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COURS DE SERIES TEMPORELLES THEORIE ET APPLICATIONS

VOLUME 2 Modles linaires multivaris : VAR et cointgration Introduction aux modles ARCH et GARCH Introduction la notion de mmoire longue Exercices corrigs et complments informatiques

ARTHUR CHARPENTIER [email protected]

DESS Actuariat & DESS Mathmatiques de la Dcision

Sries temporelles : thorie et applications

Arthur CHARPENTIER

Contents1 Les sries temporelles multivaries 1.1 La notion de causalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Dpendence stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Causalit au sens de Granger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La notion de cointgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Modles correction derreur (E CM ) . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Tests de cointgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Gnralisation k variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Dirences entre les approches de Engle/Granger et de Johansen 1.3 La modlisation V AR (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 La reprsentation V AR (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Les modles ARM AX ou V ARM A . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Estimation des paramtres dun modle V AR . . . . . . . . . . . 1.3.4 Autocovariances et autocorrlations . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Application sur un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Prvision laide des modles V AR . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Tests de bruit blanc des erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.8 Test de causalit (Granger (1969)) sur des mod les V AR . . . . 1.3.9 Les modles V AR (p) : analyse des chocs . . . . . . . . . . . . . 1.4 Application des modles V AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Application : investissement, revenu et consommation . . . . . . 1.4.2 Application des modles V AR : rendements dune action et dun 1.5 Rgression linaire dans un cadre dynamique . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Les retards chelonns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Le modle dajustement partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Les modles autorgressifs retards chelonn s (ADL (p; q)) . . 1.6 Complments : modles multivaris sous SAS . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Estimation dun modle V AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Estimation dun modle correction derreur . . . . . . . . . . . 1.7 Conseils bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 5 6 6 8 9 9 10 14 14 16 17 18 18 23 24 24 25 28 28 32 33 33 34 35 36 36 38 41 42 43 43 44 45 45 46 46 48 48 49 49 49 50 52 53 54 54 55 55 55 56 57 59 59

2 Les modles ARCH - Autorgressifs Conditionellement Htroscdastiques 2.1 Notions de stationnarit et notions de linarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Prsntation des modles ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Processus ARCH (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Processus ARCH (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Processus GARC H (p; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Modles avec erreurs ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Erreurs ARCH (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Erreurs ARCH (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Remarque : test de racine unit en prsence derreurs ARC H . . . . . . . . . . . . 2.4 Estimation et prvision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Estimation des paramtres dun modles ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 La procdure de Diebold (1987) : test dautocorrlation en prsence deet ARC H 2.4.3 Prvision et intervalle de conance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Modles ARC H et nance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Liens entre temps continu et temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Modles avec variance stochastique/dterministe en temps continu . . . . . . . . . 2.5.3 Modles avec variance stochastique/dterministe en temps discret . . . . . . . . . 2.6 Autres types de modles non-linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Les modles bilinaires - nots BL (p; q; P; Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Les modles autorgressifs exponentiels - EXP AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Les modles autorgressifs seuils - T AR, ST AR ou SET AR . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Les gnralisations des modles ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Les tests de linarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Les tests du multiplicateur de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.7.2 Le test du CU SUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Le test BDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4 Le test RESE T (Regression error specication test ) . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.5 La procdure AUT OREG sous SAS=ET S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Application sur des donnes relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Modlisation GARCH du CAC 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Modlisation des rendements du cours Intel : modle ARC H . . . . . . . . . . 2.8.3 Modlisation des rendements de lindice S&P : modle GARCH . . . . . . . . 2.8.4 Modlisation des rendements de laction IBM (avec dividendes) : modle T AR 2.8.5 Modlisation du taux de chmage aux Etats Unis : modles T AR et ARCH . 2.9 Conseils bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Complments sur les sries temporelles en nance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 Introduction historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 Complment sur les donnes disponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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60 61 62 62 65 65 67 68 69 69 72 73 73 73 75 76 76 76 77 79 79 79 80 81 81 81 84 84 85 85

3 Introduction la notion de mmoire longue 3.1 Processus self-similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Accroissements stationnaires de processus self-similaires . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Processus F ARIM A - ARIM A Fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Processus fractionnaire sans composante AR et M A : processus F ARIM A (0; d; 0) 3.2.2 Autocorrlations des processus ARF IM A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Estimation du paramtre d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Mthode du log-autocorrlogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Mthode du log-priodogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Mthode de Whittle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Exemples dapplications des processus mmoire longue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Applications en nance : rendements dindices boursier . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Applications en nance : taux de change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Applications en hydrologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Applications en conomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Conseils bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Complments : exercices 4.1 Exercices avec correction 4.2 Examen de 2001/2002 . 4.3 Examen de 2002/2003 . 4.4 Examen de 2003/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86 . 86 . 91 . 95 . 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 113 113 114 115 115 116 116 117 117 119 120 121 123 124 124 125 126 126

5 Complments : simulation de sries temporelles 5.1 Simulation de processus en temps discret . . . . . . 5.1.1 Simulation dun bruit blanc gaussien . . . . 5.1.2 Simulation dun processus ARM A . . . . . 5.1.3 Simulation dun processus ARCH . . . . . 5.2 Introduction la simulation de processus en temps 6 Complments : Logiciels de sries temporelles 6.1 Introduction EViews . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Les donnes sous EViews . . . . . . . . . 6.1.2 Les graphiques sous Eviews . . . . . . . . 6.2 La rgression linaire sous Eviews . . . . . . . . 6.2.1 Estimation des paramtres (1) (2) . . . 6.2.2 Statistique de Student F (3) (4) . . . . 6.2.3 Coecient R2 (5) (6) . . . . . . . . . . 6.2.4 Somme des carrs (7) (8) . . . . . . . . 6.2.5 Log-vraissemblance du modle (9) . . . . 6.2.6 Test du Durbin-Watson (10) . . . . . . . 6.2.7 Dependent var (11) (12) . . . . . . . . 6.2.8 Critre dAikak (13) et de Schwarz (14) . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6.3 6.4

6.5 6.6 6.7 6.8

6.2.9 Statistique de Fisher F (15) (16) . . . . . 6.2.10 Statistique sur les rsidus . . . . . . . . . . 6.2.11 Copier/coller des sorties dans un rapport . 6.2.12 La rgression linaire sur dautres logiciels . Lecture de lautocorrlogramme sous Eviews . . . . Estimation dun modle ARM A sous Eviews . . . 6.4.1 Racines des polynmes AR et M A (17) . . 6.4.2 Tests sur les erreurs " t . . . . . . . . . . . . Les sorties de la procdure ARIM A sous SAS . . Utilisation de SAS avec des sries chronologiques . Mthode de lissage exponentiel : Holt-Winters . . Modles ARIM A sous SAS . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Syntaxe de la procdure ARIM A sous SAS 6.8.2 La lecture des sorties SAS . . . . . . . . .

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126 127 128 130 132 133 133 134 136 138 139 139 139 140

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Les sries temporelles multivaries

Les graphiques ci-dessous donnent lvolution des indices sectoriels du C AC, pour les secteurs de lagro-alimentaire, de la distribution, des services nanciers, et de limmobilier. Un portefeuille diversi pourrait correspondre un portefeuille comportant des titres de chacun de ces secteurs. Pour prvoir les rendements futurs du portefeuille, il convient de modliser conjointement lvolution de ces dirents indices. Comme le conrment les graphiques ci-dessous, lvolution de ces indices ne se fait pas indpendemment les uns des autres.0.08 V_AGRO_ALIM 0.04

12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 -2000 500 1000 1500 2000 2500AGRO_ALIM DISTRIB IMMO RESID

0.00

-0.04

-0.08

500

1000

1500

2000

2500

0.12 0.08 V_DISTRIB

0.04 0.00

-0.04

-0.08

500

1000

1500

2000

2500

0.04 V_IMMO 0.02

0.00

-0.02

-0.04

500

1000

1500

2000

2500

0.10 V_SERVICE_FI 0.05

0.00

-0.05

-0.10

500

1000

1500

2000

2500

Le graphique de gauche correspond lvolution conjointe de ces indices, alors que les graphiques de droites permettent de comparer les rendements de ces indices. Nous allons introduire dans cette partie un certain nombre de concepts an de bien comprendre la dynamique de la dpendence entre direntes sries (notions de dpendence, de causalit, de cointgration...). Nous verrons galement une classe de modles, gnralisant les modles AR (p) univaris dans un cadre multivari : les modles V AR (p). Exemple 1 Le graphique ci-dessous1 reprsente lvolution du spread des obligations dEtat pour lArgentine, le Brsil et le Mexique, entre 1997 et 2000,

1 source

: Bazdresch, S & Werner, A.M. Contagion of International nancial crises : the case of Mexico (2001).

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1.11.1.1

La notion de causalitDpendence stochastique On peut dnir linformation de

Dpendance partir les lois conditionnelles : information de Kullback Kullback par f (yjx) K (yjx) = E log jx : f (y)

Daprs la proprit de Jensen, f (yjx) f (y) f (y) K (yjx) = E log jx = E log jx log E jx = 0; f (y) f (yjx) f (yjx) et on peut noter que K (yjx) = 0 si et seulement si f (yjX = x) = f (y) presqe srement. Remarque 1 Dans le cas gaussien, cov (X; Y ) = 0 si et seulement si X et Y sont indpendants. Supposons que X 0 X XY sN ; : Y 0 Y X Y Alors les lois marginales et conditionelles vrient Y s N (0; Y ), et E (Y jX) = Y X 1 X X Y jX s N (E (Y jX) ; V (Y jX)) o V (Y jX) = Y Y X 1 XY : X Aussi la loi du rapport gurant dans linformation de Kullback est donn par p det (V (Y ) j) f (yjx) 1 0 = p exp [Y E (Y jX)] V (Y jX) [Y E (Y jX)] ; f (y) 2 det (V (Y jX)) do nalement (aprs calculs) log La notion de causalit f (y) f (yjx) = h i 1 log det V (Y ) :V (Y jX)1 : 2

La loi du processus est la loi processus du du couple (Xt ; Yt ). Cette dernire scrit, la date t; conditionellement au pass (not x t1 et y t1 ), ` x t; y tjx t1 ; yt 1 . Dans le cas o les processus (Xt) et (Yt ) sont indpendants, alors ` x t; y tjx t1 ; yt 1 = ` xt jxt 1 ` yt jy t1 : On peut montrer que ` x t; y t jx t1 ; y t1 ` x tjx t1 ; yt 1 ` yt jxt 1; y t1 ` x t ; y t jx t1 ; y t1 = : ` x t jx t1 ` y tjyt 1 ` xt jxt1 ` yt jyt1 ` x tjx t1 ; yt 1 ` yt jx t1 ; y t1

En passant au log et en prenant lesprance (et en multipliant par 2) alors 1 1 1 0 0 0 ` xt ; yt jxt 1 ; y t1 ` x tjx t1 ; yt 1 ` y t jx t1 ; y t1 A = 2E @log A + 2E @ log A 2E @log ` xt jxt 1 ` y t j; y t1 ` x t jx t1 ` y tjy t1 | {z } | {z } | {z } Mesure de dpendance Causalit unidirectionnelle Causalit unidirectionnelle CX;Y CY !X C X!Y 0 1 ` x t ; yt jxt1 ; y t1 A: +2E @ log ` x t jx t1 ; y t1 ` yt jxt 1; y t1 | {z } Causalit instantanne C X!Y 5


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1.1.2

Causalit au sens de Granger

Soient (Xt ) et (Y t) deux sries temporelles, et notons le pass de (Xt) et (Y t), X t = fXt ; Xt1 ; :::g et Y t = fYt ; Y t1 ; :::g. Granger a introduit en 1969 direntes notions de causalit : Dnition 1 (i) Y cause X la date t si et seulement si E Xt jX t1 ; Y t 1 6= E XtjX t1 :

