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McGraw-Hill/Irwin Corporate Finance, 7/e © 2005 The McGraw-Hill Companies, Inc. All Rights Reserved. 4-1 Estadísti ca Capítulo 6 Principios de Probabilidad Ing. Holger Cevallos Valdiviezo Principios de Probabilidad Universidad Católica de Guayaquil

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4-1

EstadísticaCapítulo 6

Principios de Probabilidad

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1-2

Objetivos

El alumno:Utilizará la teoría de la probabilidad para hacer inferencias estadísticas en la resolución de problemas y como una herramienta para reducir el nivel de incertidumbre.Aplicará los fundamentos de la teoría de la probabilidad en el cálculo de probabilidades de diferentes tipos de sucesos, con un enfoque especial en los negocios y la economía.

El alumno:Utilizará la teoría de la probabilidad para hacer inferencias estadísticas en la resolución de problemas y como una herramienta para reducir el nivel de incertidumbre.Aplicará los fundamentos de la teoría de la probabilidad en el cálculo de probabilidades de diferentes tipos de sucesos, con un enfoque especial en los negocios y la economía.

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1-3

Contenido

6.1 Probabilidad: Experimentos, resultados y conjuntos

6.2 Modelo de Frecuencia Relativa

6.3 Uniones e intersecciones

6.4 Tipos de eventos

6.5 Tablas de Contingencia y Tablas de probabilidad

6.1 Probabilidad: Experimentos, resultados y conjuntos

6.2 Modelo de Frecuencia Relativa

6.3 Uniones e intersecciones

6.4 Tipos de eventos

6.5 Tablas de Contingencia y Tablas de probabilidad

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1-4

Contenido

6.6 Probabilidad Condicional

6.7 Regla de la Multiplicación

6.8 Regla de la Adición

6.9 Teorema de Bayes

6.6 Probabilidad Condicional

6.7 Regla de la Multiplicación

6.8 Regla de la Adición

6.9 Teorema de Bayes

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Teoría de Probabilidad

Es la probabilidad numérica, medida entre 0 y 1 de que ocurra un evento.

P(evento cierto) = 1

P(evento imposible) = 0

Por tanto,

Es la probabilidad numérica, medida entre 0 y 1 de que ocurra un evento.

P(evento cierto) = 1

P(evento imposible) = 0

Por tanto,

10 iEP

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Probabilidad: Experimentos, resultados y conjuntos

Experimento: proceso que produce un evento.

Un experimento es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido.

El conjunto de todos los posible resultados para un experimento es el espacio muestral.

Experimento: proceso que produce un evento.

Un experimento es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido.

El conjunto de todos los posible resultados para un experimento es el espacio muestral.

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Probabilidad: Experimentos, resultados y conjuntos

El espacio muestral para lanzar un dado es:El espacio muestral para lanzar un dado es:

6,5,4,3,2,1SS

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Probabilidad: Experimentos, resultados y conjuntos

La probabilidad de que al menos uno de los eventos que están en el espacio muestral ocurra es igual a 1. Si se lanza un dado, el resultado debe ser un número entre 1 y 6. Debido a que esto es una certeza puede decirse que:

La probabilidad de que al menos uno de los eventos que están en el espacio muestral ocurra es igual a 1. Si se lanza un dado, el resultado debe ser un número entre 1 y 6. Debido a que esto es una certeza puede decirse que:

1 iEP

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Modelo de frecuencia relativa

Utiliza datos que se han observado empíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base en estos datos históricos.

Utiliza datos que se han observado empíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base en estos datos históricos.

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Modelo de frecuencia relativa

La probabilidad de un evento con base en el modelo de frecuencia relativa se determina mediante:

La probabilidad de un evento con base en el modelo de frecuencia relativa se determina mediante:

EP # de veces que ha ocurrido el evento

# total de observaciones

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Modelo Clásico

Se relaciona con mayor frecuencia con las apuestas y juegos de azar.Se relaciona con mayor frecuencia con las apuestas y juegos de azar.

EP # de formas en las que puede ocurrir un evento

# total de posibles resultados

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Modelo Clásico

La probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de una moneda es:

La probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de una moneda es:

caraP# de formas en las que puede ocurrir un evento

# total de posibles resultados 21

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Modelo Clásico

La probabilidad de sacar un 3 con un dado de seis caras es:La probabilidad de sacar un 3 con un dado de seis caras es:

# de formas en las que puede ocurrir un evento

# total de posibles resultados 3P

61

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Uniones, intersecciones y relaciones entre eventos

Un conjunto es toda reunión de objetos. Se asume que se han identificado dos conjuntos A y B.

La intersección entre A y B, que se escribe A∩B, consta de los elementos que son coomunes tanto a A como a B.

