Two shorter and simpler proofs in spectral graph theory

8/13/2019 Two shorter and simpler proofs in spectral graph theory

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U n i v . B e o g r a d . P u b l . E l e k t r o t e h n . F a k .

S e r . M a t . 9 1 9 9 8 , 8 9 1 0 2 .

4 - R E G U L A R I N T E G R A L G R A P H S

D . C v e t k o v i c , S . K . S i m i c , D . S t e v a n o v i c

P o s s i b l e s p e c t r a o f 4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s a r e d e t e r m i n e d . S o m e c o n s t r u c t i o n s

a n d a l i s t o f 6 5 k n o w n c o n n e c t e d 4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s a r e g i v e n .

1 . I N T R O D U C T I O N

A g r a p h i s c a l l e d i n t e g r a l i f a l l i t s e i g e n v a l u e s o f t h e a d j a c e n c y m a t r i x

a r e i n t e g e r s . T h e q u e s t f o r i n t e g r a l g r a p h s w a s i n i t i a t e d b y F . H a r a r y a n d A

J . S c h w e n k 1 2 . A l l s u c h c o n n e c t e d c u b i c g r a p h s w e r e o b t a i n e d b y D . C v e t k o -

v i

c a n d F . C . B u s s e m a k e r 6 3 , a n d i n d e p e n d e n t l y b y A . J . S c h w e n k 1 5

T h e r e a r e e x a c t l y t h i r t e e n c o n n e c t e d c u b i c i n t e g r a l g r a p h s . I n f a c t , D . C v e t k o v i

c

6 p r o v e d t h a t t h e s e t o f c o n n e c t e d r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s o f a x e d d e g r e e i s n i t e .

S i m i l a r l y , t h e s e t o f c o n n e c t e d i n t e g r a l g r a p h s w i t h b o u n d e d v e r t e x d e g r e e s i s n i t e .

Z . R a d o s a v l j e v i

c a n d S . S i m i

c 1 6 d e t e r m i n e d a l l 1 3 c o n n e c t e d n o n r e g u l a r n o n -

b i p a r t i t e i n t e g r a l g r a p h s w h o s e m a x i m u m d e g r e e e q u a l s f o u r . T h e c o r r e s p o n d i n g

p r o b l e m f o r b i p a r t i t e g r a p h s i s n o t y e t a n s w e r e d s e e 1 6 f o r s o m e d e t a i l s . R e -

c e n t l y , D . S t e v a n o v i

c 1 7 d e t e r m i n e d a l l 2 4 c o n n e c t e d 4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s

a v o i d i n g 3 i n t h e s p e c t r u m . I n t h i s p a p e r w e a r e i n t e r e s t e d i n c o n n e c t e d 4 - r e g u l a r

i n t e g r a l g r a p h s .

T h e s e a r c h f o r i n t e g r a l g r a p h s b e c o m e s e a s i e r i f w e u s e t h e f o l l o w i n g p r o d u c t

o f g r a p h s . G i v e n t w o g r a p h s G a n d H w i t h v e r t e x s e t s V G a n d V H t h e i r

p r o d u c t G H i s t h e g r a p h w i t h t h e v e r t e x s e t V G V H i n w h i c h t w o v e r t i c e s

x a a n d y b a r e a d j a c e n t i f a n d o n l y i f x i s a d j a c e n t t o y i n G a n d a i s a d j a c e n t

t o b i n H I f

1

; : : : ;

n

a r e t h e e i g e n v a l u e s o f G a n d

1

; : : : ;

m

a r e t h e e i g e n v a l u e s

o f H t h e n t h e e i g e n v a l u e s o f G H a r e

i

j

f o r i = 1 ; : : : ; n ; j = 1 ; : : : ; m s e e 8

I f G i s c o n n e c t e d , n o n b i p a r t i t e , 4 - r e g u l a r a n d i n t e g r a l , t h e n t h e p r o d u c t G K

2

i s

c o n n e c t e d , b i p a r t i t e , 4 - r e g u l a r a n d i n t e g r a l , s i n c e t h e e i g e n v a l u e s o f K

2

a r e 1 a n d

1 T h e r e f o r e , i n d e t e r m i n i n g 4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s w e c a n c o n s i d e r b i p a r t i t e

g r a p h s o n l y , a n d l a t e r e x t r a c t s u c h n o n b i p a r t i t e g r a p h s G f r o m t h e d e c o m p o s i t i o n s

o f b i p a r t i t e o n e s i n t h e f o r m G K

2

O n t h e o t h e r h a n d , i f G i s b i p a r t i t e t h e n

G K

2

= 2 G a n d w e c a n n o t o b t a i n n e w g r a p h s b y i t e r a t i n g t h e p r o d u c t w i t h K

2

I n S e c t i o n 2 w e n d a l l p o s s i b l e s p e c t r a o f c o n n e c t e d b i p a r t i t e 4 - r e g u l a r i n -

t e g r a l g r a p h s . I n S e c t i o n 3 w e g i v e s o m e u p p e r b o u n d s o n t h e n u m b e r o f v e r t i c e s

i n r - r e g u l a r b i p a r t i t e g r a p h s . T o g e t h e r w i t h r e s u l t s a n n o u n c e d i n 1 9 , i t f o l l o w s

t h a t , e x c e p t f o r 5 e x c e p t i o n a l s p e c t r a , e a c h 4 - r e g u l a r b i p a r t i t e i n t e g r a l g r a p h h a s

1 9 9 1 M a t h e m a t i c s S u b j e c t C l a s s i c a t i o n : 0 5 C 5 0

8 9


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9 0 D . C v e t k o v i c , S . S i m i c , D . S t e v a n o v i c

a t m o s t 1 2 6 0 v e r t i c e s . I n S e c t i o n 4 w e g i v e t h e l i s t o f k n o w n 4 - r e g u l a r i n t e g r a l

g r a p h s . S e c t i o n 5 c o n t a i n s c o n c l u d i n g r e m a r k s .

2 . S P E C T R A O F 4 - R E G U L A R B I P A R T I T E I N T E G R A L G R A P H S

S u p p o s e t h a t G i s a 4 - r e g u l a r b i p a r t i t e i n t e g r a l g r a p h . R e g u l a r b i p a r t i t e

g r a p h s h a v e t h e s a m e n u m b e r o f v e r t i c e s i n e a c h p a r t s o t h a t w e m a y a s s u m e t h a t

t h e y h a v e p = 2 n v e r t i c e s . U s i n g s u p e r s c r i p t s t o r e p r e s e n t m u l t i p l i c i t i e s , w e s h a l l

w r i t e i t s s p e c t r u m i n t h e f o r m

4 3

x

2

y

1

z

0

2 w

1

z

2

y

3

x

4

L e t f u r t h e r q a n d h d e n o t e t h e n u m b e r s o f q u a d r i l a t e r a l s a n d h e x a g o n s i n G I t

i s w e l l k n o w n t h a t t h e s u m o f k

t h

p o w e r s o f t h e e i g e n v a l u e s i s j u s t t h e n u m b e r o f

c l o s e d w a l k s o f l e n g t h k . T h e r e f r o m w e g e t t h e f o l l o w i n g r e s u l t .

