2/7/12   Lecture  8   1  

Two  types  of  random  variables  •  A  discrete  random  variable  has  a  finite  number  of  possible  

values  or  an  infinite  sequence  of  countable  real  numbers.  –  X:  number  of  hits  when  trying  20  free  throws.  –  X:  number  of  customers  who  arrive  at  the  bank  from  8:30  –  9:30AM  Mon-­‐Fri.  

–  E.g.  Binomial,  Poisson  …  

 •  A  con*nuous  random  variable  takes  all  values  in  an  interval  

of  real  numbers.  –  X:  the  Qme  it  takes  for  a  bulb  to  burn  out.  –  The  values  are  not  countable.    

2/7/12   Lecture  8   2  

Discrete  Random  Variable  

2/7/12   Lecture  8   3  

 Example  1:  Flip  a  coin  4  Qmes  •  Find  the  probability  distribuQon  of  the  random  variable  

describing  the  number  of  heads  that  turn  up  when  a  coin  is  flipped  four  Qmes.  

•  Solu*on  

1/16   4/16   6/16   4/16   1/16  

2/7/12   Lecture  8   4  

Probability  Histogram  

Example  2:  randomly  sampling  and  tesQng  10  items  from  a  shipment  

•  Suppose  it’s  known  that  5%  of  all  items  do  not  conform  to  quality  standards.  

•  A  =  at  most  one  of  the  sampled  items  fails  the  test    B  =  none  of  the  sampled  items  passes  the  test    C  =  exactly  one  item  fails  to  meet  standards    D  =  at  least  one  fails  to  meet  standards  

 •  Define  r.v.  X  =  #  of  items  that  fail  the  test,  so  •  A  -­‐>  X  ≤  1    B  -­‐>  (1)  X  =  0  or  (2)  X  =  10?    C  -­‐>  X  =  1    D  -­‐>  X  ≥  1  

 2/7/12   Lecture  8   5  

Answers  

•  X  ~  Binomial(10,  .05),  therefore    •  P(A)  =  P(0)  +  P(1)  =  .914  •  P(B)  =  P(10)  =  .000  •  P(C)  =  P(1)  =  .315  •  P(D)  =  1  –  P(0)  =  1  -­‐  .599  =  .401  

2/7/12   Lecture  8   6  

2/7/12   Lecture  8   7  

 ConQnuous  Random  Variable  

•  A  conQnuous  random  variable  X  takes  all  values  in  an  interval  of  numbers.    e.g.  life  Qme  of  a  regular  bulb.    –  Not  countable    

•  The  probability  distribuQon  of  a  conQnuous  r.v.  X  is  described  by  a  density  curve.    – What  is  a  density  curve?  

2/7/12   Lecture  8   8  

 ConQnuous  DistribuQon  •  The  probability  of  any  event  is  the  area  under  the  density  

curve  and  above  the  values  of  X  that  make  up  the  event.  

2/7/12   Lecture  8   9  

 ConQnuous  DistribuQon  •  The  probability  model  for  a  conQnuous  random  variable  

assigns  probabiliQes  to  intervals  of  outcomes  rather  than  to  individual  outcomes.  

 •  In  fact,  all  conQnuous  probability  distribuQons  assign  

probability  0  to  every  individual  outcome.  –  The  spinner    

•  Examples:  Normal  distribuQons,  ExponenQal  DistribuQons,  Uniform  DistribuQons,  etc.  

 •  Self-­‐Reading:  example  5.10  on  Pg  216-­‐217.  

2/7/12   Lecture  8   10  

Women  Height  •  The  height  of  American  women  aged  18  –  24  is  approximately    

normally  distributed  with  mean  64.3  inches  and  s.d.  2.4  inches.  Two  women  in  the  age  group  are  randomly  selected.  Suppose  their  heights  are  independent.  

 •  What  is  the  probability  that  both  of  them  are  taller  than  66  

inches?  Define  X  =  an  American  woman’s  height,  X  ~N(64.3,  2.4).    For  only  one  woman,    P(X  >  66inches)  =？  P(both  are  taller  than  66  in.)  =  P(X1>  66  in.)*P(X2>66  in.)                            =？  

2/7/12   Lecture  9   11  

Women  Height  •  The  height  of  American  women  aged  18  –  24  is  approximately    

normally  distributed  with  mean  64.3  inches  and  s.d.  2.4  inches.  Two  women  in  the  age  group  are  randomly  selected.  Suppose  their  heights  are  independent.  

 •  What  is  the  probability  that  both  of  them  are  taller  than  66  

inches?  Define  X  =  an  American  woman’s  height,  X  ~N(64.3,  2.4).    For  only  one  woman,    P(X  >  66inches)  =？  P(both  are  taller  than  66  in.)  =  P(X1>  66  in.)*P(X2>66  in.)                            =？  

Review:  Mean  (Expected  Value)  of  a  r.v.  

