Unidad 2 Programacion Lineal Grafico

7/26/2019 Unidad 2 Programacion Lineal Grafico

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MSC: ING. JORGE GALIANO D 1

LIBRO GUIA


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Unidad 2.- PROGRAMACION LINEAL

2.1 Revisin de desigualdades e inecuaciones2.2 Funciones, Lneas rectas, sistemas de ecuaciones, intersecciones, grafico de ecuaciones, rea

solucin2.3 Interpretacin del mtodo grfico.2.4 Modelos de optimizacin: Maximizacin2.4.1 Planteamiento de modelos de problemas, maximizacin2.4.2 Restricciones, condiciones de no negatividad, grficas representativas, anlisis de soluciones2.4.3Anlisis de sensibilidad y recursos2.5 Modelos de optimizacin: Minimizacin2.5.1 Planteamiento de modelos para problemas de minimizacin2.5.2 Restricciones, condiciones de no negatividad, grficas representativas, anlisis de soluciones en

minimizacin2.5.3Anlisis de sensibilidad y recursos para minimizacin, interpretacin2.6 Modelos de optimizacin: casos de Maximizacin y minimizacin, aplicaciones

ANALISIS DE RECURSOS

SOLUCION OPTIMA

INFORMACIONPROBLEMA

INECUACIONES MODELO

RESTRICCIONES OBJETIVO

MINIMIZACION

MAXIMIZACION

RECURSOS

VARIABLES

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

METODO GRAFICO


SOLUCION OPTIMA

INFORMACIONPROBLEMA

INECUACIONES MODELO

RESTRICCIONES OBJETIVO

MINIMIZACION

MAXIMIZACION

RECURSOS

VARIABLES


METODO GRAFICO


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FASES DE UN ESTUDIO

Para el mtodo grfico, ubicar los cuadrantes, para el caso de la programacin lineal solamente se utiliza

el primer cuadrante

FORMULACION DEL

PROBLEMA

NECESIDAD DE

REORGANIZACION

SISTEMA DE INTERES

TOMA DE DECISIONES

IMPLEMENTACION Y

CONTROL

INTERPRETACION DE

RESULTADOS E

INTERPRETACIONES

CONSTRUCCION DEL

MODELO

MODELO DEL SISTEMA REAL

OBTENCION DE DATOS

SOLUCION DEL MODELO

VALIDACION DEL MODELO


Segundocuadrante

Primercuadrante

Tercercuadrante

Cuartocuadrante

(+,+)(-,+)

(-,-)(+,-)

X

Y


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Una recta divide en dos semiplanos

x

y

553 yx553 yx

5

5

3

y

x

X

Y=ax+b

Y

SEMIPLANOSUPERIOR

SEMIPLANOINFERIOR


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Condiciones de linealidad para Programacin Lineal (PL)

Funcin objetivo.

MAX (MIN) Z=

n

j

XjCj1

Funcin desarrollada . . = + + + + Z = Objetivo del problemaCj = mrgenes de contribucin unitarios (ganancias, precios, costos, ingresos, etc.)Xj = Variables de decisin objeto del problema (incgnitas). j = 1,2,3,..,n.

Variables de decisin.

= () =1,2 ,3 , ,

Limitaciones o Restricciones.-

33333232131

22323222121

11313212111

...........

...........

............

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

nn

nn

nn

: : : : :

: : : : :

mnmnmmm bxaxaxaxa ..........332211

n = nmero de variables de decisin

m = nmero de restricciones

= coeficiente que corresponde a recursos utilizados en forma proporcional por cada variable Xj(coeficientes tcnicos o estadsticos)

bi = cantidades que corresponden a los recursos disponibles (valores que determinan el signo >, 12

x y


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0Xj

Optimalidad.- Son soluciones que se van obteniendo por aproximaciones sucesivas (iteraciones)

- Solucin Factible, SF, aquella que satisface las restricciones del problema

- Solucin Bsica Factible, SBF, aquella que satisface las restricciones del problema dando soloresultados positivos.

- Solucin Optima Factible, SOF, aquella que satisface tanto las restricciones como la funcinobjetivo del problema (optimizacin)

Mtodo Grfico.- Es la solucin grafica bidimensional de un modelo de programacin lineal con dos

variables de decisin, sin importar el nmero de restricciones. Para la aplicacin de este mtodo es

conveniente recordar todas las condiciones estudiadas para la graficacin de desigualdades y contornos

hasta alcanzar al rea solucin que es la que satisface las restricciones para valores positivos.

Determinar:

- Datos.- Informacin completa, que facilita su comprensin mediante tablas- Variables.- De acuerdo a lo solicitado a resolver especificar las incgnitas a encontrar en su

desarrollo, definiendo sus dimensiones. No olvidar que son variables de carcter no negativo.- Funcin objetivo.- Puede ser un problema de maximizacin o minimizacin que permita alcanzar

el punto optimo, por lo cual se define la expresin segn sea el caso a resolver.- Restricciones.- Son expresiones que relacionan los recursos que se requieren y limitan su

solucin, de acuerdo al caso de estudio.- Fijar el modelo y resolverlo.

Ejemplo de programacin lineal mtodo grfico

La compaa Maderas del Sur fabrica bates de bisbol y juegos de ajedrez. Cada bate de bisbol produce

una utilidad incremental de $2 y cada juego de ajedrez $4. Un bate de bisbol requiere 4 horas de

procesamiento en el centro de mquinas A y dos horas en el centro de mquinas B. Un juego de ajedrez

requiere seis horas en el centro de mquinas A, seis hora en las mquinas B y una hora en el centro de

mquinas C. El centro de mquinas A tiene un mximo de 120 horas de capacidad disponible, el centro

de mquinas B tiene 72 horas y el centro de mquinas C dispone de 10 horas. Si la compaa desea elevar

al mximo las utilidades, Cuntos bates de bisbol y cuantos juegos de ajedrez se deben producir porda?

