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UNIDAD 1: ANÁLISIS DE SISTEMAS NO LINEALES GENERALIDADES
BIBLIOGRAFÍA: APPLIED NON LINEAR CONTROL - Jean-Jacques Slotine, Weiping Li - Ed.Prentice Hall MODERN CONTROL ENGINEERING – Katsuhiko Ogata INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS NO LINEALES DE CONTROL Y SUS APLICACIONES – Carlos D´Atellis - AADECA
MOTIVACIÓN: SISTEMAS FÍSICOS INHERENTEMENTE ALINEALES: Problema de descripción del Proceso (ec. Diferenciales) MEJORA DE SISTEMAS DE CONTROL EXISTENTES
Pequeña señal? Entorno de validez? Controladores alineales para sistemas alineales: Ej. Robótica
INCERTIDUMBRE EN EL MODELO Variación de parámetros con las variables de estado (ej.: fluidos) Variación del modelo en operación (ej.: robótica) Variación del modelo en el tiempo (ej.: deriva térmica, envejecimiento)
ALINEALIDADES SEVERAS EN EL MODELO Discontinuidades (ej.: fuerza de roce, Saturación, zona muerta, backlash, histéresis, etc.)
SIMPLICIDAD DE DISEÑO Robustez, Velocidad, Costo Soluciones computacionales disponibles por evolución tecnológica
SISTEMAS NO LINEALES
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CONTROL NO LINEAL
CONTROL BASADO EN REGLAS (FUZZY)
CONTROL ROBUSTO
CONTROL ADAPTIVO
CONTROL DESLIZANTE (SLIDING)
EJEMPLO DE CONTROLADOR NO LINEAL : REGULADOR ON-OFF
• SIMPLE• EFICIENTE (energéticamente, no disipativo)• MAXIMA VELOCIDAD DE RESPUESTA• ROBUSTO (EMI, insensible a variaciones, etc.)• TAN PRECISO COMO SE REQUIERA
DISEÑO SISTEMA ALINEAL + PERFORMANCE OBJETIVO DEFINIR CONTROLADOR
ANÁLISIS SISTEMA ALINEAL EVALUAR PERFORMANCE
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FENÓMENOS ALINEALES
1. MÚLTIPLES PUNTOS DE EQUILIBRIOEjemplo:
Aproximación:
Solución:
x
x
.
Espacio de estado.x
x
I
E
Dos puntos de equilibrioUn punto de equilibrio
X(t)
t
X(t)
t
1
Dominio temporal
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2. CICLOS LÍMITE Sistema Alineal de 2do. Orden: Ec. de Van der Pol
X2
X1
α =0
α =0
Notar:• Término de amortiguamiento +/-• Dos zonas definidas en el plano• Sentido de evolución del vector de estado• Independencia de la c.i.• Degeneración / Regeneración• Diferente a un sistema marginalmente estable
Punto singular: (0;0)
Ejemplo:
3. DEPENDENCIA FRECUENCIA-AMPLITUD Ejemplo: Sistema Alineal de 2do. Orden: Ec. de Duffing
|X(t)|
ω
α =0 α >0α <0
ω0
X(t)
ω
X(t)
ω
X(t)
ω
Punto singular: (0;0)
RígidoElástico Flexible
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4. BIFURCACIONES
Ejemplo:Sistema Alineal de 2do. Orden:
Ec. de Duffing no amortiguada
Análisis en el espacio de los parámetros:
Conjunto de puntos de equilibrio
Xs
5. ARRASTRE DE FRECUENCIA
Ocurre en sistemas excitados que describen ciclos límite
(ω -ω0) Batido
(ω) Excitaciónω0
6. CAOS Ejemplo 1:
• Fenómeno determinístico (NO estocástico)• Sensibilidad extrema del estado a la c.i.• Propio de sistemas fuertemente alineales• Ejemplo: turbulencias, vibraciones alineales, etc.
Ejemplo 2:
Doble péndulo: Descripción de la posición del extremo m2 en función de las c.i.
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ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE ESTADOS
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
MÉTODO GRÁFICO
DIFERENTES C. I.
FAMILIA DE TRAYECTORIAS
MÉTODO DEL PLANO DE FASE
DESCRIPCIÓN GENERAL
CASO LINEAL PARTICULAR
siendo: obtener: en coordenadas: t=parámetro
EJEMPLO 1: Sistema masa-resorte unidimensional
PUNTO SINGULAR:
PUNTO SINGULAR:
Resolviendo el cociente:
Integrando: (Familia deelipses)
X1
X2
Notar:• Punto singular• Sentido• Significado de trayectoria• Tiempo?
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EJEMPLO 2: Sistema de control lineal de 2do. Orden Ec. error en plano transformado:Antitransformando:
Sistema dinámico formalmente equivalente a masa-resorte (elipses)
K+ -
H
1/s2E(s)
INTEGRACIÓN DIRECTA
MÉTODO DE LAS ISOCLINAS
MÉTODOS COMPUTACIONALESCONSTRUCCIÓN DEL PLANO
DE FASE
MÉTODO DE LAS ISOCLINAS
CASO GENERALCampo de direcciones de pendiente α
CASO LINEAL PARTICULAR
Familia de rectasFunción de α
EJEMPLO 1: Sistema masa-resorte unidimensional
X1
X2
α =1 α =-1
α =oo
α =0
Notar:• Pendiente de la trayectoria• Sentido• Pendiente de la recta isoclina
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EJEMPLO 2: Sistema no lineal de 2do. Orden: Ec. De Van der Pol:
X2
X1
α =0
α =0
Notar:• Término de amortiguamiento +/-• Ciclo límite• Sentido• Función isoclina• Degeneración / Regeneración
Punto singular: (0;0)Función Isoclina:
ANALOGÍAS CON SISTEMAS LINEALES
AUTOVALORES
CASO 1: SILLA DE MONTAR
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CASO 2: NODO INESTABLE
CASO 3: NODO ESTABLE
CASO 4: FOCO ESTABLE
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CASO 5: FOCO INESTABLE
CASO 6: CENTRO
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CASO DE ANÁLISIS: CONTROL NO LINEAL DE SATÉLITE
Objetivo:• Controlar posición de antenas• Propulsores controlados ON / OFF• Alternativa 1: Control simple• Alternativa 2: Control con derivador• Alternativa 3: Control Óptimo J
SK
eX
eX
0
2
1
=
=
=
γ
γ
γ
CASO 1: CONTROL SIMPLE
Familia de Parábolas
Notar:• El sistema no converge al punto singular• La magnitud del error máxima se mantiene• El valor promedio del error es nulo• El error depende de la condición inicial
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CASO DE ANÁLISIS: CONTROL NO LINEAL DE SATÉLITE
CASO 2: CONTROL CON DERIVADOR
Notar:• El sistema converge algo al punto singular• La magnitud del error máxima se reduce• Chattering• Línea de conmutación controlada por dy/dt
A B C Para 00 Suec −=⇒< Para 00 Suec =⇒> Para 00 =⇒= uec
02 2122 =++ Cxx 02 11
22 =+− Cxx 32 Cx =
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CASO DE ANÁLISIS: CONTROL NO LINEAL DE SATÉLITE
CASO 3: CONTROLADOR ÓPTIMO
Notar:• El sistema converge en dos conmutaciones al
punto singular• La magnitud del error máxima se reduce a cero• Controlador ON / OFF• Compensador complejo
+ -E(s)
So
-So
eC