betsitazhs

Taller elc Cálculo r

Myriam Ceciiia Guerrero PavaNvckviret Flórcz BalretoMaxinriliarto Maclr,¿clo Fligrter:a

Mario Roa F{urtadoCarlos Alfolrso lt{ontealeEirt: ( Irr ¡-i-i

Serie Cisnci¿s ¡!;rturale$ y Íviaternática; C7 - 161) . jc'r '

Fei¡i'ero de 2010

IJniversidad de Ibagué

Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas

Área de Matemáticas

Talleres de CáIculo r

Myriam Cecilia Guerrero Pava

Nyckyiret Flórez Barreto

Maximiliano Machado Higuera

Mario Roa HurtadoCarlos Alfonso Montealegre García

Febrero 2o1o

Ibagué, Colombia

Contenido

?:=:=c:cn .'......'.6

Tdlcr r: Línites y conünuidad de funciones polinómicas y racionalesOb'ietir-o

Conceptos básicos ...........:........ ...,.........'..7

F.iercicios propuestos. ..........7

Cibergrafia. ..........................11

Taller e: Derivada de funciones algebraicasObjetivo ..........12

Conceptos básicos ..............12

Ejercicio resuelto (Cálculo de la derivada: concepto del límite).. .................... 12

Reglas de derivación................. .............13

Ejercicio resuelto (aplicación de reglas de derivación)................ ....................14

Ejercicios propuestos. ........14

Cibergrafia. ........,................ 16

Taller 3: Derivada de funciones compuestasObjetivo .........77

Conceptos básicos .............. L7

Ejercicios resueltos ............17

Ejercicio propuestos .......... 18

Cibergrafia. ........................2o

Taller 4: Derivadas de orden superiory derivación implícitaObjetivos ........21

Conceptos básicos

Ejercicios resueltos "..'.......22Ejercicios propuestos. ........23

Cibererafia. .........................25

laller 5: l)envadas de funcrones trascendentesObjetivos.... ....'...'.'...."........26

Conceptos básicos ..............26

F.i ercicios nronr r estos.a;h-.-.^fí. aaLrul¡arqrra. ......"'.......'......'.JJ

Taller 6: Aplicaciones de la derivada teorema de Rolle y del valor medio. AnáIisis

de curvasObjetivos '....."34

Conceptos básicps(Teorema de Rolle y Teorema del valor medio) ...'....""""'34

Ejercicios resuelto (Teorema de Rolle).... .'.......'.'.'...35

Ejercicio resuelto (Teorema del valor medio) ......'...36

Análisis de curvas ..'....."""36' Criterio de la primera derivada..

Criterio de concavidad............... ......'..."37

Criterio de la segunda derivada... ..'.'.""37

Ejercicio resuelto "....""""'37Concaüdad """"""""""""'4oEjercicio resuelto ....'.."""" 41

Ejercicios propuestos. .-.""'42

Cibergrafía. ...........'.""""""44

Taller 7: Aplicaciones de la derivada (opümización)

Objetivo """""45Conceptos básicos..,.... """'45Ejercicio resuelto '.'....."""'45

Ejercicios propuestos. """"46Cibergrafia ""'.'.""""""""'52

Bibliografía básica......... :...........'.....'. ..."""'53

\I¡.riarn Cecilia Guerrero Pava. Matemática de la IJniversidad Nacional de Colombia.

I:;.:-is:a en \latemáticas Avanzadas de la Universidad Nacional. Docente de medio tiempo

=:- =- ":=¿ de ]Iatemáticas de la Facultad de Ciencias Naturales I' Matemáticas. Investigadora

.:. :- ;;¡':':PEC\-EX'

\1-clqiret Flórez Barreto. Licenciada en Matemáticas y Física de la Universidad del

T:,-:na. Especialista en Docencia Universitaria de la Universidad Central de la Habana-

Corporación Universitaria de Ibagué Coruniversitaria. Especialista en Matemáticas Avanzadas

de la Universidad Central de las Villas-Corporación Universitaria de Ibagué Coruniversitaria.

Candidata al título de Magister en Educación-línea didáctica de la Matemática, en laLniversidad del Tolima. Docente de tiempo completo en el área de Matemáticas.

Coordinadora del área de Matemáticas y del grupo de investigación pecxnx.

Maximiliano Machado Higuera. Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad

del Tolima. Especialista en Estadística de la Universidad del Tolima. Candidato al título de

Magister en Ingeniería de Control Industrial en la Universidad de lbagué. Actualmente, es

docente de tiempo completo en el área de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Naturales y

Matemáticas de la Universidad de Ibagué e investigador del grupo PRoros.

Mario Roa Hurtado. Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad Pedagógica v

Tecnológica de Colombia. Especialista en Computación para la Docencia de la Universidad

Antonio Nariño. Catedrático en el área de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Naturales y

Matemáticas.

Carlos Alfonso Montealegre García. Licenciado en Matemáticas y Física. Administrador

Financiero. Especialista en Automatización Industrial de la Udiversidad de Ibagué. Decano de

la Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas.

Taller r: Límites v continuidad de funcionespolinómidas y racionales

Objeür'o.-':-':r:: conocimientos y habiiidades para oalcular límites de funciones polinómicas. :¿¡:,:nales lo mismo que para aplicar las propiedades de los límites en el cálculo.

Conceptos básicosE- l:nite de una función /(x), cuando x se aproxima (o tiende) a un valor a, si

eriste. es un número real I. Se denota

!\¿f (x) = r

iCómo calcular límites?a. Construyendo una tabla de vaiores.

b. Por sustitución directa.c. Mediante factorización.d. Mediante racionalización (usando productos notabies).

Función /(x) es continua en un punto a , si cumple las condiciones siguientes:

a. f (x) está definida para x = a, esto es /(a) exista. En otras palabras que x =pertenezca al dominio de la función.b. lim"-o /(x) Exista.c. lim,-o f Q): f (a)

Nota: Cuando falla al menos una de las condiciones antes mencionadas,

función no es continua en ese punto; por tanto, se dice que es discontinua en x =a.

Ejercicios propuestos

Límit es de funciones p olinó¡nicas g raciono,les.r. Determine el límite (si existe) elaborando una tabla de valores para f (x). (Tabla t)

la

Tabia r. Tabla de valores para /(x)'

z. Determine el límite (si existe) por sustitución directa.

Tabla z. Límite por sustitución directa

3. Determine el límite (si existe) por factorización:

i.rlimr-23 xz r.z limr-g(2x - 3) L.S limx-2+

-4 -t u2 +L

1.{ lllTl"+1-;t_;1.5

!8xz -33x+14-- z--;7;;1;Iim

1A !. -.

-

1.O llm 8 --:--x¿l 3x-__,

40x¿ +73x+304.7 trmr_ 2-ffi^8

^2

1.8 lim,-r---x'-x- r.9 lim,-3ff

2.Ll,ry¡{z*'-4x+I)

/2.2lir4(2x + 5)x-5

2.3. x--

Iim----.--+-2 Y -l

'i.6 ')^¿+x' - ó:lim;--; ^-. -L L¿X' - -:"-7

2.92

limv+2 l

E,+xa -sxz +4

lim----;----r-0 X'-I

/z.s3x f'4

lim

-

i'!ázxz - z

2.773x * 30

ttttt=--;--------x-08X'-JX-J

2.85X'-X

lim --;---a-x-I X'-4

Tabla 3. Límite Por factorización

3.1

Iimx+-Z

2x3-x2-7x+6+B

E'2' 3x3 -7xz -1Bx-Blim-

x+4 76-xz

3.36x3 - r9x2 +'^

lim -----------=-- .xu-Z X'- I

3.4x+-sx'+4

lim-------;- .va-l

I-L A L

3.5r\xz -33x*14

3x2 +x-2'3

'3.624x2 - 53x-=-----;-3X'- ¿X -

lirrlo

J

3.7,. 40x2+73x+30

25 llmr,_:Tt:¡;=^8

'3.83x2-x-2

ttttt ---T-----ii-v+1 yL

- X 'lim-;-x+3 9-I-

3.9

.1()

limx)-1

3.11 3.12

x*3- x*71' x----,

lim ------,9--;x-¡0 Lv+ | --

1y--^a !L

lim ^- .1 /

x+ L--1Fx"-5x+o--¡-4

4. Determine el límite (si existe):

Tabla ¿. Determinación de la existencia o no de límite.