L e m m a 1 . T h e p a r a m e t e r s n ; x ; y ; z ; w ; q ; h s a t i s f y t h e D i o p h a n t i n e e q u a t i o n s

1

2

P

0

i

= 1 + x + y + z + w = n 1

1

2

P

2

i

= 1 6 + 9 x + 4 y + z = 4 n 2

1

2

P

4

i

= 2 5 6 + 8 1 x + 1 6 y + z = 2 8 n + 4 q 3

1

2

P

6

i

= 4 0 9 6 + 7 2 9 x + 6 4 y + z = 2 3 2 n + 7 2 q + 6 h 4

A n o t h e r u s e f u l l e m m a i s d u e t o A . J . H o f f m a n 1 3 . L e t G b e a r e g u l a r

g r a p h w i t h d i s t i n c t e i g e n v a l u e s

1

= r

2

; : : : ;

k

a n d l e t A b e t h e a d j a c e n c y

m a t r i x o f G J s t a n d s f o r a l l 1 - m a t r i x , a n d I i s t h e i d e n t i t y m a t r i x .

L e m m a 2 . T h e a d j a c e n c y m a t r i x A s a t i s e s t h e e q u a t i o n

k

Y

i = 2

r

i

J = p

k

Y

i = 2

A

i

I 5

T h e s e a r c h f o r p o s s i b l e s p e c t r a i s d i v i d e d i n c a s e s d e p e n d i n g o n t h e g r e a t e s t

i n t e g e r l e s s t h a n 4 w h i c h i s a v o i d e d i n t h e s p e c t r u m o f G s e e 1 5 .

1 . C a s e x = 0

B y p u t t i n g x = 0 i n t h e e q u a t i o n s 1 4 a n d t h e n e l i m i n a t i n g n a n d y f r o m

1 a n d 2 w e g e t 3 z + 4 w = 1 2 a n d s i n c e z w 0 t h e o n l y p o s s i b i l i t i e s a r e

z w = 0 3 o r z w = 4 0


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4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s 9 1

S u b c a s e z w = 0 , 3

B y s u b s t i t u t i n g t h e v a l u e s o f x z a n d w i n 1 4 a n d p u t t i n g y = n 4 w h i c h

f o l l o w s f r o m 1 i n t o 3 a n d 4 w e g e t

3 n + q = 4 8 6

2 8 n + 1 2 q + h = 6 4 0 7

F r o m 6 i t f o l l o w s t h a t q = 3 q

1

a n d t h u s n + q

1

= 1 6 w h i c h s h o w s t h a t n 1 6

F u r t h e r , f r o m 6 a n d 7 w e g e t h = 8 n + 6 4 I f y = 0 t h e n n = 4 a n d t h e

c o r r e s p o n d i n g s p e c t r u m i s s h o w n i n T a b l e 1 . I f y 0 t h e n H o f f m a n ' s i d e n t i t y

5 r e a d s 3 8 4 J = 2 n A

4

4 A

2

+ 8 n A

3

4 A G r a p h G i s b i p a r t i t e , a n d i f w e

t a k e v e r t i c e s u v f r o m d i s t i n c t p a r t s c o l o u r s , t h e n A

2 k

u v

= 0 S o w e h a v e

3 8 4 = 8 n A

3

u v

4 A

u v

w h e r e f r o m 8 n 3 8 4 i . e . n 4 8 S i n c e n 1 6 t h e

o n l y p o s s i b l e v a l u e s f o r n a r e 6 8 1 2 1 6 . T h e c o r r e s p o n d i n g s p e c t r a a r e s h o w n i n

T a b l e 1 . H e r e a n d i n o t h e r t a b l e s o f p o s s i b l e s p e c t r a t h e c o l u m n L a b e l " i n d i c a t e s

t h e e x i s t e n c e o f g r a p h s w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g s p e c t r u m b y r e f e r r i n g t o t h e l i s t o f

k n o w n 4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s i n S e c t i o n 4 . I f t h e g r a p h w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g

s p e c t r u m d o e s n o t e x i s t , t h e n t h i s c o l u m n c o n t a i n s s y m b o l " . I f a l l t h e g r a p h s

w i t h t h e g i v e n s p e c t r u m a r e k n o w n , t h e n t h e c o l u m n A l l " c o n t a i n s s y m b o l + " .

n x y z w q h L a b e l A l l

4 0 0 0 3 3 6 9 6 I

8 1

+

6 0 2 0 3 3 0 1 1 2 I

1 2 4

+

8 0 4 0 3 2 4 1 2 8 I

1 6 1 2

+

1 2 0 8 0 3 1 2 1 6 0 I

2 4 1 2

+

1 6 0 1 2 0 3 0 1 9 2 I

3 2 1

+

T a b l e 1 : T h e p o s s i b l e i n t e g r a l g r a p h s p e c t r a w i t h x ; z ; w = 0 0 3

S u b c a s e z w = 4 , 0

B y s u b s t i t u t i n g t h e v a l u e s o f x z a n d w i n 1 4 a n d p u t t i n g y = n 5

w h i c h f o l l o w s f r o m 1 i n t o 3 a n d 4 w e g e t

3 n + q = 4 5 8

2 8 n + 1 2 q + h = 6 3 0 9

F r o m 8 i t f o l l o w s q = 3 q

1

a n d t h u s n + q

1

= 1 5 w h i c h s h o w s t h a t n 1 5

F u r t h e r , f r o m 8 a n d 9 w e g e t h = 8 n + 9 0 I f y = 0 t h e n n = 5 a n d t h e

c o r r e s p o n d i n g s p e c t r u m i s s h o w n i n T a b l e 2 . I f y 0 H o f f m a n ' s i d e n t i t y 5

r e a d s 1 4 4 0 J = 2 n A

5

5 A

3

+ 4 A + 8 n A

4

5 A

2

+ 4 I t h e r e f o r e n 1 8 0 a n d s i n c e

n 1 5 t h e o n l y p o s s i b l e v a l u e s f o r n a r e 6 9 1 0 1 2 1 5 . T h e c o r r e s p o n d i n g s p e c t r a

a r e s h o w n i n T a b l e 2 .


4/14



5 0 0 4 0 3 0 1 3 0 I

1 0 1

+

6 0 1 4 0 2 7 1 3 8 I

1 2 2

+

9 0 4 4 0 1 8 1 6 2 I

1 8 1 3

+

1 0 0 5 4 0 1 5 1 7 0 I

2 0 1 3

+

1 2 0 7 4 0 9 1 8 6 |

1 5 0 1 0 4 0 0 2 1 0 I

3 0 1

+

T a b l e 2 : T h e p o s s i b l e i n t e g r a l g r a p h s p e c t r a w i t h x ; z ; w = 0 4 0

2 . C a s e x 0 y = 0

B y p u t t i n g y = 0 i n t h e e q u a t i o n s 1 4 a n d s u b t r a c t i n g 2 f r o m 3 w e

o b t a i n 2 4 0 + 7 2 x = 2 4 n + 4 q f r o m w h i c h q = 6 q a n d

3 x = n + q 1 0 1 0

O n t h e o t h e r h a n d , s u b t r a c t i n g 1 f r o m 2 y i e l d s

8 x = 3 n + w 1 5 1 1

E l i m i n a t i n g x f r o m 1 0 a n d 1 1 w e o b t a i n n = 8 q 3 w 3 5 , a n d s i n c e x ; z ; h 0

w e g e t t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

x = 3 q w 1 5 0 1 2

z = 5 q 3 w 2 1 0 1 3

h = 2 1 0 1 6 q 6 w 0 1 4

H o f f m a n ' s i d e n t i t y 5 n o w r e a d s 3 3 6 0 J = 2 n A

6

1 0 A

4

+ 9 A

2

+ 8 n A

5

1 0 A

3

+ 9 A T h u s , w e g e t n 4 2 0 B y s o l v i n g t h e s y s t e m 1 2 1 4 f o r q a n d w

a n d e l i m i n a t i n g t h e s p e c t r a n o t s a t i s f y i n g n 4 2 0 w e g e t t h e p o s s i b i l i t i e s s h o w n i n