Un conjunto es toda reunión de objetos. Se asume que se han identificado dos conjuntos A y B.

La intersección entre A y B, que se escribe A∩B, consta de los elementos que son coomunes tanto a A como a B.

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Uniones, intersecciones y relaciones entre eventos

A (Todos los estudiantes de la clase)

B (Todos los especialistas en economía)

(A∩B) “A intersección B”(Especialistas en economía en la clase)

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Uniones, intersecciones y relaciones entre eventos

La unión de A y B, que se escribe AUB, consta de tales elementos que están o en A o en B o en ambos.

Todos los estudiantes que están en la clase (conjunto A), sin tener en cuenta su especialización, y todos los especialistas en economía (conjunto B), sin tener en cuenta si están en la clase de estadística, son elementos de AUB

La unión de A y B, que se escribe AUB, consta de tales elementos que están o en A o en B o en ambos.

Todos los estudiantes que están en la clase (conjunto A), sin tener en cuenta su especialización, y todos los especialistas en economía (conjunto B), sin tener en cuenta si están en la clase de estadística, son elementos de AUB

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Tipos de eventos

Dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro.

Sacar una cara o un sello al lanzar una moneda una vez. Si se obtiene una cara, no puede ocurrir un sello.

Seleccionar una unidad de producción y encontrarla defectuosa o no defectuosa son eventos mutuamente excluyentes.

Dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro.

Sacar una cara o un sello al lanzar una moneda una vez. Si se obtiene una cara, no puede ocurrir un sello.

Seleccionar una unidad de producción y encontrarla defectuosa o no defectuosa son eventos mutuamente excluyentes.

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Tipos de eventos

Los eventos colectivamente exhaustivos constan de todos los posibles resultados de un experimento y constituyen su espacio muestral.

Los eventos colectivamente exhaustivos de lanzar un dado son 1,2,3,4,5,6. Debido a que existe la certeza de que uno de estos eventos ocurrirá, su probabilidad combinada es igual a uno.

Los eventos colectivamente exhaustivos constan de todos los posibles resultados de un experimento y constituyen su espacio muestral.

Los eventos colectivamente exhaustivos de lanzar un dado son 1,2,3,4,5,6. Debido a que existe la certeza de que uno de estos eventos ocurrirá, su probabilidad combinada es igual a uno.

1654321 oooooP

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Tipos de eventos

De los 500 empleados de una fábrica, 170 son administrativos, 290 son de línea y 40 son auxiliares. Los eventos colectivamente exhaustivos son S, L y A. Si un empleado se selecciona al azar

P(S)=170/500=0.34P(L)=290/500=0.58P(A)=40/500=0.08

De los 500 empleados de una fábrica, 170 son administrativos, 290 son de línea y 40 son auxiliares. Los eventos colectivamente exhaustivos son S, L y A. Si un empleado se selecciona al azar

P(S)=170/500=0.34P(L)=290/500=0.58P(A)=40/500=0.08

Existe certeza que un empleado provenga de una de las categorías, por tanto, P(SoLoA)=1

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Tipos de Eventos

Eventos independientes son eventos en los que la ocurrencia de uno no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro.

El resultado del lanzamiento de una moneda no afecta el lanzamiento de un dado

Dos lanzamientos de una moneda son eventos independientes también

Eventos independientes son eventos en los que la ocurrencia de uno no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro.

El resultado del lanzamiento de una moneda no afecta el lanzamiento de un dado

Dos lanzamientos de una moneda son eventos independientes también

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Tipos de Eventos

Cuando se saca de un conjunto finito, como por ejemplo una baraja de cartas, dos eventos son independientes si y sólo si se realiza el reemplazo. Sin embargo, si el primer elemento no se reemplaza antes de sacar el segundo elemento, los dos eventos son dependientes.

Cuando se saca de un conjunto finito, como por ejemplo una baraja de cartas, dos eventos son independientes si y sólo si se realiza el reemplazo. Sin embargo, si el primer elemento no se reemplaza antes de sacar el segundo elemento, los dos eventos son dependientes.

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Tipos de Eventos

Si se seleccionan dos trabajadores de la misma fábrica, la probabilidad de que el primero sea un administrativo es P(S)=170/500=0.34. Si esta selección no se reemplaza, la probabilidad de que el segundo sea uno de línea es P(L)=290/499, y no 290/500.

Si se seleccionan dos trabajadores de la misma fábrica, la probabilidad de que el primero sea un administrativo es P(S)=170/500=0.34. Si esta selección no se reemplaza, la probabilidad de que el segundo sea uno de línea es P(L)=290/499, y no 290/500.

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Tipos de Eventos

Eventos complementarios son los eventos en los que si un evento no ocurre, el otro debe ocurrir.

