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MONTPELLIER JUIN 2008
INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
Une méthode de calcul en théorie de la décisionbayésienne robuste
Christophe Abraham
UMR ASB, Montpellier SupAgro
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INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
Exemple 1 : Pêche du saumon
• Décision d : taux d’exploitation
• Capture Ct ∼ Bin(At , d) (année t)
• At : nombre d’adultes (année t)
At = p1Rt−3 + p2Rt−4 + p3Rt−5
Rt = St eα−βSt eεt (Ricker)
At = Ct + St (St : stock)
εt ∼ N(0, σ2)
• θ = (α, β, p1, p2, p3, σ2)
• Observation x ∼ Pθ
• Utilité U(θ, d)
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Exemple 2 : Hauteur d’une digue
• Décision d : hauteur d’une digue
• Observations des hauteurs d’eau des dernières crues :x = (x1, . . . , xn) ∼ Pθ
• Utilité : U(θ, d)
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Les élèments
• La décision d ∈ D• Le paramètre θ ∈ Θ
• La loi a priori θ ∼ π
• L’observation x ∼ Pθ
• La fonction d’utilité U(θ, d)
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INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
Le principe
• Mise à jour de l’information sur θ
→ construction de la loi a posteriori πx (théorème de Bayes)
• La décision optimale maximise l’utilité a posteriori :∫Θ
U(θ, d)πx(dθ)
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Les conséquences
Choix de U ?
• R : conséquence de choisir d si le paramètre est θ
• R ∼ ξθ,d à valeurs dans R• u(r) l’utilité de la conséquence r ∈ R• On pose
U(θ, d) =
∫R
u(r) ξθ,d(dr)
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Exemples
1. Pêche du saumon• R = C1000 : capture dans 1000 ans• R ∼ ξθ,d• u(r) ↗ sur [0,∞)
2. Digue• R = d − H• H ∼ ξθ : hauteur d’eau d’une crue• u(r) = ?
• inondation si r < 0• digue trop haute si r >> 0
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Construction deu
• Subjective• Par comparaison entre des conséquences certaines et
conséquences aléatoires• Soit r∗ (resp. r∗) la plus mauvaise (meilleure) conséquence• On pose u(r∗) = 0 et u(r∗) = 1• r ∈ R : on cherche α ∈ [0, 1] tel que
r ∼ αδr∗ + (1− α)δr∗ ,
alors u(r) = α
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INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
Construction deU
• Ne permet pas de construire une utilité unique• On obtient plutôt une classe du type :
V = {u : R→ R : ak ≤ u(rk ) ≤ bk , k = 1, . . . , K}
• Eventuellement, avec des contraintes de formes et derégularité (S)
• Finalement,
U = V ∩ S
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Exemple : Pêche du saumon
• D = [0, 1]
• R = [0,∞)
• S = {u : [0,∞) → [0, 1], croissante, continue, concave}
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Exemple : Digue
• D = [0, 1]
• H ∈ [0, 1]
• R = [−1, 1]
• S = {u : [−1, 1] → [0, 1], continue,croissante sur [−1, 0], décroissante sur [0, 1]}
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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Récapitulatif
• u ∈ U• U(θ, d) =
∫R u(r) ξθ,d(dr)
•
uµ(d) =
∫Θ
U(θ, d) πx(dθ)
=
∫R
u(r)∫
Θξθ,d(dr) πx(dθ)
=
∫R
u(r) µd(dr)
• Finalement : R ∼ µd et uµ(d) = E(u(R))
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Robustesse
• u ∈ U• M(u) = {d ∈ D : uµ(d) = supt∈D uµ(t)}• Si D ⊂ R, on pose
• d−u = inf M(u) et d+u = sup M(u)
• d−U = infu∈U d−u et d+U = supu∈U d+
u
• Problème : calculer d−U et d+U .
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INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
La stratégie
Une exploration aléatoire de U avec attraction pour lesfonctions u associées à des d−u petits (resp. d+
u grands).
Difficile (impossible) car :
• U espace de dim ∞• u ∈ U doit satisfaire des contraintes
• Pas de calcul rapide pour d−u (ou d+u ) à u fixée
Solution
• Approximation simultanée de U et R→ calcul rapide de d−u• Algorithme de recuit simulé → prise en compte des
contraintes de U .
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INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
La stratégie
Une exploration aléatoire de U avec attraction pour lesfonctions u associées à des d−u petits (resp. d+
u grands).
Difficile (impossible) car :
• U espace de dim ∞• u ∈ U doit satisfaire des contraintes
• Pas de calcul rapide pour d−u (ou d+u ) à u fixée
Solution
• Approximation simultanée de U et R→ calcul rapide de d−u• Algorithme de recuit simulé → prise en compte des
contraintes de U .
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Hypothèses
H1 U = V ∩ S est constitué de fonctions continues
H2 Conséquence de la forme R = d − Y , Y ∼ ξθ
H3 D = Y = [0, 1] et R = [−1, 1]
H4 µ admet une densité / Lebesgue sur [0, 1]
Contexte assez général (estimation, prévision)
uµ(d) =
∫Y
u(d − y) µ(dy).