T a b l e 3 . N o n e x i s t e n c e o f g r a p h s w i t h s p e c t r a i n d i c a t e d b y " i s s h o w n i n 1 9

1

3 . C a s e x 0 y 0 z = 0

B y p u t t i n g z = 0 i n t h e e q u a t i o n s 1 4 a n d e l i m i n a t i n g n f r o m 1 a n d 2

w e o b t a i n 4 w = 1 2 + 5 x s o t h a t x = 4 x

1

S u b s t i t u t i n g t h e v a l u e o f n f r o m 2 i n t o

3 w e g e t q = 3 6 + 1 8 x

1

3 y s o t h a t q = 3 q

1

a n d

q

1

= 1 2 + 6 x

1

y 1 5

S u b s t i t u t i n g t h e v a l u e o f n f r o m 2 a n d t h e v a l u e o f q

1

f r o m 1 5 i n t o 4 w e g e t

1

2

h = 4 8 3 9 x

1

+ 4 y 0 a n d t h e r e f o r e

y

3 9

4

x

1

1 2 1 6

1

T h i s w i l l b e p r o v e n e l s e w h e r e .


5/14



7 1 0 3 2 3 6 1 0 2 I

1 4 1

+

1 0 2 0 6 1 3 6 1 0 8

1 2 3 0 5 3 4 2 8 0

1 4 4 0 4 5 4 8 5 2

1 5 4 0 8 2 4 2 8 6

2 0 6 0 1 0 3 4 8 6 4 |

2 1 6 0 1 4 0 4 2 9 8

2 8 9 0 1 5 3 5 4 8 4 |

4 2 1 4 0 2 6 1 6 0 4 4 |

T a b l e 3 : T h e p o s s i b l e i n t e g r a l g r a p h s p e c t r a w i t h x 0 y = 0

F r o m 1 5 a n d 1 6 w e g e t

0 q

1

2 4

1 5

4

x

1

1 7

w h i c h g i v e s t h a t x

1

6 E l i m i n a t i n g y f r o m 2 a n d 1 5 y i e l d s n = 1 5 x

1

q

1

+ 1 6

a n d f r o m 1 7 i t f o l l o w s

7 5

4

x

1

8 n 1 5 x

1

+ 1 6 H o f f m a n ' s i d e n t i t y 5 n o w

r e a d s 2 6 8 8 J = 2 n A

6

1 3 A

4

+ 3 6 A

2

+ 8 n A

5

1 3 A

3

+ 3 6 A a n d t h e r e f o r e n 3 3 6

T h e c o r r e s p o n d i n g s p e c t r a a r e s h o w n i n T a b l e 4 .

n x y z w q h L a b e l

1 4 4 1 0 8 5 1 2 6

1 6 4 3 0 8 4 5 4 2

2 1 4 8 0 8 3 0 8 2

2 4 4 1 1 0 8 2 1 1 0 6

2 8 4 1 5 0 8 9 1 3 8

4 2 8 2 0 0 1 3 1 2 1 0 0

5 6 1 2 2 5 0 1 8 1 5 6 2

T a b l e 4 : T h e p o s s i b l e i n t e g r a l g r a p h s p e c t r a w i t h x ; y 0 z = 0

4 . C a s e x 0 y 0 z 0 w = 0

E l i m i n a t i n g y a n d z f r o m 1 a n d 2 w e g e t y = n

8

3

x 5 a n d z =

5

3

x + 4

f r o m w h i c h x = 3 x

1

. E l i m i n a t i n g t h e n q a n d h f r o m 3 a n d 4 , w e o b t a i n q =

3 n + 3 0 x

1

+ 4 5 a n d h = 8 n 8 0 x

1

+ 9 0 S i n c e y 1 a n d q h 0 w e g e t

m a x

1

n

1 0

3

2

x

1

m i n

n

1 0

+

9

8

n

8

3

4


6/14



1 4 3 1 9 0 3 3 1 2 2

1 5 3 2 9 0 3 0 1 3 0

1 8 3 5 9 0 2 1 1 5 4

2 0 3 7 9 0 1 5 1 7 0 |

2 1 3 8 9 0 1 2 1 7 8

2 8 6 7 1 4 0 2 1 1 5 4 |

3 0 6 9 1 4 0 1 5 1 7 0

3 0 9 1 1 9 0 4 5 9 0 I

6 0 3

3 5 6 1 4 1 4 0 0 2 1 0 I

7 0 1

3 5 9 6 1 9 0 3 0 1 3 0

3 6 9 7 1 9 0 2 7 1 3 8 |

4 2 9 1 3 1 9 0 9 1 8 6

4 2 1 2 5 2 4 0 3 9 1 0 6

4 5 9 1 6 1 9 0 0 2 1 0 I

9 0 1

4 5 1 2 8 2 4 0 3 0 1 3 0

6 0 1 5 1 5 2 9 0 1 5 1 7 0 |

6 0 1 8 7 3 4 0 4 5 9 0 |

6 3 1 5 1 8 2 9 0 6 1 9 4

6 3 1 8 1 0 3 4 0 3 6 1 1 4

6 3 2 1 2 3 9 0 6 6 3 4

7 0 1 8 1 7 3 4 0 1 5 1 7 0

7 0 2 1 9 3 9 0 4 5 9 0

7 0 2 4 1 4 4 0 7 5 1 0

8 4 2 1 2 3 3 9 0 3 2 0 2 |

8 4 2 4 1 5 4 4 0 3 3 1 2 2 |

8 4 2 7 7 4 9 0 6 3 4 2 |

9 0 2 4 2 1 4 4 0 1 5 1 7 0

9 0 2 7 1 3 4 9 0 4 5 9 0

9 0 3 0 5 5 4 0 7 5 1 0


1 0 5 2 7 2 8 4 9 0 0 2 1 0

1 0 5 3 0 2 0 5 4 0 3 0 1 3 0

1 0 5 3 3 1 2 5 9 0 6 0 5 0

1 2 6 3 6 2 5 6 4 0 2 7 1 3 8

1 2 6 3 9 1 7 6 9 0 5 7 5 8

1 4 0 3 9 3 1 6 9 0 1 5 1 7 0 |

1 4 0 4 2 2 3 7 4 0 4 5 9 0 |

1 4 0 4 5 1 5 7 9 0 7 5 1 0 |

1 8 0 5 1 3 9 8 9 0 1 5 1 7 0 |

1 8 0 5 4 3 1 9 4 0 4 5 9 0 |

1 8 0 5 7 2 3 9 9 0 7 5 1 0 |

2 1 0 6 0 4 5 1 0 4 0 1 5 1 7 0

2 1 0 6 3 3 7 1 0 9 0 4 5 9 0

2 1 0 6 6 2 9 1 1 4 0 7 5 1 0

2 5 2 7 2 5 5 1 2 4 0 9 1 8 6 |

2 5 2 7 5 4 7 1 2 9 0 3 9 1 0 6 |

2 5 2 7 8 3 9 1 3 4 0 6 9 2 6 |

3 1 5 9 0 7 0 1 5 4 0 0 2 1 0

3 1 5 9 3 6 2 1 5 9 0 3 0 1 3 0

3 1 5 9 6 5 4 1 6 4 0 6 0 5 0

4 2 0 1 2 3 8 7 2 0 9 0 1 5 1 7 0 |

4 2 0 1 2 6 7 9 2 1 4 0 4 5 9 0 |

4 2 0 1 2 9 7 1 2 1 9 0 7 5 1 0 |

6 3 0 1 8 6 1 2 9 3 1 4 0 1 5 1 7 0 |

6 3 0 1 8 9 1 2 1 3 1 9 0 4 5 9 0 |

6 3 0 1 9 2 1 1 3 3 2 4 0 7 5 1 0 |

1 2 6 0 3 7 5 2 5 5 6 2 9 0 1 5 1 7 0 |

1 2 6 0 3 7 8 2 4 7 6 3 4 0 4 5 9 0 |

1 2 6 0 3 8 1 2 3 9 6 3 9 0 7 5 1 0 |

T a b l e 5 : T h e p o s s i b l e i n t e g r a l g r a p h s p e c t r a w i t h x ; y ; z 0 w = 0