(ii) Y cause X instantanment la date t si et seulement si E Xt jX t 1 ; Y t 6= E Xt jX t 1 ; Y t 1 : Il y a quivalence entre (1) X ne cause pas Y instantanment la date t (2) Y ne cause pas X instantanment la date t

Exemple 2 Soient (Xt ) et (Y t ) dnis par Xt = " t + Zt + Zt 1 Y t = Zt ;

o ("t ) et (Zt ) sont des bruits blancs indpendants. (i) E tjX t1 ; Y t1 = Zt 1 = Yt 1 : Y cause X la date t si et seulement si 6= 0; X (ii) E XtjX t1 ; Y t = Zt + Zt1 = Y t + Y t 1 : il y a causalit instantane de Y vers X si et seulement si 6= 0:

1.2

La notion de cointgration

Lanalyse de la cointgration permet didentier la relation entre plusieurs variables. Cette notion a t introduite ds 1974 par Engle et Newbold, sous le nom de spurious regressions , ou rgressions fallacieuses, puis formalise par Engle et Granger en 1987, et enn par Johansen en 1991 et 1995. Une srie est intgre dordre d sil convient de la direncier d fois avant de la stationnariser. Dnition 2 La srie (Xt ) sera dite intgre dordre d (d 1) si d1 Xt nest pas stationnaire et d Xt est stationnaire. Une srie stationnaire sera dite intgre dordre 0. Remarque 2 Soient (Xt ) une srie stationnaire et (Y t) intgre dordre 1, alors (Xt + Y t ) est intgre dordre 1. Toutefois, si (Xt ) et (Y t ) sont intgres dodre d, alors (Xt + Y t) peut tre soit intgre dordre d, soit stationnaire (dans le cas o les tendances sannulent). Le graphique ci-dessous gauche prsente deux sries non-cointgres, alors que le graphique de droite correspond des sries cointgres400

8000

300

6000

200

4000

100

2000

0

25 30 35 40

45 50 55 60 65 OEUFS

70 75 80 85 90

0 60 65 70 PIB 75 80 85 90 95 00 CONSOMMATION

POULET

avec droite, les P IB et la consommation aggrge en France, et gauche, le prix de la douzaine doeufs et dun poulet, aux Etats Unis. Comme nous le verrons plus tard, mme si les courbes de gauche semblent avoir une tendance commune, elles ne sont pas pour autant contgres. Dnition 3 Deux sries (Xt ) et (Y t ) sont cointgres si (i) (Xt) et (Yt ) sont intgres dordre d (ii) il existe une combinaison linaire de ces sries qui soit intgre dordre strictement infrieur d, not d b 6


Arthur CHARPENTIER

Dans le cas de lintgration, on notera Xt s I (d), et pour la cointgration Xt ; Y t s CI (d; b). Le vecteur (; ) tel que Xt + Y t s I (d b) sera appel vecteur de cointgration. Exemple 3 Le cas le plus simple est le suivant : deux sries (Xt ) et (Y t ) intgres dordre 1 seront cointgres sil existe une combinaison linaire Xt + Yt telle que le processus (Zt ) dni par Zt = Xt + Y t soit stationnaire. Aussi, si Xt est intgr dordre 1 (par exemple une marche alatoire), et si ("t ) un un bruit blanc (Xt ) et (Xt + "t ) sont cointgrs. Ce cas est reprsent ci-dessous, avec gauche (Xt ) et (Y t ) o Y t = Xt + "t + , et droite la dirence ( + "t ).25 206 8

15 10 52 4

0 -5 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 PROCESSUS_X PROCESSUS_Y0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 PROCESSUS_DIFF

Les graphiques ci-dessous reprsentent les sries (Xt ) et (Zt ) o Z t = Xt + "t + , et droite la somme ( "t ).25 20 18 15 10 5 14 0 -5 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 PROCESSUS_X PROCESSUS_Z 12 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 PROCESSUS_SOMME 16 20

Les deux combinaisons linaires tant stationnaires, les sries sont cointgres. La notion de cointgration peut galement se visualiser en reprsentant le nuage de points (scatterplot) des observations (Xt; Y t ) - gauche - et (Xt ; Zt ) droite20 15 PROCESSUS_XPROCESSUS_X 20 15 10

10 5

5 0

0

-5

0

5

10

15

20

25

-5 -5 0 5 10 15 20 25

PROCESSUS_Y

PROCESSUS_Z

Remarque 3 Le dernier point de lexemple prcdant permet davoir davoir une intuition visuelle sur la prsence ou absence de relation de cointgration (linaire) entre les variables prsentes initialement, avec gauche les observations

7


Arthur CHARPENTIER

des prix du poulet et des oeufs, et droite, le P IB et la consommation400

8000

300

6000OEUFS 200

PIB 4000 2000 1000

100

0 0 50 100 150 200 250

2000

3000CONSOMMATION

4000

5000

POULET

1.2.1

Modles correction derreur (EC M )

Les modles dits correction derreur ont t introduits au dbut des annes 80, par Hendry en particulier. Ces modles dynamiques permettent dintgrer les volutions long terme et courte terme des variables. Consdrons deux variables (Xt ) et (Y t ) cointgres dordre 1 (Xt ; Y t s CI (1; 1)) et soit [; 1] le vecteur de cointgration. Lide des modles correction derreur est de considrer des relations de la forme Y t = Xt + [Y t1 Xt 1 ] + "t; (1)

ce qui revient dcomposer un processus stationnaire (Y t ) en une somme de deux processus stationnaires (Xt et Y t1 Xt 1 ). De faon plus gnrale que (1), ces modles scrivent Y t = +p X i=1

i Yt i +

q X

j=0

bi Xti + c [Y t 1 Xt1 ] + t ;

(2)

o les variables interviennent soit travers leurs dirences premires (supposes stationnaires), soit travers un terme dcart la cible long terme, la priode prcdante (qui doit tre stationnaire si la thorie conomique sous-jacente est pertinente ). Proprit 1 Thorme de reprsentation de Granger - Toutes les sries cointgres peuvent tre reprsentes par un modle correction derreur Preuve. Engle,R.E. & Granger,C.W.J. (1987). Cointegration and error-correction : representation, estimation and testing. Econometrica. 55 Remarque 4 Le thorme de reprsentation de Granger prsente lintrt de faire la synthse entre les deux approches: - lapproche E CM issue de lide de concilier des proccupations de thorie conomique avec une criture rigoureuse des quations conomtriques - lapproche V AR (que nous dvelopperont dans la partie suivante) issue dune approche purement statistique, de type bote noire. Exemple 4 Considrons les variables conomiques (C t) et (Rt), correspondant respectivement la consommation et au revenu. Dun point de vue thorique, il est souvent admis quil existe une relation long terme de la forme Ct = Rt , ce qui donne, sous forme logarithmique, ct = k + rt: Dun point de vue conomique, lexpression long terme ne correspond pas uniquement une valeur limite, mais plus gnralement, un comportement asymptotique : on suppose que lon a une chemin de croissance quilibr taux constant, i.e. ct ct1 = cste. On suppose quil existe une relation dynamique liant consommation et revenu de la forme suivante, A (L) ct = + B (L) + "t (3)

o A et B sont ici supposs de degr p et q respectivement, et o ("t ) est un bruit blanc. Or, daprs la formule de Taylor, il est possible dcrire A (L) = A (1) + (1 L) A (L) o A (L) = 8p X (1)k k 1 A(k) (1) (1 L) ; k! k= 1


Arthur CHARPENTIER

et de mme B (L) = B (1) + (1 L) B (L). Par substitution dans (3), on peut alors crire A (1) ct = A (L) ct + B (1) rt + B (L) rt + " t: On dit que cette expression combine les termes en niveau et les termes en dirence premire. Daprs la relation de long terme (ct = C , rt = R et ct = k + rt:) on en dduit A (1) ct = A (L) C + B (1) rt + B (L) R ; (4)

en supposant le terme derreur nul long terme. (4) est dite relation de long terme associe (3). Il faut toutefois rajouter lquation suivante, correspodant lhypothse dlasticit unitaire de la consommation au revenu, A (1) = B (1). Dans le cas par exemple, o p = q = 1, alors A (L) = 1 + a1 L et B (L) = b 0 + b 1 L, alors (3) scrit ct + a1 ct1 = + b 0 rt + b 1 rt1 + "t ; do nallement Et en utilisant lgalit A (1) = B (1) = 1, cette quation scrit ct = (1 + a1 ) ct 1 + b 0rt + (b0 + b1 ) rt1 + "t : ct = (1 + a1 ) [ct 1 rt1 ] + b 0 rt + "t : qui correspond lcriture propose dans lquation (2). Sous la forme ct = [ + (1 + a1 ) k] (1 + a1 ) [ct 1 rt1 k] + b0 rt + "t : il sagit de la forme gnrale dun modle correction derreur, dcrivant lajustement instantan de la consommation ct aux varations de revenu et lcart la cible long terme, (ct 1 rt1 k). De faon pratique, supposons que lon dispose de 2 (ou plus) sries (Xt ) et (Y t ) intgres lordre 1. Notons 0 Zt = (Xt ; Y t ) . Daprs le thorme de Wold, on peut reprsenter (Zt ) sous la forme (1 L) Zt = (L) " t o ("t ) est un bruit blanc (en dimension 2), (0) = I et aucune ligne de (1) nest nulle (sinon une des composantes est stationnaire). (i) si les composantes (Xt) et (Y t) ne sont pas cointgres, alors le vecteur (Zt ) peut scrire sous forme V AR, ou V ARM A, en dirences premires, (L) Zt = "t ou (L) Zt = - (L) "t : (ii) si les composantes (Xt) et (Y t ) sont cointgres, alors le vecteur (Zt ) peut scrire sous forme V ARM A, A (L) Zt = B (L) "t , avec une reprsentation correction derreur A (L) Zt = Zt1 + B (L) " t. La relation V ARM A est dite relation de court terme, et la seconde relation de long terme, dans laquelle apparait une force de rappel vers la cible de long terme. 1.2.2 Tests de cointgration

An de tester la cointgration entre deux variables, on peut utiliser lalgorithme mis en place par Engle et Granger. (1) tester lordre dintgration des variables : une des conditions ncessaire pour quil y ait cointgration tant que les deux sries doivent tre intgres de mme ordre. Ces tests reposent sur lutilisation des tests de Dikey & Fuller. On cherche alors d tel que Xt s I (d) et Y t s I (d). (2) estimation de le relation de long-terme. Compte tenu du thrme de reprsentation de Granger, il est galement possible de tester la cointgration en estimant le modle correction derreur associ. Cette estimation peut se faire en deux tapes, en estimant par mco la relation de long-terme Y t = + Xt + bt; b b " puis en estimant, toujours par mco la relation de court-terme Y t = Xt + bt 1 + t: " Le coecient doit alors tre signicativement ngatif : dans le cas contraire, on rejette lhypothse dune modlisation de la forme EC M: 1.2.3 Gnralisation k variables

La notion de cointgration peut se gnraliser de 2 k variables. 9


Arthur CHARPENTIER

1.2.4

Dirences entre les approches de Engle/Granger et de Johansen

Comme nous venons de le voir la mthode de Engle et Granger (1987) sarticule en deux tapes (1) rgression statistique entre variables intgres (aprs avoir vri que les variables sont intgres de mme ordre ) (2) test de vricarion de la stationnarit des rsidus (test de Dikey & Fuller ) La mthode Johansen consiste tester les restrictions imposes par la cointgration sur le modle V AR non restreint. On considre un modle V AR (p) de la forme Y t = A1Y t 1 + :: + Ap Y tp + "t ou Yt = Yt 1 + 1 Y t1 + 2 Y t2 + ::: + p1 Y tp+1 + "t ; (5)

o = (A1 + ::: + Ap ) I et i = (Ai+1 + ::: + Ap ). Le thorme de reprsentation de Granger arme alors que le coecient de la matrice a un rang rduit r < k, nombre de variables cointgres, et donc, il existe des matrices U et V de rang r, telles que = U V 0 et telles que V 0Y t soit stationnaire. r est alors le nombre de relations de cointgration (rang de cointgration), chaque clonne de V est le vecteur de cointgration, et les lments de U sont des paramtres dajustement. La mthode de Johansen consiste estimer la matrice et de voir si on peut rejeter des restrictions impliques par le rang rduit de : si on a k variables endognes, toutes avec une racine unitaire (non stationnaire, mais stationnaire aprs direnciation - une fois ), on peut avoir k 1 relations de cointgration linaires indpendantes. Sil ny a aucune relation de cointgration, des analyses standards de sries chronologiques telles que les V AR peuvent tre appliques aux dirences premires des donnes. Exemple 5 Sur les donnes dtailles dans lexemple (1:3:5), intgres 2 , le test de de causalit de Granger propos par E V iews donne les rsultats suivants, droite20 0Pairwise Granger Causality Tests Sample: 1992:01 1999:12 Lags: 1 Null Hypothesis : Z2 does not Granger Cause Z1 Z1 does not Granger Cause Z2 Lags: 2 Obs 95 F-Statistic 8.19171 1.63180 Probability 0.00521 0.20467