1.- DATOS

2.- VARIABLES

X: Nmero de bates de bisbol a producir por da (u/da)

Y: Nmero de juegos de ajedrez a producir por da (u/da)

3.- FUNCIN OBJETIVO

4 $/u2 $/uUtilidad unitaria

10 h1 h/u-Mquinas C

72 h6 h/u2 h/uMquinas B

120 h6 h/u4 h/uMquinas A

DisponibilidadJuegos deajedrez

Bates debisbol

4 $/u2 $/uUtilidad unitaria

10 h1 h/u-Mquinas C

72 h6 h/u2 h/uMquinas B

120 h6 h/u4 h/uMquinas A

DisponibilidadJuegos deajedrez

Bates debisbol


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. = $ + $ . = + $ 4.- RESTRICIONES

Centro de mquinas A; 4 + 6 120 Centro de mquinas B; 2 + 6 72 Centro de mquinas C; 10

X, Y >= 0 (condiciones de no negatividad)

Modelo:. = +s.a. 4 + 6 1202 + 6 72

10Resolucin:

4 + 6 120

2 + 6 72


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Unificando las soluciones parciales de cada uno de los grficos en su interseccin se tiene la siguiente

rea solucin

El polgono del rea solucin tiene varios vrtices que pueden ser los puntos ptimos, para lo cual se utiliza

las lneas paralelas de la funcin objetivo de modo que el punto ms saliente del rea ser considerado el

ptimo, en forma analtica se deben calcular los puntos esquina del polgono y evaluarlos con la funcin

objetivo para determinar exactamente su valor.

El grfico final se muestra a continuacin:

La utilidad diaria sera de 64 dlares

EJERCICIO INTEGRAL RESUELTO

Manufacturas Ecuatorianas (ME) es un fabricante de equipo y material de golf. El distribuidor deME cree que existe un mercado tanto para una bolsa de golf de precio moderado, llamado modeloestndar, como para una bolsa de golf de un precio alto, llamado modelo de lujo. El distribuidortiene tanta confianza en el mercado que, si Manufacturas Ecuatorianas puede fabricar las bolsasa un precio competitivo, comprar todas las bolsas que ME fabrique durante los tres mesessiguientes. Un anlisis detallado de los requerimientos de manufactura dio como resultado la tablasiguiente, la cual muestra los requerimientos de tiempo de produccin para las cuatro operaciones

de manufactura requeridas y la estimacin que hizo el departamento de contabilidad de lacontribucin a las utilidades por bolsa:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Y

X

: 0.0 X + 1.0 Y = 10.0

: 4.0 X + 6.0 Y = 120.0: 2.0 X + 6.0 Y = 72.0

: 0.0X + 1.0Y


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El director de manufactura estima que se dispondr de 630 horas de corte y teido, 600 horas decostura, 708 horas de acabado y 135 horas de inspeccin y empaque para la produccin de lasbolsas de golf durante los tres meses siguientesa.- Si la empresa quiere maximizar la contribucin total a las utilidades, Cuntas bolsas de cadamodelo debe fabricar?b.- Qu contribucin a las utilidades puede obtener Manufacturas Ecuatorianas con estascantidades de produccin?c.- Cuntas horas de produccin se programarn para cada operacin?d.- Cul es el tiempo de holgura en cada operacin?e.- Cul es el anlisis de sensibilidad de los coeficientes de la funcin objetivo?

I.- DATOS

II.- VARIABLES

X: Nmero de bolsas de golf de Modelo Estndar

Y: Nmero de bolsas de golf de Modelo de Lujo

III.- FUNCION OBJETIVO

=10 $()+9( $)()=10+9($)

IV.- RESTRICCIONES

Corte y Teido:

+ 6 3 0Costura:

+ 6 0 0

Terminado: + 7 0 8

Producto

Corte y

Teido Costura Terminado

Inspeccin

y empaque

Utilidad

por bolsa

Estndar 07/10 1/2 1 1/10 $ 10

Lujo 1 5/6 2/3 1/4 $ 9

Tiempo de produccin (horas)

Producto

Corte y

Teido Costura Terminado

Inspeccin

y empaque

Utilidad

por bolsa

Estndar 07/10 1/2 1 1/10 $ 10

Lujo 1 5/6 2/3 1/4 $ 9

Disponible


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Inspeccin y empaque:

+ 1 3 5RESUMEN DEL MODELO: =10+9

+ 6 3 0 + 6 0 0 + 7 0 8

+ 1 3 5 0; 0

RESOLUCION

Corte y Teido:

+ 6 3 0

Costura: + 6 0 0

Terminado: + 7 0 8

Inspeccin y empaque:

+ 1 3 5

X y

0 630

900 0

X y

0 720

1200 0

X Y

708 0

0 1062


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Grfico con el GLP

Puntos de los vrtices del rea solucin y obteniendo los valores de la funcin objetivo

A.-

0

135

4

1

10

1

x

yx Entonces

540

y A (0; 540)

B.

63010

7

1354

1

10

1

yx

yx

Entonces336

420

y

x B (420; 336)

C.

63010

7

7083

2

yx

yx

Entonces252

540

y

x C (540; 252)

D.

X Y

1350 0

0 540

0 35 70 105 140 175 210 245 280 315 350 385 420 455 490 525 560 595 630 665 700

027

5481

108135

162189

216243

270297

324351

378405

432459

486513

540y

x

: 0.7 x + 1.0 y = 630.0

: 0.5 x + 0.8 y = 600.0

: 1.0 x + 0.7 y = 708.0

: 0.1 x + 0.3 y = 135.0

Payoff: 10.0 x + 9.0 y = 7668.0

Optimal Decisions(x,y): (540.0, 252.0)

: 0.7x + 1.0y


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0

7083

2

y

yx Entonces

0

708

y

x D (708; 0)

Reemplazando en la funcin objetivo

yxZMax 910.