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INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
Calcul ded−u etd+u
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
• u(r) ≈ uγ(r) =∑j
l=−j γlFl(r)
• µ(dy) ≈ µj(dy) =∑j
i=1 µi δi/j(dy)
• r = d − y
uµ(d) ≈j∑
l=−j
γl
∫Y
Fl(d − y)µ(dy)
≈j∑
l=−j
j∑i=1
µiγlFl(d − i/j) =
j∑l=−j
j∑i=1
µiγlFl+i(d)
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INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
RésultatsHypothèses• R est de la forme R = d − H avec H ∼ ξθ
⇒ uµ(d) =∫
u(d − h)µ(dh)
• D = [0, 1], R = [−1, 1],
Approximations• Il , intervalle de longueur j−1, R = ∪l Il• u(r) ≈ uγ(r) linéaire par morceau de pente γl on Il• µ(dy) ≈ µj(dy) discrète qui charge les points l/j
Résultats• Si M(u) = {du}, pour j assez grand du ≈ duγ où
M(uγ) = {duγ}• u
µjγ est linéaire par morceau avec la pente b′lγ sur Il• bl ne dépend pas de γ•
∥∥uµγ − uµj
γ
∥∥∞ → 0 as j →∞
• Résultats analogues pour la dérivée de uµjγ
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INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
RésultatsHypothèses• R est de la forme R = d − H avec H ∼ ξθ
⇒ uµ(d) =∫
u(d − h)µ(dh)
• D = [0, 1], R = [−1, 1],
Approximations• Il , intervalle de longueur j−1, R = ∪l Il• u(r) ≈ uγ(r) linéaire par morceau de pente γl on Il• µ(dy) ≈ µj(dy) discrète qui charge les points l/j
Résultats• Si M(u) = {du}, pour j assez grand du ≈ duγ où
M(uγ) = {duγ}• u
µjγ est linéaire par morceau avec la pente b′lγ sur Il• bl ne dépend pas de γ•
∥∥uµγ − uµj
γ
∥∥∞ → 0 as j →∞
• Résultats analogues pour la dérivée de uµjγ
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INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
RésultatsHypothèses• R est de la forme R = d − H avec H ∼ ξθ
⇒ uµ(d) =∫
u(d − h)µ(dh)
• D = [0, 1], R = [−1, 1],
Approximations• Il , intervalle de longueur j−1, R = ∪l Il• u(r) ≈ uγ(r) linéaire par morceau de pente γl on Il• µ(dy) ≈ µj(dy) discrète qui charge les points l/j
Résultats• Si M(u) = {du}, pour j assez grand du ≈ duγ où
M(uγ) = {duγ}• u
µjγ est linéaire par morceau avec la pente b′lγ sur Il• bl ne dépend pas de γ•
∥∥uµγ − uµj
γ
∥∥∞ → 0 as j →∞
• Résultats analogues pour la dérivée de uµjγ
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INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
Résultats théoriques
• Duµjγ =
∑2jl=−j(a
′lγ) Fl
• al indépendant de γ• supd∈D
∣∣Duµγ (d)− Duµj
γ (d)∣∣ ≤ Aj(µ) maxl∈{−j,...,j} |γl |
• uµjγ =
∑2jl=−j(b
′lγ) Fl
• bl indépendant de γ• supd∈D
∣∣uµγ (d)− uµj
γ (d)∣∣ ≤ Bj(µ) maxl∈{−j,...,j} |γl |
• Si M(u) = {du}, ∃(uγj ) telle que, si j →∞• uγj → u unif.• tj → du où {tj} = M(uγj )
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INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
Exploration aléatoire deU
• Algorithme (recuit simulé) :A l’iteration n, l’algorithme est à γ(n).
1. Simuler γ avec la loi Pγ(n)
2. Accepter γ(n+1) = γ avec la probabilité
ρn = exp{−βn(d−γ − d−
γ(n))}∧ 1 ; prendre γ(n+1) = γ(n)
sinon.
• Contraintes V ∩ S → 1.• γ ∼ Pγ(n) , γ = (γ−j , . . . , γj)
• i ∼ U{−j,...,j}• γi ∼ U{uγ∈V∩S}
• γ = (γ(n)−j , . . . , γ
(n)i−1, γi , γi+1, γ
(n)i+2, . . . , γ
(n)j )
• Convergence vers d−U → 2.
• Preuve pour βn = Cte log(n + e)
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INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
Exploration aléatoire deU
• Algorithme (recuit simulé) :A l’iteration n, l’algorithme est à γ(n).
1. Simuler γ avec la loi Pγ(n)
2. Accepter γ(n+1) = γ avec la probabilité
ρn = exp{−βn(d−γ − d−
γ(n))}∧ 1 ; prendre γ(n+1) = γ(n)
sinon.
• Contraintes V ∩ S → 1.• γ ∼ Pγ(n) , γ = (γ−j , . . . , γj)
• i ∼ U{−j,...,j}• γi ∼ U{uγ∈V∩S}
• γ = (γ(n)−j , . . . , γ
(n)i−1, γi , γi+1, γ
(n)i+2, . . . , γ
(n)j )
• Convergence vers d−U → 2.
• Preuve pour βn = Cte log(n + e)
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Construction d’une digue
• La classe U
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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Construction d’une digue
• Duµj
γ(n) pour n = 3000, 105, 4× 105
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
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Construction d’une digue
• Chaines du recuit simulé
0e+00 1e+05 2e+05 3e+05 4e+05
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
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Construction d’une digue
• Histogrammes de d−γ(n) et d+
γ(n)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
05
10
15
20
25
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
010
20
30
40
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MONTPELLIER JUIN 2008
INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
Construction d’une digue
• Fonctions d’utilité uγ(n) pour d−Ujet d+
Uj
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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MONTPELLIER JUIN 2008
INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION
Construction d’une digue
• j = 20
• µ = Beta(5, 7)
• [d−Uj, d+Uj
] = [0.2408, 0.6624]
(entre 1/4 et 2/3 de la hauteur maximum)
• nombre d’itération : 4× 105
• durée du calcul < 2 minutes