-20 -40

Null Hypothesis : Z2 does not Granger Cause Z1 Z1 does not Granger Cause Z2 Lags: 3

Obs 94

F-Statistic 23.8840 2.73080

Probability 5.0E-09 0.07063

-60 -80 92 93 94 95 Z1 96 97 Z2 98 99

Null Hypothesis : Z2 does not Granger Cause Z1 Z1 does not Granger Cause Z2

Obs 93

F-Statistic 16.0105 2.42069

Probability 2.4E-08 0.07152

avec gauche les courbes des processus Z1 et Z2 . Trois cas sont prsents ici : lorsque le modle contient 1, 2 et 3 retards. Lhypothse nulle est ici quil ny a pas causalit, savoirque Z2 ne cause pas Z1 dans la premire quation, et que X ne cause pas Y dans la seconde. Ici, on rejette lhypothse nulle selon laquelle Z2 ne cause pas Z 1 car la puissance associe aux tests est trs faible (dans les trois cas), et au seuil 5, on accepte lhypothse que Z1 cause Z2 au sens de Granger. Au contraire, on rejete lhypothse de causalit de Z2 vers Z1 .2 Ce

test (test de Johansen) est un test de contgration : il nest donc valable que sur des variables non-stationnaires.

10


Arthur CHARPENTIER

Le test de Johansen est prsent ci-dessousIncluded observations: 91 Test assumption: No deterministic trend in the data Series Z1 Z2 : Lags interval 1 to 4 : Eigenvalue 0.035347 0.007598 Likelihood Ratio 3.968895 0.694084 5 Percent Critical Value 12.53 3.84 1 Percent Hypothesized Critical Value No. of CE(s) 16.31 6.51 None At most 1 Included observations: 91 Test assumption: No deterministic trend in the data Series Z1 Z2 : Lags interval 1 to 4 : Eigenvalue 0.104344 0.006586 Likelihood Ratio 10.62946 0.601353 5 Percent Critical Value 15.41 3.76 1 Percent Hypothesized Critical Value No. of CE(s) 20.04 6.65 None At most 1

*(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level L.R. rejects any cointegration at 5% significance level Unnormalized Cointegrating Coefficients: Z1 0.019804 -0.029400 Z2 -0.023022 0.040442

*(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level L.R. rejects any cointegration at 5% significance level Unnormalized Cointegrating Coefficients: Z1 0.018941 -0.037981 Z2 -0.016819 0.049285

Normalized Cointegrating Coefficients: 1 Cointegrating Equation(s) Z1 1.000000 Log likelihood Z2 -1.162462 (0.17327) -390.7528

Normalized Cointegrating Coefficients: 1 Cointegrating Equation(s) Z1 1.000000 Z2 -0.887939 (0.25230) -385.9191 C 13.86919

Log likelihood

Included observations: 93 Test assumption : No deterministic trend in the data Series Z1 Z2 : Lags interval : 1 t o 2 Eigenvalue 0.032396 0.007270 Likelihood Ratio 3.741320 0.678590 5 Percent Critical Value 12.53 3.84 1 Percent Critical Value 16.31 6.51 Hypothesized No. of CE(s) None At most 1

Sample : 1992:01 1999:12 Included observations: 93 Series : Z1 Z2 Lags interval 1 to 2 :

Data Trend:None None Linear Linear Quadratic ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Rank No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. No Trend No Trend No Trend Trend Trend Log Likelihood by Model and Rank 0 1 2 -409.0860 -407.9648 -407.9018 -409.0860 -402.8793 -401.7586 -407.4978 -402.0757 -401.7586 -407.4978 -402.0359 -397.3329 -402.6242 -397.9195 -397.3329

*(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level L.R. rejects any cointegration at 5 % significance level Unnormalized Cointegrating Coefficients: Z1 0.023160 -0.022981 Z2 -0.027864 0.032209

Akaike Information Criteria by Model and Rank 0 1 2 8.797548 8.773436 8.772081 8.797548 8.664070 8.639970 8.763393 8.646789 8.639970 8.763393 8.645932 8.544793 8.658585 8.557409 8.544793

Schwartz Criteria by Model and Rank

Normalized Cointegrating Coefficients: 1 Cointegrating Equation(s) Z1 1.000000 Log likelihood Z2 -1.203111 (0.11159) -437.2565

0 1 2

9.187449 9.358288 9.551884

9.187449 9.297660 9.517247

9.250770 9.329116 9.517247

9.250770 9.376997 9.519545

9.243436 9.337211 9.519545

L.R. Test:

Rank = 0 Rank = 0 Rank = 0 Rank = 0 Rank = 0

E V iews propose plusieurs options pour les tests de cointgration 3 . La sortie en bas droite est la sortie rcapitulative. Pour les autres, les valeurs propres sont prsentes dans la premire colonne. Le LR - Likelihood Radio - est dni par k X Q (r) = T log (1 i ) ; pour r = 0; 1; :::; k 1;i=r +1

o i est la ime valeur propre (lorsquelle sont ranges par ordre croissant). Cette statistique est aussi appele statistique de la trace. La premire ligne de la cinquime colonne (Hypotheized No. of CE(s)) teste lhypothse de non-cointgration (r = 0 : relation de cointgration). La deuxime ligne teste lhypothse dune relation de contgration (r = 1), la deuxime ligne teste lhypothse de deux relations de contgration (r = 2)...etc. Toutes ces hypothses sont testes contre lhypothse alternative que la matrice est de plein rang (cest dire que toutes les sries sont stationnaires). Dans lexemple ci-dessus, la statistique de la trace ne rejette aucune des hypothse au seuil de 5% : il ny a donc aucune relation de cointgration car on na pas rejet 0 (None) relation de cointgration pour au moins une. Le vecteur de cointgration nest pas identi, moins dimposer une normalisation arbitraire : E V iews adopte une normalisation de sorte que les r premires sries dans le vecteur Y t soient normaliss une matrice identit. Dans le cas prsent en haut droite, par exmple, la relation de cointgration normalise qui fait lhypothse (ctive) dune relation de cointgration est donne parNormalized Cointegrating Coefficients: 1 Cointegrating Equation(s) Z1 1.000000 Z2 -0.887939 (0.25230) -385.9191 C 13.86919

Log likelihood

ce qui donne la relation de cointgration de la forme Z1 0:8873:Z2 + 13:869. Enn, le graphique ci-dessous montre le scatterplot de (Z1 ; Z2 ), qui montre (graphiquement) quil ny a pas de relation de cointgration a priori, compte tenu3 Les 5 cas tudis sont les suivants : (i) pas de trend, pas de constante dans la relation de contgration Yt1 = 0 Yy 1 (ii) pas de tre nd dans la relation de contgration Yt1 = ( 0 Yy 1 + ) (iii) trend linaire dans la relation de contgration Yt1 = ( 0Yy1 + ) + ? (iv) trend linaire dans la relation de contgration Yt1 = ( 0Yy1 + + t) + ? (v) trend quadratique dans la relation de contgration Yt1 = ( 0 Yy 1 + + t) + ? ( + t)

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Arthur CHARPENTIER

de cette rupture pour les valeurs positives, avec deux tendances distinctes.20 0 -20 Z1 -40 -60 -80 -80 -60 -40 Z2 -20 0 20

Pour reprendre lexemple introductif, les prix de la douzaine doeufs et dun poulet, bien que non-stationnaires, ne sont pas pour autant contgres,400

300

200

100

0 25 30 35 40 45 50 55 60 OEUFS 65 70 75 80 85 90 POULET

omme cela peut se voir sur les sorties des tests de JohansenIncluded observations: 67 Test assumption: Linear deterministic trend in the data Series: OEUFS POULET Lags interval : 1 to 2 Eigenvalue 0.072879 0.059236 Likelihood Ratio 9.161157 4.091221 5 Percent Critical Value 15.41 3.76 1 Percent Critical Value 20.04 6.65 Hypothesized No. of CE(s) None At most 1 *

*(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level L.R. rejects any cointegration at 5% significance level Unnormalized Cointegrating Coefficients: OEUFS -0.004465 -0.001669 POULET 0.003299 0.003287

Normalized Cointegrating Coefficients: 1 Cointegrating Equation(s) OEUFS 1.000000 Log likelihood POULET -0.738944 (0.20045) -634.8795 C -109.7839

La lecture des sorties des tests de cointgration sous Eviews 4.1 se fait de la faon suivante,

On considre un modle V AR pour (Y t ), savoir Y t = A1 Yt 1 + ::: + Ap Y tp + "t , o (Y t ) est un vecteur de processus I (1). On rcrit alors ce modle sous la forme dcrite ci-dessus, savoir Yt = Yt 1 + 1 Y t1 + 2 Yt 2 + ::: + p1 Y tp+1 + "t ; 12


Arthur CHARPENTIER

o = (A1 + ::: + Ap ) I et i = (Ai+1 + ::: + Ap ). Daprs le thorme de reprsentation de Granger, il existe et matrices k r, o r < k, telles que = 0 et telles que 0Y t soit stationnaire. r est alors le nombre de relations de cointgration, et les colonnes de correspondent aux vecteurs de cointgration. De la mme faon que Johansen (1995) 5 cas sont distingus, suivant la tendance retenue, 1. 2. 3. 4. 5. Pas de tendance dterministe pour (Y t ), quations de cointgration sans constantes, Pas de tendance dterministe pour (Y t ), quations de cointgration avec constantes, Tendance dterministe pour (Y t ), quations de cointgration avec constantes, Tendance dterministe pour (Y t ), quations de cointgration avec tendances linaires, Tendance quadratique pour (Y t), quations de cointgration avec tendances linaires.