Conünuidad. puntuo/ g enro.cionales.5. Deterr,rine si la función f (x) :

un inter-ualo de funciones polinórnicas g

6. Dete.rmine si la función f (x) =

T. Determine si la función f (x I =

5 x2 + B es continua Para x = 1.

5x3 -5x * lescontinuaparax:2.r=----------:-=;--=

J U - f)z + 5 es continua par& X =1.

3 l3xz -9x-6z[.1 lrmr-1 \/- x+14.zlimr-effi ,. \Í+I

4.3ffm'--1.;+1.177d-'t

4.4 lim,--nf.., JVTT-,tTxt4.S trmx-r--ff /4'.,6limr--^#

vL1:4.7 lrmr-{ffi -E=;_-t;4.8- lim,-t ffi 4.s tim.4ffi

qvJ-?Y+84.1o lirn,.- -"^ :-^r'

- r-3x".. 6x2-JTx+T+e

4.11 llmr-a --í;lr,i-,. nxt+7-3x'

4.L2 trmx+@-;l:;

4.13 lim,r* *(x-2 4v-41-t 4.14limx-*ffi 4.L5 ^')lllrla-o l.C,r+1/

<-¿.4JR4.16lrm, --;;i;

,F:l-,.'t to lim l-- tv ¡ -r

4.r8lim"- -ffi^ 4,-

4.19 lll111 -.a. :t--;;--" rt'^-5

', ,lll_x-xa4.2o ltmx-*;l+yx-\r,

. ??x2 -26x34.2$ lirn,-*ffi aX t a-XA ,A ltrl].

-F ¡v ¡-vL^-¿ -

E-

8. En los siguientes ejercicios, determine si la función es continua en el p

indicado. Si no lo es, identifique el tipo de discontinuidad y de ser posible, redefi

función:q

, 8.t f (x) = *es continua Para x : 7.

;.,'8.2 f (x) = #. es conünua Para I - - 1.

t

S.S /(x) = -*-fs continua P&ra x = 0.

S.+ f (x) =ft"rcontinua Parax - - 1.

1t8.S /(x) =;,#s continua Para r = 1'

5.6 f (x) =7 es continua Pára x = 1'

. g.. Determine si la función f(x) es continua y esboce su gráfica:

(x*2, six(3flx)=l*r-4, six>3

(io),Determine si la función f(x) es continua y esboce su gráfica:

e+7, six14f(x)=1,6, síx=4

t3x-6, síx)4rr. Determine si la función f(x) e1 continua y esboce su gráfica:

(!-x, six(1'I

f(x)=17, sÍx:1\x2-1, sí,x>L

rz. Determine si la función f(x) es continua y esboce su gráfica:

¡-7, sixl-IfQ)=lx3 si-1<x<7

t 1. sÍx)113. Determine si la función f(x) es continua y esboce su gráfica:

¡1, six < -2lr

f(x)={;x,sÍ-2<x14lL\ lt, síx>-4

r¡r-

14. Caleule, si existen, las asíntotas de las siguientes funciones:

t+.t f(x)=fu "I':t"'''''.1 _arz *__ n, xz-2x+4.14.2 I\x):T 11 .¡¡t tt.-/

t4.S f @)=g ,.i,,ri I ', i)1xr4.4 I\x) =r-r_s+ fr

Cibergrafia

http : / /docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas en movimiento Aimitpslim def.html

http:/ /www.fisicanet.com.ar/matematica/mq limites.ohphttp: //es.wikipedia.org/wiki /Conünuidad lmatpm%Cq%Artica)

http: //thales:cica.es/rd/Recursos/rdoZ/UnidadesDidacticas/qg-r-u-continuidad.html

http://www.dspartamento.us.es/dmateuita/Docer-rcia/TMRP/Qontinuidad.htmhttlr://descartes.cnice.mec.es/materiales didacticos/Limites de funciones/intuitivo.htm

- G >(t'1 X< 2-{\ I

Sqllo ó h^/€{o'

/¿zf > zX'' b /

,r,/

olo

rf--

Taller e: Derivada de funciones algebraicas

ObjetivoUtilizar las reglas de derivación para encontrar ia derivada de funciones algebraicas

Aplicar las propiedades de ia derivada a problemas geométricos.

Conceptos básicosSi y - f(r) definida en

define:

un intervalo l entonces su derivada, denotada por,f'(x), s

?.,\ . f(*+Ax)-f(r)I rx) = ofgl AX

siempre que el límite exista en interior de.I.

Laderivada de/ : también se simboiizapor: y' = # = t = d*y

Geométricamente, la derivada se interpreta como la pendiente de la rect

tangente a la gráfica de la función en el punto (x, f (x))

Ejercicio resuelto (CáIculo dela deriuo,do: concepto d.elbnite). f , rtsea/(.rJ = ;tnauar:

r. l,a derivada de f para todo x > 0

z. La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (4, |)

3. Graficar la función.

Desarrollo:

t. f'(x) = Iim4"-s\'ETTr '/tLx

.lv-.1ryL A+li-.¡¡r¡¡^y+tl\/x.",tx+ Ax

x-(x+ Ax)

G-ltrTA¡

- tih - \rvx+Ar-r rr¡rrAy4ll

LX

.. -M" 4*VxVx*Ax (Vr+Vn+Ax)

&-u ^x

",tT,,qln (..8+ .G+ ax;

-1 -1

Xl¿\tX)-1=-T¿x¿

ytr G r'E+ Jx I

Portanto f'(x) =;i n"""Ado¡ > 0

e. Como f'(x)=¡¡ (penüente de la recta tangente) -+ m= - f entonces le

ecuación de la recta tangente es:

y - := -* @-D -+ 16(y- :) = -x14 -+ x*t6v=72

3.

't.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

o.4

y=1/raiz(x)

i

I

I

0123456Y

X o.2 o.5 1 4 6 9

Y 2.2 L.4 2 o.5 o.4 o.3

. Kegla de la runclon roenuca: st / (fJ = f emonces I txJ = 1

o Regla de las potencias: si f(x) : xft,n e Q entonces f ' (x) = nxT-L

. Regladelasuma:sif(x) = u* udondeu: u(x)yv:u(x) entonces

' f'(x) = 1t'* v'

. Regla delproducto: si/(x) : Lr.1)entonces f'(x) = uu' + uu'

. Regla del cociente: si f(x) = lentonces f'(x) - u'v-uv'

/-- ---

Ejercicio resuelto (apticoción de reglas cte deriuación)r. En el siguiente ejemplo, se trata de recoger en una sola función el uso de las renunciadas

Sea /(x) : 4H.L, haitar/'(x)

Desarrollo

Como./ es una

cuando se deba

función racional, se aplica la regla para derivar un cociel

derivar el numerador, este se deriva como un producto.