4860)540(9)0(10 AZ

7224)336(9)420(10 BZ

7668)252(9)540(10 cZ Valor mximo

7080)0(9)708(10 DZ

Por lo tanto, en el valor mximo de utilidades cuando:

X = 540bolsas de golf modelo Estndar Y = 252bolsas de golf modelo de Lujo

Z = 7668 $de utilidades


Utilizar la solucin ptima C (540; 252)

Corte y Teido: + 6 3 0

630252)540(10

7

630630 , entonces se utiliza todo el tiempo de corte

Recurso escaso

Costura: + 6 0 0

600480

600)252(6

5)540(

2

1

Entonces, sobran 120 horas, del tiempo de costura

Recurso abundante


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Terminado: + 7 0 8

708)252(3

2540

708708 , entonces se utiliza todo el tiempo de terminado

Recurso escaso

Inspeccin y empaque: + 1 3 5

135)252(4

1)540(

10

1

135117

Entonces, sobran 18 horas, del tiempo de empaque

Recurso abundante


yxZ 910 , en general yCxCZ 21 , donde, 101C 92C

22

1

C

Zx

C

Cy , entonces la pendiente es

2

1

C

Cm

Para el anlisis de sensibilidad se debe utilizar el punto mximo que es en el punto C (540, 252)con las ecuaciones que lo conforman

63010

7

7083

2

yx

yx

1.- 7083

2 yx 472

2

3 xy , entonces

2

3m

Por lo tanto2

1

2

3

C

Cm ;

2

1

2

3

C

C

Si 101C ,2

10

2

3

C

3

202C


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Si 92C ,92

3 1C 2

271C

2.- 63010

7 yx

630

10

7 xy , entonces

10

7m

Por lo tanto2

1

10

7

C

Cm ;

2

1

10

7

C

C

Si 101C ,2

10

10

7

C

7

1002 C

Si 92C ,910

7 1C 10

631C

La variacin de los coeficientes de la funcin objetivo se muestra en la siguiente tabla:

USANDO EL WINQSB

DATOS

GRAFICO

Mximo Original Mnimo

C1 13,5 10 6,3

C2 14,28 9 6,67


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SOLUCION GENERAL



A

B

C

D

VALOR MAXIMO


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USANDO EL POM FOR WINDOWS

ANALISIS DE VARIACION

PUNTOS ESQUINA CON EL VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO

GRAFICO DEL POM FOR WINDOWS

X1 X2 Z

0 0 0A 0 540 4860B 300 420 6780C 540 252 7668 MAXIMO

D 708 0 7080

Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper BoundX1 540 0 10 6,3 13,5X2 252 0 9 6,67 14,29

Constraint Shadow Price Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound

Constraint 1 4,38 0 630 495,6 682,36Constraint 2 0 120 600 480 Infinity

Constraint 3 6,94 0 708 580 900Constraint 4 0 18 135 117 Infinity

X1 X2 RHS Shadow PriceMaximize 10 9

Constraint 1 0,7 1


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USANDO EL EXCEL OMSOLVER

EJERCICIO RESUELTO

El administrador de la exportadora Frutas S.A., acude a productores a comprar naranjas con 5000dlares. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 0.5 dlares el Kg. y las de tipo B a 0.8dlares el Kg. El espacio para almacenamiento est dispuesto para 12 unidades por cada kilo de

A y 5 unidades por cada kilo de las naranjas B, conociendo que se dispone de un espacio para60000 unidades. Sabiendo que slo dispone de su camin con espacio para transportar 7000 Kg.de naranjas como mximo y que piensa vender el Kg. de naranjas tipo A a 0.58 dlares. y e l Kg.de tipo B a 0.90 dlares, contestar justificando las respuestas:a. Cuntos Kg. de naranjas de cada tipo deber comprar para obtener mxima utilidad?b. Cul ser ese beneficio mximo?

c. Realizar el anlisis de recursos y sensibilidad

I.- Datos

II.- Variables

X: nmero de kilogramos de naranjas tipo AY: nmero de kilogramos de naranjas tipo B

III.- Funcin Objetivo

. = 0.08 [$/. ] [. ] + 0.10 [$/. ] [. ]Max. Z= 0.08 X +0.10 Y($)

IV.- Restricciones

Capacidad 1. 7000yx

Presupuesto 2. 50008.05.0 x

Bodega 3. 60000512 yx No negatividad 4. 0;0 yx

Capacidad Costo Precio Utilidad Bodega

TIPO "A" 0,5 $/kgA 0,58 $/kgA 0,08 $/kgA 12 u/kgATIPO "B" 0,8 $/kgB 0,90 $/kgB 0,10 $/kgB 5 u/kgB

Presupuesto


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Modelo Max. yxZ 10.008.0 7000yx

50008.05.0 yx

60000512 yx

0;0 yx

Utilizando el GLP para su grfico y el anlisis de las inecuaciones

+ 7 0 0 0

0,5+0,85000 12+560000


M(0; 6250) )6250(10.0)0(08.0 MZ 625MZ

N(2000; 5000) )5000(10.0)2000(08.0 NZ 660NZ Optimo (valor mximo)

P (25000/7; 24000/7) )7

24000(10.0)7

25000(08.0 PZ 57.628PZ

Q (5000; 0) )0(10.0)5000(08.0 QZ 400QZ

Entonces, el punto N es el mximo valor de la funcin objetivo


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Solucin: Se debe comprar 2000 Kg. de naranjas tipo A y 5000 Kg. de naranjas tipo B, para obtener un

mximo beneficio de 660$

Anlisis de recursos

Utilizamos la solucin ptima: X= 2000 y Y = 5000

Capacidad

1. 7000yx

700050002000 70007000 Recurso escaso, se utiliza toda la capacidad del vehculo

Presupuesto2. 50008.05.0 yx

5000)5000(8.0)2000(5.0

50005000 Recurso escaso, se utiliza todo el presupuesto de compraBodega

3. 60000512 yx

60000)5000(5)2000(12

6000049000 Recurso abundante, quedo espacio para almacenamiento en la

bodega para 11000 unidades.

Anlisis de sensibilidad

La funcin objetivo tiene la forma: yCxCZ 21

Despejando22

1

C

Zx

C

Cy

Entonces, la pendiente de la ecuacin lineal es:2

1

C

Cm

Para el anlisis de sensibilidad debemos determinar las lneas que forman en su interseccin la solucin

ptima.