H o f f m a n ' s i d e n t i t y 5 n o w r e a d s

1 0 0 8 0 J = 2 n A

7

1 4 A

5

+ 4 9 A

3

3 6 A + 8 n A

6

1 4 A

4

+ 4 9 A

2

3 6 I

t h e r e f o r e n 1 2 6 0 . T h e p o s s i b l e s p e c t r a a r e s h o w n i n T a b l e 5 . N o n e x i s t e n c e o f

g r a p h s w i t h s p e c t r a i n d i c a t e d b y " i s s h o w n i n 1 9


7/14


5 . C a s e x 0 y 0 z 0 w 0

E l i m i n a t i n g z ; w ; q ; h f r o m 1 4 , w e g e t

z = 9 x 4 y + 4 n 1 6

w = 8 x + 3 y 3 n + 1 5

q = 1 8 x + 3 y 6 n + 6 0

h = 9 6 x 2 6 y + 3 4 n 4 0

H o f f m a n ' s i d e n t i t y 5 n o w r e a d s

4 0 3 2 0 J = 2 n A

8

1 4 A

6

+ 4 9 A

4

3 6 A

2

+ 8 n A

7

1 4 A

5

+ 4 9 A

3

3 6 A

t h e r e f o r e n 5 0 4 0 S i n c e z w 1 a n d q h 0 w e c a n e a s i l y u s i n g a c o m p u t e r

p r o g r a m o b t a i n t h e p o s s i b l e s p e c t r a . T h e r e a r e 1 8 0 3 s u c h s p e c t r a . I n S u b s e c t i o n 3

w e s h o w t h a t t h e u p p e r b o u n d f o r n i s 3 2 8 0 , h e n c e t h e c a s e n = 5 0 4 0 i s i m p o s s i b l e .

I n 1 9 g r a p h a n g l e s a r e e x p l o i t e d t o s h o w t h e n o n e x i s t e n c e o f g r a p h s w i t h s o m e o f

t h e s e s p e c t r a , r e d u c i n g t h e t o t a l n u m b e r o f p o t e n t i a l s p e c t r a i n t h i s c a s e t o 1 2 5 9 .

I t i s a l s o s h o w n t h e r e t h a t t h e r e a r e o n l y 5 p o t e n t i a l s p e c t r a w i t h 6 3 0 n 2 5 2 0

I n T a b l e 7 w e h a v e s h o w n t h o s e w i t h n 2 0 a n d t h e s e 5 e x c e p t i o n a l s p e c t r a . I n

T a b l e 6 f o r e a c h n 5 0 4 0 n 6 3 0 w e g i v e t h e n u m b e r S P o f p o t e n t i a l s p e c t r a .

n S P n S P n S P n S P n S P n S P n S P

2 1 1 2 4 0 2 4 6 3 3 8 9 0 4 4 1 4 0 4 0 2 4 0 2 8 3 6 0 1 7

2 4 1 4 4 2 2 7 7 0 4 0 1 0 5 4 4 1 4 4 4 2 2 5 2 3 2 4 2 0 2 2

2 8 1 7 4 5 2 9 7 2 3 5 1 1 2 3 9 1 6 8 3 2 2 8 0 4 0 5 0 4 3 3

3 0 1 8 4 8 3 1 8 0 3 5 1 2 0 4 4 1 8 0 3 7 3 1 5 4 7 5 6 0 4 0

3 5 2 2 5 6 3 5 8 4 3 9 1 2 6 4 7 2 1 0 4 7 3 3 6 1 4 6 3 0 4 7

3 6 2 3 6 0 3 3

T a b l e 6 : T h e n u m b e r o f p o t e n t i a l i n t e g r a l g r a p h s p e c t r a w i t h x ; y ; z ; w 0 a n d

2 1 n 6 3 0

3 . U P P E R B O U N D O N T H E N U M B E R O F V E R T I C E S

H e r e w e g i v e t h e u p p e r b o u n d o n t h e n u m b e r o f v e r t i c e s i n r e g u l a r b i p a r t i t e

g r a p h , f r o m w h i c h f o l l o w s t h a t t h e r e a r e n o 4 - r e g u l a r b i p a r t i t e i n t e g r a l g r a p h s w i t h

n = 5 0 4 0 . T h i s u p p e r b o u n d p r e s e n t s i m p r o v e m e n t i n c a s e o f b i p a r t i t e g r a p h s u p o n

p r e v i o u s l y k n o w n u p p e r b o u n d 1 1 f o r r e g u l a r g r a p h s o f g i v e n d i a m e t e r .

T h e o r e m 3 . L e t p b e t h e n u m b e r o f v e r t i c e s o f a c o n n e c t e d r - r e g u l a r b i p a r t i t e