Í("-2 jr + r).(¡a + B)l'(9x2 - 2) - (3x2 - 5¡ * r)(xa + B).(sxz * 2)'(9x2 - 2)z

f'(r) =[(3x2 - 5r + r).(x4 +B)'+ (3¡2 -5x + t)'(x4 +e)] (9x2 -2) - (:x2 - Sx+ t)(¡1 +g¡1

(9x2 - 2)2

[(3¡2 -5x+ 1).(¡4 +s)'(:x2 -5x+ t)'(x4 +g)] (gxz - z) - (¡xz - 5x+ 1)(xa +8)(18xl(9x2 - 2)2

LGx2 - 5x + 1). (4x3) + (6x -S)-(xa ¡ B)l (exz - 2) - (3*2 -5x + 1)(xa + 8)(1Bx)

Realizando las operaciones y simplificando se obtiene:

f'(x\ =

f'(x): L0Bx7 - 1.35x6 -18xs *50xa -Bx3 -360x2 -240x*80

Ejercicios propuestost. Encuentre la derivada de cada función, utilizando ia definición.

Tabla 5. Derivada de cada función, utilizando la definición.

r.2t(x) =

r. g?) = xz +

,!

r.r F(x) :2*Bx-5x

/-lh(x): \f7i4r.5 s(x) : "/x

r

r.6r(x) :

z. Derive cada función, uülizando las reglas de derivación.

Tabla 6. Derivada de cada función, utilizando las reglas de derivación.

2.L f(x)= L1xz+9x-4 z.z g(x) = (?x' - 3x + 5)(ra - Zx * 9)

2.s h(t)= 'ffi

2.4 m(z)= |zs- zz37(722 + z-B)

2.5 n(x) = ;;fu 2.6 P(x)= t + 4 + 4

2.7 l(w) = Gw¿1w+8)

te' /(r) = EJ;- xr-12.1O glx) = ñi

3. Demuestre que la funci(n no es derivabl e en x = lz

-4- -

Qx b 'iF3.1 Í\x):E+;G- A 3.2 g(x):W-z^lF

(i+r)33.3 nlx): _T.xZ

s.4 l(x)=#

tffi3.5'y:.J]-x3 3.6 !=x2'e-x

3.7L-^

8.8 g(r) : (5r - a)

3.9 !=x4+3x2+6 3.1() y\x j: a+b a-b

g.11 y=lT+\ll+Lx

B.r2 y=(1+4x3)(7+x')

3.13 !=x(Zx -1)(3x+2) B.r4 y:(2x - 1-)(x' - 6x * 3)

3.15 ,1*¡ : ffi 3.16 Y(x) =

3.r7 yG) : #/c.l-4lz

3.r& /(s) = É

s.rg Y(x) = {7 + 7

4. Demuestre que la función h(x) = l2x - 1l

Sugerencía: Halie h'() cuando Ax tiende a cero por la derecha y cuando tit

cero por la izquierda.

S, En cada una de las funciones siguientes encuentre:

a. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado.

b. Los puntos sobre la gráfica en las que la iecta tangente es horizontal, es

m:. 0

5.1 Y = ;A, P?2'1)

'l I

S.i. y - , +:, p(r,z)

5.3 ! = 5x2-3¡- 10, p(2,4)

5.4 y; (Zx3 -x* I)(x2 -+), p(0,4)

' 59 y=#,p(4,4)s.6 x2-y2-7,i@,-t)5.7 yry = L, p(-r,r)

S.8 xz +. 3xy I yz = 5 , p(1,1)

@ !=x3-2x2i4,p(2,4)

Cibergrafrahtto :/ /www.decarcaixent.com/actividades/pates /derivadas /default.htmhttp://dieumsnh.qft¡.umich.mx/pRoBlEMARlo DlF/derivadas formulas.ht¡n

Taller 3: Derivada de firnciones compuestas

ObjetivoAplicar la regia de la cadena al cálculo de la derivada de funciones algebraicas'

Conceptos básicos 1 . - ^--r-^^-:,,-+^ ,:ro.r rlnw . '

Si,fygsondosfuncionesrea}estalesqueeliangode/essubconjuntodeldominiog, entonces la función compuesta (f o g)se define por: (/ o g) (x) : f (g(x))

* o y g(x) =x-zhallargof ' f og' 9o9

s(f(x)= g(h=*-2f (x-Z) = t,-yq(g(x) = g(x-Z)= (x-2)-2 = x-4

Ejemplo: Si /(x) = i,'

Desarrollo: (g o f) (x) =

(f o g) (x):

(gos)(x):

Regla d'e cadenrrSi y - (f o il@) entonces v' : f '(g(x)'S'@)' También

siguiente forma: si u = g(x) entonces y = f (")"y g'(x) =

Ala expresi6n fr se le liama la derivada interna'

se puede exPresar d

{,entonc"t*=Xdx'axl

Ejercicios resueltos;.";;;it"t la función Y = (x3 * 5x - 2)B

Solución: Haciendo 'ú = x3 * 5x - 2 se tiene y =

Luego,la derivada *= Bu'(E" * 5); entonces' y'

n clu ¡-.2 ¡ É 4=8u" Y l= 3x- -r 3,-du

= B(x3 * 5x - Z)7 . (3x2

Algunosreglas;:lit = Vix)1" derivan'ilo !'= n[f(t)]"-t f'(x)'

La derivada también se puede expresar por:

. Si u: f(x)setiene y--unyu'= /'(x)entoncesy':nLrtn-rr1

z. Hallar la derivada de la función t(x) = lJV + 2)3

I

':1:

Desarrollo: ü(x) = (ri + Z)3

Derivando t'(x)= 3(xi ¡ 2)'.(:t-f nntonces, ü'(r) = W

Ejercicios propuestosr. Derive cada una de las funciones siguientes:

Tabla 7. Funciones ejercicio No r

1.1 f(x) = (Br - 7;-' }-A s(x) = (6x-7)3.(Bxz +9)2

l.s sQ) = (r' - ;)"r.4 r(z) : [(22 + t)to -.'u 11to

nÁ m(t) = [(t * i)-' * ,] '

r.8 í(Y) = 3Y2'J@

(1 * -2)éa,ó lfr) =-r' \ / t/4x_91.1o k(x) = +lx+ =,lx

1.11 f (u) -- (u-t - 2u-2)-3

"1..13 h(t¡ = ^f;T+rt

L+4(t2 +l\3

i(t)= ffil--'1.1S t(w) = Jw3 (9w + I)s

\ +e x(w) - 3w-S)'(7w+3)(w+2)3 (w-1)s

#Z s(x) =l-x*.'Jx*.lx ,r.r8

i(x) =r=

r¡J x

1.19 n(si1= +A 'JYL+ZY-7

1.2o n(y) = (y2 - g) JÑ.\

a.2r Y(x) =n\

^li+ta r;1.22 y(wl =r ' 1w+1

t.zg y(u) = ",ll-1+lu+1,1

r.24 y(t)t

-5=-/r +2 \3

/- --F

*qr ro-) = (#)' t.z6 ,=(4x3*6x-2)l

r.27 y=FVR r.z8 11/=-1r'-5

Ir.29 y = dñ 1.3o y = Yss-h

1.31 y -aa2 y=In(x+lÑ)

bA y =;lÑ-Zln(x+12-4

l€4 y = (senx- cosx)

,T71tq\Q{'r=V(1 +x')" 1.96 y:l(2x+1.)2+x

r.g7 ,=(2x+1)s(3x+1)7 1.38 y =ffi1.89 y=l(x|+3x)a+xl-i sffi

1.4o y = 4F+r

z. En los siguientes ejercicios:

a. Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función da<

punto indicado.b. Determine los puntos sobre la gráfica en los cuales la recta tang

horizontal:

2.L

tt

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

v-v-v-y=

v-v.:v-v-v-

(4x2-Bx*3)a , p(2,8r)

(2x-I)10 , p(I,7). 1.c,(X+?)' , p(7,32)

62-D7 , p(O,-r)

x'17+S , p(2,6)

x3 , P(1,1)2¿ , Pl-I,-I)2x2+x, p(1,3))¡x" , plx,x¿)

-f

2.1O Y = 2'r+12.Lr Y = fr.

