se logra determinar mediante dos señales en cuadratura

(desfasadas en 90º). Así, dependiendo cuál canal adelante en fase se sabrá el

sentido de giro.

Nótese que los pulsos entregados por el sensor no son perfectos y demoran un

tiempo en llegar a sus valores máximos y mínimos, pero este tiempo es lo

suficientemente pequeño para que el sistema lo considere como instantáneo. Para

mayor detalle se recomienda al lector dirigirse a [Apéndice 1], donde se explica la

21

Ilustración 2.2: Encoder HEDS9000

Figura 2.5: Desfases según sentido de giro

Canal

AC

anal

B

rotación

−90º 90º

construcción completa del sistema.

2.3.2 VELOCIDAD

En este sistema existen 2 velocidades que se pueden medir: i y i (velocidad de

giro de los ejes y velocidad angular de los rotores, respectivamente). Para la primera

no se consideraron sensores especiales debido principalmente al espacio con el que

se trabaja, pero una aproximación de 1er orden para la derivada de la posición suele

ser suficiente para los cálculos requeridos.

Para la velocidad angular de los rotores se tiene, para cada motor, un tacómetro

acoplado al eje [4] que convierte velocidad de giro en una señal de voltaje según la

relación

Vf [V ]=0.52[V ]∗1000 [rpm]

2.4 DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS

2.4.1 MODELO DE ENTRADA

El procedimiento descrito en esta sección será detallado para el eje vertical. Para

el caso horizontal se repite el mismo procedimiento, por lo que sólo se darán a

conocer los resultados finales.

Para determinar la característica estática del rotor principal se hace una prueba en

lazo abierto, fijando el eje horizontal tal que no existan rotaciones y se le aplica una

entrada del tipo ruido blanco a la entrada de voltaje del motor con el tiempo

suficiente para que el rotor llegue a régimen permanente.

Con los datos experimentales (Gráfico 2.1) se puede realizar un modelo polinomial

de 4to orden, utilizando el Toolbox de interpolación de MATLAB [5]. Con esto, el

modelo queda como

22

Gráfico 2.1: Característica estática

muvv =−1558uvv4 3894uvv

3 −3920uvv2 2878uvv−4.761

La característica dinámica se obtiene por prueba y error, concluyendo en la

función de transferencia

uvv

uv=

10.9s1

Finalmente se realiza un experimento aplicando la misma entrada a la planta y al

modelo, obteniéndose el Gráfico 2.2.

Para la fuerza de empuje, se supone que el modelo entregado por Feedback [1]

está lo suficientemente bien calibrado y al no haber cambio en la hélice el modelo

sigue siendo válido. Sin embargo, al cambiar los voltajes de entrada para los

motores, se debe realizar un nuevo ajuste en el rango de operación, tal como lo

muestra el Gráfico 2.3.

Nótese que el modelo antiguo es válido para un intervalo (0,800) [rpm], lo que

resulta insuficiente para el nuevo sistema. También se realiza una simplificación en

el orden del polinomio, determinando que un 2do orden está bien. El modelo final

queda como

Fv m=0.002m2

Para el rotor de cola, los nuevos modelos son

23

Gráfico 2.2: Modelo para el rotor principal

Gráfico 2.3: Comparación entre modelos para Fv(m)

t uhh=2020uhh5 −194.69uhh

4 −4283.15uhh3 262.27uhh

2 3796.83uhh

uhh

uh=

10.3842 s1

Fht =11⋅10−5t2

2.4.2 MODELO VERTICAL

Para la sintonización del modelo vertical se realizan pruebas en lazo abierto,

dejando el rotor de cola con velocidad angular constante y se varía la entrada del

rotor principal. Partiendo por los valores entregados en el modelo original, se ajustan

cada uno de las correcciones (1 hasta 6 mostradas en el [Anexo 4]) hasta llegar al

mejor modelo posible. El método propuesto en [1] para la sintonización vertical no

es aplicado, pues existen dinámicas no modeladas e interacciones entre ejes que no

permiten un buen modelamiento si tantos factores se dejan de lado.

Aún cuando el proceso podría parecer engorroso, cada uno de los parámetros

modificados tiene una influencia directa sobre alguna de las características del

modelo. Por ejemplo, al modificar el torque de fricción se modifica la amplitud de las

oscilaciones, mientras que el momento de inercia modifica el decaimiento. El Gráfico

2.4 muestra el modelo final con respecto a datos experimentales frente a la misma

entrada.

Se deben destacar dos cosas del Gráfico 2.4. El tipo de decaimiento logrado en el

modelo nunca se pudo igualar con el de la planta (trade-off entre amplitud de

oscilación con tiempo de decaimiento), pues existen roces mecánicos (más allá del

con el aire) que hacen del decaimiento un proceso en 2 partes: El primero es cuando

las velocidades son altas y podría parecer del tipo cuadrático, pero cuando las

velocidades disminuyen se debería considerar otro modelo. Sin embargo, se

considera que el modelo es lo suficientemente bueno como para realizar las pruebas

24

Gráfico 2.4: Modelo Vertical

y realizar sintonización de controladores antes de probarlos en planta.

El segundo punto es que el comportamiento de la planta no es el mismo para

ángulos mayores que 0 [rad] pero como es en esta región donde el control se vuelve

más crítico, se le da prioridad a la modelación en ésta estimando que un controlador

bien sintonizado aquí se comportará de buena manera en el resto del espacio; Es

por esto que los puntos de equilibrio no calzan exactamente para ángulos negativos.

2.4.3 MODELO HORIZONTAL

El modelo horizontal se sintoniza de la misma manera que el vertical (por tener la

misma forma). El problema, tal como se mencionó antes, radica en el

desplazamiento que se produce frente a diferentes velocidades del rotor principal y

que no es lineal. El Gráfico 2.5 muestra 2 casos (uv=0.4 y uv=0.8, rojo y azul,

respectivamente) de esta situación.

Debido a esto, se calcula un polinomio que modifica la salida según

h=h−1.744e-6m20.003546m0.7

El resultado se muestra en el Gráfico 2.6, modificando sólo la entrada en el eje

vertical.

25

Gráfico 2.6: Modelo horizontal

Gráfico 2.5: Desplazamiento producido por el rotor principal

2.5 REFERENCIAS


manual 1; 33-007-4M5". Crowborough, Inglaterra. Noviembre, 1999.

[2]. GONZALEZ, Guillermo. "Apuntes del curso EM717. Identificación para el control

de sistemas". Universidad de Chile, Departamento de Ingeniería Eléctrica.

[2006]

[3]. HEWLETT Packard. "Two channel optical incremental encoder modules ,

technical data (heds9000-heds9100)". Octubre, 2006.

[4]. MAXON Motor. "DC Tacho DCT 22, 0.52 Volt, Technical Data". Agosto, 2006.

[5]. THE MATHWORKS. Curve Fitting Toolbox. [en línea]

<www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/curvefit/curvefit.pdf>

[consulta: Mayo 2007].

26

http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/curvefit/curvefit.pdf



Capítulo 3 Descripción de los

Controladores

3.1 RED NEURONAL COMO FUNCIÓN INVERSA

El TRMS presenta una estructura matemática que no es apropiada para los

controladores avanzados que se proponen en este trabajo, por lo que una función

inversa que elimine ciertas características es necesaria. Desafortunadamente la

función a invertir es no lineal y dinámica, por lo que se decide ocupar una red

neuronal (entrenada fuera de línea) para invertirla y alcanzar así la forma de

problema deseada.

3.1.1 JUSTIFICACIÓN

Para la mayoría de los sistemas de control y en particular para el controlador

difuso adaptable, se requiere de un sistema que tenga la forma [11]

xn=f x , x ,..., xn−1gx , x ,... , xn−1u

El problema para el TRMS es que no sigue esta estructura, sino

x n=f x, x ,... , x n−1gx , x ,... , xn−1 F u j

donde uj corresponde a la entrada de voltaje a los motores horizontal o vertical (j=h

ó j=v, respectivamente, notación que se mantendrá por el resto del trabajo). La

función (modelo) F . se muestra en la Figura 3.1

27

Para poder eliminar esta función no lineal, se propone una red neuronal (NN, por

sus siglas en inglés) entrenada para comportarse como la inversa de la función. Así,

al poner la red neuronal a la entrada del sistema se podrá suponer la estructura

descrita al comienzo de esta sección.

3.1.2 ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN

Antes de entrenar la NN, se requiere establecer de adecuada manera la estructura

de la red y la cantidad de datos de entrenamiento [1][7]. Para lo primero se necesita

establecer cuántas neuronas de entrada, cuántas en la capa oculta y cuántas en la

salida. Un modelo general de una NN se muestra en la Figura 3.2.

Al elegir sólo una neurona con función de activación lineal a la salida y la misma

cantidad de neuronas en la capa oculta que en la capa de entrada (al no buscar

optimalidad en la estructura), el único parámetro de la estructura de la red que debe

determinarse es la cantidad de neuronas en la capa de entrada. Habrá que recordar

que para el caso del control, las entradas a la red son regresores de la entrada y de

la salida.

Como primeras aproximaciones, se ocuparán sólo regresores de la salida para la

red neuronal. Se realiza una prueba (Gráfico 3.1) para determinar cuántos de estos

regresores serán necesarios para un desempeño aceptable estudiando los casos de

28

Figura 3.1: Función no lineal en la entrada

Figura 3.2: Estructura de la Red Neuronal

.

.

.

.

.

.

capa entrada

capa oculta

capa salida

Xh

ih

ji

X1

3, 5 y 7 regresores. Nótese que los rangos en la entrada no corresponden

exactamente a los que se ocuparán en el controlador final, pero esto se permite por

2 razones: La primera es que al estar fuera de rango la red neuronal tendrá más

capacidad de adaptación, luego podrá soportar diferentes regiones de operación. La

segunda razón tiene que ver con la simplificación de los primeros aprontes, pues el

entrenamiento de una red neuronal consume bastante tiempo (como se verá más

adelante) y al tener que realizar varios entrenamientos antes de escoger la NN que

se utilizará, el tiempo total que se podría ocupar sólo en este ejercicio ascendería a

varias horas. Finalmente, se establecen 3 tipos de redes y 1000 [s] de datos, de los

cuales 700 [s] serán para el entrenamiento y 300 [s] para la validación.

Del Gráfico 3.1 es posible notar que las redes que tienen 5 y 7 regresores tienen

un comportamiento bastante similar. Como se trata de un experimento bastante

aproximado, se empleará una red con 7 regresores en la entrada.

3.1.3 ENTRENAMIENTO

El entrenamiento de la red se realizará fuera de línea pues la salida que se

necesitaría para hacerlo en línea no está disponible físicamente. Aún así, se estima

que el modelo está lo suficientemente bien sintonizado como para que la red quede

bien entrenada (Figura 3.1).

El control directo neuronal propuesto en [7] se muestra en la Figura 3.3, donde es

posible notar que se ocupan referencias y salidas futuras, pero esto es en realidad

sólo notación y, obviamente, se ocupará la salida en el tiempo actual. Además, el

sistema mostrado en amarillo será en realidad la función F . mencionada en la

sección anterior “Justificación”.

29

Gráfico 3.1: Resultados para diferentes n

Por otra parte, la función objetivo que se buscará minimizar viene dada por

J , ZN =1

2N∑t=1

N

[u t − ut∣]2

donde N corresponde al número de muestras, u(t) es la entrada al sistema y û(t|) es

la salida del modelo inverso. Esto difiere con el modelamiento neuronal en que se

busca minimizar el error en las salidas.

Para la obtención de los datos de entrenamiento se crea un nuevo modelo

Simulink con los parámetros mostrados en la Figura 3.4.

Éstos son importantes pues son los mismos parámetros que se ocuparán en la

planta real. Merece la pena mencionar el tiempo de de muestreo 0.05 [s] fijo y que

el Tasking Mode es del tipo SingleTasking 1.

El diagrama de bloques se muestra en la Figura 3.5. La entrada uv(.) aleatoria está

en el rango [0,1] y el tiempo entre cambios es de 5 [s]. Ésta es de vital importancia

porque debe ser capaz de incluir la mayor cantidad de modos posibles en la entrada

para que éstos queden identificados por la red. No se utilizan señales de control

1 Esto se hace para poder manejar diferentes tiempos de trabajo en la aplicación. Habrá que realizar otro estudio para ver si esto afecta numéricamente en los cálculos.

30

Figura 3.3: Control Directo Inverso

NN

ModeloInverso

r t1

q−2

Sistemaut

q−1

q−2

y t1

Figura 3.4: Opciones para el Solver de MATLAB

reales en el entrenamiento pues no cubren necesariamente todo el espectro de

entradas, además de necesitarse muchos datos para un entrenamiento efectivo (del

orden de 150 [hrs]).

Con todo lo anterior en consideración se procede al entrenamiento de la red,

donde se utilizarán 8000 [s] en el entrenamiento y 2000 [s] para la validación. Es

importante mostrar la Tabla 3.1 para dar una idea al lector sobre este proceso. En

particular, se entenderá que donde la tabla muestre simulación serán segundos

simulados, no así el tiempo total que es en tiempo real.

Con el comando gensim(net, 0.05) se puede transformar la red neuronal en un

bloque Simulink, donde net es la red entrenada por MATLAB y que se encuentra en

el workspace, y 0.05 es el tiempo de muestreo.

31

Figura 3.5: Simulink para obtención de datos

Tabla 3.1: Datos sobre el entrenamiento

simulacióntiempo muestreo muestras MSE

[1] [s] [s] [1] [1] [s]7 8000 0,05 160000 0,0016827 791,93

inputs tpo total

El Gráfico 3.2 muestra el comportamiento (validación) del sistema completo. La

línea punteada muestra el valor al que se quiere llegar, mientras que la roja muestra

la salida del sistema NN-Fv(.).