Capacidad 1. 7000yx

7000 xy , la pendiente es: 1m

Entonces, igualando las pendientes con la de la funcin objetivo se tiene:

Igualar las pendientes 12

1 C

C, luego 1

2

1 C

C

Si 08.01C , entonces, 108.0

2

C

luego 08.02 C


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Si 10.02C , entonces, 110.0

1 C

luego 10.01C

Presupuesto 2. 50008.05.0 yx

62508

5 xy , la pendiente es:

8

5m

Entonces, igualando las pendientes con la de la funcin objetivo se tiene:

Igualar las pendientes8

5

2

1 C

C, luego

8

5

2

1 C

C

Si 08.01C , entonces,8

508.0

2

C

luego 128.02 C

Si 10.02 C , entonces,8

5

10.0

1 C

luego 0625.01C

En resumen, el anlisis de sensibilidad de los coeficientes de la funcin objetivo:

Resolucin usando el WINQSB

Datos

Grfico, rea solucin

Coeficiente Mnimo Original Mximo

C1 0,0625 0,08 0,10

C2 0,08 0,10 0,128


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Solucin general

Anlisis de recursos

Anlisis de sensibilidad

Ejercicio de Aplicacin de maximizacin

La empresa Hemisferio Central produce dos artculos A y B. La produccin de estos artculos requiere dos

tipos de maquinaria: cortadora y ensambladora. Para fabricar el artculo A, la seccin de corte puede hacer

7000 unidades de A por hora puede hacer de B 3000 unidades por hora las combinaciones

correspondientes. El proceso de ensamblaje permite hacer 5000 unidades de A por hora 4000 unidades

de B por hora las combinaciones correspondientes. Los costos de fabricacin de cada artculo son $5

para A y $7 para B, y los precios de los artculos son $5,3 por unidad de A y $7,5 por unidad de B. La

empresa ha realizado la investigacin de mercado y encuentra que se pueden vender hasta 175000unidades de A por semana y hasta 98000 unidades de B por semana. La Compaa no desea tener

inventario, entonces la produccin es la venta estimada.

a) Las secciones de corte como de terminado pueden trabajar 44 horas por semana. Cul seria elmodelo que permita planear en forma ptima esta produccin para la mxima utilidad?

b) Qu ocurre en esta empresa si trabaja la seccin de corte 52 horas a la semana, y quemodificaciones tiene?

c) Si el articulo A puede bajar su costo de fabricacin a $4.5 por unidad de A, Cul es el nuevoprograma ptimo de produccin manteniendo 44 horas por semana?

d) Manteniendo las condiciones de a) cul es el anlisis de sensibilidad y de recursos?


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RESOLUCION

I.- Datos

Tiempo de corte a la semana 44 h/s Tiempo de ensamblaje a la semana 44 h/s

II.- Variables

X: nmero de unidades del artculo A por semana (uA/s)

Y: nmero de unidades del artculo B por semana (uB/s)

III.- Funcin objetivo

Mx. U = 0.3 ($/uA) X (uA/s) + 0.5 ($/uB) Y (uB/s) Mx. U = 0.3 X + 0.5 Y ($/s)

IV.- Restricciones o limitaciones

1.- Corte 4430007000

YX

)(44

)(

)(

3000)(

)(

7000 s

h

h

us

u

Y

h

us

u

X

B

B

A

A

Entonces, + 132000

2.- Ensamblaje 4440005000

YX

)(44

)(

)(

4000)(

)(

5000 s

h

hu

s

u

Y

hu

s

u

X

B

B

A

A

Entonces, + 1760003.- Mercado A X (uA/s) 175000 (uA/s)

1750004.- Mercado B Y (uB/s) 98000 (uB/s)

98000

0.50.3Utilidad unitaria ($/u)


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5.- Condiciones de No negatividad

0; 0Resumen del modelo

F.O. .=0,3+0,5Restricciones

+ 132000 + 176000 17500098000 0; 0

Desarrollo

a) Utilizando el programa GLP, encontrar la solucin ptima

Puntos del polgono de soluciones, identificar los vrtices o esquinas del rea solucin.

M (0; 98000)

N (79333.3; 98000)

T (118461.54; 81230.77) punto mximo de la funcin objetivo segn el grfico

R (175000; 36000)

S (175000; 0)

0 874917498262473499643745524946124369992787418749096239104988113737122486131235139984148733157482166231174980

-2

4898

9798

14698

19598

24498

29398

34298

39198

44098

48998

53898

58798

63698

68598

7349878398

83298

88198

93098

97998Y

X

: 0.4 X + 1.0 Y = 132000.0

: 0.8 X + 1.0 Y = 176000.0

: 1.0 X + 0.0 Y = 175000.0

: 0.0 X + 1.0 Y = 98000.0

Payoff: 0.3 X + 0.5 Y = 76153.8

Optimal Decisions(X,Y): (118461.5, 81230.8)

: 0.4X + 1.0Y


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.=0,3+0,5UM= 49000

UN= 72800

UT= 76153.85 mximo

UR= 70500

US= 52500

La fabricacin semanal mxima ocurre cuando la produccin del artculo A es de 118461.54 unidades y la

produccin del articulo B es de 81230.77 unidades, obteniendo una utilidad mxima de 76153.85

($/semana), que sera el punto ptimo.

b) Si la seccin de corte tiene 52 (h/s)

1.- Corte 5230007000

YX

)(52

)(

)(

3000)(

)(

7000 s

h

h

us

u

Y

h

us

u

X

B

B

A

A

Entonces, + 156000

2.- Ensamblaje 4440005000

YX

)(44

)(

)(

5000)(

)(

5000 s

h

h

us

u

Y

h

us

u

X

B

B

A

A

Entonces, + 1760003.- Mercado A X (uA/s) 175000 (uA/s)

175000

4.- Mercado B Y (uB/s) 98000 (uB/s)

98000

5.- Condiciones de No negatividad

X 0 Y 0


25/39


Resumen del modelo

F.O. Mx. U = 0.3 X + 0.5 Y

Restricciones + 156000 + 176000

17500098000 0;

0

La solucin grafica con el cambio de tiempo semanal de trabajo en el departamento de corte, se observa

que la condicin de la restriccin de corte no interviene en la formacin del rea solucin, por lo cual no

forma parte de la solucin ptima.