2.L2 Y: 7¿3

2.13 Y = 2'

, p(1,1)

, p(2,2)

- x , p(2,2)

, p(-2,3)

a*ar

Taller 4: Derivadas de orden superior! . . , . l2 .y derivación implicita

Objetivos¡ Definir las derivadas sucesivas de una función (derivadas de orden superior'r

. Adquirir habilidades para calcular derivadas de orden superior.o Distinguir entre forma explícita e implícita de una función.. Aplicar las reglas del cálculo de la derivada a funciones expresadas en fon

implícita.. Adquirir habilidades para calcular derivadas de funciones expresadas

forma implícita.

Conceptos básicos

Deriuods d"e ord.en superiorAl derivar una función /, se obtiene otra función /'; si esta, a su vez, se deriva

obtiene ia segunda derivada de f (f") y así, sucesivamente. Por lo tanto, si 1'

/(x) entonces:dy# = f '(*) es la primera derivada de /.,)

# : f"(x) es ia segunda derivada de /.¿3

^,

ff=¡rzt (x) es la tercera derivada de /.

Y así, sucesivamente. La n-ésima derivada de / se simboliza por, ffi =¡@) 6

Ejemplo:Si /(x) : 4 x+ 0. Hallar ¡{t)7x7y calcular f@{-;)Solución:

6 18f'(r)=-i entonces f"(x) :i entonces

t3 2.2

------ :2304

DeriuaciónirnplícitaLas expresiones y : 4x3 - 5x * 3. ó y = "{7t - z son ecuaciones que definen

forma explícitaunafunción: y - f(x), o y : h(t) respectivamente.

Por su parte, las ecuaciones 4x3-Sx-y - -3 ó y'-7t+3 = [determinan en forma implícita las mismas funciones.

¡{z)(D=-ft y f@?;)

L-na función / está definida implícitamente si, al sustituir / en lugar de y, seobtiene una identidad.

Ejercicios resueltosr. I{uestre que la función g(s) = * esta definida implícitamente por la ecuación

),s2-3y*1= o.

Solución: Se sustituye ), por g(s) =+ (-Lr_rJr, - St ,_LJ * 1 = 0 =+ s2 - 3 +

3-s2 = 0 + 0 = 0paras +...?os+-r,6No siempre es fácil hallar una función a partir de una ecuación, pero se puede

encontrar su derivada sin conocer la función. Para ello, se procede a derivar cadamiembro de la ecuación, teniendo en cuenta que, al derivar la potencia y", se debe

utilizar la regla de la caden u asit ftln - ,nn-r ff v aplicar las reglas de deriración

estudiadas anteriormente.

z. Dada la ecuación x2 - 2xy I y, : ,a. Determine al menos una función implícita / deterrninada por la ecuación dada.

b. Derive implícilamente Ia ecuación para hallar fc. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto

(t,z).

Solución:a. Para hallal /, se despeja y en función

miembro izquierdo se obtiene: (* - y)z = x

+ f(x) : x * tli o f(x) : x - tli

x; entonces, factorizando el

x:!:TJi + y=x+lide

b.d (xz -2xy +y2 =x1

2x*2Ydy 1-Zx+2Y

' d"x 2v -2x

c. Como la pendiente de la recta tangente a la curva es ?.?r : $ calculada en

punto (1, 2)

7-2(1)+2(2) 3

-m=ffi1m=j,entonceslaecuacióndeiare.ctatangenteeS:

y-2=i("-t) + 2(y-Z)=3(x-I) = 2y-4=3x-3 =+ -3x

2Y:1-

Ejercicios propuestost. Para cada una de las siguientes funciones, calcule la segunda derivada

a. f (x) =ll{5o1

?- nrxl :;tÁ.e.m(x): (3x * 4)a

, g. y(x) : (x - 2)a

. x2,^-!

k.r(x) :,{Ñ

m.p(n) : xrlV4'

a. f(x) = x6 - 2x4 + 3x3

e.h(x) = !6x+ -Bt

a. f(x): x6 - 2x4 + 3xs

c. h(x) = 7'6x4 - BI

n. q(x) : 72

z. Sea f(x): i encuentre una fórmula para

1 t ^f-\.^'carcule .r.", (1.)

3. Encuentre todas ias derivadas diferentes de cero

b. g(x) = x-2 * x-I

d. t(x) = 3"lT - gx

' a--?,f. k(r) ='#'h. y(x) : 4x3 - x2 + x

1

'j.y=(3x2++12

l.s(x) = *lnx

+ 2x-2(.t*t)+2t,fr:t =á frfzt-2x):1

+:x

la n -esima derivada de f

4. Encuentre todas las derivadas diferentes de cero

b. g(r) : 7xz - 1)3

d. .t(x) = Bx2 - 5x - 9

b. g(x) : 7xz - 1)3

d.s(x):Bx2-5x-9

I

e.p(x). = 3x4 - Zxs - Sxz + Íx2 +rz

5. Para cada una de las siguientes ecuaciones:

a. Calcule, de ser posible, una función implícita determinada por la ecuación.

b. Determine la derivada de la función obtenida en el inciso "o"'

c. Halle'la derivada implícita de la ecuación inicial.

d. Compare el resultado del inciso "c" con el resultado dél inciso "b". Concluya'

/gr*, = -4 (7x + s)2

5.r xYz = ll6 ,A *'-Y2 = 3

u.? ++v2 =2

é.+ zy'*4xYlx2=7(1.9 ,'+y3x+yxz *ys - 4

¡{6 xzy * xyz = 2

5.7 xy3 + (x2 + Yz) = L

s.8 (xy)3 + xz +y2= t ----¡ v€ti{rcat resTrull '-of o

,'@ -7xz + 48xy * 7yl' = 25 r' -"t:*-

toc¡rÑüo

f / s.to hxy * y2 = 2ry3-* prerfnb¡' 5' ertQ b\<"

j

, S.tt xs + xy * ys = 35 -* vor'f cor el ver',,llado

6-r4 x3+xzy*xy3=19 I/ítt x3 + xyz + r3ys :3 --/

'6.:14,>x2y*xYz =x*!

'| ?+j4*t,l\ '

/1rt-

+).f'

Punto dado.