3.1.4 RESULTADOS Y MODIFICACIONES

Al realizar pruebas con este nuevo sistema, se detecta un nuevo problema que

necesita solución: La respuesta del tipo impulso que se produce a la salida de la red

neuronal debido a la anulación de ceros [7] y que se ve claramente en el Gráfico

3.3.b.

La solución consiste en filtrar la señal de control, pero existen 2 lugares donde

colocar dicho filtro: A la entrada de la red o a la salida. Ambas soluciones producen

el mismo efecto (con diferentes constantes de tiempo) y permiten señales como la

32

Gráfico 3.2: Validación para la red neuronal

Gráfico 3.3: Detalle del sistema NN-Fv(.)

mostrada en el Gráfico 3.4.b, la cual ha perdido en gran medida los cambios tipo

impulso. Obviamente existe un trade-off entre la velocidad de “estabilización” y la

suavidad de la señal de control; A mayor suavidad en la señal de control, más tarda

el sistema en llegar a la señal deseada uv,des.

Se decide poner el filtro antes del cálculo de regresores (ver Figura 3.6, la cual

corresponde al eje vertical), lo que será una acertada decisión, ya que más adelante

en el trabajo se necesitará un filtro de segundo orden en esta misma posición para

permitir estabilidad en lazo cerrado.

La respuesta del sistema con el filtro, junto con la acción de control asociada, se

muestra en el Gráfico 3.4.

Por último se prueba el sistema con una señal de control verdadera, obtenida

desde el TRMS y calculada por un controlador simple PID. Los resultados se

muestran en el Gráfico 3.5.

33

Gráfico 3.4: Detalle del sistema NN-Fv(.) con filtro

Figura 3.6: Sistema con filtro

Claramente el filtro atenúa la señal original, pero se estima que esto no afectará el

sistema debido a que las variaciones de alta frecuencia no alcanzan a perturbar el

sistema total.

3.2 PID CONVENCIONAL

3.2.1 DESARROLLO MATEMÁTICO DEL CONTROLADOR

El control PID es ampliamente discutido en la literatura [8][9][10] y se espera que

el lector tenga ya conocimientos básicos sobre éste. Sin embargo, se justifica esta

sección pues se presentarán diagramas con colores y bloques que serán estándar

durante todo el desarrollo de este trabajo. Además se mostrará como se sintonizó el

controlador para responder frente al nuevo sistema.

3.2.2 ESQUEMAS DE CONTROL

Al ser un controlador inherentemente monovariable, el PID convencional que se

ocupa tendrá 2 lazos de control separados. El esquema general de control se

muestra en la Figura 3.7

Nótese que como colores estándar se utilizará el naranjo para el controlador,

amarillo para la planta (real y modelo) y el verde como salida. Los bloques verdes

34

Gráfico 3.5: Sistema con señal de control real

Figura 3.7: Esquema de Control General

con bordes circulares representan salidas del subsistema, mientras que los bloques

verdes con bordes rectos representan sensores virtuales para la señal. Esto permite

ocupar la señal desde cualquier parte del esquema Simulink sin la necesidad de

poner una línea explícita2. Se ocupará el color rojo para las entradas a los

subsistemas.

Los nombres ocupados son un abuso de notación de LaTeX. Así, el caracter “_”

corresponde a un subíndice (alfa_v v), mientras que el tamaño de la primera letra

corresponde a mayúscula o minúscula del alfabeto griego (omega_MR MR ,

Omega_MR MR). Estas variables corresponden a las mismas ocupadas en el

modelo fenomenológico.

Como se ve en la Figura 3.8, el primer esquema de control PID que se propone es

bastante sencillo. A cada lazo se le asigna un controlador, los cuales son

independientes el uno del otro. Esto, obviamente, no permite control sobre las

interacciones entre ejes, por lo que en [4] se propone el esquema de la Figura 3.9

Esto permite regular las interacciones entre cada eje pero agrega la complejidad

2 Esto conlleva a un esquema Simulink muy limpio y fácil de leer.

35

Figura 3.8: Esquema de Control PID simple

Figura 3.9: Esquema de Control PID Complejo

de la sintonización de 6 parámetros más y, teniendo en consideración lo crítico que

puede llegar a ser el eje vertical, esta sintonización tiene que ser muy precisa.

3.2.3 SINTONIZACIÓN DE PARÁMETROS

La sintonización para los dos casos mostrados anteriormente se realiza de la

misma manera: Primero mediante simulaciones y luego se realiza un ajuste fino en

el sistema de dos rotores.

Para la parte de simulaciones se realiza el procedimiento descrito en [5], el cual

indica que primero se debe correr la simulación con algunos parámetros, para luego

cambiarlos según el algoritmo de Gauss-Seidel. Luego observar si el criterio de los

mínimos cuadrados descrito como

Q=∫0

∞

m2 t dt

es óptimo. Si no, volver a correr el algoritmo Gauss-Seidel y repetir el proceso.

Feedback Instruments ya ha realizado este algoritmo con bastante precisión pero

para su modelo. Entonces, tomando estos valores como punto inicial se comienza un

procedimiento de prueba y error para lograr no sólo valores que logren un Q lo más

pequeño posible sino que cumplan además con condiciones reales de tiempos y

puntos de estabilización en el nuevo modelo. Luego, estos valores son puestos en el

sistema de control real, donde se realiza una sintonización fina de los parámetros.

Los valores finales obtenidos, tanto para la Figura 3.8 y Figura 3.9, se muestran en la

Tabla 3.2.

36

Tabla 3.2: Parámetros para el control PID

PIDh PIDv PIDvv PIDvh PIDhv PIDhhP 1.000 0.380 0.540 0.045 0.230 1.000I 0.130 1.400 0.980 0.021 0.100 0.120D 0.500 1.300 1.980 -0.430 0.100 0.500

3.3 CONTROL ADAPTABLE CONVENCIONAL


Al realizar un análisis sobre el modelo fenomenológico mostrado en el Capítulo 2,

es posible darse cuenta que al separar los ejes (es decir, tomar como nula cualquier

entrada que provenga del otro eje) ambos modelos tienen una forma como

j=C1 jC2cos jC3sin jCuu j , j∈{h,v} , C i ctes.

Aún cuando se tienen funciones no lineales (conocidas), este modelo tiene la

forma requerida para realizar un control adaptable convencional para plantas con

grado relativo n*=2. Es de gran importancia destacar este hecho, pues el caso n*=2

es especial [6]: Para plantas con grado relativo mayor que 1, el hecho de agregar

diferenciación explícita y además ocupar el factor de normalización 1T

introduce ruido y bruscas variaciones en la acción de control que deberían ser

evitadas cada vez que es posible [2]. El método que se muestra a continuación evita

esto por medio de la utilización de filtros que aseguren limt∞

e1=0 , donde e1

corresponderá al modelo de error del sistema.

Así, los vectores a definirse son

=[ r j 1 2 3]T

=[k1 0 1 2 3]T

donde 1, 2 y 3 son las señales filtradas de u(t), cos(j) y sin(j) respectivamente

a través de un filtro (,ℓ), el cuál debe cumplir que dicho par sea controlable [6].

Según lo mostrado en el Capítulo 1, si se define L(s)=s+a tal que el producto

Wm(s)L(s) sea estrictamente real positiva (ERP), se puede considerar un nuevo

vector t =L−1s t . Así, una nueva acción de control u(t) puede escribirse

como

37

ut =T t t T t t aT t t =T t t T t t

Entonces, si t está determinado por una ley adaptable, u(t) no tendrá

derivación implícita. Se deduce además que la ecuación del error toma la forma

e1t =kp

km

WmsLsT t t

Si se ocupa la ley adaptable

t=−sgnkpect t

y se remplaza en u(t), se tiene la acción de control final

ut =T t t −sgnkpe1t T t t


El controlador adaptable convencional propuesto se diseña para sistemas

monovariables. A pesar de esto, se espera que las interacciones entre ambos ejes

puedan ser reconocidas de forma rápida por el controlador a través de la

identificación de constantes variables en el tiempo. Por ejemplo, aún cuando no

existe una clara dependencia entre el lazo de control vertical y el ángulo del eje

horizontal en el esquema, se puede decir que la constante que acompaña a los

términos del modelo es función de h, por lo que se tendría un modelo del estilo

v=C1 h vC2hcos jC3 hsin jCu tu j

Entonces, la interacción entre ejes (sistema multivariable) se reduce al problema

de verificar la respuesta del controlador frente a cambios en los parámetros del

sistema.

Por otro lado, como se trabaja con miras a controlar el sistema físico real es

importante darle tiempo al controlador para que adapte sus parámetros lo mejor

posible antes de comenzar a realizar las pruebas de seguimiento y respuesta a

38

perturbaciones. Esto se puede lograr de 2 maneras: La primera es realizar una serie

de experimentos para determinar las condiciones iniciales para cada uno de los

parámetros. La segunda (y es la que se usa en este trabajo) es comenzar con un

controlador PID por un tiempo fijo determinado a través de diferentes simulaciones y

una vez cumplido este tiempo se realiza un cambio suave al controlador adaptable.

Esto se hace porque los parámetros pueden variar entre experimentos y es mejor,

para los resultados de este trabajo de investigación, que las pruebas sean realizadas

cuando se tenga un estado de régimen permanente.

Con todo lo anterior, la Figura 3.10 muestra el esquema que se ocupa para el

diseño del controlador adaptable convencional, donde se pueden ver claramente los

bloques para cada controlador, los modelos de referencia y los bloques encargados

de realizar el cambio.

En cuanto a los detalles de los bloques mostrados, se muestra sólo el lazo vertical,

pues el horizontal es del mismo tipo excepto por variaciones en las constantes que

se ocupan y las cuáles serán explicitadas en la siguiente sección. Entonces, el

39

Figura 3.10: Controlador Adaptable Convencional para TRMS

bloque controlador vertical se detalla en la Figura 3.11.

Merece la pena destacar 3 cosas con respecto a la Figura 3.11: El uso de filtros de

primer orden en las entradas a los estimadores para evitar la derivación implícita, el

uso de funciones no lineales conocidas como entradas para los estimadores 2 y 3 y

por último, el uso de una red neuronal para el cálculo de la inversa de la función Fv(.)

(ver Figura 3.6), la cual es importante pues esta función no es estática y el método

propuesto en [6] para entradas no lineales podría no funcionar.

El estimador para cada uno de los parámetros, cuyo diagrama de bloques se

muestra en la Figura 3.12, se diseña en base a la ley adaptable mostrada en la

sección anterior.

40

Figura 3.11: Detalle de controlador vertical

Figura 3.12: Detalle para el estimador de parámetros


Las parámetros a sintonizar en este controlador son el par (,ℓ) de los filtros, los

modelos de referencia según el comportamiento que se quiera, los valores para las

ganancias adaptables de cada uno de los estimadores, los filtros a la entrada de

las redes neuronales y el tipo y tiempo de cambio entre controladores.

Los primeros 2 parámetros son fáciles pues las restricciones sobre ellos son poco

exigentes y dependen principalmente del comportamiento que el diseñador quiera

darle al sistema. Así, para el par (,ℓ) basta que sea controlable (con

asintóticamente estable) y se elige arbitrariamente

F ,ℓs=1

s0.5

Los modelos de referencia deben tener el mismo grado relativo que la planta y sus

parámetros dependerán del criterio del diseñador, siempre y cuando sean escogidos

coherentemente con las limitaciones físicas de la planta.

ymh

ref hs=

16s24s1

,ymv

ref vs=

111s26s1

Las constantes se determinan por prueba y error tal que el sistema sea estable y

posea un buen comportamiento transitorio. Entonces, si se consideran los vectores

v=[k1v 0v 1v 2v 3v]T , v=[ rv v 1v 2v 3v]

T

se tiene un vector asociado con cada uno de los elementos del vector , tal como

se muestra en la Tabla 3.3

Los filtros a la entrada de las redes neuronales es un punto crítico, ya que

determinan directamente el tiempo de respuesta de la planta: Un filtro muy lento

asegura estabilidad, pero la respuesta del controlador puede ser tan lenta que no es

capaz de eliminar eficientemente las interacciones ni los tiempos de estabilización

requeridos. Por otro lado, un filtro rápido permite acciones de control tales que las

interacciones podrían ser eliminadas y el error de control se mantiene muy cerca de

41

Tabla 3.3: Parámetros para el controlador

ejehorizontal 1.000 1.000 0.001 1.000 1.000vertical 0.010 1.000 0.001 1.000 1.000

1

2

3

4

5

cero, pero se puede llegar fácilmente a la inestabilidad. El diseñador tendrá que

tener en cuenta esta situación y sintonizar los parámetros como mejor estime. Para

este caso particular, se escogen

Hh s =1

230s30, Hv s =

115s3

Para el cambio de controlador, se escoge un tiempo de 120 [s] obtenido por

prueba y error3, basándose en el tiempo que demoran los estimadores en alcanzar

un régimen permanente y en el impacto que tiene este cambio en el sistema. El

Gráfico 3.6 muestra los grados de pertenencia de cada controlador en función del

tiempo.

Es destacable el hecho que se escoge un cambio del tipo Gaussiano debido a que

cambios bruscos (por ejemplo, utilizando funciones lineales) producen una

perturbación que podría llevar a inestabilidades. Como se piensa trabajar en el

sistema real, se prefiere optar por asegurar estabilidad antes de simplicidad.

3.4 CONTROL DIFUSO ADAPTABLE


El controlador difuso adaptable que se muestra en este trabajo ocupa un

aproximador denominado Sistema Difuso Óptimo [11]. Una buena analogía para

entender este tipo de sistemas es considerar un modelo ARX de n regresores,

calculados a partir de un total de n datos. Así, para cada dato que se ocupó en la

modelación, existe un valor en el modelo. Esto tiene una clara desventaja que será

discutida más adelante.

