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31Unité 2 • L’addition et la soustraction jusqu’à 10 000

Unité 2 : L’addition et la soustraction jusqu’à 10 000Approfondir la compréhension du sens des opérations et savoir les utiliser dans la résolution de problèmes. Apprendre des algorithmes de calcul efficaces.

Un triple apprentissageD’un point de vue purement calculatoire, l’objectif ma-jeur de l’unité 2 est l’acquisition de techniques efficaces pour effectuer des additions et des soustractions posées. Cependant, cet apprentissage ne doit pas se faire de façon isolée, afin que les élèves ne se focalisent pas ex-clusivement sur les techniques opératoires. L’addition et la soustraction sont donc étudiées sous trois aspects com-plémentaires et indissociables : le sens des opérations, les techniques opératoires et leur utilisation en résolution de problèmes.

Le sens des opérationsAvant d’aborder les additions et les soustractions po-sées de nombres à quatre chiffres, il est important que les élèves consolident leur compréhension du sens de ces opérations. Qu’est-ce qu’une somme ? Qu’est-ce qu’une différence ? Quand additionne-t-on ? Quand soustrait- on ? Les séances 12 à 15 sont consacrées à l’étude de ces questions ainsi qu’à la révision des modèles en barres vus en CE1 (modèle « partie-tout » et modèle de comparai-son) à travers des problèmes mettant en jeu des nombres volontairement simples afin que le calcul ne soit pas un obstacle à la compréhension.

Les techniques opératoiresEn théorie, il n’est pas plus difficile d’additionner ou sous-traire des nombres à quatre chiffres que des nombres à deux chiffres. Si, pour additionner, on sait regrouper 10 unités pour former 1 dizaine, on sait tout aussi bien regrouper 10 dizaines/10 centaines pour former 1 cen-taine/1 millier : la maîtrise des propriétés de notre numé-ration en base dix permet de le comprendre. De même, si, pour soustraire, on sait échanger 1 dizaine contre 10 unités, on sait également échanger 1 centaine/1 millier contre 10 dizaines/10 centaines. Cependant, il en va autrement dans la pratique et, pour certains élèves, les échanges successifs sur de grands nombres constituent une réelle difficulté. La manipulation de disques-nombres aide la compréhension et doit intervenir fréquemment, même si le but est, à terme, d’arriver à s’en passer.

Les problèmesEn début puis en fin d’unité, les élèves abordent une grande variété de types de problèmes afin de devenir performants. Une bonne compréhension du sens de l’ad-dition et de la soustraction leur permet de savoir quelle opération effectuer pour obtenir ce qui est demandé ; une bonne maîtrise des techniques opératoires leur per-met de se focaliser sur la compréhension, le calcul n’étant pas un obstacle ; une stratégie de résolution efficace leur permet de développer de la confiance dans cette activité. Les élèves sont, de plus, fréquemment invités à inventer eux-mêmes des énoncés de problèmes répondant à cer-taines contraintes fixées : cette activité enrichit la réso-lution « classique » d’énoncés donnés en exigeant une réflexion différente et permet à l’enseignant de mieux voir quelles sont les difficultés ou mauvaises compréhen-sions éventuelles.

Le sens des nombresSi, dans cette unité, l’accent est mis sur les opérations posées, il ne faut pas pour autant négliger le sens des nombres. Ainsi, il est souhaitable de rappeler fréquem-ment que certaines additions ou soustractions n’ont pas besoin d’être posées pour être effectuées : pour calculer 5 436 + 203, on ajoute 2 centaines et 3 unités. D’autre part, si l’objectif de l’apprentissage des opérations po-sées est d’acquérir une maîtrise qui permette un calcul sûr et rapide, il ne faut jamais perdre de vue le sens de ce que l’on calcule. Il est ainsi préférable de répéter fré-quemment « 7 unités plus 4 unités font 11 unités, donc 1 dizaine et 1 unité », plutôt que « 7 plus 4 onze, je pose 1 et je retiens 1 », formule plus rapide mais vide de sens.

Difficultés générales d’apprentissage• Se concentrer simultanément sur la valeur de position

de chaque chiffre et sur la valeur globale d’un nombre.• Enchaîner les échanges dans l’opération posée. • Dans les calculs, ne jamais perdre de vue le sens des

opérations et le sens des nombres.• Gérer la multiplicité des tâches à effectuer en résolu-

tion de problème.

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1 Exploration de l’illustration pleine page Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 24 et projetez l’illustration au tableau. Dites aux élèves de lire le phylactère d’Idris puis demandez-leur : « Quel calcul Idris a-t-il fait ? Quelle opération a-t-il utilisée ? » Tracez au tableau un schéma de famille de nombres puis écrivez à côté 750 + 1 200 = 1 950. Insistez en rappelant : « Si l’on connaît les deux parties, on peut additionner pour trouver le tout. » Demandez à un volontaire de lire le phylactère d‘Alice et interrogez : « Comment Alice peut-elle le savoir ? » Encouragez les élèves à trouver différentes procédures telles que : compter (de 100 en 100) de 3 800 à 4 000, compter à rebours (de 100 en 100) de 4 000 à 3 800, faire une soustraction. Faites remarquer qu’Alice effectue une comparaison. Procédez de la même façon avec les phylactères de Maël et d’Adèle.

2 Somme et différence Demandez aux élèves d’aligner sur leur table 3 jetons verts et 5 jetons rouges, et faites-en autant au tableau. Demandez : « Combien y a-t-il de jetons en tout ? », « Faites-vous une addition ou une soustraction pour obtenir la réponse ? » Demandez à un élève de venir écrire au tableau la phrase mathématique correspondante (3 + 5 = 8). Écrivez à côté le mot « somme » et rappelez que l’on additionne pour trouver la somme. Dites aux élèves de laisser leurs jetons en place puis demandez-leur de poser une ligne de 3 jetons verts puis en-dessous une ligne de 5 jetons rouges. Faites de même au tableau en veillant à bien aligner verticalement les jetons. Demandez : « Y a-t-il plus de jetons verts ou de jetons rouges ? Combien de plus ? », « Faites-vous une addition ou une soustraction pour obtenir la réponse ? » Demandez à un élève de venir écrire au tableau la

Étapes de la séance Durée Modalité

1 Exploration de l’illustration pleine page

20 min Collectif

2 Somme et différence 10

min Collectif

3 Étude de la page 25 du fichier 1 10

min Collectif

4 Pratique autonome 10

min Individuel

Fichier 1 : pp. 24-25Fichier photocopiable : pp. 28-29

Matériel pédagogique : 6 jetons verts et 10 jetons rouges par élève, jetons magnétiques, cubes multidirectionnels

Vocabulaire : somme, différence

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Associer les termes « somme » et « différence » à l’addition et la soustraction respectivement.

Compétence du programme 2016 : Résoudre des problèmes issus de situations de la vie quotidienne conduisant à utiliser des opérations. Comprendre le sens des opérations.

Objectifs

Unité 2 • L’addition et la soustraction jusqu’à 10 000

Calcul mental Additionner 2 nombres

Proposez une addition de nombres à 2 chiffres comme 27 + 14 : « 14, c’est 3 + 11. 3 + 27 = 30. Enfin, 30 + 11 = 41. » Poursuivez avec 270 + 140, en décomposant 140 en 30 et 110. Assu-rez-vous que les élèves comprennent la stratégie et voient le lien entre les deux exemples. Appelez cette straté-gie « faire d'abord des dizaines » ou « faire d'abord des centaines ». Demandez ensuite : « Au lieu de dé-composer le 14 et le 140, aurait-on pu décomposer le 27 et le 270 ? » La réponse est oui : 27 se décompose en 21 + 6 et 270 en 210 + 60. Donnez aux élèves d'autres sommes à calculer de la même façon, d'abord sur leur ar-doise, puis mentalement.

Visualiser une différence Lorsque l’on représente deux nombres par des trains de cubes que l’on aligne l'un au-dessus de l'autre, la différence entre le plus grand nombre et le plus petit est la partie manquante dans le plus petit train. Certains élèves peuvent avoir du mal à comprendre que la différence correspond au vide.

Pour concrétiser cette différence, vous pouvez demander aux élèves de le « remplir » en ajoutant des cubes d’une autre couleur jusqu’à ce que les deux trains aient la même longueur. La différence est alors matérialisée par les cubes qui ont été ajoutés.

Résolvons des problèmes de sommes et de différences (1)Séance 12

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phrase mathématique correspondante (5 − 3 = 2). Écrivez à côté le mot « différence » et dites que l’on soustrait pour trouver la différence.

3 Étude de la page 25 du fichier 1

Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 25 et projetez la page au tableau. Faites observer le problème d’Alice ainsi que celui d’Idris. Demandez : « En quoi ces problèmes sont-ils différents de ce que nous venons de faire ? En quoi sont-ils semblables ? » L’important est que les élèves comprennent que ce sont les nombres manipulés qui comptent, pas la sorte d’objets que l’on compte. Pour cela, vous pouvez leur montrer les mêmes opérations (3 + 5 et 5 − 3) représentées avec des cubes multidirectionnels, des crayons, des cahiers, ou bien dessinées au tableau avec des ronds, des triangles, des lettres de l’alphabet, etc. Varier les représentations aidera les élèves à comprendre que les phrases mathématiques 3 + 5 = 8 et 5 – 3 = 2 sont des abstractions mathématiques communes à différentes situations concrètes. Insistez sur le fait que l’on additionne pour trouver la somme de deux nombres et que l’on soustrait pour trouver la différence entre le plus grand nombre et le plus petit.

4 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur les pages 28 et 29 du fichier photocopiable. Les exercices 1, 2 et 5 font intervenir de petits nombres qui permettent une représentation concrète (cubes, jetons, etc.), contrairement aux exercices 3 et 4. Les élèves sont invités à utiliser les modèles en barres qu’ils ont étudiés au CE1. Veillez à ce qu’ils identifient sur chaque modèle les deux nombres de départ ainsi que la somme ou la différence cherchée.

Différenciation Soutien : Les calculs de différences sont plus difficiles. Proposez aux élèves en difficulté de construire deux trains de cubes et de les aligner côte à côte pour les comparer. Approfondissement : Proposez aux élèves avancés de tracer le modèle en barres représentant la comparaison proposée par Maël et Adèle page 24.

Synthèse de la séance

• J’additionne pour calculer la somme de deux nombres.• Je soustrais pour calculer la différence entre deux nombres.


Fichier 1 p. 24

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1 Avec des cubes Formez des binômes et distribuez à chacun 20 cubes multidirectionnels. Demandez : « Comment pouvez-vous, à l’aide de vos cubes, représenter la somme de 4 et 6 ? » Les élèves peuvent former un train de 4 cubes, un second train de 6 cubes puis les assembler. Tracez au tableau le modèle en barres d’Idris page 26 du fichier 1 en écrivant 4 et 6 sous les deux parties puis ? au-dessus du tout. Rappelez que deux parties sont réunies pour former un tout et que cela se traduit par une addition. Écrivez à côté du modèle : 4 + 6 = 10. Les élèves peuvent également former un train de 4 cubes et lui ajouter 6 cubes un par un : cette procédure est plus longue, mais tout à fait juste. Demandez maintenant de représenter la différence entre 12 et 5. Les élèves peuvent former un train de 12 cubes dont ils détachent un train de 5 cubes : en comptant les cubes restants, ils obtiennent la différence. Tracez au tableau le modèle en barres correspondant (modèle 1). Rappelez que lorsque l‘on sépare une partie d’un tout, on obtient l’autre partie et que cela se traduit par une soustraction. Écrivez à côté du modèle : 12 – 5 = 7. Les élèves peuvent aussi avoir formé deux trains, l’un de 12 cubes et l’autre de 5, qu’ils alignent et comparent pour faire apparaître la différence. Tracez au tableau le modèle en barres correspondant (modèle 2). Insistez sur le fait qu’il y a une barre plus grande que l’autre et que, par comparaison, la différence de longueur représente la différence entre les deux nombres. Écrivez à côté du modèle : 12 – 5 = 7. Vous pouvez poursuivre en demandant aux élèves de représenter d’autres sommes ou d’autres différences avec leurs cubes et, pour les plus avancés, de tracer le modèle en barres correspondant.

5 ?

12Modèle 1

5 ?

12Modèle 2


Savoir utiliser des modèles en barres pour calculer des sommes et des différences et pour comparer.