- . xz-g6.t y2=fr; (3,0)

76:z x2 -'!2 = 16; (4,0)

6.g xy ='4 ; (-4, -1)6.+ (x+y)3 =x3 +Y3; (0,0)

F 6.9, xi*y7- 9; (16,15)

6.6 (x -yz)Q'* xY) = 4' (2,1)

6.2 x2+xy*y''=7t(7,2)6.8 2=# ; (3,1)

6.g xz + yz = 25; (2,3)

6.to x2 'Yz = 9; (-1,9)

6,.11 x3 + xyz I x3ys = g' (1,1)

6.tz xzY + xYz = 72; (3,1)

6.tg x3 y+xy3 -30; (1,3)

6.rc ",lT+ xyz -5 ; (4,1)

Q-tS "l7 - W - 2Y = 2; (r,-r)

6.t7 xz * 2x2y*3xy- -1, (-r,3)

6.t8 yz x + xzy - -2; (2,-1)

Q19 x3 - Zxz Y + 3Y,Y2: 38 , (zB)

http : / /es,wikipedia.o rg /wiki/ Funci% Cq % B q n impl% C g %AD cita

http :/ /www.sectormatematica.cl /seccion/derivacion'htm

Cibergrafia

I

nftp: //www.uauLOr.icita/implicita.html

r- \.t¡l{$--*--

Taller b: Derivadas de funciones trascendentes

ObjetivosAprender a desarrollar límites de ias funciones trigonométricas, en especiaseno y coseno.

o Determinar si una función dada es continua, clasificarla y, de ser posiblrredefinirla.

o Conocer, identificar y aplicar las derivadas específicas de las funcionetrigonornétricas, l1s logarítmicas y las exponenciales.

Conceptos básicosRecuerde los conceptos sobre límites y continuidad estudiados en el Taller r.

Antes de iniciar la solución de este taller haga un repaso de los conceptos de lafunciones trigonométricas. Estos los puede encontrar en los enlaces ¿ueb citados ¿

final del taller.Para resolver estos ejercicios:a. Reemplace r por a, donde a es el acercamiento de x hacia el valor a.

b. Si obtiene como respuesta una forma indeterminada, tenga en cuenta losiguientes límites:

sen? cos?-L 7-cos0 tan?lim...-= L lim.:=1 lim-.-=0 lim...-=10+0 A 0-0 H 0-0 A 0-0 U

El ángulo 0 se expre5a en radianes.

Ejercicios propuestos

Lftnite s y eonür.rtliidad de funeiones tríg ono¡nétricas1. Encuentre el límite de cada una de las funciones dadas, en los ejercicio

propuestos en la tabia 8.

Tabla 8. Límite de cada una de las funciones

I r.L lim¡-o # Sen=L.2 lim.-nl' -.x

nt.g limr-0ffio t.4 lim¡-o ry 1l5x\sen'l':l

1.5 lim,-e--'Í 'i'.,6 lim,,-6 (Y)

.. I-COS ¿X'l.q ilm--n --;-x.1.8 limx-o

sen4xtans2x

z. compruebe que ias funeiones seno y coseno son continuas en 0.

D eriu s.das de tas funciones trig onornétricas

B. En los ejerciciorL la tabla 9 calcule la derivada de la función.

Tabla 9. Derivada de la función

AL3.2 !:x'-icosx;17 s€flX¿

3.4 g(t) - ltcost

3.6 y= fi + Zcosx

f (t)

3.1o s(t)

R/2x +

(tsent +cost

t2

Bsect;

Bsect tant=\lt +

1Rl- +

4t4

3.42Y = -cscx- senxi

R/ cosx cotz x

v =2xsenx+xzcosk;R/ 4xcosx + (2 - xzlsenx

4. En los ejercicios de la tabla rO, encontrar la segunda derivada

Tabia ro. Segunda derivada

S. En los ejercicios de la Tabla u, encontrar la derivada de la función

\l

L_-

ffi;t""e - coso; R/|cose * seno

,:)3sen ; R{-i-3cosx

3.5 Y=5*senx

g.7 f (t) = t2 sent;R/ t(tcost * Zsent)

g f (x) = :, + tdnxi Rf tanz x

y =W; R /|secx(tanx 1 secx)

3.r3 /(¡) : x¿ tanx iR/ x(xseczx * tanx)

+.t f (x) : 3senx; R/ -3senx

I

- .-....:

Tabla rr. Derivad.a de la función r\' -É

61' y = cos(3x);R/ -3sen(3x)

5.2 g(x) :3 tan(4x)R/-t2secz(4x)

6-g y = sen(n x)z ;

R/ 2n2 xcos(n x)z

,54 h(x) = sen(2x)cos(2x);

R / Zcos(4x)

f (x) cotX=-¡ ,, 'SETLA

R/(1. + coszX)

sen3x

v -4fy3;R/

SsenX__cos3 X

1,

5.7 fG)=7senz(Zt);

1I

R/ ;sen(4t)/L

f (t) = 3sec?(nt - 7);

6nsen(nt - 1\Dt-"t cos3(zrt _ 1)

5.9f y=^lT+lsen(zx)z;

1*/ ,A * Zxcos(ZX)z

10 y = senx

6.i} h@) = secxz

lz

.12 y = ,cos(I-

2x)2

7s.tg s@) = secl)eyanQe¡ L4 glD)=-rá

5.15 gG) = Scos2r t 5.16 h(t) : Zcotz (n t + Z)

'5.17 !=3x-Scos(rcx)z S.r8 y=sen'rli+\lsenx

6. En los ejercicios de la tabla 12, encontrar la ecuación de la recta tangente a ligráfica de/en el punto q-ue se indica.

Tabla rz. Ecuación de la recta tangente a la gráfica d'e/en el punto que se inüca

- :É: G:; ;":;ñ;-c:

7. En cada uno de los ejercicios de:1,?"" r3 derivar:

a. Con respecto " 'i' es una función d'e x)

b. con respecto "u;

óy y son funciones de t)

fabla 13. Derivación con respecto ^: U,es una función de x) y respecto a

'""t it t, son funciones de t)

que se indican'

RIY =2,-2n6f J@ -- turLTx en (i' 1) ;

&l y=4x+(1r-r)

ff 4tr""'osY = 1

g.z ! = senx

a.x=-il1- ^" - --

'.

ÍJ,L- 4'

c,x=0

En los ejercicios propuestos en la tabla 14' un punto se es

dx ^^ n.rn /s- Calcule \ putulos valore8' #"" i";;"to"tio" de modo qüe # es z cm/s'"calcule fr

Tabla 14. Gráfica de ia tunció" u" ry

Halle ff en cadauno de los ejerci'cios de la tabla r5

;; = cos(3r) 'nq'-

ffirG;enQ,zl

ll ,Ñ:zsett,;tx = t;i ;":;,nnvP) - 3ncosrx --..0

b. -rsennYTL; - zrccosrxffi

8.r Y ='tanxi

c. x= 0\cm 4cm Zcm

Rl -; --'T

9.

Tabla 15. Valores d" #

9.t y = arc t"n|; R/ #a1v19.2 ! = 1a7"c

tani; Kl e+A

/g.s y = erc cos2x; R/ # ! = arc cot! + arc tun|;

4Pt

-

'., {4 + rr1

9.q

t. --1 1

9.5 y = qrc s€ft7 ; Kl

-=' x+ I lx+ r)\tx K.o !: arcton4 , n/ áa

t t=--7'Á.2 y:V1 -xt! xcircsenx;

Rf arc senx

/'

i.?.8v-

x(arc senx)z - Zx i ztlGarc sen x

R/ (arc senx\2

'g.g y= xarccos2x -:l@; R/ arc cosZx

D eriu o.da d.e'las fr.taciones lo g aríttnicasro. En los ejercicios de la tabla 16, halle la derivada de la función:

Tabla 16. Derivada de la función

to.i g(x) =lnx2;

2Rl-

/to.z y = (lnx)a;

4(Inñ3R/ ,-

io.s y = tn@ip-- t) ;

[2x2 - r]rr , _j_"t [x@z - \]

LO.4x

f (x\ = In(--; '¡'r \'-), - '\x2 + 1r '

lL - x21D / _:_____:_"r

[x@z + r)]