Entonces, se considera que un sistema difuso, con el producto como regla de

inferencia, funciones de pertenencia Gaussianas y ocupando el centro promedio

3 En un trabajo futuro se deberá realizar el análisis matemático para respaldar este resultado.

42

Gráfico 3.6: Cambio de controlador para adaptable convencional

para defuzzificar, se representa como

f x=

∑l=1

M

yl [∏i=1

n

aile

− xi−x il

il

2

]∑l=1

M [∏i=1

n

aile

− x i−x i

l

il

2

], Gl y

l=1

Si se suponen N pares de entrada-salida xl , y l , l=1,2 ,....N , se busca que el

sistema óptimo cumpla con la condición que para todo l=1,...,N y para cualquier >0

dado,

∣f xl −yl∣

El Teorema 6.1 de [11] prueba que para cualquier >0, existe *0 tal que se

cumple lo anterior. Se deben realizar dos comentarios con respecto a este sistema

difuso

● El parámetro se comporta como factor de suavidad: A menor , el error

∣f xl −y l∣ es menor, pero la función f x pierde suavidad entre

transiciones de grupos difusos. Esto conlleva a una pérdida de generalidad

para f x . Tal como se menciona en [11], al ser unidimensional no es

difícil encontrarlo por prueba y error, tal que satisfaga las necesidades de un

problema en particular.

● La función f x , como se ha descrito, es un aproximador universal, por lo

que se produce una buena interpolación para los puntos x l , yl , aún

cuando sea pequeño.

El problema con este sistema óptimo difuso es que, si a cada par de entrada-salida

se le asignase un conjunto difuso, se tendrían muchos conjuntos, los cuales podrían

llegar a ser redundantes (sin tener en cuenta el tiempo de cálculo). Para evitar esto

se ocupa una técnica de clustering que se reduce a crear un nuevo conjunto difuso si

el punto está lo suficientemente alejado del centro de un conjunto ya creado (más

adelante se describe el algoritmo para esto). En la Figura 3.13 se muestra un

ejemplo unidimensional donde los 7 puntos de entrada (representados como círculos

negros) sólo han generado 2 conjuntos difusos, pues el resto se encuentra dentro del

radio r definido como parámetro de construcción. Nótese que no es obligatorio que

43

el radio elegido para los conjuntos sea tal que todo el conjunto difuso quede

adentro. Es más, según el problema, este efecto de “traslape” será favorable entre

transiciones.

El algoritmo que permite la actualización en línea de los conjuntos se describe a

continuación

● Empezando con el 1er par de entrada x l , yl , establecer el centro del

conjunto x0l en xl y definir A11=yl , B11=1 . Seleccionar el radio r.

● Suponiendo que en el k-ésimo paso se tienen M conjuntos, calcular la

distancia ∣xk−x0lk∣=d k

l , l=1,2 ,.. ,M .

○ Si dkl r , crear un nuevo conjunto (M+1) con centro en xl y

AM1k =yk ,BM1k =1 . El resto queda igual.

○ Si dkl r , actualizar sólo en conjunto al cuál pertenecería el nuevo

punto, según

Alk k =Alkk−1yk

Blkk =Blk k−11

● El conjunto difuso tiene como salida la ecuación

f k x=∑l=1

M

Alk exp

−∣x−x0l∣2

2

∑l=1

M

Bl k exp−∣x−x0

l∣2

2

● Si se ha creado un nuevo conjunto, recordar que para la siguiente iteración

se tendrán M+1 conjuntos.

44

Figura 3.13: Sistema Difuso Óptimo

x01

r

x02

r

Ya explicado el estimador difuso adaptable, se procede con la estrategia de

control, la cual supone un sistema de la forma

x n=f x , x ,... , x n−1g x , x ,... , x n−1u

Se quiere que el sistema en lazo cerrado sea estable en el sentido que todas las

variables estén acotadas, mientras que el error de identificación e=ym−y p tienda

a cero. Luego, si las funciones f(.) y g(.) fuesen conocidas y además se cuenta con

un polinomio hs =snk1sn−1...kn Hurwitz (ocupado en el modelo del error), la

acción de control que logra los objetivos anteriores es

u= 1gx

[−f xymnk Te]

pues al remplazarla en xn se tiene

enk1en−a...kne=0

⇒ limt∞

et =0

Existen 2 problemas con la acción de control sugerida: La primera y más obvia es

que en general las funciones f(.) y g(.) son desconocidas, por lo que un estimador es

necesario. La segunda es que, en caso de estimar exitosamente la función g(.),

podría llegar a ser que ésta pasase en algún momento por cero, haciendo que la

acción de control se indefina.

La solución al 1er problema es implementar estimadores difusos óptimos de dichas

funciones. Así, la nueva acción de control será de la forma

u= 1gx

[−f xymnk Te]

El 2do problema se podría solucionar con un control supervisor tal que evitara el

cruce por cero [11]. En este trabajo se aprovechará el hecho que se trabaja en

tiempo discreto, por lo que esta división no tenderá a infinito sino que será muy

grande, y además se ocuparán saturadores a la salida de la acción de control. Esta

solución, aún cuando más simple, agrega 2 parámetros más de sintonía.


La Figura 3.14 muestra el esquema básico de control que se propone en un caso

45

monovariable, donde la estructura del sistema es tal que

x n=f x , x ,... , x n−1g x , x ,... , x n−1u

Se pueden ver los identificadores de las funciones f(.) y g(.), los cuales reciben las

señales de la función objetivo que se quiere estimar y además las señales de las que

depende (en este ejemplo, f(.) depende de los regresores de la salida y(.) y g(.) de

los regresores del error de control ec(.)). Junto con la salida del modelo de referencia

y el error de control, las señales identificadas entran al bloque “Control Difuso”, que

entrega la acción de control u(.), como se explicó en la sección anterior.

Para el caso del sistema de 2 rotores, el esquema es un poco más complicado

pues es multivariable, además de tener que realizar un cambio entre controladores,

para dar tiempo al controlador de identificar (Figura 3.15). Nótese también que aún

cuando a simple vista podrían parecer 2 lazos de control separados, los

identificadores ocupan la señal del otro lazo para estimar la función. También, tal

como se muestra en el modelo, la función g(.) que acompaña a la acción de control

es una constante por lo que no hay función a estimar. Por otro lado, en el sistema

real no se tiene acceso a este punto por lo que intentar estimar esta constante

resultaría en agregar más estimadores y complejidad al controlador. Por último se

destaca el hecho que en el lazo horizontal, el modelo de referencia es la misma

referencia.

Antes de comenzar a utilizar el controlador difuso óptimo, se comienza con un

controlador PID convencional hasta que los estimadores estén lo suficientemente

cerca de la función a estimar (en la práctica se deja pasar un tiempo fijo antes de

46

Figura 3.14: Esquema básico de control para difuso óptimo

realizar el cambio, el cual se ha determinado por prueba y error).

Este cambio no será necesario si las condiciones iniciales de los estimadores se

han determinado en un experimento previo, pero para este trabajo se consideran

condiciones iniciales nulas, no sólo para verificar la capacidad de adaptabilidad del

controlador, sino que además para verificar la importancia del tiempo y forma del

cambio entre controladores (esto es discutido más adelante en el Capítulo 4).

El detalle del bloque identificador (cualquiera de ellos) se muestra en la Figura

47

Figura 3.15: Controlador Difuso Óptimo para TRMS

Figura 3.16: Detalle del bloque “Identificador”

3.16. Se ve claramente como se ocupan los diferentes regresores de la entrada para

estimar la función objetivo. También, en la salida existen otras señales que no son

de importancia para el controlador, pero sí para la sintonización de parámetros (por

ejemplo, el número de conjuntos difusos). Los parámetros para esta función son el

tiempo de muestreo, número máximo de conjuntos difusos, número de entradas,

radio y (véase la Figura 3.17). Para más detalle acerca de esto, referirse al Anexo 3

“Código para Difuso Óptimo (S-Function)”.

Como se ha mencionado, el bloque “Controlador Difuso” (Figura 3.18) calcula la

acción de control en base a las funciones estimadas y a los modelos de error. El

cálculo de la inversa a través de una red neuronal y el filtro para estabilidad en lazo

cerrado se muestra en la Figura 3.6.

48

Figura 3.17: Parámetros para la S-Function

Figura 3.18: Detalle del bloque "Controlador Difuso"


La sintonización de los parámetros para este controlador se hace principalmente

por prueba y error en simulaciones, para luego realizar una sintonía fina en el

sistema real. Se deben sintonizar tipo y tiempo de cambio entre controladores,

constantes de tiempo en los filtros previos a la red neuronal, constantes de tiempo

en los modelos de error y referencia, radio y para los estimadores difusos.

Para el tipo de cambio que debe realizarse, se efectúa una prueba en el eje

vertical (por ser el más crítico) con un cambio a través de funciones lineales (sólo en

el eje vertical) y seguimiento de referencia nula, cuyos resultados se muestran en el

Gráfico 3.7.

Es claro que cuando las funciones de pertenencia son no derivables (40[s] y

120[s]) se produce una perturbación sobre el sistema que no es deseable. Por esto

se decide que las funciones de pertenencia para el cambio entre controladores será

del tipo Gaussiana.

Con respecto a los tiempos para el cambio, se detecta que, para evitar posibles

inestabilidades en lazo cerrado, el controlador horizontal debe estar en completo

funcionamiento antes que el controlador vertical. Esto es interesante pues se

detecta sólo en la planta real y en determinadas ocasiones donde las perturbaciones

no medibles afectan de cierta manera al sistema. Finalmente, las funciones de

pertenencia y su impacto en los ángulos se muestran en el Gráfico 3.8.

49

Gráfico 3.7: Cambio con funciones lineales

Los filtros previos a las redes neuronales se escogen tal que el sistema sea

estable, pues el controlador se encargará de llevar el sistema a la referencia. Eso si,

al existir este filtro, las acciones de control rápidas se ven eliminadas y el

controlador pierde la capacidad de eliminar completamente las interacciones entre

ejes. El Gráfico 3.9 muestra un experimento donde se tendría la función inversa

exacta en el eje horizontal (por lo que no se tendría que ocupar filtro ni red

neuronal) y el sistema real.

La diferencia en la señal de control en el Gráfico 3.9.b se debe simplemente a la

eliminación de la dinámica Fh(.), pero lo que se busca en este experimento no es la

50

Gráfico 3.8: Cambio con funciones Gaussianas

Gráfico 3.9: Comparación entre sistema ideal y real

diferencia de magnitud, sino la diferencia de forma.

Así, los filtros para los ejes horizontal y vertical son de la forma

Hhs =1

700s2500s1

, Hv s =1

880s2280s1

Con respecto a los modelos de error y referencia, el diseñador tendrá que escoger

a su gusto cuál utilizar como fijo y cuál como para sintonización. El efecto es el

mismo, pues en un caso se deja el modelo de referencia fijo (generalmente la misma

referencia) y se ajusta el modelo del error, mientras que en el otro, se deja un

modelo de error (exigente) fijo y se sintoniza el modelo de referencia para obtener la

curva deseada. Para este trabajo se ocupan ambos casos, sin modelo de referencia

en el eje horizontal y con modelo de referencia en el eje vertical. Esto pues el eje

vertical resulta más crítico con respecto a la estabilidad y se necesita tener un

control más directo y fácil de sintonizar. Entonces, los modelos de referencia y error

son (horizontal y vertical)

echt1=10echt−7ech t−1 , ymhs=ref hs

ecv t1=55ecv t −5ecv t−1 , ymv s=1

11s26s1

ref v s

Por último, se sintonizan el radio y de los conjuntos difusos. Nuevamente, el

controlador es lo suficientemente robusto como para suplir de manera aceptable los

errores que se introducen en una mala aproximación de las funciones. Sin embargo,

está de más decir que a una mejor aproximación de las funciones, mejor es el

control, pero el tiempo de cálculo aumenta acorde a la cantidad de conjuntos difusos

que se deben crear.

Para ilustrar esto, se realizan 3 experimentos donde se varían los parámetros del

estimador vertical, tal como se muestra en la Tabla 3.4

Los resultados se muestran en el Gráfico 3.10, donde se aprecia claramente la

influencia sobre el estimador de los parámetros escogidos. Merece la pena llamar la

51

Tabla 3.4: Parámetros para el identificador

experimento radio tiempo simulación [s]1 0.08 0.05 25.0962 0.2 0.1 17.1123 0.4 0.2 14.799

atención del lector sobre el Gráfico 3.10.b, donde se ve como los conjuntos difusos

se van agregando al controlador. Para el caso particular del experimento 1, se

espera que al tener mayor sensibilidad a los cambios, sea mejor frente a

perturbaciones.

Finalmente, se dejan los parámetros indicados en la Tabla 3.5

52

Gráfico 3.10: Estimadores y conjuntos

Tabla 3.5: Parámetros

eje radiovertical 0.08 0.05

horizontal 0.20 0.13

3.5 REFERENCIAS

[1]. DE ABREU, G. TEIXEIRA, R. y RIBEIRO, J. "A neural network-based direct inverse

control for active control of vibrations of mechanical systems. Proceedings of

the Sixth Brazilian Symposium on Neural Networks. 2000.

[2]. DUARTE, M. "Apuntes del curso EM725: Control adaptativo de sistemas".

[diapositivas] Universidad de Chile, Departamento de Ingeniería Eléctrica.

2006.

[3]. ESTEVEZ, P. "Apuntes del curso EM753: Teoría de redes neuronales".

[diapositivas] Universidad de Chile, Departamento de Ingeniería Eléctrica.

2005.

[4]. FEEDBACK Instruments Ltd. "Twin rotor MIMO system, getting started; 33-007-

1M5". Crowborough, Inglaterra. Nov. 1999.


manual 1; 33-007-4M5". Crowborough, Inglaterra. Nov. 1999.