Objectifs

Calcul mental Soustraire 2 nombres

Comme pour l'addition, il y a plusieurs stratégies de calcul mental pour la soustraction. Commencez avec des soustractions de nombres à 2 chiffres comme 36 – 21. « Soustrayons d'abord les dizaines : 36 – 20 = 16. Sous-trayons enfin l'unité : 16 – 1 = 15. » Poursuivez avec 360 – 210, en sous-trayant d'abord 200 puis 10. Assu-rez-vous que les élèves comprennent la stratégie et voient le lien entre les deux exemples. Faites-les égale-ment travailler par sauts successifs à rebours sur la droite numérique.

Modèle partie-toutModèle de comparaison

Lorsque les parties sont connues, on additionne pour obtenir le tout.

? Lorsque le tout et une partie sont connus, on soustrait pour obtenir l’autre partie.

? Modèle de comparaisonDans un modèle de comparaison, la quantité inconnue peut être : - la différence

?

- la plus petite partie

? différence

- la plus grande partie

différence

?

Dans les deux premiers cas, une soustraction permet d’obtenir cette quantité inconnue. Dans le troisième cas, c’est une addition.


1 Avec des cubes20

minEn binôme

puis collectif

2 Étude des pages 26 et 27 du fichier 1 25

minIndividuel et collectif


min Individuel

Fichier 1 : pp. 26-27Fichier photocopiable : p. 30

Matériel pédagogique : 20 cubes multidirectionnels par binôme

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Fichier 1 p. 26

Fichier 1 p. 27

2 Étude des pages 26 et 27 du fichier 1 Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 26 et projetez la page au tableau. Faites le lien entre le problème d’Idris et ce que les élèves viennent de faire. Faites observer que dans le modèle en barres en haut de la page 26, chaque barre (la verte et l’orange) représente une partie. Faites compléter les cases. Dans les exercices 2 et 3, faites remarquer que le même modèle « partie-tout » est utilisé cette fois pour calculer une partie. Assurez-vous dans l’exercice 3 que les élèves comprennent bien que la réunion des enfants et des adultes donne tous les visiteurs du parc. Traitez l’exercice 4 en pratique guidée en classe entière. Faites remarquer que les timbres sont les mêmes que ceux de la page 25. Demandez : « Y a-t-il plus de timbres français ou de timbres espagnols ? » Tracez le modèle en barres au tableau en disant : « Il y a plus de timbres français, donc on les représente par une plus longue barre que les timbres espagnols. » Dites que vous avez tracé un modèle de comparaison. Interrogez : « Combien y a-t-il de timbres français de plus ? Faites-vous une addition ou une soustraction pour le savoir ? Calculez-vous une somme ou une différence ? » Faites chercher les exercices 5 et 6. Aidez les élèves qui en ont besoin à dessiner le modèle en barres de l’exercice 6.

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur la page 30 du fichier photocopiable. Faites remarquer aux élèves que les deux problèmes sont des problèmes de comparaison ; la seule chose qui change entre les deux énoncés est ce que l’on cherche : le plus grand nombre (exercice 1) ou le plus petit nombre (exercice 2).

Différenciation Soutien : Pour les élèves en difficulté, remplacez les nombres donnés par des nombres plus petits afin qu’ils puissent représenter les énoncés avec des cubes. Reprenez ensuite les énoncés originaux. Approfondissement : Proposez un énoncé de problème pour lequel le modèle en barres est un modèle « partie-tout » comportant trois parties.


• Je sais utiliser des modèles en barres « partie-tout » pour calculer des sommes et des différences.

• Je sais utiliser des modèles de comparaison pour calculer le plus grand nombre, le plus petit nombre ou la différence entre deux nombres.

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1 Mathématiques et français Formez des binômes et distribuez à chacun 20 cubes multidirectionnels (10 d’une couleur, 6 d’une autre couleur et 4 d’une troisième couleur). Demandez-leur de représenter à l’aide des cubes la différence entre 10 et 4 puis de la calculer. Tracez au tableau le modèle de comparaison correspondant en indiquant que la différence vaut 6. Écrivez à côté 10 – 4 = 6 puis la phrase « La différence entre 10 et 4 vaut 6. » Interrogez : « Combien de cubes faut-il ajouter à 4 cubes pour en obtenir 10 ? » Laissez les élèves manipuler leurs cubes pour trouver le résultat puis demandez : « Que faut-il ajouter à 4 pour obtenir 10 ? » Écrivez au tableau : « 6, c’est ce qu’il faut ajouter à 4 pour obtenir 10. » Demandez : « 10, c’est combien de plus que 4 ? » puis rajoutez au tableau la phrase « 10, c’est 6 de plus que 4. » Faites observer les trois phrases et demandez aux élèves quels sont leurs points communs et leurs différences. Insistez sur le fait que ces phrases sont différentes mais qu’elles traduisent la même phrase mathématique 10 – 4 = 6. Faites écrire aux élèves différentes phrases avec la famille de nombres 8 / 5 / 3. Mettez les phrases en commun et incitez les élèves à en écrire de nouvelles telles que « 3, c’est ce qu’il faut retrancher de 8 pour obtenir 5 » ou « 5, c’est 3 de moins que 8 ». Traduire par différentes phrases en français une même phrase mathématique permet de connecter différents savoirs et d’approfondir la compréhension que l’on a d’une notion à travers des représentations multiples. Saisissez par la suite, lors de la résolution de problèmes, des occasions de faire formuler la conclusion de différentes façons : vous offrirez aux élèves l’opportunité de comprendre les notions mathématiques plus en profondeur tout en progressant en expression française. Mathématiques et français s’enrichissent ainsi mutuellement : la précision et la rigueur dans l’utilisation du langage entraînent une plus grande souplesse dans la pensée et le raisonnement mathématiques.


Savoir utiliser des modèles en barres pour calculer des sommes et des différences.


Objectifs

Calcul mental Transformer une addition

Il existe plusieurs façons de trans-former une addition donnée en une addition équivalente mais plus facile à calculer mentalement. Proposez d'abord des additions de nombres à 2 chiffres et demandez aux élèves de les transformer en des additions plus simples. Interrogez-les sur les stratégies utilisées. Voici un exemple : 47 + 38 = 45 + 40 = 85. On retranche 2 à 45 et on l’ajoute à 38. Addition-ner 47 + 38 donne le même résultat qu’additionner 45 + 40. On appelle cette stratégie « – 2 / + 2 ». Variante : Proposez des sommes de deux nombres dont l’un est composé de 3 chiffres. Par exemple : 129 + 36 = 130 + 35 = 165. Ici, la stratégie est « + 1 / –1 ».


1 Mathématiques et français20

minEn binôme

puis collectif


minIndividuel

puis collectif


min Individuel

Fichier 1 : p. 28Fichier photocopiable : pp. 31-32

Matériel pédagogique : 20 cubes multidirectionnels par binôme

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Fichier 1 p. 28


2 Étude de la page 28 du fichier 1 Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 28 et projetez la page au tableau. Les deux exercices proposés ont chacun deux questions qui peuvent se résoudre indépendamment l’une de l’autre. Leur but est de vérifier si les élèves identifient la bonne opération pour calculer la somme ou la différence. L’exercice 1, avec les dessins des timbres, est plus concret. Faites chercher ces deux exercices individuellement puis demandez à des volontaires de venir expliquer leur solution au tableau. Faites remarquer que le modèle tracé à la question 2) b) peut aussi servir au calcul de la somme : c’est une autre façon de modéliser la somme. Tracez l’accolade verticale à droite des deux barres, comme cela est fait sur les modèles de la page 29. Ajoutez le point d’interrogation et expliquez qu’il indique la somme des deux nombres.

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur les pages 31 et 32 du fichier photocopiable. Dans l’exercice 1, laissez le choix aux élèves pour effectuer le calcul de 33 + 28. Certains complèteront l’opération posée dans la marge, d’autres calculeront sans poser l’opération (ajout de 8 unités puis ajout de 2 dizaines, ou calcul de 33 + 7 + 1 + 20 par exemple). Dans l’exercice 2, recopiez au tableau le modèle donné et tracez à côté le modèle « partie-tout » utilisé jusque-là. Demandez aux élèves de dire en quoi ces deux modèles sont différents, en quoi ils sont semblables et montrez qu’ils peuvent tous les deux aider à calculer la somme des deux nombres.

Différenciation Soutien : Reprenez l’activité du paragraphe 1 avec de petits nombres. Faites empiler les cubes un par un en disant à voix haute : « J’ajoute un cube, j’ajoute deux cubes, etc. ». Approfondissement : Reprenez l’activité du paragraphe 1 avec de plus grands nombres et sans matériel.

Activité optionnelle Synthèse de la séance

Petits jeux de phrasesÉcrivez une phrase mathématique au tableau, par exemple, 11 = 6 + 5. Demandez aux élèves d’écrire quatre phrases en français pour traduire cette égalité, deux phrases avec « plus » ou le verbe « ajouter », et deux phrases avec « moins » ou le verbe « retrancher ».

• Je sais calculer la somme et la différence de deux nombres.

• Je sais exprimer le résultat mathématique obtenu à l’aide de différentes phrases.

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1 Calculs de différences Donnez 20 cubes multidirectionnels à chaque élève. Demandez de construire un train de 5 cubes et un de 8 cubes. Demandez aux élèves comment on peut utiliser ces trains de cubes pour connaître la différence entre 8 et 5. Tracez au tableau les deux barres du modèle de comparaison et demandez à la classe de vous aider à le compléter.

Dites aux élèves d’ajouter un cube à chacun des deux trains puis interrogez : « Quels sont les nombres représentés ? », « Quel modèle peut-on tracer pour nous aider à calculer leur différence ? », « Que vaut cette différence ? », « Que remarquez-vous ? », « Pouvez-vous expliquer pourquoi ? »

Reprenez cet exercice, en faisant ajouter ou enlever un ou plusieurs cubes. Insistez sur le fait qu’au départ, le train de 8 cubes a 3 cubes de plus que celui de 5 cubes et que si l’on ajoute (ou enlève) le même nombre de cubes aux deux trains, cet écart ne change pas : le plus grand


1 Calculs de différences20

min Collectif


minCollectif

puis individuel


min Individuel


Matériel pédagogique : 20 cubes multidirectionnels par élève

Extrait de la note de service du 25 avril 2018 : « Tout en ne négligeant pas le travail préalable sur les problèmes en une étape, briques élémentaires sur lesquelles pourront s'appuyer les élèves pour résoudre les problèmes en plusieurs étapes, il est important de proposer des problèmes en deux étapes dès le début du cycle 2 : l'objectif visé est de ne pas laisser les élèves penser que résoudre des problèmes se limite à “trouver la bonne opération” ou “avoir de la chance” en prenant les deux nombres de l'énoncé et en choisissant une opération au hasard. »Les problèmes à deux étapes sont effectivement une source idéale de réflexion, et dans leur résolution, la modélisation apporte une aide capitale. »


Résoudre des problèmes à deux étapes.


Objectifs

Calcul mental Transformer une soustraction

Il existe plusieurs façons de transfor-mer une soustraction donnée en une soustraction équivalente mais plus fa-cile à calculer mentalement. Proposez d'abord des soustractions de nombres à 2 chiffres et demandez aux élèves de les transformer en des soustrac-tions plus simples. Interrogez-les sur les stratégies utilisées. Voici deux exemples. • 46 – 29 = 47 – 30 = 17 ➜ On ajoute

1 à chaque terme de la soustraction pour conserver l’écart ou la diffé-rence entre les 2 nombres.

• 70 – 52 = 68 – 50 = 18 ➜ Cette fois-ci, on soustrait 2 à chaque terme.

Aidez les élèves à visualiser cette stra-tégie en plaçant les deux nombres de la soustraction sur une droite numé-rique et en marquant d'un trait rouge le segment qui représente l’écart. En déplaçant ce segment un peu vers la droite ou vers la gauche, l’écart est maintenu. Variante : Introduisez un nombre à 3 chiffres. Par exemple : 246 – 37 = 249 – 40 = 209. (On a ajouté 3 à chaque nombre.)

Invariance de la différence Dans la soustraction posée à la fran-çaise, pour effectuer 65 – 27, on ajoute 10 à chacun des deux termes :

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On ajoute 10 à 65 sous la forme de dix unités, et l’on ajoute 10 à 27 sous la forme d’une dizaine.On utilise donc le fait qu’une différence ne change pas lorsque l’on ajoute un même nombre à ses deux termes.

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Fichier 1 p. 29


train aura toujours 3 cubes de plus que le plus petit. Cette invariance de la différence peut s’exploiter dans des domaines très variés des mathématiques : différence entre deux sommes d’argent que l’on augmente ou diminue de la même quantité, entre deux masses, entre deux longueurs, entre deux âges, etc.

