UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
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Indices de Desigualdad
Rafael Salas Abril de 2009
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Referencia básica
Peter Lambert (2001), The distribution and redistribution of Income, 3rd. Edition, Manchester University Press.
Cap. 5• Referencias adicionales:• Atkinson, A. (1970) JPE• Sen (1973) • Cowell (1985)
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Introducción
Pasamos de un orden parcial a un orden completo Definimos un índice de desigualdad:
I:RN → R Con unas propiedades:
Coherente con el Bienestar: W(x1, x2, ···, xN )=V(μ,I)
donde V(.) es un índice abreviado de bienestar y derivada positiva con μ y negativa con I.
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Índices de Atkinson
Es una clase de índices que se derivan partiendo de :
(1) Función individualista W:Rn+R como:
donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava. En términos discretos:
0
)()( dxxfxuWF
N
i ixuNW
1)(
1
5
Índices de Atkinson
(2) Expresable como V(μ,I)
donde V(.) es un índice abreviado de bienestar y derivada positiva con μ y negativa con I.
(3) Índice AKS: W=V=μ(1-I) I es el coste per cápita de la desigualdad
Implica que I = 1- ξ/μ donde ξ es la renta equivalente uniformente distribuída
W(ξ,ξ,…,ξ)= W(x1, x2, ···, xN)
(4) Índice relativo I no cambia:
I(x1, x2, ···, xN )=I(kx1,k x2, ···,kxN ) , k>0 Implica que ξ/μ no cambia, pues se transorma en kξ/kμ. Implica homoteticidad de W en xi
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Índices de Atkinson
Teorema el único índice que cumple las propiedades (1) a
(4) es el índice de Atkinson que se deriva de esta función de utilidad de aversión constante a la desigualdad:
donde ε >0 es el párametro de aversión a la desigualdad relativa constante (=-xu’’/u’)
1,ln
10,1)(
1
xba
xaxu
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Índices de Atkinson
Índice Atkinson: derivamos
Y calculamos I = 1- ξ/μ. Nótese cómo ξ<μ para ε>0
1,ln
10,1
11
N
xExp
N
x
8
Índices de Atkinson
Además para ε →0, ξ→μ con lo cual I→0.
La desigualdad no importa
A medida que aumenta la aversión a la desigualdad ε>0, la desigualdad aumenta, fijado F
Si ε → ∞, ξ→min xi e I = 1- min xi/μ
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I. Gini
22N
xxG i j ji
Newbury 1970 demuestra que no se puede obtenerse como un índice AKS
V= μ(1-G) de ninguna función individualista aditivamente separable. Implícitamente está en el teorema de Atkinson anterior, puesto que es un índice relativo.
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I. Gini
• Sen 1973 dice que puede serlo de una no individualista, en donde el nivel de bienestar de dos individuos es una función del peor posicionado
• Por lo tanto el bienestar social sería el promedio de todos los pares implicados. No es individualista porque en el bienestar de un individuo importan las rentas del resto. Lambert 1985 lo racionaliza como que la función de bienestar sería del tipo:
2
)min()1(
N
xxG i j ji
0
)())(,( dxxfxFxuWF
11
I.Gini
21
)12(
N
NixG
N
ii
NN
NxxxxG NNN 1)...32(2
12
121
De hecho depende del rango de cada individuo. Se ve en esta otra formulación:
12
I.Gini
21
)12(
N
NixG
N
ii
NN
NxxxxG NNN 1)...32(2
12
121
De hecho depende del rango de cada hogar. Se ve en esta otra formulación:
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I.Gini
Si agrupado: x1, w1 veces,…., xN, wN veces:
2
1
111
)2(
N
ii
N
iii
i
jj
N
iii
w
wwwxw
G
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I. Gini
El índice de Gini en términos contínuos se puede
escribir como:
que coincide con dos veces el área debajo de la curva de Lorenz
1
0)(21 dppLG
15
I. Gini
•El índice de Gini extendido por Yitzhaki 1983:
•Converge al Gini clásico con v=2
1
0)(21 dppLG