[6]. NARENDRA, K. y Annaswamy, A. "Stable adaptive systems". Englewood Cliffs,

N.J. : Prentice Hall, 1989, Capítulo 5.

[7]. NØRGAARD, M. Ravn, O. Poulsen, N.K. y Hansen, L.K. "Neural networks for

modelling and control of dynamic systems: A practitioner's handbook". 2da ed.

Gran Bretaña, Springer-Verlag, 2001. Capítulo 3.

[8]. OGATA, K. "Discrete-time control systems". Englewood Cliffs, N.J. Prentice-Hall,

1987.

[9]. OGATA, K. "Modern control engineering". 3era ed. Upper Saddle River, New

Jersey, Prentice-Hall, 1997.

[10]. SAEZ, D. "Apuntes del curso EL42D: Control de sistemas". [diapositivas]

Universidad de Chile, Departamento de Ingeniería Eléctrica. 2004.

[11]. WANG, L. "Adaptive fuzzy systems and control". New Jersey, Prentice Hall,

1994. Capítulo 6.

53

Capítulo 4 Aplicación de las

Estrategias de Control

4.1 ENSAYOS TIPO

Para este trabajo se realizarán 2 tipos de ensayos para verificar el

comportamiento de cada uno de los controladores propuestos. El primero será

seguimiento de referencia, mientras que el segundo será estabilidad frente a

perturbaciones (regulación). Se ocuparán además 3 índices de desempeño para

cada uno.

4.1.1 SEGUIMIENTO DE REFERENCIA

El seguimiento de referencia de los controladores se probará con señales del tipo

escalón, pues se considera que éstas son lo suficientemente exigentes para detectar

algún tipo de inestabilidad.

Por otro lado, la referencia que se quiera seguir debe ser coherente con el sistema,

tanto en el ángulo deseado como en los tiempos de estabilización. Con respecto a lo

primero, se debe considerar los límites físicos del sistema y además los cambios

deben ser tales que todos los controladores sean capaces de estabilizar el sistema;

Así, se tendrá una clara comparación en igualdad de condiciones. También se debe

tener claro que existen estados inalcanzables para el sistema y por ende no es

lógico pretender que el sistema llegue a éstos.

Para los tiempos de estabilización, se debe tomar en cuenta la interacción entre

54

ambos ejes y cuanto tiempo se demora el controlador más lento en estabilizar la

planta. La idea es escoger tiempos lo bastante largos para que se logre estabilidad

en ambos ejes, antes de realizar otro cambio de referencia. Con todo esto dicho, se

muestra en el Gráfico 4.1 la referencia escogida y sus cambios.

Vale la pena mencionar algunas cosas respecto a esta referencia. La primera es

que, como el lector se habrá dado cuenta, la prueba no comienza en el instante 0 [s]

sino que 120 [s] después. Esto se hace para que el sistema tenga el tiempo

suficiente para estabilizarse antes de comenzar la prueba y en caso que se requiera

cambios de controlador y/o adaptabilidad, el controlador ya esté funcionando en su

estado nominal.

Segundo, habrá que notar que el cambio positivo en la referencia horizontal es

muy exigente para el sistema y grandes variaciones sólo pueden realizarse cuando

el rotor principal está funcionando a altas revoluciones (Gráfico 4.1, tiempo 180 [s]).

Asimismo, se podría generar un estado inalcanzable entre los tiempos 230 [s] y 330

[s] pues al estar el rotor principal funcionando a bajas revoluciones (pequeño torque)

no se puede pretender que el ángulo horizontal llegue a un valor muy negativo. Esto

se puede lograr cuando existe un torque mínimo entregado por el rotor principal

(380 [s]).

4.1.2 RESPUESTA FRENTE A PERTURBACIONES

Si se quiere comparar la respuesta de diferentes controladores frente a

55

Gráfico 4.1: Señales para seguimiento de referencia

perturbaciones, se debe tener cuidado que la magnitud de las perturbaciones sea

siempre la misma1. Se diseñó entonces un conjunto de pruebas como sigue:

Para el eje horizontal, se aplica un momento de fuerza F en el sentido positivo de

h, tal como se muestra en la Figura 4.1.

Para que este momento sea lo más parecido posible entre experimentos y además

tenga una mínima duración, se aplicará con un péndulo de características fijas, que

al colisionar con el escudo del eje principal será retirado inmediatamente, tal como

se muestra en la Figura 4.2.

La perturbación en el eje vertical resulta más simple, pues basta con dejar caer un

peso desde una altura fija (13 [cm]) al escudo del rotor de cola, tal como se indica

en la Figura 4.3.

Igual que en la prueba de seguimiento de referencia, los momentos de fuerza

serán aplicadas después del transiente inicial y separadas por 60 [s] de diferencia.

Este tiempo es el suficiente para que se logre estabilidad en ambos ejes después de

1 En realidad, se busca que la perturbación sea lo más parecido posible entre experimentos.

56

Figura 4.1: Perturbación horizontal (vista superior del TRMS)

Rotor de ColaRotor Principal

F

Figura 4.2: Péndulo

70º

EscudoPrincipal

32 [c

m]

Figura 4.3: Perturbación vertical (vista lateral del TRMS)

Rotor de Cola Rotor Principal

F

la perturbación.

4.1.3 ÍNDICES DE DESEMPEÑO

Para una comparación numérica entre controladores, se consideran 3 índices de

desempeño, los cuáles serán calculados después del transiente inicial.

El primero es la cantidad de parámetros a sintonizar, debido a que este valor está

relacionado directamente con la complejidad del controlador.

El segundo es el error cuadrado medio (MSE, por sus siglas en inglés), calculado

independientemente para cada eje, según

MSE i=1n∑j=1

n

i−ref i2 , i∈{h ,v}

con n la cantidad de muestras (tiempo) consideradas para el cálculo. Se escoge este

índice porque castiga los grandes errores, midiendo así sobrepasos y oscilaciones.

El tercero y último es la integral del tiempo multiplicado por el valor absoluto del

error (ITAE, por sus siglas en inglés). Obviamente, al trabajar en tiempo discreto se

deben considerar sumatorias en lugar de integrales, quedando

ITAE i=∑j=1

n

j∣i−ref i∣ , i∈{h,v }

Este índice permite ver errores que se mantienen en el tiempo.

4.2 CONTROLADOR PID CONVENCIONAL

4.2.1 SIMULACIONES

Para la realización de ésta y el resto de las simulaciones se ocupa el modelo

mostrado en el Capítulo 2. Además, con el fin de observar resultados limpios y

obtener la mejor sintonización posible antes de pasar los parámetros a la planta

real, se supone que no existen perturbaciones externas (por ejemplo, pequeñas

ráfagas de viento) fuera de las que se aplican para probar la estabilidad del sistema.

Por otra parte, se ocupan las mismas señales de referencia y la misma magnitud de

perturbación en las simulaciones y en el sistema real.

57

La primera simulación que se hace es seguimiento de referencia para el

controlador 2-PID y los resultados son mostrados en el Gráfico 4.2. Se puede

apreciar claramente la interacción entre los ejes, particularmente la gran influencia

que tiene el rotor principal sobre el eje horizontal (véase la reacción del eje

horizontal frente a cambios en el eje vertical).

Respecto al comportamiento del sistema, si se mirase sólo el resultado mostrado

en este gráfico se puede decir que a pesar de ser un controlador monovariable, el

seguimiento es muy bueno pues en general el error de control tiende a cero. Sin

embargo, no es posible para el controlador eliminar las interacciones y un problema

58

Gráfico 4.3: Acción de control para PID (simulaciones en seguimiento).

Gráfico 4.2: Simulación PID seguimiento de referencia

mayor surge al mirar la acción de control requerida (Gráfico 4.3).

Nótese que debido a la gran acción derivativa necesaria para el control del

sistema (sin la cual no es posible controlar), el esfuerzo que debe realizar el motor

en los cambios del tipo escalón es enorme; El peak de voltaje es cerca de 4 veces el

nominal y de no ser por saturaciones en la entrada, el sistema no soportaría tal

estrés.

La respuesta frente a perturbaciones (ver Gráfico 4.4 y Gráfico 4.5) de este

controlador es muy rápida (sin ir más lejos, es la estabilización más rápida entre

todos los controladores probados) debido a que no es necesario el uso de filtros en

su salida.

59

Gráfico 4.4: Simulación PID perturbación (prueba de regulación)

Gráfico 4.5: Acción de control para PID (simulaciones frente a perturbaciones).

4.2.2 APLICACIÓN AL SISTEMA REAL

A pesar de los excelentes resultados obtenidos en simulaciones, el controlador 2-

PID no es lo suficientemente robusto para mantener a un sistema tan crítico como el

eje vertical sin oscilaciones bruscas (Gráfico 4.6.b).

Los resultados para el eje horizontal podrían resultar satisfactorios si,

nuevamente, no se tomara en consideración la acción de control necesaria para

lograr estabilidad (Gráfico 4.7).

Obsérvese que, aunque todavía se producen peaks de voltaje del orden de 4 veces

el nominal, en general la acción de control es muy ruidosa y es la responsable del

efecto oscilatorio en la salida. Es importante mencionar que estas oscilaciones en la

60

Gráfico 4.6: Real PID seguimiento de referencia

Gráfico 4.7: Acción de control para PID (real en seguimiento)

señal de control son lo bastante lentas como para ser escuchadas por el oído

humano, por lo que se podría producir un daño a los motores si se considera un

tiempo prolongado.

Para el caso de las perturbaciones (Gráfico 4.8 y Gráfico 4.9), se puede apreciar

claramente que el controlador 2-PID no es capaz de estabilizar asintóticamente un

sistema como el eje vertical. La acción de control ruidosa y la interacción entre ejes

no permite convergencia frente a la perturbación aplicada, mas si existe una

tendencia a permanecer alrededor de la referencia.

61

Gráfico 4.8: Real PID perturbación (prueba de regulación)

Gráfico 4.9: Acción de control para PID (real frente a perturbaciones)

4.2.3 ÍNDICES PARA CONTROLADOR 2-PID

La Tabla 4.1 muestra los índices calculados para este controlador para la prueba

de seguimiento de referencia (con P la cantidad de parámetros a sintonizar).

Por ser la primera de estas tablas que se muestra, no hay comparación posible.

Sin embargo, es esperable que los índices empeoren al pasar de simulaciones a la

planta real y se destaca el hecho que esta diferencia sea entre 1 y 2 órdenes de

magnitud peor.

4.3 CONTROLADOR ADAPTABLE

4.3.1 SIMULACIONES

El controlador adaptable es notoriamente más lento que 2-PID debido en gran

parte a la acción del filtro en su salida (Gráfico 4.10).

62

Gráfico 4.10: Simulación Adaptable seguimiento de referencia

Tabla 4.1: Índices para PID

Eje ÍndiceSeguimiento Regulación

Sims. Real Sims. RealP 3 3 3 3

horiz. MSE 1.18E-03 3.46E-03 4.29E-04 4.89E-03ITAE 3.16E+05 1.69E+06 2.03E+04 6.92E+04

P 3 3 3 3vertical MSE 9.24E-04 2.50E-03 9.08E-05 3.46E-03

ITAE 1.53E+05 1.29E+06 1.55E+04 1.73E+05

Habrá que recordar que para lograr estabilidad en lazo cerrado, se ha colocado un

filtro de 1er orden a la entrada de la red neuronal que emula la inversa del modelo de

entrada.

La acción de control mostrada en el Gráfico 4.11, es más suave que la anterior

siendo esto la 2da razón de un tiempo de respuesta más lento. Los cambios en las

ganancias adaptables no tienen mayor influencia en este tiempo, excepto en

inestabilizar al sistema.

Frente a perturbaciones (véase Gráfico 4.12), el controlador adaptable vuelve a

63

Gráfico 4.11: Acción de control para adaptable (simulaciones en seguimiento)

Gráfico 4.12: Simulación Adaptable frente a perturbaciones

ser más lento. No obstante, se nota menor interacción entre ejes en el momento de

aplicar dicha perturbación.

La acción de control mostrada en el Gráfico 4.13 se mantiene casi constante

cambiando apenas el movimiento natural del helicóptero, pero llevándolo

asintóticamente al punto de referencia.


En el sistema real, las acciones de control mas suaves permiten un control con

menor oscilación, tal como se aprecia en el Gráfico 4.14.

64

Gráfico 4.14: Real Adaptable seguimiento de referencia

Gráfico 4.13: Acción de control para adaptable (simulaciones frente a perturbaciones)

A pesar de esto, la lentitud del sistema genera nuevas situaciones como la gran

dificultad de estabilizar para cambios grandes en el eje horizontal. Esto se debe

además a que muy alejado del punto de equilibrio, la inversa de Fh(.) pierde su

característica de función y la red neuronal tiene problemas para encontrar la inversa

exacta (este mismo problema se repite para el controlador difuso adaptable).

También, aunque existe una tendencia, el sistema no es capaz de seguir en cuanto

a rapidez al modelo de referencia, aún cuando este resultado es esperable debido a

las simulaciones realizadas.

La respuesta frente a perturbaciones, cuyos resultados se muestran en el Gráfico

4.16 y Gráfico 4.17,es mejor que el caso anterior llegando a estabilizar en la

referencia dada, aunque el tiempo que esto toma es muy grande (alrededor de 70

[s]). Nuevamente, el cambio en las ganancias adaptables no tiene mayor influencia

en el resultado.

En el eje horizontal, la perturbación es bien amortiguada, pero la gran cantidad de

oscilaciones existentes en el otro eje no permite una estabilización rápida.

65

Gráfico 4.15: Acción de control adaptable (real en seguimiento)

Las acciones de control para ambos ejes se muestran en el Gráfico 4.17, donde se

puede ver en forma clara el instante en que se aplicaron las perturbaciones y la

acción tomada por el controlador para contrarrestar su efecto.