2 Étude de la page 29 du fichier 1 Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 29 et projetez la page au tableau. Comme dans la séance précédente, les deux exercices proposés ont chacun deux questions, mais cette fois, celles-ci sont liées : il s’agit de problèmes en deux étapes, la seconde étape se résolvant grâce au résultat obtenu à la première. Lisez l’énoncé de l’exercice 1 et demandez : « Qui a dépensé le plus, Zoé ou Élodie ? » Puisqu’une personne a dépensé plus que l’autre, on peut utiliser un modèle de comparaison. Tracez-le au tableau et demandez aux élèves de vous aider à le compléter à l’aide des informations données par l’énoncé. Interrogez : « Que voulons-nous trouver en premier ? Que voulons-nous trouver ensuite ? » Insistez sur ce que représentent les deux points d’interrogation présents dans le modèle puis faites résoudre le problème individuellement. Demandez à des volontaires d’expliquer leur solution à la classe. Faites ensuite résoudre le second problème en détaillant la réflexion pour les élèves qui en ont besoin.

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur les pages 33 et 34 du fichier photocopiable. Les trois problèmes posés sont similaires à ceux du fichier 1. Ils sont progressifs : dans le premier, le modèle complet est donné, dans le deuxième, le modèle est donné mais les élèves doivent compléter les informations, dans le troisième enfin, c’est aux élèves de tracer le modèle. Proposez aux élèves avancés de commencer par le troisième problème. Incitez ceux qui ont dessiné deux modèles différents à réfléchir au fait qu’un seul modèle suffit. Proposez aux autres élèves de résoudre les deux premiers problèmes. Guidez par vos questions ceux qui ont du mal à traduire mathématiquement les données de l’énoncé ou à identifier ce qui est demandé.

Différenciation Soutien : Donnez aux élèves en difficulté des énoncés identiques mais avec de petits nombres, afin qu’ils puissent les représenter à l’aide de cubes. Aidez-les ensuite à passer à la modélisation puis revenez aux énoncés originaux. Approfondissement : Reprenez l’activité du paragraphe 1 mais en demandant cette fois le calcul de la somme. Si l’on ajoute 1/2/3/… à chacun des deux nombres, la somme augmente de 2/4/6/…


• Je sais résoudre des problèmes à deux étapes.• Je sais qu’un modèle peut parfois servir à répondre à plusieurs questions.

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Calculons des sommes sans échange ou avec 1 échangeSéance 16


1 Additions successives Répartissez les élèves en binôme et donnez à chacun des disques-nombres. Demandez de représenter le nombre 6 247 puis de lui ajouter 1. Demandez ensuite d’ajouter encore 20 puis enfin d’ajouter 500. Interrogez les élèves : « Finalement, quel nombre a-t-on ajouté à 6 247 ? » Reprenez au tableau les différentes étapes en insistant sur le sens de chaque addition : « Ajouter 1, c’est ajouter 1 unité ; ajouter 20, c’est ajouter 2 dizaines ; ajouter 500, c’est ajouter 5 centaines. » Montrez les additions successives au tableau (voir figure 1). Demandez ensuite : « Et si l’on ajoute encore 3 000, quel nombre aura-t-on finalement ajouté à 6 247 ? », « Quel nombre obtient-on finalement ? » Demandez de représenter le nombre 382 et faites ajouter successivement 4, 30 et 200. Reprenez les questions précédentes, puis demandez : « Combien obtient-on de dizaines ? », « Comment va-t-on écrire la somme de nos deux nombres ? » Rappelez que l’on n’inscrit pas « 11 dizaines » dans un nombre écrit en chiffres : on échange donc 10 dizaines contre 1 centaine car 10 dizaines ont la même valeur que 1 centaine et que 11 dizaines ont donc la même valeur que 1 centaine et 1 dizaine. Si vous le souhaitez, reprenez le processus avec d’autres nombres. Composer et décomposer ainsi des additions permet une bonne compréhension de l’opération posée.

2 Étude des pages 30 à 32 du fichier 1 Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 30 et projetez la page au tableau. Demandez-leur de poser l’addition sur leur ardoise. Faites le lien avec l’activité précédente et faites-leur additionner successivement les unités, les dizaines, les centaines et les milliers. Soulignez l’importance de bien aligner les chiffres et insistez sur la signification de chaque colonne : « On ajoute 7 unités et 1 unité. On obtient 8 unités. Où doit-on écrire ces 8 unités ? » Faites de même avec les dizaines, les centaines et les milliers. Vérifiez avec les élèves que le résultat est raisonnable : 6 247, c’est moins


1 Additions successives20

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Matériel pédagogique : disques-nombres

Vocabulaire : échange


Comprendre, poser et effectuer une addition de deux nombres à quatre chiffres sans retenue ou avec une seule retenue.

Compétence du programme 2016 : Mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l’addition.

Objectifs

Calcul mental Additionner 3 nombres

Donnez aux élèves des additions de 3 nombres dont la somme est inférieure ou égale à 19 et dont la somme de 2 termes donne 10. Exemple : 7 + 3 + 4. Les élèves écrivent le résultat sur leur ardoise. Confrontez les stratégies, faites remarquer qu’il est plus ra-pide de « mettre ensemble » les deux nombres qui font 10 puis d’ajouter le troisième nombre. Poursuivez avec 8 + 6 + 2. Faites identifier à nouveau les 2 nombres qui s’associent le plus facilement : 8 et 2. Variante : Reprenez l'exercice en introduisant un puis deux nombres à 2 chiffres, dont deux s'associent comme : 4 + 9 + 36 (4 + 36 = 40 ; 40 + 9 = 49) ou même 67 + 29 + 3 (67 + 3 = 70 ; 70 + 29 = 99).

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que 7 000 et 3 521, c’est moins que 4 000. 7 000 + 4 000 = 11 000, donc la somme doit être inférieure à 11 000. Procédez de la même façon avec l’addition de la page 31. Demandez successivement : « Obtient-on assez d’unités / de dizaines / de centaines pour avoir une dizaine / une centaine / un millier ? » La réponse négative aux deux premières questions vous permet d’insister sur l’échange effectué entre 10 centaines et 1 millier. Utilisez la page 32 pour la différenciation : les élèves avancés peuvent traiter directement l’exercice 2. Dans l’exercice 3, rappelez que poser l’opération n’est pas toujours nécessaire : dans le c), on peut ajouter 10 puis retrancher 1 ; dans le d), on peut ajouter successivement 4 unités et 6 dizaines. Les élèves ne calculeront pas tous de la même façon : chacun fera selon son habileté.

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur la page 35 du fichier photocopiable. L’exercice 1 permet de calculer des sommes sans poser l’addition, en ajoutant 3 unités, 3 dizaines, 3 centaines ou 3 milliers. Dans l’exercice 2, certains élèves feront peut-être remarquer que l’on n’a pas toujours besoin de poser les opérations et proposeront d’autres stratégies (par exemple, pour ajouter 1 019, on ajoute 1 000 puis 19). Accueillez favorablement ces propositions. Rappelez que lorsqu'on additionne deux nombres en décomposant l’ajout des unités, des dizaines, des centaines et des milliers, on peut effectuer ces ajouts dans n’importe quel ordre. Mais lorsque l’on pose l’opération, il faut toujours ajouter les unités, puis les dizaines, puis les centaines, et enfin les milliers. Pourquoi ? Parce que s’il y a une retenue sur les unités, les dizaines ou les centaines, elle se reporte respectivement sur les dizaines, les centaines ou les milliers dont elle change le calcul.

Différenciation Soutien : Faites poser et effectuer des additions avec deux nombres à 3 (voire 2) chiffres. Insistez sur la signification de chaque colonne. Revenez ensuite à des nombres à 4 chiffres. Approfondissement : Proposez d’additionner trois nombres sans retenue.


Additionner de têteDites aux élèves de fermer les yeux et de se concentrer sur le nombre 345 puis de lui ajouter 4. Demandez ensuite de lui ajouter 30 puis 200. Proposez d’autres calculs analogues avec des nombres à 3 ou 4 chiffres. Effectuer des calculs de tête développe l'habileté en calcul.

• Je sais additionner des nombres à 4 chiffres.

• Dans l’addition posée, j’additionne d’abord les unités, puis les dizaines, puis les centaines et enfin les milliers.

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Calculons des sommes avec 2 échangesSéance 17


1 Avec ou sans échange ? Le but de cette activité n’est pas d’effectuer des additions, mais de faire comprendre aux élèves quand il y a lieu de faire des échanges ou de ne pas en faire, lorsque l’on pose l’opération. Formez des binômes et distribuez à chacun des disques-nombres. Posez une addition au tableau et demandez aux élèves de la représenter à l’aide des disques-nombres. Demandez : « Regardez le calcul des unités. A-t-on besoin de faire un échange ? » Poursuivez de la même façon pour les dizaines et les centaines. Dites aux élèves de ne pas effectuer le calcul, mais seulement de dire s’il faut faire un échange ou non. Commencez par des additions de nombres à 3 chiffres sans retenue, puis passez à une retenue ou deux. Faites observer que s’il y a un échange de 10 unités contre 1 dizaine, il ne faut pas oublier d’inclure cette dernière dans le calcul des dizaines. Par exemple, le calcul de 176 + 321 ne nécessite aucun échange. Celui de 176 + 328 en nécessite deux, pourtant seuls les chiffres des unités diffèrent entre les deux calculs : l’échange de 10 unités contre 1 dizaine, en ajoutant une dizaine supplémentaire dans le calcul, induit un échange à faire de 10 dizaines contre 1 centaine. Ainsi, bien que les chiffres des dizaines n’aient pas changé et que la somme 7 + 2 soit strictement inférieure à 10, on doit faire un échange au niveau des dizaines dans le calcul de 176 + 328. Si vos élèves sont prêts, passez à des nombres à 4 chiffres et proposez des additions nécessitant jusqu’à trois échanges.

2 Étude de la page 33 du fichier 1 Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 33 et projetez la page au tableau. Observez l’addition d’Adèle. À travers vos questions, guidez les élèves pas à pas dans leur réflexion : « Combien y a-t-il d’unités ? », « Peut-on échanger des unités contre 1 dizaine ? », « Combien d’unités y a-t-il dans 1 dizaine ? », « Combien de dizaines y a-t -il en tout ? », « Peut-on échanger des dizaines contre 1 centaine ? », « Combien de dizaines y a-t-il dans 1 centaine ? », « Combien de centaines y a-t-il en tout ? », « Peut-


1 Avec ou sans échange ?20

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Comprendre, poser et effectuer une addition de deux nombres à quatre chiffres avec deux retenues.


Objectifs

Calcul mental Le nombre manquant

Jouez à « remplir les blancs » en posant toutes sortes de devinettes à l’oral ou écrites au tableau. Dites aux élèves : « Je vais vous poser une devinette, et quand je dirai "bip", ce sera à vous de répondre avec le nombre manquant. » Les élèves peuvent répondre à l’oral ou sur leur ardoise. Exemples : • 10, 12, 14, « bip », 18, 20 ; • 20, 25, 30, « bip », 40, 45, 50 ; • 28 – « bip » = 20 ; • 404 + « bip » = 444 ; • 20 × « bip » = 100 ; • 100 ÷ « bip » = 20.

Des élèves encouragés Les élèves peuvent se sentir découragés par l’addition en colonne de nombres à 4 chiffres. Additionner les unités, procéder à un échange si besoin, additionner les dizaines… peut parfois leur paraître une tâche insurmontable. Encouragez-les en leur indiquant qu’additionner des nombres à 4 chiffres n’est pas plus compliqué que d’additionner des nombres à 1 chiffre, comme ils le faisaient il y a deux ans au CP. C’est seulement plus long. En effet, dans chaque colonne, les nombres ne sont pas plus grands que 9, donc la plus grande de toutes les additions qu’ils peuvent rencontrer est 9 + 9 = 18 ou, s’il y a eu un échange dans la colonne précédente, 18 + 1 = 19. Les nombres qu’ils manipulent en additionnant deux nombres sont donc tous inférieurs à 20. Indiquez aux élèves que plus tard, quand ils additionneront trois nombres, ils pourront rencontrer des retenues égales à 2.

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on échanger des centaines contre 1 millier ? » Observez ensuite l’addition d’Alice et guidez les élèves en les questionnant au fur et à mesure : « Que doit-on additionner en premier ? », « Combien y a-t-il d’unités en tout ? », « Combien y a-t-il d’unités dans une dizaine ? », « Peut-on échanger des unités contre 1 dizaine ? », « Que doit-on additionner ensuite ? », etc. N’oubliez pas de demander aux élèves de vérifier, pour chacune des deux additions, si la réponse obtenue est raisonnable. Enfin, pour ne pas perdre de vue le sens des nombres, proposez aux élèves d’effectuer quelques calculs sans poser l’opération, en s’aidant des deux additions qu’ils viennent d’effectuer. Par exemple, à partir de l’addition d’Adèle : 3 146 + 1 275 vaut 1 000 de plus, 2 046 + 1 175 vaut 200 de moins, etc.