Les modles tests scrivent alors 1. 2. 3. 4. 5. Y t1 Y t1 Y t1 Y t1 Y t1 = 0 Yt 1 = 0 Y t1 + = 0 Y t1 + + = 0 Y t1 + + t + = 0 Y t1 + + t + + t

Il est dailleurs possible sous Eviews de ra jouter des compostantes exognes. On considre alors des modles de la forme Y t = A1 Y t1 + :: + Ap Y tp + +BXt + "t . Exemple 6 Pour reprendre lexemple introductif, les P IB franais et lindice de la cnsommation sont des sries non-stationnaires, et cointgres,8000

6000

4000

2000

0 60 65 70 PIB 75 80 85 90 95 00 CONSOMMATION

comme cela peut se voir sur les sorties des tests de JohansenIncluded observations: 39 Test assumption: No deterministic trend in the data Series : PIB CONSOMMATION Lags interval: 1 to 1 Likelihood 5 Percent 1 Percent Eigenvalue Ratio Critical Value Critical Value 0.266578 0.111813 16.71568 4.624333 12.53 3.84 16.31 6.51

Hypothesized No. of CE(s) None ** At most 1 *

*(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level L.R. test indicates 2 cointegrating equation(s) at 5% significance level Unnormalized Cointegrating Coefficients: PIB 0.000644 -0.001586 CONSOMMATION -0.000961 0.002665

Normalized Cointegrating Coefficients: 1 Cointegrating Equation(s) PIB 1.000000 Log likelihood CONSOMMATION -1.492961 (0.12258) -434.1513

13


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Il est toutefois possible, sur la version 4.1, dobtenir des sorties plus compltes sur ce test,Included observations: 39 after adjusting endpoints Trend assumption: Quadratic deterministic trend Series: CONSOMMATION PIB Lags interval (in first differences): 1 to 1 Unrestricted Cointegration Rank Test Hypothesized No. of CE(s) None At most 1 * Trace Statistic 13.52735 5.013688 5 Percent Critical Value 18.17 3.74 1 Percent Critical Value 23.46 6.40

Unrestricted Cointegrating Coefficients (normalized by b'*S11*b=I): CONSOMMA TION -0.047692 0.009142 PIB 0.016639 0.002159

Eigenvalue 0.196115 0.120636

Unrestricted Adjustment Coefficients (alpha): D(CONSOMM ATION) D(PIB) 8.415089 -0.123872 -6.857180 -26.79345

*(**) denotes rejection of the hypothesis at the 5%(1%) level Trace test indicates no cointegration at both 5% and 1% levels

1 Cointegrating Equation(s):Hypothesized No. of CE(s) None At most 1 * Eigenvalue 0.196115 0.120636 Max-Eigen Statistic 8.513665 5.013688 5 Percent Critical Value 16.87 3.74 1 Percent Critical Value 21.47 6.40

Log likelihood

-390.8848

Normalized cointegrating coefficients (std.err. in parentheses) CONSOMMA PIB TION 1.000000 -0.348888 (0.03825) Adjustment coefficients (std.err. in parentheses) D(CONSOMM -0.401329 ATION) (0.21329) D(PIB) 0.005908 (0.63095)

*(**) denotes rejection of the hypothesis at the 5%(1%) level Max-eigenvalue test indicates no cointegration at both 5% and 1% levels

La lecture de la sortie se fait de la faon suivante : il sagit ici dun test de type ADF o les deux sries sont supposes avoir une tedance et une constanteSample: 1960 2000 Included observations: 39 Series: CONSOMMATION PIB Lags interval: 1 to 1 Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Selected (5% level) Number of Co integrating Relations by Model (columns) Trace Max-Eig 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 2 -407.9952 -401.9496 -399.6374 21.12796 21.02305 21.10961 21.29858 21.36430 21.62148 1 1 -407.9952 -394.8963 -392.0803 21.12796 20.71263 20.82463 21.29858 21.09653 21.42181 0 0 -395.3806 -392.3676 -392.0803 20.58362* 20.63423 20.82463 20.83955* 21.06079 21.42181 0 0 -395.3806 -391.0583 -388.3780 20.58362* 20.61837 20.73733 20.83955* 21.08758 21.41982 0 0 -395.1417 -390.8848 -388.3780 20.67393 20.66076 20.73733 21.01518 21.17263 21.41982

Log Likelihood by Rank (rows) and Model (columns)

Akaike Information Criteria by Rank (rows) and Model (columns)

Schwarz Criteria by Rank (rows) and Model (columns)

1.31.3.1

La modlisation V AR (p)La reprsentation V AR (p)

La reprsentation V AR k variables et p dcalages V AR (p) scrit sous forme matricielle, Yt = A0 + A1 Y t1 + ::: + Ap Yt p + "t ; avec 2 Yt1 Yt2 . . . Y tk 3 2 a1 1i a1 2i . . . a1 ki a2 1i a2 2i . . . a2 ki ak 1i ak 2i . . . ak ki 3 2 a0 1 a0 2 . . . a0 k 3 2 "1 t "2 t . . . "k t 3 (6)

La matrice de covariance des erreurs = E ("0 " t) est ici inconnue. De la mme faon que dans le cas univariari, t on pourra noter A (L) Yt = A0 + "t ; 14

6 6 Yt = 6 4

7 6 7 6 7 Ai = 6 5 4

7 6 7 6 7 A0 = 6 5 4

7 6 7 6 7 et "t = 6 5 4

7 7 7: 5


Arthur CHARPENTIER

o A est un polynome matriciel (k k); A (z) = I A1 z A2 z2 ::: Ap z p , et on appera polynme charactristique let polynme det I A1 z A2 z2 ::: Ap z p .

Remarque 5 Lcriture V AR prsente ici suppose que la ime quation, dnissant Yti ne fasse intervenir aucun j Y t . Ceci nest pas forcment toujours le cas : considrons les deux processus stationnaires (Xt ) et (Y t) dnis par les relations suivantes Xt = + 1 Xt1 + ::: + p Xtp Y t + 1 Y t1 + ::: + q Y tq + " t Y t = a + b1 Y t1 + ::: + b r Yt p dXt + c1Xt 1 + ::: + cs Xts + t ; qui peut se rcrire sous forme matricielle DZt = A + 1 Zt1 + ::: + n Ztn + u t o n = max fp; q; r; sg avec les notations matricielles Xt "t 1 i i Zt = , ut = ,D= ,A= et pour i = 1; :::; n Ai = ; Yt t d 1 a bi ci avec la convention, par exemple, i = 0 pour p < i n. On supposera que les bruits (" t) et ( t) sont non-corrls. Il est alors possible dcrire lquation sous forme rduite, obtenue en mutipliant par par D1 : Zt = + 1 Zt1 + ::: + n Ztn + vt o v t = B 1 u t: On constate que les innovations (vt ) sont alors fonctions des innovations de la forme structurelle, ("t) et ( t), et peuvent tre corrls : 0 "t t t d"t vt = ; : 1 d 1 d 2 Si chacunes des composantes sont i:i:d: les variances sont alors respectivement 2 + 2 = [1 d] et 2 + d 2 = [1 d " " On constate que lon peut alors toujours se ramener des processus de la forme (6). Dnition 4 Le processus Yt est stationnaire (au second ordre) si (i) E (Y t) = pour tout t (ii) V (Y t ) est nie et constante (iii) cov (Y t ; Yt+k ) = E ([Yt ] [Y t+k ]) = k pour tout t Proprit 2 U,n processus V AR (p) est stationnaire si le polynme caractrisque (dni partir du dterminant det I A1 z A2 z 2 ::: Ap z p ) a ses racines lextrieur du cercle unit. Preuve. Hamilton (1994) page 259 Exemple 7 Le processus bivari dni par 1 Yt 2 0:7 = + Y t2 3 0:2 a pour polynme caractristique 1 0 0:7 det 0 1 0:2

0:4 0:3

1 Yt 1 2 Yt 1

+

"1 t "2 t

;

0:4 0:3

qui admet pour racines z1 = 0:84 et z2 = 0:15 : le processus nest pas stationnaire. Exemple 8 Le processus dni par 1 Yt 2 0:2 = + Y t2 3 0:7 a pour polynme caractristique 1 0 0:2 det 0 1 0:7

1 0:7z z = 0:2z

0:4z = 1 z + 0:13z2 ; 1 0:3z

0:4 0:3

1 Yt 1 2 Yt 1

+

"1 t "2 t

;

0:4 0:3

qui admet pour racines conjugues z1 = 0:25 0:79i et z2 = 0:25 + 0:79i : le processus nest pas stationnaire. 15

1 0:2z z = 0:7z

0:4z = 1 0:5z 0:22z 2 ; 1 0:3z


Arthur CHARPENTIER

Exemple 9 Le processus dni par 1 Yt 2 0:2 = + Y t2 3 0:3 a pour polynme caractristique 1 0 0:2 det 0 1 0:3

0:7 0:4

1 Yt 1 2 Yt 1

+

"1 t "2 t

;

0:7 0:4

qui admet pour racines z1 = 1:30 et z2 = 5:91 : le processus est stationnaire.

1 0:2z z = 0:z

0:7z = 1 0:6z + 0:13z 2 ; 1 0:4z

0 Les processus V AR (p) peuvent se mettre sous forme V AR (1) en utilisant lcriture suivante. Soit Y t = Y t1 ; ::::; Y tn 2 R n satisfaisant la reprsentation V AR (p) suivante : pour tout t, Yt (n; 1) = + A1 Y t1 + ::: + Ap Y tp + "t soit A (L) Y t = + "t :

Lesprance de ce processus est alors E (Xt ) = E (L)1 [ + "t] = (1) 1 c = pour tout t: On peut alors rcrire (L) [Y t ] = "t . Considrons alors B B Zt = B @ (np;1) 0 Yt Y t1 . . . Yt p+1 1 C C C A B B B =B B @ 0 A1 In 0n 0n A2 0n In 0n .. . In Ap1 0n 0n Ap 0n 0n . . . 0n 1 0 C C B C B C et t = B C @ (np;1) A "t 0n . . . 0n 1

(np;np)

A

C C C: A

On peut alors noter que le processus V AR (p) (Y t ) peut se rcrire sous la forme dun processus transform Zt satisfaisant une reprsentation V AR (1) : Zt = AZt 1 + t : Exemple 10 Considrons le processus bivari dni par 1 1 Yt 3 0:2 0:7 Yt 1 0:4 = + 2 Y t2 1 0:3 0:4 Yt 1 0:1 suivant un modle V AR (2). Le polynme A (L) = =

0:6 0:8

1 Y t2 2 Y t2

+

"1 t "2 t

;

autorgressif A (L) est alors donn par 1 0 0:2 0:7 0:4 0:6 + L+ L2 0 1 0:3 0:4 0:1 0:8 1 0:2L + 0:4L2 0:7L + 0:6L2 : 0:3L + 0:1L2 1 0:4L + 0:8L2

Lesprance du processus (Yt ) est alors donne par = A (L) On a alors 2 3 2 Y t1 2:59 0:2 6 Y t2 1:80 7 6 0:3 6 1 7 6 4 Yt 1 2:59 5 = 4 1 2 Yt 1 1:80 01

3 1

=

2:59 1:80

: 3 3 "1 t 7 6 "2 7 7 +6 t 7: 5 4 0 5 0 2

0:7 0:4 0 1

32 1 0:4 0:6 Yt 1 2:59 2 0:1 0:8 7 6 Yt 1 1:80 76 1 0 0 5 4 Yt 2 2:59 2 0 0 Yt 2 1:80

1.3.2

Les modles ARM AX ou V ARM A

Les modles ARM AX sont une gnralisation des processus V AR (p), de la mme faon que les processus ARM A (p; q) sont une gnralisation des processus AR (p) : Y t = A0 + A1 Yt 1 + ::: + Ap Y tp + "t + B1 "t1 + ::: + Bq "tq ;

16


Arthur CHARPENTIER

o Ai et Bj sont des matrices k k. Il est possible de distringus les processus V M A (obtenus quand p = 0) : moyennes mobiles mutivaries. - les processus V AR sont toujours inversibles, et sont stationnaires si les racines du polynme caractristique sont lextrieur du disque unit - les processus V M A sont toujours stationnaires, et sont inversibles si les racines du polynme caractristique sont lextrieur du disque unit - les conditions dinversibilit et de stationnarit des processus ARM A dpendent des parties V AR et V M A du processus. Remarque 6 Il est possible de montrer que les processus V ARM A peuvent se mettre sous forme V AR (1) : Soit Y t suivant un modle V ARM A (p; q), tel que Yt = A1 Yt 1 + ::: + Ap Y tp + "t M 1 "t1 ::: Mq " tq et notons Yt 6 . . 6 . 6 6 Y tp+1 Zt = 6 6 "t 6 6 . . 4 . "t q1 On posera alors 2 3 6 7 6 7 7 6 7 7 6 7 7 6 7 7 6 0 7 7 vecteur de taille K (p + q) et Ut = 6 7 7 6 "t 7 de taille K p + K q: 7 6 7 7 6 0 7 6 7 5 6 . 7 4 . 5 . 0 B11 B21 0 B22 de taille K (p + q) K (p + q) ; 3 2 "t 0 . . . 3

B= o les blocs Bij sont dnis par

B11

A1 6 IK 6 =6 4 M1 6 0 6 =6 4 2 2

2

.. .