4.3.3 ÍNDICES PARA CONTROLADOR ADAPTABLE CONVENCIONAL

La Tabla 4.2 mostrada a continuación entrega los índices calculados para este

controlador

66

Gráfico 4.16: Real Adaptable perturbación

Gráfico 4.17: Acción de control para adaptable (real frente a perturbaciones)

Claramente, la cantidad de parámetros que se deben sintonizar en este tipo de

controlador es mucho mayor que en un controlador PID. El MSE tiende a ser mejor

que el PID en simulaciones, mejorando aún más en las pruebas sobre el sistema

real. Por otra parte, la razón del porqué el ITAE es mayor que el PID es simplemente

que el controlador adaptable es más lento, haciendo que su error se mantenga en el

tiempo por una mayor duración. A pesar de esto, no existe una diferencia tan grande

entre simulaciones y planta real, a diferencia del PID.

4.4 CONTROLADOR DIFUSO ADAPTABLE

4.4.1 SIMULACIONES

La respuesta de este controlador (en simulaciones) para el seguimiento de

referencia es muy parecida al adaptable convencional, tal como se aprecia en el

Gráfico 4.18

67

Gráfico 4.18: Simulación Difuso seguimiento de referencia

Tabla 4.2: Índices para Adaptable Convencional


Real RealP 24 24 24 24

MSE 1.09E-02 1.12E-02 1.92E-03 2.69E-03ITAE 1.80E+06 1.88E+06 7.06E+04 1.72E+05


ITAE 7.19E+05 1.32E+06 1.02E+05 2.88E+05

Sims. Sims.

horiz.

El lector recordará que para este caso el modelo de referencia horizontal es la

misma referencia. Además véanse las pequeñas oscilaciones que se producen

alrededor del modelo en el eje vertical y la acción de control asociada (Gráfico 4.19),

reflejo del modelo de error ocupado.

En el caso de las perturbaciones (Gráfico 4.20)se puede apreciar que, aunque más

lento que el PID, este controlador es más rápido que el adaptable convencional a

pesar de ocupar filtros de 2do orden en la entrada de la red neuronal (el controlador

adaptable convencional ocupa filtros de 1er orden).

Al ser un controlador multivariable, la interacción entre ejes es casi totalmente

eliminada excepto por unas pequeñas oscilaciones de muy baja frecuencia en el eje

68

Gráfico 4.19: Acción de control para difuso (simulaciones en seguimiento)

Gráfico 4.20: Simulación Difuso perturbación

horizontal.

Las acciones de control mostradas en el Gráfico 4.21 tienen pocas oscilaciones de

alta frecuencia (filtros), lo que provoca el comportamiento más “suave” del sistema.


Igual que en simulaciones, al aplicar este controlador al sistema real se pueden

ver resultados muy similares a los mostrados en el caso adaptable (comparar entre

Gráfico 4.14 y Gráfico 4.22); Se repiten las oscilaciones en el cambio horizontal a los

180 [s].

La interacción entre ejes se podría considerar del mismo tamaño que el caso

69

Gráfico 4.21: Acción de control para difuso (simulaciones frente a perturbaciones)

Gráfico 4.22: Real Difuso seguimiento de referencia

adaptable, pero hay que tener en cuenta que ahora el eje vertical es más rápido por

lo que su efecto sobre el otro eje es mayor. La acción de control para esto se

muestra en el Gráfico 4.23

La respuesta frente a perturbaciones del eje vertical es mejor que en los dos casos

anteriores, con un tiempo de estabilización de 40 [s]. El eje horizontal responde de

manera adecuada, sin destacar ni en tiempo de estabilización ni en amplitudes. Los

resultados se aprecian en el Gráfico 4.24.

70

Gráfico 4.23: Acción de control para difuso (real en seguimiento)

Gráfico 4.24: Real Difuso perturbación

La acción de control asociada se muestra en el Gráfico 4.25.

4.4.3 ÍNDICES PARA CONTROLADOR DIFUSO ADAPTABLE

Los índices para este controlador se muestran en la Tabla 4.3

Como era de esperarse, esto índices son muy parecidos al del controlador

adaptable, aún cuando el ITAE parece mejorar en el caso del difuso debido

principalmente a la velocidad de estabilización. El número de parámetros es menor

debido a que, como se recordará, este controlador no ocupa un modelo de

referencia en uno de sus ejes, y no hay que aplicar filtros extras (sobre el de la red

neuronal).

71

Gráfico 4.25: Acción de control para difuso (real frente a perturbaciones)

Tabla 4.3: Índices para Difuso Adaptable


Sims. Real Sims. RealP 20 20 20 20

horiz. MSE 9.35E-03 8.48E-03 2.56E-03 3.85E-03ITAE 1.79E+06 1.64E+06 2.00E+05 9.89E+04


ITAE 6.72E+05 8.77E+05 6.89E+04 1.17E+05

Capítulo 5 Conclusiones y

Trabajo Futuro

5.1 CONCLUSIONES

En esta sección se presentan las principales conclusiones que se extraen del

trabajo realizado en esta Memoria. Además, se entregan sugerencias sobre el

trabajo futuro que se debe efectuar en relación al sistema multivariable de 2 rotores.

El sustento teórico de los 3 tipos de controladores estudiados en este trabajo se

mostró en el Capítulo 3. En primer lugar se trabaja con un controlador PID

monovariable, controlando cada lazo por separado. Los resultados obtenidos son la

base de comparación para el resto del trabajo, no sólo por tratarse de uno de los

controladores más usados en la industria, sino que también por ser el único

controlador disponible a la hora de comenzar la investigación. El segundo

controlador probado se basa en adaptabilidad convencional, lo que permite trabajar

sobre tipos de problema en lugar de un problema en específico, aún cuando todavía

es necesario conocer ciertas funciones no lineales de la planta. También se pueden

realizar ciertas suposiciones sobre los parámetros, que permiten, aunque no lo

pareciera a primera vista, un controlador multivariable. Por último, se prueba un

controlador difuso óptimo adaptable que ocupa observadores difusos adaptables, los

que permiten la eliminación de dinámicas y así “transformar” al sistema a la forma

deseada. La gran ventaja de este controlador es que sólo es necesario que la planta

tenga cierta forma, sin importar sus no linealidades.

72

Con respecto al controlador PID, el primer problema que se aprecia es que por

definición, este es un controlador monovariable y se ha aplicado a un sistema

multivariable. Esto hace que las interacciones entre ejes sean tratadas como

perturbaciones no medibles y por ende no puedan ser eliminadas totalmente.

El segundo problema que se presenta, es la poca tolerancia a perturbaciones que

tiene este controlador. Los resultados de las pruebas muestran que frente a fuerzas

externas, el PID podría no volver a un punto estable de operación. También, la

sintonía de sus parámetros es bastante crítica. Pequeños cambios en cualquiera de

ellos afecta de gran manera el comportamiento general del sistema pudiendo llegar

a un comportamiento inestable.

Además, está el problema que al ser aplicado a la planta real, la acción de control

que entrega es muy ruidosa y podría causar daños al equipo en caso de utilización

permanente. No es posible eliminar la acción derivativa causante de este problema

pues, como se dijo antes, los cambios en los parámetros pueden llevar al sistema a

estados inestables. Sin ir más lejos, la acción derivativa ocupada en las pruebas es

la menor que el sistema acepta para estabilizar en la referencia.

Sin embargo, este tipo de controlador tiene ciertas ventajas sobre los demás. En

primer lugar, es bastante fácil de sintonizar pues tiene sólo 3 parámetros por eje y

basta con el criterio de prueba y error (en simulaciones) para llegar a parámetros

aceptables, para luego realizar una sintonía fina en planta (Es más fácil aún si se

cuenta con un punto de partida). Se podría pensar que esto va en contradicción con

lo dicho anteriormente, pero la fácil sintonización se refiere a que cada parámetro

afecta directamente algún comportamiento del sistema, por lo que es fácil encontrar

la dirección en que el diseñador debe mover los parámetros para obtener un

comportamiento adecuado. En segundo lugar, el objetivo general de control es

cumplido sin necesidad de sistemas ni filtros extras (el uso de filtros para la señal de

control cambia la dinámica del controlador y se hace inestable). En general, este

tipo de controlador destaca por sus simplicidad y es por eso que es el más usado en

la industria en nuestros tiempos.

Un último punto a favor del PID es que al no tener parámetros adaptables es

posible utilizarlo como control inicial, mientras un controlador más avanzado entrena

sus parámetros y luego realizar el traspaso de alguna manera a criterio del

73

diseñador. Este método fue utilizado en los otros dos casos probados pues, en

particular para el eje vertical, el transiente producido por la adaptabilidad llevó en

ciertos casos a inestabilidad del sistema.

En cuanto al controlador adaptable convencional, la primera ventaja es que ahora

el sistema completo es multivariable. Esto se logra suponiendo que los parámetros

adaptables son función del otro eje y así éstos se irán adaptando según cambien las

condiciones. Esto permitiría la eliminación de la interacción entre ejes, pero el uso

de filtros y la red neuronal hacen que este controlador sea muy lento como para esto

(más adelante se comenta sobre el uso de la red neuronal como función inversa).

Por otro lado, al tener una acción de control sin ruido, se eliminan todas las

oscilaciones que se presentan con el controlador PID, evitando cualquier tipo de

daño mecánico en los motores.

Sin duda el gran avance que presenta este controlador es la robustez frente a

perturbaciones, aún cuando el tiempo que le toma recuperarse es bastante largo.

Las acciones de control para ambos ejes son más lentas que el controlador PID,

debido a la acción de los filtros y esto tiene la ventaja de ocupar el movimiento

natural del sistema para llevarlo al equilibrio y evitar grandes esfuerzos por parte

del sistema.

No obstante lo anterior, la necesidad de una red neuronal entre el controlador y la

planta presenta serias desventajas con respecto al PID: Se requiere de un buen

modelo de la función que se quiere invertir, por lo que un estudio previo exhaustivo

se hace necesario. Además, se necesita tiempo para el entrenamiento de la red, con

todo lo que esto conlleva (cantidad de neuronas, funciones de activación, cantidad

de datos, etc.). Afortunadamente, esto se realiza sólo una vez y sirve para todo el

resto de la investigación, sin grandes cambios. También, como se ha mencionado ya

varias veces, el uso de filtros para lograr estabilidad en lazo cerrado no sólo modifica

la acción de control, sino que agrega entre 2 y 4 parámetros más para sintonización,

dependiendo de la complejidad del filtro. Sin embargo, para este controlador sería

posible eliminar esta red, lo que se discutirá más adelante como trabajo futuro.

Otro problema que se presenta es el conocimiento de las funciones no lineales que

afectan al sistema, aunque con un modelo fenomenológico bien diseñado éstas se

pueden obtener fácilmente y merece la pena ser destacado que aunque no se

74

conozcan, el controlador es lo suficientemente robusto como para obviar la no

linealidad con respecto a los parámetros pero, como es de esperar, el control

empeora considerablemente.

Los últimos comentarios realizados a este controlador son con respecto a los

tiempos de respuesta. El tiempo que es necesario para que los parámetros

adaptables converjan dependen del punto de partida de cada uno de ellos, pero sin

importar cuán cerca se comience el transiente de un controlador adaptable puro es

muy malo y la necesidad de un controlador previo se hace evidente. El instante de

cambio entre un controlador y otro también se debe ajustar generando un

parámetro de sintonía adicional. Las transiciones bruscas probadas demostraron que

si bien el sistema lograba volver a la referencia, es mejor un cambio suave para

evitar oscilaciones indeseadas.

El tiempo computacional requerido para cada uno de estos controladores es

también un tema importante, pues se deben considerar las aplicaciones en tiempo

real. El cálculo para cualquier sistema adaptable es bastante complejo y se podría

dar la situación que en cierto tipo de plantas, los computadores pudieran no tener a

tiempo los resultados del control a aplicar. Afortunadamente, la capacidad

computacional que existe hoy en día es lo suficiente como para aplicar este tipo de

controlador sobre el sistema de 2 rotores acoplados, sin tener que preocuparse por

el tiempo de cálculo, pero para dar una idea al lector, una simulación adaptable

demora entre 8-12 veces más que una simulación con un PID convencional.

El último controlador probado es el difuso óptimo adaptable y en general el

comportamiento es mejor que los dos anteriores, a pesar de desconocer casi por

completo la planta. Los estimadores difusos adaptables logran el objetivo de

predecir las funciones con tal de eliminar sus dinámicas gracias a una acción de

control bien escogida, aunque se prueba que basta una aproximación lo

suficientemente buena para lograr controlar la planta (Esto es importante en el

análisis del tiempo computacional).

Las oscilaciones de alta frecuencia alrededor de la referencia son casi totalmente

eliminadas y el sistema converge asintóticamente en tiempos cortos en todas las

pruebas realizadas(sobre pruebas en el sistema real1). Las acciones de control son

1 Recordar que en simulaciones todos los controladores convergen, y el PID es el más rápido.

75

más rápidas que el control adaptable a pesar del uso de filtros de 2do orden, pero lo

bastante suaves como para evitar oscilaciones e incluso inestabilidades.

Sin embargo, el uso obligatorio de una red neuronal para lograr la forma deseada

de la planta impone serios problemas tanto en el diseño como en la implementación

de este controlador, los cuales fueron detallados en su mayoría para el caso

adaptable convencional.

Un segundo problema es la alta complejidad asociada, tanto en los cálculos que se

deben realizar como en el esquema de control resultante (Resulta fácil perder el

seguimiento a señales importantes). Habrá que recordar además que se tuvo que

realizar una función especial en MATLAB pues los bloques que están por defecto en

Simulink no abarcan todas las funciones y operaciones matemáticas para los

estimadores.