E (0; 98000)

F (97500; 98000) punto mximo de la funcin objetivo segn el grfico

G (175000; 36000)

H (175000; 0)

Mx. U = 0.3 X + 0.5 Y

UE= 49000

0 874917498262473499643745524946124369992787418749096239104988113737122486131235139984148733157482166231174980

0

4900

9800

14700

19600

24500

29400

34300

3920044100

490005390058800

63700

6860073500

78400

83300

88200

93100

98000Y

X

: 0.4 X + 1.0 Y = 156000.0

: 0.8 X + 1.0 Y = 176000.0

: 1.0 X + 0.0 Y = 175000.0

: 0.0 X + 1.0 Y = 98000.0

Payoff: 0.3 X + 0.5 Y = 78250.0


: 0.4X + 1.0Y


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UF= 78250 mximo

UG= 70500

UH= 52500

Con la modificacin en la seccin de corte la nueva fabricacin semanal mxima ocurre cuando la

produccin del artculo A es de 97500 unidades y la produccin del artculo B son de 98000 unidades,

obteniendo una utilidad mxima de 78250 ($/semana), que sera el punto ptimo.

c.- Si el articulo A puede bajar su costo de fabricacin a 4.5 $/u, y manteniendo las 44 (h/s) en laseccin de corte

El modelo seria: F.O. .=0,8+0,5Restricciones + 132000

+ 176000 17500098000 0; 0

El rea solucin de la parte a) no se modifica, porque solo afecta a la inclinacin de la funcin objetivo

0.50.3Utilidad unitaria ($/u)


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M (0; 98000)

N (79333.3; 98000)

T (118461.54; 81230.77)

R (175000; 36000) punto mximo de la funcin objetivo segn el grfico

S (175000; 0)

.=0,8+0,5 UM= 49000

UN= 112466.67

UT= 135384.6

UR= 158000 mximo

US= 140000

La fabricacin semanal mxima ocurre cuando la produccin del artculo A es de 175000 unidades y la

produccin del articulo B es de 36000 unidades, obteniendo una utilidad mxima de 158000 ($/semana),

que sera el punto ptimo.

a) Anlisis de recursos,con la solucin ptima comprobar si los recursos son utilizados en su totalidado si queda algn sobrante.Como, la solucin es: X = 118461.54

Y = 81230.77

1.- Corte

+ 44, + , 44

44 44

Entonces, el tiempo de la seccin de corte es un recurso escaso, porque utiliza todo el tiempo disponible

en este departamento, no puede existir una falla en las mquinas de corte por que ocasionara un cambio

en el ptimo, cambiando la solucin.

2.- Ensamblaje + 44


28/39


, + , 44

44 44

Entonces, el tiempo de la seccin de ensamblaje es un recurso escaso, porque utiliza todo el tiempo

disponible en este departamento, no puede existir una falla en las mquinas de ensamblaje por que

ocasionara un cambio en el ptimo, cambiando la solucin.

3.- Mercado A (/) 175000 (/) 175000118461.54 175000

El mercado para el artculo A es un recurso abundante porque con la produccin actual no se logra cubrir

las 175000 unidades disponibles, por lo tanto se puede incrementar la produccin en (175000118461)56538.46 unidades, adicionalmente se debe analizar si esto es factible fsicamente por que con el nmero

de unidades actuales se alcanz el ptimo.

4.- Mercado B (/) 98000 (/) 9800081230.77 98000

El mercado para el artculo B es un recurso abundante porque con la produccin actual no se logra cubrir

las 98000 unidades disponibles, por lo tanto se puede incrementar la produccin en (9800081230,77)16769.23 unidades, adicionalmente se debe analizar si esto es factible fsicamente porque con el nmero

de unidades actuales se alcanz el ptimo.

Anlisis de sensibilidad, para los coeficientes de la funcin objetivo.

Funcin Objetivo . = 0.3 + 0.5

Restricciones + 132000

+ 176000

175000


29/39


98000 0; 0

La funcin objetivo tiene la forma: = + Despejando

22

1

C

UX

C

CY entonces, la pendiente de la ecuacin lineal es:

2

1

C

Cm


ptima.

1.- La recta de la seccin de corte

Y -7

3X + 156000 su pendiente m =

7

3


1

7

3

C

C

Si C1= 0.3

Entonces,2

3.0

7

3

C C2= 0.7

Si C2= 0.5

Entonces,

5.07

3 1C C1= 0.214286

2.- La recta de la seccin de ensamblaje

+ 176000 su pendiente m = 54


1

5

4

C

C

Si C1= 0.3

Entonces,2

3.0

5

4

C C2= 0.375

Si C2= 0.5

Entonces,5.05

4 1C C1= 0.4



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Esto indica que la utilidad unitaria del articulo A puede variar desde 0.214286 hasta 0.4 $ por unidad sinque cambie el nivel ptimo de produccin encontrado para X=118461.54 y Y=81230.77 unidades, pero es

importante recalcar que el valor de la funcin objetivo si cambia. Solamente el nivel de produccin no

cambia dentro del intervalo encontrado. Lo mismo sucede con el artculo B que su coeficiente solo puede

variar desde 0.375 hasta 0.7 sin cambiar el nivel de produccin.

Usando el WINQSB, ingresamos los datos en Linear and Integer Programming

Ejercicio de Aplicacin de minimizacin

Una empresa avcola compra y consume dos tipos de alimentos balanceados que son A y B, cuyos

respectivos costos son 50$ por kilogramo de A y 25$ por kilogramo de B. Al estudiar la dieta de las aves se

hallo que como mnimo haba que suministrarles 8 kilogramos de avena, 19 Kg. de arroz en cscara y 7

Kg. de maz especial. Supondremos el contenido de estos alimentos en la siguiente tabla:

Cantidad Alimento A Alimento B


C1 0,214286 0,3 0,4

C2 0,375 0,5 0,7


31/39


Avena 0.1 0.3

Arroz 0.3 0.4

Maz 0.3 0.1

a) Determinar la dieta ptima que satisfaga los requerimientos estipulados al mnimo costo.b) Realizar el anlisis de recursosc) Realizar el anlisis de sensibilidad de los coeficientes de la funcin objetivo

I.- Tabulacin

II.- VariablesX: nmero de kilogramos de alimento AY: nmero de kilogramos de alimento B

III.- Funcin Objetivo .=50+25 ($)