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur les pages 36 et 37 du fichier photocopiable. Observez les élèves tandis qu’ils traitent l’exercice 1 et demandez à des volontaires d’expliquer leur stratégie. Faites remarquer que les résultats successifs peuvent se déduire des précédents. Le premier terme de la somme étant invariable, il suffit de lui ajouter successivement 5, puis 50, puis 500, et enfin 5 000 : on ajoute donc toujours « 5 » mais d’abord 5 unités, puis 5 dizaines, 5 centaines, et pour finir, 5 milliers. Dans les exercices 2 et 3, proposez aux élèves qui ont du mal à aligner les chiffres de tracer des petits traits verticaux pour bien séparer les différentes colonnes.

Différenciation Soutien : Prenez une addition posée et demandez aux élèves en diffi-culté de la représenter à l’aide de disques-nombres. Deman-dez pour chaque colonne : « Qu’additionne-t-on : des unités, des dizaines, des centaines ou des milliers ? » Approfondissement : Proposez d’additionner trois nombres avec une ou deux retenues.


• Dans une addition de deux nombres à 4 chiffres, je sais faire des échanges.• Je sais échanger 10 unités, 10 dizaines ou 10 centaines contre 1 dizaine, 1

centaine ou 1 millier respectivement.• Je sais que lorsque j’ai plus de 10 unités, 10 dizaines ou 10 centaines, je dois

échanger 10 unités, 10 dizaines ou 10 centaines contre 1 dizaine, 1 centaine ou 1 millier respectivement.

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Calculons des sommes avec 3 échangesSéance 18


1 Combien d’échanges ? Cette activité reprend et enrichit celle de la séance 17. Ici encore, le but n’est pas d’effectuer des additions, mais de travailler sur les échanges. Pour renforcer la compréhension, les élèves doivent cette fois créer eux-mêmes des additions répondant à certains critères. Répartissez la classe en groupes de trois ou quatre élèves et donnez à chaque groupe une mission : inventer et poser une addition de deux nombres à 4 chiffres dont le calcul nécessite n échanges. Faites varier n de 0 à 3 selon le niveau des groupes. Observez les élèves et incitez-les à vérifier leurs réponses sans effectuer les additions créées, en observant simplement les colonnes successivement. Faites venir des volontaires pour poser leur addition au tableau, le reste de la classe devant valider ou invalider l’opération proposée en fonction du nombre d’échanges imposés. Encouragez les élèves à varier les situations en demandant : « Lorsque l’on fait un seul échange, que peut-on échanger ? » (10 unités, 10 dizaines ou 10 centaines contre 1 dizaine, 1 centaine ou 1 millier respectivement, il y a donc trois sortes d’opérations). Posez la même question pour deux échanges et pour trois échanges. Si certains élèves proposent une addition avec plus de 10 milliers, ne dites pas que c’est impossible. Indiquez que le résultat est un nombre qui s’écrit avec plus de 4 chiffres et qu’ils étudieront de tels nombres plus tard.

2 Étude de la page 34 du fichier 1 Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 34 et projetez la page au tableau. L’exercice 1 propose des additions avec deux échanges : utilisez-le comme « échauffement » en incitant les élèves qui le peuvent à se passer des disques-nombres. Traitez l’exercice 2 en pratique guidée. Questionnez les élèves : « Combien y a-t-il d’unités ? », « Peut-on échanger des unités contre 1 dizaine ? », « Combien d’unités y a-t-il dans 1 dizaine ? », « Combien de dizaines y a-t-il en tout ? », « Peut-on échanger des dizaines contre 1 centaine ? », « Combien de dizaines y a-t-il dans 1 centaine ? », « Combien de centaines y a-t-il en


1 Combien d’échanges ?15

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Comprendre, poser et effectuer une addition de deux nombres à quatre chiffres avec trois retenues.


Objectifs

Calcul mental Les doubles et les moitiés

Les doubles Faites travailler les élèves sur les doubles des nombres inférieurs à 10, qui doivent être au-tomatisés. Revoyez ensuite en quoi les doubles des nombres à 1 chiffre permettent de trouver facilement les doubles des nombres à 2 chiffres. Il est par exemple facile de calculer 20 + 20 lorsqu’on connaît le résultat de 2 + 2 (car 20, c'est 2 dizaines). Inter-rogez les élèves sur les doubles de 30, 40, 50... jusqu’à 100 et prenez le temps de verbaliser la stratégie la plus effi-cace. Si les élèves connaissent bien ces doubles, explorez-en d’autres : le double de 24 (48) est le double de 20 (40) plus le double de 4 (8).Les moitiés Vérifiez que les élèves connaissent les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20. En vous ap-puyant sur ces connaissances, pour-suivez avec des nombres plus grands se terminant par 0, ou 00, ou même 000. Si les élèves connaissent bien ces moitiés, explorez-en d’autres comme la moitié de 222, de 468, ou de 826. Rappelez que chercher la moitié, c’est comme « diviser en deux groupes égaux ». Faites également le lien avec l’expression « une demie de... ».

Des élèves encouragés (2) Dans une addition posée qui néces-site 3 échanges, les élèves peuvent trouver difficile d’avoir à enchaîner les échanges. Encouragez-les en va-lorisant ce qu’ils savent faire : « Vous savez échanger 10 unités contre 1 dizaine ; vous savez échanger 10 dizaines contre 1 centaine… ». Vous les aiderez à prendre conscience du fait suivant : effectuer des échanges successifs n’est pas plus compliqué que de n’en effectuer qu’un seul, il suffit d’avoir compris le processus d’échange et de l’appli-quer autant de fois que nécessaire.

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tout ? », « Peut-on échanger des centaines contre 1 millier ? »Demandez aux élèves en quoi ce calcul diffère de ceux effectués en exercice 1 (il y a trois échanges). Utilisez l’exercice 3 pour évaluer les élèves : reprenez vos explications pour ceux qui en ont besoin, sans quoi, ils perdront vite pied dans l’étude de la soustraction. Cultivez toujours le souci de vérification, en demandant aux élèves de regarder si leur résultat est raisonnable. Par exemple, dans l’exercice 2, la somme doit être inférieure à 5 000 + 2 000. Assurez-vous que les élèves ne perdent pas le sens des nombres et des opérations : la première addition de l’exercice 3 par exemple n’a pas besoin d’être posée.

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur les pages 38 et 39 du fichier photocopiable. Demandez à des volontaires d’expliquer leur stratégie pour l’exercice 1. Faites remarquer que les résultats successifs peuvent se déduire des précédents. Le premier terme de la somme étant invariable, il suffit de lui ajouter successivement 1, puis 20, puis 200, et enfin 2 000.

Différenciation Soutien : Faites poser et effectuer une addition sans échange, telle que 4 213 + 2 561. Faites poser et effectuer à côté 4 213 + 2 568 : il y a maintenant un échange. Poursuivez pour obtenir des additions avec deux puis trois échanges. Approfondissement : Proposez d’additionner trois ou quatre nombres avec trois retenues.


Ateliers autonomesProposez de nouvelles additions à des groupes de 4 ou 5 élèves de niveaux hétérogènes. Distribuez des disques-nombres et demandez aux élèves qui sont à l’aise d’expliquer leur raisonne-ment à ceux qui n’ont pas bien compris. Entendre une explication venant d’un camarade, formulée différemment, peut parfois déclencher la compréhension.

• Dans une addition de deux nombres à 4 chiffres, je sais faire des échanges.

• Dans une addition posée, je sais repérer les échanges qui seront nécessaires pour l’effectuer.

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Calculons des différences sans échangeSéance 19


1 Soustractions successives Répartissez les élèves en binôme et donnez à chacun des disques-nombres. Demandez-leur de représenter le nombre 7 694 puis de lui retrancher 2. Demandez ensuite de retrancher encore 50 puis enfin de retrancher 100. Interrogez les élèves : « Finalement, quel nombre a-t-on retranché à 7 694 ? » Reprenez au tableau les différentes étapes en insistant sur le sens de chaque soustraction : « Retrancher 2, c’est retrancher 2 unités ; retrancher 50, c’est retrancher 5 dizaines ; retrancher 100, c’est retrancher 1 centaine. » Montrez les soustractions successives au tableau (voir figure 1).Demandez ensuite : « Et si l’on retranche encore 4 000, quel nombre aura-t-on finalement retranché de 7 694 ? » puis « Quel nombre obtient-on ? » Demandez ensuite de représenter le nombre 5 832 et faites retrancher successivement 1 unité, 3 dizaines, 2 centaines et 3 milliers. Demandez : « Quel nombre a-t-on finalement retranché de 5 832 ? » Pour finir, demandez de représenter 7 416 et 5 314. Interrogez : « Pour obtenir 5 314, combien d’unités doit-on retrancher de 7 416 ? Combien de dizaines ? Combien de centaines ? Combien de milliers ? » puis « Quel nombre faut-il retrancher de 7 416 pour obtenir 5 314 ? » Composer et décomposer ainsi des soustractions permet une bonne compréhension de l’opération posée sans retenue.

2 Étude de la page 35 du fichier 1 Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 35 et projetez la page au tableau. Demandez-leur de poser la soustraction sur leur ardoise. Faites le lien avec l’activité précédente, et faites-leur soustraire successivement les unités, les dizaines, les centaines et les milliers. Soulignez l’importance de bien aligner les chiffres et insistez sur la signification de chaque colonne : « On soustrait 2 unités de 4 unités. On obtient 2 unités. Où doit-on écrire ces 2 unités ? » et ainsi de suite.Vérifiez avec les élèves que le résultat est raisonnable : 7 694, c’est moins que 8 000. On soustrait plus que 4 000 et 8 000 – 4 000 = 4 000, donc la


1 Soustractions successives20

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Comprendre, poser et effectuer une soustraction de deux nombres à quatre chiffres sans retenue.

Compétence du programme 2016 : Mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour la soustraction.

Objectifs

Calcul mental Les presque-doubles

Proposez aux élèves de revoir les sommes de presque-doubles dont les deux termes sont inférieurs à 10. Travaillez surtout les plus difficiles, c'est-à-dire ceux dont la somme est comprise entre 10 et 20 : 5 + 6, 6 + 7, 7 + 8 et 8 + 9. Ces sommes de la forme n + (n + 1) permettent de trouver fa-cilement les sommes de nombres à 2 chiffres comme 70 + 80 ou 80 + 90. Si les élèves connaissent bien les presque-doubles de la forme n + (n + 1), proposez-leur des sommes de la forme n + (n + 2), telles que 6 + 8 ou 7 + 9. Confrontez les straté-gies des élèves. Par exemple, pour 7 + 9, certains diront : « J'ai appliqué la stratégie "+1/–1" : j'ai ajouté 1 à 7 et retranché 1 à 9 pour obtenir 8 + 8, dont je connais le résultat. » Poursui-vez avec des sommes comme 60 + 80, et même 700 + 900.

Soustraction posée Lorsque l’on soustrait un nombre d’un autre en décomposant le re-tranchement des unités, des dizaines, des centaines et des milliers, on peut effectuer ces retraits dans n’importe quel ordre. Mais lorsque l’on pose l’opération, il faut toujours retran-cher les unités, puis les dizaines, puis les centaines et enfin les milliers. Pourquoi ? Parce que s’il y a une rete-nue sur les unités, les dizaines ou les centaines, elle se reporte sur les di-zaines, les centaines ou les milliers respectivement, et en change donc le calcul.

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différence doit être inférieure à 4 000. Insistez sur l’importance de ce genre de vérification, en demandant : « 6 542 serait-il une réponse raisonnable ? » (Non, trop grand) « Et 2 542 ? » (Non, trop petit). Interrogez : « Que vaut 3 542 + 4 152 ? » Demandez à des élèves volontaires d’expliquer leur réponse à la classe. Orientez la discussion en rappelant que si l’on ajoute puis retranche un même nombre à un nombre donné, on retrouve le nombre de départ. Commencez avec 4 + 2 = 6 et 6 – 2 = 4, et augmentez petit à petit les nombres que vous prenez comme exemples, pour arriver à des nombres de 4 chiffres. Faites calculer 4 152 + 3 542 et 7 694 – 4 152 et effectuez-les au tableau en verbalisant colonne par colonne ce que vous faites. Ces calculs parallèles renforceront la compréhension de la réciprocité des deux techniques opératoires.