g r a p h G = V E w i t h r a d i u s R T h e n

p

2 r 1

R

2

r 2


8/14



8 1 1 3 2 3 3 1 1 0

9 1 2 3 2 3 0 1 1 8

1 0 1 3 3 2 2 7 1 2 6 I

2 0 5

1 0 2 1 2 4 3 9 8 2

1 2 1 5 3 2 2 1 1 4 2

1 2 2 2 6 1 3 0 1 2 4 I

2 4 3

1 2 2 3 2 4 3 3 9 8

1 2 3 1 1 6 4 5 5 4

1 4 1 7 3 2 1 5 1 5 8

1 4 2 4 6 1 2 4 1 4 0

1 4 2 5 2 4 2 7 1 1 4

1 4 3 2 5 3 3 6 9 6

1 4 3 3 1 6 3 9 7 0

1 5 1 8 3 2 1 2 1 6 6 I

3 0 2 3

1 5 2 5 6 1 2 1 1 4 8

1 5 2 6 2 4 2 4 1 2 2

1 5 3 3 5 3 3 3 1 0 4

1 5 3 4 1 6 3 6 7 8

1 5 4 1 4 5 4 5 6 0

1 6 1 9 3 2 9 1 7 4

1 6 2 6 6 1 1 8 1 5 6

1 6 2 7 2 4 2 1 1 3 0

1 6 3 4 5 3 3 0 1 1 2

1 6 3 5 1 6 3 3 8 6

1 6 4 1 8 2 3 9 9 4

1 6 4 2 4 5 4 2 6 8


1 8 1 1 1 3 2 3 1 9 0

1 8 2 8 6 1 1 2 1 7 2 I

3 6 1

1 8 2 9 2 4 1 5 1 4 6

1 8 3 6 5 3 2 4 1 2 8 I

3 6 2

1 8 3 7 1 6 2 7 1 0 2

1 8 4 3 8 2 3 3 1 1 0

1 8 4 4 4 5 3 6 8 4 I

3 6 3

1 8 5 1 7 4 4 5 6 6

1 8 5 2 3 7 4 8 4 0

2 0 2 1 0 6 1 6 1 8 8

2 0 2 1 1 2 4 9 1 6 2

2 0 3 8 5 3 1 8 1 4 4

2 0 3 9 1 6 2 1 1 1 8

2 0 4 5 8 2 2 7 1 2 6

2 0 4 6 4 5 3 0 1 0 0 I

4 0 1 2

2 0 5 2 1 1 1 3 6 1 0 8

2 0 5 3 7 4 3 9 8 2

2 0 5 4 3 7 4 2 5 6

2 0 6 1 6 6 5 1 3 8

2 0 6 2 2 9 5 4 1 2

7 2 0 2 0 8 1 7 2 3 0 4 3 5 0 0

8 4 0 2 4 4 1 9 6 3 6 4 3 5 0 0

1 2 6 0 3 7 0 2 8 0 5 7 4 3 5 0 0

1 6 8 0 4 9 6 3 6 4 7 8 4 3 5 0 0

2 5 2 0 7 4 8 5 3 2 1 2 0 4 3 5 0 0

T a b l e 7 : T h e p o s s i b l e i n t e g r a l g r a p h s p e c t r a w i t h x ; y ; z ; w 0 a n d n 2 0 a n d

5 e x c e p t i o n a l s p e c t r a .

P r o o f . L e t u b e a v e r t e x o f G w i t h e c c e n t r i c i t y R L e t N

k

u = f v 2 V d u v = k g

b e t h e k

t h

n e i g h b o r h o o d o f u a n d d

k

u = N

k

u t h e n u m b e r o f v e r t i c e s i n i t .

T h e n d

0

u = 1 a n d d

1

u = r W h e n 2 k R 1 i t h o l d s d

k

u r 1 d

k 1

u

s i n c e e a c h v e r t e x o f N

k 1

u m a y b e a d j a c e n t t o a t m o s t r 1 v e r t i c e s o f N

k

u

T h e r e f r o m b y i n d u c t i o n d

k

u r r 1

k 1

f o r 2 k R 1 O n t h e o t h e r h a n d ,

e a c h v e r t e x o f N

R

u i s a d j a c e n t t o r v e r t i c e s o f N

R 1

u s i n c e G i s b i p a r t i t e n o

t w o v e r t i c e s o f N

R

u m a y b e a d j a c e n t s o d

R

u

r 1

r

d

R 1

u r 1

R 1

N o w

p =

P

R

k = 0

d

k

u

2 r 1

R

2

r 2

a n d t h e t h e o r e m i s p r o v e d . 2

A s n o t e d i n 5 , f o r t h e d i a m e t e r D o f a c o n n e c t e d g r a p h G t h e i n e q u a l i t y

D s 1 h o l d s , w h e r e s i s t h e n u m b e r o f d i s t i n c t e i g e n v a l u e s o f G W h e n G i s


9/14


c o n n e c t e d r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h o f d e g r e e r w e g e t D 2 r F r o m T h e o r e m 3 t h e n

f o l l o w s t h a t c o n n e c t e d b i p a r t i t e 4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h h a s d i a m e t e r a t m o s t 8

a n d i t m a y h a v e a t m o s t p = 2 n 6 5 6 0 v e r t i c e s . B u t f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n i t

c a n b e s e e n t h a t t h e h i g h e s t p o s s i b l e v a l u e f o r n n o t g r e a t e r t h a n 3 2 8 0 i s 2 5 2 0 T h i s

b o u n d c a n n o t b e l o w e r e d , b u t u s i n g g r a p h a n g l e s i t i s s h o w n i n 1 9 t h a t t h e r e a r e

o n l y 5 p o s s i b l e s p e c t r a w i t h 6 3 0 n 2 5 2 0

4 . A L I S T O F K N O W N 4 - R E G U L A R I N T E G R A L G R A P H S

I n t h i s s e c t i o n w e g i v e a l i s t o f 6 5 c o n n e c t e d 4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s . A

p a r t o f t h e s e g r a p h s a r e k n o w n i n t h e l i t e r a t u r e . T h e o t h e r s a p p e a r h e r e f o r t h e

r s t t i m e a n d a r e d e r i v e d f r o m t h e k n o w n g r a p h s b y s o m e c o n s t r u c t i o n p r o c e d u r e s

d e s c r i b e d b e l o w . W e g i v e t o e a c h o f t h e s e g r a p h s a l a b e l o f t h e f o r m I

p a

w h e r e

p i s t h e n u m b e r o f v e r t i c e s , a n d a i s t h e o r d e r i n g n u m b e r o f g r a p h i n t h e g r o u p

o f g r a p h s w i t h t h e s a m e n u m b e r o f v e r t i c e s . F o r e a c h g r a p h w e g i v e i t s s p e c t r u m

a n d a s h o r t d e s c r i p t i o n o f t h e g r a p h , s o m e t i m e s w i t h r e f e r e n c e s t o t h e l i t e r a t u r e .

G r a p h s i n t h e l i s t a r e s o r t e d b y t h e n u m b e r o f v e r t i c e s a n d t h e n b y t h e s p e c t r a .

O p e r a t i o n s + a n d d e n o t e t h e u s u a l g r a p h s u m a n d p r o d u c t . O p e r a t i o n

d e n o t e s t h e s t r o n g s u m : g i v e n t w o g r a p h s G a n d H w i t h v e r t e x s e t s V G a n d

V H t h e i r s t r o n g s u m G H i s t h e g r a p h w i t h t h e v e r t e x s e t V G V H i n

w h i c h t w o v e r t i c e s x a a n d y b a r e a d j a c e n t i f a n d o n l y i f a i s a d j a c e n t t o b

i n H a n d e i t h e r x i s a d j a c e n t t o y i n G o r x = y L G a n d S G a r e t h e l i n e g r a p h

a n d t h e s u b d i v i s i o n g r a p h o f G , r e s p e c t i v e l y , w h i l e L

2

G = L S G

G r a p h s G

1

; : : : ; G

1 3

a r e c o n n e c t e d c u b i c i n t e g r a l g r a p h s f r o m 1 5 G

1

; : : : ; G

8

a r e b i p a r t i t e , w h i l e G

9

; : : : ; G

1 3

a r e n o t . I n d i e r e n t o r d e r t h e y a r e a l s o g i v e n i n

6 3

I n t h e f o l l o w i n g l i s t w e g i v e t h e i r s p e c t r a .