IV.- Restricciones

1. Avena 0,1+0,382. Arroz 0,3+0,4 193. Maz 0,3+0,1 74- 0; 0

a) Utilizando el GLP

Cantidad Alimento A Alimento B Requerimiento

Avena 0.1 Kg. avena/Kg. A 0.3 Kg. avena/Kg. B 8 Kg. avena

Arroz 0.3 Kg. arroz/Kg. A 0.4 Kg. arroz/Kg. B 19 Kg. arroz

Maz 0.3 Kg. maz/Kg. A 0.1 Kg. maz/Kg. B 7 Kg. maz

Costo $/Kg. 50 25

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80

03691215182124273033363942454851545760636669

Y

X

avena: 0.1 X + 0.3 Y = 8.0

arroz: 0.3 X + 0.4 Y = 19.0

maz: 0.3 X + 0.1 Y = 7.0

Payoff: 50.0 X + 25.0 Y = 1500.0


avena: 0.1X + 0.3Y >= 8.0

arroz: 0.3X + 0.4Y >= 19.0

maz: 0.3X + 0.1Y >= 7.0

C

D

E

F

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80

03691215182124273033363942454851545760636669

Y

X

avena: 0.1 X + 0.3 Y = 8.0

arroz: 0.3 X + 0.4 Y = 19.0

maz: 0.3 X + 0.1 Y = 7.0

Payoff: 50.0 X + 25.0 Y = 1500.0


avena: 0.1X + 0.3Y >= 8.0

arroz: 0.3X + 0.4Y >= 19.0

maz: 0.3X + 0.1Y >= 7.0

C

D

E

F


32/39



C (0; 70) ZC = 1750

D (10; 40) ZD = 1500 mnimo en X=10, Y=40

E (50; 10) ZE = 2750

F (80; 0) ZF = 4000

Los requerimientos de alimento balanceado A son de 10 kilogramos y 40 kilogramos de alimento B, esto

minimiza la funcin objetivo del costo a $1500

b) Anlisis de recursos

Avena 0,1+0,380,1(10) +0,3(40)81 3 8

La avena ser un recurso abundante, porque se est alimentando de sobra por tener un exceso de 5

kilogramos de avena.

Arroz 0.3 X + 0.4 Y 19

0.3 (10) + 0.4 (40)

19

19 19

El arroz ser un recurso escaso, porque se est alimentando de manera justa, porque no existe la

posibilidad de desperdiciar o perder alimento por los requerimientos de alimentacin de las aves.

Maz 0.3 X + 0.1 Y 7

0.3 (10) + 0.1 (40) 7

7 7

El maz ser un recurso escaso, porque se est alimentando de manera justa, porque no existe la

posibilidad de desperdiciar o perder alimento por los requerimientos de alimentacin de las aves.

b) Anlisis de sensibilidadLa funcin objetivo tiene la forma: C = C1X + C2Y

Despejando

22

1

C

CX

C

CY Entonces, la pendiente de la ecuacin lineal es:

2

1

C

Cm


33/39



ptima.

1.- Arroz Y -4

3X + 47.5 su pendiente m =

4

3


1

4

3

C

C

Si C1= 50 Entonces,2

50

4

3

C C2= 66.67


3 1C C1= 18.75

2.- La recta del recurso del maz Y -3X + 70 su pendiente m = -3


13CC


503

C C2= 16.67


3 1C

C1= 75


El costo del alimento A puede variar desde 18.75 hasta 75 $/Kg., el costo del alimento B variara desde

16.67 hasta 66.67 $/Kg. sin variar la cantidad optima encontrada de X=10 Y=40.


C1 18,75 50 75C2 16,67 25 66,67


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Ejercicios, asumir 0 , 0 1. . = 3 + 5

2 + 3 0 0+4 800+2 5002. . = + 4

+ 2 8 + 6 1 2 2

3. . = 2 8

2 1 2 + 2 + 1 0 4. .=70+50

4 + 5 2 03 + 1 06 + 1 5


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Ejercicios, encuentre los valores mximo y mnimo de la funcin lineal (,), asumir 0 , 0 5.- (, ) = 3 + 6

2 4 + 3 62 23 + 2 1 8

6.- (, ) = 4 3 + 1 23 2 63 + 4 3 03 2 3

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 6 millones de dlares y el costode una casa de tipo A es de 130000$ y 80000 una de tipo B. El nmero de casas de tipo A ha de ser, almenos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a $160000y cada una de tipo B en $100000. Resolverlo grficamente Cuntas casas de cada tipo debe construirpara obtener el beneficio mximo? Cul es el mximo beneficio? Realizar el anlisis de recursos y el

anlisis de sensibilidad de los coeficientes de la funcin objetivo.

2.- Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 buses de 40plazas y 10 buses de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un bus grande cuesta150 dlares y un pequeo 100 dlares. Calcular cuntos de cada tipo hay que utilizar para que la excursinresulte lo ms econmico posible para la escuela.

3.- El administrador de la exportadora Frutas S.A., acude a productores a comprar naranjas con 5000dlares. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 0.5 dlares el Kg. y las de tipo B a 0.8 dlaresel Kg. El espacio para almacenamiento est dispuesto para 12 unidades por cada kilo de A y 5 unidadespor cada kilo de las naranjas B, conociendo que se dispone de un espacio para 60000 unidades. Sabiendoque slo dispone de su camin con espacio para transportar 7000 Kg. de naranjas como mximo y que

piensa vender el Kg. de naranjas tipo A a 0.58 dlares. y el Kg. de tipo B a 0.90 dlares, contestarjustificando las respuestas:a. Cuntos Kg. de naranjas de cada tipo deber comprar para obtener mxima utilidad?b. Cul ser ese beneficio mximo?c. Realizar el anlisis de recursos y sensibilidad

4.- La compaa Pavos Festivos S.A. est considerando la compra de dos clases de alimentos para pavos.Cada alimento contiene, en proporciones variables, todo o alguno de los tres ingredientes nutritivosesenciales para el engorde de pavos. La comida de la marca Y cuesta 0,02 dlares por libra, mientras quela comida de la marca Z cuesta 0,03 dlares por libra. Al empresario le gustara determinar la dieta que leocasione el menor gasto y cuya racin cubra las necesidades nutritivas mnimas mensuales para cada

ingrediente. La tabla siguiente contiene informacin relevante acerca de la composicin de la marca decomida Y y Z, as como sobre la necesidad de cada ingrediente por cada pavo.