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur la page 40 du fichier photocopiable. L’exercice 1 prépare les échanges qui seront effectués dans les trois séances suivantes. Faites observer les liens qui existent entre les différentes questions : la réponse c) se déduit du a) et du b) ; la réponse e) se déduit du c) et du d) ; la réponse f) se déduit du b) et du d). L’exercice 2 permet de calculer des différences sans poser l’opération, en soustrayant 2 unités, 2 dizaines, 2 centaines ou 2 milliers. Amenez les élèves à constater que, le premier terme étant le même, plus le nombre soustrait est grand, plus le résultat est petit. Dans l’exercice 3, certains élèves feront peut-être remarquer que l’on n’a pas toujours besoin de poser les opérations et proposeront d’autres stratégies (par exemple, dans la première soustraction, il suffit de retrancher 1 unité et 4 dizaines). Accueillez favorablement ces propositions.

Différenciation Soutien : Faites poser et effectuer des soustractions avec deux nombres à 3 (voire 2) chiffres aux élèves en difficulté. Insistez sur la signification colonne par colonne. Revenez ensuite à des nombres à 4 chiffres. Approfondissement : Proposez aux élèves avancés d’enchaîner deux soustractions (par exemple 369 – 31 – 25) et de dire par quelle unique soustraction on pourrait les remplacer (369 – 56).


Soustraire de têteDites aux élèves de fermer les yeux et de se concentrer sur le nombre 687 puis de lui soustraire 3. Demandez ensuite de soustraire 30 au résultat obtenu puis 500. Répétez des calculs analogues avec d’autres nombres à 3 ou 4 chiffres.

• Je sais soustraire un nombre d’un nombre à 4 chiffres.

• Dans la soustraction posée, je soustrais d’abord les unités, puis les dizaines, puis les centaines et enfin les milliers.

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Calculons des différences avec 1 échangeSéance 20


1 Avec ou sans échange ? Le but de cette activité n’est pas d’effectuer des soustractions mais de faire comprendre aux élèves quand il y a lieu de faire des échanges ou de ne pas en faire, lorsque l’on pose l’opération. Formez des binômes et distribuez à chacun des disques-nombres. Posez une soustraction au tableau et demandez aux élèves de la représenter à l’aide des disques-nombres. Dites : « Regardez le calcul des unités. A-t-on besoin de faire un échange ? » Faites de même pour les dizaines et les centaines. Dites aux élèves de ne pas effectuer le calcul, mais seulement de dire s’il faut faire un échange ou non. Posez des soustractions sans retenue ou avec une retenue de nombres à 3 chiffres, avant de passer à des nombres à 4 chiffres. Multipliez les exemples : il est impératif que les élèves soient à l’aise avec le processus d’échange, avant d’aborder les soustractions qui en nécessitent plusieurs. Variez les situations et faites observer que lorsqu’une soustraction nécessite de faire un échange, il peut s’agir d’échanger 1 dizaine contre 10 unités, 1 centaine contre 10 dizaines ou 1 millier contre 10 centaines. Il est important de comprendre que quel que soit l’échange effectué parmi ces trois sortes, le processus est exactement le même.

2 Étude des pages 36 et 37 du fichier 1 Demandez aux élèves de représenter 3 245 à l’aide de disques-nombres et posez la soustraction 3 245 – 1 634 au tableau. Demandez : « Que doit-on retrancher en premier ? » puis dites aux élèves d’utiliser leurs disques. « A-t-on assez d’unités pour retrancher 4 unités ? Combien d’unités reste-t-il ? » Revenez à la soustraction écrite au tableau : « Où doit-on écrire l’unité restante ? » Procédez de la même façon pour les dizaines. Demandez ensuite : « A-t-on assez de centaines pour retrancher 6 centaines ? Que devons-nous faire ? » et dites aux élèves de procéder à l’échange avec leurs disques. Continuez : « Combien a-t-on de centaines maintenant ? Et de milliers ? » puis écrivez ces résultats au tableau.Poursuivez : « A-t-on assez de centaines pour retrancher 6 centaines ?


1 Avec ou sans échange ?15

minEn binôme

puis collectif


minCollectif

puis individuel


min Individuel




Comprendre, poser et effectuer une soustraction de deux nombres à quatre chiffres avec une retenue.


Objectifs

Calcul mental Représentations multiples

Écrivez un nombre à 2 chiffres au ta-bleau, par exemple 22, et demandez une représentation de ce nombre. Les choix sont multiples. 22 peut s’écrire comme : • une somme de deux ou plusieurs

nombres (décomposition en dizaines et unités ou autre décomposition) ;

• une différence entre deux nombres (30 – 8 ou 100 – 78) ;

• la moitié d’un nombre (22 est la moi-tié de 44) ;

• le double d’un nombre (22 est le double de 11).

Laissez les élèves explorer d'autres représentations. Autorisez les repré-sentations imagées.Demandez ensuite si 27 est le double d’un autre nombre. La plupart des élèves répondront non, car 27 est im-pair. Certains cependant auront l'idée de dire : « 27 est le double de 13 et demi. »

Soustraction anglo-saxonne La soustraction anglo-saxonne est fondée sur les propriétés de la numération en base 10 ainsi que sur la technique des échanges (1 dizaine contre 10 unités, par exemple). Elle est parfaitement réciproque de la technique de l’addition posée et plus facile à comprendre par les élèves que la soustraction à la française (voir encadré de la séance 15).

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Fichier 1 p. 36

Fichier 1 p. 37


Combien de centaines reste-t-il ? » et notez le résultat au tableau. Terminez de la même façon avec les milliers.Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 36 et projetez la page au tableau. Reprenez pas à pas la soustraction en faisant le lien entre les retraits successifs effectués sur les disques et ce qui est écrit dans l’opération posée. Insistez particulièrement sur l’échange : « On échange 1 millier contre 10 centaines. On a donc 1 millier de moins et 10 centaines de plus, c’est-à-dire 2 milliers et 12 centaines. ». Demandez : « Comment peut-on vérifier si la réponse est raisonnable ? » 3 245, c’est plus que 3 000. On soustrait moins que 2 000 et 3 000 – 2 000 = 1 000, donc la différence doit être supérieure à 1 000. Pour les exercices de la page 37, guidez les élèves qui en ont besoin par un questionnement similaire à ce qui a été fait ci-dessus. Réduisez les questions au fur et à mesure que les élèves progressent. Encouragez ceux qui le peuvent à se passer des disques-nombres. Dans l’opération posée, insistez sur l’alignement des chiffres colonne par colonne.

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur les pages 41 et 42 du fichier photocopiable. Dans l’exercice 1, faites écrire le résultat de l’échange dans l’opération. (Dans le a) par exemple, 8 centaines et 6 dizaines du premier terme sont remplacées par 7 centaines et 16 dizaines.) Autorisez ceux qui en ont besoin à utiliser des disques-nombres et encouragez les autres à s’en passer.

Différenciation Soutien : Faites calculer 53 – 37 à l’aide de disques-nombres, puis 530 – 370, et enfin 5 300 – 3 700 pour aider les élèves à comprendre que le processus d’échange est toujours le même, qu’il s’applique à un millier, une centaine ou une dizaine. Approfondissement : Mettez au défi les élèves qui le peuvent (ou le souhaitent !) de calculer en ligne, ou même de tête, des soustractions avec une retenue.


• Je sais soustraire des nombres de 4 chiffres en échangeant 1 dizaine, 1 centaine ou 1 millier contre 10 unités, 10 dizaines ou 10 centaines respectivement.

• Je sais vérifier si ma réponse est raisonnable.

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Calculons des différences avec 2 échangesSéance 21


1 Familles additives À force de calculer avec de grands nombres, les élèves sont absorbés par les procédures de calcul et risquent de perdre de vue le sens des opérations. Le but de cette activité est de leur rappeler le caractère réciproque de l’addition et de la soustraction, vu dès le CP, d’un double point de vue : sens de l’opération et procédure de calcul. Formez des binômes et distribuez à chacun des disques-nombres. Demandez de représenter le nombre 3 875 puis de lui retrancher 2 551. Écrivez au tableau le résultat : 3 875 – 2 551 = 1 324. Interrogez les élèves : « Que vaut 1 324 + 2 551 » Amenez-les à observer qu’ils ont séparé leurs disques pour soustraire et qu’en les réunissant, ils additionnent. Les élèves ont donc à nouveau le nombre 3 875 représenté avec leurs disques. Demandez : « Que vaut 3 875 – 1 324 ? » puis « Pouvait-on prévoir le résultat ? » et enfin « Que vaut 2 551 + 1 324 ? » Écrivez les quatre opérations au tableau dans l’ordre indiqué ci-dessous. Insistez sur le fait qu’en retranchant puis en ajoutant un même nombre à un nombre donné, on obtient le nombre de départ. Cette propriété permet de vérifier le résultat d’une soustraction en effectuant une addition. Terminez en traçant le schéma « partie-tout » avec lequel on retrouve les deux additions et les deux soustractions qui sont liées.

– 2 551 = 1 324 1 324 + 2 551 =

– 1 324 = 2 551 2 551 + 1 324 =

3 875 3 875

3 875 3 875

2 551 1 324

3 875


Comprendre, poser et effectuer une soustraction de deux nombres à quatre chiffres avec deux retenues.


Objectifs

Calcul mental Décomposer un nombre

Écrivez un nombre à 2 chiffres au tableau, par exemple 67, et deman-dez aux élèves d’écrire ou de donner à l’oral sa décomposition en dizaines et unités (6d + 7u) ou en unités seule-ment (67u). Allez plus loin et deman-dez : « Peut-on décomposer 67 autre-ment en dizaines et unités ? » (Oui ! 5d + 17u ; 4d + 27u ; ... ; 1d + 57u) Faites remarquer que dans la soustraction posée 67 – 29, on décompose 67 en 5d et 17u pour pouvoir ensuite soustraire 29. Poursuivez avec des nombres à 3 chiffres, par exemple 637. Demandez aux élèves d’écrire ou de donner à l’oral sa décomposition en centaines, dizaines et unités (6c + 3d + 7u), en di-zaines et unités seulement (63d + 7u), en centaines et unités seulement (6c + 37u) et enfin en unités seulement. Allez plus loin et demandez d'autres décompositions comme 6c + 2d + 17u. Faites remarquer que dans la sous-traction posée 637 – 429, c'est cette décomposition qui sera privilégiée. Poursuivez l'exercice avec d'autres nombres à 2 ou 3 chiffres.

De gauche à droite et de droite à gauche

Lorsque l’on effectue une soustrac-tion posée, on calcule de droite à gauche : on soustrait d’abord les unités, puis les dizaines, puis les cen-taines et enfin les milliers. Lorsque l’on procède à des échanges, chacun d’eux se fait de gauche à droite : on échange par exemple 1 dizaine contre 10 unités. Cela entraîne une difficulté supplémentaire par rap-port à l’addition posée : en effet, dans cette dernière, les échanges se font aussi de droite à gauche, 10 unités contre 1 dizaine par exemple. Pour apprendre à maîtriser la sous-traction posée, la manipulation est donc encore plus nécessaire que pour l’addition.


1 Familles additives20

minEn binôme

puis collectif


minCollectif

puis individuel


min Individuel



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Fichier 1 p. 38


2 Étude de la page 38 du fichier 1 Demandez aux élèves de représenter 4 734 à l’aide de disques-nombres et posez la soustraction 4 734 – 2 546 au tableau. Interrogez-les : « A-t-on assez d’unités pour retrancher 6 unités ? Que devons-nous faire ? » Dites aux élèves de procéder à l’échange avec leurs disques.Continuez : « Combien a-t-on d’unités maintenant ? Et de dizaines ? » puis écrivez ces résultats sur la soustraction du tableau. Redemandez : « A-t-on assez d’unités pour retrancher 6 unités ? Combien reste-t-il d’unités ? Où doit-on écrire ce résultat ? » et complétez l’opération au tableau. Procédez de la même façon pour les dizaines puis terminez l’opération. Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 38 et projetez la page au tableau. Reprenez pas à pas la soustraction en faisant le lien entre les retraits successifs effectués sur les disques, et ce qui est écrit dans l’opération posée. Insistez particulièrement sur les échanges : « On échange 1 dizaine contre 10 unités. On a donc 1 dizaine de moins et 10 unités de plus, c’est-à-dire 2 dizaines et 14 unités. » Demandez : « Comment peut-on vérifier la réponse ? » Encouragez les élèves à penser à utiliser une addition. Procédez de la même façon pour les exercices suivants en encourageant les élèves qui le peuvent à se passer des disques-nombres. Guidez ceux qui en ont besoin par un questionnement similaire à ce qui a été fait ci-dessus. Réduisez les questions au fur et à mesure que les élèves progressent. Dans l’opération posée, insistez sur l’alignement des chiffres colonne par colonne.