G

1

= K

3 3

3 0

4

3

G

2

= K

2

+ K

2

+ K

2

= G

9

K

2

t h e c u b e g r a p h :

3 1

3

1

3

3 G

3

T u t t e ' s 8 - c a g e : 3 2

9

0

1 0

2

9

3

G

4

= G

1 0

K

2

= G

1 1

K

2

t h e D e s a r g u e s g r a p h : 3 2

4

1

5

1

5

2

4

3

G

5

3 2

4

1

5

1

5

2

4

3

G

6

3 2 1

2

0

2

1

2

2 3

G

7

= K

2

+ C

6

= G

1 2

K

2

t h e 6 - s i d e d p r i s m : 3 2

2

1 0

4

1 2

2

3

G

8

= G

1 3

K

2

3 2

6

1

3

0

4

1

3

2

6

3

G

9

= K

4

3 1

3

G

1 0

t h e P e t e r s e n g r a p h : 3 1

5

2

4

G

1 1

3 2 1

3

1

2

2

3

G

1 2

= K

2

+ K

3

t h e 3 - s i d e d p r i s m : 3 1 0

2

2

2

G

1 3

= L

2

K

4

: 3 2

3

0

2

1

3

2

3


10/14


F o r e a c h G

i

i = 1 ; : : : ; 1 3 t h e g r a p h s L G

i

L G

i

K

2

G

i

+ K

2

a n d G

i

K

2

a r e c o n n e c t e d 4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s . I n t h e T a b l e 8 w e g i v e t h e i r p o s i t i o n s i n

t h e l i s t o f 4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s . I f G

i

i s b i p a r t i t e , t h e n G

i

+ K

2

= G

i

K

2

s o

w e d o n o t d o u b l e t h e c o l u m n f o r t h e s e g r a p h s .

i L G

i

L G

i

K

2

G

i

+ K

2

i L G

i

L G

i

K

2

G

i

+ K

2

G

i

K

2

1 I

9 2

I

1 8 1

I

1 2 2

9 I

6 1

I

1 2 4

I

8 2

I

8 1

2 I

1 2 7

I

2 4 2

I

1 6 1

1 0 I

1 5 2

I

3 0 1

I

2 0 4

I

2 0 1

3 I

4 5 1

I

9 0 1

I

6 0 3

1 1 I

1 5 4

I

3 0 3

I

2 0 7

I

2 0 6

4 I

3 0 4

I

6 0 1

I

4 0 1

1 2 I

9 4

I

1 8 1

I

1 2 5

I

1 2 2

5 I

3 0 5

I

6 0 2

I

4 0 2

1 3 I

1 8 6

I

3 6 2

I

2 4 5

I

2 4 4

6 I

1 5 3

I

3 0 2

I

2 0 5

7 I

1 8 5

I

3 6 1

I

2 4 3

8 I

3 6 4

I

7 2 1

I

4 8 1

T a b l e 8 : T h e p o s i t i o n s o f g r a p h s L G

i

L G

i

K

2

G

i

+ K

2

a n d G

i

K

2

i n t h e

l i s t .

L e t G

i

b e n o n b i p a r t i t e , i . e . i = 9 1 0 ; : : : ; 1 3 G r a p h s G

i

+ K

2

K

2

a n d

G

i

K

2

+ K

2

a r e c o n n e c t e d , 4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s w h i c h , i n a d d i t i o n , a r e

c o s p e c t r a l . H o w e v e r , w e h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n .

P r o p o s i t i o n 1 . L e t G b e a n o n b i p a r t i t e g r a p h . G r a p h s G + K

2

K

2

a n d G

K

2

+ K

2

a r e i s o m o r p h i c .

P r o o f . F o r v e r t i c e s o f G + K

2

K

2

a n d G K

2

+ K

2

w e w i l l s h o r t l y w r i t e u a b

i n s t e a d o f u ; a ; b T h e n u

0

a

0

b

0

u

1

a

1

b

1

2 E G + K

2

K

2

, u

0

a

0

u

1

a

1

2

E G + K

2

a n d b

0

6= b

1

, u

0

u

1

2 E G a

0

= a

1

b

0

6= b

1

o r u

0

= u

1

a

0

6=

a

1

b

0

6= b

1

; a n d u

0

a

0

b

0

u

1

a

1

b

1

2 E G K

2

+ K

2

, u

0

a

0

u

1

a

1

2 E G

K

2

b

0

= b

1

o r u

0

a

0

= u

1

a

1

b

0

6= b

1

, u

0

u

1

2 E G a

0

6= a

1

b

0

= b

1

o r

u

0

= u

1

a

0

= a

1

b

0

6= b

1

N o w i t i s n o t h a r d t o s e e t h a t t h e m a p p i n g f V G +

K

2

K

2

! V G K

2

+ K

2

g i v e n b y f u ; a ; b = u a + b a w h e r e a d d i t i o n

i s m o d u l o 2 , i s a c t u a l l y t h e i s o m o r p h i s m o f t h e s e g r a p h s . 2

H e n c e , a l l g r a p h s G

i

+ K

2

K

2

a n d G

i

K

2

+ K

2

f o r i = 9 1 0 ; : : : ; 1 3

a r e c o n t a i n e d i n t h e l a s t r o w o f T a b l e 8 .

G r a p h s D

1

; : : : ; D

1 6

a n d E

1

; : : : ; E

8

a r e c o n n e c t e d , 4 - r e g u l a r a n d i n t e g r a l , a s

f o u n d i n 1 7 ; t h e y a r e l a b e l l e d i n t h e l i s t b y I

8 1

I

1 0 1

I

1 2 4

I

1 2 2

I

1 6 1

I

1 6 2

I

2 4 1

I

2 4 2

I

3 2 1

I

1 8 1

I

1 8 2

I

1 8 3

I

2 0 1

I

2 0 2

I

2 0 3

I

3 0 1

. G r a p h s E

1

; : : : ; E

8

a r e

l a b e l l e d b y I

5 1

I

6 1

I

8 2

I

1 2 6

I

1 2 7

I

9 4

I

9 2

I

1 5 2

A l l g r a p h s i n t h e l i s t u p t o 1 2 v e r t i c e s h a v e a l s o b e e n g e n e r a t e d i n 1 s e e

F i g . 2 1 ; n o t e t h a t E

5

, i . e . t h e g r a p h 1 7 , i s n o t w e l l d r a w n - s e e a l s o 1 7


11/14


T h e l i s t :