Ap1

IK .. . 0 .. . IK 0 M q 1

Ap 0 . . . 0 Mq 0 . . . 0 0 . . . 0 0 3

7 7 7 de taille K p Kp , 5 3 7 7 7 de taille K p K q; 5

B12

B22

Alors, le processus (Zt) suit un modle V AR (1) ; Zt = BZt 1 + Ut : 1.3.3 Estimation des paramtres dun modle V AR

0 6 IK 6 =6 4

7 7 7 de taille Kq Kq: 5

Chacun des paramtres peut tre obtenue soit par mco (moindres carrs ordinaires), soit par maximum de vraissemblance. Pour un modle V AR stationnaire, la stationnarit de la srie va entraner la convergence et la normalit asymptotique des estimateurs obtenus par mco, ce qui permet de mener des tests sur les paramtres du modle, ou de donner des intervalles de conance pour les prvisions. Toutefois, comme nous lavons dj dit dans le cas univari, les variables conomiques sont souvent intgres (dordre 1 ou plus ). Dans ce cas, lcriture (6) est toujours valable, mais le determinant du polynme charactristique admet des racines de module 1. Les coecients du modles peuvent toujours tre estims par des mco et les estimateurs obtenus sont toujours convergents (en fait, ils sont mme p super-convergents puisquils convergent la vitesse 1=T et non pas 1= T ). Cependant, ces estimateurs ne sont pas asymptotiquement normaux, et lon peut plus, dans ce cadre, mener les tests usuels sur les paramtres du modle, ni dterminer dintervalle de conance pour les prvisions. 17


Arthur CHARPENTIER

Cependant, lorsque les variables sont non-stationnaires et cointgres, les rsultats de Engle et Granger (1987) montrent que la bonne spcication du modle consiste utiliser une forme correction derreur (dvelopp dans la partie (1:2:1)), qui permet de se ramener une criture ne faisant intervenir que des variables stationnaires, et dans lesquels il est possible deectuer des tests sur les paramtres du modle. 1.3.4 Autocovariances et autocorrlations h i

La k-ime autocovariance croise entre la i-ime et la j-ime variable est donne par ij (h) = E

Y ti Y

i

Y th Y

j

j

:

Remarque 7 La proprit de symtrie valable dans le cas univari nest plus vrie ici : pour h 6= 0, ij (h) 6= ij (h). En eet, si Y t dpend fortement de Xt1 , ce ne signie pas que Yt dpende, de la mme faon, de Xt+1 . Et de mme ij (h) 6= ji (h) La fonction dautocorrlation est alors ij (h) = q ij (h) i (0) j (0) 3 :

Aussi, on peut dnir, pour tout retard h la matrice dautocorrlation 2 11 (h) 12 (h) 1n (h) 6 21 (h) 22 (h) 1n (h) 6 (h) = 6 . . . . . . 4 . . . n1 (h) n2 (h) nn (h)0

On peut alors noter que (h) = (h) , et que les lments sur la diagonale correspondent aux autocorrlations usuelles. 1.3.5 Application sur un exemple

7 7 7: 5

Considrons les sries suivantes, Y 1 et Y 2,4 2

0 -2 -4 -6 92 93 94 95 Y1 96 97 Y2 98 99

18


Arthur CHARPENTIER

Les observations sont les suivantes, 1992 01 1992 02 1992 03 1992 04 1992 05 1992 06 1992 07 1992 08 1992 09 1992 10 1992 11 1992 12 1993 01 1993 02 1993 03 1993 04 1993 05 1993 06 1993 07 1993 08 1993 09 1993 10 1993 11 1993 12 1994 01 1994 02 1994 03 1994 04 1994 05 1994 06 1994 07 1994 08 Y1 0:999 0:415 1:22 1:251 2:056 2:847 3:446 1:316 0:436 1:033 0:889 2:096 2:963 0:714 1:109 2:626 1:924 2:899 2:627 0:824 0:16 1:395 1:019 1:303 3:123 0:533 0:427 0:793 2:38 2:66 1:726 1:596 Y2 0:202 2:135 1:734 0:768 2:648 2:387 2:104 1:869 0:443 0:01 0:157 0:949 1:135 1:672 2:234 0:845 1:35 1:449 0:523 0:281 0:695 0:117 1:347 1:329 0:623 0:975 2:129 1:596 1:407 2:467 2:019 1:063 1994 09 1994 10 1994 11 1994 12 1995 01 1995 02 1995 03 1995 04 1995 05 1995 06 1995 07 1995 08 1995 09 1995 10 1995 11 1995 12 1996 01 1996 02 1996 03 1996 04 1996 05 1996 06 1996 07 1996 08 1996 09 1996 10 1996 11 1996 12 1997 01 1997 02 1997 03 1997 04 Y1 0:806 0:79 0:155 0:062 1:259 0:263 0:642 2:391 0:032 0:316 1:717 0:329 2:52 1:36 2:264 3:935 5:133 2:051 2:321 1:767 0:696 0:393 0:586 1:334 0:559 0:696 0:979 0:615 1:173 0:115 0:427 1:618 Y2 1:036 1:188 0:952 2:341 1:138 0:753 1:257 1:385 0:253 0:994 1:68 0:398 1:584 1:163 2:163 3:727 3:934 3:298 0:705 0:308 1:596 0:226 0:203 0:278 0:143 1:111 1:249 1:395 1:409 0:464 1:125 1:52 1997 05 1997 06 1997 07 1997 08 1997 09 1997 10 1997 11 1997 12 1998 01 1998 02 1998 03 1998 04 1998 05 1998 06 1998 07 1998 08 1998 09 1998 10 1998 11 1998 12 1999 01 1999 02 1999 03 1999 04 1999 05 1999 06 1999 07 1999 08 1999 09 1999 10 1999 11 1999 12 Y1 2:22 2:171 3:32 1:397 0:555 0:438 1:033 1:972 0:848 0:337 0:074 2:177 1:263 0:246 0:391 1:471 0:363 1:15 2:115 1:75 2:367 1:398 0:7 0:147 1:01 0:728 0:222 0:496 1:734 1:217 1:899 0:373 Y2 2:913 2:405 2:394 0:704 1:461 0:134 1:271 1:024 0:048 0:3 1:264 1:406 0:855 1:389 1:063 0:434 0:776 1:124 2:718 3:002 0:387 1:295 0:258 0:663 0:000 0:535 1:054 0:129 1:292 0:395 0:407 0:227

Lanalyse univarie des sries Y 1 et Y2 donne les autocorrlogrammes suivants,

19


Arthur CHARPENTIER

2 1 Lautocorrlogramme crois permet de reprsenter Y2!Y1 (h) = corr Y t1 ; Y t h et Y 1!Y 2 (h) = corr Yt2 ; Y th ,

Estimation dun modle V AR (1) avec constante Estimons le modle suivant sur notre chantillon, 1 1 1 Yt a1 a11 a12 Y t1 "t = + + ; 2 Yt2 a2 a21 a22 Y t1 "2 t qui peut se rcrire 1 2 Y t1 = a 1 + a11 Y t1 + a12Y t1 + "1 t 2 = a + a Y 1 + a Y 2 + "2 : Yt 2 21 t1 22 t1 t

Pour estimer les paramtres de ce modle, nous pouvons utiliser les mco sur chacune des quations indpendament :LS // Dependent Variable is Y1 Sample: 1992:01 1999:12 Included observations: 96 Variable Coefficient C Y1(-1) Y2(-1) -0.219299 0.132401 0.712173 Std. Error 0.111804 0.096128 0.104954 0.574829 0.565686 0.976670 88.71123 -132.4279 2.099930 T-Statistic -1.961460 1.377344 6.785548 Prob. 0.0528 0.1717 0.0000 -0.741438 1.481991 -0.016462 0.063674 62.86777 0.000000 LS // Dependent Variable is Y2 Sample: 1992:01 1999:12 Included observations: 96 Variable Coefficient C Y1(-1) Y2(-1) -0.239672 0.219594 0.369461 Std. Error 0.126545 0.108802 0.118792 0.333872 0.319547 1.105439 113.6457 -144.3175 1.910206 T-Statistic -1.893965 2.018300 3.110149 Prob. 0.0613 0.0464 0.0025 -0.620939 1.340096 0.231237 0.311373 23.30639 0.000000

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwartz criterion F-statistic Prob(F-statistic)



dont les sorties graphiques donnent respectivement4 2 0 -2 2 1 0 -1 -2 -3 92 93 94 95 96 97 98 99 Residual Actual Fitted -4 -6

4 2 0 4 2 0 -2 -4 -2 -4

92

93

94 Residual

95

96

97

98 Fitted

99

Actual

Les rsidus estims, b1 et b2 sont alors estims (reprsents ci-dessus ). Leur matrice de variance-covariance est "t "t alors 0:924075 0:545083 b = ; 0:545083 1:183809 20


Arthur CHARPENTIER

do les expressions des critres AIC et SC, k 21 22 b AIC (1) = ln + 2 = ln 0:796051 + 2 = 0:144759; n 96 k2 1 ln n 22 ln 96 b SC (1) = ln + = ln 0:796051 + = 0:037911: n 96 Cette estimation peut tre faite directement sous EV iews, de faon globaleSample: 1992:01 1999:12 Included observations: 96 Standard errors & t- statistics in parentheses Y1 Y1(-1) 0.132401 (0.09613) (1.37734) 0.712173 (0.10495) (6.78555) -0.219299 (0.11180) (-1.96146) Y2 0.219594 (0.10880) (2.01830) 0.369461 (0.11879) (3.11015) -0.239672 (0.12655) (-1.89397) R-squared 0.574829 Adj. R-squared 0.565686 Sum sq. resids 88.71123 S.E. equation 0.976670 Log likelihood -132.4276 Akaike AIC -0.016462 Schwartz SC 0.063674 Mean dependent -0.741438 S.D. dependent 1.481991 0.333872 0.319547 113.6457 1.105439 -144.3171 0.231237 0.311373 -0.620939 1.340096Y1 Residuals2 1

0 -1

-2 -3 92 93 94 95 96 97 98 99

Y2(-1)

Y2 Residuals3 2 1 0 -1 -2 -3 92 93 94 95 96 97 98 99

C

Toutefois, si lon considre les deux rgressions faite au dbut, on peut noter que la constante nest pas signicative ( un seuil de 5%) : on peut tester un modle V AR (1) sans constante. Estimation dun modle V AR (1) sans constante Estimons le modle suivant sur notre chantillon, 1 1 1 Yt a11 a12 Y t1 "t = + ; 2 Y t2 a21 a22 Y t1 "2 t qui peut se rcrire 1 2 Y t1 = a 1 + a11 Y t1 + a12Y t1 + "1 t 2 1 2 Y t = a 2 + a21 Y t1 + a22Y t1 + "2 : t

Pour estimer les paramtres de ce modle, nous pouvons utiliser les mco sur chacune des quations indpendament :LS // Dependent Variable is Y1 Sample: 1992:01 1999:12 Included observations: 96 Variable Coefficient Y1(-1) Y2(-1) 0.175336 0.734900 Std. Error 0.095009 0.105881 0.557240 0.552530 0.991352 92.38113 -134.3737 2.133717 T-Statistic 1.845459 6.940826 Prob. 0.0681 0.0000 -0.741438 1.481991 0.003241 0.056665 118.3047 0.000000

LS // Dependent Variable is Y2 Sample: 1992:01 1999:12 Included observations: 96 Variable Coefficient Y1(-1) Y2(-1) 0.266518 0.394300 Std. Error 0.107391 0.119680 0.308179 0.300819 1.120548 118.0291 -146.1341 1.929628 T-Statistic 2.481746 3.294631 Prob. 0.0148 0.0014 -0.620939 1.340096 0.248250 0.301674 41.87322 0.000000





21


Arthur CHARPENTIER

dont les sorties graphiques donnent respectivement4 2 0 -2 2 1 0 -1 -2 -3 92 93 94 Residual 95 96 97 98 Fitted 99 -4 -64 2 0 -2 -4 92 93 94 95 96 97 98 99 Residual Actual Fitted 4 2 0 -2 -4