úo.u gG) =lnt

(1, - Zlnt)Rl >--F-:-

lo.6' y : In(lnxz);

2Rl _'' (xlnt¿21

ñro.7 y=InlT;

\ x-rfto.s f (x):

^(ry),10.9

-\F u,=#*h@+Jrr+t)

a/W+4)1Rl --'='l-x"

11. En los ejercicios propuestos en ia tabla 17, encuentre una ecuación para la rr

tangente a la gráfica de f(x) en el punto indicado'

Tabla r7. Ecuación para la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto indicadt

lrr.z f(x) - 4-x2- lni:$+

|)t ""PQ,4)

tr.gf(x) = ln'|ffi; - 127

';'..sf @) = x3lnx; enP(1,0)

R/Y: x-t

rr.6 f (x) = ) x tn(xz); en P(-7,0)

rz. En los ejercicios de la tabla 18, hane fr

Tabla r8. Valor a" #pew- 30 -1,.

i,"étenP(n ¡*,t*[]>, Rl y :t

s,',/,)/

"/+

13. Usar la derivación implícita para encontrar la ecuación de la recta tangente

gráficaen el Puntó dado.

Tabla 19. Ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto dado

¡

rSI!!-*

t:..t f (x) = 3x2- InxienP(1,3)R/Y=5x72

\

rr.4f (x) : sen(Zx) - tn(xz); enP(1,0).

yiá.L xz'- 3tnY * Y' = 10;

dv ZxvR / dx = 7j --'2rz¡

3

t'

t3r ' , t*.x"+ y- f = In(xz +y2); enP(1,0); I i' + In(xy) : 2; enP(e'¡)

R/Y=x-L

Deriusda de lafunción erytonencio,l14. Encuentre la derivada de los ejercicios planteados en la tabla zo

Tabla zo. Eiercicios de derivada.

t4:í' Y = e¿x;,--, * ¡ ,rr*14.2 'Y: eG;

e,lvRl-' (ztlx)

/t4,3 y= (e-, + e')"i

R/3(e-t + et)z(et - "-t)

/ t+.qY ='ln('l' + e"');

2e2'pl

-

", (t + ezr)

r4.5 ! = 6V;

-Z(ex - e-'\Dt -'

'"t (¿x * e-x)z

14.6y-(senx*cosx)e'

Rf 2e* cosx

/r4.71

!=e-^14.8

l: x2e-',l+.g

-3g(t) = sF

r.4.ro1* exy = tn(G)

| \4.4Ly -- Ine*

15. En los ejercicios propuestos en la tabla 21, encuentre la ecuación de la recta

tangente a la función en el punto dado.

te a la funció.n en el punto dado.abla zt. Ecuación de la21. Ecuacron de la recta tangente a la n'rliclo-rl erl

llt f (r) = sl-i' enP(1,!);

R/Y=2-*

(s., y = ln(e"); en P(-2,4);

R/ -4(x + L)

r't5.3!=xzet-R/y=,

2xe' + e* ; en P (I, e); tS.+ f (x): e-'Inx; enP(7,0);YIRly= (;)- q)

16. En los ejercicios de la tabla zz, ha[e fi por derivación implícita

\a

Tabla ,r. ? Por derivación imPiícitad.x -

*x2-!2=!0

ir7. En los ejercicios de la tabla 23, encontrar la ecuación de la recta tangentt

función en el Punto dado'

Tablaz3.Ecuacióndelarectatangentealafunciónenelpuntodado.

tZ.z t + lnxY = ¿x-t; en P(!,R/Y=z-x

18. Encontrar la segUnda derivada de la función dada, en los ejercicios de ia tabl

' Tabla 24. Segunda derivada de una función dada'

rs: g(x) =li + e* lnx

I

t6.t xet - 10r * 3Y - 0;

Rl(Lo - eY) l@et + t)

ffiW Wx = Li enP(0,1);''-----"

R/ Y=1-(e+1)r

@-ff¡r) - (3 + Zx)e-rx ;'' R/ 3(6X + 5)e-"'

{t*[=-,-

Taller 6: Aplicaciones de la derivada: Teorema---n"Ue yhel valor medio. Análisis de cllrvas'

Objetivosr Determinar los extremos (relativos y ab.solutos) de una función'

. Analizar los intervalos sobre los cuales una función es creciente o decrec

..Aplicarelcriteriodelaprimeraderivadaparadeterminarlosextremosrfunción.

. Aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar extremos t

función'

Conceptos básicos

Teorerna de Rolle y Teorems del uolor meüoEn la Figura t', ," pi"ae apreciar la gráfica de una función que es

intervalo ce*ado .lo,bl, f (a) = f (b) = o. Además, f'(x) existe (no

todoslos puntos del intervalo (a'b)'

Figura t. Teorema de Rolle

Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado Teorema c

i una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:

fes continua en el intervalo cerrado [a'b]'

les derivable en el intervalo abierto (a'b)'

. f(a) = f(b)

Entonces, existe por lo menos un punto c e (a'b) tal que f (c) = g

El siguiente teorema es una generalización det teorema de Rolle y se co

el nornbre delTeoretna delValor Mediopara derivadas:

continur

tiene pir

Seaa

o

I

r*Ul.l¡u- il

Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:. {es continua en el intervalo cerrado [a,b].. I es derivable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces, existe por lo menos un punto c E (a, b) tal que:

ffO:f#En la figura 2, se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesis del

T.V.M.

_**-i*_a.-**ilr*.*$*];_*T

Figura z. Hipótesis del r.v.trl

El término t# es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por

los puntos A y B. Geométricamente, el teorema afirma que: Existe un punto P sobre la

curva de abscisa c e (a,b) tal que la recta tangente a la curva en P cuya pendiente

f' (c), es paralela a la recta secante .48.

Ejercicio resuelto (Teorerna de Rolle)r. VerifiqueelteoremadeRolleparalafunción f (x) = cosx,enelintervalo ln,5r).Se puede ver que f (n) = -1= f (5n). También se ve que cosr es diferenciable en

todo x e (r,5r).De acuerdo con el teorema debe existir un c e. (r,5r) tal que - sen x = 0.

Como puede observarse esta ecuación tiene tres soluciones en el abierto

indicado: 2r,3n y 4r.

./

Ej ercieio resuelto (T eor erna del u alor ¡nedio )r. Verificar el teorema del r.alor medio para la ftinción f (x) =2x3 - Bx* 1, en el

cerrado [1,3].fr1) - -q) \- /

f(3) = 3r

f'(c) = tg

6c2-B=l.B

Ec=t{T

De estos dos valores el irnico que se encuentra en el inten'aio es el positivo

trc=* l*.\"

Análisis de curvasSea / definida sobre un intervalo / que contiene a c

/( c ) Es el mínimo relativo de / en 1 si /( c)

/( c ) Es el máximo relativo de / en / si /( c)

Los mínimos y máximos de una funciónextremos o simplernente extremos, de la función en

Funcíón cr ecient e y de cr eciente. Una función / es creciente sobre un intervalo 1 si para cualesquier dos

números xt Y x2, en /, y si 11 < x2 implica f (x) < f l.¡z)

. Una función / es decreciente sobre un interv'alo 1 si para cualquie' dos

números xt Y xz, en 1, y si x, < x2 implica f (x) > f (xz)

Criterio p ara las funciones crecientes g decrecientesSea/trnifunción que es continua en el intervalo cerrado [a,b) y derivable en el

intervalo abierto (a, b).