I

5 1

= E

1

= K

5

4 1

4

I

6 1

= E

2

= L K

4

= L G

9

: 4 0

3

2

2

a l s o N E P S o f C

3

a n d K

2

w i t h b a s i s

f 1 1 1 0 g c f . 1 8

I

7 1

= C

4

C

3

4 1 0

2

1

2

3

c f . g r a p h 7 4 0 2 i n t a b l e s o f 1 0

I

8 1

= D

1

= G

9

K

2

= K

4 4

4 0

6

4


I

8 2

= E

3

= G

9

+ K

2

= L K

2 4

: 4 2 0

3

2

3


I

9 1

4 1

3

0

2

2

2

3 c f . g r a p h 9 4 1 4

i n t a b l e s o f 1 0

I

9 2

= E

7

= L G

1

= C

3

+ C

3

= C

3

C

3

4 1

4

2

4


I

9 3

4 2 1 0

2

1

2

2 3 c f . g r a p h

9 4 0 7 i n t a b l e s o f 1 0

I

9 4

= E

6

= L G

1 2

: 4 2 1

2

1

2

2

3


I

1 0 1

= I

5 1

K

2

= D

2

= 5 K

2

4 1

4

1

4

4

I

1 2 1

4 1

6

0 2

2

3

2

N E P S o f C

3

K

2

a n d K

2

w i t h b a s i s f 1 1 1 0 0 1

0 1 0 g 1 8

I

1 2 2

= D

4

= G

1

+ K

2

= G

1 2

K

2

4 2 1

4

1

4

2 4 a l s o N E P S o f C

3

K

2

a n d K

2

w i t h b a s i s f 1 1 1 0 1 1

0 0 1 g c f . 1 8

I

1 2 3

4 2 1

4

0 1

2

2 3

2

c f . g r a p h

1 2 i n F i g . 2 1 o f 1

I

1 2 4

= I

6 1

K

2

= D

3

= L G

9

K

2

=

C

3

C

4

4 2

2

0

6

2

2

4

I

1 2 5

= G

1 2

+ K

2

= C

3

+ C

4

4 2

2

1

2

0

1

4

3

2

I

1 2 6

= E

4

4 2

3

0

3

2

5

c f . g r a p h

9 i n T a b l e 9 . 1 i n 4

I

1 2 7

= E

5

= L G

2

: 4 2

3

0

3

2

5

I

1 2 8

4 3 1

3

0 1

3

2

2

3 c f . g r a p h

1 8 i n F i g . 2 1 o f 1

I

1 4 1

= I

7 1

K

2

4 3 1

3

0

4

1

3

3 4

I

1 5 1

4 2

4

1 0

2

1

2

2

4

3

c f . g r a p h X f r o m 1 7

I

1 5 2

= E

8

= L G

1 0

: 4 2

5

1

4

2

5

I

1 5 3

= L G

6

: 4 3 2

2

1

2

0

2

1 2

6

I

1 5 4

= L G

1 1

: 4 3 2

3

0

2

1

3

2

5

I

1 6 1

= I

8 2

K

2

= D

5

= G

2

+ K

2

=

C

4

+ C

4

4 2

4

0

6

2

4

4

I

1 6 2

= D

6

4 2

4

0

6

2

4

4

I

1 8 1

= I

9 2

K

2

= D

1 0

= L G

1

K

2

=

L G

1 2

K

2

= C

3

+ C

3

K

2

4 2

4

1

4

1

4

2

4

4

I

1 8 2

= D

1 1

4 2

4

1

4

1

4

2

4

4

I

1 8 3

= D

1 2

4 2

4

1

4

1

4

2

4

4

I

1 8 4

= C

3

+ C

6

4 3

2

1

4

0

5

2

4

3

2

I

1 8 5

= L G

7

: 4 3

2

2 1

4

0 1

2

2

7

I

1 8 6

= L G

1 3

: 4 3

3

1

2

0

3

1

3

2

6

I

2 0 1

= D

1 3

= G

1 0

K

2

4 2

5

1

4

1

4

2

5

4

I

2 0 2

= D

1 4

4 2

5

1

4

1

4

2

5

4

I

2 0 3

= D

1 5

4 2

5

1

4

1

4

2

5

4

I

2 0 4

= G

1 0

+ K

2

4 2

6

0

5

1

4

3

4

I

2 0 5

= G

6

+ K

2

4 3 2

3

1

3

0

4

1

3

2

3

3 4


12/14

1 0 0 D . C v e t k o v i c , S . S i m i c , D . S t e v a n o v i c

I

2 0 6

= G

1 1

K

2

4 3 2

3

1

3

0

4

1

3

2

3

3 4

I

2 0 7

= G

1 1

+ K

2

4 3 2

4

1 0

5

1

3

2

2

3

3

I

2 0 8

= L

2

K

5

: 4 3

4

0

5

1

4

2

6

I t i s

p r o v e d i n 7 t h a t L

2

G G c o n n e c t e d

w i t h a t l e a s t t w o v e r t i c e s i s i n t e g r a l i f

a n d o n l y i f G i s a c o m p l e t e g r a p h .

I

2 4 1

= D

7

4 2

8

0

6

2

8

4

I

2 4 2

= D

8

= L G

2

K

2

4 2

8

0

6

2

8

4

I

2 4 3

= G

7

+ K

2

= C

4

+ C

6

4 3

2

2

2

1

6

0

2

1

6

2

2

3

2

4

I

2 4 4

= G

1 3

K

2

4 3

3

1

5

0

6

1

5

3

3

4

I

2 4 5

= G

1 3

+ K

2

4 3

3

2 1

5

0

3

1

5

2

3

3

3

I

3 0 1

= D

1 6

= L G

1 0

K

2

4 2

1 0

1

4

1

4

2

1 0

4

I

3 0 2

= L G

6

K

2

= I

1 5 1

K

2

4 3 2

8

1

3

0

4

1

3

2

8

3 4

I

3 0 3

= L G

1 1

K

2

4 3 2

8

1

3

0

4

1

3

2

8

3 4

I

3 0 4

= L G

4

: 4 3

4

2

5

0

5

1

4

2

1 1

I

3 0 5

= L G

5

: 4 3

4

2

5

0

5

1

4

2

1 1

I

3 2 1

= D

9

4 2

1 2

0

6

2

1 2

4

I

3 5 1

4 2

1 4

1

1 4

3

6

t h e o d d g r a p h

O

4

1 4

I

3 6 1

= L G

7

K

2

4 3

2

2

8

1

6

0

2

1

6

2

8

3

2

4

I

3 6 2

= L G

1 3

K

2

4 3

3

2

6

1

5

0

6

1

5

2

6

3

3

4

I

3 6 3

= C

6

+ C

6

= C

3

+ C

6

K

2

4 3

4

2

4

1

4

0

1 0

1

4

2

4

3

4

4

I

3 6 4

= L G

8

: 4 3

6

2

3

1

4

0

3

1

6

2

1 3

I

4 0 1

= G

4

+ K

2

4 3

4

2

6

1

4

0

1 0

1

4

2

6

3

4

4

I

4 0 2

= G

5

+ K

2

= G

1 0

+ K

2

K

2

=

G

1 1

+ K

2

K

2

= L

2

K

5

K

2

4 3

4

2

6

1

4

0

1 0

1

4

2

6

3

4

4

I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e g r a p h s

G

1 0

+ K

2

G

1 1

+ K

2

a n d L

2

K

5

a l l h a v e

m u t u a l l y d i e r e n t s p e c t r a .

I

4 5 1

= L G

3

: 4 3

9

1

1 0

1

9

2

1 6

I

4 8 1

= G

8

+ K

2

4 3

6

2

4

1

1 0

0

6

1

1 0

2

4

3

6

4

I

6 0 1

= L G

4

K

2

4 3

4

2

1 6

1

4

0

1 0

1

4

2

1 6

3

4

4

I

6 0 2

= L G

5

K

2

4 3

4

2

1 6

1

4

0

1 0

1

4

2

1 6

3

4

4

I

6 0 3

= G

3

+ K

2

4 3

9

2 1

1 9

1

1 9

2

3

9

4

I

7 0 1

= I

3 5 1

K

2

4 3

6

2

1 4

1

1 4

1

1 4

2

1 4

3

6

4

I

7 2 1

= L G

8

K

2

4 3

6

2

1 6

1

1 0

0

6

1

1 0

2

1 6

3

6

4

I

9 0 1

= L G

3

K

2

4 3

9

2

1 6

1

1 9

1

1 9

2

1 6

3

9

4


13/14

4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s 1 0 1

5 . C O N C L U D I N G R E M A R K S

P o s s i b l e s p e c t r a o f c o n n e c t e d 4 - r e g u l a r b i p a r t i t e i n t e g r a l g r a p h s , d e t e r m i n e d

i n S e c t i o n 2 , a r e q u i t e n u m e r o u s a n d w e c a n n o t e x p e c t t h a t a l l 4 - r e g u l a r i n t e g r a l

g r a p h s w i l l b e d e t e r m i n e d i n n e a r f u t u r e . N o n e x i s t e n c e r e s u l t s f o r m a n y o f t h e s e

p o t e n t i a l s p e c t r a w i l l b e o b t a i n e d b y c o n s i d e r i n g a p p r o p r i a t e g r a p h p r o p e r t i e s b u t

m a n y o t h e r s w i l l r e m a i n t o b e c o n s i d e r e d .

