UFRO 2008 Master Fisica Medica 1 4 Guia De Ondas

G d d R di ió I i tGeneradores de Radiación Ionizante 1.4 Guía de Ondas

Dr. Willy H. GerberInstituto de FisicaInstituto de FisicaUniversidad Austral

Valdivia, Chile

Objetivos: Comprender como opera una guía de ondas acelera las partículas que viajan atreves de esta.

1www.gphysics.net – UFRO‐2008‐Master‐Fisica‐Medica‐Equipos‐Guia‐de‐Ondas‐08.08

Elementos

Generación de electrones(Filamento)

Emitir Rayos Gamma o Partículas

Generación de Rayos Gamma

Aceleración ( )


Aceleradores básicos

Principio básico:

Campo eléctrico

Ánodo (positivo)Cátodo (negativo)

Campo eléctrico

Carga eléctrica


Mayor energía mientras mayor diferencia de potencial.

Aceleradores básicos

Problema: descarga entre las placas


Guía de Ondas

1925 Propone usar un campo alternante

Ernst Ising Rolf Wideröe1928 Construye el acelerador propuesto

g(1900‐1998) (1902‐1996)


Guía de Ondas

La idea es formar un pulso e ir variando el campo de modo que este siemprese encuentre en cavidades con un campo que lo acelera:

o en forma grafica


Guía de Ondas

Principio basic


Guía de Ondas

Periodo de la oscilación del generador RF:

Distancia entre disco:


En que la fase depende del diseño, o sea de la solución formal de la ecuación de las cavidad.

Guía de Ondas

Para energías superiores a m0c2 la velocidad del electrón es aproximadamente aquella de la luz con lo que:

Empleando el modelamiento del Klistrón se tiene que el factor de propagación es

y el ángulo de transición queda como

La energía ganada por el electrón después de la n esima cavidad bajo un potencial V es:La energía ganada por el electrón después de la n‐esima cavidad bajo un potencial V es:


La pregunta es como se puede generar este campo magnético alternante (onda)

Guía de Ondas

Ecuaciones de Maxwell

(Coulomb)(Coulomb)

(Monopolos)

(Ampere) (Ohm)

T l

(Faraday) (Lorentz)

Teoremas claves


StockesGreen

Paréntesis derivadas parciales

Una derivada “normal” o “total” es una derivada en que se considera como varia la función pero también las restantes variables de la variable con que se esta derivando:esta derivando:

Una derivada parcial es una derivada en que solo se considera la forma como la función varia en la variable a derivar:

En particular es:


Paréntesis Ecuaciones de Maxwell

Con el teorema de Green

El campo eléctrico sobre una superficie es igual a la suma de todas las cargas

Q


No existen “cargas magnéticas”

Paréntesis Ecuaciones de Maxwell

Con el teorema de Stockes


Guía de Ondas

Sin cargas ρ = 0 y J = 0 y en el vacio (ε=1, μ=1) por lo que:


Guía de Ondas

En forma análoga para el caso sin cargas desplazándose (J = 0):


Guía de Ondas

Solución del tipo


Guía de Ondas

Caso sin cargas

o

Ondas libres no pueden acelerar cargas en la dirección en que se desplazan

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p g q p

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Guía de Ondas

Otra situación se da en un cilindro con paredes conductoras

y

z

b

θr

x

Con condiciones de borde en la superficie r = b

Sin campo en la superficie


Paréntesis derivadas parciales vectoriales

Ecuaciones vectoriales de utilidad en este caso (coordenadas cilíndricas)

función escalar

función vectorial


Guía de Ondas

Ecuación en coordenadas cilíndrica:


Guía de Ondas

Solución onda del campo eléctrico:

Jn es la función de Bessel de orden n

Condición de borde:

n

znp raíces de la función de Bessel de n orden. Solución que cumple condiciones de bordeborde


Guía de Ondas

Solución onda del campo magnético:

Jn es la función de Bessel de orden n

Condición de borde:

znp raíces de la función de Bessel de n orden. Solución que cumple condiciones de borde

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Las raíces de la solución para el campo eléctrico y magnético son distintas por lo que no puede existir un modo en que existan simultáneamente componentes en z.


Guía de Ondas

Modos

SiSi

hablamos de ondas eléctricas transversales (TE) y sus modos se denota por TEnp

Si

hablamos de ondas magnéticas transversales (TM) y sus modos se denota por TMnp

Como

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Buscamos modos del tipo TM.


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Raíces:

Frecuencia cut‐off

k real, oscilación

k imaginario, amortiguación


Guía de Ondas

Velocidades

Problema: la velocidad de grupo (partícula) es menor que la de fase (onda) con lo que esta ultima sobrepasa a la primera no permitiendo la aceleración de partículas.

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Para evitar esto se debe trabajar con otras condiciones de borde: la cavidad


Guía de Ondas

Caso con cavidad; solución general

r

con la condición de borde

d

lleva a que


Guía de Ondas

Los modos ahora son descritos por 3 parámetros; ejemplo TMnpj

TM010 TM011

siendo ahora el espectro discreto con:


Guía de Ondas

Trabajemos con la solución TM010:

como

y

nos da las soluciones


Guía de Ondas

Como la densidad de energía en la cavidad es:

Con las soluciones se obtieneobtiene

Que en particular para el tiempo t=0 da

y la integral en la cavidad


Guía de Ondas

Si se integra el producto de las funciones de Bessel se obtiene la energía por cavidad:

Como la energía ganada por los electrones es igual a:

Se obtiene una relación entre el cuadrado de la energía ganada y la energía t id l id d f t d i lid d l d d d lcontenida en la cavidad cuyo factor de proporcionalidad solo depende de la

geometría de la cavidad:


Uso de Guía de Ondas

Synchrotron

Linac


Construcción de la Guía de Ondas

dn dn+1d1 d2 d3 d4

1 2 3 4 n n+1Haz

Generador deGenerador deRadiofrecuenciaRango MeV ‐ GeV


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