•  Mean  of  a  conQnuous  r.v.  – Let  f(x)  be  the  density  funcQon  for  a  conQnuous  random  variable  X,  then  the  mean  of  X  is:  

 

•  Mean  of  a  discrete  r.v.  – Let  p(x)  be  the  mass  funcQon  for  a  conQnuous  random  variable  X,  then  the  mean  of  X  is:  

∫∞

∞−⋅= dxxfxX )(µ

∑ ⋅= )(xpxXµ2/7/12   12  Lecture  9  

Examples—Means  of  some  r.v.s  

•  ConQnuous  distribuQons  – Normal  (µ,σ)  —    µ    – ExponenQal  (λ)    —    1/  λ    – Uniform  (a,  b)  —    (a+b)/2  

•  Discrete  distribuQons  – Binomial  (n,  π)  —    nπ    – Poisson  (λ)  —    λ    

2/7/12   13  Lecture  9  

2/7/12   Lecture  9   14  

Free-­‐throws  

•  A  BoilerMaker  basketball  player  is  a  80%  free-­‐throw  shooter.  

•  Suppose  he  will  shoot  5  free-­‐throws  during  each  pracQce.    

•  X:  number  of  hits  he  makes  during  the  pracQce.  •  Find  the  mean  of  X.    µ  =  n*π  =  5  *  80%  =  4  

Review:  Variance  of  a  r.v.    

•  Variance  for  conQnuous  r.v.s  –  Let  f(x)  be  the  density  funcQon  for  a  conQnuous  random  variable  X,  then  the  variance  of  X  is:  

•  Variance  for  discrete  r.v.s  –  Let  p(x)  be  the  mass  funcQon  for  a  conQnuous  random  variable  X,  then  the  variance  of  X  is:  

 •             -­‐  Standard  deviaQon  of  X,    is  square  root  of  the  variance    

( )∫∞

∞−⋅−= dxxfx XX )(22 µσ

( )∑ ⋅−= )(22 xpx XX µσ

2Xσ

Xσ

2/7/12   15  Lecture  9  

Examples—Variances  of  certain  r.v.s  

•  ConQnuous  distribuQons  – Normal  (µ,σ)  —    σ2    – ExponenQal  (λ)    —    1/  λ2    – Uniform  (a,  b)  —    (b–a)2/12  

•  Discrete  distribuQons  – Binomial  (n,  π)  —    nπ(1–π)      – Poisson  (λ)  —    λ    

2/7/12   16  Lecture  9  

2/7/12   Lecture  9   17  

•  The  total  number  of  cars  to  be  sold  next  week  is  described  by  the  following  probability  distribuQon  

•  Determine  the  expected  value  and  standard  deviaQon  of  X,  the  number  of  cars  sold.  

x 0 1 2 3 4 p(x) .05 .15 .35 .25 .20

Car  Sales  

11.124.1

24.1)20(.)4.24()25(.)4.23()35(.)4.22(

)15(.)4.21()05(.)4.20()()4.2(

40.2)20.0(4)25.0(3)35.0(2)15.0(1)05.0(0)(

222

225

1

22

5

1

==

=−+−+−+

−+−=−=

=++++==

∑

∑

=

=

X

iiiX

iiiX

xpx

xpx

σ

σ

µ

Independent  r.v.s  •  X  and  Y  are  said  to  be  independent  if  the  events  X  <  a  and  Y  <  b  are  independent  for  

all  possible  combinaQons  of  real  numbers  a  and  b,  i.e.  P(X<  a  and  Y  <  b)  =  P(X<  a)P(Y<  b).    

•  For  Discrete  r.v.  ONLY:  We  can  use  “=“  to  replace  “<“.    •  Ex.41  (Pg  223),  Part(c)  Are  X  and  Y  independent?  •                                                                                                                                                           y              •                                                                                                                 10            15        20  •                                                                                         5                  .20          .15      .05  •                                         x                                6                  .10          .15      .10  •                                                                                         7                  .10          .10      .05  •                                               •                       Answer:  No,  because  for  X=5  and  Y  =  10,  P(X=5  and  Y=10)  =  0.20,    while  P(X=5)P(Y=10)  =  .4*0.4  =  0.16,    i.e.  P(X=5  and  Y=10)≠P(X=5)P(Y=10).  

2/7/12   Lecture  9   18  

Awer  Class…  •  Review  Sec  5.4  •  Read  Sec  5.5  and  5.6  •  Hw#4,  due  by  5pm  next  Monday.        

     

2/7/12   19  Lecture  9