Son colectivamente exhaustivos, porque si A no ocurre, “no A” debe ocurrir. Por tanto,

Eventos complementarios son los eventos en los que si un evento no ocurre, el otro debe ocurrir.

Son colectivamente exhaustivos, porque si A no ocurre, “no A” debe ocurrir. Por tanto,

1_

APAP

Si no se selecciona un miembro del personal administrativo de la fábrica, entonces debe ser o uno de línea o uno auxiliar

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Clasificación de los empleadosClasificación de los empleados

GéneroGénero PersonalPersonal LíneaLínea AuxiliarAuxiliar TotalTotal

HombresHombres 120120 150150 3030 300300

MujeresMujeres 5050 140140 1010 200200

TotalTotal 170170 290290 4040 500500

Tablas de contingencia y tablas de probabilidad

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Clasificación de los empleadosClasificación de los empleados

GéneroGénero Personal Personal (S)(S)

Línea Línea (L)(L)

Auxiliar Auxiliar (A)(A)

TotalTotal

Hombres Hombres (M)(M)

120/500= 120/500= 0.240.24

150/500150/500=0.3=0.3

30/500= 30/500= 0.060.06

300/500300/500=0.6=0.6

MujeresMujeres 50/500= 50/500= 0.10.1

140/500140/500=0.28=0.28

10/500= 10/500= 0.020.02

200/500200/500=0.4=0.4

TotalTotal 170/500= 170/500= 0.340.34

290/500290/500=0.58=0.58

40/500= 40/500= 0.080.08

500/500500/500=1=1

Tablas de contingencia y tablas de probabilidad

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Probabilidad Condicional

Probabilidad condicional: es la probabilidad de que el evento A ocurra, dado que o a condición de que el evento B ya haya ocurrido.

Probabilidad condicional: es la probabilidad de que el evento A ocurra, dado que o a condición de que el evento B ya haya ocurrido.

BP

ABPAP

BPBAP

BAP

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Probabilidad Condicional

La probabilidad de sacar una jota de una baraja de 52 cartas es P(J)=4/52 debido a que hay 4 jotas en una baraja. Se desea saber la probabilidad e que la cartas sacada fuese una jota, dada la información adiciona de que es una figura (F). Es decir P(J/F). Ya que 4 de las 12 figuras de una baraja son jotas P(J/F)=4/12

La probabilidad de sacar una jota de una baraja de 52 cartas es P(J)=4/52 debido a que hay 4 jotas en una baraja. Se desea saber la probabilidad e que la cartas sacada fuese una jota, dada la información adiciona de que es una figura (F). Es decir P(J/F). Ya que 4 de las 12 figuras de una baraja son jotas P(J/F)=4/12

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Probabilidad Condicional

124

52121524

FP

JFPJP

FPFJP

FJP

P(F/J) es 1 debido a que todas las jotas son figuras.

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En el ejemplo de la fábrica, si se desea calcular la probabilidad de que el trabajador sea hombre dado que es un miembro del personal administrativo P(M/S) se puede hallar así

En el ejemplo de la fábrica, si se desea calcular la probabilidad de que el trabajador sea hombre dado que es un miembro del personal administrativo P(M/S) se puede hallar así

71.0

34.024.0

SPSMP

SMP

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Las dos reglas de la probabilidad

Existe dos reglas básicas que deben seguirse para calcular la probabilidad de eventos más complejos:

• Regla de la multiplicación• Regla de la adición

Existe dos reglas básicas que deben seguirse para calcular la probabilidad de eventos más complejos:

• Regla de la multiplicación• Regla de la adición

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Regla de la multiplicación

Determina la probabilidad del evento conjunto P(A∩B). Para encontrar la probabilidad de A y B se multiplican sus respectivas probabilidades.

Para eventos independientes la probabilidad de dos eventos se vuelve:

Determina la probabilidad del evento conjunto P(A∩B). Para encontrar la probabilidad de A y B se multiplican sus respectivas probabilidades.

Para eventos independientes la probabilidad de dos eventos se vuelve:

BPAPBAP

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La probabilidad de sacar un 3 con un dado y una cara con una moneda es

La probabilidad de sacar un 3 con un dado y una cara con una moneda es

12/12/16/133 CPPCP

La probabilidad de sacar una carta de las 13 cartas de corazones de una baraja de 52 cartas y de sacar un número par con un dado es:

312/396/352/13 EPHPEHP

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Probabilidad de eventos dependientes (probabilidad condicional)

Si los eventos son dependientes, entonces, se debe considerar el primer evento al determinar la probabilidad del segundo. Es decir, la probabilidad del evento B depende de la condición que A ya haya ocurrido.

Si los eventos son dependientes, entonces, se debe considerar el primer evento al determinar la probabilidad del segundo. Es decir, la probabilidad del evento B depende de la condición que A ya haya ocurrido.