P o t e n t i a l s p e c t r a f r o m S u b s e c t i o n 1 c a s e x = 0 , i . e . t h o s e f r o m T a b l e s 1

a n d 2 , h a v e b e e n c o n s i d e r e d i n 1 7 a n d a l l t h e c o r r e s p o n d i n g g r a p h s d e t e r m i n e d .

T h e y a r e g r a p h s D

1

; : : : ; D

1 6

. O t h e r k n o w n 4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s a r e p r e s e n t e d

i n S e c t i o n 4 .

R E F E R E N C E S

1 K . T . B a l i

n s k a , M . K u p c z y k , K . Z w i e r z y

n s k i : M e t h o d s o f g e n e r a t i n g i n -

t e g r a l g r a p h s , C o m p u t e r S c i e n c e C e n t e r R e p o r t 4 5 7 , T e c h n i c a l U n i v e r s i t y o f

P o z n a n , 1 9 9 7 .

2 K . T . B a l i

n s k a , S . K . S i m i

c : T h e n o n r e g u l a r , b i p a r t i t e , i n t e g r a l g r a p h s w i t h

m a x i m u m d e g r e e f o u r , t o a p p e a r .

3 F . C . B u s s e m a k e r , D . C v e t k o v i

c D : T h e r e a r e e x a c t l y 1 3 c o n n e c t e d , c u -

b i c , i n t e g r a l g r a p h s , U n i v . B e o g r a d , P u b l . E l e k t r o t e h n . F a k . , S e r . M a t . F i z . ,

5 4 4 5 7 6 1 9 7 6 , 4 3 4 8 .

4 F . C . B u s s e m a k e r , D . C v e t k o v i

c , J . J . S e i d e l : G r a p h s r e l a t e d t o e x c e p -

t i o n a l r o o t s y s t e m s , T . H . - R e p o r t 7 6 - W S K - 0 5 , T e c h n o l o g i c a l U n i v e r s i t y E i n d -

h o v e n , E i n d h o v e n , 1 9 7 6 .

5 D . C v e t k o v i

c : G r a p h s a n d t h e i r s p e c t r a . U n i v . B e o g r a d , P u b l . E l e k t r o t e h n .

F a k . S e r . M a t . F i z . , 3 5 4 3 5 6 1 9 7 1 , 1 - 5 0 .


c : C u b i c i n t e g r a l g r a p h s , U n i v . B e o g r a d , P u b l . E l e k t r o t e h n . F a k .

S e r . M a t . F i z . , 4 9 8 5 4 1 1 9 7 5 , 1 0 7 1 1 3 .


c : S p e c t r a o f g r a p h s f o r m e d b y s o m e u n a r y o p e r a t i o n s , P u b l . I n s t .

M a t h . B e o g r a d 1 9 3 3 , 1 9 7 5 , 3 7 4 1 .


c , M . D o o b , H . S a c h s : S p e c t r a o f g r a p h s - T h e o r y a n d A p -

p l i c a t i o n , D e u t s c h e r V e r l a g d e r W i s s e n s c h a f t e n - A c a d e m i c P r e s s , B e r l i n - N e w

Y o r k , 1 9 8 0 ; s e c o n d e d i t i o n 1 9 8 2 ; t h i r d e d i t i o n , J o h a n n A m b r o s i u s B a r t h V e r l a g ,

H e i d e l b e r g - L e i p z i g , 1 9 9 5 .


c , I . G u t m a n , N . T r i n a j s t i

c : C o n j u g a t e d m o l e c u l e s h a v i n g

i n t e g r a l g r a p h s p e c t r a , C h e m . P h y s . L e t t e r s 2 9 1 9 7 4 , 6 5 6 8 .

1 0 D . C v e t k o v i

c , Z . R a d o s a v l j e v i

c : A t a b l e o f r e g u l a r g r a p h s o n a t m o s t t e n

v e r t i c e s , P r o c e e d i n g s o f t h e S i x t h Y u g o s l a v S e m i n a r o n G r a p h T h e o r y , D u b r o v n i k

1 9 8 5 , 7 1 1 0 5 .

1 1 H . D . F r i e d m a n : O n t h e i m p o s s i b i l i t y o f c e r t a i n M o o r e g r a p h s , J . C o m b . T h e -

o r y 1 0 1 9 7 1 , 3 , 2 4 5 2 5 2 .


14/14

1 0 2 D . C v e t k o v i c , S . S i m i c , D . S t e v a n o v i c

1 2 F . H a r a r y , A . J . S c h w e n k : W h i c h g r a p h s h a v e i n t e g r a l s p e c t r a ? , G r a p h s a n d

C o m b i n a t o r i c s P r o c . C a p i t . C o n f . G r a p h T h e o r y a n d C o m b i n a t o r i c s , G e o r g e

W a s h i n g t o n U n i v . , J u n 1 8 2 2 , 1 9 7 3 , e d s . R . B a r i , F . H a r a r y , S p r i n g e r - V e r l a g ,

B e r l i n , 1 9 7 4 , 4 5 5 1 .

1 3 A . J . H o f f m a n : O n t h e p o l y n o m i a l o f a g r a p h , A m e r . M a t h . M o n t h l y 7 0

1 9 6 3 , 3 0 3 6 .

1 4 T . Y . H u a n g : S p e c t r a l c h a r a c t e r i z a t i o n o f o d d g r a p h s O

k

k 6 G r a p h s a n d

C o m b i n a t o r i c s 1 0 1 9 9 4 , 3 , 2 3 5 2 4 0 .

1 5 A . J . S c h w e n k : E x a c t l y t h i r t e e n c o n n e c t e d c u b i c g r a p h s h a v e i n t e g r a l s p e c t r a ,

T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s o f G r a p h s P r o c . I n t e r n a t . C o n f . W e s t e r n M i c h i g a n

U n i v . , K a l a m a z o o , M i c h . M a y 1 1 1 5 , 1 9 7 6 , e d s . Y . A l a v i , D . L i c k , S p r i n g e r -

V e r l a g , B e r l i n - H e i d e l b e r g - N e w Y o r k 1 9 7 8 , 5 1 6 5 3 3 .

1 6 S . S i m i

c , Z . R a d o s a v l j e v i

c : T h e n o n r e g u l a r , n o n b i p a r t i t e , i n t e g r a l g r a p h s

w i t h m a x i m u m d e g r e e f o u r , J . C o m b . , I n f . S y s t . S c i . 2 0 1 4 1 9 9 5 , 9 2 6 .

1 7 D . S t e v a n o v i

c : 4 - R e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s a v o i d i n g 3 i n t h e s p e c t r u m , t o a p -

p e a r .


c : R e g u l a r i n t e g r a l N E P S o f g r a p h s , t o a p p e a r .


c : N o n e x i s t e n c e o f s o m e 4 - r e g u l a r i n t e g r a l g r a p h s , t o a p p e a r .

U n i v e r s i t y o f B e l g r a d e , R e c e i v e d O c t o b e r 7 , 1 9 9 8

F a c u l t y o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g ,

P . O . B o x 3 5 - 5 4 , 1 1 1 2 0 B e l g r a d e ,

Y u g o s l a v i a

e c v e t k o d @ u b b g . e t f . b g . a c . y u

e s i m i c s @ u b b g . e t f . b g . a c . y u

U n i v e r s i t y o f N i s ,

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s ,

F a c u l t y o f P h i l o s o p h y ,

C i r i l a i M e t o d i j a 2 , 1 8 0 0 0 N i s ,

Y u g o s l a v i a

d r a g a n c e @ n i . a c . y u

Two shorter and simpler proofs in spectral graph theory

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