vdppLpvvG v 1)()1()1(11
0
2
16
Índices de Gini
•v es el párametro de aversión a la desigualdad como lo era ε en los índices de Atkinson:
Si v →1, ξ→μ con lo cual G→0. La desigualdad no importa
A medida que aumenta la aversión a la desigualdad v>1, la desigualdad aumenta, fijado F
Si v → ∞, ξ→min xi y G = 1- min xi/μ
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Índices de Gini
• Descomponibilidad: G=GB+GW+S• Lambert y Aronson 1993• S=0 si son particiones disjuntas
• Descomponibilidad por fuentes de renta Y=X+Z+G• Aplicación a los impuestos Y=X-T y subvenciones Y=X+S:
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C. Concentración
Definimos el coeficiente de concentración de impuestos T
como:
Entonces índice de progresividad de impuestos de Kakwani:
Veremos su relación con el índice de redistribución:
1
0 ,, )(21 dppLC XTXT
XXT GCK ,
TXX GG
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Redistribución
Podemos descomponer la redistribución global RS
IH ≥0 Atkinson y Plotnick 1980
)()(1 ,, XTXTXXXT CGGCt
tRS
TXXTXXTXX GCCGRS ,,
IHRVRS
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Personal Income Tax
• Progressivity and redistribution are related by the average tax rate
Personal Income Tax
BRA 99
SWI 92
ITA 91
USA 87
SPA 90
IRL 87
UK 93
GER 88
FRA 89
PER 00 VEN 03ECU 03COL 03
DIN 87
MEX 96
MEX 02
SWE 90
FIN 90
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Progressivity (Kakwani index)
Ve
rtic
al r
ed
istr
ibu
tio
n
(Gin
i re
du
cti
on
)
t=15%t=20%t=30% t=10%
t=5%
t=2,5%
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Sales Taxes
• Mainly slightly regressive as in the OECD
IVA or General Sales Tax
ECU 03
BOL 00MEX 02
MEX 96
VEN 03
COL 03
PER 00BRA 99
-0,015
-0,010
-0,005
0,000
0,005
-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05
Progressivity (Kakwani index)
Ve
rtic
al r
ed
istr
ibu
tio
n
(Gin
i re
du
cti
on
)
t=10%
t=5%
t=2,5%
t=15% t=20% t=30%
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Índices de Entropía Generalizada
• Si imponemos la propiedad de descomponibilidad aditiva I=IB+IW
• donde IB es el índice entre grupos como el índice de desigualdad en el caso de que todos los hogares de cada grupo tengan su renta media μi y
• A que el índice sea relativo: I(x1, x2, ···, xN )=I(kx1,k x2, ···,kxN ) , k>0
• Simétrico
• Cumpla el principio de transferencias
• Nos sale como única opción los índices de Entropía Generalizada (Shorrocks, Cowell)
Wii
WiIpI ),(
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Índices de Entropía Generalizada
1ln1
0ln1
1,01)1(
1
cx
x
N
cx
N
cx
cNc
cI
i
i
i
c
i
E
Caso c=0, es el Theil cero ó desviación logarítmica media. Caso c=1, Theil 1 (Theil 1967)
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Índices de Entropía Generalizada
• Las ponderaciones de la descomponibilidad son:
• Son interesantes en Theil cero y en el Theil 1: suman la unidad • Especialmente interesantes en el Theil 0: son poblacionales
ci
ciii pp 1),(
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Índices de Entropía Generalizada
• Los índices de Theil c=1-ε son ordinalmente equivalentes a los índices de Atkinson ε>0
• Para c=1- ε
• Para c=0 y ε=1 la equivalencia es:
•
cEA cIccI /12 )1)()((1)(
))0((exp(1)1( cII EA
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Índices de Entropía Generalizada
• Los índices de Theil c=2 tienen una particularidad:
• Es coherente con el principio de la réplica de la población.
2
2
1)2( CVI E
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Índices de Entropía Generalizada
• Problemas:
• No están normalizados entre 0 y 1• Pueden ser superiores a 1. El valor extremo del Theil 1 es Ln N
• No puede deducirse de una FBS• Ni interpretación como
))(1( cIW E
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Indices de Desigualdad
Rafael Salas Abril de 2009