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur la page 43 du fichier photocopiable. Faites écrire le résultat des échanges dans l’opération. (Par exemple dans l’exercice a), 9 dizaines et 1 unité du premier terme sont remplacées par 8 dizaines et 11 unités.) Autorisez ceux qui en ont besoin à utiliser des disques-nombres et encouragez les autres à s’en passer.

Différenciation Soutien : Proposez des soustractions avec un seul échange aux élèves en difficulté. Lorsqu’ils ont bien compris, rassurez-les en disant qu’effectuer une soustraction avec deux échanges n’est pas plus compliqué, seulement plus long. Approfondissement : Mettez au défi les élèves qui le peuvent (ou le souhaitent !) de calculer en ligne, ou même de tête, des soustractions de nombres à 3 chiffres avec deux retenues. Éventuellement, passez à des nombres à 4 chiffres.


Soustraire de têteReprenez l’activité de la séance 19, mais demandez cette fois directement de retrancher 553 de 687. Si les élèves sont à l’aise, augmentez la difficulté avec des nombres à 4 chiffres et des soustractions à une retenue.

• Je sais effectuer une soustraction en procédant à deux échanges.

• Je sais vérifier le résultat d’une soustraction en faisant une addition.

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Calculons des différences avec 3 échanges (1)Séance 22


Plus grand ou plus petit ? • Lorsque le premier terme d’une

soustraction ne change pas, plus le nombre soustrait est grand, plus le résultat est petit. Les nombres 458 – 35, 458 – 67 et 458 – 361 sont ainsi classés en ordre décroissant. Les élèves peuvent comprendre concrètement que si l’on a une quantité initiale donnée, plus on en retire, moins il en reste.

• Lorsque le second terme d’une soustraction ne change pas, plus le premier terme est grand, plus le résultat est grand. Les nombres 579 – 94, 624 – 94 et 806 – 94 sont ainsi classés en ordre croissant. Les élèves peuvent comprendre concrètement que si l’on retire une quantité fixe, plus la quantité initiale est grande, plus il en reste.

• Si l’on augmente ou diminue d’un même nombre les deux termes d’une soustraction, la différence ne change pas. Ainsi, 7 234 – 4 653 = 7 434 – 4 853. Les élèves peuvent voir sur une droite numérique que l’écart entre deux nombres reste le même si l’on déplace ces deux nombres simultanément dans un sens ou dans l’autre.

1 Sans poser l’opération À force de travailler sur les opérations posées, les élèves sont absorbés par les procédures de calcul et risquent de perdre de vue le sens des nombres. Le but de cette activité est de leur rappeler que certaines soustractions peuvent se calculer sans poser l’opération. Répartissez les élèves en petits groupes de trois ou quatre. Écrivez 4 671 – 102 en ligne au tableau et demandez : « Comment peut-on effectuer cette soustraction sans poser l’opération ? » Laissez un temps de réflexion puis demandez à des volontaires d’expliquer ce qu’ils font. Procédez de la même façon avec d’autres soustractions telles que 7 856 – 198 (on retranche 200 puis on ajoute 2), 3 962 – 49 (on retranche 50 puis on ajoute 1) ou 5 723 – 512 (qui ne nécessite aucun échange). Vous pouvez organiser un concours : chaque groupe doit proposer une soustraction qui peut se calculer sans poser l’opération. Après un temps de réflexion, les soustractions sont écrites en ligne au tableau, les élèves cherchent comment les effectuer sans les poser puis ils votent pour choisir l’opération qu’ils préfèrent. Créer soi-même des opérations renforce la compréhension du mécanisme de la soustraction et développe l’habileté à les effectuer. Il est essentiel de saisir tout au long de l’année les occasions de faire jouer les élèves avec les nombres : les enfants qui calculent vite et bien disent souvent que « le calcul, c’est amusant ! »

2 Étude de la page 39 du fichier 1 Distribuez des disques-nombres aux élèves et demandez-leur de représen-ter le nombre 5 352. Posez la soustraction 5 352 – 2 684 au tableau. Demandez : « A-t-on assez d’unités pour retrancher 4 unités ? Que de-vons-nous faire ? » Dites aux élèves de procéder à l’échange avec leurs disques. Poursuivez : « Combien a-t-on d’unités maintenant ? Et de di-zaines ? » Écrivez ces résultats sur la soustraction du tableau. Demandez : « Lorsque l’on soustrait, combien d’unités reste-t-il ? Où doit-on écrire ce résultat ? »


Comprendre, poser et effectuer une soustraction de deux nombres à quatre chiffres avec trois retenues.


Objectifs

Calcul mental Décomposer un nombre

Reprenez l'exercice de la séance pré-cédente mais en ajoutant deux varia-tions : 1) Introduisez des nombres à 4 chiffres.2) Demandez aux élèves d'écrire les nombres donnés sous la forme de sommes. Par exemple, 1 637 = 1 000 + 600 + 30 + 7 ou 1 637 = 1 600 + 30 + 7 ou 1 637 = 1 600 + 37 ou 1 637 = 1 630 + 7. Explorez avec les élèves des décompositions moins évidentes comme 1 637 = 1 500 + 130 + 7.


1 Sans poser l’opération20

minEn groupe

puis collectif


minCollectif

puis individuel


min Individuel



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Fichier 1 p. 39


Procédez de la même façon pour les deux autres échanges. Faites à chaque fois le lien entre l’échange et la modification du premier terme de l’opération posée (après le premier échange, 5 dizaines et 2 unités deviennent 4 dizaines et 12 unités, nombre qui a la même valeur). Demandez à la classe ce que l’on peut faire pour vérifier le résultat. Si les élèves ne le mentionnent pas, amenez-les à dire que l’on peut faire une addition. Faites effectuer cette addition en insistant sur les trois échanges qui interviennent et qui sont symétriques de ceux effectués lors de la soustraction. Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 39 et projetez la page au tableau. Reprenez pas à pas la soustraction d’Idris en faisant le lien entre les retraits successifs effectués sur les disques et ce qui est écrit dans l’opération posée. Insistez particulièrement sur les échanges : « On échange 1 dizaine contre 10 unités. On a donc 1 dizaine de moins et 10 unités de plus, c’est à dire 4 dizaines et 12 unités. »Utilisez le reste de la page pour la différenciation : les élèves avancés peuvent traiter l’exercice 2, les autres directement l’exercice 3. Guidez les élèves qui en ont besoin par un questionnement similaire à ce qui a été fait ci-dessus. Réduisez les questions au fur et à mesure que les élèves progressent. Encouragez ceux qui le peuvent à se passer des disques-nombres. Dans l’opération posée, insistez sur l’alignement des chiffres colonne par colonne. Incitez les élèves, pour certaines questions, à ne pas poser l’opération (par exemple, dans l’exercice 3 b), on retranche 14 puis on retranche encore 1).

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur la page 44 du fichier pho-tocopiable. La répétition des opérations peut paraître fastidieuse, mais la recherche de la réponse à l’énigme motive les élèves.

Différenciation Soutien : Faites effectuer une soustraction avec un échange (348 – 165) en verbalisant l’échange d’une centaine contre dix dizaines tout en l’écrivant. Passez à des nombres de 4 chiffres puis augmentez le nombre d’échanges. Approfondissement : Posez des soustractions, les élèves devant dire combien d’échanges sont nécessaires pour les effectuer.


Plus grand ou plus petit ?Écrivez au tableau la différence 4 785 – 2 923. Proposez d’autres différences et demandez de dire sans effectuer de calcul si elles sont plus grandes que, plus petites que, ou égales à la première. (Exemples : 5 865 – 2 923 ; 4 785 – 2 978 ; 4 795 – 2 933…)

• Je sais effectuer une soustraction en procédant à trois échanges.

• Je sais vérifier le résultat d’une soustraction en faisant une addition.

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Calculons des différences avec 3 échanges (2)Séance 23


Rendu de monnaie Lorsqu’un commerçant rend la monnaie et n’utilise pas de caisse automatique qui lui fait le calcul, il ne fait pas de soustraction, il surcompte. Par exemple, si un client donne un billet de 50 € pour payer un achat de 3 €, le commerçant rend la monnaie en disant : « Et 2 qui font 5 (il donne une pièce de 2 €), et 5 qui font 10 (il donne un billet de 5 €), et 40 qui font 50 (il donne deux billets de 20 €). » Peut-être sans le savoir, le commer-çant utilise la méthode de l’encadré de la page 41 du fichier 1.

1 Avec des disques Formez des binômes. Posez au tableau la soustraction 260 – 35 et demandez aux élèves de l’effectuer. Posez ensuite la soustraction 200 – 35 à côté de la précédente. Laissez un temps de réflexion, distribuez des disques-nombres si nécessaire, puis demandez à des volontaires d’expliquer leurs idées à la classe. Laisser les élèves réfléchir par eux-mêmes avant de leur donner une méthode les encourage à étudier différentes stratégies ; leur faire expliquer leurs idées à la classe les aide à mieux prendre conscience de leur propre processus de réflexion. Effectuez la soustraction tout en les interrogeant : « A-t-on assez d’unités pour retrancher 5 unités ? Que devons-nous faire ? » Soulignez la différence entre les deux soustractions : dans les deux cas, il n’y a pas assez d’unités pour pouvoir en retrancher 5, dans la première opération, on peut échanger 1 dizaine contre 10 unités, mais pas dans la seconde. Poursuivez : « Que peut-on faire ? » (Il nous faut 1 dizaine pour procéder à l’échange, nous devons donc échanger d’abord 1 centaine contre 10 dizaines, puis échanger 1 dizaine contre 10 unités.) Terminez la soustraction au tableau en insistant sur les deux échanges successifs (étapes 1 et 2 ci-dessous) qui peuvent se noter en une seule fois (étape 3) : « On échange 1 centaine contre 10 dizaines, et 1 de ces dizaines contre 10 unités. On échange finalement 1 centaine contre 9 dizaines et 10 unités. » Demandez aux élèves d’effectuer ces échanges avec leurs disques.


Comprendre, poser et effectuer une soustraction de deux nombres à quatre chiffres avec trois retenues : cas particulier des soustractions dans lesquelles le premier terme contient un ou plusieurs zéros.


Objectifs

Calcul mental Que faut-il ajouter/soustraire ?

Que faut-il ajouter ? Faites un rap-pel des acquis du CP/CE1 : les élèves doivent savoir chercher le complé-ment à la dizaine supérieure en calcu-lant des sommes de type 27 + ? = 30. Interrogez ensuite les élèves en utili-sant des nombres à 3 chiffres se ter-minant par 0. Proposez des sommes du type 540 + ? = 600. Établissez le lien avec les compléments à 10 et faites émerger la stratégie la plus ef-ficace. Si le niveau des élèves le per-met, poursuivez avec des sommes plus complexes du type 426 + ? = 500, où il faut d’abord calculer le complé-ment à la dizaine supérieure, puis à la centaine supérieure.

Que faut-il soustraire ? Demandez ce qu’il faut soustraire d’un nombre don-né pour obtenir la dizaine inférieure, puis la centaine inférieure. Commen-cez par des nombres se terminant par 0 : « Que faut-il soustraire de 26 pour obtenir 20 ? » puis : « Que faut-il soustraire de 260 pour obtenir 200 ? » puis enfin : « Que faut-il soustraire de 267 pour obtenir 200 ? » Complexifiez la tâche avec cette proposition : « Que faut-il soustraire de 754 pour obtenir 600 ? »


1 Avec des disques20

minEn binôme

puis collectif


min

Collectif puis individuel ou en binôme


min Individuel



Note : Dans cette séance, on effectue des soustractions dont le premier terme comporte des 0 obligeant à effectuer des échanges en cascade. Certains élèves qui arrivaient jusqu’à présent à s’en passer ressentiront peut-être le besoin d’utiliser à nouveau des disques-nombres.