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Para su resolucin utilice el mtodo grfico, incluir el anlisis de recursos y sensibilidad con suinterpretacin prctica.

5.- Una campaa para promocionar una marca de productos lcteos se basa en el reparto gratuito deyogures con sabor a limn o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yogures. Cada yogurt de limnnecesita para su elaboracin 0,5 gr. de un producto de fermentacin y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr.de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de ese producto para fermentacin. El coste de produccinde un yogurt de fresa es doble que el de un yogurt de limn. Cuntos yogures de cada tipo se deben

producir para que el costo de la campaa sea mnimo?

6.- ECUATONY produce dos quesos untables al mezclar queso cheddar suave con cheddar extra fino. Losquesos untables se empacan en envases de 12 onzas que se venden a distribuidores de toda la costaecuatoriana. La mezcla Regular contiene 80% de queso cheddar suave y 20% de queso cheddar extra fino,y la mezcla Zesty contiene 60% de cheddar suave y 40% de extra fino. Este ao la cooperativa lecheraofreci proporcionar hasta 8100 libras de queso cheddar suave por $1.20 la libra y hasta 3000 libras dequeso cheddar extra fino por $1.40 la libra. El costo de mezclar y empacar los quesos untables, sin incluirel costo del queso, es $0.20 por envase. Si cada envase de queso Regular se vende en $1.95 y cadaenvase de queso Zesty se vende en $2.20, cuntos envases de cada producto debe producirECUATONY?

7.- Un editor est imprimiendo libros que puede ser de edicin de lujo o edicin barata. Las ganancias son:$16 en cada libro de lujo y $12 en cada edicin barata. Toma tres minutos empastar la unidad de edicinde lujo y 2 minutos la edicin barata. El tiempo disponible para empastar es de 800 horas. De acuerdo a suexperiencia el editor sabe que l necesita al menos 10000 unidades en edicin de lujo y no ms de 6000en edicin barata. Encuentre el nmero de unidades en cada edicin que deben ser impresas para obtenerla mxima ganancia. Realizar el anlisis de recursos y sensibilidad

8.- Una Ca. fbrica dos productos, Alfa y Beta. El volumen de ventas de Alfa es por lo menos 80% de lasventas totales de Alfa y Beta. Sin embargo, la Ca. no puede vender mas de 100 unidades de Alfa por da.Los dos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad mxima diaria se limita a 240 libras al da.

Las proporciones de la util izacin de la materia prima son de 2 libras para cada unidad de Alfa y de 4 libraspara cada unidad de Beta. Los precios unitarios de Alfa y Beta son de 20 y 50 dlares, respectivamente.Determine la mezcla ptima de los dos productos Grafique y ubique el punto que maximiza las ventas Cuales la mxima ganancia? Realice un anlisis de recursos y de sensibilidad para los coeficientes de la funcinobjetivos e interprete sus resultados

9.- El almacn ONE tiene un surt ido de 1300 pares de jeans diseados y 1700 pares de la marca genrica,los cuales van a ser enviados a dos almacenes: un sitio de gran escala y un almacn de descuentos Eldepsito recibe una utilidad de 14.25 $ por cada par de "jeans" diseados y 12.50 $ por cada par con lamarca genrica de jeans en el sitio de gran escala. La utilidad que le corresponde al almacn de descuentoses de $ 4.80 y de $ 3.40 por par. El sitio de gran escala, sin embargo, puede llevar a lo sumo 1800 paresde jeans, mientras el almacn de descuentos tiene cabida para un mximo de 2500 pares. Encuentre elnmero de pares tanto de jeans diseados, como de marca genrica que el depsito debe enviar a cadaalmacn para maximizar la utilidad total, cul es la ganancia mxima?

Ingrediente Alimento marca Y Alimento marca Z Necesidad minima mensual

A 5 onzas 10 onzas 90 onzas

B 4 onzas 3 onzas 48 onzasC 0,5 onzas 0 onzas 1,5 onzas

Costo/libra 0,02 dlares 0,03 dlares

Composicin de cada libra de alimento


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10.- A un paciente se le informa que su dosis diaria de vitaminas debe ser por lo menos 6 unidades de A,4 unidades de B y 18 unidades de C, pero no ms de 12 unidades de A, 8 unidades de B y 56 unidades deC. Encuentra que en una farmacia venden dos marcas OXI y EMY de vitaminas mltiples que contienenlas vitaminas necesarias. Una capsula de la marca OXI contiene una unidad de A, 1 unidad de B, y 7unidades de C, y cuesta 50 centavos. Una capsula de la marca EMY contiene 3 unidades de A, 1 unidadde B, y 2 unidades de C, y cuesta 60 centavos. a) Cuantas capsulas de cada marca debe tomar cada dapara minimizar su costo? b) Grafique y ubique el punto que minimiza los costos c) Cual es el mnimo costo?d) Realice un anlisis de sensibilidad para los coeficientes de la funcin objetivo e interprete sus resultados

11.- Se est preparando una dieta para los estudiantes de la Universidad Tecnolgica. El objetivo esalimentar a los estudiantes al menor costo posible, pero la dieta debe estar entre 1800 y 3600 caloras. Noms de 1400 caloras pueden ser harinas, y no menos de 400 tienen que ser protenas. La dieta variadadebe componerse de dos alimentos: A y B. El alimento A cuesta $ 0.75 la libra y contiene 600 caloras,

400 de las cuales son protenas y 200 harinas. No se pueden utilizar ms de dos libras de alimento A porresidente. El alimento B cuesta $0.15 la libra y contiene 900 caloras, de las cuales 700 corresponden aharinas, 100 a protenas y 100 a grasa. Determinar las cantidades que deben usar de cada alimento paraoptimizar las operaciones. Realice un estudio global de la dieta y que sugerencias dara a la Universidad.Determinar los anlisis de recursos

12.- La fbrica El Bosque produce dos tipos de muebles finos Deluxe y Fantasa. Dispone de un taller detorneado, el mismo que est en capacidad de procesar 25 unidades/hora del tipo Deluxe o 40 unidades porhora del tipo Fantasa, siendo el costo de operacin por hora de $20000; de un taller de lijado que puedeprocesar 28 unidades/hora de Deluxe o 35 unidades /hora de Fantasa y su costo por hora es de $14000;y de un taller de pintura que puede atender a 35 unidades/hora de Deluxe o 25 unidades/hora de Fantasay su costo por hora es de $17500. El precio de venta de una unidad de tipo Deluxe es de $5000 y el de una

unidad de Fantasa es de $4000. Cuntas unidades de cada tipo debe producir para obtener la mximaganancia? Cul es esa ganancia? Realice el anlisis de recursos y sensibilidad. De un comentario sobrela decisin que tomara si es gerente de esta compaa.