El tiempo vuelve a ser un punto importante en este controlador, demorándose

incluso más que el adaptable. El tiempo de computación necesario dependerá

directamente de la calidad de la estimación que tenga el controlador. A mejor

estimación de las funciones se necesita más tiempo y para este sistema se

necesitan estimar dos funciones. Es por esta razón que un buen equilibrio entre

tiempo y aproximación es necesario y el diseñador deberá tener especial cuidado en

este punto.

Por último, los índices numéricos calculados respaldan lo discutido anteriormente,

Sin embargo, habrá que tener especial cuidado con éstos pues tienden a ser

demasiado absolutos y el detalle de cada controlador se puede perder.

Como conclusión final, los tres controladores presentados en este trabajo tienen

ventajas y desventajas que fueron ya analizadas, pero los dos controladores con

características adaptables resultaron mejores que el PID, lo que era de esperarse

debido a las características inherentes de éste. La capacidad de los otros dos

controladores de trabajar sobre sistemas (casi) desconocidos demostró claras

ventajas no sólo a la hora del seguimiento de referencia sino que frente a

perturbaciones aplicadas sobre el sistema.

Finalmente, no se puede dejar fuera de este trabajo todo el conocimiento

adquirido al tener que diseñar, reparar y modelar el sistema de dos rotores. Al

76

trabajar con equipos reales se tuvo que sortear diferentes dificultades que no se

presentan en situaciones simuladas y que sirven para probar definitivamente el

comportamiento de un controlador.

5.2 TRABAJO FUTURO

A partir de los resultados obtenidos mediante la realización de esta memoria y

considerando todos los factores que influyeron en el desarrollo de ésta, es posible

sugerir distintas líneas de trabajo futuro relacionadas con el mejoramiento de las

técnicas estudiadas.

Con respecto al ambiente de simulación, se sugiere un mejor estudio del modelo

fenomenológico del eje horizontal pues el modelo mostrado en este trabajo se basa

en el comportamiento empírico, más que un modelo ocupando las leyes de Newton.

Este estudio más detallado podría mejorar la respuesta del lazo horizontal frente a

grandes cambios positivos.

También, se hace necesario el estudio sobre la convergencia en lazo cerrado al

ocupar una red neuronal como función inversa y sobre el porqué el uso de filtros

logra este cometido.

Con respecto al sistema de dos rotores quedan aún dos sensores que no se han

ocupado, correspondientes a la velocidad angular de cada motor. Se podría diseñar

un control de velocidad que permitiría el uso de una inversa directa en lugar de

tener que ocupar una red neuronal, evitando así el uso de filtros y eliminar la red

neuronal. También se deben probar los controladores frente a variaciones en los

parámetros físicos del sistema, como cambio en las masas y distancias (si fuese

posible) de manera de analizar la robustez de ellos frente a cambios paramétricos.

En caso de continuar el trabajo ocupando una red neuronal para emular la inversa,

el entrenamiento en línea de la red puede resultar de gran interés.

Desafortunadamente, el punto de salida necesario para el entrenamiento de la red

acá mostrada no es accesible físicamente, por lo que se deberán considerar

observadores.

77

Anexos

ANEXO 1 CÓDIGO PARA INTERFAZ MATLAB-OPTO22

extern "C" {

#define S_FUNCTION_NAME STwinRotor

#define S_FUNCTION_LEVEL 2

#include "simstruc.h"

#include "O22SIOMM.h"

#define NENTRADAS 2

#define NSALIDAS 4 //TR_taco, MR_taco, pos_h, pos_v

#define PI 3.1416

float pos_v,pos_h,pos_vt,pos_ht;

float flag_h,flag_v;

float bias_h,bias_v;

float desp_h,desp_v;

/*====================*

* S-function methods *

*====================*/

/* Function: mdlInitializeSizes ===============================================

* Abstract:

* The sizes information is used by Simulink to determine the S-function

* block's characteristics (number of inputs, outputs, states, etc.).

*/

static void mdlInitializeSizes(SimStruct *S)

{

78

ssSetNumSFcnParams(S, 5); // Number of expected parameters

if (ssGetNumSFcnParams(S) != ssGetSFcnParamsCount(S)) {

return; // Parameter mismatch will be

reported by Simulink

}

ssSetNumContStates(S, 0);

ssSetNumDiscStates(S, 1);

if (!ssSetNumInputPorts(S, 1)) return;

ssSetInputPortWidth(S,0,NENTRADAS);

//ssSetInputPortDirectFeedThrough(S,0,0); // Existen llamadas de la entrada en la

funcion mdlOutputs

ssSetInputPortRequiredContiguous(S,0,1); // sacado del ejemplo (?)

if (!ssSetNumOutputPorts(S, 1)) return;

ssSetOutputPortWidth(S, 0, NSALIDAS); // NSALIDAS salidas

ssSetNumSampleTimes(S, 1);

ssSetNumRWork(S, 0); // reserve element in the float vector

ssSetNumIWork(S, 0); // reserve element in the int vector

ssSetNumPWork(S, 1); // reserve element in the pointers vector

ssSetNumModes(S, 0); // to store a C++ object

ssSetNumNonsampledZCs(S, 0); // number of states for which a block detects zero

crossings

ssSetOptions(S, 0); // set the simulation options that this

block implements

}

/* Function: mdlInitializeSampleTimes =========================================

* Abstract:

* This function is used to specify the sample time(s) for your

* S-function. You must register the same number of sample times as

* specified in ssSetNumSampleTimes.

*/

static void mdlInitializeSampleTimes(SimStruct *S)

{

ssSetSampleTime(S, 0, mxGetScalar(ssGetSFcnParam(S, 0))); // tiempo de muestreo?

ssSetOffsetTime(S, 0, 0.0);

}

/* Function: mdlStart =======================================================

* Abstract:

* This function is called once at start of model execution. If you

79

* have states that should be initialized once, this is the place

* to do it.

*/

#define MDL_START

#if defined(MDL_START)

static void mdlStart(SimStruct *S)

{

O22SnapIoMemMap *Brain;

long nResult;

Brain = new O22SnapIoMemMap();

nResult = Brain->OpenEnet("192.168.6.102", 2001, 10000, 1);

//mexPrintf("openenet: %d\n",nResult);

if ( nResult == SIOMM_OK )

{

nResult = Brain->IsOpenDone();

//mexPrintf(" isopendone: %d\n",nResult);

while ( nResult == SIOMM_ERROR_NOT_CONNECTED_YET )

{

nResult = Brain->IsOpenDone();

//mexPrintf(" isopendone: %d\n",nResult);

}

}

// Check for error on OpenEnet() and IsOpenDone()

if ( nResult != SIOMM_OK )

{

ssSetErrorStatus(S,"No se pudo realizar la conexion con exito.");

return;

}

ssGetPWork(S)[0] = (void *) Brain;

//***************************************

//* CALCULO POSICION HORIZONTAL INICIAL *

//***************************************

nResult=Brain->GetAnaPtValue(6,&pos_h);


{

//mexPrintf("getanaptvalue: %d\n",nResult);

ssSetErrorStatus(S,"Error al recibir el dato de posicion horiz");

return;

}

pos_ht=pos_h;

//*************************************

80

//* CALCULO POSICION VERTICAL INICIAL *

//*************************************

nResult=Brain->GetAnaPtValue(7,&pos_v);


{



return;

}

pos_vt=pos_v;

bias_h=mxGetScalar(ssGetSFcnParam(S, 1));

bias_v=mxGetScalar(ssGetSFcnParam(S, 2));

desp_h=0;

desp_v=0;

}

#endif /* MDL_START */

/* Function: mdlUpdate ========================================================

* Abstract:

* In this function, you compute the outputs of your S-function

* block. Generally outputs are placed in the output vector, ssGetY(S).

*/

#define MDL_UPDATE

static void mdlUpdate(SimStruct *S, int_T tid)

{


long nResult;

float principal, cola, transfor;

float max_MR,max_TR;

max_MR=mxGetScalar(ssGetSFcnParam(S, 3));

max_TR=mxGetScalar(ssGetSFcnParam(S, 4));

Brain = (O22SnapIoMemMap *) ssGetPWork(S)[0];

const real_T *u = ssGetInputPortRealSignal(S,0);

// Rotor Principal

transfor=2.5*u[0]/max_MR+2.5;

if (transfor>=5)

principal=5;

else if (transfor<=0)

principal=0;

else

principal=transfor;

81

nResult=Brain->SetAnaPtValue(0,principal);


{

//mexPrintf("setanaptvalue: %d\n",nResult);

ssSetErrorStatus(S,"Error al transmitir el dato de voltaje (rotor

principal).");

return;

}

// Rotor de Cola

transfor=2.5*u[1]/max_TR+2.5;

if (transfor>=5)

cola=5;

else if (transfor<=0)

cola=0;

else

cola=transfor;

nResult=Brain->SetAnaPtValue(1,cola);


{

//mexPrintf("setanaptvalue: %d\n",nResult);

ssSetErrorStatus(S,"Error al transmitir el dato de voltaje (rotor de cola).");

return;

}

}

/* Function: mdlOutputs =======================================================

* Abstract:

* In this function, you compute the outputs of your S-function

* block. Generally outputs are placed in the output vector, ssGetY(S).

*/

static void mdlOutputs(SimStruct *S, int_T tid)

{


float vel_ang_MR;

float vel_ang_TR;

float aux;

long nResult;


real_T *y = ssGetOutputPortRealSignal(S,0);

nResult=Brain->GetAnaPtValue(4,&vel_ang_TR);


{


82

ssSetErrorStatus(S,"Error al recibir el dato de velocidad MR.");

return;

}

nResult=Brain->GetAnaPtValue(5,&vel_ang_MR);


{


ssSetErrorStatus(S,"Error al recibir el dato de velocidad TR.");

return;

}

// CALCULO POSICION HORIZONTAL

nResult=Brain->GetAnaPtValue(6,&pos_h);


{



return;

}

aux=pos_ht-pos_h;

pos_ht=pos_h;

if (abs(aux)>0.015){

desp_h=desp_h+aux;

}

pos_h=pos_h+desp_h;

// CALCULO POSICION VERTICAL

nResult=Brain->GetAnaPtValue(7,&pos_v);


{


ssSetErrorStatus(S,"Error al recibir el dato de posicion vert");

return;

}

aux=pos_vt-pos_v;

pos_vt=pos_v;

if (abs(aux)>0.8){

desp_v=desp_v+aux;

}

pos_v=pos_v+desp_v;

// transformacion a mks

y[0]=0.5*(-1622*vel_ang_MR+19.33);

y[1]=-3528*vel_ang_TR-51.15;

y[2]=0.3683*pos_h-2.44-bias_h;

83

y[3]=-0.3688*pos_v+2.735-bias_v;

}

/* Function: mdlTerminate =====================================================

* Abstract:

* In this function, you should perform any actions that are necessary

* at the termination of a simulation. For example, if memory was

* allocated in mdlStart, this is the place to free it.

*/

static void mdlTerminate(SimStruct *S)

{

long nResult;



nResult=Brain->SetAnaPtValue(0,0);

nResult=Brain->SetAnaPtValue(1,0);

Brain->SetAnaPtValue(0,0.0);

Brain->Close();

delete Brain,pos_v,pos_vt,pos_h,pos_ht;

}

/*=============================*

* Required S-function trailer *

*=============================*/

#ifdef MATLAB_MEX_FILE /* Is this file being compiled as a MEX-file? */

#include "simulink.c" /* MEX-file interface mechanism */

#else

#include "cg_sfun.h" /* Code generation registration function */

#endif

} // end of extern "C" scope

84

ANEXO 2 CÓDIGO PARA PIC16F873

#include <16F877A.h>

#device adc=8

#use delay(clock=20000000)

#fuses HS,NOWDT,NOPROTECT,NOLVP

//#define PIN_A0 40

//#define PIN_A1 41

//#define PIN_A2 42

//#define PIN_A3 43

//#define PIN_A4 44

//#define PIN_A5 45

byte value1;

byte value2;

byte const th_min=80; //threshold mínimo para la señal

byte const th_max=0xC4; // " máximo " " "

//-----------------------------------------------------//

byte rot; //señal final

byte rot_a; //canal A del encoder, pin RA2

byte rot_b; //canal B del encoder, pin RA3

boolean rot_ciclo; //detección de movimiento

byte rot_flag; //(over/under)flow

//-----------------------------------------------------//

byte elev; //señal final

byte elev_a; //canal A del encoder, pin RA2

byte elev_b; //canal B del encoder, pin RA3

boolean elev_ciclo; //detección de movimiento

byte elev_flag; //(over/under)flow

void main() {

setup_ccp1(CCP_PWM);


setup_timer_2(T2_DIV_BY_1, 127, 1);

//setup_port_a(ALL_ANALOG);

setup_adc_ports( ALL_ANALOG );

setup_adc(ADC_CLOCK_INTERNAL);

//inicialización de variables del PWM

value1=0;

value2=0;

//inicialización de las variables para la rotacion

rot=1; //mitad del equipo (hardware)

rot_a=0; //canal A abajo

85

rot_b=0; //canal B abajo

rot_ciclo=FALSE; //se detectó movimiento => TRUE

rot_flag=0; //

//inicialización de las variables para la elevacion

elev=145; //mitad del equipo (hardware)

elev_a=0; //canal A abajo

elev_b=0; //canal B abajo

elev_ciclo=FALSE; //se detectó movimiento => TRUE

elev_flag=0; //

while( TRUE ) {

set_adc_channel( 0 );

delay_us(20);

value1=read_adc();

set_pwm1_duty(0xFF-value1);


delay_us(20);

value2=read_adc();



delay_us(20);

rot_a=read_adc();


delay_us(20);

rot_b=read_adc();


delay_us(20);

elev_a=read_adc();


delay_us(20);

elev_b=read_adc();