Actual

Les rsidus estims, b1 et b2 sont alors estims (reprsents ci-dessus ). Leur matrice de variance-covariance est "t "t alors 0:931916 0:553652 = ; 0:553652 1:193174 do les expressions des critres AIC et SC, AIC (1) = ln jj + 2 SC (1) = ln jj + k2 1 22 = ln 0:805407 + 2 = 0:216407; n 96

k2 1 ln n 22 ln 96 = ln 0:805407 + = 0:0262263: n 96 Cette estimation peut tre faite directement sous EViews, de faon globaleSample: 1992:01 1999:12 Included observations: 96 Standard errors & t- statistics in parentheses Y1 Y1(-1) 0.175336 (0.09501) (1.84546) 0.734900 (0.10588) (6.94083) Y2 0.266518 (0.10739) (2.48175) 0.394300 (0.11968) (3.29463) 0.308179 0.300819 118.0291 1.120548 -146.1337 0.248250 0.301674 -0.620939 1.340096Y1 Residuals2 1

0 -1

-2 -3 92 93 94 95 96 97 98 99

Y2(-1)

Y2 Residuals3

R-squared 0.557240 Adj. R- squared 0.552530 Sum sq. resids 92.38113 S.E. equation 0.991352 Log likelihood -134.3733 Akaike AIC 0.003241 Schwartz SC 0.056665 Mean dependent -0.741438 S.D. dependent 1.481991

2 1 0 -1 -2 -3 92 93 94 95 96 97 98 99

Comparaison de dirents modles V AR (p) Pour dirents modles V AR (p), les critres AIC et SC sont jj 0:796051 0:805407 0:741204 0:749653 AIC Y1 0:016462 0:003241 0:018655 0:038084 0:059019 0:074667 0:092828 0:111325 AIC Y2 0:231237 0:248250 0:242400 0:254792 0:250520 0:276974 0:289736 0:318514 AIC tot 0:144759 0:216407 0:132813 0:121478 SC Y 1 0:063674 0:056665 0:152215 0:144932 0:246003 0:234939 0:333236 0:325021 SC Y2 0:311373 0:301674 0:375960 0:361640 0:437504 0:437246 0:530143 0:532210 SC tot 0:037911 0:026226 0:080883 0:092217

V AR (1) V AR (1) V AR (2) V AR (2) V AR (3) V AR (3) V AR (4) V AR (4)

avec constante sans constante avec constante sans constante avec constante sans constante avec constante sans constante

La comparaison des critres AIC pousse choisir un modle V AR (1) sans constante. Le modle retenu 1 1 1 Yt 0:175 0:735 Y t1 "t b = 0:931916 0:553652 : = + o 2 Y t2 0:267 0:394 Y t1 "2 0:553652 1:193174 t 22


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1.3.6

Prvision laide des modles V AR

Expression de la prvision horizon h Considrons un modle V AR (1) ; Yt = A0 + A1Y t1 + " t; estim partir de T observations. La prvision horizon 1 faite en T est alors b b b YT (1) = A0 + A1 Y T :

La prvision horizon 2 est alors

De faon plus gnrale, la prvision horizon h est alors

h i b b b b b b b b b b b b1 Y T (2) = A0 + A1 Y T (1) = A0 + A1 A0 + A1 YT = A0 + A1 A0 + A2 YT : h i b b b b b b b b1 Y T (h) = A0 + A1 Y T (h 1) = I + A1 + ::: + Ah 1 A0 + Ah Y T : 1

Lesprance de lerreur de prvision est nulle, et sa variance est donne par 1 = horizon 1. A horizon 2, cette variance est b b b b 2 = 1 + A1 A0 = + A1 A0 ; 1 1 et horizon 3, elle vaut De faon plus gnrale, la variance de la prvision horizon h est b1 b1 b b1 b1 b1 2 = 2 + A2 A20 = + A1 A0 + A2 A20 :

Des formules analogues existent pour les processus V AR (p). La variance de lerreur de prvision de chacune des k variables est obtenue sur la diagonale des h : lintervalle de conance de la prvision au niveau 1 =2 est donne par q b Y i (h) t=2 : i; i;T h

b b b b b b b b h = h1 + Ah 1 Ah 10 = + A1 A0 + A2 A20 + ::: + Ah 1 Ah 10 : 1 1 1 1 1 1 1

o t=2 est le fractile de la loi normale.

Application sur lexemple prcdant Le modle retenu tait 1 1 1 Yt 0:175 0:735 Y t1 "t 0:931916 = + o = 2 Y t2 0:267 0:394 Y t1 "2 0:553652 t

0:553652 1:193174

:

En utilisant cette estimation, on obtient de faon rcursive ( b1 b1 b2 Y 200002 = 0:175336:Y 200001 + 0:7349:Y 200001 2 1 b b b Y = 0:266518:Y + 0:3943:Y 2 ;200002 200001 200001

On obtient alors la prvision, faite n dcembre 1999, pour le mois de janvier 2000, de la forme ( 1 2 b1 Y 200001 = 0:175336:Y 199912 + 0:7349:Y 199912 1 2 b2 Y 200001 = 0:266518:Y 199912 + 0:3943:Y 199912 :

(

La variance de lerreur de prvision est donne par h , soit 0:931916 0:553652 h = = : 0:553652 1:193174

b1 b1 b2 Y 200003 = 0:175336:Y 200002 + 0:7349:Y 200002 2 1 b b b2 Y 200003 = 0:266518:Y 200002 + 0:3943:Y 200002 :

23


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1.3.7

Tests de bruit blanc des erreurs

De la mme faon que pour les modles AR, il convient de vrier que les erreurs correspondent un bruit blanc. Soit ("t ) le processus derreur, et (h) sa fonction dautocorrlation. Lhypothse tester est alors H0 : (1) = ::: = (h) = 0: La statistique Q de Box & Pierce peut alors se gnraliser en multivari, Q (h) = n La statistique de Ljung & Box scrit Q0 (h) = n2h X i=1 h X i=1

1 b 1 b 0b trace (i) (0) (i) b (0) :

La distribution asymptotique suit une loi du chi-deux. 1.3.8

1 0 1 b 1 b trace b (i) b (0) (i) (0) : ni

Test de causalit (Granger (1969)) sur des mod les V AR

En dimension 2, considrons deux processus (Xt ) et (Yt ). Le but est de se demander si (Xt ) cause (Yt ), et de voir dans quelle proportion la valeur courante de (Y t) peut tre explique par ses valeurs passes, et si en ajoutant des valeurs retardes de (Xt ), lexplication est meilleure. Considrons un modle autorgressif; X (L) X Y (L) Xt X "t (L) Zt = + ut soit = + ; Y X (L) Y (L) Yt Y t o on supposera (0) = I, ce qui permettra dinterprter le vecteur u t comme le processus dinnovation. - (Xt ) ne cause pas (Y t ) au sens de Granger si et seulement si les coecients de Y X sont nuls : Y X (L) = 1 - (Y t) ne cause pas (Xt ) au sens de Granger si et seulement si les coecients de XY sont nuls : XY (L) = 1 Le test peut se faire sous E V iews (Granger Causality ) : pour cela, on commence par choisir le nombre de retards introduire, et lhypothse nulle teste est que (Y t) ne cause pas (Xt ) dans la premire quation, et que (Xt ) ne cause pas (Y t) dans la seconde. Considrons ici deux vecteurs (ou variables) (Xt ) et (Yt ), respectivement de taille n et m, de telle sorte que 0 n + m = K; de telle sorte que le processus (Zt ) = (Xt ; Y t ) soit un processus V AR (p) : Zt = M + A1 Zt1 + A2 Zt 2 + ::: + Ap Zt p + "t ou encore Zt = BZt1 + Ut ;

en reprenant les notations de la remarque (6), cest dire 6 6 6 =6 6 4 2 1 Zt Zt1 . . . Ztp+1 3 7 6 7 6 7 6 7 et Ut = 6 7 6 5 4 2 0 "t 0 . . . 0 3 7 7 7 7: 7 5

B=

M

A1

Ap 1

Ap

de taille K (K p + 1) ;

Zt

Le test de lhypothse de causalit est un test de Wald : on cherche tester (H0 ) : R = c contre (H1 ) : R 6= c, b o C est une matrice N K 2 p + K de rang N et c est un vecteur RN . Supposons que , estimateur de , p p L L b vrie une proprit de normalit asymptotique, cest dire T ! N 0; 1 - , alors T R b R ! N 0; R 1 - R0 et on a alors En remplaant les matrices et par leur estimateurs usuels 1 0 L T (R c) R 1 - R0 (R c) ! 2 (N ) : 1 b = 1 ZZ 0 et = b u b0 ; bu T T Kp 1 24


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on obtient lestimateur de Wald 0 h i 1 1 b = Rb c R (ZZ 0 ) - R0 Rb c ;

qui suit asymptotiquement un chi-deux N degrs de libert. Toutefois, une alternative galement utilise est de considrer =N qui suit asymptotiquement une loi de Fisher N et T Kp 1 degrs de libert. Dans le cas du test de causalit de Granger le coecient c est nul, de taille (m n) p, est le vecteur vec (B) cest dire la concatnation des vecteurs colonnes de B : le modle de base scrivant de la faon suivante X Xt MX AX AX Y Xt 1 AX AX Y Xt 2 AX AX Y Xtp "t 1 1 2 2 p p = + + +:::+ + ; Yt MY AY X AY Y t1 AY X AY Y t2 AY X AY Y tp "Y 1 1 2 2 p p t on a B = MX MY AX 1 AY X 1 AX 1;11 . . . X A1;1n AY X 1;11 . . . AY X 1;1m AXY 1 AY 1 AX 2 AY X 2 AX 1;n1 . . . X A1;nn AY X 1;n1 . . . AY X 1;nm AX AXY 2 ::: YpX AY Ap 2 AX Y 1;11 . . . XY A1;1n AY 1;11 . . . AY 1;1m AX Y p AY p

2 =

et donc

X M1 6 . 6 . 6 . 6 MX 6 n 6 MY 1 6 6 . 4 . . Y Mm

AX Y AX 1;m1 p;11 . . . . . . XY X A1;mn Ap;1n ::: Y X AY Ap;11 1;m1 . . . . . . Y YX A1;mm Ap;1m

AX n1 p; . . . X Ap;nn AY X p; n1 . . . AY X p; nm

AXY p;11 . . . XY Ap; 1n AY p;11 . . . AY p;1m

AXY p;m1 . . . XY Ap;mn AY p;m1 . . . AY p;mm

3

7 7 7 7 7; 7 7 7 5

La matrice R est alors la matrice remplie de 0 et de 1 permettant de tester la nullit des coecients AXY ,...,AXY , 1 p cest dire 2 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 R=6 6 6 6 6 6 6 6 4 nullit de AXY 1;12 nullit de AXY 1;11 . . . nullit de AXY 1;mn nullit de . . . nullit de AXY p; mn AXY p;11n+m n(n+m) m( n+m) m(n+m)

X 0 2 X Y Y Y = M 1 Mn M1 Mm AX AX 1n AY X AY X AX AY 2 R(n+m) p+n+m : 1;11 1; 1; 11 1;1m 2;11 p;m1 Ap; mm

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0

0 0 . . . 0

0 0 . . . 1 . . . 0 0

0 0 . . . 0

0 0 0 0 . ::: . . . . . 0 0 ::: 0 1 . . ::: . . . . 0 0

0 0 . . .

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0

. . . 0 . . . 0 0 0 0 0

. . .