. Si f'(x) > 0 paratodox en (a,b), entonces/ es creciente en [a,b].

. si f'(x) < 0 para todo x en (a,b), entonces / es decreciente en [a, b].

. Si f'(x) = 0 paratodo x en (a,b), entonces/ esconstante en [c,b].

< f(x) para toda x en 1

> f(x) para toda x en 1

en un inten'alo son los valoresel inten¡alo.

Criterio de la Primera derivadaS"u r ""

punto lrítico de una función I que es continua en un inten'alo abierto 1 que

contiene a c. Si / es derivable en el inten'alo, excepto posiblemente en c' entonces

f ( c) puede clasificarse así:

. si f'(x) cambia de negativa a positiva en c' entonces / tiene un mínimo

relativo en (c, f(c)). Si /'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces / tiene un máximo

relativo en (c,/( c)).

. si /'(¡) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos iados de c'

entonces/(c)noesniunmínimoreiativoniunmáximorelativo.

Criterio de Concavidad

sea / una función cuya segunda derivad.a existe en un intervalo abierto /

. Si f"(x) > 0 para todo x en 1, entonces Ja gráfica de / es cóncava hacia arriba

en/

. Si f"(x) < 0 para todo x en 1, entonces ia gráfica de / es cóncava hacia abajo

enI

punto de Inftexión: se dice que (c, f (c)) es un punto de inflexión de ia gráfica de /'

si f"(c) = 0 6 f" no existe enx = c '

criterio de la segunda d,erivada para determinar qué puntos son

máximos y cuáles son mínimos

.SiF,,(x)<0laFuncióntieneunmáxinrore}ativoolocal'

. Si F,,(x) > 0 la Función tiene un mínimo relaüvo o local.

Ejercicio resuelto: Construcción de gráfieas defunciones

Paia la construcción de las gráficas de funciones eS necesario tener en cuenta los

siguientes asPectos:

sea:F(x)= x3*x2-x-L

Se caleulan los ceros de la función, es decir, los puntos de corte de /(x) con el

eie x' Para esto, sehace /(x) = 0' Factorizando /(x) se tiene:

xz(x+1)-(x*1)=g(x+7)(x2-1)=0(x+l)=O ó (x2-11=g

x=:-1 6 x=*LLos puntos de corte con los ejes son: x=1 y x= -1. Ahora se toma la

ecuación inicial y se calcuia la primera derivada de la función:

F(x)= x3+xz-x-'J'F'(x)= 3x2+2x-1Haciendo F'(x) = 0 setiene 3xz +2x - L = 0

Utilizando la ecuación cuadrática ' = -#

_2+JT4X =---- b

_2+JG -/ o

-2+4

-)J-/- ) 1

x =-':- = -=-663

-2- 4 -63- 3-'l^- G 6

Por tanto, los números críticos de la función son: ', : I )- x2 = -1

Buscamos los valores de y (las imágenes) en la ftinción inicial para determinar

máximos y mínimos con los números críticos hallados

= x3 +x2 -x-L1)= (-1)3 +(-D2 -(-1)-1=0, ,'l .3 ,1rZ ,1\ -32)= (¡) .(¡) -G) -t=;

F(x)

r(-t1

r [;\J

tl

1l

Por tanto se tiene que los puntos críticos son: i-r,o) V Ci, - fil

Para nuestro ejemplo

derivada se tiene:

F" (x) = F" (-1) - -4F" (xz): r" (|) = ++

en particular, aplicando el criterio de la segunda

Entonces F(x) tiene un máximo en

Entonces F(x) üene un máximo en

x=-I1.

J

Creehniento o decreeüniento de F(x)Ubicamos en la recta real ios números críticos y determinamos los intervalos que se

forman. Tomamos un representante en cada intervalo, remplazándolo en la primera

derivada de la función. Se debe tener en cuenta:

. Si F'(x) > 0lafuncióncrece

. Si F'(x) < 0lafuncióndecrece

F'(x)= 3x2+2x-1.

NÍrmeros Críticos: -1,]n

-l 1/3(-*, -1) (-1,1./3) (1/3,a)

Del intervalo (-*, -1) tomamos F'(-Z) = 3(-2)2 + 2(-2) - 1

F'(-z) = 7 Lafunción crece.

Del intervalo (-7,1/3) tomamos F'(0) = 3(0)2 + 2(0) - 1-

F'(0): -L Lafunción decrece.

Del inten'alo (l/3,m) tomamos F'(1) = 3(1)2 + 2(1) - 1

F'(1) : 4 l¿ función ct"ece.

^\hora hallamos F"(x).Para encontrar el(los) posible(s) punto(s) de inflexión,

hacenos F"(x) = g

F"(x)=6x*2F"(x) = g

6x*2=0Entonces. el número crítico de la segunda derivada es r =

_1

T

Para hallar el punto de inflexión inicialmente se debe reemplazar el número

crítico de ia segunda derivada en la función inicial

F(x)= x3+x2-x-L/-1\ ¡-1\3 , (-1\' /-i\ n _-16trl-l = l-'\3/- \T/ *\T/ -\T/-'-T

obteniendo el punto (+,#)Para que este punto sea de inflexión, se debe analizar la concavidad.

ConcavidadUbicamos en la recta real el número crítico, en este caso, hallando F"(x) que

determina los intervalos que se forman. Elegimos un representante en cada inten'alo

y 1o remplazamos en la segunda derivada de la función.

. Si F"{x) > 0la Función es Cóncava hacia arriba

. Si F"(x) < 0la Función es Cóncava hacia abajo

F"(x):6xtZ(-cn,-1/3) - r/3 (-t1s,*1

Del intervalo (-*,-7/3) tomamos FF"(-1') = 6(- t) '- 2

FF"(-I) = -4 Cóncavahacia abajo

Del intervalo (-tl3,oo) tomamos FF"(1) : 6(1) + Z

FF" (1) = B Cóncava hacia arríba.

'\ -'t

Figura 3. Gráfíca Concauidad

Por 1o anterior, poclemos afirmar que el punto (+ #),es un punto de inflexión.

'_r*;a ".'-_---'''-/\\ \

\.'; ,/:l,i

ll

tll

\

Ejercicio resueltor. Análisis para la función f f (xx) = xx3

Solución:

Hallamos los ceros d'e la función xx3 = 0

Primera derivada de la función: .f f'(xx) =

Puntos Críticos: f f' (xx) = O 3xxz = 0

xx=03XX-

I xx=0

MáximosyMínimos ff(0) = 0 Punto (0'0)

f f (xx) Crece o Decrece

(-*,0) o

Del intervalo (-m, 0) tomamos f f '(-I) : 3(-1)2

Dei intervalo ( 0, oo) tomamos f f '(1) = 3(1)2 : 3:

ff"(xx) = 0*

6xx=0

Punto (0,0)

(0,-)= 3: Crece

Crece

xx=0Segunda Derivada de la función:

Puntos Críticos: f f"(xx) = 0

Punto de Inflexión //(0) = 6

Concavidad

Del intervalo (--,0)abajo

Del intervalo ( 0, -)arriba

Graficamos

(-*,0) o

tomamos f f"(-1) -- 6(-,1) = -6

tomamos f f"(L) = 6(7) :6

(0,*)

Cóncava hacia

Cóncava hacia

tsx3

ñ

x

Figur a 4. Gr áfica Ej ercicio 7

Ejereicios propuestos1. Verifique si cada una de las funciones dadas, saüsfáce las hipótesis del Teorema

de Rolle:a. ff(xx) = xx2 -Zxx -3 en[0,2]

b. f f (xx) = xx3 - xx en [-1,1]

c. ff(xx)=xrc4 -2xx2 +1 enl-Z,Zf ,

d. f f (xx) = sintx * cosxt en [0,n]