// decodificacion para la rotación

if (!rot_ciclo){

if (rot_a>=th_max && rot_b<=th_min){

rot=rot+1;

if (rot==0){

rot_flag=1;

}

rot_ciclo=TRUE;

}

if (rot_a<=th_min && rot_b>=th_max){

rot=rot-1;

if (rot==0){

86

rot_flag=0;

}

rot_ciclo=TRUE;

}

}else{

if (rot_a<=th_min && rot_b<=th_min){

rot_ciclo=FALSE;

}

}

// decodificación para la elevación

if (!elev_ciclo){

if (elev_a>=th_max && elev_b<=th_min){

elev=elev+1;

if (elev==0){

elev_flag=1;

}

elev_ciclo=TRUE;

}

if (elev_a<=th_min && elev_b>=th_max){

elev=elev-1;

if (elev==0){

elev_flag=0;

}

elev_ciclo=TRUE;

}

}else{

if (elev_a<=th_min && elev_b<=th_min){

elev_ciclo=FALSE;

}

}

output_b(rot);

output_d(elev);

output_bit(PIN_C4,rot_flag);

output_bit(PIN_C5,elev_flag);

}

}

87

ANEXO 3 CÓDIGO PARA ÓPTIMO DIFUSO (S-FUNCTION)

function [sys,x0,str,ts] = optimo_difuso(t,x,u,flag,Ts,C_max,Inputs,radio,sigma)

switch flag,

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Initialization %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

case 0,

[sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes(Ts,C_max,Inputs);

%%%%%%%%%%

% Update %

%%%%%%%%%%

case 2,

%sys = mdlUpdate(t,x,u);

minimo=[0,100000000];

if x(1)==0

x(1)=1;

x(2:2+Inputs-2)=u(1:Inputs-1);

x(C_max*(Inputs-1)+2)=u(Inputs);

x(C_max*(Inputs)+2)=1;

else

for l=1:x(1)

ini=(l-1)*(Inputs-1)+2;

distancia=norm(x(ini:ini+Inputs-2)-u(1:Inputs-1));

if distancia<minimo(2)

minimo(1)=l;

minimo(2)=distancia;

end

end

if minimo(2)<radio

ini=C_max*(Inputs-1)+1+minimo(1);

x(ini)=x(ini)+u(Inputs);

x(ini+C_max)=x(ini+C_max)+1;

else

x(1)=x(1)+1;

ini=(x(1)-1)*(Inputs-1)+2;

x(ini:ini+Inputs-2)=u(1:Inputs-1);

ini=C_max*(Inputs-1)+1+x(1);

x(ini)=u(Inputs);

x(ini+C_max)=1;

end

end

sys=x;

88

%%%%%%%%%%

% Output %

%%%%%%%%%%

case 3,

%sys = mdlOutputs(t,x,u);

a=0;

b=1e-80;

for l=1:x(1)

ctr=(l-1)*(Inputs-1)+2;

cte=C_max*(Inputs-1)+1+l;

resultado=exp(-(norm(x(ctr:ctr+Inputs-2)-u(1:Inputs-1))/sigma)^2);

a=a+x(cte)*resultado;

b=b+x(cte+C_max)*resultado;

end

resultado=a/b;

sys=[x(1),a,b,resultado];

%%%%%%%%%%%%%

% Terminate %

%%%%%%%%%%%%%

case 9,

sys = []; % do nothing

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Unexpected flags %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

otherwise

error(['unhandled flag = ',num2str(flag)]);

end

%end dsfunc

%

%=======================================================================

% mdlInitializeSizes

% Return the sizes, initial conditions, and sample times for the S-function.

%=======================================================================

%

function [sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes(Ts,C_max,Inputs)

sizes = simsizes;

sizes.NumContStates = 0;

sizes.NumDiscStates = C_max*(Inputs-1)+2*C_max+1;

sizes.NumOutputs = 4;

sizes.NumInputs = Inputs;

sizes.DirFeedthrough = 1;

89

sizes.NumSampleTimes = 1;

sys = simsizes(sizes);

x0 = 1;

x0(1)=0;

str = [];

ts = [Ts 0];

% end mdlInitializeSizes

%

%=======================================================================

% mdlUpdate

% Handle discrete state updates, sample time hits, and major time step

% requirements.

%=======================================================================

%

function sys = mdlUpdate(t,x,u)

sys = x;

%end mdlUpdate

%

%=======================================================================

% mdlOutputs

% Return the output vector for the S-function

%=======================================================================

%

function sys = mdlOutputs(t,x,u)

sys = x(1);

%end mdlOutputs

90

ANEXO 4 BLOQUES SIMULINK PARA MODELO VERTICAL

91

ANEXO 5 BLOQUES SIMULINK PARA MODELO HORIZONTAL

92

Apéndice A Reacondicionamiento

del Sistema MIMO de 2 Rotores

A.1 INTRODUCCIÓN

El sistema MIMO de 2 rotores o Twin Rotor MIMO System (TRMS) diseñado por

Feedback y adquirido por la Universidad de Chile en el año 1999 tiene la

particularidad de ser un sistema bastante complejo debido a la no linealidad

inherente a su comportamiento, además de ser un sistema multivariable (de ahí su

tipo MIMO). También presenta la oportunidad de trabajar sobre una planta real, con

todas las complicaciones que esto trae y no sólo en simulaciones, espacio donde se

trabaja normalmente en los cursos dictados por el Departamento de Ingeniería

Eléctrica.

Aún así, el actual TRMS presentaba 2 grandes problemas a la hora de trabajar

sobre él; El primero, y sin duda más importante, eran las continuas fallas que se

presentaban cada vez que se encendía. La segunda era la inquebrantable relación

entre el sistema y un computador personal (PC) de aquella época1, lo que hacía el

trabajo bastante engorroso y a veces, cuando las estrategias son lo suficientemente

complicadas, casi imposibles de implementar.

Se llega a la conclusión que se necesita una mejora sustancial del TRMS para

continuar el desarrollo en este tipo de sistemas.

1 Recordar que los mejores computadores del año 1999 tenían desempeños bastante menores que los computadores de oficina actuales.

93

A.2 DISEÑO DEL NUEVO SISTEMA

A.2.1 ANÁLISIS DEL SISTEMA FÍSICO

La Figura 1 muestra un esquema físico del sistema, donde se muestran

claramente las entradas y salidas del sistema [1,2].

En rojo se muestran las velocidades de rotación de cada uno de los motores y en

azul los ángulos con respecto a cada eje, que representan los grados de libertad del

sistema. Por último, en verde se muestran las entradas del sistema, que

corresponden al voltaje aplicado a cada motor.

Se revisó el problema de las fallas mencionado anteriormente analizando las

corrientes que circulan por las diferentes partes del circuito. Así se determinó que un

motor estaba malo (consumiendo una corriente cerca de 30 veces la nominal) y es

reemplazado por uno nuevo. Se observa además que la velocidad de cada rotor es

medida a través de un pequeño generador de voltaje continuo, mientras que los

ángulos del sistema se miden a través de un encoder.

La interfaz TRMS-PC se realiza a través de un complejo circuito que se comunica

con una tarjeta ISA en el PC. Como este estándar está ya obsoleto, se decide crear

una nueva interfaz a través del sistema OPTO22 comprado por el laboratorio hace

algunos años. Esto permite, entre varias de las bondades que ofrece este producto,

que el control se realice a través de Ethernet, por medio del protocolo TCP/IP. Esto

94

Figura 1: Esquema del TRMS

MR

TR v

h

uv

uh

facilitará el control pues se podrá ocupar cualquiera de los computadores existentes

en el laboratorio que tengan acceso a la red interna.

Como el resto del sistema permanece inalterado, esta es toda la información

necesaria para comenzar a diseñar los nuevos circuitos.

A.2.2 DISEÑO INTERFAZ TRMS-PC

El sistema OPTO22 ofrece mucha flexibilidad en cuanto a las señales de salida y

las señales de entrada que acepta. Todo dependerá del módulo que se ocupen para

comunicarse con el cerebro [9]. Ejemplos de como son los módulos y el cerebro del

sistema OPTO22 se muestran en la Ilustración 1.

(a) Ejemplo de módulo para el OPTO22 (b) Cerebro para el sistema OPTO22

Ilustración 1: Hardware para el sistema OPTO22

Considerando que se tienen 2 entradas y 4 salidas, se necesitarán 2 módulos para

el OPTO22. Uno digital-análogo (D-A) con 2 canales y uno análogo-digital (A-D) con 4

canales. El primero tiene una salida diferencial de 10 [V], el cual será el voltaje de

control para el PWM, y el segundo recibe una entrada diferencial de 10 [V], que

recibirá las señales del decodificador de la posición y las velocidades de ambos

motores.

Para la conexión entre el computador y el cerebro del OPTO22 se ocupa el

protocolo TCP/IP. Esto significa asignar una dirección IP al cerebro, lo que se realiza

mediante el software que entrega el fabricante. Una vez realizado esto, se debe

crear la conexión entre el software que se utilizará para el control y el OPTO22. En

este caso en particular se ocupará MATLAB y su extensión Simulink, mediante el uso

95

de S-Functions (véase el Anexo 1) escritas para el lenguaje C++ y herramientas que

utilizan el Real Time Workshop de MATLAB.

A.2.3 DISEÑO DEL MODULADOR PARA LOS MOTORES

Para regular la velocidad de giro de los motores se decide ocupar el voltaje de

entrada. Para esto se ocupará un modulador de ancho de pulso (PWM, por sus siglas

en inglés) dividido en 3 etapas; entrada, PWM y potencia, descritas a continuación.

Entrada: Corresponde al voltaje que controlará el ancho del pulso, es decir, se

debe establecer un rango donde cero corresponderá a un pulso de ancho cero y el

máximo corresponderá a un pulso de ancho uno. Cualquier punto intermedio se

determina como una interpolación lineal entre el máximo y el mínimo. Este voltaje

vendrá directamente del OPTO22, por lo que se toman ciertas precauciones como

saturar, por medio de software, los voltajes mínimos y máximos que se aplicarán al

nuevo circuito.

PWM: Corresponde a la señal que se ocupará para la modulación. Esta señal

no entrega potencia al sistema.

Potencia: Entrega la potencia a los motores. Se ocupará la señal entregada por el

PWM para regular el voltaje final entregado. Debido a las altas corrientes producidas

por los motores en su estado transiente, se decide ocupar una fuente externa para

esta etapa. Así se evitarán una batería de reguladores de corrientes que serían

necesarios en caso de ocupar la misma fuente del resto del circuito.

A.2.4 DISEÑO PARA LOS ENCODERS DE POSICIÓN

La posición para ambos ejes se mide mediante encoders del tipo HEDS-9100 [5]

mostrado en la Figura 2.a, los cuales no sólo permiten saber la posición relativa, sino

que además el sentido de giro. Esto se hace al tener dos canales, desfasados en 90º

(Figura 2.b).

La rueda perforada (codewheel en inglés) provista por Feedback es lo bastante

fina como para medir variaciones de 1˚, por lo que lo único que se diseñará será el

decodificador que permita leer las señales entregadas por el encoder, comparar los

canales para saber hacia que lado está girando, y traducir el resultado en ángulo (en

radianes para este sistema).

96

Obviamente, el sistema mide la posición desde un cero relativo. Éste será fijado al

momento de prender el equipo, por lo que se deberá poner en la posición correcta

previo a la realización de una serie de experimentos.

(a) Esquema del encoder HEDS-9100 (b) Forma de onda de los canales

Figura 2: Descripción de HEDS-9100

A.2.5 DISEÑO PARA LAS SALIDAS DEL CIRCUITO

Las salidas corresponden a las entradas para el OPTO22. Como se ocuparán

módulos de 10 [V], las salidas deberán entrar en ese rango.

A.3 CONSTRUCCIÓN DEL NUEVO SISTEMA

Antes de describir cada parte del circuito es importante mencionar que se cuenta

con una fuente de +/- 35 [Vcc], luego para poder alcanzar todos los voltajes

necesarios, se utiliza el transistor LM317 como regulador de voltaje [7].

La Figura 3 muestra el esquema básico del regulador, donde la variable es R2 y el

voltaje de salida queda determinado por

97

Figura 3: Regulador de Voltaje en base a LM317

Vout=1.251 r2r1 Iadj⋅r 2≈1.251 r2

r1 Se debe recordar que estos reguladores aportarán muy poca potencia al circuito,

por lo que no es necesario un disipador de calor. Por lo mismo, tampoco es necesaria

una etapa de regulación de corriente.

A.3.1 PIC

Debido a la gran flexibilidad que ofrece, se decide ocupar el PIC16F877A [6]

mostrado en la Figura 4. Este circuito permite, bajo ciertas condiciones, implementar

todos lo necesario para el control y decodificación del nuevo sistema. Así, es posible

programar 2 PWMs que dependerán del voltaje de entrada 0-5 [V] en las patas 2 y 3

del PIC (ver Figura 4).

El resto de las entradas análogas (Anx) serán usadas para la decodificación de los

encoders: AN2, AN3 para el encoder de rotación y AN4, AN5 para el encoder de

elevación. Las salidas serán a través de los puertos de 8 bits RB y RD.

Las conexiones para la alimentación, reloj, Etc. se encuentran en [6].

A.3.2 MODULADOR POR ANCHO DE PULSO

Al ser muy común, el modulador por ancho de pulso viene predefinido para usar

en el código del PIC (importando los archivos necesarios). Así, basta con incluir la

siguiente línea para configurar un modulador


98

Figura 4: PIC16F877A

Luego sólo hay que darle el ciclo de trabajo, lo que se entrega a través del

OPTO22, que en el siguiente ejemplo corresponde al canal AN0


delay_us(20);

value1=read_adc();


Para el otro modulador se repite este código, excepto para las entradas y salidas

correspondientes.