1 10

2 0 0– 3 5

1 9 10

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9 101 10

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Fichier 1 p. 40

Fichier 1 p. 41


2 Étude des pages 40 et 41 du fichier 1 Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 40 et projetez la page au tableau. Donnez des disques-nombres à ceux qui en ont besoin. Observez la soustraction d’Adèle. Demandez : « A-t-on assez d’unités pour retrancher 5 unités ? Peut-on échanger 1 dizaine contre 10 unités ? Que peut-on faire ? » Faites observer que l’échange d’une centaine contre 9 dizaines et 10 unités permet de soustraire les dizaines et les unités. Interrogez : « Combien reste-t-il de centaines après l’échange ? » puis « Peut-on soustraire 4 centaines d’une centaine ? » Faites procéder à l’échange d’un millier contre 10 centaines et terminez la soustraction. Observez le phylactère d’Adèle et soulignez que la première égalité vient d’un double échange (voir paragraphe 1). Demandez : « Finalement, comment a-t-on écrit le nombre 6 200 pour lui soustraire 435 ? » (5 milliers 11 centaines 9 dizaines et 10 unités) Traitez de façon analogue la deuxième partie de la page 40. Amenez les élèves à écrire que 7 milliers = 6 milliers, 9 centaines, 9 dizaines et 10 unités. Faites observer l’encadré de la page 41. Décomposez la différence entre 267 et 500 en demandant : « Que vaut la différence entre 267 et 270 ? Entre 270 et 300 ? Entre 300 et 500 ? » puis « Que vaut 300 – 267 ? 500 – 300 ? » Les élèves doivent comprendre que les différents déplace-ments se cumulent. Pour la méthode d’Idris, demandez : « Que faut-il re-trancher de 500 pour obtenir 300 ? De 300 pour obtenir 270 ? De 270 pour obtenir 267 ? » Utilisez les exercices 1 et 2 pour la différenciation : les élèves à l’aise à l’exercice 1 peuvent rapidement passer à l’exercice 2. Ceux qui le souhaitent peuvent travailler à deux et échanger leurs idées.

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur la page 45 du fichier photocopiable. Incitez les élèves à l’aise à utiliser tantôt une méthode, tantôt l’autre : la compréhension multiple d’un concept est toujours très enrichissante.

Différenciation Soutien : Distribuez des disques-nombres aux élèves en difficulté et demandez-leur d’écrire 4 centaines, 0 dizaine et 3 unités en faisant apparaître 10 dizaines. Faites ensuite calculer 403 – 27. Approfondissement : Proposez la soustraction à trou suivante : •60• − 1••7 = 1 943.


• Je sais calculer une différence dont le premier terme contient un ou plusieurs zéros.

• Je peux poser l’opération et faire des échanges. Je peux aussi faire des bonds sur une droite numérique.

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Résolvons des problèmes à une étape (1)Séance 24


Modèle en barres Lorsque l’on trace un modèle en barres, il est important que chaque quantité soit « à sa place ». La longueur des barres importe peu par contre. Ainsi pour modéliser le problème de la page 42 du fichier 1, l’élève peut tracer

?2 350

3 588

?2 350

3 588

ou

puisqu’il ne sait pas, a priori, si le nombre qu’il cherche est plus grand ou plus petit que 2 350. En revanche, le modèle

?

2 350 3 588

est inapproprié puisqu’il ne traduit pas correctement les données de l’énoncé.

1 Inventer des problèmes additifs et soustractifs Le but de cette activité est de revoir les différents sens de l’addition et de la soustraction, dont la compréhension est nécessaire pour être efficace en résolution de problèmes. Répartissez les élèves en groupes de trois ou quatre. Écrivez 543 + 537 en ligne au tableau et demandez à chaque groupe d’inventer un énoncé de problème qui peut se résoudre en effectuant cette opération. Faites présenter par les élèves les différents énoncés et rappelez à chaque fois le sens de l’opération utilisée. Par exemple, dans le problème « J’ai 543 timbres. On m’en offre 537. Combien en ai-je maintenant ? », c’est le sens « ajouter » qui est représenté. Dans « J’ai 543 timbres, ma sœur en a 537. Combien en avons-nous à nous deux ? », c’est le sens « réunir ». Procédez de même avec 305 – 173. Par exemple, dans le problème « Le boulanger fabrique 305 pains. Il en vend 173. Combien lui en reste-t-il ? », c’est le sens « retrancher » qui est représenté. Dans le problème « Il y a 305 poissons dans l’aquarium. 173 sont dorés, les autres sont rouges. Combien y a-t-il de poissons rouges ? », c’est le sens « décomposer ». Dans le problème « Alex a 305 €. C’est 173 € de plus que Léo. Quelle somme Léo possède-t-il ? », c’est le sens « comparer ». Inventer des énoncés est une activité très riche, qui procure des bénéfices au-delà des mathématiques. Elle permet de travailler la compréhension du sens des opérations ainsi que l’expression (orale et écrite) ; de plus, elle sollicite l’imagination et motive les élèves en les sortant de la routine des énoncés donnés à résoudre.


Revoir les étapes à suivre lors de la résolution de problèmes, particulièrement « Comprendre » et « Planifier et faire ».

Compétence du programme 2016 : Modéliser des problèmes relevant des structures additives (addition/soustraction).

Objectifs

Calcul mental Multiplier/diviser par 2

Multiplier par 2 Demandez : « Que vaut 2 × 5 ? », « Que vaut 7 × 2 ? » puis variez les formulations : « Que vaut 4 fois 2 ? », « Que vaut 9 multiplié par 2 ? » ou « Que vaut le double de 3 ? » Soulignez le fait que multiplier par 2, c’est calculer le double. Faites égale-ment le lien avec les nombres pairs appris au CE1 : « Le double d'un nombre est un nombre pair car il vaut 2 fois un nombre. » Demandez alors : « Que vaut 2 × 40 ? », « Que vaut 2 × 300 ? » etc.

Diviser par 2 Le partage équitable en deux parties est une autre approche du travail sur les moitiés. Dites : « J’ai 14 pommes, je les répartis en 2 groupes égaux. Combien de pommes y a-t-il dans chaque groupe ? » (7) Pour-suivez avec l'autre modèle de division, le modèle de groupement ou division quotition. Dites : « J'ai 14 pommes, je veux faire des groupes de 2 pommes, combien de groupes puis-je faire ? » (7 aussi !)


1 Inventer des problèmes additifs et soustractifs

30 min

En groupe puis collectif

2 Étude des pages 42 à 44 du fichier 1 30

minCollectif, en binôme

puis individuel

Fichier 1 : pp. 42-44

Note : La note de service du 25 avril 2018 insiste sur la nécessité « de conduire, année après année, et dès le plus jeune âge, un travail structuré et régulier pour faire acquérir aux élèves les connaissances et compétences leur permettant : de comprendre le problème posé ; d'établir une stratégie pour le résoudre, en s'appuyant sur un schéma ou un tableau, en décomposant le problème en sous-problèmes, en faisant des essais, en partant de ce que l'on veut trouver, en faisant des analogies avec un modèle connu ; de mettre en œuvre la stratégie établie ; de prendre du recul sur leur travail…» C’est exactement ce que propose la méthode de Singapour.

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Fichier 1 p. 42

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2 Étude des pages 42 à 44 du fichier 1 Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 42 et projetez la page au tableau. Faites lire à voix haute chaque phrase de l’énoncé du problème d’Alice. Assurez-vous que tout le vocabulaire est bien connu et expliquez les mots nouveaux si besoin. Posez les questions d’Idris et ajoutez-en éventuellement d’autres, telles que : « Chaque visiteur a-t-il reçu un cadeau ? » Expliquez que les deux catégories de visiteurs (avec ou sans cadeaux) peuvent être représentées sur un modèle en barres. Demandez d’expliquer chacune des trois données du modèle (3 588 / 2 350 / ?) et insistez sur le fait que le modèle aide à comprendre que l’on cherche l’une des deux parties d’un tout : il aide à choisir l’opération à utiliser. Amenez les élèves à faire une estimation pour s’assurer du caractère raisonnable de leur réponse. Formez des binômes et proposez-leur de retracer les étapes suivies pour résoudre le problème. Demandez à un volontaire d’expliquer à la classe ces étapes. Vous aiderez ainsi les élèves à ne pas suivre passivement un schéma de résolution, mais à prendre conscience de l’importance de chacune des étapes. Dans chaque problème pages 43 et 44 du fichier 1, il ne s’agit pas d’effectuer une résolution complète, mais d’insister sur l’une des étapes. Pour les problèmes 1 à 3, faites lire attentivement l’énoncé et demandez aux élèves de répondre aux questions posées par le personnage. Vous pouvez poser d’autres questions, par exemple, dans le problème 1 : « Qu’est-ce que la somme de deux nombres ? » ou « Pouvez-vous donner un nombre plus petit que 3 450 ? » Pour les problèmes 4 à 6, aidez les élèves à comprendre le choix du modèle (partie-tout ou comparaison), faites compléter puis effectuer l’opération.

Différenciation Soutien : Reprenez les différentes étapes de la résolution de problèmes avec des énoncés très simples (vocabulaire, nombres mis en jeu). Approfondissement : Reprenez le problème 3 page 43 du fichier 1. Demandez : « Si la visite de Rome coûte 487 €, la réponse change-t-elle ? Et si cette visite coûte 587 € ? Quels sont tous les prix pour la visite de Rome qui ne changent pas la réponse ? »


Additions déduitesÉcrivez au tableau 3 569 + 6 238 = 9 807 et demandez d’en déduire les résultats des opérations : 3 669 + 6 238 (100 de plus) ; 3 569 + 3 238 (3 000 de moins) ; 3 269 + 6 538 (identique) ; etc.Demandez aux élèves d’inventer des additions déduites à faire deviner à leurs camarades.

• Je comprends les différentes étapes de la résolution d’un problème.

• Je dois bien lire l’énoncé.• Je peux me poser des questions

pour m’aider à comprendre l’énoncé.

• Je peux m’aider d’un modèle en barres.

• Je dois vérifier si ma réponse est raisonnable.

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Résolvons des problèmes à une étape (2)Séance 25


L’infini L’infini est une notion complexe à comprendre pour des élèves de CE2. Plus tard, lorsqu’ils manipuleront de plus grands nombres, ils compren-dront que quel que soit le nombre donné, on peut toujours en trouver un plus grand : il suffit de lui ajouter 1 !Dans l’activité d’invention de pro-blèmes à partir d’une opération ou d’un modèle en barres, les élèves se rendent compte qu’ils peuvent créer une infinité d’énoncés, que quel que soit le nombre d’énoncés déjà créés, ils peuvent toujours en créer un de plus !

1 Inventer des problèmes additifs et soustractifs Comme en séance 24, les élèves vont inventer des énoncés de problèmes, sauf que cette fois-ci, le point de départ n’est pas une opération mais un modèle en barres. Répartissez les élèves en groupes de trois ou quatre. Tracez un modèle en barres au tableau (voir ci-dessous) et demandez à chaque groupe d’inventer un énoncé de problème à partir des informations données par ce modèle.

Observez attentivement les problèmes proposés : ils vous permettront d’identifier les difficultés et les mauvaises compréhensions. Incitez les élèves à utiliser de temps en temps des unités dans leurs énoncés (€, m, kg, etc.). Demandez à un volontaire dans chaque groupe de lire l’énoncé inventé et faites-le valider ou invalider par la classe : en quoi correspond-il ou ne correspond-il pas au modèle ? Soulignez le fait qu’à partir d’un modèle donné, on peut créer des énoncés très différents. Le comprendre, c’est faire un pas vers l’abstraction : tout comme une opération, un modèle représente une abstraction qui correspond à une infinité de situations concrètes.


Revoir les étapes à suivre lors de la résolution de problèmes, particulièrement « Planifier et faire » et « Vérifier ».

Compétence du programme 2016 : Modéliser des problèmes relevant des structures additives (addition/soustraction).

Objectifs

Calcul mental

Multiplier/diviser par 5

Multiplier par 5 Demandez, en variant les formula-tions : « Que vaut 2 fois 5 ? » « Que vaut 7 multiplié par 5 ? », « Que vaut le triple de 5 ? », « Quel est le pro-duit de 5 et 6 ? », « Quel est le ré-sultat de la multiplication de 4 par 5 ? » Dites que, pour multiplier par 5, il est parfois plus facile de multiplier par 10 puis de diviser par 2, puis de-mandez de calculer 5 × 12. Demandez enfin : « Que vaut 5 × 30 ? », « Que vaut 5 × 300 ? » etc.

Diviser par 5 Revoyez avec les élèves les deux sens de la division.• Partager équitablement : « J’ai 35

pommes, je les répartis en 5 groupes égaux. Combien de pommes y a-t-il dans chaque groupe ? » (7)

• Trouver le nombre de groupes égaux : « J'ai 35 pommes, je veux faire des groupes de 5 pommes, combien de groupes puis-je faire ? » (7 aussi !)

Dites à vos élèves que, pour diviser par 5, il est parfois plus facile de di-viser par 10 puis de multiplier par 2, puis demandez de calculer 80 ÷ 5.


1 Inventer des problèmes additifs et soustractifs

20 min

En groupe puis collectif


min Collectif


min Individuel


Matériel pédagogique : 25 jetons par élève

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180

215 651

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115 ?