ABPAPBAP

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El gerente de un banco recolecta datos sobre 100 de sus clientes. De los 60 hombres, 40 tienen tarjetas de crédito (C). De las 40 mujeres, 30 tienen tarjeta de crédito (C) . Diez de los hombres tienen saldos vencidos (B), mientras que 15 de las mujeres tienen saldos vencidos (B). El gerente de crédito desea determinar la probabilidad de que un cliente seleccionando al azar sea:

El gerente de un banco recolecta datos sobre 100 de sus clientes. De los 60 hombres, 40 tienen tarjetas de crédito (C). De las 40 mujeres, 30 tienen tarjeta de crédito (C) . Diez de los hombres tienen saldos vencidos (B), mientras que 15 de las mujeres tienen saldos vencidos (B). El gerente de crédito desea determinar la probabilidad de que un cliente seleccionando al azar sea:

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Una mujer con tarjeta de crédito:Una mujer con tarjeta de crédito:

WCPWPCWP

Claramente, P(W)=40/100. Además, de las 40 mujeres 30 tienen tarjetas de crédito. Por tanto, dado que el clientes es una mujer, la probabilidad de que tenga una tarjeta de crédito es P(C|W=30/40. Entonces:

3.040/30100/40 WCPWPCWP

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Regla de la Adición

Se utiliza para determinar la probabilidad de A ó B, (cuando los eventos no son mutuamente excluyentes)

Se utiliza para determinar la probabilidad de A ó B, (cuando los eventos no son mutuamente excluyentes)

BAPBPAPBAP

Se debe restar la probabilidad conjunta cuando los eventos no son mutuamente excluyentes es para evitar el doble conteo.

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La probabilidad de sacar un as o una de las 13 cartas de corazones de una baraja es

La probabilidad de sacar un as o una de las 13 cartas de corazones de una baraja es

HAPHPAP

Los eventos A y H no son mutuamente excluyentes, debido a que ambos ocurren si se sacara el as de corazones. Por tanto,

52/152/1352/4 HAPHPAP

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Regla de la adición

Cuando se cuentan los cuatro ases, se incluye el as de corazones. Cuando se cuenta las trece caratas de corazones se incluye el as de corazones por segunda vez. Debido a que sólo hay un as de corazones, es necesario restarlo una vez.

Cuando se cuentan los cuatro ases, se incluye el as de corazones. Cuando se cuenta las trece caratas de corazones se incluye el as de corazones por segunda vez. Debido a que sólo hay un as de corazones, es necesario restarlo una vez.

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Probabilidad del evento A o del evento B (cuando los eventos son mutuamente excluyentes).

Probabilidad del evento A o del evento B (cuando los eventos son mutuamente excluyentes).

BPAPBAP

Regla de la adición

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La probabilidad de que un cliente prefiera súper o extra (eventos mutuamente excluyentes debido a que no puede preferir ambas) es

La probabilidad de que un cliente prefiera súper o extra (eventos mutuamente excluyentes debido a que no puede preferir ambas) es

7.05.02.0 EPSPESP

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Teorema de Bayes

Definición para dos eventos A y B:Definición para dos eventos A y B:

BDPBPADPAP

DAP

DBPDAPDAP

DAP

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En una fábrica se utilizan dos máquinas para producción. La máquina A produce el 60% de la producción total, y la máquina B produce el restante 40%. El 2% de las unidades producidas por A son defectuosas, mientras que B tiene una tasa de defectos del 4%.

Esto se muestra en el diagrama de árbol

En una fábrica se utilizan dos máquinas para producción. La máquina A produce el 60% de la producción total, y la máquina B produce el restante 40%. El 2% de las unidades producidas por A son defectuosas, mientras que B tiene una tasa de defectos del 4%.

Esto se muestra en el diagrama de árbol

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Máquina A

Máquina B

6.0AP

4.0BP

98.0_

ADP

Unidad no defectuosa de A

Unidad defectuosa de A

02.0ADP

96.0_

BDP

04.0

BDP

Unidad no defectuosa de B

Unidad defectuosa de B

588.098.06.0__

ADPAPDAP

012.002.06.0

ADPAPDAP

384.096.04.0__

BDPBPDBP

016.004.04.0

BDPBPDBP

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429.0016.0012.0

012.0

DBPDAPDAP

DPDAP

DAP

Se desea saber la probabilidad de que la unidad defectuosa fue producida por la máquina A

Mientras que P(A)=0.6, P(A|D)=0.429. Se nota que P(A|D)<P(A) debido a que la máquina A produce un porcentaje menor de defectos que la máquina B.

Ing. Holger Cevallos Valdiviezo Principios de Probabilidad Universidad Católica de Guayaquil