A.3.3 DECODIFICACIÓN Y CONVERSORES D/A

El código para la decodificación de las posiciones es bastante auto-explicativo y

largo, por lo que es mejor verlo en el Apéndice 2.

Para poder pasar las salidas de 8-bits a voltaje, se ocupan conversores digitales-

análogos del tipo DAC0808ln. Las conexiones para esto son bastante simples y se

explican en [8].

99

A.4 REFERENCIAS DEL APÉNDICE

[1]. FEEDBACK Instruments Ltd. "Twin rotor MIMO system, installation and

commisioning; 33-007- 0M5". Crowborough, Inglaterra. Nov. 1999.



[3]. FEEDBACK Instruments Ltd. "Twin rotor MIMO system, reference manual; 33-

007- 2M5". Crowborough, Inglaterra. Nov. 1999.


manual 1; 33-007- 4M5". Crowborough, Inglaterra. Nov. 1999.

[5]. HEWLETT Packard. "Two channel optical incremental encoder modules ,

technical data (heds9000-heds9100)". Oct. 2006.

[6]. MICROCHIP Technology Inc. "PIC16F87XA data sheet , 28/40/44-pin enhanced

flash microcontrollers". Estados Unidos. Oct. 2003.

[7]. NATIONAL Semiconductor Corporation. "LM317, 3-terminal adjustable regulator,

data sheet". Estados Unidos, May. 1996.

[8]. NATIONAL Semiconductor Corporation. "DAC0808 8-Bit D/A converter, data

sheet". Estados Unidos, May. 1999.

[9]. OPTO22. "OPTOMMP protocol guide, form 1465-060606". Temecula, CA 92590-

3614. Jun. 2006.

100

Apéndice B Modelo Fenomeno-

lógico Original de Feedback

Instruments Ltd.

B.1 INTRODUCCIÓN

El modelo fenomenológico que se presenta a continuación corresponde a la

modelación por parte de Feedback Instruments Ltd. del sistema multivariable de dos

rotores acoplados. Aún cuando es bastante complejo y es una buena interpretación

del sistema en general, existen dinámicas no modeladas (por ejemplo, las

limitaciones físicas del equipo) y simplificaciones que alejan bastante el modelo del

equipo real, especialmente en el eje horizontal.

A pesar de esto, merece la pena mostrar el desarrollo del modelo pues es la base

de todo el trabajo matemático sobre el TRMS de este trabajo, y muchas de las

dinámicas que fueron luego agregadas fueron asimiladas de este modelo original.

Por último, se advierte al lector que lo mostrado acá es básicamente un resumen y

traducción de [1][2][3][4]. Obviamente, los parámetros y pruebas experimentales

mostrados en esta sección corresponden también al modelo original de Feedback.

101

B.2 MODELO NO LINEAL

B.2.1 INTRODUCCIÓN AL SISTEMA E HIPÓTESIS SIMPLIFICATORIAS

Un esquema básico del Twin Rotor MIMO System (o TRMS) se muestra en el

diagrama de la Figura 1.

Se plantean las siguientes hipótesis simplificatorias

● La dinámica de las hélices se puede expresar como ecuaciones

diferenciales de 1er orden.

● La fricción del sistema se considera del tipo viscosa.

● El sistema hélice-aire puede representarse según los postulados de la teoría

de flujo.

Entonces se ocupa la segunda ley de Newton para determinar el modelo, que

resulta ser

Mi= J id2i

dt2 , i∈{h,v}

donde: {h,v} : Subíndices para denotar los ejes para horizontal y vertical,

respectivamente

Mi : Suma de las fuerzas en el plano i

Ji : Suma de los momentos de inercia relativos al plano i

i : Ángulo con respecto al plano.

102

Figura 1: Modelo aerodinámico del TRMS

Rotor de Cola Rotor PrincipalEscudo de Cola

Escudo Principal

Motor CC + Tacómetro

Pivote

Motor CC + Tacómetro

Contrapeso

B.2.2 MODELO VERTICAL

Para determinar las fuerzas que actúan sobre este eje es necesario recordar que si

se tiene un sistema como el de la Figura 2

las fuerzas que serán producto de la gravedad se expresan como

F=g l12 ml2M cosv

Reconociendo la masa m (de la Figura 2) como el rayo que une el pivote con los

motores y M como las suma de las masas del motor CC y el escudo, es fácil

extrapolar la información para obtener

Mv1=g{[mt

2mtrmts lt−mm

2mmrmmslm]cosv−mb

2lbmcb lcbsinv}

donde Mv1 : Torque de retorno para las fuerzas de gravedad.

mmr : Masa del motor CC con el rotor principal.

mm : Masa del rayo pivote-motor principal.

mtr : Masa del motor CC con el rotor de cola.

mt : Masa del rayo pivote-motor de cola.

mcb : Masa del contrapeso.

mb : Masa del rayo pivote-contrapeso.

mms : Masa del escudo principal.

mts : Masa del escudo de cola.

103

Figura 2: Péndulo y cuerpos con masa

−v

g

l2

l1

Mm

lm : Largo del rayo pivote-motor principal.

lt : Largo del rayo pivote-motor de cola.

lb : Largo del rayo pivote-contrapeso.

lcb : Distancia pivote-contrapeso.

g : Aceleración de gravedad.

Agrupando las constantes, se puede obtener la forma compacta

Mv1=g {[A−B]cosv−Csinv }

Para determinar los momentos de fuerzas propulsoras aplicadas se deben

considerar 3 fuerzas más: La fuerza de empuje producida por el rotor principal, el

momento de fuerzas centrífugas correspondientes al movimiento del rayo alrededor

del eje y la fuerza de roce asociada a la velocidad de giro. La primera y última de

éstas fuerzas son bastante simples y se escriben como

Mv2=lmF vm

Mv4=−v kv

donde m : Velocidad angular del rotor principal.

Fv : Fuerza propulsora del rotor principal (experimental).

v : Velocidad angular alrededor del eje horizontal.

h : Velocidad angular alrededor del eje vertical.

kv : Constante.

La segunda de estas fuerzas resulta mas compleja y tiene la forma

Mv3=−h2 {mt

2mtrmts ltmm

2mmrmms lmmb

2lbmcb lcb}sinv cosv

Agrupando constantes se obtiene

Mv3=−h2 {ABC }sinv cosv

Para mejor explicación, se tiene que

104

h=dh

dt, v=

d v

dt

Las componentes de los momentos de inercia relativos al eje horizontal se

expresan como

Jv1=mmr lm2 , Jv2=mm

lm2

3

Jv3=mcb lcb2 , Jv4=mb

lb2

3

Jv5=mtr lt2 , Jv6=mt

lt2

3

Jv7=mms

2rms

2mms lm

2 , Jv8=mts r ts2mts lt

2

donde rms : Radio del escudo principal.

rts : Radio del escudo de cola.

Nótese que los momentos de inercia no dependen de la posición del sistema.

B.2.3 MODELO HORIZONTAL

El modelo horizontal para este sistema es muy parecido al vertical, excepto por la

no existencia de la gravedad. Entonces se tiene

Mh1=ltFh t cosv

Mh2=−hkh

donde t : Velocidad angular del rotor principal.

Fh : Fuerza propulsora del rotor principal (experimental).

kh : Constante.

Las componentes de los momentos de inercia relativos al eje vertical se pueden

escribir como

Jh1=mm

3lmcosv

2, Jh2=

mt

3ltcosv

2

105

Jh3=mb

3lbsinv

2 , Jh4=mtr lt cosv2

Jh5=mmr lmcosv2 , Jh6=mcb lcbsinv

2

Jh7=mts

2r ts

2mts lt cosv

2 , Jh8=mmsrms2mms lmcosv

2

Si se consideran las constantes

D=mm

3mmrmms lm2 mt

3mtrm ts lt2

E=mb

3lb2mcb lcb

2

F=mmsrms2

mts

2rts

2

Se obtiene el modelo compacto para la suma de los momentos de inercia

Jh=Dcos2vEsin2vF

B.2.4 MODELO FINAL

Con las ecuaciones antes descritas, se puede escribir el modelo entero como

d v

dt=v=Sv

Jtrt

Jv

JvdSv

dt= lmFv m−v kvgA−Bcosv−Csinv−

12h

2 ABC sin2v

dh

dt=h=Sh

Jmrmcosv

Jh

dSh

dt=lt Fht cosv−hkh

Jh

donde Jtr : Momento de inercia en el subsistema motor – hélice (cola).

Jmr : Momento de inercia en el subsistema motor – hélice (principal).

Sv : Momento angular en el plano vertical para el sistema.

Sh : Momento angular en el plano horizontal para el sistema.

106

B.2.5 MODELO DE ENTRADA

El lector notará que no existe una dependencia explícita del voltaje de entrada en

los motores con el modelo antes presentado. Esto se debe a que el modelo se

calcula a partir de la 2da ecuación de Newton que se basa en la suma de fuerzas.

Luego se debe determinar el modelo para la fuerza ejercida por las hélices

dependiendo del voltaje de entrada. A estas fuerzas se les ha llamado Fv(wm) y Fh(wt)

para el rotor principal y el de cola, respectivamente.

El modelo propuesto (para ambos ejes) se compone de una parte estática y una

dinámica para la velocidad de giro, mientras que sólo una componente estática para

la fuerza. Todas deben ser determinadas experimentalmente.

La Figura 3 es bastante auto explicativa y no se dará mayor énfasis hasta la

determinación experimental de los parámetros de este modelo.

B.3 PARÁMETROS Y MODELOS EXPERIMENTALES

B.3.1 PARÁMETROS FÍSICOS

Los siguientes parámetros se calculan midiendo y masando los componentes

correspondientes. Así se obtiene

mtr=0.206[kg ] , mmr=0.228[kg ] , mcb=0.068 [kg ] ,

mt=0.0155[kg] , mm=0.0145[kg ] , mb=0.022[kg] ,

mts=0.165[kg] , mms=0.225[kg] , lt=0.25[m] ,

lm=0.236[m] , lb=0.26[m] , lcb=0.13[m] ,

rms=0.155[m] , r ts=0.10[m] .

Remplazando estos valores en las constantes mostradas con anterioridad, se llega

a las nuevas constantes y funciones

107

Figura 3: Diagrama para el modelo de entrada

mPv uvv

uvv1Tmr s1

uv Fv m Fv

tPhuhh

uhh1T tr s1

uh Fh t Fh

Jv=∑i

8

Jiv=0.055846 [kgm2]

Jh=∑i

8

Jhi=0.04901cos2v0.0016065sin2v0.0063306

Mv1=9.81−0.0139315cosv0.0117016065sinv [Nm]

Mv3=−0.05038268h2 sinvcosv [Nm]

B.3.2 CARACTERÍSTICA DEL ROTOR PRINCIPAL

Para medir las características estáticas del rotor principal, es necesario tener un

tacómetro para medir la velocidad en función del voltaje aplicado. Esto se puede

realizar directamente sin necesidad de alterar el sistema salvo, para mayor

seguridad, fijar los ejes tal que el motor pueda variar su velocidad sin que el sistema

completo gire.

La constante de tiempo se obtiene a través de prueba y error al graficar el

resultado del modelo con la velocidad actual del rotor.

Para la segunda característica es necesario una balanza para medir la fuerza de

propulsión en función de la velocidad de giro (ver Figura 4). Esta última medición

requiere de un trabajo previo que se muestra a continuación.

Primero se debe fijar el eje tal que el sistema no pueda rotar alrededor del eje

horizontal. Luego se agrega un contrapeso para que el sistema quede

completamente balanceado (equivalentemente v=0, t). Logrado esto, se debe unir

mediante una cuerda el motor principal con la balanza electrónica (como se muestra

en la Figura 4) para que al encenderse el motor, éste empuje la balanza hacia arriba

y así obtener datos experimentales.

108

Figura 4: Configuración para la medición de características

balanza

Contrapeso

Feedback Instruments Ltd. ha realizado ambos experimentos y en el Gráfico 1 se

muestran sus resultados. Nótese que la fuerza aerodinámica del rotor principal

depende del tipo de hélice que se ocupe, por lo que no es necesario rehacer este

experimento a menos que éstas se cambien1.

Con los datos obtenidos y el toolbox de aproximación polinomial de MATLAB es

posible determinar las funciones correspondientes.

m uvv=90.99uvv6 599.73uvv

5 −129.26uvv4 −1238.64uvv

3 63.45uvv2 1283.41uvv

Fv m =−3.48⋅10−12m5 1.09⋅10−9m

4 4.123⋅10−6m3 −1.632⋅10−4m

2 9.544⋅10−2m

B.3.3 CARACTERÍSTICA DEL ROTOR DE COLA

Análogamente se obtienen las características para el rotor de cola, que muestran

en el Gráfico 2

1 Los gráficos corresponden a los resultados mostrados en [4].

109

Gráfico 1: Características medidas para el rotor principal

Gráfico 2: Características medidas para el rotor de cola

Es importante mencionar que habrá que rotar el eje del sistema para que las

hélices del rotor queden paralelas al suelo, en lugar de perpendiculares como lo es

en funcionamiento normal.

t uhh=2020uhh5 −194.69uhh

4 −4283.15uhh3 262.27uhh

2 3796.83uhh

Fh t =−3⋅10−14t5−1.595⋅10−11t

42.511⋅10−7t3−1.808⋅10−4 t

20.0801t

110

B.4 REFERENCIAS DEL APÉNDICE

[1]. FEEDBACK Instruments Ltd. "Twin rotor MIMO system, installation and

commisioning; 33-007- 0M5". Crowborough, Inglaterra. Nov. 1999.



[3]. FEEDBACK Instruments Ltd. "Twin rotor MIMO system, reference manual; 33-

007- 2M5". Crowborough, Inglaterra. Nov. 1999.


manual 1; 33-007- 4M5". Crowborough, Inglaterra. Nov. 1999.

111

UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS … · basados puramente en la 2da Ley de Newton,...

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