195

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Fichier 1 p. 45

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2 Étude des pages 45 et 46 du fichier 1 Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 45 et projetez la page au tableau. Pour chaque problème, faites lire l’énoncé à voix haute et assurez-vous qu’il soit compris. Dans chaque exercice, posez des questions pour valider le modèle proposé. Faites compléter le modèle avec les données de l’énoncé, puis faites écrire sur le fichier l’opération choisie. N’exigez pas systématiquement d’effectuer l’opération. Les problèmes 1 et 2 sont des problèmes de comparaison. Pour le problème 1, demandez : « Qui a payé sa croisière plus cher, Julie ou Nora ? » puis « La réponse doit-elle être plus grande ou plus petite que 2 835 ? » Pour le problème 2, demandez : « Les personnes ayant pris l’avion sont-elles plus nombreuses ou moins nombreuses que celles ayant pris le bateau ? » Le problème 3 est fondé sur un modèle « partie-tout ». Demandez : « Cherche-t-on une partie ou le tout ? Doit-on additionner ou soustraire ? » Passez à la page 46 du fichier 1. Vérifier est une étape importante de la résolution de problèmes. Encouragez les élèves à partager leur façon de vérifier et acceptez toutes les réponses raisonnables. Incitez-les à estimer leur réponse pour vérifier. Dans le problème 4, 896 est très proche de 900, 265 est plus grand que 200, la réponse doit donc être plus grande que 1 100 : Idris s’est trompé. Dans le problème 5, la réponse est raisonnable. Dans le problème 6, la réponse doit être plus grande que 1 320 : Alice s’est trompée. Si vous avez le temps, demandez aux élèves de résoudre quelques-uns de ces trois problèmes.

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur la page 46 du fichier photocopiable. Insistez sur l’importance de chaque étape. « Comprendre » permet de s’assurer que l’énoncé est bien interprété et aide à choisir le bon modèle en barres. En effet, la modélisation n’est pas une procédure automatique, elle découle d’une réflexion. Alice a plus de timbres que Maël, donc dans le modèle de comparaison, la plus grande barre doit représenter les timbres d’Alice. « Vérifier » permet de voir que parmi les deux réponses proposées, l’une est raisonnable et l’autre non. C’est une étape incontournable dans une démarche scientifique.

Différenciation Soutien : Reprenez des énoncés de problèmes et aidez les élèves en difficulté en leur posant davantage de questions. « Qui est plus grand ? », « Y a-t-il plus ou moins de... que de… ? », « Cherche-t-on une partie ou le tout ? », « Pensez-vous que la réponse sera plus grande que… », etc. Approfondissement : Demandez de transformer l’énoncé du problème page 46 du fichier photocopiable afin qu’il corresponde au modèle en barres d’Adèle.


• Je sais mettre en œuvre les différentes étapes de la résolution d’un problème.• Je sais que la vérification est une étape importante : elle peut m’aider à

détecter des erreurs.

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Résolvons des problèmes à deux étapesSéance 26


Mathématiques et français Devenir performant en mathéma-tiques ne requiert pas que du travail « exclusivement mathématique ». Une bonne maîtrise de la langue française est indispensable, à la fois pour comprendre les énoncés et pour rédiger les réponses. Un vocabulaire riche et précis ainsi qu’une syntaxe rigoureuse sont es-sentiels à l’élaboration d’une pensée scientifique féconde et juste.

1 Plus ou moins ? Cette activité a pour but de faire prendre conscience aux élèves de la nécessité de bien réfléchir au choix d’une opération pour résoudre un problème, et de ne pas fonctionner par « mots-clés ». Répartissez les élèves en groupes de trois ou quatre. Écrivez au tableau l’énoncé suivant : « Julia a 39 billes. C’est 15 de plus que Paul. Combien Paul a-t-il de billes ? » et demandez aux enfants de résoudre le problème. Insistez sur la justification du choix de l’opération utilisée. Faites observer que l’énoncé contient le mot « plus » mais que l’on n’additionne pas. Demandez ensuite aux élèves de créer un énoncé de problème contenant « moins » et qui ne se résout pas à l’aide d’une soustraction. Par exemple : « Thomas a 45 ans. C’est 6 ans de moins que Marc. Quel âge Marc a-t-il ? » Poursuivez en proposant d’inventer des énoncés avec des mots tels que « ajouter », « augmenter », « recevoir » / « soustraire », « diminuer », « enlever » et qui ne se résolvent pas avec une addition / une soustraction.

2 Étude des pages 47 et 48 du fichier 1 Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 47 et projetez la page au tableau. Faites lire à voix haute l’énoncé et assurez-vous que tout le monde le comprend. Faites lire les questions de Maël et demandez aux élèves de discuter des réponses à apporter à chacune d’elles. Vérifiez qu’ils comprennent que les adultes et les enfants forment l’ensemble des visiteurs. Faites le lien entre la compréhension de l’énoncé (les données et ce que l’on cherche) et les modèles en barres utilisés (choix du modèle, retranscription des informations). Soulignez le fait que la réponse à la question a) donne une nouvelle information qui permet de répondre à la question b). Traitez de la même façon le problème 1 page 48 en faisant remarquer que le modèle en barres proposé combine les deux modèles utilisés pour répondre aux questions a) et b). Insistez sur la signification de l’accolade verticale : c’est


Résoudre des problèmes à deux étapes.

Compétence du programme 2016 : Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer.

Objectifs

Calcul mental

Maths et dominos

Prenez un domino au hasard et mon-trez-le aux élèves en le maintenant ho-rizontalement. Dites que le nombre de points à gauche correspond à un pre-mier nombre et le nombre de points à droite à un deuxième nombre. Invitez les élèves à donner la somme des 2 nombres. Ensuite, sur leur ardoise, demandez-leur d’écrire les 4 égalités de la famille additive. Exemple pour le domino 4/6 :4 + 6 = 106 + 4 = 1010 – 4 = 610 – 6 = 4

Poursuivez avec deux nombres à 2 chiffres. Pour cela, maintenez hori-zontalement deux dominos et dites que dans chaque cas, le nombre de points à gauche correspond au chiffre des dizaines et le nombre de points à droite au chiffre des unités. Par exemple, le domino 4/6 donne 46 et le domino 1/3 donne 13. Les 4 égalités sont donc : 46 + 13 = 5913 + 46 = 5959 – 13 = 4659 – 46 = 13.


1 Plus ou moins ?20

minEn groupe

puis collectif


min

Collectif puis individuel ou en groupe


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Fichier 1 p. 47

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la somme des quantités représentées par les deux barres. Vous pouvez revenir sur le problème de la page 47 et demander à un volontaire de venir tracer au tableau un modèle en barres unique permettant d’illustrer les deux questions. Les problèmes 2 et 3 sont plus difficiles car répondre à la question nécessite un calcul préalable non explicité : le nombre d’enfants. Pour le problème 3, les élèves peuvent réfléchir à plusieurs. Amenez-les à se poser la question : « De quelle information a-t-on besoin pour répondre ? » Dans chaque problème, incitez les élèves à vérifier la pertinence de leur résultat.

3 Pratique autonomeFaites travailler les élèves individuellement sur les pages 47 et 48 du fichier photocopiable. Dans les problèmes 1 et 2, aidez les élèves qui en ont besoin à repérer sur le modèle en barres où sont les données de l’énoncé, et à quelle question correspond chacun des deux points d’interrogation. Autorisez les élèves en difficulté à tracer deux modèles en barres séparés. Pour le problème 3, aidez par vos questions ceux qui en ont besoin : « Qui a dépensé le plus ? », « Que doit-on calculer d’abord ? » Dans le problème 4, certains élèves trouveront naturel de calculer directement 890 + 238 – 136, sans utiliser de modèle. Ne les en empêchez pas. Formez enfin des binômes pour l’exercice 5.

Différenciation Soutien : Posez des énoncés de problèmes à deux étapes avec de très petits nombres pour focaliser l’attention des élèves en difficulté uniquement sur la compréhension du problème et non sur le calcul. Approfondissement : Proposez aux élèves avancés d’inventer des énoncés de problèmes à deux étapes, d’abord avec deux questions enchaînées, puis avec une seule question, une étape étant « cachée ».


Soustractions déduitesÉcrivez au tableau 7 564 – 4 936 = 2 628 et demandez d’en déduire les résultats des opérations : 7 664 − 4 936 (100 de plus) ; 7 564 − 5 936 (1 000 de moins) ; 7 574 − 4 946 (identique) ; etc.Demandez aux élèves d’inventer des soustractions déduites à faire deviner à leurs camarades.

• Je sais résoudre un problème à deux étapes.

• Je sais que la réponse à une question peut m’apporter des informations utiles pour la suite.

• Je sais que je dois quelquefois chercher une information qui me manque pour répondre à une question.

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Ce que j’ai appris Assurez-vous que les élèves sachent pourquoi ils ont appris à modéliser des problèmes. La modélisation leur permet de visualiser les problèmes additifs et soustractifs, d’en comprendre le sens et de les résoudre avec succès. Faites observer les modèles d’Adèle page 49 du fichier 1 et demandez aux élèves de dire quels sont leurs points communs et leurs différences. (Les deux modélisent une somme, le premier est un mo-dèle combiné, tandis que le second est un modèle « partie-tout ».) Rappelez que dans chacun des modèles, les deux barres peuvent être échangées : l’important est que chaque quantité soit « à sa place ». Faites observer les modèles « partie-tout » d’Idris et demandez quelle différence ils permettent de modéliser. (La différence entre le tout et l’une des parties.) Passez au modèle de comparaison et demandez ce que représente chacune des barres. (Deux quantités : la plus grande et la plus petite.) Proposez aux élèves de retrouver parmi les problèmes traités dans les pages 44 à 48 chaque sorte de modèle. Reprenez rapide-ment comme exemple le problème 1 page 48 et insistez sur l’avantage du modèle combiné qui permet de répondre à deux questions. Faites lire le phylactère de Maël et demandez aux élèves de dire quel est, selon eux, le but de chaque étape de la résolution de problème. Insistez sur la vérification, qui permet de détecter une erreur et donc de la corriger : en avoir conscience contribue à dédramatiser le fait de se tromper.

Faire le point sur ce que les élèves ont appris et compris à la fin de l’unité 2. Proposer trois activités au choix : « Jouons avec les maths », « Explorons » et « Mon journal ».

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Jouons avec les maths Loin de 5 000 !

Lisez attentivement les règles avec la classe pour vous assurer qu’elles sont bien comprises. Jouez une partie avec les élèves en guise de démons-tration. À chaque fois que les élèves tirent leurs quatre cartes, interrogez : « Quels nombres peut-on faire ? Le-quel va-t-on choisir ? » Faites ensuite jouer une partie par les élèves puis discutez de la stratégie : comment choisir les nombres pour obtenir la plus grande différence avec 5 000 ? Soulignez que l’on peut former des nombres plus grands ou plus petits que 5 000. Le meilleur choix est soit le plus petit nombre possible inférieur à 5 000, soit le plus grand nombre pos-sible supérieur à 5 000.

Explorons Demandez aux élèves d’expliquer pourquoi toutes les sommes calculées à la question a) sont égales. Aidez-les à s’organiser dans la question b) pour trouver les seize nombres : par exemple, écrire le seul nombre com-portant quatre 1, puis les nombres comportant trois 1, etc., ou bien com-mencer par écrire tous les nombres à deux chiffres composés des chiffres 1 et 2 puis passer aux nombres à trois chiffres en ajoutant 1 ou 2 devant chaque nombre, et enfin aux nombres à quatre chiffres. Laissez les élèves ré-fléchir sur le carré magique et propo-ser leurs idées. Si nécessaire, aidez-les en les incitant à compléter en premier une ligne ou une colonne qui com-porte déjà trois nombres puis en pour-suivant selon le même principe. Une fois le nombre magique trouvé (6 666) demandez : « Pouvait-on le prévoir ? »

Mon journal Demandez aux élèves d’expliquer la consigne afin de vous assurer qu’ils l’aient bien comprise. Clarifiez la signification de « entre 8 000 et 8 100 » en interrogeant : « Pouvez- vous me donner des nombres com-pris entre 8 000 et 8 100 ? 8 044 est-il compris entre 8 000 et 8 100 ? Et 8 000 ? Et 8 100 ? » Laissez les élèves réfléchir à une stratégie et lorsqu’ils l’ont trouvée, proposez-leur de la partager avec la classe : les élèves peuvent suggérer de procéder par essai-erreur ou d’utiliser une sous-traction. Encouragez-les à vérifier leur réponse. Lorsque plusieurs élèves ont répondu, insistez sur le fait qu’il y a plusieurs réponses pos-sibles à la question posée : les élèves sont en effet peu habitués à ce type de problème.

Bilan de l'unité 2Séance 27


Unité 2 : L’addition et la soustraction jusqu’à 10 000€¦ · En théorie, il n’est pas...

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