13.- Cermicas Ecuatorianas para una produccin por hora dispone de suficiente arcilla como para fabricar24 cermicas pequeas o 6 cermicas grandes. Sin embargo, slo tiene una cierta cantidad de componentecristalino para vidriar 16 de las cermicas pequeas u 8 de las cermicas grandes. Las cermicas pequeasse venden a 3 dlares cada una y las grandes a 9 dlares. Resuelva el problema de forma de optimizarlos ingresos por la combinacin adecuada de produccin por hora. Realizar el anlisis de recursos ysensibilidad

14.- El departamento de movilidad ha decidido aadir exactamente 200 kilmetros de carretera y

exactamente 100 de autopista a su sistema vial este ao. El precio estndar para construccin de caminoses de un milln por kilmetro de carretera y de cinco millones por kilmetro de autopista. Solo doscontratistas, la compaa Andes y la compaa del Sur, pueden realizar esta clase de construccin, as quelos 300 kilmetros de camino deben ser construidos por estas compaas. Sin embargo, la compaa Andespuede construir a lo ms 200 kilmetros de camino (carretera y autopista) y la compaa del Sur puedeconstruir a lo ms 150 kilmetros. Por razones polticas, a cada compaa debe adjudicrsele un contratode al menos 250 millones (antes de descuentos). La compaa Andes ofrece un descuento de mil dlarespor kilmetro de carretera y de seis mil dlares por kilmetro de autopista, la compaa del Sur ofrece undescuento de dos mil dlares por kilmetro de carretera y de cinco mil dlares por kilmetro de autopista.El departamento de carreteras desea maximizar el descuento total.

15.- Una Cia. Fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas

totales de A y B. Sin embargo, la Cia. no puede vender ms de 100 unidades de A por da. Los dosproductos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad mxima diaria se limita a 240 libras al da. Las


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proporciones de la utilizacin de la materia prima son de 2 libras para cada unidad de A y de 4 libras paracada unidad de B. Los precios unitarios de A y B son de 20 y 50 dlares, respectivamente. Determine lamezcla ptima de los dos productos; b) Grafique y ubique el punto que maximiza las ventas. c) Cul es lamxima ganancia?; d) Realice un anlisis de recursos y de sensibilidad para los coeficientes de la funcinobjetivos e interprete sus resultados

16.- Una empresa de confeccin de ropa para exportacin tiene 80 m2de tela de algodn y 120 m2de telade lana por da. Un traje requiere 1 m2de algodn y 3 m2de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m 2decada una de las dos telas. Calcular el nmero de trajes y vestidos que debe confeccionar diariamente laempresa para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

Cuestionario

1. Qu es Programacin Lineal?

2. Qu es el modelo de Programacin Lineal?3. Qu condiciones se cumplen en un modelo de Programacin Lineal?4. Por qu el modelo de Programacin Lineal es determinstico?5. Por qu el modelo de Programacin Lineal presenta la condicin de aditividad?6. Por qu el modelo de Programacin Lineal es divisible?7. Por qu el modelo de Programacin Lineal presenta la condicin de proporcionalidad?8. Qu implica la Formulacin y Construccin del Modelo Lineal?9. Cules son los elementos componentes de un modelo Lineal?10. Qu son y qu representan las variables de decisin en un modelo Lineal?11. Qu es la Funcin Objetivo de un modelo Lineal?12. Que son y que representan las restricciones en un Modelo Lineal?13. Qu son y qu representan los coeficientes de las variables en la Funcin Objetivo?14. Qu son y qu representan los coeficientes de las variables en las restricciones de recursos?15. Qu son y qu representan los coeficientes de las variables en las restricciones de

requerimientos condiciones establecidas?

Elegir una sola respuesta en la pregunta de eleccin mltiple

Las restricciones limitan los valoresa. que puede asumir la funcin objetivob. que pueden asumir las variables de decisinc. ninguna de las anteriores

d. tanto a como b.

Las restricciones pueden representara. limitacionesb. requerimientosc. condiciones de saldosd. las tres anteriores

La programacin lineal es

a. un modelo de optimizacin con restriccionesb. un modelo para la toma de decisiones con restricciones


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c. un modelo de programacin matemticad. las tres anteriores

En los modelos de PL del tipo MAX

a. se maximiza la funcin objetivob. se maximiza la funcin objetivo y luego se determina si esto se presenta en el contexto de una

decisin permisiblec. se maximiza la funcin objetivo sobre el grupo permisible de opcionesd. todas las afirmaciones anteriores

La formulacin de modelos es importante porquea. permite emplear tcnicas algebraicasb. en un contexto empresarial, la mayora de los gerentes prefiere trabajar con modelos

simblicos

c. obliga a la administracin a lidiar con un problema bien definidod. permite al gerente aplazar la toma de decisiones, produciendo la impresin de que esta muy

ocupado

El requerimiento de No negatividad con frecuencia se incluye en los modelos PL porquea. simplifica la solucin del modelob. hace que el modelo corresponda mejor a la situacin realc. ninguna de las afirmaciones anterioresd. tanto a como b.

El requerimiento de No negatividad con frecuencia se incluye en los modelos PL porquea. simplifica la solucin del modelob. hace que el modelo corresponda mejor a la situacin realc. ninguna de las afirmaciones anterioresd. tanto a como b.

Unidad 2 Programacion Lineal Grafico

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