0 . . . 0

0 0

n+m

n(n+m)

0 . . . 0

0 . . . 0 . . . 0

0 . . . 0

0 . . . 1

m( n+m)

m(n+m)

On rejette alors (H0 ) (de non-causalit) quand la puissance du test est trs faible (infrieure 5%), et dans le cas contraire, on ne peut pas rejeter lhypothse de non-causalit (puissance suprieure 5%). 1.3.9 Les modles V AR (p) : analyse des chocs

7 7 7 (n m) 7 7 7 7 7 7 . 7 . 7 . 7 7 7 7 (n m) 7 7 5

(Y t ) suit un modle V AR dordre p si et seulement si Y t = M + A1 Y t1 + A2 Y t2 + ::: + Ap Y tp + "t ; o ("t) est un bruit blanc de dimension K, de matrice de variance-covariance . Proprit 3 Ce processus admet une reprsentation V AR (1) de la forme Zt = + AZ t1 + Ut o 2 3 2 3 2 3 2 3 Yt M "t A1 Ap 1 Ap 6 Yt 1 7 6 0 7 6 0 7 6 IK 0 0 7 6 7 6 7 6 7 6 7 Zt = 6 7 , = 6 . 7 , Ut = 6 . 7 et A = 6 7: . .. . 4 5 4 . 5 4 . 5 4 5 . . . . Y tp+1 0 0 0 IK 0 25


Arthur CHARPENTIER

Remarque 8 En posant J = [IK ; 0; :::; 0], on peut crire Y t = J Zt Sous lhypothse de stabilit du processus (racines du polynme charactristique lextrieur du disque unit) la reprsentation V M A est la suivante (appele aussi dcomposition de Wald ) Yt = +1 X i=0

i"t i o

i = J AiJ 0 : = (I K A1 ::: Ap )1 M

(7)

Impact dune impulsion Nous allons tudier ici leet dune innovation dune des variables Y ti sur le systme de K variables. Pour cela, on suppose que Y t = pour t < 0 et quen t = 0, la ime variable augmente de 1 (soit "j = 0 t pour j 6= i et "i = 1). Lide est alors dtudier comme ragit le systme aux dates 1, 2, ..etc, si aucun autre choc ne t survient. Nous supposerons pour la suite que le processus (Y t ) est centr, et que linnovation se fait sur la premire variable. Enn, nous noterons = (1; 0; 0; :::; 0) 0 le vecteur dimpulsion. Remarque 9 Lide gnrale de lanalyse des chocs (ou fonction de rponse aux innovations) est de rsumer linformation concernant lvolution dune composante Y tj suite une impulsion sur Y ti, la date t = 0, en supposant que toutes les autres variables sont constantes pour t 0. En utilisant lcriture V M A (1), on en dduit Y0 =1 X i=0

i "ti = 0 + 0 + 0 + ::: = 1 X i=0

(car 0 = I),

Y1 =

i "ti = 0 + 1 + 0 + ::: = 1 ;

et plus gnrallement, Y h = h o la matrice h est le coecient du retard dordre h de lcriture V M A (1), cest dire i = J AiJ 0. Aussi, la rponse une choc sur linnovation se lit sur les vecteurs colonnes des matrices de la forme moyenne mobile. On peut galement considrer les rponses accumules. Pour cela, on considre les matrices dnies par i = 1 I + 1 + 2 + ::: + h , avec la matrice limite 1 = I + 1 + 2 + ::: + h + ::: = (IK A1 ::: Ap ) . Un exemple sera trait dans la partie suivante. Orthogonalisation des innovations et dcomposition de la variance Dans lanalyse prcdante, nous avons suppos quil tait possible davoir, la date t = 0 une impulsion sur lune des composantes, cest dire que le bruit ("t ) scrivait sous la forme (0; :::; 0; 1; 0; :::; 0) 0. Supposons que la matrice de variance-covariance soit de la forme E ("t" 0 ) = 6= I. Il peut tre intressant (dans le t cas bivari, pour simplier ) disoler linnovation propre au processus (Y t ) non pollue par la raction de linnovation (Xt ) : on parle alors dorthogonalisation des innovations. On considre alors la dcomposition suivante de la matrice de covariance des innovations : 1 0 0 0 0 = E (" t"t ) = ADA o A = et D = : 1 0 Exemple 11 Dans le cas bivari, on a par exemple la dcomposition suivante 2 2 1 2 1 0 1 0 1 1 = 2 1 = : 1 2 2 1 = 2 1 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 1 E ( t 0 ) = A 1 E ("t "0 ) A1 = A1 (A0 ) = A1 ADA0 (A0) = D: t t

On pose alors t = A1 " t : on remarque que les innovations ( t ) sont alors des combinaisons linaires des innovations du modle initial ("t), qui sont indpendantes (ou tout du moins non corrles) :

Un processus bivari (Y t) dnit par un modle V AR (1) de la forme suivante Xt = 0 + 1 Xt 1 + 2 Y t1 + "X t Yt = 0 + 1 Xt 1 + 2 Y t1 + "Y ; t

26


Arthur CHARPENTIER

devient alors

Lide est alors de considrer un choc unitaire non pas sur une composante de ("t ) mais sur la composante Y : t la date t = 0, ( t) = (0; 1)0 . En partant de la dcomposition des rsidus en innovations orthogonales, on peut alors calculer la contribution i de chaque innovation la variance totale de lerreur de prvision du processus Xt : cest cela que lon appelle dcomposition de la variance. Considrons le processus (Xt ) admettant la reprsentation V AR (p) suivante A (L) Y t = Y t A0 A1 Y t1 ::: Ap Yt p = M + "t : On suppose que le bruit blanc ("t ) est de matrice de variance-covariance : On suppose que ce processus est stationnaire, de telle sorte quil puisse tre reprsent sous forme la V M A (1) suivante Y t = + "t + 1 "t 1 + ::: + i"ti + ::: = + (L) "t : Lerreur de prvision faite en T horizon h scrit sous la forme b XT +h XT (h) = = XT +h EL (XT +h jXT ; XT 1 ; :::; X1 ) XT +h EL (XT +h j"T ; "T 1 ; :::; "1 ) = "T +h + 1 "T +h 1 + ::: + h1 "T +1 :

Xt = 0 + 1 Xt 1 + 2 Y t1 + X t Yt = 0 + 1 Xt 1 + 2 Y t1 + 1 = 2 : X + Y : t t

Lesprance vaut alors 0 (les bruits blancs tant, par dnition, des processus centrs), et la matrice de variancecovariance est alors donne par 0 bT (h) XT + h XT (h) b E XT +h X = + 1 0 + ::: + h 1 0 : 1 h1 Cette erreur de prvision est alors exprime en fonction de la matrice de variance-covariance des rsidus (non diagonale). Comme prcdemment, considrons la transformation t = A1 "t ou "t = A t, o = ADA0 : 2 1 3 2 1 3 "t t 6 . 7 6 . 7 "t = 4 . 5 = [a1 ; a2 ; :::; an ] 4 . 5 o ai 2 R d : . . "d t d t Ds lors En substituant alors cette expression dans la variance de la prvision pour un horizon h, cela permet de rexprimer cette variance en fonction de la variance des innovations orthogonales : E d 0 X 0 b b XT +h XT (h) XT +h XT (h) = V j 1 (a1 a0 ) 0 + ::: + h 1 ah 1 a0 t 1 1 h1 h1 ; j=1

= E (" t" 0 ) = a1 a0 V 1 + a2 a0 V 2 + ::: + ad a0 V d : t 1 t 2 t d t

do nalement la denition suivante

Dnition 5 On appelle contribution dune innovation pure la variance totale de la prvision un horizon h la quantit V j 1 (a1 a0 ) 0 + ::: + h 1 ah1 a0 1 0 t 1 1 h h1 : Exemple 12 Sur lexemple considr dans la partie prcdante, le graphique ci-dessous correspond aux rponses aux fonctions dimpulsion, respectivement sur la variable (Y 1 ) gauche et (Y2 ) droiteResponse of Y1 to One S.D. Innovations1.0 0.8 0.6 0.4 1.0 0.8 0.6 0.4

Response of Y2 to One S.D. Innovations

0.2 0.0

0.2 0.0

1

2

3

4

5 Y1

6 Y2

7

8

9

10

1

2

3

4

5 Y1

6 Y2

7

8

9

10

27


Arthur CHARPENTIER

avec la dcomposition de la variance ci-dessousVariance Decomposition of Y1100 80 70 60 60 50 40 40 20 0 1 2 3 4 5 Y1 6 Y2 7 8 9 30 20 10 1

Variance Decomposition of Y2

80

2

3

4

5 Y1

6 Y2

7

8

9

10

1.41.4.1

Application des modles V ARApplication : investissement, revenu et consommation

Nous allons considrer ici lexemple dvelopp par Ltkepohl (1991), Introduction to Multiple Time Series Analysis, dans le chapitre 3: La base considre contient 22 ans de donnes trimestrielles, avec linvestissement (X), le revenu (Y ) et la consommation (Z).2500 2000 15000.0 0.2

0.1

1000-0.1

500 0

-0.2

60

62

64

66

68

70

72

74

76 REVENU

60

62

64

66

68

70

72

74

76

CONSOMMATION

INVESTISSEMENT

RDMT_CONS

RDMT_INV

RDMT_REV

Le graphique ci-dessus gauche reprsente, en donnes brutes, alors que le graphique de droite correspond aux rendements : on posera alors C t = log (Zt) log (Zt 1 ), It = log (Xt) log (Xt 1 ) et Rt = log (Yt ) log (Y t1 ). Remarque 10 Un test de cointgration peut tre men rapidement, en reprsentant les scatterplots des direntes variables,2000700 600 INVESTISSEMENT

2500 2000 1500 1000

CONSOMMATION

1500

500 400 300 200

1000

500

REVENU

500 0

0 100

200

300

400

500

600

700

100

0

500

1000

1500

2000

2500

0

500

1000

1500

2000

INVESTISSEMENT

REVENU

CONSOMMATION

Comme le montrent les graphiques ci-dessus, seul le couple (Zt; Y t ) semble cointgr.

28


Arthur CHARPENTIER

Le tableau ci-dessous donne direntes statistiques de choix pour des modles V AR (p) dirents4 : Retards 1 2 3 4 AIC 24:50 24:59 24:41 24:36 HQ 24:38 24:37 24:07 23:90 SC 24:41 24:02 23:55 23:21 FP E 2:500 2:272 2:748 2:910

Ltkepohl retenait, en utilisant le critre AIC dAkaike et le F P E (critre que lon cherche minimiser ), un modle V AR (2) ; Zt = M + A1 Zt 1 + A2 Zt2 + " t: Lestimation des paramtres donne les rsultats suivants 2 3 2 3 2 32 It 0:0167 0:3196 0:1460 0:9612 4 Rt 5 = 4 0:0158 5 + 4 0:0439 0:1527 0:2885 5 4 Ct 0:0129 0:0024 0:2248 0:2640 2 32 3 2 1 bt " 0:1606 0:1146 0:9344 It2 + 4 0:0500 0:0192 0:0102 5 4 Rt2 5 + 4 b2 "t 0:0339 0:3549 0:0222 C t2 b3 "t o la matrice de variance-covariance peut etre estime 2 212:96 b = 4 7:16 12:3 par 7:16 13:73 6:15 3 12:3 6:15 5 10 5 : 8:92 3 It1 Rt 1 5 C t1 3 5;

(8)

La reprsentation V M A (1) ; permettant de calculer les fonctions dimpulsions, est la suivante 2 3 2 32 1 3 2 32 1 3 2 32 1 3 It 1 0 0 bt " 0:319 0:145 0:961 bt1 " 0:054 0:621 0:415 bt2 " 4 R t 5 = 4 0 1 0 5 4 b2 5 + 4 0:043 0:152 0:288 5 4 b2 "t "t1 5 + 4 0:028 0:113 0:088 5 4 b2 "t2 5 3 Ct 0 0 1 0:002 0:224 0:263 0:045 0:260 0:109 bt " b3 "t1 b3 "t2 2 32 1 3 2 32 1 3 " bt 3 " bt 4 0:119 0:352 0:407 0:014 0:018 0:261 + 4 0:008 0:071 0:119 5 4 b2 3 5 + 4 0:003 0:011 "t 0:008 5 4 b2 4 5 + ::: "t 0:000 0:098 0:090 0:005 0:845 0:015 "t b3 3 "t b3 4 Les fonctions dautocovariance du processus sont alors donnes par 2 3 2 0:00245 0:00006 0:00014 0:00045 0 = 4 0:00006 0:00015 0:00006 5 et 1 = 4 0:00011 0:00014 0:00006 0:00012 0:00002 et les fonctions dautocorrlation sont alors 2 3 2 1:0000 0:0905 0:2578 0:1981 0 = 4 0:0905 1:0000 0:4525 5 et 1 = 4 0:1876 0:2578 0:4525 1:0000 0:04084 o

0:00007 0:00000 0:00002

3 0:00007 0:00003 5 ; 0:00001

0:1196 0:0128 0:1658

AIC est le critre dAkaike, donn pour m retards, par

3 0:1388 0:2241 5 : 0:0875

2mK 2 T o T est le nombre dobservation, m le nombre de retards, K le nombre de variables, et m est lestimateur (du maximum de vraissemblance)de la matrice de variance-covariance du bruit. HQ est le critre de Hanna-Quinn, dni par AIC (m) = ln (det (m)) + HQ (m) = ln (det (m )) + SC est le critre de Schwarz dni par SC (m) = ln (det (m)) + F P E correspond au critre nal prediction error , dnit par T + Km + 1 K F P E (m) = det (m ) T Mk 1 ln T mK 2 T 2 ln (ln T ) mK2 T

(F P E est ici donne un facteur multiplicatif prs ( 1011 )).