2. Calcule explícitamente todos los valores de c que cumplan con el Teorema del

valor medio:a. f f (xx) = xx2 - 3xx en [t,+]

b. ff(xx) = 2xx2 + xx + 1en [-2,3]

c. ff(xx) = 3xx * S en [1,3]

d'. ff(xx) = \xx - 7 en [0,+]

3. Trazar la gráfica de las siguientes funciones, hallando: puntos cúticos, máximos

y mínimos, dónde crece o decrece la función, puntos de inflexión y concavidad

a. ff (xx)=xx3 -6xx2 -9xx +54 * $tx) = X{- 6X3-g*'*54

-3

b. ff(xx):xx3*xx-1 --o f¡Y) = X

c. f f (xx): xx3 *3xx2 -9xx-*- F¿r) 'd. ff (xx):2xx3 -6xx*4 ¿x'- i,e. ff(xx) = xx2 - 4xx - 1

f. ff(xx)=2xx3 -2xx2 -1.6xx1-1?-

ff(xx) = -#' xx¿+xx -6,3

f f (xx) :;h r Fi,

ff(xx)=JÑl--2

ff(xx) = fu.1II lxx) : *

?-

f f (xx) =Hrn. f f (xx) = (-Z * xx)-z

n. ff(xx)=xx2*6xx*9o. ff(xx) = 3xx4 *2xx3

P' f f (xx): xx3 -3xx2 +3

q' f f (xx):7xx3 -Bxxzr. ff(xx) : rin - 4xx3

s. f f (xx) :Zsinxi;-i:i en l},2nnl

t. ff(xx) = 3cos2xx en f1,rrl

u.ff(xx)=(-1 +xl4w. f f (xx): 3 sinxx .t [O,f]Y' ff(xx) = 1'22'5 - 4'9xxz

z. f f (xx): B cos (+.r)en l-2tm,Zrn)

+\

,,4 -, ,

| 1 --tl"

^ r-l

| ,'-

g.

h.

i.

j.

k.

l.

htrp:,i iu-rlrv.xtec.es /-fgonzalz/erafi cas.htm

=r&idProblema=rq

Taller 7: Aplicaciones de la derivada: optimizaciónObjetivoAplicar el criterio de la primera derivada para determinar los valores máximosmínimos que optimizan una función.

Conceptos básicosEstrategias para resoiver problemas de optimizaciln:

. Asignar símbolos a todas ias magnitudes a determinar.

. Escribir una ecuación primaria (ecuación a optimizar) para la magnitud (ovariable) que va a ser maximizada o minimizada.

. Reducir la ecuación primaria a una ecuación con una sola variableindependiente. Eso puede exigir el uso de una . o más ecuación(es)secundaria(s) que relacionen las variables independientes de la ecuaciónprimaria.

¡ Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar los valores quetienen sentido para el problema planteado.

o Determinar el valor máximo o mínimo mediante derivadas.

Bjercicio resuelto

Aytlicoción de tnó-xbnos A ¡nínitnosr. Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que pueda inscribirse en uncírcuio de radio 4 cm.

Figura 5. Rectángulo

En estos problemas es necesario recordar conceptos básicos de Geometría,Fundamentos de Matemáticas, entre otros. Para este ¡iroblema en particular,debemos tener en cuenta el área del rectángulo dada por:

Á = X.I (Base por altura)

Ecuación del Círculo x2+y2=v2

x2 +y2 - 16

*2 - tA-r,2L _ Lv )

t;. *,.f -v1o )

A1 reemplazar el valor de x en la ecuación de área A : x. Y se tendrá:

¿ =,[t*F . tDerivando se obtiene: A' =:G6 - nz¡t¡Zy) +

^,2n, _ -! *ñ-

-'^176

- Y'

Haciendo A'= 0 setiene: -2y'+ 16 = 0;porlotanto: y = ^'lB

Para hallar ei valor de x: x : J tO-O - y2; entonces x : ',18.

Estas son las dimensiones del rectángulo de mayor área'

Ejercicios proPuestost. El perímetro de un cuadrilátero es de 20 m. iCuál debe ser el largo y el ancho

que dé ei área máxima?

2. Ér, un áliláüld escaleno de base 12 cm y altura 6 cm, hallar el área de1 ma1'or

rectángulo inscrito cuya base coincida con la base del triángulo. ''

B. Se desea construir una caja de base cuadrada 1'abierta por la parte superior' Para

ello, se utilizará una lámina metálica cuadrada de rzo cm de lado con un

cuadrado pequeño en cada esquina, con los bordes doblados hacia arriba'

Determine la longitud de los lados para obtener una caja de volumen rnáximo'

4. Desde lo alto de un edificio de 16o pies de altura, se arroja una pelota hacia

arriba, con una velocidad iniciai de 64 pies por segundo'

a. iCuándo alcanzala altura máxima?

b. iCuál es la altura máxima?

c. iCuándo llega al Piso?

d. iCon qué r'elocidad llega al piso?

e. éCuál es su aceleración al momento t = 2 segundos?

S. Un rectángulo tiene un perímetro de r4o m éCuál es el largo y el ancho que dan el

área máxima?

6. La suma del perímetro de un cuadrado y un triángulo equilátero es 40 cm' Hailar

las dimensionei de ambos para que el área total sea mínima.

7. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrita en una

semicircunferencia de radio ro cm'

t6-y2

16-yz

t' ''8. Entre todos los rectángulos de perímetro dado, encontrar el que tiene área

máxima.-9.

Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa dada, hallar el que tenga

área máxima.

10. Se tiene un alambre de iongitud I y se desea diüdirlo en dos trozos para forrnar

con cada uno de ellos, un triángulo equilátero. Determine qué longitud debe

tener cada trozo para que la suma de las áreas de los dos triángulos sea mínima.

1t.t De una lámina cuadrada de cartón de iado I se debe cortar, en cada esquina, un

cuadrado, de modo tal que, con el cartón resultante, doblado convenientemente,

se pueda construir una caja sin tapa. Determine la longitud que debe tener eI

lado del cuadrado de las esquinas, para que la capacidad de la caja sea máxima.

tz. Una ventana está formada por un rectángulo rematado con un semicírculo en ia

parte superior. Si el marco ha de tener una longitod p, determinar sus

dimensiones para que la superficie de la ventana sea máxima.

19. Dos rectas se cortan perpendicularmente. Por cada una, avanzan, de manera

simultánea, dos móviles con velocidades vty u¡. Se dirigen al punto de corte de

las rectas partiendo de unas distancias ay b, respectivamente. Hallar el instante

en que la distancia entre los móviles es mínima.

14. Con una cartulina de B x 5 metros se desea construir una caja sin tapa, de

volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja.

15. Un rectángulo esta acotado por los ejes y por la gráfiea de y = (6 - x) I z ZQ'té

longitud debe tener el rectángulo para que su área sea máxima?

16. iQué puntos de la gráficay = 4 - xz están más cerca del punto (0,2)?

Nofa: La distancia entre dos puntos (x,y), (x6, y6) es:

d:'ffi17. L-n rectángulo está limitado por el eje x y por el semicírculo y : J25-G

iCuál es la longitud y el ancho del rectángulo que hace mínima su área?

r8. Dos postes de rz y z8 metros de altura, distan 30 metros entre sí. Se necesita

conectarlos mediante un cable atado al suelo en algún punto, localizado entre los