29


Arthur CHARPENTIER

An de tester la causalit au sens de Granger, par exemple de revenu/consommation vers investissement, on va tester si les matrices A1 et A2 sont de la forme 2 3 2 3 0 0 0 0 0 0 Ai = 4 5 soit B = [M ; A1; A2 ] = 4 5 : Ces hypothses peuvent scrire sous forme matricielle Rb = 0, en considrant que le processus Zt se subdivisionne 0 en 2 sous-processus (C t; Rt ) et (It ). On a alors N = 4, et K 2 p + K = 32 2 + 3 = 21 : la matrice R (matrice 4 21) est alors dnie par 2 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 R=6 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ce qui peut tre test laide de principe de Wald (test de Student ). 0 h i 1 1 b 1 b b = R c R (ZZ 0 ) - R0 R c = 1:59; 4

alors que le quantile 95% de la loi de Fisher F (4; 66) vaut 2:5. Aussi, au niveau 5%, on ne peut pas rejeter lhypothse de non-causalit des variables revenu et investissment sur la consommation. En revanche, un test de non-causalit instantane revient tester si est de la forme 2 3 0 0 = 4 0 5: 0

La prvision peut se faire en utilisant lcriture V AR (2), estime par (8), compte tenu du fait que les deux derniers points sont 2 3 2 3 0:02551 0:03637 ZT 1 = 4 0:02434 5 et ZT = 4 0:00517 5 : 0:01319 0:00599 La prvision optimale se fait alors, de faon rcursive, 2 3 2 3 0:011 0:011 b b b ZT (1) = M + A1Z T + A2 ZT 1 = 4 0:020 5 , ZT (2) = M + A1 ZT (1) + A2 ZT = 4 0:020 5 ...etc. 0:022 0:015 Lestimateur de la matrice de variance covariance se faire alors, au rang 2 23:34 K + Kp+ 1 b 73 + 6 + 1 b b Y (1) = " = " = 4 0:785 T 73 1:351 Les matrices de variance covariance des ordres plus levs se 2 25:12 0:580 b Y (2) = 4 0:580 1:581 1:300 0:586 1, de la faon suivante 3 0:785 1:351 1:505 0:674 5 10 4 : 0:674 0:978

do, nallement, les prvisions suivantes : 2 3 2 3 0:011 0:095 0:011 0:098 b b horizon 1 : ZT (1) 2 4 0:020 0:024 5 et horizon 2 : ZT (2) 2 4 0:020 0:025 5 : 0:022 0:019 0:015 0:020 Nous allons maintenant tudier les fonctions rponses une impulsion. composantes de la forme V M A (1) sont 2 3 2 0:319 0:145 0:961 0:054 b b b 1 = 4 0:043 0:152 0:288 5 = A1 et 2 = 4 0:028 0:002 0:224 0:263 0:045 30

calculent laide de la forme V M A (1), et donnent 3 1:300 0:586 5 10 4 ; 1:009

Pour cela, rappelons que les deux premires 0:621 0:113 0:260 3 0:415 b b b 0:088 5 = A1 1 + A2 : 0:109


Arthur CHARPENTIER

b b b b b En notant 0 = I, et i = 0 + 1 + ::: + i , on a alors les estimations suivantes, avec, entre parenthses, les intervalles de conance i 2 6 7 6 0:044 0:153 0:289 7 6 (0:032) (0: 167) 7 (0:143) 4 5 0:002 0:225 0:264 (0:115) (0: 134) 2 (0:025) 3 0:054 0:262 0:416 (0:546) (0: 663) 6 (0:129) 7 6 0:029 7 0:114 6 (0:032) (0:135) 0:088 7 (0: 162) 5 4 0:045 0:261 0:110 2 (0:026) (0:108) (0: 131) 3 0:119 0:353 0:408 (0:384) (0: 476) 7 6 (0:084) 6 0:009 0:071 0:120 7 6 (0:016) (0:078) (0: 094) 7 4 5 0:001 0:098 0:091(0:017) (0:078) (0: 102)

0:320(0:125)

(0:562)

b i 0:146

(0: 657)

0:961

1

3

2

2

3

avec les comportements limites suivants : 0 b lim i = 4 0 i!1 0 2

6 6 0:044 6 (0:032) 4 0:002 2 (0:025) 0:626 6 (0:148) 6 0:073 6 (0:043) 4 0:043 (0:033) 2 0:745 6 (0:099) 6 0:064 6 (0:037) 4 0:042(0:033)

(0:125)

0:680

7 0:289 7 (0:143) (0:167) 7 5 0:225 0:736 (0:115) (0:134) 3 0:408 1:377 (0:651) (0:755) 7 0:961 0:200 7 7 (0:192) (0:222) 5 0:486 0:846 (0:144) (0:167) 3 0:761 0:969 (0:483) (0:550) 7 1:033 0:320 7 7 (0:176) (0:203) 5 0:388 0:937 0:847(0:156) (0:183)

(0:562)

b i 0:146

(0:657)

0:961

3

0 0 0

Ceci peut se rprsenter sur les graphiques ci-dessous, avec limpact sur la consommation dun choc de 1 sur le revenu la data t = 0, avec limpact aux direntes dates gauche, et limpact cumul droite,0.6

0 6 (0:133) b 5 et lim i = 6 0:076 0 6 (0:048) i!1 4 0 0:053(0:043)

3

2

0:756

( 0:661) ( 0:236) ( 0:213)

0:866 1:076 0:505

7 0:344 7 : 7 (0:285) 5 0:964(0:798) (0:257)

1:295

3

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.01 2 3 4 5 6 7 8

0.4 0.2

0.0

-0.2

-0.4 CONSOMMATION CONS_INF CONS_SUP

1

2

3

4

5

6

7

8

CONSOMMATION

CONS_INF

CONS_SUP

31


Arthur CHARPENTIER

1.4.2

Application des modles V AR : rendements dune action et dun indice

Considrons les deux sries suivantes, le rendement de laction IBM , et le rendement de lindice SP 500 (rendement mensuel, entre janvier 1926 et dcembre 1999)4 0 3 0 2 0 1 0 0 - 1 0 - 2 0 - 3 0 - 4 0 1 9 3 0 1 9 4 0 1 9 5 0 1 9 6 0 1 9 7 0 IB M 4 0 3 0 2 0 1 0 0 - 1 0 - 2 0 - 3 0 - 4 0 1 9 3 0 1 9 4 0 1 9 5 0 1 9 6 0 1 9 7 0 1 9 8 0 1 9 9 0 S P 5 0 0 1 9 8 0 1 9 9 0

40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

avec les sries (Xt) et (Y t) gauche (i.e. le rendement du titre IBM et de lindice SP 500 respectivement ), et le nuages des points (Xt ; Yt ) Une estimation V AR avec 5 retards donne les rsultats suivantsVector Autoregression Estimates Date: 06/04/03 Time: 14:28 Sample(adjusted): 1926:06 1999:12 Included observations: 883 after adjusting endpoints Standard errors in ( ) & t -statistics in [ ]IBM(-1) IBM 0.019012 (0.04354) [ 0.43664] SP500 -0.012372 (0.03658) [-0.33819] SP500(-1) IBM 0.105749 (0.05176) [ 2.04322] SP500 0.088680 (0.04349) [ 2.03927] C IBM 1.167488 (0.24126) [ 4.83912] SP500 0.509100 (0.20271) [ 2.51144] IBM(-2) 0.096939 (0.04344) [ 2.23143] 0.056943 (0.03650) [ 1.56002] SP500(-2) -0.138224 (0.05174) [-2.67166] -0.047391 (0.04347) [-1.09018] IBM(-3) 0.048639 (0.04411) [ 1.10266] -0.001835 (0.03706) [-0.04951] SP500(-3) -0.113612 (0.05222) [-2.17546] -0.110083 (0.04388) [-2.50873] IBM(-4) -0.010359 0.028003 SP500(-4) -0.016755 0.017162 (0.05238) [-0.31988] (0.04401) [ 0.38997] (0.04397) [-0.23559] (0.03695) [ 0.75794] IBM(-5) -0.073582 (0.04387) [-1.67740] -0.075260 (0.03686) [-2.04191] SP500(-5) 0.131304 0.132369 (0.05238) [ 2.50697] (0.04401) [ 3.00790]

R-squared IBM SP500 0.032500 0.033216

Adj. R-squared Sum sq. resids 0.021404 0.022129 38600.50 27250.91

S.E. equation 6.653317 5.590263

F-statistic

Log likelihood

Akaike AIC 6.640487 6.292309

Schwarz SC 6.700076 6.351897

Mean dependent S.D. dependent 1.251308 0.546273 6.725687 5.653163

2.929166 -2920.775 2.995981 -2767.054

cest dire que, dans une criture o lon noterait Zt = (Xt ; Y t) , Zt = 0 + 1 Zt 1 + ::: + 5 Xt5 + "t ; on aurait alors les matrices suivantes, 1:167 0:019 0:105 0:097 0:138 0 = , 1 = , 2 = , 0:509 0:012 0:088 0:057 0:047 0:049 0:114 0:010 0:017 0:073 0:131 3 = , 4 = , et 5 = : 0:002 0:110 0:028 0:017 0:075 0:132

0

Le schma ci-dessous indique quelles sont les valeurs signicatives, ainsi que leur signe (+ : signicative positive, - : signicative ngative et : non signicative) + + + + 0 = , 1 = , 2 = , 3 = , 4 = , et 5 = : + + + Cest dire que les retards lordre 4 ne sont pas signicatifs par exemple. En fait, ce cas est encore plus particulier car un certain nombre de colonnes semblent non-signicative, en particulier la premire colonne de 1 ou de 3 (et dans une moindre mesure de 5). Cela siginie que les retards de Xt 32


Arthur CHARPENTIER

ninuencent ni Xt , ni Yt : en terme dinterprtations, le rendement du cours du titre IBM la date t, ainsi que le cours de lindice SP 500 cette mme date dpendent des cours passs de lindice (en loccurence avec 1, 3 et 5 retards), mais pas vraiment du cours pass du titre IBM . Autrement dit, on pourrait tre intress de tester un modle particulier, de la forme Zt = 0 + 1 Yt 1 + 3 Y t3 o ici i 2 R 2 ; (et i nest plus une matrice 2 2). Lestimation de ce modle contraint donne alors IBMt 1:24 0:117 0:083 "t = + SP 500t 1 SP 500 t3 + : SP 500 t 0:57 0:073 0:109 t

1.5

Rgression linaire dans un cadre dynamique

Nous allons ici voir les proprits des modles conomtriques

TS2

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